answer to 3

注：步骤不是很全面，板书时该加的加，该删的删！ 1 解（1）采用数学归纳法。

首先计算当n=2时，12X X +的分布函数

121210

()()

()1X X t

t t t

F t P X X t P X t s e ds e te λλλλλ+---=+≤=≤-=--⎰

求导得，相应的密度函数

122(),0t X X f t te t λλ-+=≥

即：12X X +服从参数为(2, λ)的伽马分布。 假设

1

1

n i

i X

-=∑服从参数为（n-1, λ）的伽马分布，于是，其密度函数为

11

2

()()(2)!

n i

i n t

X t f t e n λλλ-=--=-∑

所以，

1

11

11

10

2

()0

1()()

()()()

[1](2)!

()()(1)!

n i

i n i

i n i

i n

i X i t

n X n t

t s s

n t

X F t P X t P X t s f s ds s e e ds

n t F t e n λλλλλλ=-=-==------=≤∑=≤-∑=--=--∑∑⎰⎰

求导，得

1

1

()()(1)!

n i

i n t

X t f t e n λλλ=--=-∑

（2）

22121212220

120

20

112

()(|)()(1)x x x x P X X P X X X x e dx

P X x e dx

e e dx

λλλλλλλλλλ∞

-∞

-∞

--<=<==<=-=

+⎰⎰⎰

2 解 我们首先注意到

1()(()0).t P X t P N t e λ->===

所以，1X 服从参数λ的指数分布。因为

221()((|))P X t E P X t X >=> 和

211(|)

()()t

P X t X s P X s P e λ->=====在(s,s+t]没有事件发生|在(s,s+t]没有事件发生

我们推得2X 同样是服从参数λ的指数分布，且与1X 相互独立，重复上面的过程，我们不难得到：

,1,2,n X n = 是相互独立的随机变量，且都服从参数λ的指数分布。

由第1题，知道1

n

n i

i S X

==

∑服从服从参数为（n, λ）的伽马分布。

注：解法不太精确，只是直观上好理解，详见林元烈老师《应用随机过程》定理2.2.1，pp39。 3 解

11()(|()1)

(,()1)(()1)

(()1,()()0)

(()1)()()s t s t P X s N t P X s N t P N t P N s N t N s P N t s e e t e s t

λλλλλ----≤=≤==

==-==

==

= 如果有时间可以讲一下下面推广的结论：

设{N （t ），t ≥0}为poisson 过程，则在给定N （t ）=n 时事件相继发生时刻12,,,n S S S 的条件密度函数为

1212!

,0(,,,)0,n n

n n t t t t

f t t t t ⎧<<<<≤⎪=⎨⎪⎩ 其他

证明：对01210n n t t t t t t +=<<<<<= ，取充分小的i h ，使1,1i i i t h t i n ++<≤≤，则

(,1|())i i i i P t S t h i n N t n <≤+≤≤=

1211()112(()()1,1,()()0,1)

(())

()()!,

()!

n n i i i j j j h t h h h h n n n n t P N t h N t i n N t N t h j n P N t n h e h e e n h h h t t

e n λλλλλλλ+--------+-=≤≤-+=≤≤=

===

因此

12(,1|())!

i i i i n n P t S t h i n N t n n h h h t

<≤+≤≤==

总之

1212!

,0(,,,)0,n n n n t t t t

f t t t t

⎧<<<<≤⎪=⎨⎪⎩ 其他

4 解

121201212((),())

{(),()|()}(())

{(),()|()}(())(){(),()|()}()!

k n m

t

P N t n N t m P N t n N t m N t k P N t k P N t n N t m N t n m P N t n m t P N t n N t m N t n m e

n m λλ∞

=+-===========+=+====++∑

当给定n+m 个事件发生时，由已知条件可知，12{(),()|()}P N t n N t m N t n m ===+就是

()(1)n m n m n

p p +-，所以 12(1)((),())()(

)(1)()!

()((1))!!

n m n m

n m t

n

n m

tp

t p P N t n N t m t p p e

n m tp t p e

e n m λλλλλλ++----===-+-=

又有

1120(1)

(())

{(),()}

()((1))()!

!

().!

k n k

tp

t p k n

tp

P N t n P N t n N t m tp t p e e

n k tp e

n λλλλλλ∞

=∞

---=-====-==∑∑利用刚证明的结论 相似地，得到