§3谓词演算的形式证明
谓词演算推证
2.5 谓词逻辑推理理论谓词演算推证的基本思路是将量词消去，然后用类似命题演算推证法证明。
2.5.1 谓词演算推证谓词演算推证也是由三个要素组成：推理根据、推理规则和证明方法。
推理根据：一方面命题演算推证中命题定律和推理定律的代换实例可以作为谓词演算推证的推理依据；一方面谓词演算的基本逻辑等价式和逻辑蕴涵式：量词否定逻辑等价式量词辖域的收缩与扩张逻辑等价式量词分配逻辑等价式具有两个量词的逻辑等价式量词与联结词的逻辑蕴涵式具有两个量词的逻辑蕴涵式2.5.1 谓词演算推证证明方法：直接证法间接证明方法反证法附加前提证法2.5.1 谓词演算推证推理规则：P规则T规则CP规则消去和添加量词的规则2.5.1 谓词演算推证1）US 规则（全称指定规则）这里P 是谓词，而c 是个体域中某个任意的个体。
例如，设个体域为全体偶数的集合，P(x)表示“x 是整数”，则∀xP(x)表示“所有的偶数都是整数”，那么根据全称指定规则有P(6)，即“6是整数”。
全称指定规则在使用时要求x 是P(x)中自由出现的个体变元。
该规则使用时还可以有以下形式：()()c Ρx x Ρ∴∀()()y Ρx Ρ∴∀x 这里y 是任意的不在P(x)中约束出现的个体变元。
注意：2.5.1 谓词演算推证2）UG 规则（全称推广规则）设E 是指定的个体域，若对于E 中的任意个体a ，都有P(a)成立，才能应用该全称推广规则。
例如，设个体域是全体人类，P(x)表示“x 是要死的”。
显然，对于任意一个人a ，P(a)都成立，即任何人都是要死的。
则应用全称推广规则有∀xP(x)成立。
全称推广规则在使用时要求y 不在P(x)中约束出现。
注意：)()(y yP x P ∀∴2.5.1 谓词演算推证3）ES 规则（存在指定规则）这里c 是指定个体域中的某一个个体。
但需注意的是，应用存在指定规则时，指定的个体c 不是任意的。
注意：存在指定规则在使用时要求：（1）c 是使P(c)为真的指定个体域中的某一个个体。
离散数学第三章 谓词演算基础-唯一性量词与摹状词
唯一性量词 ！
！X 表示“只有一个X”、“恰好有一个X” 。 ！x(x)表示恰好有一个x使得(x)为真。 等价公式： ！x(x)=x((x)y(xy(y)))
谓词P(x)是指个体x所具有的性质， 摹状词是指具有性质P的那个个体x。
摹状词 (指导变元、作用域)
x(x)——使得(x)成立的那个惟一的个体， 其中称为摹状词， x称为摹状词的指导变元， (x)称为摹状词的作用域。 注意 摹状词的作用域与唯一性量词的作用域 均为谓词演算公式，但摹状词的值为个 体，而唯一性量词的值为真或假，且要 使用摹状词必须满足存在唯一性。
这里, 是一个谓词.
例(p37) 并非读书最多的人最有知识
解：设 A(e)表示“e为人”； B(e1，e2)表示e1比e2读书多； C(e1，e2)表示e1比e2有知识。 则“读书最多的人”译为： xy(A(x)y((A(y)yx)B(x，y))) 把它记为u，故原句译为： t((A(t)tu)C(u，t))
第三章 谓词演算基础
3.1 谓词与个体 3.2 函数与量词 3.3 自由变元和约束变元 3.4 永真性和可满足性 3.5 唯一性量词与摹状词 3.5.1 唯一性量词 3.5.2 摹状词 第四章 谓词演算的推理理论
第三章 谓词演算基础
3.1 谓词与个体 3.2 函数与量词 3.3 自由变元和约束变元 3.4 永真性和可满足性 3.5 唯一性量词与摹状词 3.5.1 唯一性量词 3.5.2 摹状词
摹状词
摹状词——描述特定个体的短语（利用个体的 特征性质来描述特定的个体）， 比如： ◇ “纸的发明者”， ◇ “上帝的创造者”等。
谓词逻辑的推理规则和证明方法
谓词逻辑的推理规则和证明方法谓词逻辑是一种用于描述命题关系以及推理过程的数学逻辑系统。
在谓词逻辑中，我们使用谓词来表示性质或关系，通过逻辑连接词进行命题的组合和推理。
本文将介绍谓词逻辑中常用的推理规则和证明方法。
一、谓词逻辑的基本符号与概念在谓词逻辑中，我们使用以下基本符号：1. 命题变量：用大写字母（如P，Q，R）表示命题变量，表示一个命题。
2. 常量：用小写字母（如a，b，c）表示常量，表示一个具体的个体。
3. 谓词：用小写字母或小写字母加括号（如P(x)，Q(y)）表示谓词，表示一个性质或关系。
4. 量词：∀表示全称量词（对于所有的），∃表示存在量词（存在一个），用于描述一组对象。
在谓词逻辑中，我们还会用到以下概念：1. 公式：一个命题是谓词逻辑中的公式。
2. 全称量化：∀xP(x)表示谓词P(x)对于所有的x成立。
3. 存在量化：∃xP(x)表示谓词P(x)存在一个x使得成立。
二、推理规则在谓词逻辑中，我们常用以下推理规则进行逻辑推理：1. 求取命题的否定：将命题的否定写为¬P(x)，表示该命题不成立。
2. 逻辑与的消除：若已知P(x)∧Q(x)，则可以得到P(x)和Q(x)。
3. 逻辑或的消除：若已知P(x)∨Q(x)，则可以得到P(x)或Q(x)。
4. 蕴含的引入：若已知P(x)成立，则P(x)→Q(x)也成立。
