高考数学仿真押题试卷十一含解析

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新教材高考数学临考题号押第11题圆锥曲线含解析

A．双曲线的离心率为 B．双曲线的实轴长为
C．点的横坐标的取值范围为 D．点的横坐标的取值范围为
【答案】AD
【详解】
双曲线：的一条渐近线的方程为 ,
则可设双曲线的方程为 , 过点 , ,解得 ,
双曲线的方程为 ,即 ,
可知双曲线的离心率 ,实轴的长为 ,故选项A正确,选项B错误；
由 ,可知椭圆：的焦点 , ,
【答案】C
【详解】
由题, ,则 ,
所以（当且仅当时,等号成立）．
故选：C．
2．（2021·新高考全国卷Ⅰ数学·高考真题）已知点在圆上,点、 ,则（）
A．点到直线的距离小于
B．点到直线的距离大于
C．当最小时,
D．当最大时,
【答案】ACD
【详解】
圆的圆心为 ,半径为 ,
直线的方程为 ,即 ,
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
设动圆圆心 ,半径为 ,则到的距离 , 到的距离 ,因为被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26,24,
,化简后得 ,相减得 ,将 , 代入后化简可得 .
故选：D.
2．（2021·山东临沂·一模）双曲线的光学性质为：如图①,从双曲线右焦点发出的光线经双曲线镜面反射,反射光线的反向延长线经过左焦点 . 我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”,就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲线新闻灯”的轴截面是双曲线的一部分,如图②,其方程为 , 为其左、右焦点,若从右焦点发出的光线经双曲线上的点和点反射后,满足 , ,则该双曲线的离心率为（）
方法总结
1 、定义法
2 、韦达定理法
3 、设而不求点差法

【全真模拟】高考数学押题试卷含答案

所以④正确.
故选：B.
[点睛]关键点点睛：牢牢抓住所满足的两个性质以及函数的奇偶性、周期性的定义进行分析判断.
三、解答题（本大题满分76分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
17.如图，棱柱中，，底面，，是棱的中点.
（1）求证：直线与直线为异面直线;
[详解] ，
由于是函数图象的对称轴，则，
所以，，
因为，即，，所以，，
当增大时，增大，
由于有且只有一个实数满足：① ;② 是函数图象的对称轴.
所以，，则有，解得 .
因此，实数的取值范围是 .
故答案为： .
[点睛]思路点睛：三角函数图象与性质问题的求解思路：
（1）将函数解析式变形为或的形式;
故方差为，
故答案为： .
8.已知函数为奇函数，若，则 ___________．
[答案]
[解析]
[分析]利用奇函数的性质，代入1和-1，即可求得函数值.
[详解]由题知：，又奇函数，
则，
故，
故答案为：
9.直线：（）被圆：所截得的弦长为，则 ___________．
[答案]
[解析]
截得圆的面积为 .
故答案为：
[点睛]与球有关的计算，要注意利用球的几何性质，结合勾股定理来求解.
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.
13.若，是虚数单位，则“ “是” 为纯虚数“的（）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
（2）将看成一个整体;

高考数学密破仿真预测卷11 文

考试时间：120分钟满分：150分注意事项：1．答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位2．答第1卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号3．答第Ⅱ卷时，必须使用0 5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写．．．．．．，要求字体工整、笔迹清晰作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0 5毫米的黑色墨水签字笔描清楚必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试．．．．．．．．．．．．．．．．题卷、草稿纸上答题无效．．．．．．．．．．．．．4．考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交第Ⅰ卷(共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设{}{}4|,4|2<=<=x x Q x x P ，则（）A ．Q P ⊆B ．P Q ⊆C ．Q C P R ⊆D ．P C Q R ⊆2.i 是虚数单位，ii-25=___________；3．函数()()()1ln 23x x f x x --=-的零点有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【解析】选A 因为函数的定义域为(2,3)(3,)+∞，函数f(x)的没有零点.4. 下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A 产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨)的几组对应数据：x3 4 5 6 y2.5t44.5根据上表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为0.70.35y x =+，那么表中t 的值为A. 3B. 3.15C. 3.5D. 4.55．设O 为坐标原点，(1,1)A ，若点(,)B x y 满足2210101x y x y ⎧+≥⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，则OA OB 取得最小值时，点B 的个数是A.1B.2C.3D.无数个6．三视图如下的几何体的体积为。

【高考押题】2019年高考数学仿真押题试卷(十一)(解析版)

