2016年1月东城区高三期末数学文科试题及答案
2016东城区高三数学理期末试题及答案
东城区2015-2016学年度第一学期期末教学统一检测本试卷共5贞.150分•芳试时K 120分钟•考住务必将答至答在答題卡上■仗试卷I：作答无效•考试结束后•将本试总和答題卞一并交何.第一部分（选择题共40分）一■选择理（共8小0 ■毎小& 5分，共40分•在毎小題列出的囚个选项中■选出符合求的一项）1 •已知集合1丿=（1・2・3出几集合A»n>3>4h B={2・4}・那么集合（CM）nB-3•设i为谨数烦位.如果复数z满足（l-2i）z=5i^那么厂的虚邪为A. - IB. IC. •D.-i4•已知刃€«0・1〉・令a = b肛2. h二4『=2-・那么之树的大小关系为A. b<c<aB. b<a<cC. a<b<cD. c<u<b5・Ci知克线/的倾斜角为i斜卒为点.那么"a>y M是7A®的A.充分而不必耍条件B.必耍而不充分条件C.充分必姿条件D.既不充分也不必耍条件高三數学（现科）第1页（共5页）高三数学（理科）2016. 1側（左）现图A.⑵B・{4}C. {1.3} I). 24}11 9 cm Jf 1i ~ +1 • 0V#£26•已知旳数x •如果关丁丄的方程/Cr〉=A有两个不同的实根•那* lnx» x>2么实数百的取值范隔2A・(l.+vo〉B・[^・ + oo) C・[e+.+8) D.[ln2・+8)7.过抛物线;/=2仇r(p>0)的魅点F的f[线交粗物线于A・B丙点•点O泉坐标原点.如架I BF| =3, | BF|>|AF| ・ZBFO=¥・那么 | AF| 的伙为、夕A. 1B.yC.2 I). |&如图所示•正方体AHCD-A f B，C，D,的梭长为1, F・F分别圧梭八人'・CC'的中点.过血线EF的平面分別与梭BB'.DD'交丁M,M设BM-小.* (0・1〉，给出以卜四个命题：①四边形MENF为平行四边形I②若四边形MENF血枳Sr /(X). x€(0,l).则/(z)冇九小侑；③若四棱锥人一MENF的体积V=-p(x). ze<0.1>.则p(“为恋瓯数；④若多而体AHCD-MENF^J体枳V = A(.r),苏I),则AQ)为单浏函数. 只中假命题为• • •A.①B•②C•③D•④高三敷爭(瓦科)第2页(拱$员)第二部分（G选择&兵110 分〉二、填空11（共6小逊■毎小JR 5分，共30分）9•在△ ABC中・a・6分别为角八•〃的对边.如果〃一30°«： - IO5S a " •那么b .0在平而向M Q.b中・已知a = （】・3）・ b=（2.y）・如果a • b = 5・那么y= ___ ；如果|a + b| = |a — b|・那么y= ____ •丁一yWlO.11. 已知『q海足约束条件1—，£2・那么的歧大值为・才$312. 如來險数/Cr）-rsiar+«的图象过点GJ〉. R /（z）-2.那么•13. 如來平面直角坐标系中的f»iAA（«-l.a+D.B（a.a）X于虫线，对称.那么直线？的方程为•M•数列｛“.｝満足：如和+“…>2如5>lmWN・）,给出卜•述命吆*①若数列2」溝足:如 >尙・则a>“. ,（”>】・”€'•）皿立；②存在甜数c使扫a.>r（W€N->成立：③若 /> + q>m + /t（其中）•则a»+y>“.=a. i④存在席数/使得“A心? 5-】>d3€N・）郁成立.上述命題正珂的是_.（吗出所冇正晞结论的*仍〉三、解答题（共6小麵，共80分.解答虫禹出文字说明，演算步廉或证明过程）15•（本小題共13分）设S.、#一个公比为曲>0心\）的等比数列•巾，・3“八2心成等力数列.且它的询4项和S< = 15.< I〉求数列"・>的通项公式：< 11〉令6=a. + 2”・5=l・2・3……）•求敷列仏｝的前肪项和.高三软竽（理科〉第3页〈共5页）16. （4-小题共13分〉已知函数/（x） = sin2x+2 73sinTcosi* —cos:^（^6 R）.＜I ）求/4〉的皿小正周期和在Co.xZJ：的单训递减区间；（【I）若a为第四欽限角，且cosa-y,求/（f+ jf）的fft.17. （本小题典14分）如图.在P-ABCD中.底丽ABCD为正方形，PA丄底面ABCD・AB=AP.E为披PD的中点.（I ）证明:AELCD；（II）求il^AE弓平而PHD所成卅的正弦值；（山）若尸为人3中点，棱PC上是否存在一点M・使得FM丄八（：・若存在.求出耀的值.若不存在，说明埋山.18. （本小題共13分〉已知桶圆$ I话=讥＞〃＞0》的焦点是斤・幵，H. |F,F?| = 2、离心率为*・（I ＞求椭B0C的方程；（II〉若过椭圆右很点丘的直线/交椭圆FA,B两点•求\AF Z\• IF屮I的取值范国.高三散学〈理科）第4页（共5贞）19. (4：小題从I I分)(2知西数/<-r) -- ----- a(.r —< [)当a亠1时.试求/(j->/t(U/(D)处的切线方程(<n)当“wo时，试求/a》的单河风何：(111)若/<x)ft(OJ)内有极(TL试求"的取值范用.20•(本小聽共13分》已知初线(・.的方程为：i^r 11〉・1・=】>.<【〉分別求出”二1・” =2时.曲线C.所冊成的图形的滴枳,< II〉若5(”€2〉衣朋曲线C.所阳成的图形的面积.求证：S.(N€N-以于”是递增的;'5)若方程上・+>*=^5A2・”W?OdwHO・没右正整数解.求证：曲线C.(W>2>M6N*〉上任一点对应的坐标(x.y). .r.y不能全尺有理数.高三做孕(理科)事5页(*S M>东城区2015-2016学年度第-学期期末教学统一检测裔三数学（理科）参考答案及评分标准2016. 1 一、选择題二■填空超9. 2 72. 10. U- ・】1・5& 12. X0. 14•①④.三、廉答1915•解：（I圈为一个公比为g（g>0・</工1）的等比数列.所以= “I矿'・心*0・因为4““3“，・2山成等矗数列.所以6g = 4® +2“）•即—34/4-2=0.H得g=2或gh】（含）.乂它的询 4 项和S,工15.1!）^^- = !5（v>0.<?#l）.解冯5^1.所以2・'• .......................................................................................................... 9分(II )W 为九FT.+2机所以i^ = ia. + V2； = 2- + n(w4 1)-1. ............................................................... 13 分•—1 •* I •—>16. 解” 1〉由己知 /<x）^>ii/ar4 2 ySsiiurcosx—co>\r IX>52X—2sin（2x~b所以故小正周期丁守一几3 Z由計2*n<2r-矜蓼亠2虹""•得手卜后W/W罟+及irMW龙.故旳数“ 0在[0・O上的单调递滥区间泉石7：・|■町. ...............9分<l] ）W为a为第四徐琨用・H cose二g •所以0g--£・浙三啟学（仗科〉冬脅怎案第I页（*50所以 /(号讨辔〉三f -|-) = — 2sina —y. 13分17. ( I )证明：因为卩人丄磺面ABCD.CDC平A AHCD.所以”人丄(。
北京市东城区2016-2017第一学期期末教学统一检测高三数学(理科)试题及参考答案
东城区2016-2017学年度第一学期期末教学统一检测高三数学 （理科）本试卷共6页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
）（1）已知集合{|(1)(3)0}A x x x =--<，{|24}B x x =<<，则A B =（A ）{|13}x x << （B ）{|14}x x << （C ）{|23}x x << （D ）{|24}x x << （2）抛物线22y x =的准线方程是（A ）1y =- （B ）12y =- （C ）1x =-（D ）12x =-（3）“1k =”是“直线0kx y --与圆229x y +=相切”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（4）执行如图所示的程序框图，输出的k 值为（A ）6 （B ）8（C ）10 （D ）12（5）已知,x y ∈R ，且0x y >>，则（A ）tan tan 0x y -> （B ）sin sin 0x x y y -> （C ）ln ln 0x y +> （D ）220xy->正（主）视图俯视图侧（左）视图时间（天）（6）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且在[0,)+∞上是增函数，则(1)0f x +≥的解集为（A ）(,1]-∞- （B ）(,1]-∞ （C ）[1,)-+∞ （D ）[1,)+∞ （7）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为 （A ）23 （B ）43（C ）2 （D ）83（8）数列{}n a 表示第n 天午时某种细菌的数量．细菌在理想条件下第n 天的日增长率0.6n r =(*1n nn na a r n a +-=∈N ，)．当这种细菌在实际条件下生长时，其日增长率n r 会发生变化．下图描述了细菌在理想和实际两种状态下细菌数量Q 随时间的变化规律．那么，对这种细菌在实际条件下日增长率n r 的规律描述正确的是10（C ）时间10时间（天）（D ）0.0.0.第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
北京市东城区2016届高三上学期期末教学统一检测数学(理科)试卷_Word版含有答案
北京市东城区2015-2016学年第一学期期末教学统一检测高三数学 （理科） 2016.1本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. （1）已知集合{1,2,3,4}U =，集合{1,3,4}A =，{2,4}B =，那么集合()U C A B =I（A ）{2} （B ）{4} （C ）{1,3} （D ）{2,4} （2）已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，那么该三棱锥的体积等于侧（左）视图俯视图（A ）32cm 3 （B ）2 cm 3 （C ）3 cm 3 （D ）9 cm 3 （3）设i 为虚数单位，如果复数z 满足(12)5i z i -=，那么z 的虚部为（A ）1- （B ）1 （C ） i （D ）i - （4）已知(0,1)m ∈，令log 2m a =，2b m =，2mc =，那么,,a b c 之间的大小关系为（A ）b c a << （B ）b a c << （C ）a b c << （D ）c a b << （5）已知直线l 的倾斜角为α，斜率为k ，那么“3πα>”是“k >（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（6）已知函数11,02()ln ,2x f x x x x ⎧+<≤⎪=⎨⎪>⎩，如果关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，那么实数k 的取值范围是3（7）过抛物线220)y px p =>（的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，点O 是原点，如果3BF =，BF AF >，23BFO π∠=，那么AF 的值为 ()A 1 ()B 32()C 3 （D ） 6 （8）如图所示，正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1, ,E F 分别是棱AA '，CC '的中点，过直线,E F 的平面分别与棱BB '、DD '交于,M N ，设 BM x =，)1,0(∈x ，给出以下四个命题： ① 四边形MENF 为平行四边形；② 若四边形MENF 面积)(x f s =,)1,0(∈x ,则)(x f 有最小 值；③ 若四棱锥A MENF 的体积)(x p V =，)1,0(∈x ，则)(x p 常函数；④ 若多面体MENF ABCD -的体积()V h x =，1(,1)2x ∈， 则)(x h 为单调函数． 其中假．命题．．为 ()A ①()B ②()C ③（D ）④第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.（9） 在ABC ∆中，a b 、分别为角A B 、的对边，如果030B =，0105C =，4a =，那么b = .（10）在平面向量a,b 中，已知(1,3)=a ，(2,y)=b .如果5⋅=a b ，那么y = ；如果-=a +b a b ，那么y = .（11）已知,x y 满足满足约束条件+10,2,3x y x y x ≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，那么22z x y =+的最大值为___.（12）如果函数2()sin f x x x a =+的图象过点(π,1)且()2f t =．那么a = ； ()f t -= ．（13）如果平面直角坐标系中的两点(1,1)A a a -+，(,)B a a 关于直线l 对称，那么直线l 的 方程为__.（14）数列{}n a 满足：*112(1,)n n n a a a n n N -++>>∈，给出下述命题：①若数列{}n a 满足：21a a >，则*1(1,)n n a a n n N ->>∈成立； ②存在常数c ，使得*()n a c n N >∈成立；③若*(,,,)p q m n p q m n N +>+∈其中，则p q m n a a a a +>+； ④存在常数d ，使得*1(1)()n a a n d n N >+-∈都成立．上述命题正确的是____．(写出所有正确结论的序号)三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （15）（本小题共13分）设{}n a 是一个公比为(0,1)q q q >≠等比数列，1234,3,2a a a 成等差数列,且它的前4项和415s =. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）令2,(1,2,3......)n n b a n n =+=,求数列{}n b 的前n 项和.（16）（本小题共13分）已知函数22()sincos cos ()f x x x x x x =+-∈R ．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期和在[0,π]上的单调递减区间； （Ⅱ）若α为第四象限角，且3cos 5α=，求7π()212f α+的值.（17）（本小题共14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，AB AP =,E 为棱PD 的中点.（Ⅰ）证明:AE CD ⊥；（Ⅱ）求直线AE 与平面PBD 所成角的正弦值；（Ⅲ）若F 为AB 中点，棱PC 上是否存在一点M ，使得FM AC ⊥，若存在， 求出PMMC的值，若不存在，说明理由.（18）（本小题共13分）已知椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的焦点是12F F 、，且122F F =，离心率为12．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若过椭圆右焦点2F 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，求22||||AF F B g 的取值范围．（19）（本小题共14分）已知函数()(ln )xe f x a x x x=--．（Ⅰ）当1a =时，试求()f x 在(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）当0a ≤时，试求()f x 的单调区间；（Ⅲ）若()f x 在(0,1)内有极值，试求a 的取值范围．（20）（本小题共13分）已知曲线n C 的方程为：*1()nnx y n N +=∈.（Ⅰ）分别求出1,2n n ==时，曲线n C 所围成的图形的面积;（Ⅱ）若()n S n N *∈表示曲线n C 所围成的图形的面积，求证：()n S n N *∈关于n 是递增的;(III) 若方程(2,)n n n x y z n n N +=>∈，0xyz ≠，没有正整数解，求证：曲线(2,)n C n n N *>∈上任一点对应的坐标(,)x y ，,x y 不能全是有理数.东城区2015-2016学年第一学期期末教学统一检测参考答案高三数学 （理科） 2016.1学校___________班级_____________姓名____________考号___________本试卷共5页，150分。
2016年北京市东城区高三二模文科数学试卷含答案
北京市东城区2015-2016学年度第二学期高三综合练习（二）数学 （文科）学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷共5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）（C ）N （D ）R （2）如图，根据样本的频率分布直方图，估计样本的中位数是（A ）10 （B ）12 （C ）13 （D ）16（3）执行如图所示程序框图，则输出的结果是（A ）16 （B ）34 （C ）910 （D ）1112（4）已知A ，B 为圆22(1)4x y +-=上关于点(1,2)P 对称的两点，则直线AB 的方程为 （A ）30x y +-= （B ）30x y -+= （C ）370x y +-= （D ）310x y --= （5）设a ，b 为实数，则“1ab <”是“10a b<<”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（6）已知函数()()g x f x x =-是偶函数,且(3)4f =，则(3)f -=（A ）4- （B ）2- （C ）0 （D ）4（7）已知向量(cos ,sin )OA ββ=，将向量OA 绕坐标原点O 逆时针旋转θ角得到向量OB(090)θ<< ，则下列说法不正确的是（A ）OA OB OA OB +>-（B ）AB <（C ）OA OB OA OB +=-（D ）()()OA OB OA OB +⊥-（8）如图，在边长为m 的正方形组成的网格中，有椭圆1C ，2C ，3C ，它们的离心率分别为1e ，2e ，3e ，则（A ）123e e e =< （B ）231e e e =< （C ）123e e e => （D ）231e e e =>第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
