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专题03 导数与应用-备战2017高考高三数学(文)全国各地一模金卷分项解析版(原卷版)

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2017年高三数学(文)最新模拟调研试题精选分项汇编(第02期)专题03导数Word版含解析

2017年高三数学(文)最新模拟调研试题精选分项汇编(第02期)专题03导数Word版含解析

一．基础题组1.【江西九江地区2017届高三7校联考，11】已知()y f x =是奇函数，当(0,2)x ∈时，()ln 1f x a x ax =-+，当(2,0)x ∈-时，函数()f x 的最小值为1，则a =（ ）A ．-2B ．2C ．1±D ．1 【答案】B考点：函数最值2.【河南濮阳一高2017届第2次检测，5】已知'()f x 是()sin cos f x x a x =+的导函数，且'()44f π=，则实数a 的值为（ ） A ．23 B ．12 C ．34D ．1 【答案】B【解析】试题分析：由题意可得'()cos sin f x x a x =-，由'()4f π=2=，解之得12a =，故选B. 考点：三角函数的求导法则.3.【河南濮阳一高2017届第2次检测，9】函数ln ()xf x x x=+在1x =处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（ ） A ．12 B ．14 C ．32D ．54【答案】B考点：1、利用导数求切线方程；2、三角形面积公式. 4.【湖北2017届百所中点校高三联考，4】已知函数()2111x f x x ++=+，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处切线的斜率为（ ）A ．1B ．-1C ．2D ．-2 【答案】A 【解析】试题分析：设t x =+1,则1-=t x ,所以t t t t f 1212)(-=-=,故xx f 12)(-=,又因2/1)(xx f =,故切线的斜率1=k ,故应选A. 考点：函数的解析式及导数的几何意义．5.【江苏南通市如东县、徐州丰县2017届10月联考，6】函数()2log f x x =在点()1,2A 处切线的斜率为 ▲ ． 【答案】1ln 2【解析】 试题分析：()()111ln 2ln 2f x k f x ''=∴== 考点：导数几何意义【思路点睛】(1)求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点.(2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.6.【江苏南通市如东县、徐州丰县2017届10月联考，11】已知函数322()7f x x ax bx a a =++--在1x =处取得极小值10，则ba的值为 ▲ ． 【答案】12-考点：函数极值【方法点睛】函数极值问题的常见类型及解题策略(1)知图判断函数极值的情况.先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号.(2)已知函数求极值.求f ′(x )―→求方程f ′(x )＝0的根―→列表检验f ′(x )在f ′(x )＝0的根的附近两侧的符号―→下结论.(3)已知极值求参数.若函数f (x )在点(x 0，y 0)处取得极值，则f ′(x 0)＝0，且在该点左、右两侧的导数值符号相反.7.【河北衡水中学2017届高三摸底联考，14】曲线()232ln f x x x x =-+在1x =处的切线方程为 ． 【答案】30x y --= 【解析】试题分析：()21132ln12f =-+=-，()223f x x x'=-+，()12321f '=-+=，所以切线方程为21y x +=-即30x y --=. 考点：导数的几何意义.8.【河南濮阳一高2017届第2次检测，15】函数2()ln f x x x =-的单调增区间为______.【答案】 (0,2【解析】试题分析：2112'()20x f x x x x -=-=≥，21(0)2x x ≤>，∴0x <≤，故答案为. 考点：利用导数研究函数的单调性.【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性，属于中档题题．利用导数研究函数()f x 的单调性进一步求函数的单调区间的步骤：①确定函数()f x 的定义域；②对()f x 求导；③令()0f x '>，在①的前提下解不等式得x 的范围就是()f x 的递增区间；令()0f x '<，在①的前提下解不等式得x 的范围就是()f x 的递减区间．9.【河北衡水中学2017届上学期一调，14】已知函数3()1f x ax x =++的图象在点(1,(1))f 处的切线过点（2,7），则a =__________. 【答案】1a =考点：利用导数研究曲线在某点的切线方程.10.【河北衡水中学2017届上学期一调，15】不等式xe kx ≥对任意实数x 恒成立，则实数k 的最大值为___________. 【答案】e 【解析】试题分析：由不等式xe kx ≥对任意实数x 恒成立，即为()0xf x e kx =-≥恒成立，即有min ()0f x ≥，由()f x 的导数为()x f x e k '=-，当0,0x k e ≤>，可得()0f x '>恒成立，()f x 递增，无最大值；当0k >时，ln x k >时，可得()0f x '>，()f x 递增；ln x k <时，可得()0f x '>，()f x 递减，即有ln x k =处取得最小值，且为ln k k k -，由l n 0k k k -≥，解得k e ≤，所以k 最大值为e . 考点：不等式的恒成立问题.【方法点晴】本题主要考查了不等式的恒成立问题的求解，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值问题和函数最值的应用等知识点的考查，此类问题解答的关键在于把不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题，利用函数的性质求解，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.11.【河南百校联盟2017届9月质检，14】设曲线()sin x f x e x =在()0,0处的切线与直线10x my ++=平行，则m = ____________．【答案】-1 【解析】试题分析：()(sin cos )xf x e x x '=+，所以()1011k f m m'===-⇒=- 考点：导数几何意义【思路点睛】利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解. 二．能力题组1.【广西南宁二中、柳州高中、玉林高中2017届高三8月联考，12】设函数()f x 是定义在(0,)+∞上的可导函数，其导函数为'()f x ，且有2'2()()0f x x f x +>，则不等式2(2014)(2014)4(2)0x f x f --->的解集为（ ）A ．(2012,)+∞B ．(0,2012)C ．(0,2016)D ．(2016,)+∞ 【答案】D考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、不等式的解法． 2.【河北省衡水中学2017届高三上学期第三次调研，11】已知函数()21,g x a x x e e e ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭为自然对数的底数与()2ln h x x =的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．211,2e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦B ．21,2e ⎡⎤-⎣⎦C ．2212,2e e ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦D ．)22,e ⎡-+∞⎣ 【答案】B考点：1、函数极值与导数的关系；2、函数函数的图象与性质．3.【山东省实验中学2017届高三第一次诊断,10】已知函数2ln ()()x x b f x x+-=（b R ∈），若存在1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()'()f x x f x >-⋅，则实数b 的取值范围是（ ）A ．(2)-∞B ．3(,)2-∞C ．9(,)4-∞D ．(,3)-∞【答案】C 【解析】试题分析：()'()(())0f x x f x xf x '>-⋅⇒>，所以12()0x b x +->在1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解，即12b x x <+的最大值19244+=，因此选C. 考点：导数应用【方法点睛】利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如()()f x f x '<构造()()x f x g x e=，()()0f x f x '+<构造()()x g x e f x =，()()xf x f x '<构造()()f x g x x=，()()0xf x f x '+<构造()()g x xf x =等4.【湖北黄石2017届高三9月调研，12】定义：如果函数()f x 在[],a b 上存在()1212,x x a x x b <<<满足()()()1f b f a f x b a -'=-，()()()2f b f a f x b a-'=-，则称函数()f x 是[],a b 上的“双中值函数”，已知函数()322f x x x m =-+是[]0,2a 上“双中值函数”，则实数a 的取值范围是（ ） A ．11,84⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．11,124⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．11,128⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．1,18⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A考点：二次函数实根分布5.【山东肥城市2017届高三上学期升级统测，10】设直线,l m 分别是函数()ln ,01ln ,1x x f x x x -<<⎧=⎨>⎩图象上在点,M N 处的切线, 已知l 与m 互相垂直, 且分别与y 轴相交于点,A B ,点P 是函数()(),1y f x x =>图象上的任意一点, 则PAB ∆的面积的取值范围是（ ）A ．()0,1B ．()0,2C ．()2,+∞D ．()1,+∞ 【答案】D 【解析】 试题分析：1122PAB P AB S d AB AB ∆-=⋅>,设1122(,ln ),(,ln )M x x N x x -，则11221211:ln (),:ln ()l y x x x m y x x x x x +=---=-，因此121211(0,1ln ),(0,ln 1),1A x B x x x ---⋅=-， 1212|2ln ln ||2ln |2AB x x x x =--=-=，所以1PAB S ∆>，选D.考点：导数应用【思路点睛】(1)求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点.(2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.6.【河北衡水中学2017届高三摸底联考，10】函数()321122132f x ax ax ax a =+-++的图象经过四个象限的一个充分必要条件是（ ）A ． 4133a -<<-B ．112a -<<- C ．20a -<< D ．63516a -<<-【答案】D考点：1.导数与函数的单调性、极值；2.函数的图象与性质. 7.【河南濮阳一高2017届第2次检测，12】已知函数321()3f x x x ax =++.若1()x g x e=,对任意11[,2]2x ∈，存在21[,2]2x ∈，使12'()()f x g x ≤成立，则实数a 的取值范围是（ ） A．(8]-∞- B．8,)-+∞ C．)e D．(,]32e -【答案】A【解析】试题分析：对任意11[,2]2x ∈，存在21[,2]2x ∈，使12'()()f x g x ≤，∴m ax m ax ['()][()]f x g x≤，2'()(1)1f x x a =++-在1[,2]2上单调递增，∴max '()'(2)8f x f a ==+，()g x 在1[,2]2上单调递减，则max 1()()2g x g ==，∴8a +≤，则8a ≤-，故选A. 考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、利用导数求函数的最值及全称量词与存在量词的应用.【方法点睛】本题主要考查、利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的最值及全称量词与存在量词的应用.属于难题.解决这类问题的关键是理解题意、正确把问题转化为最值和解不等式问题，全称量词与存在量词的应用共分四种情况：（1）12,,x D x E ∀∈∀∈()()12f x g x ≥只需()()min max f x g x ≥；（2）1,x D ∀∈2x E ∃∈()()12f x g x ≥，只需()min f x ≥()min g x ；（3）1x D ∃∈，2,x E ∀∈()()12f x g x ≥只需()max ,f x ≥()max g x ；（4）12,x D x E ∃∈∃∈，()()12f x g x ≥，()max f x ≥()min g x .8.【河北唐山市2017届高三摸底考试，12】设函数()3235f x x x ax a =--+-，若存在唯一的正整数0x ，使得()00f x <，则a 的取值范围是（ ）A ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ． 15,34⎛⎤ ⎥⎝⎦ C ．13,32⎛⎤⎥⎝⎦ D ．53,42⎛⎤⎥⎝⎦【答案】B .考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、利用导数研究函数的极值；3、导数的综合应用. 【思路点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值和导数的综合应用，考查学生综合知识能力，渗透着数形结合和转化的数学思想，属中档题.其解题的一般思路为：首先设53)(23+-=x x x g ，)1()(+=x a x h ，然后将所求的问题转化为存在唯一的正整数0x ，使得53)(23+-=x x x g 在)1()(+=x a x h 的下方，进而结合函数的图像及其性质即可得出满足题意所包含的条件，最后得出所求的结果.9.【河北邯郸市2017届高三9月联考，10】已知直线l 与函数())ln(1)f x x =--的图象交于P ，Q 两点，若点1(,)2R m 是线段PQ 的中点，则实数m 的值为（ ） A ．2 B ．1 C ．12 D ．14【答案】C .考点：直线与曲线的相交问题..10.【河北邯郸市2017届高三9月联考，12】函数()ln f x x =在点00(,())P x f x 处的切线l 与函数()x g x e =的图象也相切，则满足条件的切点P 的个数有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】C .【解析】试题分析：因为函数()ln f x x =在点00(,())P x f x 处的切线l 的方程为：1ln 100-+=x x x y ，设直线l 与函数()x g x e =的图像相切于点),(11x e x ，则)1(111x e x e y x x -+=，所以011x e x =，)1(ln 1011x e x e x x x -+=，所以可得11ln 000-+=x x x . 画出函数()ln f x x =与函数11-+=x x y 的图像如下图所示：由图可知，函数()ln f x x =与函数11-+=x x y 有两个交点，故应选C.考点：1、利用导数研究曲线上某点的切线方程；2、利用导数研究函数的单调性与极值.【思路点睛】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程和利用导数研究函数的单调性与极值，考查学生综合知识能力，属中档题.其解题的一般思路为：首先求出函数()ln f x x =在点00(,())P x f x 处的切线l 的方程，然后结合方程和曲线的关系可得11ln 000-+=x x x ，最后将问题转化为函数()ln f x x =与函数11-+=x x y 的图像的交点的个数，从而得出结果.11.【江苏南通市如东县、徐州丰县2017届10月联考，12】定义在R 上的可导函数()f x ，已知()f x y e =′的图象如图所示，则()y f x =的增区间是 ▲ ．【答案】（﹣∞，2）【解析】试题分析：由()21()0f x x e f x '≤≥⇒≥′时，()21()0f x x e f x '><⇒<′时，所以()y f x =的增区间是（﹣∞，2）考点：函数单调区间12.【江苏南通市如东县、徐州丰县2017届10月联考，13】若实数,,,a b c d 满足24ln 220b a a c d +-+-+=，则()()22a cb d -+-的最小值为 ▲ ．【答案】5 考点：利用导数求最值【方法点睛】利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用f′(x)＞0或f′(x)＜0求单调区间；第二步：解f′(x)＝0得两个根x 1、x 2；第三步：比较两根同区间端点的大小；第四步：求极值；第五步：比较极值同端点值的大小．13.【江苏南通市如东县、徐州丰县2017届10月联考，14】已知函数()()31,ln 4f x x mxg x x =++=-.{}min ,a b 表示,a b 中的最小值，若函数 ()()(){}()min ,0h x f x g x x =>恰有三个零点，则实数m 的取值范围是 ▲ ． 【答案】()53,44-- 【解析】试题分析：()23f x x m '=+，因为()10g =，所以要使()()(){}()min ,0h x f x g x x =>恰有三个零点，须满足()10,0,0f f m ><<，解得51534244m m >->⇒-<<- 考点：函数零点 【思路点睛】涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.14.【江西九江地区2017届高三7校联考，18】（本小题满分12分）若函数2()x f x e x mx =+-，在点(1,(1))f 处的斜率为1e +.（1）求实数m 的值；（2）求函数()f x 在区间[1,1]-上的最大值.【答案】（1）1（2）e考点：导数几何意义，利用导数求函数最值【思路点睛】(1)求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点.(2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.15.【河南濮阳一高2017届第2次检测，19】（本小题满分12分） 已知函数321()(0)2f x ax x a =->，[0,]x ∈+∞. （1）若1a =，求函数()f x 在上的最值；（2）若函数'()y f x =的递减区间为A ，试探究函数()y f x =在区间A 上的单调性.【答案】（1）最大值为12，最小值为154-；（2）()y f x =在区间A 上递减.考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、利用导数求函数的最值.三．拔高题组1.【河北唐山市2017届高三摸底考试，21】（本小题满分12分）已知函数()1ln f x x x=+． （1）求()f x 的最小值；（2）若方程()f x a =有两个根()1212,x x x x <，证明：122x x +>．【答案】（1）f (x )的最小值为f (1)＝1；（2）详见解析．考点：1.利用导函数判断函数的单调性；2.构造函数.2.【河南百校联盟2017届9月质检，22】本小题满分12分）设函数()21ln 12f x x ax x =+++． （1）当2a =-时，求函数()f x 的极值点；（2）当0a =时，证明：()xxe f x ≥在()0,+∞上恒成立． 【答案】（1）1x =是()f x 的极大值点，无极小值点（2）详见解析【解析】（2）证明：令()()()ln 10x xF x xe f x xe x x x =-=--->， 则()()()11111x x x F x x e xe x x+'=+--=-，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 令()1xG x xe =-，则因为()()()100x G x x e x '=+>>， 所以函数()G x 在()0,+∞上单调递增，()G x 在()0,+∞上最多有一个零点，又因为()()010,110G G e =-<=->，所以存在唯一的()0,1c ∈使得()0G c =，且当()0,x c ∈时，()0G x <；当(),x c ∈+∞时，()0G x >，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 即当()0,x c ∈时，()0F x '<；当(),x c ∈+∞时，()00F '>，所以()F x 在()0,c 上单调递减，在(),c +∞上单调递增，从而()()ln 1c F x F c c e c c ≥=---，由()0G c =得10x c e -=即1c c e =，两边取对数得：ln 0c c +=，所以()()()0,0F c F x F c =≥=，从而证得()xxe f x ≥．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分考点：利用导数求函数极值，利用导数证明不等式【思路点睛】 (1)利用导数证明不等式。

2017年高考全国名校试题数学分项汇编专题03 导数与运用(原卷版)

2017年高考全国名校试题数学分项汇编专题03 导数与运用(原卷版)

一、填空题1. 【2016高考冲刺卷（3）【江苏卷】】设过曲线()xf x e x =--（e 为自然对数的底数）上任意一点处的切线为1l ，总有过曲线()2cosg x ax x =+上一点处的切线2l ，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围为 ．2. 【2016高考冲刺卷（7）【江苏卷】】若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：（i ）直线l 在点00(,)P x y 处与曲线C 相切；（ii ）曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C ，下列命题正确的是________（写出所有正确命题的编号）．①直线:0l y =在点(0,0)P 处 “切过”曲线3:C y x =②直线:1l y x =-在点(1,0)P 处“切过”曲线:ln C y x =③直线:l y x π=-+在点(,0)P π处“切过”曲线:sin C y x =④直线:1l y x =+在点(0,1)P 处“切过”曲线:x C y e =3. 【江苏省苏中三市（南通、扬州、泰州）2016届高三第二次调研测试数学试题】若存在,R αβ∈，使得3cos cos 25cos t t αββααβ⎧=+⎪⎨⎪≤≤-⎩，则实数t 的取值范围是 ▲ ． 4. 【2016高考押题卷（2）【江苏卷】】已知函数()ln(2)x f x x=，关于x 的不等式()()20f x af x +>只有两个整数解，则实数a 的最大值是5. 【2016高考冲刺卷（8）【江苏卷】】 设函数f (x )＝1,1,x x x a e x x a-⎧≥⎪⎨⎪--<⎩，g (x )＝f (x )－b ．若存在实数b ，使得函数g (x )恰有3个零点，则实数a 的取值范围为 ▲ ．6. 【南京市、盐城市2016届高三年级第二次模拟考试】若存在两个正实数x 、y ，使得等式x ＋a (y －2e x )(ln y －ln x )＝0成立，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围为▲________．7. 【2016高考冲刺卷（2）【江苏卷】】设函数32,,ln ,x x x e y a x x e ⎧-+<=⎨≥⎩的图象上存在两点,P Q ，使得POQ ∆是以O 为直角顶点的直角三角形（其中O 为坐标原点），且斜边的中点恰好在y 轴上，则实数a 的取值范围是 ▲ .8. 【2016高考押题卷（3）【江苏卷】】设点P 是曲线x x y ln 2-=上任意一点，若点P 到直线2-=x y 的距离的最近，则点P 的横坐标是 ．9. 【2016年第一次全国大联考【江苏卷】】已知函数2()2ln f x x x a x =++在区间(01)，内无极值点，则a 的取值范围是_______. 10. 【2016年第四次全国大联考【江苏卷】】已知函数(),()()()(),()()f x f xg xh x g x f x g x ≤⎧=⎨>⎩，31(),()ln 4f x x axg x x =++=-，若()0h x =在(0,)+∞上有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围为_______.11. 【南通市2016届高三下学期第三次调研考试数学试题】已知两曲线()()cos ,,0,2f x x g x x x π⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭相交于点A .若两曲线在点A 处的切线与x 轴分别相交于,B C 两点，则线段BC 的长为 .12. 【江苏省苏北三市（徐州市、连云港市、宿迁市）2016届高三最后一次模拟考试】若点,P Q 分别是曲线4x y x+=与直线40x y +=上的动点，则线段PQ 长的最小值 . 13．【江苏省苏锡常镇四市2016届高三教学情况调研（二）数学试题】已知函数2()f x x x a =-，若存在[]1,2x ∈，使得()2f x <，则实数a 的取值范围是 ▲ ．二、解答题1. 【 2016年第二次全国大联考（江苏卷）】（本小题满分16分）已知函数()2ln f x x x ax a =-+（R a ∈），其导函数为()f x '．(Ⅰ)当x e >时，关于x 的不等式()0f x <恒成立，求a 的取值范围；（Ⅱ）函数()()(21)1g x f x a x '=+--，其导函数为()g x '．若12,x x 为函数()g x 两个零点，试判断12()2x x g +'的正负，并说明理由.2. 【2016年第三次全国大联考【江苏卷】】（本题满分14分）某型汽车的刹车距离s(单位：米)与时间t(单位：秒)的关系为32510s t k t t =-⋅++，其中k 是一个与汽车的速度以及路面状况等情况有关的量．（注：汽车从刹车开始到完全静止所用的时间叫做刹车时间；所经过的距离叫做刹车距离.）（1）某人在高速行驶途中发现前方大约10米处有一辆汽车突然抛锚停止，若此时k =8，紧急刹车的时间少于1秒，试问此人是否要紧急避让？（2）要使汽车的刹车时间不小于1秒钟，且不超过2秒钟，求k 的取值范围．3. 【2016年第三次全国大联考【江苏卷】】（本小题满分16分）已知函数+3()e x m f x x =-,()()ln 12g x x =++．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线斜率为1，求实数m 的值；（Ⅱ）当1m ≥时，证明：()3()f x g x x >-.4. 【2016年第四次全国大联考【江苏卷】】（本小题满分16分）已知函数()ln .a f x x ax x=-+ (Ⅰ) 若函数()f x 在1x =处的切线过点(0,)a ，求a 的值； （Ⅱ）若01a <<，求证：2()02a f >； （Ⅲ）若()f x 恰有三个不同的零点，求a 的取值范围．5. 【2016年第一次全国大联考【江苏卷】】（本小题满分16分）（1）若ln ax x >恒成立，求实数a 的取值范围；（2）证明：00,,a x R ∀>∃∈使得当0x x >时，ln ax x >恒成立.6. 【2016年第一次全国大联考【江苏卷】】（本小题满分16分）将一个半径为3分米，圆心角为((0,2))ααπ∈的扇形铁皮焊接成一个容积为V 立方分米的圆锥形无盖容器（忽略损耗）.（1）求V 关于α的函数关系式；（2）当α为何值时，V 取得最大值；（3）容积最大的圆锥形容器能否完全盖住桌面上一个半径为0.5分米的球？请说明理由.7. 【2016高考押题卷（1）【江苏卷】】（本小题满分16分）已知函数()x f x e =，2()1(,)g x ax bx a b R =++∈.（1）若0a ≠，则a ，b 满足什么条件时，曲线()y f x =与()y g x =在0x =处总有相同的切线？（2）当1a =时，求函数()()()g x h x f x =的单调减区间； （3）当0a =时，若()()f x g x ≥对任意的x R ∈恒成立，求b 的取值的集合.8. 【2016高考押题卷（3）【江苏卷】】（本小题满分16分）设函数b bx x x x f (121ln )(2+-+=为常数）． （1）若函数)(/x f y =的图象与直线12+-=x y 只有一个交点，求实数b 的值；（2）若函数)(x f y =在定义域内存在单调递减区间，求实数b 的取值范围；（3）试确定函数)(x f y =在区间),1[+∞内的零点的个数．9. 【2016高考押题卷（2）【江苏卷】】（本小题满分16分）已知函数2()x f x e ax =-，曲线()y f x =在x = 1处的切线方程为1y bx =+．（1）求a ，b 的值；（2）求函数()f x 在[0,1]上的最大值；（3）证明：当x > 0时，(1)ln 10x e e x x x +---≥10. 【2016高考冲刺卷（2）【江苏卷】】（本小题满分16分）已知函数()e (21)x f x x ax a =--+（a ∈R ），e 为自然对数的底数．（1） 当a ＝1时，求函数()f x 的单调区间；（2） ①若存在实数x ，满足()0f x <，求实数a 的取值范围；②若有且只有唯一整数0x ，满足0()0f x <，求实数a 的取值范围．11. 【江苏省苏中三市（南通、扬州、泰州）2016届高三第二次调研测试数学试题】 (本小题满分16分)植物园拟建一个多边形苗圃，苗圃的一边紧靠着长度大于30m 的围墙．现有两种方案：方案① 多边形为直角三角形AEB （90AEB ∠=），如图1所示，其中30m AE EB +=； 方案② 多边形为等腰梯形AEFB （AB EF >），如图2所示，其中10m AE EF BF ===． 请你分别求出两种方案中苗圃的最大面积，并从中确定使苗圃面积最大的方案． 图2图112. 【江苏省扬州中学2016届高三4月质量监测】 (本小题满分16分)已知函数2()()f x x x a =-，2()(1)g x x a x a =-+-+（其中a 为常数）.（1）如果函数()y f x =和()y g x =有相同的极值点，求a 的值；（2）设a ＞0，问是否存在0(1,)3a x ∈-，使得00()()f x g x >，若存在，请求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由；（3）记函数()[()1][()1]H x f x g x =-⋅-，若函数()y H x =有5个不同的零点，求实数a 的取值范围.13. 【江苏省苏锡常镇四市2016届高三教学情况调研（二）数学试题】(本小题满分16分) 已知函数2()e x f x a x bx =⋅+-（a b ∈R ，，e 2.71828=是自然对数的底数），其导函数为()y f x '=． （1）设1a =-，若函数()y f x =在R 上是单调减函数，求b 的取值范围；（2）设0b =，若函数()y f x =在R 上有且只有一个零点，求a 的取值范围；（3） 设2b =，且0a ≠，点()m n ，（m ，n ∈R ）是曲线()y f x =上的一个定点，是否存在实数0x （0x m ≠），使得000()()()2x m f x f x m n +'=-+成立？证明你的结论． 14. 【2016高考冲刺卷（1）【江苏卷】】（本小题满分16分）已知函数2()(2)xf x ax x e =++（0＞a ），其中e 是自然对数的底数. （1）当2=a 时，求)(x f 的极值； （2）若)(x f 在[]22，-上是单调增函数，求a 的取值范围； （3）当1=a 时，求整数t 的所有值，使方程4)(+=x x f 在[]1+t t ，上有解.15. 【2016高考冲刺卷（3）【江苏卷】】（本小题满分16分）已知函数x a x x f ln 21)(2+=． （1）若1-=a ，求函数)(x f 的极值，并指出极大值还是极小值；（2）若1=a ，求函数)(x f 在],1[e 上的最值； （3）若1=a ，求证：在区间),1[+∞上，函数)(x f 的图象在332)(x x g =的图象下方． 16. 【2016高考冲刺卷（5）【江苏卷】】(本题满分16分)设函数（1）若函数()f x 在0x =处有极值，求函数()f x 的最大值；（2）①是否存在实数b ，使得关于x 的不等式()0g x <在()0,+∞上恒成立？若存在，求出b 的17. 【2016高考冲刺卷（9）【江苏卷】】已知函数()(1)ln ,f x ax a x a x=--+∈R . (Ⅰ)求函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）当1a ≥时，若()1f x >在区间1[,e]e 上恒成立，求a 的取值范围.18. 【2016高考冲刺卷（7）【江苏卷】】已知函数2()(sin 2)x f x e x ax a e =-+-，其中a R ∈，2.71828e =为自然对数的底数．（1）当0a =时，讨论函数()f x 的单调性；（2）当112a ≤≤时，求证：对任意的[0,)x ∈+∞，()0f x <．。

