数学人教版九年级上册y=ax2 k 图像和性质
九年级数学上册 22.1.3 二次函数y=a(xh)2+k的图象和性质课件 (新版)新人教版
3．抛物线的平移： （1）把二次函数y=3x 2的图像(tú xiànɡ)， 先沿x轴向左平移３个单位， 再沿y轴向下平移2个单位， 得到__y_=_3(_x_+_3_)2_-_2___的图像(tú xiànɡ)； （2）把二次函数____y_=_-3_(_x_+_6_)2__的图像(tú xiàn 先沿y轴向下平移2个单位， 再沿x轴向右平移3个单位， 得到y=-3(x+3) 2－2的图像(tú xiànɡ).
第十九页，共32页。
抛物线y=a(x－h)2+k有如下 (rúxià)特点:
(1)当a>0时, 开口(kāi kǒu)向
上; 当a<0时，开口(kāi kǒu) (2)对向称下轴; 是直线x=h;
(3)顶点是(h,k).
第二十页，共32页。
二次函数(hánshù)y=a(x-h)2+k的图象和性质
y＝ax2
a＞0
a＜0
图象
O
O
开口 对称性 顶点
增减性
开口(kāi kǒu) |向a|越上大，开口越小
开口(kāi kǒu) 向下
关于y轴对称
顶点坐标是原点（0，0）
顶点是最低点
在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增
第三页，共32页。
顶点是最高点
在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递减
复习二次函数(hánshù)y=ax2+k的性质
1.填表
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
y 0.5x2
y 0.5x2 1
y 0.5x2 1
y 2x2
y 2(x 1)2 y 2(x 1)2
向下(xiànɡ xià) x=0
人教版九年级数学上册22.1.2《二次函数y=ax2的图象和性质》教案
人教版九年级数学上册22.1.2《二次函数y=ax2的图象和性质》教案一. 教材分析人教版九年级数学上册第22.1.2节《二次函数y=ax^2的图象和性质》是九年级数学的重要内容，主要让学生了解二次函数的图象特征和性质。
通过本节课的学习，学生能理解二次函数的一般形式，掌握二次函数的图象特征，了解二次函数的增减性和对称性，从而为后续的函数学习打下基础。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了函数的基本概念，具备了一定的函数知识。
但对于二次函数的图象和性质，可能还存在一定的困惑。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，针对学生的实际问题进行讲解，引导学生理解和掌握二次函数的图象和性质。
三. 教学目标1.让学生理解二次函数的一般形式，掌握二次函数的图象特征。
2.让学生了解二次函数的增减性和对称性，能运用二次函数的性质解决实际问题。
3.培养学生的观察能力、分析能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.二次函数的一般形式和图象特征。
2.二次函数的增减性和对称性。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究二次函数的图象和性质。
2.利用多媒体辅助教学，直观展示二次函数的图象，帮助学生理解。
3.采用小组合作学习，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.多媒体教学设备。
2.二次函数图象和性质的相关教学素材。
3.学生分组合作学习的材料。
七. 教学过程导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾一次函数和正比例函数的图象和性质，为新课的学习做好铺垫。
同时，教师可以利用多媒体展示二次函数的图象，让学生初步感受二次函数的特点。
呈现（10分钟）教师给出二次函数的一般形式y=ax^2，让学生观察并分析二次函数的图象特征。
学生通过观察多媒体展示的二次函数图象，总结出二次函数的开口方向、顶点坐标等特征。
操练（10分钟）教师给出几个二次函数的实例，让学生分析其图象特征。
学生通过小组合作学习，探讨并分析二次函数的增减性和对称性。
