2018版高中数学苏教版必修二学案：2.1.2 第2课时 两点式
苏教版高中数学必修2教案
苏教版高中数学必修2教案教学目标：1. 理解二次函数的定义和性质2. 掌握二次函数图像的特点和变换3. 能够根据给定的条件，求解二次函数的参数4. 运用二次函数解决实际问题教学重点：1. 二次函数的定义和性质2. 二次函数图像的特点和变换教学难点：1. 利用二次函数解决实际问题教学准备：1. 教师准备PPT和教案2. 学生准备纸笔教学过程：一、导入新知识（5分钟）教师通过引入实际生活中的问题，引发学生对二次函数的兴趣，激发学生的学习热情。
二、介绍二次函数的定义和性质（10分钟）1. 教师向学生介绍二次函数的定义和性质，包括二次函数的一般形式和图像特点。
2. 教师通过例题和实例，让学生理解二次函数的性质和特点。
三、学习二次函数的图像特点和变换（15分钟）1. 教师向学生介绍二次函数的图像特点和变换规律。
2. 学生通过绘制二次函数的图像和改变系数的大小，理解二次函数图像的变化规律。
四、联系实际问题解决二次函数（15分钟）1. 教师通过实际生活中的问题，引导学生运用二次函数解决问题。
2. 学生根据给定的条件，运用二次函数求解参数，解决实际问题。
五、巩固和拓展（10分钟）1. 教师引导学生复习二次函数的知识点，巩固所学内容。
2. 学生尝试解决更复杂的问题，拓展二次函数的应用领域。
六、作业布置（5分钟）1. 布置相关练习题，巩固学生的知识点。
2. 让学生总结本节课所学内容，为下节课的学习做好准备。
教学反思：通过本节课的教学，学生对二次函数的定义和性质有了更深入的理解，能够灵活运用二次函数解决实际问题。
希望在接下来的教学中，能够继续激发学生的学习兴趣，提高学生的学习效果。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修2 2.1.2 直线的方程》
直线的方程——点斜式连云港外国语学校谭军港1教材分析本节内容是苏教版必修2第二章第一节局部的内容。
本节是在初中学习了平面几何和一次函数，之前一节又学习了直线的斜率的根底上，通过以点的集合的方式来研究直线图像上的点应该满足的方程的问题，起着承上启下的作用。
首先它是对初中平面几何知识和一次函数的延续，其次它也是培养平面解析几何思想，〔也就是用代数的方法研究几何图形的性质，即通过引进直角坐标系，建立点与坐标、曲线与方程之间的对应关系，将几何问题转化为代数问题，从而用代数的方法研究几何问题〕用来解决后续的圆、圆锥曲线以及直线与圆、圆锥曲线关系等问题的根底。
其地位非常重要，这也是高考考纲中的C级要求知识点。
从研究直线方程开始，学生对“解析几何〞的学习进入了实质性阶段，“直线与方程〞关系的研究，是“曲线与方程〞的关系研究的前奏和根底，直线的点斜式方程的探索过程，对构建前后连贯，逻辑一致的研究过程与方法，起到了重要的根底作用，“直线的点斜式方程〞是“平面解析几何初步〞的起始课，也是高中平面解析几何的起始课，也将是学生亲自经历第一次“求曲线方程〞的探索实践。
所以本节课教学的效果直接决定了整个“解析几何〞教学的效果刚刚接触“解析几何〞的学生，幼稚懵懂的心理致使他们还不能理解“解析几何〞的实质，而本节课那么以比拟浅显的问题开启“解析几何〞学习知识之门，通过求直线方程的一般步骤“建系、设点、代入、化简、验证〞这一本质规律对后续解析几何内容学习产生重要影响，因为它也是求“曲线方程〞的一般步骤。
“解析几何〞中处处渗透了各种数学思想，特别是数形结合与等价转化思想，本节课那么以生动的具体事例有效地促进学生树立、稳固和熟练应用这些数学思想综上，本节课是高中数学教学中极为关键的内容，创设和实施优质的教学程序，在一定程度上影响着后面解析几何教学的成败2教学目标知识与技能1探索确定直线位置的几何要素，知道由一个点和斜率可以确定一条直线，探索、经历并掌握求直线的点斜式、斜截式方程过程与方法；2能根据条件熟练地求出直线的点斜式、斜截式方程，并有直线点斜式方程和斜截式方程代数形式的到直线的几何性质过程与方法1让学生经历求直线方程构建过程，培养学生观察、探究能力；2使学生进一步理解直线的方程与方程的直线之间的对应关系〔方程的解与直线上点的坐标的关系〕，渗透数形结合等数学思想情感态度与价值观1使学生进一步体会化归的思想，逐步培养他们分析问题、解决问题的能力；2利用多媒体课件的精彩演示，增强图形美感，使学生享受数学美，增进数学学习的情趣通过数学史的学习培养学生数学文化素养。
高中数学(苏教版必修2)同步课件第2章 2.1.2 第2课时 两点式
【解】 (1)直线BC过点B(0，－3)，C(－2,1)，由两点式方程得
y＋3 1＋3
＝
－x－2－00，化简得2x＋y＋3＝0.
(2)由中点公式得，BC的中点D的坐标为 0－2 2，－32＋1 ，即D(－1，－1)，又
直线AD过点A(－4，0)，由两点式方程得0y＋＋11＝－x＋4＋11，化简得x＋3y＋4＝0.
当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方 程的适用条件，若满足即可考虑用两点式求方程．在斜率存在的情况下，也可以 先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程．
[再练一题] 1．已知三角形的三个顶点A(－4,0)，B(0，－3)，C(－2,1)，求： (1)BC边所在的直线方程； (2)BC边上中线所在的直线方程．
【答案】 y＝2
教材整理2 直线的截距式方程 阅读教材P84例2以上部分内容，完成下列问题． 若直线过点A(a,0)，B(0，b)，其中a叫做直线在x轴上的截距，b叫做直线在y
轴上的截距，则直线方程__ax_＋__by_＝__1_(_a_≠__0_，__b_≠__0_)___，称为直线的截距式方程．
【导学号：41292071】
故直线在两坐标轴上的截距之和为－4＋3＝－1.
【答案】 －1
[小组合作型] 直线的两点式方程及其应用
已知△ABC三个顶点坐标A(2，－1)，B(2,2)，C(4,1)，求三角形三条 边所在的直线方程．
【精彩点拨】 已知直线上的两点，可利用两点式求方程，也可利用两点先 求斜率，再利用点斜式写直线方程．
【导学号：41292072】
【解】 当直线l在坐标轴上的截距为0时，设方程为y＝kx，又l过点A(5,2)， 得2＝5k，即k＝25，故方程为y＝25x，即2x－5y＝0.
