2015年高中数学3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)学业达标测试新人教A版必修4
3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (2)
3. 1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式三维目标1.在学习两角差的余弦公式的基础上，通过让学生探索、发现并推导两角和与差的正弦、余弦、正切公式,了解它们之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对公式的理解，培养学生的运算能力及逻辑推理能力，从而提高解决问题的能力.2.通过两角和与差的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明，使学生深刻体会联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题解决问题的能力.3.通过本节学习，使学生掌握寻找数学规律的方法，提高学生的观察分析能力，培养学生的应用意识，提高学生的数学素质.重点难点教学重点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导.教学难点：灵活运用所学公式进行求值、化简、证明.教学过程1、提出问题①还记得两角差的余弦公式吗？请写出。
中，角β是任意角，请思考角α-β中β换成角-β是否可以？②在公式C(α-β)来推导此时观察角α+β与α-(-β)之间的联系，如何利用公式C(α-β)cos(α+β)=?结论1、我们称以上等式为两角和的余弦公式，记作C(α+β).③分析观察C(α+β)的结构有何特征？④在公式C(α-β)、C(α+β)的基础上能否推导sin(α+β)=?sin(α-β)=?结论2、因此我们得到两角和与差的正弦公式，分别简记为S(α+β)、S(α-β).⑤公式S(α-β)、S(α+β)的结构特征如何？⑥对比分析公式C(α-β)、C(α+β)、S(α-β)、S(α+β)，能否推导出ta n(α-β)=?tan （α+β）=？结论3、由此推得两角和、差的正切公式，简记为T (α-β)、T (α+β).tan(α+β)=,tan tan 1tan tan βαβα-+tan(α-β)=.tan tan 1tan tan βαβα+-⑦分析观察公式T (α-β)、T (α+β)的结构特征如何？我们把前面六个公式分类比较可得C (α+β)、S (α+β)、T (α+β)叫和角公式；S (α-β)、C (α-β)、T (α-β)叫差角公式.归纳总结以上六个公式的推导过程，得出以下逻辑联系图.通过逻辑联系图，深刻理解它们之间的内在联系，借以理解并灵活运用这些公式.同时应注意：不仅要掌握这些公式的正用，还要注意它们的逆用及变形用.如两角和与差的正切公式的变形式 2、应用示例例1 已知sinα=53-,α是第四象限角，求sin(4π-α),cos(4π+α),tan(4π-α)的值.练习：课本课后练习1、2、3、4、题例2 利用和差角公式计算下列各式的值. （1）sin72°cos42°-cos72°sin42°;（2）cos20°cos70°-sin20°sin70°;（3）15tan 115tan 1-+练习：课本课后练习5、6、7、题例3 求证：cosα+3sinα=2sin(6π+α).（两种方法）练习：化简下列各式： （1）3sinx+cosx; （2）2cosx-6sinx.3、课堂小结通过本节课的学习，要熟练掌握运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式解决三角函数式的化简、求值、恒等证明等问题,灵活进行角的变换和公式的正用、逆用、变形用等.推导并理解公式asinx+bcosx=22b a sin(x+φ)，运用它来解决三角函数求值域、最值、周期、单调区间等问题. 4、作业布置习题3.1 A 组7、13(1) (3) (5) (7) (9)。
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)
二次备课3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式（二） 【学习目标】1、知识与技能目标理解两角和与差的余弦、正弦和正切公式，体会三角恒等变换特点的过程；2、过程与方法目标掌握两角和与差的余弦、正弦和正切公式的应用及ααcos sin b a +类型的变换3、情感态度与价值观目标：使学生体会到一般与特殊，换元等数学思想在三角恒恒等变化中的作用【学习重点】两角和、差正弦和正切公式的运用；【学习难点】两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用.【学习过程】一、复习引入：（1）基本公式βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=- βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- βαβαβαs i n s i n c o s c o s )c o s (-=+βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅+-=-βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅-+=+ （2）练习：教材P132面第6题。
思考：怎样求ααcos sin b a +类型？二、讲解新课：例1、化简2cos 6sin x x - 解：此题与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式不相象，但我们能否发现规律呢？()()132cos 6sin 22cos sin 22sin30cos cos30sin 22sin 3022x x x x x x x ⎛⎫-=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭思考：22是怎么得到的？()()222226=+，我们是构造一个叫使它的正、余弦分别等于12和32的. 归纳：ba b a b a =++=+ϕϕαααtan )sin(cos sin 22 例2、已知：函数R x x x x f ∈-=,cos 32sin 2)(（1） 求)(x f 的最值。
（2）求)(x f 的周期、单调性。
二次备课 例3．已知A 、B 、C 为△ABC 的三內角，向量)3,1(-=m ，)sin ,(cos A A n = ，且1=∙n m ，（1） 求角A 。
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)(正式)
简记为T( )
称为两角差的正切公式.
展：教师引导学生，学生回答问题
两角和与差的正切公式
tanα+ tanβ tan(α+β)= 1 - tanαtanβ
tanα- tanβ tan(α-β)= 1+ tanαtanβ
注意：1必须在定义域范围内使用上述公式。
即：tan，tan，tan(±)只要有一个不存 在就不能使用这个公式，只能（也只需）用诱 tan( ) 不 导公式来解。如:已知tan =2,求 2 能用 T
展：教师引导学生，学生回答问题，也可以学生板书 公式的活用
2 1 例3. 已知 tan , tan( ) , 5 4 4 求 tan( ). 4
解： tan( ) tan(( ) ( )) 4 4 tan( ) tan( ) 3 4 . 22 1 tan( ) tan( ) 4
(2) ， tan = 1. 4 1 tan tan tan 1 tan 1 tan tan tan tan .
注意题目当中“1” 的变换技巧
3.1.2
两角和与差的正弦
、余弦、正切公式（二）
学习目标 1.掌握两角和与差的正切公式；(重点） 2.能够利用公式进行简单的三角函数式
的求值、化简和证明. (重、难点）
导
复习旧课
两角差余弦公式：
(C( ) )
cos( ) cos cos sin sin
两角和余弦公式：
(C( ) )
cos( ) cos cos sin sin
3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式
一、复习引入
cos( ) coscos sinsin
cos cos[( ) ] cos( )cos sin( )sin
cos cos[( ) ] cos( )cos sin( )sin
一、复习引入 两角差的余弦公式C（α-β）
+
=(
-
)+(
-
)
2
2
2
三、例题分析 逆用公式
例4：利用和（差）角公式计算下列各式的值：
（1）sin 720 cos 420 cos 720 sin 420;
（2）cos 200 cos 700 sin 200 sin 700;
1 tan150 (3) 1 tan150
解：（1)由公式得： sin72。cos 42。 cos 72。sin 42。
诱导公式五：cos( ) sin
2
二、基础知识讲解
sin( ) cos[ ( )]
2
cos[( ) ]
2
cos( ) cos sin( )sin
2
2
sin cos cos sin
sin( ) cos[ ( )]
2
cos[( ) ]
2
sin(
) a2 b2 2
2
三、例题分析
例5.已知sin( ) 2 , sin( ) 2 , 求 tan 的值.
3
5 tan
分析 : tan sin cos ,从已知条件中,应用方程 tan cos sin
的思想解出sin cos ,cos sin 代入即可.
三、例题分析
sin(72。 42。) sin 30。 1 ; (2) cos 20。cos 70。 sin 20。2sin 70。
高一数学(3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式)
两角和与差的正弦、 余弦、正切公式
问题提出 1.两角差的余弦公式是什么？它有哪些基本 变式？
2.利用两角差的余弦公式固然能解决一些问 题，但范围太窄，我们希望在此基础上获取 一系列有应用价值的公式，实现资源利用和 可持续发展战略. 3.有了两角差的余弦公式，自然想得到两角 差的正弦、正切公式，以及两角和的正弦、 余弦、正切公式，对此，我们将逐个进行探 究，让希望公式
理论迁移
小结作业
3.公式都是有灵性的，应用时不能生搬硬套， 要注意整体代换和适当变形.