5. 蕴含的消除：若已知P(x)→Q(x)和P(x)，则可以得到Q(x)。
6. 等价的引入：若已知P(x)↔Q(x)成立，则P(x)和Q(x)等价。
7. 等价的消除：若已知P(x)↔Q(x)和P(x)，则可以得到Q(x)。
三、证明方法在谓词逻辑中，我们可以使用以下证明方法进行推理证明：1. 直接证明：假设命题P(x)为真，通过推理规则逐步推导出Q(x)为真，从而得到P(x)→Q(x)。
2. 反证法：假设命题P(x)为假，通过推理规则逐步推导出Q(x)为假，从而得到¬P(x)→¬Q(x)。
与谓词演算公式
与谓词演算公式
谓词演算是数理逻辑中的一种推理方法，用于描述和操作命题。
在谓词演算中，我们使用量词、谓词和变量来构造公式。
一个谓词演算公式包括以下部分：
1. 量词：谓词演算中有两种量词，即全称量词和存在量词。
全
称量词使用符号∀表示，表示公式对于所有的变量都成立。
存在量
词使用符号∃表示，表示存在至少一个使公式成立的变量。
2. 谓词：谓词是描述一个特定属性的函数，用于判断命题的真假。
谓词通常带有变量，用于在特定情况下对命题进行判断。
3. 变量：变量是谓词中的未知数，代表具体对象。
变量可以有
不同的取值范围，用于对命题中的不确定部分进行具体化。
4. 逻辑连接词：谓词演算中常用的逻辑连接词有与（∧）、或（∨）、非（¬）等。
逻辑连接词用于组合多个子公式形成复合公式。
一个简单的谓词演算公式示例是：
∀x (P(x) → Q(x))
其中，P(x) 和 Q(x) 是谓词，x 是变量，∀是全称量词，→
是逻辑连接词。
这个公式表示对于任意一个 x，如果 P(x) 成立，则
Q(x) 也成立。
谓词演算公式用于数理逻辑的推理和证明过程，有助于分析问题、描述特定状况并得出结论。
在谓词演算中，公式之间的转换和推理常
常使用规则和定理进行，以验证命题的真假。
谓词逻辑 有效式证明
谓词逻辑有效式证明引言谓词逻辑是一种用于推理和论证的数学形式化语言。
谓词逻辑有效式证明是指在给定一组前提的情况下，通过谓词逻辑的规则和推理方法，证明一个陈述式是正确的。
本文将详细介绍谓词逻辑有效式证明的过程、规则和技巧。
有效式证明的基本概念1.有效式：一个陈述式是有效式指在任何情况下都为真。
有效式证明即证明一个陈述式是有效式的过程。
2.谓词逻辑：谓词逻辑是一种数学形式化语言，用于描述和推理关于对象、属性和关系的陈述。
3.有效式证明的规则：有效式证明的过程依赖于一系列谓词逻辑的规则，如合取规则、析取规则和否定规则。
有效式证明的步骤1.列出前提：首先，需要明确给定的前提是什么。
前提通常是一组陈述式，用符号表示。
2.构建证明树：根据给定的前提，逐步应用谓词逻辑的规则，构建一个证明树。
证明树是一种层次结构，每一层都是一个逻辑步骤，将前提分解成更小的陈述式或使用已知的真值。
合取规则介绍合取规则是一种谓词逻辑中常用的推理规则，用于处理合取陈述式。
规则合取规则有两个部分： - 合取引入（合取命题是真则其每一个部分都是真）：如果我们可以证明一个合取陈述式的每一个部分，那么我们可以得出这个合取陈述式是真的结论。
- 合取消除（一个合取陈述式是真则它的至少一个部分是真）：如果我们知道一个合取陈述式是真的，那么我们可以得出至少有一个部分是真的结论。
析取规则介绍析取规则是一种谓词逻辑中常用的推理规则，用于处理析取陈述式。
规则析取规则有两个部分： - 析取引入（一个析取陈述式是真，则其至少一个部分是真）：如果我们知道一个析取陈述式是真的，那么我们可以得出至少有一个部分是真的结论。
- 析取消除（一个析取陈述式是真，则它每一个部分都是真）：如果我们可以证明一个析取陈述式的每一个部分，那么我们可以得出这个析取陈述式是真的结论。
否定规则介绍否定规则是一种谓词逻辑中常用的推理规则，用于处理否定陈述式。
规则否定规则有两个部分： - 否定引入（一个否定陈述式是真，则它的否定部分是假）：如果我们知道一个否定陈述式是真的，那么我们可以得出它的否定部分是假的结论。
数学逻辑中的谓词与谓词演算
数学逻辑中的谓词与谓词演算数学逻辑是一门研究数学推理与证明的学科，其中的谓词与谓词演算是数学逻辑中的重要内容之一。
本文将介绍谓词与谓词演算的基本概念、符号表示方法以及在数学逻辑中的应用。
一、谓词的定义和基本概念在数学逻辑中，谓词是用来描述个体之间关系的一种语言工具。
谓词描述了一个或多个对象之间的特性、属性或关联，可以是真值表达式。
谓词可以是单元谓词，也可以是复合谓词。
单元谓词是一种只涉及一个个体或一种特性的谓词。
例如，P(x)，表示个体x具有性质P。
在这里，x是谓词中的变量，可以代指任意个体。
复合谓词是由多个单元谓词组合而成的谓词。
例如，Q(x,y)表示个体x与个体y之间具有关系Q。
复合谓词可以通过逻辑运算符如与（∧）、或（∨）、非（¬）等来进行组合，从而描述更加复杂的个体关系。
二、谓词演算的基本符号表示方法为了方便描述谓词和推理过程，数学逻辑中提出了谓词演算的概念。
谓词演算是一种用来分析和推理谓词逻辑表达式的形式系统。
