6[1].5整式乘法(2)

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整式的乘法(基础)知识讲解

整式的乘法(基础）【学习目标】1。

会进行单项式的乘法，单项式与多项式的乘法，多项式的乘法计算．2. 掌握整式的加、减、乘、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律简化运算.【要点梳理】要点一、单项式的乘法法则单项式与单项式相乘,把它们的系数，相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式.要点诠释：(1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用。

（2)单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加"进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式.（3)运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成。

（4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则。

要点二、单项式与多项式相乘的运算法则单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即()m a b c ma mb mc ++=++。

要点诠释：(1)单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题.（2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式,项数与原多项式的项数相同。

（3)计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号,同时还要注意单项式的符号。

(4）对混合运算,应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并,从而得到最简的结果.要点三、多项式与多项式相乘的运算法则多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

即()()a b m n am an bm bn ++=+++。

要点诠释：多项式与多项式相乘,仍得多项式。

在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积。

多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并。

整式的乘法与因式分解

整式的乘法与因式分解基础知识1 同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

注意底数可以是多项式或单项式。

2 幂的乘方，底数不变，指数相乘。

3、积的乘方法则：nn n b a ab =)(（n 是正整数）积的乘方，等于各因数乘方的积。

4、同底数幂的除法法则：nm n m a a a -=÷（n m a ,,0≠都是正整数，且)n m同底数幂相除，底数不变，指数相减。

5、零指数和负指数；10=a ，即任何不等于零的数的零次方等于1。

p p a a 1=-（p a ,0≠是正整数），即一个不等于零的数的p -次方等于这个数的p 次方的倒数。

也可表示为：ppn m m n ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-（m ≠0，n ≠0，p 为正整数）6、单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

①积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值。

②相同字母相乘，运用同底数幂的乘法法则。

③只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式 ④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。

⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。

7、单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即mc mb ma c b a m ++=++)((c b a m ,,,都是单项式)①积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。

②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。

③在混合运算时，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项。

8、多项式与多项式相乘的法则；多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。

9、单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

10、多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的的商相加。

六年级数学下册第六章整式的乘法第2课时单项式与多项式相乘习题ppt课件鲁教版五四制

15．【中考·龙岩】先化简，再求值： 3(2x＋1)＋2(3－x)，其中x＝－1.
解：原式＝6x＋3＋6－2x＝4x＋9. 当x＝－1时，4x＋9＝4×(－1)＋9＝5.
16．已知ab2＝－1，求(－ab)(a2b5－ab3－b)的值．
解：(－ab)(a2b5－ab3－b)＝－a3b6＋a2b4＋ab2＝－ (ab2)3＋(ab2)2＋ab2. 当ab2＝－1时，原式＝－(－1)3＋(－1)2＋(－1)＝1.
6．今天数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：－3xy(4y－2x－1)＝－ 12xy2＋6x2y＋，的地方被钢笔水弄污了，你认为内应填写( A ) A．3xy B．－3xy C．－1 D．1
7．要使x(x＋a)＋3x－2b＝x2＋5x＋4成立，则a，b的值分别为( C ) A．a＝－2，b＝－2 B．a＝2，b＝2 C．a＝2，b＝－2 D．பைடு நூலகம்＝－2，b＝2
19．一张长方形硬纸片，长为(5a2＋4b2)m，宽为 6a4 m，在它的四个角上分别剪去一个边长为32a3 m 的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，请你求这个无盖盒子的表面积．
解：硬纸片的面积是(5a2＋4b2)·6a4＝30a6＋24a4b2(m2)，小正方形的面积是32a32＝94a6(m2)，则这个无盖盒子的表面积是 30a6＋24a4b2－4×94a6＝21a6＋ 24a4b2(m2)．
4．如果一个长方形的周长为10，其中长为a，那么该长方形的面积为( B ) A．10a B．5a－a2 C．5a D．10a－a2
5．下列计算错误的是( C ) A．－3x(2－x)＝－6x＋3x2 B．(2m2n－3mn2)(－mn)＝－2m3n2＋3m2n3 C．xy(x2y－xy2－1)＝x3y2－x2y3 D.25xn＋1－13yxy＝25xn＋2y－13xy2

2020-2021学年六年级数学鲁教版(五四制)下册《6.5整式的乘法》同步培优训练(附答案)

鲁教版2021年度六年级数学下册《6.5整式的乘法》同步培优训练（附答案）1．化简（x+4）（x﹣1）+（x﹣4）（x+1）的结果是（）A．2x2﹣8B．2x2﹣x﹣4C．2x2+8D．2x2+6x2．若（x2+x+b）•（2x+c）＝2x3+7x2﹣x+a，则a，b，c的值分别为（）A．a＝﹣15，b＝﹣3，c＝5B．a＝﹣15，b＝3，c＝﹣5C．a＝15，b＝3，c＝5D．a＝15，b＝﹣3，c＝﹣53．下列各式运算正确的是（）A．3y3•5y4＝15y12B．（ab5）2＝ab10C．（a3）2＝（a2）3D．（﹣x）4•（﹣x）6＝﹣x104．已知（x﹣m）（x+n）＝x2﹣3x﹣4，则m﹣n的值为（）A．1B．﹣3C．﹣2D．35．如果（x+1）（2x+m）的乘积中不含x一次项，则m为（）A．﹣2B．2C．D．6．下列计算错误的是（）A．（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+abB．（x+a）（x﹣b）＝x2+（a+b）x+abC．（x﹣a）（x+b）＝x2+（b﹣a）x+（﹣ab）D．（x﹣a）（x﹣b）＝x2﹣（a+b）x+ab7．已知：a+b＝2，ab＝﹣1，计算：（a﹣2）（b﹣2）的结果是（）A．1B．3C．﹣1D．﹣58．如果m2+m＝5，那么代数式m（m﹣2）+（m+2）2的值为（）A．14B．9C．﹣1D．﹣69．若（x+2）（x+a）＝x2+bx﹣8，则a b的值为．10．如图．现有正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼一个长为（a+3b），宽为（3a+2b）的大长方形，那么需要C类卡片的张数是．11．已知x2+x＝5，则代数式（x+5）（x﹣4）的值为．12．若计算（x﹣2）（3x+m）的结果中不含关于字母x的一次项，则m的值为．13．计算：＝．14．已知：x2﹣8x﹣3＝0，则（x﹣1）（x﹣3）（x﹣5）（x﹣7）的值是．15．计算：（x+y）（x2﹣xy+y2）＝．16．如果一个长方形的长是（x+2y）米，宽为（x﹣2y）米，则该长方形的面积是平方米．17．若M＝（x﹣2）（x﹣8），N＝（x﹣3）（x﹣7），则M﹣N＝．18．甲、乙两个长方形的边长如图所示（m为正整数），其面积分别为S1，S2．（1）请比较S1和S2的大小；（2）若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长之和，求该正方形的面积（用含m的代数式表示）．19．计算：（1）（2）（x﹣1）（2x+1）﹣2（x﹣5）（x+2）20．（1）如图，长方形ABCD的周长为16，四个正方形的面积和为68，求矩形ABCD的面积．（2）若（x2+nx+3）（x2﹣3x+m）的展开式中不含x2项和x3项，求m，n的值．21．（3a﹣b）（a+b）+（2a+3b）（2a﹣7b）．22．（x﹣2y）3﹣（x2﹣2xy+4y2）（x+2y）．23．欢欢与乐乐两人共同计算（2x+a）（3x+b），欢欢抄错为（2x﹣a）（3x+b），得到的结果为6x2﹣13x+6；乐乐抄错为（2x+a）（x+b），得到的结果为2x2﹣x﹣6．（1）式子中的a、b的值各是多少？（2）请计算出原题的正确答案．24．计算：（1）（x﹣2y）（x+2y﹣1）+4y2（2）（a2b）[（ab2）2+（2ab）3+3a2]．参考答案1．解：（x+4）（x﹣1）+（x﹣4）（x+1）＝x2+3x﹣4+x2﹣3x﹣4＝2x2﹣8，故选：A．2．解：∵（x2+x+b）•（2x+c）＝2x3+7x2﹣x+a，2x3+2x2+2bx+cx2+cx+bc＝2x3+7x2﹣x+a，2x3+（2+c）x2+（2b+c）x+bc＝2x3+7x2﹣x+a，∴2+c＝7，2b+c＝﹣1，bc＝a．解得c＝5，b＝﹣3，a＝﹣15．故选：A．3．解：A.3y3•5y4＝15y7，故本选项错误；B．（ab5）2＝a5b10，故本选项错误；C．（a3）2＝（a2）3，故本选项正确；D．（﹣x）4•（﹣x）6＝x10，故本选项错误；故选：C．4．解：（x﹣m）（x+n）＝x2+nx﹣mx﹣mn＝x2+（n﹣m）x﹣mn，∵（x﹣m）（x+n）＝x2﹣3x﹣4，∴n﹣m＝﹣3，则m﹣n＝3，故选：D．5．解：∵（x+1）（2x+m）＝2x2+2x+mx+m＝2x2+（2+m）x+m，又∵乘积中不含x的一次项，∴2+m＝0，解得m＝﹣2．故选：A．6．解：A、（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab，正确；B、应为（x+a）（x﹣b）＝x2+（a﹣b）x﹣ab，错误；C、（x﹣a）（x+b）＝x2﹣bx+ax﹣ab＝x2+（b﹣a）x﹣ab，正确；D、（x﹣a）（x﹣b）＝x2﹣（a+b）x+ab，正确．故选：B．7．解：∵a+b＝2，ab＝﹣1，∴原式＝ab﹣2a﹣2b+4＝ab﹣2（a+b）+4＝﹣1﹣4+4＝﹣1．故选：C．8．解：m（m﹣2）+（m+2）2＝m2﹣2m+m2+4m+4＝2m2+2m+4．当m2+m＝5时，原式＝2（m2+m）+4＝2×5+4＝10+4＝14．故选：A．9．解：∵（x+2）（x+a）＝x2+（2+a）x+2a，又∵（x+2）（x+a）＝x2+bx﹣8，∴x2+（2+a）x+2a＝x2+bx﹣8．∴2+a＝b，2a＝﹣8．∴a＝﹣4，b＝﹣2．∴a b＝（﹣4）﹣2＝＝．故答案为：．10．解：∵（a+3b）（3a+2b）＝3a2+11ab+6b2，∵一张C类卡片的面积为ab，∴需要C类卡片11张．故答案为：11．11．解：当x2+x＝5时，原式＝x2﹣4x+5x﹣20＝x2+x﹣20＝5﹣20＝﹣15，故答案为：﹣15．12．解：原式＝3x2+（m﹣6）x﹣2m，由结果不含x的一次项，得到m﹣6＝0，解得：m＝6，故答案为：613．解：原式＝﹣2x•＝﹣x3y4，故答案为：﹣x3y4，14．解：∵x2﹣8x﹣3＝0，∴x2﹣8x＝3（x﹣1）（x﹣3）（x﹣5）（x﹣7）＝（x2﹣8x+7）（x2﹣8x+15），把x2﹣8x＝3代入得：原式＝（3+7）（3+15）＝180．故答案是：180．15．解：原式＝x3﹣x2y+xy2+x2y﹣xy2+y3＝x3+y3，故答案为：x3+y3．16．解：∵长方形面积为长乘以宽，∴该长方形的面积＝（x+2y）（x﹣2y）＝x2﹣4y2平方米．故答案为：x2﹣4y2．17．解：∵M＝（x﹣2）（x﹣8），N＝（x﹣3）（x﹣7），∴M﹣N＝（x2﹣10x+16）﹣（x2﹣10x+21）＝﹣5，故答案：﹣5．18．解：（1）S1＝（m+1）（m+5）＝x2+6m+5，S2＝（m+2）（m+4）＝m2+6m+8，∵S1﹣S2＝m2+6m+5﹣（m2+6m+8）＝m2+6m+5﹣m2﹣6m﹣8＝﹣3＜0，∴S1＜S2．即甲的面积小于乙的面积；（2）甲乙两个长方形的周长和为：2（m+1+m+5+m+4+m+2）＝8m+24，正方形的边长为：（8m+24）÷4＝2m+6．该正方形的面积为：（2m+6）2＝4m2+24m+36．答：该正方形的面积为：4m2+24m+36．19．解：（1）＝＝﹣4x5y3+9x4y2﹣2x2y；（2）（x﹣1）（2x+1）﹣2（x﹣5）（x+2）＝2x2+x﹣2x﹣1﹣2（x2+2x﹣5x﹣10）＝2x2﹣x﹣1﹣2x2+6x+20＝5x+19．20．解：（1）设AB＝x，BC＝y，由题意得，∵长方形ABCD的周长为16，∴2（x+y）＝16，即x+y＝8 ①，又∵四个正方形的面积和为68，∴2x2+2y2＝68，即：x2+y2＝34 ②，①的两边平方得（x+y）2＝64，即x2+2xy+y2＝64，将②代入得，2xy＝30，∴xy＝15，即矩形ABCD的面积为15；（2）（x2+nx+3）（x2﹣3x+m）＝x4+（﹣3+n）x3+（m﹣3n+3）x2+（mn﹣9）x+3m，∵不含x2和x3项∴﹣3+n＝0，m﹣3n+3＝0，解得，m＝6，n＝3，答：m、n的值为6，3．21．解：（3a﹣b）（a+b）+（2a+3b）（2a﹣7b）＝3a2+3ab﹣ab﹣b2+4a2﹣14ab+6ab﹣21b2＝7a2﹣6ab﹣22b2．22．解：（x﹣2y）3﹣（x2﹣2xy+4y2）（x+2y）＝（x﹣2y）3﹣（x3+8y3）＝x3﹣6x2y+12xy2﹣8y3﹣x3﹣8y3＝﹣6x2y+12xy2﹣16y3．23．解：（1）根据题意可知，由于欢欢抄错了第一个多项式中的a的符号，得到的结果为6x2﹣13x+6，那么（2x﹣a）（3x+b）＝6x2+（2b﹣3a）x﹣ab＝6x2﹣13x+6，可得2b﹣3a＝﹣13 ①乐乐由于漏抄了第二个多项式中的x的系数，得到的结果为2x2﹣x﹣6，可知（2x+a）（x+b）＝2x2﹣x﹣6即2x2+（2b+a）x+ab＝2x2﹣x﹣6，可得2b+a＝﹣1 ②，解关于①②的方程组，可得a＝3，b＝﹣2；（2）正确的式子：（2x+3）（3x﹣2）＝6x2+5x﹣624．解：（1）原式＝（x﹣2y）（x+2y）﹣x+2y+4y2＝x2﹣4y2﹣x+2y+4y2＝x2﹣x+2y；（2）原式＝a2b（a2b4+8a3b3+3a2）＝a4b5+8a5b4+3a4b。

