高中数学数列的基本概念
高中数列知识点归纳总结
高中数列知识点归纳总结在高中数学学习中，数列是一个重要的知识点。
数列是按照一定规律排列的一组数，常常出现在各种数学问题中。
本文将对高中数列知识点进行归纳总结。
一、数列的概念和表示方法数列是按照一定规律排列的一组数，可以用一般的表示方法或者递推公式表示。
一般形式为{a1, a2, a3, ...}或者{an}，其中a1, a2, a3, ...为数列的项。
二、等差数列等差数列是指数列中相邻两项之差都相等的数列。
公差是指相邻两项的差值。
常用表示形式为{a, a+d, a+2d, ...}或者{an}，其中a为首项，d为公差。
等差数列有以下重要性质：1. 第n项公式：an = a + (n-1)d2. 前n项和公式：Sn = (2a + (n-1)d)n/23. 若数列的首项、末项和项数之一确定，则数列可以唯一确定。
三、等比数列等比数列是指数列中相邻两项之比都相等的数列。
公比是指相邻两项的比值。
常用表示形式为{a, ar, ar^2, ...}或者{an}，其中a为首项，r为公比。
等比数列有以下重要性质：1. 第n项公式：an = ar^(n-1)2. 前n项和公式（当r≠1）：Sn = a(1-r^n)/(1-r)3. 若数列的首项、末项和项数之一确定，则数列可以唯一确定。
四、斐波那契数列斐波那契数列是指数列中每一项都是前两项之和的数列。
常用表示形式为{0, 1, 1, 2, 3, 5, ...}或者{Fn}，其中F0 = 0, F1 = 1，Fn = F(n-1) + F(n-2)（n≥2）。
斐波那契数列是一种特殊的等差数列，具有很多有趣的性质，例如黄金分割比。
五、数列的递推关系和通项公式数列的递推关系是指数列中的每一项与前一项之间的关系。
通项公式是指数列中第n项与n的关系。
对于等差数列和等比数列，一般可以根据递推关系或者通项公式进行求解。
六、数列的求和问题求和问题是数列的一个常见应用，求和公式是指前n项和与n的关系。
高中数学数列知识点总结(精华版)
一、数列1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项.⑴数列中的数是按一定“次序”排列的，在这里，只强调有“次序”，而不强调有“规律”．因此，如果组成两个数列的数相同而次序不同，那么它们就是不同的数列．⑵在数列中同一个数可以重复出现．⑶项 a n与项数 n 是两个根本不同的概念．⑷数列可以看作一个定义域为正整数集( 或它的有限子集)的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，但函数不一定是数列2. 通项公式：如果数列 a n的第 n 项与序号之间可以用一个式子表示, 那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即a n f (n) .3. 递推公式：如果已知数列a n的第一项（或前几项），且任何一项a n与它的前一项a n 1（或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即 a n f (a n 1 ) 或 a n f (a n 1 , a n 2 ) ，那么这个式子叫做数列a n的递推公式 . 如数列a n中， a1 1, a n2a n 1 ，其中a n2a n 1 是数列 a n的递推公式 .4.数列的前 n项和与通项的公式① S n a1 a2a n；② a nS1 (n1)S n .S n 1 ( n 2)5. 数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法.6.数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列 .①递增数列 : 对于任何n N , 均有 a n 1②递减数列 : 对于任何n N , 均有 a n 1③摆动数列 : 例如 :1,1,1,1,1, .④常数数列 : 例如 :6,6,6,6, ,,.⑤有界数列 : 存在正数M 使 a n M , n a n .a n . N.⑥无界数列 : 对于任何正数M , 总有项 a n使得 a n M .1、已知 a n n (n N *) ，则在数列 { a n } 的最大项为 __（答： 1 ）；n2156an 252、数列 { a n } 的通项为a n，其中 a,b 均为正数，则 a n与 a n 1的大小关系为 ___（答：bn 1a n a n 1）；3、已知数列 { a n }中，a n n2n ，且 { a n } 是递增数列，求实数的取值范围（答：3 ）；4、一给定函数y f (x) 的图象在下列图中，并且对任意a1(0,1) ，由关系式 a n 1 f (a n )得到的数列{ a n }满足 a n 1 a n(n N *)，则该函数的图象是（）（答： A ）二、等差数列1、等差数列的定义：如果数列an 从第二项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫等差数列的公差。
高中数学-数列
数列的概念及简单表示法一、数列的概念1.数列定义：按照一定次序排列起来的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项2.数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集N＋(或它的有限子集)为定义域的函数a n＝f(n).当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值3.数列有三种表示法：是列表法、图象法和通项公式法二、数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列a n＋1＞a n其中n∈N＋递减数列a n＋1＜a n常数列a n＋1＝a n按其他标准分类有界数列存在正数M，使|a n|≤M摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列三、数列的两种常用的表示方法1.通项公式：如果数列{a n}的第n 项a n 与n 之间的关系可以用一个函数式a n＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式2.递推公式：如果已知数列{a n}的第1 项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项a n 与它的前一项a n－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式四、通项公式的求法：1.观察法：仔细观察数列的项和项数之间的关系，可分离出随项数变化的部分和不变的部分，从而找到规律.如数列2 , -1,10 , -17 , 26 , -37 ，，先将数列变为 2 , -5 , 10 , -17 , 26 , -37 ，，显然3 7 9 11 13 3 5 7 9 11 13S ⎪ ⎪ ⎨ - S 分母为2n +1，分子为n 2 +1，奇数项正偶数项负，乘以(-1)n +1即可.故n +1n 2 +1 a n = (-1)2n +1 .又如数列 7，77，777， ，可写成 7 ⨯ 9, 7 ⨯ 99, 7⨯999, 999，而 9，99，999，依次又可写成10 -1,102-1,103-1， ，因此，这个数列的通项公式为a = 7 (10n -1)2. 公式法：（1） 已知数列{a n }的前 n 项和S n ，则 a n= ⎧⎪S 1⎪⎩ nn -1 n9(n = 1) (n ≥ 2) （2） 对于等差数列和等比数列，把已知条件代入其通项公式、前 n 项和公式列出方程（组）求解3.累加法：形如a n +1 = a n + f (n )，当 f (1) + f (2) + + f (n ) 的值可求时用此法 ⎧an - a n -1 = f (n -1) ⎪a - a = f (n - 2) ⎪ n -1⎨n -2 ⇒ a n = f (n -1) + f (n - 2) +... f (2) + f (1) + a 1, (n ≥ 2) ⎪... ⎪⎩a 2 - a 1 = f (1)（1） 若 f (n ) 是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和（2） 若 f (n ) 是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和（3） 若 f (n ) 是关于n 的二次函数，累加后可分组求和（4） 若 f (n ) 是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和4. 