北京市东城区2013-2014学年高三年级第一学期期末文科数学
东城区2013-2014学年第一学期期末教学统一检测高三数学 （文科） 2014.1本试卷共5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合{|02}A x x =<<，{1,0,1}B =-，则A B =（A ）{1}- （B ）{0} （C ）{1} （D ）{0,1} （2）在复平面内，复数i(2i)+对应的点位于（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 （3）下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递减的是（A ）ln ||y x =- （B ）3y x = （C ）||2x y = （D ）cos y x = （4）“1x >”是“21x >”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（5）执行如图所示的程序框图，输出的a 值为（A ）3 （B ）5 （C ）7 （D ）9（6）直线3y kx =+与圆22(2)(3)4x y -+-=相交于A ，B两点，若||AB =k = （A）（B） （C（D（7）关于平面向量,,a b c ，有下列三个命题： ①若⋅=⋅a b a c ，则=b c ；②若(1,)k =a ，(2,6)=-b ，a ∥b ，则3k =-；③非零向量a 和b 满足||||||==-a b a b ，则a 与+a b 的夹角为30． 其中真命题的序号为（A ）①② （B ）①③ （C ）②③ （D ）①②③俯视图侧(左)视图正(主)视图（8）已知函数25,0,()e 1,0.x x x x f x x ⎧+≥⎪=⎨-+<⎪⎩若()f x kx ≥，则k 的取值范围是（A ）(,0]-∞ （B ）(,5]-∞（C ）(0,5] （D ）[0,5]第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2016-2017东城高三第一学期期末数学试题及答案(理科)
输出k结束开始0,0Sk 1SSk 2k k1112S否是东城区2016-2017学年度第一学期期末教学统一检测高三数学（理科）本试卷共6页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共40分）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
）（1）已知集合{|(1)(3)0}Ax x x ，{|24}B x x ，则A B（A ）{|13}x x （B ）{|14}x x （C ）{|23}x x （D ）{|24}x x（2）抛物线22yx 的准线方程是（A ）1y（B ）12y（C ）1x （D ）12x（3）“1k”是“直线320kxy 与圆229xy 相切”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（4）执行如图所示的程序框图，输出的k 值为（A ）6（B ）8（C ）10（D ）12（5）已知,x yR ，且0x y ，则（A ）tan tan 0x y （B ）sin sin 0x x y y （C ）ln ln 0xy（D ）220xy正（主）视图112俯视图2侧（左）视图510154008001200时间（天）理想实际数量（个）（6）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且在[0,)上是增函数，则(1)0f x 的解集为（A ）(,1]（B ）(,1]（C ）[1,)（D ）[1,)（7）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（A ）23（B ）43（C ）2（D ）83（8）数列{}n a 表示第n 天午时某种细菌的数量．细菌在理想条件下第n 天的日增长率0.6n r (*1nnnna a r n a N ，)．当这种细菌在实际条件下生长时，其日增长率n r 会发生变化．下图描述了细菌在理想和实际两种状态下细菌数量Q 随时间的变化规律．那么，对这种细菌在实际条件下日增长率n r 的规律描述正确的是5110.0.0.时间（B ）510150.20.40.6（C ）日增长率时间510150.20.40.6时间（天）日增长率（D ）5110.0.0.时间（天）（A ）日增长率第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
北京市东城区2016届高三上学期期末考试理数试题(解析版)
一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合{1,2,3,4}U =，集合{1,3,4}A =，{2,4}B =，那么集合()U C A B =I （ ）A.{2}B.{4} C,{1,3} D.{2,4} 【答案】A. 【解析】试题分析：={2}U C A ，∴(){2}U C A B =，故选A ．考点：集合的运算．2.已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，那么该三棱锥的体积等于（ ）A.32 cm3 B.3 cm 3 C.3 cm 3 D.9 cm 3【答案】A.【解析】试题分析：由三视图可知，直观图为底面积为133122S =⨯⨯=，高3h =的三棱锥，所以体积为113333322V Sh ==⨯⨯=，故选A ．考点：空间几何体的三视图与直观图．3.设i 为虚数单位，如果复数z 满足(12)5i z i -=，那么z 的虚部为（ ） A.1- B.1 C.i D.i - 【答案】B. 【解析】 试题分析：5212iz i i==-+-，虚部为1，故选B ． 考点：复数综合运算．4.已知(0,1)m ∈，令log 2m a =，2b m =，2m c =，那么,,a b c 之间的大小关系为（ ） A.b c a << B.b a c << C.a b c << D.c a b << 【答案】C. 【解析】试题分析：∵(0,1)m ∈，∴log 20m a =<，2(0,1)b m =∈，21m c =>，即a b c <<，故选C ． 考点：对数函数与指数函数．5.已知直线l 的倾斜角为α，斜率为k ，那么“3πα>”是“k > ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】B. 【解析】 试题分析：当2παπ<<时，0k <，当k >32ππα<<，所以“3πα>”是“k >不充分条件，故选B ． 考点：充分必要条件．6.已知函数11,02()ln ,2x f x x x x ⎧+<≤⎪=⎨⎪>⎩，如果关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，那么实数k 的取值范围是（ ）A. (1,)+∞B.3[,)2+∞ C.32[,)e +∞ D.[ln 2,)+∞【答案】B. 【解析】试题分析：在同一坐标系内作出函数与的图象（如图），关于x 的方程()f x k =有两个不同的实，等价于直线y k =与图象有两个不同的交点，所以k 的取值范围是3[,)2+∞，故选B ． 考点：零点与方程．7.过抛物线220)y px p =>（的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，点O 是原点，如果3BF =，BF AF >，23BFO π∠=，那么AF 的值为（ ） A.1 B.32C. 3D.6 【答案】A.【解析】由已知直线的斜率为k =)2p y x =-，联立方程2)22p y x y px⎧=-⎪⎨⎪=⎩得2233504x px p -+=，即(23)(6)0x p x p -+=，∵||||BF AF >，所以32B x p =，6A p x =， 依题意232B p x p +==，所以32p =，则2123A p AF x p =+==，故选A ．考点：抛物线的标准方程及其性质．8.如图所示，正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1, ,E F 分别是棱AA '，CC '的中点，过直线,E F 的平面分别与棱BB '、DD '交于,M N ，设 BM x =，)1,0(∈x ，给出以下四个命题： ① 四边形MENF 为平行四边形；② 若四边形MENF 面积)(x f s =,)1,0(∈x ,则)(x f 有最小值；③ 若四棱锥A MENF 的体积)(x p V =，)1,0(∈x ，则)(x p 常函数；④ 若多面体MENF ABCD -的体积()V h x =，1(,1)2x ∈，则)(x h 为单调函数． 其中假命题．．．为（ ） A. ① B.②C.③D.④【答案】D.过M 作平面'''//MF N E 平面ABCD ，分别交'CC ，'DD ，'AA 于'F ，'N ，'E ， 则多面体ABCD MENF -的体积为'''''''ABCD MF N E M E N NE M F FNN V V V V ---=++， 而''11ABCD MF N E V x -=⋅⋅，''11111(12)11()32222M E N NE V x x x -=⨯-+-⋅⋅=-， ''11111(12)11()32222M F FMN V x x x -=⨯-+-⨯⨯=-，所以1122V x x =+-=，常数，错， 所以错误命题的序号为④，故选D ． 考点：立体几何综合．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.）9.在ABC ∆中，a b 、分别为角A B 、的对边，如果030B =，0105C =，4a =，那么b =_____.【答案】【解析】试题分析：4A B C ππ=--=，由正弦定理sin sin a bA B=，所以sin sin a B b A === 考点：解三角形．10.在平面向量a,b 中，已知(1,3)=a ，(2,y)=b ，.如果5⋅=a b ，那么y =_____；如果-=a +b a b ，那么y =______ 【答案】1，23-. 【解析】试题分析：因为1235a b y ⋅=⨯+=，所以1y =，因为||||a b a b +=- ，所以22||||a b a b +=-，即22a b a b ⋅=-⋅，所以0a b ⋅=，即1230y ⨯+=，所以23y =-．考点：数量积及其应用．11.已知,x y 满足满足约束条件+10,2,3x y x y x ≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，那么22z x y =+的最大值为___.【答案】58. 【解析】试题分析：做出可行域如图，22z x y =+的几何意义为可行域内的点到原点的距离的平方，当点P 位于点(3,7)，此时OP取得最大值所以z 的最大值为258OP =．考点：线性规划．12.如果函数2()sin f x x x a =+的图象过点(π,1)且()2f t =．那么a = ；()f t -= ． 【答案】1，0. 【解析】试题分析：由已知2()sin 1f a a πππ=+==，所以1a =，所以2()sin 1f x x x =+ ，而2()sin 12f t t t =+=，所以2sin 1t t =，所以22()()sin()1sin 1110f t t t t t -=--+=-+=-+=． 考点：函数的奇偶性．13.如果平面直角坐标系中的两点(1,1)A a a -+，(,)B a a 关于直线l 对称，那么直线l 的方程为_. 【答案】10x y -+=. 【解析】试题分析：直线AB 斜率为111a aa a+-=---，所以l 斜率为1，设直线方程为y x b =+，由已知直线过点(1,)a a -，所以1a a b =-+，即1b =， 所以直线方程为1y x =+，即10x y -+=． 考点：直线方程．14.数列{}n a 满足：*112(1,)n n n a a a n n N -++>>∈，给出下述命题： ①若数列{}n a 满足：21a a >，则*1(1,)n n a a n n N ->>∈成立； ②存在常数c ，使得*()n a c n N >∈成立；③若*(,,,)p q m n p q m n N +>+∈其中，则p q m n a a a a +>+； ④存在常数d ，使得*1(1)()n a a n d n N >+-∈都成立． 上述命题正确的是____．(写出所有正确结论的序号) 【答案】①④.考点：数列综合应用．三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.（本小题共13分）设{}n a 是一个公比为(0,1)q q q >≠等比数列，1234,3,2a a a 成等差数列,且它的前4项和415s =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令2,(1,2,3......)n n b a n n =+=,求数列{}n b 的前n 项和.【答案】（1）12n n a -=；（2）2(1)1nn n ++-． 【解析】试题分析：（1）根据条件列出关于1a ，q 的方程组，从而求解；（2）n b 可以看作一个等差数列与等比数列的组合，分组求和即可．试题解析：（1）因为{}n a 是一个公比为(0,1)q q q >≠等比数列，所以11n n a a q -=， 因为14a ，23a ，32a 成等差数列，所以213642a a a =+，即2320q q -+=，解得2q =或1（舍），又它的前4和415S =，得41(1)151a q q-=-，解得11a = 所以12n n a -=；（2）因为2n n b a n =+， 所以11122(1)1n n nniii i i b a i n n ====+=++-∑∑∑.考点：等比数列与等差数列的综合运用．16.（本小题共13分）已知函数22()sin cos cos ()f x x x x x x =+-∈R ． （1）求()f x 的最小正周期和在[0,π]上的单调递减区间； （2）若α为第四象限角，且3cos 5α=，求7π()212f α+的值.【答案】（1）5[,]36ππ；（2）85． 【解析】试题分析：（1）对()f x 的表达式进行三角恒等变形，利用三角函数的性质即可求解；（2）利用同角三角函数的基本关系求得sin α的值后即可求解．试题解析：（1）由已知22()sin cos cos 2cos 22sin(2)6f x x x x x x x x π=+-=-=-，所以最小正周期2T ππω==， 由3222,262k x k k Z πππππ+≤-≤+∈， 得5,36k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 故函数()f x 在[0,]π上的单调递减区间5[,]36ππ；（2）因为α为第四象限角，且3cos 5α=，所以4sin 5α=-，所以78()2sin 2125f απα+=-=.考点：三角函数综合． 17.（本小题共14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，AB AP =,E 为棱PD 的中点. （1）证明:AE CD ⊥；（2）求直线AE 与平面PBD 所成角的正弦值；（3）若F 为AB 中点，棱PC 上是否存在一点M ，使得FM AC ⊥，若存在，求出PMMC的值，若不存在，说明理由.【答案】（1）详见解析；（23）13PM MC =． 【解析】试题分析：（1）根据条件可证明CD ⊥平面PAD ，再根据线面垂直的性质即可求解；（2）建立空间直角坐标系后求得平面PBD 的一个法向量后即可求解；（3）设(01)CM CP λλ=≤≤，利用空间向量建立关于λ的方程即可求解．试题解析：（1）因为PA ⊥底面ABCD ， 所以PA CD ⊥，因为AD CD ⊥，所以CD ⊥平面PAD ，由于AE ⊂平面PAD ，所以有CD AE ⊥；（2）依题意，以点A 为原点建立空间直角坐标系（如图）， 不妨设2AB AP ==，可得(2,0,0)B ，(2,0,0)C ，(0,2,0)D ，(0,0,2)P ，由E 为棱PD 的中点，得(0,1,1)E ， (0,1,1)AE =， 向量(2,2,0)BD =-，(2,0,2)PB =-，设(,,)n x y z =为平面PBD 的法向量，则n BD n PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即220220x y x z -+=⎧⎨-=⎩，不妨令1y =，可得(1,1,1)n =为平面PBD 的一个法向量.所以 6cos ,AE EF <>=所以，直线EF 与平面PBD 3）向量(2,2,2)CP =--，(2,2,0)AC =，(2,0,0)AB =. 由点M 在棱PC 上，设(01)CM CP λλ=≤≤，故 (12,22,2)FM FC CM λλλ=+=--，由FM AC ⊥，得0FM AC ⋅=， 因此(12)2(22)20λλ-⨯+-⨯=，解得34λ=，所以13PM MC =. 考点：立体几何综合．18.（本小题共13分）已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的焦点是12F F 、，且122F F =，离心率为12．（1）求椭圆C 的方程；（2）若过椭圆右焦点2F 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，求22||||AF F B g 的取值范围．【答案】（1）22143x y +=；（2）9[,3]4．【解析】试题分析：（1）建立关于..a b c 的方程组即可求解；（2）联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理建立22||||AF F B g 的函数关系式，从而求解．