代数公式的知识点总结

代数公式的知识点总结一、整式的加减。

1. 单项式。

- 定义：由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式。

例如：3x，-2y，5，a等都是单项式。

- 系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。

例如在单项式3x中，系数是3；在单项式-(2)/(3)y中，系数是-(2)/(3)。

- 次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

例如单项式x^2y的次数是2 + 1=3。

2. 多项式。

- 定义：几个单项式的和叫做多项式。

例如2x+3y，x^2-2x + 1等都是多项式。

- 项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项。

例如在多项式x^2-2x+3中，x^2、-2x、3都是它的项，3是常数项。

- 次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。

例如多项式x^3-x^2+2的次数是3。

3. 整式。

- 单项式和多项式统称为整式。

4. 同类项。

- 定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。

几个常数项也是同类项。

例如3x^2y与-5x^2y是同类项，2与-7是同类项。

- 合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。

合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变。

例如3x^2y - 5x^2y=(3 - 5)x^2y=-2x^2y。

二、一元一次方程。

1. 方程。

- 定义：含有未知数的等式叫做方程。

例如2x+3 = 7，x - y=5等都是方程。

2. 一元一次方程。

- 定义：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程。

一般形式是ax + b = 0(a≠0)，例如3x+5 = 0就是一元一次方程。

- 解方程的步骤：- 去分母（若方程中有分母时）：根据等式的性质2，在方程两边同时乘以各分母的最小公倍数，将分母去掉。

例如对于方程(x+1)/(2)+(x - 1)/(3)=1，先找出2和3的最小公倍数6，然后方程两边同时乘以6得到3(x + 1)+2(x - 1)=6。

《整式的乘法与因式分解》(原卷版)

