高考数学命题热点名师解密专题：函数问题的解题规律(理)

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高一高二高三数学必备：常见函数题型解题方法规律汇总及经典求法

⾼⼀⾼⼆⾼三数学必备：常见函数题型解题⽅法规律汇总及经典求法Hello，⼤家好，我是洪⽼师，⾼⼀很多都是刚刚学完必修⼀、必修四的内容的。

所以函数这块
的基础以及这些函数的题型的规律⽅法对⼤家来讲，是很有必要来巩固这个数学的基础的！
函数很重要，是⾼中数学的灵魂所在，很多⼤⼤⼩⼩的题型、重点难点都是必定要从这个函数
进⾏考的。

⽽其中最值和函数值域这样的题型必定要，⽽且还考得很多，有压轴难题也有这个常规的选择
题型，⾥⾯都考了这个函数。

下⾯是洪⽼师给⼤家整理⾼中数学⾼⼀⾼⼆
⾼三都应该掌握的⼀些常见函数题型解题⽅
法规律汇总及经典求法！
⽅法⼀观察法
解题模板：第⼀步观察函数中的特殊函数；
第⼆步利⽤这些特殊函数的有界性，结合不等式推导出函数的值域.
例题：
⽅法⼆分离常数法
解题模板：第⼀步观察函数类型，型如；
第⼆步对函数变形成形式；
第三步求出函数在定义域范围内的值域，进⽽求函数的值域.
例题：
⽅法三配⽅法
解题模板：第⼀步将⼆次函数配⽅成；
第⼆步根据⼆次函数的图像和性质即可求出函数的值域.
例题：
⽅法四反函数法
ˎ解题模板：第⼀步求已知函数的反函数；
第⼆步求反函数的定义域；
第三步利⽤反函数的定义域是原函数的值域的关系即可求出原函数的值域
例题：
⽅法五换元法
解题模板：第⼀步观察函数解析式的形式，函数变量较多且相互关联；
第⼆步另新元代换整体，得⼀新函数，求出新函数的值域即为原函数的值域.
其它⽅法还有：⽅法六判别式法、基本不等式法、单调性法、导数法！。

高考数学破解命题陷阱专题02 函数问题的解题规律

专题02 函数问题的解题规律一、命题陷阱 1.定义域陷阱2.抽象函数的隐含条件陷阱3.定义域和值域为全体实数陷阱4.还原后新参数范围陷阱5.参数范围漏解陷阱6.函数求和中的倒序求和陷阱7.分段函数陷阱8.函数的解析式求法9.恒成立问题求参数范围问题二．例题分析及防范措施 1.定义域陷阱例1．已知0a >，且1a ≠，函数()()2log 1a f x x =-的定义域为M ， ()()()log 1log 1a a g x x x =++-的定义域为N ，那么（）A. M N =B. M N M ⋃=C. M N M ⋂=D. M N ⋂=∅ 【答案】B故选B【防陷阱措施】与函数有关问题要先求定义域练习1．下列四组函数中，表示同一函数的是（）A. ()f x =()g x =B. ()f x =()g x =C. ()2lg f x x =与()2lg g x x =D. ()0f x x =与()01g x x=【答案】D练习2.下面各组函数中为相同函数的是___________.（填上正确的序号）①()211x f x x -=+， ()1g x x =- ②()()2ln 1f x x =-， ()()()ln 1ln 1g x x x =++-③()21f x x =+， 21s t =+ ④()1f x x =+， ()g x =【答案】③【解析】对于①，函数()211x f x x -=+的定义域为{x|x -1}≠，故两函数的定义域不同，不是相同函数。

对于②，由于两函数的定义域不同，故不是相同函数。

对于③，两函数的定义域、解析式都相同，故是相同函数。

对于④，()1f x x =+， ()g x == 1x +，故两函数的解析式不同，故不是相同函数。

综上②正确。

答案：②练习3.若函数()y f x =的定义域是[]0,3，则函数()()2f x g x x x=+的定义域是________．【答案】30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】∵函数y=f （x ）的定义域是[0，3]，∴由0≤2x≤3，得302x ≤≤，则由30{ 20x x x ≤≤+≠，解得30.2x <≤∴函数g （x ）=()2f x x x+的定义域是（0，32]．故答案为： 30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦．练习4.已知()32log 2x f x x -=+，则函数()22x F x f f x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的定义域为________. 【答案】(－4，－1)∪(1,4)2.抽象函数的隐含条件陷阱例2.函数()f x 对一切实数,x y 均有()()()22f x y f y x y x +-=++成立，且()212f =. （1）求()0f 的值；（2）在()1,4上存在0x R ∈，使得()008f x ax -=成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()04f =；（2）()1,5-.【解析】（1）令2,0x y ==，则()()()20020228f f +-=++⋅= ∵()212f = ∴()04f =；（2）令0y =，易得： ()224f x x x =++.在()1,4上存在0x R ∈，使得()008f x ax -=成立，等价于方程2248x x ax ++-=在()1,4有解.即42,14a x x x=+-<<. 设函数()()()421,4g x x x x=-+∈.【防陷阱措施】分析抽象函数隐含的性质及变量范围练习1.定义在R 上的函数()f x 满足()()()2f x y f x f y xy +=++ (),x y R ∈， ()12f =， ()1f -等于（）A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】A【解析】因为()()()2f x y f x f y xy +=++， ()12f =，所以令1,0x y ==，得()()()1010f f f +=+，所以()00f =，再令1,1x y =-=-，得()()()0112f f f =-+-+，所以()11f -=，故选A.3.定义域和值域为全体实数陷阱例3.已知函数()21f x ax x a=-+的定义域为R ，则实数a 的取值范围是（）A. 11,22⎛⎫-⎪⎝⎭B. 11,,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D. 11,,22⎛⎫⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭【答案】B【防陷阱措施】分析定义域和值域的区别，找到运用的最值练习1.已知函数()()()24log 4f x ax x aa R =-+∈，若()f x 的值域为R ，则实数a 的取值范围是（）A. []0,2B. ()2,+∞C. (]0,2 D. ()2,2- 【答案】A【解析】函数()()()24log 4f x ax x aa R =-+∈，若()f x 的值域为R ，只需24t axx a =-+取满()0,+∞，当0a =时， ()()4log 4f x x =-，值域为R 符合题意；当0a ≠时，只需2{1640a a >∆=-≥ ，解得02a <≤，综上可知02a ≤≤.练习2.若函数()122log ,01{ 25,1m x x f x x x m x +<≤=-+-+>的值域为R ，则实数m 的取值范围是__________．【答案】(],3-∞【解析】因为()12g x log m x =+在(]0,1 上是递减函数， ()g x 有最小值()g 1m =,所以()12g x log ,01m x x =+<≤的取值范围是(],m -∞，因为()2h x 25x x m =-+-+在()1+∞，上递减，所以()()h x 16h m <=-,即()2h x 25x x m =-+-+在()1+∞，上的取值范围是(),6m -∞-，因为函数()122log ,01{25,1m x x f x x x m x +<≤=-+-+>的值域为R ，所以6m m -≥， 3m ≤，实数m 的取值范围是(],3-∞，故答案为(],3-∞. 练习3.若函数224()43x f x mx mx -=++的定义域为R ，则实数m 的取值范围是__________．【答案】3[0,)4练习4.若函数f(x)的定义域为R ，则m 的取值范围为________．【答案】1,12⎛⎫+∞⎪⎝⎭练习5.命题:p 实数a 满足260a a +-≥,命题:q函数y =R ，若命题p q ∧为假， p q ∨ 为真，求实数a 的取值范围. 【答案】3a ≤-或02a ≤<或4a >.【解析】试题分析：分别求出当命题p q ，为真命题时a 的取值范围，由p q ∧为假， p q ∨ 为真可得则“p 真q 假”或“p 假q 真”，分两种情况分别求解即可。

数学高中数学函数题解题技巧轻松拿高分

数学高中数学函数题解题技巧轻松拿高分函数是高中数学中一个非常重要的概念，也是学生们经常遇到的难题之一。

掌握好函数的解题技巧，可以帮助我们轻松拿高分。

本文将为大家介绍一些解题的技巧，希望对大家提高数学水平有所帮助。

一、函数的基本概念和性质在解题过程中，首先要掌握函数的基本概念和性质。

函数是一个将一个集合的元素与另一个集合的元素一一对应的规则。

通常我们用f(x)来表示函数，其中x为自变量，f(x)为对应的函数值。

函数有定义域、值域和图像等重要概念，我们需要清楚它们之间的关系。

在解题过程中，要注意函数的性质。

比如，奇函数具有奇对称性，即f(-x)=-f(x)；偶函数具有偶对称性，即f(-x)=f(x)。

这些性质常用于简化函数的运算和求解。

二、常见函数的解题技巧1. 一次函数：一次函数是形如y=kx+b的函数，其中k称为斜率，b称为截距。

在解题时，可以利用函数图像和已知条件来确定函数的表达式。

2. 二次函数：二次函数是形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c是常数，且a≠0。

在解题时，可以通过求解函数的零点、顶点和判别式等方法来确定函数的特性和解集。

3. 指数函数：指数函数是形如y=a^x的函数，其中a>0且a≠1。

在解题时，可以利用函数的单调性、性质和指数方程等来求解。

4. 对数函数：对数函数是指以某个正数a为底的对数函数，通常用log_a(x)来表示。

在解题时，可以利用对数函数的性质和对数方程等方法来求解。

5. 三角函数：三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。

在解题时，可以利用三角函数的周期性、性质和三角恒等式等来求解。

三、解题技巧的应用在解任何数学问题时，掌握解题技巧是至关重要的。

以下是一些常见的解题技巧的应用：1. 确定已知条件和待求量：在解题前，一定要仔细阅读题目，明确已知条件和待求量，有时需要根据题目中的信息进行假设或者推理。

2. 利用关系式和等式：函数题中常常会给出多个函数之间的关系式或等式，我们可以利用这些关系式和等式来求解。

寻找函数的规律高中数学函数问题的解题方法

寻找函数的规律高中数学函数问题的解题方法寻找函数的规律—高中数学函数问题的解题方法在高中数学中，函数问题是一个重要的学习内容。

寻找函数的规律是解决函数问题的关键，下面将介绍一些解题方法，帮助同学们更好地理解和解决函数问题。

1. 列表法列表法是寻找函数规律的常见方法之一。

通过将自变量和函数值列成表格，观察函数值与自变量之间的关系，推断出函数的规律。

举个例子，考虑一个函数f(x) = 2x + 1，要求列出x从1到5的函数值。

我们可以使用列表法解决这个问题：x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |f(x)| 3 | 5 | 7 | 9 | 11 |通过观察列表中的数字，我们可以发现f(x)的值始终比x的值大2，并且函数值与自变量之间存在线性关系。