2018版高中数学必修二学案(31份)苏教版(教案)
棱柱、棱锥和棱台学目.通察例，概括出棱柱、棱、棱台的定.掌握棱柱、棱、棱台的构特点及相关见解.能出棱柱、棱、棱台的性，并会画的棱柱、棱、棱台.知点一棱柱的构特点思虑察以下多面体，有什么共同特点？梳理棱柱的构特点名称定形及表示相关见解分底面：平移起止地址的底面三角两个面，面：多形形、四形、由一个平面多的平移所形成的面，五形⋯⋯形沿某一方向平棱柱棱：相面的公共的棱柱分移形成的空几，称三棱柱、如可作：棱柱何体叫做棱柱点：面与底面的公四棱柱、五棱—′′′′′′共点柱⋯⋯知点二棱的构特点思虑察以下多面体，有什么共同特点？梳理棱的构特点名称定当棱柱的一个底面收一点棱，获取的几何体叫做棱形及表示如可作：棱—相关见解底面 (底 )：多形面，面：有公共点的各个三角形面，棱：相面的，点：由棱柱的一个底面收而成分按底面多形的数分：三棱、四棱、⋯⋯知点三棱台的构特点思虑察以下多面体，解析其与棱有何区与系？梳理棱台的构特点名称定形及表示用一个的平面去截棱，获取两个棱几何体，一个依旧台是棱，另一个我如可作：棱称之棱台台—′′′′相关见解分上底面：原棱的截面，下底面：原棱由三棱、四棱的底面，、五棱、⋯⋯面：其他各面，截得的棱台分棱：相面叫做三棱台、四的公共，棱台、五棱点：面与上台、⋯⋯(下 )底面的公共点知点四多面体思虑一般地，怎样定义多面体？围成多面体的各个多边形，相邻两个多边形的公共边，以及这些公共边的公共点分别叫什么名称？梳理种类定义多面体由一些围成的几何体图形面：围成多面体的各个，相关棱：相邻两个面的，见解极点：棱与棱的公共点种类一棱柱、棱锥、棱台的结构特点命题角度棱柱的结构特点例以下关于棱柱的说法：①所有的面都是平行四边形；②每一个面都不会是三角形；③两底面平行，并且各侧棱也平行；④被平行于底面的平面截成的两局部能够都是棱柱.其中正确说法的序号是.反思与感悟关于棱柱的辨析()紧扣棱柱的结构特点进行相关见解辨析.①两个面互相平行；②其他各面是四边形；③ 相邻两个四边形的公共边互相平行.()多注意观察一些实物模型和图片便于反例消除.特别提示：求解与棱柱相关的问题时，第一看可否有两个平行的面作为底面，再看可否满足其他特点 .追踪训练关于棱柱，以下说法正确的选项是.(填序号 )①有两个面平行，其他各面都是平行四边形的几何体是棱柱；②棱柱的侧棱长相等，侧面都是平行四边形；③上、下底面是菱形，各侧面是全等的正方形的四棱柱必然是正方体.命题角度棱锥、棱台的结构特点例() 判断以以下图的物体可否是棱锥，为什么？()以以下图的多面体可否是棱台？反思与感悟棱锥、棱台结构特点问题的判断方法()举反例法结合棱锥、棱台的定义举反例直接说明关于棱锥、棱台结构特点的某些说法不正确()直接法.棱锥定底面只有一个面是多边形，此面即为底面看侧棱订交于一点棱台两个互相平行的面，即为底面延长后订交于一点追踪训练以下关于棱锥、棱台的说法：①棱台的侧面必然不会是平行四边形；②由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；③棱锥被平面截成的两局部不能能都是棱锥.其中正确说法的序号是.种类二棱柱、棱锥、棱台的画法例画出一个三棱柱和一个四棱台.反思与感悟在平面几何中，虚线表示作的辅助线，但在空间图形中，虚线表示被遮挡的线.在空间图形中作辅助线时，被遮挡的线作成虚线，看得见的线仍作成实线.作图时要使用铅笔、直尺等，力求正确.追踪训练画一个六面体 .()使它是一个四棱柱；()使它是由两个三棱锥组成；()使它是五棱锥.种类三空间问题与平面问题的转变比以以下图，在侧棱长为的正三棱锥—中，∠＝∠＝∠＝°，过作截面，求截面△周长的最小值 .反思与感悟求几何体表面上两点间的最小距离的步骤()将几何体沿着某棱剪开后张开，画出其侧面张开图()将所求曲线问题转变成平面上的线段问题. ()结合条件求得结果.追踪训练以以下图，在所有棱长均为的直三棱柱上，面爬行一周密达点，那么爬行的最短行程为..有一只蚂蚁从点出发，围着三棱柱的侧.有以下三个命题：①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的局部是棱台；②两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体是棱台；③有两个面互相平行，其他四个面都是等腰梯形的六面体是棱台.其中正确的有个..三棱锥的四个面中能够作为底面的有个..以下说法错误的选项是.(填序号 )①多面体最少有四个面；②九棱柱有条侧棱，个侧面，侧面为平行四边形；③长方体、正方体都是棱柱；④三棱柱的侧面为三角形..以下几何体中，是棱柱，是棱锥，是棱台.(仅填相应序号).以以下图中不能能围成正方体的是.( 填序号 ).棱柱、棱锥及棱台定义的关注点()棱柱的定义有以下两个要点，缺一不能：①有两个平面 (底面 )互相平行 .②其他各面 (侧面 )每相邻两个面的公共边(侧棱 )都互相平行 .()棱锥的定义有以下两个要点，缺一不能：①有一个面 (底面 )是多边形 .②其他各面 (侧面 )是有一个公共极点的三角形.()棱台是由一个平行于棱锥底面的平面截得的..棱柱、棱锥、棱台之间的关系在运动变化的见解下，棱柱、棱锥、棱台之间的关系能够用以以下图表示出来( 以三棱柱、三棱锥、三棱台为例)..依照几何体的结构特点判断几何体的种类，第一要熟练掌握各几何体的见解，掌握好各样几何体的性质，其次要有必然的空间想象能力.答案精析问题导学知识点一思虑 ()有两个面是全等的多边形，且对应边互相平行；()其他各面都是平行四边形．知识点二思虑 ()有一个面是多边形；()其他各面都是有一个公共极点的三角形．梳理公共边知识点三思虑 ()差异：有两个面互相平行．()联系：用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，其底面和截面之间的局部即为该几何体．梳理平行于棱锥底面知识点四思虑多面体是由假设干个平面多边形围成的几何体．围成多面体的各个多边形叫多面体的面；相邻两个面的公共边叫多面体的棱；棱和棱的公共点叫多面体的极点．梳理平面多边形多边形公共边题型研究例③④追踪训练②例() 解该物体不是棱锥．因为棱锥的定义中要求：各侧面有一个公共极点，但侧面与侧面没有公共极点，因此该物体不是棱锥．()解依照棱台的定义，能够获取判断一个多面体是棱台的标准有两个：一是共点，二是平行．即各侧棱的延长线要交于一点，上、下两个底面要平行，二者缺一不能．据此，图① 中多面体侧棱延长线不订交于同一点，故不是棱台；图② 中多面体不是由棱锥截得的，不是棱台；图③ 中多面体虽是由棱锥截得的，但截面与底面不平行，因此也不是棱台．追踪训练①②例解 ()画三棱柱可分以下三步完成：第一步，画上底面——画一个三角形；第二步，画侧棱——从三角形的每一个极点画平行且相等的线段；第三步，画下底面——按次连结这些线段的另一个端点(以以下图 )．()画四棱台可分以下三步完成：第一步，画一个四棱锥；第二步，在它的一条侧棱上取一点，尔后从这点开始，按次在各个侧面内画出与底面对应边平行的线段；第三步，将节余的线段擦去(以以下图 )．追踪训练解以以下图．图是一个四棱柱．图是一个由两个三棱锥组成的几何体．图是一个五棱锥．例解将三棱锥沿侧棱剪开，并将其侧面张开平铺在一个平面上，以以下图．线段的长为所求△ 周长的最小值．取的中点，那么⊥ ，∠＝°，可知＝，那么＝ .即截面△周长的最小值为.追踪训练当堂训练．.④ .①③④⑥⑤ .④学习是一件增添知识的工作，在茫茫的学海中，或许我们困苦过，在困难的竞争中，或许我们疲倦过，在失败的阴影中，或许我们无望过。
2018版高中数学苏教版必修二学案：2.1.3 第2课时 两条直线的垂直