人教版数学九年级上册22.1.2二次函数y=ax2的图像与性质 课件(21张PPT)
二二次次函函数数y的=图x2象的都图是象抛是物一线条，曲线它，们它的的开形口状或类者似向于上投或篮者球向 时下球．在一空般中地所，经二过次的函路数线y，=只ax是2 +这b条x +曲c线（开a≠口0）向的上图，象这叫条做曲抛 线物叫线做y =抛a物x2线+ byx=+xc2 ，
9 6 3
－3
3
实y轴际是上抛，物每线条y抛= 物x 2线的都对有称对轴称，轴抛，物抛线物y 线= x与2 对与称它轴的的对交称点轴 叫的做交抛点物（线0，的0顶）点叫．做顶抛点物是线抛y =物x线2 的的顶最点低，点它或是最抛高物点线．y = x 2 的最低点．
交点坐标
y
求抛物线与直线的 交点坐标的方法： 两解析式联列方程
组
y=4x2 y=3x+1
O
x
1.若抛物线y=ax²与y=4x²的形状及开口方向 均相同，则a= 4
2.下列关于二次函数y=ax²（a≠0）的说法中，错误 的是（ C ） A.它的图像的顶点是原点 B.当a＜0，在x=0时，y取得最大值
(2)说出函数图象的顶点坐标、对称轴、
开口方向和图象的位置；
在x轴的下方
解: (1)依题意，得 (2)2 a 3
解得
a=
3 4
∴ 该函数的解析式为 y
3 4
x2
例3、y=kx2与y=kx－2(k≠ 0)在同一坐标系中， 可能是（ B ）
A
B
C
D
例4、求抛物线y=4x2与直线y=3x+1的
描点法
列表、描点、连线
以0为中心 选取7个x值
画最简单的二次函数 y = x2 的图象列表
人教版九年级上册数学课件 第二十二章 二次函数 二次函数的图象和性质 二次函数y=ax2的图象和性质
一般地，当a<0时，抛物线y=ax2的开口向下，对称轴是y轴，顶 点是原点，顶点是抛物线的最高点，a越小，抛物线的开口越小.
顶点都是原点(0，0)， 顶点是抛物线的最 高点；
增减性相同： 当 x<0时，y随x增大 而增大；当x>0时， y随x增大而减小.
y O -3
3x
开口都向下； 对称轴都是y轴；
y = ax2（a＜0）
（0，0） y轴
在x轴的下方（除顶点外） 向下
当x<0时，y随着x的增大而增大. 当x>0时，y随着x的增大而减小.
当x = 0时，最大值为0.
Thank you!
A．y1＜y2＜y3 C．y3＜y2＜y1
B．y1＜y3＜y2 D．y2＜y1＜y3
综合应用
3.已知y＝(m＋1)xm2＋m是关于x的二次函数，且当x＞0时，y随x 的增大而减小． (1)求m的值； (2)画出该函数的图象．
解：(1)∵y＝(m＋1)xm2＋m是关于x的二次函数，∴m2＋m＝2且m ＋1≠0.则m＝－2或m＝1.又∵x＞0时，y随x的增大而减小，∴m＋ 1＜0，m＜－1，故m＝－2 (2)画图略
单调性
当x<0 (在对称轴 的左侧)时，y随
着x的增大而减小.
y 9 6 3
-3 O 3 x
当x>0 (在对
称轴的右侧) 时，y随着x的
猎豹图书
增大而增大.
例1 在同一直角坐标系中，画出函数 y 1 x2 ，y =2x2的图象.
2
解：分别列表，再画出它们的图象，如图.
x ··· -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ···
函数 y=1 x2，y=2x2 的图象与函数y=x2 的图象相比，有什么共同点
人教版初三数学上册y=ax^2+k的图象和性质
对___称__轴___左___侧__y__随__x__增__大___而__增___大___
对___称___轴__右___侧__y__随__x__增__大___而__减___小___
y
2
y2
1 3
x
2
2
-2 0 2
x
-2
-4
y1
1 3
x
2
2
y 1 x2 3
y = ax2+k ﹙a≠0)
抛 物 线
向 上
向 下
（0，0）
最
最
最小， 最大，对称轴左 对称轴左
y=0
y=0
侧y随x增 侧y随x增 大而减小，大而增大，
X=0
低
（0，k）
高
对称轴右 对称轴右
最小，最大，侧y随x增 侧y随x增
y=k y=k 大而增大；大而减小.
探究a>0时y=ax2与 y=ax2+k图象间的联系
-6
-4
-2
o
2
4
x6
-1
y
5
4
y 2x2 1
3
2
y 2x2
1
-6
-4
-2
o
2
y=2x2-1
4
6x
-1 对称轴右侧y随x增大而增大.
