直线的点方向式方程
高二数学直线的点方向式方程
若集合 A 中的点用坐标表示，则上面的条件（1）的意思就是 A B ；条件 （2）的意思即为 B A ，所以 A B 。也就是满足（1）、（2），就是说在点用 坐标形式表示的前提下，直线l 上的点的集合与方程 f (x, y) 0 的解的集合相 同。
例 1：观察下列直线方程，并指出各直线必过的点和它的一个方向向
量？
① 4x 4 7y 6 ③ x 1 ④ y 2
例 2：已知点 A4，6，B 3，1和 C4， 5，求经过点 A 且与 BC 平行的直线 l
的点方向式方程？
u
v
向式方程。值得注意的是：由u 0且v 0 ，方程②不能表示过 P(x0, y0) 且
与坐标轴垂直的直线；当 u 0 时 v 0 ，方程①可化为 x x0 0 ③，表示
过 P(x0, y0) 且与 x 轴垂直的直线；当 v 0 时u 0 ，方程①可化为 y y0 0 ④，
表示过 P(x0, y0) 且与 y 轴垂直的直线。
从上面的推导看，方向向量 d 是不唯一的，与直线平行的非零向量
都可以作为方向向量。
由点方向式易得，过不同的两点 P1(x1, y1), P2 (x2, y2 ) 的直线的方程是 ( y2 y1)( x x1) (x2 x1)( y y1) 0 。
问题3：确定一条直线须具备哪些条件?
两个点（原因是两点确定一条直线），又如一个点和一个平行方 向（原因是过已知点作平行于一条直线的直线有且只有一条）等 等。我们将这些条件用代数形式描述出来，从而建立方程。若此 方程满足定义中的（1）、（2）就找到了直线的方程。
高二数学直线方程1
y - y0 0 点 方 向 式 行 列 式 形 式 v
注： (1)直线L的点方向 式方程不能表示坐标平 面
内与x轴、y轴平行的 直线；但行列式方程 x x0 u y y0 v 0能表示所有的直线。
(2)当u 0时，直线L与y轴平 行 . L：x x 0
(3)当v 0时，直线L与x轴平 行 . L：y y 0
直 线 方 程 (一)
一、点方向式方程
经过点P(x0 ,y 0 ), 且与已 知向量d平行的直线是唯一的。
Q(x,y)
O
y
l P(x0,y0)
d
x
设非零向量d (u ,v), 点Q(x ,y)是直线L上任意 一点，则PQ//d
又 PQ (x - x 0 , y - y0 ) , 由PQ//d的充要条件知：
(2)以 方 程 (1)的 解为坐标的点都在直线 L上 。
我们把满足以上两条的方程(1)叫做直线L的方 程；直线L叫做方程(1)的图形。
如果d (u , v)坐标u 0且v 0, 那么方程(1)可化为 ：
x x0 y y0 u v
或 x - x0 u
直 线 L的 点 方 向 式 方 程
(4)经过点A(-5 ，1)，且与B(1， - 2)，C(3， - 2)
二.直线的两点式方程：
请同学们完成下题 ： 求经过A（ 3 ， 2）B（3， 7）两点的直线方程。ຫໍສະໝຸດ 经过两点能唯一确定一条直线。
设A（x1 ,y1）, B(x2 ,y 2 )是直线L上不同 的两点，则直线L的一 个方向向量是：
例1：求满足下列条件 的直线方程： (1)经过点A(4， 6)，且与B(-3， - 1)，C(4， - 5) 所在直线平行的直线方 程。 (2)经过点A(-1 ，2)，且与直线3x 4y 12 0 平行的直线平行的直线 方程。 在直线平行的直线方程 。 所在直线平行的直线方 程。
空间直线方程
二 、直线的一般式方程
空间直线可以看作是两个不平行平面的交线.由 于平面方程为三元一次方程.因此，两个系数不成比 例的三元一次方程组
A1 A2
x x
B1 y B2 y
C1z D1 0, C2 z D2 0
(2)
表示一条直线，称方
程组(2)为空间直线
的一般式方程.
第七节 空间直线方程
一、直线的点向式方程 二、直线的一般式程 三、直线的参数式方程 四、两直线间的关系 五、直线与平面之间的关系
一、直线的点向式方程
设有已知点M0(x0,y0,z0)和非零向s=(m,n,p).如何建 立过点M0且平行于向量s 的直线.