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一、填空1. 【2016-2017学年度江苏苏州市高三期中调研考试】曲线cos y x x =-在点切线的斜率为___________． 【答案】2 【解析】试题分析：'1sin y x =+，2．2. 【江苏省苏州市2017届高三暑假自主学习测试】曲线x e y =在0=x 处的切线方程是▲ ．【答案】1+=x y 【解析】试题分析：因为xy e '=，所以在0=x 处的切线斜率为01k e ==，因此切线方程是11(0)1y x y x -=-⇒=+3. 【江苏省泰州中学2017届高三摸底考试】对于函数()y f x =，若存在区间[],a b ，当[],x a b ∈时的值域为[],ka kb （0k >），则称()y f x =为倍值函数．若()ln f x x x =+是倍值函数，则实数的取值范围是 ． e4. 【南京市2017届高三年级学情调研】已知函数312,0()2,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，当(,]x m ∈-∞时，()f x 的取值范围为[16,)-+∞，则实数m 的取值范围是 . 【答案】－2，8] 【解析】试题分析：320,1212402x y x x y x x '≤=-⇒=-=⇒=-（正舍），(2)16f -=-；由2168x x -=-⇒=，所以当2m <-时，()16f x >-；当28m -≤≤时，()16f x ≥-；当8m >时，min ()16f x <-；因此实数m 的取值范围是28m -≤≤5. 【江苏省南通市如东县、徐州市丰县2017届高三10月联考】函数()2logf x x =在点()1,2A 处切线的斜率为 ▲ ．【解析】 试题分析：()f x '=6. 【江苏省南通市如东县、徐州市丰县2017届高三10月联考】已知函数322()7f x x ax bx a a =++--在1x =处取得极小值10的值为 ▲ ．7. 【江苏省南通市如东县、徐州市丰县2017届高三10月联考】定义在R 上的可导函数()f x ，已知()f x ye=′的图象如图所示，则()y f x =的增区间是 ▲ ．【答案】（﹣∞，2） 【解析】试题分析：由()21()0f x x e f x '≤≥⇒≥′时，()21()0f xx e f x '><⇒<′时，所以()y f x =的增区间是（﹣∞，2）8. 【江苏省南通市如东县、徐州市丰县2017届高三10月联考】若实数,,,a b c d 满足，则()()22a cb d -+-的最小值为 ▲ ．【答案】5 【解析】试题分析：，所以()()22a cb d -+-表示直线220x y -+=上点P 到曲线24ln y x x =-上点Q 距离的平方.由得(1,1)P -，所以所求最小值为9. 【江苏省南通市如东县、徐州市丰县2017届高三10月联考】已知函数表示,a b 中的最小值，若函数()()(){}()min ,0h x f x g x x =>恰有三个零点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．10. 【泰州中学2016-2017年度第一学期第一次质量检测】已知函数，若函数()f x 在(1,2)上有极值，则实数的取值范围为 ．【解析】试题分析：由题意得()f x '在(1,2)上有零点，11. 【泰州中学2016-2017年度第一学期第一次质量检测】若函数()y f x =的定义域为R ，对于x R ∀∈，'()()f x f x <，且(1)f x +为偶函数，(2)1f =，则不等式()xf x e <的解集为 ． 【答案】(0,)+∞ 【解析】，因为(1)f x +为偶函数，所以(1)(1)(0)(2)1g(0)1f x f x f f +=-+⇒==⇒=，因此()()1(0)0xf x eg x g x <⇒<=⇒> 12. 【泰州中学2016-2017年度第一学期第一次质量检测文科】若直线y x b =+是曲线ln y x x =的一条切线，则实数b = ．【答案】1-13. 【江苏省南通中学2017届高三上学期期中考试】已知直线01=+-y x与曲线ln y x a =-相切，则的值为 ▲ ．【答案】2- 【解析】 试题分析：设切点为14. 【2017▲ ． 【解析】在[]3,4x ∈上均为增函数，不妨设12x x <，则，则()h x 在[]3,4x ∈为减函数， 在(3,4)x ∈上恒成立，，()u x∴为减函数，()u x ∴在[]3,4x ∈的最大15. 【江苏省如东高级中学2017届高三上学期第二次学情调研】若幂函数()f x 的图像经过点()4,2A ，则它在A 点处的切线方程为____________． 【答案】440x y -+=16. 【江苏省如东高级中学2017届高三上学期第二次学情调研】已知函数()312,02,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，当(],m x ∈-∞时，()f x 的取值范围为[)16,-+∞，则实数m 的取值范围是____________． 【答案】[]2,8- 【解析】试题分析: 因为当0≤x 时,)2)(2(3)(/x x x f -+=,所以当2-<x 时,0)(/<x f ,函数)(x f 单调递减；当02<<-x 时,0)(/>x f ,函数)(x f 单调递增；函数)(x f 在2-=x 处取最小值16)2(-=-f .画出函数的图象,结合函数的图象可以看出当82≤≤-m ,函数)(x f 总能取到最小值16-,故应填答案[]2,8-.17. 【泰州中学2017在1x =处的切线与直线210x y -+=平行，则a =_________. 【答案】.二、解答1. 【2016-2017学年度江苏苏州市高三期中调研考试】（本题满分16分）已知()()32310f x ax x a =-+>，定义()()(){}()()()()()(),max ,,f x f x g x h x f x g x g x f x g x ≥⎧⎪==⎨<⎪⎩．（1）求函数()f x 的极值；（2）若()()g x xf x '=，且存在[]1,2x ∈使()()h x f x =，求实数的取值范围； （3）若()ln g x x =，试讨论函数()()0h x x >的零点个数．【答案】（1）()f x 的极大值为1，（2）2a ≤；（3）当02a <<时， ()h x 有两个零点；当2a =时，()h x 有一个零点；当2a >时，()h x 有无零点．究()h x 的零点，在定义域内，由（1）()f x 的最小值是()f x 的最小值是(1)(1)0f g ==，可确定()h x 只有一个零点，当主要要研究01x <<时函数的零点，为此设()()()()3231ln 01x f x g x ax x x x ϕ=-=-+-<<，求得'()0x ϕ<，()x ϕ减函数，可得存在0x 使得00x x <<时，()()h x f x =，在一个零点，当01x x <<时()()h x g x =无零点，最终可得零点个数为2．试题解析：（1）∵函数()3231f x ax x =-+，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分∴()()33632f x ax x x ax '=-=-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 1分∴()f x 的极大值为()01f =，．．．．．．．．．．．．．．3分 （2）()()236g x xf x ax x '==-，∵存在[]1,2x ∈，使()()h x f x =，∴()()f x g x ≥在[]1,2x ∈上有解，即32323136ax x ax x -+≥-在[]1,2x ∈上有解， 在[]1,2x ∈上有解，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分对[]1,2x ∈恒成立， 在[]1,2x ∈上单调递减，∴当1x =时，4， ∴24a ≤，即2a ≤．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 （3）由（1）知，()f x 在()0,+∞上的最小值为 ，即2a >时，()0f x >在()0,+∞上恒成立， ∴()()(){}max ,h x f x g x =在()0,+∞上无零点．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 即2a =时，()()min 10f x f ==，又()10g =， ∴()()(){}max ,h x f x g x =在()0,+∞上有一个零点，．．．．．．．．．．．．．．9分 ，即02a <<时，设()()()()3231ln 01x f x g x ax x x x ϕ=-=-+-<<，，∴()x ϕ在()0,1上单调递减，，使得()00x ϕ=， I ．当00x x <≤时，∵()()()()00x f x g x x ϕϕ=-≥=，∴()()h x f x =且()h x 为减函数， 又()()()()0000ln ln10,010h x f x g x x f ===<==>，∴()h x 在()00,x 上有一个零点； II ．当0x x >时，∵()()()()00x f x g x x ϕϕ=-<=，∴()()h x g x =且()h x 为增函数， ∵()10g =，∴()h x 在()0,x +∞上有一零点；从而()()(){}max ,h x f x g x =在()0,x +∞上有两个零点，．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 15分 综上所述，当02a <<时， ()h x 有两个零点；当2a =时，()h x 有一个零点；当2a >时，()h x 有无零点．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 16分2. 【江苏省苏州市2017届高三暑假自主学习测试】（本小题满分16分）如图，某城市小区有一个矩形休闲广场，20AB =米，广场的一角是半径为16米的扇形BCE 绿化区域，为了使小区居民能够更好的在广场休闲放松，现决定在广场上安置两排休闲椅，其中一排是穿越广场的双人靠背直排椅MN （宽度不计），点M 在线段AD 上，并且与曲线CE 相切；另一排为单人弧形椅沿曲线CN （宽度不计）摆放．已知双人靠背直排椅的造价每米为2a 元，单人弧形椅的造价每米为元，记锐角NBE θ∠=，总造价为W 元．（1）试将W 表示为的函数()W θ，并写出θcos 的取值范围； （2）如何选取点M 的位置，能使总造价W 最小．【答案】（12试题解析：解：（1）过N 作AB 的垂线，垂足为F ；过M 作NF 的垂线，垂足为G ． 在RT BNF ∆中，16cos BF θ=，则2016cosMG θ=- 在RT MNG ∆中，4分由题意易得6分7分2分4分16分3. 【江苏省苏州市2017届高三暑假自主学习测试】（本小题满分16分）已知函数2()ln ,()f x x x g x x ax =-=-．（1）求函数()f x 在区间[],1(0)t t t +>上的最小值()m t ；（2）令1122()()(),(,()),(,())h x g x f x A x h x B x h x =-12()x x ≠是函数()h x 图象上任意两（3）若(0,1]x ∃∈，使 【答案】（1）当01t <<时，()1m t =；当1t ≥时，()ln m t t t =-.（23）.间()1,1t +上为增函数，最后根据单调性确定函数最小值（2）不妨取12x x <，则1212()()h x h x x x -<-，即1122()()h x x h x x -<-恒成立，即()()F x h x x =-在(0,)+∞上单调递增，然后利用导数研究函数单调性：()0F x '≥在(0,)+∞恒成立.最后利用变量分离转化为对应函数最值，求参数.（3）不等式有解问题与恒成立问题这要用到二次求导，才可确定函数单调性：()t x 在(0,1]上单调递增，进而确定函数最值 试题解析：解（1，令()0f x '=，则1x =， 当1t ≥时，()f x 在[],1t t +上单调递增，()f x 的最小值为()ln f t t t =-； ………………………1分当01t <<时，()f x 在区间(),1t 上为减函数，在区间()1,1t +上为增函数，()f x 的最小值为(1)1f =.综上，当01t <<时，()1m t =；当1t ≥时，()ln m t t t =-. …………………3分（2）2()(1)ln h x x a x x =-++,对于任意的12,(0,)x x ∈+∞，不妨取12x x <，则120x x -<, 可得1212()()h x h x x x -<-，变形得1122()()h x x h x x -<-恒成立， ………………………5分 令2()()(2)ln F x h x x x a x x =-=-++，则2()(2)ln F x x a x x =-++在(0,)+∞上单调递增， 在(0,)+∞恒成立， ………………………7分 . 12x x +≥时取""=，………………………10分（3）()a f x ≥2(1)2ln a x x x x ∴+≤-.(0,1]x ∈，1(1,2]x ∴+∈，(0,1]x ∴∃∈使得.………………………12分 令223ln 1y x x x =+--，则由或1x =-（舍）.()0t x '∴>在(0,1]x ∈上恒成立. ()t x ∴在(0,1]上单调递增.(1)a t ∴≤，即1a ≤. ………………………15分∴实数的最大值为. ………………………16分4. 【江苏省泰州中学2017． （1）求()f x 的单调区间；（2）是否存在正实数使得(1)(1)f x f x -=+，若存在求出，否则说明理由； （3）若存在不等实数1x ，2x ，使得12()()f x f x =，证明： 【答案】（1）单调递减区间是()1,+∞，单调递增区间为(),1-∞．（2）不存在（3）详见解析（3）为研究方便不妨设()10,1x ∈，()21,x ∈+∞，则需证明2111H()()(2)()(2)x f x f x f x f x =--=--，可证H()x 在(0,1)上单调增，即H()H(1)0x <=，因此21()(2)f x f x <-，而()y f x =在()1,+∞上递减，即212x x >-试题解析：解：（1）函数()y f x =的单调递减区间是()1,+∞，单调递增区间为(),1-∞． （2）不存在正实数使得(1)(1)f x f x -=+成立， 事实上，由（1）知函数()y f x =在(,1)-∞上递增，而当()0,1x ∈，有()0,1y ∈，在()1,+∞上递减，有01y <<， 因此，若存在正实数使得(1)(1)f x f x -=+，必有()0,1x ∈． ，所以()F x 为(0,1)上的增函数，所以()(0)0F x F >=，即(1)(1)f x f x +>-， 故不存在正实数使得(1)(1)f x f x -=+成立．（3）若存在不等实数1x ，2x ，使得12()()f x f x =，则1x 和2x 中，必有一个在()0,1，另一个在()1,+∞，不妨设()10,1x ∈，()21,x ∈+∞． ①若22x ≥，则1）知：函数()y f x =在()1,+∞上单调递减，所以②若2(1,2)x ∈，由（2）知：当()0,1x ∈，则有(1)(1)f x f x +>-，而()110,1x -∈，所以[][]11112(2)1(1)1(1)()()f x f x f x f x f x -=+->--==，即12(2)()f x f x ->，而12x -，2(1,2)x ∈，由（1）知：函数()y f x =在(1,)+∞上单调递减， ∴122x x -<，即有由（1）知：函数()y f x =在(1,)+∞上单调递减，所以综合①，②得：若存在不等实数1x ，2x ，使得5. 【南京市2017届高三年级学情调研】（本小题满分14分）如图，某城市有一块半径为40m 的半圆形（以O 为圆心，AB 为直径）绿化区域，现计划对其进行改建，在AB 的延长线上取点D ，使80OD m =，在半圆上选定一点C ，改建后的绿化区域由扇形区域AOC 和三角形区域COD 组成，其面积为2Sm ，设AOC xrad ∠=. （1）写出S 关于的函数关系式()S x ，并指出的取值范围； （2）试问AOC ∠多大时，改建后的绿化区域面积S 最大.【答案】（1）S ＝1600sinx ＋800x ，0＜x ＜π．（23试题解析：（1）因为扇形 AOC 的半径为 40 m ，∠AOC ＝x rad ，所以 扇形AOC 的面积S 扇形AOC800x ，0＜x ＜π． …………………… 2分在△COD 中，OD ＝80，OC ＝40，∠COD ＝π－x ， 所以△COD 的面积S △CODOC ·OD ·sin ∠COD ＝1600sin(π－x)＝1600sinx ． …………………… 4分从而 S ＝S △COD ＋S 扇形AOC ＝1600sinx ＋800x ，0＜x ＜π． …………………… 6分（2）由（1）知， S(x)＝1600sinx ＋800x ，0＜x ＜π． S′(x)＝1600cosx ＋800＝1600(cosx． …………………… 8分 由 S′(x)＝0，解得x从而当0＜xS′(x)＞0x ＜π时， S′(x)＜0 ． 因此 S(x)在区间(0上单调递增；在区间π)上单调递减． …………………… 11分所以 当xS(x)取得最大值． 答：当∠AOCS 最大． (14)分6. 【南京市2017届高三年级学情调研】（本小题满分16分）已知函数2()ln ,(,)f x ax bx x a b R =-+∈.（1）当1a b ==时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程； （2）当21b a =+时，讨论函数()f x 的单调性；（3）当1,3a b =>时，记函数()f x 的导函数'()f x 的两个零点是1x 和2x （12x x <），求证：【答案】（1）2x －y －2＝0．（2）详见解析（3）详见解析12()()()x f x f x ϕ=-最小值.因为12()()()x f x f x ϕ=-=(2212x x -)－(bx 1－bx 2)＋x 1，x 2是方程2x 2－bx ＋1＝0的两个根，所以bx=2x 2＋1，bx 1－bx 2=2（2212x x -）；再由x 1x 2()x ϕ=22x －ln(222x )，最后根据零点存在定理确定x 2取值范围：x 2∈(1，＋∞)，利用导数可得()x ϕ在区间(2，＋∞)单调递增，即φ(t )＞φ(2)ln2， 试题解析：（1）因为a ＝b ＝1，所以f (x )＝x 2－x ＋ln x ，从而f ′(x )＝2x －1 因为f (1)＝0，f ′(1)＝2，故曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为y －0＝2(x －1)， 即2x－y－2＝0． …………………… 3分 （2）因为b ＝2a ＋1，所以f (x )＝ax 2－(2a ＋1)x ＋ln x ，从而 f ′(x )＝2ax －(2a ＋1)＝，x ＞0． ………… 5分当a ≤0时，x ∈(0，1)时，f ′(x )＞0，x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0，所以，f (x )在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减．…………………… 7分当0＜a 由f ′(x )＞0得0＜x ＜1或xf ′(x )＜0得1＜x 所以f (x )在区间(0，1))上单调递增，在区间(1上单调递减．当a因为f ′(x )≥0（当且仅当x ＝1时取等号）， 所以f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增． 当a由f ′(x )＞0得0＜xx ＞1，由f ′(x)＜0x ＜1， 所以f (x )在区间(0(1，＋∞)上单调递增，在区间1)上单调递减． (10)分（3）方法一：因为a ＝1，所以f (x )＝x 2－bx ＋ln x ，从而f ′(x )(x ＞0)．由题意知，x 1，x 2是方程2x 2－bx ＋1＝0的两个根，故x1x 2 记g (x ) ＝2x 2－bx ＋1，因为b ＞3，所以g 0，g (1)＝3－b ＜0， 所以x 1∈(0，x 2∈(1，＋∞)，且bx i ＝22i x ＋1 (i ＝1，2)．…………………… 12分f (x 1)－f (x 2)＝(2212x x -)－(bx 1－bx 2)＋(2212x x -)＋ 因为x 1x 2f (x 1)－f (x 2)＝22x －ln(222x )，x 2∈(1，＋∞)．……………… 14分令t ＝222x ∈(2，＋∞)，φ(t )＝f (x 1)－f (x 2)ln t ． 因为φ′(t )0，所以φ(t )在区间(2，＋∞)单调递增，所以φ(t )＞φ(2)ln2，即f (x 1)－f (x 2)ln2．…………………… 16分方法二：因为a ＝1，所以f (x )＝x 2－bx ＋ln x ，从而f ′(x )(x ＞0)．由题意知，x 1，x 2是方程2x 2－bx ＋1＝0的两个根．记g (x ) ＝2x 2－bx ＋1，因为b ＞3，所以g 0，g (1)＝3－b ＜0，所以x 1∈(0，x 2∈(1，＋∞)，且f (x )在x 1，x 2]上为减函数． …………………… 12分所以f (x 1)－f (x 2)＞f －f (1)－(1－b )ln2．因为b ＞3，故f (x 1)－f (x 2)ln2． (16)分7. 【江苏省南通市如东县、徐州市丰县2017届高三10月联考】(本小题满分14分)(1) 求函数()f x 的单调递减区间；(2) 时，()f x 的最小值是，求实数的值．【答案】(1) 0a ≤时，()f x 的单调递减区间为()0,+∞，0a >时，()f x 的单调递减区间为试题解析：(1)………………………………………2分 0a ≤时，()0f x <′在()0,+∞上恒成立， 则()f x 的单调递减区间为()0,+∞， ………………………………………4分0a >时，令()0f x <′得： 则()f x 的单调递减区间为………………………………………6分①1a ≤时，()f x 在min ()(1)10f x f ==≠，无解 ………………………………………8分②2a ≥时， ()f x 在………………………………………12分③12a <<时，()f x 在，解得：a e =，舍去；………………………………………14分 8. 【江苏省南通市如东县、徐州市丰县2017届高三10月联考】(本小题满分16分)在互联网时代，网校培训已经成为青年学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量()h x （单位：千套）与销售价格（单位：元/套）满足的关系式()()()h x f x g x =+（37x <<，m 为常数），其中()f x 与()3x -成反比，()g x 与()7x -的平方成正比，已知销售价格为5元/套时，每日可售出套题21千套，销售价格为3.5元/套时，每日可售出套题69千套. (1) 求()h x 的表达式；(2) 假设网校的员工工资，办公等所有开销折合为每套题3元（只考虑销售出的套数），试确定销售价格的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．（保留1位小数）【答案】（37x <<）试题解析：(1) 因为()f x 与3x -成反比，()g x 与7x -的平方成正比， ，12.00k k ≠≠，， 2分 因为销售价格为5元/套时，每日可售出套题21千套，销售价格为2.5元/套时，每日可售出套题69千套所以，()()521, 3.569h h ==，即，解得：12104k k=⎧⎨=⎩， ……………6分（37x <<） ………………………………………8分 (2) 由（1 设每日销售套题所获得的利润为()F x32468364578x x x =-+- ………………………………………10分 从而()()()21213636443137,37F x x x x x x =-+=--<<′ ……………………12分时，()0F x >′，所以函数()F x 在14分时，()0F x <′，所以函数()F x 在时，函数()F x 取得最大值 答：当销售价格为4.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大.…………16分9. 【江苏省南通市如东县、徐州市丰县2017届高三10月联考】(本小题满分16分)给出定义在()+∞,0上的两个函数2()ln f x x a x =-, （1）若()f x 在1=x 处取最值．求的值；（2）若函数2()()()h x f x g x =+在区间(]0,1上单调递减，求实数的取值范围； （3）试确定函数()()()6m x f x g x =--的零点个数，并说明理由．