在谓词演算中，使用多种符号表示谓词关系，包括：1. 前缀表示：谓词表达式中谓词符号位于括号内，并且紧贴左括号之前。
例如，P(x)表示“谓词P应用于x”；2. 后缀表示：谓词表达式中谓词符号位于括号内，并且紧贴右括号之后。
例如，(x)P表示“x满足谓词P”；3. 中缀表示：谓词表达式中谓词符号位于括号之外。
例如，xPy表示“个体x与个体y之间存在关系P”。
谓词演算还引入了量词的概念，用来描述谓词关系的全称性质或存在性质。
全称量词“∀”表示一个给定的谓词对于所有个体都成立，存在量词“∃”表示一个给定的谓词对于至少存在一个个体成立。
三、谓词与谓词演算在数学逻辑中的应用谓词与谓词演算在数学逻辑中具有广泛的应用。
它们被用于数学推理、证明和定义的过程中，为数学家提供了一种精确且形式化的工具。
通过引入谓词和谓词演算，数学家可以用一种形式化的方式来描述数学中的概念、关系和定理，从而避免了语言的歧义和误解。
数学逻辑中的谓词与谓词演算
数学逻辑中的谓词与谓词演算在数学逻辑领域中，谓词是一种用于描述事物属性或关系的语言元素。
谓词演算是一种形式化的推理方法，旨在通过一系列符号化的公式来分析和推断命题的真假性。
本文将对数学逻辑中的谓词与谓词演算进行探讨。
一、谓词的定义与应用谓词是数学逻辑中最基本的概念之一，它是用于描述命题中的属性或关系的符号。
谓词的定义通常包括两个部分：谓词符号和谓词变元。
谓词符号表示谓词的含义，例如P(x)表示“x具有属性P”，Q(x, y)表示“x与y之间存在关系Q”。
谓词变元则是赋予谓词具体内容的变量，可以是常量、变量或复合表达式。
谓词在数学逻辑中广泛应用于命题的表达和推理过程。
通过引入谓词，我们可以更精确地描述事物的属性和关系，使得逻辑推理更加准确和有效。
例如，在数学中我们可以使用谓词来描述“偶数”、“素数”等特殊的数学性质，进而进行相关的推理和证明。
二、谓词演算的基本构成谓词演算是数学逻辑中一种重要的形式化推理方法，旨在通过对谓词之间的关系和结构进行符号化处理，从而进行逻辑推理和证明。
谓词演算通常包括以下几个基本构成要素：1. 逻辑符号：谓词演算中使用的逻辑符号包括命题符号、连接符号和量词符号等。
命题符号用于表示命题的真假，常用的命题符号包括“∧”表示逻辑与、“∨”表示逻辑或、“¬”表示逻辑非等。
连接符号用于连接多个命题形成复合命题，量词符号则用于描述谓词的范围和数量。
2. 公式化规则：谓词演算中使用的公式化规则通常包括谓词逻辑公式的构造和推导规则。
通过这些规则，我们可以将复杂的逻辑关系转化为一系列公式，并进行逻辑推理和证明。
3. 推理规则：谓词演算中的推理规则主要包括共识化、脱离量词、简化和替换等方法。
通过这些推理规则，我们可以通过对谓词形式的公式进行逻辑操作，得到新的公式以推导出结论。
三、谓词演算的应用和意义谓词演算在数学逻辑和计算机科学中有着广泛的应用和重要意义。
它不仅可以用于描述和分析命题的真假性，还可以应用于模型论、证明论和自动推理等领域。
数学逻辑中的命题公式和谓词公式的证明方法
数学逻辑是数学的一门重要分支，研究数学结论的正确推导。
其中，命题公式和谓词公式是数学逻辑中的两个重要概念。
在数学推理过程中，如何对命题公式和谓词公式进行证明是一个关键问题。
命题公式是一种具有确定真值的陈述句，可以用来表示一个简单命题或复合命题。
在数学逻辑中，命题公式的证明可以通过直接证明、反证法和数学归纳法等多种方法完成。
直接证明是最基本的证明方法之一。
它首先假设命题公式为真，然后根据命题公式的逻辑结构进行推演，逐步得出结论。
例如，要证明命题公式“若A成立，则B成立”。
可以通过对A成立的理由进行推理，得出B成立的结论。
直接证明的优点是简单直观，易于理解和操作。
反证法是另一种常用的证明方法。
反证法的基本思想是假设待证明的命题公式不成立，然后通过推理找出一个矛盾，从而推出原命题必然成立。
例如，要证明一个命题公式P成立，可以假设P不成立，然后推出与前提矛盾的结论，从而得出P成立。
反证法的优点是可以解决一些复杂的问题，特别适用于涉及否定命题的证明。
数学归纳法是一种特殊的证明方法，常用于证明具有重复结构的命题公式。
数学归纳法有两个基本步骤：先证明基本情况成立，再通过假设某一情况成立来推导下一情况成立。
这种证明方法常用于证明等式、不等式、恒等式等。
谓词公式是一种包含变量的命题公式，它可以用来表示一般陈述。
在数学逻辑中，谓词公式的证明通常与量词、谓词逻辑等概念相关。
谓词公式的证明需要借助于量词的使用。
数学逻辑中常用的量词有全称量词和存在量词。
全称量词表示“对于所有的”，存在量词表示“存在一个”。
在证明谓词公式时，需要根据给定的条件对变量进行限定，然后通过推导得出结论。
当然，对于不同类型的谓词公式，其证明方法也各不相同，有时需要采用特定的证明技巧。
总之，数学逻辑中的命题公式和谓词公式是数学证明的基础。
在证明命题公式时，可以采用直接证明、反证法和数学归纳法等多种方法，而谓词公式的证明则需要借助于量词的运用。
在实际的数学推理中，根据具体的问题和命题的特点选择合适的证明方法，可以更加有效地推导和证明数学结论。
