1.6 三角函数模型的简单应用

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1.6三角函数模型的简单应用

3
y 2 sin(2 x / 3)
例5. 如图,某地一天从6~14时的温度变化曲线近 y y A sin( x ) b 似满足函数 (1)求这一天6~14时的最大温差; 30 (2)写出这段曲线的函数解析式. 20
解:(1)由图可知,这段时间的最大温差是200C. (2)从图中可以看出,从6~14时的图象是 6 0 10 14 x 函数 y A sin( x ) b的半个周期 1 1 的图象，所以，A 30 10 10, b 30 10 20 2 2 3 1 2 14 6 . 将x 6, y 10代入上式，解得＝ . 8 4 2
y 2
A

4
T
又T
2
(3) y 2 sin( x ) 2
A点的坐标为(
2sin(2

2

12
O
6
12
x
, 2)
2

12
) 2
sin( ) 1 6 2k , k Z
6 2

一般取：| |≤π 2k , k Z 3 y 2 sin( 2 x 2k )
1. 由图象求振幅A, b
y 2 sinx
y
5 4 向上平移3个单位长度 3 2 sin x 3 2 1
O
5 1 最大值最小值 A 2 2 2 b 5 1 最大值最小值 3 y A sinx b 的A, b
y
最大值最小值 A 2 4 ( 2) 3 2
10
一般的，所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时刻的温度变化情况，因此应当特别注意自变量的变化范围.

2014年人教A版必修四课件 1.6 三角函数模型的简单应用

例 1. 如图, 某地一天从 6~14 时的温度变化曲线近似满足 y=Asin(wx+j)+b. (1) 求这一天的最大温差; (2) 写出这段曲线的函数解析式.
解: (1) 由图知从 6~14 时的最大值是30C, 最小值是10℃, ∴ 这一天的最大温差是 30-10=20(℃).
y T/℃ 30
3. 任意角的三角函数在实际中的应用.
问题1. (1) 三角函数值是一个比值, 这个比值在直角三角形中是怎样的比? 在平面直角坐标系中是怎样的比? 这个比在实际应用中有什么作用? (2) 三角函数具有周期性, 奇偶性, 有界性等特性, 从图象上可以直观看出这些特性, 你能应用这些特性解决实际问题吗? 在直角三角形中邻边对边对边 . sin = . cos = . tan = 邻边斜边斜边在平面直角坐标系中 y cos = x . y sin = . tan = . r r x 三角函数的这个比可解决有关角与线段长度的一些实际问题. 本课时的例 3 就是一个实例.
20
10
O
6 8 101214 x
t/h
例 1. 如图, 某地一天从 6~14 时的温度变化曲线近似满足 y=Asin(wx+j)+b. (1) 求这一天的最大温差; (2) 写出这段曲线的函数解析式. y T/℃ 解: (2) 由最大值和最小值得 30 1 (30 - 10) =10; A= 2 20 T 1 2 半个周期为: = = 14 - 6, 10 2 2 w 解得 w = ; O 6 8 101214 x 8 t/h 图象是由 y = 10sin( x + j ) 的图象向上平易移 8 20个单位而得, ∴ b = 20;

1.6 三角函数模型的简单应用

1 A (30 10) 10 2
1 b (30 10) 20 2 1 2 14 6, 2 8
8 3 代入(*)式，解得 4
综上，所求解析式为：
3 y 10sin( x ) 20, x [6,14] 8 4

注：
一般地，所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段的温度变化情况，因此应当特别注意自变量的变化范围。
例2：画出函数 y | sin x | 的图象并观察其周期。
解：函数图象如图所示：
从图中可以看出，函数y | sin x |是以为周期的波浪形曲线。
我们也可以这样验证：由于 | sin( x ) || sin x || sin x | 所以，函数 y | sin x | 是以为周期的函数。注：利用函数图象的直观性，通过观察图象而获得对函数性质的认识，这是研究数学问题的常用方法。
例4：海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮。一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐。在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋。下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：时刻 0：00 3：00 水深/米 5.0 7.5 时刻 9：00 12：00 水深/米 2.5 5.0 时刻 18：00 21：00 水深/米 5.0 2.5
一、三角函数模型的应用：
例1：如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数
y A sin( x ) b
(1)求这一天6～14时的最大温差； (2)写出这段曲线的函数解析式。解：(1)由图可知，这段时间的最大温差是 20 C 。 (2)从图中可以看出，从6～14时的图象是函数 y A sin( x ) b (*) 的半个周期的图象将 A 10, b 20, , x 6, y 10

1-6 三角函数模型的简单应用

基础巩固一、选择题1．电流强度I (A)随时间t (s)变化的关系式是I ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π3，则当t ＝1200s 时，电流强度I 为( )A ．5 AB ．2.5 AC ．2 AD ．－5 A[答案] B[解析] 将t ＝1200代入I ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π3 得I ＝2.5 A.2．(安徽高考)动点A (x ，y )在圆x 2＋y 2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间t ＝0时，点A 的坐标是(12，32)，则当0≤t ≤12时，动点A 的纵坐标y 关于t (单位：秒)的函数的单调递增区间是( )A ．[0,1]B ．[1,7]C ．[7,12]D ．[0,1]和[7,12] [答案] D[解析] 由已知可得该函数的周期为T ＝12， ω＝2πT ＝π6，又当t ＝0时，A (12，32)，∴y ＝sin(π6t ＋π3)，t ∈[0,12]，可解得函数的单调递增区间是[0,1]和[7,12]．3．(新课标全国卷)如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0(2，－2)，角速度为1，那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图象大致为( )[答案] C[解析] P 从P 0出发，逆时针运动，t ＝0时，d ＝2，t 与d 满足关系式d ＝2sin(t －π4)(t ≥0)．所以选择C.4．如图所示为一简谐振动的图象，则下列判断正确的是( )A ．该质点的振动周期为0.7 sB ．该质点的振幅为5 cmC ．该质点在0.1 s 和0.5 s 时振动速度最大D ．该质点在0.3 s 和0.7 s 时的加速度为零 [答案] B5．在△ABC 中，sin A ＝32，则∠A ＝( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.π3或2π3[答案] D6．如图，是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过12周期后，乙点的位置将处于图中的( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁[答案] D 二、填空题7．振动量y ＝2sin(ωx ＋φ)(φ<0)的初相和频率分别为－π和32，则它的相位是________．[答案] 3πx －π[解析] 由题φ＝－π，f ＝1T ＝32＝ω2π ∴ω＝3π∴y ＝3sin(3πx －π)．相位是3πx －π.8．(山东临沂12－13高一)某城市一年中12个月的平均气温与月份关系可近似用三角函数y ＝a ＋A cos[π6(x －6)](x ＝1,2,3，……12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低为18 ℃，则10月份的平均气温为________℃.[答案] 20.5 三、解答题9．单摆从某点开始左右摆动，它离开平衡位置的位移s (厘米)和时间t (秒)的函数关系式为s ＝6sin ⎝⎛⎭⎪⎫πt ＋π6.求：(1)单摆开始振动(t ＝0)时离开平衡位置的位移； (2)单摆离开平衡位置的最大位移． [解析] (1)当t ＝0秒时，s ＝6sin π6＝3 cm.(2)当t ＝13秒时，位移最大，s ＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π6＝6 cm.10．如图所示，摩天轮的半径为40 m ，O 点距地面的高度为50 m ，摩天轮做匀速转动，每3 min 转一圈，摩天轮上的P 点的起始位置在最低点处．(1)试确定在时刻t 分时P 点距离地面的高度；(2)在摩天轮转动的一圈内，有多长时间P 点距离地面超过70 m?[解析] (1)以中心O 为坐标原点建立如图所示的坐标系，设t 分时P 距地面高度为y ，依题意得y ＝40sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3t －π2＋50.(2)令40sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3t －π2＋50>70，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3t －π2>12，∴2k π＋π6<2π3t －π2<2k π＋5π6， ∴2k π＋2π3<2π3t <2k π＋4π3， ∴3k ＋1<t <3k ＋2.令k ＝0得1<t <2.因此，共有1 min距地面超过70 m.。

1616三角函数模型的简单应用2

1.6 三角函数模型的简单应用教材分析本节课是在学习了三角函数图象和性质的前提下单独一节来学习三角函数模型的简单应用，进一步突出函数来源于生活应用于生活的思想，让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想,从而培养学生的创新精神和实践能力.课时分配本节内容用2课时的时间完成，本教案为第2课时，主要通过对三角函数模型的简单应用的学习，使学生初步学会由图象求解析式的方法，体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程并体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.教学目标重点:精确模型的应用——即由图象求解析式，由解析式研究图象及性质．难点：分析、整理、利用信息，从实际问题中抽取基本的数学关系来建立数学模型，并调动相关学科的知识来解决问题．知识点：通过对三角函数模型的简单应用的学习，使学生初步学会由图象求解析式的方法．能力点：让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想,从而培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力.教育点：让学生切身感受数学建模的过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用，让学生切身感受数学建模的过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用从而激发学生的学习兴趣，培养锲而不舍的钻研精神；培养学生勇于探索、勤于思考的精神.考试点：将实际问题抽象为三角函数模型问题.拓展点：让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想,从而培养学生的创新精神和实践能力.教具准备多媒体课件和三角板课堂模式学案导学一、引入新课（情景展示，多媒体显示）1．情景展示，新课导入经过前面的学习，大家知道，在客观现实世界中存在着大量的周期性变化现象，而要定量地去刻画这些现象，我们通常需要借助于三角函数这一重要数学模型.这节课我们将来学习三角函数模型的简单应用.在山海关孟姜女庙有一副对联：“海水朝，朝朝朝，朝朝朝落；浮云长，长长长，长长长消.”其中描绘了海潮涨落，浮云长消的自然景象，显示了自然界变幻多姿的景色，这其中对海潮的描述也是感性的.今天我们将从数学的视角理性地研究有关潮水涨落的一些实际问题.2．问题提出，探究解决情景设置：若干年后，如果在座的各位有机会当上船长的话，当你的船只要到某个港口去，你作为船长，你希望知道关于该港口的一些什么情况？问题探究1：阅读课本P62：例4给出某港口在某年某个季节每天的时间与水深的关系表，思考并回答：①你能够从表格中的数据中得到一些什么信息？②水的深度变化有什么特点吗？③为了更直观明了地观察出水的深度变化规律，我们可以怎么做？具体操作是：④若用平滑的曲线将所描各点连起来，所得图象形状跟我们前面所学过哪个函数类型非常相似？并尝试求出该函数模型.⑤有了这个模型，我们要制定一张一天24内整时刻的水深表，就是件非常容易的事情了.如何计算在4时的水深？在任一时刻的水深怎么计算？问题探究2：针对课本P62：例4（2）问，思考：①货船能够进入港口所需要满足的条件是什么？②怎样用数学语言描述这一条件呢？③在[0，24]的范围内，该怎么求解？④你能说清楚解的实际意义吗？问题探究3：货船在进港，在港口停留，到后来离开港口，货船的吃深深度一直没有改变，也就是说货船的安全深度一直没有改变，但是实际情况往往是货船载满货物进港，在港口卸货，在卸货的过程中，由物理学的知识我们知道，随着船身自身重量的减小，船身会上浮，换句话说，随着货物的卸载，货船的安全深度不再向开始那样一直是一个常数，现在它也是一个关于时间的变量，而实际水深也一直在变化，这样一来当两者都在改变的时候，我们又改如何选择进出港时间呢？针对课本P62：例4（3）问，思考：①“必须停止卸货”，是在货船即将面临什么危险的时候？②反过来，“货船安全”需要满足的条件是用数学式子表示为③对于上式，如何求解呢？④尝试说说解的实际意义.二、典例剖析研究典型例题，总结解题规律例4根据相关数据进行三角函数拟合【背景材料】海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：思考1：观察表格中的数据，每天水深的变化具有什么规律性？思考2：设想水深y 是时间x 的函数，作出表中的数据对应的散点图，你认为可以用哪个类型的函数来拟合这些数据？思考3: 用一条光滑曲线连结这些点，得到一个函数图象，该图象对应的函数解析式可以是哪种形式？思考4：用函数sin()y A x h ωϕ=++ 来刻画水深和时间之间的对应关系，如何确定解析式中的参数值？思考5：这个港口的水深与时间的关系可用函数________________________________________近似描述，你能根据这个函数模型，求出各整点时水深的近似值吗？（精确到0.001）思考6：一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与洋底的距离），该船何时能进入港口？在港口能呆多久？思考7：若某船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，该船在2：00开始卸货，吃水深度以每小时0.3米的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？思考8：右图中，设点00(,)p x y 有人认为，由于P 点是两个图象的交点，说明在0x 时，货船的安全水深正好与港口水深相等，因此在这时停止卸货将船驶向较深水域就可以了，你认为对吗 [设计意图]使学生体将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型．练习1：如图所示，是一个缆车示意图，缆车半径为4.8m,圆上最低点与地面的距离为0.8m,60秒转动一圈，图中OA 与地面垂直，以OA 为始边，逆时针转动θ角到OB,设B 点与地面距离是h. (1) 求h 与θ间的函数关系；(2) 设从OA 开始转动，经过t 秒后到达OB ，求h 与t 之间的函数解析式，并求缆车第一次到达最高点时用的最少的时间是多少?2.已知某帆船中心比赛场馆内的海面上每天海浪高y （米）可看作是时间t(024t ≤≤,单位：时)的函数，记作()y f t =，经长期观测，()y f t =的曲线可近似的看成是cos y A x B ω=+曲线，下表示某日各时的浪高数据：求能近似的表示表中数据间对应关系的函数解析式.[设计意图] 培养学生发散思维的能力及良好的解题习惯,巩固所学知识．例2、：一根为Lcm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，组成一个单摆，小球摆动时，离开平衡位置的位移s(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系是),0[,6sin 3+∞∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=t t l g s π.（1）求小球摆动的周期和频率；（2）已知g=980cm/s 2，要使小球摆动的周期恰好是1秒，线的长度l 应当是多少？[设计意图] 让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想,从而培养学生的创新精神和实践能力.三、课堂小结（1）三角函数应用题通常涉及生产、生活、军事、天文、地理和物理等实际问题，其解答流程大致是：审读题意，设角建立三角函数，分析三角函数性质解决实际问题. 其中根据实际问题的背景材料，建立三角函数关系，是解决问题的关键.（2）在解决实际问题时，要学会具体问题具体分析，充分运用数形结合的思想，灵活的运用三角函数的图象和性质进行解答.（3）根据三角函数图象建立函数解析式，就是要抓住图象的数字特征确定相关的参数值，同时要注意函数的定义域.（4）对于现实世界中具有周期现象的实际问题，可以利用三角函数模型描述其变化规律.先根据相关数据作出散点图，再进行函数拟合，就可获得具体的函数模型，有了这个函数模型就可以解决相应的实际问题.四、布置作业1．阅读教材2.书面作业必做题：已知某帆船中心比赛场馆内的海面上每天海浪高y （米）可看作是时间t(024t ≤≤,单位：时)的函数，记作()y f t =，经长期观测，()y f t =的曲线可近似的看成是cos y A x B ω=+曲线，下表示某日各时的浪高数据：求能近似的表示表中数据间对应关系的函数解析式. 选做题：一、选择题1. 初速度v 0，发射角为θ，则炮弹上升的高度y 与v 0之间的关系式为（）A.t v y 0=B.2021sin t g t v y ⋅-⋅⋅=θ C.t v y ⋅⋅=θsin 0 D.t v y ⋅⋅=θcos 02. 当两人提重为G 的书包时，夹角为θ，用力为F ，则θ为____时，F 最小（）A ．2πB.0C.πD.π323.某人向正东方向走x 千米后向右转150，然后朝新的方向走3千米，结果他离出发点恰好3千米，那么x 的值为（）A ．3 B.32 C.332或 D.3二、填空题4. 甲、乙两楼相距60米，从乙楼底望甲楼顶仰角为045，从甲楼顶望乙楼顶俯角为30，则甲、乙两楼的高度分别为_______5.一树干被台风吹断折成60角，树干底部与树尖着地处相距20米，树干原来的高度是_____. 三、解答题6、有一长为α的斜坡，它的倾斜角为θ，现在要倾斜角改为2θ，则坡底要伸长多少?[设计意图]设计作业1、2，是引导学生先复习，再作业，培养学生良好的学习习惯，书面作业的布置，是为了让学生能够巩固课堂上所学的知识和方法，培养学生用整体的观点看问题，起到承上启下的作用．七、教后反思1.本教案的亮点是例题及变式训练的编排，既注重了与本堂课内容的联系，又在不知不觉中提高了难度，提高了学生的解题能力．2.由于各校的情况不同，建议教师在使用本教案时灵活掌握，但必须在根据实际问题的背景材料，建立三角函数关系，解决实际问题上下功夫.3.本节课的弱项是由于整堂课课堂容量较大，在课堂上没有充分暴露学生的思维过程，并给予针对性地诊断与分析.八、板书设计本节课的板书主要采取了提纲式、对称型，以讲写结合、主辅相随、语言准确、内容完整为原则，将复习内容及新课引入、概念写在黑板左侧，整齐、准确，将例题、习题及解答过程写在黑板右侧，随意中不失规范.。

