破除“封闭”形式,走上“开放”取向——设计开放题的实践与思考
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之间看似并列 ， 实则递进 第 （ ２ ） 问的求解仍然可 以受到例２
籀 黧 黼 中。 ７ 擞’ ？初 中 版
２ ０ １ ３ 年１ ２ 月
思考 的． 同样 的问题 出现在第二 问 ， 对 角线垂直这 个 回答
备 考 指 南
九年 级专 门有一章 “ 锐角三角 函数 ” ．特别是上 述不 同问
ＡＡ Ｂ Ｃ中 ， Ｃ Ｂ ＝ ９ ０ 。 ， Ｃ Ａ＝ Ｃ ＝
（ ３ ） 若点Ⅳ 在线段Ａ 上 ， 设点Ｅ 关 于直线Ａ Ｂ 对称点为
Ｆ ， 直线 与 ｃ 胶 于点日， 是否存在点Ⅳ， 使得 ／ ＿Ｃ Ｈ Ｆ ＝ ４ ５ 。 ？
若存在 ， 请直接指 出点Ⅳ 的位置 ； 若不存在 ， 请说 明理 由． 改编说 明： 做 出上述改编与例 １ 的主要 区别在于 ： 弱化
一
（ １ ） 在筝形Ａ Ｂ Ｃ Ｄ中， 哪一组对角相等？ 为什么？
（ ２ ） 你 发现筝形Ａ Ｂ Ｃ Ｄ的对角线有 什么性 质？ 请说 明
理 由．
（ ３ ） 若Ａ Ｃ ＝ ６ ｃ ｍ， Ｂ Ｄ ＝ ８ ｃ ｍ， 求 筝形Ａ ∞ 的面积． （ ４ ） 若￣ － Ｂ Ａ Ｄ ＝ ９ ０ 。 ， Ａ Ｄ＝ ４ ｃ ｍ， Ｂ Ｃ ＝ ６ ｅ ｍ， 求 筝形Ａ Ｂ Ｃ Ｄ
６ 、 ／ ， Ｃ ＤＬ Ａ Ｂ于 点Ｅ 在直线
图 Ｄ
７
Ｃ Ｄ ￣ ， Ｄ Ｅ ＝ 丢 ｃ Ｄ ， 点 脏 线 段 Ａ 曰 上 ， 是 的 中 点 ， 直 线
求 肭 长． （ 考虑两解 ） 皿
了直角三角形的边长“ ６ 、 ／ ” ， 题干表述更简洁， 三个小问 ＡＥ 与直线 ｃ 胶 于Ⅳ 点． 当 Ｃ Ｎ Ｅ ＝ ４ ５ 。 时， 请 补全 图形 ， 并
备 考 指 南
２ Ｏ １ ３ 年１ ２ 月
破除“ 封闭’— —
设计 开放题 的 实践 与思考
李 芹
⑩ 山 东省 博 兴 县 实验 中 学
近读 文１ ， 作者从 “ 开放 ” 的角度对 ２ ０ １ ３ 年中考命题进 行 了“ 另类 解析 ” ， 并给 出“ 教学导 向” ， 引发 强烈 的共 鸣． 受此启发 ，笔者结合 近期教学实践 中改 编而成 的几何开 放题 ， 谈谈 自己对设计 开放题 的命题 思考 ， 与大家研讨．
ＡＣ Ｂ Ｇ ） ， 从而获得贯通． 事 实上 ， 我们也可发现例 １ 第（ ２ ） 问的一 个深层结 构 ， 即将例 ２ 的“ 模式 图形” 去 除一半 ， 以
那 种 图形模式 的影 响贯通思路． 第（ ３ ） 问使用一 个强化条
件： “ 设点联 于直缆 ４ 对称点为 ’ ， 与例１ 题 干 中的“ 点Ｅ
的面积．
、
开 放题 案例 与命题 意 图
