单因素方差分析

6.1 单因素方差分析
(One-Way ANOVA) 当各处理的样本量Ji不全相等时 平方和分解式：
2 ( Y Y ) ( Y Y ) J ( Y Y ) ij ij i i i 2 2 i 1 j 1 i 1 j 1 i 1 I Ji I Ji I
i 1 I
E ( SSW ) I ( J 1) 2
Pooled sample variance
SSW ˆ S I ( J 1)
2 2 p
H0 : 1 2 I 0
H0成立时F ~ F ((I 1), I ( J 1))
6.1 单因素方差分析
6.3 双因素方差分析
(Two-Way ANOVA )
6.3.1 无交互作用 6.3.2 有交互作用
6.3 双因素方差分析
6.3.1 无交互作用
例6.2 用3种电烤箱烧烤3种菜肴， 考察用电量（千瓦小时）
Menu Day Range 1 菜肴 烤箱 1
1 2 3 3.97 2.39 2.76
Range 2 烤箱 2
2
(J) lab 2 3 4 5 6 7 1 3 4 5 6 7
Mean Difference (I-J) Std. Error .06500* .02710 .05900* .02710 .14200* .02710 .10500* .02710 .10700* .02710 .06400* .02710 -.06500* .02710 -.00600 .02710 .07700* .02710 .04000 .02710 .04200 .02710 -.00100 .02710
6.1 单因素方差分析
(One-Way ANOVA)
一般情况
第i个处理 1
Y11 第j次 … 观测 Y1j … Y1J
2
Y21 … Y2j … Y2J
…i… … Yi1… ……… … Yij … ……… … YiJ …
I YI1 … YIj … YIJ
6.1 单因素方差分析
(One-Way ANOVA)
6.1 单因素方差分析
(One-Way ANOVA)
例 6.1
Lab1 Lab2 Lab3 Lab4 Lab5 Lab6 Lab7
4.13 4.07 4.04 4.07 4.05 4.04 4.02 4.06 4.10 4.04 3.86 3.85 4.08 4.11 4.08 4.01 4.02 4.04 3.97 3.95 4.00 4.02 4.01 4.01 4.04 3.99 4.03 3.97 3.98 3.98 3.88 3.88 3.91 3.95 3.92 3.97 3.92 3.90 3.97 3.90 4.02 3.95 4.02 3.89 3.91 4.01 3.89 3.89 3.99 4.00 4.02 3.86 3.96 3.97 4.00 3.82 3.98 3.99 4.02 3.93 4.00 4.02 4.03 4.04 4.10 3.81 3.91 3.96 4.05 4.06
E ( SSB ) J i i2 ( I 1) 2
i 1 I
E ( SSW ) ( J1 J I I ) 2
Pooled sample variance
SSW ˆ S J1 J I I
2 2 p
H0 : 1 2 I 0
Multiple Comparisons
(I) lab 1
2
(J) lab 2 3 4 5 6 7 1 3 4 5
Std. Error .02710 .02710 .02710 .02710 .02710 .02710 .02710 .02710 .02710 .02710
Sig . .408 .698 .000 .005 .004 .448 .408 1.000 .127 1.000
SSTOT SSW SSB
其中：
1 Yi Ji
Y
j 1
Ji
ij
1 Y J1 J I
Y
i 1 j 1
I
Ji
ij
6.1 单因素方差分析
(One-Way ANOVA)
SSB ( I 1) 构造F统计量 F SSW [ J 1 J I I ]
例 6.1 箱线图 Boxplots
6.1 单因素方差分析
(One-Way ANOVA) 统计模型： Yij i ij 其中i是第i个水平的效应，满足 平方和分解式：
I J 2 I J i 1 j 1 i 1 j 1

