2019届江苏省南通中学高三10月阶段考试数学试题
精品解析：【全国市级联考】江苏省南通市如东县、徐州市丰县2019届高三10月联考数学试题解析(解析版)
一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.1.已知集合{}|03,A x x x R =<∈≤，{}|12,B x x x R =-∈≤≤，则A ∪B ＝ ▲ ． 【答案】[－1，3] 【解析】试题分析：A ∪B ＝{}{}|03,|12,x x x R x x x R <∈-∈≤≤≤＝[－1，3]考点：集合运算 【方法点睛】1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍． 2.函数1()lg(1)1f x x x=++-的定义域是 ▲ ． 【答案】()()1,11,-⋃+∞考点：定义域3.命题“(0,)2x π∀∈，sin 1x <”的否定是 ▲ ．【答案】()0,2x π∃∈，sin 1≥ 【解析】试题分析：“(0,)2x π∀∈，sin 1x <”的否定是()0,2x π∃∈，sin 1≥考点：命题否定【方法点睛】(1)对全称(存在性)命题进行否定的两步操作：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定.(2)判定全称命题“∀x ∈M ，p(x)”是真命题，需要对集合M 中的每个元素x ，证明p(x)成立；要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合M 中的一个特殊值x 0，使p(x 0)不成立即可.要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个x ＝x 0，使p(x 0)成立即可，否则就是假命题. 4.设幂函数()f x kx α=的图象经过点()4,2，则k α+= ▲ ． 【答案】32【解析】试题分析：由题意得11,422k αα==⇒=∴32k α+=考点：幂函数定义5.计算121(lg lg 25)1004--÷= ▲ ．【答案】－20考点：对数式运算6.函数()2log f x x =在点()1,2A 处切线的斜率为 ▲ ． 【答案】1ln 2【解析】 试题分析：()()111ln 2ln 2f x k f x ''=∴== 考点：导数几何意义【思路点睛】(1)求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点.(2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.7.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x +=，且(0,2)x ∈时2()1f x x =+，则(7)f 的值为 ▲ ． 【答案】2- 【解析】试题分析：(4)()T 4f x f x +=⇒=,所以(7)(1)(1) 2.f f f =-=-=- 考点：利用函数性质求值8.已知()f x 为定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()22x f x =-，则不等式()16f x -≤的解集是 ▲ ． 【答案】[]2,4-考点：利用函数性质解不等式9.对于函数(),,y f x x R =∈,“|()|y f x =的图象关于y 轴对称”是“()y f x =是奇函数” 的 ▲ 条件． （填“充分不必要”， “必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”） 【答案】必要而不充分 【解析】试题分析：充分性不成立，如2y x =图象关于y 轴对称，但不是奇函数；必要性成立，()y f x =是奇函数，|()||()||()|f x f x f x -=-=，所以|()|y f x =的图象关于y 轴对称.考点：充要关系【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．10.已知1a b >>，若10log log 3a b b a +=，b a a b =，则a b += ▲ ．【答案】【解析】试题分析：因为1a b >>，所以log 1b a >，又101101log log log log 33log 33a b b b b b a a a a +=⇒+=⇒=或（舍），因此3a b =，因为b a a b =，所以3333,1b b b b b b b b a =⇒=>⇒==，a b += 考点：指对数式运算11.已知函数322()7f x x ax bx a a =++--在1x =处取得极小值10，则ba的值为 ▲ ． 【答案】12-考点：函数极值【方法点睛】函数极值问题的常见类型及解题策略(1)知图判断函数极值的情况.先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号.(2)已知函数求极值.求f ′(x )―→求方程f ′(x )＝0的根―→列表检验f ′(x )在f ′(x )＝0的根的附近两侧的符号―→下结论.(3)已知极值求参数.若函数f (x )在点(x 0，y 0)处取得极值，则f ′(x 0)＝0，且在该点左、右两侧的导数值符号相反.12.定义在R 上的可导函数()f x ，已知()f x y e=′的图象如图所示，则()y f x =的增区间是▲ ．【答案】（﹣∞，2） 【解析】 试题分析：由()21()0f x xef x '≤≥⇒≥′时，()21()0f x x ef x '><⇒<′时，所以()y f x =的增区间是（﹣∞，2） 考点：函数单调区间13.若实数,,,a b c d 满足24ln 220b a a c d +-+-+=，则()()22a cb d -+-的最小值为 ▲ ． 【答案】5考点：利用导数求最值【方法点睛】利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用f′(x)＞0或f′(x)＜0求单调区间；第二步：解f′(x)＝0得两个根x 1、x 2；第三步：比较两根同区间端点的大小；第四步：求极值；第五步：比较极值同端点值的大小．14.已知函数()()31,ln 4f x x mx g x x =++=-.{}min ,a b 表示,a b 中的最小值，若函数()()(){}()min ,0h x f x g x x =>恰有三个零点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．【答案】()53,44--【解析】试题分析：()23f x x m '=+，因为()10g =，所以要使()()(){}()min ,0h x f x g x x =>恰有三个零点，须满足()10,0,0f f m ><<，解得51534244m m >->⇒-<<- 考点：函数零点【思路点睛】涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.(本小题满分14分)设集合12432x A x -⎧⎫=⎨⎬⎩⎭≤≤，{}()222300B x x mx m m =+-<>.(1) 若2m =，求A B ⋂;(2) 若B A ⊇，求实数m 的取值范围．【答案】(1) {}22x x -<≤ (2) 203m <≤(2) ()3,B m m =-，,要使A B ⊆只要32253m m m --⎧⇒⎨⎩≤≤≥， ……………………………………………………12分 所以203m <≤综上，知m 的取值范围是：203m <≤……………………………………………14分考点：集合运算【易错点睛】(1)认清元素的属性，解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.(2)注意元素的互异性.在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误.(3)防范空集.在解决有关A ∩B ＝∅，A ⊆B 等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑∅是否成立，以防漏解. 16.(本小题满分14分)已知函数()33x x f x λ-=+⋅()R λ∈(1) 当1λ=时，试判断函数()33x x f x λ-=+⋅的奇偶性，并证明你的结论； (2) 若不等式()6f x ≤在[]0,2x ∈上恒成立，求实数λ的取值范围． 【答案】(1) 偶函数(2) 27λ-≤(2) 由于()6f x ≤得336x x λ-+⋅≤，即363xxλ+≤， 令[]()31,9xt t =∈，原不等式等价于6t t λ+≤在[]1,9t ∈上恒成立，………………………………………8分亦即26t t λ-+≤在[]1,9t ∈上恒成立 ………………………………………10分令()26g t t t =-+，[]1,9t ∈当9t =时，()()min 927g t g ==-， ………………………………………12分 所以27λ-≤ ………………………………………14分 考点：函数奇偶性，不等式恒成立问题【思路点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法. 17.(本小题满分14分)已知函数()1ln ,f x a x a R x=+∈． (1) 求函数()f x 的单调递减区间；(2) 当1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的最小值是0，求实数a 的值．【答案】(1) 0a ≤时，()f x 的单调递减区间为()0,+∞，0a >时，()f x 的单调递减区间为10,a ⎛⎫⎪⎝⎭．(2) 2ln 2a =则()f x 的单调递减区间为()0,+∞， ………………………………………4分0a >时，令()0f x <′得：10x a<<， 则()f x 的单调递减区间为10,a ⎛⎫⎪⎝⎭． ………………………………………6分①1a ≤时，()f x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，min ()(1)10f x f ==≠，无解 ………………………………………8分 ②2a ≥时， ()f x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，()min 112ln 022f x f a ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭，解得：22ln 2a =≥，适合题意； ………………………………………12分 ③12a <<时，()f x 在11,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，1,1a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，()min 11ln 0f x f a a a a ⎛⎫∴==+= ⎪⎝⎭，解得：a e =，舍去；综上：2ln 2a =． ………………………………………14分考点：利用导数求函数单调区间，利用导数研究函数最值 【思路点睛】导数与函数的单调性(1)函数单调性的判定方法：设函数y ＝f(x)在某个区间内可导，如果f′(x)＞0，则 y ＝f(x)在该区间为增函数；如果f′(x)＜0，则y ＝f(x)在该区间为减函数.(2)函数单调性问题包括：①求函数的单调区间，常常通过求导，转化为解方程或不等式，常用到分类讨论思想；②利用单调性证明不等式或比较大小，常用构造函数法. 18.(本小题满分16分)在互联网时代，网校培训已经成为青年学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量()h x （单位：千套）与销售价格x （单位：元/套）满足的关系式()()()h x f x g x =+（37x <<，m 为常数），其中()f x 与()3x -成反比，()g x 与()7x -的平方成正比，已知销售价格为5元/套时，每日可售出套题21千套，销售价格为3.5元/套时，每日可售出套题69千套. (1) 求()h x 的表达式；(2) 假设网校的员工工资，办公等所有开销折合为每套题3元（只考虑销售出的套数），试确定销售价格x 的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．（保留1位小数） 【答案】(1) ()()210473h x x x =+-- （37x <<）(2) 13 4.33x =≈试题解析：(1) 因为()f x 与3x -成反比，()g x 与7x -的平方成正比， 所以可设：()13k f x x =-，()()227g x k x =-，12.00k k ≠≠，， 则()()()()21273k h x f x g x k x x =+=+--则 ………………………………………2分 因为销售价格为5元/套时，每日可售出套题21千套，销售价格为2.5元/套时，每日可售出套题69千套所以，()()521, 3.569h h ==，即12124212492694k k k k ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得：12104k k =⎧⎨=⎩， ……………6分所以，()()210473h x x x =+-- （37x <<） ………………………………………8分 (2) 由（1）可知，套题每日的销售量()()210473h x x x =+--，答：当销售价格为4.