4.3.1 对数的概念
4.3.1 对数的概念
类型一 对数的概念及应用(数学抽象)
【题组训练】
1.若a2 020=b(a>0且a≠1),则 ( )
A.logab=2 020 C.log2 020a=b
B.logba=2 020 D.log2 020b=a
2.在M=log(x-3)(x+1)中,要使式子有意义,x的取值范围为
A.(-∞,3]
B.(3,4)∪(4,+∞)
2.把对数式x=log232改写为指数式_______. 【解析】对数式x=log232改写为指数式为2x=32. 答案:2x=32
3.(教材二次开发:练习改编) 若ln e-2=-x,则x=_______. 【解析】因为ln e-2=-x,所以e-x=e-2,所以x=2. 答案:2
关键能力·合作学习
D.4
2
【解析】选B.因为logx8=3,所以x3=8,解得x=2.
3.(教材二次开发:练习改编) 若10m= 3 ,则m=_______. 【解析】因为10m= 3 ,则m=lg 3 . 答案:lg 3
4.ln(lg 10)=_______. 【解析】ln(lg 10)=ln 1=0. 答案:0
类型二 指数式与对数式的互化(数学运算) 角度1 指数与对数的互化及应用 【典例】如表,其中解正确的题号是 ( )
题号 方程 解
①
2
log64x=- 3
16
A.①②
B.③④
② logx8=6
2
③
lg 100=x
1 2
④ -ln e2=x -2
C.②④
D.②③
【思路导引】利用指数、对数的互化求解验证.
关于指数式的范围
b 0,
利用式子logab⇒ a 0,求字母的范围.
对数的概念及练习(带解析)
4.3对数4.3.1对数的概念1.对数(1)指数式与对数式的互化及有关概念:(2)底数a的范围是a>0,且a≠1.2.常用对数与自然对数3.对数的基本性质(1)负数和零没有对数.(2)log a1=0(a>0,且a≠1).(3)log a a=1(a>0,且a≠1).1.log b N=a(b>0,b≠1,N>0)对应的指数式是() A.a b=N B.b a=N C.a N=b D.b N=aB解析:因为log b N=a,所以b a=N.2.若a2=M(a>0,且a≠1),则有()A.log2M=a B.log a M=2 C.log22=M D.log2a=M B解析:∵a2=M,∴log a M=2.3.若log3x=3,则x=()A.1 B.3C.9 D.27D 解析:∵log 3x =3,∴x =33=27. 4.ln 1=________,lg 10=________.0 1 解析:∵log a 1=0,∴ln 1=0.又log a a =1,∴lg 10=1. 5.已知log x 16=2,则x =________.4 解析:因为log x 16=2,所以x 2=16,所以x =±4.又x >0,且x ≠1,所以x =4.【例1】(1)对数式log (x -2)(x +2)中实数x 的取值范围是________. (2)已知4a =2,lg x =a ,则x =________.(1)(2,3)∪(3,+∞) (2)10 解析:(1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧x +2>0,x -2>0,x -2≠1,解得x >2,且x ≠3,所以实数x 的取值范围是(2,3)∪(3,+∞).(2)因为4a =2,所以a =12.又lg x =a ,所以x =10a =10.指数式与对数式互化的方法(1)将指数式化为对数式,只需要将幂作为真数,指数当成对数值,底数不变,写出对数式.(2)将对数式化为指数式,只需将真数作为幂,对数作为指数,底数不变,写出指数式.将下列指数式与对数式互化: (1)log 216=4;(2)log 1327=-3;(3)log 3x =6;(4)43=64; (5)3-2=19;(6)⎝⎛⎭⎫14-2=16.解:(1)24=16.(2)⎝⎛⎭⎫13-3=27. (3)(3)6=x . (4)log 464=3. (5)log 319=-2.(6)log 1416=-2.【例2】求下列各式中的x 的值. (1)log x 27=32;(2)log 2x =-23;(3)x =log 2719;(4)x =log 1216.解:(1)由log x 27=32,可得x 32=27,∴x =2723=(33)23=32=9.(2)由log 2x =-23,可得x =2-23,∴x =⎝⎛⎭⎫1223=314=322.(3)由x =log 2719,可得27x =19,∴33x =3-2,∴x =-23.(4)由x =log 1216,可得⎝⎛⎭⎫12x=16, ∴2-x =24,∴x =-4.利用指数式与对数式的互化求变量值的策略(1)若已知的式子为指数式,则直接利用指数运算求值. (2)若已知的式子为对数式,则先把对数式化为指数式,再求值.1.已知log 2m =2.016,log 2n =1.016,则nm 等于( )A .2 B.12 C .10 D.110B 解析:因为log 2m =2.016,log 2n =1.016, 所以m =22.016,n =21.016,所以n m =21.01622.016=12.2.已知log a 2=m ,log a 3=n ,则a 2m -n =________. 43解析:因为log a 2=m ,log a 3=n , 所以a m =2,a n =3, 所以a 2m -n =a 2m a n =223=43.探究题1 求下列各式中x 的值. (1)log 5(log 3x )=0; (2)log 3(lg x )=1; (3)ln[log 2(lg x )]=0.解:(1)设t =log 3x ,则log 5t =0,∴t =1, 即log 3x =1,∴x =3.(2)∵log 3(lg x )=1,∴lg x =3,∴x =103=1 000. (3)∵ln[log 2(lg x )]=0,∴log 2(lg x )=1, ∴lg x =2,∴x =102=100.探究题2 若log 2[log 3(log 4x )]=log 3[log 4(log 2y )]=0,求x +y 的值. 解:∵log 2(log 3(log 4x ))=0,∴log 3(log 4x )=1,∴log 4x =3.∴x =43=64. 同理求得y =16.∴x +y =80.1.利用对数的性质求解的两类问题(1)求多重对数式的值应由内到外,如求log a (log b c )的值,先求log b c 的值,再求log a (log b c )的值.(2)已知多重对数式的值,求变量值,应从外到内,逐步脱去“log ”后再求解. 2.