等边三角形直角三角形讲义

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13等边和直角三角形

学科教师辅导讲义学生姓名：年级：八年级课时数：3 辅导科目：数学辅导教师：辅导内容：等边三角形和直角三角形辅导日期：教学目标：1、等边三角形的性质、判定和综合运用 2、直角三角形斜边中线定理3、等边三角形与直角三角形结合综合运用【同步知识讲解】知识点1：直角三角形知识梳理：操作：取一张直角三角形纸片，按下列步骤折叠：小结直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

应用格式：在△ABC 中，∵∠ACB ＝90o，CD 是AB 边的中线， ∴CD ＝21AB 或CD ＝AD ＝BD （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）例1：在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD 是斜边AB 的中线，且CD=4 cm ，则AB=_______．例2：如图，在△ABC 中，BD 、CE 是高，G 、F 分别是BC 、DE 的中点，连接GF ，求证： GF ⊥DE ．知识二：等边三角形知识梳理：（1）等边三角形的性质：┌⑴└┌⑵└┐┌⑶└┐┌⑷FDEBC AQ CPAB等边三角形的三条边，三个角都是，每条边上都有三线合一，有条对称轴补充：在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半（2）等边三角形的3个判定方法：三条边都的三角形是等边三角形三个角都的三角形是等边三角形有一个角是的三角形是等边三角形例1：在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8，则AC=_______．例2：如图，在等边三角形ABC 中，BD ＝CE ，AD 与BE 相交于点P ，则∠APE=____．例3：如图，正方形ABCD ，△EAD 为等边三角形，则∠EBC ＝_______．例4：如图，P 是等边三角形ABC 内的一点，连结PAPB PC ，，，以BP 为边作60PBQ ∠=，且BQ BP =，连结CQ ．观察并猜想AP 与CQ 之间的大小关系，并证明你的结论．【精题精练精讲】专题一：等边三角形1．等边三角形中，两条中线所夹的钝角的度数为( )A．120°B．130°C．150°D．160°2．如图，等边△ABC的边长为1，D，E分别是AB，AC上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A'处，且点A'在△ABC外部，则阴影部分图形的周长为( )A．2 B．4 C．3 D．2．53．如图，△ABP与△CDP是两个全等的等边三角形，且P A⊥PD，有下列四个结论：①∠PBC=15°；②AD∥BC；③直线PC与AB垂直；④四边形ABCD是轴对称图形．其中正确结论的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．44．如图，△ABC是等边三角形，点D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若BC边上的高是2，则DE+DF的值为( )A．2 B．4 C．3 D．2．55．如图，在等边三角形ABC中，中线AD，BE相交于点O，图中的等腰三角形有( ) A．3个B．4个C．5个D．6个6．点P为∠AOB内一点，∠AOB=30°，P关于OA，OB的对称点分别为M，N，则△MON定是( ) A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形7．在等边三角形ABC中，AD是边BC上的中线，则∠ADB= °，∠BAD= °．8．如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E= 度．9．如图，等边△ABC的边长P为BC上一点，若△APD=60°，则图中相等的角(60°的角除外)是．10．如图，△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，BE⊥AC，AF⊥BC，则∠EFC= ．11．若∠AOB=30°，点P在∠AOB内部，分别作点P关于OA，OB的对称点P1，P2，连接P1P2，OP1，OP2，则△OP1P2是三角形．12．如图，在等边△ABC中，AC=9，点O在AC上，且AO=3，点P是AB上一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD．要使点D恰好落在BC上，则AP的长为．13．已知：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D，E在BC上，A D⊥AB，AE⊥AC．求证：△AED是等边三角形．14．如图，△ABC中，AB=AC，D，E，F分别在BC，AB，AC上，且BE=DC，BD=FC．(1) 求证：DE=DF；(2) 当∠A的度数为多少时，△DEF是等边三角形，并说明理由．15．如图，E，F分别是等边三角形ABC的边AB，AC_上的点，且BE=AF，CE，BF交于点P．(1) 求证：CE=BF；(2) 求∠BPC的度数．16．如图，等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC．(1) 试判定△ODE的形状，并说明你的理由．(2) 线段BD，DE，EC三者有什么关系? 写出你的判断过程．17．如图，△ABC是等边三角形，D是AB边上一点，以CD为边作等边三角形CDE，使点E，A在直线DC的同侧，连接AE．求证：AE∥BC．18．如图，O 是等边三角形ABC 内一点，∠AOB =110°，∠BOC =α，D 是△ABC 外一点，且△ADC ≌△BOC ，连接OD ．(1) 求证：ACOD 是等边三角形；(2) 当α=150°时，试判断△AOD 的形状，并说明理由； (3) 当α为多少度时，△AOD 是等腰三角形?专题二：直角三角形1、如图，ABC ∆是等边三角形，BC AD ⊥，AB DE ⊥，若8=AB cm ，则BD 的长为 cm ，BE 的长为 cm2、线段AB=4cm ，M 是AB 垂直平分线上的一点，MA=4cm ，则∠MAB= 。

专题特殊三角形-讲义

特殊三角形主讲教师：傲德我们一起回顾1、等腰三角形2、等边三角形3、直角三角形重难点易错点解析等腰三角形题一：如图，已知BD=CE，AD=AE，求证：∠B=∠C．等边三角形题二：已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，BD是中线，延长BC至点E，使CE=CD．求证：DB=DE．直角三角形题三：如图所示，△ABC是等腰直角三角板，过A点作AE⊥EF，过B点作BF⊥EF．请证明：∠EAC=∠BCF，EF=AE+BF．金题精讲题一：如图，△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠BAC交BC于D．求证：BD=2CD．题二：如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∠B=60°，∠C=45°，AC=2，求AB的长．题三：如图，已知△ABC为等边三角形，D为BC延长线上的一点，CE平分∠ACD，CE=BD，求证：△ADE为等边三角形．思维拓展题一：已知：在同一平面内，直线m⊥l，直线n与l相交但不垂直，求证：直线m、n相交．学习提醒重点：等腰三角形的性质——等边对等角、三线合一等腰三角形的判定——等角对等边等边三角形的性质——三边相等，3个60°等边三角形的判定——三个角都相等，一个角是60°的等腰三角形30°的直角三角形——30°所对直角边是斜边的一半直角三角形的性质——两锐角互余，勾股定理直角三角形的判定——有两角互余，勾股定理逆定理特殊三角形讲义参考答案重难点易错点解析题一：证明略点拨：等腰三角形的性质——等边对等角、三线合一等腰三角形的判定——等角对等边题二：证明略点拨：等边三角形的性质——三边相等，3个60°等边三角形的判定——三个角都相等，一个角是60°的等腰三角形30°的直角三角形——30°所对直角边是斜边的一半题三：证明略点拨：直角三角形的性质——两锐角互余，勾股定理直角三角形的判定——有两角互余，勾股定理逆定理金题精讲题一：证明略题三：证明略思维拓展题一：证明略。

人教版八年级数学上册等边三角形讲义

等边三角形知识点一、等边三角形的性质和判定知识概念：1、至少有两边相等的三角形，叫做等腰三角形2、三边相等的三角形，叫做等边三角形思考：下列两个说法是正确的还是错误的？（1）等边三角形是等腰三角形（）（2）等腰三角形是等边三角形（）所以，等边三角形_______等腰三角形，但等腰三角形_______等边三角形等边三角形的性质：1、三边相等2、三个内角都是60°3、三线合一等边三角形的判定：1、三边相等2、三个内角都是60°3、两边相等，一个角60°知识点二、含30°的直角三角形定理：30°所对直角边为斜边的一半例1、如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，AB的垂直平分线交AB于D，交BC于E，若CE=3cm，求BE 的长.1、已知等腰三角形的一个外角是120°，则它是（）A、等腰直角三角形B、一般的等腰三角形C、等边三角形D、等腰钝角三角形2、如图，是屋架设计图的一部分。