因此，可以总结出函数f(x)的规律为：f(x) = 2x + 1。

2. 图像法图像法是寻找函数规律的另一种常用方法。

通过绘制函数的图像，观察图像的形状和趋势，推断出函数的规律。

以函数f(x) = x^2为例，我们可以绘制出其图像。

通过观察图像，我们可以看到函数图像为一个开口朝上的抛物线，顶点位于原点，曲线向右开口。

这个图像可以帮助我们理解函数f(x)的规律：随着x值的增加，f(x)的值也在增加，增加的速度越来越快。

3. 代数法代数法通常适用于一些具体的函数问题，通过代数表达式推导出函数的规律。

考虑函数f(x) = 3x + 2和g(x) = 2x + 4，现在需要比较f(x)和g(x)的大小。

我们可以通过代数法解决这个问题。

将f(x)和g(x)相减得到一个新的函数h(x) = f(x) - g(x)，化简后得到h(x) = x - 2。

这个代数表达式告诉我们，当x大于2时，h(x)的值为正数，也就是f(x)大于g(x)；当x小于2时，h(x)的值为负数，也就是f(x)小于g(x)；而当x等于2时，h(x)的值为0，也就是f(x)等于g(x)。

通过代数法，我们可以比较两个函数的大小，并得到函数规律：当x大于2时，f(x)大于g(x)；当x小于2时，f(x)小于g(x)；当x等于2时，f(x)等于g(x)。

如何备考高考数学函数与导数部分重点知识点及解题思路

如何备考高考数学函数与导数部分重点知识点及解题思路高考数学是每位学生备战高考的关键科目之一，其中函数与导数部分作为数学的重点内容之一，需要我们充分理解其中的知识点和解题思路。

本文将详细介绍备考高考数学函数与导数部分的重点知识点和解题思路，帮助同学们在备考过程中更好地准备这一部分考试内容。

一、函数的基本概念与性质在备考高考数学函数与导数部分，首先要掌握函数的基本概念与性质。

函数是两个集合之间的一种对应关系，其中自变量和因变量之间存在确定的对应关系。

在学习函数的过程中，需要掌握函数的定义域、值域、图像和性质等相关概念。

在解题时，常用的函数有线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等。

每种函数都有自己的特点和主要的解题方法。

在备考过程中，我们需要深入理解每种函数的定义及其特点，同时掌握它们的常用解题方法。

例如，对于一元一次方程，可以通过求解方程组或消元法来确定方程的解。

二、函数的运算与复合函数函数的运算与复合函数也是备考高考数学函数与导数部分的重点内容。

在函数的运算中，我们常遇到的有函数的加减乘除、复合函数的概念和求导法则等。

同学们要熟练掌握函数的运算方法，能够熟练解答相关题目。

复合函数是由两个或多个函数按照一定的顺序组成的新函数。

在解题时，常用的方法是利用函数之间的复合关系求导，根据链式法则将复合函数的导数转化为基本函数的导数。

通过反复练习和掌握相关的解题技巧，我们能够更好地应对高考中的相关题目。

三、导数的基本概念和运算规则导数是函数在某一点的变化速率，也是备考高考函数与导数部分需要掌握的重点内容之一。

在备考过程中，我们需要理解导数的定义和运算规则，并能够熟练计算导数。

导数的定义是函数变化率的极限值，也可以理解为函数曲线在某一点的切线斜率。

计算导数时，常用的方法有基本导数法则、导数的四则运算法则和复合函数求导法则等。

在备考过程中，我们要掌握这些法则的使用方法，能够熟练计算各种函数的导数。

四、函数的应用数学函数在实际问题中有着广泛的应用，备考高考数学函数与导数部分也需要理解其中的应用题。

高考数学各题型答题技巧及解题思路

高考数学各题型答题技巧及解题思路高考数学是考生在高中学习中接触最多的一门学科。

而高考数学中有各种各样的题型，如函数、导数、数列、几何等等。

各个题型的答题技巧和解题思路也需要考生掌握。

本文将就此进行详细介绍。

一.函数题型答题技巧及解题思路1. 函数的分类在高考数学中，函数有三种类型，分别为元函数、复合函数和反函数。

其中元函数是指单个自变量x的函数，如y=f(x)，复合函数是指由两个或两个以上函数复合而成的函数，如y=f(g(x))，反函数则是元函数的互逆，如y=f(x)的反函数为x=g(y)。

2. 函数的性质函数有很多性质，如奇偶性、单调性、周期性等等。

其中奇偶性是指函数有没有对称轴，单调性是指函数的递增递减性质，周期性是指函数图像在一定区间内重复出现。

3. 函数的绘图绘制函数图像是函数学习中的重点内容。

在绘图时，需要掌握对称轴、截距以及拐点等。

1. 导数概念导数是指函数在某一点处的变化率。

导数的计算方式为极限值的求解方法。

导数的概念是微积分学的基础，是高考数学中的重要内容。

2. 导数的计算方法导数的计算方法有很多，如用导数定义式、用导数的四则运算法则、用导数的基本函数形式等。

3. 导函数的应用导函数在数学上有广泛的应用，包括求解函数的最值、函数的单调性、函数的图像形态等。

三.数列题型答题技巧及解题思路1. 数列的概念数列是指按照一定的规律排列的一组数的集合。

数列可以分为等差数列、等比数列等。

2. 数列的通项公式数列的通项公式是指可以用来计算任意项的公式。

对于等差数列和等比数列而言，通项公式是非常重要的。

3. 数列的求和公式数列的求和公式是指可以计算数列前n项和的公式。

对于等差数列和等比数列而言，求和公式也是非常重要的。

1. 几何图形的名词在几何学中，几何图形都有自己的命名。

例如，几何图形有点、直线、平面等。

2. 平面几何的性质平面几何图形的性质可以分为有关角、线段、周长、面积等方面的性质。

几何题中需要掌握到位。

高考数学函数题解题思路解析

高考数学函数题解题思路解析在高考数学中，函数题一直占据着重要的地位。

函数题不仅考查了学生对函数概念、性质的理解和掌握，还考查了学生的逻辑思维能力、运算能力和综合运用知识解决问题的能力。

对于很多考生来说，函数题是一个难点，但只要掌握了正确的解题思路，就能够化难为易，提高解题的准确性和效率。

一、函数的基本概念要解决函数题，首先要对函数的基本概念有清晰的理解。

函数是一种对应关系，对于定义域内的每一个自变量的值，都有唯一确定的因变量的值与之对应。

函数的定义域、值域和对应法则是函数的三个要素。

在解题时，要特别注意函数的定义域。

很多函数题的错误往往是由于忽略了定义域而导致的。

例如，在分式函数中，分母不能为零；在根式函数中，被开方数必须大于等于零；在对数函数中，真数必须大于零等等。

二、函数的性质函数的性质包括单调性、奇偶性、周期性等。

1、单调性函数的单调性是指函数在定义域内的某个区间上，随着自变量的增大，函数值是增大还是减小。

判断函数的单调性通常有定义法、导数法等。

定义法是通过比较函数在区间内任意两个自变量对应的函数值的大小来判断单调性；导数法则是通过求函数的导数，根据导数的正负来判断函数的单调性。

2、奇偶性函数的奇偶性是指函数的图像关于原点对称（奇函数）或关于 y 轴对称（偶函数）。

判断函数的奇偶性通常是通过判断f(x)与f(x)的关系。

若 f(x) ＝ f(x)，则函数为奇函数；若 f(x) ＝ f(x)，则函数为偶函数。

3、周期性函数的周期性是指函数在一定的区间内，函数值按照一定的规律重复出现。

常见的周期函数有正弦函数、余弦函数等。

三、常见函数类型及解题方法1、一次函数一次函数的一般形式为 y ＝ kx ＋ b（k ≠ 0）。

其图像是一条直线。

在解题时，通常需要根据已知条件求出 k 和 b 的值。

2、二次函数二次函数的一般形式为 y ＝ ax²＋ bx ＋ c（a ≠ 0）。

二次函数的图像是一条抛物线。

新高考高中数学核心知识点全透视：函数(精讲精析篇)(附答案及解析)