称s为该直线的方向向量. 设M(x,y,z)为所求直线上任意一点，则
m1m2 n1n2 p1 p2
m12 m12 p12 m22 m22 p22
1 3 (4) 111
0，
12 (4)2 12 32 12 12
故
π 2
，可知L1与L2垂直.
例4 求过点(1,–1,0)且与直线 x 1 y 3 z 1 平行 210
4
12 (1)2 12 32 12 22
2 42 21
从而 arcsin 2 42.
21
三、两直线间的关系
两条直线的方向向量所夹的角为这两条直线的夹角.
设这两条直线的方程为
L1 :
x x1 m1
y y1 n1
z
z1 , p1
L2
:
x x2 m2
y
y2 n2
z
11.1.2直线的方程---点法向式
(4) x 1
(2) 3x 2 y 4 0 x3 y 5 (3) 3 4
(5) y 2
6), B( 1， 2), C(6， 3) 例3.已知在ABC 中，点 A(1， 是三角形的三个顶点 ，
求： BC 边上的高所在直线的方程.
小结：
过点 P( x0 , y0 ) ，且与 d (u, v) 平行的直线方程 v( x x0 ) u( y y0 ) uv 0 v0 u0
;
1 (2)在 x 轴与y 轴上的截距都是 ; 2 x6 y 1 x 6 y 1 解:(1) 或 (两点式) 4 6 4 1 10 3 x y x (0.5) y 0 1 (截距式) (2) 或 0.5 0.5 0.5 0.5
注：一般地，若直线 l 在 x, y轴上的截距分别为 a, b ， x y 且 ab 0 ，则直线 l 的方程为 1 a b
1 4
5 0
5
5
例4.直线 l 过点 (3, 2) 且与坐标轴的正半轴围成 3 三角形的面积为 , 求直线 l 的方程. y 2 P 2 解法一:设直线 l 的截距式方程 N
x y 1 O 3 a b ab 3 2 2 a 3 根据条件得 解得 3 2 1 b 1 a b x y 因此直线 l 的方程为： 1 3 1
4
6
2.根据下列条件求直线的点法向式方程： (1) P(0,3), n (3, 4) (2) 经过点 A(2,0), B(0,3)
(3)过点 P(1,1) 且与直线 4( x 2) 3( y 1) 0 垂直. 3.在ABC 中，已知 A(3,6), B( 3,1), C(4, 5)
【初中数学】初中数学直线的方程公式
【初中数学】初中数学直线的方程公式【—直线的方程公式】我们在初中学习的直线的方程包括有平面方程和空间方程两种，相较于空间方程来说，平面方程的运用比较的多。
直线的方程平面方程1、一般式：适用于所有直线ax+by+c=0(其中a、b不同时为0)2、点斜式：知道直线上一点(x0，y0)，并且直线的斜率k存在，则直线可表示为y-y0=k(x-x0)当k不存在时，直线可表示为x=x03、斜截式：在y轴上截距为b(即过(0，b))，斜率为k的直线由点斜式只须斜截式y=kx+b与点斜式一样，也需要考虑k存不存在4、dT式：呼吸困难用作和任一坐标轴横向的直线知道直线与x轴交于(a，0)，与y轴交于(0，b)，则直线可表示为bx+ay-ab=0特别地，当ab均不为0时，斜截式可写为x/a+y/b=15、两点式：过(x1，y1)(x2，y2)的直线(y-y1)/(y1-y2)=(x-x1)/(x1-x2)(斜率k需存在)6、法线式xcosθ+ysinθ-p=0其中p为原点至直线的距离，θ为法线与x轴正方向的夹角7、点方向式(x-x0)/u=(y-y0)/v(u，v不等同于0，即点方向式无法则表示与座标平行的式子)8、点法向式a(x-x0)+b(y-y0)=0空间方程1、通常式ax+bz+c=0,dy+ez+fc=02、点向式：设直线方向向量为(u,v,w)，经过点(x0,y0,z0)(x-x0)/u=(y-y0)/v=(x-x0)/w3、x0y式x=kz+b,y=lz+b总结归纳一共有11个直线的方程公式，要运用好的时候也请大家选择了。