累乘法：形如a = f (n )a ⎛或 a n +1 = f (n ) ⎫，当 f (1) f (2)f (n ) 可求时，用此法.⎧ a n⎪ a= f (n -1) n +1n⎪⎝a n⎭⎪ n -1 ⎪ a n -1⎪ a f (n - 2) ⎨ n -2 ⎪... ⎪ a 2 = af (1) ⎩ 1 将上述n -1个式子两边分别相乘，可得： a n = f (n -1) ⋅ f (n - 2) ⋅...⋅ f (2) f (1)a 1, (n ≥ 2)=⎩5. 构造法：当已知非常数数列的首项（或前几项）及递推公式时用此法 （1）对于一阶递推公式： a n +1 = pa n + q ， ( p 为常数，p ≠ 1) 给出的数列，两边各加q 得， a+ q = p (a +q ) ，这样就构造出一个等比数列⎧a +q ⎫ ，其公比 p -1 n +1 p -1 n p -1 ⎨ n p -1⎬⎩ ⎭为 p ，首项是a +q ，∴ a + q= (a + q ) p n -1 ，即a = (a + q ) p n -1 - q 1p -1 n p -1 1 p -1 n 1p -1 p -1（2）对于二阶递推公式： a n +1 = pa n + qa n -1 （p , q 为常数） 给出的数列，设 a + xa =y (a + xa ) (*)，显然⎧ y - x = p.把方程组的解代入(*)便可构成一个等 n +1 n n n -1 ⎨xy = q比数列，继而可以求出通项公式（3）以 a = ma n 给出的数列（p , q , m 均为非零整数），当m = q 时，可以构造一个 n +1pa n + q等差数列；当m ≠ q 时，可以构造一个一阶递推公式6. 周期数列举例：通过计算前有限项发现周期，继而求出某些项或 S n1n n 等 差 数 列 及 其 前 n 项 和一、等差数列的概念1. 定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示 2. 数学语言表达式： a n +1 - a n = d ( n ∈N ＋，d 为常数)，或a n - a n -1 = d ( n ≥2，d 为常数)3. 等差中项：如果三个数x ，A ，y 组成等差数列，那么 A 叫做 x 和 y 的等差中项，且有 A =x + y 2二、等差数列的通项公式与前n 项和公式1. 若等差数列{a n }的首项是a ，公差是d ，则其通项公式为a = a + (n -1)d = dn + a - d (n ∈ N *)n11通项公式的推广： a = a + (n - m )d ( m ， n ∈N) ⇒ d =a n - a mnm＋n - m2. 等差数列的前n 项和公式S= na + n (n -1) d = n (a 1 + a n ) = d n 2 + (a - 1 d )n n 12 22 1 2 (其中n ∈N ＋， a 1 为首项，d 为公差， a n 为第n 项)数列{a }是等差数列⇔ S = An 2+ Bn(A , B 为常数)三、等差数列的性质1. 非零常数列既是等差数列又是等比数列2. 数列{ a n }为等差数列⇔ a n = pn + q （p,q 是常数）3. 数列{λa n + b }（ λ, b 为常数）仍为等差数列4. 若m + n = p + q (m , n , p , q ∈ N + )，则a m + a n = a p + a q5. 等差数列{a n }中，若项数成等差数列，则对应的项也成等差数列6. 等差数列{a n }中，隔相同的项抽出一项所得到的数列仍为等差数列p +nq 2k 2k n n 7. 若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d8. 若{a n }、{b n }是等差数列，则{ka n } 、{ka n + pb n }{a }( p , q ∈ N *)…也成等差数列 9.单调性：{a n }的公差为d ，则： （1） d > 0 ⇔ {a n }为递增数列 （2） d < 0 ⇔ {a n }为递减数列 （3） d = 0 ⇔ {a n }为常数列( k 、 p 是非零常数)、10. 若等差数列{a n }的前n 项和S n ，则S k 、S 2k - S k 、S 3k - S … 是等差数列 11. 等差数列{a n }的单调性：当d ＞0 时， {a n }是递增数列；当d ＜0 时， {a n }是递减数列；当d ＝0 时， {a n }是常数列12. 若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k 、a k + m 、a k +2m …(k ，m ∈N ＋)是公差为md的等差数列13. 若数列{a}是等差数列，前n 项和为S ，则⎧S n ⎫也是等差数列，其首项和{a}的首 nn⎨ n ⎬ n项相同，公差是{a n⎩ ⎭}公差的 1214. 若三个数成等差数列，则通常可设这三个数分别为 x - d , x , x + d ；若四个数成等差数列，则通常可设这四个数分别为 x - 3d , x - d , x + d , x + 3d 四、等差数列前n 项的性质1. 若等差数列{a n }的前n 项和S n ，则S k 、S 2k - S k 、S 3k- S … 是等差数列2. 若数列{a } {b } 都是等差数列，其前 n 项和分别为S T ，则a n= 2n -1n,nn ,nbTn 2n -13. 若数列{a }的前n 项和S = An 2+ Bn +C (A , B 为常数,C ≠ 0) ，则数列{a n }从第二项起是等差数列sn⎨ 2n偶奇 中 偶 奇 偶偶4. 若数列{a n }是等差数列的充要条件是前n 项和公式S n = f (n ) ，是n 的二次函数或一次函数且不含常数项，即 S = An 2 + Bn (A , B 为常数,A 2 +B 2 ≠ 0)5. 等差数列{a n }中，若a < 0,d > 0 （ a ≤ 0 的n 的最大值为k ）则S 有最小值S ，前n 项绝对值的和T n 1 = ⎧⎪-s n nn ≤ k；若a > 0,d< 0，（ n a n ≥ k0 的n 的最大 ⎪⎩s n - 2s k n ≥ k + 1值为k ）则S 有最大值S ，前n 项绝对值的和T = ⎧⎪s nn ≤ kn k n⎨ ⎪⎩2s k - s n n ≥ k + 16. 等差数列{a n }中，若项数为奇数2n - 1，则中间项为a ， S =(2n-1)a ，S - S = n - 1 d s n + a ， 奇 = 奇 偶 2 1S n - 1 若n 为偶数，则S = nd2若n 为奇数，则S - S =a (中间项)7. 等差数列{a n }中，若项数n 为奇数，设奇数项的和和偶数项的和分别为S 、S ，则sn + 1 s a n奇=；若项数n 为偶数， 奇= 2S n - 1S a n + 12五、等差数列的前 n 项和的最值等差数列{a n }中1. 若a 1＞0，d ＜0，则S n 存在最大值2. 若a 1＜0，d ＞0，则S n 存在最小值六、等差数列的四种判断方法1. 定义法：a n ＋1－a n ＝d (d 是常数)⇔{a n }是等差数列2. 等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2 (n ∈N *)⇔{a n }是等差数列3. 通项公式：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)⇔{a n }是等差数列4. 前 n 项和公式：S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)⇔{a n }是等差数列1- S 偶 偶 奇mb n 等 比 数 列 及 其 前 n 项 和一、等比数列的概念1. 定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用q ( q ≠0)表示 2.数学语言表达式： a n= q ( n≥2， q 为非零常数)，或 an +1 = q ( n ∈N ， q 为非零常数)＋a n -1 a n3. 等比中项：如果三个数x ，G ，y 组成等比数列，那么G 叫做 x 与 y 的等比中项，其中G = ±二、等比数列的通项公式及前n 项和公式1. 若等比数列{a }的首项为a ，公比是q ，则其通项公式为a = a q n -1n通项公式的推广： a n 1= a q n - mn 1a (1- q n )a - a q 2. 