【答案】(1) 2a = (2) a ≥2（3）两个零点．试题解析：由已知，(1)0f =′即: 20a -=, 解得：2a = 经检验 2a = 满足题意所以 2a = ………………………………………4分(2) ()2222()()()ln 2ln h x f x g x x a x x ax x a x x =+=-+-=-+要使得()2()2ln h x x a x x =-+在区间(]0,1上单调递减， 则()0h x ′≤，即在区间(]0,1上恒成立…………………………………6分……………………………………8分因为(]0,1x ∈，所以所以()max 2F x =，所以a ≥2 ……………………………………10分 （3）函数()()()6m x f x g x =--有两个零点．因为………12分当()1,0∈x 时，()0<'x m ，当()+∞∈,1x 时，()0>'x m所以()()min 140m x m ==-<， ……………………………………14分4442()1)2(7)0m e e e e =-+->（ 故由零点存在定理可知：函数()x m 在4(,1)e - 存在一个零点，函数()x m 在4(1,)e 存在一个零点， 所以函数()()()6m x f x g x =--有两个零点． ……………………………………16分10. 【泰州中学2016-2017年度第一学期第一次质量检测】为了制作广告牌，需在如图所示的铁片上切割出一个直角梯形，已知铁片由两部分组成，半径为1的半圆O 及等腰直角三角形EFH ，其中FE ⊥FH ．为裁剪出面积尽可能大的梯形铁片ABCD （不计损耗），将点A ，B 放在弧EF 上，点C 、D 放在斜边EH 上，且////AD BC HF ，设AOE θ∠=．（1）求梯形铁片ABCD 的面积S 关于的函数关系式；（2）试确定的值，使得梯形铁片ABCD 的面积S 最大，并求出最大值．【答案】（1）S 2(1sin )cos θθ=+，2试题解析：（1）连接OB ，根据对称性可得AOE BOF θ∠=∠=且1OA OB ==， 所以1cos sin AD θθ=-+，1cos sin BC θθ=++，2cos AB θ=，（222'()2(cos sin sin )f θθθθ=--2(2sin 1)(sin 1)θθ=--+（．时，'()0f θ<，11. 【泰州中学2016-2017年度第一学期第一次质量检测】已知函数()ln ()||f x a x x c x c =+--，0a <，0c >．（1时，求函数()f x 的单调区间； （2对任意(,)x c ∈+∞恒成立，求实数的取值范围；（3）设函数()f x 的图象在两点11(,())P x f x ，22(,())Q x f x 处的切线分别为，，2x c =，且12l l ⊥，求实数的最小值．【答案】（12）(2,1]--（3，列表分析得()f x 在单调递减；()f x 在（2）不等式恒成立问题，因此转化为利用导数求函数最小值：当x c >，1，列表分析函数单（3）由最小值试题解析：函数22ln (),,()ln (),0,a x x c x c f x a x x c x c ⎧+-≥⎪=⎨--<<⎪⎩求导得（1恒成立，所以()f x 在，令'()0f x =，解得，，则'()0f x <，()f x 在所以当1c x <<时，'()0f x <，()f x 在(,1)c 上单调递减； 当1x >时，'()0f x >，()f x 在(1,)+∞上单调递增；所以函数()f x 在(,)c +∞上的最小值为恒成立，解得1a ≤-或1a ≥（舍去），，解得2a >-，所以实数的取值范围是(2,1]--． （3）由12l l ⊥知，由0c >，得，2t >，时，'()0g t <，()g t 在 时，'()0g t >，()g t 在 所以函数()g t 的最小值为12. 【泰州中学2016-2017年度第一学期第一次质量检测】已知函数，其中，b R ∈． 2.71828e =是自然对数的底数． （1）求曲线()y f x =在1x =处的切线方程为(1)y e x =-，求实数，的值； （2）①若2a =-时，函数()y f x =既有极大值又有极小值，求实数的取值范围；②若2a =，2b ≥-，若()f x kc ≥对一切正实数恒成立，求实数的取值范围（用表示）． 【答案】（1）3a =，2b =-．（2）①1ln 2b >+，②(2)k b e ≤+取1x =得(2)k b e ≤+．由于x e ex ≥，，因此(2)k b e ≤+时不等式恒成立 试题解析：（1）由题意知曲线()y f x =过点(1,0)，且'(1)f e =；则有(1)(2)0,'(1)(),f e b f e a b e =+=⎧⎨=+=⎩解得3a =，2b =-．（2）①当2a =-时，函数()y f x =的导函数时，'()0g x <，函数()y g x =在区间()(1ln 2,)g x ∈++∞；仅当1ln 2b >+时，()b g x =有两个不同的解，设为1x ，2x （12x x <）．此时，函数()y f x =既有极大值又有极小值．取1x =得(2)k b e ≤+．首先，证明x e ex ≥，设函数()x u x e ex =-，则'()x u x e e =-，当1x >时，'()0u x >；当1x <时，'()0u x <；得(1)0x e ex u -≥=，即x e ex ≥， 当且仅当都在1x =处取到等号．，当1x >时，'()0v x >； 当1x <时，'()0v x <；得()(1)0v x v ≥=，即当且仅当都在1x =处取到等号．13. 【泰州中学2016-2017年度第一学期第一次质量检测文科】某地拟建一座长为640米的大桥AB ，假设桥墩等距离分布，经设计部门测算，两端桥墩A ，B 造价为100万元，当相邻两个桥墩的距离为米时（其中64100x <<）面每1 （1）试将桥的总造价表示为的函数()f x ；（2）为使桥的总造价最低，试问这座大桥中间（两端桥墩A ，B 除外）应建多少个桥墩？【答案】（1（64100x <<）．（2）80试题解析：（1）由桥的总长为640墩．（64100x <<）．（2）由（1由'()0f x =，解得180x =，， 又当(64,80)x ∈时，'()0f x <；当(80,100)x ∈时，'()0f x >，所以当80x =，桥的总造价最低，此时桥墩数为14. 【泰州中学2016-2017年度第一学期第一次质量检测文科】（为实数）．（1）当1a =时，求函数()f x 的图象在点（2）设函数2()32h a a a λ=-（其中λ为常数），若函数()f x 在区间(0,2)上不存在极值，（3【答案】13][,)8+∞）详见解析2ln 220x y -+-=．（2，由'()0f x =，解得x a =， 由于函数()f x 在区间(0,2)上不存在极值，所以0a ≤或2a ≥，综上可知，λ的取值范围是13][,)8+∞（3）证明：当1a =时，当()0,1x ∈时，'()0f x >，()f x 单调递增； 当(1,)x ∈+∞时，'()0f x <，()f x 单调递减，处取得最大值(1)f ，∴11ln x x -≤1)ln n n +- ∴ln(1)ln(1)ln1n n +=+-(ln 2++… 15. 【苏北四市（淮安、宿迁、连云港、徐州）2017届高三上学期期中】（本小题满分16分）设函数2()ln f x x ax ax =-+，为正实数．（1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2（3）若函数()f x 有且只有个零点，求的值． 【答案】（1）10x y +-=（2）详见解析（3）．试题解析：（1）当2a =时，2()ln 22f x x x x =-+，则2分 所以'(1)1f =-，又(1)0f =，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为10x y +-=．…………4分，设函数()ln 1g x x x =-+，6分令'()0g x =，得1x =，列表如下：所以()g x 的极大值为(1)0g =．8分（3，0x >，令'()0f x >，得所以()f x 在10分，因为函数()f x 只有1个零点，而(1)0f =，所以是函数()f x 的唯一零点．当01x =时，()(1)0f x f =≤，()f x 有且只有个零点，，解得1a =．…………………………………………12分下证，当01x ≠时，()f x 的零点不唯一．若01x >，则0()(1)0f x f >=，此时，即01a <<，则 由（2，又函数()f x 在以0x 和所以在0x 和之间存在()f x 的零点，则()f x 共有2个零点，不符合题意；若01x <，则0()(1)0f x f >=，此时，即1a >，则 和0x 之间存在()f x 的零点，则()f x 共有2个零点，不符合题意． 因此01x =，所以的值为．…………………………………………………16分16. 【江苏省南通中学2017届高三上学期期中考试】(本小题满分16分)如图，某城市有一块半径为40 m 的半圆形绿化区域(以O 为圆心，AB 为直径)，现计划对其进行改建．在AB 的延长线上取点D ，OD ＝80 m ，在半圆上选定一点C ，改建后的绿化区域由扇形区域AOC 和三角形区域COD 组成，其面积为S m 2．设∠AOC ＝x rad ． (1)写出S 关于x 的函数关系式S (x )，并指出x 的取值范围；(2)试问∠AOC 多大时，改建后的绿化区域面积S 取得最大值．【答案】(1) S(x)＝1600sinx ＋800x ，0＜x ＜π．（第18题）0＜x ＜π(2)利用导数求函数最值：先求导数S′(x)＝1600cosx ＋800＝1600(cosx ，再求导函数零点x 得极大值，也是最大值试题解析：(1)因为扇形 AOC 的半径为 40 m ，∠AOC＝x rad ，所以 扇形AOC 的面积S 扇形AOC 800x ，0＜x ＜π． …………… 2分在△COD 中，OD ＝80，OC ＝40，∠COD＝π－x ，所以△COD 的面积1600sin(π－x)＝1600sinx ．…… 5分 从而 S ＝S△COD＋S 扇形AOC ＝1600sinx ＋800x ，0＜x ＜π． …………………7分 (2)由(1)知， S(x)＝1600sinx ＋800x ，0＜x ＜π．S′(x)＝1600cosx ＋800＝1600(cosx ． ……………… 9分由 S′(x)＝0，解得x从而当0＜x 0x ＜π时， S′(x)＜0 ．因此 S(x)在区间(0上单调递增；在区间π)上单调递减． …………… 14分所以 当x 取得最大值．答：当∠AOC S 最大．……………… 16分17. 【江苏省南通中学2017届高三上学期期中考试】(本小题满分16分) 已知函数(1)当1a =时，求函数()f x 在点(2,(2))f 处的切线方程； (2)求函数()f x 的单调区间；(3)若()2ln f x x ≥在[1,)+∞上恒成立，求a 的取值范围． 【答案】(1) 5440--=x y (2) 详见解析(3) [1,)+∞时，'()0≥g x ，min ()=g x (1)0=g ；1<a 时，min ()=g x (1)0=g…………2分…………3分所以，函数()f x 在点(2,(2))f 处的切线方程为即：5440--=x y …………4分 (Ⅱ)函数的定义域为：{|0}≠x x…………6分当02<≤a 时，'()0≥f x 恒成立，所以，()f x 在(,0)-∞和(0,)+∞上单调递增 当2>a 时，令'()0=f x ，即：220+-=ax a ，'()0,>f x 21;或><x x x x '()0,<f x 1200或<<<<x x x x ， 所以，()f x 单调递增区间为…………10分 (Ⅲ)因为()2ln ≥f x x 在[1,)+∞上恒成立，有在[1,)+∞上恒成立．，即1=a 时，'()0≥g x ，函数()g x 在[1,)+∞上单调递增，又(1)0=g 所以，()2ln ≥f x x 在[1,)+∞上恒成立； ，即1<a 时，当时，'()0,()>g x g x 单调递增； 时，'()0<g x ，()g x 单调递减 所以，()g x 在[1,)+∞上的最小值为 因为(1)0,=g 所以 即1>a 时，当时，'()0,()>g x g x 单调递增， 时，'()0,()<g x g x 单调递减， 所以，()g x 在[1,)+∞上的最小值为(1)g 又因为(1)0=g ，所以()2ln ≥f x x 恒成立综上知，的取值范围是[1,)+∞． …………16分18. 【2017届高三七校联考期中考试】（本小题满分16分）对于两个定义域均为D 的函数f(x)，g(x)，若存在最小正实数M ，使得对于任意x ∈D ，都有|f(x)－g(x)|≤M ，则称M 为函数f(x)，g(x)的“差距”，并记作||f(x)，g(x)||． （1）求f(x)＝sinx (x ∈R)，g(x)＝cosx (x ∈R)的差距；（2）设f(x)(x ∈1, ，g(x)＝m ln x (x ∈．(e≈2.718)①若m ＝2，且||f(x)，g(x)||＝1，求满足条件的最大正整数a ； ②若a ＝2，且||f(x)，g(x)||＝2，求实数m 的取值范围．【答案】22}．试题解析：（1）|f(x)－g(x)|＝|sin x－cos x|当x＝kπk∈Z时取“＝”，所以||f(x)，g(x)||4分）（2）①令h(x)＝f(x)－g(x)2ln x．则h′(x)令h′(x)＝0，则x＝16．列表：∵h(1)＝1；当a＝3时，h3，由于3e＞1623＞－1；当a＝4时，h＝e－4＜－1，故满足条件的最大正整数为3．（10分）②法一：由a＝2，且||f(x)，g(x)||＝2，得|f(x)－g(x)|≤2m ln x|≤2，所以－m ln x≤2．当x＝1时，上式显然成立；当x∈(1，e]令w(x)w′(x)0，从而w(x)在(1，e]上递减，从而w(x)min＝w(e)2，从而m2；令v(x)v′(x)0，从而v(x)在(1，e]上递增，从而v(x)max＝v(e)2，从而m2，2≤m 2又由于||f(x)，g(x)||＝2，故m2或m2，所以m的取值范围为2 2}．（16分）法二：令h(x)＝f(x)－g(x)m ln x，则h′(x)（1）若m h′(x)≥0，从而h(x)在1,e]上递增，又h(1)＝1，h(e)m m＝2，m2；（ii）若m h′(x)≤0，从而h(x)在1,e]上递减，又h(1)＝1，h(e)mm＝－2，m2；（iii m h′(x)＝0，可得x＝4m2，列表m－12＜2，所以2m－m ln(4m2)＝－2，．令u(m)＝2m－m ln(4m2)＝m(2－ln4)－2m ln m∴u′(m)＝2－ln4－2－2ln m＝－ln4－2lnm＝－2 ln2m＜0，∴u(m)＞u综上，m的取值范围是{－2，＋2}． （16分）19. 【江苏省如东高级中学2017届高三上学期第二次学情调研】（本小题满分14分）如图，有一块半径为R 的半圆形空地，开发商计划征地建一个矩形游泳池ABCD 和其附属设施，附属设施占地形状是等腰CDE ∆，其中O 为圆心，,A B 在圆的直径上，,,C D E 在圆周上．（1）设BOC θ∠=，征地面积记为()f θ，求()f θ的表达式； （2）当为何值时，征地面积最大？【答案】(1))cos cos (sin )(2θθθθ+=R f ；（1）连接OE ，可得OE R =，．．．．．．．．．．．．7分 （2）()()()22sin 1sin 1f R θθθ'=--+，令()0f θ'=，∴sin 10θ+=（舍）或者．．．9分时，()f θ取得最大．．．．．．．．．．．．．．13分 ．．．．．．．．．．．．．．．．．14分20. 【江苏省如东高级中学2017届高三上学期第二次学情调研】（本小题满分16分）已知函数()()24ln 1f x x ax x a a R =-+--+∈．（1（2，使函数()f x 的图像在点()()00,x f x 和点的切线互相垂直，求的取值范围；（3）若函数()f x 在区间()1,+∞上有两个极值点，则是否存在实数m ，使()f x m <对任意的[)1,x ∈+∞恒成立？若存在，求出m 的取值范围，若不存在，说明理由． 【答案】(3)存在，[)34ln 2,-+∞.（1．．．．．．．．． 3分 （2）函数()f x 的定义域为()0,+∞，．．．．．．．．．．．．5分，得()2,3t ∈，则有228650t at a -++=，．．．．．．．．．．．．．．．．．6分设()22865f t t at a =-++，则()f t 在()2,3t ∈上有零点，考虑到()()22232125610f a a a =-++=-+>，或811a ≤<，．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分（3令()224g x x ax =-+-，由题意，()g x 在区间()1,+∞上有两个不同零点，．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 设函数()f x 的两个极值点为1x 和2x ，则1x 和2x 是()g x 在区间()1,+∞上的两个不同零点，不妨设12x x <，则222240x ax -+-=①，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分当()11,x x ∈时，()()()0,0,g x f x f x '<<递减；()12,x x x ∈时，()()()0,0,g x f x f x '>>递增；当()2,x x ∈+∞时，()()()0,0,g x f x f x '<<递减， 结合②可得．．．．．．．．．．．．14分所以()h x 在又()10f =，所以存在34ln 2m ≥-，使()f x m <，综上，存在满足条件的m ，m 的取值范围为[)34ln 2,-+∞．．．．．．．．．．．．．．．．．．16分21. 【泰州中学2017届高三上学期期中考试】（本小题满分16分）如图，太湖一个角形湖湾,2AOB AOB θ∠=（ 常数为锐角）. 拟用长度为（为常数）的围网围成一个养殖区，有以下两种方案可供选择：方案一 如图1，围成扇形养殖区OPQ ，其中PQ l =； 方案二 如图2，围成三角形养殖区OCD ，其中CD l =；（1）求方案一中养殖区的面积1S ； （2）求方案二中养殖区的最大面积2S ；（3）为使养殖区的面积最大，应选择何种方案？并说明理由.【答案】(3)应选择方案一.试题解析：（1）设OP r =，则2l r θ=，即（2）设,OC a OD b ==.由余弦定理，得2222cos 2l a b ab θ=+-,所以22cos 2l ab θ≥,当且仅当a b =时，“=”成立.所以（3）令()tan f θθθ=-,则时，()'0f θ>, 所以()f θ在，总有()()00f f θ>=.得12S S >. 答:为使养殖区的面积最大.应选择方案一.22. 【泰州中学2017届高三上学期期中考试】（本小题满分16分）已知函数()22ln f x ax x =+.（1）求()f x 的单调区间；（2）若()f x 在(]0,1上的最大值是2-，求的值；（3）记()()()1ln 1g x f x a x =+-+,当2a ≤-时，若对任意()12,0,x x ∈+∞，总有.【答案】(1)(2)a e =-；(3).试题解析：（1）()f x 的定义域是()0,+∞.当0a ≥时，()'0f x >,故()f x 在()0,+∞上是增函数; 当0a <时，令()'0f x =，; 时，()'0f x >,故()f x 在;()'0f x <,故()f x 在.（2）①当0a ≥时，()f x 在()0,+∞上是增函数; 故在(]0,1上的最大值是 ()12f a ==-,显然不合题意.即10a -≤<时则()f x 在(]0,1上是增函数，故在(]0,1上的最大值是 ()12f a ==-,不合题意，舍去.③即1a <-时，()f x 在 ，故在(]0,1上的最大值是解得a e =-，符合. 综合①、②、③得: a e =-.（3）()()21ln 1g x a x ax =+++, 当2a ≥-时，()'0g x <,故2a ≤-时，当()g x 在()0,+∞上是减函数，不妨设210x x ≥>，则()()21g x g x ≤，故等价于()()()1221g x g x k x x -≥-，即()()1122g x kx g x kx +≥+，记()()x g x kx ϕ=+，从而()x ϕ在()0,+∞上为减函数，由()()21ln 1x a x ax kx ϕ=++++得:2ax --+()()21h a a a =+在(],2-∞-上单调递减，,4k ∴≤.故当2a ≥-时，的最大值为.23. 【无锡市普通高中2017届高三上学期期中基础性检测】（本题满分16分）的定义域为[]()0,2,g x π为()f x 的导函数． （1）求方程()0g x =的解集； （2）求函数()g x 的最大值与最小值；（3）若函数()()F x f x ax =-在定义域上恰有2个极值点，求实数的取值范围. 【答案】(2)最大值为()01g =，最小值为试题解析：．．3分 ．．．．4分分所以()g x 的最大值为()01g =，所以()g x 的最小值为．．．．．．．．7分 （3所以函数()()F x f x ax =-在定义域上恰有2个极值点，等价于()0g x a -=在定义域上恰有2个零点且在零点处异号，即()y g x =与y a =的图象恰有两个交点．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 9分由（2所以()0F x '=至多只有1个零点，不成立，．．．．．．．．．．．．．．．10分．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分 ，则()20F π'<，所以()0F x '=只有1个零点，不成立，．．．．．．．．．．12分 ．．．．．．．．．．．．．．．13分 若()20F π'≤，则()0F x '=有3个零点，不成立，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分 所以只有()20F π'>．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．16分4分．24. 【江苏省如东高级中学2017届高三上学期第二次学情调研】已知函数()()[)()ln 1,0,,f x x x f x '=+∈+∞是()f x 的导函数．设()()()g x f x axf x '=-（为常数），求函数()g x 在[)0,+∞上的最小值． 【答案】()min 0,1ln 1,1a g x a a a ≤⎧=⎨-+>⎩.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 2分 令()0g x '>，即10x a +->，得1x a >-，当10a -≤，即1a ≤时，()g x 在[)0,+∞上单调递增，()()()min 0ln 1000g x g ==+-=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分当10a ->即1a >时，()g x 在[)1,a -+∞上单调递增，在[]0,1a -上单调递减， 所以()()min 1ln 1g x h a a a =-=-+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 综上：()min0,1ln 1,1a g x a a a ≤⎧=⎨-+>⎩．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 3.变题：设函数()()()()ln 1,,0f x x g x xf x x '=+=≥，其中()f x '是()f x 的 导函数，若()()f x ag x ≥恒成立，求实数的取值范围．解：在0x ≥范围内()()f x ag x ≥恒成立，等价于()()0f x ag x -≥成立， ，即()0h x ≥恒成立，．．．．．．．．．．．．．．．1分令()0h x '>，即10x a +->，得1x a >-，当10a -≤即1a ≤时，()h x 在[)0,+∞上单调递增，()()()0ln 1000h x h ≥=+-=，所以当1a ≤时，()h x 在[)0,+∞上()0h x ≥恒成立；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 当10a ->即1a >时，()h x 在[)1,a -+∞上单调递增，在[]0,1a -上单调递减， 所以()()1ln 1h x h a a a ≥-=-+，设()()ln 11a a a a ϕ=-+>．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分，因为1a >，所以，即()0a ϕ'<， 所以函数()a ϕ在()1,+∞上单调递减，所以()()10a ϕϕ<=，即()10h a -<，所以()0h x ≥不恒成立， 综上所述，实数的取值范围为(],1-∞．．．．．．．．．．．．．．．．．10分。