第2课时两条直线的垂直学习目标 1.理解并掌握两条直线垂直的条件.2.能根据已知条件判断两条直线垂直.3.会利用两直线垂直求参数及直线方程.知识点两条直线垂直的判断思考1两条垂直直线的倾斜角之间有什么关系？思考2如果两条直线垂直，那么斜率一定互为负倒数吗？梳理类型一两条直线垂直关系的判定例1判断下列各组中的直线l1与l2是否垂直：(1)l1经过点A(－1，－2)，B(1,2)，l2经过点M(－2，－1)，N(2,1)；(2)l1的斜率为－10，l2经过点A(10,2)，B(20,3)；(3)l1经过点A(3,4)，B(3,100)，l2经过点M(－10,40)，N(10,40).反思与感悟判断两直线垂直的步骤方法一方法二若两条直线的方程均为一般式：l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.则l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.跟踪训练1下列各组中直线l1与l2垂直是________.(填序号)①l1：2x－3y＋4＝0和l2：3x＋2y＋4＝0；②l1：2x－3y＋4＝0和l2：3y－2x＋4＝0；③l1：2x－3y＋4＝0和l2：－4x＋6y－8＝0；④l1：(－a－1)x＋y＝5和l2：2x＋(2a＋2)y＋4＝0.类型二由两直线垂直求参数或直线方程命题角度1由两直线垂直求参数的值例2三条直线3x＋2y＋6＝0,2x－3m2y＋18＝0和2mx－3y＋12＝0围成直角三角形，求实数m的值.反思与感悟此类问题常依据两直线垂直的条件列关于参数的方程或方程组求解.跟踪训练2已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－2，－3)，直线l2经过点C(2,3)，D(－1，a －2)，如果l1⊥l2，则a的值为________.命题角度2由垂直关系求直线方程例3求与直线4x－3y＋5＝0垂直，且与两坐标轴围成的三角形AOB周长为10的直线方程.。
学案1：2.2.2 第1课时 直线的点斜式方程与斜截式方程~2.2.2 第2课时 直线的两点式方程
2.2.2第1课时直线的点斜式方程与斜截式方程~2.2.2第2课时直线的两点式方程学习目标核心素养1．会求直线的点斜式、斜截式、两点式和一般式的方程．(重点)2．掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种基本形式及它们之间的关系．(重点)3．灵活选用恰当的方式求直线方程．(难点)1．通过直线方程的几种形式的学习，培养数学抽象的核心素养．2．通过直线方程的几种形式适用范围的学习，提升逻辑推理、数学运算的核心素养．【情境导学】情境引入斜拉桥又称斜张桥，桥身简约刚毅，力感十足．若以桥面所在直线为x轴，桥塔所在直线为y轴建立平面直角坐标系，那么斜拉索可看成过桥塔上同一点的直线．怎样表示直线的方程呢？新知初探1．直线的点斜式方程与斜截式方程在平面直角坐标系中，如果已知P0(x0，y0)是直线l上一点及l的斜率信息，就可以写出直线l的方程．(1)如果直线l的斜率不存在，则直线l的方程为．(2)直线的点斜式方程：若直线l的斜率存在且为k，P(x，y)为直线l上不同于P0的点，则直线l的方程为y－y0＝k(x －x0)．由直线上一点和直线斜率确定，通常称为直线的点斜式方程．思考1：直线的点斜式方程应用范围是什么？(3)直线的斜截式方程当直线l既不是x轴也不是y轴时，若直线l与x轴的交点为(a,0)，则称l在x轴上的截距为a，与y轴的交点为(0，b)，则称l在y轴上的截距为b．如果已知直线的斜率为k，截距为b，则直线l的方程为．由直线的斜率和截距确定，通常称为直线斜截式方程．思考2：直线的斜截式方程应用范围是什么？2．直线的两点式方程与截距式方程(1)直线l上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当x2≠x1，y2≠y1时，则称为直线的两点式方程．(2)若直线l在x轴，y轴上的截距分别为a，b，且ab≠0，则方程称为直线的截距式方程．思考3：直线的两点式方程和截距式方程的应用范围分别是什么？3．直线的一般式方程直线的一般式方程为．初试身手1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线y－3＝m(x＋1)恒过定点(－1,3)．()(2)直线y＝2x＋3在y轴上的截距为3．()(3)斜率不存在的直线能用两点式方程表示．()(4)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．()2．已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则()A．直线经过点(－1,2)，斜率为－1B．直线经过点(2，－1)，斜率为－1C．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1D．直线经过点(－2，－1)，斜率为13．过点(1,2)和(3,5)的直线方程为．4．经过点P(－2,1)，且斜率为－1的直线方程为．【合作探究】【例1】写出下列直线的点斜式方程．(1)经过点(2,5)，倾斜角为45°；(2)直线y＝x＋1绕着其上一点P(3,4)逆时针旋转90°后得直线l，求直线l的点斜式方程；(3)经过点C(－1，－1)，且与x轴平行；(4)经过点D(1,1)，且与x轴垂直．[规律方法]1．求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y－y0＝k(x－x0)．2．点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但x＝x0除外．[跟进训练]1．求满足下列条件的直线的点斜式方程．(1)过点P(－4,3)，斜率k＝－3；(2)过点P(3，－4)，且与x轴平行；(3)过P(－2,3)，Q(5，－4)两点．【例2】 根据条件写出下列直线的斜截式方程．(1)斜率是3，在y 轴上的截距是－3．(2)倾斜角是60°，在y 轴上的截距是5．(3)过点A (－1，－2)，B (－2,3)．[思路探究] 先求直线的斜率，结合y 轴上的截距可用斜截式方程求解．[规律方法]1．用斜截式求直线方程，只要确定直线的斜率和截距即可，要特别注意截距和距离的区别．2．直线的斜截式方程y ＝kx ＋b 不仅形式简单，而且特点明显，k 是直线的斜率，b 是直线在y 轴上的截距，只要确定了k 和b 的值，直线的图象就一目了然．因此，在解决直线的图象问题时，常通过把直线方程化为斜截式方程，利用k ，b 的几何意义进行判断．[跟进训练]2．(1)写出直线斜率为－1，在y 轴上截距为－2的直线的斜截式方程；(2)求过点A (6，－4)，斜率为－43的直线的斜截式方程； (3)已知直线l 的方程为2x ＋y －1＝0，求直线的斜率，在y 轴上的截距以及与y 轴交点的坐标．【例3】在△ABC中，A(－3,2)，B(5，－4)，C(0，－2)，(1)求BC所在直线的方程；(2)求BC边上的中线所在直线的方程．[思路探究](1)由两点式直接求BC所在直线的方程；(2)先求出BC的中点，再由两点式求直线方程．[规律方法]1．由两点式求直线方程的步骤(1)设出直线所经过点的坐标．(2)根据题中的条件，找到有关方程，解出点的坐标．(3)由直线的两点式方程写出直线的方程．2．求直线的两点式方程的策略以及注意点当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程．[跟进训练]3．(1)若直线l经过点A(2，－1)，B(2,7)，则直线l的方程为；(2)若点P(3，m)在过点A(2，－1)，B(－3,4)的直线上，则m＝．[探究问题]1．平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示吗？为什么？2．每一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零)都能表示一条直线吗？为什么？【例4】设直线l的方程为(a－1)x＋y－2－a＝0(a∈R)．若直线l不过第三象限，则a的取值范围为．[思路探究]含有参数的一般式直线方程问题⇒化为直线方程的相应形式，根据实际情况求解．[母题探究]1．本例中若将方程改为“x＋(a－1)y－2－a＝0(a∈R)”，其他条件不变，又如何求解？2．若本例中的方程不变，当a取何值时，直线不过第二象限？[规律方法]当题目给出直线的一般式方程而考查直线经过的象限问题时，可将一般式方程转化为斜截式方程(但它的参数要有限制，注意分类讨论)，直接研究y＝kx＋b：①k>0，b>0，经过第一、二、三象限；②k>0，b<0，经过第一、三、四象限；③k<0，b>0，经过第一、二、四象限；④k<0，b<0，经过第二、三、四象限．【课堂小结】1．本节课的重点是了解直线方程的五种形式，难点是根据条件求直线的方程并能在几种形式间相互转化．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)求点斜式方程与斜截式方程的方法．(2)求截距式方程与两点式方程的方法．(3)求一般式方程的方法．3．本节课的易错点是利用斜截式方程求参数时漏掉斜率不存在的情况．【达标检测】1．