作业： P131练习：3，4，5，6.
人教版数学高一学案两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)
3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)学习目标 1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用.知识点一两角和与差的正切公式思考1怎样由两角和的正弦、余弦公式得到两角和的正切公式？思考2由两角和的正切公式如何得到两角差的正切公式？梳理名称简记符号公式使用条件两角和的正切T(α＋β)tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβα，β，α＋β均不等于kπ＋π2(k∈Z)两角差的正切T(α－β)tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβα，β，α－β均不等于kπ＋π2(k∈Z)知识点二两角和与差的正切公式的变形(1)T(α＋β)的变形：tanα＋tanβ＝________________.tanα＋tanβ＋tanαtanβtan(α＋β)＝________. tanαtanβ＝________________.(2)T(α－β)的变形：tanα－tanβ＝________________.tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝________. tan αtan β＝________________.类型一 正切公式的正用例1 (1)已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为________.(2)已知α，β均为锐角，tan α＝12，tan β＝13，则α＋β＝______.反思与感悟 (1)注意用已知角来表示未知角. (2)利用公式T (α＋β)求角的步骤： ①计算待求角的正切值.②缩小待求角的范围，特别注意隐含的信息. ③根据角的范围及三角函数值确定角.跟踪训练1 已知θ是第四象限角，且sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝________.类型二 正切公式的逆用 例2 (1)1＋tan15°1－tan15°＝________；(2)1－3tan75°3＋tan75°＝________.反思与感悟 注意正切公式的结构特征，遇到两角正切的和与差，构造成与公式一致的形式，当式子出现12，1，3这些特殊角的三角函数值时，往往是“由值变角”的提示.跟踪训练2 求下列各式的值： (1)cos75°－sin75°cos75°＋sin75°； (2)1－tan27°tan33°tan27°＋tan33°.类型三 正切公式的变形使用例3 (1)化简：tan23°＋tan37°＋3tan23°tan37°；(2)若锐角α，β满足(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，求α＋β的值.反思与感悟 两角和与差的正切公式有两种变形形式： ①tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)或②1∓tan α·tan β＝tan α±tan βtan (α±β).当α±β为特殊角时，常考虑使用变形形式①，遇到1与正切的乘积的和(或差)时常用变形形式②.合理选用公式解题能起到快速、简捷的效果.跟踪训练3 在△ABC 中，A ＋B ≠π2，且tan A ＋tan B ＋3＝3tan A tan B ，则角C 的值为( )A.π3B.2π3C.π6D.π41.若tan α＝3，tan β＝43，则tan(α－β)等于( )A.13B.－13C.3D.－32.已知cos α＝－45，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan ⎝⎛⎭⎫π4－α等于( ) A.－17B.－7C.17D.73.已知A ＋B ＝45°，则(1＋tan A )(1＋tan B )的值为( ) A.1B.2C.－2D.不确定4.已知A ，B 都是锐角，且tan A ＝13，sin B ＝55，则A ＋B＝________.5.已知sin α＋cos αsin α－cos α＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________.1.公式T (α±β)的结构特征和符号规律(1)公式T (α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和.(2)符号变化规律可简记为“分子同，分母反”. 2.应用公式T (α±β)时要注意的问题 (1)公式的适用范围由正切函数的定义可知，α、β、α＋β(或α－β)的终边不能落在y 轴上，即不为k π＋π2(k ∈Z ).(2)公式的逆用一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换如tan π4＝1，tan π6＝33，tan π3＝3等.特别要注意tan(π4＋α)＝1＋tan α1－tan α，tan(π4－α)＝1－tan α1＋tan α.(3)公式的变形应用只要用到tan α±tan β，tan αtan β时，有灵活应用公式T (α±β)的意识，就不难想到解题思路. 特别提醒：tan α＋tan β，tan αtan β，容易与根与系数的关系联系，应注意此类题型.答案精析问题导学 知识点一思考1 tan(α＋β)＝sin (α＋β)cos (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin βcos αcos β－sin αsin β，分子分母同除以cos αcos β，便可得到. 思考2 用－β替换tan(α＋β)中的β即可得到. 知识点二(1)tan(α＋β)(1－tan αtan β) tan(α＋β) 1－tan α＋tan βtan (α＋β)(2)tan(α－β)(1＋tan αtan β) tan(α－β) tan α－tan βtan (α－β)－1题型探究例1 (1)3 (2)π4 跟踪训练1 －43例2 (1)3 (2)－1跟踪训练2 解 (1)原式＝1－tan 75°1＋tan 75°＝tan 45°－tan 75°1＋tan 45°tan 75°＝tan(45°－75°)＝tan(－30°)＝－tan 30°＝－33. (2)原式＝1tan (27°＋33°)＝1tan 60°＝33.例3 解 (1)方法一 tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37° ＝tan(23°＋37°)(1－tan 23°tan 37°)＋3tan 23°tan 37° ＝tan 60°(1－tan 23°tan 37°)＋3tan 23°tan 37°＝ 3. 方法二 ∵tan(23°＋37°)＝tan 23°＋tan 37°1－tan 23°tan 37°，∴3＝tan 23°＋tan 37°1－tan 23°tan 37°，∴3－3tan 23°tan 37°＝tan 23°＋tan 37°， ∴tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37°＝ 3. (2)∵(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝1＋3(tan α＋tan β)＋3tan αtan β＝4， ∴tan α＋tan β＝3(1－tan αtan β)，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝ 3.又∵α，β均为锐角，∴0°<α＋β<180°， ∴α＋β＝60°. 跟踪训练3 A 当堂训练1.A2.D3.B4.π45. 43。
3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(2)
解:(2)函数 f ( x )
sin( 2 x ) 可将函数y=sinx 2 2 3 图像上所有的点向右平移 个单位长度，得到函数 3 2 2 ) 图象上所 y sin( x )的图象; 再将 y sin( x 3 3 1 有的点的横坐标缩短为原来的 倍(纵坐标不变) ,得 2 2 2 y sin( 2 x ) 到函数 的图象; 最后将 y sin( 2 x ) 3 3 2 的图像上所有点的纵坐标缩短为原来 倍(横坐标不 2 变)得到函数 f(x) 的图象.
四、课时小函数公式,注意公式的灵活运用:
(1)注意已知式子的结构特征, 灵活运用公式(如 逆用公式);
( 2)掌握形如a sin x b cos x(a , b R, ab 0)的式子 如何化为一个角的一种三角函数的形式;
(3)注意知识的综合运用, 如结合同角三角函数的 基本关系式、诱导公式进行转化, 结合三角函数 的图象和性质解决相关问题.