谓词逻辑的推理演算
谓词逻辑的推理演算
谓词逻辑是一门重要的数学学科，它是用来研究可以用谓词符号表示的各种数学语言中的定理，其中包括如何推理和证明其定理。
谓词逻辑最初是由古希腊哲学家克里特拉提出的，他提出了一组谓词符号，用来表示语句的真假性。
他也创造了一种推理机制，用来从已知事实推断出新的结论。
谓词逻辑的推理演算是由一系列规则构成的，这些规则用来说明在谓词逻辑中可以从已有的结论推出新的结论的过程。
该过程可以分成三个步骤：推断，证明和验证。
首先，我们需要从已知的事实和结论中推断出新的结论。
然后，我们需要用谓词逻辑规则来证明这个结论是正确的。
最后，我们需要验证这个结论是正确的，以确保我们的推理是正确的。
谓词逻辑的推理演算是一种非常强大的工具，可以用来推断出各种复杂的数学定理。
它可以让我们更加深入地理解一些概念，并证明它们的正确性。
它也可以帮助我们解决许多复杂的数学问题。
谓词逻辑的推理演算是用来研究可以用谓词符号表示的各种数学语言中的定理，它是一种非常有用的数学工具，可以帮助我们更好地理解数学概念，从而推断出新的结论。
离散数学第三章 谓词演算基础 自由变元和约束变元
么不能划分为“山/行六七里”？
明确：“山行”意指“沿着山路走”，“山行”是个状中短语，不能将其割裂。“望之/蔚然而深秀者”为什么不能划分为“望之蔚然/而深秀者”？明确：“蔚然而深秀”是两个并列的词，不宜割裂，“望
之”是总起词语，故应从其后断句。【教学提示】引导学生在反复朗读的过程中划分朗读节奏，在划分节奏的过程中感知文意。对于部分结构复杂的句子，教师可做适当的讲解引导。目标导学三：结合注释
(AB)，(AB)，(AB)，(AB)为公式； (5) 若A是合式公式，x是A中出现的任何个体变元，则
xA(x)，xA(x)为合式公式。 (6)只有有限次使用(1)、(2)、(3)、(4)、(5)所得到的式
子才是合式公式。
自由出现和约束出现
定义2：设为任何一个谓词演算公式，并设 xA(x)，xA(x)为公式的子公式， 此时紧跟在、之后的x称为量词的指导变元 或作用变元， A(x)称为相应量词的作用域或辖域， 在作用域中x 的一切出现均称为约束出现， 在中除了约束出现外的一切出现x均称为自由 出现。
，翻译训练1．学生结合课下注释和工具书自行疏通文义，并画出不解之处。【教学提示】节奏划分与明确文意相辅相成，若能以节奏划分引导学生明确文意最好；若学生理解有限，亦可在解读文意后把握
节奏划分。2．以四人小组为单位，组内互助解疑，并尝试用“直译”与“意译”两种方法译读文章。3．教师选择疑难句或值得翻译的句子，请学生用两种翻译方法进行翻译。翻译示例：若夫日出而林霏开
第三章 谓词演算基础
3.1 谓词与个体 3.2 函数与量词 3.3 自由变元和约束变元
3.3.1 自由出现和约束出现 3.3.2 改名和代入 3.4 永真性和可满足性 3.5 唯一性量词与摹状词
11 醉翁亭记
离散数学-谓词演算的推理规则
xG(x) y p(y) R(y, x)
20
例2、将下列命题译成自然语言，并确定其真值。
(个体域为 Z ) (1) xyG(x, y) ，其中G(x, y) : xy y 解：对任意正整数 x ，存在正整数 y，
F(x),G(x, y) 中的 x 是约束变元， G(x, y) 中的 y是自由变元； y 的辖域是F( y) ， F( y) 中的 y 是约束变元； R(x, y, z)中的 x, y, z 都是自由变元。
24
例5、 设个体域为 A a,b,c将下面谓词公式中的
量词消除，写出与之等值的命题公式。 (1) xP(x) xR(x) 解 xP(x) xR(x)
§2.3 谓词演算的推理规则
重点： 全称指定规则（US）（Universal Specification） 存在指定规则（ES）（Existential Specification） 全称推广规则（UG）（Universal Generalization） 存在推广规则（EG）（Existential Specification）
3
3、全称推广规则（UG）
A( y) xA(x) 要求：（1）y是个体域中任一个体，且都有A( y)为真。
4、存在推广规则（EG）
A( y) xA(x)
要求：(1) y 是个体常元或变元，
(2)在公式A(y)中，y不出现在量词 x或x
的辖域内。
4
注：考察以下推理过程
① xyP x, y
②
yP(c, y)
谓词公式；辖域，约束变项，自由变项； 代换实例；重言式， 矛盾式，可满足式。 2、应用。 (1) 求某些公式在给定解释下的真值。 (2) 判断某些简单公式的类型。
§3谓词演算的形式证明
P(Y)上的一阶谓词演算用Pred(Y)表示 定义21.14：称A=A1∪A2∪A3∪A4∪A5 中的所有元
素为Pred(Y)上的公理集。其中： A1={p→(q→p)|p,qP(Y)}； A2={(p→(q→r))→((p→q)→(p→r))|p,q,rP(Y)}； A3={p→p|pP(Y)}。 A4={x(p→q)→(p→xq)|p,qP(Y),xvar(p)} A5={xp(x)→p(t)|p(x)P(Y),项t对p(x)中的x是自由的}