等比数列的前n 项和公式：当q ＝1 时， S n = na 1 ;当q ≠1 时， S n =11- q= 1 n1- q三、等比数列的性质 1. q = 1 ⇒{a n }为常数列2. q < 0 ⇒{a n } 为摆动数列3. 若正项数列{a n }为等比数列，则数列{log a a n }为等差数列4. 若{a }是等比数列，则{λa }（λ 为不等于零的常数），{a 2}⎧ 1 ⎫ {a r }(r ∈ Z ) 是等n n n⎨ a ⎬ n ⎩ n ⎭比数列，公比依次是q ，q 2 1 q r ，若数列{a } ，{b }都是等比数列且项数相同，则⎧ a n ⎫是等比数列， ， n nq ⎨ ⎬ ⎩n ⎭ 5. 若数列{a }为等差数列，则数列{ba n}为等比数列6. 若 m + n = p + q (m , n , p , q ∈ N + ) ，则 a⋅ a = a ⋅ a ，当 p = q 时， a ⋅ a = a 2 即a p 是a m 和a n 的等比中项mnpqm n p7. 相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a k 、a k + m 、a k +2m …仍是等比数列，公比为xy1 1 1 1 2n ⎩ n ⎩ q m （即若项数成等差数列，则对应的项也等比数列）8. 任意两数a , b 都存在等差中项为a + b，但不一定都存在等比中项，当且仅当a , b 同号时 2才存在等比中项为9. 任意常数列都是等差数列，但不一定都是等比数列，当且仅当非零的常数列即是等差数列又是等比数列10. 等比数列{a n }的单调性：（1） 当q ＞1， a ＞0 或 0＜ q ＜1， a ＜0 时，数列{a n }是递增数列 （2） 当q ＞1， a ＜0 或 0＜ q ＜1， a ＞0 时，数列{a n }是递减数列 （3） 当q ＝1 时，数列{a n }是常数列11. 当q ≠－1，或q ＝－1 且 n 为奇数时，S n 、S 2n - S n 、S 3n - S 仍成等比数列，其公比为q n12. 等比差数列{a n }: a n +1 = qa n + d , a 1 = b (q ≠ 0) 的通项公式为⎧b + (n -1)d q = 1⎪ a n = ⎨bq n+ (d - b )q n -1 - d ；⎪q -1 q ≠ 1 ⎧nb + n (n -1)d(q = 1)其前 n 项和公式为 s n ⎪ ⎨(b - d ) 1- q + d n(q ≠ 1)⎪1- q q -1 1- q（四）判断给定的数列{a n }是等比数列的方法（1）定义法： an +1 = q （不为 0 的常数）⇔数列{a a n}为等比数列（2）中项法： a ⋅ a= a2⇔数列{a }为等比数列mn +2n +1n（3）前n 项和法：数列{a n }的前n 项和S n = A - Aq n （A 是常数， A ≠ 0, q ≠ 0, q ≠ 1 ）⇔数列{a n }为等比数列= nS 1 1 ⎨ - S 数 列 求 和一、公式法1. 等差数列的前n 项和公式： S n2. 等比数列的前n 项和公式 （1） 当q ＝1 时， S n = na 1= na 1+n (n -1) d = n (a 1 + a n)2 2a (1- q n )a - a q（2） 当q ≠1 时， S n = 11- q = 1 n1- q3. 已知数列{a n }的前 n 项和S n ，则 a n= ⎧⎪S 1⎪⎩ nn -1 (n = 1) (n ≥ 2) 4. 差比数列求和：通项为a n b n 型，其中{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，称为差比数列.求和方法为（设 d ， q 分别是{a n }，{b n }的公差、公比）：令S n = a 1b 1 + a 2b 2 + + a n b n …①，两边同乘以q 得qS n = a 1b 1q + a 2b 2q + + a n b n q ， ∴qS n = a 1b 2 + a 2b 3 + + a n b n +1 …②，①-②得 (1- q )S n = a 1b 1 + (a 2 - a 1)b 2 + + (a n - a n -1)b n - a n b n +1 = a 1b 1 + d b 2 + d b 3 + + d b n -1 + d b n - a n b n +1 = a 1b 1 + d (b 2 + b 3 + + b n -1 + b n ) - a n b n +1= a 1b 1 + d ⨯b (1- qn) 1- q-a nb n +1，∴当q ≠ 1时， Sn = a 1b 1 - a n b n +1 + d ⨯ 1- q b (1- q n) (1- q )2二、观察法：仔细观察数列的项和项数之间的关系，可分离出随项数变化的部分和不变的部分，从而找到规律.1.数列 2 , -1,10 , - 17 , 26 , - 37 ， ，先将数列变为 2 , - 5 , 10 , - 17 , 26 , - 37， ，分母379 111335 79 11 13n +1n 2 +1 为2n +1，分子为n 2 +1，奇数项正偶数项负，乘以(-1)n +1即可.故a = (-1)2n +1 .2.又如数列 7，77，777， ，可写成 7 ⨯ 9, 7 ⨯ 99, 7 ⨯999,9 9 9，而 9，99，999，依次又可写成10 -1,102-1,103 -1， ，因此，这个数列的通项公式为a = 7 (10n -1)n9n⎪ ⎪ 3. 周期数列举例：通过计算前有限项发现周期，继而求出某些项或 S n三、累加法：形如a n +1 = a n + f (n )，当 f (1) + f (2) + + f (n ) 的值可求时用此法⎧an - a n -1 = f (n -1) ⎪a - a = f (n - 2) ⎪ n -1⎨n -2 ⇒ a n = f (n -1) + f (n - 2) +... f (2) + f (1) + a 1, (n ≥ 2) ⎪... ⎪⎩a 2 - a 1 = f (1)（1） 若 f (n ) 是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和（2） 若 f (n ) 是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和（3） 若 f (n ) 是关于n 的二次函数，累加后可分组求和（4） 若 f (n ) 是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和四、累乘法：形如a= f (n )a ⎛或 a n +1 = f (n ) ⎫，当 f (1) f (2)f (n ) 可求时用此法.⎧ a n⎪ a= f (n -1) n +1n⎪⎝a n⎭⎪ n -1 ⎪ a n -1⎪ a f (n - 2) ⎨ n -2 ⎪... ⎪ a 2 = af (1) ⎩ 1 将上述n -1个式子两边分别相乘，可得： a n = f (n -1) ⋅ f (n - 2) ⋅...⋅ f (2) f (1)a 1, (n ≥ 2)五、构造法：当已知非常数数列的首项（或前几项）及递推公式时用此法1. 对于一阶递推公式： a n +1 = pa n + q ， ( p 为常数，p ≠ 1) 给出的数列，两边各加qp -1得， a +q = p (a +q) ，这样就构造出一个等比数列⎧a + q ⎫ ，其公比为 n +1p -1 np -1 ⎨ n p -1⎬⎩ ⎭p ，首项是a +q ，∴ a + q= (a + q ) p n -1 ，即a = (a + q ) p n -1 - q 1p -1 n p -1 1 p -1 n 1p -1 p -12. 对于二阶递推公式： a n +1 = pa n + qa n -1 （p , q 为常数） 给出的数列， =⎩设 a + xa =y (a + xa ) (*)，显然⎧y - x = p.把方程组的解代入(*)便可构成一个等n +1n n n -1⎨xy = q比数列，继而可以求出通项公式3. 以 a= ma n 给出的数列（ p , q , m 均为非零整数），当m = q 时，可以构造一个等n +1pa n + q差数列；当m ≠ q 时，可以构造一个一阶递推公式 4. 