试题解析：（1）因为椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b +=>>，由题意知2221222a b c c a c ⎧=+⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩解得2a =，b =，所以椭圆的标准方程为22143x y +=；（2）因为2(1,0)F ，当直线l 的斜率不存在时，3(1,)2A ，3(1,)2B -， 则229||||4AF F B ⋅=，不符合题意.当直线l 的斜率存在时，直线l 的方程可设为(1)y k x =-， 由22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消y 得2222(34)84120k x k x k +-+-=（*）．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1x ，2x 是方程（*）的两个根，所以2122834k x x k +=+，212241234k x x k-=+，所以21|||1|AF x =-，所以22|||1|F B x =-,所以2221212291||||(1)|()1|(1)434AF F B k x x x x k⋅=+-++=++， 当0k =时，22||||AF F B ⋅取最大值为3，所以22||||AF F B ⋅的取值范围9(,3]4. 又当k 不存在，即AB x ⊥轴时，22||||AF F B ⋅取值为94， 所以22||||AF F B ⋅的取值范围9[,3]4. 考点：圆锤曲线综合． 19.（本小题共14分）已知函数()(ln )xe f x a x x x=--．（1）当1a =时，试求()f x 在(1,(1))f 处的切线方程； （2）当0a ≤时，试求()f x 的单调区间；（3）若()f x 在(0,1)内有极值，试求a 的取值范围．【答案】（1）1y e =-；（2）单调增区间为(1,)+∞，单调减区间为(0,1)；（3）(,)e +∞． 【解析】试题分析：（1）求导，利用导数的几何意义求解；（2）求导，研究导函数的取值情况即可求解；（3）问题等价于'()0f x =有解，求导后分析其取值情况即可．试题解析：（1）当1a =时，2(1)1'()1x e x f x x x -=-+，'(1)0f =，(1)1f e =-．方程为1y e =-；（2）022(1)1()(1)'()(1)x x e x e ax x f x a x x x---=--=，当0a ≤时，对于(0,)x ∀∈+∞，0xe ax ->恒成立，所以'()0f x >，1x >；'()0f x <，01x <<，所以单调增区间为(1,)+∞，单调减区间为(0,1)；（3）若()f x 在(0,1)内有极值，则'()0f x =在(0,1)x ∈内有解，令2()(1)'()0x e ax x f x x --==，0xe ax -=，x e a x =，设()x e g x x =，(0,1)x ∈，所以(1)'()x e x g x x-=， 当(0,1)x ∈时，'()0g x <恒成立，所以()g x 单调递减，又因为(1)g e =，又当0x →时，()g x →∞，即()g x 在(0,1)x ∈上的值域为(,)e +∞，所以当a e >时，2()(1)'()0x e ax x f x x --== 有解.设()x H x e ax =-，则'()x H x e a =-，(0,1)x ∈，所以()H x 在(0,1)x ∈单调递减， 因为(0)10H =>，(1)0H e a =-<， 所以()0H x =在(0,1)x ∈有唯一解0x ， 所以有：所以当a e >时，()f x 在(0,1)内有极值且唯一，当a e ≤时，当(0,1)x ∈时，'()0f x ≥恒成立，()f x 单调递增，不成立，综上，a 的取值范围为(,)e +∞． 考点：导数的综合运用． 20.（本小题共13分）已知曲线n C 的方程为：*1()nnx y n N +=∈.（1）分别求出1,2n n ==时，曲线n C 所围成的图形的面积;（2）若()n S n N *∈表示曲线n C 所围成的图形的面积，求证：()n S n N *∈关于n 是递增的;（3）若方程(2,)nnnx y z n n N +=>∈，0xyz ≠，没有正整数解，求证：曲线(2,)n C n n N *>∈上任一点对应的坐标(,)x y ，,x y 不能全是有理数.【答案】（1）π；（2）详见解析；（3）详见解析． 【解析】试题分析：（1）画出对应n 的取值的图形，根据图形即可求解；（2）由于曲线n C 具有对称性，只需证明曲线n C 在第一象限的部分与坐标轴所围成的面积递增，再根据式子推导；（3）根据条件中给出的结论利用反证法推导．试题解析：（1）当1,2n = 时， 由图可知1141122C =⨯⨯⨯=，2C π=；（2）要证(*)n S n N ∈是关于n 递增的，只需证明：*1()n n S S n N +<∈，由于曲线n C 具有对称性，只需证明曲线n C 在第一象限的部分与坐标轴所围成的面积递增，现在考虑曲线n C 与1n C +，因为*||||1()nnx y n N +=∈（1）因为 11*||||1()n n x y n N +++=∈，在(1)和(2)中令0x x =，0(0,1)x ∈，当0(0,1)x ∈，存在1y ，2(0,1)y ∈使得011n n x y +=，11011n n x y +++=成立，此时必有21y y >，因为当0(0,1)x ∈时100n n x x +>， 所以121n ny y +>，两边同时开n 次方有，1221n ny y y +>>.（指数函数单调性）这就得到了21y y >，从而*()n S n N ∈是关于n 递增的；（3）由于(2,)n n n x y z n n N +=>∈可等价转化为()()1n n x y zz+=， 反证：若曲线*(2,)n C n n N >∈上存在一点对应的坐标(,)x y ，x ，y 全是有理数， 不妨设q x p =，t y s=，*,,,p q s t N ∈，且,p q 互质，,s t 互质，则由||||1n nx y +=可得， ||||1n n q tp s+=，即||||||n n n qs pt ps +=，这时qs ，pt ，ps 就是(2,)n n n x y z n n N +=>∈的一组解， 这与方程(2,)nnnx y z n n N +=>∈，0xyz ≠，没有正整数解矛盾， 所以曲线*(2,)n C n n N >∈上任一点对应的坐标(,)x y ，,x y 不能全是有理数. 考点：数列综合运用．：。
北京市东城区2013-2014学年高三年级第一学期期末数学(文)试题(WORD精校版)
东城区2013-2014学年第一学期期末教学统一检测高三数学 （文科） 2014.1学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷共5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合{|02}A x x =<<，{1,0,1}B =-，则A B =（A ）{1}- （B ）{0} （C ）{1} （D ）{0,1} （2）在复平面内，复数i(2i)+对应的点位于（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 （3）下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递减的是（A ）ln ||y x =- （B ）3y x = （C ）||2x y = （D ）cos y x = （4）“1x >”是“21x >”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（5）执行如图所示的程序框图，输出的a 值为（A ）3（B ）5 （C ）7（D ）9（6）直线3y kx =+与圆22(2)(3)4x y -+-=相交于A ，B 两点，若||AB =则k =（A ）（B ）3±（C （D ）3（7）关于平面向量,,a b c ，有下列三个命题： ①若⋅=⋅a b a c ，则=b c ；②若(1,)k =a ，(2,6)=-b ，a ∥b ，则3k =-；③非零向量a 和b 满足||||||==-a b a b ，则a 与+a b 的夹角为30． 其中真命题的序号为（A ）①② （B ）①③ （C ）②③ （D ）①②③（8）已知函数25,0,()e 1,0.x x x x f x x ⎧+≥⎪=⎨-+<⎪⎩若()f x kx ≥，则k 的取值范围是（A ）(,0]-∞ （B ）(,5]-∞（C ）(0,5] （D ）[0,5]俯视图侧(左)视图正(主)视图第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
北京2016-2017东城区一模文科数学试卷与答案
北京市东城区2016-2017学年度第二学期高三综合练习（一）数学 （文科）本试卷共5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题(共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项) （1）如果{}|0R =∈>A x x ，{}0,1,2,3B =，那么集合=B A IA.空集B.{}0C.{}0,1D.{}1,2,3（2）某高校共有学生3000人，新进大一学生有800人．现对大学生社团活动情况进行抽样调查，用分层抽样方法在全校抽取300人，那么应在大一抽取的人数为A.200B.100C.80D.75（3）如果4log 1a =，2log 3b =，2log c π=，那么三个数的大小关系是 A.c b a >> B.a c b >> C.a b c >>D.b c a >>（4）如果过原点的直线l 与圆22(4)4x y +-= 切于第二象限，那么直线l 的方程是A.y =B.y =C.2y x =D.2y x =-（5）设函数30()0.2x x f x x -<=≥⎧，，若()1f a >，则实数a 的取值范围是A.(0,2)B.(0,)+∞C.(2,)+∞D.(,0)-∞∪(2,+)∞ （6） “0cos sin =+αα”是 “cos20α=”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分且必要条件D.既不充分也不必要条件（7）如果某四棱锥的三视图如图所示，那么该四棱锥的四个侧面中是直角三角形的有 A.1 B.2C.3D.4（8）如果函数)(x f y =在定义域内存在区间],[b a ，使)(x f 在],[b a 上的值域是]2,2[b a ，那么称)(x f 为“倍增函数”．若函数)ln()(m e x f x+=为“倍增函数”，则实数m 的取值范围是A.),41(+∞-B.)0,21(-C.)0,1(-D.)0,41(-第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题(共6小题，每小题5分，共30分)（9）如果2(1)(1)i x x -+-是纯虚数，那么实数x = ．（10）如果执行如图所示的程序框图，那么输出的k =___．（11）如果直线l ： 1 (0)y kx k =->与双曲线221169x y -=的一条渐近线平 行，那么k = __ ．（12）“墨子号”是由我国完全自主研制的世界上第一颗空间量子科学实验卫星，于2016年8月16日发射升空.“墨子号”的主要应用目标是通过卫星中转实现可覆盖全球的量子保密通信.量子通信是通过光子的偏振状态，使用二进制编码，比如，码元0对应光子偏振方向为水平或斜向下45度，码元1对应光子偏振方向为垂直或斜向上45度.如下图所示开始结束是 输出 否信号发出后，我们在接收端将随机选择两种编码方式中的一种来解码，比如，信号发送端如果按编码方式1发送，同时接收端按编码方式1进行解码，这时能够完美解码；信号发送端如果按编码方式1发送，同时接收端按编码方式2进行解码，这时无法获取信息.如果发送端发送一个码元，那么接收端能够完美解码的概率是____；如果发送端发送3个码元，那么恰有两个码元无法获取信息的概率是____.（13）已知ABC ∆中，=120A ∠︒，且2AB AC ==，那么BC =_______，BC CA =u u u r u u u rg____ ．（14）已知甲、乙、丙三人组成考察小组，每个组员最多可以携带供本人在沙漠中生存36天的水和食物，且计划每天向沙漠深处走30公里，每个人都可以在沙漠中将部分水和食物交给其他人然后独自返回. 若组员甲与其他两个人合作，且要求三个人都能够安全返回，则甲最远能深入沙漠_________公里.三、解答题(共6小题，共80分.答应写出文字说明，演算步骤或证明过程) （15）（本小题13分） 已知点)1,4(π在函数()2sin cos cos 2f x a x x x =+的图象上.(Ⅰ) 求a 的值和()f x 最小正周期； (Ⅱ) 求函数()f x 在(0,π)上的单调减区间.（16）（本小题13分）已知数列}{n a 是等差数列，前n 项和为n S ，若139,21a S ==． （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）若58,k a a S ，成等比数列，求k 的值．如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是平行四边形，AD BD ⊥且=AD BD ，AC BD O =I ,PO ⊥平面ABCD .（I ）E 为棱PC 的中点，求证：//OE 平面PAB ； （II ）求证：平面PAD ⊥平面PBD ；(III) 若PD PB ⊥，=2AD ,求四棱锥P ABCD -的体积.（18）（本小题13分）某校学生在进行“南水北调工程对北京市民的影响”的项目式学习活动中，对某居民小区进行用水情况随机抽样调查，获得了该小区400位居民某月的用水量数据（单位：立方米），整理得到如下数据分组及频数分布表和频率分布直方图： 组号 分组 频数1 [0.5,1） 202 [1,1.5） 403 [1.5,2） 804 [2,2.5） 1205 [2.5,3） 606 [3,3.5） 407 [3.5,4） 20 8[4,4.5） 20（Ⅰ）求a ,b 的值；（Ⅱ）从该小区随机选取一名住户，试估计这名住户一个月用水量小于3立方米的概率； （Ⅲ）若小区人均月用水量低于某一标准，则称该小区为“节水小区”.假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，经过估算，该小区未达到“节水小区”标准，而且该小区居民月用水量不高于这一标准的比例为65%，经过同学们的节水宣传，三个月后，又进行一次同等规模的随机抽样调查，数据如右图所示，估计这时小区是否达到“节水小区”的标准？并说明理由.ABCDPOAB CDO F 1xy F 2E 已知椭圆2222:1(0)+=>>x y W a b a b的左右两个焦点为12,F F ，且122F F =，椭圆上一动点P 满足1223PF PF +=（Ⅰ）求椭圆W 的标准方程及离心率；（Ⅱ）如图，过点1F 作直线1l 与椭圆W 交于点,A C ，过点2F 作直线21l l ⊥，且2l 与椭圆W 交于点,B D ，1l 与2l 交于点E ，试求四边形ABCD 面积的最大值.（20）（本小题14分） 设函数ax x x x f +-=232131)(，R a ∈． (Ⅰ)若2=x 是)(x f 的极值点，求a 的值，并讨论)(x f 的单调性； (Ⅱ)已知函数3221)()(2+-=ax x f x g ，若)(x g 在区间)1,0(内有零点，求a 的取值范围； (Ⅲ)设)(x f 有两个极值点1x ，2x ，试讨论过两点))(,(11x f x ，))(,(22x f x 的直线能否过点)1,1(，若能，求a 的值；若不能，说明理由．北京市东城区2016-2017学年第二学期高三综合练习（一）数学（文科）参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） （1）D （2）C （3）A （4）B （5）B （6）A （7）D （8）D二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） （9）-1 （10）5 （11）34 （12）12，38（13）-6（14）810注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分．三、解答题（本大题共6小题，共80分） （15）（共13分）解:(Ⅰ) Q 点π(,1)4在函数()f x 的图象上，()=2sin cos cos 14442ππππf a ∴+=.∴ 1.a =()2sin cos cos 2sin 2cos 2)4f x x x x x x πx ∴=+=+=+T π∴=.------------------6分(Ⅱ)由3222242k x k πππ+π++π≤≤, 得 522244k x k +π+π≤≤ππ,588k x k ∴+π+π.≤≤ππ ∴函数()f x 的单调减区间为 5,().88k k k Z ⎡⎤+π+π∈⎢⎥⎣⎦ππ∴函数()f x 在(0,π)上的单调减区间为5,.88⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππ ------------------ 13分（16）（共13分）解：（Ⅰ）Q 等差数列}{n a 中，139,21a S ==,13321a d ∴+=.97d ∴+=.2.d ∴=-∴数列}{n a 的通项公式为211n a n =-+.------------------6分（Ⅱ）Q 数列}{n a 是等差数列,1=92a d =-，,∴210n S n n =-+. ∴2-k 10k S k =+.211n a n =-+Q , ∴15=a ，85a =-． Q 58k a a S ，，成等比数列， ∴285k a a S =⋅．∴22510k k -=-+（）.即210250k k -+=， 解得5k =.