2018年秋高中数学课时分层作业9 离散型随机变量新人教A版选修2-3

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人教版A版高中数学选修2-3：离散型随机变量的均值_课件1

离散型随机变量的均值
• 什么叫做n次独立重复实验？
• 设X表示n次实验中A事件发生的次数，它满足什么分布？分布列如何表示？
P( X k ) Cnk pk (1 p)nk
• 如果X满足二项分布，则记为：X～B (n，p)
算术平均数
• 如果你期中考试各门成绩为： 90、80、77、68、85、91
若X～B (n，p)，则 EX= n p
例3
• 一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有 4个选项，其中仅有一个选项是正确的。每题选对得5分，不选或选错不得分，满分100分。学生甲选对任意一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从各选项中随机地选出一个，分别求学生甲和学生乙在这次测验中的成绩的均值。
那你的平均成绩是多少？
x x1 x2 ... xn n
加权平均数
• 你的期中数学考试成绩为70，平时表现成绩为60，学校规定：在你学分记录表中，该学期的数学成绩中考试成绩占70%、平时成绩占30%，你最终的数学成绩为多少？
x a1x1 a2 x2 ... an xn a1 ... an 1
解：设X1表示甲选对的题数、X2表示乙选对的题数它们都满足二项分布：
X1～B(20，0.9)
X2～B(20，0.25)
所以：EX1= n p =20×0.9=18
EX2= n p =20×0.25=5
甲所得分数的均值为：18×5=90
乙所得分数的均值为： 5×5=25
X
x1
x2
…
x20
P
p1
p2
Ｘ１８
1
Ｐ
2
２４
1
3
３６
1

人教A版数学高二选修2-3课时离散型随机变量

课时达标训练1.抛掷一枚质地均匀的硬币一次,随机变量为( )A.掷硬币的次数B.出现正面向上的次数C.出现正面向上或反面向上的次数D.出现正面向上与反面向上的次数之和【解析】选B.出现正面向上的次数为0或1,是随机变量.2.①某机场候机室中一天的旅客数量X;②连续投掷一枚均匀硬币4次,正面向上的次数X;③某篮球下降过程中离地面的距离X;④某立交桥一天经过的车辆数X.其中不是离散型随机变量的是( )A.①中的XB.②中的XC.③中的XD.④中的X【解析】选C.①、②、④中的随机变量X可能取的值,我们都可以按一定次序一一列出,因此,它们都是离散型随机变量;③中的X可以取某一区间内的一切值,无法按一定次序一一列出,故③中的X不是离散型随机变量.3.6件产品有2件次品,从中任取一件,则下列是随机变量的为( )A.取到产品的个数B.取到正品的个数C.取到正品的概率D.取到次品的概率【解析】选B.因为随机变量为试验的结果,排除C,D,而随机试验的结果应该是不确定的,因此选B.4.下列随机变量中不是离散型随机变量的是________(填序号).①广州白云机场候机室中一天的旅客数量X;②广州某水文站观察到一天中珠江的水位X;③深圳欢乐谷一日接待游客的数量X;④虎门大桥一天经过的车辆数X.【解析】①③④中的随机变量X的所有取值,我们都可以按照一定的次序一一列出,因此它们是离散型随机变量;②中的随机变量X可以取某一区间内的一切值,但无法按一定的次序一一列出,故不是离散型随机变量,故填②.答案:②5.一木箱中装有8个同样大小的篮球,编号为1,2,3,4,5,6,7,8,现从中随机取出3个篮球,以ξ表示取出的篮球的最大号码,则ξ=8表示的试验结果有________种.【解析】从8个球中选出3个球,其中一个的号码为8,另两个球是从1,2,3,4,5,6,7中任取2个球.所以共有=21(种).答案:216.某地上网的费用为月租费10元,上网时每分钟0.04元,某学生在一个月内上网的时间(分)为随机变量X(不足1分钟的按1分钟计算),求该学生在一个月内上网的费用Y,则X与Y是否为离散型随机变量?【解析】由于上网时间不足1分钟按1分钟计,因此X取值范围为1,2, 3,…所以X是一个离散型随机变量.又Y=(0.04X+10)元,所以Y也是一个离散型随机变量.。

高二数学2.3.2离散型随机变量的方差课时作业新人教A版选修2-3

1 B( n， ) ，且
P( ξ ＝ 1) ＝ 3 ，∴ C1n·（1) n－1·(1
2
32
2
13 － 2) ＝ 32，
1n 6 即 n·（2) ＝ 64，解得 n＝ 6，
∴方差
D(
ξ
)
＝
np(1
－
p)＝6× Nhomakorabea1 2×
(1
－
1 2)
＝
3 2.
三、解答题
10．下图是某市 3 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于
C． p 和 1－ p
D． p 和 (1 －p) p
[ 答案 ] D [ 解析 ] 由 X 的分布列知， P( X＝ 0) ＝ 1－ p， P( X＝ 1) ＝p，故 E( X) ＝0×(1 － p) ＋1× p
＝p，易知 X 服从两点分布，∴ D( X) ＝p(1 － p) ．
4．已知随机变量 ξ 和 η，其中 η＝ 10ξ＋ 2，且 E( η) ＝ 20，若 ξ 的分布列如下表，则 m
的值为 ( )
ξ1 23
4
1
1
P
mn
4
12
47
37
27
A．60 B ． 60 C ．60
1 D． 8
[ 答案 ] A
[ 解析 ] ∵ E( η) ＝ E(10 ξ＋ 2) ＝10E( ξ) ＋2＝ 20， ∴ E( ξ) ＝ 1.8
1
1
即： 1× ＋ 2m＋ 3n＋4× ＝ 1.8 ，
4
12
73 ∴ 2m＋3n＝ 60①
100 表示空气
质量优良，空气质量指数大于中的某一天到达该市，并停留
200 表示空气重度污染．某人随机选择 2 天．

