高数模拟试卷4及答案
2024年高考数学模拟试题与答案解析
2024年高考数学模拟试题与答案解析一、选择题1.设集合A={x|x=2k,k∈Z}，B={x|x=3k,k∈Z}，则A∩B={()}A.{x|x=6k,k∈Z}B.{x|x=2k,k∈Z}C.{x|x=3k,k∈Z}D.{x|x=k,k∈Z}【答案】B解析：集合A包含所有2的倍数，集合B包含所有3的倍数。
A ∩B表示同时属于A和B的元素，即同时是2和3的倍数的数，也就是6的倍数。
所以A∩B={x|x=6k,k∈Z}，故选B。
2.若函数f(x)=x²-4x+c的图像的对称轴是x=2，则c的值为()A.4B.3C.2D.1【答案】A解析：函数f(x)=x²-4x+c的图像的对称轴是x=-b/2a，即x=2。
根据对称轴的公式，得到-(-4)/(21)=2，解得c=4。
故选A。
3.已知等差数列的前n项和为Sn=n(a1+an)/2，若S3=18，S6-S3=24，则a4的值为()A.6B.8C.10D.12【答案】B解析：根据等差数列的前n项和公式，得到S3=3(a1+a3)/2=18，即a1+a3=12。
又因为S6-S3=24，得到a4+a5+a6=24。
由等差数列的性质，a3+a6=a4+a5。
将a3+a6替换为a4+a5，得到3a4+3a5=48，即a4+a5=16。
解方程组a1+a3=12和a4+a5=16，得到a4=8。
故选B。
二、填空题4.若|x-2|≤3，则|x+1|的取值范围是______【答案】-2≤x≤5解析：由|x-2|≤3，得到-3≤x-2≤3，即-1≤x≤5。
再由|x+1|的图像可知，当-3≤x≤5时，|x+1|的取值范围是-2≤x≤5。
5.已知函数f(x)=2x²-3x+1，求f(1/2)的值。
【答案】3/4解析：将x=1/2代入函数f(x)，得到f(1/2)=2(1/2)²-3(1/2)+1=2/4-3/2+1=3/4。
三、解答题6.（1）求证：对任意正整数n，都有n²+2n+1≥n+2。
高三数学模拟四试卷答案
一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，若f(x)在区间[1,2]上存在零点，则下列结论正确的是（）A. f(1) = 0B. f(2) = 0C. f(1)f(2) < 0D. f(1)f(2) > 0答案：C解析：由零点定理，如果函数在某个区间内连续，且在该区间的两端函数值异号，则该区间内至少存在一个零点。
计算f(1) = -2，f(2) = 2，故f(1)f(2) < 0，正确。
2. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5 = 50，S10 = 150，则公差d的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B解析：由等差数列前n项和的公式Sn = n(a1 + an)/2，可得S5 = 5(a1 + a5)/2 = 50S10 = 10(a1 + a10)/2 = 150由S5 = 50得a1 + a5 = 20，由S10 = 150得a1 + a10 = 30又因为a5 = a1 + 4d，a10 = a1 + 9d，所以a1 + a1 + 4d = 20a1 + a1 + 9d = 30解得d = 2。
3. 在平面直角坐标系中，直线y = kx + b与圆x^2 + y^2 = 1相交于A、B两点，若|AB| = √2，则k的值为（）A. 1B. -1C. 1/2D. -1/2答案：A解析：由题意，圆心到直线的距离等于半径，即|kx - y + b|/√(k^2 + 1) = 1，且|AB| = √2。
由勾股定理，圆心到A、B两点的距离分别为1和√(1 - 1/2) = √1/2，所以圆心到直线的距离为√(1 - 1/2) = √1/2。
将圆心坐标(0,0)代入直线方程得b = 0，代入圆心到直线的距离公式得|k0 - 0 + 0|/√(k^2 + 1) = √1/2，解得k = 1。
4. 设函数f(x) = e^x - x，则f(x)在（）A. (-∞,0)上单调递减B. (0,∞)上单调递减C. (-∞,0)上单调递增D. (0,∞)上单调递增答案：D解析：求导得f'(x) = e^x - 1，当x > 0时，e^x > 1，所以f'(x) > 0，函数f(x)在(0,∞)上单调递增。
2024年辽宁省高考数学模拟试题04(解析版)
2024年高考数学模拟试题04（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．测试范围：高考全部内容5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第I 卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．某同学坚持夜跑锻炼身体，他用手机记录了连续10周每周的跑步总里程（单位：千米），其数据分别为17，21，15，8，9，13，11，10，20，6，则这组数据的75%分位数是（）A ．12B ．16C ．17D ．18.5【答案】C【分析】将数据从小到大排列，再根据百分位数计算规则计算可得.【详解】依题意这10个数据从小到大排列为：6，8，9，10，11，13，15，17，20，21，又1075%7.5⨯=，所以75%分位数为从小到大排列的第八个数，即为17.故选：C 2．若复数()412i 34iz +=+，则z =（）AB C ．5D ．253．2022年北京冬奥会期间，主办方需从3名高三学生、2名高二学生、1名高一学生中随机抽取两名学生参加接待外宾活动．若抽取的两名学生中必须有一名高三学生，则另一名是高二或高一学生的概率为（）A ．34B ．14C ．25D ．354．已知双曲线()22:10,0x y E a ba b-=>>的左、右焦点分别为12,,F FP 为E 上一点，且124PF PF b +≥，则E的离心率的取值范围为（）A ．B ．2⎤⎦C ．(D ．⎛ ⎝⎦5．已知数列{}n a 满足110a =，2110n n a a +=，若10110s t a a a ⋅=，则s t +的最大值为（）A ．10B ．12C ．16D ．186．已知函数()23log f x x =，正数,a b 满足()()310f a f b +-=，则ab+的最小值为（）A ．6B ．8C ．12D ．247．已知三棱锥,A BCD AB BC E-==为BC中点，A BC D--为直二面角，且AED∠为二面角A BC D--的平面角，三棱锥A BCD-的外接球O表面积为84π5，则平面BCD被球O截得的截面面积及直线AD与平面BCD所成角的正切值分别为（）A．4π5B．4π,55C．16π,55D．16π,55过F 作平面BCD 的垂线，过两垂线的交点即为三棱锥A 则四边形OHEF 是矩形，OF 连接,OB BF ，设BCD △外接圆半径设球O 半径为OB R =，因为球8．某地计划对如图所示的半径为a 的直角扇形区域ABC 按以下方案进行扩建改造，在扇形ABC 内取一点P使得BP =，以BP 为半径作扇形PBE ，且满足22PBE PBC θ∠=∠=，其中0π02θθ<≤<，0cos θ=则图中阴影部分的面积取最小值时θ的大小为（）A ．π12B ．π6C ．π4D ．π3二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
2023年高考数学模拟试题（四）参考答案
2023年高考数学模拟试题(四)参考答案 一㊁选择题1.B 2.B 3.A4.D 提示:由题得c =(1+k ,2+k ),又b ʅc ,则b ㊃c =1+k +2+k =0,得k =-32㊂5.B 提示:设圆锥的母线长为l ,由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长,则πl =2πˑ2,解得l =22㊂6.A 提示:由频率之和为1,即(0.1+a +0.4+0.25+0.1)ˑ1=1,解得a =0.15,则学党史读书时间的平均数为9.5ˑ0.10+10.5ˑ0.15+11.5ˑ0.40+12.5ˑ0.25+13.5ˑ0.10=11.60(小时)㊂7.A 提示:因为X ~B (n ,p ),所以E (X )=n p =2,D (X )=n p (1-p )=1,解得n =4,p =12,则Y ~N (4,σ2),所以P (Y >8)=P (Y <0)=p 2=14,所以P (4<Y <8)=12P (0<Y <8)=121-14-14=14㊂8.D 提示:由a n +2=a n +1+a n ,得a 2+a 3+a 5+a 7+a 9+ +a 59=a 4+a 5+a 7+a 9+ +a 59=a 6+a 7+a 9+ +a 59= =a 58+a 59=a 60,所以k =60㊂9.A提示:由题意可知5ωπ8+φ=2k 1π+π2,11ωπ8+φ=k 2π,其中k 1,k 2ɪZ ,所以ω=43(k 2-2k 1)-23,又T =2πω>2π,所以0<ω<1,所以ω=23,φ=2k 1π+π12,因为φ<π,所以φ=π12㊂10.C 提示:不妨设0<x 1<x 2,则x 1-x 2<0,有x 2f (x 1)-x 1f (x 2)>0,又x 1x 2>0,所以f (x 1)x 1-f (x 2)x 2>0,即f (x 1)x 1>f (x 2)x 2㊂设g (x )=f (x )x ,则g (x 1)>g (x 2),所以g (x )在(0,+ɕ)上单调递减,故f (x )x>2等价于g (x )>g (2),所以x ɪ(0,2)㊂11.D 提示:设内切圆与P F 1,P F 2,F 1F 2的切点分别为M ,N ,T ,则由切线长定理可得P M=P N ,F 1M=F 1T ,F 2N =F 2T ,因为P F 1-P F 2=F 1M -F 2M =F 1N -F 2T =2a ,F 1F 2=F 1T+F 2T=2c ,所以F 2T =c -a ,则点T 的坐标为(a ,0),故点I 的横坐标为定值a ,所以A 正确㊂因为F 1F 2=2b 2a ,所以2c =2b 2a =2c 2-2a2a,化简得c 2-a c -a 2=0,即e 2-e -1=0,解得e =1ʃ52,因为e >1,所以e =1+52,所以B 正确㊂设әP F 1F 2的内切圆半径为r ,由双曲线的定义可得P F 1-P F 2=2a ,|F 1F 2|=2c ,因为S әI P F =12㊃P F 1㊃r ,S әI P F =12P F 2㊃r ,S әI F F =12㊃2c ㊃r ,又S әI P F =S әI P F +λS әI F F,所以12P F 1㊃r =12P F 2㊃r +λ㊃12㊃2c ㊃r ,所以λ=P F 1-P F 22c =a c =1e =5-12,所以C 正确㊂当P F 2ʅx 轴时,可得P F 2=b2a=c =12F 1F 2,此时t a n øP F 1F 2=12,所以øP F 1F 2ʂ30ʎ,所以D 错误㊂综上可得,答案为D ㊂12.C 提示:令f (x )=l n xx,则f '(x )=1-l n xx 2,易知f (x )在(0,e )上单调递增,在(e ,+ɕ)上单调递减㊂由π>e ,f (π)< 参考答案与提示 高考数学 2023年7-8月f (e ),即l n ππ<l n e e,即e l n π<πl n e ,即l n πe<l n e π,所以πe <e π㊂在同一坐标系中作出图1y =(2)x与y =x 的图像,如图1所示,可知在(2,4)内恒有x >(2)x,所以π>(2)π,所以πe >(2π)e=(2)e π㊂综上可知,c <b <a ㊂二㊁填空题13.-35 提示:3s i n α+2c o s α2s i n α-c o s α=3t a n α+22t a n α-1=-1+2-23-1=-35㊂14.4 提示:因为A B =23,且圆的半径为r =23,所以圆心0,0 到直线m x +y +3m -3=0的距离为r 2-A B 22=3㊂由3m -3m 2+1=3,解得m =-33,代入直线l 的方程,得y =33x +23,所以直线l 的倾斜角为30ʎ,在梯形A B D C 中,由平面几何知识可得C D =A Bc o s 30ʎ=4㊂15.168 提示:①对E ,F ,G ,H 涂4种颜色,对于剩下的A ,B ,C ,D 各剩2种颜色,且相邻的都含一种颜色是相同的,即当某个点取一种颜色时,其他点的颜色是确定的,那么A ,B ,C ,D 共有2种情况,共有A 44ˑ2=48(种);②对E ,F ,G ,H 涂3种颜色,对于E ,F ,G ,H 从4种颜色中取3种,即C 34,从这3种颜色中取1种来作重复的一种,即C 13=3,再对这4种颜色进行排列,重复的那种只能在对角,有2个对角,再对其他不重复的2种进行排列A 22=2,即2A 22=4,对于剩下的A ,B ,C ,D 同①一样,各剩2种颜色,当其中一点取1种颜色时,其他点颜色是确定的,共有2种,故共有C 34㊃C 13㊃2A 22㊃2=4ˑ3ˑ2ˑ2ˑ2=96(种);③E ,F ,G ,H 涂2种颜色,则选2种颜色涂在对角位置,有C 24ˑ2=12(种),A ,B ,C ,D 共2种颜色,故共有C 24ˑ2ˑ2=24(种)㊂综上,涂色方法共有48+96+24=168(种)㊂16.29π 提示:易知三棱锥P A C D 的三组对棱分别相等,则该三棱锥可以理解为由正方体六个面的面对角线构成,且其外接球即为正方体的外接球,设该正方体的长,宽,高分别为a ,b ,c ,且a 2+b 2=13,b 2+c 2=25,c 2+a 2=5,则外接球的半径R 满足2R =a 2+b 2+c 2,所以4R 2=a 2+b 2+c 2=12[(a 2+b 2)+(b 2+c 2)+(c 2+a 2)]=29,故外接球的表面积为4πR 2=29π㊂三㊁解答题17.