2022-2023学年人教版数学八年级上册章节考点精讲精练第14章《整式的乘法与因式分解》知识点01：幂的运算1.同底数幂的乘法：(为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加.2.幂的乘方： (为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘.3.积的乘方： (为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积.4.同底数幂的除法：(≠0, 为正整数，并且).同底数幂相除，底数不变，指数相减.m n ，m n ，n a m n ，m n 知识互联网知识导航5.零指数幂：即任何不等于零的数的零次方等于1.细节剖析:公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.知识点02：整式的乘法和除法1.单项式乘以单项式单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 2.单项式乘以多项式单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即(都是单项式).3.多项式乘以多项式多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即.细节剖析:运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：.4.单项式相除把系数、相同字母的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式. 5.多项式除以单项式先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加. 即：知识点03：乘法公式1.平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.细节剖析:在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相()010.a a =≠mc mb ma c b a m ++=++)(c b a m ,,,()()a b m n am an bm bn ++=+++()()()2x a x b x a b x ab ++=+++()am bm cm m am m bm m cm m a b c ++÷=÷+÷+÷=++22()()a b a b a b +-=-a b ，反项”的平方.2. 完全平方公式：；两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.细节剖析:公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.知识点04：因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等. 细节剖析:落实好方法的综合运用：首先提取公因式，然后考虑用公式；两项平方或立方，三项完全或十字；四项以上想分组，分组分得要合适；几种方法反复试，最后须是连乘式；因式分解要彻底，一次一次又一次.考点01：单项式乘多项式1．（2022秋•福州月考）若计算（3x 2+2ax +1）•（﹣3x ）﹣4x 2的结果中不含有x 2项，则a 的值为（） A ．2B ．0C ．﹣D ．﹣2．（2022秋•商水县月考）数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，李刚拿出课堂笔记复习，发现一道题：﹣4xy （3y ﹣2x ﹣3）＝﹣12xy 2□+12xy ，□的地方被墨水弄污了，你认为□内应填写（） A ．+8x 2yB ．﹣8x 2yC ．+8xyD ．﹣8xy 23．（2021秋•沐川县期末）已知A 是多项式，若A ×2xy ＝x 2y 2﹣2x 2y ﹣3xy 2，则A ＝．4．（2019秋•闵行区校级月考）今天数学课上，老师讲了单项式乘以多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记本复习，发现一道题：﹣3xy （4y ﹣2x ﹣1）＝﹣12xy 2+6x 2y +□，□的地方被墨水弄污了，你认为□处应填写．()2222a b a ab b +=++2222)(b ab a b a +-=-考点提优练5．（2021秋•廉江市期末）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下：×（﹣xy）＝3x2y﹣xy2+xy（1）求所捂的多项式；（2）若x＝，y＝，求所捂多项式的值．考点02：多项式乘多项式6．（2022秋•铁西区校级月考）若（x+3）（2x﹣m）＝2x2+nx﹣15，则（）A．m＝﹣5，n＝1 B．m＝﹣5，n＝﹣1 C．m＝5，n＝1 D．m＝5，n＝﹣17．（2022春•雁塔区校级期中）已知（x2+ax）（x2﹣2x+b）的乘积中不含x3和x2项，那么b﹣a＝（）A．﹣2 B．2 C．0 D．48．（2022春•温州期中）用如图所示的正方形和长方形卡片若干张，拼成一个长为3a+2b，宽为a+b的长方形，需要B类卡片（）张．A．3 B．4 C．5 D．69．（2022春•通川区期末）已知（x﹣m）（x2﹣2x+n）展开后得到多项式为x3﹣（m+2）x2+x+5，则n2+4m2的值为．10．（2022春•和平区校级月考）已知4x＝10，25y＝10，则（x﹣2）（y﹣2）+3（xy﹣1）的值为．11．（2022春•雅安期末）已知x≠1．观察下列等式：（1﹣x）（1+x）＝1﹣x2；（1﹣x）（1+x+x2）＝1﹣x3；（1﹣x）（1+x+x2+x3）＝1﹣x4；…（1）猜想：（1﹣x）（1+x+x2+x3+…+x n﹣1）＝；（2）应用：根据你的猜想请你计算下列式子的值：①（1﹣2）（1+2+22+23+24+25+26）＝；②（x﹣1）（x2022+x2021+x2020+…+x2+x+1）＝．（3）判断2100+299+298+…+22+2+1的值的个位数是几？并说明你的理由．12．（2022春•全椒县期末）数学课上，老师用图1中的一张边长为a的正方形纸片A，1张边长为b的正方形纸片B和2张宽与长分别为a与b的长方形纸片C，拼成了如图2所示的大正方形，观察图形并解答下列问题：（1）由图1和图2可以得到的等式为（用含a，b的等式表示）；（2）莉莉想用这三种纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+2b）的大长方形，求需A，B，C三种纸片各多少张；（3）如图3，S1，S2分别表示边长为p，q的正方形的面积，且A，B，C三点在一条直线上，S1+S2＝20，p+q＝6．求图中阴影部分的面积．考点03：同底数幂的除法13．（2022秋•渝中区校级月考）下列运算正确的是（）A．（x3）2＝x5B．3x2+2x2＝5x4C．x8÷x2＝x6D．（2xy）2＝2x2y214．（2022秋•兰考县月考）下列运算不正确的是（）A．a2•a3＝a5B．a5÷a＝a4C．a4﹣2a4＝﹣a4D．（﹣a2）3＝﹣a515．（2021秋•淮阳区期末）已知25a•52b＝5b，4b÷4a＝4，则代数式a2+b2值是．16．（2022春•东台市期中）已知a﹣2b﹣3c＝2，则2a÷4b×的值是．17．（2021春•毕节市期中）（1）已知3×9m×27m＝311，求m的值．（2）已知2a＝3，4b＝5，8c＝5，求8a+c﹣2b的值．18．（2021春•海州区校级期中）尝试解决下列有关幂的问题：（1）若9×27x＝317，求x的值；（2）已知a x＝﹣2，a y＝3，求a3x﹣2y的值；（3）若x＝×25m+×5m+，y＝×25m+5m+1，请比较x与y的大小．考点04：完全平方公式19．（2022春•北碚区校级期中）设a＝x﹣2020，b＝x﹣2022，c＝x﹣2021，若a2+b2＝56，则c2＝（）A．27 B．24 C．22 D．2020．（2022秋•工业园区校级月考）若A＝x2+2x﹣6y，B＝﹣y2+4x﹣11，则A、B的大小关系为（）A．A＞B B．A＜B C．A≥B D．A＝B21．（2022春•汉寿县期末）若x+y＝3，xy＝﹣5，则（x﹣y）2＝．22．（2022春•莱西市期中）小淇将（2018x+2019）2展开后得到a1x2+b1x+c1；小尧将（2019x﹣2018）2展开后得到a2x2+b2x+c2，若两人计算过程无误，则c1﹣c2的值为．23．（2022春•招远市期末）利用我们学过的知识，可以导出下面这个形式优美的等式：a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]，该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美．（1）请你检验这个等式的正确性；（2）若a＝2020，b＝2021，c＝2022，你能很快求出a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值吗？考点05：完全平方公式的几何背景24．（2022春•碑林区校级期末）如图，正方形ABCD的边长为x，其中AI＝5，JC＝3，两个阴影部分都是正方形且面积和为60，则重叠部分FJDI的面积为（）A．28 B．29 C．30 D．3125．（2022春•钱塘区期末）如图，边长为6的正方形ABCD中放置两个长和宽分别为a，b（a＜6，b＜6）的长方形，若长方形的周长为16，面积为15.75，则图中阴影部分面积S1+S2+S3＝．26．（2022春•皇姑区校级期中）图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．（1）图2中的阴影部分的正方形的边长等于；（2）观察图2写出三个代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系；（3）若mn＝﹣3，m﹣n＝5，则：①（m+n）2的值为；②m2+n2的值为；③m4+n4的值为．考点06：平方差公式27．（2022春•新城区校级期中）下列等式成立的是（）A．（﹣x﹣1）（﹣x﹣1）＝x2﹣2x+1B．（﹣x+1）（﹣x+1）＝﹣x2﹣2x+1C．（1+x）（﹣x+1）＝1﹣x2D．（﹣x+1）（﹣x﹣1）＝﹣x2﹣128．（2021秋•望城区期末）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么这个正整数就称为“智慧数”，例如：7＝7×1＝（4+3）×（4﹣3）＝42﹣32，7就是一个智慧数，8＝4×2＝（3+1）×（3﹣1）＝32﹣12，8也是一个智慧数，则下列各数不是智慧数的是（）A．2021 B．2022 C．2023 D．202429．（2022春•铁岭期中）若a2﹣b2＝﹣72，a﹣b＝12，则a+b的值为．30．（2021秋•如皋市期中）小丽在计算3×（4+1）×（42+1）时，把3写成（4﹣1）后，发现可以连续运用平方差公式进行计算．用类似方法计算：（1+）×（1+）×（1+）×（1+）+＝．31．（2022春•莲池区期末）阅读理解：我们知道，（a+b）2＝a2+2ab+b2，①（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，②①﹣②得：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab．所以．利用上面乘法公式的变形有时能简化计算，例如：．发现运用：根据阅读解答问题（1）利用上面乘法公式的变形填空：101×99＝（）2﹣（）2．（2）利用上面乘法公式的变形计算：9.2×10.8．（3）根据平方差公式可得：（m+2）（m﹣2）＝m2﹣22，请利用上面乘法公式的变形验证此等式成立．考点07：平方差公式的几何背景32．（2021秋•台江区期中）能够用如图中已有图形的面积说明的等式是（）A．a（a+4）＝a2+4a B．（a+4）（a﹣4）＝a2﹣16C．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4 D．（a+2） 2＝a2+4a+433．（2020秋•丛台区期末）如图，大正方形与小正方形的面积之差是40，则阴影部分的面积是．34．（2019秋•奈曼旗期末）如图1，将边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），将剩下的阴影部分沿图中的虚线剪开，拼接后得到图2，这种变化可以用含字母a，b的等式表示为．35．（2022春•潍坊期末）如图1，将边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形，然后将剩余部分拼成图2所示长方形．（1）上述操作能验证的等式是．A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C．a2﹣ab＝a（a﹣b）（2）应用你从（1）中选出的等式，完成下列各题：①已知x2﹣4y2＝18，x﹣2y＝3，求x+2y．②计算：（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）×……×（1﹣）×（1﹣）．考点08：提公因式法与公式法的综合运用36．（2021春•滦州市期末）下列因式分解正确的是（）A．x2﹣4＝（x+4）（x﹣4）B．x2+2x+1＝x（x+2）+1C．3mx﹣6my＝3m（x﹣6y）D．x2y﹣y3＝y（x+y）（x﹣y）37．（2012春•揭西县校级期中）下列各式：①4x2﹣y2；②2x4+8x3y+8x2y2；③a2+2ab﹣b2；④x2+xy﹣6y2；⑤x2+2x+3其中不能分解因式的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个38．（2022秋•岳麓区校级月考）把ab3﹣9ab分解因式的结果是．39．（2022•本溪模拟）把多项式ax2﹣4ay2分解因式的结果是．40．（2022春•江干区校级期中）（1）解方程组：．（2）因式分解①a2﹣6ab+9b2．②a2b﹣16b．考点09：因式分解-十字相乘法等41．（2022春•高新区校级期末）若多项式2x2+ax﹣6能分解成两个一次因式的积，且其中一个次因式2x﹣3，则a的值为（）A．1 B．5 C．﹣1 D．﹣542．（2019秋•天心区校级月考）把多项式（x﹣y）2﹣2（x﹣y）﹣8分解因式，正确的结果是（）A．（x﹣y+4）（x﹣y+2）B．（x﹣y﹣4）（x﹣y﹣2）C．（x﹣y﹣4）（x﹣y+2）D．（x﹣y+4）（x﹣y﹣2）43．（2022春•酒泉期末）阅读与思考：整式乘法与因式分解是方向相反的变形．由（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq得，x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）；利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式，例如：将式子x2+3x+2分解因式．分析：这个式子的常数项2＝1×2，一次项系数3＝1+2，所以x2+3x+2＝x2+（1+2）x+1×2．解：x2+3x+2＝（x+1）（x+2）请仿照上面的方法，解答下列问题：（1）分解因式：x2+7x+12＝；（2）分解因式：（x2﹣3）2+（x2﹣3）﹣2；（3）填空：若x2+px﹣8可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能的值是．44．（2021秋•顺城区期末）因式分解：（1）（a﹣b）2+4ab；（2）（m﹣4）（m+1）+3m．45．（2020秋•沂南县期末）先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．（1）分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：ax+by+bx+ay，x2+2xy+y2﹣1分组分解法：解：原式＝（ax+bx）+（ay+by）＝x（a+b）+y（a+b）＝（a+b）（x+y）解：原式＝（x+y）2﹣1＝（x+y+1）（x+y﹣1）（2）拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：x2+2x﹣3解：原式＝x2+2x+1﹣4＝（x+1）2﹣22＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：（1）分解因式：a2﹣b2+a﹣b；（2）分解因式：x2﹣6x﹣7．。

北师大版七年级下册数学《整式的乘法》整式的运算说课教学课件复习提高

例3 已知 xa＝2，xb＝3，求xa+b的值.
解：∵ xa＝2，xb＝3
xa+b=xa·xb
∴ xa+b＝ xa·xb＝2×3 ＝ 6．
变式：已知 xa+b ＝6， xb＝3，求 xa 的值. 延伸：已知 xa＝2，xb＝3，求x2a+3b的值.
解：∵ xa＝2，xb＝3 ∴ x2a+3b＝ x2a·x3b ＝(xa )2 ·(xb)3 ＝22×33 ＝ 108．
x2a+3b＝ x2a·x3b (xa )2 (xb)3
拓展：已知am ＝2，bm ＝5，求 ( a3b2)m的值．
解：∵ am ＝2，bm ＝5， ∴ (a3b2)m ＝a3m ·b2m ＝ (am)3 ·(bm)2 ＝23×52 ＝200
( a3b2)m =a3mb2m
a3m＝(am)3 b2m＝ (bm)2
学法指导
1. 在进行整式运算时，首先要正确把握运算顺序．在每一步的运算中，要看清运算类型，正确运用运算性质和法则．计算过程中，要时刻注意符号;
2. 乘法公式是本节的重点和难点，是计算和化简求值的重要工具，对公式及其之间的关系要清晰理解;
3. 各种运算性质和法则要能从正反两方面来理解，会灵活运用;
教学重难点
重点
准确熟练地运用整式的乘法运算法则进行计算．
难点
准确熟练地运用整式的乘法运算法则进行计算．
ac5 bc2的乘积是多少？
ac5 bc2
a bc5 c2
abc52 abc7
知识要点
单项式与单项式相乘，把他们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