专题3.1函数（精讲精析篇）提纲挈领点点突破热门考点01 求函数的定义域1.(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数.2.已知函数的具体解析式求定义域的方法(1)若f(x)是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集．(2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可．3．抽象函数的定义域的求法(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出．(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．【典例1】（2019·江苏高考真题）函数2=+-_____.76y x x【典例2】（2019·邵阳市第十一中学高一期中）已知函数(31)f x -的定义域是[]0,2,则函数()f x 的定义域是( ) A.[]0,2B.1[1]3，C.[-15]，D.无法确定【典例3】（2018·上海上外浦东附中高一月考）已知()f x 的定义域为[]3,3-，则()21f x -的定义域为_______________. 【特别提醒】求函数的定义域，往往要解不等式或不等式组，因此，要熟练掌握一元一次不等式、一元二次不等式的解法、牢记不等式的性质，学会利用数形结合思想，借助数轴解题.另外，函数的定义域、值域都是集合，要用适当的表示方法加以表达或依据题目的要求予以表达．热门考点02 求函数的解析式1. 求函数解析式的四种方法【典例4】（2016·浙江高考真题（文））设函数f(x)=x 3+3x 2+1.已知a≠0，且f(x)–f(a)=(x –b)(x –a)2，x R ∈，则实数a=_____，b=______.【典例5】（2019·邵阳市第十一中学高一期中）若()22144f x x x +=+,则()f x 的解析式为__________.【典例6】（2018·上海市金山中学高一期末）设()f x 是定义在R 上的函数，且满足对任意,x y 等式()()()22343f y x f x y x y -=-+-+恒成立，则()f x 的解析式为_____________．【特别提醒】谨防求函数解析式的两种失误：(1)在求函数解析式时，一定要注意自变量的范围，也就是定义域问题．求出解析式后要标注x 的取值范围． (2)利用换元法求解析式时要注意新元的取值范围．如已知f (x )＝x ＋1，求函数f (x )的解析式，可通过换元的方法得f (x )＝x 2＋1，函数f (x )的定义域是[0，＋∞)，而不是(－∞，＋∞)．热门考点03 分段函数及其应用1.(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.2.根据分段函数解析式求函数值．首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解．3.已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．提醒：当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论．【典例7】（山东省2018年普通高校招生（春季））已知函数，则的值等于__________．【典例8】（2018·上海市金山中学高一期末）已知()[)[]21,1,01,0,1x x f x x x ⎧+∈-⎪=⎨+∈⎪⎩，则下列函数的图象错误的是（）A.(1)f x -的图象B.()f x -的图象C.(||)f x 的图象D.|()|f x 的图象【典例9】（上海高考真题（理））设若，则a 的取值范围为_____________.【典例10】（2018届河北省唐山市三模）设函数则使得成立的得取值范围是__________．【典例11】（2014浙江高考理第15题）设函数()⎪⎩⎪⎨⎧≥-<+=0,0,22x x x x x x f 若()()2≤a f f ，则实数a 的取值范围是______ 【总结提升】关于分段函数的命题角度主要有：一是分段函数求值，二是分段函数与方程、不等式结合.由于分段函数在其定义域内的不同子集上其对应法则不同，而分别用不同的式子来表示，因此在求函数值、解方程（不等式）时，一定要注意自变量的值所在子集，再代入相应的解析式求值．热门考点04 函数的单调性与最值（值域）1.增函数、减函数（1）增函数：若对于定义域I 内的某个区间()D D I ⊆上的任意两个自变量1x 、2x ，当12x x <时，都有()()12f x f x <，那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数；（2）减函数：若对于定义域I 内的某个区间()D D I ⊆上的任意两个自变量1x 、2x ，当12x x <时，都有()()12f x f x >，那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数.2.函数的最值（1）最大值：一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； ②存在0x I ∈，使得()0f x M =.那么，我们称M 是函数()y f x =的最大值.（2）最小值：一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足： ①对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥； ②存在0x I ∈，使得()0f x m =.那么，我们称m 是函数()y f x =的最小值.【典例12】函数2()23f x x mx =-+，当[2,)x ∈-+∞时是增函数，当(,2]x ∈-∞-时是减函数，则(1)f 等于（）A ．-3B ．13 C. 7 D ． 5【典例13】（2019·山西省长治市第二中学校高一期中）若函数2()21f x x mx =-+在[2,)+∞上是增函数，则实数m 的取值范围是（） A.(,1]-∞B.[1,)+∞C.[2,)+∞D.(,2]-∞【典例14】函数()21,12,1x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-+<⎩的最大值为（）A.1B.2C.12D.13【总结提升】1.利用基本初等函数的单调性与图象：只需作出函数的图象便可判断函数在相应区间上的单调性；2.性质法：（1）增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数，增函数-减函数=增函数，减函数-增函数=减函数；（2）函数()f x -与函数()f x 的单调性相反；（3）0k >时，函数()f x 与()k f x 的单调性相反（()0f x ≠）；0k <时，函数()f x 与()k f x 的单调性相同（()0f x ≠）.3.定义法：作差法与作商法（常用来函数单调性的证明，一般使用作差法）.*4.导数法：()0f x '≥在区间D 上恒成立，则函数()f x 在区间D 上单调递增；()0f x '≤在区间D 上恒成立，则函数()f x 在区间D 上单调递减.【注】分段函数的单调性要求每段函数都满足原函数的整体单调性，还需注意断点处两边函数值的大小比较.5.函数单调性的应用（1）比较函数值大小（随着基本初等函数的学习，逐步体会）比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解．（2）求解含“f ”的函数不等式的解题思路先利用函数的相关性质将不等式转化为f (g (x ))＞f (h (x ))的形式，再根据函数的单调性去掉“f ”，得到一般的不等式g (x )＞h (x )(或g (x )＜h (x ))．（3）利用单调性求参数的范围(或值)的方法①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数； ②需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的． 6.函数值域的常见求法： (1)配方法配方法是求“二次函数型函数”值域的基本方法，形如F (x )＝a [f (x )]2＋bf (x )＋c (a ≠0)的函数的值域问题，均可使用配方法． (2)数形结合法若函数的解析式的几何意义较明显，如距离、斜率等，可用数与形结合的方法． (3)基本不等式法：要注意条件“一正，二定，三相等”．（可见上一专题） (4)利用函数的单调性①单调函数的图象是一直上升或一直下降的，因此若单调函数在端点处有定义，则该函数在端点处取最值，即若y ＝f (x )在[a ，b ]上单调递增，则y 最小＝f (a )，y 最大＝f (b )；若y ＝f (x )在[a ，b ]上单调递减，则y 最小＝f (b )，y 最大＝f (a )．②形如y ＝ax ＋b ＋dx ＋c 的函数，若ad ＞0，则用单调性求值域；若ad ＜0，则用换元法．③形如y ＝x ＋kx(k ＞0)的函数，若不能用基本不等式，则可考虑用函数的单调性，当x ＞0时，函数y ＝x ＋k x (k ＞0)的单调减区间为(0，k ]，单调增区间为[k ，＋∞)．一般地，把函数y ＝x ＋kx(k ＞0，x ＞0)叫做对勾函数，其图象的转折点为(k ，2k )，至于x ＜0的情况，可根据函数的奇偶性解决．*(5)导数法利用导函数求出最值，从而确定值域．热门考点05 函数的奇偶性、周期性与单调性1.判断函数的奇偶性的两种方法 (1)定义法：(2)图象法：2．函数奇偶性的应用 (1)求函数解析式①将所求解析式自变量的范围转化为已知解析式中自变量的范围；②将转化后的自变量代入已知解析式；③利用函数的奇偶性求出解析式． (2)求参数值在定义域关于原点对称的前提下，根据奇函数满足f (－x )＝－f (x )或偶函数满足f (－x )＝f (x )列等式，根据等式两侧对应相等确定参数的值．特别要注意的是：若能够确定奇函数的定义域中包含0，可以根据f (0)＝0列式求解，若不能确定则不可用此法． *3.函数周期性的判定及应用(1)只需证明f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T .(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数整体的性质，函数的周期性常与函数的其他性质综合考查．(3)在解决具体问题时，要注意结论“若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期”的应用．【典例15】（2017·全国高考真题（理））函数()f x 在(,)-∞+∞单调递增，且为奇函数，若(1)1f =，则满足1(2)1f x -≤-≤的x 的取值范围是（）．A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]【典例16】（2018·全国高考真题（理））已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数,满足(1)(1)f x f x -=+.若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=L （） A.50-B.0C.2D.50【典例17】（2017·山东高考真题（文））已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2)．若当x ∈[－3,0]时，f (x )＝6－x ，则f (919)＝________.【典例18】（2013·上海高考真题（理））设a 为实常数，()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，2()97a f x x x=++．若()1f x a ≥+对一切0x ≥成立，则a 的取值范围是 .【总结提升】拓展：1.函数奇偶性的判断(1)复合函数奇偶性的判断：若复合函数由若干个函数复合而成，则复合函数的奇偶性可根据若干个函数的奇偶性而定，概括为“同奇为奇，一偶则偶”．(2)抽象函数奇偶性的判断：应充分利用定义，巧妙赋值，通过合理、灵活地变形配凑来判断． 2．熟记4种常见抽象函数的周期 (1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2|a |； (2)若f (x ＋a )＝1f x，则T ＝2|a |； (3)若f (x ＋a )＝－1f x，则T ＝2|a |；(4)若f (x ＋a )＝f (x －a )，则T ＝2|a |.3.当函数具有两个对称时函数一般也是周期函数．当函数()f x 是奇函数，又有对称轴x m =时，则函数一定是周期函数，且周期为4T m =；若()f x 有两条对称轴x a =和x b =，则函数是周期函数，2b a -是函数的一个周期；同样若()f x 有两个对称中心(,0)a 和(,0)b ，则函数是周期函数，2b a -是函数的一个周期.巩固提升1.有意义的实数x 的取值范围是（）A.{|0x x >或}1x <-B.{|0x x …或}1x -„ C.{}10x x -<<D.{}10x x -剟2．（2019·重庆高一）若()335f x x +=+，则()f x 等于（）． A.32x + B.38x + C.31x -D.34x -3.（2017·浙江高考真题）若函数()2f x =x ax b ++在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M m -的值（）A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关4.（2019·江苏高一月考）函数()()02f x x =-+ ） A.()2,+∞ B.()1,-+∞ C.()()1,22,-+∞UD.R5.（2014·全国高考真题（文））奇函数()f x 的定义域为R ，若(2)f x +为偶函数，且(1)1f =，则(8)(9)f f +=（）A ．2-B ．1-C ．0D ．16.（2019·山西省长治市第二中学校高一期中）已知函数2()3f x ax bx =++是定义在[3,2]a a -上的偶函数，则+a b 的值是（） A.1-B.1C.3-D.07.（2019·浙江学军中学高一期中）函数()f x = ）A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既奇又偶函数8.（2017·全国高考真题（文））已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当(,0)x ∈-∞时，32()2f x x x =+,则(2)f =__________.9.（2016·四川高考真题（文））若函数f （x ）是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x<1时，f （x ）=，则f （）+f （2）= .10.（2019·上海闵行中学高一期中）已知21(1)()(1)(1)x x f x f x x -<⎧=⎨-≥⎩，则(3)f =________11．（2019·上海市第二中学高二期末）若函数()3f x x a =+为奇函数，则()1f =______．12.（2018·上海上外浦东附中高一月考）函数()21y k x b =++在R 上是增函数，则实数k 的取值范围是_________.13.（2018·上海上外浦东附中高一月考）已知函数2y x =，[]0,3x ∈，则函数的值域为__________.14.（2015·浙江高考真题（文））已知函数()2,1{ 66,1x x f x x x x≤=+->，则()2f f ⎡⎤-=⎣⎦ ， ()f x 的最小值是．15.（2019·上海市高桥中学高一期末）已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，()20f =，若()10f x -<，则x 的取值范围是_________.16.（2018·上海曹杨二中高一期末）设函数()1f x x =-，若0a b <<且()()f a f b =，则ab 的取值范围是_________；专题3.1函数（精讲精析篇）提纲挈领点点突破热门考点01 求函数的定义域1.(1)在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域.(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数. 2.已知函数的具体解析式求定义域的方法(1)若f (x )是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集． (2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可． 3．抽象函数的定义域的求法(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由a ≤g (x )≤b 求出． (2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域．【典例1】（2019·江苏高考真题）函数276y x x =+-_____. 【答案】[1,7]-. 【解析】由已知得2760x x +-≥,即2670x x --≤ 解得17x -≤≤，故函数的定义域为[1,7]-.【典例2】（2019·邵阳市第十一中学高一期中）已知函数(31)f x -的定义域是[]0,2,则函数()f x 的定义域是( ) A.[]0,2 B.1[1]3，C.[-15]，D.无法确定【答案】C 【解析】由已知02x ≤≤，1315x ∴-≤-≤，即函数()f x 的定义域是[-15]，，故选：C ．【典例3】（2018·上海上外浦东附中高一月考）已知()f x 的定义域为[]3,3-，则()21f x -的定义域为_______________.【答案】[]22-,【解析】由于函数()y f x =的定义域为[]3,3-，对于函数()21y f x =-，有2313x -≤-≤，即224x -≤≤，即24x ≤，解得22x -≤≤.因此，函数()21y f x =-的定义域为[]22-,. 故答案为：[]22-,. 【特别提醒】求函数的定义域，往往要解不等式或不等式组，因此，要熟练掌握一元一次不等式、一元二次不等式的解法、牢记不等式的性质，学会利用数形结合思想，借助数轴解题.另外，函数的定义域、值域都是集合，要用适当的表示方法加以表达或依据题目的要求予以表达．热门考点02 求函数的解析式1. 求函数解析式的四种方法【典例4】（2016·浙江高考真题（文））设函数f(x)=x 3+3x 2+1.已知a≠0，且f(x)–f(a)=(x –b)(x –a)2，x R ∈，则实数a=_____，b=______.【答案】－2，1【解析】()()32323232313133f x f a x x a a x x a a -=++---=+--，()()()()2322222x b x a x a b x a ab x a b --=-+++-，所以223223{20 3a b a ab a b a a --=+=-=--，解得2{ 1a b =-=．【典例5】（2019·邵阳市第十一中学高一期中）若()22144f x x x +=+,则()f x 的解析式为__________.