(1)由等差数列的性质可得S 5=5a 3,则a 3=5a 3,所以a 3=0㊂设等差数列{a n }的公差为d ,则a 2a 4=(a 3-d )(a 3+d )=-d 2,S 4=(a 3-2d )+(a 3-d )+a 3+(a 3+d )=-2d ,所以-d 2=-2d ,又d ʂ0,故d =2,所以a n =a 3+(n -3)d =2n -6㊂(2)由(1)可得a 1=-4,则S n =n ˑ-4 +n n -1 2ˑ2=n 2-5n ㊂由S n >a n ,得n 2-5n >2n -6,解得n <1,或n >6㊂又n ɪN *,故n 的最小值为7㊂18.(1)由题知B D =C D =2,则B D 2+C D 2=B C 2,所以B D ʅC D ㊂又P D 2+C D2=P C 2,所以P D ʅC D ㊂又P D ɘB D =D ,所以C D ʅ平面P B D ㊂又C D ⊂平面P D C ,所以平面P B D ʅ平面P D C ㊂图2(2)以D 为坐标原点,射线D B ,D C 分别为x 轴,y 轴的正半轴,建立如图2所示的空间直角坐标系D x yz ,则D (0,0,0),C (0,2,0),E 22,22,0,P 22,0,22,所以D E ң=22,22,0,D P ң=22,0,22,参考答案与提示高考数学 2023年7-8月P C ң=-22,2,-22㊂设平面P D E 的一个法向量为n =(x ,y ,z ),则n ㊃D E ң=22x +22y =0,n ㊃D P ң=22x +22z =0,令x =1,得n =(1,-1,-1)㊂设直线P C 与平面P D E 所成角为θ,则s i n θ=c o s <P C ң,n >=P C ң㊃n |P C ң||n |=63,故直线P C 与平面P D E 所成角的正弦值为63㊂19.(1)设 获三等奖 为事件A ,由题意得P (A )ȡ59,又因为P (A )=A 3nn3=(n -1)(n -2)n 2,所以(n -1)(n -2)n2ȡ59,整理得4n 2-27n +18ȡ0,解得n ȡ6,或n ɤ34(舍),所以n 的最小值为6㊂(2)设顾客在一次抽奖中获奖金额为随机变量ξ,则ξ的所有可能取值为108,60,18,根据题意得P (ξ=108)=C 1663=136,P (ξ=60)=C 26C 12C 1363=1536=512,P (ξ=18)=C 36A 3363=2036=59㊂所以ξ的分布列为表1㊂表1ξ1086018P 13651259所以E (ξ)=108ˑ136+60ˑ512+18ˑ59=38㊂20.(1)设椭圆C 的标准方程为x2a2+y 2b2=1(a >b >0)㊂由题意得2a =4,1a 2+94b2=1,解得a 2=4,b 2=3,所以椭圆C 的标准方程为x24+y 23=1㊂(2)设直线l :x =m y -1,P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)㊂联立x =m y -1,3x 2+4y 2=12,消去y 整理得(3m 2+4)y 2-6m y -9=0,Δ=36m 2+36(3m 2+4)>0,y 1+y 2=6m 3m 2+4,y 1y 2=-93m 2+4㊂设әP Q R 的面积为S ,则S =2S әP O Q=2ˑ12|O F 1||y 1-y 2|=|y 1-y 2|=(y 1+y 2)2-4y 1y 2=6m3m 2+42-4㊃-93m 2+4=12m 2+13m 2+4㊂令m 2+1=t (t ȡ1),则S =12t 3t 2+1=123t +1t(t ȡ1)㊂令f (t )=3t +1t(t ȡ1),则f '(t )=3-1t2>0,所以f (t )在[1,+ɕ)上为增函数,所以f (t )m i n =f (1)=4,所以S 的最大值为124=3,此时m =0㊂故当m =0,即直线l 的方程为x =-1时,әP Q R 的面积有最大值,且最大值为3㊂21.(1)当a =e 时,f (x )=x -e l n x +(x -e )2,则f '(x )=(2x +1)(x -e)x㊂令f '(x )>0,得x >e ;令f '(x )<0,得x <e ㊂故函数f x 的单调递增区间为(e ,+ɕ),单调递减区间为(0,e)㊂(2)求导得f '(x )=l n a -ax+2(x -e)=2x 2+(l n a -2e )x -ax㊂令t (x )=2x 2+(l n a -2e )x -a =0,因 参考答案与提示 高考数学 2023年7-8月为Δ=(l n a -2e )2+8a >0,所以方程2x 2+(l n a -2e )x -a =0有两个不相等的实根x 1,x 2(x 1<x 2)㊂又x 1x 2=-a2<0,所以x 1<0<x 2㊂令x 0=x 2,得到表2:表2x (0,x 0)x 0(x 0,+ɕ)f '(x )-0+f (x )减极小值增所以f (x )存在极值点x 0,即存在x 0使得2x 20+(l n a -2e )x 0-a =0成立,所以存在x 0使得a -x 0l n a =2x 20-2e x x 0对任意的a >0有解,因此需要讨论等式左边的关于a 的函数㊂记u (t )=t -x 0l n t ,则u '(t )=1-x 0t㊂令u '(t )=0,得t =x 0,易知u (t )在(0,x 0)上单调递减,在(x 0,+ɕ)上单调递增,所以当t =x 0时,u (t )m i n =u (x 0)=x 0-x 0l n x 0,所以需要2x 20-2e x 0=a -x 0l n a ȡx 0-x 0l n x 0,即2x 20-(2e +1)x 0+x 0l n x 0ȡ0,即2x 0+l n x 0-(2e +1)ȡ0㊂令v (t )=2t +l n t -(2e +1),则u (t )在(0,+ɕ)上单调递增,且v x 0 ȡv (e )=0,所以需要x 0ȡe ,故x 0的最小值为e㊂22.(1)将x =ρc o s θ,y =ρs i n θ,代入x22+y 2=1,整理得ρ=21+s i n 2θ㊂(2)方法1:由题意知,直线l 经过点F (-1,0),设M ,N 两点对应的参数分别为t 1,t 2,将x =-1+t ,y =t ,代入x 22+y 2=1,整理得3t 2-2t -1=0,则t 1+t 2=23,t 1t 2=-13㊂所以|MN |=2|t 1-t 2|=2ˑ(t 1+t 2)2-4t 1t 2=423㊂方法2:将直线l 的参数方程化为标准形式为x =-1+22t ,y =22t ,代入x 22+y 2=1,整理得3t 2-22t -2=0㊂设M ,N 两点对应的参数分别为t 1,t 2,则t 1+t 2=223,t 1t 2=-23㊂所以MN =t 1-t 2=(t 1+t 2)2-4t 1t 2=423㊂23.(1)方法1:因为|f (x )|=||x -1|-|x -2||ɤ|(x -1)-(x -2)|=1,所以-1ɤf (x )ɤ1,即f (x )的值域为[-1,1]㊂方法2:由题意得f x =x -1-x -2=-1,x ɤ1,2x -3,1<x <2,1,x ȡ2,则易知f x 的值域为-1,1 ㊂(2)方法1:由基本不等式得12a 2+12b2=12a 2+12b 2a 2+b 2=1+b 22a 2+a 22b2ȡ2,当且仅当a =b =22时,等号成立,因此1a 2+1b2的最小值是2㊂因为f (x )+x -2+2x -3=|x-1|+|2x -3|,所以|x -1|+|2x -3|ɤ2,等价于x ȡ32,x -1+2x -3ɤ2,或1<x <32,x -1+3-2x ɤ2,或x ɤ1,1-x +3-2x ɤ2,解得32ɤx ɤ2,或1<x <32,或23ɤx ɤ1,则实数x 的取值范围为23,2㊂方法2:由柯西不等式得12a 2+12b2=12a 2+12b 2a 2+b 2ȡ22+222=2,当且仅当a =b =22时,等号成立,因此1a 2+1b2的最小值是2㊂余下同方法1㊂(责任编辑 王福华)参考答案与提示高考数学 2023年7-8月。
2024年河北高考数学模拟试卷及答案
2024年河北高考数学模拟试卷及答案（一）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知抛物线C ：212y x = ，则C 的准线方程为 A ． 18x =B ．1-8x =C ．18y =D ．1-8y = 2．已知复数121z i=+ ，复数22z i =，则21z z -=A ．1BC ．．10 3．已知命题:(0,)ln xp x e x ∀∈+∞>，，则 A ．p 是假命题，:(-)ln xp x e x ⌝∃∈∞≤，0，B ．p 是假命题， :(0+)ln xp x e x ⌝∃∈∞≤，，C ．p 是真命题，:(-)ln xp x e x ⌝∃∈∞≤，0，D ．p 是真命题，:(0+)ln xp x e x ⌝∃∈∞≤，，4．已知圆台1O O 上下底面圆的半径分别为1，3，母线长为4，则该圆台的侧面积为 A ．8πB ．16πC ．26πD ．32π5．下列不等式成立的是A.66log 0.5log 0.7>B. 0.50.60.6log 0.5>C.65log 0.6log 0.5>D. 0.60.50.60.6>6.某校为了解本校高一男生身高和体重的相关关系，在该校高一年级随机抽取了7名男生，测量了他们的身高和体重得下表：由上表制作成如图所示的散点图：由最小二乘法计算得到经验回归直线1l 的方程为11ˆˆˆy b x a =+，其相关系数为1r ；经过残差分析，点（167，90）对应残差过大，把它去掉后，再用剩下的6组数据计算得到经验回归直线2l 的方程为22ˆˆˆy b x a =+，相关系数为2r .则下列选项正确的是 A ．121212ˆˆˆˆ,,b b a a r r <>< B ．121212ˆˆˆˆ,,b b a a r r <<> C ．121212ˆˆˆˆ,,b b a a r r ><> D ．121212ˆˆˆˆ,,b b a a r r >>< 7．函数()y f x =的导数()y f x '=仍是x 的函数，通常把导函数()y f x '=的导数叫做函数的二阶导数，记作()y f x ''=，类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，三阶导数的导数叫做四阶导数一般地，n-1阶导数的导数叫做 n 阶导数，函数()y f x =的n 阶导数记为()n y fx =（），例如xy e =的n 阶导数()()n xx ee =．若()cos 2xf x xe x =+，则()500f =（）A ．49492+B ．49C ．50D ．50502-8．已知函数()cos()f x x ωϕ=+的部分图象如下，12y =与其交于A ，B 两点. 若3AB π=，则ω=A ．1B ．2C ．3D ．4二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
2023届高考文科数学模拟试卷四(含参考答案)
2023届高考文科数学模拟试卷四（含参考答案）本试题卷共六大题21小题。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型后的方框涂黑。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
答在试题卷、草稿纸上无效。
3．填空题和解答题的作答：用0.5mm 的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