------------------13分（17）（共14分）解：（I ） 因为O 是平行四边形ABCD 对角线交点，所以O 为AC 中点 又E 为棱PC 中点，所以//OE PA因为OE ⊄平面PAB ，PA ⊂平面PAB ，所以//OE 平面PAB ……………………5分（II ） 因为PO ABCD ⊥面，所以PO AD ⊥又BD AD ⊥，BD PO O ⋂=， 所以AD PBD ⊥面 因为AD PAD ⊂面，所以PAD PBD ⊥面面 ……………………10分（III ）因为O 是平行四边形ABCD 对角线交点，所以O 为BD 中点又PD PB ⊥，2AD BD ==，可求得112PO BD == 因为PO ABCD ⊥面，所以13P ABCD ABCD V S PO -=g 1222242ABCD ABD S S ∆==⨯⨯⨯=所以11441333P ABCD ABCD V S PO -==⨯⨯=g 四边形 ……………………14分（18）（共13分）解答：（Ⅰ）由数据分组及频数分布表可知，404000.20.5a ==；1204000.60.5b == ……………………4分（Ⅱ）设这名住户一个月用水量小于3立方米为事件A ，那么20408012060()0.8400P A ++++== ……………………8分（Ⅲ）因为该小区居民月用水量低于这一标准的比例为35%，所以由图可知,小区人均月用水量低于2.5立方米，则称为“节水小区”. ……………………10分 由图可知，三个月后的该小区人均月用水量为10.1 1.50.1520.25 2.50.330.1 3.50.0540.05⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 2.25 2.5=<所以三个月后该小区达到了“节水小区”标准. ……………………13分（19）（共13分）解：（Ⅰ）由已知，222222c a a b c =⎧⎪=⎨⎪=+⎩，解得1c a b =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆W 的标准方程为22132x y +=，离心率c e a == . ……………………4分（Ⅱ）由题意可知12EF EF ⊥，由此可求得121||||12EO F F == 所以E 点轨迹为以原点为圆心，半径为1的圆，显然E 点在椭圆W 的内部所以111||||||||||||222ABC ADC ABCD S S S AC BE AC DE AC BD ∆∆=+=+=g g g 四边形当直线12,l l 一条为椭圆的长轴，一条与x 轴垂直时，例如AC 为长轴，BD x ⊥轴时 把1x =代入椭圆方程，可求得3y =±||3BD =，又||AC =所以此时1||||42ABCD S AC BD ==g 当直线12,l l 的斜率都存在时，设直线1:1,(0)l x my m =-≠，设1122(,),(,)A x y B x y联立221132x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 可得22(23)440m y my +--=所以122122423423m y y m y y m ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩.AC ==同理，由21:1l x x m=-+可求得BD =2222424224242421124(1)||||22(23)(32)24(21)4(6126)4(1)4613661366136ABCDm S AC BD m m m m m m mm m m m m m +===++++++===-<++++++g 四边形综上，四边形ABCD 面积的最大值为4，此时直线12,l l 一条为椭圆的长轴，一条与x 轴垂直.……………………13分（20）（共14分）解析：(Ⅰ) 由ax x x x f +-=232131)(求得a x x x f +-=2)(' 2024)2('-=⇒=+-=∴a a f ，代入)1)(2(2)('2+-=--=x x x x x f令0)('=x f 得21=x ，12-=x),2(),1,(+∞--∞∈∴x 当时，0)('>x f ，)(x f 单调递增； )2,1(-∈x 当时，0)('<x f ，)(x f 单调递减．……………………4分(Ⅱ) 由32)2121(313221)()(232+++-=+-=ax x a x ax x f x g 求得))(1()1()('2a x x a x a x x g --=++-=1≥∴a 当时，当)1,0(∈x 时，0)('>x g 恒成立，)(x g 单调递增，又032)0(>=g此时)(x g 在区间)1,0(内没有零点；当10<<a 时，当),0(a x ∈时，0)('>x g ，)(x g 单调递增；当)1,(a x ∈时，0)('<x g ，)(x g 单调递减．又032)0(>=g 此时欲使)(x g 在区间)1,0(内有零点，必有0)1(<g ．10212132)2121(310)1(-<⇒<+=+++-⇒<a a a a g无解当0≤a 时，当)1,0(∈x 时，0)('<x g 恒成立，)(x g 单调递减此时欲使)(x g 在区间)1,0(内有零点，必有10)1(-<⇒<a g ．综上，a 的取值范围为)1,(--∞．……………………9分(Ⅲ)不能．原因如下：设)(x f 有两个极值点1x ，2x ，则导函数a x x x f +-=2)('有两个不同的零点410410<⇒>-⇒>∴a a ∆，且1x ，2x 为方程02=+-a x x 的两根 a x x a x x -=⇒=+-1211210111211211112131132)(61326121)(312131)(ax a x ax x ax x a x x ax x x x f +--=+-=+--=+-=∴ a x a x f 61)6132()(11+-=∴ 同理a x a x f 61)6132()(22+-=由此可知过两点))(,(11x f x ，))(,(22x f x 的直线方程为a x a y 61)6132(+-=若直线过点)1,1(，则57676561)6132(1=⇒=⇒+-=a a a a前面已经讨论过若)(x f 有两个极值点，则41<a ，显然不合题意．综上，过两点))(,(11x f x ，))(,(22x f x 的直线不能过点)1,1(．……………………14分。
2016-2017年北京市东城区高三上学期数学期末试卷及参考答案(理科)
2016-2017学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1．（5分）已知集合A={x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}，B={x|2＜x＜4}，则A∩B=（）A．{x|1＜x＜3}B．{x|1＜x＜4}C．{x|2＜x＜3}D．{x|2＜x＜4}2．（5分）抛物线y2=2x的准线方程是（）A．y=﹣1 B．C．x=﹣1 D．3．（5分）“k=1”是“直线与圆x2+y2=9相切”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的k值为（）A．6 B．8 C．10 D．125．（5分）已知x，y∈R，且x＞y＞0，则（）A．tanx﹣tany＞0 B．xsinx﹣ysiny＞0C．lnx+lny＞0 D．2x﹣2y＞06．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且在[0，+∞）上是增函数，则f （x+1）≥0的解集为（）A．（﹣∞，﹣1]B．（﹣∞，1]C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞）7．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A．B．C．2 D．8．（5分）数列{a n}表示第n天午时某种细菌的数量．细菌在理想条件下第n天的日增长率r n=0.6（r n=，n∈N*）．当这种细菌在实际条件下生长时，其日增长率r n会发生变化．如图描述了细菌在理想和实际两种状态下细菌数量Q 随时间的变化规律．那么，对这种细菌在实际条件下日增长率r n的规律描述正确的是（）A．B．C．D．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）若复数（2﹣i）（a+2i）是纯虚数，则实数a=．10．（5分）若x，y满足，则x+2y的最大值为．11．（5分）若点P（2，0）到双曲线的一条渐近线的距离为1，则a=．12．（5分）在△ABC中，若AB=2，AC=3，∠A=60°，则BC=；若AD⊥BC，则AD=．13．（5分）在△ABC所在平面内一点P，满足，延长BP交AC于点D，若，则λ=．14．（5分）关于x的方程g（x）=t（t∈R）的实根个数记为f（t）．若g（x）=lnx，则f（t）=；若g（x）=（a∈R），存在t使得f（t+2）＞f（t）成立，则a的取值范围是．三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．）15．（13分）已知{a n}是等比数列，满足a1=3，a4=24，数列{a n+b n}是首项为4，公差为1的等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{b n}的前n项和．16．（13分）已知函数部分图象如图所示．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及图中x0的值；（Ⅱ）求f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PCD⊥平面ABCD，BC=1，AB=2，，E为PA中点．（Ⅰ）求证：PC∥平面BED；（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣D的余弦值；（Ⅲ）在棱PC上是否存在点M，使得BM⊥AC？若存在，求的值；若不存在，说明理由．18．（13分）设函数．（Ⅰ）若f（0）为f（x）的极小值，求a的值；（Ⅱ）若f（x）＞0对x∈（0，+∞）恒成立，求a的最大值．19．（14分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）经过点M（2，0），离心率为．A，B是椭圆C上两点，且直线OA，OB的斜率之积为﹣，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若射线OA上的点P满足|PO|=3|OA|，且PB与椭圆交于点Q，求的值．20．（13分）已知集合A n={（x1，x2，…，x n）|x i∈{﹣1，1}（i=1，2，…，n）}．x，y∈A n，x=（x1，x2，…，x n），y=（y1，y2，…，y n），其中x i，y i∈{﹣1，1}（i=1，2，…，n）．定义x⊙y=x1y1+x2y2+…+x n y n．若x⊙y=0，则称x与y正交．（Ⅰ）若x=（1，1，1，1），写出A4中与x正交的所有元素；（Ⅱ）令B={x⊙y|x，y∈A n}．若m∈B，证明：m+n为偶数；（Ⅲ）若A⊆A n，且A中任意两个元素均正交，分别求出n=8，14时，A中最多可以有多少个元素．2016-2017学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1．（5分）已知集合A={x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}，B={x|2＜x＜4}，则A∩B=（）A．{x|1＜x＜3}B．{x|1＜x＜4}C．{x|2＜x＜3}D．{x|2＜x＜4}【解答】解：集合A={x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}={x|1＜x＜3}，B={x|2＜x＜4}，则A∩B={x|2＜x＜3}．故选：C．2．（5分）抛物线y2=2x的准线方程是（）A．y=﹣1 B．C．x=﹣1 D．【解答】解：抛物线y2=2x的准线方程是：x=﹣．故选：D．3．（5分）“k=1”是“直线与圆x2+y2=9相切”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若直线与圆x2+y2=9相切，则由得：（1+k2）x2﹣6kx+9=0，故△=72k2﹣36（1+k2）=0，解得：k=±1，故“k=1”是“直线与圆x2+y2=9相切”的充分不必要条件，故选：A．4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的k值为（）A．6 B．8 C．10 D．12【解答】解：模拟程序的运行，可得S=0，k=0满足条件S≤，执行循环体，k=2，S=满足条件S≤，执行循环体，k=4，S=+满足条件S≤，执行循环体，k=6，S=++满足条件S≤，执行循环体，k=8，S=+++=不满足条件S≤，退出循环，输出k的值为8．故选：B．5．（5分）已知x，y∈R，且x＞y＞0，则（）A．tanx﹣tany＞0 B．xsinx﹣ysiny＞0C．lnx+lny＞0 D．2x﹣2y＞0【解答】解：x，y∈R，且x＞y＞0，对于A：当x=，y=时，tan=，tan=，显然不成立；对于B：当x=π，y=时，πsinπ=﹣π，﹣sin=﹣1，显然不成立；对于C：lnx+lny＞0，即ln（xy）＞ln1，可得xy＞0，∵x＞y＞0，那么xy不一定大于0，显然不成立；对于D：2x﹣2y＞0，即2x＞2y，根据指数函数的性质可知：x＞y，恒成立．故选D6．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且在[0，+∞）上是增函数，则f （x+1）≥0的解集为（）A．（﹣∞，﹣1]B．（﹣∞，1]C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞）【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，且在[0，+∞）上是增函数，∴函数在（﹣∞，+∞）上是增函数，∵f（0）=0，∴不等式f（x+1）≥0等价为f（x+1）≥f（0），则x+1≥0，得x≥﹣1，即不等式的解集为[﹣1，+∞），故选：C7．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A．B．C．2 D．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图中左上角的三角形为底面的三棱锥，其直观图如下图所示：其底面面积S=×2×2=2，高h=2，故棱锥的体积V==，故选：B．8．（5分）数列{a n}表示第n天午时某种细菌的数量．细菌在理想条件下第n天的日增长率r n=0.6（r n=，n∈N*）．当这种细菌在实际条件下生长时，其日增长率r n会发生变化．如图描述了细菌在理想和实际两种状态下细菌数量Q 随时间的变化规律．那么，对这种细菌在实际条件下日增长率r n的规律描述正确的是（）A．B．C．D．【解答】解：由图象可知，第一天到第六天，实际情况与理想情况重合，r1=r2=r6=0.6为定值，而实际情况在第10天后增长率是降低的，并且降低的速度是变小的，故选B．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）若复数（2﹣i）（a+2i）是纯虚数，则实数a=﹣1．【解答】解：∵复数（2﹣i）（a+2i）=（2a+2）+（4﹣a）i是纯虚数，∴2a+2=0，4﹣a≠0，解得a=﹣1．故答案为：﹣1．10．（5分）若x，y满足，则x+2y的最大值为6．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，设z=x+2y，由z=x+2y，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线经过点A时，直线y=的截距最大，此时z最大，由，得，即A（2，2）此时z=2+2×2=6．故答案为：611．（5分）若点P（2，0）到双曲线的一条渐近线的距离为1，则a=．【解答】解：双曲线的一条渐近线方程为：x+ay=0，点P（2，0）到双曲线的一条渐近线的距离为1，可得：=1，解得a=．故答案为：．12．（5分）在△ABC中，若AB=2，AC=3，∠A=60°，则BC=；若AD⊥BC，则AD=．【解答】解：∵AB=2，AC=3，∠A=60°，∴由余弦定理可得BC==，=，∴AD=，故答案为，．13．（5分）在△ABC所在平面内一点P，满足，延长BP交AC于点D，若，则λ=．【解答】解：根据题意，不妨设△ABC是等腰直角三角形，且腰长AB=AC=1，建立直角坐标系，如图所示，则A（0，0），B（1，0），C（0，1），∴=（1，0），=（0，1）；∴=+=（，），∴=﹣=（﹣，）；设点D（0，y），则=（﹣1，y），由、共线，得y=，∴=（0，），=（0，1），当时，λ=．故答案为：．14．（5分）关于x的方程g（x）=t（t∈R）的实根个数记为f（t）．若g（x）=lnx，则f（t）=1；若g（x）=（a∈R），存在t使得f（t+2）＞f（t）成立，则a的取值范围是a＞1．【解答】解：若g（x）=lnx，则函数的值域为R，且函数为单调函数，故方程g（x）=t有且只有一个根，故f（t）=1，g（x）=，当t≤0时，f（t）=1恒成立，若存在t使得f（t+2）＞f（t）成立，则x＞0时，函数的最大值大于2，且对称轴位于y轴右侧，即，解得：a＞1，故答案为：1，a＞1三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．）15．（13分）已知{a n}是等比数列，满足a1=3，a4=24，数列{a n+b n}是首项为4，公差为1的等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{b n}的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）设等比数列{a n}的公比为q．a1=3，a4=24得q3==8，q=2．所以a n=3•2n﹣1．又数列{a n+b n}是首项为4，公差为1的等差数列，所以a n+b n=4+（n﹣1）=n+3．从而b n=n+3﹣3•2n﹣1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知b n=n+3﹣3•2n﹣1．数列{n+3}的前n项和为．数列{3•2n﹣1}的前n项和为=3×2n﹣3．所以，数列{b n}的前n项和为为﹣3×2n+3．16．（13分）已知函数部分图象如图所示．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及图中x0的值；（Ⅱ）求f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵函数，∴函数的最小正周期为T==π；…（2分）因为点（0，1）在f（x）=2sin（2x+φ）的图象上，所以2sin（2×0+φ）=1；又因为|φ|＜，所以φ=，…（4分）令2x+=，解得x=，所以x0=π+=；…（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=2sin（2x+），因为0≤x≤，所以≤2x+≤；当2x+=，即x=时，f（x）取得最大值2；当2x+=，即x=时，f（x）取得最小值﹣1．