北京市西城区四十一中2017届高三上学期期中考试数学(文科)试题
北京市部分区2017届高三上学期考试数学文试题分类汇编：三角函数 Word版含答案
北京市部分区2017届高三上学期考试数学文试题分类汇编三角函数一、选择、填空题1、（昌平区2017届高三上学期期末）在ABC ∆中，,24C B b π=∠==，则A ∠=_________2、（朝阳区2017届高三上学期期末）在△ABC 中，已知45,B AC ∠=︒，则C ∠= .3、（朝阳区2017届高三上学期期中）已知3sin 5x =，则sin 2x 的值为 A ． 1225 B ．2425 C ．1225或1225- D ．2425或2425-4、（东城区2017届高三上学期期末）已知函数()sin(),R f x x x ωϕ=+∈ (其中0,ωπϕπ>-<<)的部分图象,如图所示.那么)(x f 的解+析式为（A ）()sin()2f x x π=+（B ）()sin()2f x x π=-（C ）()sin(2)2f x x π=+ （D ）()sin(2)2f x x π=-5、（丰台区2017届高三上学期期末）在△ABC 中，4C π∠=，2AB =，AC =则cos B 的值为(A)12(B) (C) 12或(D)12或12- 6、（海淀区2017届高三上学期期末）如图所示，点D 在线段AB 上，30CAD ∠=，50CDB ∠= ．给出下列三组条件（给出线段的长度）：①,AD DB ； ②,AC DB ； ③,CD DB ．其中，能使ABC ∆唯一确定的条件的序号为____．（写出所有所和要求的条件的序号）7、（海淀区2017届高三上学期期中）在ABC ∆中，13cos 14A =，73a b =, 则B =___.8、（石景山区2017届高三上学期期末）已知ABC △中，AB =1BC ，sin C C ，则ABC △的面积为 ．9、（通州区2017届高三上学期期末）将函数()π2sin(2)6f x x =+学科网的图象向左平移π6个单位，得到函数()g x 的图象，则()0g =______. 10、（西城区2017届高三上学期期末）在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．若3c =，3C π=，sin 2sin B A =，则a =____． 11、（朝阳区2017届高三上学期期中）已知角A 为三角形的一个内角，且3cos 5A =，sin A = . cos 2A = .二、解答题1、（昌平区2017届高三上学期期末）已知函数2()22cos 1f x x x =+- (Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求函数()f x 在64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的最大值和最小值．2、（朝阳区2017届高三上学期期末）已知函数2()cos 2cos 1f x x x x =+-. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在区间[,]64ππ-上的最大值和最小值.3、（朝阳区2017届高三上学期期中）如图，已知,,,A B C D 四点共面，且=1CD ,2BC =,4AB =, 120ABC ∠= ,cos BDC ∠=. （Ⅰ）求sin DBC ∠； （Ⅱ）求AD .DCA4、（东城区2017届高三上学期期末） 已知函数()sin(),3f x x x π=+∈R（Ⅰ）如果点)54,53(P 是角α终边上一点，求)(αf 的值； （Ⅱ）设()()sin g x f x x =+，求)(x g 的单调增区间.5、（丰台区2017届高三上学期期末）已知函数()f x sin (cos )x x x =．（Ⅰ）求()6f π的值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间[π02，]上的最值．6、（海淀区2017届高三上学期期末）已知函数2sin 22cos ()cos x xf x x+=．（Ⅰ）求()f x 的定义域及π()4f 的值；（Ⅱ）求()f x 在π(0,)2上的单调递增区间．7、（海淀区2017届高三上学期期中）已知函数π()cos(2)cos23f x x x =--. （Ⅰ）求(0)f 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间.8、（石景山区2017届高三上学期期末）已知函数π()2sin()sin 22f x x x x =-⋅．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在ππ[,]126-上的最大值．9、（通州区2017届高三上学期期末）已知函数()2sin 22cos 1f x x x =+-．（Ⅰ）求)(x f 最小正周期；（Ⅱ）求)(x f 在区间π02[，]上的最大值和最小值．10、（西城区2017届高三上学期期末）已知函数2π()sin(2)2cos 16f x x x ωω=-+-(0)ω>的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）求()f x 在区间7π[0,]12上的最大值和最小值．参考答案一、选择、填空题 1、712π2、105︒3、D4、A5、D6、①②③7、8 9、2 10 11、47525，-二、解答题1、解：(Ⅰ) 因为2()22cos 1f x x x =+-2+cos2x x2sin(2)6x π=+，所以22T=2πππω==. ……………5分 （Ⅱ）因为64x ππ-≤≤，所以22663x πππ-≤+≤. 即 1sin(2)126x π-≤+≤， 所以12sin(2)26x π-≤+≤.所以当262x ππ+=，即6x π=时，()f x 的最大值为2；当266x ππ+=-，即6x π=-时，()f x 的最小值为1-. ……………13分2、解: 解：（Ⅰ）因为2()cos 2cos 1f x x x x =+-x x 2cos 2sin 3+=2sin(2)6x π=+.所以)(x f 的最小正周期为π. ………………………………………………………7分（Ⅱ）因为2,2.64663x x πππππ-≤≤≤+≤学科网所以- 当2,626x x πππ+==即时，)(x f 取得最大值2；当2,,()666x x f x πππ+=-=-即时取得最小值1-. …………………………13分3、解：（Ⅰ）在△BDC 中，因为cos 7BDC ∠=，所以sin 7BDC ∠= 由正弦定理=sin sin DC BCDBC BDC∠∠得，sin sin =14DC BDC DBC BC ⋅∠∠=． ……………………5分（Ⅱ）在△BDC 中，由2222cos BC DC DB DC DB BDC =+-⋅∠得，24127DB DB=+-． 所以2307DB DB --=．解得DB =7DB =-．由已知得DBC ∠是锐角，又sin =14DBC ∠，所以cos =14DBC ∠ 所以cos =cos 120ABD DBC （）∠-∠.=cos120cos sin120sin DBC DBC ⋅∠+⋅∠1=214214-⋅+=-14． 在△ABD 中，因为222=2cos AD AB BD AB BD ABD +-⋅∠=16724()2714+-⨯-=，所以AD = ……………………………13分 4、解：（Ⅰ）由已知：53cos ,54sin ==αα ---2分 ααπααcos 23sin 21)3sin()(+=+=∴f =53235421⨯+⨯10334+=---6分（Ⅱ）x x x x g sin )cos 23sin 21()(++= =x x cos 23sin 23+ =)cos 21sin 23(3x x + ------------8分 =)6sin(3π+x -----------10分 由πππππk x k 22622+≤+≤+-得：ππππk x k 23232+≤≤+----12分 ∴()g x 的单调增区间为()22,233k k k ππππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦++Z--13分5、解：（Ⅰ）由题意可知，x x x x f 2sin 3cos sin )(-⋅=2)2c o s 1(32s i n 21x x --=……………………2分232cos 232sin 21-+=x xπs i n 2+3(x =……………………4分由此可知，π60f ()=. ……………………6分 （Ⅱ）由20x π≤≤可知， ππ4π2+333x ≤≤，进而sin 2123x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭， ……………………8分 当02x π≤≤时，]231,3[)(--∈x f ， ……………………9分 所以函数)(x f 在区间[]20,π上的最大值为231-，最小值为3-． …………13分 6、解：（Ⅰ）由cos 0x ≠可得ππ,2x k k ≠+∈Z ，所以()f x 的定义域为ππ,2x x k k Z ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭.π()4f == （Ⅱ）2sin 22cos ()cos x x f x x +=22sin cos 2cos cos x x x x +=2sin 2cos x x =+π)4x =+，法1：函数x y sin =的增区间为ππ(2π,2π),22k k k -+∈Z .由πππ2π2π242k x k -<+<+，k ∈Z ， 得3ππ2π2π44k x k -<<+，k ∈Z ，因为π(0,)2x ∈，所以π04x <<，所以，()f x 在π(0,)2上的单调递增区间为π(0,)4.法2：因为π(0,)2x ∈，所以ππ3π(,)444x +∈.因为函数x y sin =在ππ(,)22-上单调递增，所以πππ(,)442x +∈时，π())4f x x =+单调递增此时π(0,)4x ∈，所以，函数()f x 在π(0,)2上的单调递增区间为π(0,)4.7、8、解：（Ⅰ）()2cos sin 2f x x x x =⋅+……1分sin 22x x =+……2分π2sin(2)3x =+，……4分因此)(x f 的最小正周期为π．…………6分 （Ⅱ）当ππ[,]126x ∈-时，ππ2π2633x ≤+≤，………8分 当ππ232x +=，πsin(2)3x +有最大值1．………10分即π12x =时，()f x 的最大值为2．……………13分 9、解：()sin 2cos 2f x x x =+)4x π=+……………….4分（Ⅰ）函数()f x 的最小正周期：22T π==π……………….6分 （Ⅱ）[0]2x π∈ ，，52[]444x πππ∴+∈，……………….7分sin(2)[1]4x π∴+∈………………9分∴当5244x ππ+=，即2x π=时，()f x 取得最小值1-……………….11分∴当242x ππ+=，即8x π=时，()f x .13分10、解：（Ⅰ）因为2π()sin(2)(2cos 1)6f x x x ωω=-+-ππ(sin 2coscos 2sin )cos 266x x x ωωω=-+ [ 4分]12cos 222x x ωω=+ πsin(2)6x ω=+， [ 6分]所以()f x 的最小正周期2ππ2T ω==, 解得1ω=． [ 7分]（Ⅱ）由（Ⅰ）得 π()sin(2)6f x x =+．因为7π12x ≤≤0，所以ππ4π2663x +≤≤． [ 9分]所以，当ππ262x +=，即π6x =时，()f x 取得最大值为1； [11分]当π4π263x +=，即7π12x =时，()f x 取得最小值为[13分]。
北京市西城区41中2017届高三上学期期中考试数学文试题 精品
高三年级数学（文）试题一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设全集U =R ，集合{}2|20A x x x =-<，{}|1B x x =>，则集合U A B =ð（ ）．A ．{}|01x x <<B ．{}|01x x <≤C ．{}|02x x <<D ．{}|1x x ≤ 2．设0.53a =，3log 2b =，2cos π3c =，则（ ）． A ．c b a << B ．c a b << C ．a b c <<D ．b c a <<3．命题“x ∀∈R ，2x x ≠”的否定是（ ）．A ．x ∀∈R ，2x x =B ．x ∀∉R ，2x x ≠C ．x ∃∈R ，2x x =D ．x ∃∉R ，2x x ≠ 4．设a ∈R ，则1a >是11a <的（ ）． A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知平面向量(2,1)a =-，(1,1)b =，(5,1)c =-，若()a kb c +∥，则实数k 的值为（ ）．A ．2B ．12C ．114D ．114-6．某一棱锥的三视图如图，则其侧面积为（ ）．俯视图左视图主视图A．8+ B ．20 C． D．8+7．设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m α⊥，n α∥，则m n ⊥②若αγ⊥，βγ⊥，则αβ∥ ③若m α∥，n α∥，则m n ∥ ④若αβ∥，βγ∥，m α⊥，则m γ⊥ 其中正确命题的序号是（ ）．A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．①和④8．设A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且||||PA PB =，若直线PA 的方程为10x y -+=，则直线PB 的方程为（ ）．A ．50x y +-=B ．210x y --=C ．240y x --=D ．270x y +-=9．已知函数π()sin 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象的相邻两条对称轴之间的距离为π4，则()f x 的最小正周期是（ ）．A ．2πB ．πC ．π2D ．π410．函数2π12sin 4y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭是（ ）． A ．最小正周期为π的偶函数B ．最小正周期为π的奇函数C ．最小正周期为π2的偶函数D ．最小正周期为π2的奇函数二、填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．把答案填在题中横线上．11．若复数2i 1iz =-，则||z 等于__________．12．已知直线1:310l x y -+=，2:210l x my +-=．若12l l ∥，则实数m =__________；若12l l ⊥，则实数m =__________．13．若变量x ，y 满足约束条件10,280,0,x y x y x -+⎧⎪+-⎨⎪⎩≤≤≥则3z x y =+的最小值为__________．14．函数()π()sin 0,0,||2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭部分图象如图所示，则函数()f x 解析式为__________．15．已知平面向量a ，b 满足||1a =，||2b =，且()a b a +⊥，则a 与b 的夹角是__________．16．在ABC △中，C 为钝角，32AB AC =，1sin 3A =，则角C =__________，sinB =__________．17．设函数2,0,(),0.x x f x x x -⎧=⎨>⎩≤若()4f α=，则实数α=__________．18．2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是我国以古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos2θ的值等于__________．三、解答题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．19．已知：{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且23b =，39b =，11a b =，144a b =． （1）求{}n a 的通项公式．（2）设n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和．20．已知：函数2()(cos sin )1f x x x x =+-．（1）求()f x 的最小正周期和图象的对称中心．（2）求()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．21．已知：函数2π()cos 2cos2()3f x x x x ⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭R ． （1）求函数()f x 的单调递增区间．（2）ABC △内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，若2B f ⎛⎫= ⎪⎝⎭1b =，c 且a b >，试求角B 和角C ．22．已知：如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，AB BC ⊥，12AA AC ==，1BC =，E ，F 分别是11AC ，BC 的中点．A 1B 1C 1F ECB A（1）求证：平面ABE ⊥平面11B BCC ．（2）求证：1C F ∥平面ABE ．（3）求三棱锥E ABC -的体积．23．如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥平面ABCD ，AB DC ∥，DC AC ⊥． （1）求证：DC ⊥平面PAC ．（2）求证：平面PAB ⊥平面PAC ．（3）设点E 为AB 的中点．在棱PB 上是否存在点F ，使得PA ∥平面CEF ？说明理由．A。
2017西城区高三(上)期末数学(文科)
2017西城区高三（上）期末数学（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A={x|0＜x＜2}，B={x|x2﹣1＞0}，那么A∩B=（）A．{x|0＜x＜1}B．{x|1＜x＜2}C．{x|﹣1＜x＜0}D．{x|﹣1＜x＜2}2．（5分）下列函数中，定义域为R的奇函数是（）A．y=x2+1 B．y=tanx C．y=2x D．y=x+sinx3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．1 B．0 C．﹣3 D．﹣104．（5分）已知双曲线x2﹣=1（b＞0）的一个焦点是（2，0），则其渐近线的方程为（）A．x±y=0 B．x±y=0 C．x±3y=0 D．3x±y=05．（5分）实数x，y满足，则y﹣4x的取值范围是（）A．（﹣∞，4]B．（﹣∞，7]C．[﹣，4]D．[﹣，7]6．（5分）设，是非零向量，且≠±．则“||=||”是“（）⊥（）”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是（）A．20+2 B．14+4 C．26 D．12+28．（5分）8名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场）．规定两人对局胜者得2分，平局各得1分，负者得0分，并按总得分由高到低进行排序．比赛结束后，8名选手的得分各不相同，且第二名的得分与最后四名选手得分之和相等．则第二名选手的得分是（）A．14 B．13 C．12 D．11二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）复数等于．10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（3，﹣1），则△AOB的面积是．11．（5分）已知圆（x﹣1）2+y2=4与抛物线y2=2px（p＞0）的准线相切，则p=．12．（5分）函数y=的定义域是；最小值是．13．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若c=3，C=，sinB=2sinA，则a=．14．（5分）设函数f（x）=，其中a＞0①若a=3，则f[f（9）]=；②若函数y=f（x）﹣2有两个零点，则a的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）在等差数列{a n}中，a2=3，a3+a6=11（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=a n+，其中n∈N*，求数列{b n}的前n项和S n．16．（13分）已知函数f（x）=sin（2ωx﹣）+2cos2ωx﹣1（ω＞0）的最小正周期为π（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．17．（13分）手机完全充满电量，在开机不使用的状态下，电池靠自身消耗一直到出现低电量警告之间所能维持的时间称为手机的待机时间．为了解A，B两个不同型号手机的待机时间，现从某卖场库存手机中随机抽取A，B两个型号的手机各5台，在相同条件下进行测试，统计结果如下：已知A，B两个型号被测试手机待机时间的平均值相等．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）判断A，B两个型号被测试手机待机时间方差的大小（结论不要求证明）；（Ⅲ）从被测试的手机中随机抽取A，B型号手机各1台，求至少有1台的待机时间超过122小时的概率．（注：n个数据x1，x2，…，x n的方差s2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]，其中为数据x1，x2，…，x n的平均数）18．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，PA=PD，AB⊥PA，AD=2，AB=BC=1（Ⅰ）求证：AB⊥PD（Ⅱ）若E为PD的中点，求证：CE∥平面PAB（Ⅲ）设平面PAB∩平面PCD=PM，点M在平面ABCD上．当PA⊥PD时，求PM的长．19．（14分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的两个焦点是F1，F2，点P（，1）在椭圆C上，且|PF1|+|PF2|=4（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设点P关于x轴的对称点为Q，M是椭圆C上一点，直线MP和MQ与x轴分别相交于点E，F，O为原点．证明：|OE|•|OF|为定值．20．（13分）对于函数f（x），若存在实数x0满足f（x0）=x0，则称x0为函数f（x）的一个不动点．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+3，其中a，b∈R（Ⅰ）当a=0时，（ⅰ）求f（x）的极值点；（ⅱ）若存在x0既是f（x）的极值点，又是f（x）的不动点，求b的值；（Ⅱ）若f（x）有两个相异的极值点x1，x2，试问：是否存在a，b，使得x1，x2均为f（x）的不动点？证明你的结论．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．【解答】由B中不等式变形得：（x+1）（x﹣1）＞0，解得：x＜﹣1或x＞1，即B={x|x＜﹣1或x＞1}，∵A={x|0＜x＜2}，∴A∩B={x|1＜x＜2}，故选：B．2．【解答】A．y=x2+1是偶函数，不满足条件．B．y=tanx是奇函数，但函数的定义域不是R，不满足条件．C．y=2x为增函数，为非奇非偶函数，不满足条件．D．y=x+sinx是奇函数，满足条件．故选：D3．【解答】模拟程序的运行，可得k=1，S=1满足条件k≤3，执行循环体，S=1，k=2满足条件k≤3，执行循环体，S=0，k=3满足条件k≤3，执行循环体，S=﹣3，k=4不满足条件k≤3，退出循环，输出S的值为﹣3．故选：C．4．【解答】由题意可得c=2，即1+b2=4，解得b=，可得渐近线方程为y=±x．故选B．5．【解答】根据约束条件画出可行域由图得当z=y﹣4x过点A（﹣1，0）时，Z最大为4，无最小值故所求y﹣4x的取值范围是（﹣∞，4]．故选：A6．【解答】若“（）⊥（）”，则“（）•（）=0，即“||2=||2”，即||=||，反之当||=||，则（）•（）=||2﹣||2=0，即（）⊥（），故“||=||”是“（）⊥（）”的充要条件，故选：C7．【解答】由三视图得几何体是四棱锥P﹣ABCD，如图所示：且PE⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，AB=4、AD=2，面PDC是等腰三角形，PD=PC=3，则△PDC的高为=，所以△PDC的面积为：×4×=2，因为PE⊥平面ABCD，所以PE⊥BC，又CB⊥CD，PE∩CD=E，所以BC⊥面PDC，即BC⊥PC，同理可证AD⊥PD，则两个侧面△PAD、△PBC的面积都为：×2×3=3，侧面△PAB的面积为：×4×=6，且底面ABCD的面积为：4×2=8，所以四棱锥P﹣ABCD的表面积S=2+2×3+6+8=20+2，故选A．8．【解答】每名需要进行7场比赛，则全胜的得14分，而最后4人之间赛6场至少共得12分，所以第二名的得分至少为12分．如果第一名全胜，则第二名只输给第一名，得12分；如果第二名得13分，则第二名6胜1平，第一名最好也只能是6胜1平，与题目中得分互不相同不符．所以，第二名得分为12分．故选：C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．【解答】复数===i．故答案为：i．10．【解答】由题意，直线AB的方程为y﹣1=（x﹣1），即x+y﹣2=0，|AB|==2，O到AB的距离为=，∴△AOB的面积是=2，故答案为2．11．【解答】∵圆（x﹣1）2+y2=4与抛物线y2=2px（p＞0）的准线相切，抛物线y2=2px（p＞0）的准线为x=﹣，∴1+=2，解得p=2．故答案为：2．12．【解答】要使函数y=有意义，则⇒x＞＞0∴定义域为（0，+∞）；函数y==，∴最小值是4．故答案为：（0，+∞），413．【解答】△ABC中，∵c=3，C=，sinB=2sinA，∴由正弦定理可得b=2a．再由余弦定理可得c2=a2+b2﹣2ab•cosC，即9=a2+4a2﹣2a•2a•cos，求得a=，故答案为：．14．