高考数学仿真押题试卷（十一）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知i 为虚数单位，复数z 满足(1)2i z i -=，则下列关于复数z 说法正确的是( ) A ．1z i =--B ．||2z =C ．2z z =D ．22z =【解析】解：由(1)2i z i -=，得，故A 错；||z =B 错；2||2z z z ==，故C 正确；，故D 错误．【答案】C ．2．命题“x R ∀∈，210x x -+…”的否定是( )A ．x R ∀∈，210x x -+<B ．0x R ∃∈，C ．0x R ∃∈，2010x x -+… D ．0x R ∃∈，2010x x -+… 【解析】解：根据全称命题的否定是特称命题，则命题的否定是：0x R ∃∈，【答案】B ．3．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是( )A ．171B ．342C ．683D ．341【解析】解：根据程序框图可知：1i =1S =；2i =2S =；3i =3S =；4i =6S =；5i =，11S =；6i =22S =；7i =，43S =；8i =，86S =；9i =171S =； 10i =，342S =；11i =683S =，1110i =>满足条件．输出683S =，【答案】C ．4．设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且，则( )A ．4παβ-=B ．2παβ+=C ．22παβ-=D ．22παβ+=【解析】解：由，可得，，即，又(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，则，．故，即22παβ+=．【答案】D ．5．已知实数x ，y 满足约束条件，则目标函数的最小值为( )A B C ．2D ．4【解析】解：作出可行域，的几何意义表示可行域中点(,)x y与定点(1,0)D-的距离的平方，可知当1y=时，目标函数取到最小值，x=，0最小值为，【答案】D．6．某一简单几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是()A ．27B ．24C ．18D ．12【解析】解：由三视图可知，该几何体是一个长方体，其长、宽、高分别为3，其体积为．【答案】B ．7．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，若1x ，2x R ∈，则“120x x +=”是“”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】解：函数()f x 是奇函数，∴若120x x +=，则12x x =-，则，即成立，即充分性成立，若()0f x =，满足()f x 是奇函数，当122x x ==时，满足，此时满足，但，即必要性不成立，故“120x x +=”是“”的充分不必要条件，【答案】A ． 8．已知函数，0ω>，||)2πϕ<的部分图象如图所示，点3(0,)2-，(3π，0)，7(,0)3π在图象上，若1x ，27(,)33x ππ∈，12x x ≠，且，则12()(f x x += )A ．3B ．32C ．0D ．32-【解析】解：由条件知函数的周期满足，即24ππω=，则12ω=，由五点对应法得03πωϕ+=，即1032πϕ⨯+=，得6πϕ=-，则，则，得3A =，即，在7(,)33ππ内的对称轴为，若1x ，27(,)33x ππ∈，12x x ≠，且，则1x ，2x 关于43x π=对称，则，则，【答案】D ． 9．若直线与圆相交，且两个交点位于坐标平面上不同的象限，则m 的取值范围是()A ．(0,1)B ．(0,2)C ．(1,0)-D ．(2,0)-【解析】解：根据题意，圆的圆心为(1,0)，半径1r =，与x 轴的交点为(0,0)，(2,0)，设B 为(2,0)；直线即，恒过经过点(0,1)，设(0,1)A ；当直线经过点A 、B 时，即2m =-，若直线与圆相交，且两个交点位于坐标平面上不同的象限，必有20m -<<，即m 的取值范围为(2,0)-；【答案】D ．10．在空间直角坐标系O xyz -中，四面体ABCD 各顶点坐标分别为(2A ，2，1)，(2B ，2，1)-，(0C ，2，1)，(0D ，0，1)，则该四面体外接球的表面积是( )A ．16πB ．12πC ．D ．6π【解析】解：通过各点的坐标可知，A ，B ，C ，D 四点恰为棱长为2的正方体的四个顶点，故此四面体与对应正方体由共同的外接球，故其表面积为：12π，【答案】B ．11．设P 是抛物线2:4C y x =上的动点，Q 是C 的准线上的动点，直线l 过Q 且与(OQ O 为坐标原点）垂直，则P 到l 的距离的最小值的取值范围是( ) A ．(0,1)B ．(0，1]C ．[0，1]D ．(0，2]【解析】解：抛物线24y x =上的准线方程是1x =-设点Q 的坐标为(1,)t -，(0)t ≠．则直线l 的方程为．设与直线l 平行的直线方程为0x ty m -+=．代入抛物线方程可得，由△，可得2m t =．故与直线l 平行且与抛物线相切的直线方程为20x ty t -+=．∴则P 到l 的距离的最小值．【答案】B ． 12．已知函数．若不等式()0f x >的解集中整数的个数为3，则a 的取值范围是( )A ．(13ln -，0]B ．(13ln -，22]lnC ．(13ln -，12]ln -D ．[0，12]ln -【解析】解：，当10a -…时，()0f x '>，此时函数()f x 单调递增，不满足条件，舍去．当10a -<时，，可得11x a=-时取得极大值即最大值．．而f （1）10a =->，f （2）20ln =>，∴必须f （3），f （4）．解得：．a ∴的取值范围是(13ln -，12]ln -．【答案】C ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．已知向量a 与b 的夹角为3π，||||1a b ==，且()a a b λ⊥-，则实数λ= 2 ．【解析】解：向量a 与b 的夹角为3π，||||1a b ==，且()a a b λ⊥-；∴；2λ∴=．【答案】2．14．若21(2)n x x -展开式的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项是 60 ．【解析】解：若21(2)n x x-展开式的二项式系数之和为64，则264n =，6n ∴=．则展开式中的通项公式为，令1230r -=，求得4r =，可得常数项为426260C =，【答案】60．15．在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边交单位圆O 于点(,)P a b ，且75a b +=，则cos(2)2πα+的值是 2425- ．【解析】解：在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边交单位圆O 于点(,)P a b ，∴由任意角的三角函数的定义得，sin b α=，cos a α=．75a b +=，可得：，∴两边平方可得：，可得：，解得：，∴．【答案】2425-． 16．图（1）为陕西博物馆收藏的国宝--唐金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作．该杯型几何体的主体部分可近似看作是双曲线的右支与直线0x =，4y =，2y =-围成的曲边四边形MABQ 绕y 轴旋转一周得到的几何体，如图（2）．N ，P 分别为C 的渐近线与4y =，2y =-的交点，曲边五边形MNOPQ 绕y 轴旋转一周得到的几何体的体积可由祖恒原理（祖恒原理：幂势既同，则积不容异）．意思是：两登高的几何体在同高处被截得的两截面面积均相等，那么这两个几何体的体积相等．那么这两个几何体的体积相等）据此求得该金杯的容积是18π．（杯壁厚度忽略不计）【解析】解：由双曲线，得a3b=，则渐近线方程为y=．设y h=在y轴右侧与渐近线的交点N的横坐标x=，与双曲线第一象限的交点M的横坐标x=，∴金杯的容积是．【答案】18π．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在ABC∆中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若点D为BC中点，且AD=，4∆的面积．a=，求ABC【解析】解：（1），，，1cos 2C ∴=-，0C π<<， 23C π∴=；（2）ADC ∆中，AD =4a =，由余弦定理可得，，，，解可得4AC =，6AC =-（舍)，．18．如图，在三棱柱中，四边形11AA C C 是边长为2的菱形，平面ABC ⊥平面11AA C C ，160A AC ∠=︒，90BCA ∠=︒．（Ⅰ）求证：11A B AC ⊥；（Ⅱ）已知点E 是AB 的中点，BC AC =，求直线1EC 与平面11ABB A 所成的角的正弦值．【解析】（Ⅰ）证明：取AC 的中点O ，连接1A O ，由于平面ABC ⊥平面11AA C C ，1AO AC ⊥，所以：1A O ⊥平面ABC ，所以：1AO BC ⊥，又BC AC ⊥，所以：BC ⊥平面1A AC ，又11AC AC ⊥，1A C 为1A B 的射影，所以：11A B AC ⊥．（Ⅱ）以O 为坐标原点建立空间直角坐标系O xyz -，(0A ，1-，0)，(2B ，1，0)，(0C ，1，0)，1(0C ，2，则：(2,2,0)AB =，，设(m x =，y ，)z 是平面11ABB A 的法向量，所以：100m AB m BB ⎧=⎪⎨=⎪⎩，220x y y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 求得：，由(1E ，0，0) 求得：，直线1EC 与平面11ABB A 所成的角的正弦值．19．一家大型超市委托某机构调查该超市的顾客使用移动支付的情况．调查人员从年龄在20至60的顾客中，随机抽取了200人，调查结果如图：（Ⅰ）为推广移动支付，超市准备对使用移动支付的每位顾客赠送1个环保购物袋．若某日该超市预计有10000人购物，试根据上述数据估计，该超市当天应准备多少个环保购物袋？（Ⅱ）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99.9%的把握认为使用移动支付与年龄有关？（Ⅲ）现从该超市这200位顾客年龄在[55，60]的人中，随机抽取2人，记这两人中使用移支付的顾客为X人，求X的分布列．附：【解析】解：（Ⅰ）根据图中数据，由频率估计概率，根据已知可预计该超市顾客使用移动支付的概率为：，所以超市当天应准备的环保购物袋个数为：．（Ⅱ）由（1）知列联表为：不使用移动支付10 65 75假设移动支付与年龄无关，则，，所以有99.9%的把握认为使用移动支付与年龄有关．（Ⅲ）X可能取值为0，1，2，，，，所以X的分布列为：20．已知两点(2,0)A -、(2,0)B ，动点P 与A 、B 两点连线的斜率PA k ，PB k 满足14PA PB k k =-．（Ⅰ）求动点P 的轨迹E 的方程；（Ⅱ）若H 是曲线E 与y 轴正半轴的交点，则曲线E 上是否存在两点M ，N ，使得HMN ∆是以H 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请说明满足条件的点M 、N 有几对；若不存在，请说明理由．【解析】解：（1）设动点P 的坐标为(,)x y ，因为斜率PA k ，PB k 存在，故2x ≠±，则2PA y k x =+，2PB yk x =-，又动点P 与A 、B 两点连线的斜率PA k ，PB k 满足14PA PB k k =-，所以，化简得，动点P 的轨迹E 的方程为：2214x y +=，(2)x ≠±（2）设能构成等腰直角三角形HMN ，其中H 为(0,1)，由题意可知，直角边HM ，HN 不可能垂直或平行于x 轴，故可设HM 所在直线的方程为1y kx =+，（不妨设0)k > 则HN 所在直线的方程为11y x k=-+，由求得交点28(14kM k -+，2281)14k k -++，（另一交点(0,1))H ，，用1k-代替上式中的k ，得，由||||HM HN =，得，，解得：1k=或k=．当HM斜率1k=时，HN斜率1-；当HM斜率k=时，HN；当HM斜率k=时，HN ．21．设函数，实数[0a∈，)+∞，是自然对数的底数，．（Ⅰ）若()0f x…在x R∈上恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若x e lnx m+…对任意0x>恒成立，求证：实数m的最大值大于2.3．【解析】解：（Ⅰ），()0f x…在x R∈上恒成立，12xeax∴+…，设()12xeh xx=+，，令()0h x'=，解得12x=，当12x>，即()0h x'>，函数单调递增，当12x <，即()0h x'<，函数单调递减，，0a ∴<…故a 的取值范围为；（Ⅱ）设，∴，()0g x '>，可得x>；()0g x '<，可得0x <<()g x ∴在，)+∞上单调递增；在上单调递减．，，∴ 1.6，() 2.3g x ∴>．由（Ⅰ）可得，x e lnx ∴-的最小值大于2.3，故若x e lnx m +…对任意0x >恒成立，则m 的最大值一定大于2.3．请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．[极坐标与参数方程]22．已知直线l 的参数方程为，点(1,2)P 在直线1上．（1）求m 的值；（2）以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线1:4C ρ=与直线l 交于两点A 、B ，求||||PA PB 的值．【解析】解：（1）由于点(1,2)P 在直线1上．直线l 的参数方程为，故代入直线的参数方程得到：2m =．（2）曲线1:4C ρ=，转换为直角坐标方程为：2216x y +=，由于圆与直线l 交于两点A 、B ，把直线的参数方程代入圆的方程得到：，故：12111(t t t =-和2t 为A 、B 对应的参数）．故：． [选修4-5：不等式选讲]23．设函数．（Ⅰ）若对(0,)…恒成立，求实数m的取值范围；f x m∀∈+∞，()a（Ⅱ）若f（2）1<+，求a的取值范围．a【解析】解：（Ⅰ）0a>，a=时取等号，0a>时，，当且仅当1，()f x m…恒成立，∴…，m2（Ⅱ）f（2），，等价于或，a…或，解得2故a的取值范围为，)+∞．。