2 6 若f ( x ) sin 2 x sin 2 x , x R. 4 3 4 6 ( 2)函数 f ( x )的图象可由函数 y sin x , x R的图象 经过怎样的平移和伸缩变换得到 ? 2 2
sin( 2 x ) 可将函数y=sinx 方法二:(2)函数 f ( x ) 2 3 1 图象上所有的点的横坐标缩短为原来的 倍(纵坐标不 2 变) ,得到函数 y sin 2 x 的图象;
2 6 若f ( x ) sin 2 x sin 2 x , x R. 4 3 4 6 (1)求函数 f ( x )的周期及最大值; 2x 2x
2 1 3 解 : (1) f ( x ) cos( 2 x ) sin( 2 x ) 2 2 3 2 3
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式【知识导航】1.能根据两角差的余弦公式导出并记住两角和与差的正弦、余弦、正切公式,并灵活运用.2.能熟练地把a sin x+b cos x 化为A sin(ωx+φ)的形式. 【知识梳理】和角、差角公式如下表:归纳总结1.一般情况下,sin(α±β)≠sin α±sin β,cos(α±β)≠cos α±cos β,tan(α±β)≠tan α±tan β.2.和差角公式是诱导公式的推广,诱导公式是和差角公式的特例.如sin(2π-α)=sin2πcos α-cos2πsin α=0×cos α-1×sin α=-sin α.当α或β中有一个角是π2的整数倍时,通常使用诱导公式较为方便.3.使用公式时不仅要会正用,还要能够逆用公式,如化简sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β时,不要将sin(α+β)和cos(α+β)展开,而应采用整体思想,进行如下变形:sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β=sin[(α+β)-β]=sin α.这也体现了数学中的整体原则.4.注意公式的结构特征和符号规律. 对于公式C (α-β),C(α+β)可记为“同名相乘,符号反”;对于公式S(α-β),S(α+β)可记为“异名相乘,符号同”.【做一做1】若tan α=3,tan β=43,则tan(α−β)= ( ) A.-3B.−13C.3D.13解析:tan(α-β)=tan α-tan β=3-431+3×43=1.答案:D【做一做2】sin 75°的值为( ) A . 2-12 B. 2+12C.6-24D.6+24解析:sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30°=6+24.答案:D【做一做3】cos 75°=.解析:cos75°=cos(45°+30°)=cos45°cos30°-sin45°sin30°=22×32−22×12=6-24.答案:6-24化简a sin α±b cos α(ab≠0)剖析:逆用两角和与差的正弦公式,凑出sinαcosθ±cosαsinθ的形式来化简.a sinα±b cosα= a2+b2a2+b α±a2+bα ,∵a2+b22+a2+b22=1,∴可设cosθ=a2+b sinθ=a2+b则tanθ=b(θ又称为辅助角).∴a sinα±b cosα=2+b2(sinαcosθ±cosαsinθ)= a2+b2sin(α±θ).特别是当b=±1,±3,±3时,θ是特殊角,此时θ取±π,±π,±π.例如,3sinα-33cosα=9+279+27α39+27α=61sinα-3cosα=6sinαcosπ-cosαsinπ=6sin α-π.【例1】求下列各式的值:(1)sin 347°cos 148°+sin 77°cos 58°;(2) 3sinπ12+cos π12. 分析:本题(1)可先用诱导公式再逆用两角和的正弦公式求解,本题(2)可构造两角和的正弦公式求解.解:(1)原式=sin(360°-13°)cos(180°-32°)+sin(90°-13°)cos(90°-32°) =sin13°cos32°+cos13°sin32°=sin(13°+32°) =sin45°= 22.(2)原式=2 32sin π12+12cos π12 =2 sinπ12cos π6+sin π6cos π12 =2si n π+π=2sin π= 2.反思解答此类题目的方法就是活用、逆用C (α±β),S(α±β)公式,在解答过程中常利用诱导公式实现角的前后统一.【变式训练1】求sin(x+27°)cos(18°-x )-cos(x+27°)·sin(x-18°)的值. 解:原式=sin(x+27°)cos(18°-x )+cos(x+27°)·sin(18°-x ) =sin(x+27°+18°-x )=sin45°=22.题型二给值(式)求值问题【例2】已知cos α=13,α∈ 0,π2 ,sin β=−35,β是第三象限角,求sin(α+β),sin(α−β)的值.分析:求出sin α,cos β的值,代入公式S (α±β)即可. 解:∵cos α=1,α∈ 0,π,∴sin α= 1-cos 2α=23 2. ∵sin β=−3,β是第三象限角, ∴cos β=− 1-sin 2β=−4. ∴sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=23 2× -45 +13× -35 =−3+8 215. sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=23 2× -45 −13× -35 =3-8 215.反思分别已知α,β的某一三角函数值,求sin(α±β),cos(α±β),tan(α±β)时,其步骤:(1)利用同角三角函数基本关系式求出α,β其余的三角函数值;(2)代入公式S (α±β),C(α±β),T(α±β)计算即可.【变式训练2】(1)已知sin α=−35,α是第四象限角,则sin π4-α = . (2)已知锐角α,β满足tan(α-β)=13,tan β=12,求角α的值. (1)解析:由sin α=−3,α是第四象限角,得cos α=4,∴si n π-α =sin πcos α-co s πsin α=2×4− 2× -3 =7 2. 答案:7 2(2)解:tan α=tan[(α-β)+β]=tan (α-β)+tan β1-tan (α-β)tan β=13+121-13×12=1.∵α为锐角,∴α=π4.题型三利用角的变换求值【例3】已知cos(α+β)=4,cos(α−β)=−4,3π<α+β<2π,π<α−β<π,求cos 2α的值.分析:解答本题关键是探寻α+β,α-β与2α之间的关系,再利用两角和的余弦公式求解. 解:∵cos(α+β)=4,3π<α+β<2π,∴sin(α+β)=− 1- 4 2=−3. ∵cos(α-β)=−45,π2<α−β<π,∴sin(α-β)= 1- -45 2=35.∴cos2α=cos[(α+β)+(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)-sin(α+β)sin(α-β)=45× -45 − -35 ×35=−725. 反思解此类问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示出来.(1)当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式,如本题. (2)当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.(3)角的拆分方法不唯一,可根据题目合理地选择拆分方式.【变式训练3】已知α,β∈3π4,π ,sin(α+β)=−35,sin β-π4=1213,求cos α+π4的值.解:∵α,β∈3π4,π ,sinα+β=−35,sin β-π4=1213,∴α+β∈3π2,2π ,β−π4∈π2,3π4,∴cos(α+β)=4,cos β-π=−5.则co s α+π4=cos(α+β)- β-π4=cos(α+β)co s β-π4+sinα+βsin β-π4=45×-513+-35×1213=−5665.题型四易错辨析易错点不能准确判断角的范围致错【例4】已知π<α<α+β<2π,且满足cos α=−12,cos(α+β)=172,求β.错解:∵cosα=−12,cos(α+β)=172,且π<α<α+β<2π,∴sinα=−5,sin(α+β)=−72.∴sinβ=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα=22.∵π<α<α+β<2π,∴0<β<π.∴β=π或3π.错因分析:以上错解是由于求β的三角函数值时,函数选择不当所致.由于满足sinβ=2且β∈(0,π)的β有两值,两值的取舍就是个问题,事实上cosβ=−2,故β=3π,只有一值,故应计算角β的余弦值.正解:∵cosα=−12,cos(α+β)=172,且π<α<α+β<2π,∴sinα=−5,sin(α+β)=−7226.∴cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=−22.∵π<α<α+β<2π,∴0<β<π.∴β=3π.反思此类题目是给值求角问题,一般步骤是:(1)先确定角α的范围,且使这个范围尽量小;(2)根据(1)所得范围来确定求tanα,sinα,cosα中的一个值,尽量使所选函数在(1)得到的范围内是单调函数;(3)求α的一个三角函数值;(4)写出α的大小.。
高中数学必修四3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)
3．
1 tan15 1 tan 45 tan15
教 例 2、化简 2 cos x 6 sin x
学
解：此题与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式不相象，但我
过 们能否发现规律呢？
1
3
程
2 cos x 6 sin x 2 2 cos x
sin x 2 2 sin 30 x
2
2
及 思考： 2 2 是怎么得到的？
1 tan tan
及
tan(
tan tan )
1 tan tan
方
（二）新课讲授
法
例 1、利用和（差）角公式计算下列各式的值：
（ 1）、 sin 72 cos42 cos72 sin 42 ；
学生回答
（ 2）、 cos20 cos70
sin 20
sin 70
1
；（ 3）、
tan15
．
1 tan15
分析：逆用两角和与差正弦、余弦和正切公式 1
3
问题与情境及教师活动
学生活动
解：（ 1）、
sin 72 cos42 cos72 sin 42 sin 72 42
sin 30 1 2
（2）、cos20 cos70 sin 20 sin 70 cos 20 70 cos90 0 ；
（3）1 tan15 tan 45 tan15 tan 45 15
tan 60
（ 1） 求 f (x) 的最值。（ 2）求 f (x) 的周期 .