2019-2020人教A版数学选修2-3 课时分层作业9 离散型随机变量

课时分层作业(九)离散型随机变量(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．给出下列四个命题：①15秒内，通过某十字路口的汽车的数量是随机变量；②在一段时间内，某候车室内候车的旅客人数是随机变量；③一条河流每年的最大流量是随机变量；④一个剧场共有三个出口，散场后某一出口退场的人数是随机变量．其中正确的个数是()A．1B．2C．3D．4D[由随机变量定义可以直接判断①②③④都是正确的．故选D.]2．已知下列随机变量：①10件产品中有2件次品，从中任选3件，取到次品的件数X；②6张奖券中只有2张有奖，从这6张奖券中随机的抽取3张，用X表示抽到有奖的奖券张数；③某运动员在一次110米跨栏比赛中的成绩X；④在体育彩票的抽奖中，一次摇号产生的号码数X.其中X是离散型随机变量的是()A．①②③B．②③④C．①②④D．③④C[③中X的值可在某一区间内取值，不能一一列出，故不是离散型随机变量．]3．将一枚均匀骰子掷两次，随机变量为()A．第一次出现的点数B．第二次出现的点数C．两次出现的点数之和D．两次出现相同点的种数C[选项A，B，D中出现的点数虽然是随机的，但是其取值所反映的结果，都不能整体反映本试验，C 整体反映两次投掷的结果，可以预见两次出现的点数的和是2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12这十一种结果，但每掷一次之前都无法确定是哪一个，因此是随机变量．]4．抛掷两枚骰子，所得点数之和记为ξ，那么ξ＝4表示的随机试验的结果是( )A ．一枚是3点，一枚是1点B ．两枚都是2点C ．两枚都是4点D ．一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点D [ξ＝4可能出现的结果是一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点．]5．抛掷两枚骰子一次，X 为第一枚骰子掷出的点数与第二枚掷出的点数之差，则X 的所有可能的取值为( )A ．0≤X ≤5，X ∈NB ．－5≤X ≤0，X ∈ZC ．1≤X ≤6，X ∈ND ．－5≤X ≤5，X ∈ZD [两次掷出的点数均可能为1～6的整数，所以X ∈[－5,5](X ∈Z )．]二、填空题6．在一批产品中共12件，其中次品3件，每次从中任取一件，在取得合格品之前取出的次品数ξ的所有可能取值是________．0,1,2,3 [可能第一次就取得合格品，也可能取完次品后才取得合格品．]7．下列变量中，不是随机变量的是________．(填序号)①下一个交易日上证收盘指数；②标准大气压下冰水混合物的温度；③明日上课某班(共50人)请假同学的人数；④小马登录QQ 找小胡聊天，设X ＝⎩⎨⎧1，小胡在线，0，小胡不在线.② [标准大气压下冰水混合物的温度是0 ℃，是一个确定的值，不是随机变量，①③④都是随机变量．]8．在一次比赛中，需回答三个问题，比赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，则选手甲回答这三个问题的总得分ξ的所有可能取值是____________．300,100，－100，－300[可能回答全对，两对一错，两错一对，全错四种结果，相应得分为300分，100分，－100分，－300分．]三、解答题9．判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．(1)某地“行风热线”某天接到电话的个数．(2)新赛季，梅西在某场比赛中(90分钟)，上场比赛的时间．(3)对角线互相垂直且长度分别为6和8的四边形的面积．[解](1)接到电话的个数可能是0,1,2，…出现哪一个结果都是随机的，所以是随机变量．(2)梅西在某场比赛中上场比赛的时间在[0,90]内，是随机的，所以是随机变量．(3)对角线互相垂直且长度分别为6和8的四边形的面积是定值，所以不是随机变量．10．某篮球运动员在罚球时，命中1球得2分，不命中得0分，且该运动员在5次罚球中命中的次数ξ是一个随机变量．(1)写出ξ的所有取值及每一个取值所表示的结果；(2)若记该运动员在5次罚球后的得分为η，写出所有η的取值及每一个取值所表示的结果．[解](1)ξ可取0,1,2,3,4,5.表示5次罚球中分别命中0次，1次，2次，3次，4次，5次．(2)η可取0,2,4,6,8,10.表示5次罚球后分别得0分，2分，4分，6分，8分，10分．[能力提升练]1．一用户在打电话时忘了号码的最后四位数字，只记得最后四位数字两两不同，且都大于5，于是他随机拨最后四位数字(两两不同)，设他拨到所要号码时已拨的次数为ξ，则随机变量ξ的所有可能取值的种数为() A．20 B．24C．4 D．18B[由于后四位数字两两不同，且都大于5，因此只能是6,7,8,9四位数字的不同排列，故有A44＝24种．]2．袋中装有10个红球、5个黑球．每次随机摸取1个球，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止．若摸球的次数为ξ，则表示事件“放回5个红球”的是()A．ξ＝4 B．ξ＝5C．ξ＝6 D．ξ≤5C[“放回5个红球”表示前五次摸到黑球，第六次摸到红球，故ξ＝6.故选C.]3．抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为X，则“X>4”表示的试验结果是________．第一枚为6点，第二枚为1点[因为一枚骰子的点数可以是1,2,3,4,5,6六种结果之一，由已知得－5≤X≤5，也就是说“X>4”就是“X＝5”．所以“X>4”表示两枚骰子中第一枚为6点，第二枚为1点．]4．一个木箱中装有8个同样大小的篮球，编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8，现从中随机取出3个篮球，以X表示取出的篮球的最大号码，则{X＝8}表示的试验结果有________种．21[{X＝8}表示“3个篮球中一个编号是8，另外两个从剩余7个编号中选2个”，有C27种选法，即{X＝8}表示的试验结果有21种．]5．一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数为ξ.(1)列表说明可能出现的结果与对应的ξ的值；(2)若规定抽取3个球中，每抽到1个白球加5分，抽到黑球不加分，且最后结果都加上6分．求最终得分η的可能取值，并判定η的随机变量类型．[解](1)值是：5×0＋6,5×1＋6,5×2＋6,5×3＋6.故η的可能取值为{6,11,16,21}，显然η为离散型随机变量.。

2018学年高中数学人教A版选修2-3课件：2.1.1 离散型随机变量精品

【提示】 X＝0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10. 探究 3 抛掷一枚质地均匀的骰子，出现向上的点数为 ξ，则“ξ≥4”表示
的随机事件是什么？
【提示】 “ξ≥4”表示出现的点数为 4 点，5 点，明随机变量所取的值和所表示的随机试验的结果．
(1)袋中有大小相同的红球 10 个，白球 5 个，从袋中每次任取 1 个球，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数；
2．离散型随机变量所有取值可以_一__一__列__出___的随机变量，称为离散型随机变量．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个．( ) (2) 在抛掷一枚质地均匀的硬币试验中， “ 出现正面的次数 ” 为随机变量．( ) (3)随机变量是用来表示不同试验结果的量．( ) (4)试验之前可以判断离散型随机变量的所有值．( ) (5)在掷一枚质地均匀的骰子试验中，“出现的点数”是一个随机变量，它有 6 个取值．( )
2．某人进行射击，共有 5 发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为 ξ，则{ξ＝5}表示的试验结果是( )
A．第 5 次击中目标 B．第 5 次未击中目标 C．前 4 次均未击中目标 D．第 4 次击中目标
【解析】 {ξ＝5}表示前 4 次均未击中，而第 5 次可能击中，也可能未击中，故选 C.
(2)从标有 1,2,3,4,5,6 的 6 张卡片中任取 2 张，所取卡片上的数字之和. 【导学号：97270031】
【精彩点拨】
分析题意
→
写出X可能取的值
→
分别写出取值所表示的结果
【自主解答】 (1)设所需的取球次数为 X，则 X＝1,2,3,4，…，10,11， X＝i 表示前 i－1 次取到红球，第 i 次取到白球，这里 i＝1,2，…，11.