专题1.6 三角函数模型的简单应用重难点题型(举一反三)(解析版)

专题1.6三角函数模型的简单应用重难点题型【举一反三系列】【知识点1 三角函数模型的建立程序】收集数据画散点图选择函数模型检验求函数模型用函数模型解决实际问题【知识点2 解答三角函数应用题的一般步骤】解答三角函数应用题的基本步骤可分为四步：审题、建模、解模、结论．（1）审题三角函数应用题的语言形式多为文字语言和图形语言，阅读材料时要读懂题目所反映的实际问题的背景，领悟其中的数学本质，在此基础上分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题．（2）建模根据搜集到的数据，找出变化规律，运用已掌握的三角知识、物理知识及其他相关知识建立关系式，在此基础上将实际问题转化为一个三角函数问题，实现问题的数学化，即建立三角函数模型．其中要充分利用数形结合的思想以及图形语言和符号语言并用的思维方式．（3）解模利用所学的三角函数知识，结合题目的要求，对得到的三角函数模型予以解答，求出结果．（4）结论将所得结论转译成实际问题的答案，应用题不同于单纯的数学问题，既要符合科学，又要符合实际背景，因此，有时还要对于解出的结果进行检验、评判．要点诠释：实际问题的背景往往比较复杂，而且需要综合应用多门学科的知识才能完成，因此，在应用数学知识解决实际问题时，应当注意从复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助解决问题．【考点1 三角函数模型在航海中的应用】【例1】（2019秋•潮阳区期末）某港口的水深y（米）是时间t（0≤t≤24，单位：小时）的函数，下面是每天时间与水深的关系表：t03691215182124y10139.97101310.1710经过长期观测，y＝f（t）可近似的看成是函数y＝A sinωt+b（1）根据以上数据，求出y＝f（t）的解析式；（2）若船舶航行时，水深至少要11.5米才是安全的，那么船舶在一天中的哪几段时间可以安全的进出该港？【分析】（1）由表中数据可以看到：水深最大值为13，最小值为7，求出b和A；再借助于相隔12小时达到一次最大值说明周期为12求出ω即可求出y＝f（t）的解析式；（2）把船舶安全转化为深度f（t）≥11.5，即；再解关于t的三角不等式即可求出船舶在一天中的哪几段时间可以安全的进出该港．【答案】解：（1）由表中数据可以看到：水深最大值为13，最小值为7，∴＝10，且相隔9小时达到一次最大值说明周期为12，因此，，故（0≤t≤24）（2）要想船舶安全，必须深度f（t）≥11.5，即∴，解得：12k+1≤t≤5+12k k∈Z又0≤t≤24当k＝0时，1≤t≤5；当k＝1时，13≤t≤17；故船舶安全进港的时间段为（1：00﹣5：00），（13：00﹣17：00）．【点睛】本题主要考查三角函数知识的应用问题．解决本题的关键在于求出函数解析式．求三角函数的解析式注意由题中条件求出周期，最大最小值等．【变式1-1】（2019•怀化二模）受日月引力的作用，海水会发生涨落，这种现象叫潮汐．在通常情况下，船在海水涨潮时驶进航道，靠近码头，卸货后返回海洋．某港口水的深度y（m）是时间t（0≤t≤24，单位：h）的函数，记作：y＝f（t），下表是该港口在某季每天水深的数据：t（h）03691215182124y（m）10.013.19.97.010.113.010.07.010.0经过长期观察y＝f（x）的曲线可以近似地看做函数y＝A sinωt+k的图象．（Ⅰ）根据以上数据，求出函数y＝f（t）的近似表达式；（Ⅱ）一般情况下，船舶航行时船底离海底的距离为5m或5m以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰到海底即可），某船吃水深度（船底离水面的距离）为6.5m，如果该船想在同一天内安全进出港，问它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需时间）？【分析】（Ⅰ）函数y＝f（t）可以近似地看做y＝A sinωt+k，由数据知它的周期T＝12，振幅A＝3，k ＝10，从而可得函数解析式；（Ⅱ）该船进出港口时，水深应不小于6.5+5＝11.5m，而在港口内，永远是安全的，由此可得结论．【答案】解：（Ⅰ）∵函数y＝f（t）可以近似地看做y＝A sinωt+k，∴由数据知它的周期T＝12，振幅A＝3，k＝10…（3分）∵，∴．故…（6分）（Ⅱ）该船进出港口时，水深应不小于6.5+5＝11.5m，而在港口内，永远是安全的，由得…（9分）∴，∴12k+1≤t≤12k+5（k∈N），在同一天内，取k＝0.1，则1≤t≤5或13≤t≤17…（11分）故该船最早能在凌晨1时进港，最迟在下午17时离港，在港口内最多停留16小时．…（12分）【点睛】本题考查三角函数模型的建立，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．【变式1-2】（2019秋•涵江区校级月考）某港口的水深y（m）是时间t（0≤t≤24，单位：h）的函数，下表是该港口某一天从0：00时至24：00时记录的时间t与水深y的关系：t（h）0：003：006：009：0012：0015：00y（m）9.912.910.07.110.013.0（Ⅰ）经长时间的观察，水深y与t的关系可以用正弦型函数拟合，求出拟合函数的表达式；（Ⅱ）如果某船的吃水深度（船底与水面的距离）为7m，船舶安全航行时船底与海底的距离不少于4.5m．那么该船在什么时间段能够进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间（忽略离港所需时间）；（Ⅲ）若某船吃水深度为8m，安全间隙（船底与海底的距离）为2.5．该船在3：00开始卸货，吃水深度以每小时0.5m的速度减少，该船在什么时间必须停止卸货，驶向较安全的水域？【分析】（Ⅰ）根据数据，，可得A＝3，h＝10，由T＝15﹣3＝12，可求ω＝将点（3，13）代入可得ϕ＝0，从而可求函数的表达式；（Ⅱ）由题意，水深y≥4.5+7，即3sin t+10≥11.5，从而可求t∈[1，5]或t∈[13，17]；（Ⅲ）设在时刻x船舶安全水深为y，则y＝10.5﹣0.5（x﹣3）（x≥3），若使船舶安全，则10.5﹣0.5（x﹣3）≥3sin x+10，从而可得3≤x≤7，即该船在7：00必须停止卸货，驶向较安全的水域．【答案】解：（Ⅰ）根据数据，，∴A＝3，h＝10，T＝15﹣3＝12，∴ω＝，∴y＝3sin（x+ϕ）+10将点（3，13）代入可得ϕ＝0∴函数的表达式为y＝3sin t+10（0≤t≤24）（Ⅱ）由题意，水深y≥4.5+7，即3sin t+10≥11.5，∴sin t≥0.5，∴t∈[1，5]或t∈[13，17]；所以，该船在1：00至5：00或13：00至17：00能安全进港．若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16小时．（Ⅲ）设在时刻x船舶安全水深为y，则y＝10.5﹣0.5（x﹣3）（x≥3），这时水深y＝3sin x+10，若使船舶安全，则10.5﹣0.5（x﹣3）≥3sin x+10，∴3≤x≤7，即该船在7：00必须停止卸货，驶向较安全的水域．【点睛】本题以表格数据为载体，考查三角函数模型的构建，考查解三角不等式，同时考查学生分析解决问题的能力．【变式1-3】（2019秋•武汉校级期末）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节每天时间与水深（单位：米）的关系表：时刻0：003：006：009：0012：0015：0018：0021：0024：00水深10.013.09.97.010.013.010.17.010.0（1）请用一个函数来近似描述这个港口的水深y与时间t的函数关系；（2）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上认为是安全的（船舶停靠时，船底只要不碰海底即可）．某船吃水深度（船底离地面的距离）为6.5米．Ⅰ）如果该船是旅游船，1：00进港希望在同一天内安全出港，它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需时间）？Ⅱ）如果该船是货船，在2：00开始卸货，吃水深度以每小时0.5米的速度减少，由于台风等天气原因该船必须在10：00之前离开该港口，为了使卸下的货物尽可能多而且能安全驶离该港口，那么该船在什么整点时刻必须停止卸货（忽略出港所需时间）？【分析】（1）设出函数解析式，据最大值与最小值的差的一半为A；最大值与最小值和的一半为h；通过周期求出ω，得到函数解析式．（2）Ⅰ）据题意列出不等式，利用三角函数的周期性及单调性解三角不等式求出t的范围．Ⅱ）设f（t）＝3sin t+10，t∈[2，10]，g（t）＝11.5﹣0.5（t﹣2）（t≥2）对它们进行比较从而得到答案．【答案】（1）以时间为横坐标，水深为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图．如图．根据图象，可考虑用函数y＝A sin（ωt+φ）+h刻画水深与时间之间的对应关系．从数据和图象可以得出A＝3，h＝10，T＝12，φ＝0，由T＝＝12，得ω＝，所以这个港口水深与时间的关系可用y＝3sin t+10近似描述…（4分）（2）Ⅰ）由题意，y≥11.5就可以进出港，令sin t＝，如图，在区间[0，12]内，函数y＝3sin t+10与直线y＝11.5有两个交点，由t＝或，得t A＝1，t B＝5，由周期性得t C＝13，t D＝17，由于该船从1：00进港，可以17：00离港，所以在同一天安全出港，在港内停留的最多时间是16小时…（8分）Ⅱ）设在时刻t货船航行的安全水深为y，那么y＝11.5﹣0.5（t﹣2）（t≥2）．设f（t）＝3sin t+10，t∈[2，10]，g（t）＝11.5﹣0.5（t﹣2）（t≥2）由f（6）＝10＞g（6）＝9.5且f（7）＝8.5＜g（7）＝9知，为了安全，货船最好在整点时刻6点之前停止卸货…（13分）【点睛】本题考查通过待定系数法求函数解析式、利用三角函数的单调性及周期性解三角不等式．【考点2 三角函数模型在日常生活中的应用】【例2】（2019春•武邑县校级期中）一半径为2m的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面1m；已知水轮按逆时针做匀速转动，每3s转一圈，如果当水轮上点p从水中浮现时（图中点p0）开始计算时间．（1）以水轮所在平面与水面的交线为x轴，以过点O且与水面垂直的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，将点P距离水面的高度h（m）表示为时间t（s）的函数；（2）点P第一次到达最高点大约要多长时间？【分析】（1）先根据h的最大和最小值求得A和k，利用周期求得ω，当t＝0时，h＝0，进而求得φ的值，则函数的表达式可得；（2）令最大值为3，可得三角函数方程，进而可求点P第一次到达最高点的时间；【答案】解：（1）设水轮上圆心O正右侧的点为A，y轴与水面交点为B，∵OB＝1，OP0＝2，∴∠BOP0＝，故∠AOP0＝，设h＝2sin（ωt﹣）+1，则T＝＝3，∴ω＝，∴h＝2sin（t﹣）+1（t≥0）．（2）令sin（t﹣）＝1可得t﹣＝+2kπ，k∈N，故t＝1+3k，∴当k＝0时，t＝1，故点P第一次到达最高点大约要1秒．【点睛】本题以实际问题为载体，考查三角函数模型的构建，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是构建三角函数式，利用待定系数法求得．【变式2-1】（2018秋•常州期末）如图，某公园摩天轮的半径为40m，点O距地面的高度为50m，摩天轮做匀速转动，每10min转一圈，摩夭轮上的点P的起始位置在最低点处．（1）已知在时刻t（min）时点P距离地面的高度为f（t）＝A sin（ωt+φ）+B，其中A＞0，ω＞0，﹣π≤φ＜π，求f（t）的解析式；（2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P距离地面超过70m？【分析】（1）由题意求出A、B和φ的值，结合周期求出ω的值，写出函数f（x）的解析式，（2）f（t）＝﹣40cos t+50＞70求出t的取值范围，再由t的区间端点值的差求得一圈中可以得到P 距离地面超过70m．【答案】解：（1）由题意可得A＝40，B＝50，φ＝﹣，∵T＝＝10，∴ω＝，∴f（t）＝40sin（t﹣）+50，即f（t）＝﹣40cos t+50．