高数模拟试卷4及答案

第二学期期末考试模拟试卷4

课程名称：高等数学 闭卷 A 卷 120分钟

一、填空题

1．[3分] (),f x y 在()00,x y 的一阶偏导数连续是(),f x y 在()00,x y 可微的 条件

2．[3分]幂级数()211!n n n x n ∞=-∑在(),-∞+∞的和函数()f x =

3．[3分] 幂级数044n

n n x n ∞

=+∑的收敛半径为

4．[3分]设()22,f xy x y xy x y -=--，则(,)f x y x ∂=∂ ，(,)f x y y

∂=∂ 5．[3分]设区域(){}

222,D x y x y a =+≤，当a = 时，

二重积分D π=

6、[3分]方程245cos x y y y e x '''-+=的特解形式可设为

二、计算

1、[4分]

求(,)(0,0)lim x y → 2、[5分]设,y z F x y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭

，其中(),F u v 具有一阶连续偏导数，求z 的全微分 3、[6分]设()()()()()22

22,,0,0,0,,0,0x y xy x y x y f x y x y ⎧-≠⎪+=⎨⎪=⎩

，求()0,0,xx f '' ()0,0,yy f ''()0,0,xy f '' 4、[6分]求2

2,D

x dxdy D y ⎰⎰由1,,2xy y x x ===所围 5、[6分]

求由曲面z =及22z x y =+所围立体的体积

6、[7分将函数()()ln 2f x x =-展开为x 的幂级数，并写出收敛范围

7、[6分]

判别正项级数()3113n n n n ∞

=⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭∑的敛散性 8、[7分] 求微分方程()

2620y x y y '-+=的通解 9、[7分] 设()f x 函数在(,)-∞+∞内满足关系()()2sin f x x f x ''-=-，且曲线()

y f x =

与x 轴切于点,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭

，求()f x 10、[8分]某公司的甲乙两厂生产同一种产品，月产量分别为,x y （千件），甲厂的月生产成本为2125c x x =-+（千元），乙厂的月生产成本为2123c y y =++（千元），若要求该产品每月总产量为8千件，并使总成本最少，求各厂的最优产量及相应的最优成本。

三、证明题

1、[5分] 设函数()f u 处处连续，且满足()()22,,0x y x x y y x y ϕϕ''+=，求证：

(),z f x y ϕ=⎡⎤⎣⎦满足220z z x y x y

∂∂+=∂∂ 2、[7分] 设()f x 连续，求证：()()()()2111b x b

n n a a a dx

x y f y dy b y f y dy n ---=--⎰⎰⎰ 3、[8分] 设4

20tan ,2n

n n n n a a a xdx b π++=

=⎰，证明：级数1n n b ∞=∑收敛

参考答案及提示

一、充分，绝对收敛；()2*21;;1,2cos sin 4x x e y y xe a x b x ---=+ 二、21

1;,,;4u v u v y y dz F F dx F F dy u v x y x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫''''=-++-==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

用定义()0,00x f '=，(),00x f x '=，()0,x f y y '=-，()0,00xx f ''=，()0,01xy f ''=-；12;;46

π ()()1ln 2ln 2ln 1ln 222;22n n n x x x x n ∞=⎛⎫-=+-=--≤< ⎪⎝⎭∑ 收敛；232y x cy =+； ()cos 2sin cos 2;5,3,20183842

x f x x x x x y π=--+==+= 三、1、2、略；3、提示： ()12111,11n n n a a b n n n n

-=-⇒=<-+，用比较判别法