解析式 形 开口 对称轴 顶点坐标 顶点高低 函数最值 函数的增减性 状 方向
y=2x2-1 抛 y=2x2 物 y=2x2+1 线
(0,-1) 向上 直线x=0 (0,0)
解析式 y=2x2-1 -1 y=2x2 +1 y=2x2+1
数学人教版九年级上册22.1.2二次函数y=ax2的图象与性质
y=-x2
1. 二次函数的图像都是抛物线.
2. 抛物线y=ax2的图像性质: (1) 抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点. (2)当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是 抛物线的最低点; 当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是 抛物线的最高点; |a|越大,抛物线的开口越小 ;
y
a>0
o
x
a<0
跑的越快，遇到风的阻力越大。阻 力与成就相伴随。
没有斗狼的胆量，就不要牧羊。
望远镜---可以望见远的目标，却不 能代替你走半步。
只有脚踏实地的人，才能够说：路 ，就在我的脚下。
站在巨人的肩上是为了超过巨人。
成绩和劳动是成正比例的，有一分 劳动就有一分成绩。
你既然认准一条道路，何必去打听 要走多久。
抛物线 y= -x2在x轴下方(除顶点外)，顶点 是它的最高点，开口向下，并且向下无限伸展， 当x=0时，函数y的值最大，最大值是0.
y
y x
2
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
例1.画出函数y=x2、y=2x2、y= 2 x2的图象：
1
探究
顶点坐标
请同学们把所学的二次函数图象的知识归纳小结。
(0,0) 最低点 y轴 向上
增 减 增增 大 小 大大
(0,0) 最高点
y轴
向下
增 增 增减 大 大 大小
老师寄语：
• 老师能给你们的唯有这无形的知识，但老 师希望你们用这些无形的知识创造出有形 的世界，实现你们的中国梦，老师就是你 们的筑梦人！
一帆风顺，并不等于行驶的是一条 平坦的航线。
y=2x2
பைடு நூலகம்
人教版数学九年级上册《22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质》说课稿1
人教版数学九年级上册《22.1.2二次函数y=ax2 的图象和性质》说课稿1一. 教材分析人教版数学九年级上册《22.1.2二次函数y=ax^2 的图象和性质》这一节，是在学生已经掌握了函数的概念、一次函数的图象和性质的基础上，进一步引导学生学习二次函数的图象和性质。
通过这一节的学习，使学生能够掌握二次函数的一般形式，了解二次函数的图象特征，以及掌握二次函数的性质。
教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生巩固所学知识，提高解决问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的函数知识，对一次函数的图象和性质有了初步的了解。
但是，二次函数相对于一次函数来说，图象和性质更加复杂，需要学生有一定的抽象思维能力。
此外，学生可能对二次函数的图象和性质在实际问题中的应用还不够清晰，需要教师在教学中进行引导和启发。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握二次函数的一般形式，了解二次函数的图象特征，掌握二次函数的性质。
2.过程与方法目标：通过观察、分析、归纳等方法，引导学生自主探究二次函数的图象和性质。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的探究精神和合作意识。
四. 说教学重难点1.教学重点：二次函数的一般形式，二次函数的图象特征，二次函数的性质。
2.教学难点：二次函数的图象和性质在实际问题中的应用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例分析法、小组讨论法等，引导学生主动探究，提高学生的参与度和积极性。
2.教学手段：利用多媒体课件，展示二次函数的图象和性质，使抽象的知识更加直观形象。
同时，利用练习题和案例，帮助学生巩固所学知识。
六. 说教学过程1.导入：通过复习一次函数的图象和性质，引出二次函数的一般形式，激发学生的学习兴趣。
2.探究二次函数的图象特征：让学生观察二次函数的图象，引导学生发现二次函数的顶点、开口方向等特征。
3.探究二次函数的性质：通过小组讨论，让学生归纳出二次函数的增减性、对称性等性质。
课件_人教版数学九年级二次函数y=ax的图像和性质PPT课件_优秀版
-3 -6 -9
探究新知 知识点 2 二次函数y=ax2的图象性质
根据你以往学习函数图象性质的经验，说说二次函 数y=x2的图象有哪些性质，并与同伴交流.