（2）由f（t）＝﹣40cos t+50＞70，得cos t＜﹣，∴2kπ+＜t＜2kπ+，k∈Z，解得10k+＜t＜10k+，∴（10k+）﹣（10k+）＝，故天轮转动的一圈内，有min点P距离地面超过70m．【点睛】本题考查了y＝A sin（ωx+φ）型函数解析式的求法与三角不等式的解法问题，是综合题．【变式2-2】（2018春•新罗区校级期中）已知某海滨浴场的海浪高度y（米）是时间t（0≤t≤24单位：小时）的函数，记作y＝f（t）．如表是某日各时的浪高数据：t（小时）03691215182124y（米） 1.5 1.00.5 1.0 1.5 1.00.50.99 1.5经长期观测，y＝f（t）的曲线可近似地看成是函数y＝A cosωt+b的图象，根据以上数据，求在一日（持续24小时）内，该海滨浴场的海浪高度超过1.25米的时间．【分析】求出f（t）的解析式，根据余弦函数的性质求出t的范围．【答案】解：由表格数据可知f（t）的周期为12，即＝12，∴ω＝．∵y＝A cos t+b，可知f（t）的最大值为1.5，最小值为0.5，∴，∴A＝0.5，b＝1，∴f（t）＝0.5cos+1，令f（t）＞1.25可得cos＞0.5，∴﹣+2kπ＜＜+2kπ，解得：﹣2+12k＜t＜2+12k，k∈Z．又0≤t≤24，∴0≤t＜2或10＜t＜14或22＜t≤24．【点睛】本题考查了余弦函数的性质，属于中档题．【变式2-3】（2018秋•南通期末）图为大型观览车主架示意图．点O为轮轴中心，距地面高为32m（即OM＝32m）．巨轮半径为30m，点P为吊舱与轮的连结点，吊舱高2m（即PM＝2m），巨轮转动一周需15min．某游人从点M进入吊舱后，巨轮开始按逆时针方向匀速转动3周后停止，记转动过程中该游人所乘吊舱的底部为点M'．（1）试建立点M'距地面的高度h（m）关于转动时间t（min）的函数关系，并写出定义域；（2）求转动过程中点M'超过地面45m的总时长．【分析】（1）以O为坐标原点，建立平面直角坐标系xOy，以Ox为始边，按逆时针方向转动至终边OP′，写出点P′的纵坐标，计算M′点距地面的高度；（2）利用点M′超过地面45m时得出不等式，求出时间t的取值范围即可．【答案】解：（1）如图所示，以O为坐标原点，建立平面直角坐标系xOy，设以Ox为始边，按逆时针方向经过时间t（min）转动至终边OP′所形成的角为t﹣，则点P′的纵坐标为30sin（t﹣），所以M′点距地面的高度为h＝30sin（t﹣）+32﹣2＝30（1﹣cos t），t∈[0，45]；（2）当点M′超过地面45m时，h＝30（1﹣cos t）＞45，即cos t＜﹣，所以+2kπ＜t＜+2kπ，k∈Z，即5+15k＜t＜10+15k，k∈Z；因为t∈[0，45]，所以t∈（5，10）∪（20，25）∪（35，40），所以总时长为15分钟，即点M′超过地面45m的总时长为15分钟．【点睛】本题考查了三角函数模型的应用问题，是中档题．【考点3 三角函数模型在气象学中的应用】【例3】（2019•江西模拟）根据市气象站对春季某一天气温变化的数据统计显示，气温变化的分布与曲线拟合（0≤x＜24，单位为小时，y表示气温，单位为摄氏度，|ϕ|＜π，A＞0），现已知这天气温为4至12摄氏度，并得知在凌晨1时整气温最低，下午13时整气温最高．（1）求这条曲线的函数表达式；（2）这天气温不低于10摄氏度的时间有多长？【分析】（1）根据气温为4至12摄氏度，我们可以求得振幅A，利用凌晨1时整气温最低，下午13时整气温最高，可求得周期及φ的值，从而求得函数表达式；（2）利用（1）中求出的函数表达式，我们可建立表达式，解之即可．【答案】解：（1）b＝（4+12）÷2＝8，A＝12﹣8＝4，，，所以这条曲线的函数表达式为：．（2）令y≥10，则，∴sin（，0≤x＜24．∴，∴，∴9≤x≤17，∴17﹣9＝8．故这天气温不低于10摄氏度的时间有8小时．【点睛】本题以实际问题为载体，考查三角函数模型的构建，考查三角不等式的求解，解题的关键是从实际问题中抽象出函数的模型，求出相应的参数．【变式3-1】（2019秋•荆门期末）通常情况下，同一地区一天的温度随时间变化的曲线接近于函数y＝A sin （ωx+φ）+b的图象.2013年1月下旬荆门地区连续几天最高温度都出现在14时，最高温度为14℃；最低温度出现在凌晨2时，最低温度为零下2℃．（Ⅰ）请推理荆门地区该时段的温度函数y＝A sin（ωt+φ）+b（A＞0，ω＞0，|φ|＜π，t∈[0，24））的表达式；（Ⅱ）29日上午9时某高中将举行期末考试，如果温度低于10℃，教室就要开空调，请问届时学校后勤应该送电吗？【分析】（I）根据函数最大、最小值的和与差，算出A＝8且b＝6，由函数的周期为24算出ω＝，再根据当x＝2时函数有最小值，算出即可得到所求温度函数的表达式；（II）算出函数当x＝9时的函数值f（9），利用特殊三角函数值算出f（9）＜10，得到此时满足开空调的条件，所以应该开空调．【答案】解：（I）∵最高温度为14℃，最低温度为零下2℃．∴A＝＝8，b＝＝6，∵函数的周期T＝24，∴ω＝＝由，可得（5分）∴函数表达式为（6分）；（II）当x＝9时，（8分）∵，∴，（11分）温度低于10℃，满足开空调的条件，所以应该开空调．（12分）【点睛】本题给出实际应用问题，求函数表达式并确定某个时刻能否开空调．着重考查了三角函数的图象与性质和三角函数在实际生活中的应用等知识，属于中档题．【变式3-2】（2019秋•宁波期末）2010年的元旦，宁波从0时到24时的气温变化曲线近似地满足函数y ＝A sin（ωx+φ）+b（A，ω＞0，|φ|≤π）．从天气台得知：宁波在2010的第一天的温度为1到9度，其中最高气温只出现在下午14时，最低气温只出现在凌晨2时．（Ⅰ）求函数y＝A sin（ωx+φ）+b的表达式；（Ⅱ）若元旦当地，M市的气温变化曲线也近似地满足函数y＝A1sin（ω1x+φ1）+b1，且气温变化也为1到9度，只不过最高气温和最低气温出现的时间都比宁波迟了四个小时．（ⅰ）求早上七时，宁波与M市的两地温差；（ⅱ）若同一时刻两地的温差不差过2度，我们称之为温度相近，求2010年元旦当日，宁波与M市温度相近的时长．【分析】（Ⅰ）由已知可得，b＝5，A＝4，T＝24，从而可确定ω，又最低气温只出现在凌晨2时，可求φ，从而可求函数表达式；（Ⅱ）由已知得M市的气温变化曲线近似地满足函数，从而问题得解．【答案】解：（Ⅰ）由已知可得，b＝5，A＝4，T＝24，∴ω＝，∵最低气温只出现在凌晨2时，∴2ω+φ＝，∵|φ|≤π），∴φ＝，则所求函数为（Ⅱ）由已知得M市的气温变化曲线近似地满足函数，y﹣y2＝4sin（x﹣π）+5﹣4sin（x﹣π）﹣5＝4sin（x﹣π）（ⅰ）当x＝7，（ⅱ）由，解得2≤x≤6或14≤x≤18，则10年后元旦，宁波与M市温度相近的时长为8小时．【点睛】本题主要考查三角函数模型的运用，关键是挖掘问题的本质，确定三角函数的模型，进而表达出函数模型，解决实际问题【变式3-3】某地一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：小时）的变化近似满足函数关系：f（t）＝24﹣8sin（ωt+），t∈[0，24），ω∈（0，），且早上8时的温度为24℃．（1）求函数的解析式，并判断这一天的最高温度是多少？出现在何时？（2）当地有一通宵营业的超市，为了节省开支，规定在环境温度超过28℃时，开启中央空调降温，否则关闭中央空调，问中央空调应在何时开启？何时关闭？【分析】（1）根据题意求出ω的值，确定函数的解析式，利用正弦函数的图象与性质求得出现最高温时t的值；（2）令f（t）＝28，求出t的值即可得出结论．【答案】解：（1）∵f（t）＝24﹣8sin（ωt+），且早上8时的温度为24℃，即f（8）＝24，∴sin（8ω+）＝0，∴8ω+＝kπ，k∈Z，解得ω＝（k﹣）π，k∈Z；又ω∈（0，），∴k＝1时，ω＝；∴函数f（t）＝24﹣8sin（t+），t∈（0，24]；又sin（t+）＝﹣1时，f（t）取得最大值，且t+∈（，]，∴令t+＝，解得t＝14，即这一天在14时（也是下午2时）出现最高温度，最高温度是32℃；（2）依题意：令24﹣8sin（t+）＝28，可得sin（t+）＝﹣，∵（t+）∈（，），∴t+＝或t+＝，解得t＝10或t＝18，即中央空调应在上午10时开启，下午18时（即下午6时）关闭．【点睛】本题考查了三角函数在实际应用中的问题，解题时应建立数学模型，利用三角函数解决实际问题，是基础题目．【考点4 三角函数模型在物理学中的应用】【例4】单摆从某点开始来回摆动，它相对于平衡位置O的位移S（厘米）和时间t（秒）的函数关系为：S ＝A sin（ωt+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜），已知单摆每分钟摆动4次，它到平衡位置的最大位移为6厘米，摆动起始位置相对平衡位置的位移为3厘米．求：（1）S和t的函数关系式；（2）第2.5秒时单摆的位移．【分析】（1）利用已知条件求出函数的周期，振幅，利用函数的图象上的特殊点求出初相，即可得到S 和t的函数关系式．（2）代入t＝2.5，求出S即可．【答案】解：（1）单摆每分钟摆动4次，函数的周期为：25s．，解得：ω＝，它到平衡位置的最大位移为6厘米，A＝6，摆动起始位置相对平衡位置的位移为3厘米．说明函数的图象经过（0，3），∴3＝6sin（×0+φ），（0＜φ＜），∴φ＝．S和t的函数关系式：S＝6sin（t+）．（2）第2.5秒时单摆的位移S＝6sin（×2.5+）＝6×＝3．第2.5秒时单摆的位移为：3．【点睛】本题考查三角函数的解析式的求法与应用，考查分析问题解决问题的能力．【变式4-1】若弹簧挂着的小球做简谐运动，时间t（s）与小球相对于平衡位置（即静止时的位置）的高度h（cm）之间的函数关系式是h＝2sin（ωt+），t∈[0，+∞），其图象如图所示．（1）求ω（ω＞0）的值；（2）小球开始运动（即t＝0）时的位置在哪里？（3）小球运动的最高点、最低点与平衡位置的距离分别是多少？【分析】（1）根据函数h（t）的图象与性质，求出周期T与ω的值；（2）计算t＝0时h（0）的值即可；（3）求出小球运动到最高点时h1与最低点时h2的值，再计算绝对值即可．【答案】解：（1）根据函数h＝2sin（ωt+），t∈[0，+∞）的图象知，＝π﹣＝π，∴周期T＝2π，∴＝2π，又ω＞0，∴ω＝1；（2）当t＝0时，h（0）＝2sin＝，∴小球开始运动（即t＝0）时，位置在点（0，）处；（3）小球运动的最高点时h1＝2，最低点时h2＝﹣2，∴小区在最高点与最低点处与平衡位置的距离分别是|h1|＝2和|h2|＝2．【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了数形结合的解题思想，是基础题目．【变式4-2】（2019秋•江宁区校级期末）已知交流电的电流强度I（安培）与时间t（秒）满足函数关系式I＝A sin（ωt+φ），其中A＞0，ω＞0，0≤φ＜2π．（1）如右图所示的是一个周期内的函数图象，试写出I＝A sin（ωt+φ）的解析式．（2）如果在任意一段秒的时间内电流强度I能同时取得最大值A和最小值﹣A，那么正整数ω的最小值是多少？【分析】（1）结合三角函数的图象求出A，周期，过的平衡点，利用三角函数的周期公式求出ω，将平衡点的坐标代入整体角求出φ．（2）将问题转化为三角函数的周期范围，利用周期公式求出ω的最小值．【答案】解：（1）由图知函数的最大值为300所以A＝300由图知函数的最小正周期为T＝2（）＝，又T＝∴ω＝150π当t＝时，I＝0所以解得所以；（2）据题意知又∴ω≥300πωmin＝943．【点睛】本题考查知三角函数的图象求解析式：其中A由图象的最值点求得；ω由周期确定；φ由特殊点确定．【变式4-3】如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s（cm）和时间t（s）的函数关系是s ＝A sin（ωt+φ），0＜φ＜，根据图象，求：（1）函数解析式；（2）单摆摆动到最右边时，离开平衡位置的距离是多少？（3）单摆来回摆动一次需要多长时间？【分析】（1）求出解析式中的参数，即可求出函数解析式；（2）A＝6，可得单摆摆动到最右边时，离开平衡位置的距离；（3）T＝1，可得单摆来回摆动一次需要的时间．【答案】解：（1）由题意，﹣＝T，∴T＝1，∴＝1，∴ω＝2π，∵t＝，s最大，∴2π•+φ＝，∴φ＝，∵t＝0，s＝3，∴A＝6，∴s＝6sin（2πt+）；（2）A＝6，单摆摆动到最右边时，离开平衡位置的距离是6cm；（3）T＝1，单摆来回摆动一次需要1s．【点睛】本题考查三角函数的解析式的求法与应用，考查分析问题解决问题的能力．。