空间直线点向式方程和一般方程的相互转化
空间直线点向式方程和一般方程的相互转化数学中，空间直线的表示方式有很多种，其中最常见的有直线的向式方程和一般方程。
这两种方程之间的相互转化在数学中有着广泛的应用。
本文将从向式方程和一般方程的基本概念、转化方法等方面进行介绍。
一、向式方程的基本概念向式方程是指通过直线上一点和直线的方向向量，来表示直线的方程。
具体来说，若直线L上有点P（x0,y0,z0），且直线的方向向量为a（a1,a2,a3），则直线的向式方程可以表示为：(x-x0)/a1 = (y-y0)/a2 = (z-z0)/a3其中，x、y、z分别表示直线上任意一点的坐标。
二、一般方程的基本概念一般方程是指通过直线上两个不同的点来表示直线的方程。
具体来说，若直线L上有两点P1（x1,y1,z1）和P2（x2,y2,z2），则直线的一般方程可以表示为：(x-x1)/(x2-x1) = (y-y1)/(y2-y1) = (z-z1)/(z2-z1)其中，x、y、z分别表示直线上任意一点的坐标。
三、向式方程和一般方程的相互转化在数学中，向式方程和一般方程是可以相互转化的。
具体来说，有以下两种转化方式：1. 从向式方程转化为一般方程若已知直线L的向式方程为：(x-x0)/a1 = (y-y0)/a2 = (z-z0)/a3我们可以通过以下步骤将其转化为一般方程：（1）将向量a化为平面上的两个向量b和c。
具体来说，我们可以任意选取两个向量b和c，使它们与向量a不共线，然后使用向量叉积的方法求出向量n=b×c（其中×表示向量叉积）。
向量n垂直于平面，而既过点P且平行于向量a的直线L，则与平面到点P的垂线n相交于点Q，可以把向量PQ看成是平面上的向量，其分别在b、c上的投影值分别为t和s（t和s为实数）。
因此，我们可以得到以下向量表示：PQ = tb+sc（2）将向量表示化为坐标表示，具体来说，我们可以将向量b、c和n 分别表示为坐标向量：b = (x1,y1,z1)c = (x2,y2,z2) n = (a1,a2,a3)则有：PQ = tb+sc = (x-x0,y-y0,z-z0)因此，我们可以得到以下解方程组的方法：(x-x0)/a1 = (y-y0)/a2 = (z-z0)/a3(x-x1)/(x2-x1) = (y-y1)/(y2-y1) = (z-z1)/(z2-z1)2. 从一般方程转化为向式方程若已知直线L的一般方程为：(x-x1)/(x2-x1) = (y-y1)/(y2-y1) = (z-z1)/(z2-z1)我们可以通过以下步骤将其转化为向式方程：（1）选取一点P(x0,y0,z0)在直线上，我们假设刚刚选取的点为P(x0,y0,z0)。
直线的方向向量与点向式方程
3X+Y-1=0
X=3
Y=-1
例3
求过点A（-2,1）和点B（1,3）.
2X-3Y+7=0
例 4：过直线2X-Y=0与X+Y-3=0的交点且平行于 向量V=(7，3)的直线方程。 例5:已知;ABC三个顶点的坐标分别为 A(2,1),B(1,3),c(-3,-1),求BC边上中线所在的方程。
直线的方向向量与点向式方程
专业班用
知识回顾：
知识回顾Biblioteka 引例：思考：怎么样才能使母球所走路线是一条直 线？ 击球点和击球方向
直线的方向向量
思考：已知一个点和一个非零的方向向量， 是否确定唯一的一条直线？ 唯一
不唯一
是
直线的点向式方程
V2(x-x0)- v1(y-y0)=0 (1)
点向式方程
这样的两个方程是有直线上的一个点 P0(X0，Y0)和直线的一个方向向量V=(V1，V2)确 定的，所以都叫做直线的点向式方程。
