2.2排序不等式

典例讲解
题型一、用排序不等式证明不等式
例 1 已知 a，b，c 为正数，a≥b≥c，求证： (1)b1c≥c1a≥a1b； (2)ba2c2 2＋cb2a2 2＋ac2b2 2≥a12＋b12＋c12.
典型例题
观看教学微视频，总结排序不等式的解题思路。
典例讲解 (2)由(1)知b1c≥c1a≥a1b>0 且 a≥b≥c>0， ∴b12c2≥c12a2≥a12b2，a2≥b2≥c2.
3.3 排序不等式
问题探究1
五一马上到了，我们班要布置班级文化，需要 买价格不同的物品4件，5件和2件．现在选择 商店中单价分别为3元，2元和1元的物品，则 至少要花________元，最多要花________元．
2×1+4×2+5×3=25
2
4
5
2×1+4×3+5×2=24 2×2+4×1+5×3=23
由排序不等式，顺序和≥乱序和得
ba2c2 2＋cb2a2 2＋ac2b2 2≥bb2c2 2＋cc2a2 2＋aa2b2 2＝c12＋a12＋b12＝a12＋b12＋c12， 故ba2c2 2＋cb2a2 2＋ac2b2 2≥a12＋b12＋c12.
思考探究
1、使用排序不等式解题思路
使用排序不等式，关键是找出有大小顺序的两列数(或者代数式) 来探求对应项的乘积的和的大小关系.
一、找一找
2、数学思想与方法：转化与化归，综合法，分析法……
强化训练
1．设 a1，a2，…，an 为正数，求证：aa212＋aa223＋…＋aa2n－n 1＋aa2n1≥a1 ＋a2＋…＋an.
强化训练
【证明】 不妨设 0＜a1≤a2≤…≤an，则
a21≤a22≤…≤a2n，a11≥a12≥…≥a1n.
本节目标
1.了解排序不等式并理解乱序和、反序和、顺 序和的概念． 2．会利用排序不等式解决简单的不等式问题.
学习新知
排序不等式(或排序原理)
设数组 A：a1≤a2≤…≤an，
数组 B：b1≤b2≤…≤bn.
设 c1，c2，…，cn 为数组 B 中 b1，b2，…，
bn 的任何一个排列．
称 S1＝a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1 为_反__序_和____． 称 S＝a1c1＋a2c2＋…＋ancn 为___乱__序_和__，
2×2+4×3+5×1=21
132
2
312
百度文库
2×3+4×1+5×2=20 2×3+4×2+5×1=19
问题探究2
y
.A3 3 .A2 2 .A1 1
. . . 1 2 3
o B1 B2 B3
如图，y轴上依次取点A1，A2，A3，x轴上依 次取点B1，B2，B3，y轴上的点与x轴上的点 一一搭配，得到三个三角形OAiBj ，其中i=1， 2，3和j=1，2，3，问：y轴上的点与x轴上的
典例讲解
题型一、用排序不等式证明不等式
例 1 已知 a，b，c 为正数，a≥b≥c，求证： (1)b1c≥c1a≥a1b； (2)ba2c2 2＋cb2a2 2＋ac2b2 2≥a12＋b12＋c12.
【精彩点拨】 由于题目条件中已明确 a≥b≥c，故可以
直接构造两个数组．
【自主解答】 (1)∵a≥b>0，于是1a≤1b. 又 c>0，∴1c>0，从而b1c≥c1a， 同理，∵b≥c>0，于是1b≤1c， ∴a>0，∴1a>0，于是得c1a≥a1b， 从而b1c≥c1a≥a1b.
拓展提高
【解】 根据排序不等式的反序和最小，可得最少时间为 4×5＋5×4＋6×3＋8×2＋10×1＝84(min)．
即按注满时间为 4 min,5 min,6 mi n,8 min,10 min 依次 等水，等待的总时间最少．
课堂小结
|— 反序和、乱序和、顺序和
排序不等式— — 排序原理 — 排序原理的应用
称 S2＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn 为___顺_序__和__，
则有
S1≤S≤S2.
即______反_序__和_≤_乱__序_和__≤_顺_序__和____．
当 且 仅 当 a1 ＝ a2 ＝ … ＝ an 或
____b_1＝__b_2＝__…_＝__b_n ___时，反序和等于顺序和.
任务：概括排序不等式的条件和结论。
点如何一一搭配，才能使得到的三个三角形 面积之和最大与最小，分别是多少？ x
思考一：根据问题1和2的最大与最小的取值情况，你能得出什么结论？ 思考二：如果把两组各3个数变为两组有大小顺序的各n个数，结论是否 仍然成立？
简单介绍
排序不等式是数学上的一种不等式。它可以推导出很多有名的不等式，例 如：算术几何平均不等式(简称算几不等式)、柯西不等式、切比雪夫总和 不等式。排序不等式（sequence inequality,又称排序原理）是高中数学 竞赛大纲、新课标普通高中课程标准试验教科书（人民教育出版社）数学 （选修4-5 第三讲第三节） 要求的基本不等式。
由排序不等式知，乱序和不小于反序和，所以
aa212＋aa223＋…＋aa2n－n 1＋aa2n1≥a21·a11＋a22·a12＋…＋a2n·a1n， 即
aa212＋aa223＋…＋aa2n－n 1＋aa2n1≥a1＋a2＋…＋an.
数学抽象、逻辑推理
拓展提高
题型二、利用排序不等式求解简单的实际问题 例 2．观音院失火，有 5 个和尚各拿一只水桶到竹水管接 水，如果竹水管注满这 5 个和尚的水桶需要时间分别是 4 min,8 min,6 min,10 min,5 min，那么如何安排这 5 个和尚接水的顺 序，才能使他们等待的总时间最少，从而使得救火的效率最 高？用排序不等式说明。 数学建模
思想方法： 转化与化归，分析法，综合法
能力提升: 发现问题，提出问题，分析问题，解决问题
素养培养： 数学抽象、逻辑推理，数学建模
课后作业
课时跟踪检测（十一）排序不等式
寻排序之本 和拆成排大作峰， 元素大小各不同。 初识排序真面目， 一切尽在拆组中。