3.1数系的扩充与复数的概念
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笛卡尔 (R.Descartes,1596-1661)
虚数
1777年，瑞士数学 家欧拉在其论文中 首次用符号“i ” 表 示 称为虚数单位.
欧拉(L.Euler,1707~1783)
数集再次扩充
叫做虚数单位， 并规定： 引入一个新数i，
（1）i2=-1;
（2）实数可以与i进行四则运算，进行
四则运算时，原有的加法、乘法运算律 仍然成立．
二.复数的有关概念
1.复数的定义 把形如 a+bi(a,b∈R)的数叫做复数, 通常用z表示.
z = a + bi (a,b∈R)
实部 虚部 其中i称为虚数单位.
全体复数组成的集合叫做复数集, 一般用C表示 .
C={a+bi | a,b∈R}
例1. 指出下列复数的实部和虚部:
4 (1)4; 0 (5)0;
实数集能否继续扩充呢?
请解下面方程
在实数范围内有解吗？
历史回顾
1484年，法国数学家舒开 （Chuquet,1445--1500）在其《算数三 篇》中，解方程式
得根：
他声明这个根是不可能的.
历史回顾
意大利波洛尼 亚大学数学教授卡 尔丹在这个问题上 作出了重要贡献.
卡尔丹(Cardano,1501-1576)
数系的扩充和复数的概念
一.数的发展简史和数系的扩充 1.客观实际的需要
数
学
内
部 客
需 要
际
实
观
？ 1 1
2.数学内部发展的矛盾
自然数集
数 系 的 扩 充
负整数
整数集
分数
R
Q Z
N
Βιβλιοθήκη Baidu
有理数集
无理数
实数集
自然数
• 自然数是“数”出来的，其历史最早可以 追溯到五万年前.
负数
负数是“欠”出来 的.它是由于借贷关 系中量的不同意义 而产生的.我国三国 时期数学家刘徽 （公元250年前后） 首先给出了负数的 定义、记法和加减 运算法则.
毕达哥拉斯(约公元前 560——480年）
数集扩充到实数集
思考：你能总结数系的扩充需要遵循哪些原则吗？
解决了某些原数集中不能解决的问题；
添加新数,使原数集是新数集的子集； 在新的数集中,原有的运算及其性质仍然适用.
正数与负数， 有理数与无理数， 都是具有“实际意义的量”， 称之为“实数”，构成实数系统. 实数系统是一个没有缝隙的连续系统.
类 比
若zC ,则z2≥0.
（反例:z=i）
②若a, bR , a2+b2=0 , 则a=b=0.
类 比
若z1,z2 C ,z12 +z22 =0 ,则z1 =z2=0.
(反例: z1 =i, z2=1)
历史回顾
1545年，卡尔丹在《大衍术》中写道： “要把10分成两部分，使二者乘积为40， 这是不可能的，不过我却用下列方式解 决了.”
40 5 15 5 15
能作为“数”吗？它表示什么 意义呢？
虚数
虚数是“算”出来 的. 1637年，法国数学 家笛卡尔把这样的 数叫做“虚数” （“想象中 (imaginary)的数”）.
刘徽（公元250年前后）
数集扩充到整数集
分数（有理数）
• 分数（有理数）是 “分”出来的.早在 古希腊时期，人类 已经对有理数有了 非常清楚的认识， 而且他们认为有理 数就是所有的数.
数集扩充到有理数集
边长为1的正方形的对角线长 度为多少？
1
？
1
无理数
无理数是“推”出来 的.公元前六世纪，古 希腊毕达哥拉斯学派 利用毕达哥拉斯定理， 发现了“无理数”. “无理数”的承认 （公元前4世纪）是数 学发展史上的一个里 程碑.
实部与虚部分别相等.
a+bi=c+di (a, b,c,dR)
a=c且b=d .
例3.已知复数z1= (x + y) + (x－2y)i ,
复数z2= (2x－5) + (3x+y)i ,
若z1 = z2 ,求实数x,y的值.