2017-2018学年高中数学人教A版选修2-3教学案：2.3.1 离散型随机变量的均值含解析

2．3．1离散型随机变量的均值预习课本P60～63，思考并完成以下问题1．什么是离散型随机变量的均值？怎么利用离散型随机变量的分布列求出均值？2．离散型随机变量的均值有什么性质？3．两点分布、二项分布的均值是什么？[新知初探］1．离散型随机变量的均值或数学期望若离散型随机变量X的分布列为X x1x2…x i…x nP p1p2…p i…p n则称E（X)＝x1p1＋x2p2＋…＋x i p i＋…＋x n p n_为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．2．离散型随机变量的均值的性质若Y＝aX＋b，其中a,b为常数，则Y也是随机变量且P（Y＝ax i＋b）＝P（X＝x i），i＝1,2,…，n，E(Y）＝E(aX＋b)＝aE（X)＋b．3．两点分布与二项分布的均值(1)若X服从两点分布，则E（X）＝p;(2）若X服从二项分布，即X～B(n，p)，则E（X）＝np．[点睛] 两点分布与二项分布的关系（1）相同点:一次试验中要么发生要么不发生．（2)不同点：①随机变量的取值不同，两点分布随机变量的取值为0，1，二项分布中随机变量的取值X＝0,1，2,…，n．②试验次数不同，两点分布一般只有一次试验;二项分布则进行n次试验．错误!1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”,错误的打“×”) (1）随机变量X的数学期望E（X)是个变量，其随X的变化而变化．( )（2)随机变量的均值与样本的平均值相同．（）(3)若随机变量ξ的数学期望E(ξ)＝3，则E(4ξ－5)＝7．（)答案：(1)×(2）×（3）√2．已知离散型随机变量X的分布列为则X的数学期望E(A ．32B ．2C ．错误!D ．3答案：A3．设随机变量X ～B （16，p ）, 且E (X )＝4，则p ＝________．答案：错误!4．一名射手每次射击中靶的概率均为0．8, 则他独立射击3次中靶次数X 的均值为________．答案:2．4求离散型随机变量的均值[典例］ "或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶"字样即为中奖，中奖概率为错误!．甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料．(1）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；(2)求中奖人数ξ的分布列及均值E （ξ)．［解］ (1）设甲、乙、丙中奖的事件分别为A ，B ，C ，那么 P （A ）＝P (B )＝P (C )＝错误!．P (A ·错误!·错误!)＝P (A ）P （错误!)P （错误!）＝错误!×错误!×错误!＝错误!．故甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率是错误!．（2)ξ的可能取值为0,1,2，3．P（ξ＝k）＝C错误!错误!k错误!3－k，k＝0，1，2,3．P（ξ＝0）＝C0，3×错误!0×错误!3＝错误!；P(ξ＝1)＝C错误!×错误!×错误!2＝错误!；P(ξ＝2)＝C错误!×错误!2×错误!＝错误!，P（ξ＝3)＝C错误!×错误!3×错误!0＝错误!．所以中奖人数ξ的分布列为ξ0123P错误!2572错误!错误!E(ξ)＝0×错误!＋1×错误!＋2×错误!＋3×错误!＝错误!．求离散型随机变量的均值的步骤(1)确定取值:根据随机变量X的意义，写出X可能取得的全部值；（2）求概率：求X取每个值的概率；（3）写分布列：写出X的分布列；(4）求均值：由均值的定义求出E（X)．其中写出随机变量的分布列是求解此类问题的关键所在．［活学活用］1．甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为错误!，乙每次击中目标的概率为错误!，记甲击中目标的次数为X，乙击中目标的次数为Y，（1)求X的概率分布列;（2）求X和Y的数学期望．解：(1）已知X的所有可能取值为0，1,2,3．P(X＝k)＝C错误!错误!k错误!3－k．则P(X＝0）＝C错误!×错误!3＝错误!；P（X＝1)＝C错误!×错误!×错误!2＝错误!；P(X＝2)＝C错误!×错误!2×错误!＝错误!；P(X＝3)＝C错误!×错误!3＝错误!．所以X的概率分布列如下表:(2)由（1)知E(X）＝0×错误!＋1×错误!＋2×错误!＋3×错误!＝1．5，或由题意X～B错误!,Y～B错误!，∴E（X)＝3×错误!＝1．5，E（Y）＝3×错误!＝2．2．某运动员投篮投中的概率P＝0．6．（1)求一次投篮时投中次数ξ的数学期望．(2)求重复5次投篮时投中次数η的数学期望．解:(1）ξ的分布列为：ξ01P．4．6则E(ξ）＝0×0．4＋1×0．6＝0．6，即一次投篮时投中次数ξ的数学期望为0．6．(2）η服从二项分布，即η~B(5，0．6）．∴E（η）＝np＝5×0．6＝3，即重复5次投篮时投中次数η的数学期望为3．离散型随机变量均值的性质［典例] 已知随机变量X的分布列为:X －2－1012若Y＝－2X，则E(Y)＝________．［解析］由随机变量分布列的性质, 得14＋错误!＋错误!＋m＋错误!＝1，解得m＝错误!，∴E（X）＝（－2）×错误!＋（－1）×错误!＋0×错误!＋1×错误!＋2×错误!＝－错误!．由Y＝－2X，得E(Y)＝－2E(X)，即E（Y)＝－2×错误!＝错误!．[答案] 17 15［一题多变]1．［变设问]本例条件不变，若Y＝2X－3，求E(Y)．解:由公式E(aX＋b）＝aE（X)＋b及E（X）＝－错误!得，E(Y）＝E(2X－3)＝2E（X)－3＝2×错误!－3＝－错误!．2．[变条件，变设问］本例条件不变，若ξ＝aX＋3，且E（ξ）＝－错误!, 求a的值．解:∵E(ξ）＝E（aX＋3）＝aE（X）＋3＝－错误!a＋3＝－错误!，∴a＝15．与离散型随机变量性质有关问题的解题思路若给出的随机变量ξ与X的关系为ξ＝aX＋b，a，b为常数．一般思路是先求出E(X),再利用公式E（aX＋b)＝aE(X）＋b求E(ξ)．也可以利用ξ的分布列得到η的分布列，关键由ξ的取值计算η的取值，对应的概率相等，再由定义法求得E（η)．均值的实际应用［典例］的付款期数ξ的分布列为ξ12345P．4．2．2．1．1200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款,其利润为300元．η表示经销一件该商品的利润．（1)求事件A“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款"的概率P（A)；（2)求η的分布列及均值E（η)．［解］(1)由A表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”知,错误!表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”．P(错误!）＝（1－0．4）3＝0．216，P（A)＝1－P（错误!)＝1－0．216＝0．784．(2)η的可能取值为200元，250元，300元．P(η＝200)＝P（ξ＝1)＝0．4，P(η＝250）＝P（ξ＝2)＋P（ξ＝3）＝0．2＋0．2＝0．4,P(η＝300）＝P(ξ＝4）＋P（ξ＝5)＝0．1＋0．1＝0．2，因此η的分布列为η202530P．4．4．2E（η）＝200×0．4＋250×0．4＋300×0．2＝240（元)．1．实际问题中的均值问题均值在实际中有着广泛的应用，如在体育比赛的安排和成绩预测，消费预测，工程方案的预测，产品合格率的预测，投资收益等，都可以通过随机变量的均值来进行估计．2．概率模型的解答步骤(1）审题,确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些．(2）确定随机变量的分布列,计算随机变量的均值．（3）对照实际意义，回答概率、均值等所表示的结论．[活学活用]甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．约定甲先投且先投中者获胜,一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为错误!，乙每次投篮投中的概率为错误!,且各次投篮互不影响．求投篮结束时甲的投球次数ξ的分布列与数学期望．解:设A k，B k分别表示甲、乙在第k次投篮投中，则P(A k)＝错误!，P（B k）＝错误!，（k＝1，2,3）．ξ的所有可能值为1，2,3．由独立性知P(ξ＝1)＝P（A1)＋P（错误!1B1）＝错误!＋错误!×错误!＝错误!，P(ξ＝2）＝P（错误!1错误!1A2)＋P（错误!1错误!1错误!2B2)＝错误!×错误!×错误!＋错误!2×错误!2＝错误!，P(ξ＝3）＝P(错误!1错误!1错误!2错误!2）＝错误!2×错误!2＝错误!．综上知，ξ的分布列为ξ123P 23错误!错误!数学期望为E(ξ)＝1×错误!＋2×错误!＋3×错误!＝错误!．层级一学业水平达标1．若X是一个随机变量，则E(X－E（X))的值为（）A．无法求B．0C．E(X) D．2E（X)解析:选B ∵E（aX＋b）＝aE(X）＋b，而E（X）为常数,∴E （X－E(X))＝E(X）－E（X）＝0．2．若随机变量ξ的分布列如下表所示,则E（ξ）的值为( ）ξ012345P2x3x7x2x3x xA．错误!B．错误!C．错误!D．错误!解析:选C 根据概率和为1，可得x＝错误!,E(ξ)＝0×2x＋1×3x ＋2×7x＋3×2x＋4×3x＋5×x＝40x＝错误!．3．某射击运动员在比赛中每次击中10环得1分，击不中10环得0分．已知他击中10环的概率为0．8,则射击一次得分X的期望是( )A．0．2 B．0．8C．1 D．0解析：选B 因为P(X＝1）＝0．8，P（X＝0）＝0．2,所以E(X）＝1×0．8＋0×0．2＝0．8．4．某班有错误!的学生数学成绩优秀,如果从班中随机地找出5名学生,那么其中数学成绩优秀的学生数ξ~B错误!，则E(－ξ）的值为（）A．错误!B．－错误!C．54D．－错误!解析：选D ∵E（ξ)＝5×错误!＝错误!，∴E（－ξ)＝－E（ξ）＝－54,故选D．5．有10件产品,其中3件是次品，从中任取2件，用X表示取到次品的个数，则E（X)等于( )A．错误!B．错误!C．错误!D．1解析：选A X的可能取值为0,1，2，P(X＝0)＝错误!＝错误!，P （X＝1)＝错误!＝错误!，P(X＝2）＝错误!＝错误!．所以E（X）＝1×错误!＋2×错误!＝错误!．6．一射手对靶射击,直到第一次命中为止，每次命中的概率为0．6，现有4颗子弹，命中后的剩余子弹数目X的数学期望为________．解析:X的可能取值为3，2，1,0,P(X＝3）＝0．6；P（X＝2）＝0．4×0．6＝0．24；P（X＝1)＝0．42×0．6＝0．096;P（X＝0)＝0．43＝0．064．所以E(X）＝3×0．6＋2×0．24＋1×0．096＋0×0．064＝2．376．答案：2．3767．设离散型随机变量X可能的取值为1,2，3，P(X＝k)＝ak＋b(k＝1,2,3）．又X的均值E(X)＝3，则a＋b＝________．解析：∵P（X＝1）＝a＋b，P(X＝2)＝2a＋b，P(X＝3）＝3a＋b,∴E(X）＝1×（a＋b）＋2×（2a＋b）＋3×（3a＋b）＝3，∴14a＋6b＝3．①又∵（a＋b)＋（2a＋b）＋(3a＋b）＝1，∴6a＋3b＝1．②∴由①②可知a＝12，b＝－错误!，∴a＋b＝－错误!．答案：－错误!8．某次考试中,第一大题由12个选择题组成，每题选对得5分,不选或错选得0分．小王选对每题的概率为0．8，则其第一大题得分的均值为________．解析：设小王选对的个数为X，得分为Y＝5X，则X～B（12，0．8），E(X）＝np＝12×0．8＝9．6,E（Y)＝E(5X）＝5E（X)＝5×9．6＝48．答案：489．盒中装有5节同品牌的五号电池，其中混有2节废电池,现在无放回地每次取一节电池检验,直到取到好电池为止．求：（1)抽取次数X的分布列;（2）平均抽取多少次可取到好电池．解:(1）由题意知，X取值为1,2，3．P(X＝1）＝3 5；P（X＝2)＝错误!×错误!＝错误!；P(X＝3)＝25×错误!＝错误!．所以X的分布列为X123P错误!错误!错误!（2)E（X)＝1×错误!＋2×错误!＋3×错误!＝1．5，即平均抽取1．5次可取到好电池．10．如图所示是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量(单位:吨)的频率分布直方图．(1)求直方图中x的值；(2)若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民(看作有放回的抽样)，求月均用水量在3至4吨的居民数X的分布列和数学期望．解:(1）依题意及频率分布直方图知,0．02＋0．1＋x＋0．37＋0．39＝1，解得x＝0．12．(2)由题意知，X～B（3,0．1）．因此P（X＝0)＝C错误!×0．93＝0．729；P （X ＝1)＝C 13×0．1×0．92＝0．243； P (X ＝2）＝C 错误!×0．12×0．9＝0．027； P （X ＝3）＝C 错误!×0．13＝0．001．故随机变量X 的分布列为故X 的数学期望为E （X )＝3×0．1＝0．3．层级二应试能力达标1．已知随机变量ξ的分布列为若η＝aξ＋3，E （η)＝错误!，则a ＝（ ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B 由分布列的性质得错误!＋错误!＋m ＝1， ∴m ＝错误!．∴E (ξ）＝－1×错误!＋0×错误!＋1×错误!＝－错误!．∴E (η)＝E (aξ＋3）＝aE (ξ）＋3＝－错误!a ＋3＝错误!，∴a ＝2． 2．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的对称轴在y 轴的左侧，其中a ，b ，c ∈{－3，－2，－1,0,1,2，3｝，在这些抛物线中，记随机变量ξ＝｜a －b |的取值,则ξ的数学期望E （ξ）为( )A ．错误!B ．错误!C ．错误!D ．错误!解析:选A ∵抛物线的对称轴在y 轴的左侧,∴－b2a〈0,即错误!>0，∴a 与b 同号．∴ξ的分布列为∴E （ξ）＝0×13＋1×错误!＋2×错误!＝错误!．3．设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为错误!,则口袋中白球的个数为（）A ．3B ．4C ．5D ．2解析：选A 设白球x 个,则黑球7－x 个,取出的2个球中所含白球个数为ξ，则ξ取值0,1，2,P（ξ＝0）＝错误!＝错误!,P(ξ＝1）＝错误!＝错误!，P（ξ＝2）＝错误!＝错误!,∴0×错误!＋1×错误!＋2×错误!＝错误!，解得x＝3．4．甲、乙两台自动车床生产同种标准件，ξ表示甲车床生产1 000件产品中的次品数,η表示乙车床生产1 000件产品中的次品数，经一段时间考察，ξ，η的分布列分别是:据此判定( )A．甲比乙质量好B．乙比甲质量好C．甲与乙质量相同D．无法判定解析：选A E（ξ)＝0×0．7＋1×0．1＋2×0．1＋3×0．1＝0．6，E（η)＝0×0．5＋1×0．3＋2×0．2＋3×0＝0．7．∵E(η）〉E（ξ),故甲比乙质量好．5．设p为非负实数，随机变量X的概率分布为：则E(X解析:由表可得错误!从而得P∈错误!，期望值E（X）＝0×错误!＋1×p ＋2×错误!＝p＋1，当且仅当p＝错误!时，E(X）最大值＝错误!．答案:错误!6．节日期间，某种鲜花的进价是每束2．5元,售价是每束5元，节后对没有卖出的鲜花以每束1．6元处理．根据前5年节日期间对这种鲜花需求量ξ（束）的统计（如下表），若进这种鲜花500束在今年节日期间销售，则利润的均值是________元．解析：节日期间这种鲜花需求量的均值为E(ξ)＝200×0．20＋300×0．35＋400×0．30＋500×0．15＝340（束)．设利润为η，则η＝5ξ＋1．6×(500－ξ）－500×2．5＝3．4ξ－450，所以E(η）＝3．4E(ξ）－450＝3．4×340－450＝706(元)．答案：7067．(重庆高考）端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子,其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个,这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．(1)求三种粽子各取到1个的概率；（2）设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．解:（1）令A表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P(A）＝错误!＝错误!．(2)X的所有可能值为0，1，2，且P(X＝0)＝错误!＝错误!,P(X＝1）＝错误!＝错误!,P(X＝2)＝错误!＝错误!．综上知，X的分布列为X 012P错误!错误!1 15故E（X）＝0×错误!＋1×错误!＋2×错误!＝错误!（个）．8．购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a元，若投保人在购买保险的一年度内出险,则可以获得10 000元的赔偿金．假定在一年度内有10 000人购买了这种保险,且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000元的概率为1－0．999104．(1)求一投保人在一年度内出险的概率p；（2）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000 元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费(单位：元)．解：各投保人是否出险相互独立，且出险的概率都是p，记投保的10 000人中出险的人数为ξ，则ξ～B（104，p）．(1)记A表示事件：保险公司为该险种至少支付10 000元赔偿金,则A发生当且仅当ξ＝0，P（A)＝1－P(A)＝1－P(ξ＝0）＝1－(1－p）104，又P(A）＝1－0．999104，故p＝0．001．(2)该险种总收入为104a元，支出是赔偿金总额与成本的和．支出:104ξ＋5×104,盈利：η＝104a－(104ξ＋5×104）,由ξ~B（104,10－3）知，E(ξ）＝10,E（η)＝104a－104E（ξ)－5×104＝104a－105－5×104．由E(η)≥0⇔104a－105－5×104≥0⇔a－10－5≥0⇔a≥15(元)．故每位投保人应交纳的最低保费为15元．。