点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC,AB＝7.4m,∠A＝30°，则BC= cm 、DE= cm3、如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，AB+BC=12cm，则AB=______cm4、如图，∠AOB= 30°，P是角平分线上的点，PM⊥OB于M，PN//OB交OA于N，PM=1cm，则PN=________.5、如图，在△ABC中，∠B=30°，ED垂直平分BC，ED=3．则CE长为6、等腰三角形一腰上的高线等于腰长的一半，则此三角形的三个角的度数分别是__________7、等边三角形的两条中线相交所成的钝角的度数是________.8、如图在△ABC中,AB=AC=2a,∠ABC=∠ACB=15°,CD是腰AB上的高，求CD的长9、如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，AD⊥BC于D。

小学四年级奥数讲义专题一三角形

小学四年级奥数讲义专题一三角形小学四年级奥数讲义专题一：三角形
1. 三角形的定义
三角形是由三条线段组成的图形，它的特点是有三个顶点和三条边。

2. 三角形的分类
2.1 依据边长分类
- 等边三角形：三条边的长度都相等。

- 等腰三角形：两条边的长度相等。

- 普通三角形：三条边的长度都不相等。

2.2 依据角度分类
- 直角三角形：其中一个角度为90度。

- 钝角三角形：其中一个角度大于90度。

- 锐角三角形：三个角度都小于90度。

3. 三角形的性质
- 三角形的三个内角之和始终为180度。

- 三角形的两边之和大于第三边。

- 等边三角形的三个角度均为60度。

- 等腰直角三角形的两个锐角度均为45度。

4. 三角形的计算公式
4.1 周长
三角形周长是三条边的长度之和，可以使用以下公式计算：周长 = 边1长度 + 边2长度 + 边3长度
4.2 面积
三角形的面积可以使用以下公式计算：
面积 = 底边长度 * 高 / 2
5. 三角形的练题
1. 判断下列图形中是否为三角形：
- (图形1描述)
- (图形2描述)
- (图形3描述)
2. 求下列三角形的周长和面积：
- (三角形1描述)
- (三角形2描述)
- (三角形3描述)
通过学习本讲义，希望同学们能够掌握三角形的定义、分类、性质和计算方法，进一步提高数学运算能力。

初二_三角形复习讲义(包括基本概念、全等、勾股定理)

A C B第 8 题D三角形专题复习（一）三角形基本概念：1．三角形的分类三角形按边分类可分为不等边三角形和等腰三角形(等边三角形是等腰三角形的特殊情况)；按角分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，其中锐角三角形、钝角三角形统称为斜角形。

2．一般三角形的性质(1)角与角的关系：三个内角的和等于180°；一个外角等于和它不相邻的两个内角之和，并且大于任何—个和它不相邻的内角。

(2)边与边的关系：三角形中任两边之和大于第三边，任两边之差小于第三边。

(3)边与角的大小对应关系：在一个三角形中，等边对等角；等角对等边。

(4)三角形的主要线段的性质(见下表)：名称基本性质角平分线 ①三角形三条内角平分线相交于一点（内心）；内心到三角形三边距离相等；②角平分线上任一点到角的两边距离相等。

中线三角形的三条中线相交于一点。

高三角形的三条高相交于一点。

边的垂直平分线三角形的三边的垂直平分线相交于一点（外心）；外心到三角形三个顶点的距离相等。

中位线三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。

3. 几种特殊三角形的特殊性质（1）等腰三角形的特殊性质：①等腰三角形的两个底角相等；②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高是同一条线段，这条线段所在的直线是等腰三角形的对称轴。

（2）等边三角形的特殊性质：①等边三角形每个内角都等于60°；②等边三角形外心、内心合一。

（3）直角三角形的特殊性质：①直角三角形的两个锐角互为余角；②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；4. 三角形的面积（1）一般三角形：S △ =21a h （ h 是a 边上的高 )5.多边形的内角和为 ( n – 2 )·180°（ n 为边数）；多边形的外角和为360°.例题剖析一、填空题1、在△ABC 中，∠A=3∠B=32∠C ，则∠A= ，∠B= ，∠C= ；若∠A+∠B=∠C ，则△ABC 是 __三角形2、如图在直角三角形ABC 中，∠ACB=900，CD ⊥AB 于点D ，则图中有 _____ 个直角三角形，它们是_________________；∠A 是 ___ 和 ___ 公共角；互余的角有 3 几对，它们是3、如图，已知在△ABC 中，∠ABC ，∠ACB 的平分线相交于点O ，（1）若∠ABC=500，∠ACB=650，则∠BOC= .；（2）若∠ABC+∠ACB=1300，则∠BOC= （3）若∠A=900，则∠BOC= ；（4）若∠BOC=1000，则∠A= ；AB CO课堂练习（基础题）1．四边形ABCD 中，如果∠A+∠C+∠D=280°，则∠B 的度数是（） A ．80° B ．90° C ．170° D ．20°2．一个多边形的内角和等于1080°，这个多边形的边数是（） A ．9 B ．8 C ．7 D ．6 3．内角和等于外角和2倍的多边形是（）A ．五边形B ．六边形C ．七边形D ．八边形 4．六边形的内角和等于_______度．5．正十边形的每一个内角的度数等于______，每一个外角的度数等于_______6、（综合题）已知：如图，在四边形ABCD 中，∠A=∠C=90°，BE 平分∠ABC ，•DF 平分∠ADC ．BE 与DF 有怎样的位置关系？为什么？7、（创新题）如图，以五边形的每个顶点为圆心，以1为半径画圆，求圆与五边形重合的面积．8、（易错题）一个多边形的每一个顶点处取一个外角，这些外角中最多有钝角（• ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个（二）全等三角形1、判定和性质一般三角形直角三角形判定边角边（SAS ）、角边角（ASA ）角角边（AAS ）、边边边（SSS ）具备一般三角形的判定方法斜边和一条直角边对应相等（HL ）性质对应边相等，对应角相等对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等注：① 判定两个三角形全等必须有一组边对应相等；② 全等三角形面积相等．2、证题的思路：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧）找夹已知边的另一角（）找已知边的对角（）找已知角的另一边（边为角的邻边）任意角（若边为角的对边，则找已知一边一角）找第三边（）找直角（）找夹角（已知两边ASA AAS SAS AAS SSS HL SAS3、有关角平分线的知识：①、把已知角平分成相等的两个角的射线叫这个角的角平分线。

初中数学难点之八：等腰三角形、等边三角形、直角三角形

初中数学难点之八：等腰三角形、等边三角形、直角三角形等腰三角形、等边三角形、直角三角形是初中数学重点考察内容，也是学习的难点。

一、等腰三角形的概念1. 定义有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。

两条相等的边叫做腰，所夹的角叫做顶角，另一边叫做底边，底边与腰形成的两个角叫做底角。

2. 性质（1）等腰三角形是轴对称图形，底边中线是对称轴（底边的高、顶角的角的角平分线都是对称轴）（2）等腰三角形两个底角相等，简称等边对等角。

（3）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，简称三线合一。

3. 判定（1）两内角相等的三角形叫做等腰三角形（2）两个边相等的三角形叫做等腰三角形二、等边三角形1. 定义三条边都相等的三角形叫做等边三角形。

2. 性质（1）等边三角形有三条对称轴，中线是对称轴（2）等边三角形三个角相等，每个角都为60º（3）等边三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，简称三线合一。

