【数学】江苏省南通中学2014-2015学年高一上学期期末考试

南通中学2014-2015学年高一上学期期末考试
数学试题
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填空在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1． 若角135°的终边上有一点(一4，a )，则a 的值是 ．4
2． 若()sin 6f x x πω⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭的最小正周期是π，其中0>ω，则ω的值是 ．2
3． 化简：sin13cos17sin17cos13︒︒+︒︒= ．
1
2
4． 已知向量(14,0),(2,AB AC ==则AB AC 与的夹角的大小为 ．4
π
5． 已知sin tan 0θθ⋅<,那么角θ是第 象限角.二或三
6． 已知向量()1,1=a ，()2,n =b ，若+=-a b a b ，则n = ．2- 7． ()()1tan11tan 44+︒+︒的值为 ．2
8． 下把函数3sin 23y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的图象向右平移6π个单位长度得到的函数图象解析式为f (x )=
．3sin 2x
9． 函数在()sin f x x a =-，[,]3
x π
π∈上有2个零点，则实数a 的取值范围 ．
10．已知函数()sin tan 1f x a x b x =++，满足()73f π=，则()3
f π
-= ．-5
11. 在ΔABC 中，有命题：
①AB AC BC -=； ②0AB BC CA ++=；
③若()()0AB AC AB AC +⋅-=，则ΔABC 为等腰三角形； ④若ΔABC 为直角三角形，则0AC AB ⋅=. 上述命题正确的是 （填序号）．②③
12．已知函数tan
2
x
y =则函数的定义域是 ．{}44x x x π-≤≤≠±且 13．已知2a =,2b =,a 与b 的夹角为45︒,且()
b a a λ-⊥,则实数λ的值为 ．2 14．在ΔABC 中， 5
12
B π∠=
，D 是BC 边上任意一点（D 与B 、C 不重合）
，且2AC +
22
BC AD -=2BD DC AC CB ⋅-⋅，则A ∠等于 ．
6
π
二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分14分）
已知向量=(cos ,1)a α－，(2,1sin )b α=+，且1a b ⋅=-.
(1)求的值； (2)求2sin 3cos 4sin 9cos αα
αα
--的值.
解：(1)因为，
即．
显然，，所以． (2)2sin 3cos 4sin 9cos αααα--=2tan 3223
14tan 9429
αα-⨯-==--⨯-；
16．（本小题满分14分）
已知(1,2)a =，(3,2)b =-, 当k 为何值时 (1)ka b +与3a b -垂直？
(2)ka b +与3a b -平行？平行时它们是同向还是反向？
解：(1,2)(3,2)(3,22)ka b k k k +=+-=-+；3(1,2)3(3,2)(10,4)a b -=--=- (1)()ka b +⊥(3)a b -，得
()ka b +·(3)10(3)4(22)2380a b k k k -=--+=-=，19k =
(1)()//ka b +(3)a b -，得4(3)10(22)k k --=+，1
3
k =- 此时1041
(,)(10,4)333
ka b +=-
=--，所以方向相反. 17．（本小题满分14分）
已知函数()sin()f x A x b ωϕ=++（0A >，0>ω，2
π
ϕ<）的图像如图所示
(1)求出函数()f x 的解析式； (2)若将函数()f x 的图像向右移动
3
π
个单位得到函数
()y g x =的图像，求出函数()y g x =的单调增区间及
对称中心.
解：（1） 6(2)42A --=
= 6(2)
22
b +-== 42()2233T πππ=--= 4T π= 12
ω= 1()4sin()223
f x x π
=++
（2） 1()4sin()226
g x x π
=++
增区间 1222262k x k πππ
ππ-+≤+≤+ k ∈Z
424433
k x k ππ
⇒-+π≤≤+πk ∈Z ；
增区间 42[4,4]33
k k ππππ
-++k ∈Z
126x k ππ+= k Z ∈； 23
x k ππ
=-+k ∈Z 对称中心(2,2)3
k π
π-+k ∈Z
18．（本小题满分16分）
已知(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=，且7
||7
a b -=
. (1)求()()sin cos 2sin cos 22ππαπβπαβ⎛⎫⎛
⎫---+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭的值；
(2)若1cos 7α=，且02
π
βα<<<，求β的值．
22211
||,(cos cos )(sin sin )77
1
22(cos cos sin sin ),
7
13
cos().
