实数—专题三、二次根式
【常考压轴题】专题03 二次根式化简的四种考法(解析版)八年级数学上册压轴题攻略
原式 = -a - b - (b - a) a b b a 2b ．
【点睛】本题考查了根据数轴上的点的位置判断式子的符号，化简二次根式，得出各式的符 号是解题的关键．
类型二、含字母的二次根式化简（注意范围）
例 1．化简： 3a2b2 1 9ab
【答案】 ab ab 【分析】因为被开方数为非负数且被开方数不为 0，因此得到被开方数大于 0，求出 ab<0 后，进行二次根式的化简即可．
∴ b b a a b ab a ab
a ba
b
b a
a b
ab
a2 b2 ab
ab
a b2 2ab ab ，
ab
当 a b 2，ab 1时，原式 22 21 1 2 ．
1 【点睛】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键．
a11 a2
a9 ，
故答案为： a9 ．
【点睛】本题考查了二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．
【变式训练 2】已知 m 0 ， n 0 ，化简 m3n2 ．
【答案】 mn m
【分析】利用二次根式的乘法法则和性质化简即可． 【详解】解：∵ m 0 ， n 0 ，
∴ m3n2 mn m mn m ，
∴原式 3 x 2 x 3 x 2 x 1；
（2）观察数轴得隐含条件： a<0 ， b 0 ， a b ∴ab0，ba 0 ∴ a2 (a b)2 | b a | a a b b a a 2b ； （3）由三角形的三边关系可得隐含条件：
八年级数学实数之二次根式知识点总结
一、二次根式的概念及性质：① 二次根式的概念：一般地，形如 √a （a≥0）的式子叫作二次根式，其中“ √ ” 称为二次根号，a称为被开方数。
例如，√2 ，√（x^2+1) ，√(x-1) (x≥1) 等都是二次根式 。
② 二次根式的性质：当 a ≥ 0 时，√a 表示 a 的算术平方根，所以√a 是非负数 ( √a ≥ 0)，即对于式子 √a 来说，不但 a ≥ 0，而且 √a ≥ 0，因此可以说 √a 具有双重非负性 。
③ 最简二次根式：1、被开方数中不含有分母 ；2、被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式 。
④ 积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。
⑤ 商的算术平方根的性质：商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。
注：对于商的算术平方根，最后结果一定要进行分母有理化。
⑥ 分母有理化：化去分母中根号的变形叫作分母有理化，分母有理化的方法是根据分数的基本性质，将分子和分母分别乘分母的有理化因式（两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式）化去分母中的根号。
⑦ 化成最简二次根式的一般方法：1、将被开方数中能开得尽方的因数或因式进行开方；2、若被开方数含分母，先根据商的算术平方根的性质对二次根式进行变形，再根据分母有理化的方法化简二次根式；3、若分母中含二次根式，根据分母有理化的方法化简二次根式 。
判断一个二次根式是否为最简二次根式，要紧扣最简二次根式的特点：（1）被开方数中不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；（3）若被开方数是和（或差）的形式，则先把被开方数写成积的形式，再判断，若无法写成积（或一个数）的形式，则为最简二次根式 。
⑧ 二次根式的加减：（1）先把每个二次根式都化成最简二次根式；（2）把被开方数相同的二次根式合并，注意合并时只把“系数”相加减，根号部分不动，不是同类二次根式的不能合并，即二、知识点讲解：1、二次根式的概念及有意义的条件：例题1、下列式子中，是二次根式的有 （ B ）例题2、使式子 √(m-2) 有意义的最小整数 m 的值是 2 。
(中考数学)实数与二次根式(知识点梳理)(记诵版)
第05讲 实数与二次根式知识点梳理考点01 平方根一、平方根1.平方根的概念：如果一个数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个数x 就叫作a 的平方根（或二次方根）。
2.平方根的表示方法：正数a 的平方根可记作a ±，读作：正负根号a ，读作根号，a 是被开方数。
3.平方根的性质：若a x =2，那么a x =-2）（，则x -也是a 的平方根，所以正数a 的平方根有两个，它们互为相反数，0的平方根是0；因为相同的两个数的乘积为正，所以任何数的平方都不是负数，所以负数没有平方根（即0≥±a a ，）。
二、算数平方根1.算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个正数x 就叫作a 的算术平方根。
2.算术平方根的表示方法：正数a 的算术平方根可记作a ，读作：根号a 。
3.算术平方根的性质：正数有一个正的算术平方根；0的算术平方根是0，负数没有算术平方根。
一个正数a 的正的平方根就是它的算术平方根。
三、开平方1.求一个数a （0≥a ）的平方根的运算叫作开平方，其中a 叫作被开方数。
开平方运算是已知指数和幂求底数。
2.因为平方与开平方互为逆运算，所以可以通过平方来寻找一个数的平方根。
3.正数、负数、0都可以进行平方运算，且平方的结果只有一个；但开平方只有正数和0可以，负数不能开平方。
考点02 立方根1.立方根的概念：一般地，如果一个数x 的立方等于a ，即a x =3，那么这个数x 就叫作a的立方根（或三次方根）。
2.立方根的表示方法：a 的立方根可记作3a ，读作：三次根号a ，其中“3”是根指数，a 是被开方数，注意根指数“3”不能省略。
3.立方根的性质：（1）一个正数有一个正的立方根；（2）一个负数有一个负的立方根；（3）0的立方根是0；4.开立方：求一个数a 的立方根的运算叫作开立方。
5.立方根中被开方数可以是正数、负数和0,；开立方运算与立方运算互为逆运算；求一个带分数的立方根时，必须把带分数化成假分数，再求它的立方根。
二次根式与实数之间的关系
二次根式与实数之间的关系根据数学的定义，二次根式是指一个数的平方根，表示为√a，其中a为非负实数。
实数是对现实生活中的数量进行抽象的数学概念，包括有理数和无理数。
二次根式与实数之间存在着密切的关系，本文将探讨这种关系。
1. 二次根式的定义二次根式是指一个实数的平方根。
对于非负实数a，√a表示a的正平方根，即满足b² = a的实数b。
例如，√4 = 2，因为2² = 4。
二次根式可以表示为分数形式或小数形式，如√9 = 3，或√2 ≈ 1.414。
2. 二次根式的性质二次根式具有一些重要的性质，这些性质与实数之间的关系密切相关：- 非负实数的二次根式均为实数。
例如，√9 = 3是一个实数。
- 负实数没有实数的二次根式。
例如，对于-9来说，不存在一个实数b，使得b² = -9。
- 实数的二次根式满足乘法性质。
即若a和b都是非负实数，则√(ab) = √a × √b。
3. 二次根式与有理数的关系有理数是可以表示为两个整数的比值的数，包括整数、分数和小数（有限小数和循环小数）。
二次根式与有理数之间的关系如下：- 若一个非负实数的平方是一个有理数，那么它的二次根式就是一个有理数。
例如，√4 = 2，4是一个有理数，因此2也是一个有理数。
- 若一个非负实数的平方不是一个有理数，那么它的二次根式就是一个无理数。
例如，√2是一个无理数，因为2的平方不是一个有理数。
4. 二次根式与无理数的关系无理数是不能表示为两个整数的比值的数，包括无理代数数和无理超越数。
二次根式与无理数之间的关系如下：- 像√2、√3这样的二次根式是无理数。
它们无法用有限小数或循环小数形式表示。
- 无理数的二次根式仍然是无理数。
例如，√(√2) = (√2)^(1/2) =2^(1/4) 是一个无理数。
综上所述，二次根式与实数之间存在着重要的关系。
实数的二次根式可以是有理数或无理数，具体取决于实数的平方是否是一个有理数。
2022年中考数学专题练——专题三 分式、二次根式
专题三分式、二次根式一、单选题1.已知y＝＋－3，则2xy的值为( )A. －15B. 15C. －D.2.（2019·江川模拟）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+的结果是( )A. ﹣2a-bB. 2a﹣bC. ﹣b D. b3.（2022九下·重庆月考）如果2x-y= ，那么代数式的值为（）A. -B. C. 2D. -24.（2019·北京模拟）如果a+b＝2，那么代数式的值是（）A. B. 1 C.D. 25.若x＜2，化简＋|3－x|的正确结果是（）A. －1B. 1C. 2x－5 D. 5－2x6.乐陵市某中学八年级教师为鼓励学生合作学习设计了一个接力游戏——用合作的方式完成分式化简.规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行下一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简，过程如图所示：接力中，自己负责的一步出现错误的情况是（）A. 只有甲出错B. 甲和乙C. 乙和丙 D. 丙和丁7.（2019·东台模拟）使有意义的x的取值范围是（）A. x＞B. x＞-C. x≥D. x≥-8.（2022·长春模拟）若使有意义，由x的取值范围是（)A. x>3B. x>-3C. x≥3．D. x≥-39.（2019·双柏模拟）下列运算正确的是（）A. 4a2÷2a2＝2B. ﹣a2•a3＝a6 C. D.10.（2022九上·郑州期末）下列计算正确的是（）A. 2007 ＝0B. 5 ＝﹣15C. a ÷a ＝aD. ﹣8x y ÷4xy ＝﹣2xy11.一个三角形的三边长分别为1，k，4，化简|2k－5|－的结果是( )A. 3k－11B. k＋1 C. 1 D. 11－3k12.（2022·百色模拟）成人每天维生素D的摄入量约为0.0000046克.数据“0.0000046”用科学记数法表示为（）A. 46×10﹣7B. 4.6×10﹣7C. 4.6×10﹣6 D. 0.46×10﹣513.把代数式(a－1) 的a－1移到根号内，那么这个代数式等于（）A. －B. C.D. －14.下列计算错误的有（）①(－)－3＝8；②( －π)0＝1；③39÷3－3＝3－3；④9a－3·4a5＝36a2；⑤5x2÷(3x)×＝5x2.A. ①③④B. ②③④C. ①②③ D. ①③⑤15.（2017·大理模拟）下列运算正确的是（）A. sin60°=B. a6÷a2=a3C. （﹣2）0=2 D. （2a2b）3=8a6b316.（2022·北京模拟）已知：，，，则A. B. C.D.17.下列运算正确的是（）A. （2x3y）2=4x6y2B. =×C. a6÷a3=a2 D. a4+a2=a618.（2019·蒙自模拟）下列各式中，运算正确的是（）A. a6÷a3＝a2 B. C. D.19.（2019·上海模拟）方程的解为（）A. x＝4B. x＝7C. x＝8 D. x＝10．20.已知a＋＝，则a－的值为（）A. ±2B. 8C.D. ±二、填空题21.（2019·乌鲁木齐模拟）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是________.22.（2018九上·恩阳期中）最简二次根式与可以合并，则的值是________23.（2022九下·下陆月考）函数中自变量x的取值范围是________.24.（2017·莱芜）（﹣）﹣3﹣2cos45°+（3.14﹣π）0+ =________．25.（2022九上·郑州期末）要使分式有意义，则x的取值范围是________.26.（2019·五华模拟）工匠绝技，精益求精，中国船舶重工的钳工顾秋亮凭着精到丝级的手艺，为海底探索者7000米级潜水器“蛟龙号”安装观察窗玻璃，成功地将玻璃与金属窗座之间的缝隙控制在0.2丝米以下已知1丝米＝0.0001，0.2丝米＝0.00002米，则用科学记数表示数据0.00002为________.27.（2019·青浦模拟）方程的根是________．28.若＋＝＋|2c－6|，则b c＋a的值为________．29.（2022·北京模拟）当________时，分式的值为0．30.（2019·黄陂模拟）如果，那么代数式的值是________.三、解答题31.（2019·朝阳模拟）先化简：;再在不等式组的整数解中选取一个合适的解作为a的取值，代入求值.32.（2022九下·镇平月考）先化简，再求值：，其中整数x与2、3构成△ABC的三条边长.33.化简，并求值，其中a与2，3构成△ABC的三边，且a为整数．34.（2019九上·新蔡期中）如图，面积为48cm2的正方形，四个角是面积为3cm2的小正方形，现将四个角剪掉，制作一个无盖的长方体盒子，求这个长方体盒子的体积.35.（2022·玉林模拟）化简分式，并选取一个你认为合适的整数a代入求值．36.（2019九上·灌云月考）已知9+ 与9﹣的小数部分分别为a和b，求ab﹣3a+4b+10的值．37.（2022·郑州模拟）先化简，再求值：÷（﹣x+1），其中x=sin30°+2﹣1+ ．38.（2019九下·宁都期中）（1）计算：﹣14﹣2×（﹣3）2+ ÷（﹣）（2）如图，小林将矩形纸片ABCD沿折痕EF翻折，使点C、D分别落在点M、N的位置，发现∠EFM=2∠BFM，求∠EFC的度数．39.（2019·红塔模拟）观察下面的变形规律：；；；….解答下面的问题：（1）若n为正整数，请你猜想＝________；（2）证明你猜想的结论；（3）求和：+ + +…+ .40.（2019九上·海门期末）（1）计算：；（2）先化简，再求代数式的值：，其中.41.（2019·增城模拟）已知．（1）化简；（2）如果、是方程的两个根，求的值．42.（2019·朝阳模拟）某学生在化简求值：，其中x＝时出现不符合题意，解答过程如下，原式＝（第一步）＝（第二步）＝（第三步）当x＝是，原式＝（第四步）（1）该学生解答过程从第________步开始出错的，其不符合题意原因是________．（2）写出此题的符合题意解答过程．43.（2019·盘龙模拟）设M＝（1）化简M；（2）当a＝1时，记此时M的值为f（1）＝；当a＝2时，记此时M的值为f（2）＝；当a＝3时，记此时M的值为f（3）＝……当a＝n时，记此时M的值为f（n）＝________；则f（1）+f（2）+…+f（n）＝________；（3）解关于x的不等式组：≤f（1）+f（2）+f（3）并将解集在数轴上表示出来.44.（2019·越秀模拟）已知（1）化简T；（2）若x满足，求T的值．45.（2019·南京模拟）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”.如：，则是“和谐分式”.（1）下列分式中，属于“和谐分式”的是________(填序号)；①；②；③；④；（2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：＝________(要写出变形过程)；（3）应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数.答案解析部分一、单选题1. A【解答】解：由题意可得：,解得x=,将x=代入方程y＝＋－3得出y=-3,∴2xy=2×=-15.故答案为：A.【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式组，求解得出x的值，将x的值代入方程即可算出y的值，从而即可解决问题.2. A【解答】解：由图可知：，∴，∴.故答案为：A.【分析】观察数轴可知a＜0＜b，|a|＞|b|，由此可得到a+b＜0，然后利用二次根式的性质及绝对值的意义进行化简。
