春九年级数学下册2.1直线与圆的位置关系同步练习(新版)浙教版【含解析】

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浙教新版九年级下册《2.1_直线与圆的位置关系》2024年同步练习卷(9)+答案解析

浙教新版九年级下册《2.1直线与圆的位置关系》2024年同步练习卷（9）一、选择题：本题共4小题，每小题3分，共12分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.如图，以点P为圆心作圆，所得的圆与直线l相切的是()A.以PA为半径的圆B.以PB为半径的圆C.以PC为半径的圆D.以PD为半径的圆2.如图，AB是的直径，BC交于点D，于点E，要使DE是的切线，还需要补充一个条件，则补充的条件不正确的是()A.B.C.D.3.如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上不与点A，B重合，于点D，交BC于点F，添加下列条件能判定CE是半圆O的切线的是()A.B.C.D.4.如图，AB为的直径，，AC交于点E，BC交于点D，F为CE的中点，连接给出以下四个结论：①；②；③；④DF是的切线．其中正确结论的个数是()A.4B.3C.2D.1二、填空题：本题共3小题，每小题3分，共9分。

5.在中，，的半径为1cm，当______时，直线AB与相切．6.如图，AB为的直径，圆周角，当______时，CD为的切线.7.如图，在中，，，，点C从A点出发，在边AO上以的速度向O点运动，与此同时，点D从点B出发，在边BO上以的速度向O点运动，过OC的中点E作CD的垂线EF，则当点C运动了______s时，以C点为圆心，2cm为半径的圆与直线EF相切.三、解答题：本题共4小题，共32分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

8.本小题8分如图，AB是的直径，AC为弦，D是的中点，过点D作，交AC的延长线于E，交AB的延长线于求证：EF是的切线；若，，求的半径和AC的长．9.本小题8分如图，AB为的直径，C为上一点，点D为的中点，连接AD，过点D作，交AC的延长线于点求证：DE是的切线；延长ED交AB的延长线于点F，若，，求的半径和DE的长.10.本小题8分如图，在中，，以AB为直径的半圆O与AC交于点D，与BC交于点E，连接DE，过点E作，垂足为点求证：；判断EF与的位置关系，并说明理由；若的直径为18，，求EF的长.11.本小题8分如图，在四边形ABCD中，，，，过点B的与边AB，BC分别交于E，F两点．，垂足为G，连接OB，OE，若，试判断的形状，并说明理由；若，求证：与AD相切于点答案和解析1.【答案】B【解析】解：于B，以点P为圆心，PB为半径的圆与直线l相切．故选：根据直线与圆的位置关系的判定方法进行判断．本题考查了直线与圆的位置关系：判断直线和圆的位置关系：设的半径为r，圆心O到直线l的距离为若直线l和相交；直线l和相切；直线l和相离2.【答案】A【解析】解：当时，如图：连接AD，是的直径，，，，是的中位线，，，，为半径，是的切线．所以B正确．当时，，是的中位线，，，，为半径，是的切线．所以C正确．当时，，为半径，是的切线．所以D正确．故选：根据，连接AD，利用圆周角定理以及等腰三角形的性质可以得到点D是BC的中点，OD是的中位线，，然后由，得到，可以证明DE是的切线．根据，，得到OD是的中位线，同上可以证明DE是的切线．根据，，得到，可以证明DE是的切线．本题考查的是切线的判断，利用条件判断DE是的切线，确定正确选项．3.【答案】C【解析】解：如图，，连接OC，则，，，，，，，，，，是的半径，且，是的切线，添加这一条件能判定CE是的切线，故选：连接OC，则，，由，，即可由推导出，可知添加这一条件能判定CE是的切线．此题重点考查圆的切线的判定、直角三角形的两个锐角互余、等腰三角形的性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．4.【答案】B【解析】解：连接OD，是的直径，直径所对的圆周角是直角，；而在中，，是边BC上的中线，①正确；是的直径，，，，，；③正确；，是的中位线，即：，，是的切线④正确；只有当是等边三角形时，，故②错误，故选：首先由AB是的直径，得出，推出，再由，推出OD是的中位线，得，即DF是的切线，最后由假设推出不正确．此题考查的知识点是切线的判定与性质、等腰三角形的性质及圆周角定理，解答此题的关键是运用等腰三角形性质及圆周角定理及切线的性质作答.5.【答案】120【解析】解：如图，连接OC，与直线AB相切于点C；；而，，；而，，，故答案为如图，作辅助线；证明；运用直角三角形的性质，求出，即可解决问题．该题主要考查了圆的切线的判定、等腰三角形的性质及其应用问题；牢固掌握切线的判定、等腰三角形的性质是解题的基础和关键．6.【答案】【解析】解：连接OC，，，当时，，即，当时，CD为的切线．故答案为：首先连接OC，易得，即可得当时，，即此时CD为的切线．此题考查了切线的判定．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．7.【答案】【解析】解：当以点C为圆心，2cm为半径的圆与直线EF相切时，此时，，由题意得：，，，，点E是OC的中点，，，，∽，，，，由勾股定理可知：，，解得：或，，故答案为：当以点C为圆心，2cm为半径的圆与直线EF相切时，即，又因为，所以∽，利用对应边的比相等即可求出EF的长度，再利用勾股定理列出方程即可求出t的值，要注意t的取值范围为本题考查圆的切线判定，主要涉及相似三角形的判定与性质，勾股定理，切线的判定等知识，题目综合程度较高，很好地考查学生综合运用知识的能力．8.【答案】证明：连接OD，是的中点，，，，，，，，即EF是的切线；解：在中，，，，设的半径为R，则，在中，，，，，连接BC，则，，：：AF，：：4R，故的半径为3，AC的长为【解析】连接OD，根据圆周角定理，可得，则，从而得出，即EF是的切线；先解直角，由，得出，再在直角中，由，得出，设的半径为R，由列出关于R的方程，解方程即可求出的半径；连接BC，证明，根据平行线分线段成比例定理得出AC：：AF，即可求出AC的长．本题考查了切线的判定，圆周角定理，解直角三角形及平行线分线段成比例定理，难度中等，综合性较强．9.【答案】证明：连接OD，如图，点D为的中点，，，，，，，，，为的半径，是的切线；解：设的半径为r，则，，，，，解得：的半径为3；，，∽，，，【解析】连接OD，利用圆周角定理，同圆的半径相等，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质与垂直的定义得到，利用圆的切线的判定定理解答即可得出结论；设的半径为r，则，，利用的结论和勾股定理列出方程解答即可求得圆的半径；利用相似三角形的判定与性质，理财比例式即可得出结论．本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的判定与性质，锤击点性质，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．10.【答案】证明：，，四边形ABED内接于，，，；解：EF与相切．理由如下：如图，连接AE、OE，为直径，，，，即点E是BC的中点，是的中位线，，，，与相切；解：，，，，∽，即，解得，在中，【解析】根据等腰三角形的性质，由得到，再根据圆内接四边形的性质得，则，于是根据等腰三角形的判定即可得到；如图，连接AE、OE，根据圆周角定理，由AB为直径得到，再根据等腰三角形的性质得，于是可得到OE是的中位线，所以，由于，则，则根据切线的判定定理可判断EF与相切；证明∽，利用相似比计算出，然后利用勾股定理计算EF 的长．本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点即为半径，再证垂直即可．也考查了等腰三角形的性质、勾股定理和相似三角形的判定与性质．11.【答案】解：为等腰直角三角形．理由如下：，，，，，和都是等腰直角三角形，，，而，为等腰直角三角形．证明：连接EF ，如图，，，为等边三角形，，垂直平分BF ，点E 、O 、G 共线，即，，，，，而，点A 与点E 重合，，，，与AD 相切于点【解析】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了等边三角形的判定与性质和垂径定理．由垂径定理得到，则，，所以和都是等腰直角三角形，则，从而可判断为等腰直角三角形．连接EF，如图，先证明为等边三角形，再证明点E、O、G共线，即，接着计算出，则可判断点A与点E重合，然后证明，从而得到与AD相切于点。

浙教版九年级下2.1直线与圆的位置关系(1)同步练习含答案

第二章直线与圆的位置关系2.1直线与圆的位置关系（一）一、选择题1.已知⊙O 的面积为29cm π，若点0到直线l 的距离为cm π，则直线l 与⊙O 的位置关系是（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．无法确定2．在平面直角坐标系xOy 中，以点(-3，4)为圆心，4为半径的圆（）A ．与x 轴相交，与y 轴相切B ．与x 轴相离，与y 轴相交C ．与x 轴相切，与y 轴相交D ．与x 轴相切，与y 轴相离3．OA 平分∠BO C ，P 是OA 上任一点（O 除外），若以P 为圆心的⊙P 与OC 相离，•那么⊙P 与OB 的位置关系是（）A ．相离B ．相切C ．相交D ．相交或相切4.如图，在平面直角坐标系xOy 中，半径为2的⊙P 的圆心P 的坐标为（﹣3，0），将⊙P 沿x 轴正方向平移，使⊙P 与y 轴相切，则平移的距离为（）A ．1B ．1或5C ．3D ．5★5．下列判断正确的是（）①直线上一点到圆心的距离大于半径，则直线与圆相离；②直线上一点到圆心的距离等于半径，则直线与圆相切；③直线上一点到圆心的距离小于半径，•则直线与圆相交．A ．①②③B ．①②C ．②③D ．③二、填空题6.在矩形ABCD 中，AB=6 ， BC=4， ⊙O 是以AB 为直径的圆，则直线DC 与⊙O 的位置关系是 .7．如图所示，在直角坐标系中，⊙M 的圆心坐标为（m ，0），半径为2，•如果⊙M 与y 轴所在直线相切，那么m=______，如果⊙M 与y 轴所在直线相交，那么m•的取值范围是_______．第5题图★8．已知⊙O的半径r=3，设圆心O到一条直线的距离为d，圆上到这条直线的距离为2的点的个数为m，给出下列命题：①若d＞5，则m=0；②若d=5，则m=1；③若1＜d＜5，则m=3；④若d=1，则m=2；⑤若d＜1，则m=4．其中正确命题的是 . ★9．已知⊙O的半径为2，直线l上有一点P满足PO=2，则直线l与⊙O的位置关系是 .三、解答题10．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，若以C为圆心，r为半径作圆，•那么:（1）当直线AB与⊙C相切时，求r的取值范围；（2）当直线A B与⊙C相交时，求r的取值范围．（3）当线段A B与⊙C有2个交点时，求r的取值范围．11．在南部沿海某气象站A测得一热带风暴从A的南偏东30•°的方向迎着气象站袭来，已知该风暴速度为每小时20千米，风暴周围50千米范围内将受到影响，•若该风暴不改变速度与方向，问气象站正南方60千米处的沿海城市B是否会受这次风暴的影响？若不受影响，请说明理由；若受影响，请求出受影响的时间．参考答案1．C 2．C 3．A 4．B 5．D6．相离 7．±2 ，—2<m<2 8 . ①②③ 9.相切或相交10．（1）r=2.4 （2）r>2.4 （3）2.4<r<311．B•市受影响，影响时间为4时。

浙教版九年级下2.1直线与圆的位置关系（3）同步练习含答案

第二章直线与圆的位置关系2.1直线与圆的位置关系（3）一、选择题1．如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心．若∠B=25°，则∠C的大小等于（）A．20°B．25°C．40°D．50°2.如图，⊙O的半径为3，P是CB延长线上一点，PO=5，PA切⊙O于A点，则PA的大小等于（）A．3 B．4 C．5 D．63如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为D，CD与AB的延长线交于点C，∠A=30°，给出下面3个结论：①AD=CD；②BD=BC；③AB=2BC，其中正确结论的个数是（）A．3 B．2 C．1 D．0二、填空题4．如图，AB是⊙O的直径，BD，CD分别是过⊙O上点B，C的切线，且∠BDC=110°．连接AC，则∠A的度数是．5．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其主视图如图．⊙O与矩形ABCD的边BC，AD分别相切和相交（E，F是交点），已知EF=CD=8，则⊙O的半径为．6．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=6，以斜边AB上的一点O为圆心所作的半圆分别与AC、BC相切于点D、E，则AD=______．7.如图，直线l 与半径为4的⊙O 相切于点A ，P 是⊙O 上的一个动点（不与点A 重合），过点P 作PB ⊥l ，垂足为B ，连接PA ．设PA=x ，PB=y ，则（x ﹣y ）的最大值是．三、解答题8．如图，AB 与O ⊙相切于C ，B A ∠=∠，O ⊙的半径为6，AB ＝16，求OA 的长.9.已知：AB 是⊙O 的直径，直线CP 切⊙O 于点C ，过点B 作BD ⊥CP 于D ．（1）求证：△ACB ∽△CDB ；（2）若⊙O 的半径为1，∠BCP=30°，求图中阴影部分的面积．10．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，以AC 为直径作⊙O 交AB 于点D ，连接C D ．（1）求证：∠A =∠BCD ；（2）若M 为线段BC 上一点，试问当点M 在什么位置时，直线DM 与⊙O 相切？并说明理由．A BCO参考答案1． C 2. B 3. A 4． 35° 5. 5 6. 1.6 7. 28.在OAB ∆中，OB OA B A =∴∠=∠, ，连接OC ，则有8,6,===⊥BC AC OC AB OC ，所以 10862222=+=+=AC OC OA ．9. 1）证明：∵直线CP 是⊙O 的切线，∴∠BCD=∠BAC ，∵AB 是直径，∴∠ACB=90°，又∵BD ⊥CP ∴∠CDB=90°，∴∠ACB=∠CDB=90°∴△ACB ∽△CDB ；（2）解：如图，连接OC ，∵直线CP 是⊙O 的切线，∠BCP=30°，∴∠COB=2∠BCP=60°，∴△OCB 是正三角形，∵⊙O 的半径为1，∴S △OCB =，S 扇形OCB ==π， ∴阴影部分的面积=S 扇形OCB ﹣S △OCB =π﹣． 10．1）证明：∵AC 为直径， ∴∠ADC =90°，∴∠A +∠DCA =90°， ∵∠ACB =90°，∴∠DCB +∠ACD =90°， ∴∠DCB =∠A ；（2）当MC =MD （或点M 是BC 的中点）时，直线DM与⊙O 相切；解：连接DO ， ∵DO =CO ， ∴∠1=∠2， ∵DM =CM ，∴∠4=∠3，∵∠2+∠4=90°， ∴∠1+∠3=90°，∴直线DM 与⊙O 相切．。

浙教版九年级数学下第二章同步练习 2.1 直线与圆的位置关系(一)