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大.…………16分 考点：利用导数求函数最值 19.(本小题满分16分)已知函数()133x x af x b+-+=+．(1) 当1a b ==时，求满足()3x f x =的x 的取值； (2) 若函数()f x 是定义在R 上的奇函数①存在R t ∈，不等式()()2222f t t f t k -<-有解，求k 的取值范围；②若函数()g x 满足()()()12333x xf xg x -⋅+=-⎡⎤⎣⎦，若对任意x R ∈,不等式(2)()11g x m g x ⋅-≥恒成立，求实数m 的最大值. 【答案】(1) 1x =- (2) ①()1,-+∞，②6 【解析】试题分析：(1)根据+1333x x =⋅ ，可将方程()3xf x =转化为一元二次方程：()2332310x x ⋅+⋅-=，再根据指数函数范围可得133x=，解得1x =- (2) ①先根据函数奇偶性确定a b ，值：1,3a b ==，再利用单调性定义确定其单调性：在R 上递减．最后根据单调性转化不等式()()2222f t t f t k -<-为2222t t t k ->-即(2) 因为()f x 是奇函数，所以()()0f x f x -+=，所以1133033x x x x a ab b-++-+-++=++ 化简并变形得：()()333260x xa b ab --++-=要使上式对任意的x 成立，则30260a b ab -=-=且解得：1133a a b b ⎧==-⎧⎪⎨⎨==-⎪⎩⎩或，因为()f x 的定义域是R ，所以13a b =-⎧⎨=-⎩舍去所以1,3a b ==， 所以()13133x x f x +-+=+ ………………………………………6分①()131********x x x f x +-+⎛⎫==-+ ⎪++⎝⎭对任意1212,,x x R x x ∈<有： ()()()()211212121222333331313131x x x x x x f x f x ⎛⎫-⎛⎫⎪-=-=⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭因为12x x <，所以21330x x ->，所以()()12f x f x >，因此()f x 在R 上递减． ………………………………………8分因为()()2222f t t f t k -<-，所以2222t t t k ->-，即220t t k +-<在R t ∈时有解 所以440t ∆=+>，解得：1t >-，所以k 的取值范围为()1,-+∞ ………………………………………10分②因为()()()12333x xf xg x -⋅+=-⎡⎤⎣⎦，所以()()3323x x g x f x --=-即()33x x g x -=+ ………………………………………12分令()9h t t t =+，()291h t t=-′， ()2,3t ∈时，()0h t <′，所以()h t 在()2,3上单调递减 ()3,t ∈+∞时，()0h t >′，所以()h t 在()3,+∞上单调递增所以()()min 36h t h ==，所以6m ≤所以，实数m 的最大值为6 ………………………………………16分 考点：利用函数性质解不等式，不等式恒成立问题【思路点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题。
最新中学高三10月月考数学试题(解析版)
2019届江苏省扬州中学高三10月月考数学试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题 1．已知全集，集合，则=________.2．命题“2,220x R x x ∀∈-+>”的否定是 3．已知虚数满足，则．4．“”是“”的________.条件.（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选择填空） 5．已知向量当三点共线时，实数的值为________.6．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若222,sin 3sin a b bc C B -==，则A =________．7．设函数满足，当时，，则=________.8．已知，，则的值为________． 9．已知函数的图象关于直线对称，且当时，若则由大到小的顺序是________.10．若函数的图象关于点对称，且在区间上是单调函数，则的值为_____________.11．已知函数若关于的方程恰有三个不同的实数解，则满足条件的所有实数的取值集合为________.12．已知点在所在平面内，且则取得最大值时线段的长度是________. 13．在中，若则的最大值为_______.14．已知定义在上的函数可以表示为一个偶函数与一个奇函数之和，设若方程无实根，则实数的取值范围是_________二、解答题15．已知命题指数函数在上单调递减，命题关于的方程的两个实根均大于3.若“或”为真，“且”为假，求实数的取值范围.16．函数在一个周期内的图象如图所示,为图象的最高点,、为图象与轴的交点,且为正三角形.(1)求的值及函数的值域；(2)若,且,求的值.此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号17．已知向量，，角，，为的内角，其所对的边分别为，，.（1）当取得最大值时，求角的大小；（2）在（1）成立的条件下，当时，求的取值范围.18．为丰富农村业余文化生活，决定在A,B,N三个村子的中间地带建造文化中心．通过测量，发现三个村子分别位于矩形ABCD的两个顶点A,B和以边AB的中心M为圆心，以MC长为半径的圆弧的中心N处，且AB＝8km，BC ＝km．经协商，文化服务中心拟建在与A,B等距离的O处，并建造三条道路AO,BO,NO与各村通达．若道路建设成本AO,BO 段为每公里万元，NO段为每公里a 万元，建设总费用为万元．（1）若三条道路建设的费用相同，求该文化中心离N村的距离；（2）若建设总费用最少，求该文化中心离N村的距离.19．设2()(f x x bx c b=++、)c R∈．（1）若()f x在[2,2]-上不单调，求b的取值范围；（2）若()||f x x≥对一切x R∈恒成立，求证：214b c+≤；（3）若对一切x R∈，有1()0f xx+≥，且2223()1xfx++的最大值为1，求b、c满足的条件．20．已知函数．（1）若函数的图象在处的切线经过点，求的值；（2）是否存在负整数，使函数的极大值为正值？若存在，求出所有负整数的值；若不存在，请说明理由；（3）设，求证：函数既有极大值，又有极小值21．已知矩阵A ＝，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α1＝，属于特征值1的一个特征向量为α2＝，求矩阵A，并写出A的逆矩阵．22．在长方体中，是棱的中点，点在棱上，且。
2019-2020学年江苏省南通中学高二(上)10月月考数学试卷
2019-2020学年江苏省南通中学高二（上）10月月考数学试卷试题数：22.满分：01.（单选题.5分）不等式（x-1）（x-3）＞0的解集为（ ） A.{x|x ＜1} B.{x|x ＞3} C.{x|x ＜1或x ＞3} D.{x|1＜x ＜3}2.（单选题.5分）在等差数列{a n }中.若a 1=4.a 5=12.则公差d=（ ） A.2 B.3 C.1 D.43.（单选题.5分）在数列{a n }中.已知a n = n 2+n−13 .n∈N*.则 193是数列中的第（ ）项.A.3B.4C.5D.64.（单选题.5分）已知等比数{a n }满足a 1a 7=3a 4a 3.则数列{a n }的公比q=（ ） A.2 B. 13C.3D. 125.（单选题.5分）已知数列（a n }中.a 1=2.a 2=5.a n+2=a n+1-a n .n∈N*.则a 2019=（ ） A.2 B.3 C.5 D.-26.（单选题.5分）某公司一年购买某种货物600吨.每次购买x 吨.运费为6万元/次.一年的总存储费用为4x 万元.则一年的总运费与总存储费用和最小为（ ） A.60万元C.200万元D.240万元7.（单选题.5分）已知正数x.y 满足x+ yx =2.且 ax +xy （a ＞0）的最小值为2.则a 的值为（ ） A. √3 B.2 C.1 D.38.（单选题.5分）《算法统宗》是明代程大位编纂的一部以实用为主的数学著作.共17卷.记载了各种生活问题的解法及口诀.很多问题都以诗歌形式呈现其中.行程减等歌：“三百七十八里关.初行健步不为难次日脚痛减一半.六朝才得到其关要见每朝行里数.请公仔细算相还？（意思是：两地相距378里.从一地出发.第一天健步如飞.从第二天起.每天只能走前一天的一半路程.走了六天才到另外地要知道走了多少路稈.请您仔细算算告诉我）则第一天走了（ ）里 A.96 B.192 C.184 D.929.（单选题.5分）平面直角坐标系xOy 中.P 是曲线y=x+ 3x（x≥1）上的一个动点.则点P 到直线x+y=0的距离的最小值是（ ） A. √3 B.4 C. √5 D.2 √310.（单选题.5分）在正项等比数列{a n }中.a 5= 12 .a 6+a 7=3．则满足a 1+a 2+a 3+…+a n ＞a 1a 2a 3…a n 的最大正整数n 的值为（ ） A.10 B.11 C.12 D.1311.（单选题.5分）已知函数f （x ）= {log 12(−x +1)−1，x ∈[−1，k]−2|x −1|，x ∈[k ，a] .若在在实数k 使得该函数的值域为[-2.0].则实数a 的取值范围是（ ）B.（ 12 .2] C.（ 34 .2） D.（ 34 .2]12.（单选题.5分）设{a n }是等比数列.公比q= √23.S n 为{a n }前n 项的和.记T n = 17S n −S 2na n+1.n∈N .设T n 0 为数列{T n }的最大项.则n 0=（ ） A.3 B.4 C.5 D.613.（填空题.5分）已知数列{a n }的前n 项和为S n .且a n =19-3n.则当n=___ .S n 有最大值___ ． 14.（填空题.5分）已知关于x 的不等式ax 2+bx+a 2+1＜0的解集是（-∞.-1]∪[2.+∞）.则a-b=___ ．15.（填空题.5分）已知a.b∈R .a+b=2.则 1a 2+1 + 1b 2+1 的最大值为___ ．16.（填空题.5分）已知函数y=f （x ）是定义在R 上恒不为0的单调函数.对任意的x.y∈R .总有f （x ）f （y ）=f （x+y ）成立.若数列{a n }的n 项和为S n .且满足a 1=f （0）. f (a n+1)=1f (3n+1−2a n )（n∈N *）.则S n =___ ．17.（问答题.8分）已知关于x 的不等式x 2-（a+2）x+2a ＜0． （1）当a=1时.解不等式； （2）当a∈R 时.解不等式．18.（问答题.10分）已知函数f （x ）=x 2+mx+n 的图象过点（1.3）.且f （-1+x ）=f （-1-x ）对任意实数都成立.函数y=g （x ）与y=f （x ）的图象关于原点对称． （1）求f （x ）与g （x ）的解析式；（2）若F （x ）=g （x ）-λf （x ）+λx 2在（-1.1]上是单调函数.求实数λ的取值范围．19.（问答题.12分）已知数列{a n}中.a1=1.前n项和S n= n+23a n．（1）求a2.a3；（2）求{a n}的通项公式．20.（问答题.0分）在△ABC中.内角A.B.C所对的边分别为a.b.c．已知bsinA=acos（B- π6）．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设a=2.c=3.求b和sin（2A-B）的值．21.（问答题.14分）某公司生产的某批产品的销售量P万件（生产量与销售量相等）与促销费用x万元满足P= x+24（其中0≤x≤a.a为正常数）．已知生产该产品还需投入成本6（P+ 1P）万元（不含促销费用）.产品的销售价格定为（4+ 20p）元/件．（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（2）促销费用投入多少万元时.该公司的利润最大？22.（问答题.14分）设数列{a n}.对任意n∈N*都有（kn+b）（a1+a n）+p=2（a1+a2…+a n）.（其中k、b、p是常数）．（1）当k=0.b=3.p=-4时.求a1+a2+a3+…+a n；（2）当k=1.b=0.p=0时.若a3=3.a9=15.求数列{a n}的通项公式；（3）若数列{a n}中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项.则称该数列是“封闭数列”．当k=1.b=0.p=0时.设S n是数列{a n}的前n项和.a2-a1=2.试问：是否存在这样的“封闭数列”{a n}.使得对任意n∈N*.都有S n≠0.且112＜1S1+1S2+1S3+⋯+1S n＜1118．若存在.