需要 说 明的是 ， 下 面提供 的改编题
均 来 源于 人教 版义 务 教育 教科 书数 学
八年级上册． ～
Ｇ
命题意 图 ：这是笔者在全等章末复 习课时开发 的一 道试 题 ，用作 课 堂上 的一 个 复 习活 动． “ 用全 等研 究 筝 形” ， 这是什么意图呢？ 笔者是想告诉 同学们 ， 全等是一种 工具 ， 利用这种工具可 以研究很多 图形及其性质 ， 即使 在
Ｄ Ｍ Ｂ
在直线∞ 上， ÷ｃ Ｄ ” 一致 ， 但是在上述改编中提及“ 轴
２
对称 ” 这样 的关键词 ， 也是在 暗示第 （ ３ ） 问的图形（ 点Ⅳ ） 其 实就是第 （ ２ ） 问 的图形 （ 点Ⅳ） 关 于直线 Ｃ 称点．
改编题 ２ ： 如 图１ ， 已知在 ＡＡ Ｂ Ｃ 中， ／ ＿ Ａ Ｃ Ｂ ＝ ９ ０ ｏ ， Ｃ Ａ＝
１
等腰 三角形 为载体设 计 问题． 更 为重要 的是 ， 例２ 中的数 据“ ６ 、 ／ ” 也是多余条 件 ， 可 以弱化． 理 解 了上述 深层结 构， 我们很容易将例 １ 做 出如下 的改编． 三、 改 编 试 题
改编题 １ ： 如 图６ ， 已知在 ＡＡ Ｂ Ｃ
中， Ｃ Ｂ ＝ ９ ０ 。 ， Ｃ Ａ ＝ Ｃ Ｂ， Ｃ Ｄ 为Ａ 边
之 间用三种 问题表 征 ， 需 要学生洞察 出一致 ： “ 当／Ｂ ＝ ６ ０ 。
可以， 但还 不够精准．
．
Ｃ Ｂ， Ｃ Ｄ为Ａ Ｂ 边上 的高 ，点 ， 分另 ４ 是Ｃ Ｄ， Ｂ Ｄ的中点 ， 连 接Ａ Ｅ， Ｃ Ｍ． 若点Ⅳ 在线段Ａ Ｄ 上， 且Ａ Ⅳ－ ２ 肋 ， 直线 Ｃ Ⅳ与ＡＥ 相交 于点 Ｇ ． 求证 ： Ｂ Ｄ ２ ＋ Ｅ 加２ ． 改编题４ ：如 图 ７ ， 已知 在
ｃ
Ｃ Ｂ， Ｃ Ｄ为Ａ Ｂ 边上 的高 ，点Ｅ， 分别是 Ｃ Ｄ， Ｂ Ｄ的中点 ， 连
图６
挠４ Ｅ， Ｃ Ｍ． 若点＾ 在 线段Ａ Ｄ 上， 且Ａ Ｎ ＝ ２ Ｎ Ｄ； 直 线Ｃ Ｎ 与Ａ层 相交 于点 Ｇ ， 则 ＝ 一 （ 答案： ４ ５ 。 ）
改编题 ３ ： 如 图ｌ ， 已知在 ＡＡ Ｂ Ｃ 中 Ａ Ｃ Ｂ ＝ ９ ０ 。 ， Ｃ Ａ＝
上 的高 ， 点Ｅ， Ｍ分别是Ｃ Ｄ， Ｂ Ｄ 的中点 ， 连接Ａ Ｅ， Ｃ Ｍ．
（ １ ）请分别 写 出线段Ａ Ｅ 和Ｃ 之间 的位 置关 系和数 （ ２ ） 若点Ⅳ 在线段Ａ Ｄ 上， 且Ａ Ｎ ＝ ２ Ｎ Ｄ， 直线Ｃ Ｎ 与４ Ｅ 相
交于点Ｇ， 求证 ： ／Ｃ Ｎ Ｅ ＝ ４ ５ 。 ．
题 例 １ 我们把 两组邻 边分 别相 等 的四边形 叫做 “ 筝形 ” ．
如图１ ，四边形Ａ Ｂ Ｃ Ｄ是一个 筝形 ，
其 中Ａ Ｄ ＝ Ｃ Ｄ， Ａ Ｂ ＝ Ｃ Ｂ ． 图１
八 年级下册 ， 筝形虽不是研究的重点 ， 但是我们却可 以借