北师大版七年级数学下册第一章整式的乘除(二) 讲义(无答案)

第一章整式的乘除（二）一、整式的乘法1. 单项式与单项式相乘：法则：把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．例：(-5a2b2)·(-4 b2c)·(-ab)= [(-5)×(-4)×(-1)]·(a2·a)·(b2·b2)·c=-30a3b4c2.单项式与多项式相乘法则：单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加．用字母表示：a(b+c+d)= ab + ac + ad例：= (-3x2)·(-x2)+(-3x2)·2 x一(-3x2)·1=3.多项式与多项式相乘法则：多项式与多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．用字母表示：( a+b)(c+d)= ac + ad + bc + bd例：(m+n)(a+b)= (m+ n)a+( m +n)b= ma+ na+mb+nb二、乘法公式1. 平方差公式：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。

（a＋b）（a－b）＝a2－b2例：①(x-4)(x+4) = ( )2 - ( )2 =________；②(-m+n )( m+n ) = ( ) ( )=___________________；③=( ) ( )=___________；④(2a+b+3)(2a+b-3) =( )2-( )2=______________= ；⑤(2a—b+3)(2a+b-3)=（）（）=( )2-( )2⑥ ( m +n )( m -n )( m 2+n 2 ) =( )( m 2+n 2 ) = ( )2 -( )2 =_______； ⑦ (x +3y )( ) = 9y 2-x 22. 完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）们的积的2倍。

(初二数学课件)人教版初中八年级数学上册第14章整式的乘法与因式分解14.3.1 提公因式法教学课件

人教版数学八年级上册
14.3 因式分解
14.3.1 提公因式法
导入新知
我们知道，利用整式的乘法运算，可以将
几个整式的积化为一个多项式的形式，反过来，
能不能将一个多项式化成几个整式的积的形式
呢？若能，这种变形叫做什么呢？
素养目标
3. 会利用因式分解进行简便计算.
2. 理解并掌握提公因式法并能熟练地运用
整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法.
探究新知
解：(1) 8a3b2 + 12ab3c
=4ab2 ·2a2+4ab2 ·3bc
如果提出公因式
4ab，另一个因式
是否还有公因式？
=4ab2(2a2+3bc)；
另一个因式将是2a2b+3b2c，它还有公因式是b.
(2) 2a(b+c)–3(b+c)
pa+pb+pc
相同因式p
x2＋x
相同因式x
多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项
式的公因式.
探究新知
pa+ pb +pc = p ( a+b+c )
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以
把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与
另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法
叫做提公因式法.
探究新知
最后不是积的运算
② 24x2y=3x ·8xy 因式分解的对象是多项式
③ x2–1=(x+1)(x–1)
④ (2x+1)2=4x2+4x+1 是整式乘法
⑤
x2+x=x2(1+
1
)
x

[原创] 数学第一部分第一章第2讲第1课时整式[配套课件]

解：(x－y)2－(x－2y)(x＋y)＝x2－2xy＋y2－x2＋xy＋2y2＝－xy＋3y2. 当 x＝14，y＝－4 时，原式＝－14×(－4)＋3×(－4)2＝49. [名师点评]本题考查的是整式的混合运算，掌握完全平方公式、多项式乘多项式法则是解题吉林)先化简，再求值：(x＋2)(x－2)＋x(4－x)，其中 x＝14. 解：(x＋2)(x－2)＋x(4－x)＝x2－4＋4x－x2＝4x－4，当 x＝14时，原式＝4×14－4＝1－4＝－3.
B.(－4)0＝1 D.(－5)4÷(－5)2＝－52
答案：B
4.(2016 年广东)已知方程 x－2y＋3＝8，则整式 x－2y 的值
为( )
A.5
B.10
答案：A
C.12
D.15
5.(2014年广东)计算：2x3÷x＝________. 答案：2x2 6.(2014 年广东)计算： 9＋|－4|＋(－1)0－12－1. 解：原式＝3＋4＋1－2＝6. 7.(2012 年广东)先化简，再求值：(x＋3)(x－3)－x(x－2)，其中 x＝4.
B.(a2)3＝a5
C.a2＋3a2＝4a4
D.a4÷a2＝a2
答案：D
整式运算
5.(2016年广东深圳)下列运算正确的是( )
A.8a－a＝8
B.(－a)4＝a4
C.a3×a2＝a6
D.(a－b)2＝a2－b2
答案：B
6.(2016年湖北荆门)下列运算正确的是( )
A.a＋2a＝2a2
B.(－2ab2)2＝4a2b4
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
第2讲整式与分式
第1课时整式
1.能借助现实情境了解代数式，进一步理解用字母表示数的意义.

第十四章整式的乘法与因式分解大单元(教案)

-练习：提供不同类型的因式分解题目，训练学生灵活运用方法。
2.教学难点
（1）多项式乘法的运算顺序和法则记忆。
-难点分析：学生容易混淆不同类型的乘法法则，忘记分配律。
-解决方法：通过直观图示和反复练习，加深记忆。
（2）完难点分析：学生难以区分两个公式，以及何时使用哪个公式。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了整式的乘法与因式分解的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这些知识点的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决数学问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
-练习：应用完全平方公式进行乘法和因式分解。
（3）平方差公式：a^2-b^2=(a+b)(a-b)。
-举例：解释公式中a和b的含义，展示公式的应用。
-练习：设计平方差公式的应用题目，加强理解。
（4）因式分解方法：提公因式法、公式法、十字相乘法。
-举例：详细讲解每种方法的步骤，如提取公因式时如何找到最大公因式。
第十四章整式的乘法与因式分解大单元（教案）
一、教学内容
第十四章整式的乘法与因式分解大单元（教案）
1.多项式乘以多项式
-乘法法则
-举例说明
-练习
2.单项式乘以多项式
-乘法法则
-举例说明
-练习
3.多项式乘以单项式
-乘法法则
-举例说明
-练习
4.完全平方公式
-公式推导
-应用实例
-练习
5.平方差公式
-公式推导
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。

湘教版七年级下册数学第2章整式的乘法运用乘法公式进行计算(2)

解：设这个正方形的边长是 x 厘米，由题意，得(x＋4)2－x2＝40，解得 x＝3. 答：这个正方形的边长是 3 厘米．
14．我们知道，(k＋1)2＝k2＋2k＋1，变形得(k＋1)2－k2＝2k＋1，对上面的等式，依次令 k＝1，2，3，…，得第 1 个等式：22－12＝2×1＋1；第 2 个等式：32－22＝2×2＋1；第 3 个等式：42－32＝2×3＋1； ….
…，
(n＋1)2－n2＝2n＋1，
所以①＋②＋③＋…＋，
得(n＋1)2－12＝2(1＋2＋3＋…＋n)＋n，即 n2＋2n＝2S1＋n， n2＋n
所以 S1＝ 2 .Fra bibliotek15．先仔细阅读材料，再尝试解决问题：完全平方公式(x±y)2＝x2±2xy＋y2 及(x±y)2 的值恒为非负数的特点在数学中有着广泛的应用，比如探求多项式 2x2＋ 12x－4 的最小值时，我们可以这样处理：解：原式＝2(x2＋6x－2)＝2(x2＋6x＋9－9－2) ＝2[(x＋3)2－11]＝2(x＋3)2－22. 因为无论 x 取什么数，(x＋3)2 的值都为非负数，
12．解方程： 2x(x－1)－(x－4)(x＋4)＝(x＋2)2.
解：2x(x－1)－(x－4)(x＋4)＝2x2－2x－x2＋16 ＝x2－2x＋16.(x＋2)2＝x2＋4x＋4. 故原方程可化为 6x＝12. 解得 x＝2.
13.如果一个正方形的边长增加 4 厘米，那么它的面积就增加 40 平方厘米，这个正方形的边长是多少？
所以(x＋3)2 的最小值为 0，此时 x＝－3，进而 2(x＋3)2－22 的最小值是 2×0－22＝－22，所以原多项式的最小值是－22. 请根据上面的解题思路，探求多项式 3x2－6x＋12 的最小值是多少，并写出相应的 x 的值．

整式的乘法和因式分解知识点汇总

整式的乘法和因式分解知识点汇总整式乘除与因式分解在研究代数的过程中，整式乘除与因式分解是非常重要的知识点。

下面将对这些知识点进行详细讲解。

一．幂的运算性质幂的运算性质是代数中最基本的知识之一。

其中，同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘。

例如，对于表达式(－2a)2(－3a2)3，可以先计算幂的乘方，然后再将同底数幂相乘。

二．乘方的运算乘方的运算也是代数中的基本知识。

根据乘方的运算法则，积的乘方等于各因式乘方的积。

例如，对于表达式(－a5)5，可以将其分解为a的5次方的积，然后再进行乘方运算。

三．同底数幂的除法同底数幂的除法也是代数中的基本知识之一。

根据同底数幂的除法法则，同底数幂相除，底数不变，指数相减。

例如，对于表达式x÷x，可以将其化简为x的0次方，即1.四．零指数幂和负指数幂在代数中，零指数幂和负指数幂也是非常重要的概念。

任何一个不等于零的数的零指数幂都等于1；任何一个不等于零的数的负指数幂，等于这个数的指数幂的倒数。

例如，对于表达式(2a3b)1，可以通过代数式的运算，求出a和b的取值范围。

五．单项式和多项式的乘法单项式和多项式的乘法也是代数中的基本知识之一。

对于单项式相乘，需要将系数和同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

对于单项式与多项式相乘，需要用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加。

对于多项式与多项式相乘，需要先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加。

通过对整式乘除与因式分解的研究，可以更好地理解代数的基本概念和运算法则，为后续的研究打下坚实的基础。

1.计算 (3×10^8)×(-4×10^4) = -1.2×10^132.计算 2x·(-2xy)·(-3) = 12x^2y3.若n为正整数，且x^(2n)=3，则(3x^(3n))^2的值为 274.如果 (anb·abm)^3 = a^9b^15，那么 mn 的值是 55.-[-a^2(2a^3-a)] = 2a^5 - a^36.(-4x^2+6x-8)·(-1/2x) = 2x^3-3x^2+4x7.2n(-1+3mn^2) = -6mn^2+2n8.若 k(2k-5)+2k(1-k) = 32，则 k = 49.(-3x^2)+(2x-3y)(2x-5y)-3y(4x-5y) = -10x^2+31xy-15y^210.在 (ax^2+bx-3)(x^2-x+8) 的结果中不含 x^3 和 x 项，则a = 1/2，b = -311.一个长方体的长为 (a+4)cm，宽为 (a-3)cm，高为(a+5)cm，则它的表面积为 2a^2+22a+32，体积为 (a+4)(a-3)(a+5) = a^3+6a^2-7a-60.若将长方形的长和都扩大了2cm，则面积增大了 8cm^2.12.一个长方形的长是 10cm，宽比长少6cm，则它的面积是 40cm^2.当长和都扩大了2cm时，面积增大了 44cm^2.13.单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式。