【推荐】专题02 函数(第02期)-备战2017高考高三数学(文)全国各地一模金卷分项解析版

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一、选择题【2017湖北黄冈3）A B C D【答案】D【解析】试题分析：从题设中提供的解析式中可以看出,且当时,,由于,故函数在区间单调递减;在区间单调递增.由函数图象的对称性可知应选D.【2017湖北黄冈3月质检】对任意的[]3 2m∈-，，总有()10f mx fx-+>恒成立，则的取值范围是（）B.()1 2-， D.()2 3-，【答案】A从而，选A.【2017广东广雅、江西南昌二中联考】已知函数(5),2,(),22,(),2,xf x xf x e xf x x+>⎧⎪=-≤≤⎨⎪-<-⎩则(2016)f-=（）A ．2eB ．C ．D 【答案】B【解析】试题分析：【2017 ） A ．b a c << B ．a b c << C. b c a << D ．c a b << 【答案】A【2017内蒙呼和浩特一模】 ） A ．(0,1) B ．(1,2) C. (2,3) D ．(3,4) 【答案】B【解析】试题分析：由题得单调递增,,,的零点落在区间上.【2017甘肃兰州一诊】设函数是定义在上的偶函数，且对任意的，都有．当时，．若直线与函数的图象有两个不同的公共点，则实数的值是（ ）A.B.C. 或D. 或【答案】C【解析】因为函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，设x ∈-1，0]，则-x ∈0，1]，于是f （x ）=（-x ）2=x 2．设x ∈1，2]，则（x-2）∈-1，0]．于是，f （x ）=f （x-2）=（x-2）2．①当a=0时，联立y="x," y=x 2,解得x=0，y=0,或x=y=1，即当a=0时，即直线y=x+a 与函数y=f（x ）的图象有两个不同的公共点．②当-2＜a ＜0时，只有当直线y=x+a 与函数f （x ）=x 2在区间0，1）上相切，且与函数f （x ）=（x-2）2在x ∈1，2）上仅有一个交点时才满足条件．由f ′（x ）=2x=1，解得x=∴y=()2=，故其切点为(,))，∴a=-=-由y=x-, y=(x-2)2（1≤x ＜2）解之得x=综上①②可知：直线y=x+a 与函数y=f （x ）在区间0，2）上的图象有两个不同的公共点时的a 的值为0或-又函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R ，都有f （x+2）=f （x ），实数a 的值为或，（n ∈Z ）．故应选C ．考点：函数的奇偶性、周期性点评：此题考查了函数的奇偶性、周期性及导数的应用，用到了数形结合的思想方法【2017福建泉州3若对任意()()(),16x R f f x f ∈≤≤，则（ ）A ．()()201420170f f -<B ．()()201420170f f -= C. ()()201420170f f +< D ．()()201420170f f += 【答案】A【点睛】已知函数的图象求解析式(1).(2)由函数的周期求(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求，(4) 利用“五点法”中相对应的点研究对称性、单调性.【2017福建泉州3月质检】已知函数()2,03,0x x x f x x x ⎧+≥=⎨-<⎩，若()()0a f a f a -->⎡⎤⎣⎦，则实数的取值范围为（ ）A ．()1,+∞B ．()2,+∞ C. ()(),11,-∞-+∞ D ．()(),22,-∞-+∞【答案】D【解析】当 时，；当时，；综上实数的取值范围为【2017福建泉州3月质检】函数()()()ln 1ln 1cos f x x x x =++-+的图象大致是（ ）A ．B ．C. D ．【答案】A 【解析】因为 所以去掉C,D;当 时， ，所以选A.【2017山东淄博3月模拟】下列函数中，既是偶函数，又在区间（1,2）上使减函数的为（ ）.A. B.C.D.【答案】A对于D ：，，为奇函数，故D 错误；故选A. 学@科#网【2017山东淄博3月模拟】设定义在上的函数，对于任一给定的正数，定义函数，则称函数为的“界函数”． 关于函数的2界函数，结论不成立的是 （ ）A.B.C. D.【答案】B【点睛】本题考查新定义的理解和运用，考查分段函数的运用：求函数值，属于中档题；遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决，由于函数，，求出，再对选项一一加以判断，即可得到答案.【2017河北张家口期末】已知函数的图象如图所示，则函数的图象为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】将函数的图象关于轴对称，再保留的图像不变，并对称到轴右侧，即可得到函数的图象，故选A.【2017江西七校联考】给出下列4个命题，其中正确的命题是（）①若，则=；②若，则对；③若，则，使④若A，B，C，D是空间四点，命题：A，B，C，D四点不共面，命题：直线AB和CD不相交，则是成立的充分不必要条件.A. ①②B. ①③C. ②④D. ①②④【答案】C【解析】是常数，常数的导数等于0，不正确②，定义域为,所以函数是奇函数，满足正确；③，等号成立的条件是，即，所以不正确；④若四点不共面，那么和异面，反过来，若和不相交，但有可能平行，四点共面，所以是成立的充分不必要条件正确，故选C. 学@科*网【2017重庆一调】奇函数的定义域为.若为偶函数，且，则（）A. -2B. -1C. 0D. 1【答案】B【解析】是偶函数，关于对称，是奇函数.故选B.【2017重庆一调】定义在上的连续可导函数，当时，满足，则函数的零点的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】A【点睛】看不出已知条件所给不等式其实是某一函数的导数，不能利用已知条件去构造一个与已知条件和题目设问都刚好吻合的函数，不能通过研究构造函数帮助我们去解决题目中的问题.【2017北京海淀区零模】已知函数，正实数，，是公差为负数的等差数列，且满足，若实数是方程的一个解，那么下列四个判断：①；②；③；④中一定成立的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【点睛】本题考查函数的零点及等差数列，属于中档题．解决问题的角度从函数值的大小来判断自变量的大小，因此首先要分析函数的单调性，其次判断函数值的大小要通过分析来实现，结合等差数列判断出，从而零点对应的函数值要大于，再结合单调性即可判断出．【2017辽宁大连双基测试】已知函数则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因，故，应选答案C.【2017河北唐山一模】若函数，则（）A. 1B. 4C. 0D.【答案】A【解析】.故选A.【2017福建莆田质检】已知是定义在上的奇函数，当时，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】在上是奇函数.故选D.【2017广东汕头一模】函数的图像大致是（）.A. B. C. D.【答案】D【解析】由函数的表达式知，函数为奇函数，因此函数的图像关于原点对称，所以排除A,B；又因为，所以排除C，故应选D. 学*科网【2017广东广州一模】已知函数则A. B. C. D.【答案】A【解析】由题知，则．故本题答案选B．【点睛】求分段函数的函数值时，应该根据所给自变量的的大小选择相段的解析式求解，有时每段交替使用求值．若给出函数值求变量的值，应该根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值是否符合相应段的自变量的求值范围；分段函数的值域是各段函数值域的并集，函数的值域一定要写成集合或区间的形式．【2017广东广州一模】已知函数, 则的值为A. B. C. D.【答案】B二、填空题∈）为奇函数，则【2017（x Rab=．【答案】216【解析】由题意得，所以【2017贵州黔东南州模拟】若对于任意的实数，都有恒成立，则实数的取值范围是_____.【答案】【2017山东日照一模】函数为偶函数，且在单调递减，则的解集为______________.【答案】【解析】由已知为二次函数且对称轴为轴，∴，即．再根据函数在单调递增，可得．令，求得或，故由，可得或，故解集为．【2017山东淄博3月模拟】在研究函数的性质时，某同学受两点间距离公式启发，将变形为，并给出关于函数以下五个描述：①函数的图像是中心对称图形；②函数的图像是轴对称图形；③函数在0,6]上使增函数；④函数没有最大值也没有最小值；⑤无论为何实数，关于的方程都有实数根.其中描述正确的是__________.【答案】①③④④正确；当时，由④可知，方程无解，则⑤错误；故答案为①③④.【点睛】本题综合考查了函数的性质，综合性较强，运算量较大，综合考查学生的分析能力，解题时要注意等价转化思想的合理运用；利用中心对称和轴对称的定义和性质可准确判断出①②的正确性；利用函数单调性的定义可得增减型，结合三角形中两边之差小于第三边，可得到后三者的准确性.【2017广东汕头一模】若直角坐标系内两点满足：（1）点都在的图像上；（2）点关于原点对称，则称点对是函数的一个“姊妹点对”，点对与可看作一个“姊妹点对”.已知函数，则的“姊妹点对”有__________个．【答案】2【解析】根据题意，作出函数的图象关于原点对称的图象，以及函数的图像，如下图，观察图象可得：它们的交点个数是个；即的“姊妹点对”有个．【点睛】根据题意：“姊妹点”，可知，欲求的“姊妹点”，只须作出函数的图象关于原点对称的图象，看它与函数交点个数即可．【2017江西七校联考】函数的图像与函数的图像的所有交点为，则_______【答案】【点睛】本题考查了函数图像的应用，是高考热点，当涉及函数零点个数时，可将问题转化为两个函数图像的交点个数，或是多个零点和的问题，那就需观察两个函数的函数性质.，比如对称性等，帮助解决问题.【2017北京海淀区零模】设，，，则，，按由小到大的顺序是__________．【答案】【解析】因为，，，所以应填：．点睛：利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小．【2017北京海淀区零模】已知函数在函数的零点个数__________．【答案】4【解析】当时，，所以，或，本题转化为上述方程有几解，当时，或，当时，或，所以共有四个解，因此零点个数为4个，故填：4．【2017辽宁大连双基测试】已知函数（）有三个零点，则的取值范围为_______．【答案】【解析】个零点，应填答案.学*科网【点睛】解答本题的关键是搞清函数的图像的变化规律，再研究函数的变化规律，结合函数的图像进行翻折即可画出如图所示的函数的图像，数形结合可得答案.值得注意的是在的情形下，，且，这一点容易忽视.。

高考数学总复习真题分类专题03 导数及其应用(选择题、填空题)

高考数学总复习真题分类专题03 导数及其应用(选择题、填空题)

高考数学总复习真题分类专题03 导数及其应用（选择题、填空题）1．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知曲线e ln x y a x x =+在点（1，a e ）处的切线方程为y =2x +b ，则 A ．e 1a b ==-， B ．a=e ，b =1 C ．1e 1a b -==，D ．1e a -=，1b =-【答案】D【解析】∵e ln 1,xy a x '=++∴切线的斜率1|e 12x k y a ='==+=，1e a -∴=， 将(1,1)代入2y x b =+，得21,1b b +==-. 故选D ．【名师点睛】本题求解的关键是利用导数的几何意义和点在曲线上得到含有a ，b 的等式，从而求解，属于常考题型.2．【2018年高考全国Ⅰ卷理数】设函数32()(1)f x x a x ax =+-+.若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为 A ．2y x =- B ．y x =- C ．2y x = D ．y x =【答案】D【解析】因为函数f(x)是奇函数，所以a −1=0，解得a =1，所以f(x)=x 3+x ，f′(x)=3x 2+1， 所以f′(0)=1,f(0)=0，所以曲线y =f(x)在点(0,0)处的切线方程为y −f(0)=f′(0)x ，化简可得y =x . 故选D.【名师点睛】该题考查的是有关曲线y =f(x)在某个点(x 0,f(x 0))处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得f′(x)，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.3．【2017年高考全国Ⅱ卷理数】若2x =-是函数21()(1)ex f x x ax -=+-的极值点，则()f x 的极小值为A ．1-B ．32e -- C ．35e - D ．1【答案】A【解析】由题可得12121()(2)e(1)e [(2)1]e x x x f x x a x ax x a x a ---'=+++-=+++-，因为(2)0f '-=，所以1a =-，21()(1)e x f x x x -=--，故21()(2)e x f x x x -'=+-，令()0f x '>，解得2x <-或1x >，所以()f x 在(,2),(1,)-∞-+∞上单调递增，在(2,1)-上单调递减， 所以()f x 的极小值为11()(111)e 11f -=--=-.故选A ．【名师点睛】（1）可导函数y ＝f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，且在x 0左侧与右侧f ′(x )的符号不同；（2）若f (x )在(a ，b )内有极值，那么f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．4．【2017年高考浙江】函数y=f (x )的导函数()y f x '=的图象如图所示，则函数y=f (x )的图象可能是【答案】D【解析】原函数先减再增，再减再增，且0x =位于增区间内，因此选D ．【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与x 轴的交点为0x ，且图象在0x 两侧附近连续分布于x 轴上下方，则0x 为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数()f x '的正负，得出原函数()f x 的单调区间．5．【2018年高考全国Ⅱ卷理数】函数()2e e x xf x x --=的图像大致为【答案】B【解析】()()()2e e 0,,x xx f x f x f x x --≠-==-∴Q 为奇函数，舍去A ；()11e e 0f -=->Q ，∴舍去D ；()()()()()243e e e e 22e 2e ,xx x x x x x xx x f x xx---+---++=='Q 2x ∴>时，()0f x '>，()f x 单调递增，舍去C. 因此选B.【名师点睛】有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的周期性. 6．【2018年高考全国Ⅲ卷理数】函数422y x x =-++的图像大致为【答案】D【解析】函数图象过定点(0,2)，排除A ，B ；令42()2y f x x x ==-++，则32()422(21)f x x x x x '=-+=--，由()0f x '>得22(21)0x x -<，得2x <-或02x <<，此时函数单调递增，由()0f x '<得22(21)0x x ->，得2x >或02x -<<，此时函数单调递减，排除C.故选D.【名师点睛】本题主要考查函数的图象的识别和判断，利用函数图象过的定点及由导数判断函数的单调性是解决本题的关键.7．【2019年高考天津理数】已知a ∈R ，设函数222,1,()ln ,1.x ax a x f x x a x x ⎧-+≤=⎨->⎩若关于x 的不等式()0f x ≥在R 上恒成立，则a 的取值范围为 A ．[]0,1 B ．[]0,2 C ．[]0,eD ．[]1,e【答案】C【解析】当1x =时，(1)12210f a a =-+=>恒成立；当1x <时，22()22021x f x x ax a a x =-+≥⇔≥-恒成立，令2()1x g x x =-，则222(11)(1)2(1)1()111x x x x g x x x x -----+=-=-=----112201x x ⎛⎫⎛⎫=--+-≤-= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭， 当111x x-=-，即0x =时取等号， ∴max 2()0a g x ≥=，则0a >.当1x >时，()ln 0f x x a x =-≥，即ln xa x≤恒成立， 令()ln xh x x=，则2ln 1()(ln )x h x x -'=， 当e x >时，()0h x '>，函数()h x 单调递增， 当0e x <<时，()0h x '<，函数()h x 单调递减， 则e x =时，()h x 取得最小值(e)e h =， ∴min ()e a h x ≤=，综上可知，a 的取值范围是[0,e]. 故选C.【名师点睛】本题考查分段函数的最值问题，分别利用基本不等式和求导的方法研究函数的最值，然后解决恒成立问题.8．【2019年高考浙江】已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩．若函数()y f x ax b =--恰有3个零点，则 A ．a <–1，b <0B ．a <–1，b >0C ．a >–1，b <0D ．a >–1，b >0【答案】C【解析】当x ＜0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b ＝x ﹣ax ﹣b ＝（1﹣a ）x ﹣b ＝0，得x =b1−a ， 则y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点；当x ≥0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b =13x 3−12（a +1）x 2+ax ﹣ax ﹣b =13x 3−12（a +1）x 2﹣b ，2(1)y x a x =+-'，当a +1≤0，即a ≤﹣1时，y ′≥0，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 在[0，+∞）上单调递增， 则y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点，不合题意；当a +1＞0，即a >﹣1时，令y ′＞0得x ∈(a +1，+∞），此时函数单调递增， 令y ′＜0得x ∈[0，a +1），此时函数单调递减，则函数最多有2个零点.根据题意，函数y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 恰有3个零点⇔函数y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 在（﹣∞，0）上有一个零点，在[0，+∞）上有2个零点， 如图：∴b1−a ＜0且{−b ＞013(a +1)3−12(a +1)(a +1)2−b ＜0， 解得b ＜0，1﹣a ＞0，b ＞−16（a +1）3，则a >–1，b <0. 故选C ．【名师点睛】本题考查函数与方程，导数的应用.当x ＜0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b ＝x ﹣ax ﹣b ＝（1﹣a ）x ﹣b 最多有一个零点；当x ≥0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b =13x 3−12（a +1）x 2﹣b ，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画出函数的草图，从而结合题意可列不等式组求解．9．【2017年高考全国Ⅲ卷理数】已知函数211()2(ee )x xf x x x a --+=-++有唯一零点，则a =A ．12- B ．13C ．12D ．1【答案】C【解析】函数()f x 的零点满足()2112e e x x x x a --+-=-+， 设()11eex x g x --+=+，则()()21111111e 1eeee ex x x x x x g x ---+----'=-=-=， 当()0g x '=时，1x =；当1x <时，()0g x '<，函数()g x 单调递减； 当1x >时，()0g x '>，函数()g x 单调递增， 当1x =时，函数()g x 取得最小值，为()12g =.设()22h x x x =-，当1x =时，函数()h x 取得最小值，为1-，若0a ->，函数()h x 与函数()ag x -没有交点；若0a -<，当()()11ag h -=时，函数()h x 和()ag x -有一个交点， 即21a -⨯=-，解得12a =.故选C. 【名师点睛】函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用.10．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】曲线23()e xy x x =+在点(0)0，处的切线方程为____________．【答案】30x y -=【解析】223(21)e 3()e 3(31)e ,xxxy x x x x x '=+++=++ 所以切线的斜率0|3x k y ='==，则曲线23()e xy x x =+在点(0,0)处的切线方程为3y x =，即30x y -=．【名师点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，而导致计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．11．【2018年高考全国Ⅱ卷理数】曲线2ln(1)y x =+在点(0,0)处的切线方程为__________．【答案】y =2x 【解析】∵y ′=2x+1，∴在点（0,0）处切线的斜率为k =20+1=2，则所求的切线方程为y =2x .【名师点睛】求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知的曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点. 12．【2018年高考全国Ⅲ卷理数】曲线()1e xy ax =+在点()0,1处的切线的斜率为2-，则a =________．【答案】−3【解析】()e 1e xxy a ax =++'，则0|12x y a ='=+=-，所以a =−3.【名师点睛】本题主要考查导数的计算和导数的几何意义，属于基础题. 13．【2019年高考江苏】在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线0x y +=的距离的最小值是 ▲ . 【答案】4 【解析】由4(0)y x x x =+>，得241y x'=-， 设斜率为1-的直线与曲线4(0)y x x x =+>切于004(,)x x x +， 由20411x -=-得0x =0x =， ∴曲线4(0)y x x x=+>上，点P 到直线0x y +=4=.故答案为4．【名师点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法，利用数形结合和转化与化归思想解题.14．【2018年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数()2sin sin2f x x x =+，则()f x 的最小值是_____________．【答案】−3√32【解析】f′(x)=2cosx +2cos2x =4cos 2x +2cosx −2=4(cosx +1)(cosx −12)，所以当cosx <12时函数单调递减，当cosx >12时函数单调递增，从而得到函数的递减区间为()5ππ2π,2π33k k k ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦Z ， 函数的递增区间为()ππ2π,2π33k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ， 所以当π2π,3x k k =-∈Z 时，函数f (x )取得最小值， 此时sinx =−√32,sin2x =−√32， 所以f (x )min =2×(−√32)−√32=−3√32， 故答案是−3√32. 【名师点睛】该题考查的是有关应用导数研究函数的最小值问题，在求解的过程中，需要明确相关的函数的求导公式，需要明白导数的符号与函数的单调性的关系，确定出函数的单调增区间和单调减区间，进而求得函数的最小值点，从而求得相应的三角函数值，代入求得函数的最小值.15．【2019年高考江苏】在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是 ▲ . 【答案】(e, 1)【解析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值，可得切点坐标. 设点()00,A x y ，则00ln y x =. 又1y x'=， 当0x x =时，01y x '=， 则曲线ln y x =在点A 处的切线为0001()y y x x x -=-， 即00ln 1xy x x -=-， 将点()e,1--代入，得00e1ln 1x x ---=-，即00ln e x x =，考察函数()ln H x x x =，当()0,1x ∈时，()0H x <，当()1,x ∈+∞时，()0H x >， 且()ln 1H x x '=+，当1x >时，()()0,H x H x '>单调递增， 注意到()e e H =，故00ln e x x =存在唯一的实数根0e x =， 此时01y =，故点A 的坐标为()e,1.【名师点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题：一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．16．【2019年高考北京理数】设函数()e e xxf x a -=+（a 为常数）．若f （x ）为奇函数，则a =________；若f （x ）是R 上的增函数，则a 的取值范围是___________． 【答案】(]1,0--∞【解析】首先由奇函数的定义得到关于a 的恒等式，据此可得a 的值，然后利用()0f x '≥可得a 的取值范围.若函数()e e xxf x a -=+为奇函数，则()(),f x f x -=-即()ee e e xx x x a a --+=-+，即()()1e e0xxa -++=对任意的x 恒成立，则10a +=，得1a =-.若函数()e e xxf x a -=+是R 上的增函数，则() e e 0x xf x a -'=-≥在R 上恒成立，即2e x a ≤在R 上恒成立， 又2e 0x >，则0a ≤，即实数a 的取值范围是(],0-∞.【名师点睛】本题考查函数的奇偶性､单调性､利用单调性确定参数的范围.解答过程中，需利用转化与化归思想，转化成恒成立问题.注重重点知识､基础知识､基本运算能力的考查.17．【2018年高考江苏】若函数f(x)=2x 3−ax 2+1(a ∈R)在(0,+∞)内有且只有一个零点，则f(x)在[−1,1]上的最大值与最小值的和为________．【答案】–3【解析】由()2620f x x ax =-='得0x =或3a x =， 因为函数()f x 在()0,+∞上有且仅有一个零点且()0=1f ，所以0,033a a f ⎛⎫>= ⎪⎝⎭， 因此32210,33a a a ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得3a =. 从而函数()f x 在[]1,0-上单调递增，在[]0,1上单调递减，所以()()max 0,f x f = ()()(){}()min min 1,11f x f f f =-=-，则()()max min f x f x +=()()0+114 3.f f -=-=-故答案为3-.【名师点睛】对于函数零点的个数问题，可利用函数的单调性、草图确定其中参数的取值条件．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．18．【2017年高考江苏】已知函数31()2e ex x f x x x =-+-，其中e 是自然对数的底数．若(1)f a -+2(2)0f a ≤，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】1[1,]2- 【解析】因为31()2e ()ex x f x x f x x -=-++-=-，所以函数()f x 是奇函数，因为22()32e e 320x x f 'x x x -=-++≥-+≥，所以函数()f x 在R 上单调递增， 又21)02()(f f a a +-≤，即2())2(1a a f f ≤-，所以221a a ≤-，即2120a a +-≤，解得112a -≤≤， 故实数a 的取值范围为1[1,]2-．【名师点睛】解函数不等式时，首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数()f x 的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在函数()f x 的定义域内．19．【2017年高考山东理数】若函数e ()x f x （e 2.71828=L 是自然对数的底数）在()f x 的定义域上单调递增，则称函数()f x 具有M 性质.下列函数中所有具有M 性质的函数的序号为 .①()2x f x -=②()3x f x -= ③3()f x x = ④2()2f x x =+ 【答案】①④ 【解析】①e e ()e 2()2x x x x f x -=⋅=在R 上单调递增，故()2x f x -=具有性质； ②e e ()e 3()3x x x x f x -=⋅=在R 上单调递减，故()3xf x -=不具有性质；③3e ()e x x f x x =⋅，令3()e x g x x =⋅，则322()e 3e e (3)x x x g x x x x x '=⋅+⋅=+，当3x >-时，()0g x '>，当3x <-时，()0g x '<，3e ()e x x f x x =⋅在(,3)-∞-上单调递减，在(3,)-+∞上单调递增，故3()f x x =不具有性质；④2e ()e (2)x x f x x =+，令2()e (2)x g x x =+，则22()e (2)2e e [(1)1]0x x x g x x x x '=++=++>，则2e ()e (2)x x f x x =+在R 上单调递增，故2()2f x x =+具有性质．【名师点睛】本题考查新定义问题，属于创新题，符合新高考的动向，它考查学生的阅读理解能力，接受新思维的能力，考查学生分析问题与解决问题的能力，新定义的概念实质上只是一个载体，解决新问题时，只要通过这个载体把问题转化为我们已经熟悉的知识即可．M M ∴∴M M。

2017高考数学导数部分考题汇编详细解析太好了(请收藏)

2017高考数学导数部分考题汇编详细解析太好了(请收藏)

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高中数学导数部分相关知识，无论文理学科，在高考中，都是作为难题，压轴题存在。

本章难度高，综合性较强，想要在数学成绩上达到中上等水平，就必须在本章有所突破。

本章的【学习目标】如下：1. 会利用导数解决曲线的切线的问题.2. 会利用导数解决函数的单调性等有关问题.3. 会利
用导数解决函数的极值、最值等有关问题.4. 能通过运用导数这一工具解决生活中的一些优化问题：例如利润最大、用料最省、效率最高等问题5. 定积分的应用。

下面是收集整理的2017年高考数学理科试卷的导数部分的考题汇编与详细解析，全部解析文档有16页，另外有原题文档，需要全部可编辑打印文档的可回复或私信输入“004”索取。

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专题02导数-2017年高考数学(文)试题分项版分析(分析版)

专题02导数-2017年高考数学(文)试题分项版分析(分析版)