2023年广东省揭阳市高考数学押题试卷及答案解析

2023年广东省揭阳市高考数学押题试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A＝{x∈Z|﹣1＜x≤2}，B＝{x||x|≤1}，则A∩B＝（）A．{x|0＜x≤1}B．{x|﹣1＜x≤1}C．{1}D．{0，1}2．（5分）复数z＝2﹣i5（其中i为虚数单位）的共轭复数为（）A．2﹣i B．2+i C．1D．33．（5分）已知单位向量，，，满足+＝，则向量和的夹角为（）A．B．C．D．4．（5分）“”是“方程表示的曲线为双曲线”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件5．（5分）“回文联”是对联中的一种，既可顺读，也可倒读．比如，一副描绘厦门鼓浪屿景色的回文联：雾锁山头山锁雾，天连水尾水连天．由此定义“回文数”，n为自然数，且n的各位数字反向排列所得自然数n'与n相等，这样的n称为“回文数”，如：1221，2413142．则所有5位数中是“回文数”且各位数字不全相同的共有（）A．648个B．720个C．810个D．891个6．（5分）已知圆M：（x﹣a）2+（y﹣1）2＝r2（r＞0），若圆M与x轴交于A，B两点，且＝，则r＝（）A．2B．2C．D．17．（5分）如图1，洛书是一种关于天地空间变化脉络的图案，2014年正式入选国家级非物质文化遗产名录，其数字结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，形成图2中的九宫格，将自然数1，2，3，…，n2放置在n行n列（n≥3）的正方形图表中，使其每行、每列、每条对角线上的数字之和（简称“幻和”）均相等，具有这种性质的图表称为“n阶幻方”．洛书就是一个3阶幻方，其“幻和”为15．则7阶幻方的“幻和”为（）A．91B．169C．175D．1808．（5分）已知函数f（x）＝sin x+sin2x在（0，a）上有4个零点，则实数a的最大值为（）A．πB．2πC．πD．3π二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．（多选）9．（5分）进入21世纪以来，全球二氧化碳排放量增长迅速，自2000年至今，全球二氧化碳排放量增加了约40%，我国作为发展中国家，经济发展仍需要大量的煤炭能源消耗．如图是2016﹣2020年中国二氧化碳排放量的统计图表（以2016年为第1年）．利用图表中数据计算可得，采用某非线性回归模型拟合时，；采用一元线性回归模型拟合时，线性回归方程为，．则下列说法正确的是（）A．由图表可知，二氧化碳排放量y与时间x正相关B．由决定系数可以看出，线性回归模型的拟合程度更好C．利用线性回归方程计算2019年所对应的样本点的残差为﹣0.30D．利用线性回归方程预计2025年中国二氧化碳排放量为107.24亿吨（多选）10．（5分）将函数图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，则下列说法正确的是（）A．g（x）的最小正周期为πB．g（x）图象的一个对称中心为C．g（x）的单调递减区间为D．g（x）的图象与函数的图象重合（多选）11．（5分）已知函数，g（x）＝f（x+1）．若实数a，b（a，b均大于1）满足g（3b﹣2a）+g（﹣2﹣a）＞0，则下列说法正确的是（）A．函数f（x）在R上单调递增B．函数g（x）的图象关于（1，0）中心对称C．D．log a（a+1）＞log b（b+1）（多选）12．（5分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1顶点处有一质点Q，点Q每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同．从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次．若质点Q的初始位置位于点A处，记点Q移动n 次后仍在底面ABCD上的概率为P n，则下列说法正确的是（）A．B．P n+1＝+C．点Q移动4次后恰好位于点C1的概率为0D．点Q移动10次后恰好回到点A的概率为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）若正数a，b满足ab＝4，则的最小值为．14．（5分）已知抛物线y2＝2px（p＞0），若过点（1，2）的直线l与抛物线恒有公共点，则p的值可以是．（写出一个符合题意的答案即可）15．（5分）2022年3月，中共中央办公厅、国务院办公厅印发了《关于构建更高水平的全民健身公共服务体系的意见》，再次强调持续推进体育公园建设．如图，某市拟建造一个扇形体育公园，其中，OA＝OB＝2千米．现需要在OA，OB，上分别取一点D，E，F，建造三条分健走长廊DE，DF，EF，若DF⊥OA，EF⊥OB，则DE+EF+FD 的最大值为千米．16．（5分）在四面体ABCD中，已知AB＝CD＝AC＝BD＝2，AD＝BC＝4，记四面体ABCD外接球的球心到平面ABC的距离为d1，四面体ABCD内切球的球心到点A的距离为d2，则的值为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足4a sin B＝3b cos A．（1）求cos A的值；（2）若△ABC的面积为，求的值．18．（12分）已知数列{a n}满足，a2＝4．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记数列的前n项和为S n，求证：S n＜2．19．（12分）如图1，正方形ABCD中，E，F分别为边BC，AD的中点，将四边形EFDC 沿直线EF折起，使得平面CDFE⊥平面ABEF．如图2，点M，N分别满足，．（1）求证：AN⊥平面BMN；（2）求平面AFM与平面BMN夹角的余弦值．20．（12分）数据显示，中国直播购物规模近几年保持高速增长态势，而直播购物中的商品质量问题逐渐成为人们关注的重点．已知某顾客在直播电商处购买了n（n∈N+）件商品．（1）若n＝10，且买到的商品中恰好有2件不合格品，该顾客等可能地依次对商品进行检查．求顾客检查的前4件商品中不合格品件数X的分布列．（2）抽检中发现直播电商产品不合格率为0.2．若顾客购买的n件商品中，至少有两件合格产品的概率不小于0.9984，求n的最小值．21．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，且经过点P（1，）．（1）求椭圆C的方程；（2）A，B为椭圆C上两点，直线PA与PB倾斜角互补，求△PAB面积的最大值．22．（12分）已知函数f（x）＝ln|x|+a cos x+bx，其中a≥0，b∈R．（1）当a＝0时，若f（x）存在大于零的极值点，求b的取值范围．（2）若存在x1，（其中x1≠x2），使得曲线y＝f（x）在点（x1，f（x1））与点（x2，f（x2））处有相同的切线，求a的取值范围．2023年广东省揭阳市高考数学押题试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A＝{x∈Z|﹣1＜x≤2}，B＝{x||x|≤1}，则A∩B＝（）A．{x|0＜x≤1}B．{x|﹣1＜x≤1}C．{1}D．{0，1}【解答】解：集合A＝{x∈Z|﹣1＜x≤2}＝{0，1，2}，B＝{x||x|≤1}＝{x|﹣1≤x≤1}，则A∩B＝{0，1}．故选：D．2．（5分）复数z＝2﹣i5（其中i为虚数单位）的共轭复数为（）A．2﹣i B．2+i C．1D．3【解答】解：∵z＝2﹣i5＝2﹣i4+1＝2﹣i，∴，故选：B．3．（5分）已知单位向量，，，满足+＝，则向量和的夹角为（）A．B．C．D．【解答】解：单位向量，，，满足+＝，∴（）2＝1+1+2cos＜＞＝1，解得cos＜＞＝﹣，∴0≤＜＞≤π，∴向量和的夹角为．故选：A．4．（5分）“”是“方程表示的曲线为双曲线”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【解答】解：∵方程表示的曲线为双曲线，⇔（2a﹣1）a＜0⇔0＜a＜，∴是方程表示的曲线为双曲线的充要条件，故选：C．5．（5分）“回文联”是对联中的一种，既可顺读，也可倒读．比如，一副描绘厦门鼓浪屿景色的回文联：雾锁山头山锁雾，天连水尾水连天．由此定义“回文数”，n为自然数，且n的各位数字反向排列所得自然数n'与n相等，这样的n称为“回文数”，如：1221，2413142．则所有5位数中是“回文数”且各位数字不全相同的共有（）A．648个B．720个C．810个D．891个【解答】解：根据题意，五位“回文数”的万位数字不能为0，有9种情况，千位、百位数字都有10种情况，则五位“回文数”共有9×10×10＝900个，其中，各位数字完全相同的情况有9种，则所有5位数中是“回文数”且各位数字不全相同的共有900﹣9＝891个，故选：D．6．（5分）已知圆M：（x﹣a）2+（y﹣1）2＝r2（r＞0），若圆M与x轴交于A，B两点，且＝，则r＝（）A．2B．2C．D．1【解答】解：∵圆M：（x﹣a）2+（y﹣1）2＝r2（r＞0），∴圆心M（a，1），半径为r，圆心到x轴的距离为1，∵圆M与x轴交于A，B两点，且＝，∴可设|AB|＝，|MB|＝t（t＞0），∴由垂径定理可得，，即，解得t＝2，∴圆的半径r＝t＝2．故选：B．7．（5分）如图1，洛书是一种关于天地空间变化脉络的图案，2014年正式入选国家级非物质文化遗产名录，其数字结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，形成图2中的九宫格，将自然数1，2，3，…，n2放置在n行n列（n≥3）的正方形图表中，使其每行、每列、每条对角线上的数字之和（简称“幻和”）均相等，具有这种性质的图表称为“n阶幻方”．洛书就是一个3阶幻方，其“幻和”为15．则7阶幻方的“幻和”为（）A．91B．169C．175D．180【解答】解：将自然数1，2，3，…，n2放置在n行n列（n≥3）的正方形图表中，使其每行、每列、每条对角线上的数字之和（简称“幻和”）均相等，故当n＝7时，S＝1+2+3+…+49＝，故7阶幻方的“幻和”为×＝175．故选：C．8．（5分）已知函数f（x）＝sin x+sin2x在（0，a）上有4个零点，则实数a的最大值为（）A．πB．2πC．πD．3π【解答】解：∵f（x）＝sin x+sin2x＝sin x（1+2cos x）在（0，a）上有4个零点，∴sin x＝0或cos x＝﹣，∴x＝kπ（k∈Z且k≠0）或x＝2kπ±（k∈Z），当sin x＝0在（0，a）上取到第二个零点，但取不到第三个零点时，a∈（2π，3π]；当y＝cos x与y＝﹣在（0，a）上取到第三个交点时的x的值为，∴满足题意的实数a的最大值为，故选：C．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．（多选）9．（5分）进入21世纪以来，全球二氧化碳排放量增长迅速，自2000年至今，全球二氧化碳排放量增加了约40%，我国作为发展中国家，经济发展仍需要大量的煤炭能源消耗．如图是2016﹣2020年中国二氧化碳排放量的统计图表（以2016年为第1年）．利用图表中数据计算可得，采用某非线性回归模型拟合时，；采用一元线性回归模型拟合时，线性回归方程为，．则下列说法正确的是（）A．由图表可知，二氧化碳排放量y与时间x正相关B．由决定系数可以看出，线性回归模型的拟合程度更好C．利用线性回归方程计算2019年所对应的样本点的残差为﹣0.30D．利用线性回归方程预计2025年中国二氧化碳排放量为107.24亿吨【解答】解：对于A，由图表可知，图象中的点呈上升趋势，即二氧化碳排放量y与时间x正相关，故A正确，对于B，∵，∴线性回归模型的拟合程度更好，故B正确，对于C，2019年，对应x＝4，2019年所对应的样本点的残差为98.06﹣（1.58×4+91.44）＝0.3，故C错误，对于D，2025年，对应x＝10，预计2025年中国二氧化碳排放量为1.58×10+91.44＝107.24亿吨，故D正确．故选：ABD．（多选）10．