…（13分）17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PCD⊥平面ABCD，BC=1，AB=2，，E为PA中点．（Ⅰ）求证：PC∥平面BED；（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣D的余弦值；（Ⅲ）在棱PC上是否存在点M，使得BM⊥AC？若存在，求的值；若不存在，说明理由．【解答】（共14分）证明：（Ⅰ）设AC与BD的交点为F，连结EF．因为ABCD为矩形，所以F为AC的中点．在△PAC中，由已知E为PA中点，所以EF∥PC．又EF⊂平面BFD，PC⊄平面BFD，所以PC∥平面BED．…（5分）（Ⅱ）取CD中点O，连结PO．因为△PCD是等腰三角形，O为CD的中点，所以PO⊥CD．又因为平面PCD⊥平面ABCD，PO⊂平面PCD，所以PO⊥平面ABCD．取AB中点G，连结OG，由题设知四边形ABCD为矩形，所以OF⊥CD．所以PO⊥OG．…（1分）如图建立空间直角坐标系O﹣xyz，则A（1，﹣1，0），C（0，1，0），P（0，0，1），D（0，﹣1，0），B（1，1，0），O（0，0，0），G（1，0，0）．=（﹣1，2，0），=（0，1，﹣1）．设平面PAC的法向量为=（x，y，z），则，令z=1，得=（2，1，1）．平面PCD的法向量为=（1，0，0）．设的夹角为α，所以cosα==．由图可知二面角A﹣PC﹣D为锐角，所以二面角A﹣PC﹣B的余弦值为．…（10分）（Ⅲ）设M是棱PC上一点，则存在λ∈[0，1]使得．因此点M（0，λ，1﹣λ），=（﹣1，λ﹣1，1﹣λ），=（﹣1，2，0）．由，得1+2（λ﹣1）=0，解得．因为∈[0，1]，所以在棱PC上存在点M，使得BM⊥AC．此时，=．…（14分）18．（13分）设函数．（Ⅰ）若f（0）为f（x）的极小值，求a的值；（Ⅱ）若f（x）＞0对x∈（0，+∞）恒成立，求a的最大值．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（﹣1，+∞），因为，所以f′（x）=﹣，因为f（0）为f（x）的极小值，所以f′（0）=0，即﹣=0，所以a=1，此时，f′（x）=，当x∈（﹣1，0）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．所以f（x）在x=0处取得极小值，所以a=1．…（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知当a=1时，f（x）在[0，+∞）上为单调递增函数，所以f（x）＞f（0）=0，所以f（x）＞0对x∈（0，+∞）恒成立．因此，当a＜1时，f（x）=ln（x+1）﹣＞ln（x+1）﹣＞0，f（x）＞0对x∈（0，+∞）恒成立．当a＞1时，f′（x）=，所以，当x∈（0，a﹣1）时，f′（x）＜0，因为f（x）在[0，a﹣1）上单调递减，所以f（a﹣1）＜f（0）=0，所以当a＞1时，f（x）＞0并非对x∈（0，+∞）恒成立．综上，a的最大值为1．…（13分）19．（14分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）经过点M（2，0），离心率为．A，B是椭圆C上两点，且直线OA，OB的斜率之积为﹣，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若射线OA上的点P满足|PO|=3|OA|，且PB与椭圆交于点Q，求的值．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，解得．∴椭圆C的方程为；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x3，y3），∵点P在直线AO上且满足|PO|=3|OA|，∴P（3x1，3y1）．∵B，Q，P三点共线，∴．∴（3x1﹣x2，3y1﹣y2）=λ（x3﹣x2，y3﹣y2），即，解得，∵点Q在椭圆C上，∴．∴．即，∵A，B在椭圆C上，∴，．∵直线OA，OB的斜率之积为，∴，即．∴，解得λ=5．∴=|λ|=5．20．（13分）已知集合A n={（x1，x2，…，x n）|x i∈{﹣1，1}（i=1，2，…，n）}．x，y∈A n，x=（x1，x2，…，x n），y=（y1，y2，…，y n），其中x i，y i∈{﹣1，1}（i=1，2，…，n）．定义x⊙y=x1y1+x2y2+…+x n y n．若x⊙y=0，则称x与y正交．（Ⅰ）若x=（1，1，1，1），写出A4中与x正交的所有元素；（Ⅱ）令B={x⊙y|x，y∈A n}．若m∈B，证明：m+n为偶数；（Ⅲ）若A⊆A n，且A中任意两个元素均正交，分别求出n=8，14时，A中最多可以有多少个元素．【解答】解：（Ⅰ）A4中所有与x正交的元素为（﹣1，﹣1，1，1）（1，1，﹣1，﹣1），（﹣1，1，﹣1，1），（﹣1，1，1，﹣1），（1，﹣1，﹣1，1），（1，﹣1，1，﹣1）．…（3分）（Ⅱ）对于m∈B，存在x=（x1，x2，…，x n），x i∈{﹣1，1}，y=（y1，y2，…，y n），其中x i，y i∈{﹣1，1}；使得x⊙y=m．令，；当x i=y i时，x i y i=1，当x i≠y i时，x i y i=﹣1．那么x⊙y=．所以m+n=2k﹣n+n=2k为偶数．…（8分）（Ⅲ）8个，2个n=8时，不妨设x1=（1，1，1，1，1，1，1，1），x2=（﹣1，﹣1，﹣1，﹣1，1，1，1，1）．在考虑n=4时，共有四种互相正交的情况即：（1，1，1，1），（﹣1，1，﹣1，1），（﹣1，﹣1，1，1），（1，﹣1，﹣1，1）分别与x1，x2搭配，可形成8种情况．所以n=8时，A中最多可以有8个元素．…（10分）N=14时，不妨设y1=（1，1…1，1），（14个1），y2=（﹣1，﹣1…﹣1，1，1…1）（7个1，7个﹣1），则y1与y2正交．令a=（a1，a2，…a14），b=（b1，b2，…b14），c=（c1，c2，…c14）且它们互相正交．设a、b、c相应位置数字都相同的共有k个，除去这k列外a、b相应位置数字都相同的共有m个，c、b相应位置数字都相同的共有n个．则a⊙b=m+k﹣（14﹣m﹣k）=2m+2k﹣14．所以m+k=7，同理n+k=7．可得m=n．由于a⊙c=﹣m﹣m+k+（14﹣k﹣2m）=0，可得2m=7，m=矛盾．所以任意三个元素都不正交．综上，n=14时，A中最多可以有2个元素．…（13分）。
高三试卷—2016年2016北京东城高三上期末数学理(含解析)
北京市东城区2015—2016学年度高三年级第一学期期末统一考试数学试卷（理科）2016．1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{}1,2,3,4U =，集合{}1,3,4A =，{}2,4B =，那么集合()U A B = ð（）．A ．{}2B ．{}4C ．{}1,3D ．{}2,42．已知某三棱锥的三视图（单位：cm ）如图所示，那么该三棱锥的体积等于（）．A ．23cm2B ．22cmC ．23cmD ．29cm 3．设i 为虚数单位，如果复数z 满足(12i)5i z -=，那么z 的虚部为（）．A ．1-B ．1C ．iD ．i-4．已知(0,1)m ∈，令log 2m a =，2b m =，2m c =，那么a ，b ，c 之间的大小关系为（）．A ．b c a<<B ．b a c<<C ．a b c <<D ．c a b <<5．已知直线l 的倾斜角为α，斜率为k ，那么“π3α>”是“k >的（）．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知函数()11,02ln ,2x f x x x x ⎧+<⎪=⎨⎪>⎩≤，如果关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，那么实数k 的取值范围是（）．A ．()1,+∞B ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．32e ,⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．[)ln 2,+∞7．过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点O 是坐标原点，如果3BF =，BF AF >，2π3BFO ∠=，那么AF 的值为（）．A ．1B ．32C ．2D ．528．如图所示，正方体''''ABCD A B C D -的棱长为1，E ，F 分别是棱'AA ，'CC 的中点，过直线EF 的平面分别与棱'BB ，'DD 交于M ，N ，设BM x =，(0,1)x ∈，给出以下四个命题①四边形MENF 为平行四边形；②若四边形MENF 面积()S f x =，(0,1)x ∈，则()f x 有最小值；③若四棱锥A MENF -的体积()V p x =，(0,1)x ∈，则()p x 为常函数；④若多面体ABCD MENF -的体积()V h x =，1(,1)2x ∈，则()h x 为单调函数．其中假命题为（）．A ．①B ．②C ．③D ．④二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．在ABC △中，a ，b 分别为角A ，B 的对边，如果30B =︒，105C =︒，4a =，那么b =__________．10．在平面向量a r ，b r 中，已知(1,3)a =r ，(2,)b y =r ．如果5a b ⋅=r r，那么y =__________；如果a b a b +=-r r r r ，那么y =__________．11．已知x ，y 满足约束条件1023x y x y x +⎧⎪-⎨⎪⎩≤≤≥，那么22z x y =+的最大值为__________．12．如果函数2()sin f x x x a =+的图像过点(π,1)，且()2f t =，那么a =__________；()f t -=__________．13．如果平面直角坐标系中的两点(1,1)A a a -+，(,)B a a 关于直线l 对称，那么直线l 的方程为__________．14．数列{}n a 满足：112(1n n n a a a n -++>>，*)n ∈N ，给出下述命题：①若数列{}n a 满足：21a a >，则1n n a a ->成立；②存在常数c ，使得n a c >()n ∈*N 成立；③若p q m n +>+（其中p ，q ，m ，n ∈*N ），则p q m n a a a a +>+；④存在常数d ，使得1(1)n a a n d >+-()n ∈*N 都成立．上述命题正确的是__________．（写出所有正确结论的序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本题满分13分）设{}n a 是一个公比为q (0q >，1)q ≠的等比数列，14a ，23a ，32a 成等差数列，且它的前4项和415S =．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）令2n n b a n =+，(1,2,3)n =LL ．求数列{}n b 的前n 项和．16．（本题满分13分）已知函数22()sin cos cos f x x x x x =+-()x ∈R ．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期和在[]0,π上的单调递减区间；（Ⅱ）若α为第四想象角，且3cos 5α=，求7π()212f α+的值．17．（本题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，AB AP =，E 为棱PD 的中点．（Ⅰ）证明：AE CD ⊥；（Ⅱ）求直线AE 与平面PBD 所成角的正弦值；（Ⅲ）若F 为AB 中点，棱PC 上是否存在一点M ，使得FM AC ⊥，若存在，求出PMMC的值，若不存在，说明理由．18．（本题满分13分）已知椭圆22221(0)x y a b ab +=>>的焦点是1F ，2F ，且122F F =，离心率为12．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若过椭圆右焦点2F 的直线l 交椭圆于A ，B 两点．求12AF F B ⋅的取值范围．19．（本题满分14分）已知函数e ()(ln )xf x a x x x=--．（Ⅰ）当1a =时，试求()f x 在(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）当0a ≤时，试求()f x 的单调区间；（Ⅲ）若()f x 在(0,1)内有极值，试求a 的取值范围．20．（本题满分13分）已知曲线n C 的方程为：1()nnx y n +=∈*N ．（Ⅰ）分别求出1n =，2n =时，曲线n C 所围成的图形的面积；（Ⅱ）若()n S n ∈*N 表示曲线n C 所围成的图形的面积，求证：()n S n ∈*N 关于n 是递增的；（Ⅲ）若方程n n n x y z +=(2n >，)n ∈N ，0xyz ≠，没有正整数解，求证：曲线n C (2n >，)n *∈N 上任一点对应的坐标(,)x y ，x ，y 不能全是有理数．北京市东城区2015—2016学年度高三第一学期期末统一考试数学答案及解析（理工类）2016．1一、选择题1．已知集合{}1,2,3,4U =，集合{}1,3,4A =，{}2,4B =，那么集合()U A B = ð（）．A ．{}2B ．{}4C ．{}1,3D ．{}2,4【答案】A【解析】∵{}1,2,3,4U =，{}1,3,4A =，∴{}2U A =ð，又∵{}2,4B =，∴(){}2U A B = ð．故选A ．2．已知某三棱锥的三视图（单位：cm ）如图所示，那么该三棱锥的体积等于（）．A ．23cm2B ．22cmC ．23cmD ．29cm【答案】A【解析】三视图的直观图如下：∴1131333322ABC V S DC ⨯=⋅=⨯⨯=△．故选A ．3．设i 为虚数单位，如果复数z 满足(12i)5i z -=，那么z 的虚部为（）．A ．1-B ．1C ．iD ．i-【答案】B【解析】由题可得，5i5i(12i)5i 10i 212i (12i)(12i)5z +-====---+，∴虚部为1．故选B ．4．已知(0,1)m ∈，令log 2m a =，2b m =，2m c =，那么a ，b ，c 之间的大小关系为（）．A ．b c a <<B ．b a c <<C ．a b c <<D ．c a b<<【答案】C【解析】∵(0,1)m ∈，∴log 2log 10m m a =<=，2(0,1)b m =∈，0221m c =>=，∴a b c <<．故选C ．5．已知直线l 的倾斜角为α，斜率为k ，那么“π3α>”是“k >的（）．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由题意得[)0,πα∈，当k >ππ(,)32α∈，∵ππ(,32是π(,π)3的真子集，∴“π3α>”是“k >的必要不充分条件．故选B ．6．已知函数()11,02ln ,2x f x xx x ⎧+<<⎪=⎨⎪>⎩，如果关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，那么实数k 的取值范围是（）．A ．()1,+∞B ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．32e ,⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．[)ln 2,+∞【答案】B【解析】由题可得，函数图像如下：由图像可得，当3,2k ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，有两个不同实数根．故选B ．7．过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点O 是坐标原点，如果3BF =，BF AF >，2π3BFO ∠=，那么AF 的值为（）．A ．1B ．32C ．2D ．52【答案】A【解析】如图：∵2π3BFO ∠=，∴π3AFO ∠=，∴226BM BE BE ===，∴F 为MB 中点，∴32BEBFFG ===，∴MA AN MF GF =，∴3332AF AF -=，∴1AF =．故选A ．8．如图所示，正方体''''ABCD A B C D -的棱长为1，E ，F 分别是棱'AA ，'CC 的中点，过直线EF 的平面分别与棱'BB ，'DD 交于M ，N ，设BM x =，(0,1)x ∈，给出以下四个命题①四边形MENF 为平行四边形；②若四边形MENF 面积()S f x =，(0,1)x ∈，则()f x 有最小值；③若四棱锥A MENF -的体积()V p x =，(0,1)x ∈，则()p x 为常函数；④若多面体ABCD MENF -的体积()V h x =，1(,1)2x ∈，则()h x 为单调函数．其中假命题为（）．A ．①B ．②C ．③D ．④【答案】D【解析】对于正方体''''ABCD A B C D -，因为平面''ABB A I 平面MENF ME =，平面''DCC D I 平面MENF NF =，平面''ABB A ∥平面''DCC D ，所以ME NF ∥，同理MF NE ∥，故四边形MENF 是平行四边形，①正确；易证四边形MENF 是菱形，所以12S MN EF =⋅=，其中当M ，N 分别为'BB ，'DD 的中点时，MN 取最小值．故()S f x =有最小值，②正确；1122236A MENF A NEF F AME AME V V V S BC ---===⋅⋅⋅=△，③正确；多面体ABCD MENF -与多面体''''A B C D MENF -关于正方体中心对称，二者大小形状一致，故12V =，④错误．故选D ．二、填空题9．在ABC △中，a ，b 分别为角A ，B 的对边，如果30B =︒，105C =︒，4a =，那么b =__________．【答案】【解析】由正弦定理得：sin sin a bA B =，∴sin(π)sin a b B C B =--，即sin 45sin 30a b =︒︒，sin 30sin 45a b ︒==︒10．