1.【2017浙江，7】函数y=f (x )的导函数()y f x '=的图像如下图，那么函数y=f (x )的图像可能是【答案】D【解析】试题分析：原函数先减再增，再减再增，且由增变减时，极值点大于0，因此选D ． 【考点】 导函数的图象【名师点睛】此题主要考查导数图象与原函数图象的关系：假设导函数图象与x 轴的交点为0x ，且图象在0x 两侧附近连续分布于x 轴上下方，那么0x 为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数)('x f 的正负，得出原函数)(x f 的单调区间． 2.【2017课标1，文14】曲线21y x x=+在点〔1，2〕处的切线方程为______________． 【答案】1y x =+ 【解析】【考点】导数几何意义【名师点睛】求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点),(00y x P 及斜率，其求法为：设),(00y x P 是曲线)(x f y =上的一点，那么以P 的切点的切线方程为：))(('000x x x f y y -=-．假设曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 的切线平行于y 轴〔即导数不存在〕时，由切线定义知，切线方程为0x x =．学科网3.【2017天津，文10】a ∈R ，设函数()ln f x ax x =-的图象在点〔1，(1)f 〕处的切线为l ，那么l 在y 轴上的截距为 . 【答案】1 【解析】【考点】导数的几何意义【名师点睛】此题考查了导数的几何意义，属于根底题型，函数()f x 在点0x 处的导数()0f x '的几何意义是曲线()y f x =在点()00,P x y 处的切线的斜率．相应地，切线方程为()()000y y f x x x '-=-．注意：求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过点P 的切线的不同,谨记，有切点直接带入切点，没切点设切点，建立方程组求切点.4.【2017课标1，文21】函数()f x =e x (e x ﹣a )﹣a 2x ．〔1〕讨论()f x 的单调性；〔2〕假设()0f x ≥，求a 的取值范围．【答案】〔1〕当0a =，)(x f 在(,)-∞+∞单调递增；当0a >，()f x 在(,ln )a -∞单调递减，在(ln ,)a +∞单调递增；当0a <，()f x 在(,ln())2a -∞-单调递减，在(ln(),)2a-+∞单调递增；〔2〕34[2e ,1]-．【解析】试题分析：〔1〕分0a =，0a >，0a <分别讨论函数)(x f 的单调性；〔2〕分0a =，0a >，0a <分别解0)(≥x f ，从而确定a 的取值范围．试题解析：〔1〕函数()f x 的定义域为(,)-∞+∞，22()2(2)()xx x x f x e ae a e a e a '=--=+-，①假设0a =，那么2()xf x e =，在(,)-∞+∞单调递增． ②假设0a >，那么由()0f x '=得ln x a =．当(,ln )x a ∈-∞时，()0f x '<；当(ln ,)x a ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在(,ln )a -∞单调递减，在(ln ,)a +∞单调递增．③假设0a <，那么由()0f x '=得ln()2a x =-．当(,ln())2a x ∈-∞-时，()0f x '<；当(ln(),)2a x ∈-+∞时，()0f x '>，故()f x 在(,ln())2a -∞-单调递减，在(ln(),)2a -+∞单调递增．【考点】导数应用【名师点睛】此题主要考查导数的两大方面的应用：〔一〕函数单调性的讨论：运用导数知识来讨论函数单调性时，首先考虑函数的定义域，再求出)('x f ，有)('x f 的正负，得出函数)(x f 的单调区间；〔二〕函数的最值〔极值〕的求法：由确认的单调区间，结合极值点的定义及自变量的取值范围，得出函数)(x f 极值或最值．5.【2017课标II ，文21】设函数2()(1)x f x x e =-. 〔1〕讨论()f x 的单调性；〔2〕当0x ≥时，()1f x ax ≤+，求a 的取值范围.【答案】〔Ⅰ〕在(,12)-∞-- 和(12,)-++∞单调递减，在(12,12)---+单调递增〔Ⅱ〕[1,)+∞ 【解析】试题分析：〔1〕先求函数导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号确定单调区间〔2〕对a 分类讨论，当a ≥1时，()(1)(1)11x f x x x e x ax =-+≤+≤+，满足条件；当0a ≤时，取20000051,()(1)(1)112x f x x x ax -=>-+=>+，当0＜a ＜1时，取05412a x --=，20000()(1)(1)1f x x x ax >-+>+.学#科网试题解析：〔1〕2()(12)xf x x x e '=--令()0f x '=得12x =-±当(,12)x ∈-∞--时，()0f x '<；当(12,12)x ∈---+时，()0f x '>；当(12,)x ∈-++∞时，()0f x '<所以()f x 在(,12)-∞-- 和(12,)-++∞单调递减，在(12,12)---+单调递增当0a ≤时，取20000051,()(1)(1)112x f x x x ax -=>-+=>+ 综上，a 的取值范围[1，+∞〕【考点】利用导数求函数单调区间，利用导数研究不等式恒成立【名师点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可别离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.6.【2017课标3，文21】函数()f x =ln x +ax 2+(2a +1)x ． 〔1〕讨论()f x 的单调性； 〔2〕当a ﹤0时，证明3()24f x a≤--． 【答案】〔1〕当0≥a 时，)(x f 在),0(+∞单调递增；当0<a 时，那么)(x f 在)21,0(a-单调递增，在),21(+∞-a单调递减；〔2〕详见解析 【解析】试题分析：〔1〕先求函数导数(21)(1)'()(0)ax x f x x x++=>，再根据导函数符号变化情况讨论单调性：当0≥a 时，0)('≥x f ，那么)(x f 在),0(+∞单调递增，当0<a 时，那么)(x f 在)21,0(a-单调递增，在),21(+∞-a 单调递减.〔2〕证明3()24f x a ≤--，即证max 3()24f x a≤--，而)21()(max a f x f -=，所以目标函数为121)21ln()243()21(++-=+---aa a a f ，即t t y -+=1ln 〔021>-=a t 〕，利用导数易得0)1(max ==y y ，即得证.【考点】利用导数求单调性，利用导数证不等式 【名师点睛】利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数()()()h x f x g x =-.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.〔2〕根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数. 7.【2017山东，文20】〔本小题总分值13分〕函数()3211,32f x x ax a =-∈R ., (I)当a =2时,求曲线()y f x =在点()()3,3f 处的切线方程；(II)设函数()()()cos sin g x f x x a x x =+--,讨论()g x 的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值. 【答案】(I)390x y --=,〔2〕(II)⑴0a =无极值；⑵0a <极大值为31sin 6a a --,极小值为a -；⑶0a >极大值为a -,极小值为31sin 6a a --. 【解析】试题分析：(I)根据求出切线斜率,再用点斜式写出切线方程；(II)由()()(sin )g x x a x x '=--,通过讨论确定()g x 单调性,再由单调性确定极值. 学%科网〔1〕当0a <时，'()()(sin )g x x a x x =--，当(,)x a ∈-∞时，0x a -<，'()0g x >，()g x 单调递增； 当(,0)x a ∈时，0x a ->，'()0g x <，()g x 单调递减； 当(0,)x ∈+∞时，0x a ->，'()0g x >，()g x 单调递增. 所以，当x a =时，()g x 取到极大值，极大值是31()sin 6g a a a =--， 当0x =时，()g x 取到极小值，极小值是(0)g a =-. 〔2〕当0a =时，'()(sin )g x x x x =-， 当(,)x ∈-∞+∞时，'()0g x ≥，()g x 单调递增；所以，()g x 在(,)-∞+∞上单调递增，()g x 无极大值也无极小值.〔3〕当0a >时，'()()(sin )g x x a x x =--，当(,0)x ∈-∞时，0x a -<，'()0g x >，()g x 单调递增； 当(0,)x a ∈时，0x a -<，'()0g x <，()g x 单调递减；当0a >时，函数()g x 在(,0)-∞和(,)a +∞上单调递增，在(0,)a 上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是(0)g a =-，极小值是31()sin 6g a a a =--.学&科网 【考点】导数的几何意义及导数的应用【名师点睛】(1)求函数f (x )极值的步骤：①确定函数的定义域；②求导数f ′(x )；③解方程f ′(x )＝0,求出函数定义域内的所有根；④检验f ′(x )在f ′(x )＝0的根x 0左右两侧值的符号,如果左正右负,那么f (x )在x 0处取极大值,如果左负右正,那么f (x )在x 0处取极小值．(2)假设函数y ＝f (x )在区间(a ,b )内有极值,那么y ＝f (x )在(a ,b )内绝不是单调函数,即在某区间上单调函数没有极值．8.【2017天津，文19】设,a b ∈R ，||1a ≤.函数32()63(4)f x x x a a x b =---+，()e ()x g x f x =. 〔Ⅰ〕求()f x 的单调区间；〔Ⅱ〕函数()y g x =和e x y =的图象在公共点〔x 0，y 0〕处有相同的切线， 〔i 〕求证：()f x 在0x x =处的导数等于0；〔ii 〕假设关于x 的不等式()e x g x ≤在区间00[1,1]x x -+上恒成立，求b 的取值范围.【答案】〔Ⅰ〕递增区间为(,)a -∞，(4,)a -+∞，递减区间为(),4a a -.〔2〕〔ⅰ〕()f x 在0x x =处的导数等于0.〔ⅱ〕b 的取值范围是[7],1-. 【解析】试题分析：〔Ⅰ〕先求函数的导数()()()34f x x a x a '=---⎡⎤⎣⎦ ，再根据1a ≤，求得两个极值点的大小关系，4a a <-，再分析两侧的单调性，求得函数的单调区间；〔Ⅱ〕〔ⅰ〕根据()g x 与x e 有共同的切线，根据导数的几何意义建立方程，求得()00f x '=，得证；〔Ⅲ〕将不等式转化为()1f x ≤，再根据前两问可知0x 是极大值点0x a =，由〔I 〕知()f x 在(,)1a a -内单调递增，在(),1a a +内单调递减，从而()()1f x f a ≤=在[1,1]a a -+上恒成立，得32261b a a =-+，11a -≤≤，再根据导数求函数的取值范围.〔II 〕〔i 〕因为()e (()())xx x g'f f 'x =+，由题意知000()e ()exx x x g g'⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以0000000()e e e (()())ex x xx f f f x 'x x ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，解得00()1()0f 'x x f =⎧⎨=⎩.所以，()f x 在0x x =处的导数等于0.〔ii 〕因为()e xg x ≤，00[11],x x x ∈-+，由e 0x >，可得()1f x ≤. 又因为0()1f x =，0()0f 'x =，故0x 为()f x 的极大值点，由〔I 〕知0x a =. 另一方面，由于||1a ≤，故14a a +<-，由〔I 〕知()f x 在(,)1a a -内单调递增，在(),1a a +内单调递减，故当0x a =时，()()1f f x a ≤=在[1,1]a a -+上恒成立，从而()e xg x ≤在00,[11]x x -+上恒成立. 由32()63()14a a f a a a a b =---+=，得32261b a a =-+，11a -≤≤.令32()261t x x x =-+，[1,1]x ∈-，所以2()612t'x x x =-，令()0t'x =，解得2x =〔舍去〕，或0x =.因为(1)7t -=-，(1)3t =-，(0)1t =，故()t x 的值域为[7],1-. 所以，b 的取值范围是[7],1-.【考点】1.导数的几何意义；2.导数求函数的单调区间；3.导数的综合应用.【名师点睛】此题此题考点为导数的应用，此题属于中等问题，第一问求导后要会分解因式，并且根据条件能判断两个极值点的大小关系，防止讨论，第二问导数的几何意义，要注意切点是公共点，切点处的导数相等的条件，前两问比拟容易入手，但第三问，需分析出0x a = ，同时根据单调性判断函数的最值，涉及造函数解题较难，这一问思维巧妙，有选拔优秀学生的功能. 9.【2017北京，文20】函数()e cos x f x x x =-． 〔Ⅰ〕求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； 〔Ⅱ〕求函数()f x 在区间π[0,]2上的最大值和最小值． 【答案】(Ⅰ)1y =；〔Ⅱ〕最大值1；最小值2π-. 【解析】〔Ⅱ〕设()e (cos sin )1x h x x x =--，那么()e (cos sin sin cos )2e sin x xh x x x x x x '=---=-. 当π(0,)2x ∈时，()0h x '<， 所以()h x 在区间π[0,]2上单调递减.所以对任意π(0,]2x ∈有()(0)0h x h <=，即()0f x '<. 所以函数()f x 在区间π[0,]2上单调递减.因此()f x 在区间π[0,]2上的最大值为(0)1f =，最小值为ππ()22f =-. 【考点】1.导数的几何意义；2.利用导数求函数的最值.【名师点睛】这道导数题并不难，比一般意义上的压轴题要简单很多，第二问比拟有特点是需要求二阶导数，因为()f x '不能判断函数的单调性，所以需要再求一次导数，设()()h x f x '= ，再求()h x '，一般这时就可求得函数()h x '的零点，或是()h x '恒成立，这样就能知道函数()h x 的单调性，根据单调性求最值，从而判断()y f x =的单调性，求得最值.10.【2017江苏，20】 函数32()1(0,)f x x ax bx a b =+++>∈R 有极值,且导函数()f x '的极值点是()f x 的零点.〔极值点是指函数取极值时对应的自变量的值〕 〔1〕求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域； 〔2〕证明：23b a >;〔3〕假设()f x ,()f x '这两个函数的所有极值之和不小于72-，求a 的取值范围.【答案】〔1〕3a >〔2〕见解析〔3〕36a <≤列表如下x1(,)x -∞1x12(,)x x2x2(,)x +∞()f x '+ 0 – 0 + ()f x极大值极小值故()f x 的极值点是12,x x . 从而3a >，优质文本11 / 11 因此2239a b a=+，定义域为(3,)+∞.〔3〕由〔1〕知，()f x 的极值点是12,x x ，且1223x x a +=-，22212469a b x x -+=. 从而323212111222()()11f x f x x ax bx x ax bx +=+++++++2222121122121212(32)(32)()()23333x x x ax b x ax b a x x b x x =++++++++++ 346420279a ab ab -=-+= 记()f x ，()f x '所有极值之和为()h a ，因为()f x '的极值为221339a b a a -=-+，所以213()=9h a a a-+，3a >. 因为223()=09h a a a'--<，于是()h a 在(3,)+∞上单调递减. 因为7(6)=2h -，于是()(6)h a h ≥，故6a ≤. 因此a 的取值范围为(36]，.学科&网【考点】利用导数研究函数单调性、极值及零点【名师点睛】涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.。

2017年高考全国名校试题数学分项汇编专题03 导数与运用(解析版)

2017年高考全国名校试题数学分项汇编专题03 导数与运用(解析版)

一、填空题1. 【2016高考冲刺卷（3）【江苏卷】】设过曲线()xf x e x =--（e 为自然对数的底数）上任意一点处的切线为1l ，总有过曲线()2cos g x ax x =+上一点处的切线2l ，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围为 ．2. 【2016高考冲刺卷（7）【江苏卷】】若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：（i ）直线l 在点00(,)P x y 处与曲线C 相切；（ii ）曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C ，下列命题正确的是________（写出所有正确命题的编号）．①直线:0l y =在点(0,0)P 处 “切过”曲线3:C y x = ②直线:1l y x =-在点(1,0)P 处“切过”曲线:ln C y x = ③直线:l y x π=-+在点(,0)P π处“切过”曲线:sin C y x = ④直线:1l y x =+在点(0,1)P 处“切过”曲线:xC y e = 【答案】①③【解析】对于①，3y x =在点(0,0)P 处的切线为0y =，符合题 中两个条件，所以正确；对于②曲线:ln C y x =在直线:1l y x =-的同侧，不符合题意，所以错误；对于③，由图象可知，曲线:sin C y x =在点(,0)P π附近位于直线l 的两侧，符合题意，所以正确；对于④，曲线:xC y e =在直线:1l y x =+的同侧，不符合题意，所以错误；即正确的有①③． 3. 【江苏省苏中三市（南通、扬州、泰州）2016届高三第二次调研测试数学试题】若存在,R αβ∈，使得3cos cos 25cos t t αββααβ⎧=+⎪⎨⎪≤≤-⎩，则实数t 的取值范围是 ▲ ．4. 【2016高考押题卷（2）【江苏卷】】已知函数()ln(2)x f x x=，关于x 的不等式()()20f x af x +>只有两个整数解，则实数a 的最大值是【答案】6ln 31-【解析】函数定义域为),0(+∞，若0=a ，显然不合题意，舍去； 若0>a ，则由不等式0)()(2>+x af x f 得a x f -<)(或0)(>x f ， 即a x x -<)2ln(或0)2ln(>x x ，由0)2ln(>x x 得 21>x ，此时原不等式有无数个整数解，故不合题意，舍去；若0<a ，则由不等式0)()(2>+x af x f 得0)(<x f 或a x f ->)(，即0)2ln(<x x 或a x x ->)2ln(，由0)2ln(<x x 得0)2ln(<x ，即210<<x ，无整数解， 故由条件可得不等式a xx ->)2ln(有且只有两个整数解，因),0(+∞∈x ，故两整数只能是2,1，因x x x f 2ln ln )(+=，22)2ln(12ln ln 1)('x x x x x f -=--=，故当)21,0(e x ∈时，函数)(x f 单调递增，当),21(+∞∈e x 时，函数)(xf 单调递减， 从而取3=x 时，满足a -≤⨯3)32ln(，得6ln 31-≤a ，即a 的最大值为6ln 31- 5. 【2016高考冲刺卷（8）【江苏卷】】 设函数f (x )＝1,1,x x x a e x x a-⎧≥⎪⎨⎪--<⎩，g (x )＝f (x )－b ．若存在实数b ，使得函数g (x )恰有3个零点，则实数a 的取值范围为 ▲ ．6. 【南京市、盐城市2016届高三年级第二次模拟考试】若存在两个正实数x 、y ，使得等式x ＋a (y －2e x )(ln y －ln x )＝0成立，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围为▲________．【答案】10.a a e<≥或【解析】试题分析：由题意得：1(2)ln (2)ln ,(0)y y y e t e t t a x x x -=-=-=>，令(2)ln ,(0)m t e t t =->，则2212ln ,0t e em t m t t t -'''=+=+>⇒当x e >时()0m m e ''>=；当0x e <<时()0m m e ''<=；因此()m m e e ≥=-；从而110.e a a ae -≥-⇒<≥或 7. 【2016高考冲刺卷（2）【江苏卷】】设函数32,,ln ,x x x e y a x x e ⎧-+<=⎨≥⎩的图象上存在两点,P Q ，使得POQ ∆是以O 为直角顶点的直角三角形（其中O 为坐标原点），且斜边的中点恰好在y 轴上，则实数a 的取值范围是 ▲ . 【答案】1(0,]1e + 【解析】试题分析：由 x e <时，32y x x =-+图象，及线段PQ 中点恰好在y 轴上，可得 0a >，且点,P Q 分别在两段图象上，所以可以设32(,),(,ln )()P x x x Q x a x x e -+≥，. 因为POQ ∆是以O 为直角顶点的直角三角形，所以OP OQ ⊥u u u r u u u r 即0OP OQ ⋅=u u u r u u u r故有232ln ()0x a x x x -++=，整理得1,()(1)ln a x e x x =≥+,此时11(0,](1)ln 1x x e ∈++，所以1(0,]1a e ∈+8. 【2016高考押题卷（3）【江苏卷】】设点P 是曲线x x y ln 2-=上任意一点，若点P 到直线2-=x y 的距离的最近，则点P 的横坐标是 ．9. 【2016年第一次全国大联考【江苏卷】】已知函数2()2ln f x x x a x =++在区间(01)，内无极值点，则a 的取值范围是_______. 【答案】(4][0)-∞-+∞U ，， 【解析】由题意得()22a f x x x '=++在区间(01)，不变号，即()220a f x x x '=++≥在区间(01)，恒成立或()220a f x x x '=++≤在区间(01)，恒成立，因此max [2(1)],(0,1),a x x x ≥-+∈而2(1)0x x -+<，所以0a ≥；或min [2(1)],(0,1),a x x x ≤-+∈而2(1)4x x -+>-，所以4a ≤-；综上a 的取值范围是(4][0)-∞-+∞U ，，. 10. 【2016年第四次全国大联考【江苏卷】】已知函数(),()()()(),()()f x f xg xh x g x f x g x ≤⎧=⎨>⎩，31(),()ln 4f x x axg x x =++=-，若()0h x =在(0,)+∞上有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围为_______.33511303,()3()0()43334384a a a a a a a >>->----<->⇒<-，从而实数a 的取值范围为53(,).44--11. 【南通市2016届高三下学期第三次调研考试数学试题】已知两曲线()()cos ,3,0,2f x x g x x x π⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭相交于点A .若两曲线在点A 处的切线与x 轴分别相交于,B C 两点，则线段BC 的长为 .【答案】33【解析】试题分析：由题意得3cos 3tan 0,.26x x x x x ππ⎛⎫=⇒=∈∴= ⎪⎝⎭Q 又()sin ,()3f x x g x x ''=-=所以切线斜率分别为13,6262f g ππ⎛⎫⎛⎫''=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，方程分别为3133(),()2626y x y x ππ=--=-，与x 轴交点横坐标分别为33,663x x ππ=+=-，故线段BC 3433()33-=12. 【江苏省苏北三市（徐州市、连云港市、宿迁市）2016届高三最后一次模拟考试】若点,P Q 分别是曲线4x y x+=与直线40x y +=上的动点，则线段PQ 长的最小值 . 717【解析】试题分析：设两直线4x y m+=与4xyx+=相切，P为切点.由24yx'=-得2441xx-=-⇒=±，因此(1,5)(1,3),97P P m m--==-或或，两直线4x y m+=、40x y+=间距离分别为1717或，故线段PQ长的最小值为717.13．【江苏省苏锡常镇四市2016届高三教学情况调研（二）数学试题】已知函数2()f x x x a=-，若存在[]1,2x∈，使得()2f x<，则实数a的取值范围是▲．二、解答题1. 【2016年第二次全国大联考（江苏卷）】（本小题满分16分）已知函数()2lnf x x x ax a=-+（Ra∈），其导函数为()f x'．(Ⅰ)当x e>时，关于x的不等式()0f x<恒成立，求a的取值范围；（Ⅱ）函数()()(21)1g x f x a x'=+--，其导函数为()g x'．若12,x x为函数()g x两个零点，试判断12()2x xg+'的正负，并说明理由.因为22214(1)()0(1)(1)t t t t t t ϕ-'=-=>++，所以()t ϕ在(1,)+∞上单调递增，所以()(1)0t ϕϕ>=，综上所述，函数()g x 总满足12()02x x g +'<成立. ……………16分 2. 【2016年第三次全国大联考【江苏卷】】（本题满分14分）某型汽车的刹车距离s(单位：米)与时间t(单位：秒)的关系为32510s t k t t =-⋅++，其中k 是一个与汽车的速度以及路面状况等情况有关的量．（注：汽车从刹车开始到完全静止所用的时间叫做刹车时间；所经过的距离叫做刹车距离.）（1）某人在高速行驶途中发现前方大约10米处有一辆汽车突然抛锚停止，若此时k =8，紧急刹车的时间少于1秒，试问此人是否要紧急避让？（2）要使汽车的刹车时间不小于1秒钟，且不超过2秒钟，求k 的取值范围．3. 【2016年第三次全国大联考【江苏卷】】（本小题满分16分）已知函数+3()ex mf x x =-,()()ln 12g x x =++．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线斜率为1，求实数m 的值； （Ⅱ）当1m ≥时，证明：()3()f x g x x >-. 【答案】（Ⅰ）0m =（Ⅱ）见解析 【解析】（Ⅰ）解：因为+3()ex mf x x =-，所以+2()e 3x m f x x '=-.因为曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线斜率为1，所以()0e 1mf '==，解得0m =.（Ⅱ）因为+3()ex mf x x =-,()()ln 12g x x =++，因为()00h x '=，所以0+101e1x x =+，即()()00ln 11x x +=-+. 当()01,x x ∈-时，()0h x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0h x '>，所以当0x x =时，()h x 取得最小值()0h x .所以()()()0100=e ln 12x h x h x x +≥-+-()0011201x x =++->+.综上可知，当1m ≥时，()3()f x g x x >-.4. 【2016年第四次全国大联考【江苏卷】】（本小题满分16分）已知函数()ln .af x x ax x =-+ (Ⅰ) 若函数()f x 在1x =处的切线过点(0,)a ，求a 的值；（Ⅱ）若01a <<，求证：2()02a f >；（Ⅲ）若()f x 恰有三个不同的零点，求a 的取值范围． 【答案】(Ⅰ) 1a =（Ⅱ）见解析（Ⅲ）1(0,).2所以()f x 在1(0,)x 上单调递减，12(,)x x 上单调递增，2(,+)x ∞上单调递减，所以()f x 至多有3个零点，………12分又因为2()02a f >，1()(1)0,f x f <=所以由零点存在性定理得2010(,),()0,2a x x f x ∃∈=又0 01()()0,f f xx=-=所以()f x恰有三个不同零点01,,1.xx所以a的取值范围为1(0,).2………16分．5. 【2016年第一次全国大联考【江苏卷】】（本小题满分16分）（1）若lnax x>恒成立，求实数a的取值范围；（2）证明：00,,a x R∀>∃∈使得当x x>时，lnax x>恒成立.【答案】．（1）1(,)e+∞（2）见解析列表：x1(0,)a1a1(,)a+∞()xϕ'-0+()xϕ]极小值1ln a+Z 若1ae>时，min()1ln0x aϕ=+>，所以()0xϕ>，取021xa=>，则满足题意；若1ae=时，min()1ln0x aϕ=+=，所以()0xϕ≥，取0211xa a=>，则满足题意；……11分若10a e <<时，min ()1ln 0x a ϕ=+<，取0211x a a=>， 则当0x x >时，2111()()2ln ,x a a aϕϕ>=- 令1t a=，记()2ln r t t t =-，且t e >， 则2()10r t t'=->，故()r t 为(,)e +∞上单调增函数， 所以()()20r t r e e >=->，从而112ln 0a a->，所以()0x ϕ>，满足题意. 综上，0210,a x a ∀>∃=，使得当0x x >时，ln ax x >恒成立. 所以00,,a x R ∀>∃∈使得当0x x >时，ln ax x >恒成立.……16分6. 【2016年第一次全国大联考【江苏卷】】（本小题满分16分）将一个半径为3分米，圆心角为((0,2))ααπ∈的扇形铁皮焊接成一个容积为V 立方分米的圆锥形无盖容器（忽略损耗）.（1）求V 关于α的函数关系式；（2）当α为何值时，V 取得最大值；（3）容积最大的圆锥形容器能否完全盖住桌面上一个半径为0.5分米的球？请说明理由.7. 【2016高考押题卷（1）【江苏卷】】（本小题满分16分）已知函数()x f x e =，2()1(,)g x ax bx a b R =++∈.（1）若0a ≠，则a ，b 满足什么条件时，曲线()y f x =与()y g x =在0x =处总有相同的切线？ （2）当1a =时，求函数()()()g x h x f x =的单调减区间； （3）当0a =时，若()()f x g x ≥对任意的x R ∈恒成立，求b 的取值的集合.①当0b ≤时，()0x ϕ'≥，函数()x ϕ在R 上单调递增，又(0)0ϕ=，∴ (,0)x ∈-∞时，()0x ϕ<，与函数()()f x g x ≥矛盾，………12分 ②当0b >时，()0x ϕ'>，ln x b >；()0x ϕ'<，ln x b <，∴函数()x ϕ在(,ln )b -∞单调递减；(ln ,)b +∞单调递增，（Ⅰ）当01b <<时，∴ln 0b <，又(0)0ϕ=，∴(ln )0b ϕ<，与函数()()f x g x ≥矛盾， （Ⅱ）当1b >时，同理(ln )0b ϕ<，与函数()()f x g x ≥矛盾，（Ⅲ）当1b =时， ln 0b =，∴函数()x ϕ在(,0)-∞单调递减；(0,)+∞单调递增，∴()(0)0x ϕϕ≥=，故1b =满足题意.综上所述，b 的取值的集合为{}1. ……………16分 8. 【2016高考押题卷（3）【江苏卷】】（本小题满分16分）设函数b bx xx x f (121ln )(2+-+=为常数）．（1）若函数)(/x f y =的图象与直线12+-=x y 只有一个交点，求实数b 的值； （2）若函数)(x f y =在定义域内存在单调递减区间，求实数b 的取值范围； （3）试确定函数)(x f y =在区间),1[+∞内的零点的个数．上的零点的个数为0-------------------------------------------------------8分；②当0>b 时，xb b x x bx x b x x x f 41)2(11)(222/-+-=+-=-+=．9. 【2016高考押题卷（2）【江苏卷】】（本小题满分16分）已知函数2()x f x e ax =-，曲线()y f x =在x = 1处的切线方程为1y bx =+． （1）求a ，b 的值；（2）求函数()f x 在[0,1]上的最大值；（3）证明：当x > 0时，(1)ln 10x e e x x x +---≥ 【答案】（1）1,2a b e ==- （2）1-e （3）略．【解析】（1）'()2xf x e ax =-，由题设得，'(1)2f e a b =-=，(1)1f e a b =-=+， 解得，1,2a b e ==-．故(2)1,0x e e x x x x+--≥>． 由（2）知，1xe x ≥+，故ln(1),1ln x x x x ≥+∴-≥，当且仅当1x =时取等号．所以，(2)1ln 1x e e x x x x+--≥≥+． 即(2)1ln 1x e e x x x+--≥+．所以，(2)1ln x e e x x x x +--≥+， 即(1)ln 10xe e x x x +---≥成立，当1x =时等号成立．10. 【2016高考冲刺卷（2）【江苏卷】】（本小题满分16分）已知函数()e (21)xf x x ax a =--+（a ∈R ），e 为自然对数的底数．（1） 当a ＝1时，求函数()f x 的单调区间；（2） ①若存在实数x ，满足()0f x <，求实数a 的取值范围；②若有且只有唯一整数0x ，满足0()0f x <，求实数a 的取值范围．记()g x =()e211xx x --，()()()()()()222e e e '()232112111x x x g x x xx x x x x =-+---=--，∴ ()g x 在区间()0-∞，和3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数，()0,1和31,2⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数． ∴ 当1x >时，32e 342a g ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，当1x <时，()01a g <=． ……………………8分综上所述，所有a 的取值范围为()32e ,14,⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭U ． ………………………9分②由①知1a <时，0(,1)x ∈-∞，由0()0f x <，得0()g x a >，又()g x 在区间()0-∞，上单调递增，在()0,1上单调递减，且()01g a =>，∴()1g a -≤，即e 32a ≥，∴e312a<≤. ………………………12分 当324e a >时，0(1,)x ∈+∞，由0()0f x <，得0()g x a <，又()g x 在区间312⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减，在3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，且32e 342g a ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，∴()()23g a g a <⎧⎪⎨⎪⎩≥，解得32e 532a <e ≤. ………………………15分综上所述，所有a 的取值范围为32e e e 35[,1)3,22⎛⎤ ⎥⎝⎦U ． ………………………16分11. 【江苏省苏中三市（南通、扬州、泰州）2016届高三第二次调研测试数学试题】 (本小题满分16分)植物园拟建一个多边形苗圃，苗圃的一边紧靠着长度大于30m 的围墙．现有两种方案：方案① 多边形为直角三角形AEB （90AEB ∠=o ），如图1所示，其中30m AE EB +=； 方案② 多边形为等腰梯形AEFB （AB EF >），如图2所示，其中10m AE EF BF ===． 请你分别求出两种方案中苗圃的最大面积，并从中确定使苗圃面积最大的方案．图2图1AAB B因为(0,)πθ∈，所以πθ=，列表θ(0,)3π3π (,)32ππ2S ' + 0_2SZ 极大值]所以3θ=时，2S 最大值为2257532>所以建苗圃时用方案②，且3BAE π∠=答：方案①、②中苗圃最大面积分别为22225,753.2m m 建苗圃时用方案②，且3BAE π∠=12. 【江苏省扬州中学2016届高三4月质量监测】 (本小题满分16分)已知函数2()()f x x x a =-，2()(1)g x x a x a =-+-+（其中a 为常数）. （1）如果函数()y f x =和()y g x =有相同的极值点，求a 的值；（2）设a ＞0，问是否存在0(1,)3ax ∈-，使得00()()f x g x >，若存在，请求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由；（3）记函数()[()1][()1]H x f x g x =-⋅-，若函数()y H x =有5个不同的零点，求实数a 的取值范围.当(1,)3a x ∈-时，又0a >，故0x a -<，则存在(1,)3a x ∈-，使得2(1)10x a x +-+<，1o当123a a ->即3a >时，2(1)1033a a a ⎛⎫⎛⎫+-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得332a a ><-或，3a ∴>；2o当1123a a--≤≤即03a <≤时，24(1)04a --<得13a a <->或，a ∴无解； 综上：3a >.当0x a =时，00()()0f x g x ==，不符合，舍去；当0x a ≠时，既有200010x ax x -++= ①； 又由0()1g x =，即200(1)1x a x a -+-+= ②；联立①②式，可得0a =；而当0a =时，32()[()1][()1](1)(1)0H x f x g x x x x =-⋅-=----=没有5个不同的零点，故舍去，所以这5个实根两两不相等.综上，当332a >时，函数()y H x =有5个不同的零点. 13. 【江苏省苏锡常镇四市2016届高三教学情况调研（二）数学试题】(本小题满分16分)已知函数2()e x f x a x bx =⋅+-（a b ∈R ，，e 2.71828=L 是自然对数的底数），其导函数为()y f x '=．（1）设1a =-，若函数()y f x =在R 上是单调减函数，求b 的取值范围； （2）设0b =，若函数()y f x =在R 上有且只有一个零点，求a 的取值范围；（3） 设2b =，且0a ≠，点()m n ，（m ，n ∈R ）是曲线()y f x =上的一个定点，是否存在实数0x （0x m ≠），使得000()()()2x mf x f x m n +'=-+成立？证明你的结论．（2）当0b =时，2()e x f x a x =+，由题意2e 0x a x +=只有一解﹒由2e 0xa x +=，得2e x x a -=，令2()ex x G x =，则(2)()e x x x G x -'=，令()0G x '=，得0x =或2x =． …………5分 当0x ≤时，()0G x '≤，()G x 单调递减，()G x 的取值范围为[)0+∞，， 当02x <<时，()0G x '>，()G x 单调递增，()G x 的取值范围为240e ⎛⎫⎪⎝⎭，，当2x ≥时，()0G x '≤，()G x 单调递减，()G x 的取值范围为240e ⎛⎤⎥⎝⎦，，由题意，得0a -=或24e a ->，从而0a =或24ea <-，所以当0a =或24e a <-时，函数()y f x =只有一个零点． …………8分 （3）2()e 2x f x a x x =+-，()e 22x f x a x '=+-， 假设存在，则有00000()()()()()()22x m x mf x f x m n f x m f m ++''=-+=-+，14. 【2016高考冲刺卷（1）【江苏卷】】（本小题满分16分）已知函数2()(2)xf x ax x e =++（0＞a ），其中e 是自然对数的底数. （1）当2=a 时，求)(x f 的极值；（2）若)(x f 在[]22，-上是单调增函数，求a 的取值范围； （3）当1=a 时，求整数t 的所有值，使方程4)(+=x x f 在[]1+t t ，上有解.【答案】（1）323()()52f x f e --=极大值= ，1()(1)3极小值=f x f e --=（2）3(0,1]+（3）4,0t =-【解析】（1）2()(22)x f x x x e =++，则'2()(253)(1)(23)x x f x x x e x x e =++=++ ……2分 令'()0f x = ，31,2x =--x3(,)2-∞-32- 3(,1)2-- 1- (1,)-+∞'()f x +0 -+()f x增 极大值 减 极小值 增323()()52极大值=f x f e -∴-= ，1()(1)3极小值=f x f e --= ………4分（3）1,a =Q 设2()(2)4x h x x x e x =++-- ，'2()(33)1x h x x x e =++- 令2()(33)1x x x x e ϕ=++- ，'2()(56)x x x x e ϕ=++令'2()(56)0,2,3得x x x x e x ϕ=++==--33()(3)10极大值=x e ϕϕ∴-=-< ，21()(2)10极小值=x e ϕϕ-=-< ………13分 1(1)10,(0)20eϕϕ-=-<=>Q ，∴存在0(1,0)x ∈-，0(,)x x ∈-∞时，()0x ϕ<，0(,)x x ∈+∞时，()0x ϕ>．()h x ∴在0(,)x -∞上单调减，在0(,)x +∞上单调增 又43148(4)0,(3)10,(0)20,(1)450h h h h e e e-=>-=-<=-<=->Q 由零点的存在性定理可知：()0h x =的根12(4,3),(0,1)x x ∈--∈，即4,0t =-． ………16分15. 【2016高考冲刺卷（3）【江苏卷】】（本小题满分16分）已知函数x a x x f ln 21)(2+=． （1）若1-=a ，求函数)(x f 的极值，并指出极大值还是极小值； （2）若1=a ，求函数)(x f 在],1[e 上的最值；（3）若1=a ，求证：在区间),1[+∞上，函数)(x f 的图象在332)(x x g =的图象下方．（3）证明：令)1(32ln 21)()()(32≥-+=-=x x x x x g x f x h 0)12)(1(1221)(2232≤++--=++-=-+='xx x x x x x x x x x h 在),1[+∞上恒成立， )(x h ∴在区间),1[+∞上递减， 0613221)1()(<-=-=≤∴h x h ∴在区间),1[+∞上，函数)(x f 的图象在332)(x x g =的图象下方…………16分16. 【2016高考冲刺卷（5）【江苏卷】】(本题满分16分)设函数()ln(1),()ln(1)1xf x a xg x x bx x=-+=+-+. （1）若函数()f x 在0x =处有极值，求函数()f x 的最大值；（2）①是否存在实数b ，使得关于x 的不等式()0g x <在()0,+∞上恒成立？若存在，求出b 的取值范围；若不存在，说明理由；②证明：不等式()2111ln 1,2,12nk k n n k =-<-≤=⋅⋅⋅+∑.∴函数()x f 的最大值为()0=0f …………4分 （2）①由已知得：()/11g x b x=-+ (i)若1b ≥，则()0+x ∈∞，时，()/101g x b x=-≤+ ∴()()ln 1g x x bx =+-在[)0+∞，上为减函数，∴()()()ln 100g x x bx g =+-<=在()0+∞，上恒成立；…………5分 (ii)若0b ≤，则[)0+x ∈∞，时，()/101g x b x=->+ ∴()()ln 1g x x bx =+-在[)0+∞，上为增函数，∴()()()ln 100g x x bx g =+->=，不能使()0g x <在()0+∞，上恒成立；…………7分 (iii)若01b <<，则()/1=01g x b x =-+时，11x b=-，当101x b ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，时，()/0gx ≥，∴()()ln 1g x x bx =+-在101b ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，上为增函数，17. 【2016高考冲刺卷（9）【江苏卷】】已知函数1()(1)ln ,f x ax a x a x=--+∈R . (Ⅰ)求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当1a ≥时，若()1f x >在区间1[,e]e上恒成立，求a 的取值范围. 【答案】(Ⅰ) 见解析（Ⅱ）2a >【解析】解析：(Ⅰ) (Ⅰ) 函数()f x 的定义域为{}0x x >,222(1)1(1)(1)()=ax a x ax x f x x x-++--'=当0a ≤时，1ax -<0,令()0f x '>，解得01x <<，则函数()f x 的单调递增区间为(01)，令()0f x '<，解得1x >，函数()f x 单调递减区间为1+∞（，）. 所以函数()f x 的单调递增区间为(01)，，单调递减区间为1+∞（，）. 当01a <<时，11a>,令()0f x '>，解得01x <<或1x a>，则函数()f x 的单调递增区间为(01)，；令()0f x '<，解得11x a <<，函数()f x 单调递减区间为11)a（，. min1()min{(),(1)}e f x f f =， 依题意1()1e (1)1f f ⎧>⎪⎨⎪>⎩ ，即2e e 12a a ⎧>⎪+⎨⎪>⎩，所以2e a <<；若1a =，则()0f x '≥.所以()f x 在区间1[,e]e 上单调递增，min 1()()1e f x f =>，不满足条件；综上，2a >.18. 【2016高考冲刺卷（7）【江苏卷】】已知函数2()(sin 2)x f x e x ax a e =-+-，其中a R ∈，2.71828e =L 为自然对数的底数．（1）当0a =时，讨论函数()f x 的单调性；（2）当112a ≤≤时，求证：对任意的[0,)x ∈+∞，()0f x <．max ()=g x 220000111sin cos 2sin sin 2444x x a e x x a e a a a-+-=+-+-令00sin ,(0,)4t x x π=∈，则)2t ∈，即有()p t =211244t t a e a a +-+-,2t ∈因为()p t 的对称轴20t a =-<，所以函数()p t 在区间上是增函数，且112a ≤≤所以115()2088p t p a e e a <=-+--<，（112a ≤≤），即任意[0,)x ∈+∞，()0g x <，所以()()0x f x e g x =<，因此任意[0,)x ∈+∞，()0f x < ．。