性质a log a N =N 与log a a b =b 的作用(1)a log a N =N 能把任意一个正实数转化为以a 为底的指数形式. (2)log a a b =b 能把以a 为底的指数转化为一个实数.1.计算下列各式的值. (1)2512log 54=________.(2)31+log32=________.(1)4 (2)6 解析:(1)2512log 54=(52)12log 54=5 log 54=4.(2)31+log32=3×3 log 32=3×2=6.2.求下列各式中的x . (1)ln 2x -ln x =0; (2)log 7[log 3(log 2x )]=0.解:(1)因为ln 2x -ln x =0,所以ln x (ln x -1)=0, 所以ln x =1或ln x =0, 所以x =e 或x =1.(2)由题意,log 3(log 2x )=1,故log 2x =3, 所以x =23=8.对数的概念练习 (30分钟 60分)1.(5分)在log3(m -1)中,实数m 的取值范围是( ) A .R B .(0,+∞)C.(-∞,1) D.(1,+∞)D解析:由m-1>0得m>1,故选D.2.(5分)下列指数式与对数式互化不正确的一组是()A.100=1与lg 1=0B.27-13=13与log2713=-13C.log39=2与912=3D.log55=1与51=5C解析:C不正确,由log39=2可得32=9.3.(5分)log(2+1)(3-22)等于()A.-2 B.-4C.2 D.4A解析:3-22=2-22+1=(2)2-22+12=(2-1)2=12+12=(2+1)-2.设log(2+1)(3-22)=t,则(2+1)t=3-22=(2+1)-2,∴t=-2.4.(5分)若3x=2,则x等于()A.log23B.log32C.32 D.23B解析:3x=2⇔x=log32.5.(5分)方程2log3x=14的解是()A.x=19 B.x=33C.x=3 D.x=9A解析:∵2 log3x=2-2,∴log3x=-2,∴x=3-2=19.6.(5分)下列四个等式:①lg(lg 10)=0;②lg(ln e)=0;③若lg x=10,则x=10;④若ln x=e,则x=e2.其中正确的是()A.①③B.②④C.①②D.③④C解析:①lg(lg 10)=lg 1=0;②lg(ln e)=lg 1=0;③若lg x=10,则x=1010;④若ln x =e,则x=ee.7.(5分)设a=log310,b=log37,则3a-b=________.107解析:∵a=log310,b=log37,∴3a=10,3b=7,∴3a-b=3a3b=107.8.(5分)已知f(log2x)=x,则f12=________.2解析:令log2x=12,则x=212=2,即f12=f(log22)=2.9.(5分)已知x=log23,则23x-2-3x2x-2-x=________.919解析:由x=log23,得2x=3,∴2-x=12x=13,23x=(2x)3=33=27,2-3x=123x=127,∴23x-2-3x2x-2-x=27-1273-13=272-13×27-9=72872=919.10.(5分)求值.(1)912log34;(2)51+log52.解:(1)912log34=(32) 12log34=3 log34=4.(2)51+log52=5×5 log52=5×2=10.11.(10分)若log12x=m,log14y=m+2,求x2y的值.解:∵log12x=m,∴12m=x,x2=122m.∵log14y=m+2,∴14m+2=y,即y=122m+4,∴x2y=122m122m+4=122m-(2m+4)=12-4=16.。
高中数学必修一课件:第四章对数的概念
2
B.log18=3
2
D.log38=-12
4.若f(ex)=x,则f(e)=( A )
A.1
B.ee
C.2e
D.0
解析 方法一:设ex=t(t>0).则x=ln t.
∴f(t)=ln t.∴f(e)=ln e=1.
方法二:令ex=e,则x=1.
5.(1)若log31-92x=1,则x=__-__13____; (2)若log2 021(x2-1)=0,则x=__±__2____.
题型四 利用对数的基本性质求值
例4 求下列各式中x的值. (1)ln(log2x)=0; (2)log2(lg x)=1; (3)3log3 x=9. 【分析】 利用logaa=1,loga1=0(a>0,且a≠1)及对数恒等式求值. 【解析】 (1)∵ln(log2x)=0,∴log2x=1,∴x=21=2. (2)∵log2(lg x)=1,∴lg x=2, ∴x=102=100. (3)由3log3 x=9得 x=9,解得x=81.
2 3
,即log64x=-
2 3
,所以x=64-
2 3
,所以x
=116.
课时学案
题型一 对数的概念
例1 在M=log(x-3)(x+1)中,要使式子有意义,则x的取值范围为( B )
A.(-∞,3]
B.(3,4)∪(4,+∞)
C.(4,+∞)
D.(3,4)
【解析】 由对数的概念可得xx+ -13>>00, , 解得3<x<4或x>4. x-3≠1,
探究1 关于对数式中字母的范围: b>0,
利用式子logab⇒a>0, 求出字母的范围. a≠1,
4.3.1 对数的概念
(2)由 logx27=,得 =27,即 =33,
x=(33) =34=81.
故
(3)由 log3(lg x)=1,得 lg x=3,故 x=103=1 000.
?
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“ ”,错误
的打“×”.
(1)(-2)4=16可化为log-216=4.( × )
(2)对数运算的实质是求幂指数.( √ )
(3)对数的真数必须是非负数.( × )
(4)若log63=m,则6=3m.( × )
(5)lg(ln e)=0.( √ )
lg =x,所以 10x=10-1,即 x=-1.
(4)因为 log93 =x,所以 9x=3 ,即
因此
2x= ,所以
x= .
32x= ,
.
?
反思感悟
求对数式中未知数的方法
(1)将对数式转化为指数式.
(2)根据指数和幂的运算性质解有关方程,求得结果.
?
【变式训练 2】 计算:(1)log927; (2)lo 81;
-
(2)
=
÷
=7÷2=.
?
将本例(1)改为:“已知 log4(log3(log2x))=0,求 的值”.
解:由 log4(log3(log2x))=0,得 log3(log2x)=1,所以 log2x=3,
因此 x=23=8,故 = =5.
提示:底数分别是10和e.
?