3. 判定（1）三条边都相等的三角形是等边三角形（2）三个角都相等的三角形叫做等边三角形（3）有一个内角是60º的等腰三角形是等边三角形。

三、直角三角形1. 定义有一个角是直角的三角形叫做直角三角形2. 性质（1）直角三角形两个锐角互余（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（3）直角三角形中，30º角所对的直角边等于斜边的一半（4）勾股定理：a2+b2=c2（a、b为直角边，c为斜边）3. 判定（1）有一个角是直角的三角形，或者两个锐角和为90º的三角形为直角三角形。

（2）一边的中线等于这条边的一半，这个三角形是直角三角形。

（3）勾股定理逆定理：如果有a2+b2=c2（a、b、c为三角形的三个边），则三角行为直角三角形四、基础题型1. 例题1如图，边长为4的等边ΔABC中，D、E分别为AB、BC的中点，EF⊥AC于点F，G为EF的中点，连接DG，则DG的长为？解：连接DE，因为：EF⊥AC，∠C=60º所以∠FEC=30º,因为：ΔABC为等边三角形，DE为中位线所以有：2. 考察知识点（1）等边三角形及内角为60º（2）三角形中位线（3）直角三角形30度内角所对直角边等于斜边的一半（4）直角三角形勾股定理3. 解题思路和技巧DG是非常孤立的，既不是中位线，也不平行某一边，即不是三角形的某一边，也不是规则四边形的边，很难下手，因此必须画辅助线把DG融入某个三角形内，因为D、E分别是所在边的中点，连接起来是三角形的中位线，因此连接DE，尝试解题。

知识点总结：等边三角形及含30度直角的直角三角形

知识点总结：等边三角形及含30度直角的直角三角形一、引言本文将详细介绍等边三角形和含30度直角的直角三角形的定义、性质、应用及重难点精析。

等边三角形和直角三角形是初中数学中重要的基本图形，掌握它们的性质和判定对于解决数学问题具有重要意义。

二、等边三角形定义及性质1.等边三角形定义：三边长度相等的三角形称为等边三角形。

2.等边三角形性质：a. 三边长度相等，即任意两边之和等于第三边。

b. 三内角相等，即每个角均为60度。

c. 高等于一边长的一半。

三、含30度直角的直角三角形定义及性质1.含30度直角的直角三角形定义：有一个角为90度，另一个角为30度的三角形称为含30度直角的直角三角形。

2.含30度直角的直角三角形性质：a. 30度角对的直角边等于斜边的一半。

b. 勾股定理成立，即勾股定理中的三个边满足a^2 + b^2 = c^2.其中c为斜边。

c. 面积公式为：S = 1/2 * a * b，其中a和b分别为直角三角形的两直角边长。

四、等边三角形与含30度直角的直角三角形的联系与区别1.联系：等边三角形和含30度直角的直角三角形都是基本图形，具有一些共同的性质，例如三内角相等(等边三角形)或一个角为90度(直角三角形)等。