1.y＝x2的图象是一条抛物线; 2.图象开口向上; 3.图象关于y轴对称; 4.顶点（ 0 ，0 ）; 5.图象有最低点．
···
-8
-4.5 -2
-0.5 0 -0.5 -2 -4.5 -8
···
x ··· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ··· y 2x2 ··· -8 -4.5 －2 －0.5 0 －0.5 －2 －4.5 －8 ···
探究新知
【思考】二次函数 y 1 x2 , y x2 , y 2x2
y 9 6 3
-4 -2 o 2 4 x
探究新知
当取更多个点时，函数y=x2的图象如下：
解②得:m1=－2, m2=1
（1） 你们喜欢打篮球吗？
y
利用函数y=ax2的图像性质确定字母的值
顶点（ 0 ，0 ）;
9
连线：如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到y = x2 的图象．
在已对知称 ：轴如的图左，侧直线, yy随＝x3的x增＋大4与而抛物线y＝, x2交于A、B两点，求出A6、B两点的坐标，并对求称出两轴交与点与抛原物点所线围的成的交三角形的面积．
（3）根据图象，求出当S=1cm2时，正方形的周长；
（4）根据图象，求出C取何值时，S ≥4cm2.
探究新知
解：（1）∵正方形的周长为Ccm，
∴正方形的边长为 C cm，
4
∴S与C之间的关系式为S
=
C2
；
16
人教版九年级数学上册22.1.2《二次函数y=ax2的图象和性质》教学设计
人教版九年级数学上册22.1.2《二次函数y=ax2的图象和性质》教学设计一. 教材分析人教版九年级数学上册22.1.2《二次函数y=ax2的图象和性质》这一节主要介绍了二次函数y=ax2的图象和性质。
内容包括：二次函数的图象是抛物线，讨论了抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标等，并学习了如何通过a的值来判断抛物线的性质。
这部分内容是整个初中数学的重要知识点，对于学生来说，理解和掌握二次函数的图象和性质对于后续学习其他数学知识有着重要的基础作用。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了函数的基本概念和一次函数、二次函数的定义，对于函数有一定的认识和理解。
但在学习这一节内容时，学生可能对于抛物线的性质和开口方向的判断还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、操作、思考、探究等活动，加深对二次函数图象和性质的理解。
三. 教学目标1.理解二次函数y=ax^2的图象和性质，能够判断抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。
2.培养学生观察、操作、思考、探究的能力，提高学生解决问题的能力。
3.培养学生的合作意识和团队精神，提高学生的沟通表达能力。
四. 教学重难点1.二次函数y=ax^2的图象和性质的理解和掌握。
2.抛物线开口方向、对称轴和顶点坐标的判断。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生通过观察、操作、思考、探究等活动，自主发现和总结二次函数的图象和性质。
2.采用小组合作学习法，让学生在小组内进行讨论、交流、分享，提高学生的合作意识和团队精神。
3.采用案例分析法，通过具体的例子，让学生理解和掌握二次函数的图象和性质。
六. 教学准备1.PPT课件2.教学工具（黑板、粉笔等）七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引出二次函数y=ax^2的概念，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）利用PPT课件，展示二次函数y=ax^2的图象和性质，让学生直观地感受和理解。
3.操练（10分钟）让学生通过观察、操作、思考、探究等活动，自主发现和总结二次函数的图象和性质。
人教版九年级数学上册《二次函数y=ax2的图像和性质》教案