4.(1)常用对数:以10为底的对数叫做常用对数,并把log10N记
新教材高中数学必修第一册第4章 4.3.1对数的概念
4.3对数4.3.1对数的概念学习目标1.了解对数的概念.2.会进行对数式与指数式的互化.3.会求简单的对数值.知识点一 对数的有关概念 对数的概念:一般地,如果a x =N (a >0,且a ≠1),那么数x 叫做以a 为底N 的对数,记作x =log a N ,其中a 叫做对数的底数,N 叫做真数. 常用对数与自然对数:通常将以10为底的对数叫做常用对数,以e(e =2.718 28…)为底的对数称为自然对数,log 10N 可简记为lg N ,log e N 简记为ln N . 知识点二 对数与指数的关系 一般地,有对数与指数的关系: 若a >0,且a ≠1,则a x =N ⇔log a N =x . 对数恒等式:log a Na=N ;log a a x =x (a >0,且a ≠1).知识点三 对数的性质 1.1的对数为零. 2.底的对数为1. 3.零和负数没有对数.1.若3x =2,则x =log 32.( √ )2.因为a 1=a (a >0且a ≠1),所以log a a =1.( √ ) 3.log a N >0(a >0且a ≠1,N >0).( × ) 4.若ln N =12,则N =⎝⎛⎭⎫12e .( × )一、指数式与对数式的互化 例1 将下列指数式与对数式互化: (1)2-2=14;(2)102=100;(3)e a=16;(4)1364-=14;(5)log 39=2;(6)log x y =z (x >0且x ≠1,y >0). 解 (1)log 214=-2.(2)log 10100=2,即lg 100=2. (3)log e 16=a ,即ln 16=a . (4)log 6414=-13.(5)32=9. (6)x z =y .反思感悟 指数式与对数式互化的思路(1)指数式化为对数式:将指数式的幂作为真数,指数作为对数,底数不变,写出对数式. (2)对数式化为指数式:将对数式的真数作为幂,对数作为指数,底数不变,写出指数式. 跟踪训练1 将下列指数式与对数式互化: (1)log 216=4;(2)13log 27=-3;(3)43=64;(4)⎝⎛⎭⎫14-2=16.解 (1)由log 216=4,可得24=16. (2)由13log 27=-3,可得⎝⎛⎭⎫13-3=27.(3)由43=64,可得log 464=3. (4)由⎝⎛⎭⎫14-2=16,可得14log 16=-2.二、利用对数式与指数式的关系求值 例2 求下列各式中x 的值:(1)log 64x =-23;(2)log x 8=6;(3)lg 100=x .考点 对数式与指数式的互化 题点 对数式化为指数式 解 (1)2233364(4)x --===4-2=116.(2)因为x 6=8,所以1111636662()8(2)2x x =====(3)10x =100=102,于是x =2.反思感悟 要求对数的值,设对数为某一未知数,将对数式化为指数式,再利用指数幂的运算性质求解.跟踪训练2 (1)计算log 927;的值; (2)求下列各式中x 的值: ①log 27x =-23;②log x 16=-4.解 (1)设x =log 927,则9x =27,32x =33, ∴2x =3,x =32.设81x =,则x=81,43x =34,∴x4=4,x =16.(2)①∵log 27x =-23,∴2233327(3)x --===3-2=19.②∵log x 16=-4,∴x -4=16,即x 4=116=⎝⎛⎭⎫124,∴x =12.三、利用对数性质及对数恒等式求值 例3 求下列各式中x 的值:(1)log 2(log 5x )=0;(2)log 3(lg x )=1;(3)71log 57.x -=考点 对数式与指数式的互化 题点 对数式化为指数式解 (1)∵log 2(log 5x )=0,∴log 5x =20=1,∴x =51=5. (2)∵log 3(lg x )=1,∴lg x =31=3,∴x =103=1 000. (3)771log 5log 5777775.5x ÷÷-====反思感悟 (1)此类题型应利用对数的基本性质从整体入手,由外到内逐层深入来解决问题.log a N =0⇒N =1;log a N =1⇒N =a 使用频繁,应在理解的基础上牢记. (2)符合对数恒等式的,可以直接应用对数恒等式:log log .a NN a a N a N =,=跟踪训练3 (1)设3(log 21)327x +=,则x = .答案 13(2)若log 2(log 3x )=log 3(log 4y )=log 4(log 2z )=0,则x +y +z 的值为( ) A .9 B .8 C .7 D .6 考点 对数式与指数式的互化 题点 对数式化为指数式 答案 A解析 ∵log 2(log 3x )=0,∴log 3x =1. ∴x =3.同理y =4,z =2.∴x +y +z =9.1.将⎝⎛⎭⎫13-2=9写成对数式,正确的是( ) A .log 913=-2B .13log 9=-2C .13log (2)-=9D .log 9(-2)=13答案 B解析 根据对数的定义,得13log 9=-2,故选B.2.若log a x =1,则( )A .x =1B .a =1C .x =aD .x =10 考点 对数式与指数式的互化 题点 对数式化为指数式 答案 C 3.方程3log 2x=14的解是( ) A .x =19 B .x =33 C .x = 3 D .x =9考点 对数式与指数式的互化 题点 对数式与指数式的互化 答案 A 解析 ∵3log 2x=2-2,∴log 3x =-2,∴x =3-2=19.4.下列指数式与对数式互化不正确的一组是( ) A .e 0=1与ln 1=0B.138 =12与log812=-13C.log39=2与129=3D.log77=1与71=7考点对数式与指数式的互化题点对数式与指数式的互化答案 C5.已知log x16=2,则x=.答案 4解析log x16=2化成指数式为x2=16,所以x=±4,又因为x>0且x≠1,所以x=4.1.知识清单:(1)对数的概念.(2)自然对数、常用对数.(3)指数式与对数式的互化.(4)对数的性质.2.方法归纳:(1)根据对数的概念进行指数式与对数式的互化.(2)利用对数的性质及对数恒等式进行对数的化简与求值.3.常见误区:易忽视对数式中底数与真数的范围.1.有下列说法:①零和负数没有对数;②任何一个指数式都可以化成对数式;③以10为底的对数叫做常用对数;④以e为底的对数叫做自然对数.其中正确说法的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4考点对数的概念题点对数的概念答案 C解析①③④正确,②不正确,只有a>0,且a≠1时,a x=N才能化为对数式.2.