浙教版九年级数学下第二章直线与圆的位置关系同步练习2．1直线与圆的位置关系（一）第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共10小题，3*10=30）1．下列说法正确的是()A．过圆内接三角形的顶点的直线是圆的切线B．若直线与圆有公共点，则直线与圆相交C．若直线与圆不相切，则它与圆相交D．若直线与圆有唯一公共点，则这点是切点2. ⊙O的半径是6，点O到直线a的距离为5，则直线a与⊙O的位置关系为（）A．相离B．相切C．相交D．内含3. 如果直线l与⊙O有公共点，那么直线l与⊙O的位置关系是()A．相交B．相切C．相离D．相切或相交4．在平面直角坐标系xOy中，以点(－3，4)为圆心，4为半径的圆()A．与x轴相交，与y轴相切B．与x轴相离，与y轴相交C．与x轴相切，与y轴相交D．与x轴相切，与y轴相离5．已知⊙O的面积为9π cm2，若点O到直线l的距离为π cm.则直线l与⊙O的位置关系是() A．相交B．相切C．相离D．无法确定6．如图，⊙B的半径为4 cm，∠MBN＝60°，点A，C分别是射线BM，BN上的动点，且直线AC ⊥BN.当AC平移到与⊙B相切时，AB的长度是()A．8 cm B．6 cm C．4 cm D．2 cm7．如图，⊙O 的圆心到直线l 的距离为3 cm ，⊙O 的半径为1 cm ，将直线l 向右(垂直于l 的方向)平移，使l 与⊙O 相切，则平移的距离是( ) A ．1 cm B ．2 cm C ．4 cm D ．2 cm 或4 cm8．如图，OA 平分∠BOC ，P 是OA 上任意一点，以点P 为圆心的圆与OC 相切，那么⊙P 与OB 的位置关系是( ) A ．相离 B ．相切 C ．相交 D ．不能确定9. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，BC ＝4 cm ，以点C 为圆心，以2 cm 的长为半径作圆，则⊙C 与AB 的位置关系是 ( ) A ．相离B ．相切C ．相交D ．相切或相交10．已知⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d .若直线l 与⊙O 相切，则以d ，r 为根的一元二次方程可能为( )A ．x 2－2x ＝0 B ．x 2＋6x ＋9＝0C ．x 2－3x ＋2＝0 D ．x 2－4x ＋4＝0第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共8小题，3*8=24）11．已知圆的直径为10cm ，若圆心到三条直线的距离分别为：①4cm ；②5cm ；③10cm ，则这三条直线和圆的位置关系分别是①________；②________；③________．12. 已知O，圆心O到直线l的距离为1.4cm，则直线l与O的公共点的个数为．13. 如图，已知∠AOB＝45°，以点M为圆心，2 cm为半径作⊙M，若点M在OB边上运动，则当OM＝_______cm时，⊙M与OA相切．14. 在平面直角坐标内，⊙P的圆心P的坐标为（8，0），半径是6，那么直线y=x与⊙P的位置关系是.15. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4.动点O在边CA上移动，且⊙O的半径为2.(1)若圆心O与点C重合，则⊙O与直线AB________; (2)当OC等于________时，⊙O与直线AB相切.16. 在边长为6的正△ABC中，若以A为圆心, 以8为半径作⊙A, 则⊙A与边BC的交点的个数为.17.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，若以C为圆心，R为半径作的圆与直线AB相切,则R= .18. 在△ABO中，若OA＝OB＝2，⊙O的半径为1，当∠AOB满足____________时，直线AB与⊙O 相切；当∠AOB满足____________时，直线AB与⊙O相交；当∠AOB满足____________时，直线AB与⊙O相离．三．解答题（共7小题，46分）19.(6分) 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，斜边AB＝8cm，AC＝4cm.(1)以点C为圆心作圆，半径为多少时，AB与⊙C相切？(2)以点C为圆心，分别作半径为2cm和4cm的圆，这两个圆与AB有怎样的位置关系？20．(6分) 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径的圆与AB有何位置关系？(1) r=2cm；(2) r=2.4cm；(3) r=3cm．21. (6分) 如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，以点C为圆心，以R为半径画圆，若⊙C与AB相交，求R的范围．22．(6分) 如图, 直角梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD∥BC，E为AB上的一点，DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，以AB为直径的圆与边CD有怎样的位置关系？23.(6分) 已知∠MAN＝30°，O为边AN上一点，以点O为圆心，2为半径作⊙O，交AN于D，E 两点，设AD＝x.(1)如图①，当x取何值时，⊙O与AM相切？(2)如图②，当x为何值时，⊙O与AM相交于B，C两点，且∠BOC＝90°？24．(8分) 如图，东海某小岛上有一灯塔A，已知A塔附近方圆25海里范围内有暗礁，我110舰在O 点处测得A塔在其北偏西60°方向，向正西方向航行20海里到达B处，测得A在其西北方向．如果该舰继续航行，是否有触礁的危险？请说明理由．25. (8分) 如图，MN表示某引水工程的一段设计路线，从M到N的走向为南偏东30°，M的南偏东60°方向上有一点A，以A为圆心，500m为半径的圆形区域为居民区，取MN上另一点B，测得BA方向为南偏东75°，已知MB＝400m，通过计算回答，如果不改变方向，输水路线是否会穿过居民区？参考答案1-5 DCDCC6-10 ADBBD11. ①相交②相切③相离12. 213. 22，14. 相交15. 相离，1216. 0 17. 2.418. ∠AOB ＝120° 120°＜∠AOB ＜180° 0°＜∠AOB ＜120°19. 解：(1)作CD ⊥AB 于点D ，在Rt △ACD 中，CD ＝AC·sin 60°＝23cm ，所以当半径r 为23cm 时，AB 与⊙C 相切；(2)r ＝2＜CD 时，⊙C 与AB 相离，r ＝4＞CD 时，⊙C 与AB 相交．20. 解∵∠C=90°，AC=3cm ，BC=4cm ，∴AB=5cm. 作CD ⊥AB 于D, 则 AC·BC= AB·CD, CD= cm. (1) ∵CD=2.4cm>r=2cm, ∴直线AB 与⊙C 相离. (2) ∵CD=2.4cm=r=2.4cm, ∴直线AB 与⊙C 相切. (3) ∵CD=2.4cm<r=3cm, ∴直线AB 与⊙C 相交. 21. 解：如图，作CD ⊥AB 于D. ∵∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，∴由勾股定理得AB ＝AC 2＋BC 2＝42＋32＝5，由面积公式得12×AC×BC ＝12×AB×CD ， ∴CD ＝AC×BCAB ＝4×35＝2.4. ∴当2.4<R≤4时，⊙C 与AB 相交．22解：作EF ⊥CD 于F .∵DE 平分∠ADC ，CE 平分∠BCD ，∠A =∠B =90°， ∴EA=EF=EB =12AB , ∴以AB 为直径的圆, 即⊙E 到直线CD 的距离等于半径. ∴以AB 为直径的圆与边CD 相切.23. 解：(1)过点O作OF⊥AM于点F，当OF＝r＝2时，⊙O与AM相切，此时OA＝4 cm，故x＝AD＝2 cm(2)过O点作OG⊥AM于点G，∵OB＝OC＝2，∠BOC＝90°，∴BC＝2 2.∵OG⊥BC，∴BG＝CG ＝2，∴OG＝2，∵∠A＝30°，∴OA＝22，x＝AD＝22－224. 解: 如图, OB=20海里, ∠AOB=30°, ∠ABO=45°.作AD⊥BO于D, 设AD=x海里, 则BD=x海里, DO= 海里.∵DO-DB=BO, =20, 解得x∴不会有触樵危险.25. 解：作AC⊥MN于点C，∵∠AMC＝60°－30°＝30°，∠ABC＝75°－30°＝45°，∴设AC为x m，则AC＝BC＝x，在Rt△ACM中，MC＝400＋x，∴tan∠AMC＝ACMC，即13＝x400＋x，解得x＝200＋2003＞500，∴如果不改变方向，输水路线不会穿过居民区．。

