多元函数的微分学

, 对M1(1, 0.5, 1) 点
1 1
y −x y − 1 − 3x 2xy + x dz . = =− dx z z 切向量
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T = {1, y′ M , z′ M } = {1, 2, − 2}, x x
, 对 M1(1, 0.5, 1) 点
x − x0 y − y0 z − z 0 = = ∆x ∆y ∆z
考察割线趋近于极限位置 ——切线的过程 切线的过程, 切线的过程
L
z
•
•
M′
T
M
x
o
y
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考察割线趋近于极限位置
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——切线的过程 切线的过程 上式分母同除以 ∆t ,
法平面方程为
( x − x0 ) + y ′(t 0 )( y − y0 ) + z ′(t 0 )( z − z 0 ) = 0
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2.曲线由一般方程给出的情形 曲线由一般方程给出的情形
F ( x, y, z ) = 0 M(x0, y0, z0)为 设空间曲线方程为L: 为 设空间曲线方程为 G( x, y, z ) = 0
在该点偏导数连续且不全为零. 在该点偏导数连续且不全为零 M 0 ( x0 , y0 , z 0 ) ∈ Σ , F ( x , y , z ) 的任一曲线: Γ 是曲面上过 M 0 的任一曲线
x = x( t ) Γ : y = y( t ) z = z( t )
r n
M
r T
法平面方程为
( x − 1 ) + 0 ⋅ ( y + 2 ) − ( z − 1 ) = 0 , x − z = 0.
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练习1 练习
y = 2x − 1 求曲线 z = 3 x2 − 2
方程。 在(0,−1,−2)处的切线方程和法平面 方程。
下由例题给出求解方法
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例2 求曲线 x 2 + y 2 + z 2 = 6 ， x + y + z = 0 在点 处的切线及法平面方程. (1,−2, 1)处的切线及法平面方程
解
2 xdx + 2 ydy + 2 zdz = 0 (1) ; dx + dy + dz = 0
M
x
o
y
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设 M ( x0 , y0 , z0 ), M ′( x0 + ∆x , y0 + ∆y , z0 + ∆z )
是曲线L上的两点 且分别 是曲线 上的两点,且分别 对应于 t = t 0和 t = t 0 + ∆t . 上的两点 割线 MM ′ 的方程为
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二.曲面的切平面与法线 曲面的切平面与法线
哈 尔 滨 工 程 大 学 微 积 分 的任意曲线的切线都位于同一平面 同一平面. 若曲面 Σ上过点 M 0 的任意曲线的切线都位于同一平面 过 M 0且与切平面垂直的直线 且与切平面垂直的直线 1.设曲面方程为F( x, y, z) = 0 设曲面方程为 法线 切平面
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{ dx = 1, dy = 0, dz = －1为非零解 } 为非零解
dy dz = 0, = −1, ⇒ dx dx
由此得切向量
r dx dy dz T ={ , , } = {1, 0, − 1}; dx dx dx
x −1 y + 2 z −1 ; = = 求切线方程为 1 0 −1
1 1 M1(1, , 1), M2 (1, , −1). 2 2
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求导， 将所给方程的两端对 x 求导，
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2x + 2 y dy + 2z dz = 0, dx dx dy 6x + 2( y − 1) + 2z dz = 0, dx dx
解 Q y′ = 2, z′ = 6 x , v ∴ T = (1, y′( 0), z ′( 0)) = (1,2,0), ∴ 切线方程 x − 0 = y + 1 = z + 2 , 1 2 0
法平面方程
x + 2( y + 1) = 0 ,
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即 x + 2y + 2 = 0 。
x = t 看作参数， 此时可把 x 看作参数，即参数方程为 y = y ( t ) z = z(t ) 在 M ( x 0 , y 0 , z 0 ), 即 t =t0 处，
y = y( x ) 空间曲线方程为 , z = z( x )
切线方程为 x − x y − y0 z − z0 0 = = 1 y ′( t 0 ) z ′( t 0 )
( 2) 将 x = 1, y = −2, z = 1 代入上式 :
dy dz −2 + = −1 dx − 2dy + dz = 0 dx dx ( 3) dx + dy + dz = 0 ⇒ dy dz + =1 dx dx
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v ∴ T = { x′( t 0 ), y′( t 0 ), z ′( t 0 )}
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F ( x ( t ), y ( t ), z ( t )) = 0
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切向量 T = {1, y′ M , z′ M } = {1, 2, − 2}, x x
1 1
切线方程 法平面方程
x − 1 y − 0.5 z − 1 . = = 1 2 −2
( x − 1) + 2( y − 0.5) − 2(z − 1) = 0 x + 2 y − 2z = 0.
, 对 M2(1, 0.5, − 1) 点
切向量 T = {1, y′ M , z′ M } = {1, 2, 2}, x x
2 2
切线方程
x − 1 = y − 0.5 = zቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ− 1 . 1 2 2 法平面方程 ( x − 1) + 2( y − 0.5) + 2(z − 1) = 0
x + 2 y + 2z − 4 = 0.