形如a n +1 = pa n + q （其中 p , q 均为常数且 p ≠ 0 ）型的递推式：（1） 若 p = 1时，数列{ a n }为等差数列 （2） 若q = 0 时，数列{ a n }为等比数列（3） 若 p ≠ 1 且q ≠ 0 时，数列{ a n }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.方法有如下两种：法一：设a n +1 + λ = p (a n + λ) ,展开移项整理得a n +1 = pa n + ( p -1)λ ,与题设a = pa + q 比较系数（待定系数法）得λ =q, ( p ≠ 0) ⇒ a + q = p (a + q)n +1np -1 n +1p -1n p -1⇒ a + q= p (a + q ) ,即⎧a + q ⎫构成以a + q为首项，以 p 为公比的等比 np -1 n -1 p -1 ⎨ n p -1⎬ 1 p -1⎩ ⎭数列.再利用等比数列的通项公式求出⎧a + q ⎫的通项整理可得a . ⎨ n p -1⎬ n法二：由a= pa ⎩ ⎭ + q 得a = pa + q (n ≥ 2) 两式相减并整理得a n +1 - a n= p , 即 n +1 n n n -1 a - an n -1{a n +1 - a n }构成以a 2 - a 1 为首项，以 p 为公比的等比数列.求出{a n +1 - a n }的通项再转化为累加法便可求出a n .5. 形如a n +1 = pa n + f (n ) ( p ≠ 1) 型的递推式： （1） 当 f (n ) 为一次函数类型（即等差数列）时：法一：设a n + An + B = p [a n -1 + A (n -1) + B ] ，通过待定系数法确定 A 、B 的值，转化成以a 1 + A + B 为首项，以 p 为公比的等比数列{a n + An + B } ，再利用等比数列的通项公式求出{a n + An + B } 的通项整理可得a n .法二：当 f (n ) 的公差为d 时，由递推式得： a n +1 = pa n + f (n ) ， a n = pa n -1 + f (n -1)两式相减得： a n +1 - a n = p (a n - a n -1 ) + d ，令b n = a n +1 - a n 得： b n = pb n -1 + d 转化为“4”求出 b n ，再用累加法便可求出a n .（2） 当 f (n ) 为指数函数类型（即等比数列）时：法一：设a n + λ f (n ) = p [a n -1 + λ f (n -1)]，通过待定系数法确定λ 的值，转化成以 a 1 + λ f (1) 为首项，以 p 为公比的等比数列{a n + λ f (n )} ，再利用等比数列的通项公式求出{a n + λ f (n )} 的通项整理可得a n .法二：当 f (n ) 的公比为q 时，由递推式得： a n +1 = pa n + f (n ) ——①，a n = pa n -1 + f (n -1) ，两边同时乘以q 得a n q = pqa n -1 + qf (n -1) ——②，由①②两式相减得a - a q = p (a - qa ) ，即 a n +1 - qa n= p ，在转化为类型Ⅴ㈠便可求出a . n +1 n n n -1 a - qa nn n -1法三：递推公式为an +1 = pa n + q n （其中p ，q 均为常数）或a = pa n + rq n （其中p ，q, r 均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以q n +1 ，得：a n +1 = p • a n + 1 ，引入辅助数列{b }（其中b = a n ），得： b = p b + 1 再应用类型 q n +1 q q n qn n q nn +1 q n q“4”的方法解决。
高中数学数列知识点总结(精华版)
..一、数列1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项.⑴数列中的数是按一定“次序”排列的，在这里，只强调有“次序”，而不强调有“规律”．因此，如果组成两个数列的数相同而次序不同，那么它们就是不同的数列．⑵在数列中同一个数可以重复出现．⑶项a n与项数n是两个根本不同的概念．⑷数列可以看作一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，但函数不一定是数列2.通项公式：如果数列a n的第n项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即af(n)n.3.递推公式：如果已知数列a n的第一项（或前几项），且任何一项a n与它的前一项a（或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即a n f(a n1)或a n f(a n1,a n2)，n1那么这个式子叫做数列a的递推公式.如数列an中，a11,a n2a n1，其中na n2a n1是数列a n的递推公式.4.数列的前n项和与通项的公式①Sn a1a2a；②nS(n1)1a n.SS(n2)nn15.数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法.6.数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列.①递增数列:对于任何nN,均有a n1a n.②递减数列:对于任何nN,均有a n1a n.③摆动数列:例如:1,1,1,1,1,.④常数数列:例如:6,6,6,6,⋯⋯.⑤有界数列:存在正数M使a n M,n N.⑥无界数列:对于任何正数M,总有项a使得a n M.n1、已知n*a2(nN)nn156，则在数列{}a的最大项为__（答：n125）；2、数列{}a的通项为nana n，其中a,b均为正数，则a n与a n1的大小关系为___（答：bn1aa n1）；n23、已知数列{a}中，a是递增数列，求实数的取值范围（答：3）；ann，且{}nnn4、一给定函数yf(x)的图象在下列图中，并且对任意a(0,1)，由关系式a n1f(a n)1*得到的数列{}a满足a n1a n(nN)，则该函数的图象是（）（答：A）neord完美格式..二、等差数列1、等差数列的定义：如果数列a n 从第二项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫等差数列的公差。
高中数学-数列详解
高中数学-数列详解本文以高中数学的“数列”为例，进行详细介绍和解释。
一、基本概念数列是由一系列数字按照一定规律排列而成的序列，通常用a1, a2, a3, … , an表示。
其中，a1表示数列的第一项，an 表示数列的第n项。
数列中的规律可以通过一些公式或者关系式来描述，这些公式或者关系式被称为数列的通项公式。
二、基本概念之等差数列等差数列是指数列中相邻两项之差等于一个常数d，这个常数d被称为等差数列的公差。
即，对于等差数列a1, a2, a3, … , an，有如下关系式：a2 - a1 = a3 - a2 = … = an - a(n-1) = d等差数列的通项公式可以表示为：an = a1 + (n-1)d其中，an表示数列的第n项，a1表示数列的第一项，d 表示数列的公差。
三、基本概念之等比数列等比数列是指数列中相邻两项之比等于一个常数q，这个常数q被称为等比数列的公比。
即，对于等比数列a1, a2, a3, … , an，有如下关系式：a2 / a1 = a3 / a2 = … = an / a(n-1) = q等比数列的通项公式可以表示为：an = a1q^(n-1)其中，an表示数列的第n项，a1表示数列的第一项，q 表示数列的公比。
四、例题解析1. 若数列9, 12, 15, …, an是一个等差数列，且其中第13项为30。
求an。
解：根据等差数列的通项公式，可以得到：an = a1 + (n-1)d由于第13项为30，所以可以得到：a1 + 12d = 30又因为数列9, 12, 15, …是等差数列，所以可以得到：a2 - a1 = a3 - a2 = … = a13 - a12 = d因此，可以得到：a2 = a1 + da3 = a2 + d = a1 + 2d…a13 = a12 + d = a1 + 11d将上式代入a1 + 12d = 30，解得a1= -15，d=3。
高中数学数列
高中数学数列知识点:1、等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为an+1-an=d。
