3概率论第三讲(3学时)
第三讲 抽样分布和估计
x
Proportion p
p
Variance Difference
2
-
12
s2
__ x -x
12
30
联合食品公司的案例
针对“联合食品公司”的案例（P.44 案例2-1）， 我们假设调查的100个客户组成一个简单随机样 本。尝试回答下面的问题： 1）所有客户一次购买金额的平均值是多少?
第三讲
抽样分布和估计
1
概率论与统计学之间的关系
一个概率论的问题：
假定有一个大盒子中有 10,000个球，分布如下： 70%的黑球和 30%的白球
随机抽取100个球，得到60个黑球和40个白球的 概率是多少？
---- 给定一个总体（盒子中的所有小球）的已知 特征（70% 和30%），研究一个试验（抽取小球） 的可能的结果 (例如 60-40) 。
2
一个统计学的问题：
假定一个大盒子中有 10,000个小球（黑和白）。 随机抽取100个小球，发现其中有60个黑球和40个
白球。那么黑球在盒子中所占的比例是多少？
---- 观察到一个试验（抽取小球）的结果 (60-40), 推断出这个总体（盒子中的所有小球）的特征 （比例）
3
总体－样本理论 统计推断采用一个（有代表性的）子总体 （样本）来对总体的某些特征进行科学的 推断。
10 2 55 7.42
x 10.33 s 2 56.78 s 7.54
抽样分布
样本不同， x 值也不同。那么 x 取不同 值的可能性分别是什么？ x 的概率分布称作它的抽样分布。 抽样分布在统计推断中的中心地位。 抽样分布取决于总体的分布（模型）以 及抽样的方式。
抽样方式 总体分布===== 抽样分布
概率论与数理统计(茆诗松)第三章讲义
Y X x1 x2 M xi M
y1 p11 p21 L pi1 L
y2
L
yj p1 j L pij L
L L L L L
p12 L p22 L L L pi 2 L L L
p2 j L
联合概率分布的基本性质： （1）非负性 pij ≥ 0； （2）正则性 3.1.4
∑∑ p
i j
ij
= 1．
联合密度函数
0 x y 0
1 xy ； dy = 2 2
1
1 x 0 2 dy = y ； 2 x 2 11 11 x 当 0 ≤ x < 2 , y ≥ 1 时， F ( x, y ) = ∫ dx ∫ dy = ；当 x ≥ 2 , y ≥ 1 时， F ( x, y ) = ∫ dx ∫ dy = 1 ． 0 0 0 0 2 2 2
⎧1 ⎪ , 0 < x < 2, 0 < y < 1; 设 (X, Y ) 的联合密度函数为 p ( x, y ) = ⎨ 2 求 (X, Y ) 的联合分布函数 F (x, y)． ⎪ ⎩0, 其他. y 解：当 x < 0 或 y < 0 时，F (x, y) = 0；
例 当 0 ≤ x < 2 , 0 ≤ y < 1 时， F ( x, y ) = ∫ dx ∫
n! n2 p1n1 p2 L prnr ． n1!n2 !L nr !
定义 若 r 维随机变量 (X1, X2, …, Xr) 的全部可能取值是每一个 Xi 的取值 ni 可以是 0, 1, 2, …, n 中某个数， 且 n1 + n2 + … + nr = n，概率分布为
P{ X 1 = n1 , X 2 = n2 , L , X r = nr } =
概率论第三讲
P( A∪ B) = P( A) + P(B) P( AB) = 0.8
P ( A B ) = P( A ∪ B) = 0.2
陕西科技大学
3 September 2007
第一章 随机事件与概率
第11页
课后同学问： 上例 中小王他能答出第一类问题的概 率为0.7, 答出第二类问题的概率为0.2, 两 类问题都能答出的概率为0.1. 为什么不是 0.7×0.2 ？ 若是的话, 则应有 P ( A1 A2 ) = P ( A1 ) P ( A2 ) 而现在题中并未给出这一条件. 在§1.5中将告诉我们上述等式成立的 条件是 ：事件A1，A2 相互独立.
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第一章 随机事件与概率
第16页
思考题
口袋中有2个白球，每次从口袋中随 机地摸出一球，并换入一只黑球. 求第k 次取到黑球的概率.