(完整版)八年级下册数学--二次根式知识点整理
二次根式1、算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。
2、解不等式（组）：尤其注意当不等式两边乘(除以)同一个负数，不等号方向改变。
如：-2x＞4，不等式两边同除以-2得x＜-2。
不等式组的解集是两个不等式解集的公共部分。
如｛3、分式有意义的条件：分母≠04、绝对值：｜a｜=a （a≥0）；｜a｜= - a （a＜0）一、二次根式的概念一般地，我们把形如 a （a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。
★正确理解二次根式的概念，要把握以下五点：（1）二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号“”，“”的根指数为2，即“2”，我们一般省略根指数2，写作“”。
如25 可以写作 5 。
（2）二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子。
（3）式子 a 表示非负数a的算术平方根，因此a≥0， a ≥0。
其中a≥0是 a 有意义的前提条件。
（4）在具体问题中，如果已知二次根式 a ，就意味着给出了a≥0这一隐含条件。
（5）形如b a （a≥0）的式子也是二次根式，b与 a 是相乘的关系。
要注意当b是分数时不能写成带分数，例如832 可写成8 23，但不能写成 2232 。
练习：一、判断下列各式，哪些是二次根式？（1） 6 ；（2）-18 ；（3）x2+1 ；（4）3-8 ；（5）x2+2x+1 ；（6）3｜x｜；（7）1+2x （x＜-12）X≥-2X＜5的解集为-2≤x＜5。
二、当x 取什么实数时，下列各式有意义？（1）2-5x ；（2）4x 2+4x+1二、二次根式的性质：二次根式的性质符号语言文字语言应用与拓展注意a （a ≥0）的性质a ≥0 （a ≥0）一个非负数的算术平方根是非负数。
（1）二次根式的非负性（a ≥0，a ≥0）应用较多，如：a+1 +b-3 =0，则a+1=0，b-3=0，即a= -1，b=3；又如x-a +a-x ，则x 的取值范围是x-a ≥0，a-x ≥0，解得x=a 。
专题03：二次根式(简答题专练)(解析版)
专题03：二次根式（简答题专练）一、解答题1．已知：211327m +=，234221m n --⨯=【答案】【分析】将已知的等式变形为同底数的式子，可得m 和n 的值，代入所求式子计算即可． 【解答】解：∵211327m +=， ∴21333m +=﹣， ∴213m +=-，解得：2m =-，∵234221m n --⨯=， 即23421m n -+-=∴2340m n -+-=，∴5n =，==． 【点评】本题考查了负整数指数、零指数幂的定义、幂的性质及二次根式的性质，解题的关键是掌握分数指数幂和负整数指数幂的运算法则．2．探究题：（1a 等于多少？（2）求222222,,,,,的值．对于任意非负实数2等于多少？【答案】（12=3=5=6=7=0=，对于任意实数a a =；（2）24=，29=，225=，236=，249=，20=，对于任意非负实数a ， 2a =．【分析】（1）直接计算各式进而得出一般规律；（2）直接计算各式进而得出一般规律．【解答】（12=，3=，5=，6=，7=，=，对于任意实数a a；（2）24 =，29 =，225=，236=，249=，20 =，对于任意非负实数a，2a =．【点评】本题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出变化规律是解题关键．3．探究题：=_，=，=，=，=，20=，根据计算结果，回答：（1a吗？你发现其中的规律了吗？请你用自己的语言描述出来．（2）利用你总结的规律，计算：①若2x<；= ；（3）若,,a b c【答案】3，0.5，6，34，13；（1a ．当0a ≥时，a =；当0a ≤时，a =-．（2）①2x -，②3.14π-；（3）+-+--++-abc b c a b c a【分析】首先计算出探究题答案；（1a =；再根据绝对值的性质去掉绝对值符号可得当0a ≥时，a =；当0a ≤时， a =-；（2）①因为2x <，所以20x -<2x =-，再根据规律进行计算即可；②因为 3.14π<可得3.140π-< 3.14=-π，再根据规律进行计算即可； （3）根据三角形的三边关系定理可得000a b c b c a b c a +---+-＞，＜，＞，因此a b c b c a b c a =+-+--++-， 再根据绝对值的性质去掉绝对值符号合并同类项即可．3=，0.5=，6=，34=，13=， 200=； 故答案为：3，0.5，6，34，13；（1a ．当0a ≥时， a =；当0a ≤时， a =-；（2）①因为2x <，2x =-；②因为 3.14π<，即3.140π-<，3.14=π-；（3）根据三角形的三边关系定理可得000a b c b c a b c a +---+-＞，＜，＞，()a b c c a b b c a =+-++-++-a b c =++． 【点评】a =．4．交警通常根据刹车后轮滑行的距离来测算车辆行驶的速度，所用的经验公式是v= 16 ，其中v 表示车速（单位：km/h ），d 表示刹车距离（单位：m ），f 表示摩擦系数，在一次交通事故中，测得d=20m ，f=1.44，而发生交通事故的路段限速为80km/h ，肇事汽车是否违规超速行驶？说明理由.，）【答案】超速行驶；理由见解析【分析】先把d=20m ，f=1.44，分别代入80km/h 比较即可解答．【解答】肇事汽车超速行驶．理由如下： 把d=20，f=1.44代入＞80km/h ， 所以肇事汽车超速行驶．考点：二次根式的应用．5．先化简，再求值：，其中a=17﹣，.【分析】先将所求式子化简，再分别将a 、b 的值整理代入求解即可.【解答】原式==）=）∵a =17﹣=32﹣2×3×（）2=（3﹣）2，b =12+2×+）2=（）2，∴原式【点评】本题主要考查二次根式的性质与运算法则、分式的运算法则以及平方差公式的应用.6．求值（1）已知1124x y ，==-的值；（2）已知x y ==，22343x xy y ++求的值．【答案】（1）2；（3）22.【解析】试题分析：（1）根据二次根式的分母有理化，先化简代数式，再代入求值即可；（2）先根据分母有理化化简x 、y ，然后利用配方法化简代数式，再代入求值即可.试题解析：（1）当1124x y ==，时，=()()()()()()y x y y x y x y x y x y x y +---+-+ =2y x y - =2（2）∵2121x y ==+-，， ∴x=21-，y=21+∴22343x xy y ++=22363x xy y ++-2xy=3（x+y ）2-2xy=3（21-+21+）2-2（21-）（21+）=3×（22）2-2=3×8-2=227．实数a b 、在数轴上的位置如图所示：化简()222a b a b +--【答案】0【分析】根据数轴确定a 、b 的符号以及绝对值的大小，根据二次根式的性质化简计算即可．【解答】如图所示： 000a b a b -＞，＜，＞()222a b a b +-()a b a b =---0=．【点评】本题主要考查了二次根式的性质与化简以及数轴的知识，掌握二次根式的性质、正确得出各项符号是解题的关键．8．阅读材料，解答下列问题：例：当0a >时，如5a =，则55a ==，故此时a 的绝对值是它本身；当0a =时，0a =，故此时a 的绝对值是0；当0a <时，如5a =-，则()555a =-=--=，故此时a 的绝对值是它的相反数．综上所述，一个数的绝对值要分三种情况，即：()()(),00,0,0a a a a a a ⎧>⎪==⎨⎪-<⎩，这种分析方法渗透了数学中的分类讨论思想．（1）请仿照例中的分类讨论，分析2a 的各种化简后的情况；（2）猜想2a 与a 的大小关系；（3）已知实数a b c 、、，在数轴上的位置如图所示，试化简：()22a a b c a b c --+-+-【答案】（1()()()20000a a a a a a ⎧>⎪==⎨⎪-<⎩；（22a a ；（3）22-+-b c a【分析】（1）根据二次根式的性质，可得答案；（2）根据二次函数的根式与绝对值的性质，可得答案；（3）根据二次根式的性质与绝对值的性质，可化简式子，根据整式的加减，可得答案． 【解答】（1）当0a >时，如5a =2255a ==2a a =；当0a =时，如 200a ==20a =；当0a <时，如5a =-， ()2255a =-=25a =，()()()20000a a a a a a ⎧>⎪==⎨⎪-<⎩；（22a a ；（3）由数轴上点的位置，得：0a b c <<<，0a b -<，0c a ->，0b c -<，()22a a b c a b c -+--()(()a b a c a c b =---+-+-）a b a c a c b =--++-+-22b c a =-+-．【点评】本题考查了二次根式的性质化简，熟练掌握二次根式的性质、绝对值的性质是解题关键．9．若,x y 是实数，且41143y x x =-+-+，求()3294253x x x x xy ⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭. 【答案】1382- 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数求得x =14，将其代入已知等式即可求得y 的值，原二次根式化简后，将x 、y 的值代入求值即可． 【解答】解：依题意得：410140x x -≥⎧⎨-≥⎩，解得：x =14，∴y =13 原式=225x x xy x x xy +--=3x x xy -=111134443-⨯=138-． 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．10．化简（1)2490,064a a b b>> （20.01810.25144⨯⨯ 【答案】（1）78a b ；（2）320． 【分析】（1）根据a b 、的符号以及二次根式的性质，可得答案；（2）根据二次根式的性质，可得答案．【解答】（1）∵0a >，0b >，==；（2=0.190.512⨯=⨯ 320=． 【点评】本题考查了利用二次根式的性质化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．11．已知：y ，求的值．【答案】【分析】根据二次根式的定义得出x ﹣8≥0，8﹣x≥0，求出x ，代入求出y ，把所求代数式化简后代入求出即可．【解答】解：要使y 有意义，必须x ﹣8≥0，且8﹣x≥0，解得：x ＝8，把x ＝8代入得：y ＝0+0+9＝9，∴13 【点评】本题考查了对二次根式有意义的条件，二次根式的化简，分母有理化等知识点的应用，解此题的关键是求出x 、y 的值，通过做此题培养了学生灵活运用性质进行求值的能力，题目比较典型．12．有这样一类题目：如果你能找到两个数m，n，使m2+n2=a，且，则a±，变成m2+n2+2mn=（m±n）2因为3±=1+2±=12+）2=（）2，2|=±1．仿照上例化简下列各式：（1（2【答案】(1) +1;(2)【解析】试题分析:根据题目中的例题中的研究方法即可求解.试题解析:（1）原式=1,（2）原式=13．计算下列各题：)－)；(2) (2；(3) 2；(4)(22017(2)2018－|－|－()0.【答案】＋5；(3) 15＋；(4)1.【解析】试题分析：这是一组二次根式的混合运算题，按照二次根式的相关运算法则计算即可.试题解析：（1）原式==（2）原式=55=；（3）原式=48315-+=+；（4）原式=2017[(2(21211+⨯+==.14．已知32x -≤≤，化简：． 