整式的乘法教案

•••••••••••••••••整式的乘法教案整式的乘法教案作为一名优秀的教育工作者，常常需要准备教案，借助教案可以有效提升自己的教学能力。

我们应该怎么写教案呢？以下是小编为大家整理的整式的乘法教案，仅供参考，大家一起来看看吧。

整式的乘法教案篇1一、内容和内容解析1、内容：同底数幂的乘法。

2、内容解析同底数幂的乘法是幂的一种运算，在整式乘法中具有基础地位。

在整式的乘法中，多项式的乘法要转化为单项式的乘法，单项式的乘法要转化为幂的运算，而幂的运算以同底数幂的乘法为基础。

同底数幂的乘法将同底数幂的乘法运算转化为指数的加法运算，其中底数a可以是具体的数、单项式、多项式、分式乃至任何代数式。

同底数幂的乘法是类比数的乘方来学习的，首先在具体例子的基础上抽象出同底数幂的乘法的性质，进而通过推理加以推导，这一过程蕴含数式通性、从具体到抽象的思想方法。

基于以上分析，确定本节课的教学重点：同底数幂的乘法的运算性质。

二、目标和目标解析1、目标（1）理解同底数幂的乘法，会用这一性质进行同底数幂的乘法运算。

（2）体会数式通性和从具体到抽象的思想方法在研究数学问题中的作用。

2、目标解析达成目标（1）的标志是：学生能根据乘方的意义推导出同底数幂乘法的性质，会用符号语言和文字语言表述这一性质，会用性质进行同底数幂的乘法运算。

达成目标（2）的标志学生发现和推导同底数幂的乘法的运算性质，会用符号语言，文字语言表述这一性质，能认识到具体例子在发现结论的过程中所起的`作用，能体会到数式通性在推到结论的过程中的重要作用。

三、教学问题诊断分析在前面的学习中，学生已经学习了用字母表示数以及整式的加减运算，但是用字母表示幂以及幂的运算还是初次接触。

幂的运算抽象程度较高，不易理解，特别对于am+n的指数的理解，因为它不仅抽象程度较高，而且运算结果反映在指数上，学生第一次接触，也很难理解。

教学时，应引导学生回顾乘方的意义，从数式通性的角度理解字母表示的幂的意义，进而明确同底数幂乘法的运算性质。

整式的乘法知识点总结—

八年级14.1整式的乘法知识点总结【知识点一】整式的混合运算例题一、计算：()()()2443][-a a a a -+-∙∙例题二、计算：3222132213⎪⎭⎫ ⎝⎛-∙⎪⎭⎫ ⎝⎛-+xy y y x例题三、计算：()()()()y x y x y x y x 4333223+--++【知识点二】利用幂的运算法则解决问题例题一、已知510=a ，610=b ，求b a 3210+的值。

例题二、解方程：486331222=-++x x例题三、已知0352=-+y x ，求y x 324∙的值。

【知识点三】整式除法的运用例题一、已知()p n y mx y x y x 72323212--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷，求n,m,p 的值。

例题二、已知一个多项式与单项式457-y x 的积为()2234775272821y x y y x y x +-，求这个多项式【知识点四】整式化简求值例题一、先化简，再求值：()()()x x x x x x x x -+-----321589622，其中61-=x例题二、先化简，再求值：()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛--++--+-y x x y x x y x y x 2563222，其中2,1=-=y x .【知识点五】开放探求题例题一、若多项式()()4322+-++xxnmxx展开后不含有3x项和2x项，试求m,n的值。

例题二、甲乙二人共同计算一道整式乘法：()()bxax++32，由于甲抄错了第一个多项式中a的符号，得到的结果为101162-+xx；由于乙漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果为10922+-xx。

（1）你能知道式子中b a,的值各是多少吗？（2）请你计算出这道整式乘法的正确结果。

例题三、若x是整数，求证121223+-+--x x xxx是整数。

【知识点六】整式乘除法在实际问题中的应用例题一、某中学扩建教学楼，测量地基时，量得地基长为2a m，宽为（2a-24）m，试用a表示地基的面积，并计算当a=25时地基的面积例题二、大庆市环保局欲将一个长为2×103dm，宽为4×102dm，高为8×10dm的长方体废水池中的满池废水注入正方体贮水池净化，（1）请你考虑一下，这些废水能否刚好装满一个正方体贮水池________.（请填“能”或“不能”）（2）若能，则该正方体贮水池的棱长_________dm；（3）若不能，你能说出理由吗？（不要求作答）例题三、太阳可以近似的看作是球体，如果用V 、R 分别代表球的体积和半径，那么34 V π3R ，太阳的半径约为6×105千米，它的体积大约是多少立方千米？（π取3）。

初中数学整式的乘法(含答案)