X=X0
2.若果V2=0，则直线方程是什么？
Y=Y0 注意：方程（1）也说成直线（1）
课堂巩固：
例1.求通过点A（1，-2）。且方向向量为 V=（-1,3）的直线方程。
3X-7Y+11=0
2X+3Y-1=0
小结：
一般式化为点向式
一般式化为点向式一般式与点向式是解析几何中经常使用的两种表示方式。
一般式是指直线的方程形式为Ax+By+C=0，其中A、B、C为常数，而点向式则是以直线上的一个点和它的方向向量来表示。
将一般式化为点向式的过程可以帮助我们更直观地理解直线的性质和特点。
以一条直线L：Ax+By+C=0为例，我们可以按照以下步骤将其表示为点向式。
首先，我们需要找到直线上的一个点P。
假设L与x轴交点的坐标为(x0,0)，则点P(x0,0)位于直线上。
接下来，我们需要求出直线的方向向量。
由于直线的斜率为-m=A/B，我们可以找到一个与L垂直的向量n=(-B,A)。
这个向量n既是直线的法向量，也可以用来表示直线的方向。
最后，我们可以根据P和n来表示直线L的点向式。
设直线上的任意一点为Q(x,y)，则向量PQ(x-x0,y-0)与n=(-B,A)平行。
根据向量平行的性质，我们可以得到以下关系式：(x-x0,y-0)∝(-B,A)对于比例关系，我们可以写作：(x-x0)/(-B) = (y-0)/A整理得到：A(x-x0) + B(y-0) = 0化简可得：Ax - Ax0 + By = 0整理后就得到了点向式表示的直线方程。
将一般式化为点向式，可以使我们更容易理解和运用解析几何中的直线性质。
通过找到直线上的一点和方向向量，我们可以更加直观地描述直线的位置和方向。
这对于解决直线交点、直线平行垂直关系等问题非常有帮助。
在解析几何的学习过程中，我们应当熟练掌握一般式和点向式之间的相互转换，并根据具体问题选择适合的表示形式。
通过灵活运用这两种表示方式，我们可以更好地理解直线的性质，解决各类与直线相关的问题。
同时，深入理解直线方程的转换过程也可以帮助我们加强对解析几何整体结构的把握，提升数学解题的能力和思维的灵活性。
在解析几何的学习中，我们要注重理论与实践的结合。
通过大量的练习和实例分析，我们可以更加熟练地运用一般式和点向式，培养准确的几何直观和深入推理的能力。
11.1.2点法式方程
l2的一个法向量是 (1, 2)
l2
l2 的方程为1 ( x 0) 2 ( y 0) 0
问题拓展
1. 已知直线的点法式方程为
a ( x - x0 ) + b( y - y0 ) 0
试将上述方程化为点方向式方程.
2. 记直线l1,l2的方向向量及法向量分别为 d1 , d 2和n1 , n2
11.1.2 直线的方程
点法向式方程
直线的确定
定义. 如果直线l与向量d 所在直线都平行于第三条直线, 则称直线l与向量d 平行. 定理. 过一点P与某向量 d 平行的直线是唯一的.
转化
公理.过直线外一点有且仅有一 条直线与已知直线平行.
y
l P
x
d
O
过点 P( x0 , y0 )与非零向量 d (u , v )平行的直线l上的点Q( x, y ) 的坐标都满足关系式：
P( x0 , y0 )
x
P( x0 , y0 )
O
x
探索
点方向式的依据： 公理.过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行. 平面几何中是否还有类似的公理或定理？
定理. 过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直. l y l 转化
过一点有且仅有一条直线与 已知向量垂直.
O
l0
n
x
l过点P( x0 , y0 )与非零向量 n (a, b) 垂直, 试推倒的直线l上的 点 Q( x, y ) 的坐标所满足关系式.