助于全等这个工具来研究 、 认识 、 开拓陌生的特殊 图形． （ １ ） 不 少同学解答第 一问时就 回答 不精准 ， 这是需要
籀 黧 黼 中。 ７ 擞’ ？初 中 版
２ ０ １ ３ 年１ ２ 月
思考 的． 同样 的问题 出现在第二 问 ， 对 角线垂直这 个 回答
备 考 指 南
九年 级专 门有一章 “ 锐角三角 函数 ” ．特别是上 述不 同问
ＡＡ Ｂ Ｃ中 ， Ｃ Ｂ ＝ ９ ０ 。 ， Ｃ Ａ＝ Ｃ ＝
（ ３ ） 若点Ⅳ 在线段Ａ 上 ， 设点Ｅ 关 于直线Ａ Ｂ 对称点为
Ｆ ， 直线 与 ｃ 胶 于点日， 是否存在点Ⅳ， 使得 ／ ＿Ｃ Ｈ Ｆ ＝ ４ ５ 。 ？
若存在 ， 请直接指 出点Ⅳ 的位置 ； 若不存在 ， 请说 明理 由． 改编说 明： 做 出上述改编与例 １ 的主要 区别在于 ： 弱化
一
（ １ ） 在筝形Ａ Ｂ Ｃ Ｄ中， 哪一组对角相等？ 为什么？
（ ２ ） 你 发现筝形Ａ Ｂ Ｃ Ｄ的对角线有 什么性 质？ 请说 明
理 由．
（ ３ ） 若Ａ Ｃ ＝ ６ ｃ ｍ， Ｂ Ｄ ＝ ８ ｃ ｍ， 求 筝形Ａ ∞ 的面积． （ ４ ） 若￣ － Ｂ Ａ Ｄ ＝ ９ ０ 。 ， Ａ Ｄ＝ ４ ｃ ｍ， Ｂ Ｃ ＝ ６ ｅ ｍ， 求 筝形Ａ Ｂ Ｃ Ｄ
６ 、 ／ ， Ｃ ＤＬ Ａ Ｂ于 点Ｅ 在直线
图 Ｄ
７
Ｃ Ｄ ￣ ， Ｄ Ｅ ＝ 丢 ｃ Ｄ ， 点 脏 线 段 Ａ 曰 上 ， 是 的 中 点 ， 直 线
求 肭 长． （ 考虑两解 ） 皿
了直角三角形的边长“ ６ 、 ／ ” ， 题干表述更简洁， 三个小问 ＡＥ 与直线 ｃ 胶 于Ⅳ 点． 当 Ｃ Ｎ Ｅ ＝ ４ ５ 。 时， 请 补全 图形 ， 并
备 考 指 南
２ Ｏ １ ３ 年１ ２ 月
破除“ 封闭’— —
设计 开放题 的 实践 与思考
李 芹
⑩ 山 东省 博 兴 县 实验 中 学
近读 文１ ， 作者从 “ 开放 ” 的角度对 ２ ０ １ ３ 年中考命题进 行 了“ 另类 解析 ” ， 并给 出“ 教学导 向” ， 引发 强烈 的共 鸣． 受此启发 ，笔者结合 近期教学实践 中改 编而成 的几何开 放题 ， 谈谈 自己对设计 开放题 的命题 思考 ， 与大家研讨．
ＡＣ Ｂ Ｇ ） ， 从而获得贯通． 事 实上 ， 我们也可发现例 １ 第（ ２ ） 问的一 个深层结 构 ， 即将例 ２ 的“ 模式 图形” 去 除一半 ， 以
那 种 图形模式 的影 响贯通思路． 第（ ３ ） 问使用一 个强化条
件： “ 设点联 于直缆 ４ 对称点为 ’ ， 与例１ 题 干 中的“ 点Ｅ
的面积．
、
开 放题 案例 与命题 意 图
需要 说 明的是 ， 下 面提供 的改编题
均 来 源于 人教 版义 务 教育 教科 书数 学
八年级上册． ～
Ｇ