（ 3） 求 f (x) 的单调性。 教
学 分析：将函数化为 f x
1 4 sin x
2
3 cos x
2
4sin( x 60 )
3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)
第三章 三角恒等变换3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（二）（两个课时）主备教师：穆云映一、内容及其解析：本节课要学的内容两角和与差的正弦、余弦、正切公式指的是两角和与差的正弦、余弦、正切公式的运用，其关键是两角和与差的正弦、余弦、正切公式运用, 理解它关键就是要熟练掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式。
学生已经学过两角和与差的正弦、余弦、正切公式，本节课的内容是两角和与差的正弦、余弦、正切公式的熟练运用。
由于它还与半角和倍角公式有紧密的联系,所以在章有着重要的地位，是三角变换的核心内容。
教学的重点是两角和与差的正弦、余弦、正切公式的运用，解决重点的关键是熟练掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式。
二、目标及其解析1、目标定位：理解两角和、差的正弦、余弦和正切公式，体会三角恒等变换的特点，能熟练运用公式。
2、目标解析：理解两角和、差的正弦、余弦、正切公式，并能熟练运用公式。
三、问题诊断分析在本节课的教学中，学生可能遇到的困难是两角和、差的正弦、余弦、正切公式运用，产生这一困难的原因是学生对公式不理解或记不住。
要解决这一困难，就要熟练掌握两角和、差的正弦、余弦、正切公式，其关键是理解公式的由来。
四、教学支持条件分析在本节课在例题讲授的教学中，准备使用幻灯片演示。
因为使用幻灯片，有利于节约时间及理解推理过程。
五、教学过程设计1、复习式导入：基本公式βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅+-=- βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅-+=+2、新课讲授问题：怎样求ααcos sin b a +类型的值？先来看下面的几个问题（1）、你能求x x sin 23cos 21-的值吗？ （2）、还能求x x cos sin 3+的值吗？（3）x x解：此题与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式不相象，但我们能否发现规律呢？)()1cos sin 30cos cos30sin 302x x x x x x x ⎫==-=-⎪⎪⎭思考：=，我们是构造一个叫使它的正、余弦分别等于12和2的. 归纳：b a b a b a =++=+ϕϕαααtan )sin(cos sin 22 例、已知：函数R x x x x f ∈-=,cos 32sin 2)(（1）、求)(x f 的最值；（2）求)(x f 的周期、单调性。
高中数学两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3_1_2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式达标训练
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式更上一层楼基础•巩固1.tan10°·tan20°+3(tan10°+tan20°)的值等于( ) A.31B.1C.3D.6 思路分析:∵3330tan 20tan 10tan 120tan 10tan =︒=︒∙︒-︒+︒，∴tan10°+tan20°=33(1-tan10°·tan20°). ∴原式=tan10°·tan20°+1-tan10°·tan20°=1. 答案:B2.若sin(α-β)cos α-cos(α-β)sin α=m ，且β为第三象限角，则cos β的值为( ) A.21m - B.21m -- C.12-mD.12--m思路分析:由条件，得sin ［(α-β)-α］=sin(-β)=-sin β=m ，∴sin β=-m.又∵β为第三象限角，∴cos β=221sin 1m --=--β.答案:B3.若tan θ=31，则cos 2θ-21sin2θ的值等于( ) A.65- B.54- C.53 D.54思路分析:∵sin2θ=sin(θ+θ)=2sin θcos θ，tan θ=31，∴原式=53)31(1311tan 1tan 1sin cos cos sin cos 22222=+-=+-=+-θθθθθθθ. 答案:C4.若tan(α+β)=52，tan(β-4π)=41，那么tan(α+4π)等于( ) A.1613 B.223 C.2213 D.163 思路分析:tan(α+4π)=tan ［(α+β)-(β-4π)］223415214152)4tan()tan(1)4tan()tan(=∙+-=-∙++--+πββαπββα. 答案:B5.函数y=2sin(3π-x)-cos(6π+x),(x∈R )的最小值是__________. 思路分析:y=2sin 3πcosx-2cos 3πsinx-cos 6πcosx+sin 6πsinx=3cosx-sinx 23-cosx+21sinx=23cosx 21-sinx=cos(x-6π).所以函数的最小值为-1.答案:-16.设tan α=71，tan β=31，α、β均为锐角，则tan(α+2β)=_________. 思路分析:∵tan β=31，∴tan2β=tan(β+β)=43)31(1312tan 1tan 222=-⨯=-ββ. 又∵tan α=71，∴tan(α+2β)=14371143712tan tan 12tan tan =⨯-+=∙-+βαβα. 答案:1 综合•应用7.已知锐角三角形ABC 中，sin(A+B)=53,sin(A-B)=51， (1)求证：tanA=2tanB ；(2)设AB=3，求AB 边上的高. (1)证明：∵sin(A+B)=53,sin(A-B)=51， ∴2tan tan 51sin cos 52cos sin 51sin cos cos sin 53sin cos cos sin =⇔⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇔⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+B A B A B A B A B A B A B A . ∴tanA=2tanB.(2)解：∵2π＜A+B ＜π,sin(A+B)=53,∴tan(A+B)=43-，即43tan tan 1tan tan -=-+B A B A ，将tanA=2tanB 代入上式并整理得 2tan 2B-4tanB-1=0.解之,得tanB=262±,舍去负值得tanB=262+. ∴tanA=2tanB=62+.设AB 边上的高为CD ，则AB=AD+DB=623tan tan +=+CDB CD A CD . 由AB=3，得CD=62+.所以AB 边上的高等于62+.8.重量为G 的小车在地面上，卷扬机通过定滑轮牵引着它(如图3-1-8)，小车和地面间的动摩擦因数为μ，问牵引角φ等于多大时，用力最小？图3-1-8思路分析:作出小车的受力分析如右图，由平衡条件得关于各力的方程，消元求解即可.解:由小车的受力分析可得⎪⎩⎪⎨⎧==-+=-.,0sin ,0cos N f G f N f F μϕϕ 解得)cos(1)sin sin cos (cos 1sin cos 22ϕαμμϕαϕαμμϕμϕμ-+=++=+=GG G F . 要使F 最小，分母应最大，即cos(α-φ)=1，α=φ. 又tan α=μ，所以当φ=arctan μ时，F 最小，最小值为F min =21μμ+G=Gsin α=Gsin φ.9.tan α、tan β是方程x 2-3x-3=0的两个根，试求sin 2(α+β)-3sin(α+β)cos(α+β)-3cos 2(α+β)的值.思路分析:本题考查同角三角函数基本关系式和两角和与差的正切公式的应用.在解题过程中，要利用两角和的正切公式统一角，再用同角三角函数间的基本关系统一函数.在解决三角函数问题里，常需要遵循这样的原则：化简、计算、证明.解:由已知tan α、tan β是方程x 2-3x-3=0的两个根，根据韦达定理，有tan α+tan β=3，tan α·tan β=-3. 所以tan(α+β)=43)3(13tan tan 1tan tan =--=-+βαβα.所以sin 2(α+β)-3sin(α+β)cos(α+β)-3cos 2(α+β))(cos )(sin )(cos 3)cos()sin(3)sin(2222βαβαβαβαβαβα++++-++-+=1)(tan 3)tan(3)(tan 22++-+-+=βαβαβα〔分子、分母同时除以cos 2(α+β)可得此式〕 31)43(3433)43(22-=+-∙-=. 10.如图3-1-9，扇形薄铁板的半径是1 m ，中心角为60°，四边形PQRS 是扇形的内接矩形，如何截取才能使得矩形PQRS 的面积最大？图3-1-9思路分析:可以设∠POS=α，然后将矩形的两边用α的三角函数式来表示，经过适当变形转化成一个三角函数，进而求出最大面积.