等差数列的性质:(1)若公差d>0，则为递增等差数列;若公差d<0，则为递减等差数列;若公差d=0，则为常数列;(2)有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和;(3) m，n∈N*，则am=an+(m-n)d;(4)若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则as+at=ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t=2p时,有as+at=2ap;(5)若数列{an)，(bn)均是等差数列，则数列(man+kbn}仍为等差数列，其中m，k均为常数。
(6)从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项。
等差数列公式：等差数列的通项公式为:an=a1+(n-1)d或an=am+(n-m)d前n项和公式为: Sn=na1+[n(n-1)/2] d或sn=(a1+an)n/2若m+n=2p则: am+an=2ap以上n均为正整数即：第n项的值=首项+(项数-1)*公差前n项的和=(首项+末项)*项数/2 公差=后项-前项2、等比数列：等比数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数的一种数列，常用G、P表示。
这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)，等比数列a1≠ 0。
其中{an}中的每一项均不为0。
注：q=1 时，an为常数列。
等比数列求和公式(1)等比数列: a(n+1)/an=q(n∈N)。
(2)通项公式:an=a1xq^(n-1);推广式: anamxq^(n-m);(3)求和公式: Sn=n×a1(q=1)Sn=a1(1-g^n)/(1-q) =(a1-anch×q)/(1-q)(q≠1)（q为公比，n为项数）(4)性质:①若m、n、p、q∈N，且m+n=p+q，则am×an=ap×aq;②在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列③若m、n、q∈N，且m+n=2q，则am×an=aq^2(5)"G是a、b的等比中项""G^2=ab(G≠0)"(6)在等比数列中，首项a1与公比q都不为零注意:上述公式中an表示等比数列的第n项。
高中数学数列知识点总结(精华版)
一、数列 1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项. ⑴数列中的数是按一定“次序”排列的，在这里，只强调有“次序”，而不强调有“规律”．因此，如果组成两个数列的数相同而次序不同，那么它们就是不同的数列． ⑵在数列中同一个数可以重复出现． ⑶项a n 与项数n 是两个根本不同的概念．⑷数列可以看作一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，但函数不一定是数列2.通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即)(n f a n =.3.递推公式：如果已知数列{}n a 的第一项（或前几项），且任何一项n a 与它的前一项1-n a （或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即)(1-=n n a f a 或),(21--=n n n a a f a ，那么这个式子叫做数列{}n a 的递推公式. 如数列{}n a 中，12,11+==n n a a a ，其中12+=n n a a 是数列{}n a 的递推公式.4.数列的前n 项和与通项的公式①n n a a a S +++= 21； ②⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n nn . 5. 数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法.6. 数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列.①递增数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a >+1.②递减数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a <+1.③摆动数列:例如: .,1,1,1,1,1 ---④常数数列:例如:6,6,6,6,…….⑤有界数列:存在正数M 使+∈≤N n M a n ,.⑥无界数列:对于任何正数M ,总有项n a 使得M a n >.1、已知*2()156n n a n N n =∈+，则在数列{}n a 的最大项为__（答：125）； 2、数列}{n a 的通项为1+=bn an a n ，其中b a ,均为正数，则n a 与1+n a 的大小关系为___（答：n a <1+n a ）；3、已知数列{}n a 中，2n a n n λ=+，且{}n a 是递增数列，求实数λ的取值范围（答：3λ>-）；4、一给定函数)(x f y =的图象在下列图中，并且对任意)1,0(1∈a ，由关系式)(1n n a f a =+得到的数列}{n a 满足)(*1N n a a n n ∈>+，则该函数的图象是 （）（答：A ）二、 等差数列1、 等差数列的定义：如果数列{}a n 从第二项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫等差数列的公差。
高中数学数列题型及解题方法
高中数学数列题型及解题方法一、基本概念在高中数学中，数列是一个数的有序集合，按照一定的规律排列。
数列中的每一个数称为该数列的项，通常用字母表示。
数列中的项的位置或顺序称为项数。
数列一般通过通项公式或递推式来表示。
通项公式直接给出数列中第n个项与n之间的关系，递推式则通过前一项得出后一项，常见的数列有等差数列和等比数列。
二、等差数列等差数列是指数列中相邻两项的差是一个常数的数列。
若一个等差数列的前n 项和可递推出通项公式，即第n项的表达式。
解题方法1.根据已知条件列出等差数列的性质2.利用通项公式或递推式解决问题3.注意区分公差和项数的不同，避免混淆三、等比数列等比数列是指数列中相邻两项的比是一个常数的数列。
等比数列也有通项公式和前n项和的性质。
解题方法1.确定数列是等比数列2.利用通项公式或递推式解决问题，计算项之间的比3.注意等比数列的比值，及时列出通项公式或递推式四、常见题型及解题方法1. 求等差数列第n项或前n项和•要求：已知等差数列的公差和首项，求第n项或前n项和•解题方法：利用通项公式或递推式计算第n项或前n项和2. 求等比数列第n项或前n项和•要求：已知等比数列的比和首项，求第n项或前n项和•解题方法：利用通项公式或递推式计算第n项或前n项和3. 求等差数列或等比数列的一些特殊性质•要求：已知等差数列或等比数列的相关条件，求解一些特殊的性质•解题方法：根据数列的性质列出条件，运用相关知识推导出需要的结果以上是高中数学数列题型及解题方法的简要介绍，希望能对学习数列有所帮助。
如果想深入了解更多数列知识，可以继续深入学习相关内容。
高中数学数列知识点归纳
高中数学数列知识点归纳一、数列的概念与性质1.数列的定义：数列是一组按照一定规律排列的实数，通常用{a1, a2,a3,...}表示。
2.数列的分类：根据项的性质，数列可分为整数数列、有理数数列、实数数列等；根据项之间的关系，数列可分为等差数列、等比数列、几何数列等。
3.数列的性质：数列具有交换性、结合律、分配律等基本运算性质。
二、等差数列1.等差数列的定义与性质：等差数列是相邻两项之差为一个常数的数列。
2.等差数列的通项公式：an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
3.等差数列的前n项和公式：Sn = n/2 * (a1 + an) = n/2 * [2a1 + (n-1)d]。
4.等差数列的求和公式应用：求解等差数列前n项和的最值、求解等差数列中的未知量等问题。
三、等比数列1.等比数列的定义与性质：等比数列是相邻两项之比为一个常数的数列。
2.等比数列的通项公式：an = a1 * q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比。
3.等比数列的前n项和公式：Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)。