3 September 2007
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第一章 随机事件与概率
第17页
例1.3.4
一颗骰子掷4次，求至少出现一次6点的概率. 解：用对立事件进行计算, 记 A=“至少出现一次6点”， 则所求概率为
3 September 2007
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第一章 随机事件与概率
第20页
利用对称性
甲掷硬币n+1次，乙掷n次. (习题1.3第10题) 求甲掷出的正面数比乙掷出的正面数多的概率. 解：记甲正=甲掷出的正面数，乙正=乙掷出的正面数. 甲反=甲掷出的反面数，乙反=乙掷出的反面数. 因为 P(甲正>乙正)= P(n+1-甲反> n-乙反) = P(甲反-1<乙反)= P(甲反≤乙反) (对称性) = 1P(甲正>乙正) 所以 2P(甲正>乙正)=1, 由此得 P(甲正>乙正)=1/2
现代概率论03：测度空间（1）
现代概率论03：测度空间（1）⽬录第三讲 测度空间(1)2.1 测度的定义及性质2.1.1 测度的公理化定义本节主要讨论测度的定义及性质，在此之前需要引⼊⼏个概念：⾮负集函数：给定空间 X 上的集合系 E ，将定义在 E 上，取值于 [0,∞] 上的函数称为⾮负集函数，常⽤希腊字母 µ,ν,τ,⋯ 来表⽰。
可列可加性：如果对任意可列个两两不交的集合 {A n ∈E,n ≥1} 满⾜ ∞⋃n =1A n ∈E ，均有µ∞⋃n =1An=∞∑n =1µ(An ),则称⾮负集函数 µ 具有可列可加性。
有限可加性：如果对任意有限个两两不交的集合 {A k ∈E,1≤k ≤n } 满⾜ n⋃k =1Ak∈E ，均有µn⋃k =1Ak=n∑k =1µ(Ak ),则称⾮负集函数 µ 具有有限可加性。
可减性：如果对 ∀A ,B ∈E ，满⾜ A ⊂B ，且有 B −A ∈E ，只要 µ(A )<∞ ，就有µ(B −A )=µ(B )−µ(A ),则称⾮负集函数 µ 具有可减性。
本节的核⼼是测度的公理化定义，具体如下：测度的公理化定义：指的是在抽象空间的集合上建⽴的测度。
设 E 是 X 上的集合系，且 ∅∈E 。
若 E 上的⾮负集函数 µ 满⾜：(1) µ(∅)=0 ；(2) 可列可加性，则称 µ 为 E 上的测度。
若 µ(A )<∞, ∀A ∈E ，则称测度 µ 为有限测度。
()()若 ∀A ∈E ，存在 {A n ∈E,n ≥1} ，使得 ∞⋃n =1An⊃A ，则称测度 µ 为 σ 有限测度。
命题 2.1.1：测度具有有限可加性和可减性。
命题 2.1.2：设 X ⊂R, E =Q R ，F 是 R 上⾮降右连续的实值函数。
第三讲 条件概率
第三讲 条件概率1．引例例1 将一枚硬币抛掷两次，观察其出现正反面的情况。
设事件A 为"至少有一次为H"，事件B 为"两次掷出同一面". 现在求已知事件A 已经发生条件下事件B 发生的概率. 解：样本空间为S=(HH,HT,TH,TT},A={HH,HT,TH}, B={HH,TT}.于是, 在A 发生的条件下B 发生的概率,记为P(B|A),为.31)|(=A B P另外, 易知4/34/131)|(,41)(,43)(====A B P AB P A P 故有)1.5()()()|(A P AB P A B P =2. 条件概率的定义：设A,B 是两个事件, 且P(A)>0, 称)2.5()()()|(A P AB P A B P =为在事件A 发生条件下事件B 发生的条件概率.不难验证, 条件概率P (·|A)符合概率定义中的三个条件. 故§3中对概率所证明的一些重要结果都适用于条件概率. 例如, 对于任意事件B 1,B 2有 P(B 1⋃B 2|A)=P(B 1|A)+P(B 2|A)-P(B 1B 2|A).§5 条件概率条件概率是概率论中的一个重要概念, 所考虑的是事件A 已发生的条件下，事件B 发生的概率.已知事件A 已发生, 知道"TT"不可能发生. 即知试验所有可能结果所成的集合就是A, A 中共有3个元素, 其中只有HH ∈B.对于一般古典概型问题, 若仍以P(B|A)记事件A 已经发生的条件下B 发生的概率, 则关系式(5.1)仍然成立. 事实上, 设试验的基本事件总数为n, A 所包含的基本事件数为m(m>0), AB 所包含的基本事件数为k, 即有)()(//)|(A P AB P n m n k m k A B P ===非负性: 对任一事件B, 有P(B|A)≥ 0;规范性: 对于必然事件S, 有P(S|A)=1;可列可加性: 设B 1,B 2,...,是两两互斥事件,()A B P A B P i i i i ||11∞=∞=⋃=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋃例２ 一盒子装有4只产品, 其中有3只一等品, 1只二等品, 从中取产品两次, 每次任取一只, 作不放回抽样. 设事件A 为"第一次取到的是一等品", 事件B 为"第二次取到的是一等品". 试求条件概率P(B|A).解易知此属古典概型问题.试验E(取产品两次, 记录其号码)的样本空间S 中的样本点总数为=1314C C 12，事件A 中的样本点数为=1313C C 9，事件AB 中的样本点数为=1213C C 6。