解:令∠POS=α，在Rt△POS 中，PS=OP·sin α=sin α，OS=OP·cos α=cos α； 在Rt△ROQ 中，OR=QR·cot60°=33QR=33PS=33sin α. RS=OS-OR=cos α-33sin α. S 矩形=PS·RS=(cos α-33sin α)sin α=sin αcos α-33sin 2α632cos 632sin 212)2cos 1(332sin 21-+=-∙-=αααα 63)302sin(3363)2cos 212sin 23(33-︒+=-+=ααα. 当α=30°时，上式有最大值，最大值为63.回顾•展望11.(2006苏州统考) 是否存在锐角α、β，使得①α+2β=32π，②tan 2αtan β=2-3同时成立？若存在，求出锐角α、β的值；若不存在，请说明理由.思路分析:对于探索存在性问题，通常先假设存在，然后求解，如果能求出结果，则说明存在，否则就说明不存在.解:假设存在锐角α、β使得①α+2β=32π，②tan 2αtan β=32-同时成立. 由①得2α+β=3π，所以tan(2α+β)=3tan 2tan1tan 2tan=-+βαβα. 又tan2αtan β=32-，所以tan 2α+tan β=33-. 于是tan 2α、tan β可以看成是方程x 2-(3-3)x+2-3=0的两个根.解得x 1=1，x 2=32-.若tan2α=1，则α=2π，这与α为锐角矛盾.所以tan 2α=32-，tan β=1.所以α=30°，β=45°.所以存在满足条件的α、β且α=30°，β=45°. 12.(2006安徽高考) 已知0＜α＜2π,sin α=54,(1)求αααα2++2cos cos 2sin sin 2的值； (2)求tan(α-45π)的值. 思路分析:化复角为单角，利用公式展开. 解:(1)由0<α<2π,sin α=54，得cos α=53，所以201cos 3cos sin 2sin 2cos cos 2sin sin 2222=-+=++αααααααα. (2)∵tan α=34cos sin =αα，∴tan(α-45π)=71tan 11tan =+-a α.。
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)知识点梳理两角和与差的正切公式T (α+β)：tan(α+β)=tan α＋tan β1－tan αtan β ；T (α－β)：tan(α－β)=tan α－tan β1＋tan αtan β． 【预习自我评估】(1) 若tan )4(πα+=31,则tan α=________． .答案-21 (2)求值：75tan 175tan 1-+=________． 答案 －3常考题分类整理题型一 两角和与差的正切公式的正用、逆用、变形用【例1】 (1)若tan α=13,tan(α+β)=12,则tan β=( ) A ．17 B ．16 C ．57 D ．56解析 tan β=tan [(α+β)－α]=tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)tan α=17．答案 A (2)1－3tan 75°3＋tan 75°=________； 解析 原式=1－tan 60°tan 75°tan 60°＋tan 75°=1tan (60°＋75°)=1tan 135°=－1．答案 －1 (3)求值：tan 23°+tan 37°+3tan 23°tan 37°=________．解析∵tan 23°+tan 37°=tan 60°(1－tan 23°tan 37°),∴原式=3－3tan 23°tan 37°+3tan 23°tan 37°=3．答案 3 方法总结 公式T (α±β)的逆用及变形应用的解题策略(1)“1”的代换：在T (α±β)中,如果分子中出现“1”常利用1=tan π4来代换,以达到化简求值的目的,如3tan α＋31－tan α=3tan )4(απ+；1－tan α1＋tan α=tan )4(απ-． (2)整体变换：若化简的式子中出现了“tan α±tan β”及“tan α·tan β”两个整体,常考虑tan(α±β)的变形公式．(3)熟知变换：两角和的正切公式的常见四种变形：①tan α+tan β=tan(α+β)(1－tan αtan β)；②1－tan αtan β=tan α＋tan βtan (α＋β)． 【变式探究1】 求值：(1)1＋tan 15°1－tan 15°； (2)tan 10°+tan 35°+tan 10°tan 35°． 解 (1)1＋tan 15°1－tan 15°=tan 45°＋tan 15°1－tan 15°tan 45°=tan(45°+15°)=tan 60°=3． (2)由tan(α+β)=tan α＋tan β1－tan αtan β得tan α+tan β=tan(α+β)(1－tan αtan β)得tan 10°+tan 35°=tan 45°(1－tan 10°tan 35°) =1－tan 10°tan 35,所以tan 10°+tan 35°+tan 10°tan 35°=1．题型二 条件求值问题【例2】 (1)设tan α,tan β是方程x 2－3x +2=0的根,则tan(α+β)的值为( )A ．－1B ．1C ． －3D ．3解析 由题意知tan α+tan β=3,tan α·tan β=2,所以tan(α+β)=tan α＋tan β1－tan α·tan β=31－2=－3．答案 C (2)已知sin α=12,α为第二象限的角,且tan(α+β)=－3,则tan β的值为( ) A ．33 B ．－33C ． 3D ．－3 解析 ∵α为第二象限角,∴cos α<0,cos α=－32,∴tan α=－33．tan β=tan [(α+β)－α]=tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)·tan α=－3＋331＋(－3)·(－33)=－33．答案 A 【变式探究2】 已知sin α＋cos αsin α－cos α=3,tan(α－β)=2,则tan(β－2α)=________． 解析 由条件知sin α＋cos αsin α－cos α=tan α＋1tan α－1=3,则tan α=2,因为tan(α－β)=2,所以tan(β－α)=－2,故tan(β－2α)=tan [(β－α)－α]=tan (β－α)－tan α1＋tan (β－α)tan α=－2－21＋(－2)×2=43．答案 43 题型三 给值求角问题【例3】 (1)在△ABC 中,tan A =13, tan B =－2,则角C =________； 解析 tan(A +B )=tan A ＋tan B 1－tan A tan B =13－21－13×(－2)=－1,∵A +B ∈(0,π),∴A +B =3π4,∴C =π－(A +B )=π4．答案 π4 (2)若α,β均为钝角,且(1－tan α)(1－tan β)=2,求α+β．解 ∵(1－tan α)(1－tan β)=2,∴1－(tan α+tan β)+tan αtan β=2,∴tan α+tan β=tan αtan β－1,∴tan α＋tan β1－tan αtan β=－1.∴tan(α+β)=－1．∵α,β∈),2(ππ,∴α+β∈(π,2π)．∴α+β=7π4． 【变式探究3】 已知α为锐角,且tan(α-β)=3,tan(α+β)=2,则角α等于( )A ．π8B ．38πC ．π4D ．π2解析∵tan 2α=tan [(α+β)+(α－β)]=tan (α＋β)＋tan (α－β)1－tan (α＋β)·tan (α－β)=3＋21－3×2=－1,∴2α=－π4+k π(k ∈Z ),∴α=－π8+12k π(k ∈Z )． 又∵α为锐角,∴α=π2－π8=3π8．答案 B课堂达标训练1．与1－tan 21°1＋tan 21°相等的是( ) A ．tan 66° B ．tan 43° C ．tan 24° D ．tan 20°解析 原式=tan 45°－tan21°1＋tan 45°tan 21°=tan(45°－21°)=tan 24°．答案 C 2．已知A +B =45°,则(1+tan A )(1+tan B )的值为( )A ．不确定B ．1C ．－2D ．2解析 (1+tan A )(1+tan B )=1+(tan A +tan B )+tan A tan B =1+tan(A +B )(1－tan A tan B )+tan A tan B =1+1－tan A tan B +tan A tan B =2．答案 D3．已知tan )2(βα-=13,tan )2(αβ-=－12,则tan α＋β2=________．解析 tan α＋β2=tan[(α－β2)+(β－α2)]=12－131－12×(－13)=17．答案 -17 4．已知A ,B 都是锐角,且tan A =13,sin B =55,则A +B =____ ．答案 π45．求tan 18°＋tan 42°＋tan 120°tan 18°tan 42°tan 60°的值． 解 ∵tan 18°+tan 42°+tan 120°=tan 60°(1－tan 18°tan 42°)+tan 120°=－tan 60°tan 18°tan 42°,∴原式=－1．课后作业1．已知α,β为任意角,则下列等式：①cos(α+β)=cos αcos β－sin αsin β；②sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β；③cos )2(απ+=－sin α；④tan(α－β)=tan α－tan β1＋tan αtan β．