在平面向量a r ，b r 中，已知(1,3)a =r ，(2,)b y =r ．如果5a b ⋅=r r，那么y =__________；如果a b a b +=-r r r r ，那么y =__________．【答案】1，23-【解析】∵1235a b y ⋅=⨯+=r r，∴1y =．∵a b a b +=-r r r r ，∴222222a b a b a b a b ++⋅=+-⋅r r r r r r r r，∴40a b ⋅=r r ，即230y +=，解得23y =-．11．已知x ，y 满足约束条件1023x y x y x +⎧⎪-⎨⎪⎩≤≤≥，那么22z x y =+的最大值为__________．【答案】58【解析】由约束条件画出可行域如下图：22z x y =+表示可行域内的点到原点的距离的平方．由图知，当3x =，7y =时z 取得最大值58．12．如果函数2()sin f x x x a =+的图像过点(π,1)，且()2f t =，那么a =__________；()f t -=__________．【答案】1，0【解析】∵函数图像过点(π,1)，∴(π)1f a ==，又∵2()sin 12f t t t =+=，∴2sin 1t t =，∴2()sin 10f t t t -=-+=．13．如果平面直角坐标系中的两点(1,1)A a a -+，(,)B a a 关于直线l 对称，那么直线l 的方程为__________．【答案】1y x =+【解析】由题可得，111AB a ak a a+-==---，∴l 的斜率为1，又l 过AB 中点2121(,22a a -+，∴1y x =+．14．数列{}n a 满足：112(1n n n a a a n -++>>，*)n ∈N ，给出下述命题：①若数列{}n a 满足：21a a >，则1n n a a ->成立；②存在常数c ，使得n a c >()n ∈*N 成立；③若p q m n +>+（其中p ，q ，m ，n ∈*N ），则p q m n a a a a +>+；④存在常数d ，使得1(1)n a a n d >+-()n ∈*N 都成立．上述命题正确的是__________．（写出所有正确结论的序号）【答案】①④【解析】由112n n n a a a -++>得：1112210n n n n n n a a a a a a a a +---->->->>->L ，∴1n n a a ->，①正确；令ln n a n =-，此时n a 单调递减且无下界，②错误；令2n a n =-，1m n ==，1p >，1q >，此时恒有p q m n a a a a +<+，③错误；设21a a d -=，则111221n n n n n n a a a a a a a a d +---->->->>-=L ，累加得1(1)n a a n d ->-，即1(1)n a a n d >+-，④正确．三、解答题15．设{}n a 是一个公比为q (0q >，1)q ≠的等比数列，14a ，23a ，32a 成等差数列，且它的前4项和415S =．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）令2n n b a n =+，(1,2,3)n =LL ．求数列{}n b 的前n 项和．解：（Ⅰ）因为{}n a 是一个公比为(0q q >，1)q ≠等比数列，所以11n n a a q-=．因为14a ，23a ，32a 成等差数列，所以213642a a a =+，即2320q q -+=．解得2q =，1q =（舍）．又它的前4项和415S =，得41(1)15(01a q q q-=>-，1)q ≠，解得11a =，所以12n n a -=．（Ⅱ）因为2n n b a n =+，所以11122(n 1)1nnnn i i i i i b a i n ====+=++-∑∑∑．16．已知函数22()sin cos cos f x x x x x =+-()x ∈R．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期和在[]0,π上的单调递减区间；（Ⅱ）若α为第四想象角，且3cos 5α=，求7π()212f α+的值．解：（Ⅰ）由已知22()sin cos cos f x x x x x=+-2cos 2x x=-π2sin(2)6x =-．所以最小正周期2π2ππ2T ω===．由ππ3π2π22π262k x k +-+≤≤，k ∈Z ．得2π10πππ36k x k ++≤≤，k ∈Z ．故函数()f x 在[]0,π上的单调递减区间15π,π36⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（Ⅱ）因为α为第四象限角，且3cos 5α=，所以4sin 5α=-．所以7π7ππ()2sin()2sin 21266f ααα+=+-=-85=．17．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，AB AP =，E 为棱PD 的中点．（Ⅰ）证明：AE CD ⊥；（Ⅱ）求直线AE 与平面PBD 所成角的正弦值；（Ⅲ）若F 为AB 中点，棱PC 上是否存在一点M ，使得FM AC ⊥，若存在，求出PMMC的值，若不存在，说明理由．解析：（Ⅰ）证明：因为PA ⊥底面ABCD ，所以PA CD ⊥．因为AD CD ⊥，所以CD ⊥面PAD ．由于AE ⊂面PAD ，所以有CD AE ⊥．（Ⅱ）解：依题意，以点A 为原点建立空间直角坐标系（如图），不妨设2AB AP ==，可得(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,2,0)D ，(0,0,2)P ．由E 为棱PD 的中点，得(0,1,1)E ．(0,1,1)AE =向量(2,2,0)BD =- ，(2,0,2)PB =-．设(,,)n x y z = 为平面PBD 的法向量，则00n BD n PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r uuu r r uur即220220x y x z -+=⎧⎨-=⎩．不妨令1y =，可得(1,1,1)n =r为平面PBD 的一个法向量．所以cos ,AE EF = ．所以，直线EF 与平面PBD（Ⅲ）解：向量(2,2,2)CP =-- ，(2,2,0)AC = ，(2,0,0)AB =．由点M 在棱PC 上，设CM CP λ=，(01)λ≤≤．故(12,22,2)FM FC CM λλλ=+=--．由FM AC ⊥，得0FM AC ⋅=uuur uuu r，因此，(12)2(22)20λλ-⨯+-⨯=，解得34λ=．所以13PM MC =．18．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点是1F ，2F ，且122F F =，离心率为12．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若过椭圆右焦点2F 的直线l 交椭圆于A ，B 两点．求12AF F B ⋅的取值范围．解：（Ⅰ）因为椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b +=>>，由题意知2221222a b c c a c ⎧=+⎪⎪=⎨⎪⎪=⎩，解得2a =，b =所以椭圆的标准方程为22143x y +=．（Ⅱ）因为2(1,0)F ，当直线l 的斜率不存在时，3(1,)2A ，3(1,2B -，则229||||4AF F B ⋅=，不符合题意．当直线l 的斜率存在时，直线l 的方程可设为(1)y k x =-．由22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消y 得2222(34)84120k x k x k +-+-=（*）．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1x 、2x 是方程（*）的两个根，所以2222834k x x k +=+，212241234k x x k -=+．所以21||1AF =-，所以22||1F B ==-，所以2221212||||(1)()1AF F B k x x x x ⋅=+-++222224128(1)13434k k k k k -=+-+++229(1)34k k =++229(1)34k k =++291(1)434k =++当20k =时，22||||AF F B ⋅取最大值为3，所以22||||AF F B ⋅的取值范围9,34⎛⎤⎥⎝⎦．又当k 不存在，即AB x ⊥轴时，22||||AF F B ⋅取值为94．所以22||||AF F B ⋅的取值范围9,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦．19．已知函数e ()(ln )xf x a x x x=--．（Ⅰ）当1a =时，试求()f x 在(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）当0a ≤时，试求()f x 的单调区间；（Ⅲ）若()f x 在(0,1)内有极值，试求a 的取值范围．解：（Ⅰ）当1a =时，2e (1)1()1x x f x x x-'=-+，(1)0f '=，(1)e 1f =-．方程为e 1y =-．（Ⅱ）2e (1)1()(1)x x f x a x x -'=--2e (1)(1)x x ax x x ---=，2(e )(1)x ax x x --=．当0a ≤时，对于(0,)x ∀∈+∞，e 0x ax ->恒成立，所以()01f x x '>⇒>；()001f x x '<⇒<<．所以单调增区间为(1,)+∞，单调减区间为(0,1)．（Ⅲ）若()f x 在(0,1)内有极值，则()f x '在(0,1)x ∈内有解．令2(e )(1)()0xax x f x x --'==⇒e 0xax -=⇒e x a x =．设e ()xg x x=，(0,1)x ∈，所以e (1)()x x g x x-'=，当(0,1)x ∈时，()0g x '<恒成立，所以()g x 单调递减．又因为(1)e g =，又当0x →时，()g x →+∞，即()g x 在(0,1)x ∈上的值域为(e,)+∞，所以当e a >时，'2(e )(1)()0x ax x f x x --==有解．设()e x H x ax =-，则()e 0x H x a '=-<，(0,1)x ∈，所以()H x 在(0,1)x ∈单调递减．因为(0)10H =>，(1)e 0H a =-<，所以()e x H x ax =-在(0,1)x ∈有唯一解0x ．所以有：x0(0,)x 0x 0(,1)x ()H x +0-()f x '-+()f x 极小值所以当e a >时，()f x 在(0,1)内有极值且唯一．当e a ≤时，当(0,1)x ∈时，()0f x '≥恒成立，()f x 单调递增，不成立．综上，a 的取值范围为(e,)+∞．20．已知曲线n C 的方程为：1()nnx y n +=∈*N ．（Ⅰ）分别求出1n =，2n =时，曲线n C 所围成的图形的面积；（Ⅱ）若()n S n ∈*N 表示曲线n C 所围成的图形的面积，求证：()n S n ∈*N 关于n 是递增的；（Ⅲ）若方程n n n x y z +=(2n >，)n ∈N ，0xyz ≠，没有正整数解，求证：曲线n C (2n >，)n *∈N 上任一点对应的坐标(,)x y ，x ，y 不能全是有理数．解：（Ⅰ）当1n =，2时，由图可知1141122C =⨯⨯⨯=，2πC =．（Ⅱ）要证*()n S n ∈N 是关于n 递增的，只需证明：*1(n )n n S S +<∈N ．由于曲线n C 具有对称性，只需证明曲线n C 在第一象限的部分与坐标轴所围成的面积递增．现在考虑曲线n C 与1n C +，因为*1()(1)n nx y n +=∈N 因为11*1()(2)n n xyn +++=∈N 在(1)和(2)中令0x x =，0(0,1)x ∈，当0(0,1)x ∈，存在1y ，2(0,1)y ∈使得011n n x y +=，11021n n x y +++=成立，此时必有21y y >．因为当0(0,1)x ∈时100n n x x +>，所以121n n y y +>．两边同时开n 次方有，1221n ny yy +>>．（指数函数单调性）这就得到了21y y >，从而*()n S n ∈N 是关于n 递增的．（Ⅲ）由于(2n n n x y z n +=>，)n ∈N 可等价转化为()(1n nx y zz +=，反证：若曲线(2n C n >，*)n ∈N 上存在一点对应的坐标(,)x y ，x ，y 全是有理数，不妨设q x p =，ty s=，p ，q ，s ，*t ∈N ，且p ，q 互质，s ，t 互质．则由1nnx y +=可得，1nnq tps +=．即nnnqs pt ps +=．这时qs ，pt ，ps 就是(2n n n x y z n +=>，*)n ∈N 的一组解，这与方程(2n n n x y z n +=>，*)n ∈N ，0xyz ≠，没有正整数解矛盾，所以曲线(2n C n >，*)n ∈N 上任一点对应的坐标(,)x y ，x ，y 不能全是有理数．。
2016-2017东城区综合练习一数学文科答案5.0
北京市东城区2016-2017学年第二学期高三综合练习（一）数学（文科）参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） （1）D （2）C （3）A （4）B （5）B （6）A （7）D （8）D二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） （9）-1 （10）5 （11）34（12）12，38（13）-6（14）810注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分．三、解答题（本大题共6小题，共80分） （15）（共13分）解:(Ⅰ) 点π(,1)4在函数()f x 的图象上， ()=2sin cos cos 14442ππππf a ∴+=.∴ 1.a =()2sin cos cos 2sin 2cos 2)4f x x x x x x πx ∴=+=+=+ T π∴=.------------------6分(Ⅱ)由3222242k x k πππ+π++π≤≤, 得 522244k x k +π+π≤≤ππ, 588k x k ∴+π+π.≤≤ππ ∴函数()f x 的单调减区间为 5,().88k k k Z ⎡⎤+π+π∈⎢⎥⎣⎦ππ ∴函数()f x 在(0,π)上的单调减区间为5,.88⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππ------------------ 13分（16）（共13分）解：（Ⅰ） 等差数列}{n a 中，139,21a S ==,13321a d ∴+=.97d ∴+=.2.d ∴=-∴数列}{n a 的通项公式为211n a n =-+.------------------6分（Ⅱ） 数列}{n a 是等差数列,1=92a d =-，,∴210n S n n =-+. ∴2-k 10k S k =+. 211n a n =-+ ,∴15=a ，85a =-． 58k a a S ，，成等比数列， ∴285k a a S =⋅．∴22510k k -=-+（）. 即210250k k -+=， 解得5k =.------------------13分（17）（共14分）解：（I ） 因为O 是平行四边形ABCD 对角线交点，所以O 为AC 中点 又E 为棱PC 中点，所以//OE PA因为OE ⊄平面PAB ，PA ⊂平面PAB ，所以//OE 平面PAB ……………………5分（II ） 因为PO ABCD ⊥面，所以PO AD ⊥又BD AD ⊥，BD PO O ⋂=，所以AD PBD ⊥面 因为AD PAD ⊂面，所以PAD PBD ⊥面面 ……………………10分（III ）因为O 是平行四边形ABCD 对角线交点，所以O 为BD 中点又PD PB ⊥，2AD BD ==，可求得112PO BD == 因为PO ABCD ⊥面，所以13P ABCD ABCD V S PO -=1222242ABCD ABD S S ∆==⨯⨯⨯=所以11441333P ABCD ABCD V S PO -==⨯⨯= 四边形 ……………………14分（18）（共13分）解答：（Ⅰ）由数据分组及频数分布表可知，404000.20.5a ==；1204000.60.5b == ……………………4分（Ⅱ）设这名住户一个月用水量小于3立方米为事件A ，那么20408012060()0.8400P A ++++== ……………………8分（Ⅲ）因为该小区居民月用水量低于这一标准的比例为35%，所以由图可知,小区人均月用水量低于2.5立方米，则称为“节水小区”. ……………………10分 由图可知，三个月后的该小区人均月用水量为10.1 1.50.1520.25 2.50.330.1 3.50.0540.05⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 2.25 2.5=<所以三个月后该小区达到了“节水小区”标准. ……………………13分（19）（共13分）解：（Ⅰ）由已知，222222c a a b c =⎧⎪=⎨⎪=+⎩，解得1c a b =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆W 的标准方程为22132x y +=，离心率c e a ==. ……………………4分（Ⅱ）由题意可知12EF EF ⊥，由此可求得121||||12EO F F == 所以E 点轨迹为以原点为圆心，半径为1的圆，显然E 点在椭圆W 的内部所以111||||||||||||222ABC ADC ABCD S S S AC BE AC DE AC BD ∆∆=+=+=四边形 当直线12,l l 一条为椭圆的长轴，一条与x 轴垂直时，例如AC 为长轴，BD x ⊥轴时 把1x =代入椭圆方程，可求得y =||BD =||AC =所以此时1||||42ABCD S AC BD == 当直线12,l l 的斜率都存在时，设直线1:1,(0)l x my m =-≠，设1122(,),(,)A x y B x y联立221132x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 可得22(23)440m y my +--=所以122122423423m y y m y y m ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩.221)23m AC m +==+ 同理，由21:1l x x m =-+可求得221)23m BD m +=+2222424224242421124(1)||||22(23)(32)24(21)4(6126)4(1)4613661366136ABCDm S AC BD m m m m m m mm m m m m m +===++++++===-<++++++ 四边形综上，四边形ABCD 面积的最大值为4，此时直线12,l l 一条为椭圆的长轴，一条与x 轴垂直.