2.2.1.1椭圆及其标准方程(一)

a 2 cx a ( x c ) 2 y 2 两边再平方，得
a 4 2a 2cx c 2 x 2 a 2 x2 2a 2cx a 2c 2 a 2 y 2
整理得 (a 2 c 2 ) x 2 a 2 y 2 a 2 (a 2 c 2 ) 由椭圆定义可知 2a 2c, 即a c, 所以
3.
2a> F1F2
若2a=F1F2轨迹是什么呢？ 若2a<F1F2轨迹是什么呢？ 轨迹是一条线段
轨迹不存在
5
怎样推导椭圆的方程： 求曲线方程的一般步骤是什么？ 建立直角坐标系 设点坐标
列等式
代入坐标
化简方程
6
如何建立适当的直角坐标系？
♦ 探讨建立平面直角坐标系的方案 y y y y M M y F2 xx x
设P(x,y)为椭圆上的任意一点， ∵F1F2＝2c(c>0), 则：F1(0，-c)、F2(0，c) ∴ PF1+PF2=2a
∴
F2
o
F1
x
( y c ) x ( y c ) x 2a
2 2 2 2
( x c ) y ( x c ) y 2a
2 2 2 2
2 a ( x y (a ) ac c x a y aa (a 2 c 2 ) c ) x 2 2 2 2 2 2 a 2 a2 (a2 c 2 y 2 再平方整理即得 2(y 2 c 2 ) x 2 a 2 ) a (a c ) (a c ) x a
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3)两类标准方程的对照表
定 义 MF1+MF2=2a (2a>2c>0)
y
M
y
F 2
M
图 形
F 1
o
F2 x
o
F 1
x
方 程 焦 点 a,b,c之间的关系
x2 y2 2 1 a b 0 2 a b
y2 x2 2 1 a b 0 2 a b
Biblioteka BaiduF(±c，0)
o
F2 x
( x c ) 2 y 2 ( x c ) 2 y 2 2a
y
F2
M
y2 x2 焦点在y轴： 1(a b 0) a 2 b2
o
F1
x
( y c ) 2 x 2 ( y c ) 2 x 2 2a
总体印象：对称、简洁，“像”直线方程的截距 式
(2)若P为椭圆上一点，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，
并且PF1=6,则PF2=___. 14
2 2 变题： 若椭圆的方程为16x 9 y 144 ,试口答完成（1）.
x2 y 1 ①表示焦点在y轴上的椭圆， 思考: 若方程 k 2 3 k
求k的取值范围; ②若方程表示椭圆呢?
x2 y2 1 16 2 9
a 4, b 3, c 7
答:① 0 k 2 3 k
k 2 0 且 k 2 3 k 15 ② 3 k 0
课外思考:化简有没有第二种方法.
( x c) 2 y 2 ( x c) 2 y 2 2a (1)
F(0，±c)
c2=a2-b2
(a c 0, a b 0)
注: 共同点：椭圆的标准方程表示的是焦点在坐标轴上，中心 在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是1. 2 不同点：焦点在x轴的椭圆 x 项分母较大. y 2项分母较大. 焦点在y轴的椭圆 11
方程的推导
以直线F1F2为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x轴，建立坐标系。 y
问题2
根据上述讨论，如何判断椭圆的焦点的位置？ 若 x2 项的分母大，则其焦点就在 x 轴上，若 y2 项 的分母大，则其焦点就在 y 轴上，
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椭圆的定义
PF1 PF2 2a(2a 2c 0)
图形
y2 x 1( a b 0) 2 2 a b
2
标准方程 焦点坐标
a,b,c的关系
b2 x 2 a 2 y 2 a 2b2
两边除以 a 2b 2 得
a 2 c 2 0, 设 a 2 c 2 b2 (b 0),
x2 y2 2 1(a b 0). 2 a b
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2)椭圆的标准方程
F1
y
M
x2 y2 焦点在x轴： 2 2 1 a b 0 a b
直接平方，得： 移项，再平方 分子有理化，得： ((xx )c) y 2 2 xcx2 2 24 2 ( xx c) 22 yy][( x) ) 2 ] y 2 2 c 2 2 y ( 4 4)a y a [( 2 2 x ( c 2 c y 2 4a c 2a 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 ( yc c y [( x ( y ][( ) y 2 c ( x x cx a c)x( x )xcy )2 2 ]y 2 a 2 c a ) ) 两边再平方，得 2 2 [( x 2c() 22 y 222 2cx (2) [(x c)2 ( x][(x 2c)2 y y ] 2a x y c )]2 y 2 c) 整理得
x
MF 由椭圆的定义得，限制条件： 1 MF2 2a
代入坐标 MF1 ( x c) 2 y 2 , MF2 ( x c) 2 y 2
得方程 ( x c) 2 y 2 ( x c) 2 y 2 2a
（问题：下面怎样化简？）
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移项，再平方 ( x c ) 2 y 2 4a 2 4a ( x c ) 2 y 2 ( x c ) 2 y 2
我们通常把圆、椭圆、抛物线、双曲线 统称为圆锥曲线.