如果存在一个由 A 导出 p 的证明 ，则记为
A┣p，且用 Ded(A) 表示满足 A┣p 所有 p 的 全体。对于 Ø ┣ p，简写为 ┣ p，并称 p 为 Pred(Y)的定理。 例:{xp}┣xp, pP(Y)
根据定义，xp就是xp。 p1=xp 假设 p2=xp→xp A3 p3=xp p1, p2 MP p4=xp→p A5 p5=p p3, p4 MP p6=p→p A3 p7=p p5, p6 MP p8=xp p7 G规则(xvar({xp}))
除了MP规则外，还要用一个推理规则，
这个规则在以后的论证中常会用到：对 任意的x证明了p(x)，则有xp(x)成立。 这个推理规则称为全称推广规则，它使 得在对一般的x证明了p(x)后，可推出 xp(x)。在使用全称推广规则时必须仔 细地陈述限制。全称推广规则也称为G 规则。
定义21.15:设pP(Y)，AP(Y)，由假设
(5)xp(x)┣┫'xp(x)，这里我们约定：用' 和'分别表示和； (6)pxq(x)┣┫x(pq(x))，xvar(p)； (7)pxq(x)┣┫x(pq(x))，xvar(p) ； (8)xp(x)xq(x)┣┫x(p(x)q(x))； (9)xp(x)xq(x)┣┫x(p(x)q(x))； (10)1xp(x)2yq(y)┣┫1x2y(p(x)q(y))， xvar(q(y)),yvar(p(x))； (11)1xp(x)2yq(y)┣┫1x2y(p(x)q(y))， xvar(q(y)),yvar(p(x))。
离散数学第三章 谓词演算基础-谓词与个体
WRITE(x，y)
其中x,y为变量符号项。
此式表示x和y的关系是WRITE，即作者x写了书y。 此时x可在个体域I (表示作者的集合)上变化； y可在个体域J (表示书名的集合)上变化。
谓词变元
一般地，考察
A(x，y)
其中x,y为变量符号项、A为谓词变元。 此式表示x和y具有关系A。 注意：x，y，A分别在三个域上变化。
可用变元来代替空位。因此，上述谓词可以表 示为： M(x)，D(x)，B(x,y)，ADD(x, y, z)
谓词填式
——谓词的空位上填入个体后所产生的语句。 例如： M（苏格拉底）表示“苏格拉底是人”。 D（苏格拉底）表示“苏格拉底是要死的”。 B（张三，北京）表示“张三生于北京”。 ADD（3，2，5）表示“3+2=5”。
单个体的二元谓词有2个。
个体域{a，b}上的二元谓词
两个个体的二元谓词A(e1，e2)如下图所示:
e1 e2 A0 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11 A12 A13 A14 A15
a a b b
a b a b
T T T T
F T T T
T F T T
T T F T
当谓词填式中所填个体都是常元时，它是一 个命题，因而有确定的真值。 例如： M（苏格拉底）为真， M（孔子）为真， M（孙悟空）为假， M（北京）为假。
一元谓词的数目与个体域的大小有关。
谓词：从个体域到真值集的映射
例如： D（苏格拉底）为真，
D（孙悟空）为假，
B（苏格拉底，希腊）为真 B（苏格拉底，中国）为假， ADD（1，1，2）为真， ADD（3，2，5）为真， ADD（3，2，6）为假。
第三讲谓词演算的等价式与蕴涵式
2.3 量词作用域的扩张与收缩 (x) (A(x) ∨B) (x) A(x)∨B 析取和 (x) (A(x) ∧B) (x) A(x)∧B 合取 (x) (A(x) ∨B) (x) A(x)∨B (x) (A(x) ∧B) (x) A(x)∧B (x)(A(x)B) (x)A(x)B 注意：B不会是 B(x), 可以是B(y)
谓词公式为不可满足的 谓词公式为可满足的
2. 等价式与蕴 (x)(P(x) ∨Q(x)) (x) P(x) (y)Q(y) (x) P(x) ∨ (y)Q(y)
2.2 量词与联接词 之间的关系 (x) P(x) (x) P(x) (x) P(x) (x) P(x) (1)没有不犯错误的人。 设论域：我们班学生 P(x)：x今天来上课
第3讲：谓词演算的等价式与蕴涵式
1. 概念 • • • • • 谓词公式中常含客体变元和命题变 在共同个体域 E上的两个谓词公式A 元，用确定的客体取代客体变元， 和 B，若对A、B上的任一组变元进 对谓词公式赋值 用确定的命题取代命题变元，称为 行赋值，所得命题的真值都相同， 对谓词公式赋值。 则称谓词公式 A、B等价。 谓词公式等价 A在E上所有赋 谓词公式A在个体域E上是有效的 值都为T 所有赋值都为F 至少有一种赋值为T
(x) (A(x) B) (x) A(x) B 条件式 (x)(A(x) B) (x) A(x) B (x)(B A(x) ) B (x) A(x) (x) (B A(x) ) B (x) A(x)
设B为假，A(x)在论域中有真有假，则： (x) (A(x) B) 为 假 (x) A(x) B 为 真
?