已知-ln e2=x,则x等于()A.-1 B.-2 C.1 D.2 答案 B解析因为-ln e2=x,所以ln e2=-x,e2=e-x,x=-2.3.若log a 5b=c,则下列等式正确的是()A.b5=a c B.b=a5c C.b=5a c D.b=c5a 答案 B解析由log a 5b=c,得a c=5b,所以b=a5c.4.下列四个等式:①lg(lg 10)=0;②lg(ln e)=0;③若lg x=10,则x=10;④若ln x=e,则x=e2. 其中正确的是()A.①③B.②④C.①②D.③④考点对数式与指数式的互化题点对数式化为指数式答案 C解析①lg(lg 10)=lg 1=0;②lg(ln e)=lg 1=0;③若lg x=10,则x=1010;④若ln x=e,则x=e e.故只有①②正确.5.若log a3=m,log a5=n,则a2m+n的值是()A.15 B.75 C.45 D.225考点对数式与指数式的互化题点对数式化为指数式答案 C解析由log a3=m,得a m=3,由log a5=n,得a n=5,∴a2m+n=(a m)2·a n=32×5=45.6.=.考点对数式与指数式的互化题点对数式化为指数式答案8解析设81=t ,则(3)t =81,23t =34,t2=4,t =8. 7.已知log 7[log 3(log 2x )]=0,那么12x -= .考点 对数式与指数式的互化 题点 对数式化为指数式 答案24解析 ∵log 7[log 3(log 2x )]=0,∴log 3(log 2x )=1, ∴log 2x =3,∴23=x , ∴12x-=()1322-=18=122=24. 8.若对数log (x -1)(2x -3)有意义,则x 的取值范围是 . 答案 ⎝⎛⎭⎫32,2∪(2,+∞) 解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ x -1>0,x -1≠1,2x -3>0,得⎩⎪⎨⎪⎧x >1,x ≠2,x >32,得x >32且x ≠2.9.将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式. (1)53=125; (2)4-2=116;(3)12log 8=-3;(4)log 3127=-3. 解 (1)∵53=125,∴log 5125=3. (2)∵4-2=116,∴log 4116=-2.(3)∵12log 8=-3,∴⎝⎛⎭⎫12-3=8.(4)∵log 3127=-3,∴3-3=127.10.(1)先将下列式子改写成指数式,再求各式中x 的值.①log 2x =-25;②log x 3=-13. (2)已知6a =8,试用a 表示下列各式.①log 68;②log 62;③log 26.考点 对数式与指数式的互化题点 对数式化为指数式解 (1)①因为log 2x =-25,所以x =252-=582. ②因为log x 3=-13,所以13x -=3,所以x =3-3=127. (2)①log 68=a .②由6a =8得6a =23,即36a =2,所以log 62=a 3. ③由36a =2得32a=6,所以log 26=3a .11.方程lg(x 2-1)=lg(2x +2)的根为( )A .-3B .3C .-1或3D .1或-3答案 B解析 由lg(x 2-1)=lg(2x +2),得x 2-1=2x +2,即x 2-2x -3=0,解得x =-1或x =3.经检验x =-1是增根,所以原方程的根为x =3. 12.0.51log 412-+⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为( )A .6 B.72 C .8 D.37答案 C解析 0.51log 412-+⎛⎫ ⎪⎝⎭=⎝⎛⎭⎫12-1·12log 412⎛⎫ ⎪⎝⎭=2×4=8.13.若log (1-x )(1+x )2=1,则x = . 答案 -3解析 由log (1-x )(1+x )2=1,得(1+x )2=1-x , ∴x 2+3x =0,∴x =0或x =-3.注意到⎩⎪⎨⎪⎧1-x >0,1-x ≠1,∴x =-3. 14.若x 满足(log 2x )2-2log 2x -3=0,则x = .答案 8或12解析 设t =log 2x ,则原方程可化为t 2-2t -3=0, 解得t =3或t =-1,所以log 2x =3或log 2x =-1,所以x =23=8或x =2-1=12.15.若a >0,23a =49,则23log a 等于( ) A .2 B .3 C .4 D .5 答案 B解析 因为23a =49,a >0, 所以a =3249⎛⎫ ⎪⎝⎭=⎝⎛⎭⎫233, 设23log a =x ,所以⎝⎛⎭⎫23x =a .所以x =3.16.若12log x =m ,14log y =m +2,求x 2y 的值. 解 因为12log x =m ,所以⎝⎛⎭⎫12m =x ,x 2=⎝⎛⎭⎫122m . 因为14log y =m +2,所以⎝⎛⎭⎫14m +2=y ,y =⎝⎛⎭⎫122m +4. 所以x 2y =⎝⎛⎭⎫122m ⎝⎛⎭⎫122m +4=⎝⎛⎭⎫122m -(2m +4)=⎝⎛⎭⎫12-4=16.。
4.3.1 对数的概念(课件)高一数学(人教A版2019必修第一册)
3
m;
(3)
102 100 ;
(2)ln m 3.
(3)lg100 2
.
1.把下列指数式化为对数式,对数式化为指数式。
(4)log39=2;
(5)lg n=2.3;
1
log 3 4 .
(6)
81
答案:
(4)32=9.
(5)102.3=n.
1
(6)3
.
81
4
2.求下列各式中的值。
2
10
2
0.01
e
2.303
10
根据对数的定义,可以得到对数与指数间的关系:
若a 0且a 1,则a x N log a N x
a log a N N
由指数和对数的这个关系,可以得到关于对数的如下结论:
负数和0没有对数;(真数一定为正数)
log a 1 0,
【答案】3 [由 log2(logx9)=1 可知 logx9=2,即 x2=9,∴x=3(x=-3 舍去).]
4. log33+3log 2=________.
3
【答案】3 [log33+3log 2=1+2=3.]
3
5.求下列各式中的 x 值:
3
(1)logx27=2;
2
(2)log2 x=-3;
3
解:①∵0.01 = ,∴10 = 0.01 = 10−2 , = −2.
②∵7 ( + 2) = 2,∴72 = + 2 = 49, = 47.
9
2
9
2
③∵2 4 = ,∴(3) = 4 = (3)−2 , = −2.