求数列{a n}的首项a1的所有取值；若不存在.说明理由．2019-2020学年江苏省南通中学高二（上）10月月考数学试卷参考答案与试题解析试题数：22.满分：01.（单选题.5分）不等式（x-1）（x-3）＞0的解集为（）A.{x|x＜1}B.{x|x＞3}C.{x|x＜1或x＞3}D.{x|1＜x＜3}【正确答案】：C【解析】：先求出方程（x-1）（x-3）=0的根.再求出对应不等式的解集．【解答】：解：由方程（x-1）（x-3）=0.得x1=1.x2=3.所以不等式（x-1）（x-3）＞0的解集是{x|x＜1或x＞3}．故选：C．【点评】：本题考查了一元二次不等式的解法.属于基础题．2.（单选题.5分）在等差数列{a n}中.若a1=4.a5=12.则公差d=（）A.2B.3C.1D.4【正确答案】：A【解析】：根据题意.由等差数列的通项公式可得d= a5−a15−1.计算即可得答案．【解答】：解：根据题意.在等差数列{a n}中.若a1=4.a5=12.则d= a5−a15−1 = 12−45−1=2；故选：A．【点评】：本题考查等差数列的通项公式.关键是掌握等差数列的通项公式的形式.属于基础题．3.（单选题.5分）在数列{a n }中.已知a n = n 2+n−13 .n∈N*.则 193是数列中的第（ ）项.A.3B.4C.5D.6【正确答案】：B【解析】：根据题意.由数列的通项公式可得 n 2+n−13 = 193 .解可得n 的值.即可得答案．【解答】：解：根据题意.数列{a n }中.已知a n = n 2+n−13. 若n 2+n−13 = 193.即n 2+n-1=19.解可得：n=4或-5（舍）； 故选：B ．【点评】：本题考查数列的表示方法.涉及数列的通项公式的应用.属于基础题． 4.（单选题.5分）已知等比数{a n }满足a 1a 7=3a 4a 3.则数列{a n }的公比q=（ ） A.2 B. 13 C.3 D. 12【正确答案】：C【解析】：由已知得 a 12q 6=3a 12q 5 .由上此能求出q=3．【解答】：解：∵等比数{a n }满足a 1a 7=3a 4a 3. ∴ a 12q 6=3a 12q 5 . 解得q=3． 故选：C ．【点评】：本题考查等比数列的公比的求法.是基础题.解题时要注意等比数列的通项公式的合理运用．5.（单选题.5分）已知数列（a n }中.a 1=2.a 2=5.a n+2=a n+1-a n .n∈N*.则a 2019=（ ） A.2 B.3C.5D.-2【正确答案】：B【解析】：根据递推关系求出数列的前几项.得到其为周期数列即可求解．【解答】：解：因为：数列（a n}中.a1=2.a2=5.a n+2=a n+1-a n.n∈N*.∴a3=a2-a1=3；a4=a3-a2=-2；a5=a4-a3=-5；a6=a5-a4=-3；a7=a6-a5=2；a8=a7-a6=5；所以数列是以6为周期的周期数列；因为2019=6×336+3；∴a2019=a3=3．故选：B．【点评】：本题主要考查有数列的递推关系式求数列的特殊项.解决本题的关键点在于找到其规律．6.（单选题.5分）某公司一年购买某种货物600吨.每次购买x吨.运费为6万元/次.一年的总存储费用为4x万元.则一年的总运费与总存储费用和最小为（）A.60万元B.160万元C.200万元D.240万元【正确答案】：D【解析】：由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和：600x×6+4x.利用基本不等式的性质即可得出．【解答】：解：由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和：600x ×6+4x≥2× √3600x×4x=240（万元）．当且仅当x=30时取等号．故选：D．【点评】：本题考查了基本不等式的性质及其应用.考查了推理能力与计算能力.属于基础题．7.（单选题.5分）已知正数x.y满足x+ yx =2.且ax+xy（a＞0）的最小值为2.则a的值为（）A. √3B.2C.1D.3【正确答案】：C【解析】：利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】：解：∵正数x.y满足x+ yx=2.∴ a x +xy= 12（ax+xy）（x+ yx）= 12（a+1+ ayx2+x2y）≥12(a+1+2√a) ..即最小值12（a+1+2 √a）=2.∵a＞0.∴a=1．故选：C．【点评】：本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质.属于基础题．8.（单选题.5分）《算法统宗》是明代程大位编纂的一部以实用为主的数学著作.共17卷.记载了各种生活问题的解法及口诀.很多问题都以诗歌形式呈现其中.行程减等歌：“三百七十八里关.初行健步不为难次日脚痛减一半.六朝才得到其关要见每朝行里数.请公仔细算相还？（意思是：两地相距378里.从一地出发.第一天健步如飞.从第二天起.每天只能走前一天的一半路程.走了六天才到另外地要知道走了多少路稈.请您仔细算算告诉我）则第一天走了（）里A.96B.192C.184D.92【正确答案】：B【解析】：设第一天走了a 1里.则{a n }是公比为q= 12 的等比数列.利用等比数列的前n 项和公式能求出第一天走了多少里路．【解答】：解：设第一天走了a 1里.则{a n }是公比为q= 12 的等比数列. 由题意得： S 6=a 1[1−(12)6]1−12=378.解得a 1=192． 故选：B ．【点评】：本题考查等比数列的首项的求法.考查等比数列的性质在生产生活中的应用等基础知识.考查运算求解能力.是中档题．9.（单选题.5分）平面直角坐标系xOy 中.P 是曲线y=x+ 3x（x≥1）上的一个动点.则点P 到直线x+y=0的距离的最小值是（ ） A. √3 B.4 C. √5 D.2 √3【正确答案】：D【解析】：利用导数求平行于x+y=0的直线与曲线y=x+ 3x（x≥1）的切点. 再由点到直线的距离公式求点P 到直线x+y=0距离的最小值．【解答】：解：由y=x+ 3x （x≥1）.得y′=1- 3x 2 .设斜率为-1的直线与曲线y=x+ 3x （x≥1）切于点P （x 0.x 0+ 3x 0）.由1- 3x 02 =-1.解得x 0= √62 （x 0≥1）；∴曲线y=x+ 3x （x≥1）上.点P （ √62 . 3√62）到直线x+y=0的距离最小.最小值为d= |√62+3√62|√2=2 √3 ．故选：D ．【点评】：本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程.也考查了点到直线的距离公式计算问题.是中档题．10.（单选题.5分）在正项等比数列{a n }中.a 5= 12.a 6+a 7=3．则满足a 1+a 2+a 3+…+a n ＞a 1a 2a 3…a n 的最大正整数n 的值为（ ） A.10 B.11 C.12 D.13【正确答案】：C【解析】：由a 5= 12 .a 6+a 7= a 5(q +q 2) =3.结合等比数列的通项公式可求q 及a 1.然后根据已知不等式及等比数列的求和公式可得关于n 的不等式.解不等式可求n ．【解答】：解：∵正项等比数列{a n }中.a 5= 12.a 6+a 7= a 5(q +q 2) =3. ∴q 2+q=6 ∵q ＞0.解可得.q=2或q=-3（舍）. ∴a 1= 132 .∵a 1+a 2+a 3+…+a n =132(1−2n )1−2= 2n −132 .a 1a 2a 3…a n = √(a 1a n )n = (132)n × 2n (n−1)2 .∴ 2n −132＞132n×2n (n−1)2=2n (n−11)2.整理可得.n ＞(n −1)(12n −5) . ∴1＜n≤12.经检验n=12满足题意.故满足题意的最大正整数n 的值为12． 故选：C ．【点评】：本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式.等比数列的性质等知识的简单综合应用.属于中档试题．11.（单选题.5分）已知函数f （x ）= {log 12(−x +1)−1，x ∈[−1，k]−2|x −1|，x ∈[k ，a] .若在在实数k 使得该函数的值域为[-2.0].则实数a 的取值范围是（ ）A.（1.2]B.（12.2]C.（34.2）D.（34.2]【正确答案】：B【解析】：当-1≤x≤k时.函数f（x）递增.且在区间左端点处有f（-1）=-2.当k≤x≤a时.f（x）在[k. 12 ]单调递增.[1.a]上单调递减.在[ 12.1]单调递增；从而当x=1时.函数有最大值.即为f（1）=0.函数在右端点的函数值为f（2）=-2.结合图象即可求出a的取值范围．【解答】：解：当-1≤x≤k时.函数f（x）=log 12（1-x）-1为增函数.且在区间左端点处有f（-1）=-2.令f（x）=0.解得x= 12.令f（x）=-2|x-1|=-2.解得x=2.∵f（x）的值域为[-2.0].∴k≤2.当k≤x≤a时.f（x）=-2|x-1|= {−2x+2，1≤x≤a 2x−2，k≤x＜1∴f（x）在[k. 12 ]单调递增.[1.a]上单调递减.在[ 12.1]单调递增从而当x=1时.函数有最大值.即为f（1）=0.函数在右端点的函数值为f（2）=-2.∵f（x）的值域为[-2.0].∴ 12＜a≤2.故选：B．【点评】：本题考查分段函数的问题.根据函数的单调性求出函数的值域是关键.属于中档题．12.（单选题.5分）设{a n }是等比数列.公比q= √23.S n 为{a n }前n 项的和.记T n = 17S n −S 2na n+1.n∈N .设T n 0 为数列{T n }的最大项.则n 0=（ ） A.3 B.4 C.5 D.6【正确答案】：D【解析】：令t=q n ＞1.化简T n .根据基本不等式.求出n 的最大值．【解答】：解：令t=q n ＞1.T n = 17S n −S2n a n+1=17•a 1(1−q n )1−q−a 1(1−q 2n )1−qa 1q n−1=(q n −1)(q n −16)q n (1q−1)= q 1−q •(t−1)(t−16)t= q1−q (t +16t−17) ≤q1−q (8−17)=−9q1−q .当且仅当t=4时.取等号. 此时q n =4.即 2(13n)=22 .n=6. 故选：D ．【点评】：考查等比数列的前n 项和公式及其应用.还用了基本不等式.中档题．13.（填空题.5分）已知数列{a n }的前n 项和为S n .且a n =19-3n.则当n=___ .S n 有最大值___ ． 【正确答案】：[1]6; [2]51【解析】：根据题意.由数列的通项公式分析可得数列{a n }为等差数列.且首项a 1=16.进而由等差数列的前n 项和公式可得S n 的表达式.结合二次函数的性质分析可得答案．【解答】：解：根据题意.数列{a n }中.其通项公式a n =19-3n.则数列{a n }为等差数列.且首项a 1=16. 则S n =(a 1+a n )×n2=−3n 2+35n2 . 又由n∈N +.则n=6时.S n 有最大值.且其最大值为51； 故答案为：6.51．【点评】：本题考查等差数列的前n 项和的性质.注意等差数列的通项公式.属于基础题．14.（填空题.5分）已知关于x 的不等式ax 2+bx+a 2+1＜0的解集是（-∞.-1]∪[2.+∞）.则a-b=___ ．【正确答案】：[1]-2【解析】：根据一元二次不等式与对应方程的关系.列方程组求得a 、b 的值.再计算a-b ．【解答】：解：关于x 的不等式ax 2+bx+a 2+1＜0的解集是（-∞.-1]∪[2.+∞）. 所以a ＜0.且-1和2是方程ax 2+bx+a 2+1=0的实数根. 则 {−1+2=−ba −1×2=a 2+1a . 解得a=-1.b=1； 所以a-b=-1-1=-2． 故答案为：-2．【点评】：本题考查了一元二次不等式与对应方程的关系应用问题.是基础题． 15.（填空题.5分）已知a.b∈R .a+b=2.则 1a 2+1 + 1b 2+1的最大值为___ ． 【正确答案】：[1]√2+12【解析】：可设a=1-x.b=1+x.代入所求式子进行化简后结合基本不等式可求最大值．【解答】：解：∵a+b=2. 不妨设a=1-x.b=1+x.则 1a 2+1 + 1b 2+1 = 11+(1−x )2+1(1+x )2+1 = 1x 2−2x+2+1x 2+2x+2= 2(x 2+2)(x 2+2)2−4x 2 = 2(x 2+2)(x 2+2)2−4(x 2+2)+8 .令t=2+x 2.则t≥2. 上式可化简为 2t+8t−4 ≤2√8−4 = √2+12. 即最大值√2+12. 故答案为： √2+12．【点评】：本题考查了基本不等式在求最值中的应用.属于中档题．16.（填空题.5分）已知函数y=f （x ）是定义在R 上恒不为0的单调函数.对任意的x.y∈R .总有f （x ）f （y ）=f （x+y ）成立.若数列{a n }的n 项和为S n .且满足a 1=f （0）. f (a n+1)=1f (3n+1−2a n )（n∈N *）.则S n =___ ．【正确答案】：[1]5×2n+1-3n+2+112【解析】：首先求出特殊值f （0）.然后结合f （x ）f （y ）=f （x+y ）把已知条件变形为a n+1与a n 的关系式.进一步整理得数列{a n +3n+1}为等比数列.