2018年人教版高中数学选修2-3课件：离散型随机变量的均值与方差

袋中有20个大小相同的球，其中记号为0的有10个, 记号为n的有n个（n=1,2,3,4），现从袋中任取一球，设x表示所取球的标号. (1)求x的分布列，均值和方差. (2)若Y aX b ，E(Y)=1, D(Y)=11,试求a，b的值. 解：（1）∵由题意可知 X的可能取值为0,1,2,3,4. ∴X的分布列为 X 0
袋中有20个大小相同的球，其中记号为0的有10个, 记号为n的有n个（n=1,2,3,4），现从袋中任取一球，设x表示所取球的标号. (1)求x的分布列，均值和方差. (2)若Y aX b ，E(Y)=1, D(Y)=11,试求a，b的值. （2） ∵ Y aX b 3 ∴E(Y)= aE( X ) b a b 1 ① 2 2 2 11 D(Y)= a D( X ) a 11 ② 4 联立①②，解得
பைடு நூலகம்
（2008海南理19）A、B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2 ,根据市场分析，X1和X2的分布列分别为 X1 P 5% 10% 0.8 0.2 X2 P 2% 0.2 8% 12% 0.5 0.3
（1）在A、B两个项目上各投资100万元，Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差DY1、DY2；（2）将x（0≤x≤100）万元投资A项目，（100－x）万元投资B项目，f(x)表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和. 求f(x)的最小值，并指出x为何值时，f(x)取到最小值. （注：D(aX b) a 2 D( X ) ）
a2 b 2
或
a 2
b4
袋中有20个大小相同的球，其中记号为0的有10个, 记号为n的有n个（n=1,2,3,4），现从袋中任取一球，设x表示所取球的标号. (1)求x的分布列，均值和方差. (2)若Y aX b ，E(Y)=1, D(Y)=11,试求a，b的值.