3
1
4.3.1对数的概念
课堂练习1
(教材P46练一练) 1.将下列各指数式写成对数式 log 7 7 1 (2)54 625 (1)71 7
0 (3)210 1024 log 2 1024 10 (4)4 1 1 1 1 1 1 3 ( 5 )2 log 2 1 (6)27 2 2 3
结论:(对数的性质) 1、底数a大于0且不等于1
2、负数和零没有对数。即真数N>0 3、1的对数是0, 即 log a 1 0
4、底数与真数相同时,对数为1 即 log a a 1
思考
5a
loga N
与N有 么 系 ? 什 关
令b=logaN b=N 知 a 即
a
logaN
=N
(对数的定义式)
解: log a a 1(a 0, 且a 1) log 0.3 0.3 1
1 (4) log2 2
解: 设log 2 1 x 则2 x 1 21 x 1 2 2
(5) log0.4 1
1 即log 2 1 2
解: log a 1 0(a 0, 且a 1) log 0.4 1 0
(教材P47练一练)3.求下列各式的值
(1) lg10
1
6
( 2) lg106
(3) log7 7
1 1
0
0
(4) log0.5 0.5
(5) ln1 (6) lg1
课堂小结:
一、对数的概念
(一)定义:
当a 0, 且a 1时,a b N loga N b,
(二)性质: 1.两点注意: (1)底数 a 0, 且a 1, (2)真数N>0,即0和负数无对数. 2.三个运算式: (1) loga 1 0 (2) loga a 1
对数的概念
(3)自然对数:在科技、经济以及社会生活中常使用以无理数e=2.718 28…为底 数的对数,以___e___为底的对数称为自然对数,并把logeN记作____l_n_N______.
(4)对数与指数的关系 当a>0,且a≠1时,ax=N⇔x=____l_o_g_a_N____.
二、对数的基本性质
解 依据题意知, 2,3∪3,5.
xx- -22≠ >01,, 5-x>0,
解得2<x<3或3<x<5,即x的取值范围是
[方法总结] 解决对数式有意义的题目时,只要注意满足底数和真数的条件, 也就是对数式中的底数大于0且不为1,真数大于0,对数式才有意义,尤其要注意 底数不为1这一条件,然后解不等式即可.
第四章 指数函数与对数函数
4.3 对数
4.3.1 对数的概念
课程内容标准
学科素养凝练
1.理解对数的概念,明确对数与指数的互化
关系.
通过对对数概念和性质的学
2.掌握对数基本性质,并能应用性质解决相 习 , 提 升 数 学 抽 象 、 逻 辑 推
关问题.
理、数学运算的核心素养.
3.了解对数在简化运算中的作用.
课前 预习案 课堂 探究案 冲关 演练案
栏目索引
课前 预习案
一、对数的概念
(1)一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x= logaN,其中___a___叫做对数的底数,___N___叫做真数.
(2)常用对数:通常我们将以__1_0___为底的对数叫做常用对数,并把log10N记为 _____lg__N_____.
[训练3] 求下列各式中x的值: (1)log2log4x=0;(2)log3lg x=1; (3)lnlog2lg x=0;(4)x=412 log29.
1 4.3.1 对数的概念(共32张PPT)
3x2+2x-1>0, 2x2-1>0且2x2-1≠1, 解得 x=-2.
(2)由 log2[log3(log4x)]=0, 可得 log3(log4x)=1, 故 log4x=3, 所以 x=43=64.
1.(多选)下列说法正确的有
()
A.零和负数没有对数
B.任何一个指数式都可以化成对数式
C.以 10 为底的对数叫做常用对数
答案:B
()
3.把对数式 loga49=2 写成指数式为
A.a49=2
B.2a=49
C.492=a
D.a2=49
答案:D 4.log32x5-1=0,则 x=________. 答案:3
()
探究点 1 指数式与对数式的互化 将下列指数式与对数式互化:
(1)ea=16; (2)64-13=14; (3)log39=2; (4)logxy=z(x>0 且 x≠1,y>0).
【解】 (1)因为 log27x=-23, 所以 x=27-23=(33) -23=3-2=19. (2)因为 logx16=-4, 所以 x-4=16, 即 x-4=24. 所以1x4=24, 所以1x=2,即 x=12.
(3)因为 lg 1 0100=x, 所以 10x=10-3, 所以 x=-3. (4)因为-ln e-3=x, 所以-x=ln e-3, 即 e-x=e-3, 所以 x=3.
第四章 指数函数与对数函数
4.3 对 数 4.3.1 对数的概念数学源自01预习案 自主学习
02
探究案 讲练互动
03
测评案 达标反馈
04
应用案 巩固提升
教材考点 对数
对数的 基本性质
学习目标 了解对数、常用对数、自然对数的概念, 会用对数的定义进行对数式与指数式的互化
4.3.1 对数的概念
4.3.1 对数的概念(一)教材梳理填空 (1)对数的概念一般地,如果a x =N (a >0,且a ≠1),那么数x 叫做以a 为底N 的对数,记作x =log a N ,其中a 叫做对数的底数,N 叫做真数.(2)对数的基本性质①当a >0,且a ≠1时,a x =N ⇔x =log a N . ②负数和0没有对数.③特殊值:1的对数是0,即log a 1=0(a >0,且a ≠1);底数的对数是1,即log a a =1(a >0,且a ≠1).(3)常用对数与自然对数名称 定义记法 常用对数 以10为底的对数叫做常用对数lg_N 自然对数 以无理数e =2.718 28…为底的对数称为自然对数ln_N(二)基本知能小试 1.判断正误(1)因为(-2)2=4,所以2=log (-2)4.( ) (2)log a N 是log a 与N 的乘积( )(3)使对数log 2(-2a +1)有意义的a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫-∞,12.( ) 2.若a 2=M (a >0且a ≠1),则有( ) A .log 2M =a B .log a M =2 C .log a 2=MD .log 2a =M3.log 21+log 22=( ) A .3 B .2 C .1D .0 4.已知log 32x -15=0,则x =________.题型一指数式与对数式的互化[学透用活](1)对数的概念的实质是指数式化为对数式,关键是弄清指数式各部分的“去向”:(2)定义中规定a>0,且a≠1.理由:①当a<0且N为某些数值时,x不存在,如式子(-2)x=3没有实数解,所以log(-2)3不存在,因此,规定a不能小于0.由指数函数的定义也可知a不能小于0.