（5分）将函数图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，则下列说法正确的是（）A．g（x）的最小正周期为πB．g（x）图象的一个对称中心为C．g（x）的单调递减区间为D．g（x）的图象与函数的图象重合【解答】解：将函数图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数g（x）＝cos（2x﹣）的图象，对于A：函数的最小正周期为π，故A正确；对于B：当x＝时，g（）＝0，故B正确；对于C：令（k∈Z），整理得函数的单调递减区间为，故C正确；对于D：函数g（x）＝cos（2x﹣）＝，故D错误．故选：ABC．（多选）11．（5分）已知函数，g（x）＝f（x+1）．若实数a，b（a，b均大于1）满足g（3b﹣2a）+g（﹣2﹣a）＞0，则下列说法正确的是（）A．函数f（x）在R上单调递增B．函数g（x）的图象关于（1，0）中心对称C．D．log a（a+1）＞log b（b+1）【解答】解：对于A，∵＞＝|2x|，∴+2x＞0在R上恒成立，∴f（x）定义域为R，即f（x）的定义域关于原点对称，∵f（x）+f（﹣x）＝ln[（+2x）（﹣2x）]＝ln1＝0，∴f（x）为奇函数，∴函数f（x）的图象关于点（0，0）中心对称，∵y＝x3，y＝+2x，y＝lnx在（0，+∞）上单调递增，∴函数数在（0，+∞）上单调递增，∴函数f（x）在R上单调递增，故A正确；对于B，∵g（x）＝f（x+1）的图象是将y＝f（x）的图象向左平称一个单位得到，∴函数g（x）的图象关于点（﹣1，0）中心对称，故B错误；对于C，∵函数g（x）的图象关于点（﹣1，0）中心对称，∴g（a）+g（﹣2﹣a）＝0，∴﹣g（﹣2﹣a）＝g（a），∵g（3b﹣2a）+g（﹣2﹣a）＞0，∴g（3b﹣2a）＞﹣g（﹣2﹣a）＝g（a），∵g（x）相当于f（x）向左平移1个单位，∴g（x）和f（x）单调性相同，∴函数g（x）在R上单调递增，∴3b﹣2a＞a，∴b＞a＞1，∴e a﹣b＜e0＝1＜，故C错误；对于D，令h（x）＝（x＞1），∴h′（x）＝（x＞1），令s（x）＝xlnx（x＞1），则s′（x）＝lnx+1＞0，∴s（x）在（1，+∞）上单调递增，∴xlnx＜（x+1）ln（x+1），∴h′（x）＝＜0，∴h（x）在（1，+∞）上单调递减，∵b＞a＞1，∴h（a）＞h（b），∴log a（a+1）＞log b（b+1），故D正确．故选：AD．（多选）12．（5分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1顶点处有一质点Q，点Q每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同．从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次．若质点Q的初始位置位于点A处，记点Q移动n 次后仍在底面ABCD上的概率为P n，则下列说法正确的是（）A．B．P n+1＝+C．点Q移动4次后恰好位于点C1的概率为0D．点Q移动10次后恰好回到点A的概率为【解答】解：在正方体中，每一个顶点由3个相邻的点，其中两个在同一底面，∴当点Q在下底面时，随机移动一次仍在下底面的概率为，在上底面时，随机移动一次回到下底面的概率为，∴P2＝＝，故A正确；P n+1＝+＝，故B错误；点Q由点A移动到点C1处至少需要3次，任意折返都需要2次移动，∴移动4次后不可能到达点C1，故C正确；由于P n+1＝+，∴，且P1﹣＝，∴，∴P n＝，∴P9＝，∴点Q移动10次后恰好回到点A的概率为＝，故D正确．故选：ACD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）若正数a，b满足ab＝4，则的最小值为3．【解答】解：因为a＞0，b＞0，且ab＝4，所以≥2＝2×＝2×＝3，当且仅当＝，即a＝，b＝6时取“＝”，所以+的最小值为3．故答案为：3．14．（5分）已知抛物线y2＝2px（p＞0），若过点（1，2）的直线l与抛物线恒有公共点，则p的值可以是不小于2的实数．（写出一个符合题意的答案即可）【解答】解：抛物线方程为y2＝2px（p＞0），若过点（1，2）的直线l与抛物线恒有公共点，则点（1，2）在抛物线内部或在抛物线上，可得22≤2p，即p≥2．∴p的值可以是不小于2的实数．故答案为：不小于2的实数．15．（5分）2022年3月，中共中央办公厅、国务院办公厅印发了《关于构建更高水平的全民健身公共服务体系的意见》，再次强调持续推进体育公园建设．如图，某市拟建造一个扇形体育公园，其中，OA＝OB＝2千米．现需要在OA，OB，上分别取一点D，E，F，建造三条分健走长廊DE，DF，EF，若DF⊥OA，EF⊥OB，则DE+EF+FD的最大值为千米．【解答】解：据题意，设∠BOF＝α，则∠DOF＝，结合OF＝2，EF＝2sinα，，α∈（），显然O，E，F，D四点共圆，且直径为2，故，DE＝，所以DE+EF+FD＝+2（sinα+sin（））＝，易知，当时，原式取得最大值．故答案为：．16．（5分）在四面体ABCD中，已知AB＝CD＝AC＝BD＝2，AD＝BC＝4，记四面体ABCD外接球的球心到平面ABC的距离为d1，四面体ABCD内切球的球心到点A的距离为d2，则的值为．【解答】解：由题意可将四面体ABCD放在一个长方体中，如图所示，设长宽高为a，b，c，则，解得，设外接球的半径为R1，则，在△ABC中，，则，设△ABC的外接圆半径为r，则，则，所以，可得，设四面体ABCD内切球的半径为R2，因为四面体的各个面都相等，且，则，解得，因为d1＝R2，四面体的各个面都相等，则外接球的球心到各个面的距离相等，所以外接球的球心和内切球的球心重合，所以，所以．故答案为：．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足4a sin B＝3b cos A．（1）求cos A的值；（2）若△ABC的面积为，求的值．【解答】解：（1）因为4a sin B＝3b cos A，由正弦定理得：4sin A sin B＝3sin B cos A，因为sin B＞0，所以4sin A＝3cos A，又因为sin2A+cos2A＝1，A∈（0，），所以；（2）由（1）及余弦定理知，整理得：5b2+5c2﹣5a2＝8bc，①由面积公式：，整理得：5a2﹣5c2＝3bc，②由①②得：5b2＝11bc，所以．18．（12分）已知数列{a n}满足，a2＝4．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记数列的前n项和为S n，求证：S n＜2．【解答】解：（1）∵﹣＝1，∴{}是以1为公差的等差数列，又∵a2＝4，﹣＝1，∴＝1，∴＝n，则a n＝n2；（2）证明：由（1）可知＝＝＜＝＝2（﹣），所以S n＝++•••+＜2[（1﹣）+（﹣）+•••+（﹣）]＝2﹣，又n∈N*，故S n＝2﹣＜2．19．（12分）如图1，正方形ABCD中，E，F分别为边BC，AD的中点，将四边形EFDC 沿直线EF折起，使得平面CDFE⊥平面ABEF．如图2，点M，N分别满足，．（1）求证：AN⊥平面BMN；（2）求平面AFM与平面BMN夹角的余弦值．【解答】解：（1）证明：连结AE交BN于点G，连结MG，设AB＝2，因为平面CDFE⊥平面ABEF，平面CDFE∩平面ABEF＝EF，CE⊂平面CDFE，CE⊥EF，所以CE⊥平面ABEF，因为点N是EF的中点，NE∥AB，所以AG＝2GE，又因为AM＝2MC，所以MG∥CE，所以MG⊥平面ABEF，因为AN⊂平面ABEF，所以MG⊥AN，又AB＝2，，所以AN⊥NB，因为NB∩MG＝G，NB，MG⊂平面BMN，所以AN⊥平面BMN．（2）如图，分别以FA，FE，FD所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，所以F（0，0，0），A（1，0，0），，所以，，设平面AFM的法向量为，由，解得，令y＝1，得，由（1）知平面BMN的法向量为，设平面AFM与平面BMN的夹角为θ，所以，所以平面AFM与平面BMN夹角的余弦值为．20．（12分）数据显示，中国直播购物规模近几年保持高速增长态势，而直播购物中的商品质量问题逐渐成为人们关注的重点．已知某顾客在直播电商处购买了n（n∈N+）件商品．（1）若n＝10，且买到的商品中恰好有2件不合格品，该顾客等可能地依次对商品进行检查．求顾客检查的前4件商品中不合格品件数X的分布列．（2）抽检中发现直播电商产品不合格率为0.2．若顾客购买的n件商品中，至少有两件合格产品的概率不小于0.9984，求n的最小值．【解答】解：（1）由题意可知，X的取值为0，1，2．，，．所以顾客检查的前4件商品中不合格品件数X的分布列为X015P（2）记“顾客购买的n件商品中，至少有两件合格产品”为事件A，则，由题意可知1﹣（1+4n）⋅0.2n≥0.9984，所以（1+4n）⋅0.2n≤0.0016，即（1+4n）⋅0.2n﹣4≤1，设f（n）＝（1+4n）⋅0.2n﹣4，则f（n+1）﹣f（n）＝（5+4n）⋅0.2n﹣3﹣（1+4n）⋅0.2n ﹣4＝﹣16n⋅0.2n﹣3＜0，所以f（n+1）＜f（n），因为f（5）＝21×0.2＝4.2＞1，f（6）＝25×0.04＝1，所以当n≥6时，f（n）≤1成立，所以n的最小值为6．21．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，且经过点P（1，）．（1）求椭圆C的方程；（2）A，B为椭圆C上两点，直线PA与PB倾斜角互补，求△PAB面积的最大值．【解答】解：（1）由题意得：，解得：，，∴椭圆方程为．（2）由题意可知直线AB的斜率一定存在，设直线AB的方程为y＝kx+t，A（x1，y1），B（x2，y2），将y＝kx+t代入得：（k2+3）x2+2ktx+t2﹣6＝0，∴，，则y1+y2＝kx1+t+kx2+t＝k（x1+x2）+2t＝，x1y2+x2y1＝x1（kx2+t）+x2（kx1+t）＝kt（x1+x2）+2ktx1x2＝，∵直线PA和直线PB的倾斜角互补，∴，化简可得：，即，即，∵直线AB不过点P，∴，∴，，则，又点P到直线AB的距离为，∵Δ＝12t2﹣24（t2﹣6）＞0，∴，∴，当且仅当时等号成立，∴△PAB面积最大值为．22．（12分）已知函数f（x）＝ln|x|+a cos x+bx，其中a≥0，b∈R．（1）当a＝0时，若f（x）存在大于零的极值点，求b的取值范围．（2）若存在x1，（其中x1≠x2），使得曲线y＝f（x）在点（x1，f（x1））与点（x2，f（x2））处有相同的切线，求a的取值范围．【解答】解：（1）由题意知f（x）＝ln|x|+bx，．①若b≥0，当x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，无极值点；②若b＜0，当x∈（0，﹣）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（﹣，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；f（x）在（0，+∞）上存在唯一的极小值点﹣，故b的取值范围是（﹣∞，0）．（2）由题意，f（x）在点（x1，f（x1））处的切线方程为y﹣f（x1）＝f'（x1）（x﹣x1），即y＝f'（x1）x﹣x1f'（x1）+f（x1），同理f（x）在点（x2，f（x2））处的切线方程为y＝f'（x2）x﹣x2f'（x2）+f（x2），因为两切线相同，所以，化简得，令h（x）＝ax sin x+ln|x|+a cos x，，当时，h'（x）＞0，h（x）单调递增；当时，h'（x）＜0，h（x）单调递减．注意到h（x）为偶函数，且x1≠x2，h（x1）＝h（x2），故x1+x2＝0，令，注意到g（x）的奇函数，所以当x1+x2＝0时，g（x1）+g（x2）＝0，又因为g（x1）＝g（x2），故g（x1）＝g（x2）＝0，因为a＞0，，所以，当时，g（x）单调递减，，当时，g（x）单调递减，．故，所以，即a∈[，+∞）．。

