完整2019高考数学一轮复习5 3等比数列及其前n项和课件文

?? 1 ??
??
?an?
，
{a 2n}，{a n·bn}，????abnn????仍是等比数列．
(4)公比不为－ 1的等比数列 {a n}的前 n项和为 Sn，则Sn，S2n－ Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为 qn. 5．等比数列的前 n项和公式 等比数列 {a n}的公比为 q(q≠0)，其前 n项和为 Sn， 当q＝1时，Sn＝na1； 当q≠1时， Sn＝a 1?11－－qqn?＝a 11－－aqnq.
一个推导 利用错位相减法推导等比数列的前n项和： Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1， 同乘q得：qSn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1qn， 两式相减得(1－q)Sn＝a1－a1qn，∴Sn＝a1?11－－qqn?(q≠1)．
两个防范 (1)由an＋1＝qan，q≠0并不能立即断言 {an}为等比数列，还要验 证a 1≠0. (2)在运用等比数列的前 n项和公式时，必须注意对 q＝1与q≠1 分类讨论，防止因忽略 q＝1这一特殊情形导致解题失误．
当q＜0，数列 {a n}为摆动数列．
答案 D
2．已知 {a n}是等比数列， a 2＝2，a 5＝14，则公比 q＝(
)．
A．－12
B．－2
C．2
1 D.2
解析 由题意知：q3＝aa52＝18，∴q＝12. 答案 D
3．在等比数列{an}中，a4＝4，则a2·a6等于( )． A．4 B．8 C．16 D．32 解析 由等比数列的性质得： a2a6＝a24＝16. 答案 C
3．等比中项 若 G2＝a·b(ab≠0) ，那么G叫做a与b的等比中项．
4．等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广： an＝am·qn－m，(n，m∈N＋)．
(2)若{an}为等比数列，且 k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)， 则 ak·al＝am·an .
(3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则 {λan}(λ≠0)，
考向二 等比数列的判定或证明
【例2】?(2012·长沙模拟 )已知数列 {an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2
＝a
n＋a 2
n＋1，n∈N*.
(1)令bn＝an＋1－an，证明： {bn}是等比数列；
(2)求{a n}的通项公式．
[审题视点 ]
第(1)问把 bn＝a n＋1－a n中a n＋1换为
三种方法 等比数列的判断方法有：
(1)定义法：若
a n＋1 an
＝q
(q为非零常数
)或
an an－1
＝
q(q为非零常数且
n≥2) ，则 {a n}是等比数列；
(2)中项公式法：在数列
{a
n}中，
a
n≠
0且a
2 n＋1
＝
a
n ·a n ＋
2
(n
∈
N*)，
则数列 {an}是等比数列；
(3)通项公式法：若数列通项公式可写成 an＝c·qn(c，q均是不为
第3讲 等比数列及其前n项和
【2013年高考会这样考】 1．以等比数列的定义及等比中项为背景，考查等比数列的判 定． 2．考查通项公式、前n项和公式以及性质的应用． 【复习指导】 本节复习时，紧扣等比数列的定义，推导相关的公式与性质， 通过基本题型的训练，掌握通性、通法．
基础梳理 1．等比数列的定义 如果一个数列从第 2项起，每一项与它的前一项的比等于 同一个 常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列 的 公比 ，通常用字母 q 表示． 2．等比数列的通项公式 设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1·qn－1 .
考向一 等比数列基本量的计算 【例1】?(2011·全国)设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a2＝ 6,6a1＋a3＝30.求an和Sn. [审题视点] 列方程组求首项a1和公差d.
解 设{an}的公比为 q，由题设得 ?????a61aq1＝＋6a，1q2＝30，
解得
??a
?
1＝3，
??a 或?
1＝2，
??q＝2
?＝3·2n－1，Sn＝3·(2n－1)；
当a 1＝2，q＝3时， a n＝2·3n－1，Sn＝3n－1.
等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列 中有五个量 a1，n，q，an，Sn一般可以“知三求二 ”，通过列 方程(组)可迎刃而解．
4．设 Sn为等比数列 {an}的前 n项和， 8a 2＋a 5＝0，则 SS52＝ ( )．
A．－ 11 B．－ 8 C．5 D．11
解析 设等比数列的首项为 a 1，公比为 q.因为 8a2＋a5＝0，所 以 8 a 1q＋ a 1q4＝ 0. ∴q3＋8＝0，∴ q＝－ 2，
∴
SS52＝
a
1?1－q5 1－ q
a n－1＋an 2
整理可
证；第(2)问可用叠加法求 an.
(1)证明 b1＝a2－a1＝1.
当n≥2时，
bn＝a
? 1－q ·a 1?1－q
2?
＝
1－ 1－
qq52＝
1－ 1
?－ 2 －4
?5＝－
11.
答案 A
5．(2011·广东)已知{an}是递增等比数列， a2＝2，a4－a3＝4， 则此数列的公比 q＝________. 解析 由a4－a3＝a2q2－a2q＝2q2－2q＝4， 解得q＝2(q＞1)． 答案 2
0的常数， n∈N*)，则 {an}是等比数列．
注 前两种方法也可用来证明一个数列为等比数列．
双基自测
1．(人教A版教材习题改编 )在等比数列{an}中，如果公比q＜
1，那么等比数列 {an}是( )．
A．递增数列
B．递减数列
C．常数列
D．无法确定数列的增减性
解析 当a1＞0,0＜q＜1，数列{an}为递减数列，
【训练 1】
等比数列 {an}满足：a1＋a6＝11，a3·a4＝
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，且公
比q∈(0,1)．
(1)求数列 {a n}的通项公式； (2)若该数列前 n项和Sn＝21，求n的值．
解 (1)∵a3·a4＝a1·a6＝392， 又a 1＋a 6＝11， 故a 1，a 6看作方程 x2－11x＋392＝0的两根， 又q∈(0,1)∴a 1＝332，a 6＝13， ∴q5＝aa61＝312，∴q＝12， ∴a n＝332·???12???n－1＝13·???12???n－6.