见书P68证明
2.4 量词的分配律 (x) (A(x) ∧B(x)) (x) A(x)∧ (x) B(x) (x) (A(x) ∨B(x)) (x) A(x) ∨ (x)B(x) 设论域：我们班学生 A(x)：x聪明 B(x)：x勤奋 2.5 量词与联结词之间的一些蕴涵式 ( x) (A(x) ∧B(x)) ( x) A(x)∧ (x) B(x) (x) A(x) ∨(x)B(x) (x) (A(x) ∨B(x)) 设客体域：整数集合，A(x) : x是偶数， B(x): x是奇数。 ( x) (A(x) ∧B(x)) 有些整数既是奇数又是偶数。
谓词逻辑的公理系统与形式证明
谓词逻辑的公理系统与形式证明谓词逻辑作为现代逻辑学的基石之一，被广泛应用于数学、哲学、计算机科学等领域。
在谓词逻辑中，形式证明是一种重要的推理方法，用于验证谓词逻辑的公理系统是否一致、可靠。
本文将介绍谓词逻辑的公理系统以及形式证明的基本原理。
一、谓词逻辑的公理系统谓词逻辑的公理系统是由一组基础公理和推理规则构成的。
基础公理是谓词逻辑中最基本的真实际，它们被作为前提来推导其他陈述的真实性。
推理规则则用于根据已知的真实际推导出新的真实际。
在谓词逻辑中，常见的基础公理包括：1. 同一性公理：∀x(x=x)，任何事物都等于自身。
2. 归一化公理：∀xy(x=y→(φ[x]→φ[y]))，相等的事物可以互相替代。
3. 全称量词引入规则：如果φ[x]为真，则∀xφ[x]也为真。
4. 全称量词消去规则：如果∀xφ[x]为真，则φ[x]也为真（其中x不是φ[x]中的自由变元）。
推理规则包括：1. 求取规则：如果φ[x]成立，则∃xφ[x]也成立。
2. 普遍规则：如果∃xφ[x]成立，则φ[x]也成立（其中x不是φ[x]中的自由变元）。
这些公理和推理规则构成了谓词逻辑的公理系统，用于推导和证明谓词逻辑中的命题和定理。
二、形式证明的基本原理形式证明是一种通过应用公理和推理规则来证明命题的推理方法。
它是一种严格的逻辑推理过程，以保证所得结论的正确性。
形式证明的基本原理是逻辑演绎推理。
在证明过程中，首先根据公理系统将命题转化为一系列陈述，然后应用推理规则进行推导，直到获得需要证明的结论。
形式证明的步骤可以总结为以下几点：1. 根据给定的公理系统，列出需要证明的命题以及已知真实际。
2. 应用推理规则，根据已知真实际推导出新的真实际。
3. 逐步推导，直到获得需要证明的结论。
在形式证明中，为了保持证明过程的条理性和易读性，通常使用符号代替具体的命题和真实际。
同时，需要注明每一步推导所使用的公理或推理规则。
三、应用举例为了更好地理解谓词逻辑的公理系统和形式证明的过程，以下以一个具体的例子进行说明。
谓词逻辑 有效式证明
谓词逻辑有效式证明什么是谓词逻辑谓词逻辑（Predicate Logic），也称为一阶谓词演算（First-order Predicate Calculus）或一阶逻辑（First-order Logic），是数理逻辑中的一个重要分支。
它是一种用于研究自然语言和数学推理的形式系统，能够精确地描述和分析复杂的命题、关系和推理。
在谓词逻辑中，我们使用谓词来描述对象之间的关系，使用量词来表示命题的范围。
谓词是一个描述性质或关系的函数，它接受一些参数并返回真或假。
量词则用于限定谓词的范围，包括全称量词∀（for all）和存在量词∃（exists）。
通过合理地运用这些符号和规则，我们可以进行有效式证明，即证明某个命题在给定公理系统下是可证明的。
有效式证明的基本概念在进行有效式证明之前，我们首先需要了解一些基本概念。
命题命题是一个陈述句，它要么为真（True），要么为假（False）。
在谓词逻辑中，我们使用符号P、Q、R等来表示命题。
公理公理是谓词逻辑中的基本假设或前提，它是一个被认为是真的命题。
在进行有效式证明时，我们需要基于一组公理来推导出新的命题。
推理规则推理规则是用于从已知命题推导出新的命题的规则。
常见的推理规则包括：假言推理、析取三段论、合取三段论、全称推广、全称特指等。
有效式证明有效式证明是指使用一组公理和推理规则，通过一系列合法的推导步骤，从已知命题推导出目标命题。
如果我们能够按照一定的规则进行推导，并最终得到目标命题，则称该证明是有效式的。
谓词逻辑有效式证明的步骤进行谓词逻辑有效式证明时，通常需要按照以下步骤进行：1.确定目标：首先需要确定要证明的目标命题。
2.建立前提：根据已知信息和所给公理，建立起一组前提命题。
3.运用推理规则：根据前提和已有信息，运用合适的推理规则来进行推导。
4.反复应用：根据需要反复应用不同的推理规则，直到最终得到目标命题。
5.证明结束：当我们成功地从已知信息推导出目标命题时，证明结束。
谓词公式等值演算
xA(x)xA(x)
x A(x)x A(x) 3、量词分配律
x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)
x(A(x)B(x))xA(x) xB(x) 无法证明，只能理解！
1、个体域为有限集D={a1,a2,...,an},则有 xA(x) A(a1)A(a2)… A(an) xA(x) A(a1)A(a2) … A(an)