高中数学人教A版选修2-3离散型随机变量

第二章 2.1 2.1.1离散型随机变量【基础练习】1．下面给出三个变量：①2018年10月北京市下雨的天数ξ；②从学校回家要经过5个红绿灯口，可能遇到红灯的次数η；③一同学放学后到食堂就餐，到达某个窗口时已经在此排队的学生数X.其中是随机变量的是()A．②B．①③C．②③D．①②③【答案】C2．袋中有2个黑球，6个红球，从中任取两个，可以作为随机变量的是()A．取到的球的个数B．取到红球的个数C．至少取到一个红球D．至少取到一个红球的概率【答案】B3．抛掷2颗骰子，所得点数之和记为ξ，那么“ξ＝4”表示的随机试验的结果是() A．2颗都是4点B．1颗是1点，另1颗是3点C．2颗都是2点D．1颗是1点，另一颗是3点，或者2颗都是2点【答案】D4.(2019年西安月考)抛掷两枚骰子一次，ξ为第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差，则ξ的所有可能的取值为( )A.0≤ξ≤5,ξ∈NB.-5≤ξ≤0,ξ∈ZC.1≤ξ≤6,ξ∈ND.-5≤ξ≤5,ξ∈Z【答案】D5．一盒乒乓球共15个，其中有4个是已用过的，在比赛时，某运动员从中随机取2个使用，比赛结束后又放回盒中，则此盒中已用过的乒乓球个数的所有可能取值是________．【答案】4,5,66．连续不断地射击某一目标，首次击中目标需要的射击次数X是一个随机变量，则X ＝4表示的试验结果是________．【答案】前3次未击中目标，第4次击中目标7．某校为学生定做校服，规定凡身高(精确到1 cm )不超过160 cm 的学生交校服费80元；凡身高超过160 cm 的学生，身高每超出1 cm 多交5元钱．若学生应交校服费为η，学生身高用ξ表示，则η和ξ是否为离散型随机变量？【解析】由于该校的每一个学生对应着唯一的身高，并且ξ取整数值，因此ξ是一个离散型随机变量．而η＝⎩⎪⎨⎪⎧80，ξ≤160，(ξ－160)×5＋80，ξ＞160，所以η也是一个离散型随机变量． 8．写出下列随机变量ξ可能取的值，并说明随机变量ξ＝4所表示的随机试验的结果．(1)从10张已编号的卡片(编号从1号到10号)中任取2张(一次性取出)，被取出的卡片的较大编号为ξ；(2)某足球队在点球大战中5次点球射进的次数为ξ.【解析】(1)ξ的所有可能取值为2,3,4，…，10.其中“ξ＝4”表示的试验结果为“取出的两张卡片中的较大号码为4”．基本事件有如下三种：取出的两张卡片编号分别为1和4,2和4,3和4.(2)ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4,5.其中“ξ＝4”表示的试验结果为“5次点球射进4个球”．【能力提升】9．某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ，则“ξ＝5”表示的试验结果是( )A ．第5次击中目标B ．第5次未击中目标C ．前4次均未击中目标D ．前4次击中目标【答案】C【解析】ξ＝5表示射击5次，即前4次均未击中，否则不可能射击第5次，但第5次是否击中目标，就不一定，因为他只有5发子弹．故选C.10．袋中装有号码分别为1,2,3,4,5的5张卡片，从中有放回地抽2张卡片，记顺次抽出的2张卡片号码之和为X ，则“X ＝4”所表示的试验结果是( )A ．抽到4号卡片B ．抽到4张号码为1的卡片C ．第一次抽到1号，第二次抽到3号；或第一次抽到3号，第二次抽到1号D ．第一次抽到1号，第二次抽到3号；或第一次抽到3号，第二次抽到1号；或两次都抽到2号【答案】D【解析】“x ＝4”表示抽出的2张卡号码之和为4，有1＋3,3＋1,2＋2共3种情况．11．在考试中，需回答三个问题，考试规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，则这名同学回答这三个问题的总得分ξ的所有可能取值是________．【答案】100，－100,300，－300【解析】由题意得，结果有4种情况，①答对3题，得300分；②答对2题，得100分；③答对1题，得－100分；④全部答错，得－300分．12．某同学的钱夹只剩有20元、10元、5元、2元和1元人民币各1张，他决定随机抽出2张．用ξ表示这两张金额之和．写出ξ的可能取值，并说明所取值表示的随机试验结果．【解析】ξ的可能取值为3,6,7,11,12,15,21,22,25,30.ξ＝3表示抽到的是1元和2元；ξ＝6表示抽到的是1元和5元；ξ＝7表示抽到的是2元和5元；ξ＝11表示抽到的是1元和10元；ξ＝12表示抽到的是2元和10元；ξ＝15表示抽到的是5元和10元；ξ＝21表示抽到的是1元和20元；ξ＝22表示抽到的是2元和20元；ξ＝25表示抽到的是5元和20元；ξ＝30表示抽到的是10元和20元．。

2018版高中数学人教A版选修2-3课件：2-3-1 离散型随机变量的均值

典例透析题型一题型二题型三题型四
【变式训练1】袋中有4个红球,3个黑球.今从袋中随机取出4个球, 设取到一个红球记2分,取到一个黑球记1分,试求得分ξ的数学期望. 解:取出 4 个球,颜色分布情况是:4 红得 8 分,3 红 1 黑得 7 分,2 红 2 黑得 6 分,1 红 3 黑得 5 分, 相应的概率为
P(ξ=5)= P(ξ=7)=
3 C1 4 C3
C4 7 3 1 C4 C3 C4 7
= =
ξ P
4 , ��(�� 35 12 , ��(�� 35
= 6) = = 8) =
6 18 35 7
2 C2 4 C3
C4 7 4 0 C4 C3 C4 7
= =
8
18 , 35 1 . 35
典例透析题型一题型二题型三题型四
【变式训练 2】已知随机变量 X 的分布列为
X P -2 1 4 -1 1 3 0 1 1 m 5 2 1 20
(1)试求 E(X); (2)若 Y=2X-3,求 E(Y).
解:(1)由随机变量分布列的性质,得 4 + 3 + 5 + �� + 20 = 1, ∴ �� = .
随机变量 ξ 的分布列为
5 4 35 12 35 1 35
则 E(ξ)=5× 35 + 6 × 35 + 7 × 35 + 8 × 35 = 7 .
4
18
12
1
44
典例透析题型一题型二题型三题型四
离散型随机变量均值的性质【例2】某市出租车的起步价为6元,行驶路程不超出3 km时,车费为6元,若行驶路程超出3 km,则按每超出1 km收费3元计费(不足1 km按1 km计算).设出租车行车路程X是一个随机变量,司机所收车费为Y(单位:元),则Y=3X-3.已知出租车在一天内行车路程可能取的值有(单位:km)200,220,240,260,280,300,它们出现的概率分别为 0.12,0.18,0.20,0.20,0.18,0.12.求出租车行驶一天所收车费的数学期望. 解:E(Y)=E(3X-3)=3E(X)-3 =3×(200×0.12+220×0.18+240×0.20+260×0.20+280×0.18+ 300×0.12)-3=3×250-3=747. 反思本题利用公式E(aX+b)=aE(X)+b,将求E(Y)的问题转化为求 E(X)的问题,避免了求Y的分布列的麻烦,简化了运算.