专题03 导数-决胜2017年高考全国名校试题数学第一学期分项汇编(江苏特刊) 含解析

专题03 导数-决胜2017年高考全国名校试题数学第一学期分项汇编(江苏特刊) 含解析

一、填空1. 【2016-2017学年度江苏苏州市高三期中调研考试】曲线cos y x x =-在点,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线的斜率为___________．【答案】2【解析】 试题分析:'1sin y x =+，2x π=时，'1sin 22y π=+=，即切线斜率为2．2. 【江苏省苏州市2017届高三暑假自主学习测试】曲线xe y =在0=x 处的切线方程是 ▲ ． 【答案】1+=x y【解析】试题分析：因为x y e '=,所以在0=x 处的切线斜率为01k e ==，因此切线方程是11(0)1y x y x -=-⇒=+3。

【江苏省泰州中学2017届高三摸底考试】对于函数()y f x =,若存在区间[],a b ，当[],x a b ∈时的值域为[],ka kb （0k >）,则称()y f x =为倍值函数．若()ln f x x x =+是倍值函数，则实数的取值范围是 ． 【答案】1(1,1)e+4。

【南京市2017届高三年级学情调研】已知函数312,0()2,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，当(,]x m ∈-∞时，()f x 的取值范围为[16,)-+∞，则实数m 的取值范围是 .【答案】－2,8］【解析】试题分析：320,1212402x y x x y x x '≤=-⇒=-=⇒=-（正舍），(2)16f -=-；由2168x x -=-⇒=，所以当2m <-时，()16f x >-;当28m -≤≤时，()16f x ≥-；当8m >时，min ()16f x <-；因此实数m 的取值范围是28m -≤≤5。

【江苏省南通市如东县、徐州市丰县2017届高三10月联考】函数()2log f x x =在点()1,2A 处切线的斜率为 ▲ ． 【答案】1ln 2【解析】试题分析:()()111ln 2ln 2f x k f x ''=∴==6。

专题03 导数及其应用-2017年高考数学理考纲揭秘及预测

专题03 导数及其应用-2017年高考数学理考纲揭秘及预测

（十七）导数及其应用1．导数概念及其几何意义（1）了解导数概念的实际背景.（2）理解导数的几何意义.2．导数的运算（1）能根据导数定义求函数y =C ，（C 为常数），231,,,,y x y x y x y y x=====的导数. （2）能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f (ax +b )的复合函数）的导数.•常见基本初等函数的导数公式：•常用的导数运算法则：法则1:法则2:法则3:3．导数在研究函数中的应用 （1）了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）.（2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）.4．生活中的优化问题会利用导数解决某些实际问题.5．定积分与微积分基本定理（1）了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念.（2）了解微积分基本定理的含义.与2016年考纲相比没什么变化，而且这部分内容作为高考的必考内容，在2017年的高考中预计仍会以“一小一大”的格局呈现，“一小”即以选择题或填空题的形式考查导数的几何意义和导数在研究函数问题中的直接应用，或以定积分的简单应用为主，难度中等；“一大”即以压轴题的形式呈现，仍会以导数的应用为主，主要考查导数、含参不等式、方程、探索性等方面的综合应用，难度较大.1．若32()=242()()3f x m n xmx m x n ∈++-+R ，在R 上有两个极值点，则m 的取值范围为A ．(1,1)-B ．(1,2)C ．(,1)(2,)-∞+∞UD ．(,1)(1,)-∞-+∞U 2．已知函数22()ln (,,0)f x a x b x a b b =-∈≥R ，函数1()ln 2g x a x x =-在点(1,(1))g 处的切线与直线210x y --=平行．（1）讨论函数()f x 的单调性； （2）当1x >时，不等式22()(21)()f x b x b b x <+-+恒成立，求实数的值或取值范围．1．C 【解析】依题意，得22()1243f x x mx m '=++-，∴22()124=0f x x mx m '=++-有两个不相等的实数根，221648()03m m ∆=-->∴，即2320m m -+>，∴2m >，或1m <，故选C ．2．【解析】（1）因为1()2a g x x '=-，则由题意知1(1)2g '=，所以1122a -=，即1a =． 所以22()ln (0)f x xb x b =-≥，定义域为(0,)+∞．21()2f x b x x '=-=当0b >时，由()0f x '≥，得函数()f x 的单调递增区间为2b ，由()0f x '<，得函数()f x 的单调递减区间为)+∞； 当0b =时，由()0f x '>，得函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，②当12b ≥时，()1 x ∈+∞，时，()0h'x >恒成立， 所以()h x 在()1 +∞，上是增函数，且()()()1 h x h ∈+∞，所以不符合题意. ③当0b =时，()1 x ∈+∞，时，恒有()0h'x <，故()h x 在()1 +∞，上是减函数， 于是“()0h x <对任意()1 x ∈+∞，都成立”的充要条件是()10h ≤， 即()210b b -+≤，解得1b ≥-，故取0b =，综上，0b =．。

【推荐】专题12 选讲部分-备战2017高考高三数学(文)全国各地一模金卷分项解析版

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【备战2017高考高三数学全国各地一模试卷分项精品】专题十二选讲部分【2017安徽合肥一模】选修4-4：坐标系与参数方程已知直线的参数方程为（为参数）以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的方程为.（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）写出直线与曲线交点的一个极坐标.【答案】（1）；（2）.【2017安徽合肥一模】选修4-5：不等式选讲已知函数.（Ⅰ）当时，求不等式的解集；（Ⅱ）对于任意实数，，不等式恒成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（Ⅰ），当时，由或，得到，不等式的解集为；（Ⅱ）不等式对任意的实数恒成立，等价于对任意的实数恒成立，即，，，又，所以.【2017云南师大附中月考】选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，将曲线（为参数）上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得到曲线；以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的极坐标方程；（2）已知点，直线的极坐标方程为，它与曲线的交点为，，与曲线的交点为，求的面积.【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.（Ⅱ）设点，的极坐标分别为，，则由可得的极坐标为，由可得的极坐标为．∵，∴，又到直线的距离为，∴．【2017云南师大附中月考】选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）求的图象与轴围成的三角形面积；（2）设，若对恒有成立，求实数的取值范围. 【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.（Ⅱ）∵，，∴当且仅当时，有最小值．又由（Ⅰ）可知，对，．恒有成立，等价于，，等价于，即，∴实数的取值范围是．【2017湖北武汉武昌区调研】选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，）以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为.（Ⅰ）设是曲线上的一个动点，当时，求点到直线的距离的最小值；（Ⅱ）若曲线上的所有点均在直线的右下方，求的取值范围.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）由，得，化成直角坐标方程，得，即直线的方程为.依题意，设，则到直线的距离，当，即时，.故点到直线的距离的最小值为.【2017湖北武汉武昌区调研】选修4-5：不等式选讲设函数，记的解集为.（Ⅰ）求；（Ⅱ）当时，证明：.【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）证明过程见解析【解析】（Ⅰ）由已知，得，当时，由，解得，，此时.当时，由，解得，显然不成立，故的解集为.【2017江西师大附中、临川一中联考】选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，已知曲线（为参数），在以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；（2）过点且与直线平行的直线交于，两点，求点到，两点的距离之积.【答案】(1) (2)1【解析】（Ⅰ）曲线化为普通方程为：，由，得，所以直线的直角坐标方程为.（2）直线的参数方程为（为参数），代入化简得：，设两点所对应的参数分别为，则，∴.【2017江西师大附中、临川一中联考】选修4－5：不等式选讲（1）设函数，若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围；（2）已知正数满足，求的最小值.【答案】(1) (2)（2）由于，所以当且仅当，即时，等号成立.∴的最小值为.【2017湖北重点中学联考】选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），以O为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求圆C的极坐标方程；（2）若直线（为参数）与圆交于A，B两点，且，求的值.【答案】(1) (2) 或.【解析】(1)由圆C的参数方程可得圆C的圆心为（2，0），半径为2，所以圆C的极坐标方程为(2)由直线可求得直线的直角坐标方程为.由知圆心到距离，可得或.【2017湖北重点中学联考】选修4-5：不等式选讲已知函数（1）若，解不等式；（2）若存在实数，使得成立，试求的取值范围.【答案】(1) (2)【2017河北衡水六调】选修4-4：坐标系与参数方程极坐标系与直角坐标系有相同的长度单位，以原点为极点，以轴正半轴为极轴，曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数，），射线与曲线交于（不包括极点）三点．（1）求证：；（2）当时，两点在曲线上，求与的值．【答案】（1）见解析;（2）．【解析】(1)依题意，，则；(2)当时，两点的极坐标分别为，化为直角坐标为，曲线是经过点，且倾斜角为的直线，又因为经过点的直线方程为，所以．【2017河北衡水六调】选修4-5：不等式选讲已知函数．（1）若，解不等式；（2）若存在实数，使得不等式成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）．(2)不等式等价于，即，又，若存在实数，使得不等式成立，则，解得，∴实数的取值范围是．【2017江西上饶一模】选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线1C ：12cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（参数R θ∈），以坐标原点O 为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为，点Q 的极坐标为（1）将曲线2C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并求出点Q 的直角坐标； （2）设P 为曲线1C 上的点，求PQ 中点M 到曲线2C 上的点的距离的最小值． 【答案】（1，点Q 的直角坐标为(4,4)；（2（2）设(12cos ,4sin )P θθ，故PQ 中点(26cos ,22sin )M θθ++，2C 的直线方程为点M 到2C 的距离PQ 中点M 到曲线2C 上的点的距离的最小值是【2017江西上饶一模】选修4-5：不等式选讲已知函数()|4||43|f x x a x =-++，()|1||2|g x x x =--． （1）解不等式()3g x >-；（2）若存在1x R ∈，也存在2x R ∈，使得12()()f x g x =成立，求实数的取值范围．【答案】(1) {}|42x x -<<；（2）[]4,2--.【解析】（1）由题意可得1,0,()13,01,1,1,x x g x x x x x +≤⎧⎪=-<<⎨⎪--≥⎩因为()3g x >-，由函数图象可得不等式的解为42x -<<，所以不等式的解集为{}|42x x -<<．【2017内蒙包头十校联考】选修4-4：坐标系与参数方程，曲线1C ：cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（为参数）.（1）设与1C 相交于两点,A B ，求||AB ；（2）若把曲线1C 上各点的横坐标压缩为原来的2C ，设点P 是曲线2C 上的一个动点，求它到直线的距离的最小值.【答案】（1）||1AB =；（2【解析】（1的普通方程为221x y +=. ，解得与1C 的交点为，则||1AB=……5分【2017内蒙包头十校联考】已知函数()|1|||f x x x a =-+-. （1）若2a ≤，解不等式()2f x ≥；（2）若()1,,|1|1a x R f x x >∀∈+-≥，求实数的取值范围.【答案】(1)（2）[2,)+∞.【解析】（1）当()23,1|1||2|1,1223,2x x f x x x x x x -+<⎧⎪=-+-=≤≤⎨⎪->⎩，而()2f x ≥，分（2）令()()|1|F x f x x =+-，则()32,12,132,x a x F x x a x ax a x a -++<⎧⎪=-+≤<⎨⎪--≥⎩，所以当1x =时，()F x 有最小值()11F a =-，只需11a -≥，解得2a ≥，所以实数的取值范围是[2,)+∞.……10分【2017广东深圳一模】选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中中，已知曲线经过点，其参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线的极坐标方程；（2）若直线交于点，且，求证：为定值，并求出这个定值．【答案】（1）；（2）见解析.（2）不妨设点的极坐标分别为，则，即，∴，即，所以为定值．【点睛】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、椭圆的参数直角方程极坐标方程的互化及其应用、直线的参数方程的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．椭圆的参数方程化为普通方程即利用三角恒等式消去参数；在直线的参数方程中，参数的意义即为参数对应的为动点到定点的距离，常结合韦达定理进行求解.【2017广东深圳一模】选修4-5：不等式选讲已知，记关于的不等式的解集为．（1）若，求实数的取值范围；（2）若，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）．（2）由题意可知，当时，恒成立，∴恒成立，即，当时恒成立，∴．【2017荆、荆、襄、宜四地七校联考】选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中，直线经过点()1,0P -，其倾斜角为α，在以原点O 为极点，轴非负半轴为极轴的极坐标系中（取相同的长度单位），曲线C 的极坐标方程为26cos 10ρρθ-+=． （Ⅰ）若直线与曲线C 有公共点，求α的取值范围； （Ⅱ）设()y x M ,为曲线C 上任意一点，求y x +的取值范围．【答案】3,4ππ⎤⎡⎫⎪⎥⎢⎦⎣⎭（Ⅱ）[]1,7-【解析】（Ⅰ）∵曲线C 的极坐标方程为26cos 10ρρθ-+=，∴曲线C 的直角坐标方程为22610x y x +-+=∵直线经过点()1,0P -，其倾斜角为α，∴直线的参数方程为1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩（为参数）将1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩，代入22610x y x +-+=整理得28cos 80t t α-+=∵直线与曲线C 有公共点，∴264cos 320α∆=-≥即∵[)0,απ∈ ∴α的取值范围是3,4ππ⎤⎡⎫⎪⎥⎢⎦⎣⎭………5分【2017荆、荆、襄、宜四地七校联考】选修4—5：不等式选讲 ，()|23|2g x x =-+． （Ⅰ）解不等式()5||<x g ；（Ⅱ）若对任意R x ∈1，都存在R x ∈2，使得()1x f =()2x g 成立，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ）30<<x（Ⅱ）1a ≥-或5a ≤- 【解析】30<<x………4分a≤-………10分或5。