【解答】①当a=3时，f（9）=log39=2，∴f（2）=，∴f[f（9）]=，②分别画出y=f（x）与y=﹣2的图象，如图所示，函数y=f（x）﹣2有两个零点，结合图象可得4≤a＜9，故a的取值范围是[4，9）故答案为：，[4，9）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．【解答】（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，∵a2=3，a3+a6=11，∴a1+d=3，2a1+7d=11，解得a1=2，d=1．所以数列{a n}的通项公式为a n=2+（n﹣1）=n+1．（Ⅱ）b n=a n+=n+1+，∴S n=[2+3+…+（n+1）]+=+=﹣．16．【解答】（Ⅰ）因为f（x）=sin（2ωx﹣）+2cos2ωx﹣1=sin2ωxcos﹣cos2ωxsin+cos2ωx=sin2ωx+cos2ωx=sin（2ωx+），所以f（x）的最小正周期T=，解得ω=1．（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=sin（2x+），因为0≤x≤，所以≤2x+≤，所以，当2x+=，即x=时，f（x）取得最大值为1；当2x+=，即x=时，f（x）取得最小值为﹣．17．【解答】（Ⅰ）根据题意，=120+=123（h），=120+，又由题意，=，解可得，a=127；（Ⅱ）设A，B两个型号被测试手机的待机时间的方差依次为、，结合数据分析可得，B型号的手机数据波动较大，即有＜，（Ⅲ）设A型号手机为A、B、C、D、E；B型号手机为1、2、3、4、5；“至少有1台的待机时间超过122小时”为事件C．从被测试的手机中随机抽取A，B型号手机各1台，不同的抽取方法有（A，1）、（A，2）、（A，3）、（A，4）、（A，5）、（B，1）、（B，2）、（B，3）、（B，4）、（B，5）、（C，1）、（C，2）、（C，3）、（C，4）、（C，5）、（D，1）、（D，2）、（D，3）、（D，4）、（D，5）、（E，1）、（E，2）、（E，3）、（E，4）、（E，5）、共25种．抽取的两台手机待机时间都不超过122小时的选法有：（A，1），（A，4），（C，1），（C，4），共4种；则至少有1台的待机时间超过122小时的选法有25﹣4=21种，故P（C）=；所以至少有1台的待机时间超过122小时的概率是．18．【解答】（Ⅰ）因为∠BAD=90°，所以AB⊥AD，…（1分）又因为AB⊥PA，…（2分）所以AB⊥平面PAD，…（3分）所以AB⊥PD…（4分）（Ⅱ）取PA的中点F，连接BF，EF…（5分）因为E为棱PD中点，所以EF∥AD，EF=AD，又因为BC∥AD，BC=AD，所以BC∥EF，BC=EF．所以四边形BCEG是平行四边形，EC∥BF…（8分）又BF⊂平面PAB，CE⊄平面PAB，所以CE∥平面PAB…（9分）（Ⅲ）在平面ABCD上，延长AB，CD交于点M．因为M∈AB，所以M∈平面PAB；又M∈CD，所以M∈平面PCD，所以平面PAB∩平面PCD=PM…（11分）在△ADM中，因为BC∥AD，BC=AD，所以AM=2AB=2…（12分）因为PA⊥PD，所以△APD是等腰直角三角形，所以PA=…（13分）由（Ⅰ）得AM⊥平面PAD，所以AM⊥PA．在直角△PAM中，PM==…（14分）19．【解答】（Ⅰ）由椭圆的定义，得|PF1|+|PF2|=2a=4，即a=2．[（2分）]将点P（，1）的坐标代入，得，解得：b=．[（4分）]∴椭圆C的方程是．[（5分）]（Ⅱ）证明：由Q关于x轴于P对称，得Q（，﹣1）．设M（x0，y0），则有x02+2y02=4，x0≠，y0≠±1．[（6分）]直线MP的方程为y﹣1=（x﹣），[（7分）]令y=0，得x=，[（8分）]∴丨OE丨=丨丨．直线MQ的方程为：y+1=（x﹣），[（9分）]令y=0，得x=，[（10分）]∴丨OF丨=丨丨．∴丨OE丨•丨OF丨=丨丨•丨丨=丨丨=丨丨=4[（12分）]∴丨OE丨•丨OF丨=4丨OE丨•丨OF丨为定值．[（14分）]20．【解答】（Ⅰ）f（x）的定义域为R，且f′（x）=3x2+2ax+b．[（1分）]当a=0时，f′（x）=3x2+b；（ⅰ）①当b≥0时，显然f（x）在R上单调递增，无极值点．[（2分）]②当b＜0时，令f′（x）=0，解得：x=±．[（3分）]f（x ）和f′（x）的变化情况如下表：（﹣∞，﹣）﹣（﹣，）（，+∞）所以，x=﹣是f（x）的极大值点；x=是f（x）的极小值点．[（5分）]（ⅱ）若x=x0是f（x）的极值点，则有3+b=0；若x=x0是f（x）的不动点，则有+bx0+3=x0，从上述两式中消去b，整理得：2+x0﹣3=0．[（6分）]设g（x）=2x3+x﹣3．所以g′（x）=6x2+1＞0，g（x）在R上单调递增．又g（1）=0，所以函数g（x）有且仅有一个零点x=1，即方程2+x0﹣3=0的根为x0=1，所以b=﹣3=﹣3．[（8分）]（Ⅱ）因为f（x（有两个相异的极值点x1，x2，所以方程3x2+2ax+b=0有两个不等实根x1，x2，所以△=4a2﹣12b＞0，即a2﹣3b＞0．[（9分）]假设存在实数a，b，使得x1，x2均为f（x）的不动点，则x1，x2是方程x3+ax2+（b﹣1）x+3=0的两个实根，显然x1，x2≠0．对于实根x1，有+a+（b﹣1）x1+3=0．①又因为3+2ax1+b=0．②①×3﹣②×x1，得a+（2b﹣3）x1+9=0．同理可得a+（2b﹣3）x2+9=0．所以，方程ax2+（2b﹣3）x+9=0也有两个不等实根x1，x2．[（11分）]所以x1+x2=﹣．对于方程3x2+2ax+b=0，有x1+x2=﹣，所以﹣=﹣，即a2﹣3b=﹣，这与a2﹣3b＞0相矛盾！所以，不存在a，b，使得x1，x2均为f（x）的不动点．[（13分）]。
2017-2018学年北京市西城区高三(上)期末数学试卷(文科)
2017-2018 学年北京市西城区高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8 小题，每题 5 分，共 40 分．在每题列出的四个选项中，选出切合题目要求的一项．1．（5 分）若会合A={ x| 0＜x＜3} ， B={ x| ﹣ 1＜x＜2} ，则 A∪B=（）A．{ x| ﹣ 1＜ x＜3} B． { x| ﹣1＜x＜ 0} C．{ x| 0＜x＜2} D． { x| 2＜x＜3} 2．（5 分）在复平面内，复数对应的点的坐标为（）A．（1，1） B．（﹣1，1）C．（﹣ 1，﹣ 1）D．（1，﹣ 1）3．（5 分）以下函数中，在区间（ 0， +∞）上单一递加的是（）A．y=﹣x+1 B．y=（ x﹣ 1）2 C．y=sinx D．4．（5 分）履行以下图的程序框图，输出的S值为（）A．2B．6C．30D．2705．（5 分）若，则有（）A．a=2b B．b=2a C．a=4b D．b=4a6．（5 分）一个棱长为 2 的正方体被一个平面截去一部分后，节余几何体的三视图以下图，则截去的几何体是（）A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱7．（5 分）函数 f（ x）=sin（x+φ）的图象记为曲线C．则“f（0） =f（π）”是“曲线 C 对于直线对称”的（）A．充足而不用要条件B．必需而不充足条件C．充足必需条件D．既不充足也不用要条件8．（ 5 分）已知 A，B 是函数 y=2x的图象上的相异两点．若点A，B 到直线的距离相等，则点A， B 的横坐标之和的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣ 1）B．（﹣∞，﹣ 2）C．（﹣∞，﹣ 3）D．（﹣∞，﹣ 4）二、填空题：本大题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分．9．（5 分）若函数 f（ x）=x（x+b）是偶函数，则实数 b=．10．（5 分）已知双曲线的一个焦点是（F2，0），其渐近线方程为，该双曲线的方程是．11．（ 5 分）向量，在正方形网格中的地点以下图．假如小正方形网格的边长为 1，那么=．12．（5 分）在△ ABC中，a=3，，△ABC的面积为，则b=；c=．13．（5 分）已知点 M（x，y）的坐标知足条件，设O为原点，则| OM|的最小值是．14．（ 5 分）已知函数，若c=0，则f（x）的值域是；若 f （x）的值域是，则实数c的取值范围是．三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出必需的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（ 13 分）已知函数．（Ⅰ）求 f（ x）的最小正周期；（Ⅱ）求证：当时，．16．（ 13 分）已知数列 { a n} 是公比为的等比数列，且a2+6 是 a1和 a3的等差中项．（Ⅰ）求 { a n} 的通项公式；（Ⅱ）设数列 { a n} 的前 n 项之积为 T n，求 T n的最大值．17．（ 13 分）某市高中全体学生参加某项测评，按得分评为A， B 两类（评定标准见表）．依据男女学生比率，使用分层抽样的方法随机抽取了10000 名学生的得分数据，此中等级为 A1的学生中有 40%是男生，等级为 A2的学生中有一半是女生．等级为 A1和 A2的学生统称为 A 类学生，等级为 B1和 B2的学生统称为 B 类学生．整理这 10000 名学生的得分数据，获得以下图的频次散布直方图．类型得分（ x）B B180≤x≤90B270≤x＜80A A150≤x＜70A220≤x＜50（Ⅰ）已知该市高中学生共20 万人，试预计在该项测评中被评为 A 类学生的人数；（Ⅱ）某 5 人得分分别为 45，50，55，75， 85．从这 5 人中随机选用 2 人构成甲组，此外 3 人组成乙组，求“甲、乙两组各有1 名 B 类学生”的概率；（Ⅲ）在这 10000 名学生中，男生占总数的比率为 51%，B 类女生占女生总数的比率为k1，B 类男生占男生总数的比率为k2．判断k1与k2的大小．（只要写出结论）18．（ 14 分）如图，在三棱柱 ABC﹣A1 B1C1中， AB⊥平面 AA1 C1C，AA1=AC．过 AA1的平面交 B1C1于点 E，交 BC于点 F．（Ⅰ）求证： A1C⊥平面ABC1；（Ⅱ）求证： A1A∥EF；（Ⅲ）记四棱锥 B1﹣ AA1EF的体积为 V1，三棱柱 ABC﹣A1B1C1的体积为 V．若，求的值．19．（ 14 分）已知椭圆过A（2，0），B（0，1）两点．（Ⅰ）求椭圆 C 的方程及离心率；（Ⅱ）设点 Q 在椭圆 C 上．试问直线 x+y﹣4=0 上能否存在点 P，使得四边形 PAQB 是平行四边形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明原因．20．（ 13 分）已知函数 f （x）=x2lnx﹣ 2x．（Ⅰ）求曲线 y=f（x）在点（ 1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求证：存在独一的x0∈（ 1， 2），使得曲线 y=f（ x）在点（ x0， f（x0））处的切线的斜率为f（2）﹣ f（1）（Ⅲ）比较 f（）与﹣ 2.01 的大小，并加以证明．2017-2018 学年北京市西城区高三（上）期末数学试卷（文科）参照答案与试题分析一、选择题：本大题共8 小题，每题 5 分，共 40 分．在每题列出的四个选项中，选出切合题目要求的一项．1．（5 分）若会合 A={ x| 0＜x＜3} ， B={ x| ﹣ 1＜x＜2} ，则 A∪B=（）A．{ x| ﹣ 1＜ x＜3} B． { x| ﹣1＜x＜ 0}C．{ x| 0＜x＜2} D． { x| 2＜x＜3} 【剖析】利用并集定义直接求解．【解答】解：∵会合 A={ x| 0＜ x＜ 3} ，B={ x| ﹣ 1＜ x＜ 2} ，∴A∪ B={ x| ﹣1＜x＜3} ．应选： A．【评论】此题考察并集的求法，考察并集定义等基础知识，考察运算求解能力，考察函数与方程思想，属于基础题．2．（5 分）在复平面内，复数对应的点的坐标为（）A．（1，1） B．（﹣1，1） C．（﹣1，﹣ 1）D．（1，﹣ 1）【剖析】依据复数的几何意义，将复数进行化简即可．【解答】解：===﹣ 1+i，对应点的坐标为（﹣ 1，1），应选： B【评论】此题主要考察复数的几何意义，利用复数的运算法例进行化简是解决此题的重点．3．（5 分）以下函数中，在区间（ 0， +∞）上单一递加的是（）A．y=﹣x+1 B．y=（ x﹣ 1）2 C．y=sinx D．【剖析】依据常有函数的单一性分别判断即可．【解答】解：对于 A，函数在 R 递减，对于 B，函数在（ 0，1）递减，对于 C，函数在（ 0，+∞）无单一性，对于 D，函数在（ 0， +∞）递加，应选： D．【评论】此题考察了常有函数的单一性问题，是一道基础题．4．（5 分）履行以下图的程序框图，输出的S值为（）A．2B．6C．30D．270【剖析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值，模拟程序的运转过程，剖析循环中各变量值的变化状况，可得答案．【解答】解：模拟程序的运转，可得S=1， k=2知足条件 k≤ 5，履行循环体， S=2，k=3知足条件 k≤ 5，履行循环体， S=6，k=5知足条件 k≤ 5，履行循环体， S=30， k=9不知足条件 k≤5，退出循环，输出S 的值为 30．应选： C．【评论】此题考察了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运转过程，以便得出正确的结论，是基础题．5．（5 分）若，则有（）A．a=2b B．b=2a C．a=4b D．b=4a【剖析】直接由对数的运算性质计算得答案．【解答】解：，得，即 a=4b．应选： C．【评论】此题考察了对数的运算性质，是基础题．6．（5 分）一个棱长为 2 的正方体被一个平面截去一部分后，节余几何体的三视图以下图，则截去的几何体是（）A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱【剖析】由三视图复原原几何体，可知原几何体为直四棱柱，进而可知，截去的部分为三棱柱．【解答】解：由三视图复原原几何体如图：该几何体为直四棱柱ABEA1﹣DCFD1，截去的部分为三棱柱BB1E﹣CC1F．【评论】此题考察由三视图求面积、体积，重点是由三视图复原原几何体，是中档题．7．（5 分）函数 f（ x）=sin（x+φ）的图象记为曲线C．则“f（0） =f（π）”是“曲线 C 对于直线对称”的（）A．充足而不用要条件B．必需而不充足条件C．充足必需条件D．既不充足也不用要条件【剖析】依据充足条件和必需条件的定义，联合三角函数对称性的性质进行判断即可．【解答】解：若 f（ 0） =f（π），则 sin φ=sin（π+φ） =﹣sin φ，则 sin φ=0，则φ=kπ，此时 f（ x）=sin（x+φ）=sin（ x+kπ） =± sinx，曲线 C 对于直线对称，反之若曲线 C 对于直线对称，则f（0）=f（π），即“f（0）=f（π）”是“曲线 C 对于直线对称”的充要条件，应选： C【评论】此题主要考察充足条件和必需条件的判断，联合三角函数的性质是解决此题的重点．．（分）已知x 的图象上的相异两点．若点A，B 到直线的8 5 A，B 是函数 y=2距离相等，则点 A， B 的横坐标之和的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣ 1）B．（﹣∞，﹣ 2）C．（﹣∞，﹣ 3）D．（﹣∞，﹣ 4）【剖析】依题意可得? ，利用均值不等式即可求解，【解答】解：不如设 A（ x1， y1），B（ x2，y2），（x1＞x2），可得? ，利用均值不等式 1 ? 2∴x1+x2＜﹣ 2，【评论】此题考察了指数运算，均值不等式，属于中档题．二、填空题：本大题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分．9．（5 分）若函数 f（ x）=x（x+b）是偶函数，则实数 b= 0．【剖析】依据函数是偶函数，成立方程进行求解即可．【解答】解：∵ f（x）是偶函数，∴ f（﹣ x） =f（x），即﹣ x（﹣ x+b）=x（x+b），得 x﹣b=x+b，则﹣ b=b，得 b=0，故答案为： 0．【评论】此题主要考察函数奇偶性的应用，依据偶函数的定义成立方程是解决此题的重点．10．（5 分）已知双曲线的一个焦点是（F2，0），其渐近线方程为，该双曲线的方程是x2﹣=1．【剖析】依据双曲线的一个焦点为（2，0），且双曲线的渐近线方程为，可得 c=2，可得 a，b 是方程，求出 a，b 的值，即可得出双曲线的标准方程．【解答】解：∵双曲线的一个焦点为（2，0），且双曲线的渐近线方程为，∴ c=2，，∵ c=，∴a=1，b2=3，∴双曲线的方程为x2﹣=1．故答案为： x2﹣=1．【评论】此题考察双曲线的标准方程，考察双曲线的几何性质，考察学生的计算能力，正确运用双曲线的几何性质是重点．11．（ 5 分）向量，在正方形网格中的地点以下图．假如小正方形网格的边长为1，那么= 4．【剖析】求出向量，向量的坐标，而后求解数目积即可．【解答】解：向量，在正方形网格中的地点以下图．假如小正方形网格的边长为 1，=（2，0）． =（2，﹣ 1）．那么=2×2+0×（﹣ 1）=4．故答案为： 4．【评论】此题考察向量的数目积的应用，考察计算能力．12．（ 5 分）在△ ABC中， a=3，，△ ABC的面积为，则 b= 1 ；c= ．【剖析】依据三角形的面积公式和余弦定理，即可求出 b 和 c 的值．【解答】解：△ ABC中， a=3，，∴△ ABC的面积为absinC= ×3×sin = ，解得 b=1；2 2 2 2 2∴ c =a +b ﹣2abcosC=3+1 ﹣ 2× 3× 1× cos=13，c=．故答案为： 1；．【评论】此题考察了三角形的面积公式和余弦定理的应用问题，是基础题．13．（5 分）已知点 M（x，y）的坐标知足条件，设O为原点，则| OM| 的最小值是．【剖析】先依据拘束条件画出可行域，再利用几何意义求最值， z=| MO| 表示（ 0，0）到可行域的距离，只要求出（0，0）到可行域的距离的最小值即可．【解答】解：画出知足条件的可行域，以下图：故 | OM| 的最小值为原点到直线x+y﹣1=0 的距离：=．故答案为：．【评论】此题主要考察了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．14．（ 5 分）已知函数，若c=0，则f（x）的值域是[ ﹣，+∞）；若（fx）的值域是，则实数c的取值范围是[，1]．【剖析】若 c=0，分别求得 f（x）在 [ ﹣2，0] 的最值，以及在（ 0，3] 的范围，求并集即可获得所求值域；议论 f（ x）在[ ﹣ 2，1] 的值域，以及在（c，3] 的值域，注意 c＞0，运用单一性，即可获得所求 c 的范围．【解答】解： c=0 时， f（ x） =x2+x=（x+）2﹣，f（x）在 [ ﹣2，﹣）递减，在（﹣，0]递加，可得 f （﹣ 2）获得最大值，且为2，最小值为﹣；当 0＜x≤ 3 时， f（x）= 递减，可得 f（3）= ，则 f（ x）∈ [ ，+∞），综上可得 f（ x）的值域为 [ ﹣，+∞）；∵函数 y=x2+x 在区间 [ ﹣2，﹣）上是减函数，在区间（﹣，1] 上是增函数，∴当 x∈[ ﹣2，0）时，函数 f（x）最小值为 f（﹣）=﹣，最大值是 f（﹣ 2）=2；由题意可得 c＞0，∵当 c＜x≤3 时， f（x）=是减函数且值域为[，），当 f（ x）的值域是 [ ﹣，2]，可得≤c≤1．故答案为：；．【评论】此题给出特别分段函数，求函数的值域，并在已知值域的状况下求参数的取值范围，侧重考察了函数的值域和二次函数的单一性和最值等知识，属于中档题．三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出必需的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（ 13 分）已知函数．（Ⅰ）求 f（ x）的最小正周期；（Ⅱ）求证：当时，．【剖析】（Ⅰ）利用两角和与差的三角函数化简函数的分析式，而后求解函数 f （x）的最小正周期；（Ⅱ）利用三角函数的最值，证明不等式即可．【解答】（本小题满分 13 分）解：（Ⅰ）由于= [ （4 分）]= [ （5 分）]= ，[ （7 分）]因此 f （x）的最小正周期．[ （8 分）]（Ⅱ）由于，因此．[ （10 分） ]因此，[ （12 分） ]因此．[ （13 分）]【评论】此题考察两角和与差的三角函数，三角函数的最值的求法，考察计算能力．16．（ 13 分）已知数列 { a n} 是公比为的等比数列，且a2+6 是 a1和 a3的等差中项．（Ⅰ）求 { a n} 的通项公式；（Ⅱ）设数列 { a n} 的前 n 项之积为 T n，求 T n的最大值．【剖析】（Ⅰ）利用等差数列以及等比数列的通项公式求出数列的首项，而后求解数列的通项公式．（Ⅱ）求出 a n≥ 1， n≤ 4 判断数列的特点，而后求解T n获得最大值时， n=3，求解即可．【解答】（本小题满分 13 分）解：（Ⅰ）由于 a2+6 是 a1和 a3的等差中项，因此 2（a2+6）=a1+a3．[ （ 2 分） ]由于数列 { a n} 是公比为的等比数列，因此，[ （4 分）]解得 a1=27． [ （ 6 分） ]因此 a n=a1?q n﹣1=（）n﹣4．[[（8分）]（Ⅱ）令 a n≥1，即（）n﹣4≥1，得n≤ 4，[（10分）]故正项数列 { a n} 的前 3 项大于 1，第 4 项等于 1，此后各项均小于 1．[ （11 分）]因此当 n=3，或 n=4 时， T n获得最大值， [ （ 12 分） ] T n的最大值为T3=T4=a1?a2?a3=729．[ （13 分） ]【评论】此题考察等差数列以及等比数列的通项公式的求法，数列与函数的综合应用，考察转变首项以及计算能力．17．（ 13 分）某市高中全体学生参加某项测评，按得分评为A， B 两类（评定标准见表）．依据男女学生比率，使用分层抽样的方法随机抽取了10000 名学生的得分数据，此中等级为 A1的学生中有 40%是男生，等级为 A2的学生中有一半是女生．等级为 A1和 A2的学生统称为 A 类学生，等级为 B1和 B2的学生统称为 B 类学生．整理这 10000 名学生的得分数据，获得以下图的频次散布直方图．类型得分（ x）B B180≤x≤90B2 70≤x＜80A A150≤x＜70A220≤x＜50（Ⅰ）已知该市高中学生共20 万人，试预计在该项测评中被评为 A 类学生的人数；（Ⅱ）某 5 人得分分别为 45，50，55，75， 85．从这 5 人中随机选用 2 人构成甲组，此外 3 人组成乙组，求“甲、乙两组各有1 名 B 类学生”的概率；（Ⅲ）在这 10000 名学生中，男生占总数的比率为 51%，B 类女生占女生总数的比率为k1，B 类男生占男生总数的比率为k2．判断k1与k2的大小．（只要写出结论）【剖析】（Ⅰ）样本中 B 类学生所占比率为 60%，进而 A 类学生所占比率为40%．由此能求出在该项测评中被评为 A 类学生的人数．（Ⅱ）在 5 人（记为 a，b，c，d，e）中，B 类学生有 2 人（不如设为 b，d）．将他们按要求分红两组，利用列举法能求出“甲、乙两组各有一名B 类学生”的概率．（Ⅲ）由题意获得 k1＜k2．【解答】（本小题满分 13 分）解：（Ⅰ）依题意得，样本中 B 类学生所占比率为（）× 10=60%，（ 2 分）因此 A 类学生所占比率为40%．（3 分）由于全市高中学生共20 万人，因此在该项测评中被评为 A 类学生的人数约为8 万人．（ 4 分）（Ⅱ）由表 1 得，在 5 人（记为 a，b，c，d，e）中， B 类学生有 2 人（不如设为b，d）．将他们按要求分红两组，分组的方法数为10 种．（6 分）挨次为：（ab，cde），（ac，bde），（ad，bce），（ ae，bcd），（ bc，ade），（bd，ace），（ be，acd），（cd，abe），（ce， abd），（de，abc）．（8 分）因此“甲、乙两组各有一名 B 类学生”的概率为．（10 分）（Ⅲ） k1＜ k2．（ 13 分）【评论】此题考察频次散布直方图的应用，考察概率的求法，考察频次散布直方图、古典概型等基础知识，考察运算求解能力，考察函数与方程思想，是基础题．第 16 页（共 20 页）18．（ 14 分）如图，在三棱柱 ABC﹣A1 B1C1中， AB⊥平面 AA1 C1C，AA1=AC．过 AA1的平面交 B1C1于点 E，交 BC于点 F．（Ⅰ）求证： A1C⊥平面ABC1；（Ⅱ）求证： A1A∥EF；（Ⅲ）记四棱锥 B1﹣ AA1EF的体积为 V1，三棱柱 ABC﹣A1B1C1的体积为 V．若，求的值．【剖析】（Ⅰ）证明 A1C⊥AB，说明四边形 AA1C1C 为菱形，推出 A1C⊥AC1．即可证明 A1C⊥平面 ABC1．（Ⅱ）证明 A1A∥平面 BB1C1C，而后证明 A1A∥EF．（Ⅲ）记三棱锥B1﹣ABF的体积为 V2，三棱柱 ABF﹣A1B1E 的体积为 V3．三棱锥1﹣ABF与三棱柱ABF﹣A1 1 同底等高，，转变求解．B B E【解答】（本小题满分 14 分）（Ⅰ）证明：由于AB⊥平面 AA1C1C，因此 A1C⊥AB．[ （2 分） ]在三棱柱 ABC﹣A1B1C1中，由于 AA1=AC，因此四边形 AA1C1C 为菱形，因此 A1C⊥AC1．[ （3 分） ]因此 A1C⊥平面 ABC1．[ （5 分） ]（Ⅱ）证明：在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，由于 A1A∥ B1B， A1A?平面 BB1C1C，[ （6 分） ]因此 A1A∥平面 BB1C1C． [ （8 分） ]由于平面 AA1EF∩平面 BB1C1C=EF，因此 A1A∥EF．[ （10 分）]（Ⅲ）解：记三棱锥B1﹣ABF的体积为 V2，三棱柱 ABF﹣A1B1E 的体积为 V3．由于三棱锥 B1﹣ ABF与三棱柱 ABF﹣A1B1E 同底等高，因此，[ （11 分） ]因此．由于，因此．[ （12 分）]由于三棱柱 ABF﹣ A 与三棱柱﹣等高，1B1E ABC A1B1C1因此△ ABF与△ ABC的面积之比为，[ （13 分）]因此．[ （14 分） ]【评论】此题考察直线与平面垂直的判断定理以及直线与平面平行的判断定理的应用，几何体的体积的求法，考察空间想象能力以及计算能力．19．（ 14 分）已知椭圆过A（2，0），B（0，1）两点．（Ⅰ）求椭圆 C 的方程及离心率；（Ⅱ）设点 Q 在椭圆 C 上．试问直线 x+y﹣4=0 上能否存在点 P，使得四边形 PAQB 是平行四边形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明原因．【剖析】（Ⅰ）求出椭圆 C 的方程为，而后求解椭圆的离心率即可．（Ⅱ）设 P（t， 4﹣t ），Q（x0， y0），推出，解得x0=2﹣t，y0=t﹣3，代入，转变求解 t ，判断能否存在点P．【解答】（本小题满分 14 分）解：（Ⅰ）由题意得， a=2，b=1．[ （2 分） ]因此椭圆 C的方程为．[（3分）]设椭圆 C 的半焦距为 c，则，[（4分）]因此椭圆 C的离心率．[（5分）]（Ⅱ）由已知，设P（t ，4﹣t），Q（x0， y0）． [ （ 6 分） ]若 PAQB 是平行四边形，则，[ （8 分）]因此（ 2﹣t ，t ﹣ 4） +（﹣ t ， t ﹣3）=（x 0﹣ t ，y 0﹣ 4+t ），整理得 x 0=2﹣t ，y 0=t ﹣3．[ （10 分） ]将上式代入，得（ 2﹣t ） 2+4（ t ﹣3）2， （ 11 分） ]=4 [整理得 5t 2﹣28t+36=0，解得 ，或 t=2．[ （13 分） ]此时 ，或 P （2，2）．经查验，切合四边形 PAQB 是平行四边形，因此存在，或 P （2，2）知足题意． [ （ 14 分） ]【评论】此题考察椭圆方程的求法， 直线与椭圆的地点关系的综合应用， 存在性问题的办理方法，考察转变思想以及计算能力．20．（ 13 分）已知函数 f （x ）=x 2lnx ﹣ 2x ．（Ⅰ）求曲线 y=f （x ）在点（ 1，f （1））处的切线方程；（Ⅱ）求证：存在独一的 x 0∈（ 1， 2），使得曲线 y=f （ x ）在点（ x 0， f （x 0））处的切线的斜率为 f （2）﹣ f （1）（Ⅲ）比较 f （）与﹣ 2.01 的大小，并加以证明．【剖析】（Ⅰ）求得 f （ x ）的导数，可得切线的斜率和切点，运用点斜式方程，即可获得所求切线的方程；（Ⅱ）求得 f （2）﹣ f （1），只要证明方程 2xlnx+x ﹣2=4ln2﹣2 在区间（ 1， 2）有独一解．设函数 g （x ）=2xlnx+x ﹣4ln2，求得导数，判断单一性，联合函数零点存在定理，即可得证；（Ⅲ） f （）＞﹣，设 h （x ） =f （x ）﹣（﹣ x ﹣1）=x 2lnx ﹣x+1，求得导数，单一区间，运用单一性可得 f （ x ）＞﹣ x ﹣1（x ＞1）．【解答】 解：（Ⅰ）函数 f （x ）=x 2lnx ﹣2x 的定义域是（ 0，+∞），导函数为 f' （x ） =2xlnx+x ﹣ 2，因此 f' （1）=﹣1，又 f （ 1）=﹣2，因此曲线 y=f （x ）在点（ 1， f （1））处的切线方程为 y=﹣x ﹣1；（Ⅱ）证明：由已知 f （2）﹣ f（1）=4ln2﹣2，因此只要证明方程2xlnx+x﹣2=4ln2﹣2 在区间（ 1， 2）有独一解．即方程 2xlnx+x﹣4ln2=0 在区间（ 1，2）有独一解．设函数 g（x）=2xlnx+x﹣4ln2，则 g'（x）=2lnx+3．当 x∈（ 1，2）时， g'（x）＞ 0，故 g（ x）在区间（ 1， 2）单一递加．又 g（1）=1﹣4ln2＜0，g（2）=2＞ 0，因此存在独一的 x0∈（ 1，2），使得 g（x0）=0．综上，存在独一的 x0∈（ 1， 2），使得曲线 y=f（x）在点（ x0，f（ x0））处的切线的斜率为 f （2）﹣ f（ 1）；（Ⅲ） f（）＞﹣．证明以下：第一证明：当 x＞1 时， f（ x）＞﹣ x﹣1．设 h（x） =f（x）﹣（﹣ x﹣1）=x2lnx﹣x+1，则 h'（x）=x+2xlnx﹣1．当 x＞1 时， x﹣1＞0，2xlnx＞0，因此 h'（ x）＞ 0，故 h（x）在（ 1， +∞）单一递加，因此 x＞1 时，有 h（ x）＞ h（ 1） =0，即当 x＞1 时，有 f （x）＞﹣ x﹣1．因此 f （）＞﹣﹣1=﹣．【评论】此题考察导数的运用：求切线的方程和单一性，考察转变思想和函数零点存在定理的运用，考察结构函数法和化简整理的运算能力，属于中档题．。