高一数学必修4课件：1-6三角函数模型的简单应用

第一章
1.6
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
[解析]
(1)设种群数量y关于t的解析式为y＝Asin(ωx＋φ)
－A＋b＝700， A＋b＝900，
＋b(A>0，ω>0)，则
解得A＝100，b＝800，
又周期T＝2(6－0)＝12， 2π 2π π ∴ω＝ T ＝12＝6.
π 则有y＝100sin6t＋φ＋800.
kπ－φ ，0 ω
，对称轴与函数图象的交点的纵坐标是函数的
π kπ＋－φ 2 最值，即对称轴是直线A版 · 必修4
(8)对于函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象，相邻的两个对称中心或两条对称轴相距半个周期；相邻的一个对称中
第一章 1.6
)
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1 6．函数y＝ sin 2
π 2x－ 6
的振幅是________，周期是
________，初相为________，对称轴是直线________，对称中心为________，单调增区间是________．
第一章
1.6
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[答案] C
第一章
1.6
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规律总结：由函数图象寻求函数解析式是近几年来的热点试题，解答此类试题，一般是根据图象所反映出的函数性质来解决，而函数的性质，如奇偶性、周期性、对称性、单调性、值域，还有零点等等都可以作为判断的依据．
第一章
1.6
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π 3π 则sin8t＋ 4 ∈[－1,1]，可得ymin＝－10＋20＝10，

1.6三角函数模型的简单应用

作业
课本65页练习

例2、画出函数 | sinx | 的图象, y 并观察周期性和奇偶性.
G S P
变式1、画出函数 sin | x | 的图象, y 并观察周期性和奇偶性.
G S P
例3、设地球表面某地正午太阳高度角为 , 为此时 θ δ 太阳直射纬度, 为该地的纬度值, 则这三个量之间的关系是θ 90 0 | δ | .当地夏半年取正值, δ 冬半
0 年取负值.若在北京地区(纬度约为北纬40)的一幢
高为h0的楼房北面盖一新楼, 要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡, 两楼的距离应不小于多少.
h0Байду номын сангаас
230 26'
00
230 26' 400 A
B
C
小结
本节课我们学习了正、负角角和零角的概念，要注如果角的终意边在坐标轴上，就认这个角不属为于任何象限，本节课重点是学习的终边相同的角的表示。法判断一个角是第几象限角的方法。数形结合思想、运动化观点的应用变
§ 1.6 三角函数模型的简单应用
引入
如果某种变化着的现象具有周期性, 那么它就可以借助三角函数来描述.
新课
例1、某地一天从 ~ 14时的温度变化曲线 6 近似满足如图函数 Asin(ωs ) b. y
(1)求这一天 ~ 14时的最大温差; 6
(2)求这段曲线的函数解析式.
T/度 30
20
10
o
6

人教a版必修4学案：1.6三角函数模型的简单应用(含答案)

1.6三角函数模型的简单应用自主学习知识梳理1．三角函数的周期性y＝A sin(ωx＋φ) (ω≠0)的周期是T＝________；y＝A cos(ωx＋φ) (ω≠0)的周期是T＝________；y＝A tan(ωx＋φ) (ω≠0)的周期是T＝________.2．函数y＝A sin(ωx＋φ)＋k (A>0，ω>0)的性质(1)y max＝________，y min＝________.(2)A＝__________，k＝__________.(3)ω可由__________确定，其中周期T可观察图象获得．(4)由ωx1＋φ＝______，ωx2＋φ＝__________，ωx3＋φ＝__________，ωx4＋φ＝__________，ωx5＋φ＝________中的一个确定φ的值．3．三角函数模型的应用三角函数作为描述现实世界中________现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用．自主探究结合三角函数图象的特点，思考后写出下列函数的周期．(1)y＝|sin x|的周期是________；(2)y＝|cos x|的周期是________；(3)y＝|tan x|的周期是________；(4)y＝|A sin(ωx＋φ)| (Aω≠0)的周期是________；(5)y＝|A sin(ωx＋φ)＋k| (Aωk≠0)的周期是____________________________________________________________________；(6)y＝|A tan(ωx＋φ)| (Aω≠0)的周期是__________．对点讲练知识点一从实际问题中提炼三角函数模型例1如图(1)所示为一个观览车示意图，该观览车半径为4.8 m，圆上最低点与地面距离为0.8 m，60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面距离为h.(1)(1)求h与θ间关系的函数解析式；(2)设从OA开始转动，经过t秒到达OB，求h与t间关系的函数解析式．回顾归纳如果实际问题中，某种变化着的现象具有一定的周期性，那么它就可以借助三角函数来描述，从而构建三角函数模型．变式训练1 如图所示，一个摩天轮半径为10 m ，轮子的底部在地面上2 m 处，如果此摩天轮按逆时针转动，每30 s 转一圈，且当摩天轮上某人经过点P 处(点P 与摩天轮中心高度相同)时开始计时．(1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式；(2)在摩天轮转动的一圈内，约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17 m.知识点二三角函数模型在物理学科中的应用例2 交流电的电压E (单位：伏)与时间t (单位：秒)的关系可用E ＝2203sin ⎝⎛⎭⎫100πt ＋π6来表示，求：(1)开始时的电压；(2)最大电压值重复出现一次的时间间隔； (3)电压的最大值和第一次取得最大值的时间．回顾归纳三角函数模型在物理学科中有着广泛的应用．在应用三角函数知识解决物理问题时，应当注意从复杂的物理背景中提炼基本的数学关系，还要调动相关物理知识来帮助理解问题．变式训练2 如图表示电流I 与时间t 的函数关系式：I ＝A sin(ωt ＋φ)在同一周期内的图象．(1)据图象写出I ＝A sin(ωt ＋φ)的解析式；(2)为使I ＝A sin(ωt ＋φ)中t 在任意一段1100的时间内电流I 能同时取得最大值和最小值，那么正整数ω的最小值是多少？知识点三三角函数模型在实际问题中的应用t 小时＋B 的图象．(1)试根据数据表和曲线，求出y ＝A sin ωt ＋B 的解析式；(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？(忽略离港所用的时间)回顾归纳确定函数关系式y ＝A sin ωt ＋B ，就是确定其中的参数A ，ω，B 等，可从所给的数据中寻找答案．由于函数的最大值与最小值不是互为相反数，若设最大值为M ，最小值为m ，则A ＝M －m 2，B ＝M ＋m2.变式训练3 设y ＝f (t )是某港口水的深度y (米)关于时间t (时)的函数，其中0≤t ≤24.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t 与水深y 的关系：函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是( )A ．y ＝12＋3sin π6t ，t ∈[0,24]B ．y ＝12＋3sin ⎝⎛⎭⎫π6t ＋π，t ∈[0,24]C ．y ＝12＋3sin π12t ，t ∈[0,24]D ．y ＝12＋3sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π2，t ∈[0,24]1．三角函数模型是研究周期现象最重要的数学模型．三角函数模型在研究物理、生物、自然界中的周期现象(运动)有着广泛的应用．2．三角函数模型构建的步骤(1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象． (2)制作散点图，选择函数模型进行拟合． (3)利用三角函数模型解决实际问题．(4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验.课时作业一、选择题1. 如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O 的距离s cm 和时间t s 的函数关系式为s ＝6sin ⎝⎛⎭⎫100πt ＋π6，那么单摆来回摆动一次所需的时间为( )A.150 sB.1100s C ．50 s D ．100 s 2．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f (x )＝A sin(ωx＋φ)＋b ⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π4＋7(1≤x ≤12，x ∈N *)B ．f (x )＝9sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π4(1≤x ≤12，x ∈N *) C ．f (x )＝22sin π4x ＋7(1≤x ≤12，x ∈N *)D ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4＋7(1≤x ≤12，x ∈N *) 3．若函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，则f ⎝⎛⎭⎫π6等于( ) A ．3或0 B ．－3或0 C ．0 D ．－3或34. 如图所示，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从点A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P 所旋转过的弧AP 的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数d ＝f (l )的图象大致是( )二、填空题5．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫m 3x ＋π3的最小正周期在⎝⎛⎭⎫23，34内，则正整数m 的值是________． 6．设某人的血压满足函数式p (t )＝115＋25sin(160πt )，其中p (t )为血压(mmHg)，t 为时间(min)，则此人每分钟心跳的次数是________．7．一根长l cm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s (cm)与时间t (s)的函数关系式时s ＝3cos ⎝⎛⎭⎫g l t ＋π3，其中g 是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s 时，线长l 等于________．三、解答题8. 如图，一个水轮的半径为4 m ，水轮圆心O 距离水面2 m ，已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上点P 从水中浮现时(图中点P 0)开始计算时间．(1)将点P 距离水面的高度z (m)表示为时间t (s)的函数； (2)点P 第一次到达最高点大约需要多少时间？§1.6 三角函数模型的简单应用答案知识梳理 1.2π|ω| 2π|ω| π|ω|2．(1)A ＋k －A ＋k (2)y max －y min 2 y max ＋y min 2 (3)ω＝2πT (4)0 π2 π 32π 2π3．周期自主探究(1)π (2)π (3)π (4)π|ω| (5)2π|ω| (6)π|ω|对点讲练例1 解(2)(1)由题意可作图如图(2)所示．过点O 作地面平行线ON ，过点B 作ON 的垂线BM 交ON 于M 点．当θ>π2时，∠BOM ＝θ－π2.h ＝|OA |＋0.8＋|BM |＝5.6＋4.8sin ⎝⎛⎭⎫θ－π2；当0≤θ≤π2时，上述解析式也适合．综上所述，h ＝5.6＋4.8sin ⎝⎛⎭⎫θ－π2. (2)点A 在⊙O 上逆时针运动的角速度是π30，∴t 秒转过的弧度数为π30t ，∴h ＝4.8sin ⎝⎛⎭⎫π30t －π2＋5.6，t ∈[0，＋∞)．变式训练1 解 (1)设在t s 时，摩天轮上某人在高h m 处．这时此人所转过的角为2π30t＝π15 t ，故在t s 时，此人相对于地面的高度为h ＝10 sin π15t ＋12(t ≥0)． (2)由10sin π15t ＋12≥17，得sin π15t ≥12，则52≤t ≤252. 故此人有10 s 相对于地面的高度不小于17 m. 例2 解 (1)当t ＝0时，E ＝1103(伏)，即开始时的电压为1103伏．(2)T ＝2π100π＝150(秒)，即时间间隔为0.02秒．(3)电压的最大值为2203伏．当100πt ＋π6＝π2，即t ＝1300秒时第一次取得最大值．变式训练2 解 (1)由题图知，A ＝300，t 1＝－1300，t 2＝1150，∵T ＝2(t 2－t 1)＝2(1150＋1300)＝150，∴ω＝2πT＝100π.由ωt 1＋φ＝0知φ＝－ωt 1＝π3，∴I ＝300sin(100πt ＋π3)．(2)问题等价于T ≤1100，即2πω≤1100，也即ω≥200π，故最小正整数为ω＝629.例3 解 (1)从拟合的曲线可知，函数y ＝A sin ωt ＋B 的一个周期为12小时，因此ω＝2πT ＝π6. 又y min ＝7，y max ＝13，∴A ＝12(y max －y min )＝3，B ＝12(y max ＋y min )＝10.∴函数的解析式为y ＝3sin π6t ＋10 (0≤t ≤24)．(2)由题意，水深y ≥4.5＋7，即y ＝3sin π6t ＋10≥11.5，t ∈[0,24]，∴sin π6t ≥12，π6t ∈⎣⎡⎦⎤2k π＋π6，2k π＋5π6，k ＝0,1， ∴t ∈[1,5]或t ∈[13,17]，所以，该船在1∶00至5∶00或13∶00至17∶00能安全进港．若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16小时．变式训练3 A [在给定的四个选项A 、B 、C 、D 中我们不妨代入t ＝0及t ＝3，容易看出最能近似表示表中数据间对应关系的函数是A.]课时作业 1．A 2.A3．D [因为f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，所以直线x ＝π6是函数f (x )图象的对称轴．所以f ⎝⎛⎭⎫π6＝3sin ⎝⎛⎭⎫π6ω＋φ＝3sin ⎝⎛⎭⎫k π＋π2 ＝±3.因此选D.]4．C [d ＝f (l )＝2sin l2.]5．26,27,28解析 ∵T ＝6πm ，又∵23<6πm <34∴8π<m <9π，且m ∈Z ，∴m ＝26,27,28. 6．80解析 T ＝2π160π＝180(分)．f ＝1T＝80(次/分)．7.g 4π2 解析 T ＝2πgl＝1.∴ g l ＝2π.∴l ＝g4π2.8．解 (1)如图所示建立直角坐标系，设角φ⎝⎛⎭⎫－π2<φ<0是以Ox 为始边，OP 0为终边的角．OP 每秒钟内所转过的角为5×2π60＝π6. 由OP 在时间t (s)内所转过的角为⎝⎛⎭⎫5×2π60t ＝π6t .由题意可知水轮逆时针转动，得z ＝4sin ⎝⎛⎭⎫π6t ＋φ＋2. 当t ＝0时，z ＝0，得sin φ＝－12，即φ＝－π6.故所求的函数关系式为z ＝4sin ⎝⎛⎭⎫π6t －π6＋2.(2)令z ＝4sin ⎝⎛⎭⎫π6t －π6＋2＝6，得sin ⎝⎛⎭⎫π6t －π6＝1，令π6t －π6＝π2，得t ＝4，故点P 第一次到达最高点大约需要4 s.。