《概率论与数理统计》教学大纲课程名称：概率论与数理统计英文名称
《概率论与数理统计》教学大纲课程名称：概率论与数理统计英文名称：Probability Theory and Mathematical Statitics课程编号：09420003学时数及学分：54学时 3学分教材名称及作者：《概率论与数理统计》（第三版）, 盛骤、谢式干、潘承毅编出版社、出版时间：高等教育出版社，2001年本大纲主笔人：邓娜一、课程的目的、要求和任务概率统计是一门重要的理论性基础课，是研究随机现象统计规律性的数学学科，本课程的任务是使学生掌握概率论与数理统计的基本概念，了解它的基本理论和方法，从而使学生初步掌握处理随机现象的基本思想和方法，培养学生运用概率统计方法分析和解决、处理实际不确定问题的基本技能和基本素质。
通过本课程的学习，要使学生初步理解和掌握概率统计的基本概念和基本方法，了解其基本理论，学习和训练运用概率统计的思想方法观察事物、分析事物以及培养学生用概率统计方法解决实际问题的初步能力。
概率统计的理论和方法的应用是非常广泛的，几乎遍及所有科学技术领域，工农业生产和国民经济的各个部门，例如使用概率统计方法可以进行气象预报，水文预报以及地震预报，产品的抽样检验，在研究新产品时，为寻求最佳生产方案可以进行试验设计和数据处理，在可靠性工程中，使用概率统计方法可以给出元件或系统的使用可靠性以及平均寿命的估计，在自动控制中，可以通过建立数学模型以便通过计算机控制工业生产，在通讯工程中可用以提高抗干扰和分辨率等。
所以我院各专业学习概率统计是非常必要的，它也是学习专业课的基础。
二、大纲的基本内容及学时分配本课程的教学要求分为三个层次。
凡属较高要求的内容，必须使学生深入理解、牢固掌握、熟练应用。
其中，概念、理论用“理解”一词表述，方法、运算用“熟练掌握”一词表述。
在教学要求上一般的内容中，概念、理论用“了解”一词表述，方法、运算用“掌握”表述。
对于在教学上要求低于前者的内容中，概念、理论用“会”一词表述，方法、运算用“知道”表述（一）随机事件及其概率1、理解随机实验、随机事件、必然事件、不可能事件等概念。
03第三讲：高斯过程、窄带过程
为是白噪声
物理意义：表明该随机过程上任何两个随
2、自相关函数
机变量之间都是不相关的，只有当τ＝0时 例外
白噪声的功率谱密度(a)和自相关函数 (b)
3、限带白噪声
限带白噪声概念：白噪声被限制在（f1,f2）之内，即在该频率 区上功率谱密度Pn(ω)＝ n0/2，而在该区间之外Pn(ω)＝0，则
这样的白噪声被称为限带白噪声
常见的限带白噪声有两种： a.理想低通型白噪声 b.理想带通型白噪声
理想低通白噪声：
概念：就是白噪声经过理想低通滤波器。
H(ω)为滤波器的系统函数
限带白噪声的自相关函数为
由R(τ)可见，若以1/(2f0)
的时间间隔对理想低通型
白噪声n(t) 进行抽样，则
噪声的样值之间是不相关
的
理想白噪声和限带白噪声的相关函数与谱密度
已知：
求： 解：先求反函数
利用概率论中的边际分布知识，aξ的概率密度函数
结论：aξ服从瑞利分布。
瑞利分布的特点：最大值发生在aξ＝σξ处。
要想计算误码率，必须知道抽样判决前信号和噪声的pdf，而噪声的pdf则为 上式。 aξ概率分布的用途：在数据通信系统中用来求解误码率。如2ASK的非相干 接收，接收机结构如图2.6-4所示。
为了能够借助于数表(误差函数表，概率积分表) 来计算高斯分布 ,需要引入概率积分函数或者误 差函数(互补误差函数)
误差函数的定义： erf (x) 2 x ez2 dz
0
互补误差函数的定义： erfc (x) 1 erf (x)
2
ez2 dz
x
概率积分函数：F (x) 1 x exp[ (z a)2 ]dz ((x a))
概率论 第3讲 条件概论
记 Ai = {球取自 i 号箱}， i =1, 2, 3; B = {取得红球}。 所求为 P(A1|B)。
P ( A1 B) P ( A1 | B) P ( B)
P ( A1 ) P ( B | A1 )
P ( A ) P ( B｜A )
k 1 k k
3
将上述公式一般化，就得贝叶斯公式。