第一讲整式乘除1.1 整式的乘法◆赛点归纳整式的乘法包括单项式以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式等内容．◆解题指导例1（2001，全国竞赛）若a，b是正数，且满足12345=（111+a）（111－b），则a 与b•之间的大小关系是（）．A．a>b B．a=b C．a<b D．不能确定【思路探究】由题设易得乘积式111（a－b），若能说明111（a－b）>0，即可比较a•与b的大小．这可利用多项式乘法推得．例2求在展开（5a3－3a2b+7ab2－2b3）（3a2+2ab－3b2）中，a3b2和a2b3的系数．【思路探究】若根据多项式乘以多项式法则直接运算，计算量就比较大；若用竖式计算，就很方便．【思维误区】有位同学这样解答例2，你认为对吗？【解】5 -3 7 -1×) 3 2 -3________________________________________________-15 +9 -21 +6+10 -6 +14 -4+) +15 -9 +21 -6___________________________________________________+15 +1 0 +17 -25 +6∴原式=15a5+a4b+17a2b3－25ab4+6b5．因为展开后的多项式没有a3b2项，所以a3b2系数不存在，a2b3的系数为17．例3 （2001，武汉市竞赛）若3x3－x=1，则9x4+12x3－3x2－7x+2001的值等于（）．A．1999 B．2001 C．2003 D．2005【思路探究】显然是无法直接代入求值的，必须将要求的代数式经过变形，使之含有3x3－x－1的乘积的代数和的形式，再求其值就不难了．例4 （2002，黄冈市竞赛）已知m、n互为相反数，a、b互为负倒数，x•的绝对值等于3，则x3－（1+m+n+ab）x2+（m+n）·x2001+（－ab）2002的值等于________．【思路探究】要求此多项式的值，显然不能直接运用多项式乘法展开它，由题设可知，多项式（1+m+n+ab）、（m+n）与（－ab）都等于特殊值．例5 （2000，“希望杯”，初二）已知多项式2x2+3xy－2y2－x+8y－6•可以分解为（•x+2y+m）（2x－y+n）的形式，那么3211mn+-的值是______．【思路探究】由题设可知，两个一次三项式的积等于2x2+3xy－2y2－x+8y－6．•根据多项式恒等的条件可列出关于m、n的二元一次方程组，进而不难求出m、n的值．【拓展题】按下面规则扩充新数：已知a和b两数，可按规则c=ab+a+b扩充一个新数，而a，b，c•三个数中任取两数，按规则又可扩充一个新数，……，每扩充一个新数叫做一次操作．现有数1和4．（1）求按上述规则操作三次得到的最大新数；（2）能否通过上述规则扩充得到1999，并说明理由．◆探索研讨在求解整式乘法比较复杂的相关问题时，运用整式乘法法则进行计算或求解相关问题，一般不宜直接运用整式乘法法则，请结合本节例题，总结自己的发现．◆能力训练1．已知m2+m－1=0，那么代数式m3+2m2－1997的值是（）．A．1997 B．－1997 C．1996 D．－19962．若19a+98b=0，则ab是（）．A．正数B．非正数C．负数D．非负数3．（2002，“希望杯”，初二）已知a>b>c，M=a2b+b2c+c2a，N=ab2+bc2+ca2，则M与N的大小关系是（）．A ．M<NB ．M>NC ．M=ND ．不能确定4．（2001，山东省竞赛）某商店经销一批衬衣，进价为每件m•元，•零售价比进价高a%，后因市场的变化，该店把零售价调整为原来零售价的b%出售，•那么调价后每件衬衣的零售价是（）．A ．m （1+a%）（1－b%）元B ．ma%（1－b%）元C ．m （1+a%）b%元D ．m （1+a%b%）元5．若a=199519951996199619971997,,199619961997199719981998b c ==，则（）． A ．a<b<c B ．b<c<a C ．c<b<a D ．a<c<b6．若n 是奇自然数，a 1，a 2，…，a n 是n 个互不相同的负整数，则（）．A ．（a 1+1）（a 2+2）…（a n +n ）是正整数B ．（a 1－1）（a 2－2）…（a n －n ）是正整数C ．（11a +1）（21a +2） (1)a +n ）是正数 D ．（1－11a ）（2－21a ）…（n －1n a ）是正数 7．（x ，y ）称为数对，其中x ，y 都是任意实数，定义数对的加法，乘法运算如下：（x 1，y 1）+（x 2，y 2）=（x 1+x 2，y 1+y 2），（x 1，y 1）·（x 2，y 2）=（x 1x 2－y 1y 2，x 1y 2+y 1x 2）．则不成立的运算规律是（）．A ．乘法交换律：（x 1，y 1）·（x 2，y 2）=（x 2，y 2）·（x 1，y 1）B ．乘法结合律：（x 1，y 1）（x 2，y 2）·（x 3，y 3）=（x 1，y 1）（（x 2，y 2）·（x 3，y 3））C ．乘法对加法的分配律：（x ，y ）·（（x 1，y 1）+（x 2，y 2））=（（x ，y ）·（x 1，y 1））+（（x ，y ）·（x 2，y 2））D ．加法对乘法的分配律：（x ，y ）+（（x 1，y 1）·（x 2，y 2））=（（x ，y ）+（x 1，y 1））·（（x ，y ）+（x 2，y 2））8．计算：（3x+9）（2x－5）=________．9．若m=－1998，则│m2+11m－999│－│m2+22m+999│+20=______．10．若x3+x2+x+1=0，则y=x97+x98+…+x103的值是_____．11．如果（1－3x）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，那么│a1│+│a2│+│a3│+│a4│+│a5│的值为_________．12．已知a，b，c，d是四个不同的有理数，且（a+c）（a+d）=1，（b+c）（b+d）=1，则（a+c）（b+c）的值为________．13．已知A，B，C，D为一直线上的顺次四点，且AC=10，BD=8，求AB·CD+BC·AD的值．14．计算：（12+13+…+12002）（1+12+…+12001）－（1－12+…+12002）（12+13+…+12001）．15．在（x2－ax+b）（ax2+x－b）的展开式中，x2的系数是1，x的系数是9，求整数a和b 的值．16．已知3n+11m能被10整除，试证：3n+4+11m+2也能被10整除．答案:解题指导例1 A [提示：∵12345=（111+a ）（111－b ）=1112+111（a －b ）－ab ，∴111（a －b ）=12345－1112+ab=24+ab ．∵a>0，b>0，∴ab>0．∴24+ab>0，即a －b>0，∴a>b ．]例2 a 3b 2的系数为0，a 2b 3的系数为17．例3 D [提示：由已知有3x 3－x －1=0，9x 4+12x 3－3x 2－7x+2001=3x （3x 3－x －1）+4（3x 3－x －1）+2005=2005．若将3x 3－x=1代入，如何求？]例4 28或－26． [提示：∵m 、n 互为相反数，∴m+n=0．∵a 、b 互为负倒数，∴ab=－1．∴x 3－（1+m+n+ab ）x 2+（m+n ）x 2001+（－ab ）2002=x 3－（1+0－1）x 2+0+[－（－1）] 2002=x 3+1=±│x│3+1=28(3),26(3).x x =⎧⎨-=-⎩] 例5 －78． [提示：由题意知（x+2y+m ）（2x －y+n ）=2x 2+3xy －2y 2－x+8y －6．又（x+2y+m ）（2x －y+n ）=2x 2+3xy －2y 2+（2m+n ）x+（2n －m ）y+nm ，根据多项式恒等的条件，得3221,2,1728, 3.186.m n m m n m n n mn +=-⎧=-⎧+⎪-==-⎨⎨=-⎩⎪=-⎩解得故．] 【拓展题】（1）第一次只能得到1×4+4+1=9．若要求最大新数，第二次应取4和9，得到4×9+4+9=49．同理，第三次取9和49，得9×49+9+49=499．则499就是扩充三次的最大数．（2）∵c=ab+a+b=（a+1）（b+1）－1，∴c+1=（a+1）（b+1）．取数a和c可得新数d=（a+1）（c+1）－1，∴d+1=（a+1）（c+1）=（a+1）（a+1）（b+1）=（a+1）2（b+1）．取数b和c可得新数e=（b+1）（c+1）－1，k∴e+1=（b+1）（c+1）=（b+1）（a+1）（b+1）=（b+1）2（a+1）．设扩充后的新数为x，则总存在x+1=（a+1）m·（b+1）n（m、n为正整数）．当a=1，b=4时，x+1=2m×5n，又1999+1=2000=24×53，∴1999可以通过上述规则扩充得到．能力训练1．D [提示：由m2+m－1=0，知m2+m=1，∴m3+2m2－1997=m（m2+m）+m2－1997=m+m2－1997=－1996．]2．B [提示：由19a+98b=0，得a=－9819b，ab=9819－b2≤0．]3．B [提示：证明M－N>0．]4．C [提示：由题意知，每件衬衣进价为m元，零售价比进价高a%，•那么零售价是m+ma%元，后又调整为原来零售价的b%出售，那么调整后每件衬衣的零售价为m（1+a%）×b%]5．A [提示：设A=19951995，B=19961996，C=19971997，D=•19981998，•则有B=•A+10001，C=B+10001，D=C+10001．∴（B+10001）（B －10001）=B 2－100012，即C·A=B 2－100012． ∴C·A<B 2．由于B 、C 均为正数，所以1995199519961996,1996199619971997A B B C <<即．同理，可以得到1996199619971997,1997199719981998B C C D <<即．] 6．D [提示：a 1，a 2，…a n 是n 个互不相同的负整数，其中n 是奇自然数，若a 1=－1，a 1+1=0，则（a 1+1）（a 2+2）…（a n +n ）=0，排除A ；若a 1=－1，a 2=－2，a 3=－3，…，a n =－n ，则（a 1－1）（a 2－2）…（a n －n ）=（－2）（－4）（－6）…（－2n ）=（－1）n 2×4×6×…×（2n ）<0．因为n 是奇数，故排除B ；若a 1=－1，+1=0，则（11a +1）.（21a +2） (1)a +n ）=0，又排除C ．如果运用直接证法，如何证明？]7．D [提示：易见乘法交换律成立．由（（x 1，y 1）·（x 2，y 2））·（x 3，y 3）=（x 1x 2－y 1y 2，x 1y 2+y 1x 2）·（x 3，y 3）=（x 1x 2x 3－y 1y 2x 3－x 1y 2y 3－y 1x 2y 3，x 1x 2y 3－y 1y 2y 3+x 1y 2x 3+y 1x 2x 3=（x 1，y 1）·（x 2x 3－y 2y 3，x 2y 3+y 2x 3）=（x 1，y 1）·（（x 2，y 2）·（x 3，y 3）），知乘法结合律成立．由（x ，y ）·（（x 1，y 1）+（x 2，y 2））=（x ，y ）·（x 1+x 2，y 1+y 2）=（x （x 1+x 2）－y （y 1+y 2），x （y 1+y 2）+y （x 1+x 2））=（xx 1－yy 1，xy 1+yx 1）+（xx 2－yy 2，xy 2+yx 2）=（（x ，y ）·（x 1，y 1））+（（x ，y ）·（x 2，y 2））．知乘法对加法的分配律成立．由（1，0）+（1，0）·（1，0）=（1，0）+（1，0）=（2，0）≠（2，0）·（2，0）=（（1，0）+（1，0））·（（1，0）+（1，0）），知加法对乘法的分配律不成立．]8．6x2+3x－45．9．20000．[提示：∵m=－1998，∴m+11=－1987，m+22=－1976．∴m2+11m=m（m+11）=1998×1987．∴m2+11m－999>0．∵m2+22m=m（m+22）=1998×1976，∴m2+22m+999>0．∴│m2+11m－999│－│m2+22m+999│+20=（m2+11m－999）－（m2+22m+999）+20=11m－999－22m－999+20=－11m－1998+20=（－1998）（－11）－1998+20=20000．]10．－1．[提示：由已知，得x4=1．∴y=x97+x98+…+x103=x97（1+x+x2+x3）+x101（1+x+x2+x3）－x104=－（x4）26=－1．]11．1023．[提示：易知a1，a3，a5均小于0，a2，a4均大于0，取x=－1时，a0－a1+a2－a3+a4－a5=45，∴－a1+a2－a3+a4－a5=1023．]12．－1．[提示：设a+b+c+d=m，a+c=x，b+c=y，则a+d=m－y，b+d=m－x，由已知得x（m－y）=y（m－x），即mx－my=0，∴m（x－y）=0，又a，b，c，d互不相同，①②∴a+c≠b+c ，即x≠y ． ∴m=0．又x （m －y ）=1， ∴－xy=1．故（a+c ）（b+c ）=xy=－1．]13．设BC=x ，则AB=10－x ，CD=8－x ，AD=18－x ．∴AB·CD+BC·AD=（10－x ）（8－x ）+x （18－x ）=80．14．设12+13+…+12001=a ，则原式=（a+12002）（1+a ）－（1+a+12002）a=12002． 15．由条件知1,9.ab b a ab b --=⎧⎨+=⎩ 由①得（a －1）（b －1）=2，因为a 、b 是整数，于是 11,12,11,12,1211121 1.a a a a b b b b -=-=-=--=-⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨-=-=-=--=-⎩⎩⎩⎩或或或由②检验知a=2，b=3．16．3n+4+11 m+2=3 4×3 n +11 2×11 m =81×3 n +121×11 m =80×3 n +120×11 m +（3 n +11 m ）．∵10│80×3 n ，10│120×11 m ，10│3 n +11 m ，∴10│（80×3 n +120×11 m +（3 n +11 m ）），即10│（3 n+4 +11 m+2）．。

专题15 整式的乘法-重难点题型(举一反三)(学生版)