《二次函数y =ax 2的图像和性质》教案教学目标1、经历描点法画函数图像的过程；2、学会观察、归纳、概括函数图像的特征；3、掌握2ax y =型二次函数图象的特征； 4、经历从特殊到一般的认识过程，学会合情推理.教学重点2ax y =型二次函数图象的描绘和图象特征的归纳教学难点选择适当的自变量的值和相应的函数值来画函数图象，该过程较为复杂.教学过程回顾知识前面我们在学习正比例函数、一次函数和反比例函数时时如何进一步研究这些函数的 先(用描点法画出函数的图象，再结合图象研究性质.)引入：我们仿照前面研究函数的方法来研究二次函数，先从最特殊的形式即2ax y =入手.因此本节课要讨论二次函数2ax y =(0≠a )的图象.板书课题：二次函数2ax y =(0≠a )图象 探索图象用描点法画出二次函数 2x y =和2x y -=图象 1、列表①无论x 取何值，对于2x y =来说，y 的值有什么特征对于2x y -=来说，又有什么特征②当x 取 1,21±±等互为相反数时，对应的y 的值有什么特征 2、描点(边描点，边总结点的位置特征，与上表中观察的结果联系起来).3、连线，用平滑曲线按照x 由小到大的顺序连接起来，从而分别得到2x y =和2x y -=的图象.练习：在同一直角坐标系中画出二次函数22x y = 和22x y -=的图象. 学生画图象，教师巡视并辅导学困生.(利用实物投影仪进行讲评) 二次函数2ax y =(0≠a )的图象 由上面的四个函数图象概括出：①二次函数的2ax y =图象形如物体抛射时所经过的路线，我们把它叫做抛物线， ②这条抛物线关于y 轴对称，y 轴就是抛物线的对称轴.③对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.注意：顶点不是与y 轴的交点.④当a >0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点，图象在x 轴的上方(除顶点外)；当a <0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线上的最高点图象在x 轴的 下方(除顶点外).(最好是用几何画板演示，让学生加深理解与记忆) 课堂练习观察二次函数2x y =和2x y -=的图象 (1)填空：(2)在同一坐标系内，抛物线x y =和抛物线x y -=的位置有什么关系如果在同一个坐标系内画二次函数2ax y =和2ax y -=的图象怎样画更简便(抛物线2x y =与抛物线2x y -=关于x 轴对称，只要画出2ax y =与2ax y -=中的一条抛物线，另一条可利用关于x 轴对称来画)例题讲解例题：已知二次函数2ax y =(0≠a )的图象经过点(-2，-3). ①求a 的值，并写出这个二次函数的解析式.②说出这个二次函数图象的顶点坐标、对称轴、开口方向和图象的位置. 练习：已知抛物线y=ax2经过点A(-2，-8).(1)求此抛物线的函数解析式；(2)判断点B(-1，-4)是否在此抛物线上.(3)求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标.小结1.二次函数y=ax2(a≠0)的图象是一条抛物线；2.图象关于y轴对称，顶点是坐标原点；3.当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点；当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点.。
人教版九年级数学上册《二次函数顶点式的图像和性质》PPT
y ax2、
y ax2 k、 y a(x h)2
研究了它们的图象和性质
说出下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点
抛物线 y 1 x2
2 y 1 x2 1
2 y 1 (x 2)2
2
开口方向 对称轴 顶点
向下 y轴 0, 0
向下 y轴 0, 1
A．y x 2 2 B．y x 2 2 6
C．y x2 6 D．y x2
5、已知点A 2, y1 、B 3, y2 在抛物线y x 12 1上，
则 y1
y2 (填“ ”、“ ”、“ ”)
若点A 3, y1 、B 2, y2 在抛物线y x 12 1上，
1抛物线y a(x h)2 k与y ax2
形状 相同， 位置 不同，
2抛物线y ax2经过 向上（或向下），
向左（或向右），平移，可以得到
抛物线y a(x h)2 k. 平移的方向、距离由h、k决定
1.抛物线y 5( x 2)2 6的开口方向、对称轴、 顶点，下列选项正确的是（ ）
向下直线x 2 2, 0
y 1 (x 2)2 1 向下直线x 2 2, 1 2
不画图象，类比说出抛物线的开口方向、对称轴、顶点
抛物线
开口方向 对称轴
顶点
y 1 (x 2)2 2
1
向下直线x 2
2, 1
y
1 ( x 2)2 2
1
向上直线x 2 2,1
2
抛物线
开口方向 对称轴 顶点
平移方法1:
y 1 x2 向下平移 y 1 x2 1 向右平移y 1 (x 2)2 1