切线方程: 切线方程
x −0 y −1 z − 2 = = , 1 2 3
法平面方程: 法平面方程 x + 2( y − 1) + 3( z − 2) = 0,
x + 2 y + 3 z − 8 = 0.
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特殊情况： 特殊情况：
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x′(t0 )( x − x0 ) + y′(t0 )( y − y0 ) + z′(t0 )(z − z0 ) = 0
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例 1 求曲线Γ :
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x = ∫0e cos udu ， y = 2 sin t + cos t ， z = 1 + e 3 t
解
1 + y2 + z2 = 9 , 将 x = 1 代入方程组， 代入方程组， 4 17 3 + ( y − 1)2 + z2 = , 解方程组得， 解方程组得， 4
1 y = , 2 z = 1,
1 y = , 2 z = −1,
x = 1 处的点为
重点与难点
重点：多元函数的概念， 重点：多元函数的概念，偏导数与全微分的概 多元复合函数的求导法则， 念，多元复合函数的求导法则，用拉格 朗日条件极值求最大值应用问题，方向 朗日条件极值求最大值应用问题， 导数与梯度。 导数与梯度。 难点：全微分的概念，多元复合函数的求导法则。 难点：全微分的概念，多元复合函数的求导法则。
t u
处的切线和法平面方程. 在 t = 0处的切线和法平面方程
解 当 t = 0 时，x = 0, y = 1, z = 2,
′ = 2 cos t − sin t , z ′ = 3e 3 t ; x ′ = e cos t , y
t
x′(0) = 1, y′(0) = 2, z ′( 0 ) = 3.
《微积分》A 微积分》
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第八章 多 元 函 数 微 分 学
教学内容和基本要求 理解多元函数的极限与连续概念,以及有界闭区域上 理解多元函数的极限与连续概念 以及有界闭区域上 连续函数的性质。 连续函数的性质。 理解偏导数和全微分的概念, 理解偏导数和全微分的概念 了解全微分存在的必 要和充分条件。理解方向导数和梯度的概念， 要和充分条件。理解方向导数和梯度的概念，并掌 握其计算方法。掌握复合函数一阶、 握其计算方法。掌握复合函数一阶、二阶偏导数的 求法。会求隐函数的偏导数和全导数。 求法。会求隐函数的偏导数和全导数。 了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的 概念，会求二元函数的极值， 概念，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法 求条件极值，会求简单函数的最大值和最小值， 求条件极值，会求简单函数的最大值和最小值，会 解一些简单应用题。 解一些简单应用题。
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§8.6 微分法在几何上的应用 一、空间曲线的切线与法平面 1、曲线由参数方程给出的情形 、 设空间L曲线的参数方程为 设空间 曲线的参数方程为
x = x(t ) y = y(t ) z = z(t )
L
(1)
z
•
•
M′
假定(1)式中的三个函数均可导。 假定 式中的三个函数均可导。 式中的三个函数均可导 且导数在M点不同时为零 且导数在 点不同时为零. 点不同时为零
y = y(x) z = z(x)
dy y + z dz = −x, D = y z = z ≠ 0 时， dx dx y −1 z dy ( y − 1) + z dz = −3x, 方程组有唯一解。 方程组有唯一解。 dx dx
−x z dy − 3x z = = 2x, dx z
曲线上的一点,此函数方程组可确定 曲线上的一点 此函数方程组可确定 y,z 是x 的隐 函数,即曲线可用 隐式 方程: 函数 即曲线可用(隐式 方程 即曲线可用 隐式)方程
y = y( x ) 来表示 z = z( x ) dy dz , 中特殊情况知,只需求 由1中特殊情况知 只需求 中特殊情况知 dx dx
z
•
•
M′
T
M
x − x0 y − y0 z − z0 , = = ∆x ∆y ∆z ∆t ∆t ∆t
当 M ′ → M , 即 ∆ t → 0时 ,
x
o
y
曲线在M处的切线方程 曲线在 处的切线方程 处的
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切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量, 切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量 如下向量为其中之一, 如下向量为其中之一 r T = { x ′( t 0 ), y ′( t 0 ), z ′( t 0 ) } 过点 M 与切线垂直的平面称为曲线 在点 处 与切线垂直的平面称为曲线L在点 在点M处 的法平面 法平面： 点且与切线垂直的平面, 法平面：过M点且与切线垂直的平面 即 点且与切线垂直的平面
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9 （球面） 2 2 2 求曲线 x + y + z = 4 , 球面） 练习2 练习 3x2 + ( y −1)2 + z2 = 17（椭球面） , 椭球面） 4 处的切线方程和法平面方程。 上对应于 x = 1 处的切线方程和法平面方程。