P( A) 0.005, P( A ) 0.995 , P( B | A) 0.95, P( B | A ) 0.04 。
求 P(A|B)。
由贝叶斯公式，得
P( A) P( B | A) P( A | B) ， P( A) P( B | A) P( A ) P( B | A )
加法公式 P(A∪B)=P(A)+P(B) A、B互斥
乘法公式 P(AB)= P(A)P(B|A) P(A)>0
例3: 有三个箱子, 分别编号1, 2, 3。1号箱装 有1红球, 4白球; 2号箱装有2红球, 3白球; 3 号箱装有3红球。某人从三箱中任取一箱, 再 从箱中任取一球，求取到红球的概率。 解：记 Ai={球取自 i 号箱}, i =1,2,3; B ={取得红球}。 B= A1B∪A2B∪A3B， 其中 A1B、A2B、A3B两两互斥。运用加法公式 于是，P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B)
贝叶斯公式
设 A 1 , A 2 , „ , A n 是两两互斥的事件，且 P(Ai)>0，i=1, 2, „, n; 另有一事件B, 它总是与 A1, A2, „, An 之一同时发生，则
P( A i | B)
P( A i ) P( B｜A i )
P( Aj ) P( B｜Aj )
概率论3ppt课件
••
•
•中心• • •
•
••中•••心•• •••
••
甲炮射击结果
乙炮射击结果
较好
因为乙炮的弹着点较集中在中心附近 .
(1）方差的定义
设X是一个随机变量，若E{[X-E(X)]2}<∞，
则称 D(X)=E{[X-E(X)]2 } 为X的方差. 称 D( X )为X标准差.
• • • • •a•• • • •
2)若C是常数,则D(CX)= C2 D(X);
3) 若X1与X2 独立，则
D(X1+X2)=D(X1)+D(X2);
可推广为：若X1,X2,…,Xn相互独立,则
n
n
D[ X i ] D( X i )
i 1
i 1
3 常见分布的数学期望和方差
离散型
两点分布 P( X 0) 1 p, P( X 1) p E( X ) p D( X ) p(1 p)
D(Y ) (6 8)2 0.2 (7 8)2 0.1 (8 8)2 0.4 (9 8)2 0.1 (10 8)2 0.2 1.8 送甲去参加奥运会更合理。
Y 6 7 8 9 10
Pk 0.2 0.1 0.4 0.1 0.2
(2）方差的性质
1)设C是常数,则D(C)= 0;
=E{X2-2XE(X)+[E(X)]2} =E(X2)-2[E(X)]2 +[E(X)]2 =E(X2)-[E(X)]2
展开
利用期望 性质
例3.要在甲乙两射手之间选送一个人去参加奥运会， 已知两人的射击成绩的分布律分别为：
X 6 7 8 9 10
Pk 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
Y 6 7 8 9 10
《概率论》课程教学大纲
《概率论》课程教学大纲ProbabiIity一、课程基本信息学时：48学分：3考核方式：考试。
期末成绩、平时成绩各占总成绩的70%和30%课程简介：《概率论》是一门研究和探索客观世界随机现象规律的数学学科。
它以随机现象为研究对象,是数学的分支学科,在金融、保险、经济与企业管理、工农业生产、医学、地质学、气象与自然灾害预报等等方面都起到非常重要的作用。
随着计算机科学的发展，以及功能强大的统计软件和数学软件的开发，这门学科得到了蓬勃的发展，它不仅形成了结构宏大的理论，而且在自然科学和社会科学的各个领域应用越来越广泛。
因此，将《概率论》这门课程定为必修基础课。
二、课程性质与教学目的《概率论》是统计学专业学生一门重要的专业基础必修课，在教学培养计划中列为基础主干课程。
通过本课程的学习，使学生不但比较系统的掌握概率论的基础知识，而且使学生学到随机数学的基础研究方法，另外训练学生严密的科学思维及分析问题解决问题的能力，为学生学习后继课打下良好的基础。
学习本课程要求学生具备必要的数学分析、高等代数等基础知识。
三、教学方法与手段以课堂教学为主，并结合案例分析与课程设计等手段使学生较好的掌握概率论中的重点和难点，提高学生的逻辑思维能力和数据分析模型的学以致用能力。
五、推荐教材和教学参考资源推荐教材：张超龙、杨建富编《概率论与数理统计教程》，中国农业出版社。
教学参考资源：1.沈恒范，《概率论与数理统计教程》，高等教育出版社，20052.盛骤等，《概率论与数理统计》，高等教育出版社，20083.华东师范大学数学系，《概率论与数理统计教程》，高等教育出版社，19804.张玉春、刘玉凤，《概率论与数理统计学习指导》，国防工业出版社，2008。
3. 概率论与数理统计 Lagrange插值逼近(下)