2018学年高中数学人教A版选修2-3课件：2.3.1 离散型随机变量的均值精品

1．常见的两种分布的均值设 p 为一次试验中成功的概率，则 (1)两点分布 E(X)＝p； (2)二项分布 E(X)＝np. 熟练应用上述公式可大大减少运算量，提高解题速度．
2．两点分布与二项分布辨析 (1)相同点：一次试验中要么发生要么不发生． (2)不同点： ①随机变量的取值不同，两点分布随机变量的取值为 0,1，二项分布中随机变量的取值 x＝0,1,2，…，n. ②试验次数不同，两点分布一般只有一次试验；二项分布则进行 n 次试验．
随机抽取某厂的某种产品 200 件，经质检，其中一等品 126 件，二等品 50 件，三等品 20 件，次品 4 件．已知生产 1 件一、二、三等品获得的利润分别为 6 万元、2 万元、1 万元，而 1 件次品亏损 2 万元，设 1 件产品的利润 (单位：元)为 X.
(1)求 X 的分布列； (2)求 1 件产品的平均利润(即 X 的数学期望)；
【解析】 ①错误，随机变量的数学期望 E(X)是个常量，是随机变量 X 本身固有的一个数字特征．②错误，随机变量的均值反映随机变量取值的平均水平．③正确，由均值的性质可知．④错误，因为 E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn.
【答案】 ③
2．已知离散型随机变量 X 的分布列为：
X123
P
[ 再练一题]
1．某种种子每粒发芽的概率为 0.9，现播种了 1 000 粒，对于没有发芽的种
子，每粒需再补种 2 粒，每个坑至多补种一次，补种的种子数记为 X，则 X 的数
学期望为( )
A．100
B．200
C．300
D．400
【解析】由题意可知，补种的种子数记为 X，X 服从二项分布，即 X～B(1
(3)法一：由公式 E(aX＋b)＝aE(X)＋b，得 E(Y)＝E(2X－3)＝2E(X)－3＝

2018年秋高中数学课时分层作业15 离散型随机变量的方差新人教A版选修2-3

课时分层作业(十五) 离散型随机变量的方差(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．设随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝p k(1－p )1－k(k ＝0,1)，则E (X )和D (X )的值分别为( )A ．0和1B ．p 和p 2C ．p 和1－pD ．p 和(1－p )pD [由题意知随机变量X 满足两点分布，∴E (X )＝p ，D (X )＝(1－p )p .]2．已知随机变量ξ满足P (ξ＝1)＝0.3，P (ξ＝2)＝0.7，则E (ξ)和D (ξ)的值分别为( )【导学号：95032196】A ．0.6和0.7B ．1.7和0.09C ．0.3和0.7D ．1.7和0.21D [E (ξ)＝1×0.3＋2×0.7＝1.7，D (ξ)＝(1.7－1)2×0.3＋(1.7－2)2×0.7＝0.21.] 3．已知随机变量X 服从二项分布，即X ～B (n ，p )，且E (X )＝7，D (X )＝6，则p 等于( ) A.17 B.16 C.15D.14A [np ＝7且np (1－p )＝6，解得1－p ＝67，∴p ＝17.]4．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c ，且a ，b ，c ∈(0,1)．已知他投篮一次得分的均值为2，则2a ＋13b的最小值为( ) A.323 B.283 C.143D.163D [由题意，得3a ＋2b ＋0×c ＝2，即3a ＋2b ＝2，其中0＜a ＜23，0＜b ＜1.又2a ＋13b ＝3a ＋2b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋13b ＝3＋13＋2b a ＋a 2b ≥103＋22b a ·a 2b ＝163，当且仅当2b a ＝a 2b ，即a ＝2b 时取等号．又3a ＋2b ＝2，故当a ＝12，b ＝14时，2a ＋13b 取得最小值，为163.故选D.]5．甲、乙两个运动员射击命中环数ξ、η的分布列如下表．表中射击比较稳定的运动员是( )【导学号：95032197】C ．一样D ．无法比较B [由题中分布列可得：E (ξ)＝8×0.3＋9×0.2＋10×0.5＝9.2 E (η)＝8×0.2＋9×0.4＋10×0.4＝9.2D (ξ)＝(8－9.2)2×0.3＋(9－9.2)2×0.2＋(10－9.2)2×0.5＝0.76 D (η)＝(8－9.2)2×0.2＋(9－9.2)2×0.4＋(10－9.2)2×0.4＝0.56∵E (ξ)＝E (η)，D (ξ)＞D (η)∴甲、乙两名运动员射击命中环数的平均数相等，而乙的成绩波动性较小，更稳定．] 二、填空题6．一批产品中，次品率为13，现连续抽取4次，其次品数记为X ，则D (X )的值为________．89 [由题意知X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，13，所以D (X )＝4×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝89.] 7．若事件在一次试验中发生次数的方差等于0.25，则该事件在一次试验中发生的概率为________． 0．5 [在一次试验中发生次数记为ξ，则ξ服从两点分布，则D (ξ)＝p (1－p )，所以p (1－p )＝0.25，解得p ＝0.5.]8．随机变量ξ的取值为0,1,2.若P (ξ＝0)＝15，E (ξ)＝1，则D (ξ)＝________.【导学号：95032198】25[设P (ξ＝1)＝a ，P (ξ＝2)＝b ，则⎩⎨⎧15＋a ＋b ＝1，a ＋2b ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝35，b ＝15，所以D (ξ)＝(0－1)2×15＋(1－1)2×35＋(2－1)2×15＝25.]三、解答题9．已知随机变量X 的分布列为若E (X )＝23.(1)求D (X )的值；(2)若Y ＝3X －2，求D (Y )的值．[解] 由12＋13＋p ＝1，得p ＝16.又E (X )＝0×12＋1×13＋16x ＝23，所以x ＝2.(1)D (X )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－232×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－232×16＝1527＝59.(2)因为Y ＝3X －2，所以D (Y )＝D (3X －2)＝9D (X )＝5.10．有三张形状、大小、质地完全一致的卡片，在每张卡片上写上0,1,2，现从中任意抽取一张，将其上数字记作x ，然后放回，再抽取一张，其上数字记作y ，令X ＝x ·y .求：(1)X 所取各值的概率； (2)随机变量X 的均值与方差.【导学号：95032199】[解] (1)P (X ＝0)＝53×3＝59； P (X ＝1)＝1×13×3＝19； P (X ＝2)＝1＋13×3＝29； P (X ＝4)＝13×3＝19. (2)X 的分布列如下：所以E (X )＝0×59＋1×19＋2×29＋4×9＝1.D (X )＝(0－1)2×59＋(1－1)2×19＋(2－1)2×29＋(4－1)2×19＝169.[能力提升练]一、选择题1．已知随机变量ξ，η满足ξ＋η＝8，且ξ服从二项分布ξ～B (10,0.6)，则E (η)和D (η)的值分别是( )A ．6和2.4B ．2和2.4C ．2和5.6D ．6和5.6B [由已知E (ξ)＝10×0.6＝6，D (ξ)＝10×0.6×0.4＝2.4. 因为ξ＋η＝8，所以η＝8－ξ.。