专题03 导数与应用-备战2017高考高三数学(文)全国各地一模金卷分项解析版 Word版含解析

专题03 导数与应用-备战2017高考高三数学(文)全国各地一模金卷分项解析版 Word版含解析

【备战2017高考高三数学全国各地一模试卷分项精品】专题三导数与应用一、选择题【2017湖南衡阳上学期期末】函数在定义域内恒满足：①，②，其中为的导函数，则（）A. B. C. D.【答案】D【点睛】本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值、构造函数法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【2017云南师大附中月考】已知函数的两个极值点分别为，且，点表示的平面区域为，若函数的图象经过区域，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，故的两根分别为，由二次方程根的分布得即当函数的图象经过点时，，因此当时函数图象经过区域，故选C.【2017江西上饶一模】已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【点睛】本题综合考察了函数导数与单调性，不等式与函数的转化，函数求最值等知识点，求解时公式的反用是解题的入手点，也是一个难点，不易想到，本题中由此公式可构造函数，并将所求问题转化为不等式有解问题，进而将其分离参数转化为函数求最值问题，整个求解过程思维转化角度较大，有一定难度.【2017河北衡水六调】已知函数，则其导函数的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】C【2017河北衡水六调】已知函数，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，g′（x）=，由上表可知，在处取得最大值，即，所以当时，恒成立，等价于恒成立，记，所以，可知，当时，，则在上单调递增；当时，，则在上单调递减；故当时，函数u（x）在区间，上取得最大值，所以，故实数的取值范围是，故选A．【2017广东深圳一模】若在上存在最小值，则实数的取值范围是（ ）A.B.C.D.【答案】D【点睛】本题考查了三角函数的图像和性质以及利用导数研究函数的最值单调性问题，综合性较强，属于难题．首先要根据求导公式及法则对复合函数求导，其次要研究导数的正负需要综合正弦余弦在不同区间的符号去对参数分类讨论，最后讨论过程需要条理清晰，思维严谨，运算能力较强．二、填空题【2017荆、荆、襄、宜四地七校联考】若函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠图象的对称中心为00(,())M x f x ，记函数()f x 的导函数为)(x g ，则有0)(0='x g .若函数32()3f x x x =-，则12()()20172017f f +40324033()()20172017f f +++=________. 【答案】【解析】 由得或,所以,因此.【点睛】(1)运用函数性质解决问题时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向.(2)在研究函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究.如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去f “”，即将函数值的大小转化自变量大小关系，对称性可得到两个对称的自变量所对应函数值关系.三、解答题【2017湖南衡阳上学期期末】已知函数，记为的导函数.（1）若曲线在点处的切线垂直于直线，求的值；（2）讨论的解的个数；（3）证明：对任意的，恒有.【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析.（2）由（1）可得，令得，则，所以在上单调递减，在上单调递增.又当时，，当时，，当时，，故当时，无解；当时，有唯一解；当时，有两解.（3）令在单调递减，又.【2017山西五校联考】已知，函数．（1）求证：曲线在点处的切线过点；（2）若是在区间上的极大值，但不是最大值，求实数的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）.【解析】(1)证明：因为，所以，1分因为，所以曲线在点处的切线方程为，即，令，则，故曲线曲线在点处的切线过点；4分【2017云南师大附中月考】已知函数.（1）若曲线在点处的切线斜率为1，求函数的单调区间；（2）若时，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）证明过程见解析；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）∵∴∴，∴，记∴，当x<0时，单减；当x>0时，单增，∴，故恒成立，所以在上单调递增．ii）当即时，∵在上单增，且，当时，，∴使，即．当时，，即单减；当时，，即单增．∴，∴，由∴．记，∴∴在上单调递增，∴∴．综上，．【点睛】本题主要考查导数的定义，性质以及函数中的综合应用，函数恒成立问题的解题方法和技巧，分类讨论思想的应用，属于难题，本题（2）主要利用二次求导的方法，借助于二次求导进一步确定导函数的单调性，进而确定参数的范围，解题的关键是正确求导函数，确定导函数的单调性.【2017江西赣州上学期期末】已知函数.（1）若函数存在与直线平行的切线，求实数的取值范围；（2）已知设，若有极大值点，求证：.【答案】(1);(2) 详见解析.【解析】（1）因为,因为函数存在与直线平行的切线，所以在上有解,即在上有解，也即在上有解，所以，得,故所求实数的取值范围是.【2017湖南长沙一模】已知函数，为实常数．(Ⅰ)设，当时，求函数的单调区间；(Ⅱ)当时，直线、与函数、的图象一共有四个不同的交点，且以此四点为顶点的四边形恰为平行四边形．求证：．【答案】(1)单调递增区间为，无单调递减区间；(2)证明见解析．【解析】(Ⅰ) ，其定义域为，而，当时，，故F(x)的单调递增区间为，无单调递减区间．(Ⅱ)因为直线与平行，故该四边形为平行四边形等价于且．当时，，则．令则，故在上单调递增；而，故时单调递减；时单调递增；而，故或0 < n <1< m，所以．【点睛】导数的第一问经常是求函数的单调区间，首先求导数，如果是分数形式，那一定要通分，一般定义域决定分母对导数的正负没有影响，所以主要分析分子的函数，讨论参数取值求解单调区间.【2017湖北武汉武昌区调研】已知函数.（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）设，若对，，求的取值范围. 【答案】（Ⅰ），在上单调递增，，在上单调递减，在上单调递增；（Ⅱ）.（Ⅱ）不妨设，而，由（Ⅰ）知，在上单调递增，从而等价于①令，则，因此，①等价于在上单调递减，对恒成立，对恒成立，，又，当且仅当，即时，等号成立.，故的取值范围为.【点睛】本题重点考察了利用导数探讨函数单调性的问题，第一问是我们比较常规的问题，第一步求函数的导数，化简导数，一般分式都是通分，讨论分子的正负区间就是函数的单调增减区间，第二问化归为已知函数的单调性，求参数取值范围，参变分离后，转化为求函数最值. 【2017河北衡水六调】已知函数，其中均为实数，为自然对数的底数.（1）求函数的极值；（2）设，若对任意的恒成立，求实数的最小值.【答案】（1）当时，取得极大值，无极小值；（2）.（2）当时，，∵在区间上恒成立，∴在区间上为增函数，设，∵在区间上恒成立，∴在区间上为增函数，不妨设，则等价于，即，设，则在区间上为减函数，∴在区间上恒成立，∴在区间上恒成立，∴，设，∵，∴，则在区间上为减函数，∴在区间上的最大值，∴，∴实数的最小值为．【2017四川资阳上学期期末】已知函数（其中为自然对数的底数，）．（1）当时，求的单调区间；（2）若仅有一个极值点，求的取值范围．【答案】（1）的减区间为，，增区间为；(2)（2），由得到或（*）由于仅有一个极值点，关于的方程（*）必无解，①当时，（*）无解，符合题意，②当时，由（*）得，故由得，由于这两种情况都有，当时，，于是为减函数，当时，，于是为增函数，∴仅为的极值点，综上可得的取值范围是．【2017广东深圳一模】已知函数是的导函数，为自然对数的底数．（1）讨论的单调性；（2）当时，证明：；（3）当时，判断函数零点的个数，并说明理由．【答案】（1）①当时，在上为减函数；②当时，的减区间为，增区间为；（2）证明见解析；（3）一个零点，理由见解析.（2），设，则，易知当时，，；（3）由（1）可知，当时，是先减再增的函数，其最小值为，而此时，且，故恰有两个零点，∵当时，；当时，；当时，，∴在两点分别取到极大值和极小值，且，由知，∴，∵，∴，但当时，，则，不合题意，所以，故函数的图象与轴不可能有两个交点．∴函数只有一个零点．【2017江西上饶一模】已知函数()xe f x x=．（1）求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程； （2）设()()ln 2G x xf x x x =--，证明3()ln 22G x >--． 【答案】（1）24e y x=（2）详见解析（2）由，． ，所以在为增函数， 又因为，，所以存在唯一，使，即且当时，，为减函数，时，为增函数， 所以，，记，，，所以在上为减函数，所以，所以．【2017荆、荆、襄、宜四地七校联考】已知函数21()ln2f x ax x x=-+． （Ⅰ）讨论函数()f x 的极值点的个数；（Ⅱ）若()f x 有两个极值点12,x x ，证明：12()()34ln 2f x f x +>-．【答案】（Ⅰ）详见解析．（Ⅱ）详见解析.（ⅱ）0a <时，180a ∆=->，令()0f x '=，得12x x ==显然，120,0x x ><，所以11(0,),()0,(,),()0x x f x x x f x ''∈<∈+∞>，()f x 在1x x =取得极小值，()f x 有一个极小值点． …………………4分（ⅲ）0a >时，180,a ∆=-≤时，即18a ≥()0,f x '≤()f x 在(0,)+∞是减函数，()f x 无极值点．当108a <<时，180a ∆=->，令()0f x '=，得12x x ==当1(0,)x x ∈和2(,)x x ∈+∞时()0f x '<，12(,)x x x ∈时，()0f x '>，所以()f x 在1x 取得极小值，在2x 取得极大值，所以()f x 有两个极值点． …………………6分 综上可知：（ⅰ）0a ≤时，()f x 仅有一个极值点； （ⅱ） 当18a ≥时，()f x 无极值点；【点睛】研究函数极值点问题，往往转化为研究二次函数零点或一元二次方程根的问题.而研究一元二次方程根的问题，往往需要讨论是否有根，有根时是否在定义区间，有几个在定义区间.。

专题02 函数-备战2017高考高三数学(文)全国各地一模金卷分项解析版 Word版含解析

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【备战2017高考高三数学全国各地一模试卷分项精品】专题二函数一、选择题【2017湖南衡阳上学期期末】已知函数，若，则（）A. B. 0 C. 2 D. 3【答案】C【2017荆、荆、襄、宜四地七校联考】函数的大致图象为( )A. B.C. D.【答案】C【解析】函数为偶函数，所以去掉A,D.又当时，，所以选C.【2017荆、荆、襄、宜四地七校联考】设均为正数，且，则( )A. B. C. D.【答案】B【解析】在同一个坐标系中作，由图可知，选B.【2017山西五校联考】已知奇函数满足，当时，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【2017江西上饶一模】函数在上的最大值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】函数在上均是减函数，所以在上是减函数，所以函数最大值为，选A.【2017江西上饶一模】已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若，，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由函数为奇函数可知恒成立，本题求解时可采用代入验证排除的方法求解，在选项A,B,D中都有，首先验证时不等式是否恒成立，当时，不等式右面为，左边为，此时不等式不成立，即时不能保证恒成立，所以选项A,B,D同时排除，因此选C.【2017江西赣州上学期期末】已知函数，若，则实数的值等于（）A. 0B. 1C. 0或1D. 0或-1【答案】C【2017江西赣州上学期期末】若，那么下列不等式成立的是（ ）A. B.C.D.【答案】D 【解析】，A 错；，B 错；，C 错；，D 正确.故选D. 【2017江西赣州上学期期末】已知非零常数是函数的一个零点，则的值为（ ）A. 2B.C.D.【答案】A 【解析】是函数的一个零点.故选A.【2017江西赣州上学期期末】函数在区间上的图象大致是（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】是奇函数，由此排除C；排除D；当时，，排除B;故选A.【2017湖南长沙一模】已知函数，则（）A. ，使得B.C. ，使得D. 使得【答案】B【2017湖南长沙一模】函数的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A【点睛】已知函数解析式求函数图像和已知图像求函数解析式也是高考考查的热点，本题是知道解析式求函数图像，需注意几个问题，（1）注意函数的定义域，从而判断函数图像的位置，（2）从函数的单调性，判断函数图像的变化或趋势，（3）判断函数是否具有奇偶性，判断函数图像的对称性，（4）从特殊点出发，排除选项，（5）或时函数图像的变化趋势等来判断图像.【2017四川资阳上学期期末】已知函数，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意得，，则为奇函数且在上单调递增，不等式对任意实数恒成立，则在恒成立，分离参数，又因为（当且仅当时，取等号），则，故选D.【点睛】本题主要考查函数的恒成立问题的转化，基本不等式的应用，解题的关键是由已知函数的解析式判断出函数的单调性及函数的奇偶性，利用参变分离法是解决不等式恒成立问题常用方法.【2017广东深圳一模】设，则大小关系正确的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根据指数函数对数函数的增减性知，因为，，，所以，所以选B．点睛：利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小．【2017广东深圳一模】函数的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】C【2017江西师大附中、临川一中联考】已知为奇函数，函数与的图像关于直线对称，若，则（）A. 2B.C.D. 4【答案】B【解析】由题意设关于的对称点，则，解之得，则在函数的图像上，故，则，应选答案B.【2017江西师大附中、临川一中联考】已知函数，与函数，若与的图象上分别存在点，使得关于直线对称，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B二、填空题【2017山西五校联考】已知函数满足，函数有两个零点，则的取值范围为__________．【答案】【解析】设，，即，函数，函数，解得：或，若，解得：，若函数只有两个零点，那么没有时，即，若没有时，不成立，若没有时，，所以的取值范围是.【点睛】根据函数零点求参数取值，也是高考经常涉及的重点问题，（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.【2017云南师大附中月考】已知函数，若，则实数的取值范围是__________．【答案】【2017江西师大附中、临川一中联考】若函数有两个零点，则实数的取值范围是____．【答案】【解析】由题设可知方程有两个实数根，结合图形可知当时，两函数图像有两个交点，应填答案.。

专题03导数的几何意义与运算—三年高考(2015-2017数学(文)真题分项版解析(

专题03导数的几何意义与运算—三年高考(2015-2017数学(文)真题分项版解析(

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2017年高三数学(文)最新模拟调研试题精选分项汇编(第01期)专题03 导数 含解析

2017年高三数学(文)最新模拟调研试题精选分项汇编(第01期)专题03 导数 含解析

一．基础题组1。

【湖南省长沙市长郡中学2017届高三入学考试数学(文)试题】若函数()()b f x x b R x=+∈的导函数在区间(1,2)上有零点，则()f x 在下列区间上单调递增的是( ）A ．(,1]-∞-B ．(1,0)-C ．(0,1)D ．(2,)+∞ 【答案】D考点:1.导数与函数的单调性；2.函数与方程【名师点睛】本题考查导数与函数的单调性、函数与方程,属中档题;导数与函数的单调性是高考的必考内容，也是难点，导数与单调性关系：()0()f x f x '>⇒单调递增，()0()f x f x '<⇒单调递减;反之，当()f x 在某个区间上单调递增()0f x '⇒≥，当()f x 在某个区间上单调递减()0f x '⇒≤。

2。

【湖南省长沙市长郡中学2017届高三入学考试数学（文）试题】已知()ln 1,(0,)f x ax x x =+∈+∞()a R ∈，'()fx 为()f x 的导函数,'(1)2f =，则a =.【答案】2 【解析】试题分析：因为1()ln (ln 1)f x a x ax a x x'=+⨯=+,所以(1)(ln11)2f a a '=+==.考点：导数的运算。

3。

【广东省珠海市2017届高三9月摸底考试数学（文）试题】设函数'()fx 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=，当0x >时，'()()0xf x f x ->,则使得()0f x >成立的x 的取值范围是 A ．(,1)(0,1)-∞-B ．(1,0)(1,)-+∞C ．(,1)(1,0)-∞--D ．(0,1)(1,)+∞【答案】B考点：1、函数的奇偶性；2、导数在研究函数的单调性中的应用；3、导数在研究函数的极值中的应用.【思路点睛】本题主要考查了函数的奇偶性、导数在研究函数的单调性中的应用和导数在研究函数的极值中的应用,考查学生综合知识能力，渗透着转化与化归的数学思想,属中档题。

2017高考数学考试大纲解读系类微刊【上册】文科：专题3 导数及其应用 含解析

2017高考数学考试大纲解读系类微刊【上册】文科：专题3 导数及其应用 含解析

考纲原文呈现1．导数概念及其几何意义(1）了解导数概念的实际背景. (2）理解导数的几何意义. 2．导数的运算（1)能根据导数定义求函数y =C ，（C 为常数），231,,,,y x y x y x y y x x=====。

（2）能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f (ax +c ）的复合函数)的导数．①常见基本初等函数的导数公式：()0C '=（C 为常数）；1()()n n x nx n N -+'=∈； (sin )cos x x '=；(cos )sin x x '=-； ()x x e e '=；()ln (01)x x a a a a a '=>≠且；1(ln )x x '=；1(log )log a a x e x'=(01)a a >≠且． ②常用的导数运算法则：法则1：[()()]()()u x v x u x v x '''+=+． 法则2：[()()]()()()()u x v x u x v x u x v x '''=+． 法则3：2()()()()()[](()0)()()u x u x v x u x v x v x v x v x ''-'=≠．3．导数在研究函数中的应用（1）了解函数单调性和导数的关系;能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)；（2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次)．4．生活中的优化问题。

会利用导数解决某些实际问题．考情分析与预测点多，综合性强，预计2017年的高考仍将突出导数的工具性，重点是导数几何意义的应用、利用导数研究函数的极值、最值及单调性等问题,其中蕴含对转化与化归、分类与讨论和数形结合等数学思想方程的考查，常与函数的单调性、方程的零点、不等式的证明及恒成立问题交汇命题，难度较大．主要题型仍将有：（1)以小题形式考查导数的几何意义及研究简单函数的单调性或极值；(2）以大题的形式出现，考查导数在表达式比较复杂函数的应用中（单调性，极值与最值）．样题深度解读122t t=，1t =，t =12e e+1,2e e ⎡+⎢⎣导数与不等式恒成立问题3:2()2ln (2)2f x xa x a x =-+-，a R ∈．（1）当0a ≤时,讨论函数()f x 的单调性；（2）是否存在实数,对任意的1x ，()20,x ∈+∞，且12xx ≠，有2121()()f x f x a x x ->-恒成立,若存在求出的取值范围,若不存在，说明理由．【解析】（1）∵22(2)2(2)()'()(2)a x a x a x x a f x x a x x x+---+=-+-==,∴①当20a -<≤时,若()0,x a ∈-时，'()0f x >，()f x 为增函数；(,2)x a ∈-时，'()0f x <,()f x 为减函数;()2,x ∈+∞时，'()0f x >，()f x 为增函数．②当2a =-时，()0,x ∈+∞，()f x 为增函数；③当2a<-时，()0,2x∈时，'()0f x>，()f x为增函数；()x a∈-时，'()02,f x<，()f x为减函数;f x为增函数．f x>，()(,)x a∈-+∞时，'()0。

03导数及其应用-2017年高考数学(文)母题题源系列(新课标1专版)含解析

03导数及其应用-2017年高考数学(文)母题题源系列(新课标1专版)含解析

专题三 导数及其应用【母题来源一】【2017全国卷1文数14】【母题原题】曲线21y x x=+在点（1,2)处的切线方程为______________．【答案】1y x =+【考点】导数几何意义【名师点睛】求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出斜率,其求法为：设),(00y x P 是曲线)(x f y =上的一点,则以P 为切点的切线方程是000()()y y f x x x '-=-．若曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．【母题来源二】【2015全国卷1文数14】【母题原题】14、已知函数()31f x ax x =++的图像在点()()1,1f 的处的切线过点()2,7,则a = 。

【答案】1【解析】∵2()31f x ax '=+，∴(1)31f a '=+，即切线斜率31k a =+， 又∵(1)2f a =+，∴切点为（1，2a +），∵切线过(2,7），∴273112a a +-=+-,解得a =1. 【考点】利用导数的几何意义求函数的切线;常见函数的导数；【名师点睛】对求过某点的切线问题，常设出切点,利用导数求出切线方程，将已知点代入切线方程得到关于切点横坐标的方程，解出切点的横坐标,即可求出切线方程，思路明确，关键是运算要细心.【命题意图】主要考查导数的运算、导数的几何意义、直线方程的点斜式,考查代数式化简与变形能力、运算求解能力，运用数形结合、分类讨论的思想方法分析与解决问题能力。

【命题规律】导数的几何意义几乎是每年高考的必考内容,考查题型以选择题、填空题，有时出现在解答题的第(1)问中，难度偏小,属中低档题．常见的命题角度有：(1)求切线方程;(2)求切点坐标;(3)求参数的值．【答题模板】求函数()y f x ＝在点0x 处的切线方程 第一步:求导数得()0k f x ='； 第二步：利用直线方程的点斜式，写出直线方程；第三步：化简.【方法总结】函数()y f x ＝在点0x 处的导数的几何意义，就是曲线()y f x ＝在点()00()P x f x ，处的切线的斜率k ，即()0k f x ='，切线方程为()()000()y f x f x x x '－＝－。

专题导数与应用备战高考高三数学(文)全国各地二模金卷分项解析含解析

专题导数与应用备战高考高三数学(文)全国各地二模金卷分项解析含解析

【备战2017高考高三数学全国各地二模试卷分项精品】一、选择题1．【2017安徽阜阳二模】已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()1(f e e =为自然对数的底数），且当0x ≥时，有()()()1'x f x xf x -<，则不等式()0xxf x e ->的解集是 （ ）A. ()(),11,-∞-⋃+∞B. ()()1,00,1-⋃C. ()1,1-D. ()()1,01,-⋃+∞ 【答案】A点睛：本题考查的知识点是函数综合问题，对于选择题，可以选择特例进行求解，对函数()f x 给出特定的解析式，当解析式满足题中所有条件时，利用函数的解析式求解不等式即可. 2．【2017广东佛山二模】已知函数()1ex f x x =+，若对任意R x ∈， ()f x ax >恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A. (),1e -∞-B. (]1e,1-C. [)1,e 1- D. ()e 1,-+∞ 【答案】B【解析】当0x = 时， 10,a R >∈ ；当0x > 时， min11x a xe ⎛⎫<+⎪⎝⎭ ；当0x < 时， max11x a xe ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭ ；令x y xe = ，则()101x y x e x =+=⇒=-'，所以当0x > 时， xy xe=单调递增， ()10,,11,1x xy xe a xe=∈+∞+>≤；当0x < 时， xy xe =在(),1-∞- 上单调递减，在()1,0- 上单调递增， 1xy xe e -=≥-， 111,1xe a e xe +≤->-；综上实数a 的取值范围是(]1,1e -，选B.点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.3．【2017湖南长沙二模】已知函数()()2ln f x x x x x a =+-（a R ∈），若存在1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()f x xf x >'成立，则实数a 的取值范围是（ ） A. 9,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭ B. 3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C. ()2,+∞ D. ()3,+∞【答案】C点晴:本题主要考查函数单调性，不等式恒成立问题. 本题中由()()f x xf x >'可构造函数()()f x g x x=，则()'0g x <即()()1'20g x x a x =+-<恒成立，转化为min12a x x ⎛⎫>+⎪⎝⎭，再求12x x+的最值即可.这类问题的通解方法就是：划归与转化之后，就可以假设相对应的函数，然后利用导数研究这个函数的单调性、极值和最值，图像与性质，进而求解得结果. 4．【2017湖南娄底二模】已知函数()()2ln f x x x x x a =+-（R x ∈），若存在1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()f x xf x >'成立，则实数a 的取值范围是（ ） A. 9,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭ B. 3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C. )2,+∞ D. ()3,+∞【答案】C点晴:本题主要考查函数单调性，不等式恒成立问题. 本题中由()()f x xf x >'可构造函数()()f xg x x=，则()'0g x <即()()1'20g x x a x =+-<恒成立，转化为min12a x x ⎛⎫>+⎪⎝⎭，再求12x x+的最值即可.这类问题的通解方法就是：划归与转化之后，就可以假设相对应的函数，然后利用导数研究这个函数的单调性、极值和最值，图像与性质，进而求解得结果. 5．【2017陕西汉中二模】已知偶函数()()0f x x ≠的导函数为()'f x ，且满足()10f =，当0x ＞时， ()()'2xf x f x ＜，则使()0f x ＞成立 的x 的取值范围为 （ ）A. ()()10,1-∞-⋃，B. ()()100,1-⋃，C. ()()101,-⋃+∞，D. ()()11,-∞-⋃+∞， 【答案】B【解析】令()()2F x x f x =，则()()()()()222F x xf x x f x x f x xf x ⎡⎤=+='+'⎣'⎦，当0x >时，由题设可得()0F x '<，即函数()()2F x x f x =是单调递减函数，当0x <时，函数()()2F x x f x =是单调递增函数，又由题设可知()()110f f =-=，所以结合图像可知不等式()0F x >解集是()1,1-，则不等式()0f x >的解集是()()1,00,1-⋃，应选答案B 。

03导数与定积分-备战2017高考高三数学(理)全国各地二模金卷分项解析版含解析

03导数与定积分-备战2017高考高三数学(理)全国各地二模金卷分项解析版含解析

【备战2017高考高三数学全国各地二模试卷分项精品】专题 导数与定积分一、选择题1．【2017安徽阜阳二模】设函数()()ln R x f x x a a x=+-∈，若曲线122(1x x e y e e +=+是自然对数的底数）上存在点()00,x y 使得()()00f f y y =,则的取值范围是（ ）A. (],0-∞B. (]0,eC.1,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ D. [)0,+∞ 【答案】C 2．【2017广东佛山二模】设函数()32f x ax bx cx d =+++（0a ≠）满足()()()1322f f f +=，现给出如下结论：①若()f x 是()0,1上的增函数，则()f x 是()3,4的增函数； ②若()()13a f a f ⋅≥⋅,则()f x 有极值；③对任意实数0x ，直线()()()0012y c a x x f x =--+与曲线()y f x =有唯一公共点.其中正确结论的个数为( ）A. 0 B 。