吉林省伊通满族自治县第三中学校高中数学必修四：1-6三角函数模型的简单应用学案精品

第三步：利用所学的三角函数知识对得到的三角函数模型予以解答.
第四步：将所得结论转译成实际问题的答案.
(2)三角函数模型的建立程序
如图所示：
类型一三角函数模型在物理中的应用
例1已知电流I与时间t的关系为I＝Asin(ωt＋φ).
(1)如图所示的是I＝Asin(ωt＋φ)(ω>0，|φ|< )在一个周期内的图象，根据图中数据求I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；
①小球开始摆动(即t＝0)，离开平衡位置是多少？
②小球摆动时，离开平衡位置的最大距离是多少？
③小球来回摆动一次需要多少时间？
类型二三角函数模型在生活中的应用
例2某游乐园的摩天轮最高点距离地面108米，直径长是98米，匀速旋转一圈需要18分钟.如果某人从摩天轮的最低处登上摩天轮并开始计时，那么：
(1)当此人第四次距离地面米时用了多少分钟？
(2)如果t在任意一段的时间内，电流I＝Asin(ωt＋φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？
跟踪训练1一根细线的一端固定，另一端悬挂一个小球，当小球来回摆动时，离开平衡位置的位移S(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系是S＝6sin(2πt＋ ).
(1)画出它的图象；
(2)回答以下问题：
4.某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：
f(t)＝10－2sin( t＋ )，t∈[0,24).
(1)求实验室这一天的最大温差；
(2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？
四、小结
五、反思质疑
学习完本节课，我的收获（或反思静悟、体验成功）
六、布置作业
(2)当此人距离地面不低于(59＋ )米时可以看到游乐园的全貌，求摩天轮旋转一圈中有多少分钟可以看到游乐园的全貌？

人教A版高中数学必修4第一章三角函数1.6 三角函数模型的简单应用教案(4)