答在试题卷、草稿纸上无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，请将答题卡上交。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中， 有一项是符合题目要求的． 1．已知集合},21|1||{R x x x P ∈≤-=，Q P N x x Q 则},|{∈=等于（ C ）A ．]1,0[B ．}1,0{C ．}1{D ．}0{2. 已知函数)63sin()(ππ+=x x f ，则)(x f 的最小正周期和初相ϕ分别为 （ C ）A ．6,6T ππϕ==B ．6,3T ππϕ==C ．6,6T πϕ==D ．6,3T πϕ==3. 命题“,R x ∈∃使0232<+-x x ”的否定是 ( D ) A ．,R x ∈∃使0232≥+-x xB ．,R x ∈∀都有0232<+-x xC ．,R x ∈∃使0232>+-x xD ．,R x ∈∀都有0232≥+-x x 4. 下列四个几何体中，每个几何体的三视图有且仅有两个视图相同的是 （ C）A.①②B.②③C.②④D.①③ 5．已知}{n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，若235a a -=，则4S =（ B ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 126．已知三个数4,,1m 成等比数列，则圆锥曲线122=+my x 的离心率为 ( A )A ．22或3 B ．22 C ．3D ．23或3 ①正方体 ②圆锥 ③三棱台 ④正四棱台7. 过定点)2,1(P 的直线在x 轴、y 轴的正半轴上的截距分别为b a ,，则224b a +最小值为：（ B ）A 8B 32C 45D 728．已知直线033:=--y x l ，圆4)3(:22=+-y x C 直线与圆交于B A ,两点，则AC AB ⋅是： （ A ）A 2B 3C 4D 329．已知函数)(x f 定义在R 上的奇函数，当0>x 时，x x x f ln )(=，给出下列命题： ①当0<x 时，)ln()(x x x f -= ②函数)(x f 有2个零点 ③0)(>x f 的解集为),1()0,1(+∞⋃- ④]1,1[,21-∈∀x x ，都有ex f x f 2)()(21≤- 其中正确命题个数是：( C )A 、1B 、2C 、3D 、410．某人进行驾驶理论考试，每做完一道题，计算机自动显示已做题的正确率，记已做题的正确率为*∈N n n f ),(，下列关系不可能．．．成立的是： （ D ） A ． )8()3()2()1(f f f f <<<< B ．)8()3()2()1(f f f f <<==C ． )8(2)4(f f =D ．)8()7()6(f f f =<二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． 11．=-+2013)11(ii 12．在ABC ∆中，c b a ,,分别为角C B A ,,所对的边，︒=∠==60,7,2B b a ,则边长c =313.如图是一个算法的程序框图，该算法输出的结果是4314.某调查机构就淮北地区居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图（如图），为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[2500,3000)（元）月收入段应抽出的人数为 2715．在计算“1223(+1)n n ⨯+⨯++”时，有如下方法：先改写第k 项：1(1)[(1)(2)(1)(1)]3k k k k k k k k +=++--+， 由此得：112(123012)3⨯=⨯⨯-⨯⨯， 123(234123)3⨯=⨯⨯-⨯⨯，…，1(+1)[(1)(2)(1)(+1)]3n n n n n n n n =++--，相加，得：112+23(1)(1)(2)3n n n n n ⨯⨯++-=++．类比上述方法，请你计算“1324(2)n n ⨯+⨯+++”，其结果写成关于n 的一次因式的．．．．．积．(+1)(27)n n + ． 三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （本小题满分12分） 已知向量，设函数＋1(Ⅰ)求)(x f 的单调区间 （2）若，,求的值；.第13题图第14题图)(x f 单调递增区间为：]32,322[ππππ+-k k ，单调递增区间为：)(],342,32[Z k k k ∈++ππππ17.（本小题满分12分）已知数列}{n a 满足：11=a ，)1,(,0211>∈=+-*--n N n a a a a n n n n(Ⅰ) 求证：数列}1{na 是等差数列并求}{n a 的通项公式； （Ⅱ） 设1+=n n n a ab ，求证：2121<+++n b b b(Ⅰ)证明： ,0211=+---n n n n a a a a 两边同除1-n n a a 得：2111=--n n a a ，所以数列}1{na 是以1为首项，2为公差的等差数列 于是121-=n a n，)(,121*∈-=N n n a n （Ⅱ）由(Ⅰ)，)12)(12(1+-=n n b n则)12)(12(153131121+-++⨯+⨯=+++n n b b b n =)1211215131311(21+--++-+-n n =21)1211(21<+-n18.（本小题满分13分）现有一正四面体型骰子，四个面上分别标有数字1,、2、3、4，先后抛掷两次，记底面数字分别为b a ,设点),(b a P ，求点P 落在区域⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+004y x y x 内的概率(Ⅱ)将3,,b a 作为三条线段长，求三条线段能围成等腰三角形的概率解：(Ⅰ) ),(b a P 所有可能的情况有：)4,2(),3,2(),2,2(),1,2(),4,1(),3,1(),2,1(),1,1(，)4,4(),3,4(),2,4(),1,4(),4,3(),3,3(),2,3(),1,3(落在区域的点有：)1,3(),2,2(),1,2(),3,1(),2,1(),1,1(共6种情况，故P 落在区域内的概率为：83 (Ⅱ) （1）若b a =则满足情况的有：（2,2），（3,3），（4,4） （2）若b a ≠，则满足情况的有：（1,3），（2,3），（3，1），（3,2） 故三条线段能围成等腰三角形的概率16719. 如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是菱形，︒=∠60ABC ,⊥PA 平面ABCD ，2==AB AP ，E 在PD 上，且ED PE 2=,F 是PC 的中点， (Ⅰ)证明：平面⊥PBD 平面PAC ； (Ⅱ)求证：//BF 平面ACE（Ⅲ）求三棱锥BCF D -的体积V .(Ⅰ)证明：连接BD 交AC 于O ,因为底面ABCD 是菱形，所以BD AC ⊥,又⊥PA 平面ABCD所以BD PA ⊥,⊥BD 面PAC ,于是平面⊥PBD 平面PAC(Ⅱ) 取PE 的中点G ,连BG ,FG ,由F 是PC 的中点，O 是BD 的中点,得//,//EG OE BG CE,所以平面//BFG 平面ACE ,故//BF 平面ACE（Ⅲ）331120sin 222131=⨯︒⨯⨯⨯⨯==--BCD F BCF D V V20.（本小题满分13分）已知()2ln b f x ax x x =-+在1x =与12x =处都取得极值. （Ⅰ） 求a ，b 的值；（Ⅱ）设函数2()=2+g x x mx m -，若对任意的11[,2]2x ∈，总存在21[,2]2x ∈，使得、 122()()ln g x f x x ≥-，求实数m 的取值范围。
高数模拟试卷
《高等数学》模拟试卷（一）一、填空题（每小题3分，共30分） .____________)()(lim_________)()(lim ,3)(.3.______1sinlim ______,1sinlim .2._____))((_____,)(,31)1(.10000000022=∆∆--∆+=∆∆--='====++=+→∆→∆∞→→xx x f x x f xx x f x f x f xx xx x f f x f xx xx f x x x x ，则设则设.____________,,.7)1ln(4.6.______)(______,])(.[5ln 2.4222222=∂∂∂=∂∂=---=='='-=⎰⎰yx z xz x z ________.y x yx z dx x f dx x f ______.______,x x y 2y则设的定义域为函数极值为的单调区间为函数_.__________e y y z yx yx _________.dxdy y x f xay x 的通解为微分方程表示表示二次方程在空间直角坐标系下，积分表示为极坐标下的二次将-≤+=+'=+=++⎰⎰.10.___________________,1.9)(.8222222222二、计算下列各题（每小题6分，共42分）xxy y x sin lim.120→→.,)cos(.22dx dy x y x 求设=.,ln .3dz yx tgz 求设= .|sin |.420⎰πdx x x.)0,1()1,1()0,0(,.52为顶点的三角形和、是以其中D dxdy eDx⎰⎰-⎰∞+-='==+'+''=0.)(,4)0(,2)0(,044)(.6dx x y y y y y y x y y 求满足条件设.,,,),,(.72y zx z xy v y x u v u f z ∂∂∂∂=+==求三、（本题11分）;,222的面积求所围成与是由已知平面图形D x y x y D -==四、（本题11分）使用料最省？的尺寸如何设计才能的长方体水池，问水池要建造一个容积为3128m五、（本题6分）).(,)(11)()(,0)(1x f du u f xx f x f x x f x 试求满足若可微在设⎰+=>《高等数学》模拟试卷（二）一、填空题（每小题3分，共30分） .____________)()(lim_________)()(lim ,3)(.3.______1sinlim ______,1sinlim .2._____))((_____,)(,31)1(.10000000022=∆∆--∆+=∆∆--='====++=+→∆→∆∞→→xx x f x x f xx x f x f x f xx xx x f f x f xx xx f x x x x ，则设则设.____________,,.7)1ln(4.6.______)(______,])(.[5ln 2.4222222=∂∂∂=∂∂=---=='='-=⎰⎰yx z xz x z ________.y x yx z dx x f dx x f ______.______,x x y 2y则设的定义域为函数极值为的单调区间为函数_.__________e y y z yx yx _________.dxdy y x f xay x 的通解为微分方程表示表示二次方程在空间直角坐标系下，积分表示为极坐标下的二次将-≤+=+'=+=++⎰⎰.10.___________________,1.9)(.8222222222二、计算下列各题（每小题5分，共35分） 211)1()1sin(lim.1--⎰→x dt t x x.,)sin(.2dx dy x xy 求设= .,ln .3dz yx tgz 求设=.|sin |.420⎰πdx x x.)0,1()1,1()0,0(,.52为顶点的三角形和、是以其中D dxdy eDx⎰⎰-⎰∞+-='==+'+''=0.)(,4)0(,2)0(,044)(.6dx x y y y y y y x y y 求满足条件设.,),,(.72y zx z xy y x f z ∂∂∂∂+=求三、（本题12分）.)2(;)1(.222积轴旋转而成的旋转体体绕求平面图形的面积求平面图形所围成与是由已知平面图形x D D x y x y D -== 四、（本题12分）使其容积最大？的尺寸如何设计才能的长方体水池，问水池要建造一个表面积为3108m五、（本题11分）.)(,)()()2()(:)2().(,)(11)()(,0)()1(01函数为连续其中有相同的奇偶性与证明试求满足若可微在设x f x f dt t f t x x F x f du u f xx f x f x x f x x ⎰⎰-=+=>《高等数学》模拟试卷（三）一、填空题（每小题3分，共30分）.__________)()(lim,2)(.5.__________)(,sin )(cos .4._______)(,||)(.3._______(cos 1,0.2..|1|,0_______,,1lim .10000224=∆∆--∆+='=='=--=-→<->=→∆-→xx x f x x f x f x f x x f x f a x a x a x x f x x x tgx ,______tgx x x 则若则已知类间断点的第为则设函数价）无穷小量高阶、低阶、同阶或等的是时当恒有时使得总存在则对于已知εδπ._______________,__________211.10.______]3,1[12)(.9.________.8.