再运用等比数列通项公式求得a n .最后分别运用等比数列前n 项和公式求得S n ．【解答】：解：因为任意的x.y∈R .总有f （x ）f （y ）=f （x+y ）成立. 所以f （0）f （0）=f （0）.即f （0）•（f （0）-1）=0. 解得f （0）=1.即a 1=1.又f （a n+1）•f （3n+1-2a n ）=1.即f （a n+1+3n+1-2a n ）=f （0）. 所以a n+1+3n+1-2a n =0.则a n+1+3n+1+2×3n+1=2a n +2×3n+1.即a n+1+3n+2a n +3n+1=2. 所以数列{a n +3n+1}是首项为10.公比为2的等比数列. 则a n +3n+1=10×2n-1.即a n =5×2n -3n+1. 所以S n =5×2(1−2n )1−2- 32(1−3n )1−3 = 5×2n+1−3n+2+112． 故答案为 5×2n+1−3n+2+112．【点评】：本题主要考查等比数列的定义、通项公式、前n 项和公式.同时考查函数的单调性等．17.（问答题.8分）已知关于x 的不等式x 2-（a+2）x+2a ＜0． （1）当a=1时.解不等式； （2）当a∈R 时.解不等式．【正确答案】：【解析】：（1）当a=1时.不等式为x 2-3x+2＜0.可得（2）原不等式可转化为：（x-a ）（x-2）＜0分① a＞2. ② a=2. ③ a＜2三种情况讨论进行求解【解答】：解：（1）当a=1时.不等式为x2-3x+2＜0解可得{x|1＜x＜2}（2）原不等式可转化为：（x-a）（x-2）＜0① 当a＞2时.不等式的解集为{x|2＜x＜a}② a=2时.不等式的解答集为∅③ a＜2时不等式的解集合为{x|a＜x＜2}【点评】：本题主要考查了一元二次不等式的解法.其中（2）中主要考查了分类讨论的思想在解题中的应用．18.（问答题.10分）已知函数f（x）=x2+mx+n的图象过点（1.3）.且f（-1+x）=f（-1-x）对任意实数都成立.函数y=g（x）与y=f（x）的图象关于原点对称．（1）求f（x）与g（x）的解析式；（2）若F（x）=g（x）-λf（x）+λx2在（-1.1]上是单调函数.求实数λ的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）根据函数f（x）=x2+mx+n的图象过点（1.3）.且f（-1+x）=f（-1-x）对任意实数都成立.求f（x）的解析式.利用函数y=g（x）与y=f（x）的图象关于原点对称.求出g （x）的解析式；（2）先写出F（x）解析式.F（x）=g（x）-λf（x）+λx2=-x2+2x-λ（x2+2x）+λx2=-x2+（2-2λ）x.对称轴为x=1-λ.F（x）在（-1.1]上是单调函数.所以1-λ≤-1.或1-λ≥1.进而解出答案．【解答】：解：（1）因为函数f（x）图象过点（1.3）.所以1+m+n=3.即m+n=2.因为f（-1+x）=f（-1-x）.=-1.所以对称轴为x=-1.即−m2解得m=2.n=0.函数f（x）=x2+2x.因为函数y=g（x）与y=f（x）的图象关于原点对称．设函数g（x）图象上任意一点（x.y）关于原点对称得（-x.-y）.所以-y=（-x）2+2（-x）.即y=-x2+2x.g（x）=-x2+2x．（2）F（x）=g（x）-λf（x）+λx2=-x2+2x-λ（x2+2x）+λx2=-x2+（2-2λ）x.对称轴为x=1-λ.因为F（x）在（-1.1]上是单调函数.所以1-λ≤-1.或1-λ≥1.解得λ≥2或λ≤0．【点评】：本题考查函数解析式的确定.考查函数的单调性.考查学生分析解决问题的能力.属于中档题．19.（问答题.12分）已知数列{a n}中.a1=1.前n项和S n= n+23a n．（1）求a2.a3；（2）求{a n}的通项公式．【正确答案】：【解析】：（1）由a1=1.前n项和S n= n+23a n．可得：S2= 43a2=1+a2.解得a2．同理可得a3．（2）n≥2时.a n=S n-S n-1= n+23a n - n+13a n−1 .化为：a na n−1= n+1n−1．利用a n= a na n−1•a n−1a n−2•…• a2a1•a1即可得出．【解答】：解：（1）由a1=1.前n项和S n= n+23a n．可得：S2= 43a2=1+a2.解得a2=3．S3= 53a3 =1+3+a3.解得a3=6．（2）n≥2时.a n=S n-S n-1= n+23a n - n+13a n−1 .化为：a na n−1= n+1n−1．∴a n= a na n−1•a n−1a n−2•…• a2a1•a1 = n+1n−1•nn−2• n−1n−3•…•× 53×42×31×1 = n2+n2．n=1时.也满足上式．∴a n= n2+n2．【点评】：本题考查了数列递推关系、累乘求积方法.考查了推理能力与计算能力.属于中档题．20.（问答题.0分）在△ABC中.内角A.B.C所对的边分别为a.b.c．已知bsinA=acos（B- π6）．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设a=2.c=3.求b和sin（2A-B）的值．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）由正弦定理得bsinA=asinB.与bsinA=acos（B- π6）．由此能求出B．（Ⅱ）由余弦定理得b= √7 .由bsinA=acos（B- π6）.得sinA= √3√7.cosA=√7.由此能求出sin（2A-B）．【解答】：解：（Ⅰ）在△ABC中.由正弦定理得asinA =bsinB.得bsinA=asinB.又bsinA=acos（B- π6）．∴asinB=acos（B- π6）.即sinB=cos（B- π6）=cosBcos π6+sinBsin π6= √32cosB+ 12sinB .∴tanB= √3 .又B∈（0.π）.∴B= π3．（Ⅱ）在△ABC中.a=2.c=3.B= π3.由余弦定理得b= √a2+c2−2accosB = √7 .由bsinA=acos（B- π6）.得sinA= √3√7.∵a＜c.∴cosA=√7.∴sin2A=2sinAcosA= 4√37.cos2A=2cos2A-1= 17.∴sin（2A-B）=sin2AcosB-cos2AsinB= 4√37×12−17×√32= 3√314．【点评】：本题考查角的求法.考查两角差的余弦值的求法.考查运算求解能力.考查函数与方程思想.是中档题．21.（问答题.14分）某公司生产的某批产品的销售量P 万件（生产量与销售量相等）与促销费用x 万元满足P=x+24（其中0≤x≤a .a 为正常数）．已知生产该产品还需投入成本6（P+ 1P ）万元（不含促销费用）.产品的销售价格定为（4+ 20p ）元/件． （1）将该产品的利润y 万元表示为促销费用x 万元的函数； （2）促销费用投入多少万元时.该公司的利润最大？【正确答案】：【解析】：（1）根据产品的利润=销售额-产品的成本建立函数关系； （2）利用导数基本不等式可求出该函数的最值.注意等号成立的条件．【解答】：解：（Ⅰ）由题意知.y=（4+ 20p ）p-x-6（p+ 1p ）. 将p=x+24 代入化简得：y=19- 24x+2 - 32x （0≤x≤a ）； （Ⅱ）y=22- 32 （ 16x+2 +x+2）≤22-3 √16x+2×(x +2) =10. 当且仅当 16x+2 =x+2.即x=2时.上式取等号；当a≥2时.促销费用投入2万元时.该公司的利润最大； y=19- 24x+2 - 32 x.y′= 24(x+2)2 - 32 . ∴a ＜2时.函数在[0.a]上单调递增.∴x=a 时.函数有最大值．即促销费用投入a 万元时.该公司的利润最大．【点评】：本题主要考查了函数模型的选择与应用.以及基本不等式在最值问题中的应用.同时考查了计算能力.属于中档题．22.（问答题.14分）设数列{a n }.对任意n∈N *都有（kn+b ）（a 1+a n ）+p=2（a 1+a 2…+a n ）.（其中k 、b 、p 是常数）．（1）当k=0.b=3.p=-4时.求a 1+a 2+a 3+…+a n ；（2）当k=1.b=0.p=0时.若a 3=3.a 9=15.求数列{a n }的通项公式；（3）若数列{a n }中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项.则称该数列是“封闭数列”．当k=1.b=0.p=0时.设S n 是数列{a n }的前n 项和.a 2-a 1=2.试问：是否存在这样的“封闭数列”{a n }.使得对任意n∈N*.都有S n≠0.且112＜1S1+1S2+1S3+⋯+1S n＜1118．若存在.求数列{a n}的首项a1的所有取值；若不存在.说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）当k=0.b=3.p=-4时.3（a1+a n）-4=2（a1+a2…+a n）.再写一式.两式相减.可得数列{a n}是以首项为1.公比为3的等比数列.从而可求a1+a2+a3+…+a n；（2）当k=1.b=0.p=0时.n（a1+a n）=2（a1+a2…+a n）.再写一式.两式相减.可得数列{a n}是等差数列.从而可求数列{a n}的通项公式；（3）确定数列{a n}的通项.利用{a n}是“封闭数列”.得a1是偶数.从而可得1811＜a1＜12 .再利用112＜1S1+1S2+1S3+⋯+1S n＜1118.验证.可求数列{a n}的首项a1的所有取值．【解答】：解：（1）当k=0.b=3.p=-4时.3（a1+a n）-4=2（a1+a2…+a n）. ①用n+1去代n得.3（a1+a n+1）-4=2（a1+a2…+a n+a n+1）. ②② - ① 得.3（a n+1-a n）=2a n+1.a n+1=3a n.（2分）在① 中令n=1得.a1=1.则a n≠0.∴ a n+1a n=3 .∴数列{a n}是以首项为1.公比为3的等比数列.∴a1+a2+a3+…+a n= 3n−12．（4分）（2）当k=1.b=0.p=0时.n（a1+a n）=2（a1+a2…+a n）. ③用n+1去代n得.（n+1）（a1+a n+1）=2（a1+a2…+a n+a n+1）. ④④ - ③ 得.（n-1）a n+1-na n+a1=0. ⑤ （6分）用n+1去代n得.na n+2-（n+1）a n+1+a1=0. ⑥⑥ - ⑤ 得.na n+2-2na n+1+na n=0.即a n+2-a n+1=a n+1-a n.（8分）∴数列{a n}是等差数列．∵a3=3.a9=15.∴公差d=a9−a39−3=2 .∴a n=2n-3．（10分）（3）由（2）知数列{a n}是等差数列.∵a2-a1=2.∴a n=a1+2（n-1）．又{a n}是“封闭数列”.得：对任意m.n∈N*.必存在p∈N*使a1+2（n-1）+a1+2（m-1）=a1+2（p-1）.得a1=2（p-m-n+1）.故a1是偶数.（12分）又由已知. 112＜1S1＜1118.故1811＜a1＜12．一方面.当1811＜a1＜12时.S n=n（n+a1-1）＞0.对任意n∈N*.都有1S1+1S2+1S3+⋯+1S n≥1S1＞112．另一方面.当a1=2时.S n=n（n+1）. 1S n =1n−1n+1.则1S1+1S2+1S3+⋯+1S n=1−1n+1.取n=2.则1S1+1S2=1−13=23＞1118.不合题意．（14分）当a1=4时.S n=n（n+3）. 1S n =13(1n−1n+3) .则1S1+1S2+1S3+⋯+1S n=1118−13(1n+1+1n+2+1n+3)＜1118.当a1≥6时.S n=n（n+a1-1）＞n（n+3）. 1S n ＜13(1n−1n+3) . 1S1+1S2+1S3+⋯+1S n＜1118−1 3(1n+1+1n+2+1n+3)＜1118.又1811＜a1＜12 .∴a1=4或a1=6或a1=8或a1=10．（16分）【点评】：本题考查数列的通项与求和.考查等差数列、等比数列的判定.考查学生分析解决问题的能力.属于难题．。
江苏省南通中学2019届高三上学期10月阶段考试语文试卷 Word版含答案
江苏省南通中学2018-2019学年度第一学期阶段考试高三语文试题注意事项1.考试时间150分钟，试卷满分160分。
凡选考历史科目的考生要做附加题40分，延时10分钟。
2.答题前，请务必将县区、学校、姓名、考试号填写在试卷及答题卡上。
3.请用书写0.5毫米黑色墨水的签字笔按题号在答题纸上指定区域内作答；在其它位置作答一律无效。
考试结束后，请将答题卡交回。
—、语言文字运用（15分）1.在下面一段话的空缺处依次填入词语，最恰当的一组是（3分）与众多欧西事物的“迁地弗良”不同，文学史这一著述形式进入中国以后，很快便，而今已经变得枝繁叶茂。
欧洲十九世纪兴盛一时的文学史，在十九世纪末遭遇了来自审美主义的；二十世纪中叶，在美国学院占据主流的“新批评”更是公然拒绝文学史：尽管后来随着文学社会学、接受美学、新历史主义等研究路径的展开^文学史一度有复兴之势，但对这一学科进行理论反思的声音，一直。
A.落地生根置疑不绝如缕B.入乡随俗质疑若隐若现C.落地生根质疑不绝如缕D.入乡随俗置疑若隐若现2.在下面一段文字横线处填入词句，衔接最恰当的一项是（3分）发展要讲节奏。