14
a b αβαβαβαβαβ-=-+-=
-+=-=解：(1)由条件得即所以故
(2)
0,(0,)22
113
cos ,cos()714sin )sin sin[()]sin cos()cos sin()131147(0,),.
2
3
ππ
βααβααβααββααβαα
βααβππββ<<<
∴-∈=-=
∴=-=
=--=---=
-=∈∴=
19．（本小题满分16分）
某休闲农庄有一块长方形鱼塘ABCD ，AB =50米，BC =米，为了便于游客休闲散 步，该农庄决定在鱼塘内建3条如图所示的观光走廊OE 、EF 和OF ，考虑到整体规划，
要求O 是AB 的中点，点E 在边BC 上，点F 在边AD 上，且∠EOF =90°． (1)设∠BOE =α，试将OEF ∆的周长l 表示成α
的函数关系式，并求出此函数的定义域； (2)经核算，三条走廊每米建设费用均为4000元，试问如何设计才能使建设总费用最低
并求出最低总费用．
解：(1)∵在Rt △BOE 中，OB=25, ∠B=90°，∠BOE=α，∴OE=25
cos α
. 在Rt △AOF 中，OA=25, ∠A=90°，∠AFO=α，∴OF=25
sin α
. 又∠EOF=90°，
∴EF====25
cos sin αα
, ∴252525cos sin cos sin l OE OF EF ααα
α
=++=
++， 即25(sin cos 1)cos sin l αααα
++=．
当点F 在点D 时，这时角α最小，求得此时α=π
6；
当点E 在C 点时，这时角α最大，求得此时α=π
3
．
故此函数的定义域为ππ[,]63
.
(2)由题意知，要求建设总费用最低，只要求OEF ∆的周长l 的最小值即可.
由（1）得，25(sin cos 1)cos sin l αααα++=
，ππ
[,]63
α∈
设sin cos t αα+=，则21
sin cos 2
t αα-⋅=，
∴225(sin cos 1)25(1)50
1cos sin 12
t l t t αααα+++===--
由，5ππ7π12412α≤+≤
t ≤≤
11t ≤-≤，
1
111t +≤≤+-， 当π
4
α=，即BE=25
时，min 1)l =+,
所以当BE =AF =25
米时，铺路总费用最低，最低总费用为1)+元. 20．（本小题满分16分）
如图，已知扇形OAB 的周长2+23π，面积为3
π
，并且1OA OB +=.
(1)求AOB ∠的大小；
(2)如图所示，当点C 在以O 为圆心的圆弧上变动．若其中x 、
y ∈R ，求xy 的最大值与最小值的和；
(3)若点C 、D 在以O 为圆心的圆上，且OC DO =．问BC 与AD 的夹角θ取何值时，
BC ⋅AD 的值最大？并求出这个最大值．
解：（1）设扇形半径为r ，圆心角AOB α∠=
由22223123r r r αππα⎧+=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得123r πα=⎧⎪⎨=⎪⎩或3
6r παπ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 又当3
r π
=
、6
απ
=
时，1OA OB +=不成立；当1r =、23
π
α=
时，1OA OB +
=成立，
所以23
AOB π∠=
（2）如图所示，建立直角坐标系，则A （1，0），B 12⎛-
⎝，C ()cos ,sin θθ．
由
得cos 2
y
x θ=-
，3sin 2y θ=．
即cos ,x y θθθ=+
=．
则21
cos sin(2)363xy πθθθθ⎛⎫=+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭
又20,3θπ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，则72,666πππθ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，故()max xy +()min 100xy =+=．。