__________,,13)(.7._______)0,1(01.622233=-=+-++====±=++=-=++⎰⎰--dx x a d dx x x f xey q p x q px x x f x x aaxx 理的点是上满足拉格朗日中值定在函数的拐点是曲线则处取得极值在点设个实根内有在方程二、（8分）?1)(?1)(,,111)(2处是否可导在此时连续处在取何值时讨论当设函数==⎩⎨⎧>-≤=x x f x x f a x ax x x x f三、求极限（每小题4分，共16分）)sin sin(lim .x xxx x 111+∞→)(lim.x x x x -+++∞→122xxx e x 10)(lim .3+→2)(lim,2)0(,0)0(,)(.4xdt t f f f x f xx ⎰→='=求且为可导函数设四、求下列函数的导数与微分(每小题4分,共16分)dy.y x求,3sin)2(sec .12π+=.,sin cos .222dx y d dx dy t b y t a x 及求⎩⎨⎧==.,)ln(.322xy y x x y arctg '+=求.,)(sin .4dx dy x y tgx求=五、求下列积分(每小题4分,共16分)⎰+dxxx231.1⎰'dxx f x xx x f )(,sin )(.2求的原函数为⎰-π03sin sin .3dxx x⎰-2ln 01.4dxe x六、(8分)证明：).,0(,11)11ln(+∞∈+>+x xx七、（6分）).(,)()(,]1,0[)(1x f dx x f x x f x f 求且上连续在已知⎰-=《高等数学》模拟试卷（四）一、填空题（每小题3分，共30分）.__________)(,ln )(.5.__________)()2(lim ,2)(f .4._______)(f a x ,||)(.3._______(cos 1,0x .2.________)(,1)1(.10000222⎰='=∆-∆+='=--=-→=+=+→∆dx x f x x x f xx f x x f x x a x a x x f x x x f xx x x f x 则的原函数为若则若类间断点的第为则设函数价）无穷小量高阶、低阶、同阶或等的是时当则设.____________)(___,__________211.10.______]65,6[sin ln )(.9.________.8.__________,,13)(.7._______)0,1(01.62233=-=+====±=++=-=++⎰⎰--dx x a d dx x f xey q p x q px x x f x x aaxx 理的点是上满足拉格朗日中值定在函数的拐点是曲线则处取得极值在点设个实根内有在方程ππ二、（7分）.110111)(2处的连续性与可导性在讨论-=⎪⎩⎪⎨⎧-=-≠+-=x x x xx x f三、计算题（每小题4分，共32分）x x x 11lim.10-+→xx x x )1212(lim .2-+∞→dx dy xey y求,0sin .3=+.sin .4sin 1dx dy t y dx x x x tt ，求设⎪⎩⎪⎨⎧==⎰ dz .5，求yx z =.cos31.62⎰+dx x⎰-π03sinsin .7dxx x..802dx xex⎰∞+-四、(7分)已知两正数之和为10,若其中一数的平方与另一数的立方之积为最大, 求这两个数.五、(12分)1．).1ln(,0:x x x +>>时当证明.cos1sin ,)(sin 2)(sin ]10[)(.202dx xx x dx x f dx x xf x f ⎰⎰⎰+=ππππ并计算上连续，证明：，在设六、(12分) 的切线，求：过原点作曲线x y ln =..3.ln .2..1转体的体积轴旋转一周所得到的旋上述平面图形绕围成的平面图形的面积轴及切线、该切线的方程x x y x =高等数学》模拟试卷（五）一、一。
2021年高三数学模拟测试卷及答案(四)
第Ⅰ卷（选择题)一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合1|01x A x x -⎧⎫=≥⎨⎬+⎩⎭，{}2|log (3),B y y x x A ==+∈，则A B =（ ） A ．(,1)[2,)-∞-+∞B ．(,1)[1,)-∞-+∞C ．[]1,2-D ．(]1,2-【答案】D 【解析】 【分析】解分式不等式得集合A ，求对数函数的值域得集合B ，再由并集概念计算． 【详解】由题意101xx -≥+(1)(1)010x x x -+≥⎧⇒⎨+≠⎩(1)(1)01x x x -+≤⎧⇒⎨≠-⎩11x ⇒-<≤，(1,1]A =-， 11x -<≤时，234x <+≤，21log (3)2x <+≤，(1,2]B =，∴(1,2]AB =-．故选：D. 【点睛】本题考查集合的并集运算，考查对数函数的性质．解分式不等式要注意分母不为0． 2．已知复数1i iz （i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．1 B ．-1C ．iD ．i -【答案】A 【解析】 【分析】先计算出复数z ，求出共轭复数z ，再由复数的定义得结论． 【详解】21i i (1)1zi ii i ，1z i =+，其虚部为1．故选：A ．本题考查复数的除法运算，考查共轭复数及复数的定义．属于基础题．3．已知4log 5a =，()1216log 2b =，sin 2c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．b c a <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．c b a <<【答案】A 【解析】 【分析】利用换底公式化简12b =，而1,01a c ><<，利用sin y x =在[,]2ππ单调性比较c 与12的大小关系，即可求解. 【详解】()112222164log 2log 2log 212b ⎛⎫⎪⎭=== ⎝，44log 5log 41a =>=，5512<,sin 2sin ,662b c a ππ>=∴<<. 故选:A 【点睛】本题考查比较数的大小关系，涉及到对数换底公式、对数函数和正弦函数的单调性，属于中档题. 4．在西非肆虐的“埃博拉病毒”的传播速度很快，这已经成为全球性的威胁．为了考察某种埃博拉病毒疫苗的效果，现随机抽取100只小鼠进行试验，得到如下列联表： 附表：参照附表，下列结论正确的是（ ）．A ．在犯错误的概率不超5%过的前提下,认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关”；B ．在犯错误的概率不超5%过的前提下，认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗无关”；C ．有97.5%的把握认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关”；D ．有97.5%的把握认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗无关”．【解析】试题分析：，故应选．考点：独立性检验5．已知函数()f x 的图象关于原点对称，且满足()()130f x f ―x ++=，且当)4(2x ∈，时，12()log (1)f x x m =--+，若(2021)1(1)2f f -=-，则m =（ ）A ．43B ．34C ．43-D ．34-【答案】C 【解析】 【分析】根据题意首先求出函数的周期为4，从而求出()()20211f f =；再由函数的奇偶性即可求出1(1)3f =，由(1)(3)f f =-，代入解析式即可求解.【详解】因为()()()133f x f x f x +=--=-， 故函数()f x 的周期为4，则()()20211f f =； 而()()11f f -=-，由(2021)1(1)2f f -=-可得1(1)3f =；而121(1)(3)(31)3f f log m =-=--=, 解得43m =-． 故选：C 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和周期性求函数值以及根据函数值求参数值，属于中档题. 6．已知空间中三条不同的直线a 、b 、c 和平面α，下列结论正确的是（ ） A ．若a α⊥，b α⊥，则//a b B ．若//a α，//b α，则//a b C ．若a α⊂，//b α，则//a bD ．若a c ⊥，b c ⊥，则//a b【解析】 【分析】利用空间中线线与线面的位置关系逐一分析各选项的正误，可得出合适的选项. 【详解】对于A 选项，若a α⊥，b α⊥，由直线与平面垂直的性质定理可知//a b ，A 选项正确； 对于B 选项，若//a α，//b α，则a 与b 平行、相交或异面，B 选项错误； 对于C 选项，若a α⊂，//b α，则a 与b 平行或异面，C 选项错误； 对于D 选项，若a c ⊥，b c ⊥，则a 与b 平行、相交或异面，D 选项错误. 故选：A. 【点睛】本题考查空间中线线位置关系的判断，可以充分利用空间中垂直、平行的判定和性质定理来判断，也可以利用模型来判断，考查推理能力，属于中等题.7．已知公差不为0的等差数列{}n a ，前n 项和为n S ，满足3110S S -=，且124,,a a a 成等比数列，则3a =（ ） A ．2 B ．6C ．5或6D ．12【答案】B 【解析】 【分析】将题设条件转化为基本量的方程组，求出基本量后可求3a . 【详解】设等差数列的公差为d ，则()()11211133103a d a a d a a d +-=⎧⎪⎨+=+⎪⎩ ， 解得122a d =⎧⎨=⎩或150a d =⎧⎨=⎩（舍），故()322316a =+⨯-=，故选：B. 【点睛】等差数列或等比数列的处理有两类基本方法：（1）利用基本量即把数学问题转化为关于基本量的方程或方程组，再运用基本量解决与数列相关的问题；（2）利用数列的性质求解即通过观察下标的特征和数列和式的特征选择合适的数列性质处理数学问题． 8．已知函数()sin()6f x x π=-，若方程4()5f x =的解为1212,(0)x x x x π<<<，则12sin()x x +=（ ）A ．BC ．12D ．12-【答案】B 【解析】 【分析】 由()sin()6f x x π=-且方程4()5f x =的解为1212,(0)x x x x π<<<，可知12,x x 关于直线3x π=对称，从而可得1223x x π+=，进而可得出答案. 【详解】由()sin()6f x x π=-，可知3x π=是函数的一条对称轴，又方程4()5f x =的解为1212,(0)x x x x π<<<， 1223x x π+∴=，即1223x x π+=，所以12sin()x x += 故选：B 【点睛】本题考查了三角函数的对称性，需掌握住正弦函数的对称轴，属于基础题. 9．以下四个命题中，正确的是 （ ） A ．若1123OP OA OB =+，则,,P A B 三点共线 B ．若{},,a b c 为空间的一个基底，则{},,a b b c c a +++构成空间的另一个基底 C ．()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅D ．ABC △为直角三角形的充要条件是·0AB AC =【答案】B 【解析】 【分析】A,利用向量共线定理即可判断；B,利用共面向量基本定理即可判断；C,向量的数量积运算与实数运算的区别；D ，直角三角形顶点不确定. 【详解】 A 错误，115+=1236≠ ，所以,,P A B 三点不共线；B 正确，假设{},,a b b c c a +++不能构成空间的基底，则存在实数λμ，使得()()a b b c c a λμ+=+++，即(1)(1)()0a b c μλλμ-+--+= ，因为{},,a b c 为空间的一个基底，所以,,a b c 不共面，则10,10,0μλλμ-=-=+=，无解，故{},,a b b c c a +++构成空间的另一个基底；C 错误，()|cos,|a b c a b a b c ⋅⋅=⋅⋅⋅；D 错误，直角边不确定. 【点睛】在实数运算中，若,a b ∈R ，则ab a b =⋅，但对于向量,a b 却有a b a b ⋅≤⋅，当且仅当a b ∥时等号成立．这是因为|cos ,|a b a b a b ⋅=⋅⋅，而cos ,1a b ≤.三点,,P A B 共线，对空间任一点,(1)O OP xOA x OB =+-.10．如图，在ABC ∆中，sin sin BD B CD C =，2BD DC ==2AD =，则ABC ∆的面积为（ ）A ．2B C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】过点D 分别作AB 和AC 的垂线，垂足分别为,E F ，结合题干条件得到AD 为BAC ∠的平分线，根据角平分线定理得到2AB BDAC DC==，再由cos cos 0ADB ADC ∠+∠=，结合余弦定理得到2AC =，在三角形中应用余弦定理得到sin BAC ∠=. 【详解】过点D 分别作AB 和AC 的垂线，垂足分别为,E F ，由sin sin BD B CD C =， 得DE DF =，则AD 为BAC ∠的平分线，∴2AB BDAC DC==， 又cos cos 0ADB ADC ∠+∠=22=，解得2AC =;在ABC ∆中，(222421cos 2428BAC +-∠==⨯⨯，∴sin BAC ∠=1sin 2ABC S AB AC BAC ∆=∠=. 故选B. 【点睛】本题主要考查正弦定理边角互化及余弦定理的应用与特殊角的三角函数，属于简单题. 