2016-2017学年北京市西城区高三(上)期末数学试卷(文科)
2016-2017学年北京市西城区高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A={x|0＜x＜2}，B={x|x2﹣1＞0}，那么A∩B=（）A．{x|0＜x＜1}B．{x|1＜x＜2}C．{x|﹣1＜x＜0}D．{x|﹣1＜x＜2}2．（5分）下列函数中，定义域为R的奇函数是（）A．y=x2+1 B．y=tanx C．y=2x D．y=x+sinx3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．1 B．0 C．﹣3 D．﹣104．（5分）已知双曲线x2﹣=1（b＞0）的一个焦点是（2，0），则其渐近线的方程为（）A．x±y=0 B．x±y=0 C．x±3y=0 D．3x±y=05．（5分）实数x，y满足，则y﹣4x的取值范围是（）A．（﹣∞，4]B．（﹣∞，7]C．[﹣，4]D．[﹣，7]6．（5分）设，是非零向量，且≠±．则“||=||”是“（）⊥（）”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是（）A．20+2B．14+4C．26 D．12+28．（5分）8名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场）．规定两人对局胜者得2分，平局各得1分，负者得0分，并按总得分由高到低进行排序．比赛结束后，8名选手的得分各不相同，且第二名的得分与最后四名选手得分之和相等．则第二名选手的得分是（）A．14 B．13 C．12 D．11二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）复数等于．10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（3，﹣1），则△AOB 的面积是．11．（5分）已知圆（x﹣1）2+y2=4与抛物线y2=2px（p＞0）的准线相切，则p=．12．（5分）函数y=的定义域是；最小值是．13．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若c=3，C=，sinB=2sinA，则a=．14．（5分）设函数f（x）=，其中a＞0①若a=3，则f[f（9）]=；②若函数y=f（x）﹣2有两个零点，则a的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）在等差数列{a n}中，a2=3，a3+a6=11（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=a n+，其中n∈N*，求数列{b n}的前n项和S n．16．（13分）已知函数f（x）=sin（2ωx﹣）+2cos2ωx﹣1（ω＞0）的最小正周期为π（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．17．（13分）手机完全充满电量，在开机不使用的状态下，电池靠自身消耗一直到出现低电量警告之间所能维持的时间称为手机的待机时间．为了解A，B两个不同型号手机的待机时间，现从某卖场库存手机中随机抽取A，B两个型号的手机各5台，在相同条件下进行测试，统计结果如下：已知A，B两个型号被测试手机待机时间的平均值相等．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）判断A，B两个型号被测试手机待机时间方差的大小（结论不要求证明）；（Ⅲ）从被测试的手机中随机抽取A，B型号手机各1台，求至少有1台的待机时间超过122小时的概率．（注：n个数据x1，x2，…，x n的方差s2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]，其中为数据x，x2，…，x n的平均数）118．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，PA=PD，AB⊥PA，AD=2，AB=BC=1（Ⅰ）求证：AB⊥PD（Ⅱ）若E为PD的中点，求证：CE∥平面PAB（Ⅲ）设平面PAB∩平面PCD=PM，点M在平面ABCD上．当PA⊥PD时，求PM 的长．19．（14分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的两个焦点是F1，F2，点P（，1）在椭圆C上，且|PF1|+|PF2|=4（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设点P关于x轴的对称点为Q，M是椭圆C上一点，直线MP和MQ与x 轴分别相交于点E，F，O为原点．证明：|OE|•|OF|为定值．20．（13分）对于函数f（x），若存在实数x0满足f（x0）=x0，则称x0为函数f （x）的一个不动点．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+3，其中a，b∈R（Ⅰ）当a=0时，（ⅰ）求f（x）的极值点；（ⅱ）若存在x0既是f（x）的极值点，又是f（x）的不动点，求b的值；（Ⅱ）若f（x）有两个相异的极值点x1，x2，试问：是否存在a，b，使得x1，x2均为f（x）的不动点？证明你的结论．2016-2017学年北京市西城区高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A={x|0＜x＜2}，B={x|x2﹣1＞0}，那么A∩B=（）A．{x|0＜x＜1}B．{x|1＜x＜2}C．{x|﹣1＜x＜0}D．{x|﹣1＜x＜2}【解答】解：由B中不等式变形得：（x+1）（x﹣1）＞0，解得：x＜﹣1或x＞1，即B={x|x＜﹣1或x＞1}，∵A={x|0＜x＜2}，∴A∩B={x|1＜x＜2}，故选：B．2．（5分）下列函数中，定义域为R的奇函数是（）A．y=x2+1 B．y=tanx C．y=2x D．y=x+sinx【解答】解：A．y=x2+1是偶函数，不满足条件．B．y=tanx是奇函数，但函数的定义域不是R，不满足条件．C．y=2x为增函数，为非奇非偶函数，不满足条件．D．y=x+sinx是奇函数，满足条件．故选：D3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．1 B．0 C．﹣3 D．﹣10【解答】解：模拟程序的运行，可得k=1，S=1满足条件k≤3，执行循环体，S=1，k=2满足条件k≤3，执行循环体，S=0，k=3满足条件k≤3，执行循环体，S=﹣3，k=4不满足条件k≤3，退出循环，输出S的值为﹣3．故选：C．4．（5分）已知双曲线x2﹣=1（b＞0）的一个焦点是（2，0），则其渐近线的方程为（）A．x±y=0 B．x±y=0 C．x±3y=0 D．3x±y=0【解答】解：由题意可得c=2，即1+b2=4，解得b=，可得渐近线方程为y=±x．故选B．5．（5分）实数x，y满足，则y﹣4x的取值范围是（）A．（﹣∞，4]B．（﹣∞，7]C．[﹣，4]D．[﹣，7]【解答】解：根据约束条件画出可行域由图得当z=y﹣4x过点A（﹣1，0）时，Z最大为4，无最小值故所求y﹣4x的取值范围是（﹣∞，4]．故选：A6．（5分）设，是非零向量，且≠±．则“||=||”是“（）⊥（）”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若“（）⊥（）”，则“（）•（）=0，即“||2=||2”，即||=||，反之当||=||，则（）•（）=||2﹣||2=0，即（）⊥（），故“||=||”是“（）⊥（）”的充要条件，故选：C7．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是（）A．20+2B．14+4C．26 D．12+2【解答】解：由三视图得几何体是四棱锥P﹣ABCD，如图所示：且PE⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，AB=4、AD=2，面PDC是等腰三角形，PD=PC=3，则△PDC的高为=，所以△PDC的面积为：×4×=2，因为PE⊥平面ABCD，所以PE⊥BC，又CB⊥CD，PE∩CD=E，所以BC⊥面PDC，即BC⊥PC，同理可证AD⊥PD，则两个侧面△PAD、△PBC的面积都为：×2×3=3，侧面△PAB的面积为：×4×=6，且底面ABCD的面积为：4×2=8，所以四棱锥P﹣ABCD的表面积S=2+2×3+6+8=20+2，故选A．8．（5分）8名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场）．规定两人对局胜者得2分，平局各得1分，负者得0分，并按总得分由高到低进行排序．比赛结束后，8名选手的得分各不相同，且第二名的得分与最后四名选手得分之和相等．则第二名选手的得分是（）A．14 B．13 C．12 D．11【解答】解：每名需要进行7场比赛，则全胜的得14分，而最后4人之间赛6场至少共得12分，所以第二名的得分至少为12分．如果第一名全胜，则第二名只输给第一名，得12分；如果第二名得13分，则第二名6胜1平，第一名最好也只能是6胜1平，与题目中得分互不相同不符．所以，第二名得分为12分．故选：C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）复数等于i．【解答】解：复数===i．故答案为：i．10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（3，﹣1），则△AOB 的面积是2．【解答】解：由题意，直线AB的方程为y﹣1=（x﹣1），即x+y﹣2=0，|AB|==2，O到AB的距离为=，∴△AOB的面积是=2，故答案为2．11．（5分）已知圆（x﹣1）2+y2=4与抛物线y2=2px（p＞0）的准线相切，则p= 2．【解答】解：∵圆（x﹣1）2+y2=4与抛物线y2=2px（p＞0）的准线相切，抛物线y2=2px（p＞0）的准线为x=﹣，∴1+=2，解得p=2．故答案为：2．12．（5分）函数y=的定义域是（0，+∞）；最小值是4．【解答】解：要使函数y=有意义，则⇒x＞＞0∴定义域为（0，+∞）；函数y==，∴最小值是4．故答案为：（0，+∞），413．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若c=3，C=，sinB=2sinA，则a=．【解答】解：△ABC中，∵c=3，C=，sinB=2sinA，∴由正弦定理可得b=2a．再由余弦定理可得c2=a2+b2﹣2ab•cosC，即9=a2+4a2﹣2a•2a•cos，求得a=，故答案为：．14．（5分）设函数f（x）=，其中a＞0①若a=3，则f[f（9）]=；②若函数y=f（x）﹣2有两个零点，则a的取值范围是[4，9）．【解答】解：①当a=3时，f（9）=log39=2，∴f（2）=，∴f[f（9）]=，②分别画出y=f（x）与y=﹣2的图象，如图所示，函数y=f（x）﹣2有两个零点，结合图象可得4≤a＜9，故a的取值范围是[4，9）故答案为：，[4，9）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）在等差数列{a n}中，a2=3，a3+a6=11（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=a n+，其中n∈N*，求数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，∵a2=3，a3+a6=11，∴a1+d=3，2a1+7d=11，解得a1=2，d=1．所以数列{a n}的通项公式为a n=2+（n﹣1）=n+1．（Ⅱ）b n=a n+=n+1+，∴S n=[2+3+…+（n+1）]+=+=﹣．16．（13分）已知函数f（x）=sin（2ωx﹣）+2cos2ωx﹣1（ω＞0）的最小正周期为π（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）=sin（2ωx﹣）+2cos2ωx﹣1=sin2ωxcos﹣cos2ωxsin+cos2ωx=sin2ωx+cos2ωx=sin（2ωx+），所以f（x）的最小正周期T=，解得ω=1．（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=sin（2x+），因为0≤x≤，所以≤2x+≤，所以，当2x+=，即x=时，f（x）取得最大值为1；当2x+=，即x=时，f（x）取得最小值为﹣．17．（13分）手机完全充满电量，在开机不使用的状态下，电池靠自身消耗一直到出现低电量警告之间所能维持的时间称为手机的待机时间．为了解A，B两个不同型号手机的待机时间，现从某卖场库存手机中随机抽取A，B两个型号的手机各5台，在相同条件下进行测试，统计结果如下：已知A，B两个型号被测试手机待机时间的平均值相等．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）判断A，B两个型号被测试手机待机时间方差的大小（结论不要求证明）；（Ⅲ）从被测试的手机中随机抽取A，B型号手机各1台，求至少有1台的待机时间超过122小时的概率．（注：n个数据x1，x2，…，x n的方差s2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]，其中为数据x，x2，…，x n的平均数）1【解答】解：（Ⅰ）根据题意，=120+=123（h），=120+，又由题意，=，解可得，a=127；（Ⅱ）设A，B两个型号被测试手机的待机时间的方差依次为、，结合数据分析可得，B型号的手机数据波动较大，即有＜，（Ⅲ）设A型号手机为A、B、C、D、E；B型号手机为1、2、3、4、5；“至少有1台的待机时间超过122小时”为事件C．从被测试的手机中随机抽取A，B型号手机各1台，不同的抽取方法有（A，1）、（A，2）、（A，3）、（A，4）、（A，5）、（B，1）、（B，2）、（B，3）、（B，4）、（B，5）、（C，1）、（C，2）、（C，3）、（C，4）、（C，5）、（D，1）、（D，2）、（D，3）、（D，4）、（D，5）、（E，1）、（E，2）、（E，3）、（E，4）、（E，5）、共25种．抽取的两台手机待机时间都不超过122小时的选法有：（A，1），（A，4），（C，1），（C，4），共4种；则至少有1台的待机时间超过122小时的选法有25﹣4=21种，故P（C）=；所以至少有1台的待机时间超过122小时的概率是．18．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，PA=PD，AB⊥PA，AD=2，AB=BC=1（Ⅰ）求证：AB⊥PD（Ⅱ）若E为PD的中点，求证：CE∥平面PAB（Ⅲ）设平面PAB∩平面PCD=PM，点M在平面ABCD上．当PA⊥PD时，求PM 的长．【解答】（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为∠BAD=90°，所以AB⊥AD，…（1分）又因为AB⊥PA，…（2分）所以AB⊥平面PAD，…（3分）所以AB⊥PD…（4分）（Ⅱ）取PA的中点F，连接BF，EF…（5分）因为E为棱PD中点，所以EF∥AD，EF=AD，又因为BC∥AD，BC=AD，所以BC∥EF，BC=EF．所以四边形BCEG是平行四边形，EC∥BF…（8分）又BF⊂平面PAB，CE⊄平面PAB，所以CE∥平面PAB…（9分）（Ⅲ）在平面ABCD上，延长AB，CD交于点M．因为M∈AB，所以M∈平面PAB；又M∈CD，所以M∈平面PCD，所以平面PAB∩平面PCD=PM…（11分）在△ADM中，因为BC∥AD，BC=AD，所以AM=2AB=2…（12分）因为PA⊥PD，所以△APD是等腰直角三角形，所以PA=…（13分）由（Ⅰ）得AM⊥平面PAD，所以AM⊥PA．在直角△PAM中，PM==…（14分）19．（14分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的两个焦点是F1，F2，点P（，1）在椭圆C上，且|PF1|+|PF2|=4（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设点P关于x轴的对称点为Q，M是椭圆C上一点，直线MP和MQ与x 轴分别相交于点E，F，O为原点．证明：|OE|•|OF|为定值．【解答】解：（Ⅰ）由椭圆的定义，得|PF1|+|PF2|=2a=4，即a=2．[（2分）]将点P（，1）的坐标代入，得，解得：b=．[（4分）]∴椭圆C的方程是．[（5分）]（Ⅱ）证明：由Q关于x轴于P对称，得Q（，﹣1）．设M（x0，y0），则有x02+2y02=4，x0≠，y0≠±1．[（6分）]直线MP的方程为y﹣1=（x﹣），[（7分）]令y=0，得x=，[（8分）]∴丨OE丨=丨丨．直线MQ的方程为：y+1=（x﹣），[（9分）]令y=0，得x=，[（10分）]∴丨OF丨=丨丨．∴丨OE丨•丨OF丨=丨丨•丨丨=丨丨=丨丨=4[（12分）]∴丨OE丨•丨OF丨=4丨OE丨•丨OF丨为定值．[（14分）]20．（13分）对于函数f（x），若存在实数x0满足f（x0）=x0，则称x0为函数f （x）的一个不动点．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+3，其中a，b∈R（Ⅰ）当a=0时，（ⅰ）求f（x）的极值点；（ⅱ）若存在x0既是f（x）的极值点，又是f（x）的不动点，求b的值；（Ⅱ）若f（x）有两个相异的极值点x1，x2，试问：是否存在a，b，使得x1，x2均为f（x）的不动点？证明你的结论．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为R，且f′（x）=3x2+2ax+b．[（1分）]当a=0时，f′（x）=3x2+b；（ⅰ）①当b≥0时，显然f（x）在R上单调递增，无极值点．[（2分）]②当b＜0时，令f′（x）=0，解得：x=±．[（3分）]f（x）和f′（x）的变化情况如下表：），），所以，x=﹣是f（x）的极大值点；x=是f（x）的极小值点．[（5分）]（ⅱ）若x=x0是f（x）的极值点，则有3+b=0；若x=x0是f（x）的不动点，则有+bx0+3=x0，从上述两式中消去b，整理得：2+x0﹣3=0．[（6分）]设g（x）=2x3+x﹣3．所以g′（x）=6x2+1＞0，g（x）在R上单调递增．又g（1）=0，所以函数g（x）有且仅有一个零点x=1，即方程2+x0﹣3=0的根为x0=1，所以b=﹣3=﹣3．[（8分）]（Ⅱ）因为f（x（有两个相异的极值点x1，x2，所以方程3x2+2ax+b=0有两个不等实根x1，x2，所以△=4a2﹣12b＞0，即a2﹣3b＞0．[（9分）]假设存在实数a，b，使得x1，x2均为f（x）的不动点，则x1，x2是方程x3+ax2+（b﹣1）x+3=0的两个实根，显然x1，x2≠0．对于实根x1，有+a+（b﹣1）x1+3=0．①又因为3+2ax1+b=0．②①×3﹣②×x1，得a+（2b﹣3）x1+9=0．同理可得a+（2b﹣3）x2+9=0．所以，方程ax2+（2b﹣3）x+9=0也有两个不等实根x1，x2．[（11分）]所以x1+x2=﹣．对于方程3x2+2ax+b=0，有x1+x2=﹣，所以﹣=﹣，即a2﹣3b=﹣，这与a2﹣3b＞0相矛盾！所以，不存在a，b，使得x1，x2均为f（x）的不动点．[（13分）]。
北京市西城区2017届高三数学上学期期末考试试题文
20．（本小题满分 13 分）
对于函数 f ( x) ，若存在实数 x0 满足 f (x0) x0，则称 x0 为函数 f ( x) 的一个不动点． 已知函数 f ( x) x3 ax2 bx 3 ，其中 a, b R ． （Ⅰ）当 a 0 时，
（ⅰ） 求 f ( x) 的极值点； （ⅱ）若存在 x0 既是 f ( x) 的极值点，又是 f ( x) 的不动点，求 b 的值； （Ⅱ） 若 f ( x) 有两个相异的极值点 x1， x2 ，试问： 是否存在 a ， b ，使得 x1， x2 均为 f (x) 的
[10 分 ]
吾尝终日
而思矣 ，不如 须臾之 所学也
；吾尝 跂而望 矣，不 如登高 之博见 也。登
高而招 ，臂非 加长也 ，而见 者远； 顺风而
呼，声 非加疾 也，而 闻者彰 。假舆 马者，
非利足 也，而 致千里 ；假舟 楫者， 非能水
也，而 绝江河 。君子 生非异 也，善 假于物
也。
抽取的两台手机待机时间都不超过 122 小时的选法有：
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．
1i
9．复数
____．
1i
10．在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(1,1)， B(3, 1)，则△ AOB的面积是 ____．
11．已知圆 ( x 1)2 y2 4与抛物线 y2 2 px ( p 0) 的准线相切，则 p ____．
[7
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
π f (x) sin(2 x ) ．
6
因为
0
≤
x
≤
7π
，所以
π ≤ 2x
π 4π
≤．
12
6
63
北京市西城区2017届高三一模考试数学(文)试题 Word版含答案