i 1
I
i
0
I
2 ( Y Y ) ( Y Y ) J ( Y Y ) ij ij i i 2 i 1
E (SSA ) J ( I 1) , E (SSB ) I i2 ( J 1) 2
i 1 2 i 2 j 1 I J
E ( SSE ) ( I 1)(J 1) 2
2 ˆ 2 Sp
SSE ( I 1)(J 1)
Pooled sample variance
H0成立时F ~ F ((I 1), J1 J I I )
6.2
多重比较
(Multiple Comparisons)
6.2
多重比较
(1 LSD Method)
Fisher提出的最小显著差异(Least Significance Difference) 方法，简记为LSD
LSD t I ( J 1) ( 2) S p 1 1 2 J J t I ( J 1) ( 2) S p J i2 i1
(One-Way ANOVA)
6.1 单因素方差分析
(One-Way ANOVA)
ANOVA y Sum of Squares .125 .231 .356 df 6 63 69 Mean Square .021 .004 F 5.660 Sig . .000
Between Groups Within Groups Total
6.2
称 max
i1 ,i2
多重比较
Sp / J
(2 Tukey’s Method)
(Yi1 i1 ) (Yi2 i2 )
服从参数为I和I(J-1)的学生化极差分布（Studentized range distribution）,其上侧100分位数记为 qI , I ( J 1) ( )
若 | Yi1 Yi2 | qI , I ( J 1) ( )
Sp J
则认为i1水平与i2水平有显著差异
6.2
Sp
多重比较
Sp
(2 Tukey’s Method)
0.061 qI , I ( J 1) ( ) q7,63 (0.05) q7,60 (0.05) 0.082 J J 10
Sig. .019 .033 .000 .000 .000 .021 .019 .826 .006 .145 .126 .971
95% Confidence Interval Lower Bound Upper Bound .0108 .1192 .0048 .1132 .0878 .1962 .0508 .1592 .0528 .1612 .0098 .1182 -.1192 -.0108 -.0602 .0482 .0228 .1312 -.0142 .0942 -.0122 .0962 -.0552 .0532
2 0.053 10
若 | Yi1 Yi2 | LSD 则认为i1水平与i2水平有显著差异
S p 0.0606 , t63 (0.025)S p
6.2
Dependent Variable: y LSD
多重比较
(1 LSD Method)
Multiple Comparisons
(I) lab 1
SSTOT SSW SSB
其中：
1 J Yi Yij J j 1
1 I J Y Yij IJ i 1 j 1
6.1 单因素方差分析
(One-Way ANOVA)
SSB ( I 1) F 构造F统计量 SSW [ I ( J 1)]
E ( SSB ) J i2 ( I 1) 2
4.24 2.61 2.75
Range 3 烤箱 3
4.44 2.82 3.01
6.3 双因素方差分析
6.3.3 无交互作用
可加模型（无交互作用）：
Yij i j ij
其中i是A因素第i个水平的效应，满足

i 1
I
i
0
来自百度文库
j是B因素第j个水平的效应，满足

j 1
第6章 方差分析 ANOVA
The Analysis of Variance 数理统计课题组
本章大纲
6.1 6.2 6.3 6.4
单因素方差分析 多重比较 双因素方差分析 非参数方法
6.1 单因素方差分析
(One-Way ANOVA) 例 6.1 研究扑尔敏（氯苯吡胺，Chlorpheniramine ）药 片的剂量，从7个药厂生产的扑尔敏药片中，各抽取10片 做检验，测量出每片中含有氯苯吡胺的剂量（mg）。 实验指标Y：定量变量，本例为药片的剂量。 实验因素(Factors)：定性变量，本例为单因素，只有药厂 （Labs）一个实验因素。 因素水平：实验因素的不同取值，本例为Lab1，Lab2, ……, Lab7，也称为处理（Treatments)
1 2
6.2
7 k 2 21, t63 (0.025/ 21) 3.40 t60 (0.025/ 20) 3.39 t60 (0.025/ 20) 3.16 ?
多重比较
(3 Bonferroni Method)
S p 0.0606 , t60 (0.025/ 20) S p
SSTOT SSA SSB SSE
其中：
1 J Yi Yij J j 1
1 I Y j Yij I j 1
1 I J Y Yij IJ i 1 j 1
6.3 双因素方差分析
6.3.1 无交互作用
构造F统计量
SSA ( I 1) SSB ( J 1) FA , FB SSE [(I 1)(J 1)] SSE [(I 1)(J 1)]
95% Confidence Interval Lower Bound Upper Bound -.0208 .1508 -.0268 .1448 .0562 .2278 .0192 .1908 .0212 .1928 -.0218 .1498 -.1508 .0208 -.0918 .0798 -.0088 .1628 -.0458 .1258
6.2
两两比较共有
k C I2
多重比较
I ( I 1) 个 2
(3 Bonferroni Method)
对显著性水平，取每个两两比较的显著性水平为/k，则 k个两两比较合计犯弃真错误的概率不超过。 t I ( J 1) ( k ) 2 若 | Yi Yi | S p J /2 则认为i1水平与i2水平有显著差异
2 0.085 10
6.2
Dependent Variable: y Bonferroni Mean Difference (I-J) .06500 .05900 .14200* .10500* .10700* .06400 -.06500 -.00600 .07700 .04000
多重比较
(3 Bonferroni Method)
J
j
0
6.3 双因素方差分析
6.3.3 无交互作用
平方和分解式：
2 ( Y Y ) J ( Y Y ) I ( Y Y ) ( Y Y Y Y ) ij i i ij i j 2 2 2 i 1 j 1 i 1 j 1 i 1 j 1 I J I J I J