1 C 。

2 D. 3【答案】D【解析】由()()()1322f f f +=化简得6b a =-。

()2232312f x ax bx c ax ax c =++=-+'，其对称轴为2x =，如果()f x 在()0,1上递增，其关于2x =对称的区间为()3,4，故()3,4也是其增区间,①正确. ()()130a f f ⎡⎤-≥⎣⎦，即()2110a a c -≥,导函数()2312f x ax ax c =-+'的判别式()2144121212a ac a a c -=-,当0a >时, 12110a c a c ->-≥，判别式为正数，当0a <时,110,120a c a c a -≤-≤<，其判别式为正数，即导函数有零点，根据二次函数的性质可知原函数由极值，②正确。

注意到()212f c a -'=，则③转化为()()02y f x f x x -'=-，即函数图像上任意两点连线的斜率和函数在2x =处的切线的斜率相等的有且仅有一个点。

2017届高三最新考试数学文试题分类汇编_导数及其应用 全国通用 含答案

2017届高三最新考试数学文试题分类汇编_导数及其应用 全国通用 含答案

山东省13市2017届高三最新考试数学文试题分类汇编导数及其应用2017.03一、选择、填空题1、（德州市2017届高三第一次模拟考试）设函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足'()()xe xf x f x x+=，(1)f e =，则0x >时，()f x （ ）A ．有极大值，无极小值B ．有极小值，无极大值C ．既有极大值又有极小值D ．既无极大值也无极小值2、（菏泽市2017年高考一模）已知a ＞0，曲线f （x ）=2ax 2﹣在点（1，f （1））处的切线的斜率为k ，则当k 取最小值时a 的值为 ．3、（日照市2017届高三下学期第一次模拟）函数()ln f x x =在1x =处的切线方程是________________.4、（泰安市2017届高三第一轮复习质量检测（一模））已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，若()()()()15,g x f x g x g x '=++为的导函数，对x R ∀∈，总有()2g x x '>，则()24g x x <+的解集为 ▲ ．二、解答题1、（滨州市2017届高三上期末）已知函数()()()122ln 0f x ax a x a x=--+≥． （Ⅰ）当0a =时，求函数()f x 的极值； （Ⅱ）当0a >时，讨论函数()f x 的单调性；（Ⅲ）当1a =时，若对于任意的[]1214x x ∈，，，都有()()12272ln 24f x f x m -<-成立，求实数m 的取值范围．2、（德州市2017届高三第一次模拟考试）设函数22()2()ln f x x ax x x x =-++-． （Ⅰ）当2a =时，求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若(0,)x ∈+∞时，2()0f x x +>恒成立，求整数的最小值．3、（菏泽市2017年高考一模）已知函数f （x ）=（2x +b ）e x ，F （x ）=bx ﹣lnx ，b ∈R ．（1）若b ＜0，且存在区间M ，使f （x ）和F （x ）在区间M 上具有相同的单调性，求b 的取值范围；（2）若b ＞0，且g （x ）=bx 2﹣2x ﹣F （x ）在区间1，e ]上的最小值为﹣2，求b 的取值范围．4、（济宁市2017届高三第一次模拟（3月））已知函数21()()()2xf x xe a x x a R =-+∈． （Ⅰ）若0a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）若(2,0)x ∀∈-，()0f x ≤恒成立，求实数的取值范围； （Ⅲ）当0a >时，讨论函数()f x 的单调性．5、（聊城市2017届高三上期末）已知函数()xf x e acx =-（R a ∈，是自然对数的底数）. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当x R ∈时，()0f x ≥恒成立，求的取值范围.6、（临沂市2017届高三2月份教学质量检测（一模））已知函数1()1(),() 1.x e f x x a nx a R g x x-=+∈=-(I)若直线0y =与函数()y f x =的图象相切，求a 的值；(Ⅱ)设a>0，对于[)1212,3,(),x x x x ∀∈+∞≠都有1212()()()(),f x f x g x g x --＜求实数a 的取值范围．7、（青岛市2017年高三统一质量检测）已知函数4()1,()ln af x xg x a x x=+-=，R a ∈. （Ⅰ）若函数()()()h x f x g x =-在[1,3]上为减函数，求的最小值；（Ⅱ）若函数3()(2)x p x x e =-⋅（ 2.718e =，为自然对数的底数），()()2g x q x x=+，对于任意的12,(0,1)x x ∈，恒有12()()p x q x >成立，求的范围．8、（日照市2017届高三下学期第一次模拟）设()xf x xe =(e 为自然对数的底数)，()()21g x x =+．(I)记()()()f x F xg x =. (i)讨论函数()F x 单调性；(ii)证明当0m >时，()()11F m F m -+>--恒成立(II)令()()()()G x af x g x a R =+∈，设函数G(x )有两个零点，求参数a 的取值范围.9、（泰安市2017届高三第一轮复习质量检测（一模））已知函数()()2ln 2,f x x x g x x mx =+=-．(I)求函数()[](),20f x t t t +>在上的最小值；(Ⅱ)若存在01,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦使得()()2mf x g x x m '+≥+成立，求实数m 的取值范围．10、（潍坊市2017届高三下学期第一次模拟）设()2,x e f x ax a e =-+()1ln g x x x=+. (I)设()()()x xe exh x f x g x xe-=-+，讨论()y h x =的单调性； (II)证明：对任意()1,,1,2a x ⎛⎫∈-∞∃∈+∞ ⎪⎝⎭，使()()f x g x <成立11、（烟台市2017届高三3月高考诊断性测试（一模））已知函数()ln f x x x =，2()2g x x ax =-+-．（1）若曲线()ln f x x x =在1x =处的切线与函数2()2g x x ax =-+-也相切，求实数的值； （2）求函数()f x 在1{,}4t t +（0t >）上的最小值； （3）证明：对任意的(0,)x ∈+∞，都有2ln x x x x e e>-成立．12、（枣庄市2017届高三下学期第一次模拟考试）已知函数()()1ln ,x f x x e a x x a R -=⋅-+∈(1)若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线为x 轴，求的值： (2)若()f x 的最小值大于0，求证：0a e <<．13、（淄博市2017届高三3月模拟考试）设2()ln (21),f x x x ax a x a R =-+-∈. （Ⅰ）令()()f x g x x=，求()g x 的单调区间； （Ⅱ）当112a <≤时，证明：()0f x ≤.参考答案一、选择、填空题 1、D2、【解答】解：f （x ）=2ax 2﹣的导数为f′（x ）=4ax +，可得在点（1，f （1））处的切线的斜率k=4a +，a ＞0，可得k=4a +≥2=4，当且仅当4a=，即a=，k 取得最小值4． 故答案为：．3、1-=x y4、（－∞，－1）二、解答题1、解：函数()f x 的定义域为()0+∞，， （Ⅰ）当0a =时，()12ln f x x x =--，()221212'xf x x x x-=-=． …………………………1分 当102x <<时，()'0f x >，函数()f x 在区间102⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增；………………2分当12x >时，()'0f x <，函数()f x 在区间12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上单调递减；………………3分所以，当12x =时，函数()f x 取得极大值为12ln 222f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；不存在极小值． …………4分 （Ⅱ）当0a >时，()()22222112'2ax a x a f x a x x x -+++=+-=()()2211x ax x --=． ……5分 由()'0f x =，得12x =或1x a=． ………………………………6分①当112a <，即2a >时，由()'0f x >，得10x a <<或12x >；由()'0f x <，得112x a <<， 所以函数()f x 在区间10a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增，在区间112a ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减； (7)分②当112a =，即2a =时，()'0f x ≥在()0+∞，恒成立，所以函数()f x 在区间()0+∞，上单调递增；…8分 ③当112a >，即02a <<时，由()'0f x >，得102x <<或1x a>；由()'0f x <，得112x a <<，所以函数()f x 在区间102⎛⎫ ⎪⎝⎭，，1a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增，在区间112a ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减． …………9分综上所述，当2a >时，函数()f x 在区间10a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增，在区间112a ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减；当2a =时，函数函数()f x 在区间()0+∞，上单调递增；当02a <<时，函数()f x 在区间102⎛⎫ ⎪⎝⎭，，1a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增，在区间112a ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减．………………10分（Ⅲ）当1a =时，由（Ⅱ）知，函数()f x 在区间[]14，上是增函数， 所以()()()()1227416ln 24f x f x f f -≤-=-，……………………11分 因为对于任意的[]1214x x ∈，，，都有()()12272ln 24f x f x m -<-成立， 所以27276ln 22ln 244m -<-恒成立，…………………………12分 解得3m <，………………………………13分故m 的取值范围为()3-∞，． ………… ……14分2、解：（Ⅰ）由题意可得()f x 的定义域为(0,)+∞， 当2a =时，22()22()ln f x x x x x x =-++-， 所以21'()222(21)ln 2()f x x x x x x x=-++-+-⋅(42)ln x x =-． 由'()0f x >可得：(42)ln 0x x ->，所以420,ln 0,x x ->⎧⎨>⎩或420,ln 0.x x -<⎧⎨<⎩解得1x >或102x <<； 由'()0f x <可得：(42)ln 0x x -<，所以420,ln 0,x x ->⎧⎨<⎩或420,ln 0,x x -<⎧⎨>⎩解得112x <<． 综上可知：()f x 递增区间为1(0,)2，(1,)+∞，递减区间为1(,1)2．（Ⅱ）若(0,)x ∈+∞时，2()0f x x +>恒成立，则22()ln 0ax x x x +->恒成立，因为0x >，所以2(1)ln 0a x x +->恒成立， 即2(1)ln a x x >--恒成立，令()2(1)ln g x x x =--，则max ()a g x >．因为12'()2(ln )2ln 2x g x x x x x-=-+=--+， 所以'()g x 在(0,)+∞上是减函数，且'(1)0g =，所以()g x 在(0,1)上为增函数，在(1,)+∞上是减函数， ∴1x =时，max ()0g x =，∴0a >，又因为a Z ∈，所以min 1a =．3、【解答】解：（1）f （x ）=（2x +b ）e x ，f′（x ）=（2x +b +2）e x ，∴当x ∈（﹣∞，﹣﹣1）时，f′（x ）＜0，当x ∈（﹣﹣1，+∞）时，f′（x ）＞0， ∴f （x ）的减区间为（﹣∞，﹣﹣1），增区间为（﹣﹣1，+∞），F （x ）的定义域为（0，+∞），且F′（x ）=b ﹣=，∵b ＜0，∴F′（x ）＜0，则F （x ）在定义域（0，+∞）上为减函数， 要使存在区间M ，使f （x ）和F （x ）在区间M 上具有相同的单调性， 则﹣﹣1＞0，即b ＜﹣2， ∴b 的取值范围是（﹣∞，﹣2）； （2）g （x ）=bx 2﹣2x ﹣bx +lnx ，g′（x ）=，x ∈1，e ]时，2x ﹣1＞0，①≤1即b ≥1时，g′（x ）＞0在1，e ]恒成立，g （x ）在1，e ]递增，故g （x ）min =g （1）=﹣2，符合题意； ②1＜＜e 即＜b ＜1时，g （x ）在1，）递减，在（，e ]递增， 故g （x ）min =g （）=ln ﹣﹣1， 令h （x ）=lnx ﹣x ﹣1，x ∈（1，e ），则h′（x ）=﹣1=＜0，h （x ）在1，e ]递减，h （x ）＜h （1）=﹣2， 不合题意；③≥e 即0＜b ≤时，g （x ）在1，e ]递减，g （x ）min =g （e ）=（e 2﹣e ）b ﹣2e +1，令h （b ）=e （e ﹣1）b ﹣2e +1，显然h （b ）在1，e ]递增， 故h （1）＜h （b ）＜h （e ）， 而h （1）＜﹣2＜h （2），符合题意， 综上b ∈（0，]∪1，+∞）．4、解：（Ⅰ）当0a =时，'()(1)xf x x e =+，∴切线的斜率'(1)2k f e ==， 又(1)f e =，()y f x =在点(1,)e 处的切线方程为2(1)y e e x -=-， 即20ex y e --=．（Ⅱ）∵对(2,0)x ∀∈-，()0f x ≤恒成立，∴22x e a x ≤+在(2,0)-恒成立，令2()2xe g x x =+（20x -<<），222(2)22(1)'()(2)(2)x x x e x e e x g x x x +-+==++， 当21x -<<-时，'()0g x <，当10x -<<时，'()0g x >， ∴()g x 在(2,1)--上单调递减，在(1,0)-上单调递增， ∴1min22()(1)12e g x g e -=-==-+，故实数的取值范围为2(,]e-∞．（Ⅲ）'()(1)()xf x x e a =+-． 令'()0f x =，得1x =-或ln x a =，①当1a e =时，'()0f x ≥恒成立，∴()f x 在R 上单调递增； ②当10a e<<时，ln 1a <-，由'()0f x >，得ln x a <或1x >-；由'()0f x <，得ln 1a x <<-． ∴()f x 单调递增区间为(,ln )a -∞，(1,)-+∞；单调减区间为(ln ,1)a -． ③当1a e>时，ln 1a >-， 由'()0f x >，得1x <-或ln x a >；由'()0f x <，得1ln x a -<<． ∴()f x 单调增区间为(,1)-∞-，(ln ,)a +∞，单调减区间为(1,ln )a -． 综上所述：当1a e=时，()f x 在R 上单调递增； 当10a e<<时，()f x 单调增区间为(,ln )a -∞，(1,)-+∞，单调减区间为(ln ,1)a -； 当1a e>时，()f x 单调增区间为(,1)-∞-，(ln ,)a +∞，单调减区间为(1,ln )a -． 5、解：（1）由()xf x e eax =-，得'()xf x e ea =-.当0a ≤时，'()0xf x e ea =->，则()f x 在R 上为增函数； 当0a >时，由1ln '()0xxxf x e ea e e+=->=-=，解得1ln x a =+.当1ln x a <+时，'()0f x <；当1ln x a >+时，'()0f x >. 所以()f x 在(,1ln )a -∞+上为减函数，在(1ln ,)a ++∞上为增函数. （2）结合（1），当0a <时，设1a <-，则222(2)220xx f a e ea a e ea =-=-<•，这与“当x R ∈时，()0f x ≥恒成立”矛盾，此时不适合题意.当0a =时，()xf x e =，显然满足“当x R ∈时，()0f x ≥恒成立”. 当0a >时，()f x 的极小值点，也是最小值点，即1ln min ()(1ln )(1ln )ln af x f a eea a ea a +=+=-+=-， 由()0f x ≥，得ln 0ea a -≥，解得01a <≤. 综上，的取值范围是[0,1]. 6、7、解：（Ⅰ）4()()()1ln ah x f x g x x a x x=-=+-- 所以22244()10a a x ax ah x x x x --'=--=≤在[1,3]上恒成立 所以240x ax a --≤在[1,3]上恒成立 ……………………………………………………3分令2()4u x x ax a =--，所以(1)140(3)9340u a a u a a =--≤⎧⎨=--≤⎩所以1597a a ⎧≥⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩，97a ∴≥，的最小值为97 ………………………………………………6分（Ⅱ）3()(2)x p x x e =-⋅，2332()(3)(2)(32)x x xp x x e x e x x e '∴=-⋅+-⋅=--+ 由()0p x '=，则32320x x --+=化简得2(1)(22)0x x x ++-=,解得x =1-或x=1-±……………………………9分所以()(1)(11xp x x x x e '=-++++-∴当(0,1x ∈-时，()0p x '>，()p x在(0,1-+单调递增当(1x ∈-时，()0p x '<，()p x在(1-+单调递减又因为(0)2,(1)p p e ==，所以当(0,1)x ∈时，()2p x > ……………………………11分∴()2q x ≤，即ln 0a xx≤对(0,1)x ∈恒成立因为(0,1)x ∈,所以ln 0x <,所以0a ≥ …………………………………………………13分8、解：（Ⅰ）)()()(x g x f x F =2)1(e +=x x x )1(-≠x ． (i)3242)1()1(e )1()1(2e )1(e )1()(++⋅=++⋅-+⋅+='x x x x x x x x F x x x ，……………………………2分 所以，当)1,(--∞∈x 时，0)(<'x F ，)(x F 单调减；当),1(+∞-∈x 时，0)(>'x F ，)(x F 单调增． ……………………………3分)ii ()1e 11(e 1e )1(e )1()1()1(2122121++-+=----=---+-+---mm m m m m m m m m m m m F m F ， 令)0(1e 11)(2>++-=m m m m m ϕ，11e 2e )(22++-=m m m mϕ， 0)1(e 2)1(e 2)1(e 4e2)(2222222>+=+-+-='m m m m m mm m mϕ， ……………………………5分 所以0)0()(=>ϕϕm ，又0e122>+mm m ，所以 0>m 时，0)1e 11(e 1)1()1(212>++-+=---+-+mm m m m m m F m F 恒成立，即 当0>m 时，)1()1(m F m F -->+-恒成立． ……………………………6分（Ⅱ）由已知，2)1(e )()()(++=+=x ax x g x af x G x ，)2e )(1()1(2e )1()(++=+++='x x a x x x a x G ．①当0=a 时，2)1()(+=x x G ，有唯一零点1-； ……………………………7分 ②当0>a 时，02e >+xa ，所以当)1,(--∞∈x 时，0)(<'x G ，)(x G 单调减； 当),1(+∞-∈x 时，0)(>'x G ，)(x G 单调增． 所以0e)1()(<-=-=aG x G 极小， 因01)0(>=G ，所以当),1(+∞-∈x 时，)(x G 有唯一零点； 当1-<x 时，0<ax ，e 1e <x，所以ee ax ax x >， 所以1)e2()1(e )(22+++=++>x ax x ax x G ， 因为0)e(e 4114)e 2(22>+=⨯⨯-+a a a ， 所以，1t ∃，2t ，且21t t <，当),(1t x -∞∈，或),(2+∞t 时，使01)e2(2>+++x ax ， 取),()1,(10t x -∞--∞∈ ，则0)(0>x G ，从而可知当)1,(--∞∈x 时，)(x G 有唯一零点，即当0>a 时，函数)(x G 有两个零点． ……………………………10分③当0<a 时，))2(e )(1()(a x a x G x--+='，由0)(='x G ，得1-=x ，或)2ln(ax -=．1 若)2ln(1a -=-，即e 2-=a 时，0)e1e )(1(e 2)(≤-+-='x x x G ，所以)(x G 是单调减函数，至多有一个零点；2若)2ln(1a ->-，即e 2-<a 时，))2(e )(1()(a x a x G x --+='，注意到1+=x y ，ay x2e +=都是增函数，所以当))2ln(,(ax --∞∈时，0)(<'x G ，)(x G 是单调减函数； 当)1),2(ln(--∈ax 时，0)(>'x G ，)(x G 是单调增函数； 当),1(+∞-∈x 时，0)(<'x G ，)(x G 是单调减函数．01)2(ln )1)2(ln()2()2ln())2(ln()(22>+-=+-+-⋅-=-=aa a a a a G x G 极小，所以)(x G 至多有一个零点； ……………………………12分3若)2ln(1a-<-，即e 20->>a 时，同理可得当)1,(--∞∈x 时，0)(<'x G ，)(x G 是单调减函数； 当))2ln(,1(ax --∈时，0)(>'x G ，)(x G 是单调增函数； 当)),2(ln(+∞-∈ax 时，0)(<'x G ，)(x G 是单调减函数． 所以0e)1()(<-=-=aG x G 极小，)(x G 至多有一个零点． 综上，若函数)(x G 有两个零点，则参数的取值范围是),0(+∞．……………………14分 9、10、11、 解：（1）1()ln ln 1f x x x x x'=+⋅=+，当1x =时，(1)1f '=， 所以()ln f x x x =，在1x =处的切线方程为：1y x =-，联立212y x y x ax =-⎧⎨=-+-⎩，消y 可得，2(1)10x a x +-+=， 由题意可知，2(1)40V a =--=， 所以3a =或1-．（2）由（1）知'()ln 1f x x =+，当1(0,)x e∈，'()0f x <，()f x 单调递减， 当1(,)x e∈+∞，'()0f x >，()f x 单调递增． ①1104e t t <<+≤，即110e 4t <≤-时，min 111()()()ln()444f x f t t t =+=++；②110e 4t t <<<+，即111e 4e t -<<时，min 11()()f x f e e ==-； ③11e 4t t ≤<+，即1t e ≥时，()f x 在1[,]4t t +上单调递增，min ()()ln f x f t t t ==； 所以min1111()ln()044e 41111()e e 4e 1ln ,e t t t f x t t t t ⎧++<≤-⎪⎪⎪=--<<⎨⎪⎪≥⎪⎩，，（3）设2()x x m x e e =-（(0,)x ∈+∞），则'1()xx m x e -=， 当(0,1)x ∈时，()0m x '>,()m x 单调递增； 当(1,)x ∈+∞时，()0m x '<,()m x 单调递减，可得max 1()(1)m x m e==-，当且仅当1x =时取到．由（2）知()ln ((0,))f x x x x =∈+∞的最小值是1e -，当且仅当1x e=时取到．因此当(0,)x ∈+∞时，()()min max 1ef x m x ≥-≥恒成立． 又两次最值不能同时取到，所以对一切(0,)x ∈+∞，都有2ln e ex x x x >- 12、13、解：（Ⅰ）由()ln 21g x x ax a =-+-,(0,)x ∈+∞. 可得11()axg x a x x-'=-=. 当0a ≤时, (0,)x ∈+∞时，()0g x '>，函数()g x 单调递增；当0a >时，1(0,)x a ∈时，()0g x '>，函数()g x 单调递增；1(,)x a∈+∞时，()0g x '<，函数()g x 单调递减；所以，当0a ≤时，函数()g x 单调递增区间为(0,)+∞；当0a >时，函数()g x 单调递增区间为1(0,)a ，单调递减区间为1(,)a+∞.（Ⅱ）只要证明对任意(0,)x ∈+∞，()0g x ≤. 由（Ⅰ）知，()g x 在1x a=取得最大值， 且max 11()()ln222ln 2g x g a a a aa==+-=--. 令1()2ln 2,(,1]2h a a a a =--∈，121()20a h a a a-'=-=>，则()h a 在1(,1]2上单调递增，()(1)0h a h ≤=.所以当112a <≤时，max ()()()0g x g x h a ≤=≤即()0f x ≤.。

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【备战2017高考高三数学全国各地一模试卷分项精品】
专题三导数与应用
一、选择题
【2017湖南衡阳上学期期末】函数在定义域内恒满足：①，
②，其中为的导函数，则（）
A. B. C. D.
【2017云南师大附中月考】已知函数的两个极值点分别为，且
，点表示的平面区域为，若函数
的图象经过区域，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
【2017江西上饶一模】已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
【2017河北衡水六调】已知函数，则其导函数的图象大致是（）
A. B.
C. D.
【2017河北衡水六调】已知函数，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
【2017广东深圳一模】若在
上存在最小值，则实数的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题
【2017荆、荆、襄、宜四地七校联考】若函数3
2
()(0)f x ax bx cx d a =+++≠图象的对称中心为
00(,())M x f x ，记函数()f x 的导函数为)(x g ，则有0)(0='x g .若函数32()3f x x x =-，则
12
(
)()20172017
f f +40324033
(
)()20172017
f f +++=________. 三、解答题
【2017湖南衡阳上学期期末】已知函数，记
为
的导函数.
（1）若曲线在点处的切线垂直于直线
，求的值；
（2）讨论
的解的个数；
（3）证明：对任意的，恒有.
【2017山西五校联考】已知，函数
．
（1）求证：曲线在点处的切线过点
； （2）若
是
在区间
上的极大值，但不是最大值，求实数的取值范围．
【2017云南师大附中月考】已知函数.
（1）若曲线在点
处的切线斜率为1，求函数的单调区间；
（2）若
时，
恒成立，求实数的取值范围.
【2017江西赣州上学期期末】已知函数.
（1）若函数存在与直线
平行的切线，求实数的取值范围； （2）已知
设
，若
有极大值点
，求证：
.
【2017湖南长沙一模】已知函数，为实常数． (Ⅰ)设，当时，求函数
的单调区间； (Ⅱ)当
时，直线
、
与函数
、
的图象一共有四个不同的交点，且以此四点为顶点的四边形恰为平行四边形．求证： ．
【2017湖北武汉武昌区调研】已知函数
.
（Ⅰ）讨论的单调性； （Ⅱ）设
，若对
，
，求的取值范围. 【2017河北衡水六调】已知函数，其中
均为实数，为自然对数
的底数. （1）求函数的极值；
（2）设
，若对任意的
恒成立，
求实数的最小值.
【2017四川资阳上学期期末】已知函数（其中为自然对数的底
数，）． （1）当时，求
的单调区间；
（2）若
仅有一个极值点，求的取值范围．
【2017广东深圳一模】已知函数是
的导函数，为自然
对数的底数． （1）讨论的单调性； （2）当时，证明：；
（3）当
时，判断函数
零点的个数，并说明理由．
【2017江西上饶一模】已知函数()x
e f x x
=．
（1）求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程；
（2）设()()ln 2G x xf x x x =--，证明3()ln 22G x >--
． 【2017荆、荆、襄、宜四地七校联考】已知函数21
()ln 2f x ax x x
=-+．
（Ⅰ）讨论函数()f x 的极值点的个数；
（Ⅱ）若()f x 有两个极值点12,x x ，证明：12()()34ln 2f x f x +>-．。

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