【答案】34+x【分析】首先根据x 的范围确定3x +与2x -的符号，然后利用二次根式的性质，以及绝对值的性质即可化简．【解答】解：∵ 32x -≤≤， ∴3020x x +≥-≤，，∴=()()232x x =++-262x x =++-34x =+．【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，正确理解二次根式的性质是关键．15．若实数a ，b ，c 满足． （1）求a ，b ，c ；（2）若满足上式的a ，c 为等腰三角形的两边，求这个等腰三角形的周长．【答案】（1），b=2， c=3；（26.【分析】（1）利用二次根式的性质进而得出c 的值，再利用绝对值以及二次根式的性质得出a ，b 的值； （2）利用等腰三角形的性质分析得出答案． 【解答】解：（1）由题意可得：c-3≥0，3-c≥0， 解得：c=3，∴，则，b=2；（2）当a 是腰长，c＜3，不能构成三角形，舍去； 当c 是腰长，a 是底边时，任意两边之和大于第三边，能构成三角形，+6，+6．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件以及等腰三角形的性质，正确得出c 的值是解题关键． 16．（1）已知xy2x 2－5xy ＋2y 2的值．（2）先化简，再求值：222222x y x yx xy y x xy x y ⎛⎫--÷⎪-+--⎝⎭，其中x＝1，y＝2-【答案】（1）42，（2）13+-【解析】分析：（1）由已知得，再把2x 2－5xy ＋2y 2化简，再代入即可. （2）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再计算x 和y 的值并代入进行计算即可 详解：（1）xy∴∴22252x xy y -+＝()2222x xy yxy -+-＝()22x y xy --＝(222+＝402+ ＝42（2）原式＝()()222x y xx y x x y y x y ⎡⎤---⋅⎢⎥--⎢⎥⎣⎦＝1122x yx y x y y ⎛⎫--⋅⎪--⎝⎭＝[()()()()22x y x y x y x y -----]·2x yy -＝()()()2112y x y x y x y yx y y x --⋅==-----·当x ＝1，y ＝2时，原式＝ 点睛: 此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．17=，且x 为奇数，求（1+x ）的值．【答案】【分析】由二次根式的非负性可确定x 的取值范围，再根据x 为奇数可确定x 的值，然后对原式先化简再代入求值.=， ∴6090x x ＞-≥⎧⎨-⎩解得，6≤x ＜9， ∵x 为奇数， ∴x=7，∴（1+x ）=（1+x ）=（1+x ）．【点评】本题考查了二次函数的非负性及二次根式的化简求值.18．（1）设n 1；（2...+ 【答案】（1）111n n -+；（2）9910【分析】（1）根据完全平方公式，可得()22211111111n n n n ⎡⎤⎛⎫++=+- ⎪⎢⎥+⎝⎭+⎣⎦，根据开方运算，可得1111n n =+-+；（21111n n =+-+，可化简二次根式，根据分式的加减运算，可得答案． 【解答】（1）∵()()22211111112111n n n n n n ⎛⎫++=+-+ ⎪++⎝⎭+ 2111112()()11n n n n =+-+-++21111n n ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦，111111111n n n n =+--=-++；（21111n n =+-+，...+11111111111...122334910=+-++-++-++-11010=-9910=．【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，利用完全平方公式得出()22221111111n n n n ⎡⎤⎛⎫++=+- ⎪⎢⎥+⎝⎭+⎣⎦是解题关键．19．定义()f x =(1)f +(3)f …+(21)f k -+…+(999)f 的值.【答案】5.【解析】【分析】将()f x进行分母有理化，分子分母同时乘以可得()f x =2=，进而求得()12f =，()32f =，()5f =()()()()1321999f f f k f ++⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+5== 【解答】()f x ==2=，()12f ∴=，()32f =，()5f =，…，()999f = ()()()()132199952f f f kf ∴++⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+==． 【点评】本题以新定义型题形式考查了二次根式的运算，解本题的关键是通过分母有理化将()f x 简化，再代值得到()212f k -=，即可解题.20．阅读与计算:请阅读以下材料，并完成相应的任务.斐波那契(约1170—1250)是意大利数学家，他研究了一列数,这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列(按照一定顺序排列着的一列数称为数列).后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果.在实际生活中，很多花朵(如梅花、飞燕草、万寿菊等)的瓣数恰是斐波那契数列中的数.斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用.斐波那契数列中的第nn n⎡⎤-⎢⎥⎣⎦表示(其中n≥1)，这是用无理数表示有理数的一个范例.任务：请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数. 【答案】第1个数为1;第2个数为1.【分析】分别把1、2代入式子化简求得答案即可．【解答】当n＝1n n ⎡⎤⎥-⎥⎝⎭⎝⎭⎦⎡⎤-⎥⎥⎝⎭⎝⎭⎦＝1当n＝2122n n⎡⎤⎛⎛-⎥-⎥⎝⎭⎝⎭⎦22⎡⎤⎥-⎥⎝⎭⎝⎭⎦11112222⎛⎫⎛-+-⎪⎪⎭⎝⎭＝1。
专题03二次根式的运算(知识点总结+例题讲解)-2021届中考数学一轮复习
2021年中考数学 专题03 二次根式的运算（知识点总结+例题讲解）一、数的乘方与开方：1.数的乘方：（1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（2）正数的任何次幂都是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；2.数的开方：（1）平方根：如果一个数x 的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根（或二次方根）； 即：若x 2=a ，则x 叫做a 的平方根；①正数有两个平方根（互为相反数）；②负数没有平方根；③0的平方根是0；（2）算术平方根：正数的正的平方根叫做算术平方根；记作“a ”。
（3）若a b =3，则b 叫做a 的立方根；①一个正数有一个正的立方根；②一个负数有一个负的立方根；③0的立方根是0；【例题1】(2020•青海)(-3+8)的相反数是 ；的平方根是 ．【答案】-5；±2【解析】解：-3+8=5，5的相反数是-54，4的平方根是±2．【变式练习1】4的算术平方根是 ，9的平方根是 ， －27的立方根是 。
【答案】2；±3，﹣3【解析】解：4的算术平方根是2，9的平方根是±3，﹣27的立方根是﹣3．【例题2】（2020•黄冈）计算38-= 。
【答案】-2 【解析】解：38-=-2.【变式练习2】若a=，则a 的值为( )A. 1B. 0C. 0或1D. 0或1或–1【答案】C=，∴a 为0或1；故选C 。
二、二次根式：1.二次根式的定义：形如a （a ≥0）的式子，叫做二次根式；（或是说，表示非负数的算术平方根的式子，叫做二次根式）2.二次根式有意义的条件：被开方数≥0；（被开方数大于或等于 0 ）3.二次根式的性质：（1）a （a ≥0）是非负数；（2）（a ）2=a （a ≥0）；（3）⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==），（），（），（00002a a a a a a a （4）非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积； 即：b a ab •=（a ≥0，b ≥0）；反之：ab b a =⨯；（5）非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根；即：b a b a =（a ≥0，b>0）；反之：b a ba =；【例题3】(2020•广东)x 的取值范围是( )A ．x ≠2B ．x ≥2C ．x ≤2D ．x ≠-2【答案】B∴2x-4≥0，解得：x ≥2，∴x 的取值范围是：x ≥2；故选：B 。
专题03 二次根式-2022年中考数学真题分项汇编(第2期)试题及答案
专题03 二次根式一．选择题1．（2022·湖北武汉）下列各式计算正确的是（ ）A B ．1=C =D 2=2．（2022·山东聊城）射击时，子弹射出枪口时的速度可用公式=v a 为子弹的加速度，s 为枪筒的长．如果52510m /s a =⨯，0.64m s =，那么子弹射出枪口时的速度（用科学记数法表示）为（ ）A ．20.410m /s ⨯B ．20.810m /s ⨯C ．2410⨯m /sD ．28s 10m /⨯3．（2022·|2|cos45-⨯︒的结果，正确的是（ ）AB ．C ．D ．24．（2022·山东青岛）计算 ）A B ．1 C D ．35．（2022·黑龙江绥化）2x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．1x >-B ．1x -C ．1x -且0x ≠D ．1x -且0x ≠6．（2022·山东潍坊）秦兵马俑的发现被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距，下列估算正确的是（ ）A ．205<< B ．2152<< C ．12<<1 D 1>7．（2022·湖北恩施）函数y x 的取值范围是（ ）A ．3x ≠B ．3x ≥C ．1x ≥-且3x ≠D ．1x ≥-8．（2022· ）A ．B ．3C ．D ．29．（2022·x 的取值范围是（ ） A ．1≥xB ．1x >C ．0x ≥D ．0x >10．（2022·山东临沂）满足1m >的整数m 的值可能是（ ） A ．3B ．2C ．1D ．011．（2021·） A ．±3B ．3C ．±9D ．912．（2022·四川广安）下列运算中，正确的是（ ）A ．3a 2 +2a 2 =5a 4B ．a 9÷a 3=a 3C D ．（﹣3x 2）3=﹣27x 613．（2022·x 的取值范围是 A ．x≥3B ．x≤3C ．x ＞3D ．x ＜314．（2022·内蒙古呼和浩特）下列运算正确的是（ ）A 2=±B ．222()m n m n +=+C ．1211-=--x x x D ．2229332-÷=-y x xy x y 15．（2022·湖南郴州）下列运算正确的是（ ）A ．325a a a +=B ．632a a a ÷=C ．()222a b a b +=+ D 516．（2022·四川雅安）下列计算正确的是（ ） A ．32＝6B ．（﹣25）3＝﹣85C．（﹣2a 2）2＝2a 4D 17．（2022·湖南永州）下列各式正确的是（ ）A =B ．020=C ．321a a -=D ．()224--=18．（2022·黑龙江绥化）下列计算中，结果正确的是（ ）A ．22423x x x +=B ．()325x x =C 2=-D 2±19．（2022·广西梧州）下列计算错误．．的是（ ）A ．358a a a ⋅=B ．2363()a b a b =C ．D ．222()a b a b +=+20．（2022·江苏无锡）函数y x 的取值范围是( ) A ．x ＞4 B ．x ＜4 C ．x≥4 D ．x≤4二．填空题21．（2022·黑龙江牡丹江）若两个连续的整数a 、b 满足a b <<，则1ab的值为__________ ．22．（2022·x 的取值范围是___________．23．（2022·___________．24．（2022·x 的取值范围是__________．25．（2022·．26．（2022·1x在实数范围内有意义，则x 的取值范围是___________．27．（2022·湖南长沙）则实数的取值范围是___________． 三．解答题28．（2022·黑龙江大庆）计算：02|(3)π⨯-+29．（2022·湖南郴州）计算：()12022112cos3013-⎛⎫--︒++ ⎪⎝⎭．30．（2022·江苏泰州）计算:(1) (2)按要求填空： 小王计算22142x x x --+的过程如下： 解：22142x x x --+()()()()()()21222222222x x x x x x x x x x =--------+-+-=---+-+-第一步第二步()()()()222222222x x x x x x x x x -------------+-------------+------------------+=第三步=第四步=第五步小王计算的第一步是 (填“整式乘法”或“因式分解”)，计算过程的第 步出现错误.直接写出正确的计算结果是 .31．（2022·黑龙江齐齐哈尔）（1）计算: 211)2|tan 603-⎛⎫+++ ⎪⎝⎭（2）因式分解：3269x y x y xy -+32．（2022·12022-．33．（2022·湖南长沙）计算：1201|4|20353-⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭．34．（2022·1141602-⎛⎫- ⎪⎝⎭︒．35．（2022·广西贵港）（1）计算：()2112022tan 602π-⎛⎫-+--︒ ⎪⎝⎭；（2）解不等式组：250245132x x x -<⎧⎪⎨---≤⎪⎩①②36．（2022·四川广安）计算：)11122cos303-⎛⎫+︒- ⎪⎝⎭37．（2022·四川内江）（111|()|2cos 452-︒--；（2）先化简，再求值：（221a b a b a +-+）÷b b a-，其中ab．38．（2022·贵州遵义）（1）计算：112tan 4512-⎛⎫-︒+ ⎪⎝⎭（2）先化简221244244a a a a a a +⎛⎫+÷ ⎪--++⎝⎭，再求值，其中2a =．39．（2022·广东深圳）()1112cos 45.5π-⎛⎫-︒+ ⎪⎝⎭40．（2022·上海）计算：11221|()123--专题03 二次根式一．选择题1．（2022·湖北武汉）下列各式计算正确的是（ ）A B ．1= C =D 2=【答案】C【分析】由合并同类二次根式判断A ，B ，由二次根式的乘除法判断C ，D ．【详解】解：A ≠B 、原计算错误，该选项不符合题意；CD 22==C ．【点睛】本题考查合并同类二次根式，二次根式的乘法，二次根式的乘方运算，掌握以上知识是解题关键．2．（2022·山东聊城）射击时，子弹射出枪口时的速度可用公式=v a 为子弹的加速度，s 为枪筒的长．如果52510m /s a =⨯，0.64m s =，那么子弹射出枪口时的速度（用科学记数法表示）为（ ）A ．20.410m /s ⨯B ．20.810m /s ⨯C ．2410⨯m /sD ．28s 10m /⨯ 【答案】D【分析】把a ＝5×105m/s 2，s ＝0.64m 代入公式v 再根据二次根式的性质化简即可．【详解】解：()2810m /s v =⨯，故选：D ．【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简以及科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．3．（2022·|2|cos45-⨯︒的结果，正确的是（ ）A B ．C ．D ．2【答案】B【分析】化简二次根式并代入特殊角的锐角三角比，再按照正确的运算顺序进行计算即可．|2|cos45-⨯︒＝2＝＝B【点睛】此题考查了二次根式的运算、特殊角的锐角三角比等知识，熟练掌握运算法则是解题的关键．4．（2022·山东青岛）计算 ）A B ．1 C D ．3【答案】B再合并即可．【详解】解：94321故选：B ．【点睛】本题考查的是二次根式的乘法运算，掌握“二次根式的乘法运算法则”是解本题的关键．5．（2022·黑龙江绥化）2x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．1x >- B ．1x - C ．1x -且0x ≠ D ．1x -且0x ≠【答案】C【分析】根据二次根式被开方数不能为负数，负整数指数幂的底数不等于0，计算求值即可； 【详解】解：由题意得：x +1≥0且x ≠0， ∴x ≥-1且x ≠0，故选： C ．【点睛】本题考查了二次根式的定义，负整数指数幂的定义，掌握其定义是解题关键． 6．（2022·山东潍坊）秦兵马俑的发现被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距，下列估算正确的是（ ）A ．205<< B ．2152<< C ．12<<1 D 1>【答案】C【分析】用夹逼法估算无理数即可得出答案． 【详解】解：4＜5＜9，∴23，∴11＜2，∴12＜1，故选：C ． 【点睛】本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．7．（2022·湖北恩施）函数y x 的取值范围是（ ） A ．3x ≠ B ．3x ≥ C ．1x ≥-且3x ≠ D ．1x ≥- 【答案】C【分析】根据分式有意义的条件与二次根式有意义的条件得出不等式组，解不等式组即可求解．【详解】解： ∴10,30x x +≥-≠，解得1x ≥-且3x ≠，故选C ．【点睛】本题考查了求函数自变量的取值范围，掌握分式有意义的条件与二次根式有意义的条件是解题的关键．8．（2022· ）A．B ．3C ．D ．2【答案】A【分析】将被开方数12写成平方数4与3的乘积，再将4开出来为2，易知化简结果为== 故选：A ．【点睛】本题考查了二次根式的化简，关键在于被开方数要写成平方数乘积的形式再进行化简．9．（2022·x 的取值范围是（ ） A ．1≥x B ．1x >C ．0x ≥D ．0x >【答案】A0)进行计算即可．【详解】解：由题意得：x-，10∴，1x故选：A．0)是解题的关键．m>的整数m的值可能是（）10．（2022·山东临沂）满足1A．3B．2C．1D．0【答案】A11的范围，再确定m的范围即可确定答案．【详解】3104<<，∴<，213m>，1011-，1m∴≥，故选：A．3【点睛】本题考查了绝对值的化简，无理数的估算和不等式的求解，熟练掌握知识点是解题的关键．11．（2021·）A．±3B．3C．±9D．9【答案】A【详解】解：，9的平方根是±3，±3，故选：A．【点睛】本题考查了算术平方根，平方根，熟练掌握相关知识是解题的关键．12．（2022·四川广安）下列运算中，正确的是（）A．3a2 +2a2 =5a4B．a9÷a3=a3C D．（﹣3x2）3=﹣27x6【答案】D【分析】根据合并同类项，同底数幂的除法，二次根式的加法，积的乘方运算，逐项分析判断即可求解．【详解】解：A. 3a2 +2a2 =5 a 2，故该选项不正确，不符合题意；B. a9÷a3=a6，故该选项不正确，不符合题意；C. ≠D. （﹣3x2）3=﹣27x6，故该选项正确，符合题意；故选D【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂的除法，二次根式的加法，积的乘方运算，正确的计算是解题的关键．13．（2022·x 的取值范围是 A ．x≥3 B ．x≤3C ．x ＞3D ．x ＜3【答案】A【详解】解：由题意得30x -≥．解得x≥3，故选：A ． 14．（2022·内蒙古呼和浩特）下列运算正确的是（ ）A 2=±B ．222()m n m n +=+C ．1211-=--x x x D ．2229332-÷=-y x xy x y 【答案】D【分析】分别根据二次根式乘法法则，完全平方公式，异分母分式加减法法则以及分式除法法则计算出各项结果后，再进行判断即可．【详解】解：A.2=，故此计算错误，不符合题意； B. 222()2m n m mn n +=++，故此计算错误，不符合题意； C.1221(1)x x x x x --=---，故此计算错误，不符合题意； D. 22223933322y x x xy xy =x y y-÷=--，计算正确，符合题意，故选：D ． 【点睛】本题主要考查了二次根式乘法，完全平方公式，异分母分式加减法以及分式除法，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键． 15．（2022·湖南郴州）下列运算正确的是（ ）A ．325a a a +=B ．632a a a ÷=C ．()222a b a b +=+ D 5【答案】D【分析】根据合并同类项、同底数幂的除法法则，完全平方公式以及二次根式的计算法则进行计算即可．【详解】A.32a a +不能合并，故A 错误； B.633a a a ÷=，故B 错误；C.()2222a b a ab b +=++，故C 错误；5=，故D 正确； 故答案为：D ．【点睛】本题考查合并同类项、同底数幂的除法法则、完全平方公式以及二次根式的计算法则等知识．掌握合并同类项、同底数幂的除法法则、完全平方公式以及二次根式的计算法则是解答本题的关键．16．（2022·四川雅安）下列计算正确的是（ ） A ．32＝6B ．（﹣25）3＝﹣85C ．（﹣2a 2）2＝2a 4 D【答案】D【分析】由有理数的乘方运算可判断A ，B ，由积的乘方运算与幂的乘方运算可判断C ，由二次根式的加法运算可判断D ，从而可得答案． 【详解】解：239=，故A 不符合题意；328,5125故B 不符合题意； 22424,a a 故C 不符合题意；2333, 故D 符合题意；故选D【点睛】本题考查的是有理数的乘方运算，积的乘方与幂的乘方运算，二次根式的加法运算，掌握以上基础运算是解本题的关键．17．（2022·湖南永州）下列各式正确的是（ ）A =B ．020=C ．321a a -=D ．()224--=【答案】D【分析】利用二次根式性质化简、零指数幂、合并同类项、有理数减法运算即可判断。
数学天地二次根式与实数运算
数学天地二次根式与实数运算数学天地：二次根式与实数运算数学是一门精确而又广泛应用的学科，其中二次根式与实数运算是数学中的重要概念之一。
本文将介绍二次根式的定义与性质，以及实数运算的基本规则和应用。
一、二次根式的定义与性质1. 二次根式的定义二次根式是指形如√a的数，其中a为一个非负实数。
二次根式的特点是结果是一个实数，且满足以下性质：（1）非负数的二次根式，结果是非负实数；（2）零的二次根式，结果仍为零；（3）负数的二次根式，结果是虚数，无实数解。
2. 二次根式的化简化简二次根式是将根号里的数尽可能提取出来，以便更方便进行实数运算。
常见的化简规则包括：（1）同底数相乘或相除：√a * √b = √(a * b)，√a / √b = √(a / b)；（2）同底数相加或相减：√a + √b ≠ √(a + b)，√a - √b ≠ √(a - b)；（3）乘方：(√a)² = a。
二、实数运算的基本规则和应用1. 实数运算的基本四则运算实数运算包括加法、减法、乘法和除法。
其基本规则如下：（1）加法规则：a + b = b + a；（2）减法规则：a - b ≠ b - a；（3）乘法规则：a * b = b * a；（4）除法规则：a / b ≠ b / a。
2. 实数运算的应用实数运算在现实生活中有着广泛的应用，例如：（1）计算金融相关问题：利率计算、投资回报率等；（2）物理学中的力、速度、加速度等问题的计算；（3）几何学中的长度、面积、体积等问题的计算；（4）经济学中的成本、销售额、利润等问题的计算。
总结：本文介绍了数学中的二次根式与实数运算的基本概念与应用。
二次根式是一种特殊的根式，其结果为实数，但在处理负数时会得到虚数。
实数运算是数学运算的基本规则，其四则运算在现实世界中有着广泛的应用。
数学天地广阔而深奥，希望本文能够为读者提供一些有关二次根式与实数运算的基本了解，并能够在实际问题中运用数学的方法解决难题。
八年级数学第二单元实数和二次根式
八年级数学第二单元实数和二次根式一 实数：1、数的分类：⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧无理数分数整数有理数实数（定义分） ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负无理数负有理数负实数负无理数正有理数正实数实数（大小分）02、平方根的性质：（1）一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
（2）算术平方根a 具有双重非负性，即：0,0≥≥a a . （3）⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2a a a a a a )0()(2≥=a a a3、立方根的性质：（1）正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.（2）a a =33a a =33)(二 二次根式：1、二次根式的概念：式子a ),0(≥a 叫做二次根式，具有双重非负性。
2、最简二次根式：（1）被开方数的因子是整数，因式是整式； （2）被开方数不含开的尽方的整数和整式。
3、同类二次根式：化为最简二次根式后，被开方数相同。
4、分母有理化：把分母化为有理数的过程，即去分母中的根号的过程。
5、二次根式运算法则：加减法：合并同类二次根式； 乘法：)0,0(≥≥=⋅b a ab b a除法：)0,0(>≥=b a baba 6、常见化简：⎪⎩⎪⎨⎧<-≥=)0()0(22a b a a ba b a )0(1>==a a a a a a a 或二 典型例题讲解及变式练习：例1、若一个数的平方根是2a-1和-a+2，求这个正数的平方。
练习：1、已知某数有两个平方根，分别为a+3和2a-15，求这个数平方的倒数。
2、已知13-+=m n m A 为m+3n 的算术平方根，121+-=n m B 为21m -的立方根，求A+B 的值。
3、已知12-a 的平方根是3±，3a+b-1的立方根是4，求a+2b 的值。
练习：1、0)2(132=-++++c b a ，求12-+cb a 的算术平方根。
2、若12-++-b a b a 与互为相反数，求3222b a +的值。
第三章 实数 考点1 平方根(解析版)