浙教版九年级数学下册 2.1直线与圆的位置关系作业设计【含答案】

2.1 直线与圆的位置关系（1）一、选择题1．如图，∠O＝30°，C为OB上一点，且OC＝6，以点C为圆心，半径为3的圆与OA的位置关系是( )A．相离B．相交C．相切D．以上三种情况均有可能2．直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为6，则r的取值范围是( ) A．0＜r<6 B．r＝6C．r>6 D．r≥63．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3 cm，BC＝4 cm，以点C为圆心，r为半径作圆，若⊙C 与直线AB相切，则r的值为( )A．2 cm B．2.4 cmC．3 cm D．4 cm4．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，D，E分别是AC，AB的中点，则以DE为直径的圆与BC的位置关系是( )A．相切B．相交C．相离D．无法确定5．如图，已知点A，B在半径为1的⊙O上，∠AOB＝60°，延长OB至点C，过点C作直线OA的垂线记为l，则下列说法正确的是( )A．当BC等于0.5时，l与⊙O相离B．当BC等于2时，l与⊙O相切C．当BC等于1时，l与⊙O相交D ．当BC 不为1时，l 与⊙O 不相切二、填空题6．若⊙O 的半径为r ，点O 到直线l 的距离为d ，且8－2r ＋||d －4＝0，则直线l 与⊙O 有________个公共点．7．如图所示，已知∠AOB ＝45°，以点M 为圆心，2 cm 为半径作⊙M ，若点M 在OB 边上运动，则当OM ＝________cm 时，⊙M 与射线OA 相切．8．在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，以点A 为圆心，4为半径作的⊙A 与直线BC 的位置关系是________．9．在△ABO 中，若OA ＝OB ＝2，⊙O 的半径为1，当∠AOB ＝________时，直线AB 与⊙O 相切；当∠AOB 满足________时，直线AB 与⊙O 相交；当∠AOB 满足________时，直线AB 与⊙O 相离.链接学习手册例1归纳总结10．如图，给定一个半径为2的圆，圆心O 到水平直线l 的距离为d ，即OM ＝d .我们把圆上到直线l 的距离等于1的点的个数记为m .如d ＝0时，l 为经过圆心O 的一条直线，此时圆上有四个到直线l 的距离等于1的点，即m ＝4，由此可知：(1)当d ＝3时，m ＝________；(2)当m ＝2时，d 的取值范围是________．三、解答题11．设⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d .根据下列条件判断直线l 与⊙O 的位置关系：(1)d ＝5，r ＝4；(2)d ＝73，r ＝6；(3)d ＝2 2，r ＝4sin45°.12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，以点C为圆心，r为半径画圆．若⊙C与斜边．．AB只有一个公共点，求r的取值范围．13．如图，已知⊙O与BC相切，点C不是切点，AO⊥OC，∠OAC＝∠ABO，且AC＝BO，判断直线AB与⊙O的位置关系，并说明理由．14．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD∥BC，E为AB上的一点，DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，以AB为直径的圆与边CD有怎样的位置关系？15．如图，要在某林场东西方向的两地之间修一条公路MN ，已知点C 周围200米范围内为原始森林保护区，在MN 上的点A 处测得C 在A 的北偏东45°方向上，从A 向东走600米到达B 处，测得C 在点B 的北偏西60°方向上．请判断公路MN 是否会穿过原始森林保护区，并说明理由．(参考数据：3≈1.732)16阅读学习已知点P (x 0，y 0)和直线y ＝kx ＋b ，则点P 到直线y ＝kx ＋b 的距离d 可用公式d ＝|kx 0－y 0＋b |1＋k2计算．例如：求点P (－1，2)到直线y ＝3x ＋7的距离．解：因为直线y ＝3x ＋7，其中k ＝3，b ＝7，所以点P (－1，2)到直线y ＝3x ＋7的距离为：d ＝|kx 0－y 0＋b |1＋k 2＝|3×（－1）－2＋7|1＋32＝210＝105. 根据以上材料，解答下列问题：(1)求点P (1，－1)到直线y ＝x －1的距离；(2)已知⊙Q 的圆心Q 的坐标为(0，5)，半径r 为2，判断⊙Q 与直线y ＝3x ＋9的位置关系，并说明理由．参考答案1．C [解析]过点C 作CD⊥A O 于点D ，∵∠O＝30°，OC ＝6，∴DC＝3，∴以点C 为圆心，半径为3的圆与OA 的位置关系是相切．故选C. 2．C 3．B4．B 过点A 作AM⊥BC 于点M ，交DE 于点N ，∴AM·BC＝AC·AB，∴AM＝3×45＝2.4.∵D，E 分别是AC ，AB 的中点，∴DE∥BC，DE ＝12BC ＝2.5，∴AN＝MN ＝12AM ＝1.2.∵以DE 为直径的圆的半径为1.25，1．25>1.2，∴以DE 为直径的圆与BC 的位置关系是相交．5．D [解析] A ．∵BC＝0.5，∴OC＝OB ＋CB ＝1.5.∵∠AOB＝60°，∴∠ACO＝30°，AO ＝12OC ＝0.75＜1，∴l 与⊙O 相交，故A 错误；B ．∵BC＝2，∴OC＝OB ＋CB ＝3.∵∠AOB＝60°，∴∠ACO＝30°，AO ＝12OC ＝1.5＞1，∴l与⊙O 相离，故B 错误；C ．∵BC＝1，∴OC＝OB ＋CB ＝2.∵∠AOB＝60°，∴∠ACO＝30°，AO ＝12OC ＝1，∴l 与⊙O相切，故C 错误；D ．∵BC≠1，∴OC＝OB ＋CB≠2.∵∠AOB＝60°，∴∠ACO＝30°，AO ＝12OC≠1，∴l 与⊙O不相切，故D 正确．故选D. 6． 17． 2 2 [解析] 过点M 作MD⊥OA，垂足为D.由于⊙M 与OA 相切，故MD ＝2 cm.因为∠BOA＝45°，所以OD ＝MD ＝2 cm ，所以OM ＝22＋22＝2 2(cm)． 8．相切9． 120° 120°＜∠AOB＜180° 0°＜∠AOB＜120°[解析] 通过画草图，过点O 作OC⊥AB 于点C ，由直线AB 与⊙O 相切，可得OC ＝1，不难求得∠AOC＝60°，故∠AOB＝120°；另两种情况也不难确定．10．(1)1 (2)1＜d ＜311．解：(1)∵d>r，∴直线l 与⊙O 相离． (2)∵d<r，∴直线l 与⊙O 相交． (3)∵d＝r ＝2 2，∴直线l 与⊙O 相切． 12.解：如图所示，过点C 作CD⊥AB 于点D.在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，∴AB＝AC 2＋BC 2＝62＋82＝10(cm)． ∵S △ABC ＝12AB·CD＝12AC·BC，∴AB·CD＝AC·BC， ∴10×CD＝6×8， ∴CD＝4.8 cm.观察图知，当⊙C 的半径r ＝4.8 cm 时，⊙C 与斜边AB 只有一个公共点；当6 cm<r≤8 cm 时，⊙C 与斜边AB 只有一个公共点，∴当⊙C 与斜边AB 只有一个公共点时，半径r 的取值范围是r ＝4.8 cm 或6 cm<r≤8 cm.13．解：相离．理由：如图，延长BA 至点D ，使得BD ＝OA ，连结OD.在△OAC 与△DBO 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝BO ，∠OAC＝∠DBO，OA ＝BD ，∴△OAC≌△DBO(SAS)， ∴OC＝OD ，∠AOC＝∠ODB. ∵AO⊥OC， ∴∠ODB＝90°.∵⊙O 与BC 相切，点C 不是切点， ∴OC＞半径， ∴OD＞半径，∴直线AB 与⊙O 的位置关系是相离． 14．解：如图，过点E 作EF⊥CD 于点F.∵DE 平分∠ADC，CE 平分∠BCD，∠A＝∠B＝90°，∴EA＝EF ＝EB ＝12AB ，∴以AB 为直径的圆，即⊙E 的圆心E 到直线CD 的距离等于半径， ∴以AB 为直径的圆与边CD 相切．15．[解析] 过点C 作CH⊥MN，比较CH 的长与200米的大小即可，即判断直线MN 与以点C 为圆心，200米为半径的圆的位置关系．解：公路MN 不会穿过原始森林保护区．理由如下：如图所示，过点C 作CH⊥AB 于点H. 设CH ＝x 米，由已知得∠HAC＝45°，∠HBC＝30°. 在Rt△ACH 中，AH ＝CH ＝x 米．在Rt△HBC 中，tan∠HBC＝CHBH ，∴BH＝CH tan30°＝x33＝3x(米)．又∵AH＋BH ＝AB ，∴x＋3x ＝600，解得x ＝6001＋3≈220(米)>200米，故公路MN 不会穿过原始森林保护区．16.解：(1)因为直线y ＝x －1，其中k ＝1，b ＝－1，所以点P(1，－1)到直线y ＝x －1的距离为：d ＝||kx 0－y 0＋b 1＋k2＝||1×1－（－1）＋（－1）1＋12＝12＝22. (2)⊙Q 与直线y ＝3x ＋9相切．理由如下：圆心Q(0，5)到直线y ＝3x ＋9的距离为：d ＝||3×0－5＋91＋（3）2＝42＝2. 因为⊙Q 的半径r 为2，即d ＝r ，所以⊙Q 与直线y ＝3x ＋9相切．2.1 直线与圆的位置关系第2课时切线的判定与性质一、选择题1．经过⊙O 的直径的一端能作⊙O 的切线( ) A ．0条 B ．1条 C ．2条D ．3条2．以三角形的一边长为直径的圆切三角形的另一边，则该三角形为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．等边三角形3．在△ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，则直线AC 与△BDC 的外接圆的位置关系是( ) A ．相离 B ．相切 C ．相交D ．无法确定4．在正方形ABCD 中，P 是对角线AC 上的任意一点(不包括端点)，以点P 为圆心的圆与AB 相切，则AD 与⊙P 的位置关系是( ) A. 相离 B. 相切 C ．相交D ．不能确定5．如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，若OC ＝AB ，则∠C 的度数为( )A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°6．如图，PA 是⊙O 的切线，A 为切点，PO 交⊙O 于点B ，PA ＝4，OB ＝3，则cos∠APO 的值为( )A.34B.35C.45D.437．如图，⊙O 是Rt△ABC 的外接圆，∠ACB ＝90°，∠A ＝25°，过点C 作⊙O 的切线，交AB 的延长线于点D ，则∠D 的度数是( )A ．25°B ．40°C ．50°D ．65°8．如图，在以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB ，CD 与小圆分别相切于点E ，F ，则弦AB 与CD 的大小关系是( )A ．AB >CD B ．AB ＝CDC ．AB <CDD ．无法确定9．如图，以点O 为圆心的两个圆中，大圆的弦AB 切小圆于点C ，OA 交小圆于点D.若OD ＝2，tan ∠OAB＝12，则AB 的长是( )A ．4B ．2 3C ．8D ．4 3二、填空题10．在平面直角坐标系中，以点(2，1)为圆心，1为半径的圆必与________轴相切． 11．如图，⊙O 的半径为4 cm ，BC 是直径，若AB ＝10 cm ，则当AC ＝________cm 时，AC 与⊙O 相切．12．如图，已知∠MAN ＝30°，O 为AN 边上一点，以点O 为圆心，2为半径作⊙O ，交AN 于D ，E 两点，设AD ＝x ，当x ＝________时，⊙O 与AM 相切．13．如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，要使DE是⊙O的切线，需添加的条件是________．(不添加其他字母和线段)14．阅读下面材料：在数学课上，老师请同学们思考如下问题：已知：如图K－47－4，在△ABC中，∠A＝90°.求作：⊙P，使得点P在边AC上，且⊙P与AB，BC都相切．图K－47－4小轩的主要作法如下：如图，(1)作∠ABC的平分线BF，与AC交于点P；(2)以点P为圆心，AP长为半径作⊙P.则⊙P即为所求．老师说：“小轩的作法正确．”请回答：⊙P与BC相切的依据是________________________________________________. 15．如图，AT切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，若∠ABT＝40°，则∠ATB＝________°.16．如图，线段AB与⊙O相切于点B，线段AO与⊙O相交于点C，AB＝12，AC＝8，则⊙O 的半径为________．17．如图，点A，B，C均在⊙O上，切线CD与OB的延长线交于点D，连结OC.若∠A＝30°，CD＝2 3，则⊙O的半径为________．18．如图，AB是⊙O的直径，P为AB延长线上的一个动点，过点P作⊙O的切线，切点为C.连结AC，BC，作∠APC的平分线交AC于点D.下列结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号)①△CPD∽△DPA；②若∠A＝30°，则PC＝3BC；③若∠CPA＝30°，则PB＝OB；④无论点P在AB延长线上的位置如何变化，∠CDP的度数为定值．19．某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图．⊙O的圆心与矩形ABCD对角线的交点重合，且⊙O与矩形上下两边相切(E为上切点)，与左右两边相交(F，G为其中两个交点)，图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域．已知圆的半径为1 m，根据设计要求，若∠EOF＝45°，则此窗户的透光率(透光区域与矩形窗面的面积的比值)为________.三、解答题20．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线交BC于点O，以点O为圆心，BO的长为半径作圆．求证：AC是⊙O的切线．21．如图，在△ABC中，∠CAB＝90°，∠CBA＝50°，以AB为直径作⊙O交BC于点D，点E 在边AC上，且满足ED＝EA.(1)求∠DOA的度数；(2)求证：直线ED与⊙O相切.22．如图，已知⊙O的直径AB＝10，弦AC＝6，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC 交AC的延长线于点E.(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)求DE的长．23．如图，在△ABC中，以BC为直径的圆交AC于点D，∠ABD＝∠ACB.(1)求证：AB 是圆的切线；(2)若E 是BC 上一点，已知BE ＝4，tan∠AEB ＝53，AB ∶BC ＝2∶3，求圆的直径．24．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，点O 在AB 上，以点O 为圆心，OA 为半径的圆恰好经过点D ，分别交AC ，AB 于点E ，F . (1)试判断直线BC 与⊙O 的位置关系，并说明理由； (2)若BD ＝2 3，BF ＝2，求阴影部分的面积(结果保留π).25探究应用：如图，在⊙O 中，直径CD 垂直于不过圆心O 的弦AB ，垂足为N ，连结AC ，点E 在AB 上，且AE ＝CE .(1)求证：AC2＝AE·AB；(2)过点B作⊙O的切线交EC的延长线于点P，试判断PB与PE是否相等，并说明理由；(3)设⊙O的半径为4，N为OC的中点，点Q在⊙O上，求线段PQ长的最小值．26．如图，已知AB是⊙O的切线，A为切点，OB交⊙O于点C，AB＝3 cm，BC＝1 cm，求⊙O 的半径．27．如图，AB为半圆O的直径，C为BA延长线上一点，CD切半圆O于点D，连结OD.作BE⊥CD 于点E，交半圆O于点F.已知CE＝12，BE＝9.(1)求证：△COD∽△CBE；(2)求半圆O的半径r.28．如图，已知AB为⊙O的直径，AC为⊙O的切线，OC交⊙O于点D，BD的延长线交AC于点E.(1)求证：∠1＝∠CAD；(2)若AE ＝EC ＝2，求⊙O 的半径．29．如图，AB 是以BC 为直径的半圆O 的切线，D 为半圆上一点，AD ＝AB ，AD ，BC 的延长线相交于点E.(1)求证：AD 是半圆O 的切线； (2)连结CD ，求证：∠A＝2∠CDE； (3)若∠CDE＝27°，OB ＝2，求BD ︵的长．30．综合探究如图，四边形ABCD 内接于⊙O，∠BAD＝90°，AC 为直径，过点A 作⊙O 的切线交CB 的延长线于点E ，过AC 的三等分点F(靠近点C)作CE 的平行线交AB 于点G ，连结CG.(1)求证：AB ＝CD ； (2)求证：CD 2＝BE·BC；(3)当CG ＝3，BE ＝92时，求CD 的长．参考答案1．B 2．B 3．B 4． B 5．B 6．C 7．B 8．B 9．C 10． X 11． 6 12． 2 13．答案不唯一，如CD ＝BD14．角平分线上的点到角两边的距离相等；经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线(或：如果圆心到直线的距离等于半径，那么直线与圆相切) 15． 50 16． 5 17．2 18．②③④ 19．（π＋2）2820．证明：过点O 作OE⊥AC 于点E ， ∵AO 平分∠BAC，∠B＝90°，∴OE＝OB ， ∴AC 是⊙O 的切线．21．解：(1)∵OD＝OB ，∴∠DBO＝∠ODB＝50°， ∴∠DOA＝2∠DBO＝100°. (2)证明：连结OE.在△EAO 与△EDO 中，⎩⎪⎨⎪⎧AO ＝DO ，EA ＝ED ，EO ＝EO ，∴△EAO≌△EDO，∴∠EAO＝∠EDO. ∵∠BAC＝90°，∴∠EDO＝90°， ∴直线ED 与⊙O 相切．22．解：(1)证明：如图，连结OD. ∵AD 平分∠BAC，∴∠DAE＝∠DAB. ∵OA＝OD ， ∴∠ODA＝∠DAO， ∴∠ODA＝∠DAE， ∴OD∥AE. ∵DE⊥AC， ∴OD⊥DE.又∵OD 是⊙O 的半径， ∴DE 是⊙O 的切线．(2)过点O 作OF⊥AC 于点F ，∴AF＝CF ＝3， ∴OF＝OA 2－AF 2＝52－32＝4. ∵∠OFE＝∠DEF＝∠ODE＝90°， ∴四边形OFED 是矩形，∴DE＝OF ＝4.23．解：(1)证明：∵BC 是直径，∴∠BDC＝90°， ∴∠ACB＋∠DBC＝90°. ∵∠ABD＝∠ACB， ∴∠ABD＋∠DBC＝90°， ∴∠ABC＝90°，即AB⊥BC，∴AB 是圆的切线． (2)在Rt△AEB 中，∵tan∠AEB＝53，∴AB BE ＝53，即AB ＝53BE ＝203. 在Rt△ABC 中，AB BC ＝23，∴BC＝32AB ＝32×203＝10，∴圆的直径为10.24．解：(1)直线BC 与⊙O 相切．理由：连结OD.∵AD 是∠BAC 的平分线， ∴∠BAD＝∠CAD.又∵OD＝OA ，∴∠OAD＝∠ODA， ∴∠CAD＝∠ODA， ∴OD∥AC，∴∠ODB＝∠C＝90°，即OD⊥BC.又∵BC 过半径OD 的外端点D ， ∴直线BC 与⊙O 相切．(2)设OF ＝OD ＝x ，则OB ＝OF ＋BF ＝x ＋2，根据勾股定理，得OB 2＝OD 2＋BD 2，即(x ＋2)2＝x 2＋12，解得x ＝2，即OD ＝OF ＝2， ∴OB＝2＋2＝4.2∴∠DOB＝60°，∴S 扇形DOF ＝60π×4360＝2π3， ∴S 阴影＝S △ODB －S 扇形DOF ＝12×2×23－23π＝23－23π. 故阴影部分的面积为23－23π. 25解：(1)证明：如图，连结BC ，∵CD⊥AB，∴CB＝CA ，∴∠CAB＝∠CBA.又∵AE＝CE ，∴∠CAE＝∠ACE，∴∠ACE＝∠ABC.又∵∠CAE＝∠BAC，∴△CAE∽△BAC，∴AC AB ＝AE AC，即AC 2＝AE·AB.(2)PB ＝PE.理由如下：如图，连结BD ，OB.∵CD 是直径，∴∠CBD＝90°.∵BP 是⊙O 的切线，∴∠OBP＝90°，∴∠BCD＋∠D＝∠PBC＋∠OBC＝90°.∵OB＝OC ，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠PBC＝∠D.又∵∠A＝∠D，∴∠PBC＝∠A.∵∠ACE＝∠ABC，∠PEB＝∠A＋∠ACE，∠PBN＝∠PBC＋∠ABC，∴∠PEB＝∠PBN，∴PE＝PB.(3)如图，连结PO 交⊙O 于点Q ，则此时线段PQ 的长有最小值．∵N 是OC 的中点，∴O N ＝2.∵OB＝4，∴∠OBN＝30°，∴∠PBE＝60°.又∵PE＝PB ，∴△PEB 是等边三角形，∴∠PEB＝60°，PB ＝BE.在Rt△BON 中，BN ＝OB 2－ON 2＝42－22＝23，tan60°33∴BE＝BN ＋EN ＝833，∴PB＝BE ＝833. ∴PQ＝PO －OQ ＝OB 2＋PB 2－OQ ＝42＋（83 3）2－4＝4321－4. 即线段PQ 长的最小值为4321－4. 26．解：连结OA ，因为AB 是⊙O 的切线，所以∠OAB＝90°.在Rt△OAB 中，设⊙O 的半径为r cm ，则有(r ＋1)2＝r 2＋32，解得r ＝4.故⊙O 的半径是4 cm.27．解：(1)证明：∵CD 切半圆O 于点D ，OD 为半圆O 的半径，∴CD⊥OD，∴∠CDO＝90°. ∵BE⊥CD 于点E ，∴∠E＝90°，∴∠CDO＝∠E.又∵∠C＝∠C，∴△COD∽△CBE.(2)∵在Rt△BEC 中，CE ＝12，BE ＝9， ∴CB＝15.∵△COD∽△CBE，∴OD BE ＝CO CB，即r 9＝15－r 15，∴r＝458. 28．(1)证明：∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ADO＋∠BDO＝90°.∵AC 为⊙O 的切线，∴OA⊥AC，∴∠OAD＋∠CAD＝90°.∵OA＝OD ，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠BDO＝∠CAD.又∵∠1＝∠BDO，∴∠1＝∠CAD.(2)解：∵∠1＝∠CAD，∠C＝∠C，∴△CAD∽△CDE，∴CD∶CA＝CE∶CD，∴CD 2＝CA·CE.∵AE＝EC ＝2，∴AC＝AE ＋EC ＝4，∴CD＝2 2.设⊙O 的半径为x ，则OA ＝OD ＝x ，在Rt△AOC 中，OA 2＋AC 2＝OC 2，∴x 2＋42＝(2 2＋x)2，解得x ＝ 2.∴⊙O 的半径为 2.29． (1)证明：如图，连结OD ，BD.∵AB 是半圆O 的切线，∴AB⊥BC，即∠ABO＝90°.∵AB＝AD ，∴∠ABD＝∠ADB.∵OB＝OD ，∴∠DBO＝∠BDO，∴∠ABD＋∠DBO＝∠ADB＋∠BDO，∴∠ADO＝∠ABO＝90°，即OD⊥AD.又∵OD 是半圆O 的半径，∴AD 是半圆O 的切线．(2)证明：由(1)知，∠ADO＝∠ABO＝90°，∴∠A＝360°－∠ADO－∠ABO－∠BOD＝180°－∠BOD，即∠A＝∠DOC. ∵AD 是半圆O 的切线，∴∠ODE＝90°，∴∠ODC＋∠CDE＝90°.∵BC 是半圆O 的直径，∴∠ODC＋∠BDO＝90°，∴∠BDO＝∠CDE.∵∠BDO＝∠OBD，∴∠DOC＝2∠BDO，∴∠DOC＝2∠CDE.∴∠A＝2∠CDE.(3) 解：∵∠CDE＝27°，∴∠DOC＝2∠CDE＝54°，∴∠BOD＝180°－54°＝126°.∵OB＝2，∴BD ︵的长＝126×π×2180＝75π.30. (1)证明：∵AC 为直径，∴∠ABC＝90°， ∴∠ABC＋∠BAD＝180°，∴BC∥AD，∴∠BCA＝∠CAD，∴AB＝CD.(2)证明：∵AE 为⊙O 的切线且O 为圆心，∴OA⊥AE，即CA⊥AE，∴∠EAB＋∠BAC＝90°.而∠BAC＋∠BCA＝90°，∴∠EAB＝∠BCA.而∠EBA＝∠ABC＝90°，∴△EBA∽△ABC，∴BE BA ＝BA BC， ∴BA 2＝BE·BC.由(1)知AB ＝CD ，∴CD 2＝BE·BC.(3) 解：由(2)知CD 2＝BE·BC，即CD 2＝92BC.① ∵FG∥BC，且F 为AC 的三等分点，∴G 为AB 的三等分点，即CD ＝AB ＝3BG. 在Rt△CBG 中，有CG 2＝BG 2＋BC 2，即3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13CD 2＋BC 2.② 把①代入②，消去CD ，得BC 2＋12BC －3＝0，解得BC ＝32或BC ＝－2(舍去)，将BC ＝32代入①，得CD ＝332.。