……………………13分（20）（共14分）解析：(Ⅰ) 由ax x x x f +-=232131)(求得a x x x f +-=2)(' 2024)2('-=⇒=+-=∴a a f ，代入)1)(2(2)('2+-=--=x x x x x f令0)('=x f 得21=x ，12-=x),2(),1,(+∞--∞∈∴x 当时，0)('>x f ，)(x f 单调递增；)2,1(-∈x 当时，0)('<x f ，)(x f 单调递减．……………………4分(Ⅱ) 由32)2121(313221)()(232+++-=+-=ax x a x ax x f x g 求得))(1()1()('2a x x a x a x x g --=++-=1≥∴a 当时，当)1,0(∈x 时，0)('>x g 恒成立，)(x g 单调递增，又032)0(>=g此时)(x g 在区间)1,0(内没有零点；当10<<a 时，当),0(a x ∈时，0)('>x g ，)(x g 单调递增；当)1,(a x ∈时，0)('<x g ，)(x g 单调递减． 又032)0(>=g 此时欲使)(x g 在区间)1,0(内有零点，必有0)1(<g ．10212132)2121(310)1(-<⇒<+=+++-⇒<a a a a g 无解当0≤a 时，当)1,0(∈x 时，0)('<x g 恒成立，)(x g 单调递减此时欲使)(x g 在区间)1,0(内有零点，必有10)1(-<⇒<a g ．综上，a 的取值范围为)1,(--∞．……………………9分(Ⅲ)不能．原因如下：设)(x f 有两个极值点1x ，2x ，则导函数a x x x f +-=2)('有两个不同的零点410410<⇒>-⇒>∴a a ∆，且1x ，2x 为方程02=+-a x x 的两根 a x x a x x -=⇒=+-1211210111211211112131132)(61326121)(312131)(ax a x ax x ax x a x x ax x x x f +--=+-=+--=+-=∴ a x a x f 61)6132()(11+-=∴ 同理a x a x f 61)6132()(22+-=由此可知过两点))(,(11x f x ，))(,(22x f x 的直线方程为a x a y 61)6132(+-= 若直线过点)1,1(，则57676561)6132(1=⇒=⇒+-=a a a a 前面已经讨论过若)(x f 有两个极值点，则41<a ，显然不合题意．综上，过两点))(,(11x f x ，))(,(22x f x 的直线不能过点)1,1(．……………………14分。
2019年1月北京市东城区高三数学文科期末试卷及答案
东城区2018-2019学年度第一学期期末教学统一检测高三数学（文科）2019.1本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共40 分）、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）若集合 A 二｛x| 2 :::x 乞0｝，B 二｛ _2,_1,0,1,2? ｝，则 B 二（A）｛一2,_1｝（B）｛一2,0｝（C）｛-1,0｝（D）｛一2,_1,0｝（2）下列复数为纯虚数的是（A）1 i2（B）i i2（C）1 —1（D）（1 —i）2iy = 2x(x ? 0)上，则cosa的值是5 (A) -2452乙(B) (C) - (D)5555 x三2,（4）若x, y满足y三2x, 则x 2y的最小值为1x y > 3,(A ) 0(B) 4(C) 5(D) 10（3）在平面直角坐标系xOy中，角a以Ox为始边，终边在射线（5）执行如图所示的程序框图，输入n = 5, m = 3，那么输出的p值为(A) 360 (B) 60(C) 36 (D) 12(6)设a,b,c, d 为实数，则"a b, c d ”是"a c b d ”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件俯视图(C)充分必要条件(D )既不充分也不必要条件(7)某三棱锥的三视图如图所示，在此三棱锥的六条棱中，最长棱的长度为(A)2 (C) 2 2 (B)■. 5 (D)3(8)地震里氏震级是地震强度大小的一种度量.地震释放的能量E (单位：焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lg E= 4.8+ 1.5M .已知两次地震里氏震级分别为8.0级和7.5级，若它们释放的能量分别为巳和E2，则旦的值所在的区间为E2(A) (1,2) (B) (5,6) (C) (7,8) (D) (15,16)第二部分(非选择题共110分):■、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2016东城区高三数学文期末试题及答案
东城区2015-2016学年第一学期期末教学统一检测高三数学参考答案及评分标准 （文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）（1） C （2）C （3）D （4）A （5）B （6）B （7）C （8）D 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） （9）54（10） 5 （11）25 （12）4 （13）10（14）642 51124注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分． 三、解答题（本大题共6小题，共80分） （15）（共13分）解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，由题意知2310a a +=，即12+310a d =，由12a = ，解得2d =.所以22(1)2n a n n =+-=，即2n a n = ,n *∈N . ………………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可得2(22)2n n nS n n +==+，所以2k S k k =+. 又3236a =⨯=，12(1)k a k +=+，由已知可得213k k a a S +=，即22(22)6()k k k +=+， 整理得 220k k --=，*k ∈N .解得1k =-（舍去）或2k =.故2k =. (13)分（16）（共13分）解：（Ⅰ）由表格可知，()f x 的周期()22T ππ=--=π， 所以22ωπ==π. 又由()sin 201ϕ⨯+=，且02ϕ<<π，所以2ϕπ=.所以()sin(2)cos 22f x x x π=+=. ………………………………6分（Ⅱ）2()()2sin cos22sin 12sin 2sin g x f x x x x x x =+=+=-+2132(sin )22x =--+. 由sin [1,1]x ∈-，所以当1sin 2x =时，()g x 有最大值32； 当sin 1x =-时，()g x 有最小值3-. ………………………………13分（17）（共13分）解：（Ⅰ）由题可知，第2组的频数为0.3510035⨯=人，第3组的频率为300.300100=. 即①处的数据为35，②处的数据为0.300. ………………………………3分（Ⅱ）因为第3，4，5组共有60名学生,所以利用分层抽样,在60名学生中抽取6名学生,每组分别为:第3组:306360⨯=人；第4组:206260⨯=人；第5组:106160⨯=人. 所以第3，4，5组分别抽取3人，2人，人. ………………………………6分 （Ⅲ）设第3组的3位同学为1A ，2A ，3A ，第4组的2位同学为1B ，2B ，第5组的位同学为1C ，则从6位同学中抽两位同学有15种可能，分别为: 12(,)A A ，13(,)A A ，11(,)AB ，12(,)A B ，11(,)AC ，23(,)A A ，21(,)A B ，22(,)A B ，21(,)A C ，31(,)A B ，32(,)A B ，31(,)A C ，12(,)B B ，11(,)B C ，21(,)B C .其中第4组的两位同学至少有一位同学被选中的有: 11(,)A B ，12(,)A B ，21(,)A B ，22(,)A B ，31(,)A B ，32(,)A B ，11(,)B C ，21(,)B C ，12(,)B B 9种可能.所以第4组的两位同学至少有一位同学被选中的概率P =93155=. ………………………13分（18）（共13分）证明：（Ⅰ）因为CD ⊥平面ADE ，AE ⊂平面A D E ，所以CD AE ⊥. 又因为AE DE ⊥，CDDE D =,所以AE ⊥平面C D E .又因为AE ⊂平面ACE ，所以平面ACE ⊥平面CDE . ………………………………7分（Ⅱ）在线段DE 上存在一点F ,且13EF ED =，使AF 平面BCE .设F 为线段DE 上一点, 且13EF ED =. 过点F 作FMCD 交CE 于M ，则13FM CD =.因为CD ⊥平面ADE ,AB ⊥平面ADE ， 所以CDAB .又FM CD ，所以F MA B. 因为3C D A B =，所以FM AB =. 所以四边形ABMF 是平行四边形. 所以AFBM .又因为AF ⊄平面BCE ，BM ⊂平面BCE ， 所以AF平面BCE . (13)分（19）（共14分）解：（Ⅰ）当1a =时，()e x f x x =-，()1e x f x '=-.当0x =时，1y =-，又(0)0f '=，所以曲线()y f x =在点(0,f 处的切线方程为1y =-. ………………………………4分ABCED FM（Ⅱ）由()e x f x x a =-，得()1e x f x a '=-.当0a ≤时，()0f x '>，此时()f x 在R 上单调递增.当x a =时，()e (1e )0a a f a a a a =-=-≤，当1x =时，(1)1e >0f a =-， 所以当0a ≤时，曲线()y f x =与x 轴有且只有一个交点； (8)分当0a >时，令()0f x '=，得ln x a =-.()f x 与()f x '在区间(,)-∞+∞上的情况如下：xx k b 1 . c o m(,ln )a -∞-ln a - (ln ,)a -+∞()f x ' +-()f x极大值若曲线()y f x =与x 轴有且只有一个交点，则有(ln )0f a -=，即ln ln e0aa a ---=.解得1ea =.综上所述，当0a ≤或1ea =时，曲线()y f x =与x 轴有且只有一个交点. …………………12分（Ⅲ）曲线()e x f x x a =-与曲线3()g x x =最多有3个交点. …………………14分（20）（共14分）解：(Ⅰ)由椭圆过点(02)，，则2b =.又32a b +=， 故22a =.所以椭圆C 的方程为12822=+y x . (4)分(Ⅱ)① 若直线过椭圆的左顶点，则直线的方程是1:22l y x =+， 由22122182y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得1102x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，，或2222,0.x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩ 故2121--=k ，2122-=k . ………………………………8分 ②21k k + 为定值，且021=+k k . 设直线的方程为m x y +=21. 由2212182y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消y ，得042222=-++m mx x . 当0168422>+-=∆m m ，即22<<-m 时，直线与椭圆交于两点. 设),(11y x A .),(22y x B ,则122x x m +=-，42221-=m x x . 又21111--=x y k ，21222--=x y k ， 故2121221121--+--=+x y x y k k =)2)(2()2)(1()2)(1(211221----+--x x x y x y . 又m x y +=1121，m x y +=2221， 所以)2)(1()2)(1(1221--+--x y x y )2)(121()2)(121(1221--++--+=x m x x m x)1(4))(2(2121--+-+=m x x m x x 0)1(4)2)(2(422=----+-=m m m m . 故021=+k k . (14)。
2016年北京市东城区第一学期期末教学统一检测高三数学(文科)试卷(含答案)
市东城区2015-2016学年第一学期期末教学统一检测高三数学（文科）学校_____________班级_______________某某______________考号___________ 本试卷共5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合{}1,2,A m =，{}3,4B =.若{}3AB =，则实数m =（A ）（B ）2 （C ）3（D ）4 （2）在复平面内，复数2iiz -=对应的点位于 （A ）第一象限（B ）第二象限 （C ）第三象限（D ）第四象限（3）已知向量(1,2)=a ，(2,)x =-b .若+a b 与-a b 平行，则实数x 的值是 （A ）4（B ） （C ）1-（D ）4-（4）经过圆22220x y x y +-+=的圆心且与直线20x y -=平行的直线方程是 （A ）230x y --=（B ）210x y --= （C ）230x y -+=（D ）210x y ++= （5）给出下列函数：①2log y x =；②2y x =；③2xy =；④2y x=. 其中图象关于y 轴对称的是 （A ）①②（B ）②③ （C ）①③（D ）②④（6）“sin 221αα=”是“4απ=”的 （A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（7）某程序框图如图所示，当输入的x 的值为5时，输出的y 值恰好是13，则在空白的处理框处应填入的关系式可以是（A ）3y x = （B ）3y x = （C ）3x y =（D ）3y x=（8）已知函数)21()(2≤≤-=x x a x f 与1)(+=x x g 的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值X 围是（A ）5[,)4-+∞（B ）[1,2] （C ）5[,1]4-（D ）[1,1]-第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2016-1东城区上学期期末检测高三数学(理)试题和答案
北京市东城区2015-2016学年第一学期期末教学统一检测高三数学 （理科） 2016.1一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. （1）已知集合{1,2,3,4}U =，集合{1,3,4}A =，{2,4}B =，那么集合()U C A B =I（A ）{2} （B ）{4} （C ）{1,3} （D ）{2,4} （2）已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，那么该三棱锥的体积等于侧（左）视图俯视图（A ）32cm 3 （B ）2 cm 3 （C ）3 cm 3 （D ）9 cm 3 （3）设i 为虚数单位，如果复数z 满足(12)5i z i -=，那么z 的虚部为（A ）1- （B ）1 （C ） i （D ）i - （4）已知(0,1)m ∈，令log 2m a =，2b m =，2mc =，那么,,a b c 之间的大小关系为（A ）b c a << （B ）b a c << （C ）a b c << （D ）c a b << （5）已知直线l 的倾斜角为α，斜率为k ，那么“3πα>”是“k >（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（6）已知函数11,02()ln ,2x f x x x x ⎧+<≤⎪=⎨⎪>⎩，如果关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，那么实数k 的取值范围是（A ） (1,)+∞ （B ）3[,)2+∞ （C ）32[,)e +∞ （D ）[ln 2,)+∞（7）过抛物线220)y pxp =>（的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，点O 是原点，如果3BF =，BF AF >，23BFO π∠=，那么AF 的值为 ()A 1 ()B 32()C 3 （D ） 6（8）如图所示，正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1, ,E F 分别是棱AA '，CC '的中点，过直线,E F 的平面分别与棱BB '、DD '交于,M N ，设 BM x =，)1,0(∈x ，给出以下四个命题： ① 四边形MENF 为平行四边形；② 若四边形MENF 面积)(x f s =,)1,0(∈x ,则)(x f 有最小 值；③ 若四棱锥A MENF 的体积)(x p V =，)1,0(∈x ，则)(x p 常函数；④ 若多面体MENF ABCD -的体积()V h x =，1(,1)2x ∈， 则)(x h 为单调函数． 其中假．命题．．