西城区高三统一测试数学（文科） 2017.4第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集{1,2,3,4,5,6}U =，集合{1,3,5}A =，{1,4}B =，那么UA B =（A ）{3,5} （B ）{2,4,6} （C ）{1,2,4,6} （D ）{1,2,3,5,6}2．在复平面内，复数1ii+的对应点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限（D ）第四象限3．双曲线2213x y -=的焦点坐标是（A ），(0, （B ），( （C ）(0,2)，(0,2)-（D ）(2,0)，(2,0)-4．函数21()()log 2x f x x =-的零点个数为 （A ）0（B ）1（C ）2 （D ）35．函数()f x 定义在(,)-∞+∞上．则“曲线()y f x =过原点”是“()f x 为奇函数”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件6．在ABC △中，点D 满足3BC BD −−→−−→=，则（A ）1233AD AB AC −−→−−→−−→=+（B ）1233AD AB AC −−→−−→−−→=-（C ）2133AD AB AC −−→−−→−−→=+ （D ）2133AD AB AC −−→−−→−−→=-7．在正方形网格中，某四面体的三视图如图所示．如果小 正方形网格的边长为1，那么该四面体最长棱的棱长为 （A） （B ）6 （C） （D）8．函数()f x 的图象上任意一点(,)A x y 的坐标满足条件||||x y ≥，称函数()f x 具有性 质P ．下列函数中，具有性质P 的是 （A ）2()f x x = （B ）21()1f x x =+ （C ）()sin f x x = （D ）()ln(1)f x x =+第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．函数()f x =的定义域为____． 10．执行如图所示的程序框图. 当输入1ln 2x =时，输出的y 值为____．11．圆22:2210C x y x y +--+=的圆心坐标是____；直线 :0l x y -=与圆C 相交于,A B 两点，则||AB =____． 12．函数sin 4()1cos4xf x x=+的最小正周期是____．13．实数,x y 满足1,2,220,x y x y ⎧⎪⎨⎪+-⎩≤≤≥则22x y +的最大值是____；最小值是____．14． 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点P 在正方形ABCD 的边界及其内部运动．平面区域W 由所有满足1A P P 组成，则W 的面积是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知{}n a 是等比数列，13a =，424a =．数列{}n b 满足11b =，48b =-，且{}n n a b +是等差数列．（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n b 的前n 项和．16．（本小题满分13分）在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且tan 2sin a C c A =． （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求sin sin A B +的最大值． 17．（本小题满分13分）在测试中，客观题难度的计算公式为ii R P N=，其中i P 为第i 题的难度，i R 为答对该题的人数，N 为参加测试的总人数．现对某校高三年级120名学生进行一次测试，共5道客观题．测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如下表所示：题号 1 2 3 4 5 考前预估难度i P0.90.80.70.60.4测试后，从中随机抽取了10名学生，将他们编号后统计各题的作答情况，如下表所示（“√”表示答对，“×”表示答错）：学生编号 题号1 2 3 4 5 1× √ √ √ √ 2 √ √ √ √ × 3 √ √ √ √ × 4 √ √ √ × × 5 √ √ √ √ √ 6 √ × × √ × 7 × √ √ √ × 8 √ × × × × 9 √ √ × × × 10√ √ √ √ ×（Ⅰ）根据题中数据，将抽样的10名学生每道题实测的答对人数及相应的实测难度填入下表，并估计这120名学生中第5题的实测答对人数；题号1 2 3 4 5 实测答对人数 实测难度（Ⅱ）从编号为1到5的5人中随机抽取2人，求恰好有1人答对第5题的概率；（Ⅲ）定义统计量22211221[()()()]n n S P P P P P P n'''=-+-++-，其中i P '为第i 题的实测难度，i P 为第i 题的预估难度(1,2,,)i n =．规定：若0.05S <，则称该次测试的难度预估合理，否则为不合理．判断本次测试的难度预估是否合理.18．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA AC =．过点A 的平面与棱,,PB PC PD 分别交于点,,E F G （,,E F G 三点均不在棱的端点处）．（Ⅰ）求证：平面PAB ⊥平面PBC ；（Ⅱ）若PC ⊥平面AEFG ，求PFPC的值； （Ⅲ）直线AE 是否可能与平面PCD 平行？证明你的结论．19．（本小题满分14分）如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，F 为椭圆C 的右焦点．(,0)A a -，||3AF =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，P 为椭圆上一点，AP 的中点为M ．直线OM 与直线4x =交于点D ，过O 作OE DF ⊥，交直线4x =于点E ．求证：//OE AP ．20．（本小题满分13分）已知函数21()e 2x f x x =-．设l 为曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线，其中0[1,1]x ∈-． （Ⅰ）求直线l 的方程（用0x 表示）； （Ⅱ）求直线l 在y 轴上的截距的取值范围；（Ⅲ）设直线y a =分别与曲线()y f x =和射线1([0,))y x x =-∈+∞交于,M N 两点，求||MN 的最小值及此时a 的值．西城区高三统一测试高三数学（文科）参考答案及评分标准2017.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．A 2．D 3．C 4．B 5．B 6．C 7．B 8．C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．{|0x x ≥，且1}x ≠ 10．1211．(1,1)；2 12．π2 13．5；4514．π44-注：第11，13题第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q ，由题意得3418a q a ==， 解得 2q =． [ 2分] 所以 11132(1,2,)n n n a a q n --=⋅=⋅=． [ 4分]设等差数列{}n n a b +的公差为d ，由题意得4411()()1644413a b a b d +-+-===-． [ 6分]所以 11()(1)4n n a b a b n d n +=++-=． [ 8分] 从而 1432(1,2,)n n b n n -=-⋅=． [ 9分]（Ⅱ）由（Ⅰ）知1432(1,2,)n n b n n -=-⋅=．数列{4}n 的前n 项和为2(1)n n +；数列1{32}n -⋅的前n 项和为3(21)n ⋅-．[12分] 所以，数列{}n b 的前n 项和为 222323n n n +-⋅+． [13分]16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ） 由 tan 2sin a C c A =，得sin 2sin cos a CA c C⋅=． [ 1分] 由正弦定理得 sin sin 2sin sin cos A CA C C⋅=． [ 3分] 所以 1cos 2C =． [ 4分] 因为 (0,π)C ∈， [ 5分]所以 π3C =． [ 6分] （Ⅱ） sin sin A B +2πsin sin()3A A =+- [ 7分]3sin 2A A =+ [ 9分] π)6A =+． [11分]因为 π3C =，所以 2π03A <<， [12分]所以 当π3A =时，sin sin AB +． [13分]17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）每道题实测的答对人数及相应的实测难度如下表：题号 1 2 3 4 5 实测答对人数 8 8 7 7 2 实测难度0.80.80.70.70.2[ 4分] 所以，估计120人中有1200.224⨯=人答对第5题． [ 5分]（Ⅱ）记编号为i 的学生为(1,2,3,4,5)i A i =，从这5人中随机抽取2人，不同的抽取方法有10种．其中恰好有1人答对第5题的抽取方法为12(,)A A ，13(,)A A ，14(,)A A ，25(,)A A ，35(,)A A ，45(,)A A ，共6种． [ 9分]所以，从抽样的10名学生中随机抽取2名答对至少4道题的学生，恰好有1人答对第5题 的概率为63105P ==． [10分]（Ⅲ）i P '为抽样的10名学生中第i 题的实测难度，用i P '作为这120名学生第i 题的实测难度．222221[(0.80.9)(0.80.8)(0.70.7)(0.70.6)(0.20.4)]5S =-+-+-+-+-0.012=． [12分]因为 0.0120.05S =<，所以，该次测试的难度预估是合理的． [13分]18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA BC ⊥． [ 1分] 因为ABCD 为正方形，所以AB BC ⊥， [ 2分] 所以BC ⊥平面PAB ． [ 3分] 所以平面PAB ⊥平面PBC ． [ 4分]（Ⅱ）连接AF ． [ 5分]因为 PC ⊥平面AEFG ，所以 PC AF ⊥． [ 7分] 又因为 PA AC =，所以 F 是PC 的中点． [ 8分] 所以12PF PC =． [ 9分] （Ⅲ）AE 与平面PCD 不可能平行． [10分]证明如下：假设//AE 平面PCD ，因为 //AB CD ，AB ⊄平面PCD ．所以 //AB 平面PCD ． [12分] 而 AE AB ⊂，平面PAB ，所以 平面//PAB 平面PCD ，这显然矛盾！ [13分] 所以假设不成立，即AE 与平面PCD 不可能平行． [14分]19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）设椭圆C 的半焦距为c ．依题意，得12c a =，3a c +=． [ 2分] 解得 2a =，1c =． 所以 2223b a c =-=，所以椭圆C 的方程是 22143x y +=． [ 5分]（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）得 (2,0)A -．设AP 的中点00(,)M x y ，11(,)P x y ．设直线AP 的方程为：(2)(0)y k x k =+≠，将其代入椭圆方程，整理得2222(43)1616120k x k x k +++-=， [ 7分] 所以 21216243k x k --+=+． [ 8分]所以 202843k x k -=+，0026(2)43k y k x k =+=+，即 22286(,)4343k kM k k -++． [ 9分] 所以直线OM 的斜率是 22263438443k k k k k +=--+， [10分]所以直线OM 的方程是 34y x k =-．令4x =，得3(4,)D k-． [11分] 由(1,0)F ，得直线DF 的斜率是 3141k k-=--， [12分]因为OE DF ⊥，所以直线OE 的斜率为k ， [13分] 所以直线//OE AP ． [14分] 解法二：由（Ⅰ）得 (2,0)A -．设111(,)(2)P x y x ≠±，其中221134120x y +-=． 因为AP 的中点为M ，所以 112(,)22x y M -． [ 6分] 所以直线OM 的斜率是 112OM y k x =-， [ 7分] 所以直线OM 的方程是 112y y x x =-．令4x =，得114(4,)2y D x -． [ 8分] 由(1,0)F ，得直线DF 的斜率是 1143(2)DF y k x =-． [ 9分]因为直线AP 的斜率是 112AP y k x =+， [10分] 所以 2121413(4)DF APy k k x ⋅==--， [12分] 所以 AP DF ⊥． [13分] 因为 OE DF ⊥，所以 //OE AP ． [14分]20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ） 对()f x 求导数，得()e x f x x '=-， [ 1分]所以切线l 的斜率为000()e x x f x '=-， [ 2分]由此得切线l 的方程为：000002(1(e 2))e ()x x x x x y x ----=，即 000020(e )(1)1e 2x x x x y x x =+-+-. [ 3分]（Ⅱ） 由（Ⅰ）得，直线l 在y 轴上的截距为0020(1)1e 2x x x +-． [ 4分]设 2()(1)1e 2x g x x x +=-，[1,1]x ∈-． 所以 ()(1e )x g x x '=-，令()0g x '=，得0x =．()g x ，()g x '的变化情况如下表：所以函数()g x 在[1,1]-上单调递减， [ 6分]所以max 21[()](1)e 2g x g =-=+，min 1[()](1)2g x g ==， 所以直线l 在y 轴上的截距的取值范围是121[,]2e 2+． [ 8分]（Ⅲ）过M 作x 轴的垂线，与射线1y x =-交于点Q ，所以△MNQ 是等腰直角三角形． [ 9分] 所以 21|||||()()||e 1|2x MN MQ f x g x x x ==-=--+． [10分]设 21()e 12x h x x x =--+，[0,)x ∈+∞， 所以 ()e 1x h x x '=--．令 ()e 1x k x x =--，则()e 10(0)x k x x '=->>， 所以 ()()k x h x '=在[0,)+∞上单调递增， 所以 ()(0)0h x h ''=≥，从而 ()h x 在[0,)+∞上单调递增， [12分] 所以 min [()](0)2h x h ==，此时(0,1)M ，(2,1)N ．所以 ||MN 的最小值为2，此时1a =． [13分]。
北京市西城区2017届高三一模考试数学文试题Word版含答案
西城区高三统一测试数学（文科）第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集{1,2,3,4,5,6}U =，集合{1,3,5}A =，{1,4}B =，那么UA B =（A ）{3,5} （B ）{2,4,6} （C ）{1,2,4,6} （D ）{1,2,3,5,6}2．在复平面内，复数1ii+的对应点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限（D ）第四象限3．双曲线2213x y -=的焦点坐标是（A ）2)，(0,2) （B ）2,0)，(2,0) （C ）(0,2)，(0,2)-（D ）(2,0)，(2,0)-4．函数21()()log 2x f x x =-的零点个数为 （A ）0（B ）1（C ）2 （D ）35．函数()f x 定义在(,)-∞+∞上．则“曲线()y f x =过原点”是“()f x 为奇函数”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件6．在ABC △中，点D 满足3BC BD −−→−−→=，则（A ）1233AD AB AC −−→−−→−−→=+（B ）1233AD AB AC −−→−−→−−→=-（C ）2133AD AB AC −−→−−→−−→=+ （D ）2133AD AB AC −−→−−→−−→=-7．在正方形网格中，某四面体的三视图如图所示．如果小 正方形网格的边长为1，那么该四面体最长棱的棱长为 （A ）43 （B ）6 （C ）42 （D ）258．函数()f x 的图象上任意一点(,)A x y 的坐标满足条件||||x y ≥，称函数()f x 具有性 质P ．下列函数中，具有性质P 的是 （A ）2()f x x = （B ）21()1f x x =+ （C ）()sin f x x = （D ）()ln(1)f x x =+第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．函数()xf x 的定义域为____． 10．执行如图所示的程序框图. 当输入1ln 2x =时，输出的y 值为____． 11．圆22:2210C x y x y +--+=的圆心坐标是____；直线 :0l x y -=与圆C 相交于,A B 两点，则||AB =____． 12．函数sin 4()1cos4xf x x=+的最小正周期是____．13．实数,x y 满足1,2,220,x y x y ⎧⎪⎨⎪+-⎩≤≤≥则22x y +的最大值是____；最小值是____．14．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点P 在正方形ABCD 的边界及其内部运动．平面区域W 由所有满足15A P P 组成，则W 的面积是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知{}n a 是等比数列，13a =，424a =．数列{}n b 满足11b =，48b =-，且{}n n a b +是等差数列．（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n b 的前n 项和．16．（本小题满分13分）在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且tan 2sin a C c A =． （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求sin sin A B +的最大值． 17．（本小题满分13分）在测试中，客观题难度的计算公式为ii R P N=，其中i P 为第i 题的难度，i R 为答对该题的人数，N 为参加测试的总人数．现对某校高三年级120名学生进行一次测试，共5道客观题．测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如下表所示：题号 1 2 3 4 5 考前预估难度i P测试后，从中随机抽取了10名学生，将他们编号后统计各题的作答情况，如下表所示（“√”表示答对，“×”表示答错）：学生编号 题号123 4 5 1 ×√ √ √ √2 √ √ √ √ ×3 √ √ √ √× 4 √ √ √ ××5 √ √√√ √6 √××√ × 7 ×√√√× 8 √ ×× × × 9 √ √ ××× 10√√√√×（Ⅰ）根据题中数据，将抽样的10名学生每道题实测的答对人数及相应的实测难度填入下表，并估计这120名学生中第5题的实测答对人数；题号 1 2 3 4 5 实测答对人数 实测难度（Ⅱ）从编号为1到5的5人中随机抽取2人，求恰好有1人答对第5题的概率；（Ⅲ）定义统计量22211221[()()()]n n S P P P P P P n'''=-+-++-，其中i P '为第i 题的实测难度，i P 为第i 题的预估难度(1,2,,)i n =．规定：若0.05S <，则称该次测试的难度预估合理，否则为不合理．判断本次测试的难度预估是否合理.18．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA AC =．过点A 的平面与棱,,PB PC PD 分别交于点,,E F G （,,E F G 三点均不在棱的端点处）．（Ⅰ）求证：平面PAB ⊥平面PBC ； （Ⅱ）若PC ⊥平面AEFG ，求PFPC的值； （Ⅲ）直线AE 是否可能与平面PCD 平行？证明你的结论．19．（本小题满分14分）如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，F 为椭圆C 的右焦点．(,0)A a -， ||3AF =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，P 为椭圆上一点，AP 的中点为M ．直线OM 与直线4x =交于点D ，过O 作OE DF ⊥，交直线4x =于点E ．求证：//OE AP ．20．（本小题满分13分）已知函数21()e 2x f x x =-．设l 为曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线，其中0[1,1]x ∈-．（Ⅰ）求直线l 的方程（用0x 表示）； （Ⅱ）求直线l 在y 轴上的截距的取值范围；（Ⅲ）设直线y a =分别与曲线()y f x =和射线1([0,))y x x =-∈+∞交于,M N 两点，求||MN 的最小值及此时a 的值．西城区高三统一测试高三数学（文科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．A 2．D 3．C 4．B 5．B 6．C 7．B 8．C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．{|0x x ≥，且1}x ≠ 10．1211．(1,1)；212．π2 13．5；4514．π44-注：第11，13题第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q ，由题意得3418a q a ==， 解得 2q =． [ 2分]所以 11132(1,2,)n n n a a q n --=⋅=⋅=． [ 4分]设等差数列{}n n a b +的公差为d ，由题意得4411()()1644413a b a b d +-+-===-． [ 6分]所以 11()(1)4n n a b a b n d n +=++-=． [ 8分] 从而 1432(1,2,)n n b n n -=-⋅=． [ 9（Ⅱ）由（Ⅰ）知1432(1,2,)n n b n n -=-⋅=．数列{4}n 的前n 项和为2(1)n n +；数列1{32}n -⋅的前n 项和为3(21)n ⋅-．[12分]所以，数列{}n b 的前n 项和为 222323n n n +-⋅+． [13分]16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ） 由 tan 2sin a C c A =，得sin 2sin cos a CA c C⋅=． [ 1分]由正弦定理得sin sin 2sin sin cos A CA C C⋅=． [ 3分]所以 1cos 2C =． [ 4分]因为 (0,π)C ∈， [ 5分]所以 π3C =． [ 6分]（Ⅱ） sin sin A B +2πsin sin()3A A =+- [ 7分]33sin 2A A = [ 9分]π3sin()6A +． [11分]因为 π3C =，所以 2π03A <<， [12分]所以 当π3A =时，sin sin A B +取得最大值3． [1317．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）每道题实测的答对人数及相应的实测难度如下表：题号 1 2 3 4 5 实测答对人数 8 8 7 7 2 实测难度[4分]所以，估计120人中有1200.224⨯=人答对第5题． [ 5分]（Ⅱ）记编号为i 的学生为(1,2,3,4,5)i A i =，从这5人中随机抽取2人，不同的抽取方法有10种．其中恰好有1人答对第5题的抽取方法为12(,)A A ，13(,)A A ，14(,)A A ，25(,)A A ，35(,)A A ，45(,)A A ，共6种． [ 9分]所以，从抽样的10名学生中随机抽取2名答对至少4道题的学生，恰好有1人答对第5题的概率为63105P ==． [10分]（Ⅲ）i P '为抽样的10名学生中第i 题的实测难度，用i P '作为这120名学生第i 题的实测难度．222221[(0.80.9)(0.80.8)(0.70.7)(0.70.6)(0.20.4)]5S =-+-+-+-+-0.012=． [12分]因为 0.0120.05S =<，所以，该次测试的难度预估是合理的． [13分]18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA BC ⊥． [ 1分] 因为ABCD 为正方形，所以AB BC ⊥， [ 2分] 所以BC ⊥平面PAB ． [ 3分] 所以平面PAB ⊥平面PBC ． [ 4分]（Ⅱ）连接AF ． [ 5分]因为 PC ⊥平面AEFG ，所以 PC AF ⊥． [ 7分] 又因为 PA AC =，所以 F 是PC 的中点． [ 8分]所以12PF PC =．[ 9分] （Ⅲ）AE 与平面PCD 不可能平行． [10分]证明如下：假设//AE 平面PCD ，因为 //AB CD ，AB ⊄平面PCD ．所以 //AB 平面PCD ． [12分] 而 AE AB ⊂，平面PAB ，所以 平面//PAB 平面PCD ，这显然矛盾！ [13分] 所以假设不成立，即AE 与平面PCD 不可能平行．[14分]19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）设椭圆C 的半焦距为c ．依题意，得12c a =，3a c +=． [ 2分] 解得 2a =，1c =． 所以 2223b a c =-=，所以椭圆C 的方程是 22143x y +=． [ 5分]（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）得 (2,0)A -．设AP 的中点00(,)M x y ，11(,)P x y ．设直线AP 的方程为：(2)(0)y k x k =+≠，将其代入椭圆方程，整理得2222(43)1616120k x k x k +++-=， [ 7分]所以 21216243k x k --+=+． [ 8分]所以 202843k x k -=+，0026(2)43k y k x k =+=+，即 22286(,)4343k kM k k -++． [ 9分]所以直线OM 的斜率是22263438443k k k k k +=--+， [10分]所以直线OM 的方程是 34y x k =-．令4x =，得3(4,)D k-． [11分] 由(1,0)F ，得直线DF 的斜率是 3141k k-=--， [12分]因为OE DF ⊥，所以直线OE 的斜率为k ， [13分] 所以直线//OE AP ． [14分] 解法二：由（Ⅰ）得 (2,0)A -．设111(,)(2)P x y x ≠±，其中221134120x y +-=． 因为AP 的中点为M ，所以 112(,)22x y M -．[ 6分] 所以直线OM 的斜率是 112OM y k x =-， [ 7分]所以直线OM 的方程是 112y y x x =-．令4x =，得114(4,)2y D x -． [ 8分] 由(1,0)F ，得直线DF 的斜率是 1143(2)DF y k x =-． [ 9分]因为直线AP 的斜率是 112AP y k x =+， [10分]所以 2121413(4)DF APy k k x ⋅==--， [12分] 所以 AP DF ⊥． [13分]因为 OE DF ⊥，所以 //OE AP ． [14分]20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ） 对()f x 求导数，得()e x f x x '=-， [ 1分]所以切线l 的斜率为000()e x x f x '=-， [ 2分]由此得切线l 的方程为：000002(1(e 2))e ()x x x x x y x ----=，即 000020(e )(1)1e 2x x x x y x x =+-+-. [ 3分]（Ⅱ） 由（Ⅰ）得，直线l 在y 轴上的截距为0020(1)1e 2x x x +-． [ 4分]设 2()(1)1e 2x g x x x +=-，[1,1]x ∈-． 所以 ()(1e )x g x x '=-，令()0g x '=，得0x =． ()g x ，()g x '的变化情况如下表：x1-(1,0)- 0 (0,1) 1()g x '-0 -()g x21e 2+ ↘ 1↘12百度文库 - 让每个人平等地提升自我1111 所以函数()g x 在[1,1]-上单调递减， [ 6分]所以max 21[()](1)e 2g x g =-=+，min 1[()](1)2g x g ==， 所以直线l 在y 轴上的截距的取值范围是121[,]2e 2+． [ 8分] （Ⅲ）过M 作x 轴的垂线，与射线1y x =-交于点Q ，所以△MNQ 是等腰直角三角形．[ 9分] 所以 21|||||()()||e 1|2x MN MQ f x g x x x ==-=--+． [10分]设 21()e 12x h x x x =--+，[0,)x ∈+∞，所以 ()e 1x h x x '=--．令 ()e 1x k x x =--，则()e 10(0)x k x x '=->>，所以 ()()k x h x '=在[0,)+∞上单调递增，所以 ()(0)0h x h ''=≥，从而 ()h x 在[0,)+∞上单调递增，[12分]所以 min [()](0)2h x h ==，此时(0,1)M ，(2,1)N ．所以 ||MN 的最小值为2，此时1a =．[13分]。