其中恒成立的等式有( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．1个解析 ①②③恒成立．答案 B 2．若tan )4(απ+=－2,则tan α的值为( )A ．13B ．3C ．23D ．2 解析 tan(α+π4)=1＋tan α1－tan α=2,解得tan α=3．答案 B 3．A ,B ,C 是△ABC 的三个内角,且tan A ,tan B 是方程3x 2－5x +1=0的两个实数根,则△ABC 是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．无法确定解析 ∵tan A +tan B =53,tan A ·tan B =13,∴tan(A +B )=52,∴tan C =－tan(A +B )=－52,∴C 为钝角．答案 C 4．设tan(α+β)=25,tan(β－π4)=14,则tan(α+π4)=________． 解析 tan(α+π4)=tan[(α+β)－(β－π4)]=25－141＋25×14=322．答案 322 5．如果tan α,tan β是方程x 2－3x －3=0两根,则sin (α＋β)cos (α－β)=________． 解析 sin (α＋β)cos (α－β)=sin αcos β＋cos αsin βcos αcos β＋sin αsin β=tan α＋tan β1＋tan αtan β=31＋(－3)=－32．答案 －32 6．已知tan α,tan β是方程x 2－3x －3=0的两根,试求sin 2(α+β)－3sin(α+β)cos(α+β)－3cos 2(α+β)的值．解 由已知有⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β＝3，tan α·tan β＝－3.∴tan(α+β)=tan α＋tan β1－tan αtan β=31－(－3)=34．∴sin 2(α+β)－3sin(α+β)cos(α+β)－3cos 2(α+β)=sin 2(α＋β)－3sin (α＋β)cos (α＋β)－3cos 2(α＋β)sin 2(α＋β)＋cos 2(α＋β)=tan 2(α＋β)－3tan (α＋β)－3tan 2(α＋β)＋1=(34)2－3×34－3(34)2＋1=－3． 7．已知tan α,tan β是方程x 2+33x +4=0的两根,且－π2<α<π2,－π2<β<π2,求α+β的值． 解 由根与系数的关系得tan α+tan β=－33,tan α·tan β=4,∴tan α<0,tan β<0,∴tan(α+β)=tan α＋tan β1－tan αtan β=－331－4=3,又－π2<α<π2,－π2<β<π2,且tan α<0,tan β<0．∴－π2<α<0,－π2<β<0,∴－π<α+β<0,∴α+β=－2π3． 8．在△ABC 中,tan A +tan B +tan C =33,tan 2B =tan A ·tan C ,则∠B 等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°解析 由公式变形得：tan A +tan B =tan(A +B )(1－tan A tan B )=tan(180°－C )(1－tan A tan B )=－tan C (1－tan A tan B ) =－tan C +tan A tan B tan C ．∴tan A +tan B +tan C =－tan C +tan A tan B tan C +tan C =tan A tan B tan C =33． ∵tan 2B =tan A tan C ,∴tan 3B =33．∴tan B =3,B =60°．答案 C9．已知tan α=lg 10a , tan β=lg 1a ,且α+β=π4,则实数a 的值为( ) A ．1 B ．110 C ．1或10 D ．1或110解析∵α+β=π4,∴tan(α+β)=tan α＋tan β1－tan αtan β=1,tan α+tan β=1－tan αtan β,即lg 10a +lg 1a =1－lg 10a ·lg 1a ,1=1－lg 10a ·lg 1a , ∴lg 10a ·lg 1a =0．∴lg 10a =0或lg 1a =0．得a =110或a =1．答案 D 10．已知tan )4(απ+=2,则12sin αcos α＋cos 2α的值为________．答案 23 解析∵tan )4(απ+=2,∴1＋tan α1－tan α=2,解得tan α=13．∴12sin αcos α＋cos 2α=sin 2α＋cos 2α2sin αcos α＋cos 2α=tan 2α＋12tan α＋1=19＋123＋1=23． 11．已知α,β均为锐角,且tan β=cos α－sin αcos α＋sin α,则tan(α+β)=________． 解析 ∵tan β=cos α－sin αcos α＋sin α=1－tan α1＋tan α．∴tan β+tan αtan β=1－tan α．∴tan α+tan β+tan αtan β=1． ∴tan α+tan β=1－tan αtan β．∴tan α＋tan β1－tan αtan β=1,∴tan(α+β)=1．答案 1 12．已知tan(α－β)=12,tan β=－17,且α,β∈(0,π),求2α－β的值． 解∵tan(α－β)=12,tan β=－17,∴tan α=tan [(α－β)+β]=tan (α－β)＋tan β1－tan (α－β)tan β=)71(211)71(21-⨯--+=13<1．∵α∈(0,π),∴0<α<π4,0<2α<π2．又tan β=－17<0,β∈(0,π),∴π2<β<π,∴－π<2α－β<0．又tan(2α－β)=tan [(α－β)+α] =tan (α－β)＋tan α1－tan (α－β)tan α=12＋131－12×13=1,∴2α－β=－3π4．。
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)
()
A.π4
B.34π
C.π3
D.23π
易错分析 ①忽略 α 锐角条件，求 cos α 时出现两值．
②忽略 α＋β 的范围致错．
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自我纠正 [解析] sin α＝ 55，且 α 为锐角，则 cos α＝255，tan α＝12， 所以 tan(α＋β)＝1t－antaαn＋αttaannββ＝1－12×12－（3－3）＝－1. 又因为 α＋β∈π2，32π，所以 α＋β＝34π. [答案] B
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第三章 三角恒等变换 3．1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3．1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)
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内容标准
学科素养
1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的
正切公式.
发展逻辑推理
2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.
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探究一 正切公式的正用与逆用 [教材 P129～130 例 3、例 4]方法步骤：正用：将某一角写成和、差型，直接展开． 逆用：构造公式展开特征，形成某一角的正切． [例 1] 求下列各式的值： (1)tan 105°；
sin 15°－cos 15° (2)sin 15°＋cos 15°.
＝1＋tatann1155°－°t·anta4n5°45°＝tan(15°－45°)
＝tan(－30°)
＝－
3 3.
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方法技巧 1.直接运用两角和与差的正切公式进行求值、化简与证明的关键是准确 记忆公式，特别是 Tα±β 中的符号规律是“分子相同、分母相反”． 2．对于不能直接套用公式的情况，需根据已知与未知进行变形使之联系起来，有 时还要借助角的变换技巧．
高中数学 3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)
(2)1-tanαtan
β=
tan
tan
tan
.
(3)tanα+tanβ+tanαtanβ·tan(α+β)=tan(α+β).
(4)tanαtanβ= 1 tan tan .
tan( )
类型 一 两角和与差的正切公式的简单应用
【典型例题】
1.已知tanα +tanβ =2，tan(α +β )=4，则tanα tanβ 等于
1 tan75 1 tan45tan75
3
答案： 3
3
3. tan75 tan 45 30 tan45 tan30 2 Βιβλιοθήκη 3.1 tan45tan30
【拓展提升】利用公式T(α±β)化简求值的两点说明 (1)分析式子结构，正确选用公式形式. T(α±β)是三角函数公式中应用灵活程度较高的公式之一， 因此在应用时先从所化简(求值)式子的结构出发，确定是正 用、逆用还是变形用，并注意整体代换.