高考数学高三模拟试卷试题压轴押题排列组合典型题大全

高考数学高三模拟试卷试题压轴押题排列组合典型题大全一．可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数【例1】（1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？（2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？（3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法？【解析】：（1）43（2）34（3）34【例2】把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？【解析】：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案，第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有67种不同方案.【例3】 8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（）A、38 B、83 C、38A D、38C【解析】：冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军，把8名学生看作8家“店”，3项冠军看作3个“客”，他们都可能住进任意一家“店”，每个“客”有8种可能，因此共有38种不同的结果。

所以选A1、4封信投到3个信箱当中，有多少种投法？2、4个人争夺3项冠军，要求冠军不能并列，每个人可以夺得多项冠军也可以空手而还，问最后有多少种情况？3、4个同学参加3项不同的比赛（1）每位同学必须参加一项比赛，有多少种不同的结果？（2）每项竞赛只许一名同学参加，有多少种不同的结果？4、5名学生报名参加4项比赛，每人限报1项，报名方法的种数有多少？又他们争夺这4项比赛的冠军，获得冠军的可能性有多少？5、甲乙丙分10瓶汽水的方法有多少种？6、（全国II 文）5位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组,则不同的报名方法共(A)10种(B) 20种(C) 25种 (D) 32种7、5位同学报名参加并负责两个课外活动小组，每个兴趣小组只能有一个人来负责，负责人可以兼职，则不同的负责方法有多少种？8、4名不同科目的实习教师被分配到3个班级，不同的分法有多少种？思考：4名不同科目的实习教师被分配到3个班级，每班至少一个人的不同的分法有多少种？二．相邻问题捆绑法：题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.【例1】,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有【解析】：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A =种例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。