春生夏长秋收冬藏发展要讲节奏。
春生夏长秋收冬藏是自然的节秦，该发芽时发芽，该结果时结果, 。
，。
①发展要讲成本。
农谚讲：谷雨前后，种瓜点豆②否则就会拔苗助长、竭泽而渔，出现不切实际的“大跃进”③才有“春种一粒粟，秋收万颗子”④改革发展也如此，耍学会依时而动⑤这也泊示我们发展要遵循规律，不能急于求成⑥这说的是谷雨节喜雨，种豆育秧正是时候，一旦错过，费时费力，事倍功半。
A.②⑥③④⑤①B.③⑤②①⑥④C.③⑤②⑥①④D.②⑤③⑥④①3.下列对古代文化常识解说，不正确的一项是（3分）A.丁忧，也称“丁艰”，在我国古代，官员的父亲或母亲去世，宫员则必须停职守制，处于丁忧期间的人皆不得为官，概无例外。
B.笏，古代君臣在朝廷上相见时手中所拿的长方形板子，按品第分别用玉、象牙或竹制成以为指画及记事之用。
江苏省南通中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案
江苏省南通中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 已知三棱柱111ABC A B C - 的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 上的射影为BC 的中点， 则异面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为（ ）A B D ．342． 函数f （x ）=有且只有一个零点时，a 的取值范围是（ ）A ．a ≤0B ．0＜a ＜C ．＜a ＜1D ．a ≤0或a ＞13． 已知f （x ）=m •2x +x 2+nx ，若{x|f （x ）=0}={x|f （f （x ））=0}≠∅，则m+n 的取值范围为（ ） A ．（0，4） B ．[0，4） C ．（0，5] D ．[0，5]4． 已知角的终边经过点()3P x ，()0x <且cos x θ=，则等于（ ）A ．1-B ．13- C ．3- D ．5． 已知，，那么夹角的余弦值（ ）A ．B ．C ．﹣2D ．﹣6． 执行如图所示的程序框图，输出的值是（ ）A ．5B ．4C ．3D ．27． 给出下列命题：①多面体是若干个平面多边形所围成的图形；②有一个平面是多边形，其余各 面是三角形的几何体是棱锥；③有两个面是相同边数的多边形，其余各面是梯形的多面体是棱台．其中 正确命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 8． 某校为了了解1500名学生对学校食堂的意见，从中抽取1个容量为50的样本，采用系统抽样法，则分段间隔为（ ）1111]A ．10B ．51C ．20D ．30 9． 复数121ii-+在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10．设i是虚数单位，是复数z 的共轭复数，若z=2（+i ），则z=（ ）A ．﹣1﹣iB ．1+iC ．﹣1+iD ．1﹣i11．已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为21时，则输入的值为（ ）A ．2B ．1-C ．1-或2D ．1-或1012．已知函数()cos (0)f x x x ωωω+>，()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的一条对称轴是（ ）A ．12x π=-B ．12x π=C ．6x π=-D ．6x π=二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．已知数列{}n a 中，11a =，函数3212()3432n n a f x x x a x -=-+-+在1x =处取得极值，则n a =_________.14．已知1sin cos 3αα+=，(0,)απ∈，则sin cos sin 12ααπ-的值为 ．15．函数的最小值为_________.16．设α为锐角， =（cos α，sin α），=（1，﹣1）且•=，则sin （α+）= ．三、解答题（本大共6小题，共70分。
江苏省南通市2024-2025学年高三上学期10月调研考试 数学含答案
2024/2025学年度高三第一次调研测试数学（答案在最后）2025.09一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“N x ∀∈，20x >”的否定为（）A.N x ∀∈，20x ≤B.N x ∃∈，20x ≤C.N x ∃∈，20x > D.N x ∀∈，20x <2.已知集合{}2,Z A x x x =<∈，(){}2ln 3B x y x x ==-，则A B = （）A.{}02x x << B.{}23x x -<< C.{1}D.{0,1,2}3.已知点(3,4)P -是角α终边上一点，则cos2α=（）A.725B.725-C.2425D.2425-4.已知函数()1,121,12xa x f x x x⎧⎛⎫+≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪>⎪⎩在R 上单调递减，则实数a 的取值范围为（）A.0a < B.12a >-C.102a -<< D.102a ≤<5.已知函数()f x 部分图象如图所示，则其解析式可能为（）A.()()2ee xxf x x-=- B.()2()ee xxf x x-=+C.()()e exxf x x -=- D.()()e exxf x x -=+6.过点(3,1)作曲线ln(1)y x =-的切线，则这样的切线共有（）A.0条B.1条C.2条D.3条7.锐角α、β满足sin cos()sin βαβα=+，若1tan 2α=，则cos()αβ+=（）A.12B.2C.2D.2-8.若函数())2sin 20f x x x ωωω=->在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上只有一个零点，则ω的取值范围为（）A.14,33⎛⎤ ⎥⎝⎦B.14,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.17,66⎛⎤⎥⎝⎦D.17,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知011a b <<-<，则（）A .01b << B.a b> C.1a b -< D.14ab <10.已知1x ，2x ，3x 是函数32()1f x x a x =-+的三个零点（0a >，123x x x <<），则（）A.32a >B.120x x <<C .()()13f x f x ''= D.()()()1231110f x f x f x ''++='11.若定义在R 上的函数()f x 的图象关于点(2,2)成中心对称，且(1)f x +是偶函数，则（）A.()f x 图象关于0x =轴对称B.(2)2f x +-为奇函数C.(2)()f x f x += D.20()42i f i ==∑三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若函数()2sin cos 2x af x x +=-是奇函数，则π2f ⎛⎫= ⎪⎝⎭______．13.“1x y <<”是“ln ln x x y y <”的________条件．（选填“充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要”）14.班上共有45名学生，其中40人会打乒乓球，30人会骑自行车，25人会打羽毛球，则三个运动项目都会的同学至少有________人．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知α、β为锐角，sin 10α=，1tan 3β=．（1）求tan 2α的值；（2）求2αβ+的大小．16.已知函数()e e 22x x f x x -=--+.（e 2.71828=⋅⋅⋅）（1）判断函数()2y f x =-的奇偶性并证明，据此说明()f x 图象的对称性；（2）若任意(1,)x ∈+∞，(ln )()4f m x f x +>，求实数m 的取值范围．17.若函数()()πcos 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭图象的相邻对称轴距离为π2，且π162f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（1）求()f x 的解析式；（2）将()f x 的图象向右平移5π12个单位，再将所得图象上每个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到函数=的图象．当∈0,π时，求不等式()24g x g x ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭π的解．18.绿色、环保是新时代健康生活的理念，某一运动场馆投放空气净化剂净化场馆，已知每瓶空气净化剂含量为a ，投放后该空气净化剂以每小时10%的速度减少，根据经验，当场馆内空气净化剂含量不低于3a 时有净化效果，且至少需要持续净化12小时才能达到净化目的.现有9瓶该空气净化剂.（1）如果一次性投放该空气净化剂9瓶，能否达到净化的目的？如果能，说明理由；如果不能，最多可净化多长时间？（精确到0.1小时）（2）如果9瓶空气净化剂分两次投放，在第一次投放后间隔6小时进行第二次投放，为达到净化目的，试给出两次投放的所有可能方案？（每次投放的瓶数为整数，投放用时忽略不计）（参考数据：lg 30.477≈，60.90.53≈）.19.已知函数2()2ln 1f x x ax =-+，0a ≥．（1）若()f x 的最大值为0，求a 的值；（2）若存在(,)k m n ∈，使得()()()()f n f m f k n m '-=-，则称k 为()f x 在区间(,)m n 上的“巧点”．（ⅰ）当0a =时，若1为()f x 在区间(,)m n 上的“巧点””，证明：2m n +>；（ⅱ）求证：任意0a >，()f x 在区间(,)m n 上存在唯一“巧点”k ．2024/2025学年度高三第一次调研测试数学2025.09一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】B【2题答案】【答案】C【3题答案】【答案】B【4题答案】【答案】D【5题答案】【答案】A【6题答案】【答案】C【7题答案】【答案】B【8题答案】【答案】A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.【9题答案】【答案】ACD【10题答案】【答案】ABD【11题答案】【答案】BD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.【12题答案】【答案】1-【13题答案】【答案】充分不必要【14题答案】【答案】5四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【15题答案】【答案】（1）724（2）π4．【16题答案】【答案】（1）奇函数，理由见解析，()f x 图像关于(0,2)中心对称（2）e m >-．【17题答案】【答案】（1）()πcos 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）11π012x <≤【18题答案】【答案】（1）不能达到净化目的，最多可净化10.4小时；（2）第一次投放6瓶，第二次投放3瓶；或在第一次投放7瓶，第二次投放2瓶.【19题答案】【答案】（1）1a =（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析。
【教育资料精选】2019届高三数学10月检测试题理