2017年春季学期新版浙教版九年级数学下册《2.1直线与圆的位置关系》同步提升试题含答案

2．1《直线与圆的位置关系》同步提升试题1．命题“圆的切线垂直于经过切点的半径”的逆命题是()A ．经过半径的外端点的直线是圆的切线B ．垂直于经过切点的半径的直线是圆的切线C ．垂直于半径的直线是圆的切线D ．经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线2．已知P A 切⊙O 于点A ，PO 交⊙O 于点B .若P A ＝6，PB ＝4，则⊙O 的半径是() A.52 B.56C ．2D ．5 3．如图，⊙B 的半径为4 cm ，∠MBN ＝60°，点A ，C 分别是射线BM ，BN 上的动点，且直线AC ⊥BN .当AC 平移到与⊙B 相切时，AB 的长度是()A ．7 cmB ．4 cmC ．6 cmD ．8 cm4．如图，⊙O 的半径为2，点A 的坐标为(2，2 3)，直线AB 为⊙O 的切线，点B 为切点．则点B 的坐标为()A.⎝⎛⎭⎫－32，85 B ．(－3，1) C.⎝⎛⎭⎫－45，95 D ．(－1，3) 5．已知P A ，PB 是⊙O 的切线，切点分别为A ，B ，点C 为⊙O 上与A ，B 不重合的点．如果∠P ＝50°，那么∠ACB 等于()A ．40°B ．50°C ．65°D ．65°或115°6．如图，直线AB 与半径为2的⊙O 相切于点C ，点D 是⊙O 上一点，且∠EDC ＝30°.若弦EF ∥AB ，则EF 的长度为()A ．2B ．2 3 C. 3 D ．2 27．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，直线MN 过点C ，过点A 作直线MN 的垂线，垂足为D ，且∠BAC ＝∠DAC .(1)猜想直线MN 与⊙O 的位置关系，并说明理由；(2)若CD ＝6，cos ∠ACD ＝35，求⊙O 的半径．8．如图，已知⊙O 是等腰直角三角形ADE 的外接圆，∠ADE ＝90°，延长ED 到点C ，使DC ＝AD ，以AD ，DC 为邻边作正方形ABCD ，连结AC ，连结BE 交AC 于点H ，求证：(1)AC 是⊙O 的切线；(2)CH ＝2AH .9．如图，已知直线PD 垂直平分⊙O 的半径OA 于点B ，PD 交⊙O 于点C ，D ，PE 是⊙O 的切线，E 为切点，连结AE ，交CD 于点F.(1)若⊙O 的半径为8，求CD 的长；(2)求证：PE ＝PF ；(3)若PF ＝13，sin A ＝513，求EF 的长．10．如图，AB 是⊙O 的直径，AD 是弦，OC ⊥BD 于点E ，∠DBC ＝∠A .(1)求证：BC 是⊙O 的切线；(2)若BD ＝12，EC ＝10，求AD 的长．11．如图①，⊙O 是△ABC 的外接圆，且∠B ＝∠CAD .(1)求证：AD 是⊙O 的切线；(2)如图②，把条件“∠B ＝∠CAD ”改为“延长B C 交直线AD 于点D ，且AD 2＝DC ·DB ”，其他条件不变，则AD 还是⊙O 的切线吗？请说明理由．,①),②)答案：1—6 D ；A ；D ；D ；D ；B7.【解】 (1)直线MN 与⊙O 的位置关系是相切．理由如下：连结OC.∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝∠OCA.∵∠CAB ＝∠DAC ，∴∠DAC ＝∠OCA ，∴OC ∥AD.∵AD ⊥MN ，∴OC ⊥MN.又∵OC 是⊙O 的半径，∴MN 是⊙O 的切线．(2)∵CD ＝6，cos ∠ACD ＝DC AC ＝35， ∴AC ＝10，∴AD ＝8.∵AB 是⊙O 的直径，AD ⊥MN ，∴∠ACB ＝∠ADC ＝90°.∵∠DAC ＝∠BAC ，∴△ADC ∽△ACB ，∴AD AC ＝AC AB， ∴810＝10AB， ∴AB ＝252， ∴⊙O 的半径为12×252＝254. 8.【解】 (1)∵∠ADE ＝90°，∴AE 为⊙O 的直径．∵△ADE 为等腰直角三角形，∴∠EAD ＝45°.∵四边形ABCD 为正方形，∴∠DAC ＝45°，∴∠EAC ＝45°＋45°＝90°，∴AC ⊥AE .又∵OA 为⊙O 的半径，∴AC 是⊙O 的切线．(2)∵四边形ABCD 为正方形，∴AB ∥CD ，∴△ABH ∽△CEH ，∴AH ∶CH ＝AB ∶CE .∵△ADE 为等腰直角三角形，∴AD ＝ED .又∵AD ＝AB ＝DC ，∴CE ＝2AB ，∴AH ∶CH ＝1∶2，即CH ＝2AH .9.【解】 (1)连结OD .∵直线PD 垂直平分OA 于点B ，OA ＝8，∴OB ＝12OA ＝4，BC ＝BD ＝12CD ， ∴在Rt △OBD 中，BD ＝OD 2－OB 2＝4 3， ∴CD ＝2BD ＝8 3.(2)∵PE 是⊙O 的切线，∴∠PEO ＝90°， ∴∠PEF ＝90°－∠AEO .∵OE ＝OA ，∴∠A ＝∠AEO .∵∠PFE ＝∠AFB ＝90°－∠A ，∴∠PEF ＝∠PFE ，∴PE ＝PF .(3)过点P 作PG ⊥EF 于点G ，则∠PGF ＝∠ABF ＝90°.∵∠PFG ＝∠AFB ，∴∠FPG ＝∠A ，∴FG ＝PF ·sin A ＝13×513＝5. ∵PE ＝PF ，∴EF ＝2FG ＝10.10.【解】 (1)证明：∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠D ＝90°，∴∠A ＋∠ABD ＝90°.∵∠DBC ＝∠A ，∴∠DBC ＋∠ABD ＝90°.即∠ABC ＝90°，∴AB ⊥BC .∴BC 是⊙O 的切线．(2)∵OC ⊥BD ，∴OC ∥AD .∵点O 是AB 的中点，∴BE ＝DE ＝12BD ＝6. ∵∠BEC ＝∠D ＝90°，∠DBC ＝∠A ，∴△BEC ∽△ADB ，∴BE AD ＝EC DB. ∴6AD ＝1012，∴AD ＝7.2. 11.【解】 (1)作直径AE ，连结CE. 由∠CAD ＝∠B ＝∠AEC 得∠EAD ＝∠EAC ＋∠CAD＝∠EAC ＋∠AEC ＝90°，∴AD 是⊙O 的切线．(2)AD 是⊙O 的切线．理由如下：由AD2＝DC·DB，得ADDC＝DB AD.又∵∠D＝∠D，∴△CAD∽△ABD，∴∠CAD＝∠B.从而由(1)可证得AD还是⊙O的切线．。

浙教版九年级数学下册2.1：直线和圆的位置关系同步练习(含解析)