2.区别：等边三角形的三边长度相等，而含30度直角的直角三角形的斜边长度是直角边长度的两倍。

此外，等边三角形的三个内角均为60度，而含30度直角的直角三角形的两个锐角分别为30度和60度。

五、重难点精析1.等边三角形的证明：等边三角形的三边长度相等，因此可以使用三边长度相等的定理进行证明。

可以让学生们掌握等腰三角形性质并理解等边三角形的定义和判定方法。

2.含30度直角的直角三角形的证明：含30度直角的直角三角形可以使用勾股定理进行证明。

应该重点讲解勾股定理的推导过程及应用方法，以便学生们可以更好地掌握含30度直角的直角三角形的判定方法。

3.面积计算：无论是等边三角形还是含30度直角的直角三角形，面积计算都非常重要。

等边三角形直角三角形讲义

等边三角形直角三角形讲义关键信息项1、协议目的：明确等边三角形和直角三角形的相关知识和教学要点。

2、适用范围：适用于数学教学、学术研究等领域。

3、协议有效期：自签订之日起X年内有效。

4、知识要点涵盖：等边三角形和直角三角形的定义、性质、判定方法等。

5、教学方法与资源：包括讲解示例、练习题目、多媒体资料等。

6、考核与评估方式：如考试、作业、课堂表现等。

7、版权与使用权限：明确讲义的版权归属和使用限制。

8、协议变更与终止条件：规定在何种情况下可以变更或终止协议。

11 等边三角形的定义等边三角形是指三条边长度相等的三角形。

111 等边三角形的性质1、等边三角形的三个内角相等，均为 60°。

2、等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴。

3、等边三角形的中线、高线和角平分线三线合一。

112 等边三角形的判定方法1、三条边都相等的三角形是等边三角形。

2、三个角都相等的三角形是等边三角形。

3、有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形。

12 直角三角形的定义直角三角形是指其中一个角为 90°的三角形。

121 直角三角形的性质1、直角三角形的两个锐角互余。

2、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

3、直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

4、勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。

122 直角三角形的判定方法1、有一个角为 90°的三角形是直角三角形。

2、若一个三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形。

13 等边三角形与直角三角形的关系1、等边三角形不可能是直角三角形，因为等边三角形的三个角均为 60°。

2、直角三角形中，如果一个锐角为 60°，另一个锐角为 30°，则三条边的长度关系满足特定比例。

14 教学方法141 理论讲解通过课堂讲解，让学生理解等边三角形和直角三角形的定义、性质和判定方法。

认识三角形等边等腰和直角三角形

认识三角形等边等腰和直角三角形三角形是我们学习初中数学时必须掌握的一个基本图形。

根据边长和角度的不同，我们可以将三角形分为等边三角形、等腰三角形和直角三角形三种类型。

本文将分别介绍这三种三角形的特点和性质。

一、等边三角形等边三角形是指三条边的长度都相等的三角形。

在等边三角形中，三个内角也都相等，每个角都是60度。

我们可以简记等边三角形为△ABC（其中A、B、C为三个顶点）。

等边三角形的特点是稳定、对称，它的边长和角度特性具有以下几点：1. 三边相等：在△ABC中，边AC = AB = BC。

2. 三个内角相等：∠A = ∠B = ∠C = 60度。

3. 高度、中线和角平分线重合：△ABC的高线、中线和角平分线重合于同一条线段AN上（即垂心、重心、外心和内心重合）。

等边三角形在几何学和实际运用中有着广泛的应用，比如构造等边形、平衡木桥梁等。

二、等腰三角形等腰三角形是指两条边的长度相等的三角形。

在等腰三角形中，两个底角也相等，而顶角则不同。

我们可以将等腰三角形简记为△DEF （其中D、E、F为三个顶点）。

等腰三角形的特点如下：1. 两边相等：在△DEF中，边DE = EF。

2. 两个底角相等：∠D = ∠F。

3. 顶角不等：∠E为顶角，与底角不相等。

等腰三角形也有许多重要的性质：1. 等腰三角形的高线为中线和角平分线，都重合于同一条线段。

2. 等腰三角形的底角平分线也是高线、中线和角平分线。

等腰三角形在建筑、制图、机械设计等领域中都有应用，例如金字塔、屋顶的坡度等。

三、直角三角形直角三角形是指有一个角为90度的三角形。

直角三角形是最常见的三角形类型之一，也是勾股定理的基础。

我们可以简记直角三角形为△GHI（其中G、H、I为三个顶点）。

直角三角形的特点如下：1. 一个角为90度：在△GHI中，∠G为直角，即90度。

2. 两边相互垂直：直角三角形的两条直角边相互垂直，即∠HGI =90度。

3. 两个锐角相加等于90度：∠H + ∠I = 90度。

等边三角形知识讲解

等边三角形（进阶知识讲解）【学习目标】1. 掌握等边三角形的性质和判定.2. 掌握含30°角的直角三角形的一个主要性质．3. 熟练运用等边三角形的判定定理与性质定理进行推理和计算．【要点梳理】要点一、等边三角形等边三角形定义：三边都相等的三角形叫等边三角形.要点诠释：由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包括等边三角形．要点二、等边三角形的性质等边三角形的性质：等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°.要点三、等边三角形的判定等边三角形的判定：（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．要点四、含30°的直角三角形含30°的直角三角形的性质定理：在直角三角形中，如果有一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 要点诠释：这个定理的前提条件是“在直角三角形中”，是证明直角三角形中一边等于另一边（斜边）的一半的重要方法之一，通常用于证明边的倍数关系.【典型例题】类型一、等边三角形1、已知：如图，B 、C 、E 三点共线，ABC ∆，DCE ∆都是等边三角形，连结AE 、BD 分别交CD 、AC 于N 、M ，连接MN.求证：AE ＝BD ，MN ∥BE.【答案与解析】证明： ABC ∆，DCE ∆都是等边三角形∴BC ＝AC ，CE ＝CD ，∠1＝∠3＝60°∠1＋∠2＋∠3＝180°∴∠2＝60°∴ECA BCD ∠=∠在BCD ∆和ACE ∆中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CE CD ACE BCD AC BC （已证）∴△BCD ≌△ACE （SAS ）∴BD ＝AE （全等三角形对应边相等）54∠=∠（全等三角形对应角相等）在BMC ∆和ANC ∆中⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠2154AC BC （已证）∴△BMC ≌△ANC （ASA ）∴MC ＝NC （全等三角形对应边相等）∵∠2＝60°∴△MCN 是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形）∴∠6＝60°，∴∠6＝∠1∴MN ∥BE （内错角相等，两直线平行）【总结升华】本题应从等边三角形的性质出发，利用三角形全等证明AE ＝BD ；为证明MN ∥BE ，可先证明△MNC 为等边三角形，再利用角去转化证明.2、如图，△ABC 为等边三角形，延长BC 到D ，延长BA 到E ，使AE ＝BD ，连接CE 、DE.求证：CE ＝DE.【思路点拨】此题如果直接找含有CE 和DE 的三角形找不到，也不方便证∠ECD ＝∠EDC ，联想的全等三角形的性质，把原等边△ABC 扩展成大等边△BEF 后，易证△EBC ≌△EFD.【答案与解析】证明：延长BD 至F ，使DF ＝AB ，连接EF ∵△ABC 为等边三角形∴AB ＝BC, ∠B ＝60º∵AE ＝BD ，DF ＝AB∴AE ＋AB ＝BD ＋DF 即BE ＝BF∴△BEF 为等边三角形∴BE ＝EF, ∠F ＝60º在△EBC 与△EFD 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DF BC F B EF EB∴△EBC ≌△EFD∴EC ＝ED【总结升华】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定，关键是在现有图形不能解决问题时，将原图补全成为有对称美感的等边三角形，对学生综合运用知识解答问题的能力要求较高.举一反三：【变式】如图所示，△ABC 是正三角形，△BDC 是顶角∠BDC ＝120°的等腰三角形，以D 为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB 、AC 边于M 、N 两点，连接MN ．试探究线段CN 、BM 、MN 之间的关系，并加以证明．【答案】对于此类题，三条线段之间的关系一般是它们的和差关系，证明方法通常采用截长补短法．证明：如图所示，延长AC 至M 1，使CM 1＝BM ，连接DM 1．∵ △ABC 是正三角形，∴ ∠ABC ＝∠ACB ＝60°．∵ ∠BDC ＝120°，且BD ＝CD ，∴ ∠DBC ＝∠DCB ＝30°．∴ ∠ABD ＝∠ACD ＝90°．又∵ BD ＝CD ，BM ＝CM 1，∴ Rt △BDM ≌Rt △CDM 1(SAS)．∴ DM ＝DM 1，∠BDM ＝∠CDM 1，∴ ∠MDM 1＝∠MDC ＋∠CDM 1＝∠MDC ＋∠BDM ＝∠BDC ＝120°．又∵ ∠MDN ＝60°．∴ ∠M 1DN ＝∠MDN ＝60°．又∵ DM ＝DM 1，DN ＝DN ，∴ △MDN ≌△M 1DN(SAS)．∴ MN ＝M 1N ＝NC ＋M 1C ＝CN ＋BM ．类型二、含30°的直角三角形3、如图所示，∠A ＝60°，CE ⊥AB 于E ，BD ⊥AC 于D ，BD 与CE 相交于点H ，HD ＝1，HE ＝2，试求BD 和CE 的长．