专题整式的乘法-重难点题型【【例1】（2021•开平区一模）已知等式（x+p）（x+q）＝x2+mx+36（p，q为正整数），则m的值不可能是（）A．37B．13C．20D．36【变式1-1】（2021春•潍坊期末）若（x+a）（x﹣5）＝x2+bx﹣10，则ab﹣a+b的值是（）A．﹣11B．﹣7C．﹣6D．﹣55【变式1-2】（2020秋•播州区期末）若x+y＝2，xy＝﹣1，则（1﹣2x）（1﹣2y）的值是．【变式1-3】（2021春•江都区期中）在计算（2x+a）（x+b）时，甲错把b看成了6，得到结果是：2x2+8x﹣24；乙错把a看成了﹣a，得到结果：2x2+14x+20．（1）求出a，b的值；（2）在（1）的条件下，计算（2x+a）（x+b）的结果．【题型2 整式乘法中的不含某项问题】【例2】（2021春•蜀山区校级期中）关于x的代数式（mx﹣2）（2x+1）+x2+n化简后不含有x2项和常数项．（1）分别求m，n的值．（2）求m2020n2021的值．【变式2-1】（2021春•通川区校级月考）若多项式x2+mx﹣8和x2﹣3x+n的的乘积中不含x2和x3的项，求m+n的值．【变式2-2】（2021春•金牛区校级月考）已知（x3+mx+n）（x2﹣3x+4）展开式中不含x3和x2项．（1）求m、n的值；（2）当m、n取第（1）小题的值时，求（m+n）（m2﹣mn+n2）的值．【变式2-3】（2021春•太湖县期末）【知识回顾】七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式ax﹣y+6+3x﹣5y﹣1的值与x的取值无关，求a的值”，通常的解题方法是：把x、y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式＝（a+3）x﹣6y+5，所以a+3＝0，则a＝﹣3．【理解应用】（1）若关于x的多项式（2x﹣3）m+2m2﹣3x的值与x的取值无关，求m值；（2）已知A＝（2x+1）（x﹣1）﹣x（1﹣3y），B＝﹣x2+xy﹣1，且3A+6B的值与x无关，求y的值；【能力提升】（3）7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为S1，左下角的面积为S2，当AB的长变化时，S1﹣S2的值始终保持不变，求a与b的等量关系．【题型3 整式乘法的计算】【例3】（2020秋•河北区期末）计算：（1）−12x2y⋅(13x3y2−34x2y+16)（2）（x﹣1）（2x+1）﹣2（x﹣5）（x+2）【变式3-1】（2021春•九龙坡区校级期中）计算：（1）2x2y（x−12y+1）；（2）（x﹣2y）（y﹣x）．【变式3-2】（2021春•海陵区校级月考）计算：（1）﹣3x2（2x﹣4y）+2x（x2﹣xy）．（2）（3x+2y）（2x﹣3y）﹣3x（3x﹣2y）．【变式3-3】（2021春•未央区月考）小奇计算一道整式的混合运算的题：（x﹣a）（4x+3）﹣2x，由于小奇将第一个多项式中的“﹣a”抄成“+a”，得到的结果为4x2+13x+9．（1）求a的值．（2）请计算出这道题的正确结果．【题型4 整式乘法的应用】【例4】（2021春•铁西区期中）有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动减去a，同时B区就会自动加上3a，且均显示化简后的结果．已知A，B两区初始显示的分别是25和﹣16（如图所示）．例如：第一次按键后，A，B两区分别显示：25﹣a，﹣16+3a．（1）那么第二次按键后，A区显示的结果为，B区显示的结果为．（2）计算（1）中A、B两区显示的代数式的乘积，并求当a＝2时，代数式乘积的值．【变式4-1】（2021春•碑林区校级期中）为迎接十四运，某小区修建一个长为（3a﹣b）米，宽为（a+2b）米的长方形休闲场所ABCD．长方形内筑一个正方形活动区EFGH和连接活动区到矩形四边的四条笔直小路（如图），正方形活动区的边长为（a﹣b）米，小路的宽均为2米．活动区与小路铺设鹅卵石，其它地方铺设草坪．（1）求铺设草坪的面积是多少平方米；（2）当a＝10，b＝4时，需要铺设草坪的面积是多少？【变式4-2】（2021春•成都期末）（1）如图是小颖家新房的户型图，小颖的爸爸打算把两个卧室以外的部分都铺上地砖，至少需要多少平方米的地砖？如果某种地砖的价格为每平方米a元，那么购买地砖至少需要多少元？（2）如果房屋的高度是h米，现在需要在客厅和两个卧室四周的墙上贴墙纸，那么至少需要多少平方米的墙纸？如果某种墙纸的价格为每平方米b元，那么购买所需的墙纸至少要多少元？（计算时不扣除门、窗所占的面积，忽略墙的厚度）【变式4-3】（2021春•莲湖区期末）已知有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示，面积分别为S1，S2．（1）S1与S2的大小关系为：S1S2．（2）若一个正方形的周长与甲的周长相等．①求该正方形的边长（用含m的代数式表示）．②若该正方形的面积为S3，试探究：S3与S2的差（即S3﹣S2）是否为常数？若为常数，求出这个常数，如果不是，请说明理由．【知识点2 整式的除法】【例5】（2021春•上城区期末）一个长方形的面积是15x3y5﹣10x4y4+20x3y2，一边长是5x3y2，则它的另一边长是（）A．2y3﹣3xy2+4B．3y3﹣2xy2+4C．3y3+2xy2+4D．2xy2﹣3y3+4【变式5-1】（2020•台湾）计算2x2﹣3除以x+1后，得商式和余式分别为何？（）A．商式为2，余式为﹣5B．商式为2x﹣5，余式为5C．商式为2x+2，余式为﹣1D．商式为2x﹣2，余式为﹣1【变式5-2】（2020秋•袁州区校级期中）已知一个长方形的面积是6a2﹣4ab+2a，且它的一条边长为2a，则长方形的周长为．【变式5-3】（2021春•潍坊期末）若多项式A除以2x2﹣3，得到的商式为3x﹣4，余式为5x+2，则A＝．【题型6 整式乘法中的规律探究】【例6】（2020秋•邹城市期末）观察下列各式（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1…（1）分解因式：x5﹣1＝；（2）根据规律可得（x﹣1）（x n﹣1+…+x+1）＝（其中n为正整数）；（3）计算：（3﹣1）（350+349+348+…+32+3+1）．【变式6-1】（2021春•包河区期末）探究规律，解决问题：（1）化简：（m﹣1）（m+1）＝，（m﹣1）（m2+m+1）＝．（2）化简：（m﹣1）（m3+m2+m+1），写出化简过程．（3）化简：（m﹣1）（m n+m n﹣1+m n﹣2+…+1）＝．（n为正整数，m n+m n﹣1+m n﹣2+…+1为n+1项多项式）（4）利用以上结果，计算1+3+32+33+…+3100的值．【变式6-2】（2021春•合肥期中）观察以下等式：（x+1）（x2﹣x+1）＝x3+1（x+3）（x2﹣3x+9）＝x3+27（x+6）（x2﹣6x+36）＝x3+216…（1）按以上等式的规律，填空：（a+b）（）＝a3+b3（2）利用多项式的乘法法则，证明（1）中的等式成立．【变式6-3】（2020秋•石狮市校级月考）探究应用：（1）计算：（x﹣1）（x2+x+1）＝；（2x﹣y）（4x2+2xy+y2）＝．（2）上面的乘法计算结果很简洁，你发现了什么规律（公式）？用含字母a、b的等式表示该公式为：．（3）下列各式能用第（2）题的公式计算的是．A．（m+2）（m2+2m+4）B．（m﹣2n）（m2+2mn+2n2）C．（3﹣n）（9+3n+n2）D．（m﹣n）（m2+2mn+n2）（4）设A＝109﹣1，利用上述规律，说明A能被37整除．。

整式的运算总结

2 x3 y 2 z 3 4 ab ， 2x3 y 2 5m5n 2 7 2
传承智慧，教书育人
1
6、整式：单项式与多项式统称整式。特别注意，分母含有字母的代数式不是整式，即单项式和多项式的分母都不能含有字母。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．二、整式的运算（一）整式的加减法基本步骤：去括号，合并同类项。特别注意： 1. 整式的加减实质上就是去括号后，合并同类项，运算结果是一个多项式或是单项式. 2. 括号前面是“－”号，去括号时，括号内各项要变号，一个数与多项式相乘时，这个数与括号内各项都要相乘. （二）整式的乘法 1、同底数的幂相乘法则：同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。数学符号表示： a m a n a m n （其中 m、n 为正整数）练习：判断下列各式是否正确。
说明：平方差公式是根据多项式乘以多项式得到的，它是两个数的和与同样的两个数的差的积的形式。其结构特征是： ①公式左边是两个二项式相乘，两个二项式中第一项相同，第二项互为相反数； ②公式右边是两项的平方差，即相同项的平方与相反项的平方之差。 9、完全平方公式法则：两数和（或差）的平方，等于这两数的平方和再加上（或减去）这两数积的 2 倍。口决：首平方，尾平方，2 倍乘积在中央。数学符号表示：
练习：计算下列各式。
1 (2 xyz ) 4 , ( a 2b)3 , (2 xy 2 )3 , (a 3b 2 )3 2
特别注意，公式还可以逆用： a b (ab) , a b c (abc) ，（其中 n 为正整数）
n n n n n n n
4、同底数的幂相除法则：同底数的幂相除，底数不变，指数相减。

专题1-5整式的乘法(2)单项式乘多项式-(解析版)