1 tan 20tan 100
所以tan20°+tan100°=tan120°(1-tan20°tan100°)，
即tan20°+tan100°=tan120°-tan120°tan20°tan100°,
又tan120°=-tan60°,
所以tan20°+tan100°+tan60°=tan60°tan20°tan100°， 所以 tan 20 tan 100 tan 60 1,
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、 正切公式(二)
两角和与差的正切公式 cos cos sin sin sin cos cossin
3[1].1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(2课时)
![3[1].1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(2课时)](https://img.taocdn.com/s3/m/79cb37b468dc5022aaea998fcc22bcd126ff4264.png)
解：1原式=
tan 45 tan 75 1 tan 45 tan75
tan(45 75 ) tan120
3
2
∵
tan(17
28 )
tan17 tan 28 1 tan17 tan 28
∴tan17+tan28=tan(17+28)(1tan17 tan28)
=1 tan17tan28
3.1.2 两角和与差的
正弦、余弦、正切公式
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两角和与差的正切公式
tan(α+β)= tanα+ tanβ 1- tanαtanβ
tan(α-β)= tanα- tanβ 1+ tanαtanβ
注意： 1必须在定义域范围内使用上述公式。
即：tan，tan，tan(±)只要有一个不存
∴tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.
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引例 把下列各式化为一个角的三角函数形式
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化
为一个角的三角函数形式
令
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练习 把下列各式化为一个角的三角函数形式
练习课本P132 6、7
tan(α-β)= tanα- tanβ 1+ tanαtanβ
变形：
tanα+ tanβ= tan(α+β)(1- tanαtanβ)
tanα- tanβ= tan(α-β)(1+ tanαtanβ)
(1 tanαtanβ)= tan tan tan( )
第14页，共14页。
在就不能使用这个公式，只能（也只需）用诱
高中数学学案3：3.1.2 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式学习目标1．知识与技能(1)能根据两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦公式，并灵活运用．(2)能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式．(3)掌握两角和与差的正切公式及变形应用．2．过程与方法经历以两角差的余弦公式为基础导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式的过程，了解它们的内在联系；体会化归与转化的数学思想方法．3．情感、态度与价值观通过本节的学习和运用实践，学会用联系转化的观点去处理问题，加强应用意识，激发学习兴趣，体会数学的科学价值与应用价值．学习重点、难点重点：两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用．难点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用．学习过程知识点1：两角和与差的余弦公式问题导思1．把公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β中的β用－β代替，结果如何？2．在cos(α±β)的公式中，α，β的条件是什么？总结知识点2：两角和与差的正弦公式问题导思由公式C(α±β)可以得到sin(α＋β)的公式吗？总结1．公式2.重要结论－辅助角公式y＝a sin x＋b cos x＝a2＋b2sin(x＋θ)(a，b不同时为0)，其中cos θ＝aa2＋b2，sin θ＝ba2＋b2.知识点3：两角和与差的正切公式问题导思1．利用两角和的正、余弦公式，能把tan(α＋β)用tan α，tan β表示吗？2．能用tan α，tan β表示tan(α－β)吗？3．公式中α，β为任意实数吗？总结例1.化简求值：(1)sin π12－3cos π12；(2)sin 15°－cos 15°cos 15°＋sin 15°. 规律方法1．公式T (α＋β)，T (α－β)是变形较多的两个公式，公式中有tan α·tan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))．三者知二可表示或求出第三个． 2．一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换．例2.已知α、β是锐角，且sin α＝437，cos(α＋β)＝－1114，求sin β的值．规律方法1．本题属于给值求值问题，求解时，关键是从已知角间的关系入手，分析出已知角和待求角的关系．如本题中巧用β＝(α＋β)－α这一关系． 2．常见角的变换为(1)2α＋β＝(α＋β)＋α，2α－β＝(α－β)＋α； (2)α＋β2＝(α－β2)－(α2－β)，α－β2＝(α＋β2)－(α2＋β)； (3)(π4＋α)＋(π4＋β)＝π2＋(α＋β)； (4)(π4＋α)＋(π4－β)＝π2＋(α－β)． 例3.已知sin α＝55，sin β＝1010，且α，β为锐角，求α＋β的值．规律方法1．求解该类问题常犯的错误是对角的范围讨论程度过大(小)，导致求出的角不合题意或者漏解．2．求角的大小，要解决两点：(1)确定所求角的范围，(2)求角的某一三角函数值，特别是要根据角的范围确定取该角的哪一种三角函数值． 例4.将下列各式写成A sin(ωx ＋φ)的形式： (1)3sin x －cos x ； (2)24sin(π4－x )＋64cos(π4－x )． 规律方法1．对于形如sin α±cos α，3sin α±cos α的三角函数式均可利用特殊值与特殊角的关系，运用和差角正、余弦公式化简为含有一个三角函数的形式．2．在解法上充分体现了角的变换和整体思想，在三角函数求值化简的变换过程中，一定要本着先整体后局部的基本原则． 课堂小结1．两角和差公式可以看成是诱导公式的推广，诱导公式可以看成两角和差公式的特例，例如：sin(3π2－α)＝sin 3π2·cos α－cos 3π2sin α＝－cos α.2．使用和差公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简sin βcos(α＋β)－cos βsin(α＋β)时，不要将cos(α＋β)和sin(α＋β)展开，而应采用整体思想，作如下变形： sin βcos(α＋β)－cos βsin(α＋β)＝sin[β－(α＋β)]＝sin(－α)＝－sin α.3．运用和差公式求值、化简、证明时要注意灵活进行三角变换，有效地沟通条件中的角与问题结论中的角之间的联系，选用恰当的公式快捷求解． 课堂检测1．sin 21°cos 39°＋cos 21°sin 39°等于( ) A.22 B.12 C.32D ．12．若A 、B 是三角形ABC 的内角，并且(1＋tan A )(1＋tan B )＝2，则A ＋B 等于( ) A.π4 B.3π4C.5π4 D ．k π＋π4(k ∈Z )3.1＋tan 15°1－tan 15°的值等于__________．4．已知α为锐角，sin α＝35，β是第四象限角，cos(π＋β)＝－45.求sin(α＋β)的值．参考答案学习过程知识点1：两角和与差的余弦公式 问题导思1．cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β 2．α、β为任意角知识点2：两角和与差的正弦公式 问题导思可以，sin(α＋β)＝cos[π2－(α＋β)]＝cos[(π2－α)－β]＝sin αcos β＋cos αsin β.知识点3：两角和与差的正切公式 问题导思1．能，tan(α＋β)＝sin （α＋β）cos （α＋β）＝sin αcos β＋cos αsin βcos αcos β－sin αsin β＝tan α＋tan β1－tan αtan β.2．能3．不是，α，β，α＋β≠k π＋π2，k ∈Z .例1.解：(1)原式＝2(12sin π12－32cos π12)＝2(sin π6sin π12－cos π6cos π12)＝－2cos(π6＋π12)＝－2cos π4＝－ 2.(2)原式＝tan 15°－11＋tan 15°＝tan 15°－tan 45°1＋tan 15°tan 45°＝tan(－30°)＝－33. 例2.解：∵α是锐角，且sin α＝437，∴cos α＝1－sin 2α ＝1－（437）2＝17.又∵0<α＋β<π，∴sin(α＋β)＝1－cos 2（α＋β）＝1－（－1114）2＝5314，∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)．sin α＝5314×17－(－1114)×437＝32.∴sin β＝32. 例3.解：∵sin α＝55，α为锐角， ∴cos α＝1－sin 2α＝255. 又sin β＝1010，β为锐角， ∴cos β＝1－sin 2β＝31010. ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝255×31010－55×1010＝22.又α、β∈(0，π2)，∴0<α＋β<π， 因此α＋β＝π4.例4.解：(1)3sin x －cos x ＝2(32sin x －12cos x ) ＝2(cos π6sin x －sin π6cos x )＝2sin(x －π6)．(2)原式＝22[12sin(π4－x )＋32cos(π4－x )] ＝22[sin π6sin(π4－x )＋cos π6cos(π4－x )] ＝22cos(π4－x －π6) ＝22cos(π12－x ) ＝22sin(x ＋5π12)． 课堂检测 1．C【解析】sin 21°cos 39°＋cos 21°sin 39°＝sin(21°＋39°)＝sin 60°＝32. 2．A【解析】由(1＋tan A )(1＋tan B )＝2，得 tan A ＋tan B ＝1－tan A tan B . ∴tan A ＋tan B1－tan A tan B＝1，即tan(A ＋B )＝1.又A 、B 是三角形的内角，则0<A ＋B <π. 因此A ＋B ＝π4.3. 3【解析】原式＝tan 45°＋tan 15°1－tan 45°·tan 15°＝tan(45°＋15°)＝ 3.4．解：∵α∈(0，π2)，且sin α＝35，∴cos α＝1－sin 2α＝45.又β是第四象限角， 且cos(π＋β)＝－45，∴cos β＝45，sin β＝－1－cos 2β＝－35，∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β ＝35×45＋45×(－35)＝1225－1225＝0.。