过点(－3,2)，倾斜角为60°的直线方程为()A．y＋2＝3(x－3)B．y－2＝33(x＋3)C．y－2＝3(x＋3) D．y＋2＝33(x＋3)2．直线y－2＝3(x＋1)的倾斜角及在y轴上的截距分别为()A．60°，2 B．60°，2＋3C．120°，2＋ 5 D．120°，23．直线y＝kx＋b通过第一、三、四象限，则有()A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜04．已知直线l过点P(2,1)，且斜率为－1，则l的点斜式方程为．5．直线l经过点P(3,4)，它的倾斜角是直线y＝3x＋3的倾斜角的2倍，求直线l的点斜式方程．【参考答案】【情境导学】新知初探1．直线的点斜式方程与斜截式方程(1) x＝x0思考1：[提示]直线l的斜率k存在．(3)y＝kx＋b思考2：[提示]直线既不与x轴重合也不与y轴重合．2．直线的两点式方程与截距式方程(1) y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1(2)xa＋yb＝1思考3：[提示]两点式表示的直线l不与坐标轴平行或重合，截距式表示的直线l不与坐标轴平行或重合，且不过原点．3．直线的一般式方程Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)初试身手1．[答案](1)√(2)√(3)×(4)√[提示](1)由点斜式方程的形式知正确．(2)由斜截式方程的形式知正确．(3)两点式方程不能表示与坐标轴平行或重合的直线，错误．(4)正确．2．C[方程变形为y＋2＝－(x＋1)，∴直线过点(－1，－2)，斜率为－1．]3．3x－2y＋1＝0[由直线的两点式方程，得y－25－2＝x－13－1，化简得3x－2y＋1＝0．] 4．x＋y＋1＝0[由题意知，直线方程为y－1＝－(x＋2)，即x＋y＋1＝0．]【合作探究】【例1】[解] (1)因为倾斜角为45°，所以斜率k ＝tan 45°＝1，所以直线的方程为y －5＝x －2．(2)直线y ＝x ＋1的斜率k ＝1，所以倾斜角为45°．由题意知，直线l 的倾斜角为135°，所以直线l 的斜率k ′＝tan 135°＝－1．所以直线的方程为y －4＝－(x －3)．(3)由题意知，直线的斜率k ＝tan 0°＝0，所以直线的点斜式方程为y －(－1)＝0，即y ＝－1．(4)由题意可知直线的斜率不存在，所以直线的方程为x ＝1，该直线没有点斜式方程．[跟进训练]1．[解] (1)∵直线过点P (－4,3)，斜率k ＝－3，由直线方程的点斜式得直线方程为y －3＝－3(x ＋4)．(2)与x 轴平行的直线，其斜率k ＝0，由直线方程的点斜式可得直线方程为y －(－4)＝0×(x －3)，即y ＋4＝0．(3)过点P (－2,3)，Q (5，－4)的直线的斜率k PQ ＝－4－35－(－2)＝－77＝－1． 又∵直线过点P (－2,3)，∴直线的点斜式方程为y －3＝－(x ＋2)．【例2】[解] (1)由直线方程的斜截式可知，所求直线的斜截式方程为y ＝3x －3．(2)∵倾斜角是60°，∴斜率k ＝tan 60°＝3，由斜截式可得方程y ＝3x ＋5．(3)斜率为k ＝3＋2－2＋1＝－5，由点斜式得y －3＝－5(x ＋2)，化为斜截式y ＝－5x －7． [跟进训练]2．[解] (1)易知k ＝－1，b ＝－2，故直线的斜截式方程为y ＝－x －2．(2)由于直线的斜率k ＝－43，且过点A (6，－4)，根据直线的点斜式方程得直线方程为y ＋4＝－43(x －6)，化成斜截式为y ＝－43x ＋4． (3)直线方程2x ＋y －1＝0可化为y ＝－2x ＋1，由直线的斜截式方程知：直线的斜率k ＝－2，在y 轴上的截距b ＝1，直线与y 轴交点的坐标为(0,1)．【例3】[解] (1)∵BC 边过两点B (5，－4)，C (0，－2)，∴由两点式得y －(－4)(－2)－(－4)＝x －50－5， 即2x ＋5y ＋10＝0．故BC 所在直线的方程为2x ＋5y ＋10＝0． (2)设BC 的中点为M (x 0，y 0)，则x 0＝5＋02＝52， y 0＝(－4)＋(－2)2＝－3．∴M ⎝⎛⎭⎫52，－3， 又BC 边上的中线经过点A (－3,2)．∴由两点式得y －2－3－2＝x －(－3)52－(－3)，即10x ＋11y ＋8＝0． 故BC 边上的中线所在直线的方程为10x ＋11y ＋8＝0．[跟进训练]3．(1)x ＝2 (2)－2 [(1)由于点A 与点B 的横坐标相等，所以直线l 没有两点式方程，所求的直线方程为x ＝2．(2)由两点式方程得，过A ，B 两点的直线方程为y ＋14＋1＝x －2－3－2，即x ＋y －1＝0． 又点P (3，m )在直线AB 上，所以3＋m －1＝0，得m ＝－2．][探究问题]1．[提示] 都可以，原因如下：(1)直线和y 轴相交于点(0，b )时：此时倾斜角α≠π2，直线的斜率k 存在．直线可表示成y ＝kx ＋b ，可转化为kx ＋(－1)y ＋b ＝0，这是关于x ，y 的二元一次方程．(2)直线和y 轴平行(包含重合)时：此时倾斜角α＝π2，直线的斜率k 不存在，不能用y ＝kx ＋b 表示，而只能表示成x －a ＝0，它可以认为是关于x ，y 的二元一次方程，此时方程中y 的系数为0．2．[提示] 能表示一条直线，原因如下：当B ≠0时，方程Ax ＋By ＋C ＝0可变形为y ＝－A Bx －C B ，它表示过点⎝⎛⎭⎫0，－C B ，斜率为－A B的直线． 当B ＝0时，方程Ax ＋By ＋C ＝0变成Ax ＋C ＝0．即x ＝－C A，它表示与y 轴平行或重合的一条直线． 【例4】[1，＋∞) [把直线l 化成斜截式，得y ＝(1－a )x ＋a ＋2，因为直线l 不过第三象限，故该直线的斜率小于等于零，且直线在y 轴上的截距大于等于零．即⎩⎪⎨⎪⎧1－a ≤0，a ＋2≥0，解得a ≥1．所以a 的取值范围为[1，＋∞)．][母题探究]1．[解] (1)当a －1＝0，即a ＝1时，直线为x ＝3，该直线不过第三象限，符合．(2)当a －1≠0，即a ≠1时，直线化为斜截式方程为y ＝11－a x －2＋a 1－a， 因为直线l 不过第三象限，故该直线的斜率小于等于零，且直线在y 轴上的截距大于等于零． 即⎩⎪⎨⎪⎧ 11－a ≤0，－2＋a 1－a ≥0，解得a ＞1．由(1)(2)可知a ≥1．2．[解] 把直线l 化成斜截式，得y ＝(1－a )x ＋a ＋2，因为直线l 不过第二象限，故该直线的斜率大于等于零，且直线在y 轴上的截距小于等于零．即⎩⎪⎨⎪⎧1－a ≥0，a ＋2≤0，解得a ≤－2．所以a 的取值范围为(－∞，－2]．【达标检测】1．C [因为直线的倾斜角为60°，所以其斜率k ＝tan 60°＝3，由直线方程的点斜式，可得方程为y －2＝3(x ＋3)．]2．B [由y －2＝3(x ＋1)的可知斜率k ＝3，故倾斜角60°，令x ＝0可得在y 轴上的截距2＋3．]3．B [∵直线经过一、三、四象限，由图知，k ＞0，b ＜0．]4．y－1＝－(x－2)[直线l的斜率k＝－1，又过点P(2,1)，所以l点斜式方程为y－1＝－(x－2)．]5．[解]直线y＝3x＋3的斜率k＝3，则其倾斜角α＝60°，∴直线l的倾斜角为120°．∴直线l的斜率为k′＝tan 120°＝－3．∴直线l的点斜式方程为y－4＝－3(x－3)．。
必修二2.1.2直线的方程(2)两点式和截距式课件
例3： 已知：直线 l 过 A(0, 5)
B(5, 0) 求直线 l 的方程
截距式：x y 1 5 5
在x轴上截
距
在y轴上截距
栏目导航
练习2：写出下列直线的截距式方程 (1)x轴上的截距是2，y轴上的截距是3； (2)x轴上的截距是4，y轴上的截距是6；
(3)x轴上的截距是 1 ，y轴上的截距是 1
2
2
(1) x y 1 23
(2) x y 1 46
(3)
x 1
y 1
1
22
例4： ABC中A(5, 0), B(3, 3),C(0, 2)
求三角形各边的直线的方程
解： 由两点式求直线AB
y C
3x+8y+15=0
A
由斜截式求直线BC
O
x 5x+3y-6=0
B
由截距式求直线AC
2x-5y+10=0
栏目导航
学习目标 1．了解直线方程的两点式的推导
核心素养
过程．(难点)
2 ． 会 利 用 两 点 式 求 直 线 的 方 通过学习本节内容来提升学生的
程．(重点)
数学运算核心素养.