2020-2021学年七年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】专题1.5整式的乘法（2）单项式乘多项式姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列运算正确的是（）A．﹣（﹣3a n b）4＝81a4n b4B．（a n+1b n）4＝4a4n+4b4nC．（﹣2a n）2•（3a2）3＝﹣54a2n+6D．（3x n+1﹣2x n）•5x＝15x n+2﹣10x n+1【分析】根据单项式的乘法计算判断即可．【解析】A、﹣（﹣3a n b）4＝﹣81a4n b4，错误；B、（a n+1b n）4＝a4n+4b4n，错误；C、（﹣2a n）2•（3a2）3＝54a2n+6，错误；D、（3x n+1﹣2x n）•5x＝15x n+2﹣10x n+1，正确；故选：D．2．m（a2﹣b2+c）等于（）A．ma2﹣mb2+m B．ma2+mb2+mc C．ma2﹣mb2+mc D．ma2﹣b2+c【分析】利用单项式乘多项式的计算方法：利用乘法分配律可以将单项式乘多项式转化成单项式乘单项式；直接计算得出结果即可．【解析】m（a2﹣b2+c）＝ma2﹣mb2+mc．故选：C．3．（2020秋•南岗区期末）计算3a（5a﹣2b）的结果是（）A．15a﹣6ab B．8a2﹣6ab C．15a2﹣5ab D．15a2﹣6ab【分析】根据单项式乘以多项式，先用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相加计算．【解析】3a（5a﹣2b）＝15a2﹣6ab．故选：D．4．（2020秋•万州区校级期中）当a﹣2b＝2时，则代数式4a﹣8b﹣6的值为（）A．14 B．﹣2 C．﹣4 D．2【分析】根据添括号法则把原式变形，把a﹣2b＝2代入计算，得到答案．【解析】4a﹣8b﹣6＝4（a﹣2b）﹣6，当a﹣2b＝2时，原式＝4×2﹣6＝2，故选：D．5．（2020春•海伦市校级期末）计算x（1+x）﹣x（1﹣x）等于（）A．2x B．2x2C．0 D．﹣2x+2x2【分析】根据单项式乘多项式的法则化简，再合并同类项即可求解．【解析】原式＝x+x2﹣x+x2＝2x2．故选：B．6．（2020春•新邵县期末）在一次数学课上，学习了单项式乘多项式，小明回家后，拿出课堂笔记本复习，发现这样一道题：﹣3x（﹣2x2+3x﹣1）＝6x3﹣9x2+□，“□”的地方被墨水弄污了，你认为“□”内应填写（）A．1 B．﹣1 C．3x D．﹣3x【分析】单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．【解析】﹣3x（﹣2x2+3x﹣1）＝6x3﹣9x2+3x．故选：C．7．（2020秋•岳麓区校级月考）若一个长方体的长、宽、高分别为2x，x，3x﹣4，则长方体的体积为（）A．3x3﹣4x2B．6x2﹣8x C．6x3﹣8x2D．6x3﹣8x【分析】根据长方体的体积＝长×宽×高，列出算式，再根据单项式乘多项式的运算法则计算即可．【解析】由题意知，V长方体＝（3x﹣4）•2x•x＝6x3﹣8x2．故选：C．8．（2020春•嘉兴期末）已知，a+b＝2，b﹣c＝﹣3，则代数式ac+b（c﹣a﹣b）的值是（）A．5 B．﹣5 C．6 D．﹣6【分析】先利用整式的混合计算化简，再代入数值解答即可．【解析】ac+b（c﹣a﹣b）＝ac+bc﹣ab﹣b2＝c（a+b）﹣b（a+b）＝（a+b）（c﹣b），把a+b＝2，b﹣c＝﹣3代入（a+b）（c﹣b）＝2×3＝6，故选：C．9．（2020春•张家港市校级月考）要使﹣x3（x2+ax+1）+2x4中不含有x的四次项，则a等于（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】先利用多项式乘以单项式法则及合并同类项法则进行运算，再根据不含x的四次项，确定x的值．【解析】原式＝﹣x5﹣ax4﹣x3+2x4＝﹣x5+（2﹣a）x4﹣x3∵﹣x3（x2+ax+1）+2x4中不含有x的四次项，∴2﹣a＝0，解得，a＝2．故选：B．10．（2019秋•武汉期末）将大小不同的两个正方形按图1，图2的方式摆放．若图1中阴影部分的面积是20，图2中阴影部分的面积是14，则大正方形的边长是（）A．6 B．7 C．8 D．9【分析】设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，根据题意列方程组，即可得到结论．【解析】设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，根据题意可得：ab b（a﹣b）＝20，ab＝14，解得：a＝7．故选：B．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2020秋•江北区校级期中）计算：﹣2a（3a﹣1）＝﹣6a2+2a．【分析】根据单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加计算即可．【解析】﹣2a（3a﹣1）＝﹣6a2+2a．故答案为：﹣6a2+2a．12．（2020秋•南岗区期中）计算：（x﹣2y）（﹣5x）＝﹣5x2+10xy．【分析】直接利用单项式乘多项式运算法则计算得出答案．【解析】（x﹣2y）（﹣5x）＝﹣5x2+10xy．故答案为：﹣5x2+10xy．13．（2020春•舞钢市期末）计算（）•（）＝x3y3+3x2y3．【分析】直接利用单项式乘多项式计算得出答案．【解析】（）•（）x2y•（）﹣6xy•（xy2）x3y3+3x2y3．故答案为：x3y3+3x2y3．14．（2020秋•沙坪坝区校级月考）已知等式（2A﹣7B）x+（3A﹣8B）＝8x+10，对一切实数x都成立，则A+B＝．【分析】根据题意可得方程组，再解出A、B的值，然后可得A+B的值即可．【解析】由题意得：，解得：，则A+B，故答案为：．15．（2020春•白云区期末）已知a﹣b＝3，b﹣c＝﹣4，则代数式a2﹣ac﹣b（a﹣c）的值是﹣3．【分析】直接利用分组分解法分解因式，进而把已知代入得出答案．【解析】∵a﹣b＝3，b﹣c＝﹣4，∴a﹣b+b﹣c＝a﹣c＝﹣1，∴a2﹣ac﹣b（a﹣c）＝a（a﹣c）﹣b（a﹣c）＝（a﹣c）（a﹣b）＝﹣1×3＝﹣3．故答案为：﹣3．16．（2020•海陵区一模）已知a﹣2b＝﹣2，则代数式a（b﹣2）﹣b（a﹣4）的值为4．【分析】直接利用单项式乘多项式计算，再把已知代入得出答案．【解析】a（b﹣2）﹣b（a﹣4）＝ab﹣2a﹣ab+4b＝﹣2a+4b＝﹣2（a﹣2b），∵a﹣2b＝﹣2，∴原式＝﹣2×（﹣2）＝4．故答案为：4．17．（2020•岳阳）已知x2+2x＝﹣1，则代数式5+x（x+2）的值为4．【分析】直接将原式变形，再利用已知代入原式得出答案．【解析】∵x2+2x＝﹣1，∴5+x（x+2）＝5+x2+2x＝5﹣1＝4．故答案为：4．18．（2020春•北镇市期中）某同学计算一个多项式乘﹣3x2时，因抄错符号，算成了加上﹣3x2，得到的答案是x2x+1，那么正确的计算结果是﹣12x4．【分析】用错误结果减去已知多项式，得出原式，再乘以﹣3x2得出正确结果．【解析】这个多项式是（x2x+1）﹣（﹣3x2）＝4x2x+1，正确的计算结果是：（4x2x+1）•（﹣3x2）＝﹣12x4x3﹣3x2．故答案为：﹣12x4x3﹣3x2．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2020秋•袁州区校级期中）计算：（1）2b（4a﹣b2）；（2）（﹣2a3）2+（﹣a2）3．【分析】（1）直接利用单项式乘多项式运算法则计算得出答案；（2）直接利用积的乘方运算法则化简，再合并同类项即可．【解析】（1）2b（4a﹣b2）＝8ab﹣2b3；（2）（﹣2a3）2+（﹣a2）3＝4a6﹣a6＝3a6．20．计算：（1）2x（x2﹣1）﹣3x（x2）；（2）（﹣2a2）•（ab+b2）﹣5a（a2b﹣ab2）．【分析】（1）直接去括号，进而合并同类项得出答案．（2）直接去括号，进而合并同类项得出答案．【解析】（1）原式＝x3﹣2x﹣x3﹣2x，＝﹣4x．（2）原式＝﹣2a3b﹣2a2b2﹣5a3b+5a2b2，＝﹣7a3b+3a2b2．21．已知A＝﹣2x2，B＝x2﹣3x﹣1，C＝﹣x+1，求：（1）A•B+A•C；（2）A•（B﹣C）；（3）A•C﹣B．【分析】（1）直接利用已知结合单项式乘多项式运算法则化简，再合并同类项得出答案；（2）直接利用已知结合单项式乘多项式运算法则化简得出答案；（3）直接利用已知结合单项式乘多项式运算法则化简，再合并同类项得出答案．【解析】（1）∵A＝﹣2x2，B＝x2﹣3x﹣1，C＝﹣x+1，∴A•B+A•C＝﹣2x2•（x2﹣3x﹣1）﹣2x2•（﹣x+1）＝﹣4x4+6x3+2x2+2x3﹣2x2＝﹣4x4+8x3；（2）∵A＝﹣2x2，B＝x2﹣3x﹣1，C＝﹣x+1，∴A•（B﹣C）＝﹣2x2（x2﹣3x﹣1+x﹣1）＝﹣2x2（x2﹣2x﹣2）＝﹣2x4+4x3+4x2；（3）∵A＝﹣2x2，B＝x2﹣3x﹣1，C＝﹣x+1，∴A•C﹣B＝﹣2x2（﹣x+1）﹣（x2﹣3x﹣1）＝2x3﹣2x2﹣x2+3x+1＝2x3﹣3x2+3x+1．22．（2020秋•安居区期中）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下：×（xy）＝3x2y﹣xy2xy（1）求所捂的多项式；（2）若x，y，求所捂多项式的值．【分析】（1）设多项式为A，则A＝（3x2y﹣xy2xy）÷（xy）计算即可．（2）把x，y代入多项式求值即可．【解析】（1）设多项式为A，则A＝（3x2y﹣xy2xy）÷（xy）＝﹣6x+2y﹣1．（2）∵x，y，∴原式＝﹣621＝﹣4+1﹣1＝﹣4．23．（2019秋•闵行区校级月考）已知x（x﹣m）+n（x+m）＝x2+5x﹣6对任意数都成立，求m（n﹣1）+n （m+1）的值．【分析】把x（x﹣m）+n（x+m）去括号、合并同类项，然后根据与x2+5x﹣6对应项的系数相同，即可求得n﹣m和mn的值，然后代入求值即可．【解析】x（x﹣m）+n（x+m）＝x2﹣mx+nx+mn＝x2+（n﹣m）x+mn，∴则m（n﹣1）+n（m+1）＝n﹣m+2mn＝5﹣12＝﹣7．24．（2019春•金安区校级期中）已知：A x，B是多项式，王虎同学在计算A+B时，误把A+B看成了A ×B，结果得3x3﹣2x2﹣x．（1）求多项式B．（2）求A+B．【分析】（1）根据整式的除法运算即可求出答案；（2）根据整式的加法运算即可求出答案．【解析】（1）由题意可知：x•B＝3x3﹣2x2﹣x，∴B＝（3x3﹣2x2﹣x）x＝6x2﹣4x﹣2；（2）A+B x+（6x2﹣4x﹣2）＝6x2x﹣2；。