北京市西城区2016 — 2017学年度第一学期期末试卷高三数学文科试题答案及评分标准
北京市西城区2016 — 2017学年度第一学期期末高三数学（文科）参考答案及评分标准2017.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B 2．D 3．C 4．B 5．A6．C 7．A 8．C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．i 10．211．212．(0,)+∞；413[4,9) 注：第12，14题第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，则有113,2711.a d a d +=⎧⎨+=⎩[4分] 解得12a =，1d =．[6分]所以数列{}n a 的通项公式为1(1)1n a a n d n =+-=+．[7分]（Ⅱ）111122n n n a n b a n +=+=++．[8分] 因为数列11{}2n +是首项为14，公比为12的等比数列，[9分]所以11[1()](3)421212n n n n S -+=+-[11分] 2131122n n n +++=-．[13分]16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为2π()sin(2)(2cos 1)6f x x x ωω=-+-ππ(sin 2coscos 2sin )cos 266x x x ωωω=-+ [ 4分]12cos 22x x ωω=+ πsin(2)6x ω=+， [ 6分]所以()f x 的最小正周期2ππ2T ω==, 解得1ω=． [ 7分] （Ⅱ）由（Ⅰ）得 π()sin(2)6f x x =+．因为7π12x ≤≤0，所以ππ4π2663x +≤≤． [ 9分] 所以，当ππ262x +=，即π6x =时，()f x 取得最大值为1； [11分]当π4π263x +=，即7π12x =时，()f x 取得最小值为- [13分]17．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）A 05244120123(h)5x ++++=+=，[2分]B 2370(120)1205a x -++++-=+，[3分] 由A B x x =，解得127a =．[4分]（Ⅱ）设A ，B 两个型号被测试手机的待机时间的方差依次为2A s ，2B s ，则22A Bs s <．[7分] （Ⅲ）设A 型号手机为1A ，2A ，3A ，4A ，5A ；B 型号手机为1B ，2B ，3B ，4B ，5B ，“至少有1台的待机时间超过122小时”为事件C ．[8分]从被测试的手机中随机抽取A ，B 型号手机各1台，不同的抽取方法有25种．[10分]抽取的两台手机待机时间都不超过122小时的选法有：11(A ,B )，14(A ,B )，31(A ,B )，34(A ,B )，共4种． [11分]因此4(C)25P =，所以21(C)1(C)25P P =-=． 所以至少有1台的待机时间超过122小时的概率是2125．[13分]18．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）因为90BAD ∠=，所以AB AD ⊥，[1分] 又因为AB PA ⊥，[2分]所以AB ⊥平面PAD ，[3分]所以AB PD ⊥．[4分]（Ⅱ）取PA 的中点F ，连接BF ，EF ．[5分]因为E 为棱PD 中点，所以//EF AD ，12EF AD =，又因为//BC AD ，12BC AD =，所以//BC EF ，BC EF =．所以四边形BCEG 是平行四边形，//EC BF ．[8分]又BF ⊂平面PAB ，CE ⊄平面PAB ， 所以//CE 平面PAB ．[9分]（Ⅲ）在平面ABCD 上，延长AB ，CD 交于点M ．因为M AB ∈，所以M ∈平面PAB ；又M CD ∈，所以M ∈平面PCD ，所以平面PAB平面PCD PM =．[11分]在△ADM 中，因为//BC AD ，12BC AD =， 所以 22AM AB ==．[12分]因为PA PD ⊥，所以△APD 是等腰直角三角形，所以PA =．[13分]由（Ⅰ）得AM ⊥平面PAD ，所以AM PA ⊥．在直角△PAM 中，PM ==[14分]19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由椭圆的定义，得12||||24PF PF a +==，2a =．[2分]将点P 的坐标代入22214x y b +=，得22114b+=，解得b =[4分]所以，椭圆C 的方程是22142x y +=．[5分]（Ⅱ）依题意，得1)Q -．设()00,M x y ，则有220024x y +=，0x ≠01y ≠±．[6分]直线MP的方程为1y x -=，[7分]令0y =，得0001x x y -=-，[8分]所以OE =．直线MQ的方程为1y x +=-，[9分]令0y =，得0001x x y +=+，[10分]所以OF =．所以2200202=1y x OE OF y -⋅- 2200202(42)=1y y y ---[12分] =4．所以OE OF ⋅为定值．[14分]20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(,)-∞+∞，且2()32f x x ax b '=++．[1分]当0a =时，2()3f x x b '=+．（ⅰ）① 当0b ≥时，显然()f x 在(,)-∞+∞上单调递增，无极值点．[2分]② 当0b <时，令()0f x '=，解得x =．[3分] ()f x 和()f x '的变化情况如下表：（ⅱ）若0x x =是()f x 的极值点，则有2030x b +=；若0x x =是()f x 的不动点，则有30003x bx x ++=．从上述两式中消去b ，整理得300230x x +-=．[6分]设3()23g x x x =+-．所以2()610g x x '=+>，()g x 在(,)-∞+∞上单调递增．又(1)0g =，所以函数()g x 有且仅有一个零点1x =，即方程300230x x +-=的根为01x =， 所以 2033b x =-=-．[8分]（Ⅱ）因为()f x 有两个相异的极值点1x ，2x ，所以方程2320x ax b ++=有两个不等实根1x ，2x ， 所以24120a b ∆=->，即230a b ->．[9分]假设存在实数a ，b ，使得1x ，2x 均为()f x 的不动点，则1x ，2x 是方程32(1)30x ax b x ++-+=的两个实根，显然1x ，20x ≠．对于实根1x ，有32111(1)30x ax b x ++-+=．①又因为211320x ax b ++=．②①3⨯-②1x ⨯，得 211(23)90ax b x +-+=． 同理可得222(23)90ax b x +-+=．所以，方程2(23)90ax b x +-+=也有两个不等实根1x ，2x ．[11分] 所以1223b x x a-+=-． 对于方程2320x ax b ++=，有 1223a x x +=-， 所以2233ab a--=-， 即2932a b -=-， 这与230a b ->相矛盾！所以，不存在a ，b ，使得1x ，2x 均为()f x 的不动点．[13分]。
2017-2018学年北京市西城区高三(上)期末数学试卷(文科)
2017-2018学年北京市西城区高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）若集合A={x|0＜x＜3}，B={x|﹣1＜x＜2}，则A∪B=（）A．{x|﹣1＜x＜3}B．{x|﹣1＜x＜0}C．{x|0＜x＜2}D．{x|2＜x＜3} 2．（5分）在复平面内，复数对应的点的坐标为（）A．（1，1） B．（﹣1，1）C．（﹣1，﹣1）D．（1，﹣1）3．（5分）下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．y=﹣x+1 B．y=（x﹣1）2 C．y=sinx D．4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．2 B．6 C．30 D．2705．（5分）若，则有（）A．a=2b B．b=2a C．a=4b D．b=4a6．（5分）一个棱长为2的正方体被一个平面截去一部分后，剩余几何体的三视图如图所示，则截去的几何体是（）A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱7．（5分）函数f（x）=sin（x+φ）的图象记为曲线C．则“f（0）=f（π）”是“曲线C关于直线对称”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）已知A，B是函数y=2x的图象上的相异两点．若点A，B到直线的距离相等，则点A，B的横坐标之和的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，﹣2）C．（﹣∞，﹣3）D．（﹣∞，﹣4）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）若函数f（x）=x（x+b）是偶函数，则实数b=．10．（5分）已知双曲线的一个焦点是F（2，0），其渐近线方程为，该双曲线的方程是．11．（5分）向量，在正方形网格中的位置如图所示．如果小正方形网格的边长为1，那么=．12．（5分）在△ABC中，a=3，，△ABC的面积为，则b=；c=．13．（5分）已知点M（x，y）的坐标满足条件，设O为原点，则|OM|的最小值是．14．（5分）已知函数，若c=0，则f（x）的值域是；若f（x）的值域是，则实数c的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求证：当时，．16．（13分）已知数列{a n}是公比为的等比数列，且a2+6是a1和a3的等差中项．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{a n}的前n项之积为T n，求T n的最大值．17．（13分）某市高中全体学生参加某项测评，按得分评为A，B两类（评定标准见表）．根据男女学生比例，使用分层抽样的方法随机抽取了10000名学生的得分数据，其中等级为A1的学生中有40%是男生，等级为A2的学生中有一半是女生．等级为A1和A2的学生统称为A类学生，等级为B1和B2的学生统称为B 类学生．整理这10000名学生的得分数据，得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）已知该市高中学生共20万人，试估计在该项测评中被评为A类学生的人数；（Ⅱ）某5人得分分别为45，50，55，75，85．从这5人中随机选取2人组成甲组，另外3人组成乙组，求“甲、乙两组各有1名B类学生”的概率；（Ⅲ）在这10000名学生中，男生占总数的比例为51%，B类女生占女生总数的比例为k1，B类男生占男生总数的比例为k2．判断k1与k2的大小．（只需写出结论）18．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥平面AA1C1C，AA1=AC．过AA1的平面交B1C1于点E，交BC于点F．（Ⅰ）求证：A1C⊥平面ABC1；（Ⅱ）求证：A1A∥EF；（Ⅲ）记四棱锥B1﹣AA1EF的体积为V1，三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为V．若，求的值．19．（14分）已知椭圆过A（2，0），B（0，1）两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程及离心率；（Ⅱ）设点Q在椭圆C上．试问直线x+y﹣4=0上是否存在点P，使得四边形PAQB 是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．20．（13分）已知函数f（x）=x2lnx﹣2x．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求证：存在唯一的x0∈（1，2），使得曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线的斜率为f（2）﹣f（1）（Ⅲ）比较f（1.01）与﹣2.01的大小，并加以证明．2017-2018学年北京市西城区高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）若集合A={x|0＜x＜3}，B={x|﹣1＜x＜2}，则A∪B=（）A．{x|﹣1＜x＜3}B．{x|﹣1＜x＜0}C．{x|0＜x＜2}D．{x|2＜x＜3}【解答】解：∵集合A={x|0＜x＜3}，B={x|﹣1＜x＜2}，∴A∪B={x|﹣1＜x＜3}．故选：A．2．（5分）在复平面内，复数对应的点的坐标为（）A．（1，1） B．（﹣1，1）C．（﹣1，﹣1）D．（1，﹣1）【解答】解：===﹣1+i，对应点的坐标为（﹣1，1），故选：B3．（5分）下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．y=﹣x+1 B．y=（x﹣1）2 C．y=sinx D．【解答】解：对于A，函数在R递减，对于B，函数在（0，1）递减，对于C，函数在（0，+∞）无单调性，对于D，函数在（0，+∞）递增，故选：D．4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．2 B．6 C．30 D．270【解答】解：模拟程序的运行，可得S=1，k=2满足条件k≤5，执行循环体，S=2，k=3满足条件k≤5，执行循环体，S=6，k=5满足条件k≤5，执行循环体，S=30，k=9不满足条件k≤5，退出循环，输出S的值为30．故选：C．5．（5分）若，则有（）A．a=2b B．b=2a C．a=4b D．b=4a【解答】解：，得，即a=4b．故选：C．6．（5分）一个棱长为2的正方体被一个平面截去一部分后，剩余几何体的三视图如图所示，则截去的几何体是（）A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱【解答】解：由三视图还原原几何体如图：该几何体为直四棱柱ABEA1﹣DCFD1，截去的部分为三棱柱BB1E﹣CC1F．故选：B．7．（5分）函数f（x）=sin（x+φ）的图象记为曲线C．则“f（0）=f（π）”是“曲线C关于直线对称”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若f（0）=f（π），则sinφ=sin（π+φ）=﹣sinφ，则sinφ=0，则φ=kπ，此时f（x）=sin（x+φ）=sin（x+kπ）=±sinx，曲线C关于直线对称，反之若曲线C关于直线对称，则f（0）=f（π），即“f（0）=f（π）”是“曲线C关于直线对称”的充要条件，故选：C8．（5分）已知A，B是函数y=2x的图象上的相异两点．若点A，B到直线的距离相等，则点A，B的横坐标之和的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，﹣2）C．（﹣∞，﹣3）D．（﹣∞，﹣4）【解答】解：不妨设A（x1，y1），B（x2，y2），（x1＞x2），可得⇒，利用均值不等式1⇒2∴x1+x2＜﹣2，故选：B．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）若函数f（x）=x（x+b）是偶函数，则实数b=0．【解答】解：∵f（x）是偶函数，∴f（﹣x）=f（x），即﹣x（﹣x+b）=x（x+b），得x﹣b=x+b，则﹣b=b，得b=0，故答案为：0．10．（5分）已知双曲线的一个焦点是F（2，0），其渐近线方程为，该双曲线的方程是x2﹣=1．【解答】解：∵双曲线的一个焦点为（2，0），且双曲线的渐近线方程为，∴c=2，，∵c=，∴a=1，b2=3，∴双曲线的方程为x2﹣=1．故答案为：x2﹣=1．11．（5分）向量，在正方形网格中的位置如图所示．如果小正方形网格的边长为1，那么=4．【解答】解：向量，在正方形网格中的位置如图所示．如果小正方形网格的边长为1，=（2，0）．=（2，﹣1）．那么=2×2+0×（﹣1）=4．故答案为：4．12．（5分）在△ABC中，a=3，，△ABC的面积为，则b=1；c=．【解答】解：△ABC中，a=3，，∴△ABC的面积为absinC=×3×sin=，解得b=1；∴c2=a2+b2﹣2abcosC=32+12﹣2×3×1×cos=13，c=．故答案为：1；．13．（5分）已知点M（x，y）的坐标满足条件，设O为原点，则|OM|的最小值是．【解答】解：画出满足条件的可行域，如图所示：故|OM|的最小值为原点到直线x+y﹣1=0的距离：=．故答案为：．14．（5分）已知函数，若c=0，则f（x）的值域是[﹣，+∞）；若f（x）的值域是，则实数c的取值范围是[，1] ．【解答】解：c=0时，f（x）=x2+x=（x+）2﹣，f（x）在[﹣2，﹣）递减，在（﹣，0]递增，可得f（﹣2）取得最大值，且为2，最小值为﹣；当0＜x≤3时，f（x）=递减，可得f（3）=，则f（x）∈[，+∞），综上可得f（x）的值域为[﹣，+∞）；∵函数y=x2+x在区间[﹣2，﹣）上是减函数，在区间（﹣，1]上是增函数，∴当x∈[﹣2，0）时，函数f（x）最小值为f（﹣）=﹣，最大值是f（﹣2）=2；由题意可得c＞0，∵当c＜x≤3时，f（x）=是减函数且值域为[，），当f（x）的值域是[﹣，2]，可得≤c≤1．故答案为：；．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求证：当时，．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为=[（4分）]=[（5分）]=，[（7分）]所以f（x）的最小正周期．[（8分）]（Ⅱ）因为，所以．[（10分）]所以，[（12分）]所以．[（13分）]16．（13分）已知数列{a n}是公比为的等比数列，且a2+6是a1和a3的等差中项．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{a n}的前n项之积为T n，求T n的最大值．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为a2+6是a1和a3的等差中项，所以2（a2+6）=a1+a3．[（2分）]因为数列{a n}是公比为的等比数列，所以，[（4分）]解得a1=27．[（6分）]所以a n=a1•q n﹣1=（）n﹣4．[[（8分）]（Ⅱ）令a n≥1，即（）n﹣4≥1，得n≤4，[（10分）]故正项数列{a n}的前3项大于1，第4项等于1，以后各项均小于1．[（11分）]所以当n=3，或n=4时，T n取得最大值，[（12分）]T n的最大值为T3=T4=a1•a2•a3=729．[（13分）]17．（13分）某市高中全体学生参加某项测评，按得分评为A，B两类（评定标准见表）．根据男女学生比例，使用分层抽样的方法随机抽取了10000名学生的得分数据，其中等级为A1的学生中有40%是男生，等级为A2的学生中有一半是女生．等级为A1和A2的学生统称为A类学生，等级为B1和B2的学生统称为B 类学生．整理这10000名学生的得分数据，得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）已知该市高中学生共20万人，试估计在该项测评中被评为A类学生的人数；（Ⅱ）某5人得分分别为45，50，55，75，85．从这5人中随机选取2人组成甲组，另外3人组成乙组，求“甲、乙两组各有1名B类学生”的概率；（Ⅲ）在这10000名学生中，男生占总数的比例为51%，B类女生占女生总数的比例为k1，B类男生占男生总数的比例为k2．判断k1与k2的大小．（只需写出结论）【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）依题意得，样本中B类学生所占比例为（0.02+0.04）×10=60%，（2分）所以A类学生所占比例为40%．（3分）因为全市高中学生共20万人，所以在该项测评中被评为A类学生的人数约为8万人．（4分）（Ⅱ）由表1得，在5人（记为a，b，c，d，e）中，B类学生有2人（不妨设为b，d）．将他们按要求分成两组，分组的方法数为10种．（6分）依次为：（ab，cde），（ac，bde），（ad，bce），（ae，bcd），（bc，ade），（bd，ace），（be，acd），（cd，abe），（ce，abd），（de，abc）．（8分）所以“甲、乙两组各有一名B类学生”的概率为．（10分）（Ⅲ）k1＜k2．（13分）18．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥平面AA1C1C，AA1=AC．过AA1的平面交B1C1于点E，交BC于点F．（Ⅰ）求证：A1C⊥平面ABC1；（Ⅱ）求证：A1A∥EF；（Ⅲ）记四棱锥B1﹣AA1EF的体积为V1，三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为V．若，求的值．【解答】（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为AB⊥平面AA1C1C，所以A1C⊥AB．[（2分）]在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，因为AA1=AC，所以四边形AA1C1C为菱形，所以A1C⊥AC1．[（3分）]所以A1C⊥平面ABC1．[（5分）]（Ⅱ）证明：在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，因为A1A∥B1B，A1A⊄平面BB1C1C，[（6分）]所以A1A∥平面BB1C1C．[（8分）]因为平面AA1EF∩平面BB1C1C=EF，所以A1A∥EF．[（10分）]（Ⅲ）解：记三棱锥B1﹣ABF的体积为V2，三棱柱ABF﹣A1B1E的体积为V3．因为三棱锥B1﹣ABF与三棱柱ABF﹣A1B1E同底等高，所以，[（11分）]所以．因为，所以．[（12分）]因为三棱柱ABF﹣A1B1E与三棱柱ABC﹣A1B1C1等高，所以△ABF与△ABC的面积之比为，[（13分）]所以．[（14分）]19．（14分）已知椭圆过A（2，0），B（0，1）两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程及离心率；（Ⅱ）设点Q在椭圆C上．试问直线x+y﹣4=0上是否存在点P，使得四边形PAQB 是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【解答】（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意得，a=2，b=1．[（2分）]所以椭圆C的方程为．[（3分）]设椭圆C的半焦距为c，则，[（4分）]所以椭圆C的离心率．[（5分）]（Ⅱ）由已知，设P（t，4﹣t），Q（x0，y0）．[（6分）]若PAQB是平行四边形，则，[（8分）]所以（2﹣t，t﹣4）+（﹣t，t﹣3）=（x0﹣t，y0﹣4+t），整理得x0=2﹣t，y0=t﹣3．[（10分）]将上式代入，得（2﹣t）2+4（t﹣3）2=4，[（11分）]整理得5t2﹣28t+36=0，解得，或t=2．[（13分）]此时，或P（2，2）．经检验，符合四边形PAQB是平行四边形，所以存在，或P（2，2）满足题意．[（14分）]20．（13分）已知函数f（x）=x2lnx﹣2x．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求证：存在唯一的x0∈（1，2），使得曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线的斜率为f（2）﹣f（1）（Ⅲ）比较f（1.01）与﹣2.01的大小，并加以证明．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=x2lnx﹣2x的定义域是（0，+∞），导函数为f'（x）=2xlnx+x﹣2，所以f'（1）=﹣1，又f（1）=﹣2，所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=﹣x﹣1；（Ⅱ）证明：由已知f（2）﹣f（1）=4ln2﹣2，所以只需证明方程2xlnx+x﹣2=4ln2﹣2在区间（1，2）有唯一解．即方程2xlnx+x﹣4ln2=0在区间（1，2）有唯一解．设函数g（x）=2xlnx+x﹣4ln2，则g'（x）=2lnx+3．当x∈（1，2）时，g'（x）＞0，故g（x）在区间（1，2）单调递增．又g（1）=1﹣4ln2＜0，g（2）=2＞0，所以存在唯一的x0∈（1，2），使得g（x0）=0．综上，存在唯一的x0∈（1，2），使得曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线的斜率为f（2）﹣f（1）；（Ⅲ）f（1.01）＞﹣2.01．证明如下：首先证明：当x＞1时，f（x）＞﹣x﹣1．设h（x）=f（x）﹣（﹣x﹣1）=x2lnx﹣x+1，则h'（x）=x+2xlnx﹣1．当x＞1时，x﹣1＞0，2xlnx＞0，所以h'（x）＞0，故h（x）在（1，+∞）单调递增，所以x＞1时，有h（x）＞h（1）=0，即当x＞1时，有f（x）＞﹣x﹣1．所以f（1.01）＞﹣1.01﹣1=﹣2.01．。