2 1个单位
2
2个单位 2
人教版九年级数学上册课件 第二十二章 二次函数 第1课时 二次函数y=ax2+k的图象和性质 (2)
于点 C，则点 C(0，1)，在 Rt△AOC 中，OA＝OC＝1，∴∠CAO＝45°，在
Rt△AOM 中，OA＝OM＝1，∴∠MAO＝45°，∴∠BAM＝90°，∴△ABM
是直角三角形
15．廊桥是我国古老的文化遗产，如图所示的是一座抛物线形廊桥的
示意图．已知抛物线对应的函数关系式为 y＝－410 x2＋10，为保护廊桥的
16．如图，抛物线y＝－x2＋4交x轴于A，B两点，顶点是点C. (1)求△ABC的面积． (2)在抛物线y＝－x2＋4上是否存在点Q，使∠AQB＝90°.若存在，请求出 点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)S△ABC＝12 ×4×4＝8 (2)存在．设 Q(m，－m2＋4)，连接 OQ，易知 OQ＝12 AB＝2，∴m2 ＋(4－m2)2＝4，解得 m＝±2，m＝± 3 .但 m＝±2 时，点 Q 在 x 轴上，不 合题意，∴点 Q 坐标为( 3 ，1)或(－ 3 ，1)
A．a＋c B．a－c
C．－c D．c
11．若抛物线 y＝ax2＋c 与抛物线 y＝－4x2＋3 关于 x 轴对称，则 a＝ _4___，c＝_－__3_．
12．如图，两条抛物线 y1＝－12 x2，y2＝－12 x2－2 与分别经过点(－2， 0)，(2，0)且平行于 y 轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为__8__．
___(_0_，__k_) __；当x＞0时，y随x的增大而__减__小___；当x＜0＝－12 x2－3 的顶点是_(_0_，__－__3_)，对称轴是___y_轴____．
1．抛物线y＝－x2＋1的图象大致是( D )
2．对于二次函数y＝2x2＋3，下列说法错误的是( D ) A．最小值是3 B．图象关于y轴对称 C．图象的形状与抛物线y＝2x2相同 D．当x＜0时，y随x的增大而增大
人教版初中数学九年级上册 二次函数y=ax2的图象和性质 课件PPT
列表：, 的几组对应值如下：
在 = 中
自变量可以
是任意实数
…
−
−
−
0
1
2
3
…
=
…
9
4
1
0
1
4
9
…
4
知识讲解
描点：根据表中, 的数值在坐标平面中描点 , ；
连线：用平滑曲线顺次连结各点，就得到 = 的图象，如图所示、
函数图象画法
9
列表
6
描点
−
连线
6
象的开口大小，与a的绝对值大小有什么关系？
4
=
2
当 > 时，的绝对值越大，开口越小、
－4
－2
2
4
知识讲解
问题
请画出函数 = −的图象，观察图象函数 = −有哪些性质？
解：列表如下：
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
= −
…
−
−
−
0
−
−
−
…
y
在对称轴 轴的左侧，抛物线从左往右上升；
(, )
8
(, )
知识讲解
解:∵点B的坐标为（, ），
∴当＝时，＝ × ＝、
∴点C的坐标为（, ）， = 、
∵抛物线和长方形都是轴对称图形，且y轴为它们的对称轴，
∴＝，
∴在长方形内，左边阴影部分面积等于右边空白部分面积，
∴S阴影部分面积之和＝ × ＝、
-4
-2
O
在对称轴 轴的右侧，抛物线从左往右下降、
人教版九年级初中数学上册第二十二章二次函数-二次函数y=ax2+k的图象和性质PPT课件
y
y
把抛物线y=2x2向上平移
一个单位就得到抛物线
y=2x2+1
9
9
6
6
把抛物线y=2x2向下平移
一个单位就得到抛物线
y=2x2-1
3
y = 2x 2
-3
O
y = 2x 2
3
x
3
-3
O
y = 2x 2 -1
3
x
新知探究
抛物线y = 2x2+1与y = 2x2 -1之间有什么关系呢？
抛物线y = 2x2+1向下平移2个单位得到抛物线y = 2x2 -1
1 2
−
2
+ 1和 =
1 2
−
2
− 1的图象？
思考：
抛物线y =
1 2
− x
2
与抛物线y=
+ 1,y =
1 2
− x
2
1 2
− x
2
−1
有什么关系？
课堂思考
二次函数"y=ax2+c"的性质
抛物线y = ax2+k
a>0
a<0
k>0
图象
k<0
开口方向
向上
向下
对称轴
y轴（直线x=0）
y轴（直线x=0）
当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点.
（3）|a|越大，抛物线的开口越小.