(1)/x(A(x)B)/xA(x)B A(x)含自由x (2)/x(A(x)B)/xA(x)B B不含有自由x 5 、约束变元改名规则 将A中某量词辖域中变元的每次约束出现，全部换成公 式中未出现的字母，所得到的公式记为B，则AB 6 、置换规则：公式局部等值变换后,仍与原公式等值。
例题、x(A(x)B)xA(x)B
例题、 xy(F(x)G(y)H(x,y))
xy(F(x)G(y)H(x,y))
xy(F(x)G(y)H(x,y))
xy(F(x)G(y)H(x,y)) 德摩律
xy((F(x)G(y))H(x,y)) pqpq
xy( (F(x)G(y))H(x,y)) 德摩律
xy((F(x)G(y))H(x,y))
离散数学
1、 xA(x) A(a1)A(a2)… A(an) 个体域为有限 xA(x) A(a1)A(a2) … A(an)
2.量词的德摩律
xA(x)xA(x) x A(x)x A(x) 3、量词分配律
x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)
x(A(x)B(x))xA(x) xB(x) 4、量词作用域的收缩与扩张律
2.量词的德摩律
xA(x)xA(x)
x A(x)x A(x)
当否定符“”移过时，变成、变成、变 成、变成。
谓词演算 公理 -回复
谓词演算公理-回复谓词演算公理是数理逻辑中的一种重要推理系统，用于构建和证明命题逻辑中的谓词陈述句。
谓词演算公理包含一系列公理和推理规则，它们以形式化的方式定义了谓词逻辑中合法的推理步骤。
在本文中，我们将一步一步地回答关于谓词演算公理的问题。
第一步：什么是谓词演算公理？谓词演算公理是一种数理逻辑的推理系统，用于形式化描述和证明命题逻辑中的谓词陈述句。
谓词陈述句是一种包含谓词和变量的陈述句，例如“对于所有的x，P(x)”或者“存在一个x，使得Q(x)”。
谓词演算公理的目标是通过一系列公理和规则，推导出一个命题的真值。
第二步：谓词演算公理的主要组成部分是什么？谓词演算公理主要由以下几个组成部分构成：1. 谓词：谓词是描述一组对象的性质或关系的符号。
在谓词演算中，谓词通常用大写字母表示，例如P、Q或R。
2. 变量：变量是用于代替谓词中的对象的符号。
变量用小写字母表示，例如x、y或z。
变量可以代表任意对象，使得谓词可以适用于不同的情况。
3. 量词：量词用于描述谓词对于所有对象或存在某个对象的情况。
在谓词演算中，常用的量词有全称量词“对于所有的”（∀）和存在量词“存在一个”（∃）。
4. 逻辑连接词：逻辑连接词用于连接谓词表达式，形成更复杂的陈述句。
常见的逻辑连接词有合取（∧）、析取（∨）和蕴含（→）。
第三步：谓词演算公理的一般形式是什么？谓词演算公理可以使用一般形式来表示，其中包含了谓词、变量、量词和逻辑连接词的组合。
以全称量词为例，一般形式可以表示为：∀xP(x),其中∀是全称量词，x是变量，P(x)是带有变量的谓词。
这个公式表示对于所有的x，P(x)是真的。
第四步：谓词演算公理系统如何工作？谓词演算公理系统通过公理和推理规则来推导命题的真值。
公理是被假定为真的基本陈述句，而推理规则则是根据公理和之前的陈述句来推导新的陈述句。
通过使用逻辑连接词、量词和变量，可以形成更复杂的陈述句，并进一步推导出命题的真值。
离散数学第三章 谓词演算基础-唯一性量词与摹状词
谓词P(x)是指个体x所具有的性质， 摹状词是指具有性质P的那个个体x。摹状词 (指导 Nhomakorabea元、作用域)
x(x)——使得(x)成立的那个惟一的个体， 其中称为摹状词， x称为摹状词的指导变元， (x)称为摹状词的作用域。 注意 摹状词的作用域与唯一性量词的作用域 均为谓词演算公式，但摹状词的值为个 体，而唯一性量词的值为真或假，且要 使用摹状词必须满足存在唯一性。
摹状词 xy(x)
对于不满足存在性和唯一性的语句，如“地球的创造”其不 满足存在性、“计算机的发明者”其不满足唯一性等，我们 引入下面的表示方法： x 当！x(x)成立时是指使得(x) 成立的那个惟一的个体x y 否则
xy(x)=
由摹状词的定义可知，下列等式成立。
(xy(x)) =(！x(x)t((t)(t)))(！x(x)(y))
例1 (p57) 他是唯一没有去过北京的人。
解：设 A(e)表示“e为人”；
B(e1，e2)表示e1去过e2；
a表示“他”；
b表示“北京”。
则语句可译为：
！x(A(x) B(x，b) x=a)
例2 (p57) 地球是唯一有人的星球
解： 设 A(e)表示“e为星球”； B(e)表示“e为人”； C(e1，e2)表示e1上有e2； a表示“地球”； 则原句译为： ！xy(A(x) B(y) C(x，y)x=a)
第三章 谓词演算基础
3.1 谓词与个体 3.2 函数与量词 3.3 自由变元和约束变元 3.4 永真性和可满足性 3.5 唯一性量词与摹状词 3.5.1 唯一性量词 3.5.2 摹状词
唯一性量词 ！