2018年秋高中数学课时分层作业10离散型随机变量的分布列新人教A版选修2-3

课时分层作业（十）离散型随机变量的分布列（建议用时：40分钟）［基础达标练］、选择题1 •下列表格中，不是某个随机变量的分布列的是（）A.C.X 1 2 3 P1 1 2323D.X 1 2 3 Plg 1lg 2lg 5C ［C 选项中，P （X = 1） v 0不符合P （X = xj >0的特点，也不符合 RX = 1） + RX = 2） + P （X = 3） = 1的特点，故C 选项不是分布列.］ 2 •若随机变量X 的分布列如下表所示，则 a 2 + b 2的最小值为（）【导学号：95032135】3. 下列问题中的随机变量不服从两点分布的是（）A 抛掷一枚骰子，所得点数为随机变量XX = i 0 1 2 3P (X = i )1 4a 1 4b1 1C 8D.4B.A.丄 24 C ［由分布列性质可知1 a + b =^,a + b1.故选 8C.]B.某射手射击一次，击中目标的次数为随机变量X彳，取出白球C从装有5个红球，3个白球的袋中取1个球，令随机变量X-o，取出红球(2,2),[A 项,F ( E= 2) = CCC ;c^w 2) = P ( E = 2)丰⑩C 15二、填空题4. A. 点数共 [A 中随机变量抛掷两颗骰子, 1 1 6 B . 3[根据题意，有36个基本事件, X 的取值有6个，不服从两点分布，故选 A.]所得点数之和X 是一个随机变量，则 P (X w 4)等于(F (X <4) = RX = 2) + F (X = 3) + F (X = 4).而 X = 2 对应(1,1) ,X = 3 对应(1,2) ,(2,1)【导学号:95032136】抛掷两颗骰子, 按所得的 ,X = 4 对应(1,3) ,(3,1),故 P (X = 2) = 36,2 1P(X = 3) =3618'1111=«•】3 1 .. .. RX = 4) = 36= 12,所以 P(X W 4) = 36+ 18 + 乜一6' 5. 15个村庄中，10个村庄，用E 表示A. P ( E = 2)B. F ( E w 2)C. P ( E = 4)D. F ( E < 4)B 项,F (C 项, F ( c 7C 8=4) =ET ；D 项, F ( w 4) = F ( E= 2) + F ( E= 3) + F E= 4)>黑6. 一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品为二级品的一半,从这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机变量【导学号：95032137】4[设二级品有k个，.••一级品有2k个，三级品有k个，总数为乎个.•••分布列为p3—w 3 = P ("1)= 7.］7.从装有3个红球，2个白球的袋中随机取 2个球，设其中有 E 个红球，则随机变量E 的分布列为C3d 1 Cd 6 3C 3C 2 3[P(P ( E = 1) = ~C 5 =10= 5，P ( E = 2) = ~C 5 = TO 」 &从4名男生和2名女生中任选3人参加数学竞赛，则所选 3人中，女生的人数不超过1人的概率为 _________ .【导学号：95032138】5［设所选女生数为随机变量 X, X 服从超几何分布，P (X < 1) = R X = 0) + P (X = 1) = CCC 2C 4 4+ = 5.］三、解答题同理可求得 R E = 3) = 36, R E = 4) = 36 , R E = 5) = 4，P ( E = 6)=洛, 所以E 的分布列为10.在8个大小相同的球中，有 2个黑球，6个白球，现从中取 3个球，求取出的球中白球个数X 的分布列.［解］X 的可能取值是1,2,3 ,C 6 •c l 3C 6 ・C 15C 6 ・C 5Rx =1) = C 8 = 28； P(X =2) = C 3 = 28； R X =3) = & = 故X 的分布列为9•将一颗骰子掷两次，求两次掷出的最大点数E 的分布列.［解］将一颗骰子连掷两次共出现 6X 6= 36种等可能的基本事件，其最大点数E 可能取的值为1R E = 1) = 36，E =2包含三个基本事件 (1,2),(2,1) , (2,2)(其中(x , y )表示第一枚骰子点数为第二枚骰子点数为 y )，所以R E = 2)=—=— 36 12P315 528 2814［能力提升练］[设取到一等品的件数是E ,则 E = 0,1,2 , P ( E = 0) = CC =箱，P ( E = 1) = C 3C 2 =必 3E = 2) = _cT =帀因为R E = 0) + R E = 1) = £,所以满足题设的事件是“至多有一件 2•离散型随机变量 X 的分布列中部分数据丢失，丢失数据以“ x ” 其表如下:X 1 2 3 4 5 6 P0.200.100. x 50.100.1 y0.203 11P 2v X V 仓=()【导学号：95032139】［根据分布列的性质可知，随机变量的所有取值的概率和为X v ¥ = F (X = 2) + F (X = 3) = 0.35.]二、填空题3.若 F ( E w n ) = 1 — a , F ( E > m = 1 — b ,其中 m v n ,贝U F ( m w E w n )等于 1 — (a + b ) w n ) = 1 — P ( E> n ) — P ( E vn ) = 1 - [1 — (1 —a )] - [1 — (1 —b )]=1 — (a + b ).]、选择题1.在5件产品中，有 3件一等品和2件二等品，从中任取 2件，那么以£为概率的事件是(A .都不是一等品B.恰有一件一等品C .至少有一件一等品 D.至多有一件一等品等品”.“ y ”(x, y € N 代替，A .0.25 B . 0.35C. 0.45D. 0.551,得 x = 2, y = 5.故4. 设随机变量X的概率分布列为P(X= n)=荷=(n= 1,2,3,4)，其中a为常数,则P?v X v I =【导学号：95032140】5 a a a a6 [由题意，知Rx=1)+ P(X=2)+ Rx=3)+ Rx= 4)=茯2+2^3 + 我廿4^51 5 a a 2a2 5 5•••X V 2 厂P(x=1)+ RX= 2) = 2+ 6=訂存4=6.]三、解答题5•袋中有4个红球、3个黑球，随机取球，设取到一个红球得分，从袋中任取4个球.(1) 求得分X的分布列；(2) 求得分大于6分的概率.［解］(1)从袋中随机摸4个球的情况为1红3黑，2红2黑，3红1黑，4红，分别得分为5分，6分，7分，8分.故X的可能取值为5,6,7,8.故所求分布列为X5678P418121 353535351,52分，取到一个黑球得1RX= 5)=dc3=4 "CT=35,R X= 6)=c4d 18 "CT = 35,RX= 7)=c4d = 12 C7 = 35,R X= 8)=CC0 =丄"CT==8)P(X>6) = P(X= 7) + P(X(2)根据随机变量X的分布列，可以得到得分大于6分的概率为12 1 13=——-L——=——35 35 35'=8)。