法 y0 )
x
坐标平面上过 思考：坐标平面上过 P( x0 , y0 P ) 的任意直线都可以用点法式方程 ( x0 , y0 )的任意直线是否都可以用 来表示 点法式方程 . (3)来表示？
直线点向式方程公式
直线点向式方程公式
点向式方程是几何学中表示直线方程的一种形式，其一般形式为：(X-X0)/A = (Y-Y0)/B = (Z-Z0)/C。
其中，(X0,Y0,Z0)是直线上的一个已知点，A、B、C为直线的方向向量。
这个方程的特点是可以直接看出直线的方向以及直线上的一个点的坐标。
对于二维平面中的情况，点向式方程可以简化为：(x-x0)/a=(y-y0)/b，其中(a,b)为直线的方向向量，(x0,y0)为直线上的一个已知点。
当直线水平时，方向向量的纵坐标b为0，此时方程变为x=x0；当直线垂直时，方向向量的横坐标a为0，此时方程变为y=y0。
点向式方程常用于求解几何问题，如求两条直线的交点、判断一个点是否在直线上等。
同时，点向式方程也有许多变形，如参数式、斜截距式等，这些都能更方便地解决某些具体问题。
参考：百度文库
在三维空间中，点向式方程可以以更为一般的形式出现，既适用于直线，也可用于表示平面。
在表示平面时，可以将其理解为一个特定点（x0，y0，z0）与平面上任意一点（x，y，z）的向量与法向量之间的点积为零。
对此问题进行进一步研究，我们会发现点向式方程的广泛应用，如物体在三维空间中的旋转动作、光线穿过某一点的反射与折射等。
它其实是一种通用的数学描绘方式，不仅在初高中数学课本中广泛运用，在高等数学、线性代数等课程中也有重要应用。
借助它能够更全面、深入地理解直线与空间的关系，揭示了几何与数学的内在联系。
11.1直线的方程
第十一章 坐标平面上的直线第一节 直线的方程【知识梳理】1、直线的点方向式方程，直线的方向向量设P 的坐标是00(,)x y ，方向用非零向量(,)d u v =表示. 我们把方程00x x y y u v--=叫做直线l 的点方向式方程，非零向量d 叫做直线l 的方向向量.由点方向式易得，过不同的两点111222(,),(,)P x y P x y 的直线的方程是0))(())((112112=-----y y x x x x y y . 2、直线的点法向式方程，直线的法向量在平面上过一已知点P ，且与某一方向垂直的直线l 是惟一确定的.建立直角坐标平面，设P 的坐标是00(,)x y ，方向用非零向量(,)n a b =表示.我们把方程00()()0a x x b y y -+-=叫做直线l 的点法向式方程，非零向量n 叫做直线l 的法向量. 注：方向向量和法向量n 都是不唯一的，与直线垂直的非零向量都可以作为法向量.若直线的一个方向向量是),(v u ，则它的一个法向量是),(u v -. 3、直线的一般是方程0=++C By Ax (其中A 、B 、C 是常数，A 、B 不全为0)的形式，叫做直线方程的一般式任何一条直线的方程都是关于y x ,的二元一次方程，任何关于y x ,的二元一次方程都表示一条直线 一般地，与直线0ax by c ++=平行的直线可设为0()ax by c c c ''++=≠其中；而与直线0ax by c ++=垂直的直线可设为0bx ay c ''-+=. 直线方程的几种形式【典型例题分析】例1、观察下列直线方程，并指出各直线必过的点和它的一个方向向量. ①4533+=-y x ; ② ()()6744-=--y x ; ③1=x ; ④2-=y .变式练习：根据下列条件写出直线的点方向式方程 （1） 直线l 过点P(2,-1),且与向量()2,4d →=平行 （2） 直线l 过点A(4,0),B(3,-1)例2、 已知点()()1364--，，，B A 和()54-，C ，求经过点A 且与BC 平行的直线l 的点方向式方程。
直线的方向向量和点向式方程
yl
P(x, y)
P0( x0 , y0 )
x
o v (v1,v2 )
直线的点向式方程：由直线上 的一个点 P0 ( x0 , y0 ) 和直线的一 个方向向量 v (v1,v2 ) 确定。
设P( x, y)是直线上任意一个点，
则点P在直线l上 P0P / /v
又P0P (x x0, y y0 )，v (v1,v2 ),
A.(2,0) B.(0,1) C.(0,-1) D.(-2,3)
2、下列四个点中，不在直线y=x 2上的是_C____.
A.(1,3) B.(0,2) C.(0,-2) D.(-2,0)
3、直线y=-3x b经过原点的充要条件是 _b____0_ .
4、求过点P , 且一个方向向量为v的直线方程。
2、直线 y 3x过 b坐标原点的充要条件是______b. 0
3、写出下列直线经过的一个点和直线的一个方向 向量，并画出直线：
(1)x y
知识拓展:
(2) x 3 y 5
4
3
若已知直线上A、B两点的坐标， 能否求出直线的方程？
课堂巩固
1、下列各点中，在直线y=2x 1上的是___C__.
y
l
v
o
x
P(3， 2)
(2)由于给定的直线的方向向量 平行于x轴，所以过点(2,-1) 的直线方程为：y=-1.
y
o
v
x
l P(2， 1)
课堂竞技
1、过点C(
1
,4),且方向向量为v
x1 (0,1)直线方程为______2___.
2
2、过点C( 1 ,4),且方向向量为v (1, 0)直线方程为___y_=__4___.