第三讲 拉格朗日插值逼近（下）()sin 2(),02,3,5,8,01,1,,,3xi i f x e x x n n i n ππ=≤≤=== 选择插值节点分别得到次、5次、8次拉格朗日插值应用实例多项式.()()()()()()3333000()2,0,1,21,33j i j i j j i i i i i i x x l x x x i x i P x f x f x π===≠⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦--==∏∑∑()()()()()()5550500()2,0,1,2,3,4,552j i j i j j i i i i i i P x f x f x x x l x x x i x i π===≠⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣-==⎦-∑∏∑()()()()()()8880800()2,0,1,2,3,4,5,6,7,83j i i j i j j i i i i P x f x f x x x l x x x i x i π=≠==⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣-=⎦-=∑∏∑如图所示，随着插值节点的增加,拉格朗日插值多项式的逼近效果越来越好.()()21(),||1,10.50.25,0.2,1250,1,,48,1042i f x x x i i i xi =≤=-++= 选择插值节点分别得到次、8次、10次拉格朗日插例值多项式()()()()()()440004410.5,0,1,2,3,1(4)j i j i i i i i i j j iP x f x f x x i i x x l x x x ===≠⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦=-+=--∏∑∑()()()()()()888008010.25,0,1,2,3,4,5,6,827,()i i i j i j i j j i i i P x f x f x x x l i x x x x i ===≠⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦-=-+=-∑∑∏()()()()()()101001010003()j i j i j i i j ii i x x P x f x f l x x x x ===≠⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦--∏∑∑如图所示，在逼近效果比较好,但是靠近[0.2,0.2]区间端点处逼近效果不好,随着节点的增加,拉格朗拉格朗日插值逼近插值误差估计定理()()(1)01(1)110()[,]()[,],,()(,[,]()()()4,[),]()(1)!()().n n n n n n n n n n j j f x a b f x a b x x x a b R x f x f R x x n x x P x a b x ξξωω++++==+=-=-∈∏ 设在上连续,在上存在，是上互异的点,则插值余项有如下估计其中拉格朗日插值逼近[][]()012(),,,,n f x x a b a b a x x x x b P x ∈=<<<<= 函数对进行分割分段线性函数满足:()(),0,1,2,,i i P x f x i n== 分段插值数学描述()()()11111,,,1,2,,i i i i i i i i i i x x x x P x f x f x x x x x x x x i n-------=+--∈=⎡⎤⎣⎦分段逼近分段光滑函数应用：样条函数逼近。
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第四节 条 件 概 率一、 条件概率定义1事件总数缩减的样本空间下基本的基本事件数有利于在B A B P /)(Ω=注：一般地 )(B P 与)(A B P 不等。