【答案与解析】解：∵BD ⊥AC 于D ，∠A ＝60°，∴∠ABD ＝90°－60°＝30°，在Rt △BEH 中，∠HEB ＝90°，∠EBH ＝30°．∴BH ＝2EH ＝4．同理可得，CH ＝2HD ＝2，∴BD ＝BH ＋HD ＝4＋1＝5．CE ＝CH ＋HE ＝2＋2＝4．【总结升华】已知条件中出现60°角与直角三角形并存时，应考虑到“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半”，进而把三角形中角与角的关系转化为边与边之间的关系，充分应用转化思想来解决问题．举一反三：【变式】如图所示，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 边上的点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为点E 、F ，∠BAC ＝120°．求证：12DE DF BC +=．【答案】证明：∵ 在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，∴ ∠B ＝∠C ＝1(180)302BAC ︒-∠=︒． ∵ DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴ 12DE BD =，12DF CD =． ∴ 12DE DF BC +=．4、如图所示，在等边△ABC 中，AE ＝CD ，AD 、BE 相交于点P ，BQ ⊥AD 于Q ，求证：BP ＝2PQ ．【思路点拨】(1)从结论入手，从要证BP ＝2PQ 联想到要求∠PBQ ＝30°．(2)不能盲目地用截长补短法寻找要证的“倍半”关系．本题适合用“两头凑”的方法，从结论入手找已知条件，即BP ＝2PQ ⇒∠PBQ ＝30°，另一方面从已知条件找结论，即由条件⇒△ACD ≌△BAE ⇒∠BPQ ＝60°⇒∠PBQ ＝30°，分析时要注意联想与题目有关的性质定理．【答案与解析】证明：∵ △ABC 为等边三角形，∴ AC ＝BC ＝AB ，∠C ＝∠BAC ＝60°．在△ACD 和△BAE 中，,AC AB C BAE CD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ △ACD ≌△BAE(SAS)．∴ ∠CAD ＝∠ABE ．∵ ∠CAD ＋∠BAP ＝∠BAC ＝60°，∴ ∠ABE ＋∠BAP ＝60°，∴ ∠BPQ ＝60°．∵ BQ ⊥AD ，∴ ∠BQP ＝90°，∴ ∠PBQ ＝90°－60°＝30°，∴ BP ＝2PQ ．【总结升华】本题主要考查了等边三角形的性质、三角形外角的性质、含30°直角三角形的性质及全等三角形的判定与性质，考查了学生综合运用知识解答问题的能力.【巩固练习】一.选择题1. 以下命题中，正确的是（）A. 等腰三角形底边上的任意一点到两腰距离之和大于腰上的高B. 一腰相等的两个等腰三角形全等C. 有一角相等和底边相等的两个等腰三角形全等D. 等腰三角形的角平分线、中线和高共有7条或3条2．如图，B 、C 、D 在一直线上，△ABC 、△ADE 是等边三角形，若CE ＝15cm ，CD ＝6cm ，则 AC ＝（）cm A.9 B.8 C.7 D.103. 已知∠AOB ＝30°，点P 在∠AOB 的内部，1P 与P 关于OB 对称，2P 与P 关于OA 对称，则1P ，2P 与O 三点构成的三角形是（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.视P 点的位置而定4. 如图，木工师傅从边长为90cm 的正三角形木板上锯出一正六边形木块，那么正六边形木板的边长为（）A.34cmB.32cmC.30cmD.28cm5. 已知△ABC 是等边三角形，D 是BC 边上的任意一点，连接AD 并作等边三角形ADE ，若DE ⊥AB ，则BD DC的值是（） A.12 B.23 C.1 D.326. 如图，A 、C 、B 三点在同一条直线上，△DAC 和△EBC 都是等边三角形，AE 、BD 分别与CD 、CE 交于点M 、N ，有如下结论：①△ACE ≌△DCB ；②CM ＝CN ；③AC ＝DN ．其中，正确结论的个数是（）A.3个B.2个C.1个D.0个二.填空题7. 如图，已知AB＝AC＝BC＝AD,則∠BDC＝_________.8．如图，在△ABC中，∠1＝∠2，∠EDC＝∠BAC，AE＝AF，∠B＝60°，则图中的线段: AF、BF、AE、CE、AD、BD、DC、DF中与DE的长相等的线段有条.9. 如图，已知ΔABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，DE垂直平分AC交BC于D，垂足为E，若DE＝2cm，则BC＝_____cm.10. 在等边三角形ABC所在平面内能找到个点P，使△PAB,△PBC,△PAC都是等腰三角形.11．如图，已知△ABC是等边三角形，点O是BC上任意一点，OE、OF分别与两边垂直，等边三角形的高为1，则OE＋OF的值为．12．如图，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的两个动点，且总使AD＝BE，AE与CD 交于点F ，AG⊥CD 于点G ，则AFFG ＝．三.解答题13.已知△ABC 为正三角形，点M 是射线BC 上任意一点，点N 是射线CA 上任意一点，且BM ＝CN ，直线BN 与AM 相交于点Q ．下面给出了三种情况（如图①，②，③），先用量角器分别测量∠BQM 的大小，然后猜测∠BQM 是否为定值并利用其中一图证明你的结论．14. 已知△ABC 和△DEF 为等边三角形，点D 在△ABC 边AB 上，点F 在直线AC 上．(1)若点C 和点F 重合(如图所示)，求证AE ∥BC ；(2)若F 在AC 的延长线上(如图所示)，(1)中的结论是否成立，给出你的结论并证明．15. 数学课上，李老师出示了如下框中的题目.在等边三角形ABC 中，点E 在AB 上，点D 在CB 的延长线上，且ED ＝EC ,如图.试确定线段AE 与DB 的大小关系，并说明理由. D A B CEA B C D E F D A B C E 小明与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况，探索结论当点E 为AB 的中点时，如图1，确定线段AE 与DB 的大小关系，请你直接写出结论：AE______DB （填“＞”,“＜”或“＝”）.（2）一般情况，证明结论如图2，过点E 作EF //BC ，交AC 于点F.（请你继续完成对以上问题（1）中所填写结论的证明）证明：【答案与解析】1. 【答案】D ；【解析】一般等腰三角形的角平分线有7条，等边三角形的角平分线有3条.2. 【答案】A ；【解析】证△ABD ≌△ACE ，AC ＝BC ＝BD －CD ＝CE －CD ＝15－6＝9cm .3. 【答案】C ；【解析】根据对称性，∠12POP ＝60°，且12OP OP OP ==.4. 【答案】C ；【解析】图中小三角形也是正三角形，且边长等于正六边形的边长，所以正六边形的周长是正三角形的周长的23，正六边形的周长为90×3×23＝180cm ，所以正六边形的边长是180÷6＝30cm ． 5. 【答案】C ；【解析】根据题意：若DE ⊥AB ，必有∠BDE ＝30°，而∠EDA ＝60°；故AD ⊥BC ；即BD＝DC ；故BD DC的值是1． 6. 【答案】B ；【解析】①②正确. 证△ACE ≌△DCB （SAS ），△EMC ≌△BNC （ASA ）.二.填空题7. 【答案】150°；【解析】设∠CBD ＝x ，∠BCD ＝y ，由题意∠ADB ＝60°＋x ，∠ADC ＝60°＋y ，△BCD中，x ＋y ＋60°＋x ＋60°＋y ＝180°,x ＋y ＝30°，所以∠BDC ＝150°.8. 【答案】3；【解析】由题意可得∠DEC ＝60°，△AFD ≌△AED ，易证△BFD 为正三角形，故BD ＝BF ＝FD ＝DE.9. 【答案】12；【解析】连接AD ，反复利用30°所对直角边等于斜边的一半.10.【答案】10；图1 图2【解析】如图所示：11.【答案】1；【解析】连接AO ，△ABO 的面积＋△ACO 的面积＝△ABC 的面积，所以OE ＋OF ＝等边三角形的高.12．【答案】12；【解析】证△CBD ≌△ACE ，∠BCD ＝∠CAE ，因为∠ACF ＋∠BCD ＝60°，∠CAE ＋∠ACF ＝∠AFG ＝60°，所以∠FAG ＝30°，所以AF FG ＝12. 三.解答题13.【解析】解：∠BQM 为定值．理由：如图①∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC＝∠C＝60°，AB ＝BC∵BM＝CN∴△ABM≌△BCN（SAS ）∴∠BAM＝∠CBN（全等三角形的对应角相等），∴∠BQM＝∠BAQ＋∠ABQ＝∠CBQ＋∠ABQ＝∠ABC＝60°即∠BQM 为定值．图②中：∠BQM＝∠ABN＋∠BAM∵△ABM≌△BCN∴∠BAM＝∠CBN∴∠BQM＝∠ABN＋∠BAM＝∠ABN＋∠CBN＝∠ABC＝60°图③中：∠BQM＝∠N＋∠NAQ∵△ABM≌△BCN，∴∠N＝∠M，且∠NAQ＝∠CAM，又∵∠ACB＝∠M＋∠CAM＝∠N＋∠NAQ，且∠BQM＝∠N＋∠NAQ，∴∠BQM＝∠ACB＝60°．14.【解析】证明：(1)如图所示，∵ △ABC 和△DEF 为等边三角形∴∠3＋∠1＝∠2＋∠3＝60°，∴∠1＝∠2．∴△AEF≌△BDC，∴∠4＝∠B＝∠ACB＝60°．∴ AE∥BC．(2)如下图中结论仍成立，过点F作FH∥CB交AB延长线于点H，∴∠1＝∠2＝60°，∴△AHF为等边三角形．由(1)知，可证△AEF≌△HDF，∴∠3＝60°，∴∠3＝∠ACB＝∠AFH．∴ AE∥BC．15.【解析】解：（1）＝（2）证明：在等边△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，AB＝AC＝BC ∵EF∥BC∴∠AEF＝∠AFE＝60°＝∠BAC，且∠CEF＝∠ECD，∴AE＝AF＝EF，∴AB－AE＝AC－AF，即BE＝CF.∵ED＝EC，∴∠EDB＝∠ECB，∠CEF＝∠EDB∵∠ABC＝∠EDB＋∠BED＝60°，∠ACB＝∠ECB＋∠FCE＝60°，∴∠BED＝∠FCE，∴△DBE≌△EFC∴DB＝EF，∴AE＝BD.。