【答案】2()1f x x =- 【解析】令21x t +=，12t x -∴=，代入()22144f x x x +=+， ()22114()4122t t f t t --∴=+⋅=-，故答案为：2()1f x x =-．【典例6】（2018·上海市金山中学高一期末）设()f x 是定义在R 上的函数，且满足对任意,x y 等式()()()22343f y x f x y x y -=-+-+恒成立，则()f x 的解析式为_____________．【答案】()()31f x x x =+ 【解析】Q ()f x 是定义在R 上的函数，且对任意,x y ，()()()22343f y x f x y x y -=-+-+恒成立，∴令y x =，得()()()22343f x x f x x x x -=-+-+，即()()()2333f x f x x x =-++，()()3333f x x x ∴=+， ()()31f x x x ∴=+.故答案为：()()31f x x x =+ 【特别提醒】谨防求函数解析式的两种失误：(1)在求函数解析式时，一定要注意自变量的范围，也就是定义域问题．求出解析式后要标注x 的取值范围． (2)利用换元法求解析式时要注意新元的取值范围．如已知f )＝x ＋1，求函数f (x )的解析式，可通过换元的方法得f (x )＝x 2＋1，函数f (x )的定义域是[0，＋∞)，而不是(－∞，＋∞)．热门考点03 分段函数及其应用1.(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.2.根据分段函数解析式求函数值．首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解．3.已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．提醒：当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论．【典例7】（山东省2018年普通高校招生（春季））已知函数，则的值等于__________．【答案】【解析】因为，所以.【典例8】（2018·上海市金山中学高一期末）已知()[)[]21,1,01,0,1x x f x x x ⎧+∈-⎪=⎨+∈⎪⎩，则下列函数的图象错误的是（）A.(1)f x -的图象B.()f x -的图象C.(||)f x 的图象D.|()|f x 的图象【答案】D 【解析】作出()[)[]21,1,01,0,1x x f x x x ⎧+∈-⎪=⎨+∈⎪⎩，如下图(1)f x -的图象，由()f x 的图象向右平移一个单位，故A 正确；()f x -的图象，由()f x 的图象y 轴右侧的翻折到左侧，左侧翻折到右侧，故B 正确； (||)f x 的图象，由()f x 的图象右侧的保留不变，且把右边的翻折到左边，故C 正确；|()|f x 的图象，把x 轴下方的翻折到上方，图象与()f x 一样，故D 错误；故选：D【典例9】（上海高考真题（理））设若，则a 的取值范围为_____________.【答案】(,2]-∞ 【解析】由题意，若2a >，则(2)2f =不合题意，因此2a ≤，此时[,)x a ∈+∞时，2()f x x =，满足(2)4f =.【典例10】（2018届河北省唐山市三模）设函数则使得成立的得取值范围是__________．【答案】.【解析】由，得或，得或，即得取值范围是，故答案为.【典例11】（2014浙江高考理第15题）设函数()⎪⎩⎪⎨⎧≥-<+=0,0,22x x x x x x f 若()()2≤a f f ，则实数a 的取值范围是______【答案】a ≤【解析】由题意()()()202f a f a f a <⎧⎪⎨+≤⎪⎩或()()202f a f a ≥⎧⎪⎨-≤⎪⎩，解得()2f a ≥-，当202a a a <⎧⎨+≥-⎩或202a a ≥⎧⎨-≥-⎩，解得，0a <或a ≤≤，故a ≤【总结提升】关于分段函数的命题角度主要有：一是分段函数求值，二是分段函数与方程、不等式结合.由于分段函数在其定义域内的不同子集上其对应法则不同，而分别用不同的式子来表示，因此在求函数值、解方程（不等式）时，一定要注意自变量的值所在子集，再代入相应的解析式求值．热门考点04 函数的单调性与最值（值域）1.增函数、减函数（1）增函数：若对于定义域I 内的某个区间()D D I ⊆上的任意两个自变量1x 、2x ，当12x x <时，都有()()12f x f x <，那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数；（2）减函数：若对于定义域I 内的某个区间()D D I ⊆上的任意两个自变量1x 、2x ，当12x x <时，都有()()12f x f x >，那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数.2.函数的最值（1）最大值：一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足： ①对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； ②存在0x I ∈，使得()0f x M =.那么，我们称M 是函数()y f x =的最大值.（2）最小值：一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足： ①对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；②存在0x I ∈，使得()0f x m =.那么，我们称m 是函数()y f x =的最小值.【典例12】函数2()23f x x mx =-+，当[2,)x ∈-+∞时是增函数，当(,2]x ∈-∞-时是减函数，则(1)f 等于（）A ．-3B ．13 C. 7 D ． 5 【答案】B【解析】由题意知函数()f x 的对称轴224b mx a =-==-，所以8m =-，所以(1)28313f =++=，故选B ．【典例13】（2019·山西省长治市第二中学校高一期中）若函数2()21f x x mx =-+在[2,)+∞上是增函数，则实数m 的取值范围是（） A.(,1]-∞ B.[1,)+∞ C.[2,)+∞ D.(,2]-∞【答案】D 【解析】由题意，函数2()21f x x mx =-+，开口向上，其对称轴x m =，∵在[2,)+∞上是增函数，∴2m ≤，即实数m 的取值范围为(,2]-∞，故选D.【典例14】函数()21,12,1x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-+<⎩的最大值为（）A.1B.2C.12D.13【答案】B 【解析】当1x ≥时，函数()1f x x=在()1,+∞单调递减，此时()f x 在1x =处取得最大值，最大值为()11f =；当1x <时，函数()22f x x =-+在0x =处取得最大值，最大值为()02f =．综上可得，()f x 的最大值为2．故选：B ．【总结提升】1.利用基本初等函数的单调性与图象：只需作出函数的图象便可判断函数在相应区间上的单调性；2.性质法：（1）增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数，增函数-减函数=增函数，减函数-增函数=减函数；（2）函数()f x -与函数()f x 的单调性相反；（3）0k >时，函数()f x 与()k f x 的单调性相反（()0f x ≠）；0k <时，函数()f x 与()k f x 的单调性相同（()0f x ≠）.3.定义法：作差法与作商法（常用来函数单调性的证明，一般使用作差法）.*4.导数法：()0f x '≥在区间D 上恒成立，则函数()f x 在区间D 上单调递增；()0f x '≤在区间D 上恒成立，则函数()f x 在区间D 上单调递减.【注】分段函数的单调性要求每段函数都满足原函数的整体单调性，还需注意断点处两边函数值的大小比较.5.函数单调性的应用（1）比较函数值大小（随着基本初等函数的学习，逐步体会）比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解．（2）求解含“f ”的函数不等式的解题思路先利用函数的相关性质将不等式转化为f (g (x ))＞f (h (x ))的形式，再根据函数的单调性去掉“f ”，得到一般的不等式g (x )＞h (x )(或g (x )＜h (x ))．（3）利用单调性求参数的范围(或值)的方法①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数； ②需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的． 6.函数值域的常见求法： (1)配方法配方法是求“二次函数型函数”值域的基本方法，形如F (x )＝a [f (x )]2＋bf (x )＋c (a ≠0)的函数的值域问题，均可使用配方法． (2)数形结合法若函数的解析式的几何意义较明显，如距离、斜率等，可用数与形结合的方法．(3)基本不等式法：要注意条件“一正，二定，三相等”．（可见上一专题） (4)利用函数的单调性①单调函数的图象是一直上升或一直下降的，因此若单调函数在端点处有定义，则该函数在端点处取最值，即若y ＝f (x )在[a ，b ]上单调递增，则y 最小＝f (a )，y 最大＝f (b )；若y ＝f (x )在[a ，b ]上单调递减，则y 最小＝f (b )，y 最大＝f (a )．②形如y ＝ax ＋b ＋dx ＋c 的函数，若ad ＞0，则用单调性求值域；若ad ＜0，则用换元法．③形如y ＝x ＋kx(k ＞0)的函数，若不能用基本不等式，则可考虑用函数的单调性，当x ＞0时，函数y ＝x ＋k x (k ＞0)的单调减区间为(0，k ]，单调增区间为[k ，＋∞)．一般地，把函数y ＝x ＋kx(k ＞0，x ＞0)叫做对勾函数，其图象的转折点为(k ，2k )，至于x ＜0的情况，可根据函数的奇偶性解决． *(5)导数法利用导函数求出最值，从而确定值域．热门考点05 函数的奇偶性、周期性与单调性1.判断函数的奇偶性的两种方法 (1)定义法：(2)图象法：2．函数奇偶性的应用 (1)求函数解析式①将所求解析式自变量的范围转化为已知解析式中自变量的范围；②将转化后的自变量代入已知解析式；③利用函数的奇偶性求出解析式．(2)求参数值在定义域关于原点对称的前提下，根据奇函数满足f (－x )＝－f (x )或偶函数满足f (－x )＝f (x )列等式，根据等式两侧对应相等确定参数的值．特别要注意的是：若能够确定奇函数的定义域中包含0，可以根据f (0)＝0列式求解，若不能确定则不可用此法． *3.函数周期性的判定及应用(1)只需证明f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T .(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数整体的性质，函数的周期性常与函数的其他性质综合考查．(3)在解决具体问题时，要注意结论“若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期”的应用．【典例15】（2017·全国高考真题（理））函数()f x 在(,)-∞+∞单调递增，且为奇函数，若(1)1f =，则满足1(2)1f x -≤-≤的x 的取值范围是（）． A ．[2,2]- B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]【答案】D 【解析】()f x 是奇函数，故()()111f f -=-=- ；又()f x 是增函数，()121f x -≤-≤，即()(1)2(1)f f x f -≤-≤ 则有121x -≤-≤ ，解得13x ≤≤ ，故选D.【典例16】（2018·全国高考真题（理））已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数,满足(1)(1)f x f x -=+.若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=L （） A.50- B.0C.2D.50【答案】C 【解析】因为()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，且(1)(1)f x f x -=+，所以(1)(1)(3)(1)(1)4f x f x f x f x f x T +=--∴+=-+=-∴=,因此(1)(2)(3)(50)12[(1)(2)(3)(4)](1)(2)f f f f f f f f f f ++++=+++++L ，因为(3)(1)(4)(2)f f f f =-=-，，所以(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=，(2)(2)(2)(2)0f f f f =-=-∴=Q ，从而(1)(2)(3)(50)(1)2f f f f f ++++==L ，选C.【典例17】（2017·山东高考真题（文））已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2)．若当x ∈[－3,0]时，f (x )＝6－x ，则f (919)＝________.【答案】6 【解析】由f (x +4)=f (x -2)可知,()f x 是周期函数,且6T =,所以()()()919615311f f f =⨯+= ()16f =-=. 【典例18】（2013·上海高考真题（理））设a 为实常数，()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，2()97a f x x x=++．若()1f x a ≥+对一切0x ≥成立，则a 的取值范围是 .【答案】87a ≤- 【解析】∵()y f x =是定义在R 上的奇函数，∴当0x >时，2()()97a f x f x x x=--=+-，而229729767a a x x a x x+-≥⋅-=-，当些仅当3x a =时，“=”成立，∴当0x >时，要使()1f x a ≥+恒成立，只需86717a a a -≥+⇒≤-或85a ≥，又∵0x =时，(0)01f a =≥+，∴1a ≤-，综上，故实数a 的取值范围是8(,]7-∞-.【总结提升】拓展：1.函数奇偶性的判断(1)复合函数奇偶性的判断：若复合函数由若干个函数复合而成，则复合函数的奇偶性可根据若干个函数的奇偶性而定，概括为“同奇为奇，一偶则偶”．(2)抽象函数奇偶性的判断：应充分利用定义，巧妙赋值，通过合理、灵活地变形配凑来判断． 2．熟记4种常见抽象函数的周期 (1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2|a |； (2)若f (x ＋a )＝1f x，则T ＝2|a |； (3)若f (x ＋a )＝－1f x，则T ＝2|a |；(4)若f (x ＋a )＝f (x －a )，则T ＝2|a |.3.当函数具有两个对称时函数一般也是周期函数．当函数()f x 是奇函数，又有对称轴x m =时，则函数一定是周期函数，且周期为4T m =；若()f x 有两条对称轴x a =和x b =，则函数是周期函数，2b a -是函数的一个周期；同样若()f x 有两个对称中心(,0)a 和(,0)b ，则函数是周期函数，2b a -是函数的一个周期.巩固提升1.有意义的实数x 的取值范围是（）A.{|0x x >或}1x <-B.{|0x x …或}1x -„ C.{}10x x -<< D.{}10x x -剟【答案】C 【解析】依题有，2x x ⎧--≥⎪≠，解得10x -<<．故选：C ．2．（2019·重庆高一）若()335f x x +=+，则()f x 等于（）． A.32x + B.38x + C.31x - D.34x -【答案】D 【解析】令3x t +=，所以3x t =-，所以()()33534f t t t =-+=-，所以()34f x x =-，故选：D.3.（2017·浙江高考真题）若函数()2f x =x ax b ++在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M m -的值（）A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关【答案】B 【解析】因为最值在2(0),(1)1,()24a a fb f a b f b ==++-=-中取，所以最值之差一定与b 无关，选B ．4.（2019·江苏高一月考）函数()()02f x x =-+ ） A.()2,+∞ B.()1,-+∞ C.()()1,22,-+∞U D.R【答案】C 【解析】幂函数的零次方底数不为0，即20x -≠ ，2x ≠；偶次方根被开方数大于等于零，分式分母不为零，即10x +>，1x >- 所以()()1,22,x ∈-+∞U . 故选：C5.（2014·全国高考真题（文））奇函数()f x 的定义域为R ，若(2)f x +为偶函数，且(1)1f =，则(8)(9)f f +=（）A ．2-B ．1-C ．0D ．1【答案】D 【解析】(2)f x +是偶函数，则()f x 的图象关于直线2x =对称，又()f x 是奇函数，则(0)0f =，且()f x 是周期函数，且周期为4，所以(8)(9)(0)(1)1f f f f +=+=．故选D ．6.（2019·山西省长治市第二中学校高一期中）已知函数2()3f x ax bx =++是定义在[3,2]a a -上的偶函数，则+a b 的值是（） A.1- B.1C.3-D.0【答案】B 【解析】∵函数2()3f x ax bx =++是定义在[3,2]a a -的偶函数， ∴320a a -+=，解得1a =，由()()f x f x =-得0b =，即1a b +=，故选：B.7.（2019·浙江学军中学高一期中）函数()249x x f x x+-=-的奇偶性为（）A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既奇又偶函数【答案】B 【解析】函数()249x x f x x +-=-，所以有290->x ，解得33x -<<，所以()f x 定义域为()3,3- 此时40x -<恒成立，所以()2224999x x f x x x x +-===---，()()()2299f x f x xx -===---，所以()f x 是偶函数，故选：B8.（2017·全国高考真题（文））已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当(,0)x ∈-∞时，32()2f x x x =+,则(2)f =__________. 【答案】12 【解析】函数()f x 是定义在上的奇函数，()()f x f x -=-，则()()f x f x =--，()()()()322222212f f ⎡⎤=--=-⨯-+-=⎣⎦.9.（2016·四川高考真题（文））若函数f （x ）是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x<1时，f （x ）=，则f （）+。