②当a=0,且N≠0时,log a N不存在;当a=0,且N=0时,x可取无数个值,因此规定a≠0.③当a=1,且N不为1时,x不存在;而a=1且N=1时,x可以为任何实数,因此规定a≠1.[典例1]将下列对数形式化成指数形式或将指数形式转化为对数形式:(1)33=27;(2)log128=-3;(3)⎝⎛⎭⎫14-2=16;(4)lg 1 000=3.[对点练清]1.3b=5化为对数式是()A.log b3=5B.log35=b C.log5b=3 D.log53=b 2.下列指数式与对数式互化不正确的一组是() A.100=1与lg 1=0B.27-13=13与log2713=-13C.log39=2与912=3D.log55=1与51=5题型二对数的计算[学透用活][典例2]求下列各式的值.(1)log1381;(2)lg 0.000 1;(3)log(5-2)(5+2).求对数式log a N的值的步骤[对点练清]1.求下列对数的值:(1)log 28;(2)log 919;(3)ln e ;(4)lg 1.2.求下列各式中x 的值:(1)⎝⎛⎭⎫13x =5;(2)log 64x =-23;(3)log x 8=6;(4)lg 100=x .题型三 对数的性质及对数恒等式[学透用活][典例3] 求下列各式中x 的值: (1)log 2(log 5x )=0; (2)log 3(lg x )=1; (3)log 3(log 4(log 5x ))=0.[对点练清]1.[变条件]本例(3)中若将“log 3(log 4(log 5x ))=0”改为“log 3(log 4(log 5x ))=1”,又如何求解x 呢?2.[变设问]在本例(3)条件下,计算625log x 3的值.3.[变条件]本例(3)中若将“log 3(log 4(log 5x ))=0”改为“3log 3(log 4(log 5x ))=1”,又如何求解x 呢?[课堂一刻钟巩固训练]一、基础经典题1.已知log x 16=2,则x 等于( ) A .4B .±4C .256D .22.2-3=18化为对数式为( )A .log 182=-3B .log 18(-3)=2C .log 218=-3D .log 2(-3)=183.求值:lg 1 000=________;lg 0.001=________. 4.已知log 2x =3,则x -12=________.二、创新应用题5.先将下列式子改写成指数式,再求各式中x 的值.[课下双层级演练过关] A 级——学考水平达标练1.若a >0,且a ≠1,c >0,则将a b =c 化为对数式为( ) A .log a b =c B .log a c =b C .log b c =aD .log c a =b2.若对数log (2a -1)(6-2a )有意义,则实数a 的取值范围为( ) A .(-∞,3) B.⎝⎛⎭⎫12,3 C.⎝⎛⎭⎫12,1∪(1,+∞)D.⎝⎛⎭⎫12,1∪(1,3)3.若log x 7y =z ,则x ,y ,z 之间满足( ) A .y 7=x z B .y =x 7z C .y =7x zD .y =z 7x4.对于a >0,且a ≠1,下列说法中,正确的是( ) ①若M =N ,则log a M =log a N ; ②若log a M =log a N ,则M =N ; ③若log a M 2=log a N 2,则M =N ; ④若M =N ,则log a M 2=log a N 2. A .①③ B .②④ C .②D .①②③④5.(2018·河北辛集中学高一期中)若x log 23=1,则3x +9x 的值为( ) A .6 B .3 C .52D .126.若a =log 43,则2a +2-a =________. 7.若a =lg 2,b =lg 3,则1002b a 的值为________.8.给出下列各式:①lg(lg 10)=0;②lg(ln e)=0;③若10=lg x ,则x =10;④由log 25x =12,得x =±5. 其中,正确的是________(把正确的序号都填上). 9.将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式. (1)53=125; (2)4-2=116; (3)log 3127=-3. 10.若log 12x =m ,log 14y =m +2,求x 2y的值.B 级——高考水平高分练1.已知log 7[log 3(log 2x )]=0,那么x -12等于( ) A.13 B.36 C.24D.332.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-log 2(x +1),x ≥0,2x -1,x <0,则f (f (3))=________.3.已知log 2(log 3(log 4x ))=0,且log 4(log 2y )=1.求x ·y 34的值.4.分贝是计量声音强度相对大小的单位.物理学家引入了声压级(spl)来描述声音的大小:把一很小的声压P 0=2×10-5 帕作为参考声压,把所要测量的声压P 与参考声压P 0的比值取常用对数后乘以20得到的数值称为声压级.声压级是听力学中最重要的参数之一,单位是分贝(dB).分贝值在60以下为无害区,60~110为过渡区,110以上为有害区.(1)根据上述材料,列出分贝y 与声压P 的函数关系式;(2)某地声压P =0.002帕,试问该地为以上所说的什么区,声音环境是否优良?。
人教版高中数学必修第一册4.3.1对数的概念【课件】
(1) 设 x=log7
7
,则 7x=
1
7 , 即 7x=72 ,
所以 x=12 .
(2) 设 x=log927,根据对数的定义知 9x=27,即 32x=33,所以 2x=3,得 x=32 , 所以 log927=32 .
(3)
设 x=log 1
16
1 8
,所以
1 16
x
=18
,即
1 2
4
;(5) log33=
;(6) logaa=
.
你从上述结果中能得出怎样的结论?
【活动3】 指数式与对数式的互化
【问题6】 对比 2x=3 和 log23=x,你发现了什么?
【问题7】 能否将指数式与对数式的互化写成一般形式?
【问题8】 求下列各式的值.
(1)
;(2)
. ;(3) log334;(4) lne-2.
解:(1) 因为 log3(lgx)=1,所以 lgx=31=3,所以 x=103=1 000. (2) 由 log3[log4(log5x)]=0 可
得 log4(log5x)=1,故 log5x=4,所以 x=54=625.
【方法规律】
(1) 求多重对数式的值的方法是由内到外,如求 loga(logbc) 时,先
【问题3】 对于等式ax=N (a>0,且a≠1),如何表示这里的x?
【活动2】 认识和理解对数的概念 【问题4】 对数的真数可以取哪些值?能为零吗?可以为负数吗?