人教A版高中数学选修2-3讲义及题型归纳：离散型随机变量期望及方差

考点二：离散型随机变量期望及方差离散型随机变量的数学期望定义：一般地，设一个离散型随机变量X 所有可能的取的值是1x ，2x ，…，n x ，这些值对应的概率是1p ，2p ，…，n p ，则1122()n n E x x p x p x p =+++，叫做这个离散型随机变量X 的均值或数学期望（简称期望）．离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平．离散型随机变量的方差一般地，设一个离散型随机变量X 所有可能取的值是1x ，2x ，…，n x ，这些值对应的概率是1p ，2p ，…，n p ，则2221122()(())(())(())n n D X x E x p x E x p x E x p =-+-++-叫做这个离散型随机变量X 的方差．离散型随机变量的方差反映了离散随机变量的取值相对于期望的平均波动的大小（离散程度）．()D X 叫做离散型随机变量X 的标准差，它也是一个衡量离散型随机变量波动大小的量．X 为随机变量，a b ，为常数，则2()()()()E aX b aE X b D aX b a D X +=++=，；二点分布：在一次二点分布试验中，离散型随机变量X 的期望取值为p ，在n 次二点分布试验中，离散型随机变量X 的期望取值为np题型二、离散型随机变量期望与方差1．若随机变量ξ的分布列为：其中(0,1)m ∈，则下列结果中正确的是( ) A ．()E m ξ=，2()(1)D m ξ=- B ．()1E m ξ=-，2()(1)D m ξ=- C ．()1E m ξ=-，2()D m m ξ=-D ．()1E m ξ=-，2()D m ξ=【分析】由题意先求出()1E m ξ=-，由此能求出()D ξ．【解答】解：由题意得： ()01(1)1E m m m ξ=⨯+⨯-=-，222()(01)(11)(1)D m m m m m m ξ=-++-+-=-．故选：C ．【点评】本题考查命题真假的判断，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．若随机变量X 的分布列如表，且 6.3EX =，则DX 的值为( )A ．14.39-B ．7C ．5.61D ．6.61【分析】0.50.11b ++=，所有0.4b =，40.50.190.4 6.3EX a =⨯+⨯+⨯=，所以7a =，代入方差公式，求解即可．【解答】解：依题意，0.50.11b ++=，所以0.4b =，40.50.190.4 6.3EX a =⨯+⨯+⨯=，所以7a =，所以222160.5490.1810.4 6.3 5.61DX EX E X =-=⨯+⨯+⨯-=．故选：C ．【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列的性质，离散型随机变量的期望与方差．熟练掌握公式是解题关键．本题属于基础题．3．设01a <<．随机变量X 的分布列是则当a 在(0,1)内增大时，( ) A ．()D X 增大 B ．()D X 减小 C ．()D X 先增大后减小D ．()D X 先减小后增大【分析】方差公式结合二次函数的单调性可得结果【解答】解：1111()013333a E X a +=⨯+⨯+⨯=，222111111()()()(1)333333a a a D X a +++=⨯+-⨯+-⨯ 2222212211[(1)(21)(2)](1)()279926a a a a a a =++-+-=-+=-+ 01a <<，()D X ∴先减小后增大故选：D ．【点评】本题考查方差的求法，利用二次函数是关键，考查推理能力与计算能力，是中档题．课后综合巩固练习1．设随机变量ξ的分布列是则当[0p ∈，1]时，()D ξ的最大值为( ) A ．14B ．12C ．34D ．1【分析】由随机变量ξ的分布列得1()2E p ξ=+，22221111311()()()()()22222222p p D p p p p ξ-=--⨯+-⨯+-⨯=--+，由此能求出当12p =时，()D ξ取最大值为12．【解答】解：由随机变量ξ的分布列得：1()2E p ξ=+， [0p ∈，1]，22211113()()()()222222p pD p p p ξ-∴=--⨯+-⨯+-⨯214p p =-++211()22p =--+，∴当12p =时，()D ξ取最大值为12．故选：B ．【点评】本题考查离散型随机变量的方差的最大值的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．2．某鲜花店每天制作A 、B 两种鲜花共(*)n n N ∈束，每束鲜花的成本为a 元，售价2a 元，如果当天卖不完，剩下的鲜花作废品处理．该鲜花店发现这两种鲜花每天都有剩余，为此整理了过往100天这两种鲜花的日销量（单位：束），得到如下统计数据：以这100天记录的各销量的频率作为各销量的概率，假设这两种鲜花的日销量相互独立．（1）记该店这两种鲜花每日的总销量为X 束，求X 的分布列．（2）鲜花店为了减少浪费，提升利润，决定调查每天制作鲜花的量n 束．以销售这两种鲜花的日总利润的期望值为决策依据，在每天所制鲜花能全部卖完与99n =之中选其一，应选哪个？【分析】（1）由题意得到X 的可能取值，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列．（2）由（1）知在每天所制鲜花能全部卖完时，96n =，此时销售的日总利润的期望值为96a ．再求出当99n =时，销售的日总利润的期望值，比较可以得到应选99n =．【解答】解：（1）X 所有可能的取值为96，97，98，99，100，101，102， (96)0.250.40.1P X ==⨯=，(97)0.250.350.350.40.2275P X ==⨯+⨯=， (98)0.250.150.350.350.20.40.24P X ==⨯+⨯+⨯=， (99)0.250.10.350.150.20.40.2275P X ==⨯+⨯+⨯=， (100)0.350.10.20.150.20.350.135P X ==⨯+⨯+⨯=， (101)0.20.10.20.150.05P X ==⨯+⨯=， (102)0.20.10.02P X ==⨯=．X ∴的分布列为：（2）记销售两种鲜花的日总利润为Y ．当每天所制鲜花能全部卖完时，()96E Y a ，由于卖出1束利润为a 元，作废品处理1束亏a 元．99n ∴=时，()(963)0.1(972)0.2275(981)0.2499(E y a a a =-⨯+-⨯+-⨯+⨯10.10.22750.24)97.0196a a a ---=>，∴应选99n =．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列的求法及应用，考查推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力，属于中档题．3．某电视台举办闯关活动，甲、乙两人分别独立参加该活动，每次闯关，甲成功的概率为13，乙成功的概率为12．（1）甲参加了3次闯关，求至少有2次闯关成功的概率；（2）若甲、乙两人各进行2次闯关，记两人闯关成功的总次数为x ，求x 的分布列．【分析】（1）利用n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率计算公式能求出甲参加了3次闯关，至少有2次闯关成功的概率：．（2）x 的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出x 的分布列．【解答】解：（1）甲、乙两人分别独立参加该活动，每次闯关，甲成功的概率为13，乙成功的概率为12． ∴甲参加了3次闯关，至少有2次闯关成功的概率：32231127()()()33327p C =+=．（2）甲、乙两人分别独立参加该活动，每次闯关，甲成功的概率为13，乙成功的概率为12．甲、乙两人各进行2次闯关，记两人闯关成功的总次数为x ，则x 的可能取值为0，1，2，3，4， 222141(0)()()32369P x ====，122122*********(1)()()()()()()332322363P X C C ==+==， 222211221121121113(2)()()()()()()()()3232332236P X C C ==++=， 12212212111161(3)()()()()()()332322366P X C C ==+==，22111(4)()()3236P X ===， x ∴的分布列为：【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列的求法，考查n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．4．为了丰富学生的课余生活，促进校园文化建设，某校高二年级通过预赛选出了6个班（含甲、乙两班）进行经典美文诵读比赛决赛．决赛通过随机抽签方式决定出场顺序．（1）求甲、乙两班恰好在前两位出场的概率；（2）决赛中甲、乙两班之间的班级数记为X ，求X 的分布列【分析】（1）依题意，甲、乙两班恰好在前两位出场的方法数为2424A A ，而总的排法为66A ，所以甲、乙两班恰好在前两位出场的概率为242466A A A ；（2）X 的所有可能的取值为0，1，2，3，4，分别求出每个X 对应的概率，列出分布列即可．【解答】解：（1）设“甲、乙两班恰好在前两位出场”为事件A ，则2424661()15A A P A A ==，所以甲、乙两班恰好在前两位出场的概率为115（2）随机变量X 的可能取值为0，1，2，3，4所以2525661(0)3A A P X A ===，24246644(1)15A A P X A ===，223423661(2)5A A A P X A ===，322422662(3)15A A A P X A ===，4242661(4)15A A P X A ===，故随机变量X 的分布列为：【点评】本题考查了古典概型的概率计算，离散型随机变量的概率分布列．属于中档题．。

2018-2019学年高中新课标数学人教A版选修2-3课件：2.3 离散型随机变量的均值与方差第11课时

目标导航 1．理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念. 2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题. 3.掌握方差的性质以及两点分布、二项分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差．
1 新知识·预习探究知识点一离散型随机变量的方差、标准差 1.定义：设离散型随机变量 X 的分布列为
DX2＝0.2.
点评：1.本题已知分布列求均值、方差和标准差，属较容易题，套用公式即可完成．
2．给出分布列求方差时，首先要求均值，然后再求方差和标准差，要注意公式应用要准确．
变式探究 1 变量 ξ 的分布列如下： ξ －1 0 1 P a bc
其中 a，b，c 成等差数列，若 E(ξ)＝13，则 D(ξ)的值是________．
考点二离散型随机变量方差的性质
例 2 已知 η 的分布列为：
η 0 10 20 50 60
P
1 3
2 5
121 15 15 15
设 Y＝2η－E(η)，求 D(Y)．
解析：∵Y＝2η－E(η)， ∴D(Y)＝D(2η－E(η)) ＝22D(η)＝4×384＝1 536.
点评：1.对于变量间存在关系的方差，在求解过程中应注意方差性质的应用，如 D(aξ＋b)＝a2D(ξ)，这样处理既避免了求随机变量 η ＝aξ＋b 的分布列，又避免了繁杂的计算，简化了计算过程．
②离散型随机变量 ξ 的方差 D(ξ)反映了 ξ 取值的平均水平；
③离散型随机变量 ξ 的均值 E(ξ)反映了 ξ 取值的平均水平；
④离散型随机变量 ξ 的方差 D(ξ)反映了 ξ 取值偏离于均值的平均
程度．
则正确命题应该是( )
A．①④
B．②③
C．①②