！X 表示“只有一个X”、“恰好有一个X” 。 ！x(x)表示恰好有一个x使得(x)为真。 等价公式： ！x(x)=x((x)y(xy(y)))
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定理21.6(等价替换定理):设p,p1,p2P(Y)，p1
┣┫p2，现在p中将p1的某些(不一定所有)出现 替换为p2而得到的结果记为p'，则p┣┫p'。 证明:对p在P(Y)中的层次l用归纳法 l=0,则p是原子公式或p=F, 因此p=p1,当用p1替换为p2而得到p', 则p1┣┫p2得p┣┫p',成立 对l >0,假设对一切l <k结论成立, 对l=k,除p=p1这种平凡情况外, 分以下几种情况 (1)p=(q→r) (2)p=xq
(5)xp(x)┣┫'xp(x)，这里我们约定：用' 和'分别表示和； (6)pxq(x)┣┫x(pq(x))，xvar(p)； (7)pxq(x)┣┫x(pq(x))，xvar(p) ； (8)xp(x)xq(x)┣┫x(p(x)q(x))； (9)xp(x)xq(x)┣┫x(p(x)q(x))； (10)1xp(x)2yq(y)┣┫1x2y(p(x)q(y))， xvar(q(y)),yvar(p(x))； (11)1xp(x)2yq(y)┣┫1x2y(p(x)q(y))， xvar(q(y)),yvar(p(x))。
二、等价替换定理与代换定理
定义 21.16 ：设 p,qP(Y)，若 {p}┣q 且
{q}┣p，则称p,q语法等价，记为p┣┫q。 引理21.2:若p┣┫q，则xp┣┫xq 因为 {p}┣q, 由演绎定理知 ┣ p→q, 同样 有 ┣ q→p 然后分别证明{xp}┣xq, {xq}┣xp
例: 设yvar(p(x))，且p(x)中的自由变元
x不会出现在y的辖域中。证明： {xp(x)}┣yp(y)，这里p(x)P(Y).
定理 21.5:( 演绎定理 ) 设 AP=P(Y)，设
p,qP。则A┣p→q当且仅当A∪{p}┣q 证明:(1)由A┣p→q,证明A∪{p}┝q 存 在 A 导 出 p→q 的 有 限 证 明 序 列 p1,…,pn=p→q， 由MP规则即得. (2)若A∪{p}┣q 对证明序列长度用归纳法 其他与命题逻辑类似,主要考虑q=xr(x) 设A0是导出r(x)的假设集 (i)pA0 (ii)pA0
定理21.7(约束变元符可替换性):设在p中
将xq(x)的某些(不一定所有)出现替换为 yq(y) 而 得 到 p'( 这 里 yvar(q(x)) ， 且 p(x)中的自由变元x不会出现在y的辖域 中)，则p┣┫p'。 定理21.8:在P(Y)中有： (1)p→q┣┫pq； (2)pq┣┫(pq)(pq)； (3)pq┣┫(pq)(pq)； (4)p┣┫p；
如果存在一个由 A 导出 p 的证明 ，则记为
A┣p，且用 Ded(A) 表示满足 A┣p 所有 p 的 全体。对于 Ø ┣ p，简写为 ┣ p，并称 p 为 Pred(Y)的定理。 例:{xp}┣xp, pP(Y)
根据定义，xp就是xp。 p1=xp 假设 p2=xp→xp A3 p3=xp p1, p2 MP p4=xp→p A5 p5=p p3, p4 MP p6=p→p A3 p7=p p5, p6 MP p8=xp p7 G规则(xvar({xp}))
除了MP规则外，还要用一个推理规则，
这个规则在以后的论证中常会用到：对 任意的x证明了p(x)，则有xp(x)成立。 这个推理规则称为全称推广规则，它使 得在对一般的x证明了p(x)后，可推出 xp(x)。在使用全称推广规则时必须仔 细地陈述限制。全称推广规则也称为G 规则。
定义21.15:设pP(Y)，AP(Y)，由假设
在命题演算中，代换定理是基于同态映
射 :P1→P2，这里 P1,P2 为二个命题代数， 如果 P1,P2为谓词代数，则根据同态映射 的要求， P1,P2应该有相同的运算集，对 其个体符集有新的要求
作业:P423 18,19(1)
A导出p的长度为n的证明是一组有限序 列 p1,…Байду номын сангаасpn，这里piP(Y)(i=1,…,n)， pn=p，而p1,…,pn-1是长度为n-1的由A导 出pn-1的证明序列，并且：对所有kn， (1)pkA∪A，或者 (2)存在i,j(i,j<k)，有pi=(pj→pk)。或者 (3)pk=xw(x)，并且p1,…,pk-1的某个子序 列pk1,…,pkr是一个由A的子集 A0(xvar(A0))导出w(x)的证明(长度小于 n)。
§3 谓词演算的形式证明
一、形式证明
P(Y)上的一阶谓词演算用Pred(Y)表示 定义21.14：称A=A1∪A2∪A3∪A4∪A5 中的所有元
素为Pred(Y)上的公理集。其中： A1={p→(q→p)|p,qP(Y)}； A2={(p→(q→r))→((p→q)→(p→r))|p,q,rP(Y)}； A3={p→p|pP(Y)}。 A4={x(p→q)→(p→xq)|p,qP(Y),xvar(p)} A5={xp(x)→p(t)|p(x)P(Y),项t对p(x)中的x是自由的}