4.等比数列的求和公式应用：求解等比数列前n项和的最值、求解等比数列中的未知量等问题。
四、其他数列1.几何数列：几何数列是相邻两项之比为一个常数的数列，通项公式为an = a1 * r^(n-1)。
2.调和数列：调和数列是相邻两项之比为根号下n的数列，通项公式为an = a1 * (n^(1/2))^(n-1)。
3.Fibonacci数列：Fibonacci数列是满足递推关系F(n) = F(n-1) + F(n-2)的数列，具有递归关系。
五、数列的递推关系与迭代1.递推关系的定义与性质：递推关系是利用数列的前几项求解后续项的关系。
2.迭代的方法与应用：迭代是求解递推关系的一种方法，可用于求解数列中的未知量、求解数列的极限等。
六、数列的极限与连续1.数列极限的定义与性质：数列极限是数列趋于某个值的过程，具有唯一性、无穷小性等性质。
数列基础知识
基础知识1．数列的概念定义1. 按照某一法则，给定了第1个数，第2个数，………，对于正整数有一个确定的数，于是得到一列有次序的数我们称它为数列，用符号表示。
数列中的每项称为数列的项，第项称为数列的一般项，又称为数列的通项。
定义2.当一个数列的项数为有限个时，称这个数列为有限数列；当一个数列的项数为无限时，则称这个数列为无限数列。
定义3.对于一个数列，如果从第2项起，每一项都不小于它的前一项，即，这样的数列称为递增数列；如果从第2项起，每一项都不大于它的前一项，即，这样的数列称为递减数列。
定义4.如果数列的每一项的绝对值都小于某一个正数，即，其中是某一个正数，则称这样的数列为有界数列，否则就称为是无界数列。
定义5.如果在数列中，项数与具有如下的函数关系：，则称这个关系为数列的通项公式。
2．等差数列定义6.一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，常用字母表示。
等差数列具有以下几种性质：（1）等差数列的通项公式：或；（2）等差数列的前项和公式：或；（3）公差非零的等差数列的通项公式为的一次函数；（4）公差非零的等差数列的前项和公式是关于不含有常数项的二次函数；（5）设是等差数列，则（是常数）是公差为的等差数列；（6）设，是等差数列，则（是常数）也是等差数列；（7）设，是等差数列，且，则也是等差数列（即等差数列中等距离分离出的子数列仍为等差数列）；（8）若，则；特别地，当时，；（9）设，，，则有；（10）对于项数为的等差数列，记分别表示前项中的奇数项的和与偶数项的和，则，；（11）对于项数为的等差数列，有，；（12）是等差数列的前项和，则；（13）其他衍生等差数列：若已知等差数列，公差为，前项和为，则①．为等差数列，公差为；②．（即）为等差数列，公差；③．（即）为等差数列，公差为.3．等比数列定义7.一般地，如果有一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于现中一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比；公比通常用字母表示（），即。
高中数学数列知识点.总结(精华版)
. .一、数列1. 数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项.⑴数列中的数是按一定“次序”排列的，在这里，只强调有“次序”，而不强调有“规律”．因此，如果组成两个数列的数相同而次序不同，那么它们就是不同的数列．⑵在数列中同一个数可以重复出现．⑶项a n 与项数n 是两个根本不同的概念．⑷数列可以看作一个定义域为正整数集( 或它的有限子集) 的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，但函数不一定是数列2. 通项公式：如果数列a n 的第n 项与序号之间可以用一个式子表示, 那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即 a f (n)n .3. 递推公式：如果已知数列a n 的第一项（或前几项），且任何一项a n 与它的前一项a （或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即a n f (a n 1 ) 或a n f (a n 1,a n 2) ，n 1那么这个式子叫做数列a的递推公式. 如数列a n 中，a1 1, a n 2a n 1 ，其中na n 2a n 1是数列a n 的递推公式.4. 数列的前n 项和与通项的公式①S n a1 a2 a ；②nS (n 1)1a n .S S (n 2)n n 15. 数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法.6. 数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列.①递增数列: 对于任何n N , 均有a n 1 a n .②递减数列: 对于任何n N , 均有a n 1 a n .③摆动数列: 例如: 1,1 ,1, 1, 1, .④常数数列: 例如:6,6,6,6, ⋯⋯.⑤有界数列: 存在正数M 使a n M ,n N .⑥无界数列: 对于任何正数M , 总有项a 使得a n M .n1、已知n*a 2 (n N )nn 156，则在数列{ }a 的最大项为__（答：n125）；2、数列{ }a 的通项为nana n ，其中a,b 均为正数，则a n 与a n 1 的大小关系为___（答：bn 1a a n 1）；n23、已知数列{ a } 中， a 是递增数列，求实数的取值范围（答：3）；a n n ，且{ } nn n4、一给定函数y f (x)的图象在下列图中，并且对任意a( 0,1) ，由关系式a n 1 f (a n )1* 得到的数列{ }a 满足a n 1 a n (n N ) ，则该函数的图象是（）（答：A）neord 完美格式. .二、等差数列1、等差数列的定义：如果数列a n 从第二项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫等差数列的公差。
高中数学数列知识点归纳整理总结
高中数学数列知识点归纳整理总结数列是数学中的重要概念，它是指按照一定规律排列的一系列数的集合。
在高中数学中，数列是一个重要的考点，掌握数列的性质和求解方法是学好数学的基础。
本文将对高中数学数列知识点进行归纳整理总结，帮助学生更好地理解和掌握这一部分知识。
一、数列的定义和性质1. 数列的定义：数列是由一系列按照一定规律排列的数所组成的集合，用字母表示一般项，如a₁, a₂, a₃...2. 数列的一般形式：数列可以是有规律的，也可以是无规律的。
有规律的数列可以用以下三种形式表示：- 通项公式：根据数列的规律，得出每一项与项号之间的关系，以求解任意项和通项公式。
- 递推公式：通过前一项与后一项之间的关系，表示出数列中任意一项与它的前一项的关系。
- 递归式：通过前一项与后一项之间的关系，表示出数列中任意一项与它的前一项和初始条件的关系。
二、常见的数列类型1. 等差数列：等差数列是指数列中任意两项之间的差值都相等的数列。
等差数列的通项公式为an = a₁ + (n - 1)d，其中a₁为首项，d为公差，n为项号。
- 求和公式：等差数列的前n项和公式为Sn = (n/2)[2a₁ + (n - 1)d]。
2. 等比数列：等比数列是指数列中任意两项之间的比值都相等的数列。
等比数列的通项公式为an = a₁ * r^(n-1)，其中a₁为首项，r为公比，n为项号。
- 求和公式：等比数列的前n项和公式为Sn = a₁ * (1 - r^n) / (1 - r)，其中|r| < 1。
3. 斐波那契数列：斐波那契数列是指数列中每一项都等于前两项之和的数列。
斐波那契数列的通项公式为an = an-1 + an-2，其中a₁= 1，a₂ = 1。
三、数列求解方法1. 已知数列的前n项，求通项公式：根据已知的前n项，可以通过构造方程组求解出通项公式。
- 样例：已知等差数列的前n项和Sn = 3n² - 2n，求该数列的通项公式。
高中数列知识点归纳总结笔记
高中数列知识点归纳总结笔记数列是高中数学中的一个重要概念，它是由一系列按照特定规律排列的数所组成的。
在学习数列的过程中，我们需要掌握一些基本概念和常见的求解方法。
本文将对高中数列的知识点进行归纳总结，帮助同学们更好地理解和应用数列知识。
一、数列基本概念1. 数列的定义：数列是由一系列按照特定规律排列的数所组成的有序集合。
2. 项数与项：数列中的每一个数称为一个项，数列中的项的个数称为项数。
3. 通项公式：数列中的每一项可以通过一个公式来表示，这个公式称为通项公式。