专题19等腰三角形、等边三角形、直角三角形(知识点总结+例题讲解)-2021届中考数学一轮复习

2021年中考数学专题19 等腰、等边三角形、直角三角形（知识点总结+例题讲解）一、等腰三角形及其性质：1.定义：两边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫腰；第三条边叫底边，两腰的夹角叫顶角，底边和腰的夹角叫底角。

2.等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等(简称：等边对等角)。

①推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边；即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合(简称：三线合一)②推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°。

（2）等腰三角形的其他性质：①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°；②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角(或直角)，顶角可为钝角(或直角)； ③等腰三角形的三边关系：设腰长为a ，底边长为b ，则2b a ＜；④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A ，底角为∠B 、∠C ，则∠A=180°-2∠B ，∠B=∠C=1802A ︒-∠． 3.等腰三角形的判定：等腰三角形的判定定理及推论：定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)；这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。

（1）推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形；（2）推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；（3）推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

【例题1】(2020•青海)等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是( )A ．55°，55°B ．70°，40°或70°，55°C．70°，40°D．55°，55°或70°，40°【答案】D【解析】已知给出了一个内角是70°，没有明确是顶角还是底角，所以要进行分类讨论．解：分情况讨论：(1)若等腰三角形的顶角为70°时，底角=(180°-70°)÷2= 55°；(2)若等腰三角形的底角为70°时，顶角=180°-70°×2=40°．故选：D。

等边三角形等腰三角形与直角三角形的特点

等边三角形等腰三角形与直角三角形的特点等边三角形、等腰三角形和直角三角形是基础的三角形类型，它们都有各自独特的特点和性质。

本文将分别探讨等边三角形、等腰三角形和直角三角形的特点，并对比它们之间的异同点。

一、等边三角形的特点等边三角形是一种特殊的三角形，它的三条边长度相等，每个角都是60度。

由于其特殊的性质，等边三角形具有以下特点：1. 三条边相等：等边三角形的三条边长度都相等，符号为a = b = c，其中a、b、c代表等边三角形的三条边的长度。

2. 三个角度相等：等边三角形的每个角都是60度，符号为A = B =C = 60°，其中A、B、C分别代表等边三角形的三个角度。

3. 具有对称性：等边三角形是一种对称图形，它具有轴对称和中心对称的特点。

任意一条中线都是等边三角形的对称轴。

二、等腰三角形的特点等腰三角形是一种具有两条边相等的三角形，它的两个底角也相等。

等腰三角形的特点如下：1. 两条边相等：等腰三角形的两条边长度相等，符号为a = b，其中a、b代表等腰三角形的两条边的长度。

2. 两个底角相等：等腰三角形的两个底角大小相等，符号为A = B，其中A、B代表等腰三角形的两个底角。

3. 具有对称性：等腰三角形也是一种对称图形，它具有轴对称和中心对称的特点。

任意一条中线都是等腰三角形的对称轴。

三、直角三角形的特点直角三角形是一种具有一个90度角的三角形，它的两条边与直角相邻。

直角三角形的特点如下：1. 一条边是直角边：直角三角形有一个边是直角边，与直角相邻，符号为90°。

2. 底边和对边关系：在直角三角形中，直角边的对边为对边，直角边的底边为底边，这两边之间满足勾股定理的关系。

3. 具有对称性：直角三角形也具有对称性，其中的直角是对称中心。

四、等边三角形、等腰三角形和直角三角形的异同点1. 边的关系：等边三角形三条边长度相等，而等腰三角形只有两条边相等，直角三角形没有边相等的情况。

等边三角形和直角三角形知识讲解

2、如图，在一个正方体的两个面上画
了两条对角线AB，AC，那么这两条对角线
的夹角等于
。
4、已知：如图，△ABC和△DEC都是等边三
角形，D是BC延长线上一点，AD与BE相交于点P，
AC、BE相交于点M，AD、CE相交于点N，则下
列五个结论：①AD=BE；②∠BMC=∠ANC；③
∠APM=60°；④AN=BM；⑤△CMN是等边三角
别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作 EF⊥DE，交BC的延长线于点F．（1）求∠F的度数；（2）若CD=2，求DF的长．
M为BC的中点，EF=5，BC=8，则△EFM
的周长是
。Байду номын сангаас
8、如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°， M、N分别是对角线BD、AC的中点．求证：直线 MN是线段AC的垂直平分线．
9、已知，如图AC、BD都垂直于AB，且CD交AB于E，CE=2AD，
求证：∠ADE=2∠BDE．
10、如图，在等边三角形ABC中，点D，E分
形．其中，正确的有
。
5、如图，已知∠AOB=60°，点P在边
OA上，OP=12，点M，N在边OB上，
PM=PN，若MN=2，则OM=
。
6、如图，△ABC中，AB=AC=10，
BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为
AC的中点，连接DE，则△CDE的周长
为
。
7、如图，BE、CF分别是△ABC的高，
等边三角形和直角三角形
学霸和学神的区别
学霸考了98分，学神考了100分。学霸以为和学神的差距就只有这两分。学神说： “你考98分是实力只有这么多，我考100分是试卷只有这么多分。”他说得太对了，竟无言以对。。。

解三角形完整讲义

解三角形完整讲义三角形是高中数学中重要的几何概念之一，解三角形则是在已知一些角度和边长条件下，确定三角形的边长和角度的过程。

本文将针对解三角形的方法和步骤进行详细的讲解。

一、基本概念在开始讲解解三角形的方法之前，我们先来了解一些基本概念。

三角形是由三条边和三个角所确定的图形，根据三条边的长度不同，可以把三角形分为三种情况：等边三角形、等腰三角形和普通三角形。

同时，三角形的内角和为180度，这是三角形解题的基本条件之一。

二、解三角形的方法1. 已知两边一角（SAS）当已知两边的长度及夹角时，可以利用余弦定理来求解第三条边的长度。

余弦定理的公式如下：c² = a² + b² - 2abcosC其中，a和b为两边的长度，C为夹角的度数。

2. 已知一边两角（ASA）当已知一条边的长度及与它相邻的两个角时，可以利用正弦定理来求解另外两条边的长度。

正弦定理的公式如下：a/sinA = b/sinB = c/sinC其中，a、b和c分别为三角形的三条边的长度，A、B和C为对应的三个角的度数。

3. 已知三边（SSS）当已知三条边的长度时，可以利用余弦定理或正弦定理来求解三个角的度数。

此外，还可以利用勾股定理判断三条边是否构成直角三角形。

勾股定理的公式如下：c² = a² + b²其中，c为斜边的长度，a和b为直角边的长度。

4. 已知两边一角的情况下，求解余弦定理的其他两边（SAS）在已知两边一角的情况下，求解余弦定理的其他两边的长度时，可以套用余弦定理的公式，将已知的两边和夹角代入，求解未知边的长度。

5. 求解三角形的面积在已知三角形的两边和夹角、三边边长或三个顶点坐标的情况下，可以利用海伦公式或矢量法求解三角形的面积。

海伦公式如下：S = √[s(s - a)(s - b)(s - c)]其中，S为三角形的面积，a、b和c为三角形的三条边的长度，s 为三角形的半周长，即s = (a + b + c) / 2。