1.6 三角形函数模型的简单应用一、教学目标（一）核心素养通过这节课学习，了解并掌握三角函数模型应用基本步骤，会利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型. （二）学习目标1．了解并掌握三角函数模型应用基本步骤．2．利用收集到的数据作出散点图，根据散点图进行函数拟合，建立三角函数模型，掌握利用三角函数模型解决实际问题的方法．3．感悟“数形结合”、“函数与方程”的数学思想，并能理解应用“数形结合”、“函数与方程”思想解决有关具有周期运动规律的实际问题．（三）学习重点1．运用三角函数模型，解决一些具有周期性变化规律的实际问题.2．从实际问题中发现周期变化的规律，并将所发现的规律抽象为恰当的三角函数模型．（四）学习难点分析、整理、提取和利用信息，将实际问题抽象转化成三角函数模型，并综合运用相关知识解决实际问题．二、教学设计（一）课前设计 1．预习任务（1）三角函数可以作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型. （2）y =|sin x |是以 π 为周期的波浪形曲线. 2．预习自测（1）函数y =sin （2x -3π）的最小正周期为 π .（2）已知某地一天从4～16时的温度变化曲线近似满足函数y =10sin （8πx -45π）+20,x ∈[4，16]，则该地区这一段时间内的最大温差为 20℃.(二)课堂设计 1.知识回顾（1）参数A （A ﹥0），ω（ω﹥0），φ对函数图象的影响. （2）函数y =A sin （ωx +φ）的图象.（3）y =A sin （ωx +φ），x ∈[0，∞+）（A ﹥0，ω﹥0）中各量的物理意义. 2.问题探究例1 如图,某地一天从6—14时的温度变化曲线近似满足函数y =sin(ωx +φ)+b .(1)求这一天6—14时的最大温差;(2)写出这段曲线的函数解析式. 【知识点】正弦函数的图像与性质. 【数学思想】数形结合的数学思想. 【解题过程】解:(1)由图可知,这段时间的最大温差是20 ℃.(2)从图中可以看出,从6—14时的图象是函数y =A sin(ωx +φ)+b 的半个周期的图象,∴A =21(30-10)=10,b =21(30+10)=20.∵21·ωπ2=14-6, ∴ω=8π.将x =6,y =10代入上式,解得φ=43π. 综上,所求解析式为y =10sin(8πx +43π)+20,x ∈[6,14]. 【思路点拨】本例是研究温度随时间呈周期性变化的问题，引导学生观察给出的模型函数并思考要解决的问题，让学生体会不同的函数模型在解决具体问题时的不同作用.提醒学生注意本题中所给出的一段图象实际上只取6—14即可,此段恰好为半个周期.本题所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段的温度变化情况,因此应当特别注意自变量的变化范围.同类训练如下图表示的是电流I 与时间t 的函数关系()⎪⎭⎫ ⎝⎛<>+=2,0sin πϕωϕωt A I 在一个周期内的图象.(1)根据图象写出()ϕω+=t A I sin 的解析式; (2)为了使()ϕω+=t A I sin 中的t 在任意一段1001s 的时间内电流I 能同时取得最大值和最小值,那么正整数ω的最小值为多少? 【知识点】正弦函数的图像与性质. 【数学思想】数形结合.【解题过程】解:(1)由图知A =300,第一个零点为(－3001,0),第二个零点为(1501,0), ∴πϕωϕω=+⋅=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅1501,03001.解得3,100πϕπω==,∴⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3100sin 300ππt I . (2)依题意有T ≤1001,即ωπ2≤1001,∴πω200≥.故629min =ω 【思路点拨】观察图像带入零点和最值点是求解解析式的常用办法.例2 如图,设地球表面某地正午太阳高度角为θ,δ为此时太阳直射纬度,φ为该地的纬度值,那么这三个量之间的关系是θ=90°-|φ-δ|.当地夏半年δ取正值,冬半年δ取负值.如果在北京地区(纬度数约为北纬40°)的一幢高为0h 的楼房北面盖一新楼,要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡,两楼的距离不应小于多少?【知识点】正切函数. 【数学思想】数形结合.【解题过程】太阳高度角的定义:设地球表面某地纬度值为φ,正午太阳高度角为θ,此时太阳直射纬度为δ,那么这三个量之间的关系是θ=90°-|φ-δ|.当地夏半年δ取正值,冬半年δ取负值.由地理知识可知,南、北回归线之间的地带可被太阳直射到,由画图易知太阳高度角θ、楼高h 0与此时楼房在地面的投影长h 之间有如下关系:h 0=h tanθ由地理知识可知,在北京地区,太阳直射北回归线时物体的影子最短,直射南回归线时物体的影子最长.因此,为了使新楼一层正午的太阳全年不被遮挡,应当考虑太阳直射南回归线时的情况.解:如图,A 、B 、C 分别为太阳直射北回归线、赤道、南回归线时楼顶在地面上的投影点.要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡,应取太阳直射南回归线的情况考虑,此时的太阳直射纬度－23°26′.依题意两楼的间距应不小于MC . 根据太阳高度角的定义,有∠C ＝90°－|40°－(－23°26′)|＝26°34′, 所以MC ＝tanC h 0=34'26 tan h 0≈2.000h 0. 即在盖楼时,为使后楼不被前楼遮挡,要留出相当于楼高两倍的间距.【思路点拨】引导学生思考楼高与楼在地面上投影长之间的关系,带领学生分析问题，提示学生从复杂的背景中抽取基本的数学关系，调动相关学科知识来帮助解决问题，最终将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型,再根据所得的函数模型解决问题.同类训练某市的纬度是北纬23°,小王想在某住宅小区买房,该小区的楼高7层,每层3米,楼与楼之间相距15米.要使所买楼层在一年四季正午太阳不被前面的楼房遮挡,他应选择哪几层的房？【知识点】正切函数.【数学思想】数形结合.【解题过程】解:北楼被南楼遮挡的高度为h=15tan［90°-(23°+23°26′)］=15tan43°34′≈14.26,由于每层楼高为3米,根据以上数据,所以他应选3层以上.【思路点拨】结合图像恰当的选择三角函数解决实际问题.例 3 货船进出港时间问题:海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近码头;卸货后,在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表:深的近似数值(精确到0.001).(2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4米,安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙(船底与洋底的距离),该船何时能进入港口?在港口能呆多久?(3)若某船的吃水深度为4米,安全间隙为1.5米,该船在2:00开始卸货,吃水深度以每小时0.3米的速度减少,那么该船在什么时间必须停止卸货,将船驶向较深的水域?活动1：引导学生观察上述问题表格中的数据，发现规律并进一步引导学生作出散点图.引导学生根据散点的位置排列,思考并建立相应的函数模型刻画其中的规律.活动2：根据学生所求得的函数模型,指导学生利用计算器进行计算求解.根据题意,一天中有两个时间段可以进港.问题1：你所求出的进港时间是否符合时间情况？如果不符合,应怎样修改？问题2：第3问中,应保持港口的水深不小于船的安全水深,那么如何刻画船的安全水深呢？问题3：根据问题的实际意义,货船的安全水深正好等于港口的水深时停止卸货行吗？为什么？正确结论是什么？【知识点】正弦函数的图像与性质. 【数学思想】数形结合. 【解题过程】解:(1)以时间为横坐标,水深为纵坐标,在直角坐标系中画出散点图.根据图象,可以考虑用函数y =Asin (ωx +φ)+h 刻画水深与时间之间的对应关系.从数据和图象可以得出: A ＝2.5,h ＝5,T ＝12,φ＝0, 由T ＝ωπ2＝12,得ω＝6π.所以这个港口的水深与时间的关系可用y ＝2.5sin 6πx +5近似描述.由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值:令2.5sin6πx +5=5.5,sin6πx =0.2.由计算器可得 20.20.201 357 92≈0.201 4.如图,在区间[0,12]内,函数y ＝2.5sin 6πx +5的图象与直线y ＝5.5有两个交点A 、B ,因此6πx ≈0.201 4,或π－6πx ≈0.201 4.解得A x ≈0.384 8,B x ≈5.615 2.由函数的周期性易得:C x ≈12+0.384 8＝12.384 8,D x ≈12+5.615 2＝17.615 2.因此,货船可以在0时30分左右进港,早晨5时30分左右出港;或在中午12时30分左右进港,下午17时30分左右出港.每次可以在港口停留5小时左右. (3)设在时刻x 货船的安全水深为y ,那么y =5.5-0.3(x -2)(x ≥2).在同一坐标系内作出这两个函数的图象,可以看到在6—7时之间两个函数图象有一个交点.通过计算也可以得到这个结果.在6时的水深约为5米,此时货船的安全水深约为4.3米;6.5时的水深约为4.2米,此时货船的安全水深约为4.1米;7时的水深约为3.8米,而货船的安全水深约为4米.因此为了安全,货船最好在6.5时之前停止卸货,将船驶向较深的水域.【思路点拨】引导学生思考,怎样把此问题翻译成函数模型.引导学生将实际问题的意义转化为数学解释,同时提醒学生注意题目需留意的定量与变量，如：货船的安全水深、港口的水深同时在变,停止卸货的时间应当在安全水深接近于港口水深的时候.让学生进一步体验“数形结合”思想和“函数与方程”思想在解决数学问题中的作用.结论:在货船的安全水深正好等于港口的水深时停止卸货将船驶向较深水域是不行的,因为这样不能保证货船有足够的时间发动螺旋桨.同类训练设()y f t =是某港口水的深度关于时间t (时)的函数，其中024t ≤≤,下表是该港口某一天从0至24时记录的时间t 与水深y 的关系.经长期观察，函数()y f t =的图象可以近似地看成函数sin()y k A t ωϕ=++的图象. 根据上述数据，函数()y f t =的解析式为（） A ．123sin,[0,24]6ty t π=+∈ B ．123sin(),[0,24]6ty t ππ=++∈C ．123sin ,[0,24]12t y t π=+∈D ．123sin(),[0,24]122t y t ππ=++∈【知识点】三角函数的图像与性质. 【数学思想】数形结合.【解题过程】由表可得，最大值为15，相邻两个最大值之间间隔12，故周期T =12，故6122ππ=，故6πω=，答案选A. 【思路点拨】观察表格，求出相邻两个波峰之间的横向距离，即周期. 【答案】A. 3. 课堂总结知识梳理三角函数模型应用的基本方法及一般步骤：①审题：观察收集到的数据，寻找规律，发现数据间的数量关系；②建模：根据已知数据绘制散点图，建立三角函数式、三角不等式或三角方程等； ③求解：根据题意求出某点的三角函数值；④检验：检验所求解是否符合实际意义，通过比较，选择恰当的函数模型拟合数据；⑤还原：将所得结论转译回实际问题. 重难点归纳建立数学模型的关键，先根据题意设出代表函数，再利用数据求出待定系数，然后写出具体的三角函数式．（三）课后作业基础型自主突破1.已知A ,B ,C 是△ABC 的三个内角,且sin A >sin B >sin C ,则( ) A.A >B >C B.A <B <C C.A +B >2πD.B +C >2π【知识点】根据三角函数判断三角形各角大小. 【数学思想】三角函数图象的应用.【解题过程】∵sin A >sin B >sin C ,又三角形内角和为180°,∴由函数y ＝sin x ,x ），（π0∈图象可得A >B >C . 【思路点拨】由于三角形内角和为180°，所以讨论函数为y ＝sin x ,x ），（π0∈. 【答案】A2．2002年8月，在北京召开国际数学家大会，大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形、与中间的小正方形拼成的大正方形．若直角三角形中较小的锐角为θ，大正方形的面积为1，小正方形的面积为251，则sin θ+cos θ= ．【知识点】在实际问题中建立三角函数模型．【数学思想】主要考查求解三角函数，关键是理解题意并正确利用勾股定理【解题过程】解：由题意，大正方形的边长为1，小正方形的边长为51设θ所对的直角边为x ，则由勾股定理得：15122=⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x∴x =53，∴sin θ=53,cos θ=54∴sin θ+cos θ=57 【思路点拨】根据正方形的面积=边长2，可知大正方形及小正方形的边长，根据图形，大正方形的边长即是直角三角形的斜边，小正方形的边长即是直角三角形两个直角边的差，从而可求相应三角函数的值．【答案】57能力型师生共研3.如图表示的是电流I 与时间t 的函数关系，I =A sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<2π)在一个周期内的图象.(1)根据图象写出I =A sin(ωx +φ)的解析式； (2)为了使I =A sin(ωx +φ)中的t 在任意一段1001s 的时间内电流I 能同时取得最大值和最小值,那么正整数ω的最小值为多少?【知识点】在实际问题中建立三角函数模型．【数学思想】三角函数模型的构建.【解题过程】(1)由图知A =300,第一个零点为(－3001,0),第二个零点为(1501,0), ∴ω·(－3001)+φ=0,ω·1501+φ=π.解得ω=100π,φ=3π∴I =300sin(100πt +3π). (2)依题意有T ≤1001,即ωπ2≤1001,∴ω≥200π.故ωmin =629. 【思路点拨】根据图象可求得相应三角函数，根据题意利用所得三角函数求出电流I 及ω.【答案】(1)I =300sin(100πt +3π)；(2)629. 探究型多维突破4.某港口水深y （米）是时间t （0≤t ≤24，单位：小时）的函数，下表是水深数据：根据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数y =A sin ωt +b 的图象．（1）试根据数据表和曲线，求出y =A sin ωt +b 的表达式；（2）一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度（船底与水面的距离）为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？（忽略离港所用的时间）【知识点】在实际问题中建立三角函数模型．【数学思想】三角函数模型的构建，解三角不等式. 【解题过程】解：（1）根据数据可得，A +h =13，-A +h =7， ∴A =3，h =10， T =15﹣3=12，∴ω=T π2=6π， ∴y =3sin （6πx +φ）+10将点（3，13）代入可得π=0 ∴函数的表达式为y =3sin6πt +10（0≤t ≤24）（2）由题意，水深y ≥4.5+7，即3sin6πt +10≥11.5（0≤t ≤24）， ∴3sin 6πt ≥，∴6πt ∈[2kπ+6π，2kπ+65π]，k =0，1， ∴t ∈[1，5]或t ∈[13，17]；所以，该船在1：00至5：00或13：00至17：00能安全进港．若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16小时．【思路点拨】（1）根据数据，A +h =13，-A +h =7，可得A =3，h =10，由T =15﹣3=12，可求ω=6π，将点（3，13）代入可得φ=0，从而可求函数的表达式；（2）由题意，水深y ≥4.5+7，即3sin 6πt +10≥11.5（0≤t ≤24），从而可求t ∈[1，5]或t ∈[13，17] 【答案】（1）y =3sin6πt +10（0≤t ≤24）；（2）1：00至5：00或13：00至17：00；在港内停留的时间最多不能超过16小时. 自助餐1.甲、乙两人从直径为2r 的圆形水池的一条直径的两端同时按逆时针方向沿池做圆周运动,已知甲速是乙速的两倍,乙绕池一周为止,若以θ表示乙在某时刻旋转角的弧度数, l 表示甲、乙两人的直线距离，则l =f (θ)的图象大致是( )A.B.C.D.【知识点】三角函数模型的应用.【数学思想】根据题目要求选择恰当的三角函数模型.【解题过程】根据题意可知θ=π时，两人相遇，排除B ，D ；两人的直线距离不可为负，排除A ．【思路点拨】由题意知θ=π时，两人相遇，两人的直线距离不可为负. 【答案】C2.电流强度I (安培)随时间t(秒)变化的函数I =Asin (ωt +φ)的图象如图所示，则当t =1207秒时的电流强度( )A.0B.10C.-10D.5 【知识点】三角函数模型的应用.【数学思想】函数y =A sin （ωx +φ），x ∈[0，∞+）（A ﹥0，ω﹥0）中各量的物理意义.【解题过程】根据题意可知A =10，1001300130042=-=T ，可知501=T ，从而得π100=ω；当3001=t 时，10=I ，从而可得φ=6π；于是可得I =10sin （10πx +6π）.故当t =1207时，I =0.【思路点拨】由题意知θ=π时，两人相遇，两人的直线距离不可为负. 【答案】A3.一个大风车的半径为8米，12分钟旋转一周，它的最低点离地面2米，求风车翼片的一个端点离地面距离h (米)与时间t (分钟)之间的函数关系式.【知识点】三角函数模型的应用.【数学思想】根据题目要求建立恰当的三角函数模型.【解题过程】以最低点的切线为x 轴，最低点为原点，建立直角坐标系.设P (x (t ), y (t ))则h(t )= y (t )+2,又设P 的初始位置在最低点，即y (0)=0，在Rt △O 1PQ 中，∠OO 1P =θ,cos θ=8()8y t -,∴y (t )= -8cos θ+8,而212π=t θ，∴θ=6t π，∴y (t )= -8cos 6t π+8, ∴h (t )= -8cos 6t π+10.【思路点拨】根据题意建立合适的直角坐标系，利用给定的几何关系和三角函数构建角度和长度的关系，列出函数表达式，化简即可得出结果.【答案】h (t)=-8cos6t+10。

1.6三角函数模型的简单应用---潮汐问题

1.6三角函数模型的简单应用—潮汐问题引言潮汐是地球上海洋中的周期性涨落现象，是由月球和太阳对地球的引力引起的。

潮汐问题是应用三角函数模型来描述和解决与潮汐相关的问题。

本文将介绍潮汐问题的基本概念和三角函数模型的简单应用。

1. 潮汐问题概述潮汐是由水体受到引力作用而引起的周期性涨落。

主要受到月球和太阳的引力影响，其中月球的引力对潮汐的影响比太阳更为显著。

潮汐的周期一般为12小时25分钟。

2. 三角函数模型三角函数模型是描述潮汐问题的基本工具。

其中，正弦函数和余弦函数是最常用的三角函数，用来描述涨落的高度和时间的关系。

以下是正弦函数和余弦函数的数学表达式：正弦函数：$$y = A \\sin(\\omega t + \\phi)$$余弦函数：$$y = A \\cos(\\omega t + \\phi)$$其中，A表示振幅，ω表示角频率，t表示时间，φ表示初始相位。

3. 潮汐问题的三角函数模型应用潮汐问题中，常常需要根据已知的潮汐数据，来推算未知的潮汐数据。

三角函数模型可以帮助我们建立潮汐数据之间的数学关系，从而进行推算。

例如，已知某个地点的潮汐数据如下： - 大潮时的海水最高，高度为4.2米；- 小潮时的海水最低，高度为1.6米； - 两个大潮之间的时间间隔为12小时25分钟。

根据这些已知数据，我们可以假设潮汐数据符合正弦函数的模型，然后利用已知数据来确定模型中的参数。

假设模型为：$$y = a \\sin(\\omega t + \\phi)$$根据已知信息： - 大潮时的海水最高，代入模型可得 $4.2 = a \\sin(\\phi)$； - 小潮时的海水最低，代入模型可得 $1.6 = a \\sin(\\phi - \\dfrac{\\pi}{2})$； - 两个大潮之间的时间间隔为12小时25分钟，代入模型可得 $2\\pi = \\omega\\times (12 \\times 60 + 25)$。