你能通过这种方法画出二次函数y=ax2+c的图象吗？
描点法
新知探究
二次函数y=ax2+c 的图象
通过描点法画出 = 2 + 1和 = 2 − 1的图象？
人教版九年级数学上册《二次函数y=ax2+k的图象和性质》公开课PPT
(6).二次函数y=ax2+c (a≠0)的图象经过点A（1，-1），
B（0，-3），则函数y=ax2+c的表达式为 y=2x2-3 。
若点C(-2,m),在函数的图象上，则点C的坐标
为
(-2,5)
.
y=ax2+k (a≠0) 开口方向 顶点坐标 对称轴 增 减 性 极值
a>0 向上
a<0 向下
(0 ,k) y轴
图象的位置有什么关系?
4
y=x2
函数y= y=x2-2的
2
图象与y=x2的图
象的形状相同吗?
O
5
x 10
y=x2-2
-2
函数y=-x2+3的图 象可由y=-x2的图 象沿y轴向上平移 3个单位长度得到.
-10
4
y y=-x2+3
2
-5
O
5
x
10
函数y=-x2-2的图
-2 y=-x2
象可由y=-x2的图
向 下 平移 |c|个单位得到。 上加下减
(1)函数y=2x2+5的图象可由y=2x2的图象 向上 平移5 个单位得到；y=2x2-11的图象 可由 y=2x2的图象向下 平移11个单位得到。
(2)将函数y=-5x2+4的图象向 下 平移 4 个单位可得 y=-5x2的图象；将y=4x2-7的图象向上平移 7 个 单位得到可由 y=4x2的图象。将y=x2-7的图象
-4
象沿y轴向下平移
2个单位长度得到.
-6
图象向上移还是向下移,移多少个-8
y=-x2-2
单位长度,有什么规律吗?
函数y=ax2 (a≠0)和函数y=ax2+c (a≠0)的图象形 状相同 ，只是位置不同；当c>0时，函数y=ax2+c 的图象可由y=ax2的图象向 上 平移 c 个单位得到，
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22.1.二次函数y=ax2+k 图像和性质
教学目标：
1、使学生能利用描点法正确作出函数y＝ax2＋b的图象。
2、让学生经历二次函数y＝ax2＋bx＋c性质探究的过程，理解二次函数y＝ax2＋b的性质及它与函数y＝ax2的关系。
教学重难点：
会用描点法画出二次函数y＝ax2＋b的图象，理解二次函数y＝ax2＋b的性质，理解函数y ＝ax2＋b与函数y＝ax2的相互关系是教学重点。
正确理解二次函数y＝ax2＋b的性质，理解抛物线y＝ax2＋b与抛物线y＝ax2的关系是教学的难点。
教学过程：
一、提出问题
1．二次函数y＝2x2的图象是____，它的开口向_____，顶点坐标是_____；对称轴是______，在对称轴的左侧，y随x的增大而______，在对称轴的右侧，y随x的增大而______，函数y＝ax2与x＝______时，取最______值，其最______值是______。
2．二次函数y＝2x2＋1的图象与二次函数y＝2x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相同?
二、分析问题，解决问题
问题1：对于前面提出的第2个问题，你将采取什么方法加以研究?
问题2，你能在同一直角坐标系中，画出函数y＝2x2与y＝2x2＋1的图象吗?
问题3：当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系?反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系? 学生归纳得到，当自变量x取同一数值时，函数y＝2x2＋1的函数值都比函数y＝2x2的函数值大1。
教师引导学生观察函数y＝2x2＋1和y＝2x2的图象，先研究点位置关系，让学生归纳得到：反映在图象上，函数y＝2x2＋1的图象上的点都是由函数y＝2x2的图象上的相应点向上移动了一个单位。
问题4：函数y＝2x2＋1和y＝2x2的图象有什么联系?
由问题3的探索，可以得到结论：函数y＝2x2＋1的图象可以看成是将函数y＝2x2的图象向上平移一个单位得到的。
问题5：让学生观察两个函数图象，说出函数y＝2x2＋1与y＝2x2的图象开口方向、对称轴相同，但顶点坐标不同，函数y＝2x2的图象的顶点坐标是(0，0)，而函数y＝2x2＋1的图象的顶点坐标是(0，1)。