等边三角形(基础)知识讲解

等边三角形（基础）【学习目标】1. 掌握等边三角形的性质和判定.2. 掌握含30°角的直角三角形的一个主要性质．3. 熟练运用等边三角形的判定定理与性质定理进行推理和计算．【要点梳理】要点一、等边三角形等边三角形定义：三边都相等的三角形叫等边三角形.要点诠释：由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包括等边三角形．要点二、等边三角形的性质等边三角形的性质：等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°.要点三、等边三角形的判定等边三角形的判定：（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．要点四、含30°的直角三角形含30°的直角三角形的性质定理：在直角三角形中，如果有一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.要点诠释：这个定理的前提条件是“在直角三角形中”，是证明直角三角形中一边等于另一边（斜边）的一半的重要方法之一，通常用于证明边的倍数关系.【典型例题】类型一、等边三角形1、如图，已知△ABC为等边三角形，D为BC延长线上的一点，CE平分∠ACD，CE=BD，求证：△ADE为等边三角形．【思路点拨】由条件可以容易证明△ABD≌△ACE，进一步得出AD=AE，∠BAD=∠CAE，加上∠DAE=60°，即可证明△ADE为等边三角形．【答案与解析】证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠B=∠ACB=60°，AB=AC，即∠ACD=120°，∵CE平分∠ACD，∴∠1=∠2=60°，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，又∠BAC=60°，∴∠DAE=60°，∴△ADE为等边三角形．【总结升华】本题考查了等边三角形的判定与性质，难度适中，关键找出判定三角形等边的条件．举一反三：【变式】等边△ABC，P为BC上一点，含30°、60°的直角三角板60°角的顶点落在点P 上，使三角板绕P点旋转．如图，当P为BC的三等分点，且PE⊥AB时，判断△EPF的形状.【答案】解：∵PE⊥AB，∠B＝60°，因此直角三角形PEB中，BE＝12BP＝13BC＝PC，∴∠BPE＝30°，∵∠EPF＝60°，∴FP⊥BC，∵∠B＝∠C＝60°，BE＝PC，∠PEB＝∠FPC＝90°，∴△BEP≌△CPF，∴PE＝PF，∵∠EPF＝60°，∴△EPF是等边三角形．2、已知：如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠ABC ＝60°，AD ＝CE ，求∠BPD 的度数.【答案与解析】证明：在ABC ∆中， AB ＝AC ，∠ABC ＝60°∴ABC ∆为等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形）∴AC ＝BC ，∠A ＝∠ECB ＝60°在ADC ∆和CEB ∆中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=)()()(已知已证已证CE AD ECB A CB ACADC ∆≌CEB ∆（SAS ）∴21∠∠＝（全等三角形对应角相等）23DPB ∠∠∠＝＋（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和）∴13DPB ACB ∠∠∠∠＝＋＝∴∠DPB ＝60°.【总结升华】这道题利用等边三角形每个角都是60°的性质，并借助全等三角形，和三角形的外角性质使问题得以解决.举一反三：【变式】△ABC 为正三角形，点M 是射线BC 上任意一点，点N 是射线CA 上任意一点，且BM=CN ，BN 与AM 相交于Q 点，∠AQN 等于多少度？【答案】解：证法一．∵△ABC 为正三角形∴∠ABC=∠C=∠BAC=60°，AB=BC在△AMB 和△BNC 中，△AMB≌△BNC（SAS ），∵∠ANB=∠C+∠NBC=60°+∠NBC，∠MAN=∠BAC﹣∠MAB=60°﹣∠MAB，又∵∠NBC=∠MAB（全等三角形对应角相等），∴∠ANB+∠MAN=120°，又∵∠ANQ+∠MAN+∠AQN=180°，∴∠AQN=180°﹣∠ANB﹣∠MAN，∠AQN=180°﹣（∠ANB+∠MAN），=180°﹣120°=60°，∠BOM=∠AQN=60°（全等三角形对应角相等）．证法二．∵△ABC为正三角形∴∠ABC=∠C=∠BAC=60°，AB=BC在△AMB和△BNC中∴△AMB≌△BNC（SAS）∵∠ANB=∠C+∠NBC=60°+∠NBC∠MAN=∠BAC﹣∠MAB又∵∠NBC=∠MAB（全等三角形对应角相等）∴∠ANB+∠MAN=120°又∵∠ANQ+∠MAN+∠AQN=180°∴∠AQN=180°﹣∠ANB﹣∠MAB∠AQN=180°﹣（∠ANB+∠MAN）=180°﹣120°=60°3、（1）如图，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连接AC和BD，相交于点E，连接BC，求∠AEB的大小；（2）如图，△OAB固定不动，保持△OCD的形状和大小不变，将△OCD绕着点O旋转（△OAB和△OCD不能重叠），求∠AEB的大小．【思路点拨】（1）由于△O CD 和△OAB 都是等边三角形，可得OD ＝OC ＝OB ＝OA ，进而求出∠BDA 与∠CAD 的大小及关系，则可求解∠AEB．（2）旋转后，△BOD 与△AOC 仍然保持全等，∠ACO ＝∠BDO ，∠AED ＝∠ACO ＋∠DCO ＋∠CDB ＝∠BDO ＋60°＋∠CDB ＝60°＋∠CDO ＝120°，从而得到∠AEB 的值.【答案与解析】证明：（1）∵O 是AD 的中点，∴AO ＝DO又∵等边△AOB 和等边△COD∴AO ＝DO ＝CO ＝BO ，∠DOC ＝∠BOC ＝∠AOB ＝60°∴∠CAO ＝∠ACO ＝∠BDO ＝∠DBO ＝30°∴∠AEB ＝∠BDO ＋∠CAO ＝60°（2）∵∠BOD ＝∠DOC ＋∠BOC ，∠AOC ＝∠AOB ＋∠BOC∴∠BOD ＝∠AOC在△BOD 与△AOC 中，BO AO BOD AOC DO CO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BOD ≌△AOC （SAS ）∴∠ACO ＝∠BDO∵∠AED ＝∠ACO ＋∠DCO ＋∠CDB＝∠BDO ＋60°＋∠CDB ＝60°＋∠CDO ＝60°＋60°＝120°∴∠AEB ＝180°－∠AED ＝60°.【总结升华】这道题利用等边三角形每个角都是60°的性质，并借助全等三角形，和三角形的外角性质使问题加以解决.举一反三：【变式】如图，已知△ABC 和△CDE 都是等边三角形，AD 、BE 交于点F ，求∠AFB 的度数.【答案】解：∵△ABC 和△CDE 都是等边三角形，∴AC ＝BC ，CE ＝CD ，又∵∠ACB ＋∠BCD ＝∠ECD ＋∠BCD ，即∠ACD ＝∠BCE ，∴△ACD ≌△BCE ，∴∠CAD ＝∠CBE ，设AD 与BC 相交于P 点，在△ACP 和△BFP 中，有一对对顶角，∴∠AFB ＝∠ACB ＝60°．类型二、含30°的直角三角形4、如图，E 是∠AOB 的平分线上一点，EC ⊥OB ，ED ⊥OA ，C 、D 是垂足，连接CD 交OE于点F ，若∠AOB=60°．（1）求证：△OCD 是等边三角形；（2）若EF=5，求线段OE 的长.【答案与解析】解：（1）∵点E 是∠AOB 的平分线上一点，EC ⊥OB ，ED ⊥OA ，C 、D 是垂足，∴DE=CE ，在Rt △ODE 和Rt △OCE 中，DE CE OE OE =⎧⎨=⎩∴Rt △ODE ≌Rt △OCE （LH ）∴OD=OC ，∵∠AOB=60°，∴△OCD 是等边三角形；（2）∵△OCD 是等边三角形，OF 是角平分线，∴OE ⊥DC ，∵∠AOB=60°，∴∠AOE=∠BOE=30°，∵∠ODF=60°，ED ⊥OA ，∴∠EDF=30°，∴DE=2EF=10，∴OE=2DE=20.【总结升华】本题考查等边三角形的判定和性质，角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，30°的直角三角形的性质等，熟练掌握性质和定理是解题的关键。