三角函数模型的简单应用

1．6.1 三角函数模型的简单应用【学习目标】1.通过实例明白应用三角函数模型所解决的实际问题的基本特征——周期性；2.通过教材几个实例的分析概括三角函数模型应用基本步骤，并能迁移运用；3.利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型，提高学生数据收集和处理能力；4.通过三角函数模型的应用分析，理解数学解决实际问题的基本思想——数学建模，领会数学的作用．【学习重点】运用三角函数相关知识解决实际问题，掌握三角函数模型应用基本步骤及迁移运用.【难点提示】灵活运用三角函数相关知识解决实际问题，知识与方法的迁移能力. 【学法提示】1.请同学们课前将学案与教材6071P -结合进行自主学习（对教材中的文字、图象、表格、符号、观察、思考、说明与注释、例题及解答、阅读与思考、小结等都要仔细阅读）、小组讨论，积极思考提出更多、更好、更深刻的问题，为课堂学习做好充分的准备；2.在学习过程中用好“十二字学习法”即：“读”、“挖”、“举”、“联”、“用”、“悟”、“听”、“问”、“通”、“总”、“研”、“会”，请在课堂上敢于提问、敢于质疑、敢于讲解与表达. 【学习过程】一．学习准备前面我们学习了三角函数等相关知识，请同学们感悟下面的知识网络，你还有更好的构建方法吗？同时，将不很熟悉的各知识内容填写在横线上或空白处：在生活中有哪些三角函数模型的问题，如何运用三角函数相关知识来解决这些问题呢？这就是本节课我们要研究的问题！二、典例赏析例1.（教材60页例1，请同学们先做在看教材的解答）解：正余弦型函数图象变换正切函数图象、性质正弦函数图象、性质余弦函数图象、性质正余弦函数图象的“五点法”周期函数概念三角函数线六组诱导公式口诀三角函数的基本关系式三角函数值所在象限的符号角α的三角函数定义任意角三角函数解后反思该题的题型怎样？你的解法与教材的解法相同吗？有哪些区别？教材是怎么书写表达的？变式练习如图表示电流 I 与时间t 的函数关系式：sin()I A t ωϕ=+（ω＞0，||2πϕ<）在同一周期内的图象．（1）根据图象写出I =Asin(t )ω+ϕ的解析式；（2）为了使I =Asin(t )ω+ϕ中t 在任意－段1100秒的时间内电流I 能同时取得最大值和最小值，那么正整数ω的最小值是多少？解：例2（教材P61页例3，请同学们先做在看教材的解答）思路启迪仔细审题，弄清题意，哪些是已知，需要求什么量？用实物摆放或作图分析，建立怎样三角函数模型求解！（链接1）解：解后反思该题的题型怎样？求解的关键点在哪里？你的解法与教材的解法相同吗？有哪些区别？教材是怎么书写表达的？求解该题用到了哪些知识？（链接2）变式练习一半径为3m 的水轮如右图所示,水轮圆心O 距离水面2m,已知水轮每分钟转动4圈,如果当水轮上P 点从水中浮现时(图中P 0)（1）求P 点相对于水面的高度h(m)与时间t(s)（2）P 点第一次达到最高点约要多长时间? 解：例3（教材62页例4，请同学们先做在看教材的解答）思路启迪要仔细审题，如何处理这些数据，并从中发现规律，找准入手点，理清求解问题的步骤：（1）数据的初步处理：作出统计图象(散点图)（2）散点图的观察分析：；（3）选定拟合函数模型：；（4）函数模型求解：实际问题分析1：给出整点时的水深的近似数值(精确到0．001)．时刻0:00 1:00 2:00 3:00 4:00 5:00 6:00 7:00 8:00 9:00 10:0 11:0 水深时刻12:013:014:015:016:017:018:019:020:021:022:023:0水深实际问题分析2：一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4米，安全条例规定至少要有1．5米的安全间隙(船底与洋底的距离) ，该船何时能进入港口？在港口能呆多久？实际问题分析3：若某船的吃水深度为4米，安全间隙为1．5米，该船在2:00开始卸货，吃水深度以每小时0．3米的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？解：●解后反思该题的题型怎样？你的解法与教材的解法相同吗？有哪些区别？教材是怎么书写表达的？求解的步骤是怎样的？应注意什么问题？（链接3）变式练习（教材P65页练习第3题，可做在书上）解：三、学习反思1.本节课我们学习了哪些数学知识、数学思想方法，你的任务完成了吗？你讲的怎样？你提问了吗？我们的学习目标达到了吗？如：本节课有哪些题型？运用了哪些数学思想方法求解的？求解应用问题的基本步骤怎样？有哪些需要我们注意的？2.通过本节课的学习与课前的预习比较有哪些收获？有哪些要改进和加强的呢？3.对本节课你还有独特的见解吗？本节课的数学知识与生活有怎样的联系？感受到本节课数学知识与方法的美在哪里？四、学习评价1.（09年莱阳一中学段检测）车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆／分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数F(t)=50+4sin (其中0≤t≤20)给出，F(t)的单位是辆／分，t的单位是分，则在下列哪个时间段内车流量是增加的A[0，5] B[5，10] C[10，15] D[15，20]2 设()y f t =是某港口水的深度关于时间t(时)的函数，其中024t ≤≤,下表是该港口某一经长期观察，函数()y f t =的图象可以近似地看成函数sin()y k A t ωϕ=++的图象．根据上述数据，函数()y f t =的解析式为（） A.123sin,[0,24]6ty t π=+∈ ； B.123sin(),[0,24]6ty t ππ=++∈C.123sin ,[0,24]12t y t π=+∈ ；D.123sin(),[0,24]122t y t ππ=++∈ 2．如图所示，为了测量该工件上面凹槽的圆弧半径R ，由于没有直接的测量工具，工人用三个半径均为r （r 相对R 较小）的圆柱棒123,,O O O 放在如图与工件圆弧相切的位置上，通过深度卡尺测出卡尺水平面到中间量棒2O 顶侧面的垂直深度h ，若10,4r mm h mm ==时，则R 的值为（）A.25mm ；B.50mm ；C.60mm ；D.15mm.3.从高出海面hm 的小岛A 处看正东方向有一只船B ，俯角为30看正南方向的一船C 的俯角为45，则此时两船间的距离为（）．A.2hm ；；； D. .4.一根为Lcm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，组成一个单摆，小球摆动时，离开平衡位置的位移s(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系是),0[,6sin 3+∞∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=t t l g s π，（1）求小球摆动的周期和频率；（2）已知g=980cm/s 2，要使小球摆动的周期恰好是1秒，线的长度L 应当是多少？解：5.已知定义域为实数集R 的奇函数f （x ）在R 上是减函数，且2(sin 2)(42cos )(0)f f m m f θθ--+-<，（1）求证：f （0）=0；（2）当m=12时，求cos θ的取值范围；（3）是否存在这样的实数m 使2(sin 2)(42cos )(0)f f m m f θθ--+-<对所有的0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦均成立？若存在，则求出所有适合条件的实数m ，若不存在，说明理由.解：6.在生活中有很多现象具有周期性，大家学过的三角函数就是描述周期现象的一种重要的数学模型，假设游乐场中的摩天轮匀速旋转，其中心O 距离地面30．5m ，半径30m ．若从最低点P 处登上摩天轮，从你登上摩天轮开始计时，那么你与地面的距离h 将随时间t 变化，并且经过6min 到达最高点，请完成下列问题：（1）填写表格：()min t 0 3 6 9 12()h m（2）求h 与t 之间的函数关系式()h h t =；（3）当你在摩天轮上转第一圈，并且距离地面15．5m 时，所用时间是多少？当你在摩天轮上转第()*n n N ∈圈，并且距离地面15．5m ，所用时间是多少？解：7.已知函数()()sin 0,0,||2f x A x A πωθωθ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的图象与y 轴交于点 30,2⎛⎫⎪⎝⎭，它在y 轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为()0,3x ，()02,3x π+-，（1）求函数()y f x =的解析式；（2）说明)(x f 的图象依次经过哪些变换而得到函数)42sin(21)(π-+=x x g 的图象．（3）在给出的直角坐标系中，画出函数)(x g y =在区间]2,2[ππ-上的图象．解：8.教材P66习题1.6A 组第3题（作在书上）；解：（选做题）如果前面的楼房距你家要买的楼房15m ，两幢楼的高都是21m ，每层楼高3m ，为了使正午的太阳全年不被遮挡，你应该挑选哪几层的房子？（你自己拟定一个纬度数和太阳的直射纬度求解）解：【学习链接】链接1.例1补充图，帮助同学们分析问题；链接2.该题的题型是跨学科三角函数实际运用题；求解的关键点弄清题意，该题本质上是求高楼在地面的射影；用到三角函数与地理相关知识，运用了数形结合的思想.；链接3.该题是一道开放性问题，该题是一种重要的函数应用模型的题型，求解该题的基本步骤:(1)根据图象建立解析式; (2)根据解析式作出图象; (3)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型；求解的关键点是：利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行大胆猜想函数拟合，从而得到函数模型（有时拟合的函数模型不止一种，但应选择最适合的、最佳的那个）；同时，我们在实际问题解决中，还要注意考虑实际意义.如：关于课本第64页的 “思考”问题，实际上，在货船的安全水深正好与港口水深相等时停止卸货将船驶向较深的水域是不行的，因为这样不能保证船有足够的时间发动螺旋桨．【补充典例】1.sincos tan 256575πππ，，从小到大的顺序是___________. 解：2.已知函数f x x x a ()sin sin =-++2，当f x ()=0有实数解时，求a 的取值范围. 解：3.已知：cos sin sin x x x=+--112，求tan x 的值.解：4.已知π<α<3π2，求1＋sin α1＋cos α－1－cos α＋1－sin α1＋cos α＋1－cos α的值.解：5.（2006年安徽卷）如果111A BC ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，则（） A ．111A B C ∆和222A B C ∆都是锐角三角形； B ．111A B C ∆和222A B C ∆都是钝角三角形；C ．111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆是锐角三角形；D ．111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆是钝角三角形. 解：6.（2005辽宁）ω是正实数，设{|()cos(())S f x x ωθωθ==+是奇函数}，若对每一个实数,(,1)a S a a ω+的元素不超过2个，且有a 使(,1)S a a ω+含有2个元素，则ω的取值范围是；解：7.（2006四川文、理）下列函数中，图像的一部分如右图所示的是( )（A ）sin()6y x π=+ （B ）cos(2)6y x π=- （C ）cos(4)3y x π=- （D ）sin(2)6y x π=-解：8.把函数y=cos(x+34π)的图象向右平移φ个单位，所得的图象正好关于y 轴对称，则φ的最小正值为；解：9.关于函数f(x)=4sin(2x+π3) (x ∈R)，有下列命题：（1）y=f(x )的表达式可改写为y=4cos(2x-π6 );（2）y=f(x )是以2π为最小正周期的周期函数；（3）y=f(x ) 的图象关于点(-π6 ,0)对称;（4）y=f(x ) 的图象关于直线x=-π6 对称; 其中正确的命题序号是___________．解：10.已知函数f(x)=1-2a-2acosx –2sin 2x 的最小值为g(a),a R ∈，（1）求g(a )；（2）若g(a)=21,求此时f(x)的最大值. 解：11.已知)sin()(ϕω+=x x f ⎪⎭⎫⎝⎛<∈2||,πϕωR ，满足)2()(π+-=x f x f ，21)0(=f ，则)cos(2)(ϕω+=x xg 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的最大值与最小值之和为 . 解：12.函数())(0)f x x ωϕω=+>的部分图象如图所示，若23ABC π∠=，则 ω等于（）A ．6π B ．4πC ．3π D ． 12π 解：13.设函数()()sin cos sin cos 2x x x xf x x R +--=∈，若在区间[]0,m 上方程()2f x =-恰有4个解，则实数m 的取值范围是 . 解：。

1.6三角函数模型的简单应用---潮汐问题

1.6 三角函数模型的简单应用—潮汐问题引言三角函数是高中数学中的一个重要概念，其模型在实际问题中有广泛的应用。

本文将以潮汐问题为例，介绍三角函数模型的简单应用。

1. 潮汐问题简介潮汐是指海水在地球上周期性的升高和降低的现象。

潮汐问题涉及到潮汐的周期性变化以及潮汐的高度等问题。

2. 三角函数模型的应用在潮汐问题中，可以使用三角函数模型来描述潮汐的周期性变化。

常用的三角函数模型有正弦函数和余弦函数。

下面将分别介绍它们在潮汐问题中的应用。

2.1 正弦函数正弦函数是三角函数中的一种常见函数，可用来描述周期性变化。

在潮汐问题中，我们可以使用正弦函数来描述潮汐的高度变化。

例如，可以使用如下的正弦函数来表示潮汐的高度变化：h(t) = A * sin(ωt + φ)其中，h(t)表示时刻t的潮汐高度，A表示潮汐的振幅，ω表示潮汐的角频率，φ表示相位。