高考数学函数命题的解题思路

高考数学函数命题的解题思路高考数学命题中，函数命题往往是考生们难以应对的试题之一。

如果不懂得合理的解题思路，很容易在短时间内迷失在森林般的题目中。

为了让广大考生能够在考试中高效率地解决函数命题，本文将介绍一些常见的解题思路。

一、理清函数定义函数问题的解题思路很重要的一点在于理清函数的定义，明确自变量和因变量的对应关系。

在函数的定义中，自变量可取的值在定义域中，而因变量的取值则在值域中。

当考生能够理清这些概念后，就能够更加明确函数相关问题中的自变量和因变量的对应关系，更加明确题目中需要寻求的答案。

在解析传统函数题的时候，我们常常会关注函数在一个给定点的取值、函数正负性等问题，这些都需要函数的定义来合理解释。

二、结合作图通过合理的作图可以有效解决一些函数命题，从而提高解题效率。

如在某一函数题目中，引入一条水平直线便可以实现对这一函数的特征进行初步掌握。

当考生们将图形合理地作出来后，再来进行记忆和理解，就更容易理清思路。

在高考数学考试中，多数题目都可以通过作图来解决问题。

三、将函数拆分为简单的组成部分函数问题中有时会像综合题一样，不只涉及到一个一步式解决的函数。

因此，考生应该掌握将函数拆分为简单的组成部分的方法。

如果将主要函数拆分为一些简单函数的组合，通常就可以更容易理解和解决问题。

比如常规函数问题以及三角函数问题的综合变形式，就需要考生懂得将整个函数拆分为由若干种曲线和线性部分组成的形式，才能完成复杂的运算。

四、统计函数的信息在解答函数问题中，要尽可能多地收集与这个函数有关的信息。

比如考生可以在不同的自变量下对函数进行取值，这样就可以得到函数的无穷性和深刻性。

此外，统计一个函数的极值点有时候也可以为解决相应的问题做出相应的贡献。

五、查阅一些相关的案例在历年的高考数学命题中，有时候会出现和某个经典案例类似的函数题，考生也可以通过查阅这些经典案例以及解决它们的方法来解决更复杂的函数问题。

对于没有遇到过的新颖问题，考生们可以综合往年题目和自己的解题经验来进行解答。

(完整版)高中数学函数解题技巧.(最新整理)

