高中数学人教A版高二选修22：课时跟踪检测(三)_几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式 含解析

高中数学人教A 版高二选修22：课时跟踪检测(三)_几个常用

函数的导数和基本初等函数的导数公式 含解析

课时跟踪检测（三） 几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式

层级一 学业水平达标

1．已知函数f (x )＝x 3的切线的斜率等于3，则切线有( )

A ．1条

B ．2条

C ．3条

D ．不确定

解析：选B ∵f ′(x )＝3x 2＝3，解得x ＝±1.切点有两个，即可得切线有2条．

2．曲线y ＝e x 在点A (0,1)处的切线斜率为( )

A ．1

B ．2

C ．e D.1e

解析：选A 由条件得y ′＝e x ，根据导数的几何意义，可得k ＝y ′|x ＝0＝e 0＝1.

3．已知f (x )＝－3x 53，则f ′(22)＝( )

A ．10

B ．－5x 23

C ．5

D ．－10 解析：选D ∵f ′(x )＝－5x 53，∴f ′(22)＝－5×223×23

＝－10，故选D. 4．已知f (x )＝x α，若f ′(－1)＝－2，则α的值等于( )

A ．2

B ．－2

C ．3

D ．－3

解析：选A 若α＝2，则f (x )＝x 2，∴f ′(x )＝2x ，

∴f ′(－1)＝2×(－1)＝－2适合条件．故应选A.

5. 曲线y ＝13

x 3在x ＝1处切线的倾斜角为( ) A ．1

B ．－π4 C.π4 D.5π4

解析：选C ∵y ′＝x 2，∴y ′|x ＝1＝1，

∴切线的倾斜角α满足tan α＝1，∵0≤α<π，∴α＝π4

. 6．曲线y ＝ln x 在点M (e,1)处的切线的斜率是________，切线方程为____________．

解析：∵y ′＝(ln x )′＝1x ，∴y ′|x ＝e ＝1e

. ∴切线方程为y －1＝1e

(x －e)，即x －e y ＝0. 答案：1e

x －e y ＝0

7．已知f (x )＝a 2(a 为常数)，g (x )＝ln x ，若2x [f ′(x )＋1]－g ′(x )＝1，则x ＝________.

解析：因为f ′(x )＝0，g ′(x )＝1x

， 所以2x [f ′(x )＋1]－g ′(x )＝2x －1x ＝1.

解得x ＝1或x ＝－12

，因为x ＞0，所以x ＝1. 答案：1

8．设坐标平面上的抛物线C ：y ＝x 2，过第一象限的点(a ，a 2)作抛物线C 的切线l ，则直线l 与y 轴的交点Q 的坐标为________．

解析：显然点(a ，a 2)为抛物线C ：y ＝x 2上的点，∵y ′＝2x ，∴直线l 的方程为y －a 2＝2a (x －a )． 令x ＝0，得y ＝－a 2，∴直线l 与y 轴的交点的坐标为(0，－a 2)．

答案：(0，－a 2)

9．求下列函数的导数：

(1)y ＝x 8；(2)y ＝4x ；(3)y ＝log 3x ；

(4)y ＝sin ⎝⎛⎭

⎫x ＋π2；(5)y ＝e 2. 解：(1)y ′＝(x 8)′＝8x 8－

1＝8x 7. (2)y ′＝(4x )′＝4x ln 4.

(3)y ′＝(log 3x )′＝1x ln 3

. (4)y ′＝(cos x )′＝－sin x .

(5)y ′＝(e 2)′＝0.

10．已知P (－1,1)，Q (2,4)是曲线y ＝x 2上的两点，

(1)求过点P ，Q 的曲线y ＝x 2的切线方程．

(2)求与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程．

解：(1)因为y ′＝2x ，P (－1,1)，Q (2,4)都是曲线y ＝x 2上的点．

过P 点的切线的斜率k 1＝y ′|x ＝－1＝－2，

过Q 点的切线的斜率k 2＝y ′|x ＝2＝4，

过P 点的切线方程：y －1＝－2(x ＋1)，即2x ＋y ＋1＝0.

过Q 点的切线方程：y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.

(2)因为y ′＝2x ，直线PQ 的斜率k ＝

4－12＋1

＝1， 切线的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝2x 0＝1，

所以x 0＝12

，所以切点M ⎝⎛⎭⎫12，14， 与PQ 平行的切线方程为：

y －14＝x －12

，即4x －4y －1＝0.

层级二 应试能力达标

1．质点沿直线运动的路程s 与时间t 的关系是s ＝5t ，则质点在t ＝4时的速度为( )

A.12523

B.110523

C.25523

D.110

523 解析：选B ∵s ′＝15t －45

.∴当t ＝4时， s ′＝15·1544＝110523

. 2．直线y ＝12

x ＋b 是曲线y ＝ln x (x ＞0)的一条切线，则实数b 的值为( ) A ．2

B ．ln 2＋1

C ．ln 2－1

D ．ln 2

解析：选C ∵y ＝ln x 的导数y ′＝1x ，

∴令1x ＝12

，得x ＝2，∴切点为(2，ln 2)． 代入直线y ＝12

x ＋b ，得b ＝ln 2－1. 3．在曲线f (x )＝1x 上切线的倾斜角为34

π的点的坐标为( ) A ．(1,1)

B ．(－1，－1)

C ．(－1,1)

D ．(1,1)或(－1，－1)

解析：选D 因为f (x )＝1x ，所以f ′(x )＝－1x 2，因为切线的倾斜角为34

π，所以切线斜率为－1， 即f ′(x )＝－1x

2＝－1，所以x ＝±1， 则当x ＝1时，f (1)＝1；

当x ＝－1时，f (1)＝－1，则点坐标为(1,1)或(－1，－1)．

4．设曲线y ＝x n ＋

1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则x 1·x 2·…·x n 的值为( ) A. 1n B.1n ＋1 C.n n ＋1

D ．1 解析：选B 对y ＝x n ＋1(n ∈N *)求导得y ′＝(n ＋1)x n . 令x ＝1，得在点(1,1)处的切线的斜率k ＝n ＋1，

∴在点(1,1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x n －1)．令y ＝0，得x n ＝

n n ＋1

，∴x 1·x 2·…·x n ＝12×23×34×…×n －1n ×n n ＋1＝1n ＋1

， 故选B.