说明: 复数问题
转 化
实数问题
课堂小结
虚数的引入 复 数 z = a + bi (a,b∈R)
复数的分类
当b=0时z为实数; 当b0时z为虚数
(此时,当a =0时z为纯虚数).
复数的相等
a+bi=c+di (a, b,c,dR)
a=c b=d
课后作业
1.课本P52习题 1，2，3
2.思考:复数可以比较大小吗？ 3.利用网络等资源了解复数的实际应用.
探究: ①若aR,则a2 ≥0.
0
实数 4 实数2 3
R C
自然数集
负整数
数 系 的 扩 充
整数集
分数
无理数集
无理数
R C
Q Z
N
实数集
虚数 ?
复数集 ?
例2.实数m取什么值时，复数 z=m+1+(m-1)i 是: (1)实数？ (2)虚数？(3)纯虚数？
说明: 根据复数的分类,抓住复数的 实部和虚部列式.
三.复数的相等 规定: 如果两个复数的实部与虚部分别相等, 则我们就说这两个复数相等. 即: 两个复数相等当且仅当这两个复数的
解 复数 实部
(2)2 3i
1 (6) i 2
4 4 0
;
;
(3)5i 2 ; (4) 6i (7) 2 3 .
0 0 0
1 i 2
;
2 3i 5i 2 6i
2 3
2 3
2
-3
2
5
0 -6
0
1 2
虚部
0
例1. 指出下列复数的实部和虚部:
4 (1)4; 0 (5)0;
(2)2 3i
1 (6) i 2
;
;
(3)5i 2 ; (4) 6i (7) 2 3 .
;
4 0
2 3
5i 2 2 3i 1 i 6i 2
2.复数的分类 实数(b=0), 复数z=a+bi （a,bR） 虚数(b0) (特别地当a =0时为纯虚数).
复
数
虚数 5i 虚数 2 1 纯虚数 2 3i 纯虚数6i i 2 {虚数}= CR
虚数
1777年，瑞士数学 家欧拉在其论文中 首次用符号“i ” 表 示 称为虚数单位.
欧拉(L.Euler,1707~1783)
数集再次扩充
叫做虚数单位， 并规定： 引入一个新数i，
（1）i2=-1;
（2）实数可以与i进行四则运算，进行
四则运算时，原有的加法、乘法运算律 仍然成立．
二.复数的有关概念
1.复数的定义 把形如 a+bi(a,b∈R)的数叫做复数, 通常用z表示.
z = a + bi (a,b∈R)
实部 虚部 其中i称为虚数单位.
全体复数组成的集合叫做复数集, 一般用C表示 .
C={a+bi | a,b∈R}
例1. 指出下列复数的实部和虚部:
4 (1)4; 0 (5)0;
实数集能否继续扩充呢?
请解下面方程
在实数范围内有解吗？
历史回顾
1484年，法国数学家舒开 （Chuquet,1445--1500）在其《算数三 篇》中，解方程式
得根：
他声明这个根是不可能的.
历史回顾
意大利波洛尼 亚大学数学教授卡 尔丹在这个问题上 作出了重要贡献.
卡尔丹(Cardano,1501-1576)
数系的扩充和复数的概念
一.数的发展简史和数系的扩充 1.客观实际的需要
数
学
内
部 客
需 要
际
实
观
？ 1 1
2.数学内部发展的矛盾
自然数集
数 系 的 扩 充
负整数
整数集
分数
R
Q Z
N
Βιβλιοθήκη Baidu
有理数集
无理数
实数集
自然数
• 自然数是“数”出来的，其历史最早可以 追溯到五万年前.
负数
负数是“欠”出来 的.它是由于借贷关 系中量的不同意义 而产生的.我国三国 时期数学家刘徽 （公元250年前后） 首先给出了负数的 定义、记法和加减 运算法则.