3．掌握直线方程的截距式，并会
应用．(易错点)
栏目导航
1、点斜式直线方程
点：P1(x1, y1)
y y1 k(x x1)
（7）斜率为-2，在y轴上的截距为-5
(1) y 2x 3 2 1
(2) y 3 x 6 2 33
(3) y 3
(4) y 3x 4 3 2 (5) y 3x 5 (6)x 2 (7) y 2x 5
第2章 平面解析几何初步
2.1 直线与方程 2.1.2 直线的方程 第2课时 两点式和截距式
2018版高中数学必修二学案：2-1-2 第2课时 两点式 精品
第2课时 两点式学习目标 1.掌握直线方程两点式的形式、特点及适用范围.2.了解直线方程截距式的形式、特点及适用范围.3.会用中点坐标公式求两点的中点坐标.知识点一 直线方程的两点式思考1 已知两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，其中x 1≠x 2，y 1≠y 2，求通过这两点的直线方程.思考2 过点(1,3)和(1,5)的直线能用两点式表示吗？为什么？过点(2,3)，(5,3)的直线呢？ 梳理，，思考1 过点(5,0)和(0,7)的直线能用x 5＋y7＝1表示吗？思考2 已知两点P 1(a,0)，P 2(0，b )，其中a ≠0，b ≠0，求通过这两点的直线方程. 梳理轴上的截且类型一直线的两点式方程例1已知三角形的三个顶点是A(4,0)，B(6,7)，C(0,3)，求三边所在的直线方程.反思与感悟(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程.(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误.在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系.跟踪训练1已知△ABC的三个顶点为A(1,1)，B(5,1)，C(23－1，7－23).(1)求△ABC三边所在直线的方程；(2)求△ABC内角A，B的大小.类型二直线的截距式方程命题角度1与三角形有关的直线方程例2过点P(1,3)，且与x轴、y轴的正半轴围成的三角形的面积等于6的直线方程是________. 反思与感悟求解此类问题的两个步骤：一是待定系数法，即根据题中条件设出直线方程，如在x轴、y轴上的截距分别为a，b(a≠0，b≠0)的直线方程常设为xa＋yb＝1；二是方程(组)思想，即根据已知条件，寻找关于参数的方程(组)，解方程(组)，得参数的值.跟踪训练2 直线l 与两坐标轴在第一象限所围成的三角形的面积为2，两截距之差为3，求直线l 的方程.命题角度2 判断直线的条数例3 过点A (3，－1)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有________条.反思与感悟 如果题目中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”“截距互为相反数”“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上截距的m 倍(m >0)”等条件时，若采用截距式求直线方程，则一定要注意考虑“零截距”的情况.跟踪训练3 过点P (2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线有________条.1.过两点(－2,1)和(1,4)的直线方程为__________________________________.2.若直线l 的方程为x －2＋y2＝1，则该直线的倾斜角为____________.3.经过P (4,0)，Q (0，－3)两点的截距式方程为________________________.4.过点(5,2)，且在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的2倍的直线方程是____________________.5.下列四个结论：①方程k ＝y －2x ＋1与方程y －2＝k (x ＋1)可表示同一直线；②直线l 过点P (x 1，y 1)，倾斜角为90°，则其方程是x ＝x 1； ③直线l 过点P (x 1，y 1)，斜率为0，则其方程是y ＝y 1； ④所有的直线都有点斜式和截距式方程. 正确的为________.(填序号)1.当直线斜率不存在(x 1＝x 2)或斜率为0(y 1＝y 2)时，不能用两点式y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1求它的方程，此时直线的方程分别是x ＝x 1和y ＝y 1，而它们都适合(x 2－x 1)·(y －y 1)＝(y 2－y 1)(x －x 1)，即两点式的整式形式，因此过任意两点的直线的方程都可以写成(x 2－x 1)(y －y 1)＝(y 2－y 1)(x －x 1)的形式.2.直线的截距式是两点式的一个特殊情形，用它来画直线以及判断直线经过的象限或求直线与坐标轴围成的三角形的面积比较方便.注意直线过原点或与坐标轴平行时，没有截距式方程，但直线过原点时两截距存在且同时等于零.答案精析问题导学 知识点一思考1 y －y 1＝y 2－y 1x 2－x 1(x －x 1)，即y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1. 思考2 不能，因为1－1＝0，而0不能做分母．过点(2,3)，(5,3)的直线也不能用两点式表示． 知识点二思考1 能．由直线方程的两点式得 y －07－0＝x －50－5，即x 5＋y7＝1.思考2 由直线方程的两点式， 得y －0b －0＝x －a0－a ， 即x a ＋yb ＝1. 题型探究例1 解 直线AB 过A ，B 两点，由两点式得y －07－0＝x －46－4，整理得7x －2y －28＝0.∴直线AB 的方程为7x －2y －28＝0.直线AC 过A (4,0)，C (0,3)两点，由两点式得y －03－0＝x －40－4，整理得3x ＋4y －12＝0.∴直线AC 的方程为3x ＋4y －12＝0.直线BC 过B (6,7)，C (0,3)两点，由两点式得y －73－7＝x －60－6，整理得2x －3y ＋9＝0.∴直线BC 的方程为2x －3y ＋9＝0.跟踪训练1 解 (1)直线AB 过点A (1,1)，B (5,1)，由于A ，B 的纵坐标相等，所以直线AB 的方程为y ＝1.直线AC 过点A (1,1)，C (23－1,7－23)，由两点式方程可得y －16－23＝x －123－2，整理得3x －y ＋1－3＝0， 这就是直线AC 的方程．直线BC 过点B (5,1)，C (23－1,7－23)， 由两点式方程可得y －16－23＝x －523－6，整理得x ＋y －6＝0，这就是直线BC 的方程．(2)因为k AC ＝3，所以直线AC 的倾斜角α＝60°.又AB 平行于x 轴，所以∠A ＝60°. 因为k BC ＝－1，所以直线BC 的倾斜角β＝135°. 又AB 平行于x 轴，所以∠B ＝45°. 例2 3x ＋y －6＝0跟踪训练2 解 由题设知，直线l 不过原点，且在x 轴、y 轴上的截距都大于0，设直线l 的方程为x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)，则由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧12ab ＝2，|a －b |＝3.①当a ≥b 时，①可化为⎩⎪⎨⎪⎧12ab ＝2，a －b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－4(舍去)；当a <b 时，①可化为⎩⎪⎨⎪⎧12ab ＝2，b －a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝－1(舍去)．所以直线l 的方程为x 4＋y ＝1或x ＋y4＝1，即x ＋4y －4＝0或4x ＋y －4＝0.例3 3 跟踪训练3 2 当堂训练1．x －y ＋3＝0 2.45° 3.x 4－y3＝14．x ＋2y －9＝0或2x －5y ＝0 5.②③。
高中数学 第二章 2.1.2 第二课时 两点式课件 苏教版必
3．你还能用其他方法求解例2吗？
解：显然直线 l 的斜率存在且不为零． 设直线 l 的方程为 y＋3＝k(x－4)，k≠0， 令 x＝0，得 y＝－4k－3；令 y＝0，得 x＝4k＋k 3. 又∵直线在两坐标轴上截距的绝对值相等， ∴|－4k－3|＝|4k＋k 3|，解得 k＝1 或 k＝－1 或 k＝－34. ∴所求的直线方程为 x－y－7＝0 或 x＋y－1＝0 或 3x＋用两点式求直 线方程．在用两点式求方程时，注意两点式的形式，即 不能将字母或数字的顺序错位．
2．在涉及直线与两坐标轴的截距问题时，常把直 线方程设为截距式，由已知条件建立两截距的方程，解 得截距的值，从而确定方程．另外，当题目中出现诸如 “截距相等”、“截距的绝对值相等”、“截距互为相反数”、 “在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上截距的m倍(m＞0)” 等条件时，一定要注意考虑“零截距”的情况．
[思路点拨] 已知直线上的两点，可利用两点式求 方程，也可利用两点先求斜率利用点斜式写直线方程．
[精解详析] ∵A(2，－1)，B(2,2)， A、B 两点横坐标相同， 直线 AB 与 x 轴垂直，故其方程为 x＝2. ∵A(2，－1)，C(4,1)，由直线方程的两点式可得 AC 的方程为 －y－1－11＝x2－－44，即 x－y－3＝0. 同理可由直线方程的两点式得直线 BC 的方程为 1y－－22＝x4－－22，即 x＋2y－6＝0. ∴三边 AB、AC、BC 所在的直线方程分别为 x＝2，x－y－3＝0，x＋2y－6＝0.