2024学年山东省德州市第一中学高考押题卷(数学试题)试卷解析

2024学年山东省德州市第一中学高考押题卷（数学试题）试卷解析注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在平面直角坐标系xOy 中，将点()1,2A 绕原点O 逆时针旋转90︒到点B ，设直线OB 与x 轴正半轴所成的最小正角为α，则cos α等于( ) A ．255-B ．55-C ．55D ．25-2．如图，用一边长为2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为43π的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为（）A ．22B 3C ．212D 31+ 3．双曲线22:21C x y -=的渐近线方程为( ) A ．20x ±= B ．20x y ±= C 20x y ±=D ．20x y ±=4．把满足条件（1）x R ∀∈，()()f x f x -=，（2）1x R ∀∈，2x R ∃∈，使得()()12f x f x =-的函数称为“D 函数”，下列函数是“D 函数”的个数为（）①2||y x x =+ ②3y x = ③x x y e e -=+ ④cos y x = ⑤sin y x x =A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．函数()22xf x a x=--的一个零点在区间()1,2内，则实数a 的取值范围是（） A ．()1,3B ．()1,2C ．()0,3D ．()0,26．已知集合{}0,1,2,3A =，{|22}B x x =-≤≤，则AB 等于（）A ．{}012,, B ．{2,1,0,1,2}-- C ．{}2,1,0,1,2,3-- D ．{}12, 7．函数()1ln 1y x x=-+的图象大致为( ) A ． B ．C ．D ．8．中，如果，则的形状是（）A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形9．设复数z 满足i(i i2i z z -=-为虚数单位)，则z =（） A ．13i 22- B ．13i 22+ C ．13i 22--D ．13i 22-+ 10．已知抛物线2:4C x y =,过抛物线C 上两点,A B 分别作抛物线的两条切线,,PA PB P 为两切线的交点O 为坐标原点若.0PA PB =,则直线OA 与OB 的斜率之积为（） A ．14-B ．3-C ．18-D ．4-11．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，262,21a S ==，则5a = A ．3B ．4C ．5D ．612．已知||3a =，||2b =，若()a ab ⊥-，则向量a b +在向量b 方向的投影为（） A ．12B ．72C ．12-D ．72-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2022年高考数学(文)命题猜想与仿真押题专题11数列求和及数列的简单应用(仿真押题)教师版

1.已知数列112，314，518，7116，…，则其前n 项和S n 为( )A.n 2＋1－12nB.n 2＋2－12nC.n 2＋1－12n －1D.n 2＋2－12n －1解析由于a n ＝2n －1＋12n ，则S n ＝1＋2n －12n ＋⎝⎛⎭⎫1－12n ·121－12＝n 2＋1－12n .另解：用特值验证. 答案 A2.数列{a n }满足a 1＝2，a n ＝a n ＋1－1a n ＋1＋1，其前n 项积为T n ，则T 2 015＝( )A.13B.－13C.3D.－3答案 C3.在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ，则a n ＝( ) A.2＋ln n B.2＋(n －1)ln n C.2＋n ln nD.1＋n ＋ln n解析 a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝ln n －ln(n －1)＋ln(n －1)－ln(n －2)＋…＋ln 2－ln 1＋2＝2＋ln n . 答案 A4. 122－1＋132－1＋142－1＋…＋1（n ＋1）2－1的值为( ) A.n ＋12（n ＋2）B. 34－n ＋12（n ＋2）C.34－12⎝⎛⎭⎫1n ＋1＋1n ＋2D.32－1n ＋1＋1n ＋2解析 ∵1（n ＋1）2－1＝1n 2＋2n ＝1n （n ＋2）＝12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2，∴122－1＋132－1＋142－1＋…＋1（n ＋1）2－1＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2 ＝12⎝⎛⎭⎫32－1n ＋1－1n ＋2 ＝34－12⎝⎛⎭⎫1n ＋1＋1n ＋2. 答案 C5.各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且3S n ＝a n a n ＋1，则∑nk ＝1a 2k ＝( ) A.n （n ＋5）2B.3n （n ＋1）2C.n （5n ＋1）2D.（n ＋3）（n ＋5）2答案 B6．已知数列{a n }是等差数列，a 1＝tan 225°，a 5＝13a 1，设S n 为数列{(－1)n a n }的前n 项和，则S 2 014＝( ) A ．2 015 B ．－2 015 C ．3 021 D ．－3 021 解析 a 1＝tan 225°＝tan 45°＝1，设等差数列{a n }的公差为d ，则由a 5＝13a 1，得a 5＝13， d ＝a 5－a 15－1＝13－14＝3，∴S 2 014＝－a 1＋a 2－a 3＋a 4＋…＋(－1)2 014a 2 014＝－(a 1＋a 3＋…＋a 2 013)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2 014)＝1 007d ＝1 007×3＝3 021.故选C. 答案 C7．数列{a n }满足：a 1 ＝1，且对任意的m ，n ∈N *都有： a m ＋n ＝a m ＋a n ＋mn ，则1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 2 008＝( )A.2 0072 008B.2 0071 004C.2 0082 009D.4 0162 009法二令m ＝1，得a n ＋1＝a 1＋a n ＋n ＝1＋a n ＋n ，∴a n ＋1－a n ＝n ＋1，用叠加法：a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋2＋…＋n ＝n （n ＋1）2，所以1a n ＝2n （n ＋1）＝2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1.于是1a 1＋1a 2＋…＋1a 2 008＝2⎝⎛⎭⎫1－12＋2⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋2⎝⎛⎭⎫12 008－12 009＝2⎝⎛⎭⎫1－12 009＝4 0162 009，故选D. 答案 D8．设a 1，a 2，…，a 50是以－1，0，1这三个整数中取值的数列，若a 1＋a 2＋…＋a 50＝9且(a 1＋1)2＋(a 2＋1)2＋…＋(a 50＋1)2＝107，则a 1，a 2，…，a 50当中取零的项共有( ) A ．11个 B ．12个 C ．15个 D ．25个解析 (a 1＋1)2＋(a 2＋1)2＋…＋(a 50＋1)2＝a 21＋a 22＋…＋a 250＋2(a 1＋a 2＋…＋a 50)＋50＝107，∴a 21＋a 22＋…＋a 250＝39，∴a 1，a 2，…，a 50中取零的项应为50－39＝11(个)，故选A. 答案 A9．在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n (n ∈N ＋)，则S 100＝( ) A ．1 300 B ．2 600 C ．0 D ．2 602解析原问题可转化为当n 为奇数时，a n ＋2－a n ＝0；当n 为偶数时，a n ＋2－a n ＝2.进而转化为当n 为奇数时，为常数列{1}；当n 为偶数时，为首项为2，公差为2的等差数列．所以S 100＝S 奇＋S 偶＝50×1＋(50×2＋50×492×2)＝2 600. 答案 B10．设f (x )是定义在R 上恒不为零的函数，对任意实数x 、y ∈R ，都有f (x )f (y )＝f (x ＋y )，若a 1＝12，a n ＝f (n )(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和S n 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫12，2B.⎣⎡⎦⎤12，2C.⎣⎡⎭⎫12，1D.⎣⎡⎦⎤12，1 解析 f (x )是定义在R 上恒不为零的函数，对任意实数x 、y ∈R ，都有f (x )f (y )＝f (x ＋y )，a 1＝12，a n ＝f (n )(n ∈N *)，a n ＋1＝f (n ＋1)＝f (1)f (n )＝12a n ，∴S n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝1－⎝⎛⎭⎫12n .则数列{a n }的前n 项和的取值范围是⎣⎡⎭⎫12，1. 答案 C11．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝a 2＝1，{nS n ＋(n ＋2)a n }为等差数列，则a n ＝( ) A.n2n －1 B.n ＋12n －1＋1C.2n －12n －1D.n ＋12n ＋1答案 A12．已知定义在R 上的函数f (x )、g (x )满足f （x ）g （x ）＝a x ，且f ′(x )g (x )<f (x )g ′(x )，f （1）g （1）＋f （－1）g （－1）＝52，若有穷数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫f （n ）g （n ）(n ∈N *)的前n 项和等于3132，则n ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8 解析令h (x )＝f （x ）g （x ）＝a x ，∵h ′(x )＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2<0，∴h (x )在R 上为减函数，∴0<a <1.由题知，a 1＋a －1＝52，解得a ＝12或a ＝2(舍去)，∴f （n ）g （n ）＝⎝⎛⎭⎫12n ，∴有穷数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫f （n ）g （n ）的前n 项和S n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝1－⎝⎛⎭⎫12n ＝3132，∴n ＝5.答案 A13.设S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＝(－1)n a n －12n ，n ∈N *，则(1)a 3＝________；(2)S 1＋S 2＋…＋S 100＝________.答案 (1)－116 (2)13⎝⎛⎭⎫12100－1 14．已知向量a ＝(2，－n )，b ＝(S n ，n ＋1)，n ∈N *，其中S n 是数列{a n }的前n 项和，若a ⊥b ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n a n ＋1a n ＋4的最大项的值为．解析依题意得a ·b ＝0，即2S n ＝n (n ＋1)，S n ＝n （n ＋1）2.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n （n ＋1）2－n （n －1）2＝n ；又a 1＝1，因此a n ＝n ，a n a n ＋1a n ＋4＝n （n ＋1）（n ＋4）＝n n 2＋5n ＋4＝1n ＋4n ＋5≤19，当且仅当n ＝4n ，n ∈N *，即n ＝2时取等号，因此数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n a n ＋1a n ＋4的最大项的值是19.答案 1915．设{a n }是公比大于1的等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和．已知S 3＝7，且a 1＋3，3a 2，a 3＋4构成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式．(2)令b n ＝na n ，n ＝1，2，…，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝7，（a 1＋3）＋（a 3＋4）2＝3a 2，解得a 2＝2. 设数列{a n }的公比为q ，由a 2＝2，可得a 1＝2q ，a 3＝2q .又S 3＝7，可知2q ＋2＋2q ＝7，即2q 2－5q ＋2＝0，解得q ＝2或12.由题意得q >1，所以q ＝2.则a 1＝1.故数列{a n }的通项为a n ＝2n －1. (2)由于b n ＝n ·2n －1，n ＝1，2，…，则T n ＝1＋2×2＋3×22＋…＋n ×2n －1，所以2T n ＝2＋2×22＋…＋(n －1)×2n －1＋n ×2n ，两式相减得－T n ＝1＋2＋22＋23＋…＋2n －1－n ×2n ＝2n －n ×2n －1，即T n ＝(n －1)2n ＋1.16．已知{a n }是单调递增的等差数列，首项a 1＝3，前n 项和为S n ，数列{b n }是等比数列，首项b 1＝1，且a 2b 2＝12，S 3＋b 2＝20.(1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)令c n ＝S n cos(a n π)(n ∈N *)，求{c n }的前n 项和T n .(2)由(1)知c n ＝S n cos 3n π＝⎩⎨⎧S n ＝32n 2＋32n ，n 是偶数，－S n＝－32n 2－32n ，n 是奇数.①当n 是偶数时，T n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n ＝－S 1＋S 2－S 3＋S 4－…－S n －1＋S n ＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a n ＝6＋12＋18＋…＋3n ＝3n （n ＋2）4. ②当n 是奇数时， T n ＝T n －1－S n＝3（n －1）（n ＋1）4－32n 2－32n＝－34(n ＋1)2.综上可得，T n＝⎩⎨⎧3n （n ＋2）4，n 是偶数，－34（n ＋1）2，n 是奇数.17．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝10，a n ＋1＝9S n ＋10. (1)求证：{lg a n }是等差数列；(2)设T n 是数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫3（lg a n ）（lg a n ＋1）的前n 项和，求T n ；(3)求使T n >14(m 2－5m )对全部的n ∈N *恒成立的整数m 的取值集合．(2)解由(1)知，T n ＝ 3⎣⎡⎦⎤11×2＋12×3＋…＋1n （n ＋1）＝3⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝3－3n ＋1.(3)解 ∵T n ＝3－3n ＋1，∴当n ＝1时，T n 取最小值32.依题意有32>14(m 2－5m )，解得－1<m <6，故所求整数m 的取值集合为 {0，1，2，3，4，5}．18.已知数列{a n }前n 项和为S n ，首项为a 1，且12，a n ，S n 成等差数列.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)数列{b n }满足b n ＝(log 2a 2n ＋1)×(log 2a 2n ＋3)，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和.(2)∵b n ＝(log 2a 2n ＋1)×(log 2a 2n ＋3)＝(log 222n＋1－2)×(log 222n＋3－2)＝(2n －1)(2n ＋1)，∴1b n ＝12n －1×12n ＋1＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和T n ＝1b 1＋1b 2＋1b 3＋…＋1b n＝12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1 ＝12⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1.。