江苏省赣榆县海头高级中学2019届高三数学10月检测试题 理一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上． 1．已知集合{}4,3,0=A ，集合{}3,2,0,1|-=xB ，则=⋂B A ▲．2．函数)63sin(2)(π+=x x f 的最小正周期为▲．3．若复数满足i z i 43+=⋅，其中为虚数单位，则复数的实部为▲．4．函数x x f 4log 1)(-=的定义域为▲．5．2022年世界杯足球赛将在卡特尔举行，某小组拟由D C B A ,,,四支球队组成．若这四支球队实力相当，按照规则该组有2支球队出线，则球队出线的概率为▲．6．某校共有400名学生参加了一次数学竞赛，竞赛成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组为[)60,50，[)70,60，，[]100,90，则在本次竞赛中，得分不低于80分的人数为 ▲．7．如图是一个算法流程图，则输出的的值为▲．8．已知7)tan(=+βα，1)tan(-=-βα，则α2tan 的值为▲. 9．设函数)0)(8sin()(>+=ϖπϖx x f ，若)4()(πf x f ≤对任意的实数都成立，则的最小值为▲．10．设R a ∈，函数ax x a x x f --+=23)1(3)(为奇函数，则函数)(x f 的极大值为▲． 11．已知1sin cos 2=+αα, )2,2(ππα-∈，则=+)232sin(πα▲．12．已知函数)(x f 是定义在上的周期为4的奇函数，当20<<x 时，2)(-=x x f ，则)2()25(f f +的值为▲． )6(题图第13．已知函数6)(2-=x x f ，若0>>b a ，且)()(b f a f =，则b a 2的最大值为▲． 14．在锐角ABC ∆中，设角C B A ,,的对边分别为c b a ,,．若B A A C cos sin 2sin sin =-，ab=λ，则实数的取值范围为▲． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为c b a ,,． （1）若sin()2cos 6A A π+=，求的值；（2）若1cos 3A =，3b c =，求C sin 的值．16．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，以轴正半轴为始边作锐角，其终边与半径为5的圆交于点，以为始边作锐角，其终边与圆交于点，AB =（1）求cos β的值； （2）若点的横坐标为2513，求点的坐标．17．（本小题满分14分） 已知函数xa x x f +=ln )(．（1）若1=a ，求函数)(x f 的单调区间； （2）当[]e x ,1∈时，求函数)(xf 的最小值．18．（本小题满分16分）设函数),(13)(223R b a x a bx ax x f ∈+-+=在，处取得极值，且221=-x x ． （1）若1=a ，求的值；（2）若0>a ，求的取值范围． （注：212212214)(x x x x x x -+=-）19．（本小题满分16分）一个创业青年租用一块边长为4百米的等边ABC ∆田地（如图）养蜂、产蜜与售蜜.田地内拟修建笔直小路MN ，，其中N M ,分别为BC AC ,的中点，点在CN 上.规划在小路MN 与的交点（与N M ,不重合）处设立售蜜点，图中阴影部分为蜂巢区，空白部分为蜂源植物生长区，N A ,为出入口（小路宽度不计）．为节约资金，小路MO 段与段建便道，供蜂源植物培育之用，费用忽略不计．为车辆安全出入，小路AO 段的建造费用为每百米4万元，小路ON 段的建造费用为每百米3万元．（1）若拟修建的小路AO 段长为百米，求小路ON 段的建造费用；（2）设θ=∠BAP .求θcos 的值，使得小路AO 段与ON 段的建造总费用最小.20．（本小题满分16分）设R a ∈，函数ax e x f x+=)(，其中为自然对数的底数. （1）若函数)(x f 是增函数，求实数的取值范围； （2）设直线012=+-y x 与函数)(x f y =的图象相切. ①求实数的值；②求证：当0≥x 时，1`2)(2+≥x x f . （参考数据：1491485<<e ）江苏省海头高级中学2019届高三第二次考试 数学Ⅱ（附加题）2018.10.1021．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，并在相应的答题区域．．．．．．．．．A内作答．．．，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步 骤．B ．[选修4—2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知为实数，矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=31b a M 所对应的变换把点)2,1(变成)4,2(． （1）求的值； （2）求矩阵的逆矩阵1-M．C ．[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与轴的正半轴重合．若曲线的极坐标方程是2)4cos(=-πθρ，曲线的极坐标方程为)3sin(8πθρ+=．（1）求曲线和曲线的直角坐标方程；（2）判断两曲线的位置关系．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写 出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，1=AD ，21=D D ，点在棱1CC 上，设1CC λ=，且10≤≤λ．（1）若为B A 1的中点，异面直线AM 与所成的角为4π，求的值； （2）若21=λ，求二面角P B A A --1的正弦值．23．（本小题满分10分）某校从高二、高三年级的学生中，选拔学生组队参加市辩论赛．高二年级推荐了3名男生，2名女生，高三年级推荐了3名男生，4名女生参加集训．由于集训后队员的水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队．（1）求高二年级至少有1名学生入选代表队的概率；（2）设表示代表队中高二年级的男生人数，求的分布列和数学期望．答案：1、{}3,0；2、32π；3、4；4、(]4,0；5、21；6、120；7、40；8、43；9、23；ABDPM1A 1B 1C 1D C10、92；11、257-；12、94-；13、16；14、()3,215、解：（1）由题设sin()2cos 6A A π+=，得A A A cos 26sincos 6cossin =+ππ，从而A A cos 3sin =，所以0cos ≠A ，3tan =A ，因为π<<A 0，所以3π=A ．（2）由c b A 3,31cos ==及A bc c b a cos 2222-+=，得222c b a -=，故ABC ∆是直角三角形，且2π=B ，所以31cos sin ==A C ．16、17、18、19、（1）在△AOM 中，222AO AM OM 2AM OM cos AMO =+-⋅∠∴2222AM 22AM 2cos 3π=+- 化简得：2AM 2AM 30+-= ∵AM ＞0，∴AM ＝1，则ON MN AM 211=-=-=，3×1＝3答：小路ON 段的建造费用为3万元．（2）由正弦定理得：AM AO OM2sin sin sin()33θπθ==-则AO sin θ=，sin OM sin θθθ-=sin 3sin ON MN AM 2sin sin θθθθθθ-=-=-=设小路AO 段与ON 段的建造总费用为()f θ则9sin ()4AO 3ON sin f θθθθ-+=+=，63ππθ<<2()sin f θθθ'=，若0θ满足03cos 4θ=，且063ππθ<<，列表如下：则当＝0θ时，()f θ有极小值，此时也是()f θ的最小值 ∴03cos cos 4θθ== 答：当cos 34=，小路AO 段与ON 段的建造总费用最小．20、附加题：1、2,4-==b a ；⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-52511011031M 2、02:1=-+y x C ；0434:222=--+y x y x C 相交3、615；630 4、（1）10099； （2）201)0(==X P ；209)1(==X P ；209)2(==X P ；201)3(==X P 23)(=X E。
江苏省南通市2019届高三下学期4月阶段测试数学试题含附加题
江苏省南通市2019届高三下学期阶段测试数学试题2019.4一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1.已知,x y R ∈，i 为虚数单位，且(2)1x i y i --=-+，则=+y x ▲ .2. 设集合{1,1,3}A =-，2{2,4}B a a =++，{3}A B ⋂=，则实数a 的值为 ▲ .3. 从某班抽取5名学生测量身高(单位：cm)，得到的数据为160,162,159,160,159，则该组数据的方差s 2＝ ▲ .4. 执行如图所示的伪代码，若输出的y 的值为13，则输入的x 的值是 ▲ . Read xIf x ≤2 Theny ←6xElse y ←x ＋5End IfPrint y5．函数22log (2)y x x =-的单调递增区间为 ▲ .6. 100张卡片上分别写有1,2,3，…，100的数字．从中任取1张，则这张卡片上的数是6的倍数的概率是 ▲ .7. 已知一个正四棱锥的侧棱长为2，侧棱与底面所成的角为60°，则该棱锥的体积为 ▲ .8. 记公比为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1＝1，S 4－5S 2＝0，则S 5的值为 ▲ .9. 已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3(0≤x <π)，且f (α)＝f (β)＝13(α≠β)，则α＋β＝ ▲ . 10. 已知点(1,0),(1,0)A B -，若圆22(1)(2)1x a y a -++--=上存在点M 满足3MA MB ⋅=,则实数a 的取值范围是 ▲ .11. 已知函数，其中e 是自然对数的底数．若，则实数的取值范围是 ▲ ．12. 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上有一个点A ，它关于原点的对称点为B ，点F 为椭圆的右焦点，且满足AF ⊥BF ，当∠ABF ＝π12时，椭圆的离心率为 ▲ .13. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2cos A ＝b 3cos B ＝c 6cos C，则cos A cos B cos C ＝ ▲ .14. 记实数12,,,n x x x 中的最大数为12max{,,,}n x x x ，最小数为12min{,,,}n x x x .已知实数1x y ≤≤且三数能构成三角形的三边长，若11max ,,min ,,x x t y y x y x y ⎧⎫⎧⎫=⋅⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，则t 的取值范围是 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤．15. （本小题满分14分）在ABC ∆中，角A B C ,,的对边分别为,,a b c ，已知,,a b c 成等比数列，且3cos 4B =． （1）若32BA BC ⋅=，求a c +的值； （2）求cos cos sin sin A C A C +的值．31()2e ex x f x x x =-+-2(1)(2)0f a f a -+≤a。
2019届江苏省南通中学高三10月阶段考试数学试题
2019届江苏省南通中学高三10月阶段考试数学试题一、填空题:本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．． 置上．．． 1． 命题“x ∈R ,使得x sin x －1≤0”的否定是 ▲ ．答案:x ∈R ，使得xsin x －1〉0解析:直接改写，原命题的否定为“x ∈R ，使得x sin x －1>0”．2．已知集合A ＝｛1,2, 3}，那么A 的非空真子集的个数是 ▲ ．答案 6．3．“22a b >”是“22log log a b >”的 ▲ 条件．答案 必要不充分解析 若2a >2b ，只能得到a 〉b ,但不能确定a ，b 的正负性，当0〉a 〉b 时，log 2a ，log 2b 均无意义,更不能比较其大小,从而未必有“log 2a 〉log 2b ”；若log 2a >log 2b ，则可得a 〉b >0，从而有2a 〉2b 成立．综上，“2a >2b ”是“log 2a >log 2b ”的必要不充分条件．4．设{}223A y y x ==+，{B x y == 则A B =_ ▲ _．提示 因为2233y x =+≥，即[)3,A =+∞，由[]216044,4,4x x B -≥⇒-≤≤=-所以,所以[)[][]3,4,43,4A B =+∞-=5．若“21x >”是“x a <"的必要不充分条件，则a 的最大值为 ▲ _．答案－16．设()f x ，()g x 在(,)a b 上可导，且()()f x g x ''>，则当a x b <<时,有()()f x g a + ▲ ()()f a g x +．(填“<”“>”或“=”）答案 >解析 ∵f ′(x ）－g ′(x ）>0,∴(f （x )－g （x ）)′>0，∴f （x ）－g (x ）在[a ，b ]上是增函数，∴当a <x 〈b 时f (x ）－g （x )>f (a ）－g (a ），∴f （x ）＋g (a )>g (x )＋f (a )．7．已知2()y f x x =+是奇函数,且f （1）＝1．若g （x )＝f （x ）＋2，则g （－1）＝ ▲ ． 答案 －1解析 ∵y ＝f (x )＋x 2是奇函数,∴f （－x ）＋(－x )2＝－［f （x ）＋x 2]，∴f (x ）＋f （－x ）＋2x 2＝0．∴f （1）＋f (－1）＋2＝0． ∵f (1)＝1，∴f （－1)＝－3．∵g (x )＝f (x ）＋2,∴g （－1)＝f （－1)＋2＝－3＋2＝－1．8．下列命题的否定中真命题的个数是 ▲ ．①p ：当Δ〈0时，方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0，a ，b ，c ∈R )无实根；②q :存在一个整数b ,使函数f （x )＝x 2＋bx ＋1在[0,＋∞)上是单调函数；③r :存在x ∈R ，使x 2＋x ＋1≥0不成立．