高一三角形面积计算的7类题型和15种方法讲义

高一三角形面积计算的7类题型和15种方法讲义一、等边三角形等边三角形是指三条边都相等的三角形。

计算等边三角形的面积可以使用以下方法：1. 正确利用面积公式：$S = \frac{{\sqrt{3}}}{4}a^2$ （a为边长）2. 利用高和底边求面积公式：$S =\frac{{\sqrt{3}}}{2}h^2$ （h为高）3. 使用三角形内切圆半径求面积公式：$S =\frac{{3\sqrt{3}}}{4}r^2$ （r为内切圆半径）二、等腰三角形等腰三角形是指两条边相等的三角形。

计算等腰三角形的面积可以使用以下方法：1. 直接利用面积公式：$S = \frac{1}{2}bh$ （b为底边长，h为高）2. 利用底边和等腰边求面积公式：$S = \frac{1}{4}(\sqrt{4a^2 - b^2}) \cdot b$ （a为等腰边长，b为底边长）3. 利用角度求面积公式：$S = \frac{1}{2}ab\sin C$ （a、b为等腰边长，C为顶角）三、直角三角形直角三角形是指有一个角为90度的三角形。

计算直角三角形的面积可以使用以下方法：1. 直接利用面积公式：$S = \frac{1}{2}bh$ （b为直角边长，h 为直角边与斜边的高）2. 利用斜边和高求面积公式：$S = \frac{1}{2}ab$ （a、b为直角边长）3. 利用斜边和一个锐角求面积公式：$S = \frac{1}{2}ab\sinC$ （a、b为直角边长，C为锐角）四、任意三角形任意三角形是指三个边和三个角都不相等的三角形。

计算任意三角形的面积可以使用以下方法：1. 利用海伦公式：$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ （p为半周长，a、b、c为边长）2. 利用两边和夹角的正弦值求面积公式：$S =\frac{1}{2}ab\sin C$ （a、b为两边长度，C为两边夹角的度数）3. 使用三角形内切圆半径求面积公式：$S = r \cdot p$ （r为内切圆半径，p为半周长）五、等腰直角三角形等腰直角三角形是指有一个角为90度且两条腰相等的三角形。

学习等边、等腰和直角三角形

学习等边、等腰和直角三角形三角形是几何学中最基本的图形之一，在我们的日常生活中也经常能够见到。

本文将介绍三种常见的三角形：等边三角形、等腰三角形和直角三角形。

通过学习它们的定义、特性以及相关性质，我们可以更好地理解和应用它们。

一、等边三角形等边三角形是一种特殊的三角形，指的是三条边的长度都相等的三角形。

它的特点是三个内角均为60度。

在一个等边三角形中，任一边的长度都可以表示为其他两边长度的乘积。

等边三角形的相关性质还包括以下几点：1. 等边三角形的三个高度、三条中线以及三条角平分线都重合于一个点，称为垂心、重心和内心；2. 等边三角形的内切圆和外切圆的半径都相等，且与三边长度相等。

二、等腰三角形等腰三角形是一种具有两边长度相等的三角形。

在等腰三角形中，两个底角（底边对应的两个角）相等，而顶角（顶点对应的角）则与两个底角之和相等。

等腰三角形的性质如下：1. 等腰三角形的高度通过顶点至底边的垂直线构成，且与底边中点相交；2. 等腰三角形的两条边上的角平分线与底边垂直；3. 等腰三角形可以通过图形的对称性得出，即对称轴为底边的中垂线。

三、直角三角形直角三角形是指其中一个角度为90度的三角形。

直角三角形中，直角为其特点，其他两个角度分别为锐角和钝角。

直角三角形的特性及其相关性质包括：1. 直角三角形中，根据勾股定理，直角边的平方等于两直角边平方和。

即a²+ b²= c²，其中a和b分别为直角边的长度，c为斜边的长度；2. 直角三角形中，斜边是两直角边中最长的一边；3. 直角三角形还可以通过三边长度的比较来分类，如3:4:5三角形、5:12:13三角形等。

通过学习等边、等腰和直角三角形的特性，我们可以应用它们解决一些实际问题，如测量边长、计算角度等。

同时，这些三角形也在建筑、工程、地理和几何学等领域中得到广泛应用。

总结：等边、等腰和直角三角形是我们常见的几何学中的基本三角形。

第18讲等腰三角形、等边三角形、直角三角形

AC 于点 D，E,则△ADE
是等边三角形.
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数学
3.直角三角形 (1)性质:
①直角三角形的两锐角互余;
②直角三角形 30°角所对的直角边等于斜边的一半 ;
③直角三角形中,斜边上的中线长等于斜边长的
一半.
(2)判定:有一个角是直角的三角形是直角三角形.
(3)勾股定理及其逆定理
①勾股定理:直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边
由勾股定理,得 CI=
-
.
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数学
16.(2009 深圳)如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,点 D 是 BC 上一点,AD=BD,若 AB=8,BD=5,则 CD= .
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数学
17.(2012 广州)在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=9,BC=12,则点 C 到 AB 的
距离是( A )
EB=1,EC=2,那么正方形 ABCD 的面积为 3 .
返回
数学
7.(2019 秦皇岛模拟)如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,∠A=30°,BD 是
∠ABC 的平分线,CD=5,则 AD= 10 .
返回
数学
1.等腰三角形
考点梳理
考点复习
(1)定义:两边相等的三角形叫做等腰三角形.
(2)性质:①等腰三角形的两腰相等;
为 32 cm.
返回
数学 3.(2019 天水)如图,等边三角形 OAB 的边长为 2,则点 B 的坐标为(B )
A.(1,1)
B.(1, 3)
C.( 3,1) D.( 3, 3)
返回
数学
4.(2019 镇江)如图,直线 a∥b,△ABC 的顶点 C 在直线 b 上,边 AB 与直

等边三角形的判定及含°角的直角三角形的性质精品获奖教学课件

坚持做好每个学习步骤
武亦文的高考高分来自于她日常严谨的学习态度，坚持认真做好每天的预习、复习。 “高中三年，从来没有熬夜，上课跟着老师走，保证课堂效率。”武亦文介绍，“班主任王老师对我的成长起了很大引导作用，王老师办事很认真，凡事都会投入自己所有精力，看重做事的过程而不重结果。每当学生没有取得好结果，王老师也会淡然一笑，鼓励学生注重学习的过程。”
求证:△ABC是等边三角形． A
证明:∵AB=AC,∠B=60°(已知),
∴∠C=∠B=60°(等边对等角)，
∴∠A=60°(三角形内角和定理)． 60°
∴∠A=∠B =∠C=60°．
B
C
∴△ABC是等边三角形(三个角都相等的三角形是
等边三角形).
归纳总结
等腰三角形(含等边三角形)
性质
判定的条件
第一章三角的证明
1.1 等腰三角形
第4课时等边三角形的判定及含30°角的直角三角形的性质
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.能用所学的知识证明等边三角形的判定定理.(重点) 2.掌握含30°角的直角三角形的性质并解决有关问题.(难点)
导入新课
观察与思考观察下面图片，说说它们都是由什么图形组成的？
定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形.
已知：如图，∠A= ∠ B=∠C.
求证： AB=AC=BC.
A
证明：∵ ∠A= ∠ B,
∴ AC=BC.
B
C
∵ ∠ B=∠C,
∴ AB=AC.
∴AB=AC=BC.
定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
已知：若AB=AC , ∠A= 60°.

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