浙教版九年级下册2.1直线与圆的位置关系同步练习一．选择题（共12小题）1．已知半径为3的⊙O上一点P和⊙O外一点Q，如果OQ＝5，PQ＝4，则PQ与⊙O的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．位置不定2．在直角坐标平面内，已知点M（4，3），以M为圆心，r为半径的圆与x轴相交，与y 轴相离，那么r的取值范围为（）A．0＜r＜5B．3＜r＜5C．4＜r＜5D．3＜r＜43．如图，P A，PB分别切⊙O于点A，B，OP交⊙O于点C，连接AB，下列结论中，错误的是（）A．∠1＝∠2B．P A＝PB C．AB⊥OP D．OP＝2OA4．如图，P A，PB切⊙O于A，B两点，CD切⊙于点E，交P A、PB于C、D，若△PCD的周长等于4，则线段P A的长是（）A．4B．8C．2D．15．已知⊙O的半径是5，直线l是⊙O的切线，则圆心O到直线l的距离是（）A．5B．2.5C．3D．106．如图，过圆外一点P作⊙O的两条切线，切点分别为A、B，连接AB，在AB、PB、P A 上分别取一点D、E、F，使AD＝BE，BD＝AF，连接DE、DF、EF，则∠EDF等于（）A．90°﹣∠P B．90°﹣∠P C．180°﹣∠P D．45°﹣∠P 7．如图，AB为⊙O的直径，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，点P在BA的延长线上，PD与⊙O相切，D为切点，若∠BCD＝125°，则∠ADP的大小为（）A．25°B．40°C．35°D．30°8．下列说法中，正确的是（）A．90°的圆周角所对的弦是直径B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧C．经过半径的端点并且垂直于这条半径的直线是这个圆的切线D．长度相等的弧是等弧9．正方形ABCD中，对角线AC、BD交于O，Q为CD上任意一点，AQ交BD于M，过M 作MN⊥AM交BC于N，连AN、QN．下列结论：①MA＝MN；②∠AQD＝∠AQN；③S△AQN＝S五边形ABNQD；④QN是以A为圆心，以AB为半径的圆的切线．其中正确的结论有（）A．①②③④B．只有①③④C．只有②③④D．只有①②10．如图，AB为⊙O的切线，OB交⊙O于点D，C为⊙O上一点，若∠ABO＝42°，则∠ACD的度数为（）A．48°B．24°C．36°D．72°11．如图，AD、AE和BC分别切⊙O于点D、E、F，如果AD＝18，则△ABC的周长为（）A．18B．27C．36D．5412．如图，AB为⊙O的直径，CD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，且CO＝CD，则∠A的度数为（）A．45°B．30°C．22.5°D．37.5°二．解答题（共18小题）13．如图，线段AB经过圆心O，交⊙O于点A，C，点D在⊙O上，连接AD，BD，∠A ＝∠B＝30°，圆的半径R．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）求图中阴影部分的面积．14．如图，△ABC中，AB＝BC，CE∥AB，以AB为直径作⊙O，当CE是⊙O的切线时，切点为D．（1）求：∠ABC的度数；（2）若CD＝3，求AC的长度．15．如图，以△ABC的边AC为直径的O恰为△ABC的外接圆，∠ABC的平分线交O于点D，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AB＝4，BC＝2，求DE的长．16．如图，已知AB为⊙O的直径，P A是⊙O的切线，点C是⊙O上异于点A的一点，且PC＝P A．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若∠BAC＝30°，AB＝6，求∠P的度数及P A的长．17．如图，AB是⊙O的直径，AC⊥AB，E为⊙O上的一点，AC＝EC，延长CE交AB的延长线于点D．（1）求证：CE为⊙O的切线；（2）若OF⊥AE，OF＝1，∠OAF＝30°，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）18．已知：如图，△ABC内接于⊙O，AE切⊙O于点A，BD∥AE交AC的延长线于点D，求证：AB2＝AC•AD．19．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，CD切⊙O于点C，且∠DAC＝∠BAC．（1）试说明：AD⊥CD；（2）若AD＝4，AB＝6，求AC．20．如图，直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，OB＝6cm，OC＝8cm．求：（1）∠BOC的度数；（2）BE+CG的长；（3）⊙O的半径．21．如图，⊙O是梯形ABCD的内切圆，AB∥DC，E、M、F、N分别是边AB、BC、CD、DA上的切点．（1）求证：AB+CD＝AD+BC；（2）求∠AOD的度数．22．如图，AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，BO＝6，CO＝8．（1）判断△OBC的形状，并证明你的结论；（2）求BC的长；（3）求⊙O的半径OF的长．23．如图，P A、PB、DE切⊙O于点A、B、C、D在P A上，E在PB上，（1）若P A＝10，求△PDE的周长．（2）若∠P＝50°，求∠O度数．24．如图，OB是以（O，a）为圆心，a为半径的⊙O1的弦，过B点作⊙O1的切线，P为劣弧上的任一点，且过P作OB、AB、OA的垂线，垂足分别是D、E、F．（1）求证：PD2＝PE•PF；（2）当∠BOP＝30°，P点为的中点时，求D、E、F、P四个点的坐标及S△DEF．25．如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G，且AB∥CD，BO＝6cm，CO＝8cm．求BC的长．26．如图，P A为⊙O的切线，A为切点，⊙O的割线PBC过点O与⊙O分别交于B、C，P A＝8cm，PB＝4cm，求⊙O的半径．27．如图1，A为⊙O的弦EF上的一点，OB是和这条弦垂直的半径，垂足为H，BA的延长线交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线与EF的延长线相交于点D．（1）求证：DA＝DC；（2）当DF：EF＝1：8，且DF＝时，求AB•AC的值；（3）将图1中的EF所在直线往上平行移动到⊙O外，如图2的位置，使EF与OB，延长线垂直，垂足为H，A为EF上异于H的一点，且AH小于⊙O的半径，AB的延长线交⊙O于C，过C作⊙O的切线交EF于D．试猜想DA＝DC是否仍然成立？并证明你的结论．28．如图1，已知正方形ABCD的边长为，点M是AD的中点，P是线段MD上的一动点（P不与M，D重合），以AB为直径作⊙O，过点P作⊙O的切线交BC于点F，切点为E．（1）除正方形ABCD的四边和⊙O中的半径外，图中还有哪些相等的线段（不能添加字母和辅助线）；（2）求四边形CDPF的周长；（3）延长CD，FP相交于点G，如图2所示．是否存在点P，使BF•FG＝CF•OF？如果存在，试求此时AP的长；如果不存在，请说明理由．29．如图，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，延长BC至D，使CD＝BC，CE⊥AD 于E，BE交⊙O于F，AF交CE于P，求证：PE＝PC．30．如图，M，N是以AB为直径的⊙O上的点，且＝，弦MN交AB于点C，BM平分∠ABD，MF⊥BD于点F．（1）求证：MF是⊙O的切线；（2）若CN＝3，BN＝4，求CM的长．参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．已知半径为3的⊙O上一点P和⊙O外一点Q，如果OQ＝5，PQ＝4，则PQ与⊙O的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．位置不定【分析】根据勾股定理的逆定理和直线与圆的位置关系解答即可．【解答】解：如图所示：∵半径为3的⊙O上一点P和⊙O外一点Q，OQ＝5，PQ＝4，即OP＝3，PQ＝4，OQ＝5，∵32+42＝52，∴△OPQ是直角三角形，∴PQ⊥OP，∴PQ与⊙O相切，故选：B．2．在直角坐标平面内，已知点M（4，3），以M为圆心，r为半径的圆与x轴相交，与y 轴相离，那么r的取值范围为（）A．0＜r＜5B．3＜r＜5C．4＜r＜5D．3＜r＜4【分析】先求出点M到x轴、y轴的距离，再根据直线和圆的位置关系得出即可．【解答】解：∵点M的坐标是（4，3），∴点M到x轴的距离是3，到y轴的距离是4，∵点M（4，3），以M为圆心，r为半径的圆与x轴相交，与y轴相离，∴r的取值范围是3＜r＜4，故选：D．3．如图，P A，PB分别切⊙O于点A，B，OP交⊙O于点C，连接AB，下列结论中，错误的是（）A．∠1＝∠2B．P A＝PB C．AB⊥OP D．OP＝2OA【分析】利用切线长定理、等腰三角形的性质即可得出．【解答】解：由切线长定理可得：∠1＝∠2，P A＝PB，从而AB⊥OP．因此A．B．C都正确．无法得出AB＝P A＝PB，可知：D是错误的．综上可知：只有D是错误的．故选：D．4．如图，P A，PB切⊙O于A，B两点，CD切⊙于点E，交P A、PB于C、D，若△PCD的周长等于4，则线段P A的长是（）A．4B．8C．2D．1【分析】直接利用切线长定理得出AC＝EC，DE＝DB，P A＝PB，进而求出P A的长．【解答】解：∵P A，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交P A，PB于C，D，∴AC＝EC，DE＝DB，P A＝PB∵△PCD的周长等于4，∴PC+CD+PD＝4，∴P A+PB＝4，∴P A＝2．故选：C．5．已知⊙O的半径是5，直线l是⊙O的切线，则圆心O到直线l的距离是（）A．5B．2.5C．3D．10【分析】利用切线的性质求解．【解答】解：∵直线l是⊙O的切线，∴圆心O到直线l的距离等于圆的半径，即圆心O到直线l的距离为5故选：A．6．如图，过圆外一点P作⊙O的两条切线，切点分别为A、B，连接AB，在AB、PB、P A 上分别取一点D、E、F，使AD＝BE，BD＝AF，连接DE、DF、EF，则∠EDF等于（）A．90°﹣∠P B．90°﹣∠P C．180°﹣∠P D．45°﹣∠P 【分析】由条件可得∠P AB＝∠PBA，结合条件可证明△ADF≌△BED，可得到∠AFD＝∠EDB，再利用三角形内角和和平角的定义可得∠EDF＝∠P AB，在△P AB中可求得∠P AB，则可得出∠EDF的度数．【解答】解：∵P A、PB都是⊙O的切线，∴P A＝PB，即有∠P AB＝∠PBA，在△ADF和△BED中，，∴△ADF≌△BED（SAS），∴∠AFD＝∠EDB，∵∠F AD+∠FDA+∠AFD＝180°，∠FDA+∠FDE+∠EDB＝180°，∴∠EDF＝∠P AB，∵∠P AB+∠PBA+∠P＝180°，且∠PBA＝∠P AB，∴∠EDF＝∠P AB＝．故选：B．7．如图，AB为⊙O的直径，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，点P在BA的延长线上，PD与⊙O相切，D为切点，若∠BCD＝125°，则∠ADP的大小为（）A．25°B．40°C．35°D．30°【分析】连接AC，OD，得到∠ACB是直角，求出∠ACD的度数，可求出∠AOD的度数，再利用切线的性质即可得到∠ADP的度数．【解答】解：连接AC，OD，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACD＝125﹣90°＝35°，∴∠AOD＝2∠ACD＝70°，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ADO，∴∠ADO＝55°，∵PD与⊙O相切，∴OD⊥PD，∴∠ADP＝90°﹣∠ADO＝90°﹣55°＝35°．故选：C．8．下列说法中，正确的是（）A．90°的圆周角所对的弦是直径B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧C．经过半径的端点并且垂直于这条半径的直线是这个圆的切线D．长度相等的弧是等弧【分析】每个选项都画出反例图形，根据图形判断即可．【解答】解：A、根据圆周角定理得：90°的圆周角所对的弦是直径，故本选项正确；B、如图1，符合条件，当AB和CD不垂直，故本选项错误；C、如图2，AB⊥OC，AB过半径OC端点O，但是AB不是圆的切线，故本选项错误；D、如图3，弧AB和弧CD长度相等，但是弧AB和弧CD不是等弧，故本选项错误；故选：A．9．正方形ABCD中，对角线AC、BD交于O，Q为CD上任意一点，AQ交BD于M，过M 作MN⊥AM交BC于N，连AN、QN．下列结论：①MA＝MN；②∠AQD＝∠AQN；③S△AQN＝S五边形ABNQD；④QN是以A为圆心，以AB为半径的圆的切线．其中正确的结论有（）A．①②③④B．只有①③④C．只有②③④D．只有①②【分析】延长CD到F，使DF＝BN，连接AF，过A作AH⊥NQ于H，证ABNM四点共圆，推出∠ANM＝∠NAM即可判断①；证△ABN≌△ADF，推出AF＝AN，∠F AD＝∠BAN，证△NAQ≌△F AQ，推出∠AQN＝∠AQD即可判断②；证△ADQ≌△AHQ，即可推出③；根据AH＝AD＝AB，AH⊥NQ，即可判断④．【解答】解：延长CD到F，使DF＝BN，连接AF，过A作AH⊥NQ于H，∵正方形ABCD，NM⊥AQ，∴∠AMN＝∠ABC＝90°，∴ABNM四点共圆，∴∠NAM＝∠DBC＝45°，∠ANM＝∠ABD＝45°，∴∠ANM＝∠NAM＝45°，∴MA＝MN，∴①正确；∵正方形ABCD，∴∠ABN＝∠ADF＝90°，AD＝AB，在△ABN和△ADF中∵，∴△ABN≌△ADF，∴∠F AD＝∠BAN，AF＝AN，∵∠NAM＝∠BAC＝45°，∴∠F AQ＝∠F AD+∠DAQ＝45°＝∠NAQ，在△NAQ和△F AQ中∵，∴△NAQ≌△F AQ，∴∠AQN＝∠AQD，∴②正确；在△ADQ和△AHQ中∵，∴△ADQ≌△AHQ，∴S△ADQ＝S△AQH，∴S△NAQ＝S△F AQ＝S△F AD+S△ADQ＝S五边形ABNQD，∴③正确；∵AH＝AD＝AB，AH⊥NQ，∴QN是以A为圆心，以AB为半径的圆的切线，∴④正确．故选：A．10．如图，AB为⊙O的切线，OB交⊙O于点D，C为⊙O上一点，若∠ABO＝42°，则∠ACD的度数为（）A．48°B．24°C．36°D．72°【分析】连接OA，由切线的性质得出∠OAB＝90°，由直角三角形的性质得出∠AOB＝90°﹣∠ABO＝48°，再由圆周角定理得出∠ACD＝∠AOB＝24°即可．【解答】解：连接OA，如图：∵AB为⊙O的切线，∴AB⊥OA，∴∠OAB＝90°，∴∠AOB＝90°﹣∠ABO＝90°﹣42°＝48°，∴∠ACD＝∠AOB＝24°；故选：B．11．如图，AD、AE和BC分别切⊙O于点D、E、F，如果AD＝18，则△ABC的周长为（）A．18B．27C．36D．54【分析】根据切线长定理，将△ABC的周长转化为切线长求解．【解答】解：据切线长定理有AD＝AE，BE＝BF，CD＝CF；则△ABC的周长＝AB+BC+AC＝AB+BF+CF+AC＝AB+BE+AC+CD＝2AD＝36故选：C．12．如图，AB为⊙O的直径，CD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，且CO＝CD，则∠A的度数为（）A．45°B．30°C．22.5°D．37.5°【分析】因为∠COD＝∠A+∠OCA，∠A＝∠COA，所以求出∠COD即可解决问题．【解答】解：∵CD切⊙O于C，∴OC⊥CD，∴∠OCD＝90°，∵CO＝CD，∴∠COD＝∠D＝45°，∵OA＝CO，∴∠OAC＝∠OCA，∵∠COD＝∠OAC+∠OCA＝45°，∴∠A＝22.5°．故选：C．二．解答题（共18小题）13．如图，线段AB经过圆心O，交⊙O于点A，C，点D在⊙O上，连接AD，BD，∠A ＝∠B＝30°，圆的半径R．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）求图中阴影部分的面积．【分析】（1）连接OD，求出∠A＝∠ADO＝30°，求出∠DOB＝60°，求出∠ODB＝90°，根据切线的判定推出即可；（2）求出OB、BD、求出△BDO的面积和扇形DOC的面积，即可求出答案．【解答】（1）证明：连接OD，∵OA＝OD，∠A＝∠B＝30°，∴∠A＝∠ADO＝30°，∴∠DOB＝∠A+∠ADO＝60°，∴∠ODB＝180°﹣∠DOB﹣∠B＝90°，∵OD是半径，∴BD是⊙O的切线；（2）解：∵∠B＝30°，∠ODB＝90°，OD＝R，∴OB＝2R，由勾股定理得：BD＝R，∴图中阴影部分的面积是：S△BDO﹣S扇形DOC＝×R×R﹣＝R2，答：图中阴影部分的面积是R2．14．如图，△ABC中，AB＝BC，CE∥AB，以AB为直径作⊙O，当CE是⊙O的切线时，切点为D．（1）求：∠ABC的度数；（2）若CD＝3，求AC的长度．【分析】（1）连接OD，根据切线的性质得到OD⊥CE，过B作BH⊥CD于H，得到四边形BHDO是正方形，求得BH＝OD，求得BH＝BC，根据三角函数的定义得到∠BCH ＝30°，根据平行线的性质即可得到结论；（2）设⊙O于AC交于F，连接BF，根据等腰三角形的性质得到CF＝AC，根据切割线定理即可得到结论．【解答】解：（1）连接OD，∵CE是⊙O的切线，∴OD⊥CE，∵CD∥AB，∴OD⊥AB，过B作BH⊥CD于H，则四边形BHDO是正方形，∴BH＝OD，∵AB＝BC，AB为⊙O的直径，∴BH＝BC，∴∠BCH＝30°，∵CD∥AB，∴∠ABC＝30°；（2）设⊙O于AC交于F，连接BF，∵AB为⊙O的直径，∴BF⊥AC，∵AB＝BC，∴CF＝AC，∵CD是⊙O的切线，AC是⊙O的割线，由切割线定理得，CD2＝CF•AC＝AC AC，∴32＝AC2，∴AC＝3（负值舍去）．15．如图，以△ABC的边AC为直径的O恰为△ABC的外接圆，∠ABC的平分线交O于点D，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AB＝4，BC＝2，求DE的长．【分析】（1）直接利用圆周角定理以及结合切线的判定方法得出DE是⊙O的切线；（2）首先过点C作CG⊥DE，垂足为G，则四边形ODGC为正方形，得出tan∠CEG＝tan∠ACB，＝，即可求出答案．【解答】（1）证明：连接OD，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝45°，∴∠AOD＝90°，∵DE∥AC，∴∠ODE＝∠AOD＝90°，∴DE是⊙O的切线；（2）解：在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝2，∴AC＝＝10，∴OD＝5，过点C作CG⊥DE，垂足为G，则四边形ODGC为正方形，∴DG＝CG＝OD＝5，∵DE∥AC，∴∠CEG＝∠ACB，∴tan∠CEG＝tan∠ACB，∴＝，即＝，解得：GE＝2.5，∴DE＝DG+GE＝．16．如图，已知AB为⊙O的直径，P A是⊙O的切线，点C是⊙O上异于点A的一点，且PC＝P A．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若∠BAC＝30°，AB＝6，求∠P的度数及P A的长．【分析】（1）根据切线的性质得到∠P AB＝90°，根据等腰三角形的性质得到∠OAC＝∠OCA，求得P A⊥AB，根据切线的判定定理即可得到结论；（2）连接BC，推出△P AC是等边三角形，得到∠P＝60°，根据直角三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：∵P A是⊙O的切线，∴∠P AB＝90°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵PC＝P A，∴∠P AC＝∠PCA，∴∠PCO＝∠PCA+∠ACO＝∠P AC+∠OAC＝∠P AB＝90°，∴P A⊥AB，∴PC是⊙O的切线；（2）解：连接BC，∵∠BAC＝30°，∴△P AC是等边三角形，∴∠P＝60°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴P A＝AC＝AB＝3．17．如图，AB是⊙O的直径，AC⊥AB，E为⊙O上的一点，AC＝EC，延长CE交AB的延长线于点D．（1）求证：CE为⊙O的切线；（2）若OF⊥AE，OF＝1，∠OAF＝30°，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）【分析】（1）连接OE，根据等腰三角形的性质得到∠CAE＝∠CEA，∠F AO＝∠FEO，根据余角的性质得到∠CEA＝90°，由切线的判定定理即可得到结论；（2）根据直角三角形的性质得到AO＝2；求得AF＝即AE＝；根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．【解答】（1）证明：连接OE，∵AC＝EC，OA＝OE，∴∠CAE＝∠CEA，∠F AO＝∠FEO，∵AC⊥AB，∴∠CAE+∠EAO＝90°，∴∠CEA+∠AEO＝90°，即∠CEO＝90°，∴OE⊥CD，∴CE为⊙O的切线；（2）解：∵∠OAF＝30°，OF＝1∴AO＝2；∴AF＝即AE＝；∴；∵∠AOE＝120°，AO＝2；∴；∴S阴影＝．18．已知：如图，△ABC内接于⊙O，AE切⊙O于点A，BD∥AE交AC的延长线于点D，求证：AB2＝AC•AD．【分析】欲证AB2＝AC•AD，即证AB：AD＝AC：AB，可以通过证明△ABC∽△ABD得出．而已知∠BAD公共，又可以根据已知条件推出∠D＝∠ABC，由两角对应相等的两个三角形相似，得出△ACB∽△ABD．【解答】证明：∵BD∥AE，∴∠EAD＝∠D．∵AE切⊙O于点A，∴∠EAD＝∠ABC．∴∠D＝∠ABC．∵∠BAD＝∠BAD，∴△ACB∽△ABD．∴AB：AD＝AC：AB．∴AB2＝AC•AD．19．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，CD切⊙O于点C，且∠DAC＝∠BAC．（1）试说明：AD⊥CD；（2）若AD＝4，AB＝6，求AC．【分析】（1）连接OC，根据CD是⊙O的切线可得OC⊥CD，然后证明CO∥AD即可得证明；（2）根据两角对应相等，两三角形相似证明△ADC∽△ACB，然后根据相似三角形对应边成比例列出比例式，代入数据进行计算即可求解．【解答】（1）证明：连接OC；∵CD切⊙O于点C，∴OC⊥CD，∵OC＝OA，∴∠BAC＝∠OCA，∵∠DAC＝∠BAC，∴∠DAC＝∠OCA，∴OC∥AD，∴AD⊥CD；（2）解：连接BC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，在△ADC与△ACB中，，∴△ADC∽△ACB，∴＝，即AC2＝AD•AB，∵AD＝4，AB＝6，∴AC＝＝2．20．如图，直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，OB＝6cm，OC＝8cm．求：（1）∠BOC的度数；（2）BE+CG的长；（3）⊙O的半径．【分析】（1）根据切线的性质得到OB平分∠EBF，OC平分∠GCF，OF⊥BC，再根据平行线的性质得∠GCF+∠EBF＝180°，则有∠OBC+∠OCB＝90°，即∠BOC＝90°；（2）由勾股定理可求得BC的长，进而由切线长定理即可得到BE+CG的长；（3）最后由三角形面积公式即可求得OF的长．【解答】解：（1）连接OF；根据切线长定理得：BE＝BF，CF＝CG，∠OBF＝∠OBE，∠OCF＝∠OCG；∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∴∠OBE+∠OCF＝90°，∴∠BOC＝90°；（2）由（1）知，∠BOC＝90°．∵OB＝6cm，OC＝8cm，∴由勾股定理得到：BC＝＝10cm，∴BE+CG＝BC＝10cm．（3）∵OF⊥BC，∴OF＝＝4.8cm．21．如图，⊙O是梯形ABCD的内切圆，AB∥DC，E、M、F、N分别是边AB、BC、CD、DA上的切点．（1）求证：AB+CD＝AD+BC；（2）求∠AOD的度数．【分析】（1）根据切线长定理可证得AE＝AN，BE＝BM，DF＝DN，CF＝CM，进而证明AB+DC＝AD+BC；（2）连OE、ON、OM、OF，通过证明△OAE≌△OAN，得到∠OAE＝∠OAN．同理：∠ODN＝∠ODE，再利用平行线的性质：同旁内角互补即可求出∠AOD的度数．【解答】（1）证明：∵⊙O切梯形ABCD于E、M、F、N，由切线长定理：AE＝AN，BE ＝BM，DF＝DN，CF＝CM，∴AE+BE+DF+CF＝AN+BM+DN+CM，∴AB+DC＝AD+BC；（2）解：连OE、ON、OM、OF，∵OE＝ON，AE＝AN，OA＝OA，∴△OAE≌△OAN，∴∠OAE＝∠OAN．同理，∠ODN＝∠ODF．∴∠OAN+∠ODN＝∠OAE+∠ODE．又∵AB∥DC，∠EAN+∠CDN＝180°，∴∠OAN+∠ODN＝×180°＝90°，∴∠AOD＝180°﹣90°＝90°．22．如图，AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，BO＝6，CO＝8．（1）判断△OBC的形状，并证明你的结论；（2）求BC的长；（3）求⊙O的半径OF的长．【分析】（1）由切线长定理，易得∠OBE＝∠OBF＝∠EBF，∠OCG＝∠OCF＝∠GCF，又由AB∥CD，则可求得∠BOC＝90°；（2）由BO＝6，CO＝8，利用勾股定理即可求得BC的长；（3）利用直角三角形斜边上的高等于两直角边的积除以斜边，即可求得⊙O的半径OF的长．【解答】（1）答：△OBC是直角三角形．证明：∵AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，∴∠OBE＝∠OBF＝∠EBF，∠OCG＝∠OCF＝∠GCF，∵AB∥CD，∴∠EBF+∠GCF＝180°，∴∠OBF+∠OCF＝90°，∴∠BOC＝90°，∴△OBC是直角三角形；（2）解：∵在Rt△BOC中，BO＝6，CO＝8，∴BC＝＝10；（3）解：∵AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，∴OF⊥BC，∴OF＝＝＝4.8．23．如图，P A、PB、DE切⊙O于点A、B、C、D在P A上，E在PB上，（1）若P A＝10，求△PDE的周长．（2）若∠P＝50°，求∠O度数．【分析】（1）于P A、PB、DE都是⊙O的切线，可根据切线长定理将切线P A、PB的长转化为△PDE的周长；（2）连接OA、OC、0B，利用切线长定理即可得到∠O＝∠AOB，根据四边形的内角和可得∠AOB+∠P＝180°，进而求出∠O的度数．【解答】解：（1）∵P A、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，∴P A＝PB，DA＝DC，EC＝EB；∴C△PDE＝PD+DE+PE＝PD+DA+EB+PE＝P A+PB＝10+10＝20；∴△PDE的周长为20；（2）连接OA、OC、0B，∵OA⊥P A，OB⊥PB，OC⊥DE，∴∠DAO＝∠EBO＝90°，∴∠P+∠AOB＝180°，∴∠AOB＝180°﹣50°＝130°∵∠AOD＝∠DOC，∠COE＝∠BOE，∴∠DOE＝∠AOB＝×130°＝65°．24．如图，OB是以（O，a）为圆心，a为半径的⊙O1的弦，过B点作⊙O1的切线，P为劣弧上的任一点，且过P作OB、AB、OA的垂线，垂足分别是D、E、F．（1）求证：PD2＝PE•PF；（2）当∠BOP＝30°，P点为的中点时，求D、E、F、P四个点的坐标及S△DEF．【分析】（1）连接PB，OP，利用AB切⊙O1于B求证△PBE∽△POD，得出＝，同理，△OPF∽△BPD，得出＝，然后利用等量代换即可．（2）连接O1B，O1P，得出△O1BP和△O1PO为等边三角形，根据直角三角形的性质即可解得D、E、F、P四个点的坐标．再利用三角形的面积公式可直接求出三角形DEF的面积．【解答】（1）证明：连接PB，OP，∵PE⊥AB，PD⊥OB，∴∠BEP＝∠PDO＝90°，∵AB切⊙O1于B，∠ABP＝∠BOP，∴△PBE∽△POD，∴＝，同理，△OPF∽△BPD∴＝，∴＝，∴PD2＝PE•PF；（2）解：连接O1B，O1P，∵AB切⊙O1于B，∠POB＝30°，∴∠ABP＝30°，∴∠O1BP＝90°﹣30°＝60°，∵O1B＝O1P，∴△O1BP为等边三角形，∴O1B＝BP，∵P为弧BO的中点，∴BP＝OP，即△O1PO为等边三角形，∴O1P＝OP＝a，∴∠O1OP＝60°，又∵P为弧BO的中点，∴O1P⊥OB，在△O1DO中，∵∠O1OP＝60°O1O＝a，∴O1D＝a，OD＝a，过D作DM⊥OO1于M，∴DM＝OD＝a，OM＝DM＝a，∴D（﹣a，a），∵∠O1OF＝90°，∠O1OP＝60°∴∠POF＝30°，∵PE⊥OA，∴PF＝OP＝a，OF＝a，∴P（﹣a，），F（﹣a，0），∵AB切⊙O1于B，∠POB＝30°，∴∠ABP＝∠BOP＝30°，∵PE⊥AB，PB＝a，∴∠EPB＝60°∴PE＝a，BE＝a，∵P为弧BO的中点，∴BP＝PO，∴∠PBO＝∠BOP＝30°，∴∠BPO＝120°，∴∠BPE+∠BPO＝120°+60°＝180°，即OPE三点共线，∵OE＝a+a＝a，过E作EM⊥x轴于M，∵AO切⊙O1于O，∴∠EOA＝30°，∴EM＝OE＝a，OM＝a，∴E（﹣a，a），∵E（﹣a，a），D（﹣a，a），∴DE＝﹣a﹣（﹣a）＝a，DE边上的高为：a，∴S△DEF＝×a×a＝a2．故答案为：D（﹣a，a），E（﹣a，a），F（﹣a，0），P（﹣a，）；S△DEF＝a2．25．如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G，且AB∥CD，BO＝6cm，CO＝8cm．求BC的长．【分析】根据切线长定理和平行线的性质定理得到△BOC是直角三角形．再根据勾股定理求出BC的长．【解答】解：∵AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G；∴∠CBO＝∠ABC，∠BCO＝∠DCB，∵AB∥CD，∴∠ABC+∠DCB＝180°，∴∠CBO+∠BCO＝∠ABC+∠DCB＝（∠ABC+∠DCB）＝90°．∴cm．26．如图，P A为⊙O的切线，A为切点，⊙O的割线PBC过点O与⊙O分别交于B、C，P A＝8cm，PB＝4cm，求⊙O的半径．【分析】连接OA，设⊙O的半径为rcm，由勾股定理，列式计算即可．【解答】解：连接OA，设⊙O的半径为rcm，（2分）则r2+82＝（r+4）2，（4分）解得r＝6，∴⊙O的半径为6cm．（2分）27．如图1，A为⊙O的弦EF上的一点，OB是和这条弦垂直的半径，垂足为H，BA的延长线交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线与EF的延长线相交于点D．（1）求证：DA＝DC；（2）当DF：EF＝1：8，且DF＝时，求AB•AC的值；（3）将图1中的EF所在直线往上平行移动到⊙O外，如图2的位置，使EF与OB，延长线垂直，垂足为H，A为EF上异于H的一点，且AH小于⊙O的半径，AB的延长线交⊙O于C，过C作⊙O的切线交EF于D．试猜想DA＝DC是否仍然成立？并证明你的结论．【分析】（1）连接过切点的半径OC，根据等角的余角相等进行证明∠ACD＝∠DAC，从而得到AD＝CD；（2）根据已知条件求得DF的长，再根据切割线定理求得CD的长．从而求得DF和EF 的长，最后根据相交弦定理即可求得它们的乘积；（3）作直径，构造了直角三角形，也构造了弦切角所夹的弧所对的圆周角．根据等角的余角相等证明∠DAC＝∠ACD，从而证明结论．【解答】（1）证明：连接OC，则OC⊥DC，（1分）∴∠DCA＝90°﹣∠ACO＝90°﹣∠B．∵∠DAC＝∠BAE＝90°﹣∠B，∴∠DAC＝∠DCA．∴DA＝DC．（2）解：∵DF：EF＝1：8，∵DF＝，∴EF＝8DF＝8．∵DC为⊙O的切线，∴DC2＝DF•DE＝×9＝18．∵DC＝3，∴AF＝2，AE＝6．∴AB•AC＝AE•AF＝24．（3）解：结论DA＝DC仍然成立．理由如下：延长BO交⊙O于K，连接CK，则∠KCB＝90°；∵DC为⊙O的切线，∴∠DCA＝∠CKB＝90°﹣∠CBK．∵∠CBK＝∠HBA，∴∠BAH＝90°﹣∠HBA＝90°﹣∠CBK．∴∠DCA＝∠BAH．∴DA＝DC．28．如图1，已知正方形ABCD的边长为，点M是AD的中点，P是线段MD上的一动点（P不与M，D重合），以AB为直径作⊙O，过点P作⊙O的切线交BC于点F，切点为E．（1）除正方形ABCD的四边和⊙O中的半径外，图中还有哪些相等的线段（不能添加字母和辅助线）；（2）求四边形CDPF的周长；（3）延长CD，FP相交于点G，如图2所示．是否存在点P，使BF•FG＝CF•OF？如果存在，试求此时AP的长；如果不存在，请说明理由．【分析】（1）根据切线长定理得到FB＝FE，PE＝P A；（2）根据切线长定理，发现：该四边形的周长等于正方形的三边之和；（3）根据若要满足结论，则∠BFO＝∠GFC，根据切线长定理得∠BFO＝∠EFO，从而得到这三个角应是60°，然后结合已知的正方形的边长，也是圆的直径，利用30°的直角三角形的知识进行计算．【解答】解：（1）FB＝FE，PE＝P A．（2）四边形CDPF的周长为FC+CD+DP+PE+EF＝FC+CD+DP+P A+BF＝BF+FC+CD+DP+P A＝BC+CD+DA＝×3＝．（3）存在．∵BF•FG＝CF•OF∴∵cos∠OFB＝，cos∠GFC＝∴∠OFB＝∠GFC∵∠OFB＝∠OFE∴∠OFE＝∠OFB＝∠GFC＝60°∴在Rt△OFB中，FE＝FB＝＝1∴在Rt△GFC中∵CG＝CF•tan∠GFC＝CF•tan60°＝（2﹣1）tan60°＝6﹣∴DG＝CG﹣CD＝6﹣3∴DP＝DG•tan∠PGD＝DG•tan30°＝2﹣3∴AP＝AD﹣DP＝2﹣（2﹣3）＝3．29．如图，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，延长BC至D，使CD＝BC，CE⊥AD 于E，BE交⊙O于F，AF交CE于P，求证：PE＝PC．【分析】连接OC，可证明PC为⊙O的切线，则PC2＝PF•P A，又由△PEF∽△P AE，可证明PC＝PE．【解答】证明：连接OC，则OC∥AD，可证明PC为⊙O的切线，∴PC2＝PF•P A，又∵CE⊥AD于E，AB为⊙O的直径，∴∠PEA＝∠PFE＝90°，又∵∠EPF＝∠EPF，∴△PEF∽△P AE，得PE2＝PF•P A，故PC2＝PE2．即PC＝PE．30．如图，M，N是以AB为直径的⊙O上的点，且＝，弦MN交AB于点C，BM平分∠ABD，MF⊥BD于点F．（1）求证：MF是⊙O的切线；（2）若CN＝3，BN＝4，求CM的长．【分析】（1）根据等腰三角形的性质和角平分线的定义证得∠OMB＝∠MBF，得出OM ∥BF，即可证得OM⊥MF，即可证得结论；（2）由勾股定理可求AB的长，可得AO，BO，ON的长，由勾股定理可求CO的长，通过证明△ACN∽△MCB，可得，即可求CM的长．【解答】证明：（1）连接OM，∵OM＝OB，∴∠OMB＝∠OBM，∵BM平分∠ABD，∴∠OBM＝∠MBF，∴∠OMB＝∠MBF，∴OM∥BF，∵MF⊥BD，∴OM⊥MF，即∠OMF＝90°，∴MF是⊙O的切线；（2）如图，连接AN，ON∵＝，∴AN＝BN＝4∵AB是直径，＝，∴∠ANB＝90°，ON⊥AB∴AB＝＝4∴AO＝BO＝ON＝2∴OC＝＝＝1∴AC＝2+1，BC＝2﹣1∵∠A＝∠NMB，∠ANC＝∠MBC ∴△ACN∽△MCB∴∴AC•BC＝CM•CN∴7＝3•CM∴CM＝。