【问题5】
试说出下列各对数的值(a>0,a≠1):
(1) log51=
;(2) log31=
;(3) loga1=
;
(4) log55=
高数数学必修一《4.3.1对数的概念》教学课件
)
10-1=x
2.lg x=-1,指数式为________.
解析:lg x=-1,指数式为10-1=x.
三、对数的性质
1.对数的基本性质
零
负数
(1)________和________没有对数.
0
(2)loga1=________(a>0,且a≠1).
1
(3)logaa=________(a>0,且a≠1).
微点拨❷
b
指数式a =N,根式 =a和对数式logaN=b(N>0,a>0,且a≠1)
是同一种数量关系的三种不同表达形式,具体对应如下:
a
b
N
表达形式
ab=N
底数 指数
幂
=a 方根 根指数 被开方数
logaN=b 底数 对数
真数
对应的运算
乘方,由a,b求N
开方,由N,b求a
对数,由N,a求b
学霸笔记:
利用对数的性质求值的方法
(1)求解此类问题时,应根据对数的两个结论loga1=0和logaa=1(a>
0,且a≠1),进行变形求解,若已知对数值求真数,则可将其化为指
数式运算.
(2)已知多重对数式的值,求变量值,应从外到内求,逐步脱去“log”
后再求解.
跟踪训练3 (1)已知log2[log3(log4x)]=log3[log4(log2y)]=0,求x+y的
A.(1,+∞)
B.(0,1)∪ 1, + ∞
2
2
C.(0, )
D.( ,+∞)
3
3
答案:C
>0
2
2
解析:由题意知ቐ ≠ 1 ,解得0<a<3,所以实数a的取值范围是(0,3).故选C.
湘教版高中数学必修第一册-4.3.1对数的概念【课件】
C.loga2=M D.log2a=M
答案:B
解析:由对数的定义可知logaM=2.
)
2
3.若log8x=− ,则x的值为(
3
1
A.
B.4
C.2
4
)
1
D.
2
答案:A
2
−3
解析:由对数与指数的互化可得:x=8 =2
2
3×(−3)
1
= .
4
4.3 log3 2 +log21=________.
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)logaN是loga与N的乘积.( × )
(2)因为(-4)2=16,所以log(-4)16=2.( × )
(3)因为3x=81,所以log813=x.( × )
(4)log32=log23.( × )
2.若a2=M(a>0且a≠1),则有(
4.3.1
对数的概念
新知初探 课前预习
题型探究 课堂解透
新知初探 课前预习
1. 理解对数的概念.
2.理解对数的性质.
最新课程标准
学科核心素养
1. 理解对数的概念.(数学抽象)
2.掌握指数与对数的互化、简单求值.(数学运算)
教材要点
要点一 对数的概念
b
a
1.定义:如果 =N(a>0,且a≠1),那么数_____叫做以________
)
B. 2
2 D.2 2
0
(2)计算:log3[log3(log28)]=________.
解析:(1) 2
-1+ log2
2
1
2
4.3.1 对数的概念(课件)
自主学习
四.对数恒等式
1. alogaN= N (a>0 且 a≠1,N >0).
b 2.logaab= (a>0,且 a≠1).
思考 3:如何推出对数恒等式 alogaN=N(a>0 且 a≠1,N >0)吗?
因为 ax=N,所以 x=logaN,代入 ax=N 可得 alogaN=N.
自主学习
课后作业
对应课后练习
解读:恒等式 alogaN=N 与 logaab=b 的作用 1.alogaN=N 的作用在于能把任意一个正实数转化为以 a 为底的指数形式. 2.logaab=b 的作用在于能把以 a 为底的指数转化为一个实数.
小试牛刀
1.思辨解析(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)logaN 是 loga 与 N 的乘积.( × ) (2)(-2)3=-8 可化为 log(-2)(-8)=3.( × )
1 3
1 ,B
3
正确;
对于 C, log3 9 2 32 9 ,C 不正确;对于 D, log5 5 1 51 5,D 正确
当堂达标
3.对数式 log(a-2)(5-a)=b 中,实数 a 的取值范围是( )
A.(-∞,5)
B.(2,5)
C.(2,+∞)
D.(2,3)∪(3,5)
a-2>0 D 解析:∵a-2≠1
3.对数恒等式 alogaN=N (a>0 且 a≠1,N >0),logaab=b(a>0,且 a≠1).
经典例题
题型三
跟踪训练3 求下列各式中的 x 的值.
(1)log2(log3x)=0; (2)log2[log3(log2x)]=1.
4.3.1 对数的概念课件高一上学期数学人教A版【03】
(1)以10为底的对数叫做常用对数,并把log10N记为lg N. (2)以无理数e=2.718 28…为底的对数称为自然对数,并把
科普lo知g识eN记为ln N.
e在数学中是代表一个数的符号,其实还不
限于数学领域。在大自然中,建构,呈现的形
状,利率或者双曲线面积及微积分教科书、伯
努利家族等都离不开e的身影。
对数的性质
(1)loga1=_0__(a>0,且a≠1). (2)logaa=_1__(a>0,且a≠1). (3)0和负数__没__有_对__数___.
(4)对数恒等式:alogaN=__N__;logaax=__x_(a>0,且 a≠1,N>0).
例3.求下列各式中的x的值
(1)
log 64
x
(4)因为-lne2 x, 所以lne2 =-x,所以 ex e2 , x 2, x 2.
例4 2
求下列各式的值: (1)log981=_____.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
设log981=x,所以9x=81=92,故x=2,即log981= (2)log1=2._____0___.
设log1=x,所以x=1=0,故x=0,即log1=0. (3)ln e2=___2___.
设ln e2=x,所以ex=e2,故x=2,即ln e2=2.
课本P123练习2、3
方法技巧
对数式中求值的基本思想和方法 1.基本思想:在一定条件下求对数的值,或求对数式中参数字 母的值,要注意利用方程思想求解. 2.基本方法:(1)将对数式化为指数式,构建方程转化为指数问 题. (2)利用幂的运算性质和指数的性质计算.