2023年新高考数学终极押题卷(含解析)

2023年新高考数学终极押题卷（试卷）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．集合{|13}A x x =-<<，集合{}24B xx =<∣，则A B =（） A ．（-2，2） B ．（-1，2） C ．（-2，3） D ．（-1，3）2．若复数2i13iz -=-，则z =（） ABCD3．已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，且圆锥的母线长为2，则圆锥的侧面积是（）． A．B ．2C ．2πD．4．函数f （x ）＝sin xx （x ∈[﹣π，0]）的单调递增区间是（）A ．[﹣π，﹣56π] B ．[﹣56π，﹣6π]C ．[﹣3π，0]D ．[﹣6π，0]5．已知椭圆C ：221259x y +=，1F ，2F 分别为它的左右焦点，A ，B分别为它的左右顶点，已知定点()4,2Q ，点P是椭圆上的一个动点，下列结论中不正确的是（） A ．存在点P ，使得12120F PF ∠=︒B ．直线PA 与直线PB 斜率乘积为定值C ．12125PF PF +有最小值185D ．1PQ PF +的范围为⎡⎤⎣⎦6．若cos212cos αα=+，则24sin sin αα+的值为（） A1BC ．1 D7．已知()()2cos 0cos 2f x x f x π⎛⎫=-+ '⎪⎝⎭，则曲线()y f x =在点33,44f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线的斜率为（） AB．C．D．-8．已知事件A 与事件B 是互斥事件，则（）A ．)(0P AB ⋂= B ．)()()(P A B P A P B ⋂=C ．)()(1P A P B =-D ．)(1P A B ⋃=二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。