因此，函数 f(x)在区间 (2 a 2 1 a ，2 a 2 1 a）内单调递减．
点评：本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算
能力．
例2
已知 a 0，函数
f (x)
1 ax , x (0,) 。设 x
0
x1
2 ，记曲线 a
y
f (x) 在点
M (x1, f (x1 )) 处的切线为 l 。
判断它们的差的符号即可。
证：依题意，切线方程中令 y＝0，
x2
x1 (1
ax1 )
x1
x1 (2
ax1 )，其中0
x1
2 a
.
①
由0
x1
2 a , x2
x1 (2 ax1 ),有x2
0, 及x2
a( x1
1 a
)2
1 a
-3-
〈0 x2
1 a
,当且仅当x1
1 a
时，x
2
1 a
.
②当x1
1 a
时，ax1
1，因此，x2
x1 (2 ax1 )
x1，且由①，x2
1 a
所以x1
x2
1 a
。
点评：本小题主要考查利用导数求曲线切线的方法，考查不等式的基本性质，以及分析
和解决问题的能力。
例 3、函数 y＝1－ 1 的图象是( ) x 1
解析一：该题考查对 f(x)＝ 1 图象以及对坐标平移公式的理解，将函数 y＝ 1 的图形变
分析：在已知方程 f x x 0 两根的情况下，根据函数与方程根的关系，可以写出函数
f x x 的表达式，从而得到函数 f (x) 的表达式.

高考数学函数答题方法和技巧

高考数学函数答题方法和技巧作为高考数学中的一大难点，函数题一直是考生们头疼的问题。

在解题过程中不仅需要掌握相关的知识，还要有一定的答题技巧和方法。

下面将从函数的定义、图像、性质、思路和答题技巧等方面，详细介绍高考数学函数答题方法和技巧。

一、函数的定义函数是数学中的一个概念，是指一个自变量和对应的因变量之间的关系。

一般来说，函数可以用符号f(x)来表示，其中x为自变量，f(x)为因变量。

函数在数学中有着非常广泛的应用，无论是代数、几何还是概率等等都会涉及到函数的使用。

二、函数图像函数图像是指将函数在坐标系中绘制出来的图形。

绘制函数图像需要掌握函数图像的画法和变形规律。

在绘制函数图像时，具体步骤可以分为以下几步：1.确定坐标系：在平面坐标系中确定横、纵坐标轴及刻度值。

2.确定函数的定义域和值域。

3.确定函数的基本型：包括一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等。

4.画出基本函数的图像。

5.根据题目给出的变形规律，对基本函数进行变形。

6.根据给定的点或者函数值，在图像中定位点。

三、函数性质函数性质是高考数学中的重要内容，它涉及到函数的连续性、单调性、奇偶性、周期性等等。

掌握函数性质可以在解题时更快更准确地作出判断。

下面分别介绍一下各种函数性质。

1.连续性：如果函数在一个区间内的每一点与其邻近点之差可以趋近于零，则该函数在该区间内是连续的。

2.单调性：若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增，则在同一区间内任取两个实数x1和x2，有f(x1)<f(x2)。

3.奇偶性：如果满足f(-x)=-f(x)，则称函数f(x)是奇函数；如果满足f(-x)=f(x)，则称函数f(x)是偶函数。

4.周期性：如果存在正常数T使得对于任意x，都满足f(x+T)=f(x)，则函数称为周期函数。

周期T称为函数的周期。

四、函数思路在解题时掌握正确的思考方法，是解决难题的关键。

下面介绍一些常用的函数思路。

1.分段讨论法对于复杂函数，可以将其拆分成多段，分别处理每一段，最后再进行综合。

高考数学命题热点名师解密专题：函数问题的解题规律(理)

专题02函数问题的解题规律一、函数问题的解题规律解题技巧及注意事项1.定义域陷阱2.抽象函数的隐含条件陷阱3.定义域和值域为全体实数陷阱4.还原后新参数范围陷阱5.参数范围漏解陷阱6.函数求和中的倒序求和问题7.分段函数问题8.函数的解析式求法9.恒成立问题求参数范围问题10.任意存在问题二．知识点【学习目标】1．了解映射的概念，了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域、值域及函数解析式；2．在实际情境中，会根据不同的需要选择适当的方法(图象法、列表法、解析法)表示函数；3．了解简单的分段函数，并能简单应用；4．掌握求函数定义域及解析式的基本方法．【知识要点】1．函数的概念设A，B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：，其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然{f(x)|x∈A}⊆B.2．映射的概念设A，B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的任意一个元素，在集合B中都有唯一确定的元素和它对应，那么这样的对应(包括集合A，B，以及集合A到集合B的对应关系f)叫做集合A到集合B的映射．3．函数的特点①函数是一种特殊的映射，它是由一个集合到另一个集合的映射；②函数包括定义域A、值域B和对应法则f，简称函数的三要素；③关键是对应法则．4．函数的表示法函数的表示法：图示法、解析法．5．判断两个函数为同一个函数的方法两个函数的定义域和对应法则完全相同(当值域未指明时)，则这两个函数相等．6．分段函数若函数在定义域的不同子集上对应法则不同，可用几个式子表示函数，这种形式的函数叫分段函数．注意：不要把分段函数误认为是多个函数，它是一个整体，分段处理后，最后写成一个函数表达式．三．典例分析及变式训练（一）定义域陷阱例1.【曲靖一中2019模拟】已知，若函数在（﹣3，﹣2）上为减函数，且函数=在上有最大值，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】A【分析】由在上为减函数，可得；由在上有最大值，可得，综上可得结果,.【解析】在上为减函数，，且在上恒成立，，，又在上有最大值，且在上单调递增，在上单调递减，且，，解得，综上所述，，故选A.【点评】本题主要考查对数函数的单调性、复合函数的单调性、分段函数的单调性，以及利用单调性求函数最值，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于难题.判断复合函数单调性要注意把握两点：一是要同时考虑两个函数的的定义域；二是同时考虑两个函数的单调性，正确理解“同增异减”的含义（增增增，减减增，增减减，减增减）.练习1.【湖北2019重点中学联考】若y=f（x）的定义域为（0，2]，则函数g（x）=的定义域是（）A．（0，1]B．[0，1）C．（0，1）∪（1，4]D．（0，1）【答案】D【点评】本题考查了抽象函数的定义域与应用问题，是基础题．（二）抽象函数的隐含条件陷阱例1.【2019福建联考】已知定义在上的函数满足:，若,则A．B．C．D．【答案】D【解析】f（x+y）=f（x）+f（y）+1，且f（8）=15，令x=y=4，可得f（8）=2f（4）+1=7，解得f（4）=3，再令x=y=2，可得f（4）=2f（2）+1=3，解得f（2）=1．故选：D．【点评】本题考查抽象函数的运用：求函数值，注意运用赋值法，考查运算能力，属于基础题．练习1.设函数f：R→R满足f(0)＝1，且对任意，都有，则＝（）A．0B．2018C．2017D．1【答案】B【解析】令,利用,求出,再利用，令,求的解析式，从而可得结果.【详解】，令，得，，令，又，，，故选B.【点评】本题主要考查抽象函数的解析式，属于中档题.解抽象函数的解析式问题，往往利用特值法：（1）；（2）；（3）.（三）定义域和值域为全体实数陷阱例3．【山东省师大附中2019第二次模拟考】函数的值域为，则实数的范围（）A．B．C．D．【答案】C【解析】分段函数的值域为R，则函数y=f（x）在R上连续且单调递增，列出关于a的不等式组即可求解a的值.【详解】因为函数的值域为所以解得：故选C【点评】本题考查了分段函数的单调性，其题干描述较为隐蔽，需要通过分析其值域为R得到该函数在R 上是增函数，然后根据分段函数的单调性条件求解出a的范围.练习1.已知函数y ＝f （x ）的定义域是R ，值域为[-1，2]，则值域也为[-1，2]的函数是A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据的值域为[-1，2]，即，即可求出，以及的范围，从而找出正确选项．【点睛】本题考查分段函数最值，考查基本分析求解能力，属基础题.练习1.若函数在上有意义，则实数的取值范围是______．【答案】.【解析】使用换元令t=2x ，将函数转化为一元二次函数y=1+t+at 2进行求解．【点睛】本题考查了与指数函数有关的复合函数的最值问题，通过换元，将函数转化为一元二次函数，是解决本题的关键，对应不等式恒成立问题通常是转化为含参问题恒成立，即求函数的最值问题．练习2．已知．（1）求的值域．（2）若对任意和都成立，求的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）利用换元法，将函数转化为关于t 的二次函数，根据t 的取值范围求得函数的值域。