人教版数学高一作业两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)一、选择题1．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝35，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值等于( ) A.17 B ．7 C ．－17D ．－7 2．若sin α＝45，tan(α＋β)＝1，且α是第二象限角，则tan β的值是( ) A.43 B ．－43 C ．－7 D ．－173．已知tan α＝12，tan β＝13，0<α<π2，π<β<3π2，则α＋β的值是( ) A.π4 B.3π4 C.5π4 D.7π44．A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，且tan A ，tan B 是方程3x 2－5x ＋1＝0的两个实数根，则△ABC 是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．无法确定5．化简tan10°tan20°＋tan20°tan60°＋tan60°tan10°的值等于( )A ．1B ．2C ．tan10° D.3tan20°6．在△ABC 中，角C ＝120°，tan A ＋tan B ＝233，则tan A tan B 的值为( ) A.14 B.13 C.12 D.53题 号 1 2 3 4 5 6 答 案7.1＋tan75°1－tan75°＝________. 8．已知tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝2，则12sin αcos α＋cos 2α的值为________． 9．如果tan α，tan β是方程x 2－3x －3＝0两根，则sin (α＋β)cos (α－β)＝________. 10．已知α、β均为锐角，且tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α，则tan(α＋β)＝________.三、解答题11．在△ABC 中，tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3，且3tan A ＋3tan B ＋1＝tan A tan B ，试判断△ABC 的形状．12.如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为210，255. 求tan(α＋β)的值．能力提升 13．已知tan(α－β)＝12，tan β＝－17，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．14．已知锐角三角形ABC 中，sin(A ＋B )＝35，sin(A －B )＝15. (1)求证：tan A ＝2tan B ；(2)设AB ＝3，求AB 边上的高．3．1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)答案作业设计1．A 2.C 3.C4．A5．A6．B7．－38.23解析 ∵tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝2，∴1＋tan α1－tan α＝2， 解得tan α＝13.∴12sin αcos α＋cos 2α＝sin 2α＋cos 2α2sin αcos α＋cos 2α＝tan 2α＋12tan α＋1＝19＋123＋1＝23.9．－32解析 sin (α＋β)cos (α－β)＝sin αcos β＋cos αsin βcos αcos β＋sin αsin β＝tan α＋tan β1＋tan αtan β＝31＋(－3)＝－32. 10．1解析 tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α＝1－tan α1＋tan α. ∴tan β＋tan αtan β＝1－tan α.∴tan α＋tan β＋tan αtan β＝1.∴tan α＋tan β＝1－tan αtan β.∴tan α＋tan β1－tan αtan β＝1，∴tan(α＋β)＝1. 11．解 由tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3，得tan B ＋tan C ＝3(1－tan B tan C )．∴tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C 1－tan B tan C ＝3， 又∵B ＋C ∈(0，π)，∴B ＋C ＝π3. 又3tan A ＋3tan B ＋1＝tan A tan B ，∴tan A ＋tan B ＝－33(1－tan A tan B )， ∴tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－33， 而A ＋B ∈(0，π)，∴A ＋B ＝5π6，又∵A ＋B ＋C ＝π， ∴A ＝2π3，B ＝C ＝π6.∴△ABC 为等腰三角形． 12．解 由条件得cos α＝210，cos β＝255. ∵α，β为锐角，∴sin α＝1－cos 2α＝7210， sin β＝1－cos 2β＝55. 因此tan α＝sin αcos α＝7，tan β＝sin βcos β＝12. tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝7＋121－7×12＝－3. 13．解 tan α＝tan ＝tan (α－β)＋tan β1－tan (α－β)tan β＝13>0. 而α∈(0，π)，故α∈(0，π2)． ∵tan β＝－17，0<β<π，∴π2<β<π.∴－π<α－β<0.而tan(α－β)＝12>0， ∴－π<α－β<－π2. ∴2α－β＝α＋(α－β)∈(－π，0)．∵tan(2α－β)＝tan ＝tan α＋tan (α－β)1－tan αtan (α－β)＝1， ∴2α－β＝－3π4. 14．(1)证明 ∵sin(A ＋B )＝35，sin(A －B )＝15， ∴⎩⎨⎧ sin A cos B ＋cos A sin B ＝35sin A cos B －cos A sin B ＝15⇒⎩⎨⎧ sin A cos B ＝25cos A sin B ＝15⇒tan A tan B＝2，所以tan A ＝2tan B . (2)解 ∵π2<A ＋B <π，sin(A ＋B )＝35，∴tan(A ＋B )＝－34，即tan A ＋tan B 1－tan A tan B＝－34. 将tan A ＝2tan B 代入上式并整理得，2tan 2B －4tan B －1＝0.解得tan B ＝2±62，舍去负值，得tan B ＝2＋62. ∴tan A ＝2tan B ＝2＋ 6.设AB 边上的高为CD .则AB ＝AD ＋DB ＝CD tan A ＋CD tan B ＝3CD 2＋6. 由AB ＝3，得CD ＝2＋ 6.∴AB 边上的高等于2＋ 6.。
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（二）（一）复习式导入：基本公式βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=- βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅+-=- βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅-+=+（二）新课讲授例1、利用和（差）角公式计算下列各式的值： （1）、sin 72cos 42cos72sin 42-；（2）、cos 20cos70sin 20sin 70-；（3）、学生回答教问题与情境及教师活动 学生活动学过程及方法解：（1）、()1sin72cos42cos72sin42sin7242sin302-=-==（2）、()cos20cos70sin20sin70cos2070cos900-=+==；（3）()1tan15tan45tan15tan4515tan6031tan151tan45tan15++==+==--．例2、化简2cos6sinx x-解：此题与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式不相象，但我们能否发现规律呢？()132cos6sin22cos sin22sin3022x x x x x⎛⎫-=-=︒-⎪⎪⎝⎭思考：22是怎么得到的？怎样求ααcossin ba+类型？()()222226=+，我们构造一个使它的正、余弦分别等于12和32的角.河北武中·宏达教育集团教师课时教案教学过程及方法问题与情境及教师活动学生活动（2）已知：函数Rxxxxf∈-=,cos32sin2)(（1）求)(x f的最值。
（2）求)(x f的周期.（3）求)(x f的单调性。
分析：将函数化为()134sin cos4sin(60)22f x x x x⎛⎫=-=-︒⎪⎪⎝⎭教学小结两角和与差的余弦、正弦和正切公式的应用及ααcossin ba+类型的变换课后反思。