答案 1解析 由于命题p 是真命题,∴命题①的否定是假命题;命题q 是真命题，∴命题②的否定是假命题；命题r 是假命题，∴命题③的否定是真命题．故只有一个是正确的．9．已知函数f (x ）＝mx 3＋nx 2的图象在点（－1，2)处的切线恰好与直线3x ＋y ＝0平行，若f (x ）在区间［t ,t＋1］上单调递减,则实数t 的取值范围是 ▲ ．答案 ［－2,－1]解析 由题意知，点(－1，2）在函数f (x )的图象上，故－m ＋n ＝2．①又f ′（x ）＝3mx 2＋2nx ,则f ′(－1）＝－3，故3m －2n ＝－3．②联立①②解得：m ＝1，n ＝3，即f （x ）＝x 3＋3x 2，令f ′(x )＝3x 2＋6x ≤0，解得－2≤x ≤0，则［t ,t ＋1]⊆［－2，0]，故t ≥－2且t ＋1≤0,所以t ∈[－2,－1]．10．已知函数2(3)()log (4)a f x ax -=+在区间[1,1]-上是单调递增,则实数a 的取值范围为 ▲ ．答案 (2,(2,4)-11．已知函数f (x ）＝x sin x ,x ∈R ,则f （－4），f （错误!）,f （－错误!）的大小关系为 ▲ (用“〈”连接）． 答案 f （错误!）<f (－4）〈f （－错误!)解析 ∵f ′(x ）＝sin x ＋x cos x ,当x ∈错误!时，sin x <0，cos x <0，∴f ′（x ）＝sin x ＋x cos x <0,则函数f (x ）在区间错误!上为减函数，∵错误!〈4〈错误!,∴f （错误!)<f （4)<f （错误!)，又函数f (x )为偶函数,∴f (错误!)<f (－4）〈f （－错误!）．12．已知a ，b ∈R ，若关于x 的不等式ln x ≤a （x －2)＋b 对一切正实数x 恒成立，则当a ＋b 取最小值时，b的值为 ▲ ．【答案】ln3－错误!．【提示】在平面直角坐标系xOy 中，分别作出y ＝ln x 及y ＝a （x －2)＋b 的图像，不等式ln x ≤a （x －2）＋b 对一切正实数x 恒成立,即直线y ＝a (x －2)＋b 恒在曲线y ＝ln x 的上方．a ＋b 最小，即直线y ＝a (x －2)＋b 与x ＝3交点的纵坐标最小．根据图像可知：a ＋b 的最小值为ln3，此时直线y ＝a (x －2）＋b 与曲线y ＝ln x 相切于点（3，ln3)，因此有：a ＝错误!，从而b ＝ln3－错误!．13．设m ，k 为整数，方程mx 2－kx ＋2＝0在区间(0,1)内有两个不同的根，则m ＋k 的最小值为▲．将k看做函数值，m看做自变量,画出可行域如图阴影部分所示，因为m，k均为整数,结合可行域可知k＝7，m＝6时，m＋k最小,最小值为13．14．已知函数f（x）＝x3－ax＋1，g(x)＝3x－2，若函数F(x）＝错误!有三个零点，则实数a的取值范围是▲．【答案】a＞错误!．【提示】二、解答题：本大题共6小题,共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答。
江苏省南通市通州高级中学2019年高三数学理月考试题含解析
江苏省南通市通州高级中学2019年高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知是函数的图象与轴的两个不同交点，其图象的顶点为，则面积的最小值是（）A．１B．C．D．参考答案：A略2. 观察下列关于变量和的三个散点图，它们从左到右的对应关系依次是A．正相关、负相关、不相关B．负相关、不相关、正相关C．负相关、正相关、不相关D．正相关、不相关、负相关参考答案：D略3. 设二元一次不等式组所表示的平面区域为，使函数的图象过区域的的取值范围是（）A．B．C．D．参考答案：C4. 复数=A．2i B．-2i C．2D．-2参考答案：A略5. 下列命题错误的是A. 命题“若，则”的逆否命题为“若中至少有一个不为，则”；B. 若命题，则；C. 中，是的充要条件；D. 若向量满足，则与的夹角为钝角.参考答案：D与的夹角为时，，但与的夹角不是钝角,所以D错6. 下列命题中，真命题是（）A.，使得B.，有C.，使得D.，有参考答案：D7. 已知（）A.3B.1C.D.参考答案：C略8. 已知直线和平面、满足，，．在，，这三个关系中，以其中两个作为条件，余下一个作为结论所构成的命题中，真命题的个数是A．0 B．1 C． 2 D．3参考答案：答案：C9. 设是三个互不重合的平面，m、n是两条不重合的直线,则下列命题中正确的是A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则参考答案：B10. 已知命题：函数的图象恒过定点；命题：若函数为偶函数，则函数的图象关于直线对称，则下列命题为真命题的是A．B．C． D.参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数，若直线对任意的都不是曲线的切线，则的取值范围为▲．参考答案：【答案解析】解析：解：因为直线的斜率为，曲线的切线斜率为的值域，导数的值域为，所以根据题意可知.【思路点拨】根据导数的几何意义可知曲线切线的斜率取值范围，再求出直线的斜率，由题意可求出正确结论.12.复数，i为虚数单位，若，则复数z＝。
江苏省南通市2019届高三年级阶段性学情联合调研数学试的题目
2019届高三年级阶段性学情联合调研数学试题（I ）1参考公式：锥体的体积V =-Sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高。
3一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1、已知集合A =「1,3,5二B =「2,3?，则集合AUB中的元素个数为▲.2、已知复数z = a 3i （i为虚数单位），若z2是纯虚数，则实数a的值为▲.3、已知双曲线C: x2 - y2=：1，则点（4,0）到C的渐近线的距离为▲.4、设命题p: x >4 ;命题q : x2 -5x +4兰0,那么p是q的▲条件（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）5、函数f x = In x -2的定义域为▲.6、在ABC中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c，若C , b = •、. 6, c = 3，则A = ▲.37、设等差数列（a j的公差为d，其前n项和为S n,若a4+a,0 =0 , 2S2 =S2+10，则d的值为▲&如图，已知正方体ABCD - ABC1D1的棱长为1,则四棱锥A - BB^D的体积为▲0119、已知函数f X i；二si nx x ：二0,二I与函数g x tanx的图象交于A, B,C三点，则ABC的3面积为▲.10、设m,n为空间两条不同的直线，:-/-为空间两个不同的平面，给岀下列命题：①若m // ：• ,m // ：,则：7/ ：; ②若m _ ：•, m // ：,则二丄：；③若m // ：• ,m // n,则n // ：•；④若m _：•,：•//：,则m _ :.其中的正确命题序号是_▲_ .11、设x 0, y・0 ,向量a = 1 -x,4 , b = x, -y，若a / b，则x y的最小值为▲.12、已知函数f x =e x-ef-2x，则不等式f x-4 f 3x 0的解集为▲.fj ln （x T ）, x a 113、已知函数f x ，若函数g x i=f x -a有三个不同的零点，则实数a的[2x'+1,x「取值范围是 ______ ▲ .14、已知直线l : y二kx • 3与圆C: x2• y2 -2y = 0无公共点，AB为圆C的直径，若在直线l上存在点P 使得P A PB =1,则直线l 的斜率k 的取值范围是▲.二、解答题（本大题共6小题，计90分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）15、（本小题满分14分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知角:-的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它（34、的终边过点P -,- 4 •I 5 5丿（1）求 sin （ '）的值；35⑵若角：满足sin （二• ■.-■） ，求cos ：的值.16、（本小题满分14分）如图，在三棱柱 ABC - AB .G 中，侧面 AABB 为菱形， 且/AAB =60 , AC =BC , D 是AB（1）求证：BG //平面A DC ;的中点. B 1A 1C 1C（第16题）⑵求证：平面ADC _平面ABC .17、（本小题满分14分）2 2已知椭圆E:笃•爲=1 a b . 0的左右焦点坐标为F! --、3,0 , F2 .3,0 ，且椭圆E经a b过点P - … 3, —°I 2丿（1）求椭圆E的标准方程；（2）设点M是椭圆E上位于第一象限内的动点，代B分别为椭圆E的左顶点和下顶点，直线MB与x轴交于点C，直线MA与y轴交于点D，求四边形ABCD的面积。
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2019届江苏省南通中学高三10月阶段考试数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．． 置上．．． 1． 命题“$x ∈R ，使得x sin x －1≤0”的否定是 ▲ ．答案："x ∈R ，使得xsin x －1>0解析：直接改写，原命题的否定为“"x ∈R ，使得x sin x －1>0”． 2．已知集合A ＝{1,2, 3}，那么A 的非空真子集的个数是 ▲ ．答案 6．3．“22a b >”是“22log log a b >”的 ▲ 条件． 答案 必要不充分解析 若2a >2b ，只能得到a >b ，但不能确定a ，b 的正负性，当0>a >b 时，log 2a ，log 2b 均无意义，更不能比较其大小，从而未必有“log 2a >log 2b ”； 若log 2a >log 2b ，则可得a >b >0，从而有2a >2b 成立． 综上，“2a >2b ”是“log 2a >log 2b ”的必要不充分条件．4．设{}223A y y x ==+，{B x y == 则AB =_ ▲ _．提示 因为2233y x =+≥，即[)3,A =+∞，由[]216044,4,4x x B-≥⇒-≤≤=-所以，所以[)[][]3,4,43,4AB =+∞-=5．若“21x >”是“x a <”的必要不充分条件，则a 的最大值为 ▲ _． 答案－16．设()f x ，()g x 在(,)a b 上可导，且()()f x g x ''>，则当a x b <<时，有()()f x g a + ▲()()f a g x +．(填“<”“>”或“=”)答案 >解析 ∵f ′(x )－g ′(x )>0，∴(f (x )－g (x ))′>0， ∴f (x )－g (x )在[a ，b ]上是增函数， ∴当a <x <b 时f (x )－g (x )>f (a )－g (a )，∴f (x )＋g (a )>g (x )＋f (a )．7．已知2()y f x x =+是奇函数，且f (1)＝1．若g (x )＝f (x )＋2，则g (－1)＝ ▲ ． 答案 －1解析 ∵y ＝f (x )＋x 2是奇函数，∴f (－x )＋(－x )2＝－[f (x )＋x 2]，∴f (x )＋f (－x )＋2x 2＝0．∴f (1)＋f (－1)＋2＝0． ∵f (1)＝1，∴f (－1)＝－3．∵g (x )＝f (x )＋2，∴g (－1)＝f (－1)＋2＝－3＋2＝－1．8．下列命题的否定中真命题的个数是 ▲ ．①p ：当Δ<0时，方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0，a ，b ，c ∈R )无实根； ②q ：存在一个整数b ，使函数f (x )＝x 2＋bx ＋1在[0，＋∞)上是单调函数； ③r ：存在x ∈R ，使x 2＋x ＋1≥0不成立． 答案 1解析 由于命题p 是真命题，∴命题①的否定是假命题； 命题q 是真命题，∴命题②的否定是假命题； 命题r 是假命题，∴命题③的否定是真命题． 故只有一个是正确的．9．已知函数f (x )＝mx 3＋nx 2的图象在点(－1，2)处的切线恰好与直线3x ＋y ＝0平行，若f (x )在区间[t ，t ＋1]上单调递减，则实数t 的取值范围是 ▲ ． 答案 [－2，－1]解析 由题意知，点(－1,2)在函数f (x )的图象上，故－m ＋n ＝2．① 又f ′(x )＝3mx 2＋2nx ，则f ′(－1)＝－3，故3m －2n ＝－3．② 联立①②解得：m ＝1，n ＝3，即f (x )＝x 3＋3x 2，令f ′(x )＝3x 2＋6x ≤0，解得－2≤x ≤0，则[t ，t ＋1]⊆[－2,0]，故t ≥－2且t ＋1≤0，所以t ∈[－2，－1]．10．已知函数2(3)()log (4)a f x ax -=+在区间[1,1]-上是单调递增，则实数a 的取值范围为 ▲ ．答案 (2,(2,4)-11．已知函数f (x )＝x sin x ，x ∈R ，则f (－4)，f (4π3)，f (－5π4)的大小关系为 ▲ (用“<”连接)．