数学中的函数解题技巧掌握函数的性质和变换规律

数学中的函数解题技巧掌握函数的性质和变换规律数学中的函数解题技巧：掌握函数的性质和变换规律数学中的函数解题是学习数学的重要部分之一，掌握函数的性质和变换规律对于解题过程的顺利进行至关重要。

本文将介绍一些常用的函数解题技巧，帮助读者更好地理解和应用函数知识。

一、函数的性质函数是数学中的一种重要概念，它描述了输入与输出之间的关系。

了解函数的性质可以帮助我们更好地理解和分析问题。

1. 单调性函数的单调性是指函数在定义域上的增减情况。

当函数随着自变量的增加而增加时，我们说它是递增的；当函数随着自变量的增加而减小时，我们说它是递减的。

通过观察函数的图像或者计算导数可以确定函数的单调性。

2. 奇偶性函数的奇偶性描述了函数的对称性。

如果对于任意的x，函数f(-x) = f(x)，那么函数是偶函数；如果对于任意的x，函数f(-x) = -f(x)，那么函数是奇函数。

3. 周期性周期性是指函数在一定范围内具有重复的性质。

如果存在一个正数T，对于任意的x，有f(x+T) = f(x)，那么函数具有周期性。

二、函数的变换规律了解函数的变换规律可以帮助我们更好地分析函数的特性，以及解决相关的数学问题。

1. 平移变换平移变换是将函数的图像沿x轴或y轴平移的过程。

当函数的定义域上加上一个常数c时，函数的图像会沿x轴正向平移c个单位；当函数的值域上加上一个常数d时，函数的图像会向上平移d个单位。

2. 缩放变换缩放变换是将函数的图像沿x轴或y轴进行拉伸或压缩的过程。

当函数的自变量乘以一个正数a时，函数的图像在x轴方向上被压缩；当函数的因变量乘以一个正数b时，函数的图像在y轴方向上被拉伸。

3. 翻转变换翻转变换是将函数的图像沿x轴或y轴进行翻转的过程。

当函数的自变量乘以-1时，函数的图像在y轴方向上发生翻转；当函数的因变量乘以-1时，函数的图像在x轴方向上发生翻转。

三、应用举例下面通过几个实际例子，来展示如何运用函数的性质和变换规律来解决数学问题。

高中数学解题技巧之函数问题

高中数学解题技巧之函数问题在高中数学中，函数问题是一个非常重要的考点。

掌握好函数的相关知识和解题技巧，对于学生来说至关重要。

本文将以具体的题目为例，分析函数问题的考点，并给出解题技巧，帮助高中学生和他们的父母更好地理解和应对函数问题。

一、函数的定义和性质函数是高中数学中最基本的概念之一。

在解函数问题时，首先要明确函数的定义和性质。

函数是一种对应关系，它将一个自变量的值映射到一个因变量的值。

函数的定义通常以“y=f(x)”的形式给出，其中x是自变量，y是因变量，f(x)表示函数的表达式。

例如，考虑以下问题：已知函数f(x)满足f(x+2)=2f(x)-1，且f(1)=3，求f(5)的值。

这道题目涉及到函数的性质。

我们可以通过观察函数的表达式，发现f(x+2)和f(x)之间存在关系。

根据题目中给出的等式，我们可以得到一个递推公式：f(x+2)=2f(x)-1。

通过不断代入这个递推公式，我们可以求得f(5)的值。

二、函数的图像与性质函数的图像是解题中常用的工具之一。

通过观察函数的图像，我们可以了解函数的性质，进而解决问题。

考虑以下问题：已知函数f(x)的图像如下图所示，求f(2)的值。

[插入函数图像]对于这道题目，我们可以通过观察函数的图像来求解。

从图中可以看出，当x=2时，函数的值为2。

因此，f(2)=2。

三、函数的复合与反函数函数的复合和反函数是解决函数问题的重要手段。

通过复合函数和反函数的运算，我们可以得到新的函数，从而解决问题。

考虑以下问题：已知函数f(x)=2x+1，g(x)=x^2，求复合函数f(g(x))的表达式。

这道题目涉及到函数的复合运算。

我们可以先求出g(x)，然后将g(x)代入f(x)中，得到f(g(x))的表达式。

首先，求出g(x)的表达式：g(x)=x^2。

然后，将g(x)代入f(x)中得到f(g(x))的表达式：f(g(x))=f(x^2)=2(x^2)+1=2x^2+1。

高考数学函数题如何灵活运用函数概念解决复杂问题

高考数学函数题如何灵活运用函数概念解决复杂问题随着高考的临近，许多学生对数学这门学科格外关注。

其中，数学中的函数概念在数学习题中扮演着重要的角色，尤其是函数题。

本文将探讨如何灵活运用函数概念解决高考数学中的复杂问题，并提供一些解题技巧。

一、函数的概念与性质在解决函数题之前，我们首先需要了解函数的基本概念与性质。

函数是一种特殊的关系，它将一个自变量映射到一个唯一的因变量。

函数的定义域是所有可能的自变量的集合，值域是所有可能的因变量的集合。

函数的性质包括可导性、单调性、奇偶性等。

了解函数的概念与性质是解决函数题的关键之一。

通过观察题目中给出的条件，我们可以判断出所涉及的函数是否具有特定的性质。

例如，若题目给出函数f(x)的导数在某区间上恒大于0，则可以判断函数f(x)在该区间上是增函数。

二、函数的图像与方程函数的图像以及函数的方程是解决函数题的另一个关键。

通过观察函数的图像，我们可以推断出函数的性质，帮助我们解决题目。

同时，通过解函数的方程，我们可以得到函数的特定解或满足特定条件的解。

在解决函数题时，我们可以通过绘制函数的图像，来帮助我们直观地理解题意。

同时，我们还可以通过观察函数的方程，找出方程中的特殊点或特殊解。

例如，当我们求一元二次方程f(x) = ax^2 + bx + c的最值时，我们可以通过求导或利用函数图像的对称性，找到函数的顶点，从而得到最值。

三、函数的运算与复合在解决函数题时，我们还需要熟练掌握函数的运算与复合。

函数的运算包括加法、减法、乘法和除法，函数的复合是指一个函数作为另一个函数的自变量。

通过灵活运用函数的运算与复合，我们可以解决一些复杂的函数题。

例如，当我们求两个函数f(x)和g(x)的和函数f(x) + g(x)时，我们可以将两个函数逐项相加，得到新的函数。

四、函数题的解题技巧除了对函数概念的理解和灵活运用，一些解题技巧在解决函数题中也非常有帮助。

以下是几个常用的解题技巧：1. 利用函数的奇偶性：当函数具有奇函数或偶函数的性质时，我们可以根据特定函数值之间的关系推断出函数的其他性质。

高考数学命题热点名师解密专题：导数有关的构造函数方法(理)含答案解析

专题07 导数有关的构造函数方法一．知识点基本初等函数的导数公式 (1)常用函数的导数①(C )′＝________(C 为常数); ②(x )′＝________； ③(x 2)′＝________； ④⎝⎛⎭⎫1x ′＝________； ⑤(x )′＝________． (2)初等函数的导数公式①(x n )′＝________； ②(sin x )′＝__________； ③(cos x )′＝________； ④(e x )′＝________； ⑤(a x )′＝___________； ⑥(ln x )′＝________；⑦(log a x )′＝__________． 5．导数的运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝________________________； (2)[f (x )·g (x )]′＝_________________________；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝____________________________． 6．复合函数的导数(1)对于两个函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这两个函数(函数y ＝f (u )和u ＝g (x ))的复合函数为y ＝f (g (x ))．(2)复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为___________________，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．二．题型分析 1.构造多项式函数 2.构造三角函数型3.构造xe 形式的函数 4.构造成积的形式5.与ln x 有关的构造6.构造成商的形式7.对称问题（一）构造多项式函数例1．已知函数()()f x x R ∈满足()1f l =，且()f x 的导函数()1'2f x <，则()122x f x <+的解集为（） A. B.{}|x 1x <- C. D.{}|1x x >【答案】D考点：函数的单调性与导数的关系.【方法点晴】本题主要考查了函数的单调性与函数的导数之间的关系，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值与最值等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的应用，本题的解答中根据题设条件，构造新函数()F x ，利用新函数的性质是解答问题的关键，属于中档试题.练习 1.设函数()f x 在R 上存在导函数'()f x ，对于任意的实数x ，都有，当(,0)x ∈-∞时，.若，则实数m 的取值范围是（）A ．1[,)2-+∞ B ．3[,)2-+∞ C ．[1,)-+∞ D ．[2,)-+∞ 【答案】A 【解析】∵，设，则，∴()g x 为奇函数，又，∴()g x 在(,0)-∞上是减函数，从而在R 上是减函数，又等价于，即，∴1m m +≥-，解得12m ≥-．考点：导数在函数单调性中的应用.【思路点睛】因为，设，则，可得()g x 为奇函数，又，得()g x 在(,0)-∞上是减函数，从而在R 上是减函数，在根据函数的奇偶性和单调性可得，由此即可求出结果. 练习2.设奇函数在上存在导数,且在上,若,则实数的取值范围为（） A ． B ．C ．D ．【答案】B【方法点晴】本题主要考查了函数的奇偶性及其应用，其中解答中涉及到利用导数求函数的单调性、利用导数研究函数的极值、以及函数的奇偶性的判定等知识点的综合考查，着重考查了转化与化归的思想方法，以及学生的推理与运算能力，属于中档试题，解答中得出函数的奇函数和函数的单调性是解答的关键. 练习3.设函数()f x 在R 上存在导函数()f x '，对任意x R ∈，都有，且(0,)x ∈+∞时，()f x x '>，若，则实数a 的取值范围是（）A ．[)1,+∞B ．(],1-∞C ．(],2-∞D ．[)2,+∞【答案】B【解析】令，则，则，得()g x 为R 上的奇函数．∵0x >时，，故()g x 在(0,)+∞单调递增，再结合(0)0g =及()g x 为奇函数，知()g x 在(,)-∞+∞为增函数，又则，即(],1a ∈-∞．故选B ．考点：函数的单调性及导数的应用.【方法点晴】本题考查了利用导数研究函数的单调性，然后构造函数，通过新函数的性质把已知条件转化为关于a 的不等式来求解.本题解答的关键是由已知条件()f x x '>进行联想，构造出新函数，然后结合来研究函数()g x 的奇偶性和单调性，再通过要解的不等式构造，最终得到关于a 的不等式，解得答案.（二）构造三角函数型例2．已知函数()f x 的定义域为R ,()'fx 为函数()f x 的导函数，当[)0,x ∈+∞时，且x R ∀∈，.