定义2 设A ，B 是两事件，且 P （A ）>0,称)(A B P 为事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率；且 )()()(A P AB P A B P =条件概率同样满足概率的三条基本性质，即： 性质1<非负性> 1)(0≤≤A B P ；性质2<正则性> 对必然事件和不可能事件，有 ,1)(=ΩA P ,0)(=ΦA P性质3<可加性>若事件k B B B ,,,21 两两互不相容，则 )()(11∑===k i i k i i A B P A B P二、 乘法公式由条件概率公式容易推得概率的乘法公式：《乘法公式》对于容易两个事件A ，B ：若P （A ）>0,则)()()(A B P A P AB P =若P （B ）>0,则 )()()(B A P B P AB P =该公式可推广到有限多个情形:)()()()(213121321A A A P A A P A P A A A P = 又 )()()()(213121321A A A P A A P A P A A A A P n =)(121-n n A A A A P 三、 全概率公式与贝叶斯公式（一）全概率公式看一个例子：e.g 1 10个考签中4个难签，甲、乙、丙三人抽取，甲先乙次丙最后，（不放回）求乙和丙分别抽到难签的概率？解：设A ，B ，C 分别表示甲，乙，丙三人抽到难签； 则 104)(=A P ，106)(=A P如何求 P （B ） 93)(=A B P ，94)(=A B P))()(())(()()(A B A B P A A B P B P B P ==Ω=∴ )()(A B P BA P += )()()()(A B P A P A B P A P +=1049410693104=⋅+⋅=继续分析P （C ）：丙抽之前，可能有BA B A B A AB ,,,发生， 且Ω=B A B A B A AB （互不相容）记 B A A B A A B A A AB A ====4321,,,则 4321,,,A A A A 是Ω的一个划分；且 93104)()()()(1⋅===A B P A P AB P A P类似 96104)(2⋅=A P ，94106)(3⋅=A P 95106)(4⋅=A P且 82)(1=A C P ，83)(2=A C P83)(3=A C P ， 84)(4=A C P ∴1048495106839410683961048293104)()()()()()()()()()()()()()(()()(44332211432143214321=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=+++=+++===Ω=A C P A P A C P A P A C P A P A C P A P CA P CA P CA P CA P CA CA CA CA P A A A A C P C P C P ∴甲、乙、丙抽到难签的概率均为0.4。
上述公式 ∑==41)()()(i i i A C P A P C P亦称为全概率公式一般情形，有定理1（全概率公式）设实验E 的样本空间为Ω，n A A A ,,,21 为Ω的一个划分（完备事件组），且 0)(>i A P ，（i=1,2,…，n ）,则：对任一事件B ，有 ∑==ni i i A B P A P B P 1)()()(证明：……特别地)()()()()(A B P A P A B P A P B P +=e.g 2 设有一批同规格产品，由三家工厂生产，其中 甲厂生产50%，乙、丙两厂各生产25%，而且各厂的 次品率依次为2%、2%、4%，现任取一件，求取到次 品的概率。
……（=0.025）（二）逆概率公式（Bayes 公式）（求事件在已经发生的条件下各原因之概率）定理2 （Bayes 公式）设随机实验E 的样本空间为Ω，n A A A ,,,21 为Ω的一个划分（完备事件组），且 0)(>i A P ，（i=1,2,…，n ）,B 为任一事件，若0)(>B P ，则有：∑==ni ii k k k A B P A P A B P A P B A P 1)()()()()( （ k=1,2,…，n ）证明：由条件概率的计算公式得： )()()(B P B A P B A P k k =又由乘法公式和全概率公式得： )()()(k k k A B P A P B A P = ∑==n i i i A B P A P B P 1)()()(代入上式：∑==ni ii k k k A B P A P A B P A P B A P 1)()()()()( （k=1,2,…，n ）e.g.3 某车间有一条生产线，正常运转时间为95%，正常运转时产品合格品率为90%，不正常运转时产品合格品率为40%，今从产品中抽取一件检验，发现它是不合格品，问这时这条生产线正常运转的概率为多少？解：设A 表示“生产线正常运转”，A 表示“生产线不正常运转”；又设B 表示“产品是不合格品”则 %95)(=A P ，%5)(=A P ， %,10)(=A B P 6.0%401)(=-=A B P由 Bayes 公式76.06.005.01.095.01.095.0)()()()()()()(=⨯+⨯⨯=+=A B P A P A B P A P A B P A P B A P 这时这条生产线正常运转的概率为0.76，而不是以往经验所得的95%（先验概率），而把得到信息（取到产品是不合格品）后重新修正的概率0.76称为后验概率；有了后验概率，就可以对机器运转情况有新的了解。