浙教版九年级数学下第二章同步练习 2.1 直线与圆的位置关系

浙教版九年级数学下第二章直线与圆的位置关系同步练习2．1直线与圆的位置关系切线的判定第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共10小题，3*10=30）1. 下列直线中可以判定为圆的切线的是(A)A．与圆有且仅有一个公共点的直线B．经过半径外端的直线C．垂直于圆的半径的直线D．与圆心的距离等于直径的直线2.⊙O的半径是6，点O到直线a的距离为5，则直线a与⊙O的位置关系为（）A．相离B．相切C．相交D．内含3．如果一个圆的半径是8cm，圆心到一条直线的距离也是8cm，那么这条直线和这个圆的位置关系是()A．相交B．相切C．相离D．无法确定4. ⊙O的半径r＝5 cm，直线l到圆心O的距离d＝4，则l与⊙O的位置关系是()A．相离B．相切C．相交D．重合5．已知⊙O的半径为3，直线l上有一点P满足PO＝3，则直线l与⊙O的位置关系是() A．相切B．相离C．相离或相切D．相切或相交6. ⊙O的半径为R，直线l和⊙O有公共点，若圆心到直线l的距离是d，则d与R的大小关系是（）A．d＞R B．d＜R C．d≥R D．d≤R7．已知点P(3，4)，以点P为圆心，r为半径的圆P与坐标轴有四个交点，则r的取值范围是() A．r＞4 B．r＞4且r≠5 C．r＞3 D．r＞3且r≠5OP ，直线l与⊙O的位置关系是（）8. 已知⊙O的半径为5，点P在直线l上，且5A．相切B．相交C．相离D．相切或相交9．如图，以点O为圆心的两个同心圆，半径分别为5和3，若大圆的弦AB与小圆相交，则弦长AB 的取值范围是()A．8≤AB≤10B．AB≥8C．8＜AB≤10D．8＜AB＜1010. 若⊙O的半径为R，点O到直线l的距离为d，且d与R是方程x²-4x+m=0的两根，且直线l与⊙O相切，则m的值为（）A.1B.2C.3D.4第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共8小题，3*8=24）11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝5cm，以点C为圆心、6cm长为半径作圆，则圆与直线AB的位置关系是________．12. 已知O，圆心O到直线l的距离为1.4cm，则直线l与O的公共点的个数为．13．如图，已知∠AOB＝30°，C是射线OB上的一点，且OC＝4.若以C为圆心，r为半径的圆与射线OA有两个不同的交点，则r的取值范围是____________．14. 在平面直角坐标内，⊙P的圆心P的坐标为（8，0），半径是6，那么直线y=x与⊙P的位置关系是.15．如图，已知∠AOB=30°，M为OB边上一点，以M为圆心、2 cm为半径作⊙M．若点M在OB 边上运动，则当OM= cm时，⊙M与OA相切．16. 如图，P为正比例函数y＝32x图像上的一个动点，⊙P的半径为3，设点P的坐标为(x，y)．当⊙P与直线x＝2相交时x的取值范围为____________．17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，斜边AB＝8cm，AC＝4cm.以点C为圆心作圆，半径为______cm 时，AB与⊙C相切18.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4.若以A为圆心、R为半径所作的圆与线段BC只有一个公共点，则R的取值范围是.三．解答题（共7小题，46分）19.(6分) 如图，CB是⊙O的直径，P是CB延长线上一点，PB=2，PA切⊙O于A点，PA=4．求⊙O的半径．20．(6分) 如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB＝CD，且AB与小圆相切．求证：CD与小圆也相切．21. (6分)如图，已知等腰三角形的腰长为6 cm ，底边长4 cm ，以等腰三角形的顶角的顶点为圆心5 cm 为半径画圆，那么该圆与底边的位置关系是怎样的？22．(6分) 如图，正方形ABCD 中，点P 是对角线AC 上的任意一点（不包括端点），以P 为圆心的圆与AB 相切，求AD 与⊙P 的位置关系.23. (6分) 如图，某货船以24海里／时的速度将一批重要物资从A 处运往正东方向的M 处，在点A 处测得某岛C 在北偏东60的方向上．该货船航行30分钟后到达B 处，此时再测得该岛在北偏东30的方向上，已知在C 岛周围9海里的区域内有暗礁．若继续向正东方向航行，该货船有无触礁危险？试说明理由．CA24．(8分) 如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝－2x－8分别与x轴，y轴相交于A，B两点，点P(0，k)是y轴的负半轴上的一个动点，以点P为圆心，3为半径作⊙P，连结PA，若PA＝PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由．25. (8分) 如图，在平行四边形ABCD中，AB＝10，AD＝m，∠D＝60°，以AB为直径作⊙O.(1)求圆心O到CD的距离(用含m的代数式表示)；(2)当m取何值时，CD与⊙O相切？参考答案 1-5 BCBCD 6-10 DBDCD 11. 相交 12. 2 13. 2＜r≤4 14. 相交 15. 416. －1＜x ＜5 17. 2 3 18. 3≤R ≤419. 解：如图，连接OA ，∵PA 切⊙O 于A 点，∴OA ⊥PA ，设OA=x ，∴OP=x+2，在Rt △OPA 中：x 2+42=（x+2）2 ， ∴x=3 ∴⊙O 的半径为3．20. 证明：过点O 分别作AB ，CD 的垂线段OE ，OF.设小圆的半径为r.∵AB 与小圆相切，∴OE ＝r ，∵AB ＝CD ，且AB ，CD 为大圆的弦，∴OE ＝OF ，∴OF ＝r ，∴CD 与小圆也相切．21.解：如图，在等腰三角形ABC 中，作AD ⊥BC 于D ，则BD ＝CD ＝12BC ＝2，∴AD ＝AB 2－BD 2＝62－22＝42＞5，即d ＞r ，∴该圆与底边的位置关系是相离．22. 解：如图, 作PE ⊥AB 于E , PF ⊥AD 于F . 设⊙P 的半径为R .. ∵⊙P 与AB 相切, ∴PE=R .又∵ABCD 是正方形, ∴AC 平分∠DAB , ∴PE=PF , ∴PF=R . ∴AD 与⊙P 相切.23. 解：作CD ⊥AB 于D , 设CD=x .在Rt △ACD 中, ∠CAD =30°, ∴AD . 在Rt △BCD 中,∠BCD =30°, ∴BD x .∵AD-BD=AB =24×0.5=12海里, =12, 解得x =>9. ∴货船不会有触礁危险.24. 解：⊙P 与x 轴相切，理由：直线y ＝－2x －8与x 轴交于A (－4，0)，与y 轴交于B (0，－8)，∴OA ＝4，OB ＝8，由题意OP ＝－k ，∴PB ＝PA ＝8＋k ，在Rt △AOP 中，k 2＋42＝(8＋k )2，∴k ＝－3，∴OP 等于⊙P 的半径，∴⊙P 与x 轴相切25. 解：(1)作AH ⊥CD 于点H.因为∠D ＝60°，则∠DAH ＝30°，DH ＝AD 2＝m2，所以AH ＝AD 2－DH 2＝m 2－（m 2）2＝32m ，即圆心O 到CD 的距离为32m ； (2)当32m ＝5，即m ＝1033时，CD 与⊙O 相切.。

