红对勾·讲与练高中数学北师大必修五：课时作业 等差数列的综合问题

课时作业6 等差数列的综合问题
时间：45分钟 满分：100分
一、选择题(每小题5分，共35分)
1．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋a 7－a 10＝8，a 11－a 4＝4，则S 13等于( )
A ．152
B ．154
C ．156
D ．158
【答案】 C 【解析】
∵⎩⎨
⎧
a 3＋a 7－a 10＝8a 11－a 4＝4
，∴⎩⎨⎧
a 1－d ＝87d ＝4
，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝607
d ＝47
，∴S 13＝13a 1＋13×12
2d ＝156.
2．已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和，a 5＝19，S 5＝55，则过点P (3，a 3)，Q (4，a 4)的直线的斜率是( )
A ．4 B.14 C ．－4 D ．－14
【答案】 A
【解析】 设过P 、Q 的直线斜率为k ， 则k ＝a 4－a 3
4－3＝d ，
又∵a 5＝19，S 5＝55
∴(a 1＋19)×52＝55， ∴a 1＝3，d ＝4， ∴k ＝4.
3．已知{a n }是等差数列，a 1＋a 2＝4，a 7＋a 8＝28，则该数列前10项和S 10等于( )
A ．64
B ．100
C ．110
D ．120
【答案】 B
【解析】 由a 1＋a 2＝4，a 7＋a 8＝28，得d ＝2.
所以S 10＝10(a 1＋a 10)2＝10(a 1＋a 2＋8d )2＝10×(4＋8×2)2＝100，故选B.
4．在等差数列{a n }中，其前n 项和为S n .若a 2，a 10是方程x 2＋12x －8＝0的两个根，那么S 11的值为( )
A ．44
B ．－44
C ．66
D ．－66
【答案】 D
【解析】 ∵a 2＋a 10＝－12，∴S 11＝11×(a 1＋a 11)2＝11×(a 2＋a 10)2＝11×(－12)
2
＝－66. 5．数列{a n }中，a 2＝2，a 6＝0，且数列{1a n ＋1}是等差数列，则a 4
＝( )
A.12
B.13
C.14
D.16
【答案】 A
【解析】 ∵a 2＝2，a 6＝0， ∴1a 2＋1＝13，1a 6＋1＝1， ∴{1a n ＋1}的公差为16， ∴1a n ＋1＝13＋(n －2)×16＝n 6， ∴1a 4＋1＝23， ∴a 4＝12.
6．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99.以S n
表示{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n 是( )
A ．21
B ．20
C ．19
D ．18
【答案】 B
【解析】 ∵a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝105，∴a 3＝35， a 2＋a 4＋a 6＝3a 4＝99，∴a 4＝33，∴d ＝－2，∴a 1＝39. ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－2n ＋41，
∴S n ＝n (a 1＋a n )
2
＝－n 2＋40n ＝－(n －20)2
＋400.
故当n ＝20时，S n 取最大值400.
7．已知等差数列{a n }共有2n ＋1项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则a n ＋1＝( )
A ．30
B ．29
C ．28
D ．27
【答案】 B
【解析】 a n ＋1＝S 奇－S 偶＝290－261＝29. 二、填空题(每小题5分，共15分)
8．在等差数列{a n }中，若a 4＋a 6＝20，则S 9的值为________． 【答案】 90
【解析】 S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9(a 4＋a 6)2
＝9×20
2＝90. 9．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n ，那么它的通项公式为a n
＝________.
【答案】 2n
【解析】 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(n 2＋n )－[(n －1)2＋(n －1)]＝2n ，a 1＝2也符合上式，∴a n ＝2n .
10．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 5＝5a 3，则S 9S 5＝________.
【答案】 9
【解析】 ∵{a n }为等差数列，∴S 9
S 5＝9(a 1＋a 9)
2
5(a 1＋a 5)2
＝9(a 5＋a 5)5(a 3＋a 3)
＝9a 55a 3＝
9.
三、解答题(共50分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
11．(15分)下表给出一个“等差数阵”
ij
(1)写出a45的值；
(2)写出a ij的计算公式．
【解析】(1)∵每行都成等差数列，
∴a15＝a11＋4(a12－a11)＝16.
a25＝a21＋4(a22－a21)＝27，
又∵每列都成等差数列，
∴a45＝a15＋3(a25－a15)＝49.
(2)解法一：该等差数列的第1行是首项为4，公差为3的等差数列，故a1j＝4＋3(j－1)．
第2行是首项为7，公差为5的等差数列，a2j＝7＋5(j－1)，
…，
第i行是首项为4＋3(i－1)，公差为2i＋1的等差数列，因此
a ij＝4＋3(i－1)＋(2i＋1)(j－1)
＝2ij＋i＋j＝i(2j＋1)＋j.
解法二：第一列是首项a11＝4，公差d＝a21－a11＝7－4＝3的等差数列．
∴通项a i1＝4＋3(i－1)＝3i＋1.
第二列是首项a12＝7，公差d′＝a22－a12＝12－7＝5的等差数列．∴a i2＝7＋5(i－1)＝5i＋2.
∵a i1，a i2，a i3，…，a ij，…，构成首项a i1＝3i＋1，公差d1＝a i2－a i1＝(5i＋2)－(3i＋1)＝2i＋1的等差数列，
∴a ij＝a i1＋(j－1)d1＝i＋j＋2ij.
12．(15分)已知数列{a n}为等差数列，其前12项和为354，在前12项中，偶数项之和与奇数项之和的比为3227，求这个数列的通项公式．
【解析】解法一：由等差数列的性质可知，奇数项a1，a3，a5，…，a11与偶数项a2，a4，a6，…，a12仍然成等差数列，设{a n}的首项为a1，公差为d，则
S偶＝a2×6＋6×5
2×2d＝6a1
＋36d，S奇＝a1×6＋6×5
2×2d＝6a1
＋30d，
∴⎩⎨⎧
12a 1＋66d ＝354，6a 1＋36d 6a 1
＋30d
＝32
27，
解得⎩⎨
⎧
a 1＝2，d ＝5.
∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝5n －3.
解法二：设奇数项与偶数项的和分别为S 奇，S 偶，
∴⎩⎨⎧
S 偶＋S 奇＝354，S 偶
S
奇
＝3227.∴⎩⎨
⎧
S 偶＝192，S 奇＝162.
∴d ＝192－1626
＝5. 又∵S 奇＝(a 1＋a 11)×6
2＝3(2a 1＋10d )＝162， ∴a 1＝2.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝5n －3.
13．(20分)甲、乙两物体分别从相距70m 的两处同时相向运动．甲第1分钟走2m ，以后每分钟比前1分钟多走1m ，乙每分钟走5m.
(1)甲、乙开始运动几分钟后第一次相遇？
(2)如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1m ，乙继续每分钟走5m ，那么开始运动几分钟后第二次相遇？
【解析】 (1)设甲、乙运动开始n 分钟后第一次相遇，依题意，有
2n ＋n (n －1)
2＋5n ＝70.
整理，得n 2＋13n －140＝0，解得n ＝7，或n ＝－20(舍去)． ∴甲、乙开始运动7分钟后第一次相遇．
(2)设m 分钟后第二次相遇，依题意有 2m ＋m (m －1)2＋5m ＝3×70， 整理得m 2＋13m －6×70＝0， 解得m ＝15，或m ＝－28(舍去)． ∴开始运动15分钟后第二次相遇．。