为 ()A ① ()B ②()C ③（D ）④第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.（9） 在ABC ∆中，a b 、分别为角A B 、的对边，如果030B =，0105C =，4a =，那么b = . （10）在平面向量a,b 中，已知(1,3)=a ，(2,y)=b .如果5⋅=a b ，那么y = ；如果-=a +b a b ，那么y = .（11）已知,x y 满足满足约束条件+10,2,3x y x y x ≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，那么22z x y =+的最大值为___.（12）如果函数2()sin f x x x a =+的图象过点(π,1)且()2f t =．那么a = ；()f t -= ．（13）如果平面直角坐标系中的两点(1,1)A a a -+，(,)B a a 关于直线l 对称，那么直线l 的 方程为__.（14）数列{}n a 满足：*112(1,)n n n a a a n n N -++>>∈，给出下述命题：①若数列{}n a 满足：21a a >，则*1(1,)n n a a n n N ->>∈成立； ②存在常数c ，使得*()n a c n N >∈成立；③若*(,,,)p q m n p q m n N +>+∈其中，则p q m n a a a a +>+；④存在常数d ，使得*1(1)()n a a n d n N >+-∈都成立．上述命题正确的是____．(写出所有正确结论的序号)三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （15）（本小题共13分）设{}n a 是一个公比为(0,1)q q q >≠等比数列，1234,3,2a a a 成等差数列,且它的前4项和415s =. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）令2,(1,2,3......)n n b a n n =+=,求数列{}n b 的前n 项和.（16）（本小题共13分）已知函数22()sin cos cos ()f x x x x x x =+-∈R ． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期和在[0,π]上的单调递减区间； （Ⅱ）若α为第四象限角，且3cos 5α=，求7π(212f α+的值.（17）（本小题共14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，AB AP =,E 为棱PD 的中点.（Ⅰ）证明:AE CD ⊥；（Ⅱ）求直线AE 与平面PBD 所成角的正弦值；（Ⅲ）若F 为AB 中点，棱PC 上是否存在一点M ，使得FM AC ⊥，若存在， 求出PMMC的值，若不存在，说明理由.（18）（本小题共13分）已知椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的焦点是12F F 、，且122F F =，离心率为12．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若过椭圆右焦点2F 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，求22||||AF F B g 的取值范围．（19）（本小题共14分）已知函数()(ln )xe f x a x x x=--．（Ⅰ）当1a =时，试求()f x 在(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）当0a ≤时，试求()f x 的单调区间；（Ⅲ）若()f x 在(0,1)内有极值，试求a 的取值范围．（20）（本小题共13分）已知曲线n C 的方程为：*1()n nx y n N +=∈.（Ⅰ）分别求出1,2n n ==时，曲线n C 所围成的图形的面积;（Ⅱ）若()n S n N *∈表示曲线n C 所围成的图形的面积，求证：()n S n N *∈关于n 是递增的;(III) 若方程(2,)n n n x y z n n N +=>∈，0xyz ≠，没有正整数解，求证：曲线(2,)n C n n N *>∈上任一点对应的坐标(,)x y ，,x y 不能全是有理数.东城区2015-2016学年第一学期期末教学统一检测参考答案高三数学 （理科） 2016.1学校___________班级_____________姓名____________考号___________本试卷共5页，150分。
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东城区2015-2016学年第一学期期末教学统一检测高三数学 （文科）第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合{}1,2,A m =，{}3,4B =.若{}3A B = ，则实数m =（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 （2）在复平面内，复数2iiz -=对应的点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 （3）已知向量(1,2)=a ，(2,)x =-b .若+a b 与-a b 平行，则实数x 的值是 （A ）4 （B ）1 （C ）1- （D ）4-（4）经过圆22220x y x y +-+=的圆心且与直线20x y -=平行的直线方程是（A ）230x y --= （B ） 210x y --= （C ）230x y -+= （D ）210x y ++= （5）给出下列函数：①2log y x = ； ②2y x = ； ③2xy =； ④2y x=.其中图象关于y 轴对称的是 （A ）①② （B ）②③ （C ）①③ （D ）②④（6）“sin 221αα=”是“4απ=”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （7）某程序框图如图所示，当输入的x 的值为5时，输出的y 值恰好是13， 则在空白的处理框处应填入的关系式可以是（A ）3y x = （B ）3y x = （C ） 3xy = （D ）3y x=（8）已知函数)21()(2≤≤-=x x a x f 与1)(+=x x g 的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a 的取值范围是 （A ）5[,)4-+∞ （B ）[1,2] （C ）5[,1]4- （D ）[1,1]- 第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）双曲线221169x y -=的离心率是_________.（10）在△ABC 中，角A ,B ,C 所对边分别为a ,b ,c ，且c =45B =,面积2S =，则a =_________；b =_________.（11）如图是100名学生某次数学测试成绩（单位：分）的频率分布直方图，则测试成绩落在[)50,70 中的学生人数是_________.（12）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．（13）已知点(,)P x y 的坐标满足条件4,,1,x y y x x +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩点O 为坐标原点,那么OP 的最大值等于_________.（14）纸张的规格是指纸张制成后，经过修整切边，裁成一定的尺寸.现在我国采用国际标准，规定以A0，A1，A2，B1，B2， 等标记来表示纸张的幅面规格. 复印纸幅面规格只采用A 系列和B 系列，其中A ()n n n ∈≤N 8，系列的幅面规格为：①A0，A1，A2， ，A8所有规格的纸张的幅宽（以x 表示）和长度（以y 表示）的比例关系都为:x y =② 将A0纸张沿长度方向对开成两等分，便成为A1规格，A1纸张沿长度方向对开成两等分，便成为A2规格， ，如此对开至A8规格．现有A0，A1，A2， ，A8纸各一张.若A4纸的宽度为2dm ，则A0纸的面积为 2dm ；这9张纸的面积之和等于__________2dm ．三、解答题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（15）（本小题13分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足12a =，312S =． （I ） 求数列{}n a 的通项公式；（II ）若31,,k k a a S +成等比数列，求正整数k 的值．（16）（本小题13分）已知函数()sin()(0,02)f x x ωϕωϕ=+><<π在一个周期内的部分对应值如下表：)()2sin f x x =+的最大值和最小值.（17）（本小题13分）某中学从高三男生中随机抽取100名学生的身高，将数据整理，得到的频率分布表如下所示.（Ⅰ）求出频率分布表中①和②位置上相应的数据；（Ⅱ）为了能对学生的体能做进一步了解，该校决定在第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进行体能测试，求第3，4，5组每组各抽取多少名学生进行测试？（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生进行引体向上测试，求：第4组中至少有一名学生被抽中的概率.（18）（本小题13分）如图，在四棱锥E ABCD -中，AE DE ⊥， CD ⊥平面ADE , AB ⊥平面ADE ，3CD AB =. （Ⅰ）求证：平面ACE ⊥平面CDE ；（Ⅱ）在线段DE 上是否存在一点F ,使AF 平面BCE ？若存在,求出 EFED的值；若不存在，说明理由.（19）（本小题14分）已知函数()e x f x x a =-，a ∈R .（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线的方程； （Ⅱ）若曲线()y f x =与x 轴有且只有一个交点，求a 的取值范围；（Ⅲ）设函数3()g x x =，请写出曲线()y f x =与()y g x =最多有几个交点.（直接写出结论即可）（20）（本小题14分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点(0,，且满足a b +=(Ⅰ) 求椭圆C 的方程；(Ⅱ) 斜率为12的直线l 交椭圆C 于两个不同点A ，B ，点M 的坐标为(2,1)，设直线MA 与MB 的斜率分别为1k ，2k ．① 若直线l 过椭圆C 的左顶点，求此时1k ，2k 的值； ② 试探究21k k +是否为定值？并说明理由.东城区2015-2016学年第一学期期末教学统一检测高三数学参考答案及评分标准 （文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）（1） C （2）C （3）D （4）A （5）B （6）B （7）C （8）D 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（9）54 （10）1 5 （11）25 （12）4 （13） （14） 4注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分． 三、解答题（本大题共6小题，共80分） （15）（共13分）解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，由题意知2310a a +=，即12+310a d =，由12a = ，解得2d =.所以22(1)2n a n n =+-=，即2n a n = ,n *∈N . ………………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可得2(22)2n n nS n n +==+，所以2k S k k =+. 又3236a =⨯=，12(1)k a k +=+，由已知可得213k k a a S +=，即22(22)6()k k k +=+，整理得 220k k --=，*k ∈N . 解得1k =-（舍去）或2k =.故2k =. ………………………………13分（16）（共13分）解：（Ⅰ）由表格可知，()f x 的周期()22T ππ=--=π， 所以22ωπ==π. 又由()sin 201ϕ⨯+=，且02ϕ<<π，所以2ϕπ=. 所以()sin(2)cos 22f x x x π=+=. ………………………………6分（Ⅱ）2()()2sin cos22sin 12sin 2sin g x f x x x x x x =+=+=-+ 2132(sin )22x =--+. 由sin [1,1]x ∈-，所以当1sin 2x =时，()g x 有最大值32； 当sin 1x =-时，()g x 有最小值3-. ………………………………13分（17）（共13分）解：（Ⅰ）由题可知，第2组的频数为0.3510035⨯=人，第3组的频率为300.300100=. 即①处的数据为35，②处的数据为0.300. ………………………………3分（Ⅱ）因为第3，4，5组共有60名学生,所以利用分层抽样,在60名学生中抽取6名学生,每组分别为:第3组:306360⨯=人；第4组:206260⨯=人；第5组:106160⨯=人. 所以第3，4，5组分别抽取3人，2人，1人. ………………………………6分 （Ⅲ）设第3组的3位同学为1A ，2A ，3A ，第4组的2位同学为1B ，2B ，第5组的1位同学为1C ，则从6位同学中抽两位同学有15种可能，分别为: 12(,)A A ，13(,)A A ，11(,)A B ，12(,)A B ，11(,)A C ，23(,)A A ，21(,)A B ，22(,)A B ，21(,)A C ，31(,)A B ，32(,)A B ，31(,)A C ，12(,)B B ，11(,)B C ，21(,)B C .其中第4组的两位同学至少有一位同学被选中的有: 11(,)A B ，12(,)A B ，21(,)A B ，22(,)A B ，31(,)A B ，32(,)A B ，11(,)B C ，21(,)B C ，12(,)B B 9种可能.所以第4组的两位同学至少有一位同学被选中的概率P =93155=. ………………………13分 （18）（共13分）证明：（Ⅰ）因为CD ⊥平面ADE ，AE ⊂平面A D E ，所以CD AE ⊥. 又因为AE DE ⊥，CD DE D = , 所以AE ⊥平面C D E .又因为AE ⊂平面ACE ，所以平面ACE ⊥平面CDE . ………………………………7分（Ⅱ）在线段DE 上存在一点F ,且13EF ED =，使AF 平面BCE . 设F 为线段DE 上一点, 且13EF ED =. 过点F 作FM CD 交CE 于M ，则13FM CD =.因为CD ⊥平面ADE ,AB ⊥平面ADE ， 所以CD AB .又FM CD ，所以F M A B .因为3C D A B =，所以FM AB =.所以四边形ABMF 是平行四边形. 所以AF BM . 又因为AF ⊄平面BCE ，BM ⊂平面BCE ，所以AF 平面BCE . ………………………………13分（19）（共14分） 解：（Ⅰ）当1a =时，()e x f x x =-，()1e x f x '=-.当0x =时，1y =-，又(0)0f '=，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y =-. ………………………………4分（Ⅱ）由()e x f x x a =-，得()1e x f x a '=-.当0a ≤时，()0f x '>，此时()f x 在R 上单调递增.当x a =时，()e (1e )0a a f a a a a =-=-≤，当1x =时，(1)1e >0f a =-，所以当0a ≤时，曲线()y f x =与x 轴有且只有一个交点； …………………8分 当0a >时，令()0f x '=，得ln x a =-.()f x 与()f x '在区间(,)-∞+∞上的情况如下：若曲线()y f x =与x 轴有且只有一个交点，则有(ln )0f a -=，即ln ln e0aa a ---=.解得1ea =.综上所述，当0a ≤或1ea =时，曲线()y f x =与x 轴有且只有一个交点. …………………12分 （Ⅲ）曲线()e xf x x a =-与曲线3()g x x =最多有3个交点. …………………14分 （20）（共14分）解：(Ⅰ)由椭圆过点(0，则b =又a b +=故a =所以椭圆C 的方程为12822=+y x . ………………………………4分(Ⅱ)① 若直线过椭圆的左顶点，则直线的方程是1:2l y x =+，由2212182y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得110x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，或220.x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩ 故2121--=k ，2122-=k . ………………………………8分 ②21k k + 为定值，且021=+k k . 设直线的方程为m x y +=21. 由2212182y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消y ，得042222=-++m mx x . 当0168422>+-=∆m m ，即22<<-m 时，直线与椭圆交于两点. 设),(11y x A .),(22y x B ,则122x x m +=-，42221-=m x x . 又21111--=x y k ，21222--=x y k ， 故2121221121--+--=+x y x y k k =)2)(2()2)(1()2)(1(211221----+--x x x y x y .又m x y +=1121，m x y +=2221， 所以)2)(1()2)(1(1221--+--x y x y )2)(121()2)(121(1221--++--+=x m x x m x)1(4))(2(2121--+-+=m x x m x x 0)1(4)2)(2(422=----+-=m m m m .故021=+k k . ………………………………14分。