通过调整参数A、ω、φ，可以根据实际情况对潮汐进行建模。

例如，可以通过观测数据确定潮汐的振幅和周期，从而得到合适的参数值。

2.2 余弦函数余弦函数是另一种常见的三角函数，也可用来描述周期性变化。

在潮汐问题中，我们也可以使用余弦函数来描述潮汐的高度变化。

例如，可以使用如下的余弦函数来表示潮汐的高度变化：h(t) = A * cos(ωt + φ)同样地，通过调整参数A、ω、φ，可以对潮汐进行建模。

3. 实际应用案例现实生活中，三角函数模型的应用不仅局限于潮汐问题，还涉及到其他领域。

以下是一个实际应用案例：在航海中，潮汐对船只的航行起着重要的影响。

航海员需要根据潮汐的变化来调整航线，以确保船只的顺利行驶。

三角函数模型可以用来预测未来一段时间内潮汐的变化，从而帮助航海员制定合理的航行计划。

4. 总结三角函数模型是数学中一个重要的工具，广泛应用于实际问题中。

在潮汐问题中，我们可以使用正弦函数和余弦函数来描述潮汐的周期性变化。

通过调整参数，可以根据实际情况对潮汐进行建模。

《三角函数模型的简单应用》的教学设计

1.6 三角函数模型的简单应用教学设计一、教学分析三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型,可以用来研究很多问题,在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用.三角函数模型的简单应用的设置目的,在于加强用三角函数模型刻画周期变化现象的学习.本节教材通过4个例题,循序渐进地从四个层次来介绍三角函数模型的应用,在素材的选择上注意了广泛性、真实性和新颖性,同时又关注到三角函数性质(特别是周期性)的应用.通过引导学生解决有一定综合性和思考水平的问题,培养他们综合应用数学和其他学科的知识解决问题的能力.培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力.由于实际问题常常涉及一些复杂数据,因此要鼓励学生利用计算机或计算器处理数据,包括建立有关数据的散点图,根据散点图进行函数拟合等.二、教学目标1、知识与技能：掌握三角函数模型应用基本步骤:(1)根据图象建立解析式; (2)根据解析式作出图象; (3)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型.2、过程与方法：选择合理三角函数模型解决实际问题，注意在复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助理解问题。

切身感受数学建模的全过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用及数学和日常生活和其它学科的联系。

3、情态与价值：培养学生数学应用意识;提高学生利用信息技术处理一些实际计算的能力。

三、教学重点与难点教学重点:分析、整理、利用信息,从实际问题中抽取基本的数学关系来建立三角函数模型,用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题.教学难点:将某些实际问题抽象为三角函数的模型,并调动相关学科的知识来解决问题.四、教学过程：三角函数模型的简单应用一、导入新课思路1.(问题导入)既然大到宇宙天体的运动,小到质点的运动以及现实世界中具有周期性变化的现象无处不在,那么究竟怎样用三角函数解决这些具有周期性变化的问题？它到底能发挥哪些作用呢？由此展开新课.思路2.我们已经学习了三角函数的概念、图象与性质,特别研究了三角函数的周期性.在现实生活中,如果某种变化着的现象具有周期性,那么是否可以借助三角函数来描述呢？回忆必修1第三章第二节“函数模型及其应用”,面临一个实际问题,应当如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？以下通过几个具体例子,来研究这种三角函数模型的简单应用.二、推进新课、新知探究、提出问题①回忆从前所学,指数函数、对数函数以及幂函数的模型都是常用来描述现实世界中的哪些规律的?②数学模型是什么,建立数学模型的方法是什么?③上述的数学模型是怎样建立的?④怎样处理搜集到的数据?活动:师生互动,唤起回忆,充分复习前面学习过的建立数学模型的方法与过程.对课前已经做好复习的学生给予表扬,并鼓励他们类比以前所学知识方法,继续探究新的数学模型.对还没有进入状态的学生,教师要帮助回忆并快速激起相应的知识方法.在教师的引导下,学生能够较好地回忆起解决实际问题的基本过程是:收集数据→画散点图→选择函数模型→求解函数模型→检验→用函数模型解释实际问题.这点很重要,学生只要有了这个认知基础,本节的简单应用便可迎刃而解.新课标下的教学要求,不是教师给学生解决问题或带领学生解决问题,而是教师引领学生逐步登高,在合作探究中自己解决问题,探求新知.讨论结果:①描述现实世界中不同增长规律的函数模型.②简单地说,数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括,再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时,所得出的关于实际问题的数学描述.数学模型的方法,是把实际问题加以抽象概括,建立相应的数学模型,利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法.③解决问题的一般程序是:1°审题:逐字逐句的阅读题意,审清楚题目条件、要求、理解数学关系；2°建模:分析题目变化趋势,选择适当函数模型；3°求解:对所建立的数学模型进行分析研究得到数学结论；4°还原:把数学结论还原为实际问题的解答.④画出散点图,分析它的变化趋势,确定合适的函数模型.三、应用示例例1 如图1, 某地一天从6—14时的温度变化曲线近似满足函数y=sin(ωx+φ)+b.图1(1)求这一天的最大温差;(2)写出这段曲线的函数解析式.活动:这道例题是2002年全国卷的一道高考题,探究时教师与学生一起讨论.本例是研究温度随时间呈周期性变化的问题.教师可引导学生思考,本例给出模型了吗？给出的模型函数是什么？要解决的问题是什么？怎样解决？然后完全放给学生自己讨论解决.题目给出了某个时间段的温度变化曲线这个模型.其中第(1)小题实际上就是求函数图象的解析式,然后再求函数的最值差.教师应引导学生观察思考:“求这一天的最大温差”实际指的是“求6是到14时这段时间的最大温差”,可根据前面所学的三角函数图象直接写出而不必再求解析式.让学生体会不同的函数模型在解决具体问题时的不同作用.第(2)小题只要用待定系数法求出解析式中的未知参数,即可确定其解析式.其中求ω是利用半周期(14-6),通过建立方程得解.解:(1)由图可知,这段时间的最大温差是20 ℃.(2)从图中可以看出,从6—14时的图象是函数y=Asin(ωx+φ)+b的半个周期的图象,∴A=(30-10)=10,b=(30+10)=20.∵·=14-6,∴ω=.将x=6,y=10代入上式,解得φ=.综上,所求解析式为y=10sin(x+)+20,x∈[6,14].点评:本例中所给出的一段图象实际上只取6—14即可,这恰好是半个周期,提醒学生注意抓关键.本例所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段的温度变化情况,因此应当特别注意自变量的变化范围,这点往往被学生忽略掉.（互动探究）图5表示的是电流I与时间t的函数关系图5I=Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)在一个周期内的图象.(1)根据图象写出I=Asin(ωx+φ)的解析式;(2)为了使I=Asin(ωx+φ)中的t在任意一段s的时间内电流I能同时取得最大值和最小值,那么正整数ω的最小值为多少?解:(1)由图知A=300,第一个零点为(－,0),第二个零点为(,0),∴ω·(－)+φ=0,ω·+φ=π.解得ω=100π,φ=,∴I=300sin(100πt+).(2)依题意有T≤,即≤,∴ω≥200π.故ωmin=629.例2 做出函数y=|sinx|的图象并观察其周期例3 如图2,设地球表面某地正午太阳高度角为θ,δ为此时太阳直射纬度,φ为该地的纬度值,那么这三个量之间的关系是θ=90°-|φ-δ|.当地夏半年δ取正值,冬半年δ取负值.如果在北京地区(纬度数约为北纬40°)的一幢高为h0的楼房北面盖一新楼,要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡,两楼的距离不应小于多少?活动: 如图2本例所用地理知识、物理知识较多,综合性比较强,需调动相关学科的知识来帮助理解问题,这是本节的一个难点.在探讨时要让学生充分熟悉实际背景,理解各个量的含义以及它们之间的数量关系.首先由题意要知道太阳高度角的定义:设地球表面某地纬度值为φ,正午太阳高度角为θ,此时太阳直射纬度为δ,那么这三个量之间的关系是θ=90°-|φ-δ|.当地夏半年δ取正值,冬半年δ取负值.根据地理知识,能够被太阳直射到的地区为南、北回归线之间的地带,图形如图3,由画图易知太阳高度角θ、楼高h0与此时楼房在地面的投影长h之间有如下关系:h0=htanθ.由地理知识知,在北京地区,太阳直射北回归线时物体的影子最短,直射南回归线时物体的影子最长.因此,为了使新楼一层正午的太阳全年不被遮挡,应当考虑太阳直射南回归线时的情况.图3解:如图3,A、B、C分别为太阳直射北回归线、赤道、南回归线时楼顶在地面上的投影点.要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡,应取太阳直射南回归线的情况考虑,此时的太阳直射纬度－23°26′.依题意两楼的间距应不小于MC.根据太阳高度角的定义,有∠C＝90°－|40°－(－23°26′)|＝26°34′,所以MC＝=≈2.000h0,即在盖楼时,为使后楼不被前楼遮挡,要留出相当于楼高两倍的间距.点评:本例是研究楼高与楼在地面的投影长的关系问题,是将实际问题直接抽象为与三角函数有关的简单函数模型,然后根据所得的函数模型解决问题.要直接根据图2来建立函数模型,学生会有一定困难,而解决这一困难的关键是联系相关知识,画出图3,然后由图形建立函数模型,问题得以求解.这道题的结论有一定的实际应用价值.教学中,教师可以在这道题的基础上再提出一些问题,如下例的变式训练,激发学生进一步探究.变式训练某市的纬度是北纬23°,小王想在某住宅小区买房,该小区的楼高7层,每层3米,楼与楼之间相距15米.要使所买楼层在一年四季正午太阳不被前面的楼房遮挡,他应选择哪几层的房？图4解:如图4,由例3知,北楼被南楼遮挡的高度为h=15tan［90°-(23°+23°26′)］=15tan43°34′≈14.26,由于每层楼高为3米,根据以上数据,所以他应选3层以上.例4货船进出港时间问题:海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近码头;卸货后,在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表:(1)选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系,给出整点时的水深的近似数值(精确到0.001).(2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4米,安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙(船底与洋底的距离),该船何时能进入港口?在港口能呆多久?(3)若某船的吃水深度为4米,安全间隙为1.5米,该船在2:00开始卸货,吃水深度以每小时0.3米的速度减少,那么该船在什么时间必须停止卸货,将船驶向较深的水域?。

高中数学人教A版必修4 第1章 1.6三角函数模型的简单应用

解 (1)y＝|cos x|图象如图所示．
由图象可知：T＝π；y＝|cos x|是偶函数； π 单调递增区间为[－＋kπ，kπ]，k∈Z， 2 π 单调递减区间为[kπ，＋kπ]，k∈Z. 2
根据图象可知，函数 y ＝ |sin x| 的周期是 π ，函数在区间 π π kπ，kπ＋ ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ， kπ－，kπ， k ∈ Z 上递增；在区间 k∈Z 上递减． 2 2
研一研·问题探究、课堂更高效
§1.6
探究点二
利用三角函数模型解释自然现象
在客观世界中，周期现象广泛存在．潮起潮落、星月运转、昼夜更替、四季轮换，甚至连人的情绪、体力、智力等心
填一填·知识要点、记下疑难点 2．函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋k (A>0，ω>0)的性质
§1.6
本课时栏目开关
(1)ymax＝ A＋k ，ymin＝－A＋k . ymax－ymin ymax＋ymin 2 (2)A＝，k＝ . 2 2π (3)ω 可由 ω＝ T 确定，其中周期 T 可观察图象获得． π (4)由 ωx1＋φ＝ 0 ，ωx2＋φ＝ 2 ，ωx3＋φ＝ π ，ωx4＋φ 3 ＝ 2π ，ωx5＋φ＝ 2π 中的一个确定 φ 的值． 3．三角函数模型的应用三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用.
本课时栏目开关
理、生理状况都呈现周期性变化．而三角函数模型是刻画周期性问题的最优秀的数学模型．利用三角函数模型解决实际问题的具体步骤如下： (1)收集数据，画出“散点图”； (2)观察“散点图”，进行函数拟合，当散点图具有波浪形的特征时，便可考虑应用正弦函数和余弦函数模型来解决；

高中数学必修4(人教A版)第一章三角函数1.6知识点总结含同步练习及答案

21 24 7.9 11.1
经长期观察，函数 y = f (t) 的图象可以近似地看成函数 y = k + A sin (ωt + φ) 的图象．下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是 ( A．y = 11 + 3 sin (
)
π π t + ) , t ∈ [0, 24] 12 2 π B．y = 11 + 3 sin ( t + π) , t ∈ [0, 24] 6 π C．y = 11 + 3 sin t , t ∈ [0, 24] 12 π D．y = 11 + 3 sin t , t ∈ [0, 24] 6
π π t + ) ， t ∈ [0, 24] 12 2 π B． y = 11 + 3 sin ( t + π) ， t ∈ [0, 24] 6 π C． y = 11 + 3 sin t ， t ∈ [0, 24] 6 π D． y = 11 + 3 sin t ， t ∈ [0, 24] 12
3. 某城市一年中 12 个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数 y = a + A cos
π (x − 6) ( 6
x = 1, 2, 3, ⋯ , 12 ) 来表示，已知 6 月份的月平均气温最高，为 28∘ C ， 12 月份的月平均气温最
低，为 18∘ C ，则 10 月份的平均气温值为
B．[1, 7]
D．[0, 1] 和 [7, 12]
2π π π 弧度，从而经过 t 秒转了 = t 弧度． 12 6 6 1 √3 π 而 t = 0 时，点 A ( , ．经过 t 秒后点 A 的纵坐标为 ) ，则 ∠xOA = 2 2 3

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