命题意 图 ：这是笔者在全等章末复 习课时开发 的一 道试 题 ，用作 课 堂上 的一 个 复 习活 动． “ 用全 等研 究 筝 形” ， 这是什么意图呢？ 笔者是想告诉 同学们 ， 全等是一种 工具 ， 利用这种工具可 以研究很多 图形及其性质 ， 即使 在
Ｄ Ｍ Ｂ
在直线∞ 上， ÷ｃ Ｄ ” 一致 ， 但是在上述改编中提及“ 轴
２
对称 ” 这样 的关键词 ， 也是在 暗示第 （ ３ ） 问的图形（ 点Ⅳ ） 其 实就是第 （ ２ ） 问 的图形 （ 点Ⅳ） 关 于直线 Ｃ 称点．
改编题 ２ ： 如 图１ ， 已知在 ＡＡ Ｂ Ｃ 中， ／ ＿ Ａ Ｃ Ｂ ＝ ９ ０ ｏ ， Ｃ Ａ＝
１
等腰 三角形 为载体设 计 问题． 更 为重要 的是 ， 例２ 中的数 据“ ６ 、 ／ ” 也是多余条 件 ， 可 以弱化． 理 解 了上述 深层结 构， 我们很容易将例 １ 做 出如下 的改编． 三、 改 编 试 题
改编题 １ ： 如 图６ ， 已知在 ＡＡ Ｂ Ｃ
中， Ｃ Ｂ ＝ ９ ０ 。 ， Ｃ Ａ ＝ Ｃ Ｂ， Ｃ Ｄ 为Ａ 边
之 间用三种 问题表 征 ， 需 要学生洞察 出一致 ： “ 当／Ｂ ＝ ６ ０ 。
可以， 但还 不够精准．
．
Ｃ Ｂ， Ｃ Ｄ为Ａ Ｂ 边上 的高 ，点 ， 分另 ４ 是Ｃ Ｄ， Ｂ Ｄ的中点 ， 连 接Ａ Ｅ， Ｃ Ｍ． 若点Ⅳ 在线段Ａ Ｄ 上， 且Ａ Ⅳ－ ２ 肋 ， 直线 Ｃ Ⅳ与ＡＥ 相交 于点 Ｇ ． 求证 ： Ｂ Ｄ ２ ＋ Ｅ 加２ ． 改编题４ ：如 图 ７ ， 已知 在
ｃ
Ｃ Ｂ， Ｃ Ｄ为Ａ Ｂ 边上 的高 ，点Ｅ， 分别是 Ｃ Ｄ， Ｂ Ｄ的中点 ， 连
图６
挠４ Ｅ， Ｃ Ｍ． 若点＾ 在 线段Ａ Ｄ 上， 且Ａ Ｎ ＝ ２ Ｎ Ｄ； 直 线Ｃ Ｎ 与Ａ层 相交 于点 Ｇ ， 则 ＝ 一 （ 答案： ４ ５ 。 ）
改编题 ３ ： 如 图ｌ ， 已知在 ＡＡ Ｂ Ｃ 中 Ａ Ｃ Ｂ ＝ ９ ０ 。 ， Ｃ Ａ＝
上 的高 ， 点Ｅ， Ｍ分别是Ｃ Ｄ， Ｂ Ｄ 的中点 ， 连接Ａ Ｅ， Ｃ Ｍ．
（ １ ）请分别 写 出线段Ａ Ｅ 和Ｃ 之间 的位 置关 系和数 （ ２ ） 若点Ⅳ 在线段Ａ Ｄ 上， 且Ａ Ｎ ＝ ２ Ｎ Ｄ， 直线Ｃ Ｎ 与４ Ｅ 相
交于点Ｇ， 求证 ： ／Ｃ Ｎ Ｅ ＝ ４ ５ 。 ．
题 例 １ 我们把 两组邻 边分 别相 等 的四边形 叫做 “ 筝形 ” ．
如图１ ，四边形Ａ Ｂ Ｃ Ｄ是一个 筝形 ，
其 中Ａ Ｄ ＝ Ｃ Ｄ， Ａ Ｂ ＝ Ｃ Ｂ ． 图１
八 年级下册 ， 筝形虽不是研究的重点 ， 但是我们却可 以借
助于全等这个工具来研究 、 认识 、 开拓陌生的特殊 图形． （ １ ） 不 少同学解答第 一问时就 回答 不精准 ， 这是需要