空间直线及其方程
x −2 y − 3 z −4 = = =t 解 令直线方程 1 1 2
得 x=2+t y=3+t z=4+2t （ 1） 代入平面π方程， 代入平面π方程， 2+t +(3+t)+(4+2t)得 2（2+t）+(3+t)+(4+2t)-6=0 整理得5t= 5,即t=5t=整理得5t=-5,即t=-1 t=- 代回方程组（ 将t=-1代回方程组（1）有x=1,y=2,z=2. 即点（ 即点（1，2，2）为该直线与已知平面的交点
cosϕ =
m m2 + n1n2 + p1 p2 1 m +n + p
2 1 2 1 2 1
m +n + p
2 2 2 2
2 2
两个结论： 两个结论：
1 若 线 1与 2平 ， 有 、 直 L L 行 则
m n p 1 1 1 L // L ⇔ = = 1 2 m n p 2 2 2
2 若 线 1与 2垂 ， 有 、 直 L L 直 则
M0
s s1
L1
因 s平 s1可 s = {2,1,-5}; 为 行 取
又因为直线L过点M0 (4,-1,3)， 又因为直线 过点 ， 故，所求直线方程L为： 所求直线方程 为
x −4 y +1 z −3 = = 2 1 −5
直线与平面位置关系两个结论： 直线与平面位置关系两个结论：
1.若直线 与平面π平行， n⊥s， 1.若直线 L与平面π平行，则 n⊥s，于是
L//π ⇔mA+nB+ pC = 0
L // π图示 图示
x − x0 y − y0 z − z0 = = L： m n p
11.1直线的方程(二)点法向式方程
1. 做在书上 布置作业 书P9 1,2 练习册P1-2 5-10 2.（交）做在作业本上 练习册P2 11,12 补充
AB 1.已知a (1, 2),点A的坐标（－2，1）， 与 a 平行，且 AB 2 5 ，求向量 OB 的坐标。 2.等边△ABC的边长为2，求 ABBC BC CAAB CA 156 3.已知数列an 的通项公式为 an n ，求数列an 的 n 最小值，并指出 n 的取值。
例1.已知点A（-1，2），B（3，4）， 求AB的垂直平分线的点法向式方程
例2.已知点A（1，6），B（-1，2）BC边所在的直线方程 （2）BC边上的高AD所在的直线方程。
例3.已知△ABC中， BAC 90 ，点B、C的 坐标分别为（4，2），（2，8）， 向量 d ＝（3，2）,且 d 与AC平行， 求△ABC的两条直角边所在直线的方程
4. 已知数列an 是等差数列，公差 d 0 ，且 a1 , a2 为关于 2 x 的方程 x a3 x a4 0 的两根，求 an
1.(0,5),(4, 3) 2. 6 3.25, n 12or13 4. an 2n
直线的点法向式方程
问题1：确定一条直线须具备哪些条件?
在几何上，要确定一条直线需要一些条件， 如两个点、一个点和一个平行方向，再如一 个点和一个垂直方向。
问题2. 已知一个向量 n (a, b) ，
一条直线 l 经过 P( x0 , y0 )点，且 l 写出直线
说明：
n
，
l
的方程。
1.法向量 n 是不唯一的，与直线垂直的非零向 量都可以作为法向量 2.若直线的一个方向向量是 (u , v ) ，则它的一个 法向量是 (v,u )
第一节 直线方程的点向式与点斜式
D．6
【提示】 AB ＝(a－2，－2)，BC＝(－a，4)，∵A，B， C三点共线，∴ AB BC, 即4(a－2)－(－2)·(－a)＝0，解 得a＝4，故选B.
同步精练
8．“b＝0”是“直线y＝－3x＋b经过原点”的( C )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
典例解析
【例4】 (1)已知直线过点P(2，1)，倾斜角为45°，求 直线方程．
(2)斜率为3，在y轴上的截距为－2，求直线方程．
(1)x－y－1＝0 (2)y＝3x－2
【解析】 (1)由直线的倾斜角可以求出直线的斜率 k＝tan45°＝1，代入直线的点斜式方程y－y0＝k(x－x0)， 整理可得直线方程为x－y－1＝0.
【提示】 对照点向式方程v2(x－x0)－v1(y－y0)＝0 可得．
同步精练
3．已知直线kx＋2y＋1＝0，平行于向量(2，－1)，则k的值
为( B )
A．－1
B．1
C．4
D．－4
由直【线提kx示＋】2y由＋直1＝线0方知向直向线量斜(率2，为－－1k)知，其由斜率k 为 －1得12 k，＝又1.