则下列说法一定正确的是（）A. B.C. D.【答案】B 【解析】令，则.因为当[)0,x ∈+∞时，，即，所以，所以在[)0,x ∈+∞上单调递增.又x R ∀∈，，所以，所以，故为奇函数，所以在R 上单调递增，所以.即，故选B.练习1．已知函数)(x f y =对任意的满足（其中)('x f 是函数)(x f 的导函数），则下列不等式成立的是（） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】构造函数，则，即函数g （x ）在单调递增，则，，即，故A 正确．，即练习2．定义在)2,0(π上的函数)(x f ，()'f x 是它的导函数，且恒有成立，则（）A.B.C ． D.【答案】D【解析】在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上，有，即令，则，故()F x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增. 令，则有，D 选项正确.【思路点晴】本题有两个要点，第一个要点是“切化弦”，在不少题目中，如果遇到tan x ，往往转化为sin cos x x来思考；第二个要点是构造函数法，题目中，可以化简为，这样我们就可以构造一个除法的函数，而选项正好是判断单调性的问题，顺势而为.（三）构造xe 形式的函数例3．已知函数()f x 的导数为()f x ′，且对x R ∈恒成立，则下列函数在实数集内一定是增函数的为（）A.()f xB.()xf xC.()xe f x D.()xxe f x【答案】D 【解析】设，则.对R x ∈恒成立，且0x e >.在R 上递增，故选D.练习1. 设函数)(x f '是函数的导函数，1)0(=f ，且，则的解集为（） A.),34ln (+∞ B.),32ln (+∞ C.),23(+∞ D.),3(+∞e 【答案】B【解析】依题意，构造函数，由，得，ln 23x >【思路点晴】本题考查导函数的概念，基本初等函数和复合函数的求导，对数的运算及对数函数的单调性.构造函数法是在导数题目中一个常用的解法.方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理. 恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题，往往可利用参变分离的方法，转化为求函数最值处理．学科网练习2.已知()f x 定义在R 上的函数，()f x '是()f x 的导函数，若，且()02f =，则不等式（其中e 为自然对数的底数）的解集是（） A ． B ．()1,-+∞ C ．()0,+∞ D ．【答案】C 【解析】设，则，∵，∴，∴()x g '，∴()x g y =在定义域上单调递增，∵，∴()1>x g ，又∵，∴()()0g x g >，∴0>x ，∴不等式的解集为()0,+∞故选：C.考点：利用导数研究函数的单调性.【方法点晴】本题考查函数单调性与奇偶性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键，属于中档题．结合已知条件中的以及所求结论可知应构造函数，利用导数研究()x g y =的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解.练习3．定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，若对任意实数x ，有，且()1f x +为奇函数，则不等式的解集是（）A ．(),0-∞B ．()0,+∞C ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】设．由，得，故函数()g x 在R 上单调递减．由()1f x +为奇函数()01f =-，所以．不等式等价于()1xf x e<-，即，结合函数()g x 的单调性可得0x >，从而不等式的解集为()0,+∞，故答案为B.【方法点晴】本题考查了导数的综合应用及函数的性质的应用，构造函数的思想，阅读分析问题的能力，属于中档题．常见的构造思想是使含有导数的不等式一边变为0，即得，当是形如时构造；当是时构造，在本题中令，（R x ∈），从而求导()0<'x g ，从而可判断()x g y =单调递减，从而可得到不等式的解集．练习4.已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数()'f x ，满足，且()2+f x 为偶函数，()41=f ，则不等式()<x f x e 的解集为（）A ．()2,-+∞B ．()4,+∞C ．()1,+∞D ．()0,+∞ 【答案】D【解析】设，则∴函数g x （）是R 上的减函数， ∵函数()2+f x 是偶函数， ∴函数∴函数关于2x =对称， ∴原不等式等价为1g x （）＜， ∴不等式()<x f x e 等价1g x （）＜，即∵g x （）是R 上的减函数， ∴0x ＞．∴不等式()<x f x e 式的解集为()0,+∞．选D 练习5．设函数()f x '是函数的导函数，1)0(=f ，且，则的解集是（）A.ln 4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B.ln 2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C.3,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭D.,3e ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】设，则，所以（c 为常数），则，由，2c =，所以，又由，所以即()3f x >，即3213x e ->，解得ln 23x >．故选B ．（四）构造成积的形式例4．已知定义在R 上的函数()y f x =满足：函数()1y f x =+的图象关于直线1x =-对称，且当(),0x ∈-∞时，（()f x '是函数()f x 的导函数）成立．若，，，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a b c ＞＞B ．b a c ＞＞C ．c a b ＞＞D ．a c b ＞＞【答案】A【解析】易知()x f 关于y 轴对称,设,当()0,∞-∈x 时,,()x F ∴在()0,∞-上为递减函数,且()x F 为奇函数,()x F ∴在R 上是递减函数.,即c b a >>,故选A.【方法点睛】本题考查学生的是函数的性质,属于中档题目.从选项可以看出,要想比较c b a ,,的大小关系,需要构造新函数,通过已知函数()x f 的奇偶性,对称性和单调性,判断()x F 的各种性质,可得()x F 在R 上是递减函数.因此只需比较自变量的大小关系,通过分别对各个自变量与临界值1,0作比较,判断出三者的关系,即可得到函数值得大小关系.练习 1.设函数()f x 是定义在(,0)-∞上的可导函数，其导函数为'()f x ，且有，则不等式的解集为（） A ．B ．C ．(2018,0)-D ．(2016,0)- 【答案】B考点：函数导数与不等式，构造函数．【思路点晴】本题考查函数导数与不等式，构造函数法.是一个常见的题型，题目给定一个含有导数的条件，这样我们就可以构造函数，它的导数恰好包含这个已知条件，由此可以求出()F x 的单调性，即函数()F x 为减函数.注意到原不等式可以看成，利用函数的单调性就可以解出来.练习2．设函数()f x 是定义在()0,+∞上的可导函数，其导函数为()f x '，且有，则不等式的解集为（）A ．()2012,+∞B ．()0,2012C ．()0,2016D ．()2016,+∞ 【答案】D【解析】试题分析：∵函数()f x 是定义在()0,+∞上的可导函数，，∴函数2y x f x =（）在()0,+∞上是增函数，∴不等式的解集为()2016,+∞．【名师点睛】本题考查函数的单调性，解不等式，以及导数的应用，属中档题．解题时正确确定函数2y x f x =（）在()0,+∞上是增函数是解题的关键练习3.函数()f x 是定义在区间()0,+∞上可导函数，其导函数为()'fx ，且满足，则不等式的解集为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C（五）与ln x 有关的构造例5.已知定义在实数集R 的函数()f x 满足f （1）=4,且()f x 导函数()3f x '<，则不等式的解集为（）A.(1,)+∞B.(,)e +∞C.(0,1)D.(0,)e 【答案】D【解析】设t=lnx,则不等式化为13)(+>t t f ，设g(x)=f(x)-3x-1,则。

高考数学函数典型题的解题方法讲解答题技巧

高考数学函数典型题的解题方法讲解答题技巧临近高考，考生一方面要根据自身情况寻找能够增加得分的难点，力求突破，更重要的另一方面是要回顾自己出过错误的地方，改正错误，辨析清楚有关概念，以免在考试中丢失应得的基础分数。

下面帮助考生就一些重要考点整理出一些易错的问题。

函数部分1.若函数f（_）=在定义域上是奇函数，则k= 。

【错解】因为f（_）是奇函数，则f=0，即f===0，于是k=1.【评析及正解】这里的问题是没有考虑0是否在定义域上，若0在定义域上，则f=0；若0不在定义域上，则f没有定义。

本题没有明确0是否在定义域上，因此不能用f=0求k的值。

正确的解法是因为f（_）是奇函数，则f（-_）=-f（_），于是有=-，k-k-2-_+k2·2_=-k-k2·2-_+2_+k，k2（2_+2-_）=2_+2-_，k2=1，k=±1 。

事实上，当k=1时，函数为f（_）=，其定义域是（-，+）；当k=-1时，函数f（_）=。

其定义域是（-，0）（0，+）。

2.已知y=loga（2-a_）在[0，1]上是_的减函数，则a的取值范围是【错解】因为y=loga（2-a_）是由y=logau和u=2-a_复合而成，又a>；0.所以u=2-a_在[0，1]上是_的减函数，由复合函数关系知y=logau应为增函数，所以a>；1.【评析及正解】解题中虽然考虑了对数函数与一次函数复合关系，却忽视了函数的定义域的限制，单调区间应是定义域的某个子区间，即函数应在[0，1]上有意义。

正确的解法是因为y=loga（2-a_）是由y=logau和u=2-a_复合而成，又a>；0，所以u=2-a_在[0，1]上是_的减函数，由复合函数关系知y=logau应为增函数，所以a>；1；又由于_在[0，1]上时y=loga（2-a_）有意义，则u=2-a_>；0在[0，1]上恒成立，需要umin=（2-a_）min>；0，又因为u=2-a_是减函数，所以_=1时，u=2-a_取最小值是umin=2-a>；0即a综上可知所求a的取值范围是13.已知函数f（_）=log3_+2，_[，9]，f（_）=[f（_）]2-f（_2）的值域为（）。

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