北京市西城区2017届高三二模数学文科试题-Word版含答案
西城区高三模拟测试高三数学（文科）2017.5第Ⅰ卷（选择题共40分）一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{|11}A x x =∈-<<R ，{|(2)0}B x x x =∈⋅-<R ，那么A B = （A ）{|01}x x ∈<<R （B ）{|02}x x ∈<<R （C ）{|10}x x ∈-<<R（D ）{|12}x x ∈-<<R2．设向量(2,1)=a ，(0,2)=-b ．则与2+a b 垂直的向量可以是 （A ）(3,2)（B ）(3,2)-（C ）(4,6)（D ）(4,6)-3．下列函数中，值域为[0,1]的是 （A ）2y x = （B ）sin y x = （C ）211y x =+ （D）y 4．若抛物线2y ax =的焦点到其准线的距离是2，则a =（A ）1± （B ）2± （C ）4± （D ）8±5．设a ，0b ≠，则“a b >”是“11a b<”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件6．在平面直角坐标系中，不等式组,020,0y x y -+⎨⎪⎪⎩≤≥≥表示的平面区域的面积是（A（B（C ）2 （D）7．某四面体的三视图如图所示，该四面体的体积为（A ）43 （B ）2（C ）83（D ）48．函数()||f x x x =．若存在[1,)x ∈+∞，使得(2)0f x k k --<，则k 的取值范围是 （A ）(2,)+∞ （B ）(1,)+∞（C ）1(,)2+∞（D ）1(,)4+∞第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．在复平面内，复数z 对应的点是(1,2)Z -，则复数z 的共轭复数z =____．10．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为____．11．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．若π3A =a 1b =，则c =____．12．已知圆22:1O x y +=．圆O '与圆O 关于直线20x y +-=对称，则圆O '的方程是____．13．函数22, 0,()log , 0.x x f x x x ⎧=⎨>⎩≤则1()4f =____；方程1()2f x -=的解是____．14．某班开展一次智力竞赛活动，共a ，b ，c 三个问题，其中题a 满分是20分，题b ，c 满分都是25分．每道题或者得满分，或者得0分．活动结果显示，全班同学每人至少答对一道题，有1名同学答对全部三道题，有15名同学答对其中两道题．答对题a 与题b 的人数之和为29，答对题a 与题c 的人数之和为25，答对题b 与题c 的人数之和为20．则该班同学中只答对一道题的人数是____；该班的平均成绩是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数π()tan()4f x x =+．（Ⅰ）求()f x 的定义域；（Ⅱ）设β是锐角，且π()2sin()4f ββ=+，求β的值．16．（本小题满分13分）某大学为调研学生在A ，B 两家餐厅用餐的满意度，从在A ，B 两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人，每人分别对这两家餐厅进行评分，满分均为60分．整理评分数据，将分数以10为组距分成6组：[0,10)，[10,20)，[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60]，得到A 餐厅分数的频率分布直方图，和B 餐厅分数的频数分布表：（Ⅰ）在抽样的100人中，求对A 餐厅评分低于30的人数；（Ⅱ）从对B 餐厅评分在[0,20)范围内的人中随机选出2人，求2人中恰有1人评分在[0,10)范围内的概率；（Ⅲ）如果从A ，B 两家餐厅中选择一家用餐，你会选择哪一家？说明理由．17．（本小题满分13分）设{}n a 是首项为1,公差为2的等差数列，{}n b 是首项为1，公比为q 的等比数列．记n n n c a b =+，1,2,3,n = ．（Ⅰ）若{}n c 是等差数列，求q 的值； （Ⅱ）求数列{}n c 的前n 项和n S ．B 餐厅分数频数分布表18．（本小题满分14分）如图，在几何体ABCDEF 中，底面ABCD 为矩形，//EF CD ，CD EA ⊥，22CD EF ==，ED M 为棱FC 上一点，平面ADM 与棱FB 交于点N ．（Ⅰ）求证：ED CD ⊥； （Ⅱ）求证：//AD MN ；（Ⅲ）若A D E D ⊥，试问平面BCF 是否可能与平面ADMN 垂直？若能，求出FMFC的值；若不能，说明理由．19．（本小题满分13分）已知函数()ln 2af x x x =+-，其中a ∈R ． （Ⅰ）给出a 的一个取值，使得曲线()y f x =存在斜率为0的切线，并说明理由； （Ⅱ）若()f x 存在极小值和极大值，证明：()f x 的极小值大于极大值．20．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>且过点P ．直线y m =+与椭圆C 相交于,A B 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求PAB △的面积的最大值；（Ⅲ）设直线,PA PB 分别与y 轴交于点,M N ．判断||PM ，||PN 的大小关系，并加以证明．西城区高三模拟测试高三数学（文科）参考答案及评分标准2017.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 1．A 2．A 3．D4．C 5．D6．B7．A8．D二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．12i +10．711．212．22(2)(2)1x y -+-=13．2-；114．4；42注：第13、14题第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由πππ42x k +≠+，得ππ4x k ≠+，k ∈Z ． [ 3分] 所以函数()f x 的定义域是π{|π,}4x x k k ≠+∈Z ．[ 4分]（Ⅱ）依题意，得ππtan()2sin()44ββ+=+． [ 5分]所以πsin()π42sin()4cos()4βββ+=++．① [ 7分] 因为β是锐角，所以ππ3π444β<+<，[ 8分]所以πsin()04β+>，[ 9分] ①式化简为π1cos()42β+=． [10分] 所以ππ43β+=，[12分] 所以π12β=． [13分]16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由A 餐厅分数的频率分布直方图，得对A 餐厅评分低于30的频率为(0.0030.0050.012)100.2++⨯=，[ 2分]所以，对A 餐厅评分低于30的人数为1000.220⨯=． [ 3分] （Ⅱ）对B 餐厅评分在[0,10)范围内的有2人，设为12M ,M ；对B 餐厅评分在[10,20)范围内的有3人，设为123N ,N ,N ． 从这5人中随机选出2人的选法为：12(M ,M )，11(M ,N )，12(M ,N )，13(M ,N )，21(M ,N )，22(M ,N )，23(M ,N )，12(N ,N )，13(N ,N )，23(N ,N )，共10种．[ 7分]其中，恰有1人评分在[0,10)范围内的选法为：11(M ,N )，12(M ,N )，13(M ,N )，21(M ,N )，22(M ,N )，23(M ,N )，共6种．[ 9分]故2人中恰有1人评分在[0,10)范围内的概率为63105P ==．[10分] （Ⅲ）从两个餐厅得分低于30分的人数所占的比例来看：由（Ⅰ）得，抽样的100人中，A 餐厅评分低于30的人数为20， 所以，A 餐厅得分低于30分的人数所占的比例为20%． B 餐厅评分低于30的人数为23510++=，所以，B 餐厅得分低于30分的人数所占的比例为10%．所以会选择B 餐厅用餐． [13分] 注：本题答案不唯一．只要考生言之合理即可．17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，所以21n a n =-．[ 2分]因为{}n b 是首项为1，公比为q 的等比数列，所以1n n b q -=．[ 4分]所以121n n n n c a b n q -=+=-+．[ 5分]因为{}n c 是等差数列，所以2132c c c =+，[ 6分]即22(3)25q q +=++，解得1q =．[ 7分]经检验，1q =时，2n c n =，所以{}n c 是等差数列．[ 8分]（Ⅱ）由（Ⅰ）知121(1,2,)n n c n qn -=-+= ． 所以121111111(21)n n n n nnk k n k k k k k k k k k S c a b k qn q --========+=-+=+∑∑∑∑∑∑．[10分]当1q =时，2n S n n =+．[11分]当1q ≠时，211n n q S n q -=+-．[13分]18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为ABCD 为矩形，所以CD AD ⊥．[ 1分]又因为CD EA ⊥，[ 2分] 所以CD ⊥平面EAD ．[ 3分] 所以ED CD ⊥．[ 4分]（Ⅱ）因为ABCD 为矩形，所以//AD BC ，[ 5分]所以//AD 平面FBC ．[ 7分]又因为平面ADMN 平面FBC MN =， 所以//AD MN ．[ 8分]（Ⅲ）平面ADMN 与平面BCF 可以垂直．证明如下：[ 9分]连接DF ．因为AD ED ⊥，AD CD ⊥， 所以AD ⊥平面CDEF ．[10分] 所以AD DM ⊥．因为//AD MN ，所以DM MN ⊥．[11分] 因为平面ADMN 平面BCF MN =， 若使平面ADMN ⊥平面BCF ，则DM ⊥平面BCF ，所以DM FC ⊥．[12分]在梯形CDEF 中，因为//EF CD ，ED CD ⊥，22CD EF ==，ED = 所以2DF DC ==．所以若使DM FC ⊥能成立，则M 为FC 的中点． 所以12FM FC =．[14分]19．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域是{|0D x x =>，且2}x ≠，且21()(2)a f x xx '=-+-．[ 2分]当1a =时，曲线()y f x =存在斜率为0的切线．证明如下：[ 3分] 曲线()y f x =存在斜率为0的切线⇔方程()0f x '=存在D 上的解． 令2110(2)xx -+=-，整理得2540x x -+=， 解得1x =，或4x =．所以当1a =时，曲线()y f x =存在斜率为0的切线．[ 5分] 注：本题答案不唯一，只要0a >均符合要求． （Ⅱ）由（Ⅰ）得21()(2)a f x xx '=-+-．①当0a ≤时，()0f x '>恒成立，函数()f x 在区间(0,2)和(2,)+∞上单调递增，无极值，不合题意．[ 6分] ②当0a >时，令()0f x '=，整理得2(4)40x a x -++=． 由2[(4)]160a ∆=-+->，所以，上述方程必有两个不相等的实数解1x ，2x ，不妨设12x x <． 由121244,4,x x a x x +=+>⎧⎨=⎩得1202x x <<<．[ 8分]()f x '，()f x 的变化情况如下表：所以，()f x 存在极大值1()f x ，极小值2()f x ．[10分] 2121212121()()(ln )(ln )()(ln ln )2222a a a af x f x x x x x x x x x -=+-+=-+-----． [11分]因为1202x x <<<，且0a >，所以21022a ax x ->--，21ln ln 0x x ->， 所以21()()f x f x >．所以()f x 的极小值大于极大值．[13分]20．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的半焦距为c ．因为椭圆C，所以2222222112c a b b a a a -==-=，即222a b =．[ 1分]由22222,211,a b a b ⎧=⎪⎨+=⎪⎩解得224,2.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩[ 3分] 所以椭圆C 的方程为22142x y +=．[ 4分]（Ⅱ）将y m =+代入22142x y +=， 消去y整理得2220x m +-=．[ 5分] 令2224(2)0m m ∆=-->，解得22m -<<． 设1122(,),(,)A x y B x y ．则12x x +=，2122x x m =-．所以AB==[ 6分]点P到直线0x =的距离为d ==．[ 7分]所以PAB △的面积12S AB d =⋅||m ==，[ 8分]当且仅当m =S =所以PAB △．[ 9分] （Ⅲ）||||PM PN =．证明如下：[10分]设直线PA ，PB 的斜率分别是1k ，2k ，则12k k ++=．[11分]由（Ⅱ）得1221(1)((1)(y x y x -+-12211)(1)(m x m x =+-++-1212(2)()1)x m x x m +-+--22)(2)()1)m m m -+---0=，所以直线PA ，PB 的倾斜角互补．[13分] 所以12∠=∠， 所以PMN PNM ∠=∠． 所以||||PM PN =．[14分]。
2017届北京四中高三上学期期中数学试卷(文科)(解析版)
2016-2017学年北京四中高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分1．若集合A={1，2，3}，B={0，1，2}，则A∩B=（）A．{0，1，2，3}B．{0，1，2}C．{1，2}D．{1，2，3}2．设a=log32，b=log2，c=，则（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．a＞c＞b D．c＞a＞b3．“数列{a n}既是等差数列又是等比数列”是“数列{a n}是常数列”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．若x，y满足，则z=x+2y的最大值为（）A．0 B．1 C．D．25．从A，B，C，D，E5名学生中随机选出2人，A被选中的概率为（）A．B．C．D．6．下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lgx的定义域和值域相同的是（）A．y=x B．y=lgx C．y=2x D．y=7．执行如图所示的程序框图，输出的k值为（）A．3 B．4 C．5 D．68．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分9．设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p为．10．i是虚数单位，则=．11．已知数列{a n}中，a1=1，a n=a n+（n≥2），则数列{a n}的前9项和等于．﹣112．函数y=x+lnx在点（1，1）处的切线方程为．13．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=3，b=2，cos（A+B）=，则边c=．14．设函数f（x）=，①若a=1，则f（x）的最小值为；②若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，验算步骤或证明过程.15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知asin2B=bsinA．（1）求B；（2）已知cosA=，求sinC的值．16．某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．（1）估计顾客同时购买乙和丙的概率；（2）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；（3）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？17．已知：函数f（x）=2x+sin2x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅲ）把函数y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求的值．18．已知函数f（x）=（ax2+bx+c）e x（a＞0）的导函数y=f′（x）的两个零点为﹣3和0．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）的极小值为﹣1，求f（x）的极大值．19．已知：f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若a，b∈[﹣1，1]，且a+b≠0时，有＞0恒成立．（Ⅰ）用定义证明函数f（x）在[﹣1，1]上是增函数；（Ⅱ）解不等式：＜f（1﹣x）；（Ⅲ）若f（x）≤m2﹣2m+1对所有x∈[﹣1，1]恒成立，求：实数m的取值范围．20．对于无穷数列{a n}与{b n}，记A={x|x=a n，n∈N*}，B={x|x=b n，n∈N*}，若同时满足条件：①{a n}，{b n}均单调递增；②A∩B=∅且A∪B=N*，则称{a n}与{b n}是无穷互补数列．（1）若a n=2n﹣1，b n=4n﹣2，判断{a n}与{b n}是否为无穷互补数列，并说明理由；（2）若a n=2n且{a n}与{b n}是无穷互补数列，求数量{b n}的前16项的和；（3）若{a n}与{b n}是无穷互补数列，{a n}为等差数列且a16=36，求{a n}与{b n}的通项公式．2016-2017学年北京四中高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分1．若集合A={1，2，3}，B={0，1，2}，则A∩B=（）A．{0，1，2，3}B．{0，1，2}C．{1，2}D．{1，2，3}【考点】交集及其运算．【分析】利用交集定义求解．【解答】解：∵集合A={1，2，3}，B={0，1，2}，∴A∩B={1，2}．故选：C．2．设a=log32，b=log2，c=，则（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．a＞c＞b D．c＞a＞b【考点】对数值大小的比较．【分析】利用对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵a=log32∈（0，1），b=log2＜0，c=＞1，则c＞a＞b，故选：D．3．“数列{a n}既是等差数列又是等比数列”是“数列{a n}是常数列”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据等比数列和等差数列的性质结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若数列{a n}既是等差数列又是等比数列，则数列{a n}为常数列，且a n≠0，则反之当a n=0时，满足数列{a n}为常数列，但数列{a n}不是等比数列，即“数列{a n}既是等差数列又是等比数列”是“数列{a n}是常数列”的充分不必要条件，故选：A4．若x，y满足，则z=x+2y的最大值为（）A．0 B．1 C．D．2【考点】简单线性规划．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，再将目标函数z=x+2y对应的直线进行平移，即可求出z取得最大值．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，当l经过点B时，目标函数z达到最大值2×1=2．∴z最大值=0+故选：D．5．从A，B，C，D，E5名学生中随机选出2人，A被选中的概率为（）A．B．C．D．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】先求出基本事件总数n=，再求出A被选中包含的基本事件个数m==4，由此能求出A被选中的概率．【解答】解：从A，B，C，D，E5名学生中随机选出2人，基本事件总数n=，A被选中包含的基本事件个数m==4，∴A被选中的概率为p=．故选：B．6．下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lgx的定义域和值域相同的是（）A．y=x B．y=lgx C．y=2x D．y=【考点】对数函数的定义域；对数函数的值域与最值．【分析】分别求出各个函数的定义域和值域，比较后可得答案．【解答】解：函数y=10lgx的定义域和值域均为（0，+∞），函数y=x的定义域和值域均为R，不满足要求；函数y=lgx的定义域为（0，+∞），值域为R，不满足要求；函数y=2x的定义域为R，值域为R（0，+∞），不满足要求；函数y=的定义域和值域均为（0，+∞），满足要求；故选：D7．执行如图所示的程序框图，输出的k值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，k的值，当a=时满足条件a＜，退出循环，输出k的值为4．【解答】解：模拟执行程序框图，可得k=0，a=3，q=a=，k=1不满足条件a＜，a=，k=2不满足条件a＜，a=，k=3不满足条件a＜，a=，k=4满足条件a＜，退出循环，输出k的值为4．故选：B．8．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（）A．B．C．D．【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．【分析】根据函数在同一周期内的最大值、最小值对应的x值，求出函数的周期T==π，解得ω=2．由函数当x=时取得最大值2，得到+φ=+kπ（k∈Z），取k=0得到φ=﹣．由此即可得到本题的答案．【解答】解：∵在同一周期内，函数在x=时取得最大值，x=时取得最小值，∴函数的周期T满足=﹣=，由此可得T==π，解得ω=2，得函数表达式为f（x）=2sin（2x+φ）又∵当x=时取得最大值2，∴2sin（2•+φ）=2，可得+φ=+2kπ（k∈Z）∵，∴取k=0，得φ=﹣故选：A．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分9．设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p为∀n∈N，n2≤2n．【考点】命题的否定．【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行求解即可．【解答】解：命题是特称命题，则命题的否定是“∀n∈N，n2≤2n”，故答案为：“∀n∈N，n2≤2n”10．i是虚数单位，则=1﹣i．【考点】虚数单位i及其性质．【分析】先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分子和分母再进行复数的除法运算，整理成最简形式．【解答】解：∵===1﹣i，∴=1﹣i，故答案为：1﹣i11．已知数列{a n}中，a1=1，a n=a n+（n≥2），则数列{a n}的前9项和等于27．﹣1【考点】数列递推式．【分析】通过a n=a n﹣1+（n≥2）可得公差，进而由求和公式即得结论．【解答】解：∵a n=a n﹣1+（n≥2），=（n≥2），∴a n﹣a n﹣1∴数列{a n}的公差d=，又a1=1，∴a n=1+（n﹣1）=，∴S9=9a1+•d=9+36×=27，故答案为：27．12．函数y=x+lnx在点（1，1）处的切线方程为2x﹣y﹣1=0．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】由y=x+1nx，知，由此能求出函数y=x+1nx在点（1，1）处的切线方程．【解答】解：∵y=x+1nx，∴，∴k=y′|x=1=1+1=2，∴函数y=x+1nx在点（1，1）处的切线方程为y﹣1=2（x﹣1），整理，得2x﹣y﹣1=0．故答案为：2x﹣y﹣1=0．13．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=3，b=2，cos（A+B）=，则边c=．【考点】正弦定理．【分析】由已知利用三角形内角和定理，诱导公式可求cosC，进而利用余弦定理即可计算得解．【解答】解：∵cos（A+B）=cos（π﹣C）=，可得：cosC=﹣，又∵a=3，b=2，∴由余弦定理可得：c===．故答案为：．14．设函数f（x）=，①若a=1，则f（x）的最小值为﹣1；②若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是≤a＜1或a≥2．【考点】函数的零点；分段函数的应用．【分析】①分别求出分段的函数的最小值，即可得到函数的最小值；②分别设h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a），分两种情况讨论，即可求出a的范围．【解答】解：①当a=1时，f（x）=，当x＜1时，f（x）=2x﹣1为增函数，f（x）＞﹣1，当x＞1时，f（x）=4（x﹣1）（x﹣2）=4（x2﹣3x+2）=4（x﹣）2﹣1，当1＜x＜时，函数单调递减，当x＞时，函数单调递增，故当x=时，f（x）min=f（）=﹣1，②设h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）若在x＜1时，h（x）=与x轴有一个交点，所以a＞0，并且当x=1时，h（1）=2﹣a＞0，所以0＜a＜2，而函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有一个交点，所以2a≥1，且a＜1，所以≤a＜1，若函数h（x）=2x﹣a在x＜1时，与x轴没有交点，则函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有两个交点，当a≤0时，h（x）与x轴无交点，g（x）无交点，所以不满足题意（舍去），当h（1）=2﹣a≤0时，即a≥2时，g（x）的两个交点满足x1=a，x2=2a，都是满足题意的，综上所述a的取值范围是≤a＜1，或a≥2．