A．y－1＝－(x－2) B．y－1＝－(x＋2) C．y＋1＝－(x－2) D．y＋1＝－(x＋2)
【提示】 点A(5，3)，B(－1，－5)，线段AB的中点 坐标为(2，－1)，由直线倾斜角为135°，知直线斜率k ＝tan135°＝－1，所以由直线的点斜式方程得y－(－1) ＝－1·(x－2)，整理得y＋1＝－(x－2)．
当v与x轴平行时，直线l的方程为__y_－__y_0＝__0________； 当v与y轴平行时，直线l的方程为___x_－__x0_＝__0_______．
空间直线方程
C1z C2z
D1 D2
0 0
先在直线上任取一点。再求直线的方向向量。 uur
1 : A1 x B1 y C1z D1 0 nuu1r (A1, B1,C1) 2 : A2 x B2 y C2z D2 0 n2 ( A2 , B2 ,C2 )
x x
y 2z 2y z
1 1
0 0
的直线方程。
uur
uur
解 由题意有：nr1 r(1,1ur, 2), n2 (1, 2, 1)
r uur uur i j k
s n1 n2 1 1 2
1 2 1
r1 i
2 r 1 2 ur 1 1
定义 空间直线可看成两平面的交线．
1 : A1 x B1 y C1z D1 0 z 1
2 : A2 x B2 y C2z D2 0
2
A1 x B1 y C1z D1 0
A2
x
B2
y
C2z
D2
0
L
o
y
x 空间直线的一般方程
二、空间直线的点向式方程与参数方程
上的投影。
-2
解 公共部分体在xoy坐标面的投-1影为圆面 0
x2 y2 ax2
1 2
y0
2 1.5
1
0.5
公共部分体在xoz坐标面的-02投-1影为
1
圆
x2 z2 a2
4 0 1
2
y0
-2 -1 0
1
2
2 1.5
三维空间中的直线方程表达式
三维空间中的直线方程表达式
在三维空间中，一条直线可以用参数方程或者点向式来表示。
其中，参数方程是指用一个参数表示直线上的所有点，而点向式则是指用一个起点和一个方向向量来表示直线。
参数方程可以用以下公式表示：
x = x_0 + at
y = y_0 + bt
z = z_0 + ct
其中，(x_0, y_0, z_0)是直线上的某一点，而(a, b, c)则是直线的方向向量，t为参数。
点向式可以用以下公式表示：
r = a + tb
其中，a为直线的起点，b为直线的方向向量，而r为直线上的任一点，t为参数。
需要注意的是，当直线平行于坐标轴时，可以用一般式方程来表示：
Ax + By + Cz + D = 0
其中，(A, B, C)为直线的方向向量的系数，而D则是常数项。
使用这些方程可以方便地求解三维空间中的直线问题，比如求直线与平面的交点、直线的距离等。
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v 1.若直线 过点P(x ),方向向量 方向向量为 1.若直线 l 过点P(x0,y0),方向向量为 d = (u, v).
则可得: 则可得:
y
v(x − x 0 ) = u(y − y 0 0 0 v d = (u, v) x
*当 u ⋅ v ≠ 0 时,直线 l 的点方向式方程为: 点方向式方程为 *当 u = 0, v ≠ 0 时,直线 *当 u ≠ 0, v = 0 时,直线
解 (1) ⇒ 线 AC中 E(2,4) ： 段 点 BE = (−2 3)是 BE的 个 向 量 ， l 一 方 向 x − 4 y −1 ∴ AC中线所在直线方程为： = 即 x + 2y −14 = 0 3 −2 3 (2) ⇒ d = (−1 5)是 中 线 一 方 向 ， BC 位 的 个 向 量 x −2 y −4 = ∴BC中位线所在直线方程为： 即 x + y −14 = 0 5 −1 5 5 3 1 5 或AB中点F( , ), FE = (− ，)是lFE的一个方向向量 2 2 2 2 x ∴lFE的点方向式方程是：− 2 = y − 4
与直线l平行的向量叫做直线l 的方向向量；
(1)直线l 的方向向量不唯一．
已知点A(x1，y1)和B(x2，y2 )是直线l 上不同 两点 x1 ≠ x2且y1 ≠ y2 )，求直线l 的方向向量． (
方向向量d = (x2 − x1，y2 − y1)
仔细阅读课本page 11仔细阅读课本page 5 图11-1以下的内容 直线的点方向式方程的推导
a(x − x0 ) + b( y − y0 ) = 0