4. 数列的类型：数列根据项与项之间的关系可分为等差数列、等比数列和等差数列。
二、等差数列1. 定义：等差数列是指数列中，从第二项开始，每一项与前一项的差都相等的数列。
2. 通项公式：设等差数列的首项为a₁，公差为d，则第n项的通项公式为an=a₁+(n-1)d。
3. 前n项和公式：等差数列前n项和Sn可表示为Sn=n*[2a₁+(n-1)d]/2。
三、等比数列1. 定义：等比数列是指数列中，从第二项开始，每一项与前一项的比值都相等的数列。
2. 通项公式：设等比数列的首项为a₁，公比为q，则第n项的通项公式为an=a₁*q^(n-1)。
3. 前n项和公式：等比数列前n项和Sn可表示为Sn=a₁*(q^n-1)/(q-1)。
四、斐波那契数列1. 定义：斐波那契数列是指数列中，从第三项开始，每一项都是前两项的和的数列。
2. 通项公式：设斐波那契数列的首项为a₁，第二项为a₂，则第n项的通项公式为an=a(n-1)+a(n-2)。
3. 性质：斐波那契数列具有一些独特的数学性质，如黄金分割、递归性等。
五、数列的应用1. 几何意义：数列在几何上常常表示随时间推移变化的某一物理量，如位置、速度、温度等。
2. 数列的数值应用：数列可以用于解决一些实际问题，如利润的变化、人口的增长等。
六、数列求解技巧1. 判断数列类型：根据数列项与项之间的关系，判断数列是等差数列还是等比数列。
高中数学必修五第二章数列
设等差数列
的前n项和为sn,已知a3=12,s12>0,s13<0,
（1）求公差d的取值范围
（2）指出s1,s2,s3……,s12中哪一个的值最大，并说明理由
2.4等比数列
定义：一般的，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前 一项的比等于同意常数，那么这个数列叫做等比数列，这个 常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。
Sn=an+(an-d)+(an-2d)+……+【an-(n-1)d】 两式相加得 2sn=n(a1+an) 由此可得 sn=n(a1+an)/2 带入通项公式得 sn=na1+n(n-1)d/2
例题一
2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的通 知》。
某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年时间在全 市中小学建成不同标准的校园网。据测算，2001年该市用于“校校通”工程 的经费为500万元。为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上 一年增加50万元。那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程 中的总投入是多少？
（1）求AB，BC，CD的长
（2）已AB，BC，CD的长为等差数列的前三项，以第十项为边长的正方形 面积为多少？
AB C
D
2.3等差数列的前n项和
定义：一般的，我们称a1+a2+a3+……+an 为数列 表示，即sn=a1+a2+……+an
的前n项和，用Sn
推理过程： 因为 Sn=a1+(a1+d)+(a1+2d)+……+【a1+(n-1)d】
高中数学数列知识点归纳
高中数学数列知识点归纳摘要：一、数列的定义与性质1.等差数列的定义与性质2.等比数列的定义与性质二、数列的求和公式1.等差数列的前n 项和公式2.等比数列的前n 项和公式三、数列的应用1.高考数学中数列的知识点考察2.数列在实际问题中的应用正文：高中数学数列知识点归纳数列是高中数学中的一个重要知识点，它在历年的高考中都占有重要的地位。
本文将对数列的定义、性质、求和公式以及应用进行归纳总结。
一、数列的定义与性质1.等差数列的定义与性质等差数列是指一个数列，它的相邻两项之差是一个常数，这个常数称为公差。
等差数列的通项公式为：an = a1 + (n-1)d，其中a1 是首项，d 是公差，n 是项数。
等差数列的前n 项和公式为：sn = n/2 * (a1 + an) = n/2 * (2a1 + (n-1)d)。
2.等比数列的定义与性质等比数列是指一个数列，它的相邻两项之比是一个常数，这个常数称为公比。
等比数列的通项公式为：an = a1 * q^(n-1)，其中a1 是首项，q 是公比，n 是项数。
等比数列的前n 项和公式为：sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)，当q = 1 时，等比数列变为等差数列。
二、数列的求和公式1.等差数列的前n 项和公式等差数列的前n 项和公式为：sn = n/2 * (a1 + an) = n/2 * (2a1 + (n-1)d)。
2.等比数列的前n 项和公式等比数列的前n 项和公式为：sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)，当q = 1 时，等比数列变为等差数列。
三、数列的应用1.高考数学中数列的知识点考察高考数学中，数列是一个重要的考点，主要考察等差数列和等比数列的性质、通项公式、前n 项和公式，以及数列的求和、递推关系、极限等。
2.数列在实际问题中的应用数列在实际问题中有很多应用，如在金融领域，等比数列可以用来计算复利的未来值；在生物领域，等差数列可以用来描述种群数量的增长；在物理领域，等差数列可以用来描述匀速运动的速度等。
高一知识点归纳数学数列
高一知识点归纳数学数列高一知识点归纳：数学数列数学数列是高中数学中重要的概念之一，它在高一阶段的学习中起着基础和桥梁的作用。
数列可以说是数学中非常基础的概念之一，它不仅在高中数学中出现，也在大学数学及其他科学领域中有着广泛的应用。
本文将对高一阶段学习的数学数列进行归纳总结。
一、数列的概念数列是由一系列按照一定规律排列的数所组成的序列。
数列常用于描述某个事物中的数量的变化规律，通过数列我们可以更好地了解事物的发展趋势和规律。
在数列中，每个数称为该数列的项，用通项公式表示。
二、等差数列等差数列是指数列中，任意一项与它的前一项之差都是相等的数列。
即对于等差数列{an}，它的通项公式可以表示为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
等差数列在数学中占有重要地位，在数学建模、物理学等领域都有广泛的应用。
三、等比数列等比数列是指数列中，任意一项与它的前一项之比都是相等的数列。
即对于等比数列{an}，它的通项公式可以表示为an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。
等比数列在数学中也有着重要的应用，尤其在利滚利、金融工程、自然科学等方面。
四、数列的求和求和是数列中常见的问题之一，它可以帮助我们了解数列中各项的和以及规律。
对于等差数列和等比数列，我们可以通过求和公式来计算其和。
等差数列的和可以表示为Sn = (n/2)(a1 + an)，等比数列的和可以表示为Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)。
五、数列的递推关系与通项公式数列的递推关系和通项公式是数学中研究数列重要的内容。
通过找到数列中项与项之间的关系，我们可以推导出数列的通项公式，从而可以方便地计算数列中任意一项的值。
对于等差数列和等比数列，递推关系和通项公式是可以很容易得到的。
六、数列的性质数列在数学中具有一些重要的性质，这些性质在解题过程中起到了关键的作用。
一些常见的数列性质包括：有界性、单调性、有序性、周期性等。
高中数学教材——数列篇
(3)数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法． 2．数列的分类 (1)按照项数有限和无限分：有 无限 限数 数列 列： ：项 项数 数有 无限限个个；；
递增数列：an＋1>an，
(2)按单调性来分： 递减数列：an＋1<an， 常数列：an＋1＝an＝C(常数)， 摆动数列.
(2)
在
数
列
{an}
中
，
a1
＝
1
，
an
＝
n－1 n
an
－
1(n≥2)
，
则
数
列
{an}
的
通
项
公
式
为
________________．
(3)已知数列{an}满足 a1＝1，an＋1＝3an＋2，则数列{an}的通项公式为________________．
[解析] (1)累加法
由题意得 a2＝a1＋2，a3＝a2＋3，…，an＝an－1＋n(n≥2)，
所以 an＝2n2－1(n≥2)．
又由题设可得 a1＝2，满足上式，
从而{an}的通项公式为 an＝2n2－1.
