3概率论第三讲(3学时)
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第四节 条 件 概 率
一、 条件概率
定义1
事件总数
缩减的样本空间下基本的基本事件数有利于在B A B P /)(Ω=
注：一般地 )(B P 与)(A B P 不等。
定义2 设A ，B 是两事件，且 P （A ）>0,称
)(A B P 为事件A 发生的条件下，事件B 发生的
概率；且 )
()()(A P AB P A B P =
条件概率同样满足概率的三条基本性质，即： 性质1<非负性> 1)(0≤≤A B P ；
性质2<正则性> 对必然事件和不可能事件，有 ,1)(=ΩA P ,0)(=ΦA P
性质3<可加性>若事件k B B B ,,,21 两两互不相容，则 )
()(11∑===k i i k i i A B P A B P
二、 乘法公式
由条件概率公式容易推得概率的乘法公式：
《乘法公式》对于容易两个事件A ，B ：
若P （A ）>0,则
)()()(A B P A P AB P =
若P （B ）>0,则 )()()(B A P B P AB P =
该公式可推广到有限多个情形:
)
()()()(213121321A A A P A A P A P A A A P = 又 )()()()
(213121321A A A P A A P A P A A A A P n =
)(121-n n A A A A P 三、 全概率公式与贝叶斯公式
（一）全概率公式
看一个例子：
e.g 1 10个考签中4个难签，甲、乙、丙三人抽取，
甲先乙次丙最后，（不放回）求乙和丙分别抽到
难签的概率？
解：设A ，B ，C 分别表示甲，乙，丙三人抽到难签； 则 104)(=A P ，106
)(=A P
如何求 P （B ） 93)(=A B P ，94
)(=A B P
))
()(())(()()(A B A B P A A B P B P B P ==Ω=∴ )()(A B P BA P += )()()()(A B P A P A B P A P +=
1049410693104=⋅+⋅=
继续分析P （C ）：丙抽之前，可能有B
A B A B A AB ,,,发生， 且Ω=B A B A B A AB （互不相容）
记 B A A B A A B A A AB A ====
4321,,,
则 4321,,,A A A A 是Ω的一个划分；且 93104)()()()(1⋅===A B P A P AB P A P
类似 96104)(2⋅=A P ，
94106)(3⋅=A P 95106)(4⋅=A P
且 82)(1=A C P ，
83)(2=A C P
83)(3=A C P ， 84)(4=A C P ∴
10
4
8
4
9510683941068396
104
82
93
104
)
()()()()
()()()()
()()()()
()(()()(44332211432143214321=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=+++=+++===Ω=A C P A P A C P A P A C P A P A C P A P CA P CA P CA P CA P CA CA CA CA P A A A A C P C P C P ∴甲、乙、丙抽到难签的概率均为0.4。
上述公式 ∑==4
1)
()()(i i i A C P A P C P
亦称为全概率公式
一般情形，有
定理1（全概率公式）设实验E 的样本空间为Ω，
n A A A ,,,21 为Ω的一个划分
（完备事件组），且 0)(>i A P ，（i=1,2,…，n ）,
则：对任一事件B ，有 ∑==n
i i i A B P A P B P 1)
()()(
证明：……
特别地
)()()()()(A B P A P A B P A P B P +=
e.g 2 设有一批同规格产品，由三家工厂生产，其中 甲厂生产50%，乙、丙两厂各生产25%，而且各厂的 次品率依次为2%、2%、4%，现任取一件，求取到次 品的概率。
……
（=0.025）
（二）逆概率公式（Bayes 公式）
（求事件在已经发生的条件下各原因之概率）
定理2 （Bayes 公式）设随机实验E 的样本空间为Ω，
n A A A ,,,21 为Ω的一个划分（完备事
件组），且 0)(>i A P ，（i=1,2,…，n ）,B 为
任一事件，若0)(>B P ，则有：
∑==n
i i
i k k k A B P A P A B P A P B A P 1)()()
()()( （ k=1,2,…，n ）
证明：由条件概率的计算公式得： )
()()(B P B A P B A P k k =
又由乘法公式和全概率公式得： )()()(k k k A B P A P B A P = ∑==n i i i A B P A P B P 1)
()()(
代入上式：