注：逆概率公式（Bayes 公式）常用于：若已知引起事件B 发生的“原因”共有n 个：n A A A ,,,21 ，且两两互不相容，当事件B 发生后，就希望知道其中各原因k A 之概率，这就是公式中的)(B A P k ，（k=1,2,…，n ）若其中最大的一个为)(B A P k ，则k A 就是引起事件B 发生的最大可能的“原因”。
e.g.4.甲、乙、丙三门炮同时射击一目标，已知其发射炮弹之比为1：6：3，各炮命中率分别为0.4，0.5，0.6，目标被一弹击中时，此炮弹来自哪一门炮的可能性最大？解：设B 表示“目标被击中”，321,,A A A 分别表示此弹是甲、乙、丙发射的；显然：321,,A A A 为一完备事件组，由题意： 1.0)(1=A P ，6.0)(2=A P ，3.0)(3=AP 4.0)(1=A B P ，5.0)(2=A B P ，6.0)(3=A B P由Bayes 公式： 1316.03.05.06.04.01.04.01.0)(1=⨯+⨯+⨯⨯=B A P26156.03.05.06.04.01.05.06.0)(2=⨯+⨯+⨯⨯=B A P2696.03.05.06.04.01.06.03.0)(3=⨯+⨯+⨯⨯=B A P 从以上结果可知)(2B A P 最大，因而推测出此弹是乙炮发出的可能性最大。
e.g 5 某工厂生产的产品以100件为一批，进行抽样检查时，只从每批中任取10件来检查，如果发现其中有次品，则认为这批产品是不合格的，假定每批产品的次品数最多不超过4件，并且次品数从0到4件是等可能的。
（1）求一批产品通过检查的概率。
（2）如果一批产品通过检查，求这批产品中的次品数是0，1，2，3，4的概率。
解：设iA 表示这批100件产品中有i 件次品（i=0,1,2,3，4）51)(=i A P （i=0,1,2,3，4）再设B 表示这10件产品全部为合格品。
则1)(0=A B P1010010991)(CCA B P =，1010010982)(CCA B P =1010010973)(CCA B P =，1010010964)(CCA B P =求（1） P （B ） （2） )(B A P i （i=0,1,2,3,4）】（1）0.8174；（2）0.2447；0.2202；0.1980；0.1778；0.1594第五节 随机事件的独立性一、事件的独立性所谓独立性是相对的，先看定义定义1若事件A 发生的可能性不受事件B 发生与否的影响，即)()(A P B A P =，则称事件A 对于事件B 独立；显然，A 对于事件B 独立，则B 对于A 也一定独立，因此 称 A 与B 相互独立。
e.g 1、10件产品中6件正品，4件次品，从中抽取2次，每次取一件（回置式抽样），若A 表示“第一次抽到正品”，B 表示“第二次抽到正品”，则,106)(=A P ,106)(=A B P ,106)(=B P,104)(=A P ,106)(=A B P ,106)(22=AB P)()()(A B P A B P B P ==∴A 与B 相互独立。
对于n 个事件来数，同样也有类似定义定义2 如果n 个事件n A A A ,,,21 中任何一个事件发生的可能性都不受其它一个或几个事件发生与否的影响，则称事件n A A A ,,,21 相互独立。
关于独立性，有以下重要结论：（1） 定理1 事件A 与B 相互独立的充分必要条件是())()(B P A P AB P =证明：若A ，B 中有一个事件的概率为0，则结论显然成立。
))()(0(A P AB P ≤≤（必要性）设;0)(,0)(>>B P A PA与B 相互独立，由定义)()(A P B A P =由乘法公式，)()()()()(A P B P B A P B P AB P ==∴ P （AB ）= P （A ）P （B ）（充分性）不妨设P （B ）>0,)()()(B A P B P AB P =P （AB ）= P （A ）P （B ）∴)()(A P B A P = 即 A 与B 相互独立。
（2） 定理2 若事件A 与B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立；（四对事件，同时独立，，同时不独立）证：A 与B 相互独立， （其它类似证明）已知：P （AB ）= P （A ）P （B ）ABA B A B A -=-= 且A AB ⊆)()()()(AB P A P AB A P B A P -=-=∴)()())(1()()()()(B P A P B P A P B P A P A P =-⋅=-=∴A 与B 相互独立。