从今天开始,我们就来认识圆锥曲线的 方程及用方程来研究它们的几何性质.
圆锥曲线的来历 认识椭圆
2
1.问题情境
生 活 中 的 椭 圆 如何精确地设计、制作、建造出现实生活 中这些椭圆形的物件呢？
3
如何精确地设计、制作、建造出现实生活 中这些椭圆形的物件呢？
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先做实验2.2.1椭圆的定 义.gsp动画演示
4
椭圆的定义： 平面内到两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于 P F1F2）的点的轨迹叫椭圆.
定点F1、F2叫做椭圆的焦点.
说明
1.平面上这一个条件不可少;
F1
F2
2.椭圆上的点到两个焦点的距离之和为常数,记为2a； 两焦点之间的距离称为焦距，记为2c,即F1F2＝2c.
椭圆及其标准方程(一)
一、知识学习 引入
椭圆的定义 标准方程推 1 1 导方案1
二、例题分析
标准方程推 课堂练习 导方案2
三、课外思考
1
椭圆及其标准方程(一)
我们知道,用一个垂直于圆锥的轴的平面 截圆锥,截口曲线(截面与圆锥侧面的交线)是 一个圆,如果改变平面与圆锥轴线的夹角,会 得到什么曲线呢?
O
F1
O
O O
O 2 F
x
F1
x
方案一
方案二
原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单； (一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的 直线作为坐标轴.) (对称、“简
洁”)
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椭圆的标准方程的推导
解：取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂 直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图). y 设M(x, y)是椭圆上任意一 M 点，椭圆的焦距2c(c>0)，M 与F1和F2的距离的和等于正 常数2a (2a>2c) ，则F1、F2的 F2 F1 0 坐标分别是(c,0)、(c,0) .
y2 x2 2 1 (a b 0) 2 a b
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x y 2 1 (a b 0) a2 b y2 x2 2 1 (a b 0) 2 a b
问题1
2
2
y
（1）
M F1 0 y F2 O F1 x
（2）
F
2
x
椭圆的标准方程的特点：
1、方程的右边是常数1
2、方程的左边是和的形式，每一项的分子是 x2、y2，分母是一个正数。
F1(-c,0)，F2(c,0)
F1(0,-c)，F2(0,c)
a 2 c 2 b2 (a c 0, a b 0)
焦点位置的 判断
看分母的大小,焦点在分母 大的那一项对应的坐标轴上.
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课堂练习
x2 y2 已知椭圆的方程为： 1，请填空： 100 36 (-8,0)、(8,0) 6 (1) a=__，b=__，c=__，焦点坐标为___________，焦距等于__. 8 10 16
(1) 2(2),2得2 ( x4 c2) 222 y 2 2 2a 2 2 22 2
2 2 2 2 2 2 2 a 4 y2 c2cxccx2x 24 4a2 ( x2a2cx ( a2 2cy22 ca2 y 2 ( x2 2 a )2 4 2 a4 a x 2 y 2 cx x 2 ) c) a