③
l
n = (a, b)
d = (u, v)
2 （ ）：若直线的一个方向向量是d = (u, v) 则它的一个法向量是n = (v,−u) 反之，若直线的一个法向量是n = (a, b) 则它的一个方向向量是d = (b,−a)
练习：观察下列方程，并写出各直线 的一个方向向量和一个法向量。
答案：P(2,2), d = (5,2)
一般地，ax + by + c = 0 的一个方向向量是d = (b,−a)
④ ⑤
x = -2 答案：P(-2,0), d = (0,1)
y -3 = 0
P(2,3), d = (1,0)
2.直线的点法向式方程
（） 1 .已知直线l经过点P( x0 , y0 ) 且与非零向量n = (a, b)垂直 的直线方程是：
（x2 − x1 ≠ 0， y2 − y1 ≠ 0 ）
(4).观察下列方程，并指出各直线 必过的一点和它们的一个方向向量。
x −3 y −5 = ① 3 4
答案：P(3,5), d = 3 4 （， ）
②
− 4( x − 4) = 7( y − 6)
P(4,6), d = 7，4 （ − ）
③
2x − 5 y + 6 = 0
（u,v至多有一个可以为零）
(2)对于直线ax + by + c = 0
d 一个方向向量： = (b,−a) 直线化为：ax＝−by − c c c ⇒ ax + ＝− by − 2 2 c c ⇒ a x + ＝− b y + 2b 2a c c x+ y+ 2b 2a ＝ ⇒ b −a
1.直线的方向向量 直线的方向向量
上两点， 设 P , P2 是直线 l 上两点，则向量 1 零向量称为直线 l 的方向向量
v v1
P
2
P P2 1
或与
P P2 1
平行的非
l
v v2
P
1
O
图1
uuuu uuuu ur uu r r r 如图１ 如图１中，非零向量 P P2 , P2 P , v1 , v2 都是直线 l 的方向向量 1 1
点方向式方程 1.“直线的方向向量”的定义：与直线 l 平行的 直线的方向向量” 直线的方向向量 的定义： 的一个方向向量; 向量 d 叫做直线 l 的一个方向向量 d 的坐标 (u,v)就是直线 的一个方向向量的坐标 就是直线l的一个方向向量的坐标 就是直线 的一个方向向量的坐标. 问题探究:已知直线 经过点P(x 且与l平行的一 问题探究 已知直线 l 经过点 0,y0),且与 平行的一 且与 方程. 个向量 d =(u,v) , 求这条直线 l 的方程 上任意一点Q( 设直线 l 上任意一点 x , y ) y 则P Q=( x-x0 , y-y0 ) // d =( u , v ) P( x0 , y0 ) ⇔v (x-x0) = u(y-y0,) 直线 l 当uv ≠ 0时,直线的点方向 时 直线的点方向 d = ( u,v ) o x 式方程是: 式方程是 x − x = y − y u v
x +1 y − 2 （） 1 = −1 2 2x −1 (2) = −3 y 5
答案：（） = −1 2），= 2， 1d （ ， n（1 ）
（ ） = 2，） = −15， 2 n （ 15 , d （ 2 ）
的方程是: l 的方程是: x = x 0 的方程是: l 的方程是: y = y 0
x − x0 y − y 0 = ,⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ (1) u v
**与直线 的方向向量. **与直线 l 平行的非零向量都可作为直线 l 的方向向量.
1.直线的点方向式方程：
(1)过点P( x0 , y0 )且与非零向量 d = (u, v)平行的直线的方程是
−1 2 5 2
例．已知A(1 2)、B(4， C(3 6)为三角形三个顶点， 1 ， 1)、 ， (1)求AC中线所在直线的方程； (2)求BC中位线所在直线的方程．
(2). 过两点P (x1, y1)与P (x2 , y2 ) 1 2 的直线方程是
x − x1 y − y1 = x2 − x1 y2 − y1
或 : v( x − x0 ) = u ( y − y0 )
x − x0 y − y0 = u v
② ①
注：直线l的方向向量d可以在直线l上。 点方向式方程的推导源头来自向量平行。
直线的点方向式方程
x − x0 y − y0 = u v
（u,v均不为零）
或 : v( x − x0 ) = u ( y − y0 )