第三章实数（解析板）1、平方根知识点梳理平方根（1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“﹣”．正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作．零的算术平方根仍旧是零．平方根的性质平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．同步练习一．选择题（共12小题）1．若2m﹣4与3m﹣1是同一个数的平方根，则m的值是（）A．﹣3B．﹣1C．1D．﹣3或1【考点】平方根．【分析】依据平方根的性质列方程求解即可．【解答】解：当2m﹣4＝3m﹣1时，m＝﹣3，当2m﹣4+3m﹣1＝0时，m＝1．故选：D．【点评】本题主要考查的是平方根的性质，明确2m﹣4与3m﹣1相等或互为相反数是解题的关键．2．若a2＝4，b2＝9，且ab＜0，则a﹣b的值为（）A．﹣2B．±5C．5D．﹣5【考点】平方根．【分析】利用平方根的定义得出a，b的值，进而利用ab的符号得出a，b异号，即可得出a﹣b的值．【解答】解：∵a2＝4，b2＝9，∴a＝±2，b＝±3，∵ab＜0，∴a＝2，则b＝﹣3，a＝﹣2，b＝3，则a﹣b的值为：2﹣（﹣3）＝5或﹣2﹣3＝﹣5．故选：B．【点评】此题主要考查了平方根的定义以及有理数的乘法等知识，得出a，b的值是解题关键．3．的平方根是（）A．±4B．4C．±2D．+2【考点】平方根；算术平方根．【分析】根据算术平方根的意义，可得16的算术平方根，再根据平方根的意义，可得答案．【解答】解：＝4，±＝±2，故选：C．【点评】本题考查了平方根，先求算术平方根，再求平方根．4．的平方根是（）A．4B．±4C．2D．±2【考点】平方根；算术平方根．【分析】先化简＝4，然后求4的平方根．【解答】解：＝4，4的平方根是±2．故选：D．【点评】本题考查平方根的求法，关键是知道先化简．5．实数的平方根（）A．3B．﹣3C．±3D．±【考点】平方根．【分析】先将原数化简，然后根据平方根的性质即可求出答案．【解答】解：∵＝3，∴3的平方根是，故选：D．【点评】本题考查平方根的概念，解题的关键是将原数进行化简，本题属于基础题型．6．4的平方根是（）A．16B．2C．±2D．【考点】平方根．【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2＝a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．【解答】解：∵（±2）2＝4，∴4的平方根是±2，故选：C．【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．7．一个正数的平方根为2x+1和x﹣7，则这个正数为（）A．5B．10C．25D．±25【考点】平方根．【分析】根据正数平方根互为相反数，可得一个平方根的和为0，根据解方程，可得x 的值，根据平方运算，可得答案．【解答】解；一个正数的平方根为2x+1和x﹣7，∴2x+1+x﹣7＝0x＝2，2x+1＝5（2x+1）2＝52＝25，故选：C．【点评】本题考查了平方根，先求出平方根，再求出被开方数．8．a﹣1与3﹣2a是某正数的两个平方根，则实数a的值是（）A．4B．C．2D．﹣2【考点】平方根．【分析】先利用一个数两个平方根的和为0求解．【解答】解：∵a﹣1与3﹣2a是某正数的两个平方根，∴a﹣1+3﹣2a＝0，解得a＝2，故选：C．【点评】本题主要考查了平方根，解题的关键是熟记平方根的关系．9．4的平方根是（）A．2B．﹣2C．±2D．16【考点】平方根．【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2＝a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．【解答】解：∵（±2）2＝4，∴4的平方根是±2．故选：C．【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．10．一个正数的两个平方根分别是2a﹣1与﹣a+2，则a的值为（）A．1B．﹣1C．2D．﹣2【考点】平方根．【分析】由于一个正数的两个平方根应该互为相反数，由此即可列方程解出a．【解答】解：由题意得：2a﹣1﹣a+2＝0，解得：a＝﹣1，故选：B．【点评】本题主要考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数．11．（﹣0.7）2的平方根是（）A．﹣0.7B．±0.7C．0.7D．0.49【考点】平方根．【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2＝a，则x就是a的平方根．【解答】解：∵（﹣0.7）2＝0.49，又∵（±0.7）2＝0.49，∴0.49的平方根是±0.7．故选：B．【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．12．9的平方根为（）A．3B．﹣3C．±3D．【考点】平方根．【分析】根据平方根的定义求解即可，注意一个正数的平方根有两个．【解答】解：9的平方根有：＝±3．故选：C．【点评】此题考查了平方根的知识，属于基础题，解答本题关键是掌握一个正数的平方根有两个，且互为相反数．二．填空题（共5小题）13．的平方根是±2．【考点】平方根；算术平方根．【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2＝a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．【解答】解：∵＝4∴的平方根是±2．故答案为：±2【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．14．一个正数的平方根分别是x+1和x﹣5，则x＝2．【考点】平方根．【分析】根据正数的两个平方根互为相反数列出关于x的方程，解之可得．【解答】解：根据题意知x+1+x﹣5＝0，解得：x＝2，故答案为：2．【点评】本题主要考查的是平方根的定义和性质，熟练掌握平方根的定义和性质是解题的关键．15．的平方根是±3．【考点】平方根．【分析】根据平方根、算术平方根的定义即可解决问题．【解答】解：∵＝9，9的平方根是±3，∴的平方根是±3．故答案为±3．【点评】本题考查算术平方根、平方根的定义，解题的关键是记住平方根的定义，正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根，属于基础题，中考常考题型．16．如果的平方根等于±2，那么a＝16．【考点】平方根．【分析】首先根据平方根的定义，可以求得的值，再利用算术平方根的定义即可求出a的值．【解答】解：∵（±2）2＝4，∴＝4，∴a＝（）2＝16．故答案为：16．【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．要注意在平方和开方之间的转化．17．4的平方根是±2．【考点】平方根．【分析】根据平方根的定义，求非负数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2＝a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．【解答】解：∵（±2）2＝4，∴4的平方根是±2．故答案为：±2．【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．三．解答题（共10小题）18．已知2a﹣1的平方根是±3，3a+2b+4的立方根是3，求a+b的平方根．【考点】平方根；立方根．【分析】先根据平方根、立方根的定义得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可求出a、b的值，进而得到a+b的平方根．【解答】解：由题意，有，解得．∴±＝＝±3．故a+b的平方根为±3．【点评】本题考查了平方根、立方根的定义．如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a 的平方根，也叫做a的二次方根．如果一个数x的立方等于a，那么这个数x就叫做a 的立方根．19．若一正数a的两个平方根分别是2m﹣3和5﹣m，求a的值．【考点】平方根．【分析】利用正数的两平方根和为0，进而求出m的值，即可得出答案．【解答】解：∵一正数a的两个平方根分别是2m﹣3和5﹣m，∴2m﹣3+5﹣m＝0，解得：m＝﹣2，则2m﹣3＝﹣7，解得a＝49．【点评】此题主要考查了平方根的定义，得出m的值是解题关键．20．一个正数x的两个不同的平方根是3a﹣4和1﹣6a，求a及x的值．【考点】平方根．【分析】由于应该正数的两个平方根互为相反数，据此可列出关于a的方程，求出a的值，进而可求出x的值．【解答】解：由题意，得：3a﹣4+1﹣6a＝0，解得a＝﹣1；所以正数x的平方根是：7和﹣7，故正数x的值是49．【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数．21．求x的值（1）16x2﹣49＝0（2）24（x﹣1）2﹣6＝0【考点】平方根．【分析】（1）先移项，再两边都除以16，继而两边开平方即可得；（2）先移项，再两边都除以24，继而两边开平方，最后解方程即可得．【解答】解：（1）∵16x2﹣49＝0，∴16x2＝49，∴x2＝，则x＝±；（2）∵24（x﹣1）2﹣6＝0，∴24（x﹣1）2＝6，则（x﹣1）2＝，∴x﹣1＝±，解得：x＝或x＝．【点评】本题主要考查了平方根，解题的关键是掌握平方根的定义．22．已知1+3a的平方根是±7，2a﹣b﹣5立方根﹣3，c是的整数部分，求a+b+c的平方根．【考点】平方根；立方根；估算无理数的大小．【分析】首先根据平方根与立方根的概念可得a、b的值；接着估出的大小，可得c的值；进而可得a+b+c，根据平方根的求法可得答案．【解答】解：根据题意，可得1+3a＝49，2a﹣b﹣5＝﹣27；故a＝16，b＝54；又有10＜＜11，可得c＝10；则a+b+c＝16+54+10＝80．则80的平方根为±4．【点评】此题主要考查了平方根、立方根、算术平方根的定义及无理数的估算能力，掌握二次根式的基本运算技能，灵活应用．“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．23．已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣9的立方根是2，c是的整数部分，求a+b+c的平方根．【考点】平方根；立方根；估算无理数的大小．【分析】首先根据平方根与立方根的概念可得2a﹣1与3a+b﹣9的值，进而可得a、b的值；接着估计的大小，可得c的值；进而可得a+b+c，根据平方根的求法可得答案．【解答】解：根据题意，可得2a﹣1＝9，3a+b﹣9＝8；故a＝5，b＝2；又∵2＜＜3，∴c＝2，∴a+b+c＝5+2+2＝9，∴9的平方根为±3．【点评】此题主要考查了平方根、立方根、算术平方根的定义及无理数的估算能力，掌握二次根式的基本运算技能，灵活应用．“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．24．求下列各式中x的值．（1）（x+1）2﹣4＝0．（2）3x2+4＝﹣20．【考点】平方根．【分析】（1）根据平方根，即可解答；（2）根据平方根，即可解答．【解答】解：（1）（x+1）2﹣4＝0，（x+1）2＝4，x+1＝±2，x＝1或x＝﹣3．（2）3x2+4＝﹣20，3x2＝﹣24，x2＝﹣8，原方程无解．【点评】本题考查了平方根，解决本题的关键是熟记平方根的定义．25．已知x＝1﹣a，y＝2a﹣5．（1）已知x的值4，求a的值及x+y+16的平方根；（2）如果一个数的平方根是x和y，求这个数．【考点】平方根；整式的加减．【分析】（1）先列式1﹣a＝4，可得a的值，根据y＝2a﹣5可得y的值，从而进行计算可得答案；（2）根据一个数的平方根互为相反数，可得a的值，根据平方运算，可得答案．【解答】解：（1）∵x的值4，∴1﹣a＝4，a＝﹣3，∴y＝2a﹣5＝2×（﹣3）﹣5＝﹣11，∴x+y+16＝4﹣11+16＝9，即x+y+16的平方根是±3；（2）∵一个数的平方根是x和y，∴1﹣a+（2a﹣5）＝0，解得a＝4，当a＝4时，（1﹣a）2＝（1﹣4）2＝9，答：这个数是9．【点评】本题考查了平方根和整式的加减，注意一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，以防漏掉．26．已知2m+3和4m+9是x的平方根，求x的值．【考点】平方根．【分析】①正数有两个平方根，它们互为相反数，从而得到2m+3+4m+9＝0，可求得m 的值；②2m+3＝4m+9，可求得m的值．然后利用平方根的定义即可求得x的值．【解答】解：∵2m+3和4m+9是x的平方根，∴2m+3+4m+9＝0或2m+3＝4m+9，解得：m＝﹣2或﹣3，当m＝﹣2时，2m+3＝﹣1，4m+9＝1；当m＝﹣3时，2m+3＝﹣3．∴x＝（±1）2＝1或x＝（﹣3）2＝9．故x的值为1或9．【点评】本题考查了对平方根的定义和性质，明确正数有两个平方根，它们互为相反数是解题的关键．27．已知2m+3和4m+9是一个正数的两个平方根，求m的值和这个正数的平方根．【考点】平方根．【分析】正数有两个平方根，它们互为相反数，从而得到2m+3+4m+9＝0，可求得m的值，然后利用平方根的定义即可求得这个正数的平方根．【解答】解：∵2m+3和4m+9是一个正数的两个平方根，∴2m+3+4m+9＝0，解得：m＝﹣2，当m＝﹣2时，2m+3＝﹣1，4m+9＝1．故m的值为﹣2，这个正数的平方根是±1．【点评】本题考查了平方根，明确正数有两个平方根，它们互为相反数是解题的关键11。
二次根式的讲义
专题一 二次根式【知识点1】二次根式的概念：一般地，我们把形如)0(0≥≥a a 的式子叫做二次根式。
二次根式的实质是一个非负数数a 的算数平方根。
【注】二次根式的概念有两个要点：一是从形式上看，应含有二次根号；二是被开方数的取值范围有限制：被开方数a 必须是非负数。
例1 以下各式1〕22211,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153x a a a --+---+， 其中是二次根式的是_________〔填序号〕． 例2 使x ＋1x-2有意义的x 的取值范围是〔 〕 A ．x ≥0 B ．x ≠2 C ．x>2 D ．x ≥0且x ≠2． 例3 假设y=5-x +x -5+2021，那么x+y=练习1使代数式43--x x 有意义的x 的取值范围是〔 〕 A 、x>3 B 、x ≥3 C 、 x>4D 、x ≥3且x ≠4练习2假设11x x ---2()x y =+，那么x －y 的值为〔 〕A ．－1B ．1C ．2D ．3例4 假设230a b -+-=，那么 2a b -= 。