答案：2n2－1
考点二 由递推关系式求数列的通项公式
[典例] (1)设数列{an}满足 a1＝1，且 an＋1＝an＋n＋1(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为
________________．
通项公式 递推公式
通项公式和递推公式的异同点
不同点
相同点
可根据某项的序号 n 的值，直接代入求出 an 都可确定一个数列，也都可求 可根据第一项(或前几项)的值，通过一次(或多 出数列的任意一项
数列全部知识点归纳总结
数列全部知识点归纳总结数列是高中数学中的一个重要概念，广泛应用于数学和其他学科的问题中。
它是由一组按照特定规律排列的数所组成的序列。
在数列中，每一个数被称为序列的项，而序列中的规律则被称为递推公式。
本文将对数列的基本概念、常见数列类型、性质及应用进行全面的知识点归纳和总结。
一、基本概念数列是由一组按特定顺序排列的数所组成的序列。
数列的每个数被称为序列的项，通常用字母表示，如a1, a2, a3等。
数列中每个项的位置被称为项号，通常用下标表示，如a1, a2, a3的项号分别为1, 2, 3。
数列也可以用函数来表示，即f(n)，其中n表示项号。
二、常见数列类型1.等差数列：等差数列是指数列中相邻两项之差都相等的数列。
它的递推公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
2.等比数列：等比数列是指数列中相邻两项之比都相等的数列。
它的递推公式为an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。
3.等差数列的前n项和：等差数列的前n项和可以用求和公式Sn = (n/2)(a1+an)来表示，其中n为项数，a1为首项，an为第n项。
4.等比数列的前n项和：等比数列的前n项和可以用求和公式Sn = (a1(r^n-1))/(r-1)来表示，其中n为项数，a1为首项，r为公比。
三、数列的性质1.有界性：数列可以是有界的，也可以是无界的。
有界数列是指数列的所有项都在一定范围内，无界数列则相反。
2.单调性：数列可以是单调递增的、单调递减的或者既不递增也不递减的。
3.周期性：有些数列具有周期性，即数列中的项按照一定的规律循环出现。
4.递推关系：数列中的每一项可以通过前一项和递推公式来推导得到。
四、数列的应用1.数学问题：数列广泛应用于数学问题的求解中，如求解等差数列、等差数列的前n项和等。
2.物理问题：数列也常常用于物理问题的建模与求解中，如描述物体运动的规律等。
3.计算机科学：数列在计算机科学中有着重要的应用，如算法设计、数据压缩等领域。
高中数学数列方法及技巧
高中数学数列方法及技巧高中数学数列方法及技巧数列是高中数学中非常重要的一个概念，它是数学中的一个基础性概念，也是建立在数值集合上最简单、最基本的数学对象之一。
数列在数学思想发展史上扮演着重要的角色，同时，数列也是很多其它数学分支的重要基础。
高中数学中讲解数列主要有以下几个方面：数列的概念，数列的通项公式，数列的各种性质和求和公式。
在学习数列的过程中，同学们会遇到许多问题，因此需要掌握一些方法和技巧，以便更好地理解和掌握数列。
1. 数列的概念数列是一些有规律的数按一定的顺序排列而组成的集合，通常用{a1,a2,……,an}表示，其中an表示第n项。
数列的公式可以有多种表示方法，如一般项式、递推式等。
数列可以是有限数列或无限数列，其中有限数列是具有特定的项数，而无限数列是无限多个项数的序列。
数列的通项公式指的是某一项的通项公式，也就是解决数列的问题需要用到的最基本公式。
2. 数列的通项公式数列的通项公式指的是一个递推数列中任意一项的数值都可以根据前面一些项的值来计算出来，用数学公式表示就是：an=f(a1,a2,……,an-1)(n≥k)其中，f为通项公式，a1,a2,……,an-1是前面项的值，n为第n项，k为第一项。
对于一些常见的数列，我们可以通过观察规律，找出它们的通项公式，例如斐波那契数列：1,1,2,3,5,8,13,……每一项都是前两项之和，因此通项公式就是an=an-1+an-2。
3. 数列的性质数列有许多性质，其中比较重要的有以下几个。
（1）数列的极限数列的极限是指随着项数无限增加，数列的值无限逼近某一特定的数，也称为数列的极值。
如果一个数列存在极限，那么它的极限是唯一的。
（2）数列的单调性如果数列中任意一项的后一项都大于（或小于）它自己，那么这个数列是单调递增的（或递减）的。
如果对于数列中不同的两个项a和b，当n趋向于无穷大时，其差数列{an-bn}也趋向于0，则称数列{an}收敛于b。
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高中数学数列的基本概念教案
一、知识点回顾
类型一：根据数列的前几项写出数列的一个通项公式
例1．写出下列各数列的一个通项公式，使其前四项分别是:
(1) 0,
23,38,4
15,…； (2) 1, 43-,95,167-,…； (3) 9, 99,999, 9999,…；
(4) 6, 1, 6,1,….
举一反三：
【变式】根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：
(1) 1, 1, 1, 1,…；
(2) -1, 1, -1, 1, …；
(3) 1, -1, 1, -1, …；
(4)1111--234
，
，，, …； (5) 2，0，2，0，….
类型二：通项公式的应用
例2．已知数列{}n a 的通项公式32n a n =-, 试问下列各数是否为数列{}n a 的项，若是，是第几项？
(1) 94；(2) 71.
举一反三：
【变式1】数列{}n a 的通项公式为1(n 21n n a n n ⎧⎪=⎨⎪-⎩
是奇数）（是偶数）它的前8项依次为
【变式2】已知数列{}n a 的通项公式(1)(2)n a n n =++,
（1）若9900n a =，试问n a 是第几项？
（2）56和28是否为数列{}n a 的项？
类型三：递推公式的应用
例3. 设数列{}n a 满足：11a =，1
11n n a a -=+
(2)n ≥，写出这个数列的前五项。
举一反三：
【变式1】已知数列{}n a 满足：21=a ，n n a a 21=+，写出前5项，并猜想n a ．
【变式2】已知两个等比数列{}n a ，{}n b ，
满足1a a =(0)a >，111b a -=，222b a -=，333b a -=. 若1a =，求数列{}n a 的通项公式；
例4.（1）已知数列{}n a 满足111,1(2),n n a a a n -==+≥写出这个数列的通项公式.
（2）已知数列{}n a 满足111,
(2),1n n a n a n a n -==≥+写出这个数列的通项公式.
举一反三：
【变式1】数列{a n }满足a n ＋1＝
n
a -11，a 8＝2，则a 1＝ ．
【变式2】已知数列{a n }满足：a 4n －3＝1，a 4n －1＝0，a 2n ＝a n ，n ∈N *，则a 2 009＝________；a 2 014＝________. 类型四：前n 项和公式n S 与通项n a 的关系
例5．已知数列{}n a 的前n 项和公式n S ，求通项n a .
（1）221n S n n =-+， (2)2log (1)n S n =+.
举一反三：
【变式1】已知数列{}n a 的前n 项和23n n S =-，求通项n a .
【变式2】已知数列{}n a 的前n 项积2n S n =+，求通项n a
类型五：数列与函数
例6.已知函数()22,x x f x -=-数列{}n a 满足2(log )2n f a n =-，
（1） 求数列{}n a 的通项公式；
（2） 证明数列{}n a 是递减数列.
举一反三：
【变式1】已知数列{}n a 中323n n a n -=
+,判断数列{}n a 的单调性，并给以证明.
【变式2】数列{}n a 中：11a =,122
n n n a a a +=
+（*n N ∈）
二、巩固拓展
1．已知数列的通项公式：31()22()n n n a n n +⎧=⎨
-⎩为奇数为偶数则a 2·a 3等于( )
A ．70
B ．28
C ．20
D ．8 2．已知a n ＝n 2＋n ，那么( )
A ．0是数列中的项
B ．20是数列中的项
C ．3是数列中的项
D ．930不是数列中的项 3
，…则( )
A ．第6项
B ．第7项
C ．第8项
D ．第9项 4．数列－1，43，95-，167
，…的一个通项公式是( ) A ．2
(1)21n n n a n =-- B ．(1)(1)21n
n n n a n +=-- C ．2
(1)21n n n a n =-+ D ．32(1)21
n n n n a n -=-- 5.2
n n a n =
+，则n a 与1n a +的大小关系是（ ） A.1n n a a +> B. 1n n a a +< C. 1n n a a += D. 不能确定 6.已知数列{}n a 的前n 项和S n =3+2n
, 则a n =__________. 7.已知数列{}n a 前n 项和S n =5n 2
-n, 则a 6+a 7+a 8+a 9+a 10=_________. 8.已知数列{}n a 中，11a =, 1422n n a a +=-
+. 那么数列{}n a 的前5项依次为_________. 9. 在数列2
11
21,0,,,,98n n --…………中，0.08是它的第______项． 10．写出下列各数列的通项公式，使其前4项分别是: (1)
21, -54,109, -17
16,……； (2) 32, 154, 356, 638,……; (3) 5, 55, 555, 5555, ……;
(4) 3,5,3,5,…….
11．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足关系式lg(S n -1)=n ， 求a n .
12．已知数列{a n }的通项公式为a n =n 2+λn, 若数列{a n }为递增数列，试求最小的整数λ.
13．根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式
(1) 1a ＝0, 1+n a ＝n a ＋(2n －1) (*n N ∈)；
(2) 1a ＝3, 1+n a ＝3n a －2 (*n N ∈).
14．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－5n ＋4.
(1)数列中有多少项是负数？
(2)n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值．
15. 已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，a n ＝a n －1＋a n －2(n >2)．通过公式1n n n
a b a +=构造一个新数列{b n }，试写出数列{b n }的前5项，你能说出这个数列的特点吗？。