直线的两点式方程和截距式方程
两点式
截距式
在x轴上截距a，在y轴 条件 P1(x1，y1)和P2(x2，y2) 上截距b
图形
两点式
截距式
方程
yy2－－yy11＝xx2－－xx11
2018版高中数学 第二章 平面解析几何初步 2.1.2 第1课时 直线的点斜式学案 苏教版必修2
2.1.2 第1课时直线的点斜式1．掌握直线的点斜式与斜截式方程．(重点、难点)2．能利用点斜式求直线的方程．(重点)3．了解直线的斜截式与一次函数之间的区别和联系．(易混点)[基础·初探]教材整理1 直线的点斜式方程阅读教材P80～P81，完成下列问题．1．过点P1(x1，y1)且斜率为k的直线方程y－y1＝k(x－x1)叫做直线的点斜式方程．2．过点P1(x1，y1)且与x轴垂直的方程为x＝x1.1．过点(2,3)，斜率为－1的直线的方程为________．【解析】由点斜式方程得：y－3＝－1·(x－2)，∴y－3＝－x＋2，即y＝－x＋5.【答案】y＝－x＋52．过点P(1,1)平行于x轴的直线方程为________，垂直于x轴的直线方程为________．【解析】过点P(1,1)平行于x轴的直线方程为y＝1，垂直于x轴的直线方程为x＝1.【答案】y＝1 x＝13．若直线l过点A(－1,1)，B(2,4)，则直线l的方程为________．【解析】k＝4－12－－＝1，l的方程为y－1＝1·(x＋1)，即y＝x＋2.【答案】y＝x＋2教材整理2 直线的斜截式方程阅读教材P82探究以上部分内容，完成下列问题．斜截式方程：y＝kx＋b，它表示经过点P(0，b)，且斜率为k的直线方程．其中b为直线与y轴交点的纵坐标，称其为直线在y轴上的截距．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)当直线的倾斜角为0°时，过(x 0，y 0)的直线l 的方程为y ＝y 0.(√) (2)直线与y 轴交点到原点的距离和直线在y 轴上的截距是同一概念．(×) (3)直线的点斜式方程不能表示坐标平面上的所有直线．(√) (4)当直线的斜率不存在时，过点(x 1，y 1)的直线方程为x ＝x 1.(√)2．已知直线的倾斜角为60°，在y 轴上的截距为－2，则此直线方程为________.【导学号：41292066】【解析】 k ＝tan 60°＝3，且过点(0，－2)，所以直线方程为y ＋2＝3(x －0)，即3x －y －2＝0.【答案】3x －y －2＝0[小组合作型]利用点斜式求直线的方程根据下列条件，求直线的方程．(1)经过点B (2,3)，倾斜角是45°； (2)经过点C (－1，－1)，与x 轴平行； (3)经过点A (1,1)，B (2,3)．【精彩点拨】 先求直线的斜率，再用点斜式求直线的方程． 【自主解答】 (1)∵直线的倾斜角为45°， ∴此直线的斜率k ＝tan 45°＝1， ∴直线的点斜式方程为y －3＝x －2， 即x －y ＋1＝0. (2)∵直线与x 轴平行， ∴倾斜角为0°，斜率k ＝0， ∴直线方程为y ＋1＝0×(x ＋1)， 即y ＝－1.(3)∵直线的斜率k ＝3－12－1＝2.∴直线的点斜式方程为y －3＝2×(x －2)，即2x－y－1＝0.1．求直线的点斜式方程的前提条件是：(1)已知一点P(x0，y0)和斜率k；(2)斜率必须存在．只有这两个条件都具备，才可以写出点斜式方程．2．求直线的点斜式方程的步骤是：先确定点，再确定斜率，从而代入公式求解．[再练一题]1．求倾斜角为135°且分别满足下列条件的直线方程：(1)经过点(－1,2)；(2)在x轴上的截距是－5.【解】(1)∵所求直线的倾斜角为135°，∴斜率k＝tan 135°＝－1，又直线经过点(－1,2)，∴所求直线方程是y－2＝－(x＋1)，即x＋y－1＝0.(2)∵所求直线在x轴上的截距是－5，即过点(－5,0)，又所求直线的斜率为－1，∴所求直线方程是y－0＝－(x＋5)，即x＋y＋5＝0.利用斜截式求直线的方程根据条件写出下列直线的斜截式方程．(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；(3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.【精彩点拨】(1)直接利用斜截式写出方程；(2)先求斜率，再用斜截式求方程；(3)截距有两种情况．【自主解答】(1)由直线方程的斜截式方程可知，所求直线方程为y＝2x＋5.(2)∵倾斜角α＝150°，∴斜率k＝tan 150°＝－33.由斜截式可得方程为y＝－33x－2.(3)∵直线的倾斜角为60°，∴其斜率k＝tan 60°＝3，∵直线与y轴的交点到原点的距离为3，∴直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3.∴所求直线方程为y＝3x＋3或y＝3x－3.1．直线的斜截式方程使用的前提条件是斜率必须存在．2．当直线的斜率和直线在y轴上的截距都具备时，可以直接写出直线的斜截式方程；当斜率和纵截距不直接给出时，求直线的斜截式方程可以利用待定系数法求解．[再练一题]2．根据下列条件，求直线的斜截式方程．(1)倾斜角是30°，在y轴上的截距是0.(2)倾斜角为直线y＝－3x＋1的倾斜角的一半，且在y轴上的截距为－10.【导学号：41292067】【解】(1)由题意可知所求直线的斜率k＝tan 30°＝33，由直线方程的斜截式可知，直线方程为y＝33x.(2)设直线y＝－3x＋1的倾斜角为α，则tan α＝－3，∴α＝120°，∴所求直线的斜率k＝tan 60°＝ 3.∴直线的斜截式方程为y＝3x－10.[探究共研型]直线的点斜式方程和斜截式方程的应用探究1 对于直线y＝kx＋1，是否存在k使直线不过第三象限？若存在，k的取值范围是多少？【提示】直线y＝kx＋1过定点(0,1)，直线不过第三象限，只需k<0.探究2 已知直线l的方程是2x＋y－1＝0，求直线的斜率k在y轴上的截距b，以及与y轴交点P的坐标．【提示】∵2x＋y－1＝0可变形为y＝－2x＋1，斜率k＝－2.令x＝0，得y＝1，即b ＝1，直线l与y轴的交点为(0,1)．已知直线l 经过点P (4,1)，且与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为8，求直线l 的点斜式方程．【精彩点拨】 设出直线的点斜式方程，表示出横、纵截距，利用三角形面积得斜率方程，求解即可．【自主解答】 设所求直线的点斜式方程为：y －1＝k (x －4)(k <0)， 当x ＝0时，y ＝1－4k ；当y ＝0时，x ＝4－1k.由题意，得12×(1－4k )×⎝ ⎛⎭⎪⎫4－1k ＝8. 解得k ＝－14.所以直线l 的点斜式方程为y －1＝－14(x －4)．在利用直线的点斜式方程或斜截式方程表示纵、横截距，从而进一步表示直线与坐标轴围成的三角形面积时，要注意截距并非一定是三角形的边长，要根据斜率进行判断，当正负不确定时，要进行分类讨论．[再练一题]3．已知直线l 的斜率为16，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l 的方程．【解】 设直线方程为y ＝16x ＋b ，则x ＝0时，y ＝b ；y ＝0时，x ＝－6b .由已知可得12·|b |·|－6b |＝3， 即6|b |2＝6，∴b ＝±1.故所求直线方程为y ＝16x ＋1或y ＝16x －1，即x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.1．直线y －2＝－3(x ＋1)的倾斜角和所过的点分别为________．【解析】 由点斜式方程知，直线过点(－1,2)，斜率为－3，∴倾斜角为120°. 【答案】 120°，(－1,2)2．已知直线的方程为y ＋2＝－x －1，则直线的斜率为________．【解析】 化直线方程为斜截式：y ＝－x －3， ∴斜率为－1. 【答案】 －13．经过点(－1,1)，斜率是直线y ＝22x －2的斜率的2倍的直线方程是_____． 【解析】 由方程知，已知直线的斜率为22， ∴所求直线的斜率是2，由直线方程的点斜式可得方程为y －1＝2(x ＋1)，即2x －y ＋2＋1＝0.【答案】2x －y ＋2＋1＝04．直线x ＋y ＋1＝0的倾斜角与其在y 轴上的截距分别是________.【导学号：41292068】【解析】 直线x ＋y ＋1＝0变成斜截式得y ＝－x －1，故该直线的斜率为－1，在y 轴上的截距为－1.若直线的倾斜角为α，则tan α＝－1，即α＝135°.【答案】 135°，－15．求经过点A (－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12的直线方程． 【解】 设直线方程为y －4＝k (x ＋3)(k ≠0)． 当x ＝0，y ＝4＋3k ， 当y ＝0，x ＝－4k－3，∴3k ＋4－4k－3＝12，即3k 2－11k －4＝0，∴k ＝4或k ＝－13.∴直线方程为y －4＝4(x ＋3)或y －4＝－13(x ＋3)，即4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0.。