例5 在实数的范围内分解因式：X 4 - 4X 2+ 4= ________ 例6 假设a 、b 为正实数，以下等式中一定成立的是〔 〕： A 、a 2 +b 2 =a 2+b 2 ； B 、〔a 2+b 2〕2 =a 2+b 2； C 、〔 a + b 〕2= a 2+b 2； D 、〔a —b 〕2 =a —b ；【知识点2】二次根式的性质：〔1〕二次根式的非负性，)0(0≥≥a a 的最小值是0；也就是说〔〕是一个非负数，即0〔〕。
注：因为二次根式〔〕表示a 的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数〔〕的算术平方根是非负数，即0〔〕，这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。
这个性质在解答题目时应用较多，如假设，那么a=0,b=0；假设，那么a=0,b=0；假设，那么a=0,b=0。
《实数和二次根式》全章复习与巩固(提高)知识讲解
实数和二次根式》全章复习与巩固（提高）【学习目标】1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根.2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根.3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应；了解数的范围由有理数扩大为实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化.4.能用有理数估计一个无理数的大致范围.5.理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质.6.熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算，会用它们进行有关实数的四则运算.7.了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用.【知识网络】【要点梳理】类型平方根立方根项目被开方数非负数任意实数3a符号表示a性质一个正数有两个平方根，且互为一个正数有一个正的立方根；要点二、无理数与实数有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类实数⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎨⎩⎭⎪⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎩⎭⎩正有理数有理数零有限小数或无限循环小数负有理数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 要点诠释：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．（2等；②有特殊意义的数，如π；③有特定结构的数，如0.1010010001…（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式.2.实数与数轴上的点一 一对应数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.3.实数的三个非负性及性质在实数范围内，正数和零统称为非负数。
我们已经学习过的非负数有如下三种形式： （1）任何一个实数a 的绝对值是非负数，即|a |≥0； （2）任何一个实数a 的平方是非负数，即2a ≥0；（30≥ (0a ≥).非负数具有以下性质： （1）非负数有最小值零；（2）有限个非负数之和仍是非负数；（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0. 4.实数的运算数a 的相反数是－a ；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里.5.实数的大小的比较有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法. 要点三、二次根式的相关概念和性质 1. 二次根式形如(0)a a ≥的式子叫做二次根式，如13,,0.02,02等式子，都叫做二次根式. 要点诠释：二次根式a 有意义的条件是0a ≥，即只有被开方数0a ≥时，式子a 才是二次根式，a 才有意义.2.二次根式的性质（1）； （2）；（3）.要点诠释：（1） 一个非负数a 可以写成它的算术平方根的平方的形式，即a 2)a =（0a ≥），如2221122););)33x x ===（0x ≥）. （2）2a a 的取值范围可以是任意实数，即不论a 取何值，2a 意义.（32a a ，再根据绝对值的意义来进行化简. （42a 2()a 的异同2a a 可以取任何实数，而2a 中的a 必须取非负数；2a a ，2)a =a （0a ≥）.相同点：被开方数都是非负数，当a 2a 2a .3. 最简二次根式（1）被开方数是整数或整式；（2)被开方数中不含能开方的因数或因式.满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如222,,3,ab x a b +等都是最简二次根式.要点诠释：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2.4.同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式. 要点诠释：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如2与8，由于8=22，2与8显然是同类二次根式.要点四、二次根式的运算 1. 乘除法（1）乘除法法则：类型 法则逆用法则二次根式的乘法(0,0)a b ab a b ⨯=≥≥积的算术平方根化简公式：(0,0)ab a b a b =⨯≥≥二次根式的除法(0,0)a a a b b b=≥> 商的算术平方根化简公式：(0,0)a aa b b b=≥> 要点诠释：（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如a b c d ac bd ⋅=.（2）被开方数a b 、一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如(4)(9)49-⨯-≠-⨯-.2.加减法将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式.要点诠释：二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如23252(135)22+-=+-=-.【典型例题】类型一、有关方根的问题【高清课堂：389318 实数复习，例1】1、已知31233-+-+-=x x x y ，求y x 2的值.【思路点拨】由被开方数是非负数，分母不为0得出x 的值，从而求出y 值，及y x 2的值. 【答案与解析】 解：由题意得303030x x x ⎧-≥⎪-≥⎨⎪-≠⎩，解得x ＝－3 31233-+-+-=x x x y ＝－2∴y x 2＝()()23218-⨯-=-.【总结升华】根据使式子有意义的条件列出方程，解方程，从而得到y x 2的值. 举一反三： 【变式1】已知322+-+-=x x y ，求x y 的平方根。
【解析】专题三 二次根式基本运算
专题三 二次根式基本运算 分母有理化 解析
板块一 二次根式的乘除 最简二次根式： 二次根式 a （ a 0 ）中的 a 称为被开方数．满足下面条件的二次根式我们称为最简二次根式： ⑴被开放数的因数是整数，因式是整式（被开方数不能存在小数、分数形式） ⑵被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 ⑶分母中不含二次根式 二次根式的计算结果要写成最简根式的形式． 二次根式的乘法法则： a b ab （ a 0 ， b 0 ）
4y 2y
84
∴ 27x和 3xy 不是同类二次根式． 4y 8
⑷∵ 4 a3b2 2 ab 5a, a2b3 ab 5b
5
5
55
∴ 4 a3b2 和 a2b3 不是同类二次根式．
5
5
【评注】判断两个二次根式是不是同类二次根式，要严格按照定义，先化简，然后再看被开方数是否相同即
可．解此题必须要把所给二次根式化成最简形式．化成最简二次根式后只须看被开方数是否相同．
3
3
24x 中有能开得尽方的因数 22 ， x2 4x 4 x 22 中含有能开得尽方的因式 x 22 ，它们都
不满足条件 2；只有 a2 b2 和 b 满足最简二次根式的两个条件．选 B. 4
【评注】要牢记最简二次根式的两个条件，判断时只须看被开方数，注意当被开方数是多项式时要先分解因
）．
6x1 ， a2 b2 ， 2ab2 ， 0.5ab , a ， b , 24x ， x2 4x 4 ． 34
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
【解析】此题的关键是看二次根式的被开方数是否满足最简二次根式的两个条件．
6x 1 中 6x1 6 是分式， x
《二次根式》专题专练(一)(4个专题)
分析：本题先根据图形进行计算，再探究规律．
解：（1） ；
（2）依题意： ；
；
；
依此类推 ，所以△ 的周长为 ．
点评：数与形是一个问题的两个方面，数无形不直观，形缺数难入微，数形结合既有助于找到解答思路，也常使解答简捷，数形结合的关键在于几何图形转化为数的知识去探索规律，本题就体现了这种数与形的统一与和谐！
3．考查同类二次根式的概念
例4．(2007年眉山市)下列二次根式中与 是同类二次根式的是( )．
A． B． C． D．
分析：只要将所给式子化成最简二次根式，再看是否与2相同即可．
解：因为 ； ； ； ，故选D．
点评：判断是否与同类二次根式关键是化成最简二次根式以后，被开方数相同那就是同类二次根式，重点考查对概念的理解和把握情况．
点评：判断是否是二次根式的条件是 ≥0），要特别注意 ≥0这个条件，本题重点考查对二次根式概念的理解．
例2．（2007年成都市： ≥0，又 ≥0，再由非负数的性质就可以求出a，b的值．
解：由已知条件可得：a=2，b= -5，所以a+b=2-5= -3．
专练四：
1．写出和为6的两个无理数（只需写出一对）
2．借助计算器可以求出 ， ， ， ，……仔细观察上面几道题中的计算结果，试猜想： =。
3．动手操作题：用计算器探索：已知按一定规律排列的一组数：1， ， ，…， ， 。如果从中选出若干个数，使它们的和大于3，那么至少需要选个数。
4．阅读下列解题过程，并按要求填空：
专题03 二次根式-三年(2019-2021)中考真题数学分项汇编(全国通用)(原卷版)
专题03.二次根式一、单选题1．（2021·取1.442 ） A ．-100 B ．-144．2 C ．144.2 D ．-0.014422．（2021· ）． A ．321-+ B ．321+- C ．321++ D ．321--3．（2021·湖北恩施·中考真题），所有积中小于2的有（ ）个． A ．0B ．1C ．2D ．34．（2021·湖南常德市·中考真题）计算：1⎫=⎪⎝⎭（ ）A ．0B ．1C ．2D 5．（2021·湖南衡阳市·中考真题）下列计算正确的是（ ）A 4=±B ．()021-=C =D 3=6．（2021·浙江杭州市·中考真题）下列计算正确的是（ ）A 2=B 2=-C 2=±D 2=±7．（2021·上海中考真题）下列实数中，有理数是（ ）A B C D8．（2021·江苏苏州市·中考真题）计算2的结果是（ ）AB ．3C ．D ．99．（2021·甘肃武威市·中考真题）下列运算正确的是（ ）A 3=B ．4=C =D 4=10．（2021· ）A．7B ．C ．D ．11．（2021·浙江嘉兴市·中考真题）能说明命题“若x 为无理数，则x 2也是无理数”是假命题的反例是（ ）A ．1x =B ．1x =C ．x =D ．x =12．（2021·重庆中考真题）下列计算中，正确的是（ ）A ．21=B ．2=C =D 3=13．（2020·是同类二次根式的是（ ）AB CD14．（2020·内蒙古赤峰市·中考真题）估计( （ ） A ．4和5之间B ．5和6之间C ．6和7之间D ．7和8之间15．（2020·辽宁朝阳市· ）A ．0B C ．D ．1216．（2020·辽宁丹东市·中考真题）在函数y =x 的取值范围是（ ）A ．3x ≤B ．3x <C ．3x ≥D ．3x >17．（2020·湖北宜昌市·其运算结果能成为有理数的是（ ）．A ．BC ．3D ．018．（2020·山东菏泽市·中考真题）函数5y x =-的自变量x 的取值范围是（ ） A ．5x ≠B ．2x >且5x ≠C ．2x ≥D ．2x ≥且5x ≠19．（2020·黑龙江绥化市·中考真题）下列等式成立的是（ ）A 4=±B 2=C ．-=D ．8=-20．（2020·山东济宁市·中考真题）下列各式是最简二次根式的是（ ）A B C D 21．（2020·江苏泰州市·中考真题）下列等式成立的是（ ）A ．3+=B =C= D 3=22．（2019·湖北恩施土家族苗族自治州·中考真题）函数11=-+y x 中，自变量x 的取值范围是（ ）A ．23x ≤B ．23x ≥C ．23x <且1x ≠- D ．23x ≤且1x ≠-23．