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，验算步骤或证明过程.15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知asin2B=bsinA．（1）求B；（2）已知cosA=，求sinC的值．【考点】解三角形．【分析】（1）利用正弦定理将边化角即可得出cosB；（2）求出sinA，利用两角和的正弦函数公式计算．【解答】解：（1）∵asin2B=bsinA，∴2sinAsinBcosB=sinBsinA，∴cosB=，∴B=．（2）∵cosA=，∴sinA=，∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB==．16．某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．（1）估计顾客同时购买乙和丙的概率；（2）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；（3）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？【考点】相互独立事件的概率乘法公式．【分析】（1）从统计表可得，在这1000名顾客中，同时购买乙和丙的有200人，从而求得顾客同时购买乙和丙的概率．（2）根据在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的有300人，求得顾客顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率．（3）在这1000名顾客中，求出同时购买甲和乙的概率、同时购买甲和丙的概率、同时购买甲和丁的概率，从而得出结论．【解答】解：（1）从统计表可得，在这1000名顾客中，同时购买乙和丙的有200人，故顾客同时购买乙和丙的概率为=0.2．（2）在这1000名顾客中，在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的有100+200=300（人），故顾客顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率为=0.3．（3）在这1000名顾客中，同时购买甲和乙的概率为=0.2，同时购买甲和丙的概率为=0.6，同时购买甲和丁的概率为=0.1，故同时购买甲和丙的概率最大．17．已知：函数f（x）=2x+sin2x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅲ）把函数y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求的值．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式为f（x）=，进而利用周期公式即可计算得解．（Ⅱ）由（k∈Z），即可解得f（x）的单调递增区间．（Ⅲ）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换的规律可求，进而利用特殊角的三角函数值即可计算得解．【解答】（本题满分为13分）解：===，…（Ⅰ）；…（Ⅱ）由（k∈Z），得（k∈Z），则f（x）的单调递增区间是（k∈Z）；…（Ⅲ）函数y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，再把得到的图象向左平移个单位得到函数的图象，即，则．…18．已知函数f（x）=（ax2+bx+c）e x（a＞0）的导函数y=f′（x）的两个零点为﹣3和0．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）的极小值为﹣1，求f（x）的极大值．【考点】利用导数研究函数的极值；导数的运算；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）f'（x）=[ax2+（2a+b）x+b+c]e x．令g（x）=ax2+（2a+b）x+b+c，简化运算；（Ⅱ）由f（x）的极小值为﹣1确定参数值，通过导数求极大值．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=（2ax+b）e x+（ax2+bx+c）e x=[ax2+（2a+b）x+b+c]e x．令g（x）=ax2+（2a+b）x+b+c，∵e x＞0，∴y=f'（x）的零点就是g（x）=ax2+（2a+b）x+b+c的零点，且f'（x）与g（x）符号相同．又∵a＞0，∴当x＜﹣3，或x＞0时，g（x）＞0，即f'（x）＞0，当﹣3＜x＜0时，g（x）＜0，即f'（x）＜0，∴f（x）的单调增区间是（﹣∞，﹣3），（0，+∞），单调减区间是（﹣3，0）．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，x=0是f（x）的极小值点，所以有解得a=1，b=1，c=﹣1．所以函数的解析式为f（x）=（x2+x﹣1）e x．又由（Ⅰ）知，f（x）的单调增区间是（﹣∞，﹣3），（0，+∞），单调减区间是（﹣3，0）．所以，函数f（x）的极大值为．19．已知：f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若a，b∈[﹣1，1]，且a+b≠0时，有＞0恒成立．（Ⅰ）用定义证明函数f（x）在[﹣1，1]上是增函数；（Ⅱ）解不等式：＜f（1﹣x）；（Ⅲ）若f（x）≤m2﹣2m+1对所有x∈[﹣1，1]恒成立，求：实数m的取值范围．【考点】奇偶性与单调性的综合；函数恒成立问题．【分析】（Ⅰ）设任意x1，x2∈[﹣1，1]，且x1＜x2，由奇函数的性质化简f（x2）﹣f（x1），由得，判断出符号后，由函数单调性的定义证明结论成立；（Ⅱ）根据函数的单调性和定义域列出不等式，求出不等式的解集；（Ⅲ）由函数的单调性求出f（x）的最大值，由恒成立列出不等式，求出实数m的取值范围．【解答】证明：（Ⅰ）设任意x1，x2∈[﹣1，1]，且x1＜x2，∵f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，∴f（x2）﹣f（x1）=f（x2）+f（﹣x1）∵x1＜x2，∴x2+（﹣x1）≠0，由题意知，，则，∵x2+（﹣x1）=x2﹣x1＞0，∴f（x2）+f（﹣x1）＞0，即f（x2）＞f（x1），∴函数f（x）在[﹣1，1]上是增函数．…解：（Ⅱ）由（Ⅰ）和不等式得，，解得，∴不等式的解集是[0，）…（Ⅲ）由（Ⅰ）得，f（x）最大值为f（1）=1，所以要使f（x）≤m2﹣2m+1对所有x∈[﹣1，1]，只需1≤m2﹣2m+1恒成立，解得m≤0或m≥2，得实数m的取值范围为m≤0或m≥2．…20．对于无穷数列{a n}与{b n}，记A={x|x=a n，n∈N*}，B={x|x=b n，n∈N*}，若同时满足条件：①{a n}，{b n}均单调递增；②A∩B=∅且A∪B=N*，则称{a n}与{b n}是无穷互补数列．（1）若a n=2n﹣1，b n=4n﹣2，判断{a n}与{b n}是否为无穷互补数列，并说明理由；（2）若a n=2n且{a n}与{b n}是无穷互补数列，求数量{b n}的前16项的和；（3）若{a n}与{b n}是无穷互补数列，{a n}为等差数列且a16=36，求{a n}与{b n}的通项公式．【考点】数列的应用；数列的求和．【分析】（1）{a n}与{b n}不是无穷互补数列．由4∉A，4∉B，4∉A∪B=N*，即可判断；（2）由a n=2n，可得a4=16，a5=32，再由新定义可得b16=16+4=20，运用等差数列的求和公式，计算即可得到所求和；（3）运用等差数列的通项公式，结合首项大于等于1，可得d=1或2，讨论d=1，2求得通项公式，结合新定义，即可得到所求数列的通项公式．【解答】解：（1）{a n}与{b n}不是无穷互补数列．理由：由a n=2n﹣1，b n=4n﹣2，可得4∉A，4∉B，即有4∉A∪B=N*，即有{a n}与{b n}不是无穷互补数列；（2）由a n=2n，可得a4=16，a5=32，由{a n}与{b n}是无穷互补数列，可得b16=16+4=20，即有数列{b n}的前16项的和为（1+2+3+…+20）﹣（2+4+8+16）=×20﹣30=180；（3）设{a n}为公差为d（d为正整数）的等差数列且a16=36，则a1+15d=36，由a1=36﹣15d≥1，可得d=1或2，若d=1，则a1=21，a n=n+20，b n=n（1≤n≤20），与{a n}与{b n}是无穷互补数列矛盾，舍去；若d=2，则a1=6，a n=2n+4，b n=．综上可得，a n=2n+4，b n=．2017年2月13日。
北京市西城区41中2017届高三上学期期中考试数学(文)试题
高三年级数学（文）试题一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设全集UR ，集合2|20Ax x x ，|1Bx x，则集合U ABe （）．A ．|01x x B ．|01x x ≤C ．|02x xD ．|1x x ≤2．设0.53a，3log 2b，2cos π3c，则（）．A ．c baB ．cabC ．abcD ．bc a3．命题“xR ，2x x ”的否定是（）．A ．xR ，2xx B ．xR ，2xxC ．x R ，2xxD ．x R ，2xx4．设a R ，则1a 是11a的（）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知平面向量(2,1)a ，(1,1)b，(5,1)c，若()akb c ∥，则实数k 的值为（）．A ．2B ．12C ．114D ．1146．某一棱锥的三视图如图，则其侧面积为（）．4俯视图左视图主视图6642A ．8413B ．20C ．122413D ．81227．设m ，n 是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m ⊥，n ∥，则m n ⊥②若⊥，⊥，则∥③若m ∥，n ∥，则m n∥④若∥，∥，m ⊥，则m ⊥其中正确命题的序号是（）．A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．①和④8．设A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且||||PA PB ，若直线PA 的方程为10x y，则直线PB 的方程为（）．A ．5xyB ．21xy C ．24yxD ．27xy 9．已知函数π()sin 6f x x图象的相邻两条对称轴之间的距离为π4，则()f x 的最小正周期是（）．A ．2πB ．πC ．π2D ．π410．函数2π12sin4yx是（）．A ．最小正周期为π的偶函数B ．最小正周期为π的奇函数C ．最小正周期为π2的偶函数D ．最小正周期为π2的奇函数二、填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．把答案填在题中横线上．11．若复数2i 1iz，则||z 等于__________．12．已知直线1:310l x y ，2:210l xmy ．若12l l ∥，则实数m__________；若12l l ⊥，则实数m__________．13．若变量x ，y 满足约束条件10,280,0,xy xyx ≤≤≥则3zxy 的最小值为__________．14．函数π()sin 0,0,||2f x A x A 部分图象如图所示，则函数()f x 解析式为__________．2π62π32xy O 15．已知平面向量a ，b 满足||1a ，||2b ，且()a b a ⊥，则a 与b 的夹角是__________．16．在ABC △中，C 为钝角，32AB AC，1sin 3A ，则角C __________，sinB __________．17．设函数2,0,(),0.x x f x x x≤若()4f ，则实数__________．18．2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是我国以古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，那么cos2的值等于__________．三、解答题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．19．已知：n a 是等差数列，n b 是等比数列，且23b ，39b ，11a b ，144a b ．（1）求n a 的通项公式．（2）设nnn c a b ，求数列n c 的前n 项和．20．已知：函数2()(cos sin )3cos21f x x x x ．（1）求()f x 的最小正周期和图象的对称中心．（2）求()f x 在区间π0,2上的最大值和最小值．21．已知：函数2π()cos 2cos2()3f x xx xR ．（1）求函数()f x 的单调递增区间．（2）ABC △内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，若322B f，1b ，3c ，且ab ，试求角B 和角C ．22．已知：如图，在三棱柱111ABCA B C 中，侧棱垂直于底面，AB BC ⊥，12AA AC，1BC，E ，F 分别是11AC ，BC 的中点．。
精品解析：【全国百强校】北京西城八中2017届高三上学期期中考试数学(文)试题(原卷版)
北京八中2016-2017学年度第一学期期中练习（高三文科）一、选择题（每小题5分，共40分）1. 已知全集，若集合，则（）．A. 或B. ，或C. D.2. 设为虚数单位，则复数的模（）．A. B. C. D.3. 下列函数中，在区间上为增函数的是（）．A. B. C. D.4. 在数列中，“对任意的，”是数列“为等比数列”的（）．A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件．5. 将函数的图像向左平移个单位后，与函数的图像重合，则函数（）．A. B. C. D.6. 已知，为双曲线的左、右定点，点在上，为等腰三角形，且顶角为，则的离心率是（）．A. B. C. D.7. 函数（且）的图像可能为（）．A.B. C. D. 学+科+网...8. 某市乘坐出租车的收费办法如下：不超过千米的里程收费元；超过千米的里程按每千米元收费（对于其中不足千米的部分，若其小于千米则不收费，若其大于或等于千米按千米收费）；当车程超过千米时，另收燃油附加费元．相应系统收费的程序框图如图所示，其中（单位：千米）为行驶里程，（单位：元）为所收费用，用表示不大于的最大整数，则图中处应填（）．A. B.C. D.二、填空题（每小题5分，共30分）9. 抛物线的焦点坐标为__________．10. 已知向量，，，且，则实数__________．11. 圆与轴相交于，两点，则弦所对的圆心角大小为__________．12. 一个四棱锥的三视图如图所示，其中侧视图为正三角形，则该四棱锥的体积是___________，四棱锥侧面中最大侧面积是__________．。
北京市部分区2017届高三上学期考试文科数学试题平面向量分类汇编
北京市部分区2017届高三上学期考试数学文试题分类汇编平面向量15 44、（东城区2017届高三上学期期末） △ ABC 的内角 代B, C 的对边分别为a,b,c ，若a=5,b=7, c = 8 ,则AB AC 等于5、（丰台区2017届高三上学期期末）平面向量a 二(x,1) ,b = (1,y) ,c = (2,- 4)，如果a A （b -c ），那么实数x , y 的值分别是1 A. -B . 127、 （海淀区2017届高三上学期期中）已知向量 1 1 A. -2B. C. D.22 28、 （石景山区2017届高三上学期期末）向量a(A)2, - 2(B)- 2 , - 2(C)(D)6、（海淀区2017届高三上学期期末）已知向量a,b 满足 a -2b= 0 , (a -b )2，贝U |bF1、（昌平区2017届高三上学期期末）在平行四边形 ABCD 是（A ）矩形(B)梯形(C)A.-C. uuu uuuAB-AD D.uun uuuAB AD ，则平行四边形菱形 b5E2RGbCAP），则a 与a b 的夹角为5兀~63、（朝阳区2017届高三上学期期中） 已知三角形 ABC 外接圆O 的半径为1 （ O 为圆心），且OB 0^ -0 ,|OA| = 2| AB|，则CA BC 等于（15D .bll c ，且(J3,1) ,b=(J3, —1) ,a 与b 夹角的大小为 _________________2、（朝阳区2017届高三上学期期末）已知平面向量ABCD 中，若 正方形（C. 2a= (-1,x), b = (-2,4).若a^b，则x 的值为9、(通州区2017届高三上学期期末)如图，在正方形ABCD 中，P 为DC 边上的动点,T T T设向量AC =扎DB + 4APU 九+卩的取值范围是 ________________ .10、(西城区2017届高三上学期期末)设a , b 是非零向量，且a^=b .则“| a |=| b |”是“ (a b ) _(a b ) ”A . -3 B14、(朝阳区 2017届高三上学期期中) 设平面向量 a= (1,2), b = (-2,y)，若 a 〃b ，则 y =15、(海淀区 2017届高三上学期期中) 在正方形ABCD 中，E 是线段CD 的中点，若AE = • AB 」BD ，则(A )充分而不必要条件 (B )必要而不充分条件 (C )充要条件(D )既不充分也不必要条件11、 (北京昌平临川育人学校 2017届高三上学期期末)已知向量b ，其中1 a 1三:打，1 b 1 =2，且(a丄a ，则向量a 和b 的夹角是()p1EanqFDPwC .3兀~T5兀~T12、 (北京市 2017届高三春季普通高中会考) ■4a -4b) 2b 等于()A .a —2b B . a 「4bC13、(北京市 2017届高三春季普通高中会考) 已知向量.a =(3,-1), b =(1,x)，但a_b ，那么x 的值是已知向量 a , b ，那么参考答案6、C 1、A 2、B 3、A 4、44228、- 3-----------------------11、【解答】 解：设两个向量的夹角为|1 ；丄;-1-^-―■ —fl二(a - b )F=C - .. -■-- -i-i - |即• ’ . .1 j 故选A 12、 C 13、 B 14. — 4[1,3] 10、 C•/ eq 。
北京市部分区2017届高三上学期考试数学文试题分类汇编立体几何
北京市部分区2017届高三上学期考试数学文试题分类汇编立体几何一、选择、填空题1、（昌平区2017届高三上学期期末）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图为俯视图11侧（左）视图正（主）视图12、（朝阳区2017届高三上学期期末）某四棱锥的三视图如图所示，其俯视图为等腰直角三角形，则该四棱锥的体积为A.23B.23C.43D.23、（朝阳区2017届高三上学期期中）设m ,n 是两条不同的直线，,是两个不同的平面.下列命题正确的是A ．若,,m n m n ，则B ．若//,,//m n ，则m nC ．若,,//mn ，则//m nD ．若,,m n m ，则n4、（东城区2017届高三上学期期末）一个四棱锥的三视图如图所示(单位：cm )，这个四棱锥的体积为____3cm .5、（海淀区2017届高三上学期期末）已知某四棱锥的三视图如右图所示，则该几何体的体积为A ．233B ．433C ．2D ．5336、（海淀区2017届高三上学期期末）如图，已知正方体1111ABCDA B C D 的棱长为1，,E F 分别是棱11,AD B C 上的动点，设1,AEx B Fy ．若棱．1DD 与平面BEF 有公共点，则x y 的取值范围是A ．[0,1]B ．13[,]22C ．[1,2]D ．3[,2]2ABCD1D 1A 1B 1C E F主视图俯视图左视图11132127、（石景山区2017届高三上学期期末）一个四棱锥的三视图如右图所示，这个四棱锥的体积为（）A ．6B ．8C ．12D ．248、（通州区2017届高三上学期期末）如图，已知某几何体的主视图和左视图是全等的等腰直角三角形，俯视图是边长为2的正方形，那么它的体积是A ．43B ．83C ．4D ．1639、（西城区2017届高三上学期期末）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是（A ）2025（B ）1445（C ）26（D ）1225侧视图正视图42俯视图310、（北京昌平临川育人学校2017届高三上学期期末）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的为某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A ．B ．1C ．D ．2二、解答题1、（昌平区2017届高三上学期期末）在三棱锥ABC P 中，ABC PA 平面，32,2BC AC AB，N M ,分别为AB BC ,中点.（I ）求证：PAC MN 平面//；（II ）求证：PAM PBC 平面平面；（III ）在AC 上是否存在点E ，使得PAC ME 平面，若存在，求出ME 的长，若不存在，请说明理由.2、（朝阳区2017届高三上学期期末）如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，平面ABCD平面ABEF ，//,AF BE ,2ABBE AB BE , 1AF．（Ⅰ）求证：AC平面BDE ；（Ⅱ）求证：//AC 平面DEF ；（Ⅲ）求三棱锥CDEF 的体积．3、（朝阳区2017届高三上学期期中）如图，四边形ABCD 为矩形，PA平面ABCD ，DE//PA ．（Ⅰ）求证：BC CE ；（Ⅱ）若直线m 平面PAB ，试判断直线m 与平面CDE 的位置关系，并说明理由；（Ⅲ）若22AB PA DE，3AD，求三棱锥E PCD 的体积．4、（东城区2017届高三上学期期末）已知ABD 和BCD 是两个直角三角形，2BAD BDC，E 、F 分别是边AB 、AD 的中点，现将ABD 沿BD 边折起到1A BD 的位置，如图所示，使平面1A BD平面BCD .（Ⅰ）求证：//EF 平面BCD ；（Ⅱ）求证：平面1A BC平面1A CD；（Ⅲ）请你判断，1A C 与BD 是否有可能垂直，做出判断并写明理由.5、（丰台区2017届高三上学期期末）如图,三棱柱111ABC A B C 中，AC BC ，1ABAA ，160A AB，D 是AB 的中点．（Ⅰ）求证：1BC ‖平面1A CD ；（Ⅱ）求证：AB ⊥平面1A CD ；（Ⅲ）若2ABAC，16A C，求三棱柱111ABCA B C 的体积．6、（海淀区2017届高三上学期期末）如图，在四棱锥P ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，AB //DC , CD =2AB ,AD ⊥CD ，E 为棱PD 的中点．（Ⅰ）求证：CD ⊥AE ；（Ⅱ）求证：平面PAB ⊥平面PAD ；（Ⅲ）试判断PB 与平面AEC 是否平行？并说明理由．7、（石景山区2017届高三上学期期末）如图1，等腰梯形BCDP 中，BC ∥PD ，BA PD 于点A ，3PD BC ，且1ABBC ．沿AB 把PAB △折起到P AB △的位置（如图2），使90P AD．（Ⅰ）求证：CD ⊥平面P AC ；（Ⅱ）求三棱锥A P BC 的体积；（Ⅲ）线段P A 上是否存在点M ，使得BM ∥平面P CD ．若存在，指出点M 的位置并证明；若不存在，请说明理由．PABCD E8、（通州区2017届高三上学期期末）如图，在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥平面ABC ，E ，F 分别为PC ，PB中点，∠ACB = 90°.（Ⅰ）求证：EF //平面ABC ；（Ⅱ）求证：EF ⊥AE ；（Ⅲ）若PA =AC =CB ，AB =4，求几何体EFABC 的体积.9、（西城区2017届高三上学期期末）如图，在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，90BAD，PA PD ，AB PA ，2AD，1AB BC ．（Ⅰ）求证：ABPD ；（Ⅱ）若E 为PD 的中点，求证：//CE 平面PAB ；（Ⅲ）设平面PAB平面PCDPM ，点M 在平面ABCD 上．当PA PD 时，求PM 的长．参考答案一、选择、填空题1、B 2、C 3、B 4、725、B6、C7、B8、B9、A10、【解答】解：依三视图知该几何体为三棱锥P ﹣ABC ，且PD ⊥平面ABD ，AD ⊥BD ，C 是AD 的中点，PD=AD=BD=2，所以其体积，故选：A ．二、解答题1、证明：（I ）因为N M ,分别为AB BC ,中点，所以AC MN //.因为PAC ACPAC MN平面平面,,所以PAC MN 平面//.……………4分（II ）因为ABC PA平面,BC ABC 平面，所以BC PA . 因为2AC AB ，M 为BC 的中点，所以BC AM . 因为A PAAM，所以PAM BC 平面. 因为PBC BC平面,所以PAM PBC 平面平面.……………8分（III ）存在.过点M 作AC ME ，交AC 于点E ,因为ABC PA 平面,BCABC 平面,所以ME PA . 因为AC ME，A PA AC,所以PAC ME 平面.因为在ABC 中，32,2BCAC AB，M 为BC 的中点,所以23ME. ……………13分2、解：（Ⅰ）设(,)P x y ，则1222y y xx，整理得22142xy(2)x .…………………………………………………5分（Ⅱ）依题直线,OM ON 的斜率乘积为12.当直线MN 的斜率不存在时，直线,OM ON 的斜率为22，设直线OM 的方程是22yx ，由2224,2,2xyyx 得2x ，1y.取(2,1)M ，则(2,1)N .所以OMN 的面积为2.当直线MN 的斜率存在时，设方程为ykx m .由22,240ykx m xy得，222(21)4240kx kmx m .