【课堂新坐标】(教师用书)高中数学 2.1.2 第2课时 两点式同步教学名师课件 苏教版必修2
2．过点 P1(1,1)、P2(2,3)的直线方程为________．
【解析】 由直线方程的两点式得 1y－－33＝1x－－22 即 2x－y－1＝0. 【答案】 2x－y－1＝0
3．直线3x－4y＝1 在两坐标轴上的截距之和为________． 【解析】 令 x＝0 得，y＝－4；令 y＝0 得，x＝3. 故直线在两坐标轴上的截距之和为－4＋3＝－1. 【答案】 －1
直线 BC 过 B(3，－3)，C(0,2)， 斜率是 k＝2－0－－33＝－53， 由点斜式得 y－2＝－53(x－0)， 整理得 5x＋3y－6＝0，这就是直线 BC 的方程． 直线 AC 过 A(－5,0)，C(0,2)两点， 由截距式得－x5＋2y＝1，
整理得 2x－5y＋10＝0，这就是直线 AC 的方程.
综上知，所求直线方程为 x＋y－1＝0 或 x－y－7＝0 或 3x＋4y＝0.
法 2：设直线 l 的方程为 y＋3＝k(x－4)， 令 x＝0，得 y＝－4k－3；令 y＝0，得 x＝4k＋k 3. 又∵直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等， ∴|－4k－3|＝|4k＋k 3|， 解得 k＝1 或 k＝－1 或 k＝－34.
所以所求直线的方程为6x＋6y＝1 或2x＋－y2＝1， 化简即得直线 l 的方程为 x＋y＝6 或 x－y＝2.
综上，直线方程为 x－2y＝0 或 x＋y＝6 或 x－y＝2.
【正解 2】 设直线 l 在 x 轴、y 轴的截距均为 a， 若 a＝0，则 l 过(0,0)和(1,4)两点， ∴直线 l 的方程为 y＝4x，即 4x－y＝0. 若 a≠0，则可设直线 l 的方程为ax＋ay＝1， ∵直线 l 过点(1,4)，∴1a＋4a＝1，∴a＝5， ∴直线 l 的方程为 x＋y－5＝0. 综上所述，直线 l 的方程为 4x－y＝0 或 x＋y－5＝0.
2.1.2-第2课时直线方程的两点式和一般式 教案 (高中数学必修二北师大版)
第2课时直线方程的两点式和一般式(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)掌握直线方程的几种形式及它们之间的相互转化．(2)了解直线与二元一次方程的对应关系．2．过程与方法让学生在应用旧知识的探究过程中获得新的结论，并通过新的知识的比较、分析、应用获得新知识的特点．3．情感、态度与价值观(1)认识事物之间的普遍联系与相互转化．(2)培养学生用联系的观点看问题．●重点难点重点：直线方程的两点式和一般式．难点：利用直线方程的各种形式求直线方程．两点式其实就是点斜式的变形，值得注意的是两点式方程y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1中的条件x1≠x2，y1≠y2，使得它既不能表示与x轴垂直的直线，也不能表示与y轴垂直的直线．(教师用书独具)●教学建议本节课的教学内容为直线方程的两点式和一般式，在此之前，学生已掌握了直线方程的点斜式、斜截式，在本节教学时，通过师生探讨，得出直线的两点式和一般式方程，通过直线的两点式方程向截距式方程的过渡训练，让学生体会由一般到特殊的处理方法，让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中增知，在“探究”中创新．●教学流程创设问题情境，提出问题⇒引导学生回答问题，理解直线方程的两点式、一般式⇒通过例1及互动探究使学生掌握灵活运用题目条件求直线方程⇒通过例2及变式训练使学生掌握一般式方程与其他方程的互化⇒通过例3及变式训练使学生掌握一般式方程的应用⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，如何求AB的直线方程？【提示】k AB＝y2－y1x2－x1由点斜式方程得y－y1＝y2－y1x2－x1(x－x1)．1．两点式：设A(x1，y1)，B(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)是直线l上的两点，则l的两点式为y－y1y2－y1＝x－x1 x2－x1.2．截距式：若直线l过A(a,0)，B(0，b)，(ab≠0)，则直线l的两点式方程可化为xa＋yb＝1的形式，这种形式的方程叫作直线方程的截距式．其中a为直线在x轴上的截距，b为直线在y轴上的截距．以上所学的直线方程的几种形式能整理成关于x、y的二元一次方程的整式形式吗？【提示】能．直线方程的一般式关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)表示的是一条直线，我们把它叫作直线方程的一般式．(1)过点A (－2,3)，B (4，－1)；(2)在x 轴、y 轴上的截距分别为4，－5； (3)过点P (2,3)，且在两坐标轴上的截距相等．【思路探究】 (1)要根据不同的要求选择适当的方程形式；(2)“截距”相等要注意分过原点和不过原点这两种情况．【自主解答】 (1)由两点式得y －3－1－3＝x ＋24＋2化简得2x ＋3y －5＝0.(2)由截距式，得x 4＋y－5＝1化简为5x －4y －20＝0.(3)当直线过原点时，所求直线方程为3x －2y ＝0.当直线不过原点时，设直线方程为x a ＋ya ＝1，∵直线过P (2,3) ， ∴2＋3a ＝1，∴a ＝5， 直线方程为x ＋y －5＝0，所以所求直线方程为3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0.1．本题(3)中易漏掉截距都为0情况．2．直线方程有多种形式，在求解时应根据题目的条件选择合适的形式，但要注意方程各种形式的适用范围．将本例(1)中的A 改(－2，m )，求直线方程． 【解】 当m ＝－1时直线方程为y ＝－1， 当m ≠－1时，由两点式得y －m －1－m ＝x －4－2－4，∴y ＝m ＋16x ＋m －13.定m 的值；(1)l 在x 轴上的截距是－3； (2)l 的斜率是－1.【思路探究】 可根据所求的结论把一般式转化为其他形式．【自主解答】 (1)由题意可得⎩⎨⎧m 2－2m －3≠0， ①2m －6m 2－2m －3＝－3， ② 由①得：m ≠－1且m ≠3， 由②得：m ＝3或m ＝－53.∴m ＝－53.(2)由题意得⎩⎨⎧2m 2＋m －1≠0， ③－m 2－2m －32m 2＋m －1＝－1. ④ 由③得：m ≠－1且m ≠12，由④得：m ＝－1或m ＝－2.∴m ＝－2.1．本题的易错点是(1)中漏掉m 2－2m －3≠0，(2)中漏掉2m 2＋m －1≠0.2．把直线方程的一般式Ax ＋By ＋C ＝0(A 、B 不同时为0)化成其他形式时，要注意式子成立的条件，特别是当B ＝0时，直线的斜率不存在，这时方程不能化成点斜式或斜截式的形式．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程： (1)斜率为2，且经过点A (1，－1)．(2)斜率为12，在y 轴上的截距为1.【解】 (1)y －(－1)＝2(x －1)，即2x －y －3＝0.(2)y ＝12x ＋1，即x －2y ＋2＝0.(1)求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限； (2)为使直线l 不经过第二象限，求a 的取值范围．【思路探究】 解答本题可先把一般式方程化为点斜式方程，然后再由直线过定点(15，35)，说明直线l 恒过第一象限．对于求a 的取值范围可借助图形，利用“数形结合思想”求得．【自主解答】 (1)将直线l 的方程整理为y －35＝a (x －15)，∴l 的斜率为a ，且过定点A (15，35)，而点A (15，35)在第一象限， 故l 过第一象限．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第2课时 两点式
学习目标 1.掌握直线方程两点式的形式、特点及适用范围.2.了解直线方程截距式的形式、特点及适用范围.3.会用中点坐标公式求两点的中点坐标.