对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）222cos 2b c a A bc+-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60o o o等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.11．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，M ，N 分别为BC ，1CC ，11A D ，11C D 的中点，则直线EF ，MN 所成角的大小为（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 【答案】C 【解析】 【分析】通过做平行线，得到直线EF ，MN 所成角的大小，可转化为111A C BC 与的夹角，三角形11A BC ,三边均为正方体的面对角线，是等边三角形，进而得到结果. 【详解】连接1111,,AC BC A B ，根据E ，F ，M ，N 分别为BC ，1CC ，11A D ，11C D 的中点，可得到MN 是三角形111AC D 的中位线，故得到11,MN AC 同理可得到1BC EF ，进而直线EF ，MN 所成角的大小，可转化为111A C BC 与的夹角，三角形11A BC ,三边均为正方体的面对角线，是等边三角形，故得到111A C BC 与的夹角为.3π故答案为：C. 【点睛】这个题目考查了异面直线的夹角的求法，常见方法有：通过做平行线将异面直线转化为同一个平面的直线，进而将空间角转化为平面角. 12．已知()(),f x g x 都是定义在R 上的函数，()()()()()()()()()()()1150,0,,112x f x f f g x f x g x f x g x a g x g g -≠-<=+'=-'，则关于x 的方程2502abx ++=， ()0,1b ∈有两个不同的实根的概率为（ ） A ．35 B ．25 C ．15 D ．12【答案】B【解析】由已知， ()()()()()()()2'''0f x f x g x f x g x g x g x ⎛⎫-=< ⎪ ⎪⎝⎭，∴函数()()x f x a g x =是减函数，∴01a <<，又()()()()1115112f f ag g a -+=+=-，解得12a =或2a =，∴12a =，方程2502abx ++=有两个不等的实根，则5242502ab b ∆=-⨯=->， 25b <，又()0,1b ∈，所以205b <<，因此所求概率为225105P -==-，故选B ．第Ⅱ卷（非选择题)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2024年西安市高三数学(理)第四次模拟联考试卷附答案解析
2024年西安市高三数学（理）第四次模拟联考试卷（满分：150分，考试时间：120分钟）必考题部分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合(){}0.3log 10A x x =->，{}39xB x =<，则（）A ．AB =B ．A B ⋂=∅C ．A B B= D ．A B B⋃=2．已知i 是虚数单位，若7i 2iaz +=+是纯虚数，则实数=a （）A ．2-B ．2C ．12-D ．123．已知24a b ⋅=- ，2(5,2)a b +=- ，若a 与b模相等，则a r =（）.A ．3B ．4C ．5D ．64．以下四个选项中的函数，其函数图象最适合如图的是（）A ．e 2xy x=B ．()21e x xy x+=C ．e 2xy x=D ．22exx y =5．已知圆锥的顶点和底面圆周都在球O 面上，圆锥的侧面展开图的圆心角为2π3，面积为3π，则球O 的表面积等于（）A ．81π8B ．82π8C ．121π8D ．121π26．下列说法不正确的是（）A ．若直线a 不平行于平面α，a α⊄，则α内不存在与a 平行的直线B ．若一个平面α内两条不平行的直线都平行于另一个平面β，则αβ∥C ．设l ，m ，n 为直线，m ，n 在平面α内，则“l α⊥”是“l m ⊥且l n ⊥”的充分条件D ．若平面α⊥平面1α，平面β⊥平面1β，则平面α与平面β所成的二面角和平面1α与平面1β所成的二面角相等或互补7．化简2222tan 7.51tan 7.57sin 7.5cos 7.5︒+=︒-︒+︒（）A ．3B ．3C D ．28．已知一个古典概型的样本空间Ω和事件A ，B 如图所示.其中()()()()12,6,4,8,n n A n B n A B Ω===⋃=则事件A 与事件B （）A ．是互斥事件，不是独立事件B ．不是互斥事件，是独立事件C ．既是互斥事件，也是独立事件D ．既不是互斥事件，也不是独立事件9．数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求.现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，“世界数学通史”，“几何原本”，“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选3门，大一到大三三学年必须将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有（）A ．60种B ．78种C ．84种D ．144种10．函数()()π2sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎝⎭的部分图象如图中实线所示，图中圆C 与()f x 的图象交于M ，N 两点，且M 在y 轴上，则（）A ．函数()f x 在3π,π2⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增B ．圆的半径为3C ．函数()f x 的图象关于点5π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭成中心对称D ．函数()f x 在2021π2023π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减11．已知点M ，N 是抛物线Γ：()220y px p =>和动圆C ：()()()222130x y r r -+-=>的两个公共点，点F 是Γ的焦点，当MN 是圆C 的直径时，直线MN 的斜率为2，则当r 变化时，r MF +的最小值为（）A ．3B ．4C ．5D ．612．定义在()0,∞+上的可导函数()f x ，满足()()22ln f x x f x x x='+，且()1e 2ef =，若(1,,e 4af b f c f ⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b c a>>D ．c b a>>二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知()()()()1,2,3,4,2,2,3,5A B C D --，则AB在CD 上的投影为.14．数列{}n a 的前n 项积为2n ，那么当2n ≥时，n a ＝．15．已知双曲线22221(,0)x y a b a b-=>左右焦点分别为12,F F ，过点1F 作与一条渐近线垂直的直线l ，且l 与双曲线的左右两支分别交于M ，N 两点，若2||MN NF =，则该双曲线的渐近线方程为．16．在锐角ABC 中，内角A ，B ，C 所对应的边分别是a ，b ，c ，且()2sin 2sin cos sin 2c B A a A B b A -=+，则ca的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．记n S 是公差为整数的等差数列{}n a 的前n 项和，11a =，且51a -，82a -，123a -成等比数列．(1)求n a 和n S ；(2)若1n n b S =，求数列{}n b 的前20项和20T ．18．今天，中国航天仍然迈着大步向浩瀚字宙不断探索，取得了举世瞩目的非凡成就.某学校为了解学生对航天知识的知晓情况，在全校学生中开展了航天知识测试（满分100分），随机抽取了100名学生的测试成绩，按照[)60.70，[)7080，，[)8090，，[]90100，分组，得到如图所示的样本频率分布直方图：(1)根据频率分布直方图，估计该校学生测试成绩的中位数；(2)从测试成绩在[]90100，的同学中再次选拔进入复赛的选手，一共有6道题，从中随机挑选出4道题进行测试，至少答对3道题者才可以进入复赛.现有甲、乙两人参加选拔，在这6道题中甲能答对4道，乙能答对3道，且甲、乙两人各题是否答对相互独立，记甲、乙两人中进入复赛的人数为ξ，求ξ分布列及期望.19．如图，三棱柱111ABC A B C -中，1112AB BC B A B C B B =====D 是AC 的中点，1AB BD ⊥．(1)证明：1B D ⊥平面ABC ；(2)求点1B 到平面11ACC A 的距离；(3)求平面11A B C 与平面1AB C 的夹角的余弦值．20．已知()21ln 22f x a x x x =+-（R a ∈且0a ≠），()cos sin g x x x x =+．(1)求()g x 在[],ππ-上的最小值；(2)如果对任意的[]1,x ππ∈-，存在21,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()212f x ag x x -≤成立，求实数a 的取值范围．21．已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>过两点(2，()6,1-，椭圆的上顶点为P ，圆C ：()(222103x y r r -+=<<在椭圆E 内．(1)求椭圆E 的方程；(2)过点P 作圆C 的两条切线，切点为A 、B ，切线PA 与椭圆E 的另一个交点为N ，切线PB 与椭圆E 的另一个交点为M ．直线AB 与y 轴交于点S ，直线MN 与y 轴交于点T ．求ST 的最大值，并计算出此时圆C 的半径r ．选考题部分请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为π2cos 44ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.(1)求圆C 的极坐标方程和直线l 的直角坐标方程；(2)已知点1,02M ⎛⎫⎪⎝⎭，且直线l 与圆C 交于A 、B 两点，求11MA MB -的值.23．不等式选讲已知,,a b c 均为正实数，函数()49f x x a x b c =-+++的最小值为4．(1)求证：9ab bc ca abc ++≥；(2)求证：64ab bc ca +．1．D【分析】解指数，对数不等式，求出集合,A B 后，结合集合的运算即可求出结果。
高三数学第四次模拟试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = 2x - 3，若函数g(x) = f(x + 1) - f(x)，则g(x)的图像的对称轴是：A. x = 1B. x = 2C. x = 3D. x = 42. 下列各式中，正确的是：A. log2(3) > log3(2)B. log2(4) = log2(2)C. 2^log3(8) = 8D. log2(1/2) = -log2(2)3. 若复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则z的实部是：A. 0B. 1C. -1D. 不存在4. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，若存在实数a，使得f(a) = 0，则a的取值范围是：A. (-∞, 2)B. [2, +∞)C. (-∞, 0) ∪ (0, +∞)D. (-∞, 0) ∪ [2, +∞)5. 若直线y = kx + b与圆x^2 + y^2 = 1相切，则k和b的关系是：A. k^2 + b^2 = 1B. k^2 + b^2 = 0C. k^2 + b^2 = 2D. k^2 + b^2 = -16. 下列函数中，为奇函数的是：A. y = x^3B. y = x^2C. y = x^4D. y = x^57. 已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，若a1 + a3 + a5 = 0，则a2 + a4的值为：A. 0B. a1C. -a1D. 2a18. 若复数z = 3 + 4i，则|z - 2i|^2的值为：A. 25B. 36C. 49D. 649. 下列不等式中，恒成立的是：A. x^2 + 2x + 1 > 0B. x^2 - 2x + 1 > 0C. x^2 + 2x - 1 > 0D. x^2 - 2x - 1 > 010. 若函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x + 2在x = 1处取得极值，则该极值为：A. -2B. 0C. 2D. -4二、填空题（本大题共5小题，每小题10分，共50分）11. 若复数z = 1 + i，则|z|^2的值为______。
