微元法的应用

第六章微元法的应用 (2)§6.1 微元法 (2)§6.2 定积分在几何学中的应用 (4)§6.3 定积分在物理学中的应用 (9)§6.4 定积分在其它领域的应用 (11)总结与提高 (14)复习题六 (14)第六章 微元法的应用如阿基米德一个根本的那个人的、牛顿与高斯这样的最伟大的数学家，总是不偏不倚地把理论与应用结合起来。

——克莱因“微元法”就是根据定积分的定义抽象出来的将实际问题转化成定积分的一种简单直接方法,就是将研究对象分割成许多微小的单元，或从研究对象上选取某一“微元”加以分析，从而可以化曲为直，使变量、难以确定的量为常量、容易确定的量．通俗地说就是把研究对象分为无限多个无限小的部分，取出有代表性的极小的一部分进行分析处理，再从局部到全体综合起来加以考虑的科学思维方法。

在处理问题时,从对事物的极小部分(微元)分析入手,达到解决事物整体的方法.这是一种深刻的思维方法,是先分割逼近,找到规律,再累计求和,达到了解整体. 微元法在几何、物理、力学和工程技术等方面都有着极其广泛的应用．本章我们首先重点讨论定积分在几何上的应用；其次，讨论它在物理、力学方面的一些应用．最后再讨论在工程技术以及经济学方面的应用．§6.1 微元法6.1.1 微元法的原理定积分概念的引入，体现了一种思想，它就是：在微观意义下，没有什么“曲、直”之分，曲顶的图形可以看成是平顶的，“不均匀”的可以看成是“均匀”的。

简单地说，就是直观的看，对于图所示图形的面积时，在[a , b ]上任取一点x ，此处任给一个“宽度”x ∆，那么这个微小的“矩形”的面积为dx x f x x f dS )()(=∆=此时我们把dx x f dS )(=称为“面积微元”。

把这些微小的面积全部累加起来，就是整个图形的面积了。

这种累加通过什么来实现呢？当然就是通过积分，它就是⎰=badx x f S )(这些问题可化为定积分来计算的待求量A 有两个特点：一是对区间的可加性，这一特点是容易看出的；关键在于另一特点，即找任一部分量的表达式：()A f x x x ε∆=∆+∆（6.1.1）然而，人们往往根据问题的几何或物理特征，自然的将注意力集中于找()f x x ∆这一项。

但不要忘记，这一项与A ∆之差在0x ∆→时，应是比x ∆高阶的无穷小量（即舍弃的部分更微小），借用微分的记号，将这一项记为()dA f x dx = （6.1.2）这个量dA 称为待求量A 的元素或微元。

用定积分解决实际问题的关键就在于求出微图6.1.1 微元法的意义元。

设()f x 在[,]a b 上连续，则它的变动上限定积分()()xaU x f t dt=⎰ （6.1.3）是()f x 的一个原函数，即()()dU x f x dx =.于是，()bbaaf x dx dU U==⎰⎰ （6.1.4）这表明连续函数()f x 的定积分就是（6.1.1）的微分的定积分.由理论依据（6.1.2）可知，所求总量A 就是其微分()dU f x dx =从a 到b 的无限积累（即积分）()baU f x dx =⎰，这种取微元()f x dx 计算积分或原函数的方法称为微元法.如，求变速直线运动的质点的运行路程的时候，我们在T 0到T 1的时间内，任取一个时间值t ，再任给一个时间增量t ∆，那么在这个非常短暂的时间内（t ∆内）质点作匀速运动，质点的速度为v ( t )，其运行的路程当然就是dt t v t t v dS )()(=∆=()dS v t dt =就是“路程微元”，把它们全部累加起来之后就是：⎰=1)(T T dtt v S用这样的思想方法，将来我们还可以得出“弧长微元”、“体积微元”、“质量微元”和“功微元”等等。

这是一种解决实际问题非常有效、可行的好方法。

6.1.2 微元法的主要步骤设想有一个函数()F x , 所求量A 可以表示为: ()()A F b F a =-，然后实际进行以下三步:第一步取dx , 并确定它的变化区间[,]a b ;第二步设想把[,]a b 分成许多个小区间, 取其中任一个小区间[,]x x dx +, 相应于这个小区间的部分量A ∆ 能近似地表示为()f x 与dx 的乘积),就把()f x dx 称为量A 的微元并记作dA , 即()A dA f x dx ∆≈=第三步在区间[,]a b 上积分, 得到()()()baA f x dx F b F a ==-⎰Q =ba这里的关键和难点是求dA , 在解决具体问题时本着dA 是A ∆的线性主部的原则, 这样计算的A 为精确值。