例5 求下列各式中x的值: (1)log2(log5x)=0;
第4章-4.3.1-对数的概念-4.3.2-对数的运算法则高中数学必修第一册湘教版
D.3 < < 4
− 2 > 0,
【解析】由题意得ቐ − 2 ≠ 1,
5 − > 0,
解得2 < < 3或3 < < 5.
)
例1-2 [教材改编P115例1]
(1)将下列指数式改写成对数式:
24 = 16,2−5 =
1
.
32
【解析】log 2 16 = 4.
1
log 2
32
= −5.
③log
⑥log =
log
= log ⋅ log ;④
log
1
log
−log ;⑦
= log
其中恒成立的个数为( A
A.3
B.4
= log ;⑤ log = log ;
−
+
;⑧log
= −log
9
+ log 3 8 − 5log53 ;
【解析】原式
= 2log 3 2 − log 3 32 − log 3 9 + 3log 3 2 − 3 = 5log 3 2 − 5log 3 2 − 2 − 3 = −1.
(【巧解】2log 3 2 = log 3 4,5log53 = 3,原式
= log 3 4 −
A.2
B.9
C.4
【解析】∵ 3 = 4,
∴ = log 3 4.
∵ = log 2 3,
∴ = log 3 4 ⋅ log 2 3 =
2lg 2 lg 3
⋅
lg 3 lg 2
= 2.
D.5
4.3.1 对数的概念
课前篇
自主预习
一
二
三
二、常用对数与自然对数
1.(1)10b=a用对数式如何表示?
提示:b=log10a,简记为b=lg a.
(2)在科学计算器上,有一个特殊符号“ln”,你知道它是什么吗?
提示:符号“ln”是一种对数符号,它是用来计算以“e”为底的对数的.
(3)ln M=n用指数式如何表示?
提示:en=M.
2
答案:C
)
随堂演练
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
3.16、17世纪之交,随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展,
改进数字计算方法成了当务之急,数学家纳皮尔在研究天文学的过
程中,为简化计算发明了对数.直到18世纪,才由瑞士数学家欧拉发
现了指数与对数的互逆关系,即ab=N⇔b=logaN.现在已知a=log23,
2
x
1
A.4 =
2
2
D.log1 b=a
2
)
1
2
Hale Waihona Puke B. =441
C.x =
2
1
2
D.4 =x
(3)若对数 log(x-1)(4x-5)有意义,则 x 的取值范围是 (
5
5
A. ≤x<2
B. <x<2
4
5
C. <x<2 或 x>2
4
2
D.2≤x≤3
-1 > 0,
5
解析:(3)由题意得 -1 ≠ 1, 解得 x> ,且 x≠2.
B.
3
)
3
C. 3
4.3.1 对数的概念
∴4x=4,x=16.
(2)求下列各式中x的值:
①log27x=-23;
解 ∵log27x=-23,
∴
x
2
27 3
(33
)
2 3
=3-2=19.
②logx16=-4.
解 ∵logx16=-4, ∴x-4=16,即 x4=116=124, ∴x=12.
三、利用对数性质及对数恒等式求值
例3 求下列各式中x的值: (1)log2(log5x)=0; 解 ∵log2(log5x)=0,∴log5x=20=1, ∴x=51=5.
反思
感悟 要求对数的值,设对数为某一未知数,将对数式化为指数式,再利用指
数幂的运算性质求解.
跟踪训练2 (1)计算log927;log4 3 81 的值;
解 设x=log927,则9x=27,32x=33,
∴2x=3,x=32.
x
x
设 x log 4 3 81,则 4 3 =81, 34 =34,
3 随堂演练
PART THREE
1.将13-2=9 写成对数式,正确的是
A.log913=-2
C. log1 (2)=9
3
√B. log1 9 =-2
3
D.log9(-2)=13
解析 根据对数的定义,得 log1 9 =-2,故选B.
3
12345
2.若logax=1,则
A.x=1
B.a=1
√C.x=a
PART TWO
一、指数式与对数式的互化
例1 将下列指数式与对数式互化: (1)2-2=14; 解 log214=-2. (2)102=100;
解 log10100=2,即lg 100=2.
中职数学-对数函数概念
4.3.1 对数的概念一、教材分析 对数的概念选自《中等职业教育课程改革国家规划新教材数学教科书(基础模块)上册,是《指数函数与对数函数》这一章的基础内容,对数的引入是进一步解决方程)10(≠>=a a N a b且 中已知两个量求第三个量的问题的延续:是初中所学幂运算的必要补充,也是4.2.1所学指数运算的逆运算;是“概念—运算—函数”研究路径的又一次强化,也是对数运算乃至对数函数学习的启蒙课;是大数处理的关键概念和必备工具,也是高中对数函数模型学习的必要准备. 对数概念的引入充满逻辑推理的必然性奥义,也渗透着一般概念建构以及创生的多个方面:在建构概念的过程中既要考虑要概念的存在性和引入的必然性,还要考虑新概念与旧知识的相互关联和印证,更要关注新概念下知识体系的逐步搭建.因此,这部分内容对于培养学生的创新精神,渗透数学学习过程中的逻辑推理、形象直观、数学运算素养有不容忽略的价值,应当引起充分重视!二、学情分析高一学生已经学习了函数的概念、函数的表示方法与函数的一般性质,对函数有了初步的认识.学生已经完成了分数指数幂和指数函数的学习,了解了研究函数的一般方法,经历过从特殊到一般,具体到抽象的研究过程.对数的概念对学生来说,是全新的,需要教师引导学生利用指数与指数函数的相关知识理解对数的概念.在教学过程中,力求让学生体会运用从特殊到一般,类比等数学方法来理解对数式与指数式之间的内在联系,将对数这一新知纳入已有的知识结构中. 三、教学设计学科 中职数学 课题 4.3.1对数的概念课型新授课 授课班级授课人教学目标知识与技能理解对数的概念,了解对数与指数的关系;掌握对数式与指数式的互化;理解对数的性质,掌握以上知识并形成技能。
过程与方法通过事例使学生认识对数的模型,体会引入对数的必要性;通过师生观察分析得出对数的概念及对数式与指数式的互化。
通过学生分组探究进行活动,掌握对数的重要性质。
培养学生的类比、分析、归纳,等价转化能力。