浙教版数学九年级下册2.1直线和圆的位置关系同步测试

浙教版数学九年级下册直线和圆的位置关系同步测试一、选择题（只有一个选项是正确的，请把它选出来）1.直线l不一定与⊙O相交的是（）（A）直线l与⊙O有两个公共点.（B）圆心O到直线l的距离为2，⊙O的半径为5，直线l与⊙O相交.（C）直线l经过⊙O上一点，直线l与⊙O相交.（D）直线l经过⊙O内一点，直线l与⊙O相交.2. 已知⊙O的半径为R，圆心O到直线l的距离为m，若直线l与⊙O没有公共点，则R与m的大小关系是（）（A）R＞m.（B）R＜m.（C）R=m.（D）R≥m.3.等腰三角形ABC的腰长为5，底边BC的长为6，以点A位圆心的圆与直线BC相切，则圆A的半径为（）（A）3. （B）4. （C）5. （D）6.4. 在公园的O处附近有E、F、G、H四棵树，位置如图1所示（图中小正方形的边长均相等）现计划修建一座以O为圆心，OA为半径的圆形广场，分别过E、F、G、H四棵树修建一条与OA平行的小路，则一定不经过圆形广场的小路是（）图 1（A）经过E的小路. （B）经过F的小路.（C）经过H的小路. （D）经过G的小路.二、填空题（答案要简洁）5. ⊙O的半径为R，圆心O到直线l的距离m=4，若11-3R＜3-R，则直线l与⊙O的位置关系是，此时直线与圆公共点.6.行驶在笔直公路上的汽车，车轮与公路的位置关系是 .7.已知直角三角形ABC中，斜边AB=8，∠A=30°，以B为圆心，4为半径作⊙B，则直线AC与⊙B的关系是 .8. 如图2，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=7，点D在边BC上，CD=3，⊙A的半径长为3，⊙D与⊙A相交，且点B在⊙D外，那么⊙D的半径长r的取值范围是 .图 2三、解答题9. 已知矩形ABCD的对角线AC,BD交于点O，AB=8,BC=2a，以点O位圆心，以R为半径作圆. （1）若⊙O与直线AD相切，则R是多少？此时直线BC与⊙O的位置如何？（2）若⊙O与直线AB相切，则R是多少？此时直线DC与⊙O的位置如何？（3）若⊙O与直线AD,直线AB都相切，求m的值？此时四边形ABCD的形状如何？10. A岛周围8海里内有暗礁，一艘轮船从B点出发自西向东航行，这时测得A在北偏东60°方向，轮船速度为48海里/小时，航行一刻钟后到达C处，这时测得A在北偏东30°方向，若轮船不改变航向，是否有触礁的危险？切线的判定与性质一、选择题（只有一个选项是正确的，请把它选出来）1.点A是直线a外部一点，B,C,D,E是直线a上的四点，且AB=6,AC=5,AD=4,AE=3,则下列说法中，正确的是（）（A）以A为圆心，AB为半径的圆一定与直线a相切.（B）以A为圆心，AC为半径的圆一定与直线a相切.（C）以A为圆心，AD为半径的圆一定与直线a相切.（D）以A为圆心，AＥ为半径的圆可能与直线a相切.2. 如图1所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，且AB=AD+BC，AB是⊙O的直径，则直线CD与⊙O的位置关系为（）（A）相离. （B）相切. （C）相交. （D）无法确定.3.已知直线AB是⊙O的切线，切点为A，若圆的半径为3，AB=4，则OB的长为（）（A）3. （B）4. （C）5. （D）6.4. 如图2，OC是等腰直角三角形OAB斜边AB上的高，以点O为圆心，以OC为半径的圆交OB于点D，DE⊥OB于点D，交AB于点E，下列说法中:①DE是圆的切线；②EC是圆的切线；③AB是圆的切线；④AC是圆的切线，正确的个数（）（A）１个. （B）２个. （C）３个. （D）４个.二、填空题（答案要简洁）5. Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径作圆，若圆C与直线AB相切，则r的值为_______．6. 如图３，PA是⊙O的切线，切点为A，PA=23，∠APO=30°，则⊙O的半径为．7. 如图４，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，∠ACB=40°，点P在边BC上，则∠PAB的度数可能为_____（写出一个符合条件的度数即可）．８.当宽为3cm的刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆的两个交点处的读数如图５所示（单位：cm），那么该圆的半径为 cm．三、解答题9. 如图６，ＡＢ是⊙Ｏ直径，Ｄ为⊙Ｏ上一点，ＡＴ平分∠ＢＡＤ交⊙Ｏ于点Ｔ，过Ｔ作ＡＤ的垂线交ＡＤ的延长线于点Ｃ．求证：ＣＴ为⊙Ｏ的切线．10. 如图７，点C是⊙O的直径AB延长线上的一点，且有BO=BD=BC．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若半径OB=2，求AD的长．探究题：如图8，在同一平面直角坐标系中有5个点：A（1，1），B（﹣3，﹣1），C（﹣3，1），D（﹣2，﹣2），E（0，﹣3）．（1）画出△ABC的外接圆⊙P，并指出点D与⊙P的位置关系；（2）若直线l经过点D（﹣2，﹣2），E（0，﹣3），判断直线l与⊙P的位置关系．参考答案：2版巩固练习模式：直线和圆的位置关系一、选择题1.（C）提示：经过圆上一点，可能是相切，也可能是相交.2. （B）提示：当d＞R时，直线与圆相离即没有公共点，所以m＞R.3. （B）提示：利用勾股定理求得点A到BC的距离即底边BC上的高，这个高就是圆的半径. 4. （C）提示：判断这四条直线与圆的位置关系，直线与圆相离的就是答案.二、填空题（答案要简洁）5.相离，无.提示：根据不等式得R＞4.6.相切.提示：利用定义判定.7.相切.提示：根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，得BC=4，根据d=r判定.8. 2＜r＜4提示：连接AD，因为AC=4，CD=3，∠C=90°，所以AD=5，因为⊙A的半径长为3，⊙D与⊙A相交，所以r＞5﹣3=2，因为BC=7，所以BD=4，因为点B在⊙D外，所以r＜4，所以⊙D的半径长r的取值范围是2＜r＜4.三、解答题9.解：（1）因为O到直线AD的距离为d=4，且⊙O与直线AD相切,所以R=d=4；因为O到直线BC的距离为d=4，满足R=d，所以直线BC与⊙O相切；（2）因为O到直线AB的距离为d=m，且⊙O与直线AB相切,所以R=d=m；因为O到直线DC的距离为d=m，满足R=d，所以直线DC与⊙O相切；（3）因为⊙O与直线AD相切，直线AB都相切，所以R=4=m.此时四边形ABCD是正方形.10.解：画示意图如下，过点A作AD⊥BC，垂足为D，则∠ABC=30°, ∠ACD=60°, 所以∠BAC=30°,所以CB=CA.因为CB=48×14=12，所以CA=12.所以AD=ACsin60°=12≈10.2＞8, 所以轮船没有触礁的危险.切线的判定与性质一、选择题1.（D ）提示：根据垂线段最短，判定AE 最有可能是垂线段，也就是说AE 最有可能是点到直线的距离.2. （B ）相切.提示：过点O 作OE ⊥CD ，垂足是E ，所以OE ∥BC ，所以OE 是梯形的中位线，所以OE=21（AD+BC ），所以21 AB=21（AD+BC ）,即OA=OE,所以直线与圆相切.3.（C ）5.提示：根据切线的性质，可判定三角形AOB 是直角三角形，勾股定理求解即可.4. （D ）提示：根据经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线，可以判定４种说法都是正确的．二、填空题（答案要简洁）5. 2.4cm ．提示：根据切线的性质，得斜边上的高就是圆的半径，由勾股定理，得AB=5；由AC•BC=AB•r，得r=2.4cm ．6. 2提示：在直角三角形POA 中，PA=23，∠APO=30°，所以tan30°=PA AO ，所以3233AO =，所以AO=2．7. ５０°提示：∠PAB ≤∠ＢＡＣ，因为∠ＡＢＣ＝９０°，∠ACB=40°，所以∠ＡＢＣ＝５０°，所以０°≤∠PAB ≤５０°，所以本题的答案有无数个．８. 625 提示：设切点为Ｃ，连接过切点的半径ＯＣ，则ＯＣ⊥ＣＥ，设圆的半径为Ｒ，则ＯＡ＝ＯＣ＝Ｒ，ＯＤ＝Ｒ－３，则2224)3(+-=R R 解得：Ｒ＝625．三、解答题9.证明：因为ＴＣ⊥ＡＤ，所以∠ＡＣＴ＝９０°．因为ＡＴ平分∠ＢＡＤ，所以∠ＣＡＴ＝∠ＯＡＴ．因为ＯＡ＝ＯＴ，所以∠ＯＡＴ＝∠ＯＴＡ，所以∠ＣＡＴ＝∠ＯＴＡ，所以ＯＴ∥ＡＣ，所以∠ＡＣＴ＋∠ＣＴＯ＝１８０°，因为∠ＡＣＴ＝９０°，所以∠ＣＴＯ＝９０°，即ＴＯ⊥ＴＣ，所以ＣＴ为⊙Ｏ的切线．10.（1）证明：连结OD ，如图，因为BO=BD=BC ，所以BD 为△ODC 的中线，且DB=OC ，所以∠ODC=90°，所以OD⊥CD，而OD 为⊙O 的半径，所以CD 是⊙O 的切线；（2）解：因为AB 为⊙O 的直径，所以∠BDA=90°，因为BO=BD=2，所以AB=2BD=4，所以222242AB BD -=-3解：（1）如图所示：因为A（1，1），C（﹣3，1）的纵坐标相同，所以AC∥x轴，因为B（﹣3，﹣1），C（﹣3，1）的横坐标相同，所以BC∥y轴，所以三角形ABC是直角三角形，所以外接圆的圆心为AB的中点，所以中点的横坐标为：［（1+（-3）］÷2=-1，纵坐标为：［（1+（-1）］÷2=0，所以外心的坐标为（-1，0），2221+52221+5所以点D在⊙P上；（2）如图，根据勾股定理，得：2PD =2221+=5, 2DE =2221+=5, 2PE =2231+=10, 所以2PD +2DE =2PE ，所以∠PDE=90°，所以PD⊥PE，因为点D在⊙P上，所以直线l 与⊙P相切．浙教版数学九年级下册2.1直线和圆的位置关系同步测试11 / 11。