毕达哥拉斯(约公元前 560——480年）
数集扩充到实数集
思考：你能总结数系的扩充需要遵循哪些原则吗？
解决了某些原数集中不能解决的问题；
添加新数,使原数集是新数集的子集； 在新的数集中,原有的运算及其性质仍然适用.
正数与负数， 有理数与无理数， 都是具有“实际意义的量”， 称之为“实数”，构成实数系统. 实数系统是一个没有缝隙的连续系统.
类 比
若zC ,则z2≥0.
（反例:z=i）
②若a, bR , a2+b2=0 , 则a=b=0.
类 比
若z1,z2 C ,z12 +z22 =0 ,则z1 =z2=0.
(反例: z1 =i, z2=1)
历史回顾
1545年，卡尔丹在《大衍术》中写道： “要把10分成两部分，使二者乘积为40， 这是不可能的，不过我却用下列方式解 决了.”
40 5 15 5 15
能作为“数”吗？它表示什么 意义呢？
虚数
虚数是“算”出来 的. 1637年，法国数学 家笛卡尔把这样的 数叫做“虚数” （“想象中 (imaginary)的数”）.
刘徽（公元250年前后）
数集扩充到整数集
分数（有理数）
• 分数（有理数）是 “分”出来的.早在 古希腊时期，人类 已经对有理数有了 非常清楚的认识， 而且他们认为有理 数就是所有的数.
数集扩充到有理数集
边长为1的正方形的对角线长 度为多少？
1
？
1
无理数
无理数是“推”出来 的.公元前六世纪，古 希腊毕达哥拉斯学派 利用毕达哥拉斯定理， 发现了“无理数”. “无理数”的承认 （公元前4世纪）是数 学发展史上的一个里 程碑.
实部与虚部分别相等.
a+bi=c+di (a, b,c,dR)
a=c且b=d .
例3.已知复数z1= (x + y) + (x－2y)i ,
复数z2= (2x－5) + (3x+y)i ,
若z1 = z2 ,求实数x,y的值.
说明: 复数问题
转 化
实数问题
课堂小结
虚数的引入 复 数 z = a + bi (a,b∈R)
复数的分类
当b=0时z为实数; 当b0时z为虚数
(此时,当a =0时z为纯虚数).
复数的相等
a+bi=c+di (a, b,c,dR)
a=c b=d
课后作业
1.课本P52习题 1，2，3
2.思考:复数可以比较大小吗？ 3.利用网络等资源了解复数的实际应用.
探究: ①若aR,则a2 ≥0.
0
实数 4 实数2 3
R C
自然数集
负整数
数 系 的 扩 充
整数集
分数
无理数集
无理数
R C
Q Z
N
实数集
虚数 ?
复数集 ?
例2.实数m取什么值时，复数 z=m+1+(m-1)i 是: (1)实数？ (2)虚数？(3)纯虚数？
说明: 根据复数的分类,抓住复数的 实部和虚部列式.
三.复数的相等 规定: 如果两个复数的实部与虚部分别相等, 则我们就说这两个复数相等. 即: 两个复数相等当且仅当这两个复数的
解 复数 实部
(2)2 3i
1 (6) i 2
4 4 0
;
;
(3)5i 2 ; (4) 6i (7) 2 3 .
0 0 0
1 i 2
;
2 3i 5i 2 6i
2 3
2 3
2
-3
2
5
0 -6
0
1 2
虚部
0
例1. 指出下列复数的实部和虚部:
4 (1)4; 0 (5)0;
(2)2 3i
1 (6) i 2
;
;
(3)5i 2 ; (4) 6i (7) 2 3 .
;
4 0
2 3
5i 2 2 3i 1 i 6i 2
2.复数的分类 实数(b=0), 复数z=a+bi （a,bR） 虚数(b0) (特别地当a =0时为纯虚数).
复
数
虚数 5i 虚数 2 1 纯虚数 2 3i 纯虚数6i i 2 {虚数}= CR