（2019·湖北宜昌市·中考真题）古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦﹣秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a ，b ，c ，记2a b cp ++=，那么三角形的面积为S =ABC ∆中，A ∠，B ，C ∠所对的边分别记为a ，b ，c ，若5a =，6b =，7c =，则ABC ∆的面积为（ ）A ．B ．C ．18D ．19224．（2019·湖北中考真题）“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：7==+除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：设x =，>，故0x >，由22332x ==+=，解得x =，即= ）A ．5+B ．5C ．5D ．5-25．（2019·山东聊城市·中考真题）下列各式不成立的是（ ）A= B =C ．52== D =26．（2019·江苏常州市·中考真题）下列各数中与2+ ）A ．2+B ．2C D ．227．（2021· ）A ．4B ．4±C ．D ．±28．（2020·重庆中考真题）下列计算中，正确的是（ ）A =B．2+=C =D ．229．（2020·山东聊城市· ）． A ．1 B ．53C ．5D ．930．（2020·内蒙古鄂尔多斯市·中考真题）中，x 的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题31．（2021·天津中考真题）计算1)的结果等于_____．32．（2021·湖北武汉市·_______________________．33．（2021·浙江丽水市·有意义，则x 可取的一个数是__________．34．（2021·四川广安市·中考真题）在函数y =x 的取值范围是___．35．（2021·湖北黄冈市·这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的0.618法就应用了黄金分割数．设a =12b +=，则1ab =，记11111S a b =+++，2221111S a b =+++，…，1010101111S a b=+++．则1210S S S +++=____．36．（2021·湖南岳阳市·中考真题）已知1x x +=，则代数式1x x+=______．37．（2021·四川眉山市·中考真题）观察下列等式：1311212x ===+⨯；2711623x ===+⨯；313111234x ===+⨯；…… 根据以上规律，计算12320202021x x x x ++++-=______．38．（2021·x 的取值范围是________．39．（2020·山东青岛市·中考真题）计算：-⨯=______．40．（2020·山西中考真题）计算：2-=_____________．41．（2020·江苏南通市·中考真题）若m ＜＜m +1，且m 为整数，则m ＝_____．42．（2020·湖南益阳市·中考真题）m 的结果为正整数，则无理数m 的值可以是__________．（写出一个符合条件的即可）43．（2020·内蒙古中考真题）计算：2+=______．44．（2020·湖南邵阳市·中考真题）在如图方格中，若要使横、竖、斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则2个空格的实数之积为________．45．（2020·==，则ab =_________．46．（2020·甘肃金昌市·中考真题）已知5y x =+，当分别取1，2，3，……，2020时，所对应y 值的总和是__________．47．（2020·江苏南京市·的结果是__________．48．（2020·黑龙江绥化市·中考真题）在函数15y x =+-中，自变量x 的取值范围是_________．49．（2020·青海中考真题）对于任意不相等的两个实数a ，b （ a > b ）定义一种新运算a ※，如3※，那么12※4=______50．（2019·四川绵阳市·中考真题）单项式1a x y --与2是同类项，则b a =______．51．（2019·辽宁营口市·中考真题）和则这个长方形的面积为________．52．（2019·四川内江市·中考真题）若1001a a -=，则21001a -=_____． 53．（2019·山东枣庄市·中考真题）观察下列各式：11111122⎛⎫=+=+- ⎪⨯⎝⎭，111112323⎛⎫=+=+- ⎪⨯⎝⎭，111113434⎛⎫=+=+- ⎪⨯⎝⎭，请利用你发现的规律，计算：____．54．（2019·山东菏泽市·中考真题）已知x =，那么2x -的值是_____．55．（2019·湖南益阳市·中考真题）观察下列等式：①3﹣＝﹣1)2，②5﹣＝)2，③7﹣＝﹣2，…请你根据以上规律，写出第6个等式____________．56．（2019·山东滨州市·中考真题）计算：21|2|2-⎛⎫--= ⎪⎝⎭_________．57．（2019·山东青岛市·0-＝___________．58．（2020·辽宁营口市·中考真题）（）（）＝_____． 三、解答题59．（2021·湖南长沙市·中考真题）计算：(02sin 451-++°60．（2021·山东临沂市·中考真题）计算221122⎫⎫+-⎪⎪⎭⎭．61．（2021·四川遂宁市·中考真题）计算：()101tan 60232-⎛⎫-+︒-+- ⎪⎝⎭π62．（2020·广西玉林市·()23.141π--+63．（2020·上海中考真题）计算：1327(12)﹣2+|3．64．（2019·2318-65．（2019·辽宁大连市·中考真题）计算：22)+。
《实数》专讲专练
《实数》专讲专练专题一 平方根的意义及运算，用计算器求平方根一、要点回顾1.算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2＝a ，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根，0的算术平方根是0.2.平方根：一般地，如果一个数x 的平方等于a ，即x 2＝a ，那么这个数a 就叫做x 的平方根，一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根.3.开平方：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方.4.平方根的性质：（1）2＝a ，（2a (a 为任意实数).注意点：平方根易错点：（1）平方根与算术平方根不分，如，64的平方根为±8，易丢掉－8，而求为64的算术平方根；（22 2.二、考题解析例1（连云港市）如果2a －18＝0，那么a 的算术平方根是 .分析 先求出的a 值，再求a 的算术平方根.解 因为2a －18＝0，所以a ＝9，而9的算术平方根等于3，所以a 的算术平方根是3.说明 本题意在考查一个非负数的算术平方根，题目虽然简单，但求解时还必须小心为好.例2（徐州市）4的平方根是（ ）A.±2B.2C.－2D.16分析 找出平方等于4的实数即可求解.解因为(±2)2＝42，故应选A.说明注意一个正数的平方根有两个，它们是互为相反数.例3a的取值范围是（）A.a≤0B.a＜0C.0＜a≤1D.a＞0分析aa，则表明a≥0，考虑分母不为0，被开方式应为非负数，于是问题即求.解a满足0,0,10.aaa≥⎧⎪≠⎨⎪-≥⎩解得0＜a≤1.故应选C.说明本题中包含两个隐含条件：一是分母不能为0，二是分子的被开方式必须是非负数，这两点同学们在求解时都会容易被忽视.三、同步训练1.49的平方根是_______，算术平方根是_______；0的平方根是_______，算术平方根是________.2.________________________.3.一个自然数的算术平方根是x，则下一个自然数的算术平方根是（）A.x+1B. x2+1D.4.一个圆的面积为2πcm2，求这个圆的半径.5.用电器的电阻R、功率P与它两端的电压U之间有关系：P＝2UR.有两个外观相同的用电器，甲的电阻为18.4欧，乙的电阻为20.8欧.现测得某用电器的功率为1500瓦，两端电压在150伏至170伏之间，该用电器到底是甲还是乙？6.八年级（3）班两位同学在打羽毛球，一不小心球落在离地面高为6米的树上.其中一位同学赶快搬来一架长为7米的梯子，架在树干上，梯子底端离树干2米远，另一位同学爬上梯子去拿羽毛球.问这位同学能拿到球吗?专题二 立方根的意义及运算，用计算器求立方根一、要点回顾1.立方根：一般地，如果一个数x 的立方等于a ，即x 3＝a ，那么这个数x 就叫做a 的立方根（也叫做三次方根），正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数.2.开立方：求一个数a 的立方根的运算叫做开立方.3.立方根的性质：（1）3＝a ，（2a .注意点：与平方根不同，负数同样也有立方根.二、考题解析例4（青海省）－127的立方根是 . 分析 由于负数有一个负的立方根，而127＝313，由此可以求解.解 因为313＝127＝－13，即－127的立方根是－13. 说明 求解时应注意搞清楚是求立方根，而不是平方根，不能拿到题目一看是“－”数就认为无意义.例5（扬州市）估计68的立方根的大小在（ ）A.2与3之间B.3与4之间C.4与5之间D.5与6之间分析 要估计68的立方根的大小，只要能知道68的上一个数的立方数和下一个数的立方数即可.解 因为43＜68＜5,3，所以68的立方根的大小在4与5之间.故应选C .说明 ，所以问题就能获解.三、同步训练1.－8）A.2B.0C.2或一4D.0或－42.若某数的立方根等于这个数的算术平方根，则这个数等于（）A.0B.±1C.－1或0D.0或13.1的立方根是________，－1的立方根是________，0的立方根是________；64的平方根是______，64的立方根是________；立方根是本身的数是________._________________________.5.一个正方体A的体积是棱长为4厘米的正方体B的体积的127，这个正方体A的棱长是______厘米.6.（1）已知y＝x3－3，且y的算术平方根为4，求x.（2）如果3x+16 的立方根是4，试求2x+4的平方根.7.一个长方体的长为5cm、宽为2cm、高为3cm，而一个正方体的体积是它的3倍.求这个正方体的棱长(结果精确到0.01cm).专题二实数的有关概念一、要点回顾1.无理数：无限不循环小数叫做无理数.2.实数：有理数和无理数统称为实数.3.实数的分类：实数⎧⎨⎩有理数无理数或⎧⎪⎨⎪⎩正实数负实数4.实数和数轴上的点是一一对应的.注意点：无理数的错误认识：（1）无限小数就是无理数，这种说法错误，因为无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数两类.如1.414141…(41无限循环）是无限循环小数，而不是无理数；（2，虽带根是有理数；（3）两个无理数的和、积却是有理数，再如－π和5π都是无理数，但5ππ-但它们的和却是有理数；（4）无理数是无限不循环小数，所以无法在数轴上表示出来，的方法在数轴上把它找出来，其他的无理数也是如此；（5）无理数比有理数少，这种说法错误，虽然无理数在人们生产和生活中用的少一些，但并不能说无理数就少一些，实际上，无理数也有无穷多个.二、考题解析例6（宜昌市）－13，0，π，4中，挑选出的两个数都是无理数的为（ ）A.－13，0 B.π，4 C. 4 D.π 分析 首先判断在这些实数中哪些是无理数，然后再求解.解 13，0，π，4π是无理数， 所以应选D .说明 这里应注意－13是分数，属于有理数范畴，而π是无理数. 例7（自贡市）写出一个有理数和一个无理数，使它们都是小于－1的数 . 分析 依题意，写出的两个数必须满足：一是一个是有理数和一个是无理数，二是都是小于－1的数.解 答案不唯一.如，－2，－2.等等.说明 本题虽然是一道结论开放型的题目，但在求解时只要依据题意，分别负数范围内写出一个有理数和一个无理数即可.例8 ）CA.－5B.0C.3分析2，于是，对照选择支即可求解.解因为02＜3，所以应选C.说明.例9（盐城市）实数a在数轴上对应的点如图所示，则a，－a，1的大小关系正确的是（）A.－a＜a＜1B.a＜－a＜1C.1＜－a＜aD.a＜1＜－a分析观察数轴我们可以发现a＜0，且a＞1，于是即可比较.解因为a＜0，且a＞1，所以－a＞1，所以a＜1＜－a.故应选D.说明本题意在考查实数与数轴的对应关系，求解时要充分发挥数形结合的思想，以降低求解的难度.三、同步训练1.边长为4的正方形的对角线长是（）A.整数B.分数C.有理数D.不是有理数2.在－3 2.4）A.1B.2C.3D.43.的点是.4.你能说明3是无理数吗？专题四实数的化简与运算1.实数的化简：（1a≥0，b≥0)；（2a≥0，b＞0).2.实数化简最后有结果应满足的条件：（1）被开方数的因式是整式或整数；（2）被开方数中不含有能开得尽的因数或因式.3.几个含有根号的实数经过化简以后，如果被开方数相同，那么这几个化简后的实数a 0 1就可以合并成一项.4.实数的乘法、除法：（1(a≥0，b≥0)；（2(a≥0，b＞0).注意点：（1）实数相加减，先把各个含有根号的实数化简，如果被开方式相同，就可以象合并同类一样合并，要防止：①该化简的没化简；②不该合并的合并；③化简不正确；④合并出错.（2）实数的乘法除法常用乘法公式或除法公式来简化计算，运算结果一定要简洁.（3）在进行实数的运算时应注意数学中的类比思想的运用，如，计算(－2)2－20+112-⎛⎫⎪⎝⎭4－1+2－2－3＝0.例10（中山市）已知等边三角形ABC的边长为ABC的周长是______.分析等边三角形的三边长相等，要求此周长，只需将边长乘以3，或将三边长相加即得.解因为等边三角形ABC的边长为所以△ABC的周长是＝说明本题主要考查同学们的实数运算能力，题目虽然简单，但也要小心谨慎才是.例11（荆门市）计算：14______.