2.1直线和圆的位置关系-20春浙教版九年级数学下册同步测试

2.1__直线与圆的位置关系__第1课时直线与圆的位置关系[学生用书B62]1．[2019春·萧山区月考]点P是半径为10的⊙O所在平面上的一点，且点P到点O的距离为8.则过点P的直线l与⊙O的位置关系为(A)A．相交B．相切C．相离D．相交、相切、相离都有可能2．已知⊙O的半径为5 cm，圆心O到直线l的距离为5 cm，则直线l与⊙O的位置关系为(B)A．相交B．相切C．相离D．无法确定3．已知⊙O的半径为3 cm，点O到直线l的距离为4 cm，则l与⊙O的位置关系是(A)A．相离B．相切C．相交D．相切或相交4．[2018·义乌模拟]直线l上的一点到圆心的距离等于半径，则直线与圆的位置关系一定是(D)A．相切B．相离C．相交D．相切或相交5．如图2－1－1，已知点A，B在半径为1的⊙O上，∠AOB＝60°，延长OB 至点C，过点C作直线OA的垂线记为l，则下列说法正确的是(D)图2－1－1A．当BC等于0.5时，l与⊙O相离B．当BC等于2时，l与⊙O相切C．当BC等于1时，l与⊙O相交D．当BC不为1时，l与⊙O不相切6．在平面直角坐标系xOy中，以点(－3，4)为圆心，4为半径的圆(C) A．与x轴相交，与y轴相切B．与x轴相离，与y轴相交C．与x轴相切，与y轴相交D．与x轴相切，与y轴相离【解析】圆心到x轴的距离是4，到y轴的距离是3，∵4＝r，3＜r，∴圆与x轴相切，与y轴相交．故选C.7．如图2－1－2，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，以A为圆心，以3 cm为半径作⊙A，当AB＝__6__cm时，BC与⊙A相切．图2－1－2 第7题答图【解析】如答图，过点A 作AD ⊥BC 于点D . ∵AB ＝AC ，∠B ＝30°，∴AB ＝2AD .又∵BC 与⊙A 相切，∴AD 就是⊙A 的半径， ∴AD ＝3 cm ，则AB ＝2AD ＝6(cm)．8．如图2－1－3，在Rt △ABC 中，AB ＝10 cm ，BC ＝6 cm ，AC ＝8 cm ，问以C 为圆心，r 为半径的⊙C 与直线AB 有怎样的位置关系： (1)r ＝4 cm ； (2)r ＝4.8 cm ； (3)r ＝6 cm.图2－1－3 第8题答图解：如答图，过点C 作CD ⊥AB 于点D . 则CD ＝AC ·BCAB ＝4.8(cm)．(1)当r＝4 cm时，∵CD＞r，∴⊙C与直线AB相离；(2)当r＝4.8 cm时，∵CD＝r，∴⊙C与直线AB相切；(3)当r＝6 cm时，∵CD＜r，∴⊙C与直线AB相交．9．如图2－1－4，正方形ABCD的边长为1，以A为圆心，1为半径的圆与直线BC的位置关系怎样？以A为圆心，半径为多少时的圆与直线BD相切？图2－1－4解：∵d＝AB＝1＝r，∴⊙A与直线BC相切．∵AO⊥BD，且AO＝2 2，∴以A为圆心，半径为22时的⊙A与直线BD相切．10．如图2－1－5，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为(－3，0)，将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为( B)图2－1－5A．1 B．1或5C．3 D．511．如图2－1－6，已知⊙O的圆心是数轴原点，半径为1，∠AOB＝45°，点P 在数轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设P点代表的实数为x，则x的取值范围是(B)A．－1≤x≤1 B．－2≤x≤2C．0≤x≤ 2 D．x＞2图2－1－6 第11题答图【解析】如答图，当点P在点O右侧时，即P′C与圆相切时，切点为C，∴OC⊥P′C，∵CO＝1，∠AOB＝45°，P′C∥OA，∴△OCP′为等腰直角三角形，OP′＝2，∴过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，即0≤x≤2，同理，当点P在点O左侧时，即P″D与圆相切时，切点为D，－2≤x≤0，∴－2≤x≤ 2.故选B.12．如图2－1－7，已知⊙P的半径为2，圆心P在抛物线y＝12x2－1上运动，当⊙P与x轴相切时，圆心P的坐标为．图2－1－7【解析】依题意，可设P(x，2)或P(x，－2)．①当P的坐标是(x，2)时，将其代入y＝12x2－1，得2＝12x2－1，解得x＝±6，此时P(6，2)或(－6，2)；②当P的坐标是(x，－2)时，将其代入y＝12x2－1，得－2＝12x2－1，即－1＝12x2，无解．综上所述，符合条件的点P的坐标是(6，2)或(－6，2)．13．如图2－1－8，给定一个半径长为2的圆，圆心O到水平直线l的距离为d，即OM＝d.我们把圆上到直线l的距离等于1的点的个数记为m.如d＝0时，l为经过圆心O的一条直线，此时圆上有四个到直线l的距离等于1的点，即m＝4，由此可知：图2－1－8(1)当d＝3时，m＝__1__；(2)当m＝2时，d的取值范围是__1＜d＜3__．【解析】(1)当d＝3时，∵3＞2，即d＞r且d＝r＋1，∴直线与圆相离，则m＝1；(2)①当0＜d＜1时，m＝4；②当d＝1时，m＝3；③当d＝3时，m＝1.故当m＝2时，1＜d＜3. 14．阅读下面材料．在数学课上，老师请同学思考如下问题：已知：如图2－1－9①，在△ABC中，∠A＝90°.图2－1－9①求作：⊙P，使得点P在边AC上，且⊙P与AB，BC都相切．小轩的主要作法如下：如图2－1－9②，图2－1－9②(1)作∠ABC的平分线BF，与AC交于点P；(2)以P为圆心，AP长为半径作⊙P，则⊙P即为所求．老师说：“小轩的作法正确．”请回答：⊙P与BC相切的依据是__角平分线上的点到角两边的距离相等；若圆心到直线的距离等于半径，则这条直线为圆的切线__．15．如图2－1－10，有两条公路OM，ON相交成30°角，沿公路OM方向离O 点80 m处有一所学校A，当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心、50 m长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大，若已知重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为18 km/h.(1)求对学校A的噪声影响最大时，卡车P与学校A的距离；(2)求卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间．图2－1－10 第15题答图解：(1)如答图，过点A作AB⊥ON于点B.∵∠O＝30°，∴AB＝12OA＝40(m)．答：对学校A的噪声影响最大时，卡车P与学校A的距离为40 m；(2)以A为圆心、50 m长为半径作⊙A，交ON于E，F两点，分别连结AE，AF，则AE＝AF＝50 m.∴BE＝BF＝502－402＝30(m)．∴EF＝60 m.18 km/h＝5 m/s，60÷5＝12(s)．答：卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间为12 s.第2课时切线的判定[学生用书A64]1．下列直线中，一定是圆的切线的是(C)A．与圆有公共点的直线B．垂直于圆的半径的直线C．与圆心的距离等于半径的直线D．经过圆的直径一端的直线2．如图2－1－11，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，要使DE是⊙O的切线，还需补充一个条件，则补充的条件不正确的是(A)图2－1－11A．DE＝DO B．AB＝ACC．CD＝DB D．AC∥OD3．如图2－1－12，点A，B，D在⊙O上，∠A＝25°，OD的延长线交直线BC 于点C，且∠OCB＝40°，则直线BC与⊙O的位置关系为__相切__．图2－1－12【解析】∵∠BOC＝2∠A＝50°，∠OCB＝40°，∴在△OBC中，∠OBC＝180°－50°－40°＝90°.∵点B在⊙O上，∴直线BC与⊙O相切．4．[2018·邵阳]如图2－1－13，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，过点B 作BD⊥CD，垂足为点D，连结BC，BC平分∠ABD.求证：CD为⊙O的切线．图2－1－13证明：∵BC平分∠ABD，∴∠OBC＝∠DBC，∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠DBC＝∠OCB，∴OC∥BD，∵BD⊥CD，∴OC⊥CD，又∵OC为⊙O的半径，∴CD为⊙O的切线．5．[2018·南充节选]如图2－1－14，C是⊙O上一点，点P在直径AB的延长线上，⊙O的半径为3，PB＝2，PC＝4.求证：PC是⊙O的切线．图2－1－14 第5题答图证明：如答图，连结OC，∵⊙O的半径为3，∴OC＝OB＝3，又∵BP＝2，∴OP＝5，在△OCP中，OC2＋PC2＝32＋42＝52＝OP2，∴△OCP为直角三角形，∠OCP＝90°，∴OC⊥PC，故PC为⊙O的切线．6．[2019·陇南]如图2－1－15，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D在BC边上，⊙D经过点A和点B且与BC边相交于点E.(1)求证：AC是⊙D的切线；(2)若CE＝23，求⊙D的半径．图2－1－15 第6题答图解：(1)证明：如答图，连结AD，∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，∵AD＝BD，∴∠BAD＝∠B＝30°，∴∠DAC＝120°－30°＝90°，∴DA⊥AC，∴AC是⊙D的切线；(2)如答图，连结AE，∵AD＝DE，∠ADE＝2∠B＝60°，∴△ADE是等边三角形，∴AE＝DE，∠AED＝60°，∴∠EAC＝∠AED－∠C＝30°，∴∠EAC＝∠C，∴AE＝CE＝23，∴⊙D的半径AD＝2 3.7．如图2－1－16，△ABC是⊙O的内接三角形，下列选项中，能使过点A的直线EF与⊙O相切于点A的条件是(A)图2－1－16A．∠EAB＝∠C B．∠B＝90°C．EF⊥AC D．AC是⊙O直径8．已知△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF.①②图2－1－17(1)如图2－1－17①，若AB为⊙O的直径，要使EF成为⊙O的切线，还需要添加的一个条件是(要求写出两种情况)：__∠BAE＝90°__或__∠CAE＝∠B__；(2)如图②，如果AB是不过圆心O的弦，且∠CAE＝∠B，那么EF是⊙O的切线吗？试证明你的判断．解：(2)EF是⊙O的切线．第8题答图证明：如答图，连结AO并延长交⊙O于点M，连结MC.则⊙ACM＝90°，⊙M＝⊙B.⊙⊙M＋⊙CAM＝⊙B＋⊙CAM＝90°.⊙⊙CAE＝⊙B，⊙⊙CAE＋⊙CAM＝90°.⊙AE⊙AM，⊙EF是⊙O的切线．9．[2019·常德]如图2－1－18，⊙O与△ABC的AC边相切于点C，与AB，BC 边分别交于点D，E，DE∥OA，CE是⊙O的直径．图2－1－18(1)求证：AB是⊙O的切线；(2)若BD＝4，CE＝6，求AC的长．第9题答图解：(1)证明：如答图，连结OD，∵DE∥OA，∴∠AOC＝∠OED，∠AOD＝∠ODE，∵OD＝OE，∴∠OED＝∠ODE，∴∠AOC＝∠AOD，又∵OA＝OA，OD＝OC，∴△AOC ≌△AOD (SAS )，∴∠ADO ＝∠ACO .∵CE 是⊙O 的直径，AC 为⊙O 的切线，∴OC ⊥AC ，∴∠OCA ＝90°，∴∠ADO ＝90°，∴OD ⊥AB ，∵OD 为⊙O 的半径，∴AB 是⊙O 的切线；(2)∵CE ＝6，∴OD ＝OC ＝3，∵∠BDO ＝90°，∴BO 2＝BD 2＋OD 2，∵BD ＝4，∴OB ＝42＋32＝5，∴BC ＝8， ∵∠BDO ＝∠OCA ＝90°，∠B ＝∠B ，∴△BDO ∽△BCA ，∴BD BC ＝OD AC ，∴48＝3AC ，∴AC ＝6.10．[2019·淮安]如图2－1－19，AB 是⊙O 的直径，AC 与⊙O 交于点F ，弦AD 平分∠BAC ，DE ⊥AC ，垂足为E .(1)试判断直线DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；(2)若⊙O 的半径为2，∠BAC ＝60°，求线段EF 的长．图2－1－19 第10题答图解：(1)直线DE 与⊙O 相切．理由如下：如答图，连结OD .∵AD 平分∠BAC ，∴∠OAD ＝∠CAD ，∵OA ＝OD ，∴∠OAD ＝∠ODA ，∴∠ODA ＝∠CAD ，∴OD ∥AC ，∵DE ⊥AC ，∴DE ⊥OD ，∴DE 是⊙O 的切线；(2)如答图，过点O 作OG ⊥AF 于G ，∴AF ＝2AG ，∵∠BAC ＝60°，OA ＝2，∴AG ＝12OA ＝1，∴AF ＝2，∴AF ＝OD ，又OD ∥AC ，∴四边形AODF 是平行四边形，∴DF ∥OA ，DF ＝OA ＝2，∴∠EFD ＝∠BAC ＝60°，∴EF ＝12DF ＝1.11．[2019·衢州]如图2－1－20，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，以AC 为直径作⊙O 交BC 于点D ，过点D 作DE ⊥AB ，垂足为E .(1)求证：DE 是⊙O 的切线；(2)若DE ＝3，∠C ＝30°，求AD ︵的长．图2－1－20 第11题答图解：(1)证明：如答图，连结OD ，∵OC ＝OD ，AB ＝AC ，∴∠ODC ＝∠C ，∠C ＝∠B ，∴∠ODC ＝∠B ，∵DE ⊥AB ，∴∠BDE ＋∠B ＝90°，∴∠BDE ＋∠ODC ＝90°，∴∠ODE ＝90°，∴DE 为⊙O 的切线；(2)如答图，连结AD ，∵AC 为⊙O 的直径，∴∠ADC ＝90°，∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ＝30°，BD ＝CD ，∴∠AOD ＝60°，∵DE ＝3，∴BD ＝CD ＝23，∴OC ＝2，∴AD ︵＝60180π×2＝23π.第3课时切线的性质[学生用书B64]1．下列结论中，正确的是(D)A．圆的切线必垂直于半径B．垂直于切线的直线必经过圆心C．垂直于切线的直线必经过切点D．经过圆心、切点的直线必垂直于切线2．[2019·无锡]如图2－1－21，P A是⊙O的切线，切点为A，PO的延长线交⊙O 于点B，若∠P＝40°，则∠B的度数为(B)图2－1－21A．20° B．25° C．40° D．50°第2题答图【解析】如答图，连结AO，∵P A是⊙O的切线，切点为A，∴OA⊥AP，∴∠OAP＝90°，∵∠APB＝40°，∴∠AOP＝50°，∴∠B＝12∠AOP＝25°.故选B.3．[2019·嘉兴]如图2－1－22，已知⊙O上三点A，B，C，半径OC＝1，∠ABC ＝30°，切线P A交OC延长线于点P，则P A的长为(B)图2－1－22A．2 B. 3 C. 2 D.1 2第3题答图【解析】如答图，连结OA，∵∠ABC＝30°，∴∠AOC＝60°，又∵P A为切线，∴∠OAP＝90°，∵OC＝OA＝1，∴P A＝ 3.4．[2019·台州]如图2－1－23，等边三角形ABC的边长为8，以BC上一点O为圆心的圆分别与边AB，AC相切，则⊙O的半径为(A)A．2 3 B．3C．4 D．4－3第4题答图【解析】如答图，设⊙O与AC的切点为E，连结AO，OE，∵等边三角形ABC 的边长为8，∴AC＝8，∠C＝∠BAC＝60°，∵⊙O分别与边AB，AC相切，∴∠BAO＝∠CAO＝12∠BAC＝30°，∠AOC＝90°，∴OC＝12AC＝4，∵OE⊥AC，∴OE＝32OC＝23，∴⊙O的半径为2 3.5．如图2－1－24，以O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，OA交小圆于点D.若OD＝2，tan∠OAB＝12，则AB的长是(C)A．4 B．23C．8 D．43【解析】∵AC是小圆的切线，∴OC⊥AB，∵tan∠OAB＝12，∴AC＝2OC＝2OD＝2×2＝4，由垂径定理，得AB＝8.故选C.6．[2018·台州]如图2－1－25，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，若∠A＝32°，则∠D＝__26__度．图2－1－25 第6题答图【解析】如答图所示，连结OC，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠A＝32°，∴∠COB＝2∠A＝64°，∵DC是⊙O的切线，∴∠OCD＝90°，在Rt△OCD中，根据“直角三角形的两个锐角互余”，可得∠D＝90°－∠DOC ＝90°－64°＝26°.7．[2018·嘉兴]如图2－1－26，量角器的0度刻度线为AB，将一矩形直尺与量角器部分重叠，使直尺一边与量角器相切于点C，直尺另一边交量角器于点A，D，量得AD＝10 cm，点D在量角器上的读数为120°，则该直尺的宽度为3__cm.图2－1－26 第7题答图【解析】如答图，∵AD＝10，∠AOD＝120°，OA＝OD，∴∠DAO＝30°，设OE＝x，则OA＝2x，∵OE⊥AD，∴AE＝DE＝5，∴cos30°＝52x，解得x＝533，∴CE＝OC－OE＝53 3.8．[2018·长沙]如图2－1－27，点A，B，D在⊙O上，∠A＝20°，BC是⊙O的切线，B为切点，OD的延长线交BC于点C，则∠OCB＝__50__度．图2－1－279．[2018·安徽]如图2－1－28，菱形ABOC的AB，AC分别与⊙O相切于点D，E.若点D是AB的中点，则∠DOE＝__60°__．图2－1－28第9题答图【解析】如答图，连结OA，∵四边形ABOC是菱形，∴BA＝BO，∵AB与⊙O相切于点D，∴OD⊥AB，∵点D是AB的中点，∴OA＝OB，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOD＝∠DOB＝30°，同理，∠AOE＝30°，∴∠DOE ＝∠AOD ＋∠AOE ＝60°.10．[2018·长春]如图2－1－29，AB 是⊙O 的直径，AC 切⊙O 于点A ，BC 交⊙O 于点D .已知⊙O 的半径为6，∠C ＝ 40°.图2－1－29(1)求∠B 的度数；(2)求AD ︵的长．(结果保留π)解：(1)∵AC 是⊙O 的切线，AB 是⊙O 的直径，∴AB ⊥AC ，即∠BAC ＝90°，∴∠B ＋∠C ＝90°，∵∠C ＝40°，∴∠B ＝90°－∠C ＝90°－40°＝50°；(2)如答图，连结OD ，∵∠B ＝50°，∴∠AOD ＝100°，∴AD ︵＝n πr 180＝100π×6180＝10π3.第10题答图11．[2019·绍兴]在屏幕上有如下内容：如图2－1－30，△ABC内接于⊙O，直径AB的长为2，过点C的切线交AB的延长线于点D.张老师要求添加条件后，编制一道题目，并解答．(1)在屏幕内容中添加条件∠D＝30°，求AD的长．请你解答；(2)以下是小明、小聪的对话：小明：我加的条件是BD＝1，就可以求出AD的长．小聪：你这样太简单了，我加的是∠A＝30°，连结OC，就可以证明△ACB与△DCO 全等．参考此对话，在屏幕内容中添加条件，编制一道题目(可以添线、添字母)，并解答．图2－1－30 第11题答图解：(1)如答图，连结OC，∵CD与⊙O相切，∴∠OCD＝90°，又∵∠D＝30°，∴OD＝2OC＝2，∴AD＝OA＋OD＝3；(2)一类：通过几何、代数方法的综合运用，解得所编制题目的答案．如：加条件CP是直径，连结PD，设BD＝x，PD＝y，求y关于x的关系式．解答略．二类：通过三角形全等、三角形相似，解得所编制题目的答案．如：加条件∠ABC＝60°，求证：△ACB≌△DCO.解答略．三类：通过线段、角度等的加减，解得所编制题目的答案．如：加条件∠ABC＝60°，求BC的长．解答略．12．[2018·济宁]在一次数学活动课中，某数学小组探究求环形花坛(如图2－1－31①所示)面积的方法．现有以下工具：①卷尺；②直棒EF；③T型尺(CD所在的直线垂直平分线段AB)．(1)在图①中，请你画出用T型尺找大圆圆心的示意图(保留画图痕迹，不写画法)；(2)如图②，小华说：“我只用一根直棒和一个卷尺就可以求出环形花坛的面积，具体做法如下：将直棒放置到与小圆相切，用卷尺量出此时直棒与大圆两交点M，N之间的距离，就可求出环形花坛的面积．”如果测得MN＝10 m，请你求出这个环形花坛的面积．图2－1－31解：(1)如答图①，点O即为所求；第12题答图(2)如答图⊙，设切点为C，连结OM，OC.⊙MN是切线，⊙OC⊙MN，⊙CM＝CN＝5 m，⊙OM2－OC2＝CM2＝25，⊙S圆环＝π·OM2－π·OC2＝25π(m2)．13．[2018·遂宁]如图2－1－32，过⊙O外一点P作⊙O的切线P A切⊙O于点A，连结PO 并延长，与⊙O 交于C ，D 两点，M 是半圆CD 的中点，连结AM 交CD 于点N ，连结AC ，CM .(1)求证：CM 2＝MN ·MA ；(2)若∠P ＝30°，PC ＝2，求CM 的长．图2－1－32 第13题答图解：(1)证明：∵在⊙O 中，M 点是半圆CD 的中点，∴∠CAM ＝∠DCM ，又∵∠M 是公共角，∴△CMN ∽△AMC ，∴CM AM ＝MN MC ，∴CM 2＝MN ·MA ；(2)如答图，连结OA ，DM ，∵P A 是⊙O 的切线，∴∠P AO ＝90°，又∵∠P ＝30°，∴OA ＝12PO ＝12(PC ＋CO )，∵PC ＝2，∴r ＝12(2＋r )，解得r ＝2，又∵CD 是直径，∴∠CMD ＝90°，∵M 点是半圆CD 的中点，∴CM ＝DM ，∴△CMD 是等腰直角三角形，∴在Rt △CMD 中，由勾股定理得CM 2＋DM 2＝CD 2，∴2CM 2＝(2r )2＝16， ∴CM 2＝8，∴CM ＝2 2.14．[2018·随州]如图2－1－33，AB 是⊙O 的直径，点C 为⊙O 上一点，CN 为⊙O 的切线，OM ⊥AB 于点O ，分别交AC ，CN 于D ，M 两点．(1)求证：MD ＝MC ；(2)若⊙O 的半径为5，AC ＝45，求MC 的长．图2－1－33 第14题答图解：(1)证明：如答图，连结OC ，∴OC ⊥CM ，∴∠OCA ＋∠MCD ＝90°，∵OM ⊥AB ，∴∠OAC ＋∠ODA ＝90°，∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝∠OCA ，∴∠MCD ＝∠ODA ，又∵∠ODA ＝∠MDC ，∴∠MCD ＝∠MDC .∴MD ＝MC ；(2)依题意可知AB ＝5×2＝10，AC ＝45， ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴BC ＝102－（45）2＝25， ∵∠AOD ＝∠ACB ，∠A ＝∠A ，∴△AOD ∽△ACB ，∴OD BC ＝AO AC ，即OD 25＝545，得OD ＝52. 设MC ＝MD ＝x ，在Rt △OCM 中，由勾股定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋522＝x 2＋52，154，即MC＝15 4.解得x＝。