答案 f (4π3)<f (－4)<f (－5π4)解析 ∵f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，当x ∈⎣⎡⎦⎤5π4，4π3时，sin x <0，cos x <0， ∴f ′(x )＝sin x ＋x cos x <0，则函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤5π4，4π3上为减函数， ∵5π4<4<4π3，∴f (4π3)<f (4)<f (5π4)， 又函数f (x )为偶函数，∴f (4π3)<f (－4)<f (－5π4)．12．已知a ，b ∈R ，若关于x 的不等式ln x ≤a (x －2)＋b 对一切正实数x 恒成立，则当a ＋b 取最小值时，b的值为 ▲ ．【答案】ln3－13．【提示】在平面直角坐标系xOy 中，分别作出y ＝ln x 及y ＝a (x －2)＋b 的图像， 不等式ln x ≤a (x －2)＋b 对一切正实数x 恒成立，即直线y ＝a (x －2)＋b 恒在曲线y ＝ln x 的上方．a ＋b 最小，即直线y ＝a (x －2)＋b 与x ＝3交点的纵坐标最小． 根据图像可知：a ＋b 的最小值为ln3，此时直线y ＝a (x －2)＋b 与曲线y ＝ln x 相切于点(3，ln3)，因此有：a ＝13，从而b ＝ln3－13．13．设m ，k 为整数，方程mx 2－kx ＋2＝0在区间(0,1)内有两个不同的根，则m ＋k 的最小值为▲ ．将k 看做函数值，m 看做自变量，画出可行域如图阴影部分所示，因为m ，k 均为整数，结合可行域可知k ＝7，m ＝6时，m ＋k 最小，最小值为13．14．已知函数f (x )＝x 3－ax ＋1，g (x )＝3x －2，若函数F (x )＝⎩⎨⎧f (x )，f (x )≥g (x )，g (x )，f (x )＜g (x )，有三个零点，则实数a 的取值范围是 ▲ ．【答案】a ＞3518．【提示】二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知α，β为钝角，且sin α＝35，cos2β＝－35．（1）求tan β的值；（2）求cos(2α＋β)的值．解：（1）因为cos2β＝－35，cos2β＝2cos 2β－1，所以 2cos 2β－1＝－35，解得cos 2β＝15． …………………… 2分因为β为钝角，所以cos β＝－55． 从而sin β＝1－cos 2β＝1－15＝255． …………………… 5分 所以tan β＝sin βcos β＝255－55＝－2． …………………… 7分（2）因为α为钝角，sin α＝35，所以cos α＝－1－sin 2α＝－1－(35)2＝－45． …………………… 9分所以 sin2α＝2sin αcos α＝2×35×(－45)＝－2425，cos2α＝1－2sin 2α＝1－2×(35)2＝725． …………………… 11分从而cos(2α＋β)＝cos2αcos β－sin2αsin β＝725×(－55)－(－2425)×255＝415125． …………………… 14分 16．（本小题满分14分）已知命题p ：方程2x 2＋ax －a 2＝0在[－1,1]上有解；命题q ：只有一个实数x 0满足不等式x 20＋2ax 0＋2a ≤0，若命题“p 或q ”是假命题，求a 的取值范围． 解 由2x 2＋ax －a 2＝0得(2x －a )(x ＋a )＝0,∴x ＝a2或x ＝－a ，∴当命题p 为真命题时⎪⎪⎪⎪a 2≤1或|－a |≤1，∴|a |≤2． 又“只有一个实数x 0满足不等式x 20＋2ax 0＋2a ≤0”， 即抛物线y ＝x 2＋2ax ＋2a 与x 轴只有一个交点， ∴Δ＝4a 2－8a ＝0，∴a ＝0或a ＝2． ∴当命题q 为真命题时，a ＝0或a ＝2． ∴命题“p 或q ”为真命题时，|a |≤2． ∵命题“p 或q ”为假命题，∴a >2或a <－2． 即a 的取值范围为{a |a >2或a <－2}．17．（本小题满分14分）销售甲种商品所得利润是P 万元，它与投入资金t 万元的关系有经验公式P ＝att ＋1，销售乙种商品所得利润是Q 万元，它与投入资金t 万元的关系有经验公式Q ＝bt ，其中a ，b 为常数．现将3万元资金全部投入甲、乙两种商品的销售：若全部投入甲种商品，所得利润为 94 万元；若全部投入乙种商品，所得利润为1万元．若将3万元资金中的x 万元投入甲种商品的销售，余下的投入乙种商品的销售，则所得利润总和为f (x )万元． （1）求函数f (x ) 的解析式；（2）怎样将3万元资金分配给甲、乙两种商品，才能使所得利润总和最大，并求最大值． 解：（1）由题意，P ＝att ＋1，Q ＝bt ，故当t ＝3时，P ＝3a 3＋1＝94，Q ＝3b ＝1． …………………… 3分解得 a ＝3，b ＝13． …………………… 5分所以 P ＝3t t ＋1，Q ＝13t ．从而 f (x )＝3x x ＋1＋3－x3，x ∈[0，3]． …………………… 7分（2）由（1）可得：f (x )＝3x x ＋1＋3－x 3＝133－(3x ＋1＋x ＋13)．…………………… 9分因为x ∈[0，3]，所以x ＋1∈[1，4]， 故3x ＋1＋x ＋13≥2，从而 f (x )≤133－2＝73． …………………… 11分当且仅当3x ＋1＝x ＋13，即x ＝2时取等号．所以f (x )的最大值为 73．答：分别投入2万元、1万元销售甲、乙两种商品时，所得利润总和最大，最大利润是73万元． …………………… 14分 18．（本小题满分16分）设[]11A =-，，[]22B =-，函数()221f x x mx =+-． （1）设不等式()0f x …的解集为C ，当()C A B ⊆I 时，求实数m 的取值范围； （2）若对任意x ∈R ，都有()()11f x f x -=+成立，试求x B ∈时，函数()f x 的值域； （3）设()()22g x x a x mx a =---∈R ，求()()f x g x +的最小值.【答案】(1)]1,1[-；(2)[]3,15-；(3)当1a ≤-时，()min 22f x a =--，当11a -<<时，()2min 1f x a =-，当1a ≥时，()min 22f x a =-．【解析】（1）由[][]1122A B =-=-，，，，知：[]1,1A B ⋂=-，且二次函数()f x 的开口向上，()01f =-，由题意知不等式()0f x ≤的解集为C ，当()C A B ⊆⋂时∴函数()f x 必有两零点，且两零点均在区间[]1,1-内，故只需：()()1010f f -≥⎧⎪⎨≥⎪⎩，解得11m -≤≤ ．（3）令()()()h x f x g x =+，则()222221,21221,x x a x ah x x x a x x a x a⎧+--≥⎪=+--=⎨-+-≤⎪⎩ ，①当1a ≤-时，函数()f x 在区间(),1-∞-是减函数，()1,-+∞是增函数，此时()min 22f x a =-- ……………………11分②当11a -<<时，函数()f x 在区间(),a -∞是减函数，(),a +∞是增函数，此时()2min 1f x a =-……………………13分③当1a ≥时，函数()f x 在区间(),1-∞是减函数，()1,+∞是增函数， 此时()min 22f x a =- ．综上：当1a ≤-时，()min 22f x a =--，当11a -<<时()2min 1f x a =-，当1a ≥时()min 22f x a =- ． 19．（本小题满分16分）已知函数3()3f x x x a =+-，a ∈R ．（1）当1a =时，求曲线()y f x =在x ＝2处的切线方程； （2）当[1,1]x ∈-时，求函数f (x )的最小值；（3）已知0a >，且任意x ≥1有f (x ＋a )－f (1＋a )≥15a 2ln x ，求实数a 的取值范围． 解：（1）当x ＞1时，f (x )＝x 3＋3x －3，f (2)＝11．由f'(x )＝3x 2＋3，得f'(2)＝15．所以y ＝f (x )在x ＝2处的切线方程为y ＝15(x －2)＋11即15x －y －19＝0． （2）①当a ≤－1时，得f (x )＝x 3＋3x －3a ，因为f'(x )＝3x 2＋3＞0，所以f (x )在[－1，1]单调递增，所以f (x )min ＝f (－1)＝－4－3a ． ②当a ≥1时，得f (x )＝x 3－3x ＋3a ，因为f'(x )＝3x 2－3≤0， 所以f (x )在[－1，1]单调递减，所以f (x )min ＝f (1)＝－2＋3a ．③当－1＜a ＜1时，f (x )＝⎩⎨⎧x 3＋3x －3a ，a ＜x ＜1，x 3－3x ＋3a ，－1＜x ≤a ，由①②知：函数f (x )在(－1，a )单调递减，(a ，1)单调递增， 所以f (x )min ＝f (a )＝a 3．综上，当a ≤－1，f (x )min ＝－4－3a ；当－1＜a ＜1时，f (x )min ＝a 3； 当a ≥1时，f (x )min ＝－2＋3a ．（3）当a ＞0，且任意x ≥1有f (x ＋a )－f (1＋a )≥15a 2ln x ，即对任意x ≥1有(x ＋a )3＋3x －15a 2ln x －(a ＋1)3－3≥0． 设g (x )＝(x ＋a )3＋3x －15a 2ln x －(a ＋1)3－3，则g (1)＝0，g'(x )＝3(x ＋a )2＋3－15a 2x ．设h (x )＝g'(x )＝3(x ＋a )2＋3－15a 2x，因为a ＞0，x ≥1，所以h'(x )＝6(x ＋a )＋15a 2x 2＞0，所以h (x )在[1，＋∞)单调递增，所以h (x )≥h (1)，即g'(x )≥g'(1)＝3(1＋a )2＋3－15a 2＝－(a －1)(2a ＋1)， ① 当g'(1)≥0即0＜a ≤1时，所以g'(x )≥0恒成立，所以g (x )在[1，＋∞)单调递增，此时g (x )≥g (1)＝0，满足题意． ② 当g'(1)＜0即a ＞1时，因为g'(a )＝12a 2－15a ＋3＝3(a －1)(4a －1)＞0，且g'(x )在[1，＋∞)单调递增， 所以存在唯一的x 0＞1，使得g'(x 0)＝0，因此当1＜x ＜x 0时g'(x )＜0；当x ＞x 0时g'(x )＞0； 所以g (x )在(1，x 0)单调递减，(x 0，＋∞)单调递增． 所以g (x 0)＜g (1)＝0，不满足题意． 综上，0＜a ≤1．20．（本小题满分16分）已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞,若()f x y x=在(0,)+∞上为增函数, 则称()f x 为“一阶比增函数”；若2()f x y x =在(0,)+∞上为增函数, 则称()f x 为“二阶比增函数”；我们把所有“一阶比增函数” 组成的集合记为A ，所有“二阶比增函数” 组成的集合记为B . （1）设函数32()2(2)(1)f x ax a x a x =--+-(0x >，a ∈R )①求证：当0a =时，()()f x A B ∈I ；②若()f x A ∈，且()f x B ∉，求实数a 的取值范围；（2）对定义在(0,)+∞上的函数()f x ,若()f x B ∈,且存在常数k ,使得(0,)x ∀∈+∞，()f x k <，求证:()0f x <.试题分析：(1)运用题设中定义的新概念进行推理和论证即可获解；(2)借助题设中定义的新的概念进行推理和论证，运用转化与化归的数学思想即可获解. 【解析】（1）①证明: 当0a =时,()()240f x x x x =->, 则()41f x y x x==-在()0,+∞上为增函数； ()214f x y x x==在()0,+∞上为增函数,()f x A B ∴∈ ； ②解：()()()2221f x y ax a x a x ==--+-,在()0,+∞上为增函数, 则()0,022202a a a a>⎧⎪∴<≤-⎨≤⎪⎩, ()()2122f x a y ax a x x-==--+在()0,+∞上为增函数, 21'0a y a x -=-≥在()0,+∞上恒成立, 所以01a ≤≤则a 的范围为(1,2]（2）证明：：假设存在()00,x ∈+∞使得()00f x >,记()020f x m x =>,因为()f x B ∈,所以()f x 为“二阶比增函数” , 即()2f x y x =是增函数, 所以当00x x >>时, ()()0220f x f x m x x >=,即()2f x mx >,所以一定存在100x x >>,使得()211f x mx k >>成立, 这与()f x k <对任意的()0,x ∈+∞成立矛盾, 所以()0f x ≤对任意的()0,x ∈+∞都成立；再证明()0f x =在()0,+∞上无解, 假设存在20x >,使得()20f x =；()f x 为“二阶比增函数” , 即()2f x y x=是增函数, 所以一定存在当320x x >>, 使得()()3222320f x f x x x >=成立, 这与上述的证明结果矛盾. 所以()0f x = , 在()0,+∞上无解, 综上所述, 当()f x B ∈时, 对任意的()0,x ∈+∞,都有()0f x <成立.。