知识点一 直线方程的两点式
思考1 已知两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，其中x 1≠x 2，y 1≠y 2，求通过这两点的直线方程.
思考2 过点(1,3)和(1,5)的直线能用两点式表示吗？为什么？过点(2,3)，(5,3)的直线呢？ 梳理
，，
思考1 过点(5,0)和(0,7)的直线能用x 5＋y
7
＝1表示吗？
思考2 已知两点P 1(a,0)，P 2(0，b )，其中a ≠0，b ≠0，求通过这两点的直线方程. 梳理
轴上的截
且
类型一直线的两点式方程
例1已知三角形的三个顶点是A(4,0)，B(6,7)，C(0,3)，求三边所在的直线方程.
反思与感悟(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程.
(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误.在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系.
跟踪训练1已知△ABC的三个顶点为A(1,1)，B(5,1)，C(23－1，7－23).
(1)求△ABC三边所在直线的方程；
(2)求△ABC内角A，B的大小.
类型二直线的截距式方程
命题角度1与三角形有关的直线方程
例2过点P(1,3)，且与x轴、y轴的正半轴围成的三角形的面积等于6的直线方程是________. 反思与感悟求解此类问题的两个步骤：一是待定系数法，即根据题中条件设出直线方程，
如在x轴、y轴上的截距分别为a，b(a≠0，b≠0)的直线方程常设为x
a＋y
b＝1；二是方程(组)
思想，即根据已知条件，寻找关于参数的方程(组)，解方程(组)，得参数的值.
跟踪训练2 直线l 与两坐标轴在第一象限所围成的三角形的面积为2，两截距之差为3，求直线l 的方程.
命题角度2 判断直线的条数
例3 过点A (3，－1)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有________条.
反思与感悟 如果题目中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”“截距互为相反数”“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上截距的m 倍(m >0)”等条件时，若采用截距式求直线方程，则一定要注意考虑“零截距”的情况.
跟踪训练3 过点P (2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线有________条.
1.过两点(－2,1)和(1,4)的直线方程为__________________________________.
2.若直线l 的方程为x －2＋y
2＝1，则该直线的倾斜角为____________.
3.经过P (4,0)，Q (0，－3)两点的截距式方程为________________________.
4.过点(5,2)，且在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的2倍的直线方程是____________________.
5.下列四个结论：
①方程k ＝y －2
x ＋1与方程y －2＝k (x ＋1)可表示同一直线；
②直线l 过点P (x 1，y 1)，倾斜角为90°，则其方程是x ＝x 1； ③直线l 过点P (x 1，y 1)，斜率为0，则其方程是y ＝y 1； ④所有的直线都有点斜式和截距式方程. 正确的为________.(填序号)
1.当直线斜率不存在(x 1＝x 2)或斜率为0(y 1＝y 2)时，不能用两点式y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1求它的方程，
此时直线的方程分别是x ＝x 1和y ＝y 1，而它们都适合(x 2－x 1)·(y －y 1)＝(y 2－y 1)(x －x 1)，即两点式的整式形式，因此过任意两点的直线的方程都可以写成(x 2－x 1)(y －y 1)＝(y 2－y 1)(x －x 1)的形式.
2.直线的截距式是两点式的一个特殊情形，用它来画直线以及判断直线经过的象限或求直线与坐标轴围成的三角形的面积比较方便.注意直线过原点或与坐标轴平行时，没有截距式方
程，但直线过原点时两截距存在且同时等于零.
答案精析
问题导学 知识点一
思考1 y －y 1＝y 2－y 1
x 2－x 1(x －x 1)，
即y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1
. 思考2 不能，因为1－1＝0，而0不能做分母．过点(2,3)，(5,3)的直线也不能用两点式表示． 知识点二
思考1 能．由直线方程的两点式得 y －07－0＝x －50－5
，即x 5＋y
7＝1.
思考2 由直线方程的两点式， 得y －0b －0＝x －a
0－a ， 即x a ＋y
b ＝1. 题型探究
例1 解 直线AB 过A ，B 两点，由两点式得y －07－0＝x －4
6－4，
整理得7x －2y －28＝0.
∴直线AB 的方程为7x －2y －28＝0.
直线AC 过A (4,0)，C (0,3)两点，由两点式得y －03－0＝x －4
0－4，
整理得3x ＋4y －12＝0.
∴直线AC 的方程为3x ＋4y －12＝0.
直线BC 过B (6,7)，C (0,3)两点，由两点式得y －73－7＝x －6
0－6，
整理得2x －3y ＋9＝0.
∴直线BC 的方程为2x －3y ＋9＝0.
跟踪训练1 解 (1)直线AB 过点A (1,1)，B (5,1)，由于A ，B 的纵坐标相等，所以直线AB 的方程为y ＝1.
直线AC 过点A (1,1)，C (23－1,7－23)，
由两点式方程可得y －16－23＝x －1
23－2，
整理得3x －y ＋1－3＝0， 这就是直线AC 的方程．
直线BC 过点B (5,1)，C (23－1,7－23)， 由两点式方程可得y －16－23＝x －5
23－6，
整理得x ＋y －6＝0，这就是直线BC 的方程．
(2)因为k AC ＝3，所以直线AC 的倾斜角α＝60°.又AB 平行于x 轴，所以∠A ＝60°. 因为k BC ＝－1，
所以直线BC 的倾斜角β＝135°. 又AB 平行于x 轴，所以∠B ＝45°. 例2 3x ＋y －6＝0
跟踪训练2 解 由题设知，直线l 不过原点，且在x 轴、y 轴上的截距都大于0，设直线l 的方程为x a ＋y
b ＝1(a >0，b >0)，
则由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧
12ab ＝2，
|a －b |＝3.①
当a ≥b 时，①可化为⎩⎪⎨⎪⎧
12ab ＝2，
a －
b ＝3，
解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝1或⎩
⎪⎨⎪
⎧ a ＝－1，b ＝－4(舍去)；
当a <b 时，①可化为⎩⎪⎨⎪⎧
12ab ＝2，b －a ＝3，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝1，
b ＝4或⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＝－4，
b ＝－1(舍去)．
所以直线l 的方程为x 4＋y ＝1或x ＋y
4＝1，即x ＋4y －4＝0或4x ＋y －4＝0.
例3 3 跟踪训练3 2 当堂训练
1．x －y ＋3＝0 2.45° 3.x 4－y
3＝1
4．x ＋2y －9＝0或2x －5y ＝0 5.②③。