高三数学第四次模拟考试试题 理含解析 试题
东北师范大学附属中学2021届高三数学第四次模拟考试试题 理〔含解析〕制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，在每一小题给出四个选项里面，只有一项符合题目要求.{}0,1,2,3,4A =，{}2,B x x k k Z ==∈，那么A B ⋂=〔 〕A. {}4,2B. {}0,2,4C. {}2,0D. {}0,4【答案】B 【解析】 【分析】由k Z ∈可知B 是偶数集，再根据集合的交运算得到最后结果。
【详解】因为集合B 是偶数集，所以{}0,2,4A B ⋂=，应选B. 【点睛】此题考察了集合的运算，属于根底题。
i z a b =+〔a ，b ∈R ，i 是虚数单位〕，且22i z =-，那么有〔 〕 A. 1a b +=-B. 1a b -=-C. 0=-b aD.0=+b a【答案】D 【解析】 【分析】将22()z a bi =+,再和2i -的实部和虚部比照，得出结果.【详解】因为2222()()22z a bi a b abi i =+=-+=-，所以220a b -=，22ab =-，解得11a b =⎧⎨=-⎩或者11a b =-⎧⎨=⎩，所以0=+b a ，应选D.【点睛】此题考察了复数的乘法运算，属于根底题。
1a =，1(,)2b m =，假设()()a b a b +⊥-，那么实数m 的值是〔 〕A. 12±B.32C.12D. 23±【答案】D 【解析】 【分析】由向量的几何意义，因为()()a b a b +⊥-，所以()()0a b a b +⋅-=，再运用向量积的运算得到参数m 的值.【详解】因为()()a b a b +⊥-，所以()()0a b a b +⋅-=，所以220a b-=，将1a =和2221()2b m =+代入，得出234m =，所以32m =±，应选D.【点睛】此题考察了向量的数量积运算，属于根底题。
2024届湘豫名校联考高三下学期第四次模拟考试数学试题+答案
湘豫名校联考2024届春季学期高三第四次模拟考试数学1．在复数范围内方程2220注意事项：1．考试时间120分钟，满分150分．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在试卷指定位置，并将姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上，然后认真核对条形码上的信息，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．作答非选择题时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将试卷和答题卡一并收回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．x x −+=的两个根分别为1x ，2x ，则212x x +=（ ） A ．1BCD2．已知集合()(){}21450A x x x =∈−−≤N ，{}2100x B x =∈>Z ，则()A B =Z （ ） A ．{}4,5,6,7B ．{}4,5,6C ．{}5,6,7D ．{}5,63．已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>与矩形ABCD 的四条边都相切，若4AB =，2AD =，则E 的离心率为（ ） AB ．12CD ．134．已知π2sin 123θ +=，则πsin 23θ−=（ ） A ．59−B ．59C ．19−D ．195．在某次游戏中，甲、乙分别用弓箭对准同一个弓箭靶，两人同时射箭．已知甲、乙中靶的概率分别为0.5，0.4，且两人是否中靶互不影响，若弓箭靶被射中，则只被甲射中的概率为（ ） A ．27B ．37C ．47D ．576．如图，A ，B 和C ，D 分别是函数()()π2sin 06f x x ωω=+>图象的两个最低点和两个最高点，若四边形ABCD 的面积为8π，且()f x 在区间3π,4a上是单调函数，则实数a 的最大值是（ ）A ．5π6B ．13π12C ．7π6D ．5π47．已知函数()()23log 31x f x x =+−，则满足()()21f x f x −>的x 的取值范围为（ ） A ．()1,+∞B ．()1,1,3−∞+∞C ．1,13D ．()1,1,3−∞−+∞8．中国古代建筑中重要的构件之一——柱（俗称“柱子”）多数为木造，属于大木作范围，其中，瓜棱柱是古建筑木柱的一种做法，即木柱非整根原木，而是多块用榫卯拼合而成．宁波保国寺大殿的瓜棱柱，一部分用到了“包镶式瓜棱柱”形式，即在一根木柱周围，根据需要再用若干根一定厚度的木料包镶而成的柱子，图1为“包镶式瓜棱柱”，图2为此瓜棱柱的横截面图，中间大圆木的直径为2R ，外部八根小圆木的直径均为2r ，所有圆木的高度均为h ，且粗细均匀，则中间大圆木与一根外部小圆木的体积之比为（ ）图1 图2A 1−B ．4+−C ．3D ．5+−二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知(),m n m n ≠为实数，随机变量()2~1,X N σ，且()()P X m P X n ≤=≥，则（ ）A ．1mn <B ．224m n +>C ．222m n +<D ．112m n+> 10．已知四棱锥P ABCD −的底面ABCD 是边长为4的正方形，P A ⊥平面ABCD ，且4PA =，E ，F ，G分别为PB ，PD ，BC 的中点，点Q 是线段P A 上靠近点P 的四等分点，则（ ） A ．EG ∥平面PCDB ．直线FG 与AB 所成的角为30°C ．EQ FG ∥D ．经过E ，F ，G 的平面截四棱锥P ABCD −所得到的截面图形的面积为11．已知抛物线()2:20y px p τ=>，点()1,2A 为τ上一点，直线l 与τ交于B ，C 两点（异于A 点），与x 轴交于M 点，直线AC 与AB 的倾斜角互补，则（ ） A ．线段BC 中点的纵坐标为2− B ．直线l 的倾斜角为3π4C ．当MB MC BC ⋅=时，M 点为τ的焦点 D ．当直线l 在y 轴上的截距小于3时，△ABC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知向量)a λ=，()0,1b =− ，若a 在b 上的投影向量为b − ，则λ的值为______．13．设n S {}n a 的前n 项和，若4210n n S S =，则3n nSS =______． 14．已知函数()[)[)()[)21,0,1,41,1,2,222,2,x x x f x x f x x −∈ −∈ −∈+∞ 的图象在区间[]()*22,2n n n −∈N 内的最高点对应的坐标为(),n n x y ，则集合{}**1,11000,,k m k y x m k m =+≤≤∈∈N N 中元素的个数为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且22sin cos 2Ba b A c b −=−． （1）证明：2a b c +=； （2）若π3B =，△ABC的面积为b ． 16．（本小题满分15分）如图，在三棱锥P ABC −中，平面P AC ⊥平面PBC ，△P AC 和△ABC 均为等腰直角三角形，且PA PC ==，PB =．（1）证明：平面ABC ⊥平面P AC ；（2）设BF BP λ= ，01λ<<，若平面P AB 与平面ACF λ的值． 17．（本小题满分15分）连续抛掷一枚质地均匀的骰子()*n n ∈N 次，第()*,k k n k ≤∈N 次抛掷落地时朝上的点数记为k a ，{}1,2,3,4,5,6k a ∈．（1）若4n =，记出现k a 为奇数的次数为X ，求随机变量X 的分布列和期望；（2）若5n =，求事件“()11,2,3,4i i a a i +≤=”的概率． 18．（本小题满分17分）已知O 为坐标原点，双曲线()22:10,0y C a b b=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过C 上一点P 作C的两条渐近线的平行线，分别交y 轴于M ，N 两点，且1OM ON ⋅=，12F PF △内切圆的圆心到y 轴的距（1）求C 的标准方程；（2）（ⅰ）设点()00,Q x y 为C 上一点，试判断直线013xx yy −=与C 的位置关系，并说明理由； （ⅱ）设过点2F 的直线与C 交于A ，B 两点（异于C 的两顶点），C 在点A ，B 处的切线交于点E ，线段AB 的中点为D ，证明：O ，D ，E 三点共线． 19．（本小题满分17分）在平面直角坐标系Oxy 中，定义：如果曲线1C 和2C 上分别存在点M ，N 关于x 轴对称，则称点M 和点N 为1C 和2C 的一对“关联点”． （1）若221:6C x xy y ++=上任意一点P 的“关联点”为点Q ，求点Q 所在的曲线方程和OP OQ +的最小值；（2）若()()22221:40C x y xyy x +=≥>上任意一点S 的“关联点”为点T ，求ST的最大值；（3）若1:2ln 2C yx ax =−和()22:11C y a x =−+在区间()0,+∞上有且仅有两对“关联点”，求实数a 的取值范围．湘豫名校联考2024届春季学期高三第四次模拟考试数学参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案DDACBCBDABACDABD一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．D 【解析】由2220x x −+=，得()211x −=−，解得1i x =±， 即11i x =+，21i x =−或11i x =−，21i x =+．所以1223i x x +=±．故选D ． 2．D 【解析】因为()(){}{}{}21450575,6,7A x x x x x =∈−−≤=∈≤≤=N N ，{}{}21007x B x x x =∈>=∈≥Z Z ，所以(){}7B x x =∈<Z Z ， 所以(){}5,6A B =Z ．故选D ．3．A 【解析】根据题意，得24a =，22b =，则2a =，1b =，所以c =E 的离心率为c e a ==．故选A ． 4．C 【解析】πππsin 2sin 2462θθ−=+−2ππ41cos 212sin 1261299θθ=−+=−++=−+×=−．故选C ．5．B 【解析】设事件A =“甲中靶”，B =“乙中靶”，C =“弓箭靶被射中”， 则()0.5P A =，()0.4P B =，所以()0.50.60.3P AB =×=，()0.50.40.2P AB =×=，()0.50.40.2P AB =×=．所以()()()()0.30.20.20.7P C P AB P AB P AB =++=++=．所以()()()0.330.77P AB P AB C P C ===．故选B ．6．C 【解析】由题意，得四边形ABCD 为平行四边形，且22πAB ω=×，AB 与CD 之间的距离为4，则2π428πω××=，解得2ω=． 函数sin 2y x =在区间3,44π5π 上是增函数，对于()πsin 212f x x=+， 将函数sin 2y x =的图象向左平移π12个单位长度， 即得()πsin 212f x x=+的图象，所以a 的最大值是12125πππ67−=．故选C ． 7．B 【解析】由题易得()f x 的定义域为R ，()()()233log 31log 33x x x f x x −=+−=+． 因为()()()3log 33x x f x f x −−=+=，所以()f x 偶函数．当0x ≥时，令()33xxu x −=+，则()()33ln 30x x u x −′=−≥， 所以()u x 在[)0,+∞上单调递增，所以()f x 在[)0,+∞上单调递增． 由()()21f x f x −>，得()()21fx f x −>，所以21x x −>，两边平方并整理，得23410x x −+>，解得()1,1,3x ∈−∞+∞．故选B ． 8．D 【解析】八根小圆木截面圆的圆心构成一个正八边形，边长为2r ， 相邻两根小圆木圆心与大圆木圆心构成一个底边长为2r ，腰长为R r +，顶角为π4的等腰三角形．方法一：根据余弦定理，得()()222422r R r R r +−+，解得1Rr−， 所以中间大圆木与一根外部小圆木的体积之比为)2222215ππR h R r r h =−=+−方法二：因为πsin 8rR r =+，2ππcos 12sin 48=−所以r R r =+1R r Rr r+=+=所以1Rr−，所以22225ππR r R h r h ==+−．故选D ． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．AB 【解析】由正态曲线的对称性，可得2m n +=，因为m n ≠，所以222122m n mn + <==，A 正确；224m n +>，B 正确； ()()22224m n m n +>+=，即222m n +>，C 错误；由于当1m =−，3n =时，满足2m n +=，但11223m n +=−<，D 错误．故选AB ． 10．ACD 【解析】因为EG 是△PBC 的中位线，所以EG PC ∥，又EG ⊄平面PCD ，PC ⊂平面PCD ，所以EG ∥平面PCD ，A 正确．如图，取P A 的中点M ，连接MF ，BM ，则2PM AM ==，MF AD ∥且2MF =． 因为BG AD ∥且2BG =，所以MF BG ∥且MF BG =． 所以四边形MFGB 为平行四边形，所以BM FG ∥，所以∠MBA 或其补角即为直线FG 与AB 所成的角．由P A ⊥平面ABCD ，得PA AB ⊥．因为21tan 42AM MBA AB ∠===， 所以FG 与AB 所成角的正切值为12，B 错误．由题意，得Q 是PM 的中点，所以EQ BM ∥．又MB BG ∥，所以EQ FG ∥，C 正确． 显然E ，G ，F ，Q 四点共面，取CD 的中点H ，连接FH ，GH ， 可得四边形EGHF 为平行四边形，所以E ，G ，H ，F 四点共面， 所以E ，G ，H ，F ，Q 五点共面，即五边形EGHFQ 即为所求的截面．设AC GH T = ，则QT PC ∥，且3344QT PC ==×12EGPC ==，12GH BD == 因为PA BD ⊥，AC BD ⊥，PA AC A = ，所以BD ⊥平面P AC ．所以BD PC ⊥．又BD GH ∥，EG PC ∥，所以EG GH ⊥，所以()1122EGHFQ S EG GH EF QT EG =×+×−=+×−=五边形， D 正确．故选ACD ．11．ABD 【解析】将()1,2A 代入22y px =，可得2p =，所以τ的方程为24y x =．设()11,B x y ，()22,C x y ，则1121112241214AB y y k y x y −−===−+−，同理242AC k y =+． 因为直线AC 与AB 的倾斜角互补，所以0AB AC k k +=， 即()()121212121644402242y y y y y y y y +++==+++++，解得124y y +=−，且124y y ≠， 所以BC 中点的纵坐标为2−，A 正确．因为1212221112124144BC y y y y k y y x x y y −−====−−+−， 所以l 的倾斜角为3π4，B 正确．设(),0M m ，则l 的方程为x y m =−+， 由24,,y x x y m = =−+ 得2440y y m +−=．根据()1610m ∆=+>，解得1m >−，所以124y y +=−，124y y m =−，则2y BC =−==28MB MC y m ⋅==，所以8m ×=，解得12m =−或1m =，C 错误．当l 在y 轴上的截距小于3时，即13m −<<． 因为点A 到lABC 的面积为23S =×−=．设函数()()()213h m m m =+−，13m −<<，则()()()313h m m m ′=−⋅−，令()0h m ′=，得13m =或3m =（舍去）． 当11,3m ∈−时，()0h m ′>，()h m 单调递增；当1,33m ∈时，()0h m ′<，()h m 单调递减，所以13m =时，()h m 取得最大值25627，所以S，D 正确．故选ABD ． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．1 【解析】由题意，得a 在b 上的投影向量为a b bb b b⋅⋅=− ，即2a b b ⋅=−．结合已知，得1λ−=−，解得1λ=．13．13 【解析】设数列{}n a 的公比为q ，由题意，显然10a >，0q >且1q ≠，则()()41242211111011n n n n n a q S q q S a q q −−==+=−−，解得3nq =，所以()()312311111391311n n nn nn a q S q q q S a q q−−==++=++=−−． 14．10 【解析】作出函数()y f x =在区间[)0,2上的图象， 如图，根据函数的单调性，此时()()max11f x f ==．又当2x ≥时，()(22f x f x =−，所以当2x ≥时，()()122f x f x =+， 部分函数图象如图，由图象可得11x =，23x =，35x =， (21)x n =−， 11y =，22y =，34y =，…，12n n y −=，即122k m −=，即[]21,10002k m −=∈， 解得211k ≤≤，即k =2，3，4，…，10，11，故集合{}**1,11000,,k m k y x m k m =+≤≤∈∈N N 中的元素个数为112110−+=．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．【解析】（1）由已知，得()1cos cos a B b A cb −−=−，由正弦定理，得()sin 1cos sin cos sin sin A B B A C B −−=−， 即()sin sin sin cos sin cos sin A B A B B A C +−+=， 即()sin sin sin sin A B A B C +−+=． 由πA B C ++=，得()sin sin A B C +=， 所以sin sin 2sin A B C +=．由正弦定理，得2a b c +=．（2）因为1sin 2ABCS ac B ==△，所以16ac =①． 由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+−，即222b a c ac =+−． 由（1），得2b c a =−，所以222244a c ac a c ac +−=+−， 化简，得c a =，代入①，得4c a ==，所以4b =．16．【解析】（1）由题意，得PC PA ⊥，所以2AC ===．因为平面PAC ⊥平面PBC ，且平面PAC 平面PBC PC =，PA ⊂平面P AC ， 所以PA ⊥平面PBC ．因为PB ⊂平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以PA PB ⊥，PA BC ⊥．所以2228AB PA PB =+=，即AB = 又因为△ABC 为等腰直角三角形，2AC AB =<， 所以2AC BC ==，AC BC ⊥因为PA ⊂平面P AC ，AC ⊂平面P AC ，PA AC A = ，所以BC ⊥平面P AC ． 又因为BC ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面P AC ． （2）取AC 的中点O ，AB 的中点E ，连接PO ，OE ， 则OE BC ∥，AC PO ⊥，所以AC OE ⊥． 由（1）知平面ABC ⊥平面P AC ，因为平面ABC 平面PAC AC =，PO ⊂平面P AC ，所以PO ⊥平面ABC ． 因为OE ⊂平面ABC ，所以PO OE ⊥， 如图，以O 为坐标原点建立空间直角坐标系， 则()0,0,1P ，()1,0,0A −，()1,2,0B ，()1,0,0C ．所以()1,0,1AP = ，()1,2,1BP =−−，()2,0,0AC = ． 由(),2,BF BP λλλλ==−− ，得()1,22,F λλλ−−，所以()2,22,AF λλλ−=−．设平面P AB 的法向量为()111,,m x y z =， 则0,0,m AP m BP ⋅= ⋅=即111110,20.x z x y z +=−−+= 令11x =，则平面P AB 的一个法向量为()1,1,1m−− ． 设平面ACF 的法向量为()222,,n x y z =， 则0,0,n AF n AC ⋅= ⋅=即()()222222,2200.z x x y λλλ−+−+== 令2y λ=，则平面ACF 的一个法向量为()0,,22n λλ=− ．设平面P AB 与平面ACF 的夹角为θ，则cos cos ,m n m n m n θ⋅=== ， 整理，得2101340λλ−+=，解得12λ=或45λ=． 所以λ的值为12或45． 17．【解析】（1）由题易得，抛掷一枚骰子1次，出现k a 为奇数的概率为12， 出现k a 不是奇数的概率也为12，X 的可能取值为0，1，2，3，4． 因为()44110C 216P X=== ，()3141111C 224P X ==××= ， ()22241132C 228P X ==××=，()31341113C 224P X ==××= ， ()444114C 216P X ==×= ， 所以X 的分布列为（2）记事件A 为事件“()11,2,3,4i i a a i +≤=”，则事件A 包含以下5种情况：①抛掷5次出现的点数相同，有6种可能；②抛掷5次出现的点数有2个数字，有364C 60×=种可能； ③抛掷5次出现的点数有3个数字，有366C 120×=种可能； ④抛掷5次出现的点数有4个数字，有464C 60×=种可能；⑤抛掷5次出现的点数有5个数字，有56C 6=种可能，所以()566012060762166P A +++=+=， 即事件“()11,2,3,4i i a a i +≤=”的概率为7216． 18．【解析】（1）设(),P P P x y ，则22221P P x y a b−=． 不妨设直线PM 的方程为()P P b y y x x a −=−，则直线PN 的方程()P P b y y x x a −=−−． 令0x =，得0,P P b M x y a−+ ，0,P P b N x y a +， 所以2222222222221P P P P P P P P bx bx b b b OM ON y y y x x b x b a a a a a⋅=−⋅+=−=−−==． 设12F PF △的内切圆（圆心为I ）分别与1PF ，2PF ，12F F 切于点R ，S ，T ，则2a 所以T 为C 的顶点，所以IT x ⊥轴，I 的横坐标为a ±，所以a =．故C 的标准方程为2213x y −=． （2）（ⅰ）由22001,31,3x y xx yy −= −= 得()2222000036990y x x x x y −+−−=， 结合220033x y −=，得220020x x x x −+=，所以2200440x x ∆=−=． 所以直线0013xx yy −=与C 相切． （ⅱ）由题易得直线AB 的斜率不为0．设直线AB 的方程为2x ty =+，代入2233x y −=，得()224310t t y y ++−=，其中()()222230,16431210,t t t t −≠∆=−−=+>设()11,A x y ，()22,B x y ，则12243t y y t −+=−，12213y y t =−． 由（ⅰ），C 在点A ，B 处的切线方程分别为1133x x y y −=，2233x x y y −=． 两式联立，得()()()()()()212121122112212133332222y y y y y y x x y x y ty y ty y y y −−−===−+−+−， ()()()()1121212232323x x y y y x y x x t y −−−−==，即3,22t E． 所以直线OE 的方程为3t y x =． 由2,,3x ty t y x =+= 解得226,32,3x t t y t −= −−=− 即直线AB 与OE 的交点为21262,33t t t D − −− −． 又122223D y y t y t +−==−，22262233D D t x ty t t t −−=+=⋅+=−−， 即21262,33t t t D − −−−，所以D 与1D 重合． 故O ，D ，E 三点共线．19．【解析】（1）设点(),Q x y ，则点Q 的“关联点”为(),P x y −， 代入226x xy y ++=，得()()226x x y y +−+−=，即226x xy y −+=， 所以点Q 所在的曲线方程为226x xy y −+=． 根据对称性，OP OQ =，则2OP OQ OQ +==． 由226x xy y −+=，得2222662x y x y xy +++≥−+=，即222262x y x y ++≥−+， 解得224x y +≥，当且仅当x y =−且226x xy y −+=， 即x=，y=x=，y =故当x=，y =x=，y =时，()min 4OP OQ +=．（2）设(),S x y ，则根据对称性，得2ST y =．设()2220x y mm +=>，cos x m θ=，ππsin 42y m θθ ≤< ， 代入()22224x y xy +=，得24cos sin m θθ=， 所以3ππsin 4cos sin 42y m θθθθ ==≤<．