6.1.3 微元法的使用条件据以上分析，可以用定积分来解决的确实际问题中的所求量A 应符合下列条件：（1）A 是与一个变量的变化区间],[b a 有关的量； （2）A 对于区间],[b a 具有可加性；（3）局部量i A ∆的近似值可表示为,)(i i x f ∆ξ这里)(x f 是实际问题选择的函数.§6.2 定积分在几何学中的应用6.2.1直角坐标系下平面图形的面积由定积分的几何意义，连续曲线 )0()(≥=x f y 与直线 x a b b x a x ,)(,>== 轴所围成的曲边梯形的面积为⎰=badx x f A )(若)(x f y = 在 ],[b a 上不都是非负的，则所围成的面积为⎰=badx x f A |)(|一般的，由两条连续曲线 )(,)(2211x f y x f y == 及直线)(,a b b x a x >==所围成的平面图形称为-X 型图形，其面积为⎰-=badx x f x f A )]()([12而由两条连续曲线 1122(),()x g y x g y == 及直线,()y c y d d c ==>所围成的平面图形称为-Y 型平面图形其面积为：⎰-=dcdy y g y g A )]()([12上述结果用微元法分析如下：如图6.2.1可选取积分变量为x ，并可确定x 的变化区间为[a , b ]，在[a , b ]上任取一小区间 [x , x+d x ]，它对应的小条形区域的面积近似等于dx x g x f )()(-，故面积元素为dx x g x f dA )()(-=，所以()()b aA f x g x dx =-⎰图6.2.1同理，当平面图形是由连续曲线)()(y x y x ψϕ==，与直线d y c y ==，以及y 轴所围时(图6.2.1)，其面积为()()dcA y y dy φψ=-⎰例1 试求由1,,2y y x x x===所围成的图形的面积. 解 如图，[1,2]x ∈，这是一个典型的-X 型图形，所以面积微元1()dA x dx x=-，于是所求面积2113()ln 22A x dx x =-=-⎰例2 求由曲线x = y 2以及直线y = x -2 所围的平面图形的面积（如右图）。

解 这是一个典型的Y —型平面图形。

由⎩⎨⎧-==22x y y x 解得它们的交点坐标是：(1, -1)；(4, 2)因此所求的平面图形的面积为：(){}dy y y S ⎰--+=2122213231221-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=y y y2967310=+=在平面图形的面积计算过程当中，对图形进行适当的分割有时是必要的。

我们所求面积的图形就好比一块大蛋糕，必要的时候，我们就得拿起小刀，对这块“蛋糕”进行分割，把它切割成符合我们要求的形状，然后再求出每小块“蛋糕”的面积，最后把它们加起来就是整块“蛋糕”的面积了。

6.2.2 已知平行截面面积的几何体的体积现在我们看下面一个空间立体，假设我们知道它在x 处截面面积为S(x)，可否利用类似于上节极坐标下推导面积公式的思想求出它的体积？如果像切红薯片一样，把它切成薄片，则每个薄片可近似看作直柱体，其体积等于底面积乘高，所有薄片体积加在一起就近似等于该立体的体积。

我们继续用微元法导出公式。

在[a , b ]上任取一点x ，并且任给x 的一个增量x ∆，这样就得到一个非常薄的薄片，这个小薄片我们可以近似地把它看成柱体，于是这个微小的柱体体积为：y图6.2.2图6.2.3dV =S (x )x ∆= A (x )dx把这些小体积加起来，就是我们要求的体积。

它就是： ()baV S x dx =⎰。

这里，体积的计算的关键是求截面面积S(x) , 常用的方法先画出草图，分析图象求出S(x).例 3 求两圆柱222222,a z x a y x =+=+ 所围的立体体积 先画出两圆柱的图象，图中看到的是所求立体的八分之一的图像, 该立体被平面ξ=x （因为两圆柱半径相同）所截的截面, 是一个边长为22ξ-a 的正方形, 所以截面面积 22)(ξξ-=a S ,考虑到是8 个卦限，所以有3022316)(8a dx x a V a=-=⎰再看一个例题例4一半径为a 的圆柱体，用与底面交角为α的平面去截该圆柱体，并且截面过底圆直径，求截下部分的几何体体积。

解 如下图建立坐标系。

在[-a , a ]上任取一点x ，那么在这一点垂直x 轴的截面为一个直角三角形，其面积为A (x )=21AB ×BE 而22OA OB AB -=；αtan AB BE =，所以：()αtan 21)(22x a x A -=所以，所求的体积为⎰⎰---==aaaa dx x a dx x A V 22 )(tan 21)(α=ααtan 3231tan 21332a x x a aa =⎪⎭⎫ ⎝⎛-- 由分析和上面几个例题看出，只要知道了截面面积函数就可以用定积分来解决立体的体积计算问题。

6.2.3 旋转体的体积设一平面图形以x=a ；x=b ；y=0以及y=f (x )为边界，求该图形绕x 轴旋转一周的旋转体体积。

其实这是一个求X —型平面图形绕x 轴旋转一周的旋转体体积问题。

我们用“微元法”的思想，来解决这一问题。

在[a , b ]上任取一点x ，再任给一个自变量的增量x ∆，y图6.2.6 旋转体的体积得到一个细长条，该细长条我们可以把它看成矩形，该矩形的宽为x ∆ ，高为f (x )，那么这个小“矩形”绕x 轴旋转一周的旋转体就是一个圆柱体，不过，这个圆柱体非常的薄，其厚度就是x ∆，圆柱体体积是：体积 = 底面积×高于是小圆柱体的体积微元是：dx x f x x f dV )( )( 22ππ=∆=再把这些微小的圆柱体体积累加起来，也就是积分，所以所求的体积为⎰=bax dx x f V 2)(π这样旋转出来的旋转体如图所示。

例5 求由曲线y = x 2和x = y 2所围的平面图形绕x 轴旋转一周的旋转体体积。