因为M ，N 在椭圆C 上，所以2222164(21)(24)0k mkm，解得22420k m .设11(,)M x y ,22(,)N x y ,则122421kmx x k，21222421m x x k；所以22222121222424(1)[()4](1)[()4]2121km m MN kx x x x kkk222222(1)(42)2(21)kk m k.设点O 到直线MN 的距离为d ，则21m dk .所以OMN 的面积为2222212(42)2(21)OMNm k mS d MNk ①.因为//OM PA ,//ON PB ，直线OM ,ON 的斜率乘积为12，所以121212y y x x .所以2212121212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x mx x x x x x 2224=.24mkm由22241242mkm ，得2221km ②.由①②，得2222212(2)22()OMNm mm S d MNm . …………………………13分3、证明：（Ⅰ）因为PA底面ABCD ，//PA DE所以DE 底面ABCD ．所以DEBC ．又因为底面ABCD 为矩形，所以BC CD ．又因为CDDED ，所以BC平面CDE ．所以BCCE ．…………4分（Ⅱ）若直线m平面PAB ，则直线//m 平面CDE ．证明如下，因为//PA DE ，且PA 平面PAB ，DE平面PAB ，所以//DE 平面PAB ．在矩形ABCD 中，//CD BA ，且BA平面PAB ，CD平面PAB ，所以//CD 平面PAB ．又因为CDDED ，所以平面//PAB 平面CDE ．又因为直线m 平面PAB ，所以直线//m 平面CDE ．………………9分（Ⅲ）易知，三棱锥E PCD 的体积等于三棱锥P CDE 的体积.由（Ⅰ）可知，BC平面CDE ．又因为//AD BC ，所以AD 平面CDE ．易证//PA 平面CDE ，所以点P 到平面CDE 的距离等于AD 的长．因为22ABPA DE，3AD，所以1121122CDESCD DE．所以三棱锥EPCD 的体积1113133CDEVSAD．…………14分4、（Ⅰ）因为E 、F 分别是边AB 、AD 的中点，所以//EF BD 因为EF平面BCD ，BD平面BCD ，所以//EF 平面BCD .-----4分（Ⅱ）因为平面1A BD平面BCD ，平面1A BD平面BCD BD ，CD 平面BCD ，CDBD ，所以CD平面1A BD .因为1A B 平面1A BD ，所以1CD A B ，因为11A B A D ，1A DCD D ，所以1A B平面1A CD . 因为1A B平面1A BC ，所以平面1A BC 平面1A CD .----10分（Ⅲ）结论：1A C 与BD 不可能垂直.理由如下：假设1A C BD ，因为CD BD ，1AC CD C ，所以BD平面1A CD ，因为1A D 平面1ACD ，所以1BDA D 与11AB A D 矛盾，故1AC 与BD 不可能垂直.-------13分5、证明：（Ⅰ）连接1AC 交1A C 于O ，连接OD ，因为，O D 分别为1AC ，AB 的中点，所以OD ‖1BC ……………………2分OACBDA 1C 1B 1又因为1BC 平面1A CD ，OD平面1A CD ，所以1BC ‖平面1A CD .……………………4分（Ⅱ）因为ACBC ，D 是AB 的中点，所以CDAB .……………………5分又因为1ABAA ，160A AB，所以△1AA B 为等边三角形，所以1A DAB……………………7分因为1A D CDD I ，所以AB ⊥平面1A CD……………………9分（Ⅲ）因为△ABC 与△1AA B 都是边长为2的正三角形，所以13CD A D ，因为16AC ，所以22211CDA D AC =，所以1A D CD ，……………………11分又因为1A DAB ，AB CDD I ，所以1A D平面ABC ，即1A D 是三棱柱的高，……………………13分故三棱柱的体积1= 3.ABC V S A D……………………14分6、解：（Ⅰ）因为PD ⊥底面ABCD ，DC 底面ABCD ，所以PD ⊥DC .又AD ⊥DC ，AD PD=D ，故CD ⊥平面PAD . 又AE平面PAD ，所以CD ⊥AE .（Ⅱ）因为AB //DC ,CD ⊥平面PAD ，所以AB ⊥平面PAD .又因为AB平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD . （Ⅲ）PB 与平面AEC 不平行. 假设PB //平面AEC ，设BDAC=O ，连结OE ，则平面EAC平面PDBOE ，又PB平面PDB ----------1分所以//PB OE . 所以，在PDB 中有OB OD PE ED ，由E 是PD 中点可得1OB PE ODED，即OB OD .因为A B //DC ，PABCDEO所以12AB OB CDOD，这与OB OD 矛盾，所以假设错误，PB 与平面AEC 不平行. 7、解：（Ⅰ）因为90P AD，所以PA ⊥AD ．因为在等腰梯形中，AB ⊥AP ，所以在四棱锥中，AB ⊥AP ．又ADAB A ，所以P A ⊥面ABCD ．因为CD 面ABCD ，所以P A ⊥CD ．……3分因为等腰梯形BCDE 中，ABBC ，3PD BC ，且1ABBC ．所以2AC，2CD，2AD ．所以222ACCDAD ．所以AC ⊥CD ．因为P A AC =A , 所以CD ⊥平面P AC ．……5分（Ⅱ）1122ABCS BC AB△,……7分因为P A ⊥面ABCD ．所以--1136A P BCP ABCABC V V S P A △．……9分（Ⅲ）存在一点M ，M 为PA 的中点，使得BM ∥面P CD ，……10分证明：取P A 中点M ，P D 中点N ，连结BM ，MN ，NC ，因为M ，N 为中点，所以MN ∥12AD ，MN =12AD ，因为BC ∥12AD ，BC =12AD ，所以MN ∥BC ，MN =BC ．所以四边形BCNM 为平行四边形．……12分所以BM ∥CN ．因为BM面P CD ，CN 面P CD ．所以BM ∥平面P CD ．…………………………14分8、（Ⅰ）证明：∵E ，F 分别为PC ，PB 的中点，∴EFBC ，……………….2分又∵EF 平面ABC ，BC平面ABC ，∴EF ABC 平面……………….4分（Ⅱ）证明：∵PAABC 平面，∴PABC ………………5分BA C P ′ABC DMN又∵AC BC ，PA AC A∴BC PAC 平面………………7分∴BC AE ∵EF BC∴EF AE ……………….10分（Ⅲ）解：∵PAABC 平面，∴PAAC∴112222422PACSPA AC ∵BCPAC平面∴三棱锥-P ABC 的体积：11182422333PACV SBC∵EFPAE 平面，122PAEPACS S ，122EFBC ∴三棱锥-P AEF 的体积：2112222333PAEV SEF ∴几何体EFABC 的体积：1222VV V ………………14分9、1解：（Ⅰ）因为90BAD，所以AB AD ，[1分] 又因为ABPA ，[2分]所以AB平面PAD ，[3分] 所以ABPD ．[4分]（Ⅱ）取PA 的中点F ，连接BF ，EF ．[5分] 因为E 为棱PD 中点，所以//EF AD ，12EF AD ，又因为//BC AD ，12BC AD ，所以//BC EF ，BCEF ．所以四边形BCEG 是平行四边形，//EC BF ．[8分] 又BF平面PAB ，CE平面PAB ，所以//CE 平面PAB ．[9分]（Ⅲ）在平面ABCD 上，延长AB ，CD 交于点M ．因为MAB ，所以M平面PAB ；又M CD ，所以M平面PCD ，所以平面PAB平面PCD PM ．[11分]在△ADM 中，因为//BC AD ，12BC AD ，所以22AMAB．[12分]因为PAPD ，所以△APD 是等腰直角三角形，所以2PA．[13分]由（Ⅰ）得AM平面PAD ，所以AM PA ．在直角△PAM 中，226PMPAAM．[14分]。
北京市西城八中2017届高三数学上学期期中试题文(含解析)
北京市西城八中2017届高三数学上学期期中试题 文（含解析）一、选择题（每小题5分，共40分）1．已知全集，若集合，则（）． U =R {}2|0A x x x =-<U A =ðA ．或B ．，或 {|0x x ≤}1x ≥{|0x x <}1x >C ．D ．{}|01x x <<{}|1x x ≥【答案】A 【解析】∵集合，{}{}2|0|01A x x x x x =-<=<<∴或，故选． {|0U A x x =ð≤1}x ≥A2．设为虚数单位，则复数的模（）．i 1i z =-z =A ．B C ． D ．12【答案】B【解析】，．故选．1i z =-z ==B3．下列函数中，在区间上为增函数是（）．(0,)+∞A ．B ．． D ． ln(2)y x =+y =12x y =1y x x =+【答案】A【解析】选项，在上是增函数，所以在上为增函数，故正确； A ln(2)y x =+(2,)-+∞(0,)+∞A选项，上是减函数，故错误； B y =(1)-+∞B 选项，在上是减函数，故错误； C 12xy =R C 选项在和上是增函数，在和上是减函数，故错误． D (,1)-∞-(1,)+∞(1,0)-(0,1)D 综上，故选．A4．在数列中，“对任意的，”是数列“为等比数列”的（）．{}n a n *∈N 212n n n a a a ++={}n a A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件．【答案】B【解析】充分性：若，那么数列满足，但是不是等边数列，故充0n a ={}n a 212n n n a a a ++={}n a 分性不成立；必要性：若数列是等比数列，那么根据等比数列的性质可知成立，故必要性{}n a 212n n n a a a ++=成立．所以在数列中，“对任意，”是数列为等比数列的必要不充分条{}n a *n ∈N 212n n n a a a ++={}n a 件，故选．B5．将函数的图像向左平移个单位后，与函数的图像重合，则函数（）． ()sin 2f x x =π6()g x ()g x =A ．B ．C ．D ． πsin 26x ⎛⎫- ⎪⎝⎭πsin 26x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭πsin 23x ⎛⎫- ⎪⎝⎭πsin 23x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】由题意可知，故选． πππ()sin 2sin 2663g x f x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D6．已知，为双曲线的左、右定点，点在上，为等腰三角形，且顶角为A B E M E ABM △，则的离心率是（）．120︒E AB． CD 2【答案】C【解析】设双曲线方程为，（，）， 22221x y a b-=0a >0b >如图所示，，，过点作轴，垂足为，||||AB BM =120ABM ∠=︒M MN x ⊥N 则，在中，，，即有60MBN ∠=︒Rt BMN ⊥||||2BM AB a ==60MBN ∠=︒，，故，将坐标代入双曲线方程得||2cos60BN a a =︒=||2sin 60MN a =︒=(2)M a M ， 2222431a a a b-=故，，所以，故选． 22a b =222c a =c e a==C7．函数（且）的图像可能为（）． 1()cos f x x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ππx -≤≤0x ≠A ．B ．C ．D．【答案】D【解析】∵， 11()cos()cos ()f x x x x x f x x x ⎛⎫⎛⎫-=-+-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴函数为奇函数，()f x ∴函数的图象关于原点对称，故排除，，()f x A B 又当时，，排除，故选． πx =11(π)πcos ππ0ππf ⎛⎫=-=-< ⎪⎝⎭C D8．某市乘坐出租车的收费办法如下： 不超过千米的里程收费元；超过千米的里程按每千米元收费（对于其中不足千米的412421部分，若其小于千米则不收费，若其大于或等于千米按千米收费）；0.50.51当车程超过千米时，另收燃油附加费元．41相应系统收费的程序框图如图所示，其中（单位：千米）为行驶里程，（单位：元）为所x y 收费用，用表示不大于的最大整数，则图中处应填（）．[]x x 1A ．B ． 1242y x ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦1252y x ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦C ．D ． 1242y x ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦1252y x ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】由已知中，超过千米的里程按每千米元收费（对于其中不足千米的部分，若其小42于千米，则不收费，若其大于或等于千米，则按千米收费）；当车程超过千米时，0.50.514另收燃油附加费元．1可得：当时，所收费用， 4x >11124212522y x x ⎡⎤⎡⎤=+-+⨯+=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦故选．D二、填空题（每小题5分，共30分）9．抛物线的焦点坐标为__________．22y x =-【答案】 1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】抛物线，开口向左，，故焦点坐标为． 22y x =-1p =1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭10．已知向量，，，且，则实数__________．(,3)a k = (1,4)b = (2,1)c = (23)a b c -⊥ k =【答案】 3【解析】，232(,3)3(1,4)(23,6)a b k k -=-=-- ∵，(23)a b c - ⊥∴，2(23)(6)0k -+-=解得．3k =11．圆与轴相交于，两点，则弦所对的圆心角大小为22:(2)(2)8C x y -+-=y A B AB __________．【答案】90︒【解析】由题可知，根据圆的标准方程，令，22:(2)(2)8C x y -+-=0x =解得，，10x =24x =因此，，，，(0,0)A (0,4)B ||4AB =在中，，，，OAB⊥||OB=||OA =||4AB =因此为直角三角形，即，OAB ⊥90AOB ∠=︒故弦所对的圆心角的大小为．AB 90︒12．一个四棱锥的三视图如图所示，其中侧视图为正三角形，则该四棱锥的体积是___________，四棱锥侧面中最大侧面积是__________．侧侧侧侧侧侧侧侧侧【解析】C B A POD根据三视图画出该四棱锥的直观图，可知，底面是边长为的正方形，ABCD 1是边长为的正三角形，PAD ⊥1于，为中点，PO AD ⊥O O AD 所以四棱锥的体积为．1113V =⨯⨯=四棱锥中最大的侧面是，，，PBC⊥PB PC ==1BC =．112S =⨯13．某堆雪在融化过程中，其体积（单位：）与融化时间（单位：）近似满足函数V 3m t h 关系：（为常数），其图像如图所示．记此堆雪从融化开始到结束的平31()1010V t H t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭H 均融化速度为．那么，，，中，瞬时融化速度等于的时刻是图中的3(m /h)v 1t 2t 3t 4t 3(m /h)v __________．【答案】3t 【解析】，反映的是图象与坐标轴交点连线的斜率，观察可知处瞬时速(100)(0)1000v v v -=-()v t 3t度（即切线的斜率）与平均速度一致．14．区域由不等式组给定，若为上的动点，点，为坐标D 02x y x ⎧⎪⎨⎪⎩≤≤(,)M x y D A O 原点，则的最大值为__________．OM OA ⋅ 【答案】4【解析】由不等式组确定的平面区域如图所示，，z DM DA y =⋅=+ 即，首先做出直线，将直线平行移动，y z =+y =y =当经过点时轴上的截距最大，从而最大．B y z 因为，故的最大值为．B z 4三、解答题（共80分）15．已知函数．2()(1)cos f x x x =+（Ⅰ）求函数的定义域和最小正周期．()f x （Ⅱ）当时，求函数的值域．π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()f x 【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）函数的定义域为，()f x π|π,2x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ∵22()(1)cos cos cos n f x a x x x x x ==11cos2222x x =+．π1sin 262x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭∴的最小正周期．()f x πT =（Ⅱ）∵，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴，ππ7π2666x <+<∴，1πsin 2126x ⎛⎫-<+ ⎪⎝⎭≤∴，π30sin 262x ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭≤故当时，函数的值域为． π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()f x 30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦16．已知数列的前项和满足，其中．{}n a n n S 432n n a S -=n *∈N （Ⅰ）求证：数列为等比数列．{}n a （Ⅱ）设，求数列的前项和． 142n n b a n =-{}n b n n T 【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ），①432n n a S -=∴当时，，解得；1n =11432a S -=12a =当时，，②2n ≥11432n n a S ---=由①-②得，11443()0n n n n a a S S -----=∴，14430n n n a a a ---=∴，14n n a a -=由得，12a =0n a ≠故是首项为，公比为的等比数列．{}n a 24（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，124n n a -=⨯∴， 114442n n n b a n n -=-=-则的前项和，{}n b n0121(4444)4(123)n n T n -=++++-++++ 14(1)4142n n n -+=-⨯-． 2412233n n n =---17．如图，椭圆的左顶点为，是椭圆上上异于点的任意一点，点与22:14x C y +=A M C A P 点关于点对称．A M （Ⅰ）求点的坐标和椭圆的离心率．A C （Ⅱ）若椭圆上是否存在点，使得，若存在，求出横坐标的取值；若不存C M OP OM ⊥M 在，说明理由．【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）椭圆， 22:14x C y +=∴，，2a =1b =c故点坐标为，离心率． A (2,0)-c e a ==（Ⅱ）在椭圆上不存在点，使，理由如下：C M DP OM ⊥假设存在点使，设点，则且， M OP OM ⊥M 00(,)x y 00(22,2)P x y +220014x y +=∵，OP OM ⊥∴，0000(22)20x x y y ++⋅=化简得， 2003104x x ++=∵， 314204∆=-⨯=-<∴方程无解．故在椭圆上不存在点，使得．C M OP OM ⊥18．某中学有初中生人，高中学生人．为了解学生本学期课外阅读时间，现采用分18001200层抽样的方法，从中抽取了名学生，先统计了他们课外阅读时间，然后按“初中学生”和100“高中学生”分为两组，再将每组学生的阅读时间（单位：小时）分为组：，5[0,10)，，，，并分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图． [10,20)[20,30)[30,40)[40,50]（Ⅰ）写出的值．a （Ⅱ）试估计该校学生中，阅读时间不小于小时的学生人数．30（Ⅲ）从阅读时间不足小时的样本学生中随机抽取人，求至少抽到一名高中生的概率．1021【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）由频率分布直方图得：，(0.0050.0200.0400.005)101a ++++⨯=∴．0.03a =（Ⅱ）由分层抽样可以知道：抽取的初中生有名，高中生有名，6040∵初中生中，阅读时间不少于小时的学生的频率为30，(0.030.005)100.25+⨯=∴所有的初中生阅读时间不小于小时的学生约有30人；0.251800450⨯=同理，高中生阅读时间不少于小时的学生的频率为：30，(0.030.005)100.35+⨯=∴所有的高中生阅读时间不少于小时的学生有：30人，0.351200420⨯=故所有的学生阅读时间不少于小时的学生约有30人．450420870+=（Ⅲ）初中生中，阅读时间不足个小时的学生频率为， 100.005100.05⨯=样本人数为人，0.05603⨯=高中生中，阅读时间不足个小时的学生频率为，100.005100.05⨯=样本人数为人．0.05402⨯=故从阅读时间不足小时的样本中随机抽取人，至少抽到一名高中生的概率是102． 2325C 71C 10P =-=19．已知函数． 321()13f x x x ax =+++（Ⅰ）若曲线在点处切线的斜率为，求函数的单调区间． ()y f x =(0,1)3-()f x （Ⅱ）若函数在区间上单调递增，求的取值范围．()f x [2,]a -a 【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ），2()2f x x x a '=++∵在点处的切线斜率为，()y f x =(0,1)3-∴，(0)3f a '==-∴，2()23f x x x '=+-令，解得或，()0f x '>3x <-1x >令，解得．()0f x '<31x -<<∴函数的单调递增区间是和，()f x (,3)-∞-(1,)+∞单调递减区间是．(3,1)-（Ⅱ）∵函数在区间上单调递增，()f x [2,]a -∴时，恒成立，故只需在上的最小值大于等于零()0f x '≥[2,]x a ∈-2()2f x x x a '=++[2,]a -即可．∵函数的对称轴为，2()20f x x x a '=++≥1x =-∴当时，在的最小值为，21a --≤≤()f x '[2,]a -()f a '令，解得或，不符合；2()30f a a a '=+≥0a ≥3a -≤当时，在的最小值为，1a >-()f x '[2,]a -(1)f '-令得，(1)120f a '-=-+≥1a >∴，1a ≥综上所述，实数的取值范围是．a 1a ≥20．已知椭圆的左、右焦点坐标为别为，．椭圆的左、C 1(F 2F C 右顶点分别记为，．点是椭圆上位于轴上方的动点，直线，与直线A B S C x AS BS 分别交于，两点． 10:3l x =-M N （Ⅰ）求椭圆的方程．C （Ⅱ）求线段长度的最小值．MN （Ⅲ）当线段的长度最小时，在椭圆上的点满足：的面积为．试确定点的MN C T TSA△15T 个数．【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）∵c a =c =∴，，2a =1b =∴椭圆的方程为． C 2214x y +=（Ⅱ）易知椭圆的左、右顶点坐标为，，直线的斜率显然存在，且C (2,0)A -(2,0)B AS k ，故可设直线的方程为，0k >AS (2)y k x =+从而． 104,33M k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭由得． 22(2)14y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩2222(14)161640k x k x k +++-=设，则，得， 11(,)S x y 212164214k x k --=+2122814k x k -=+从而，即． 12414k y k =+222284,1414k k S k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭又，故直线的方程为， (2,0)B BS 1(2)4y x k=--由得， 1(2)4103y x k x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩10343x y k⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴，故，104,33N k ⎛⎫- ⎪⎝⎭448||333kkMN k =+=≥当且仅当，即时等号成立．4433kk =1k =故当时，线段的长度取最小值．1k =MN 83（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当线段的长度最小值时，， MN 1k =此时的方程为，，AS 20x y -+=64,55S ⎛⎫- ⎪⎝⎭∴，||AS 要使的面积为，只需点到直线，TSA ⊥15T AS所以点在平行于且与的直线上．T AS AS l '设，解得或．:0l x y t '-+=32t =52t =①当时，由得，32t =221432x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩251250x x ++=∵，故直线与椭圆有两个不同交点．440∆=>l 'C ②当时，由得， 52t =221452x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩2520210x x ++=∵，故直线与椭圆没有交点．200∆=-<l 'C 综上所述，点的个数为．T 2。