分析先每一个算术平方根化简，再进行括号里面的运算，最后做除法运算.解1414×÷39232.说明本题意在考查同学们对实数运算的熟练程度，计算时一定要注意对每一个式子的化简，利用实数的运算顺序，且最后结果必须化成最简的.例12（天津市）若m－4，则估计m的值所在的范围是（）A.1＜m＜2B.2＜m＜3C.3＜m＜4D.4＜m＜5分析6＝7，由此可以求解.解 因为67，即67，所以6－44＜7－4，即2－4＜3，所以2＜m ＜3，故应选B .说明 有关实数的估算题目在近年的中考试卷中频频出现，目的是老查大家对数的估算能力，同学们在平时学习时一定要注意这方面的训练.例13（烟台市）已知a，b2）A.3B.4C.5D.6分析 由于给定的条件是无理数，直接代入求值有点繁，但考虑a 2+b 2＝(a +b )2－2ab ，于是，我们可以设法从条件中先求出a +b ，ab ，这样通过整体代入即可容易求解.解 因为a，b2，所以a +b ＝ab ＝1，而a 2+b 2＝(a +b )2－2ab ＝2－2×1＝18，＝5.故应选C .说明 有关实数中的代数式求值问题在中考中频频出现，可见它是考查的一个重点，尤其是与无理数或公式变形有关的问题更是考查的一个热点.例14（苏州市）若x 2－x －2＝0，则()2221x x x x -+--的值等于（ ）分析 要想求解条件中字母的值，目前还不能做到，但考虑条件可以变形得到x 2－x ＝2，而待求式中又刚好有此式，于是想到通过整体代入求解.解 因为x 2－x －2＝0，所以x 2－x ＝2，所以21x x --＝＝＝21＝.故应选A .说明 本题主要考查有关实数的代数式求值技巧，求解时一定要认真地观察分析已知条件和待求式的各自特点，找准切入点. 例15（凉山州）阅读材料，解答下列问题. 例：当a ＞0时，如a ＝6，则a ＝6＝6，故此时a 的绝对值是它本身；当a ＝0时，a ＝0，故此时a 的绝对值是零； 当a ＜0时，如a ＝－6，则a ＝6-＝－(－6)＝6，故此时a 的绝对值是它的相反数.所以，综合起来一个数的绝对值要分三种情况，即a ＝()()()0,00,0.a a a a a ⎧⎪=⎨⎪-⎩＞＜这种分析方法涌透了数学的分类讨论思想.问：（1.（2a 的大小关系.分析（1）可通过阅读，模仿绝对值的推导过程即得.（2）由（1a 的大小关系.解（1）当a ＞0时，如a＝6＝6，故此时正数a 的平方的算术平方根是它本身；当a ＝00，故此时a的平方的算术平方根是零；当a ＜0时，如a ＝－6＝6，故此时负数a 的平方的算术平方根是它的相反数.()()()0,00,0.a aaa a⎧⎪=⎨⎪-⎩＞＜（2）由（1aa.说明本题不是一道什么不好解答的问题，只要认真阅读题目提供的材料，并加以模仿，问题是很容易解决的.三、同步训练1.化简：2.大的整数是______.3.是一个实数，则x可取值的个数为（）A.0个B.1个C.2个D.无数个4.当ab＜0）A.－B.C.5.阅读下面的文字后，回答问题：小明和小芳解答题目：“先化简下式，再求值：a其中a＝9时”，得出了不同的答案，小明的解答：原式＝a＝a+(1－a)＝1，小芳的解答：原式＝a+(a－1)＝2a－1＝2×9－1＝17.（1）_____是错误的；（2）错误的解答错在未能正确运用平方根的性质：_____.通过对上面知识的回顾与演练，相信同学们一定很快解决本文开头的问题了，具体的答案是：能躲开.因为玻璃杯下落的时间为t＝2（秒），而声音传到楼下的学生只需19.6÷340≈0.58（秒）＜2.亲爱的同学们你答对了吗？- 11 - 同步训练参考答案：专题一：1，±7、7、0、0；2，5、－34，±11；3，D ；4；5，将P ＝1500瓦，R 甲＝18.4欧代入P ＝2U R，得U 甲≈166.1（伏）.将P ＝1500瓦，R 乙＝20.8欧代入P ＝2U R，得U 乙≈176.6（伏）.因为150＜166.1＜170，所以该用电器是甲；6，设梯子的顶端到地面的距离是x 米.则根据题意，得x 2+22＝72，即x 2＝45.两边开平方，得x6，所以这位同学能拿到球.专题二：1，D ；2，D ；3，1、－1、0、±8、4、0和±1；4，－5、0、－2；5，43；6，（1）（2）7，设这个正方体的棱长为x cm.根据题意，得x 3＝3×5×2×3，即x 3＝90，两边开立方，得x4.48.即这个正方体的棱长约为4.48cm.专题三：1，D ；2，B ；3，A ；4，点拨：要说明一个数是无理数，可以先假设是有理数，通过式子推导出与正确说法矛盾的结论即可说明.答案：不妨设3π是有理数，因为有理数都可以表示成分数的形式，所以设3π＝n m (m ≠0)，所以π＝3n m ，而3n m是分数，所以π也是分数，这与π为无理数矛盾.所以3π不是有理数而是无理数. 专题四：1，2，点拨：借助于数轴还是比较好理解的，但要画出其中的上下限.答案：－1，0，1，2；3，B ；4，A ；5，（1）小明.（2）被开方数大于零.点拨：小明的解答是错的.因为a ＝9时，1－a ＜0，＝－(1－a )＝a－1，a 化简.。
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1二次根式一、二次根式的概念：形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式，a 叫做被开方数（式）。
注意：①二次根式中都含有根号“”；②在二次根式中，被开方数a 必须满足0a ≥，当0a <时，二次根式无意义；③在二次根式中，a 可以是一个数也可以是含字母的代数式； ④二次根式(0a a ≥）是a 的算术平方根，所以0a ≥。
【例1】下列各式中，哪些是二次根式？（1）6- （2）3- （3）2)2(- （4)32 （5）22+x（6）)0(3>x x （7）221x x ++ （8）()221x -- （9）112()2x x +<-【变式练习】1.下列各式：①a ；②2；③33；④1.02+x 其中，属于二次根式的有_________（填写正确答案的序号）2.若5+x 是二次根式，则x 的取值范围是_________；若x 24-是二次根式，则x 的取值范围是__________。
3.下列式子一定是二次根式的是（ ）A ．2--xB ．xC ．22+xD ．22-x 4.若ba是二次根式，则a ，b 应满足的条件是（ ） A ．a ，b 均为非负数 B ．a ，b 同号 C ．a ≥0，b>0 D ．0≥ba二、最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式是最简二次根式：2（1）被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不应含有根号）； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
注意：①最简二次根式被开方数不含分母；②被开方数中每一个因数或因式的指数都小于根指数2，即每一个因数或因式的指数都为1.化二次根式为最简二次根式的步骤；1、把根号下的带分数或绝对值大于1的小数化为假分数，把绝对值小于1的小数化成分数；2、被开方数是多项式的要进行因式分解(也就是化成几个因式相乘的形式)；3、被开方数不含分母（即分母有理化）；4、将被开放数中能开得尽方的因数或因式用它的算术平方根代替后移到根号外边；5、约分。
【例2】下列根式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？为什么？21，35，x y，227x y ，243x +，()22x x y +，0.5xy ，()34x y +，xx，（其中0x >，0y >）。
【例3】将下列各式化简为最简二次根式。
（1）48 （2）165（3）23 （4）232()()x y x y -> 【变式练习】1.将下列各式化简为最简二次根式。
（1）1212（2）326- （3）221113- （4）8.1 2.将下面各式化简为最简二次根式。
3（1）)0,0(2332>>b a b a =（2）)0,(22>>-a y x a y x =（3）)0(22>x xx = （4）)0(321623>+a a a =（5）22220(1)(2)(3)(3)x x x x x --->=（6）1(0)a a a--<=3.化简22-+-x x =_________。
三、同类二次根式：若几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，则这几个二次根式为同类二次根式。
【例4】下列根式中，与3是同类二次根式的是（ ） A.24 B.12 C.23D.18 【变式练习】1.如果最简二次根式83-a 与a 217-是同类二次根式，则a =__________。
2.下列二次根式：①3；②12；③9；④61；⑤18。
其中，属于同类二次根式的是____________（填写正确答案的序号）。
3.若最简二次根式23322-m 错误！未找到引用源。
与122104--n m 错误！未找到引用源。
是同类二次根式，则m = ；n = 。
4.下列二次根式中，与a 属于同类二次根式的是（ ）4A.a 2B.23aC.3aD.4a 四、二次根式乘除法：（1）积的算术平方根的性质：ab =b a ∙（a ≥0,b ≥0）； （2）商的算术平方根的性质：()0,0>≥=b a ba ba【例5】将下列各式化简。
（1）8116⨯；（2）)0,0(7272>>y x y x ；（3）)0(224>+x y x x(4) 1252735⨯ (5) )123)(123(+-变式：化简：（1)49151; (2))0(92524>y y x ; (3)36.049.025.0⨯（4）2313213÷÷⨯ (5) )5214()31252(313⨯÷【变式练习】1.已知m 为任意实数，则下列各式中，一定成立的是（ ）A.m m =2)(B.1122+=++m m mC.m m =2D.1)1(222+=+m m 2.已知31<<x ，则化简1682122+--+-x x x x 的结果是____________。
53.化简：（1）11214⨯；（2）345600c b a ；（3）2516121a b4.如果m ＜0，化简错误！未找到引用源。
mm m 22)(-五、分母有理化：分母有理化，又称“有理化分母”，指的是在二次根式中分母原为无理数，而将该分母化为有理数的过程，也就是将分母中的根号化去。
（1）分母是一个单项式 例如：（()20,0a a b ab ab a b b b b b b⋅===≥>⋅）（2）分母是一个多项式对于分母是一个多项式，思路仍然是将分子分母同乘相同的数，这里使用平方差公式，同时乘上错误！未找到引用源。
，分子变为错误！未找到引用源。
，分数值为错误！未找到引用源。
，再约分即可。
也就是说，为了有理化多项式的分母，原来分母是减号，我们乘上一个数字相同但用加号连接的式子，再用平方差公式。
【例6】（2009•邵阳）阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如132,32,53+一样的式子，其实我6们还可以将其进一步化简：（三）（二）一131)3()13(2)13)(13()13(2132,36333232)(,55355535322-=--=-+-=+=⨯⨯==⨯⨯=（1）参照（一）式得326= 参照（二）式得73=参照（三）式得352+=（2）化简：12121 (5713511)31-+++++++++n n【例7】找出下列各式的有理化因式【变式练习】找出下列各式的有理化因式(3)a a b +【例8】把下列各式分母有理化()3131- 2(2)35+ (5)a b +(1)12(2)52-(3)710+(4)326+22(6)()a x a x a -->(1)52+(2)23811-73553(4)5335--变式：1.把下列各式分母有理化：（1）a b a b -+ (2)a ba b--（3）122a a ++- （4）2222b a b b a b-+++2.把下列各式分母有理化()2151- ()5272- ()26326-+()22622a a a a +--++-六、中考链接（1）（2013•滨州）（计算时不能使用计算器）2327)3()3(3302-+--+-π（2）．（2009•孝感）已知：,13,13-=+=y x2(3)523+757(4)575--2(5)2x y x y-+8求下列各式的值．.)2(;2)1(2222y x y xy x -++（3）（2013•黔西南州）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如2)21(223+=+．善于思考的小明进行了以下探索：设2)2(2n m b a +=+（其中a 、b 、m 、n 均为整数），则有222222mn n m b a ++=+．∴a=m 2+2n 2，b=2mn ．这样小明就找到了一种把类似2b a +的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a 、b 、m 、n 均为正整数时，若2)3(3n m b a +=+，用含m 、n 的式子分别表示a 、b ，得：a= ，b= ；（2）利用所探索的结论，找一组正整数a 、b 、m 、n 填空：+ 3=2) 3 + (，且a 、m 、n 均为正整数，求a 的值？ （3）若2)3(34n m a +=+，且a 、m 、n 均为正整数，求a 的值？七、常见公式a a =2，a a =2)(，a a =33，a a =33)(b a b a ⋅=⋅，b a b a =，a a a =1，ba ba ba --=+191.化简：()210,02a ab b a b a b a ab b-+÷>>-++；2．已知1322x =+，1322y =-，求1111x y +--的值.3．已知()1752a =+，()1752b =-，求代数式225a ab b -+的值。