方法一：令cos 0t t θ =<≤，则()()32241f t t t =−， 所以()()()()()3112222223114112161222f t t t t t t t t ′=−+×−×−=−−×+− ．当102t <<时，()0f t ′>；当12t <≤()0f t ′<，所以()f t 在10,2上单调递增，在12 上单调递减，所以12t =是()f t 的最大值点，即()max 12f t f ==故()max 2ST =．方法二：226222216cos sin 3cos sin sin sin y θθθθθθ=×××42222163cos sin sin sin 273416θθθθ +++≤×=，当且仅当22sin 3cos θθ=，即tan θ=时取等号，所以0y <≤故max 2ST =． （3）1:2ln 2C yx ax =−和()22:11C y a x =−+在区间()0,+∞上有且仅有两对“关联点”， 等价于曲线2ln 2y x ax =−和()211y a x =+−有且仅有两个交点． 设函数()()()222ln 2112ln 121h x x ax a x x a x ax =−−+−=−+−+， 则()h x 在区间()0,+∞上有两个零点．()()()()21112212x a x h x a x a x x++− ′=−+−=，()0,x ∈+∞． ①当1a ≤−时，()0h x ′>恒成立，则()h x 在()0,+∞上单调递增， ()h x 不可能有两个零点；②当1a >−时，由()0h x ′>，得10,1x a∈ + ；由()0h x ′<，得1,1x a ∈+∞ +， 所以()h x 在10,1a+ 上单调递增，在1,1a +∞ +上单调递减． 因为()()22ln 1212ln 21h x x a x ax x ax =−+−+<−+， 方法一：所以()222222e 2ln e 130e ea a h −−<−+=−−<； （因为1a >−，故存在a ′，使得21e 1a −<′+） 设()ln 1x x k x =−+，0x >，则()111x k x x x −′=−=， 当01x <<时，()0k x ′>；当1x >时，()0k x ′<， 所以()k x 在（0，1）上单调递增，在()1,+∞上单调递减．所以()k x 在1x =处取得极大值，也是最大值，()()max10k x k ==． 所以ln 1x x ≤−，从而1ln 2x x <−， 即()()()()()2212ln 12121212112h x x a x ax x a x ax x a a x=−+−+<−−+−+=−−+． 取()021111a x a a −>>++，则()()()0002110h x x a a x <−−+< ． （因为1a >−，()0,x ∈+∞，故存在011x a >+，如03x =，12a =−，32>）． （方法二：当0x →时，()h x →−∞；当x →+∞时，()h x →−∞．） 因此，要使()h x 有两个零点，只需101h a >+ ， 即()21112ln 1210111a a a a a −+⋅−⋅+> +++，化简得()2ln 101a a a ++<+． 令函数()()()2ln 111x m x x x x =++>−+， 因为()()221011m x x x ′=+>++，所以()m x 在()1,−+∞上单调递增． 又()00m =，所以当10x −<<时，()()00m x m <=，从而()2ln 101a a a ++<+， 所以不等式()2ln 101a a a ++<+的解集为()1,0−． 故实数a 的取值范围是()1,0−．。
高三数学四模试卷理科答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 答案：D。
解析：由题意知，函数f(x)的图像关于点(2,0)对称，因此f(4) =f(0) = 0。
2. 答案：A。
解析：函数y = x^3 - 3x + 2的导数y' = 3x^2 - 3，令y' = 0，得x = ±1。
将x = 1代入原函数，得y = 0；将x = -1代入原函数，得y = -4。
故当x = 1时，函数取得极大值，极大值为0。
3. 答案：C。
解析：由题意知，向量a = (2,3)，向量b = (4,-3)。
则a·b =2×4 + 3×(-3) = 8 - 9 = -1。
4. 答案：B。
解析：函数y = log2(x+1)在定义域内单调递增，因此y = log2(x+1)的值域为(-∞, +∞)。
5. 答案：D。
解析：函数y = 1/x在定义域内单调递减，因此y = 1/x的图像是开口向下的双曲线。
6. 答案：A。
解析：函数y = sin(x)在[0, π]上单调递增，因此y = sin(x)的最大值为1。
7. 答案：C。
解析：由题意知，a = (2,3)，b = (4,-3)。
则|a| = √(2^2 + 3^2) = √13，|b| = √(4^2 + (-3)^2) = 5。
8. 答案：B。
解析：函数y = e^x在定义域内单调递增，因此y = e^x的最小值为e^0 = 1。
9. 答案：D。
解析：函数y = x^2 - 4x + 4的图像是一个开口向上的抛物线，顶点坐标为(2,0)。
10. 答案：C。
解析：由题意知，函数f(x) = x^3 - 3x + 2在x = 1时取得极大值，因此f'(1) = 0。
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11. 答案：-1/2。
12. 答案：2π。
13. 答案：π/4。
14. 答案：2。
15. 答案：1。
高三数学四模考试试题 理含解析 试题
三中2021届高三年级第四次模拟考试数学〔理科〕才能测试一、选择题〔在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的〕 1.假设复数1z ii=+〔i 为虚数单位〕，那么z z ⋅=〔 〕 A.12i B. 14- C. 14D.12【答案】D 【解析】 【分析】易知2||z z z ⋅=，结合复数模的运算法那么求解其值即可.【详解】由题意可得：2221|12|i z z z i ⎛⎫⋅====⎪ ⎪+⎝⎭. 此题选择D 选项.【点睛】此题主要考察复数的运算法那么及其应用，属于中等题.2.集合{1,0,1,2}M =-，2{|30}N x x x =-<．那么MN =〔 〕A. {0,1}B. {1,0}-C. {1,2}D. {1,2}-【答案】C 【解析】 【分析】先解不等式求出N ，再求M N ⋂即可.【详解】由230x x -<，解得03x <<，那么{|03}N x x =<<. 又{1,0,1,2}M =-，所以{}1,2M N ⋂=. 应选C ．【点睛】此题考察列举法、描绘法表示集合，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．3.设x ∈R ，那么“12x <<〞是“21x -<〞的〔 〕 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】先解不等式，再根据两个解集包含关系得结果.【详解】21121,13x x x -<∴-<-<<<,又1,2()1,3，所以“12x <<〞是“21x -<〞的充分不必要条件，选A. 【点睛】充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“假设p 那么q 〞、“假设q 那么p 〞的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q 〞为真，那么p 是q 的充分条件．2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或者结论是否认式的命题，一般运用等价法．3．集合法：假设A ⊆B ，那么A 是B 的充分条件或者B 是A 的必要条件；假设A ＝B ，那么A 是B 的充要条件．4.某城为理解游客人数的变化规律，进步旅游效劳质量，搜集并整理了2021年1月至2021年12月期间月接待游客量〔单位：万人〕的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，以下结论错误的选项是〔〕A. 月接待游客量逐月增加B. 年接待游客量逐年增加C. 各年的月接待游客量顶峰期大致在7，8月D. 各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比拟平稳【答案】A【解析】【分析】根据折线图的数据，依次判断各个选项所描绘的数据特点，得到正确结果。
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第二学期期末考试模拟试卷4
课程名称：高等数学 闭卷 A 卷 120分钟
一、填空题
1．[3分] (),f x y 在()00,x y 的一阶偏导数连续是(),f x y 在()00,x y 可微的 条件
2．[3分]幂级数()211!n n n x n ∞=-∑在(),-∞+∞的和函数()f x =
3．[3分] 幂级数044n
n n x n ∞
=+∑的收敛半径为
4．[3分]设()22,f xy x y xy x y -=--，则(,)f x y x ∂=∂ ，(,)f x y y
∂=∂ 5．[3分]设区域(){}
222,D x y x y a =+≤，当a = 时，
二重积分D π=
6、[3分]方程245cos x y y y e x '''-+=的特解形式可设为
二、计算
1、[4分]
求(,)(0,0)lim x y → 2、[5分]设,y z F x y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
，其中(),F u v 具有一阶连续偏导数，求z 的全微分 3、[6分]设()()()()()22
22,,0,0,0,,0,0x y xy x y x y f x y x y ⎧-≠⎪+=⎨⎪=⎩
，求()0,0,xx f '' ()0,0,yy f ''()0,0,xy f '' 4、[6分]求2
2,D
x dxdy D y ⎰⎰由1,,2xy y x x ===所围 5、[6分]
求由曲面z =及22z x y =+所围立体的体积
6、[7分将函数()()ln 2f x x =-展开为x 的幂级数，并写出收敛范围
7、[6分]
判别正项级数()3113n n n n ∞
=⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭∑的敛散性 8、[7分] 求微分方程()
2620y x y y '-+=的通解 9、[7分] 设()f x 函数在(,)-∞+∞内满足关系()()2sin f x x f x ''-=-，且曲线()
y f x =
与x 轴切于点,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭
，求()f x 10、[8分]某公司的甲乙两厂生产同一种产品，月产量分别为,x y （千件），甲厂的月生产成本为2125c x x =-+（千元），乙厂的月生产成本为2123c y y =++（千元），若要求该产品每月总产量为8千件，并使总成本最少，求各厂的最优产量及相应的最优成本。
三、证明题
1、[5分] 设函数()f u 处处连续，且满足()()22,,0x y x x y y x y ϕϕ''+=，求证：
(),z f x y ϕ=⎡⎤⎣⎦满足220z z x y x y
∂∂+=∂∂ 2、[7分] 设()f x 连续，求证：()()()()2111b x b
n n a a a dx
x y f y dy b y f y dy n ---=--⎰⎰⎰ 3、[8分] 设4
20tan ,2n
n n n n a a a xdx b π++=
=⎰，证明：级数1n n b ∞=∑收敛
参考答案及提示
一、充分，绝对收敛；()2*21;;1,2cos sin 4x x e y y xe a x b x ---=+ 二、21
1;,,;4u v u v y y dz F F dx F F dy u v x y x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫''''=-++-==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
用定义()0,00x f '=，(),00x f x '=，()0,x f y y '=-，()0,00xx f ''=，()0,01xy f ''=-；12;;46
π ()()1ln 2ln 2ln 1ln 222;22n n n x x x x n ∞=⎛⎫-=+-=--≤< ⎪⎝⎭∑ 收敛；232y x cy =+； ()cos 2sin cos 2;5,3,20183842
x f x x x x x y π=--+==+= 三、1、2、略；3、提示： ()12111,11n n n a a b n n n n
-=-⇒=<-+，用比较判别法。