2023年高考数学模拟试题（十一）参考答案

2023年高考数学模拟试题(十一)参考答案一㊁选择题1.C 2.D 3.C 4.C 5.B 图16.C 提示:由题意可知F 3,0,准线方程为x =-3,如图1,设准线与x 轴交于点K ,P x P ,y P ,故K F =6,因为A F 的倾斜角为150ʎ,所以øA F K =30ʎ,故A K =K F ta n 30ʎ=23,即y P =23,故12=12x P ,解得x P =1,所以P F =A P =3+x P =4㊂7.C 提示:如图2,连接D E ,依题设知B E =A D =5,在әB D E 中,由余弦定理得c o s øD B E=B D 2+B E 2-D E22B D ㊃B E=图23102+25-(145)22ˑ5ˑ310=-110,c o s øC B D =c o s (π-øD B E )=-c o s øD B E =110,B C =B D ㊃c o s øC BD =310ˑ110=3,C D =B D 2-B C 2=9,所以C A =C D -A D =4,故弦图中小正方形的边长为C A -C B =1㊂8.D9.C 提示:根据函数f x 的图像可知,f x =A c o s ωx +φ 的最大值为2,又A >0,故A =2㊂又f 0 =1,即2c o s φ=1,则c o s φ=12,又φɪ0,π2,故φ=π3㊂又f 12 =0,即c o s 12ω+π3 =0,解得12ω+π3=π2+k π,k ɪZ ,则ω=2k π+π3,k ɪZ ㊂又T 4>12,则0<ω<π,因此ω=π3㊂所以f (x )=2c o s π3x +π3㊂对于A :由上述求解过程可知,φ=π3,ω=π3,故A 错误;对于B :因为f x +2=2c o s π3x +π =-2c o s π3x ,又因为-2c o s -π3x =-2c o s π3x ,所以f (x +2)是偶函数,故B 错误;对于C :当x =-4时,f x =2c o s -π =-2,即当x =-4时,f x 取得最小值,所以x =-4是f x的对称轴,故C 正确;对于D :当x ɪ3,4 时,π3x +π3ɪ4π3,5π3,而y =2c o s x 在4π3,5π3上单调递增,故D 错误㊂图310.B 提示:如图3所示,在四棱锥P A B C D 中,取侧面әP A B 和底面正方形A B C D 的外接圆的圆心分别为O 1,O 2,分别过O 1,O 2作两个平面的垂线交于点O ,则由外接球的性质知,O 即为该球的球心㊂取线段A B 的中点E ,连接O 1E ,O 2E ,O 2D ,O D ,则四边形O 1E O 2O 为矩形㊂在等边әP A B 中,可得P E =23,则O 1E =233,即O O 2=233㊂在正方形A B C D 中,因为A B =4,所以O 2D =22㊂在R t әO O 2D 中,O D 2=O O 22+O 2D 2,即R 2=O O 22+O 2D2=283㊂所以四棱锥P A B C D 的外接球的表面积为S =4πR 2=112π3㊂11.D 提示:记随机变量X 为购买a 个元件后的次品数㊂由题意知X 可看成泊松分布,则P (X ɤa -100)ȡ0.95㊂记t =a -100,则ðti =0e-0.01100+t 0.01100+tii!ȡ0.95㊂由于t 很小,故有ðti =01i !㊃e ȡ0.95㊂参考答案与提示高考数学 2023年7-8月分别计算t =0,1,2,3时,左边约等于0.37,0.74,0.91,0.98,故t ȡ3,即a ȡ103㊂12.C 提示:依题设,当x ɪ(1,2]时,x -1ɪ(0,1],f (x -1)=(x -1)l n (x -1),因为当x ɪ(1,+ɕ)时,f (x )=2f (x -1),所以当x ɪ(1,2]时,f (x )=2(x -1)l n (x -1)㊂当x ɪ[-2,-1)时,-x ɪ(1,2],f (-x )=2(-x -1)l n (-x -1),又f (x )是奇函数,即f (x )=-f (-x ),所以f (x )=2(x +1)l n (-x -1),故①错误,②正确㊂因为ðn i =1f 1e +i =2f1e +22f 1e + +2nf 1e =21+22+ +2nf 1e =21-2n1-2f 1e =-2e (2n-1),所以-2e (2n-1) m a xɤλ对任意n ɪN *恒成立㊂因为g (n )=-2e(2n-1)在n ɪN *上单调递减,所以g (n )m a x =g (1)=-2e,所以λȡ-2e ,故③错误㊂方程f (x )=k x -12在[0,2]上恰有三个根,即f (x )的图像与直线y =k x -12在[0,2]上有三个交点㊂由f (x )是定义在R 上的奇函数,得f (0)=0㊂当x ɪ(0,1]时,则f (x )=x l n x ,f'(x )=l n x +1㊂若0<x <1e ,则f '(x )<0,f (x )单调递减;若1e<x ɤ1,则f '(x )>0,f (x )单调递增,f (1)=0㊂当x ɪ(1,2]时,f (x )=2f (x -1)=2(x -1)l n (x -1)㊂图4画出函数f (x )的大致图像,如图4所示,直线y =kx -12过定点0,-12,所以k 1<k <k 2,其中k 2为点0,-12,(1,0)连线的斜率,则k 2=12㊂k 1为直线y =k x -12与曲线y =f (x )(0<x ɤ1)相切时的斜率,设切点为(x 0,y 0),则y 0=x 0l n x 0㊂因为f '(x )=l n x +1,所以k 1=l n x 0+1,切线方程为y -x 0l n x 0=(l n x 0+1)(x -x 0),因为切线过点0,-12,所以-12-x 0l n x 0=(l n x 0+1)(0-x 0),解得x 0=12,则k 1=1-l n 2,所以k ɪ1-l n 2,12,故④正确㊂二、填空题13.112114.6015.3033+3 提示:因为a 1=3,所以a 2=1+13-1=32+32,a 3=2+13+32-2=62+3,a 4=4+13-1=92+32,a 5=5+19+32-5=122+3,由此可得,当n 为奇数时,a n =n -12ˑ3+3,所以a 2023=2023-12ˑ3+3=3033+3㊂16.32提示:设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M (x 0,y 0)为A B 的中点,则x 21a2+y 21b2=1,x 22a 2+y 22b 2=1,两式作差得x 1+x 2 x 1-x 2a2+y 1+y 2 y 1-y 2b2=0,又x 1+x 2=2x 0,y 1+y 2=2y 0,所以2x 0x 1-x 2a2+2y 0y 1-y 2 b2=0,化简得y 0x 0㊃y 1-y 2x 1-x 2=-b 2a 2,所以k O Mk A B =-b 2a 2=e 2-1,得2-3e 2y 2021-e 22x2=e 2-1㊂因为øF 1A F 2=π2,所以F 1A ң㊃F 2A ң=x 20+y 20-c 2=0,联立参考答案与提示高考数学 2023年7-8月x 20+y 20-c 2=0,x 2a 2+y20b 2=1,解得y 20=b 4c2,x 20=a 2c 2-b 2 c 2,所以y 20x 20=b 4a 2c 2-b 2 =e 2-122e 2-1,所以2-3e 22(1-e 2)㊃(e 2-1)22e 2-1=2-3e 222e 2-1=e 2-1,解得e =32㊂三、解答题17.(1)因为a n a n +1=-22n -1,所以a n +1a n +2=-22n +1,两式相除可得a n +2a n=4,即q 2=4㊂因为a n a n +1=a 2n q ,所以a 2nq =-22n -1<0,可得q <0,所以q =-2,所以a n =a 1q n -1=(-2)n -1㊂(2)由(1)得b n =(-1)n㊃n (-2)n -1=-n2n -1,则S n =-120+221+322+ +n -12n -2+n 2n -1,S n2=-121+222+323+ +n -12n -1+n2n,两式相减得S n2=-1+121+122+ +12n -1-n 2n=n2n -1-12 n1-12=n +22n -2,所以S n=n +22n -1-4㊂18.(1)取A D 的中点O ,连接P O ,O C ㊂因为әP A D 为等边三角形,所以P O ʅA D ㊂又平面P A D ʅ平面A B C D ,平面P A D ɘ平面A B C D =A D ,所以P O ʅ平面A B C D ㊂图5以O 为坐标原点,O C ,O D ,O P 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立如图5所示的空间直角坐标系O -x yz ,则A (0,-1,0),D (0,1,0),C (1,0,0),B (1,-1,0),P (0,0,3),所以C P ң=(-1,0,3),C D ң=(-1,1,0)㊂设平面P C D 的一个法向量为n =x ,y ,z ,则n ㊃C P ң=-x +3z =0,n ㊃C D ң=-x +y =0,令z =1,得n =3,3,1 ㊂又B C ң=0,1,0,则点B 到平面P C D 的距离d =B C ң㊃n n =3ˑ0+3ˑ1+1ˑ03 2+3 2+12=217㊂(2)设E s ,t ,r,因为P E ң=λP D ң,所以(s ,t ,r -3)=λ(0,1,-3),所以E 0,λ,3-3λ,则A C ң=(1,1,0),A E ң=(0,λ+1,3-3λ)㊂设平面E A C 的一个法向量为m =(x ',y',z '),则m ㊃A C ң=x '+y'=0,m ㊃A E ң=(λ+1)y '+(3-3λ)z '=0,令y '=3(λ-1),得m =(3(1-λ),3(λ-1),λ+1)㊂又平面D A C 的一个法向量为O P ң=0,0,3,于是c o s <O P ң,m >=O P ң㊃mO Pңm =3λ+1331-λ 2+3λ-1 2+λ+12=λ+17λ2-10λ+7=105,化简得3λ2-10λ+3=0,又λɪ0,1 ,所以λ=13,即P E P D =13,故存在满足题意的点E ,此时P E P D =13㊂19.(1)由题意得 x =15(160+170+175+185+190)=176, y=15(170+174+175+180+186)=177,^b =ð5i =1x i yi-5 x yð5i =1x2i-5x 2=156045-5ˑ176ˑ177155450-5ˑ1762=285570=0.5,^a = y -^b x =177-0.5ˑ176=89,所以回归直线方程为^y =0.5x +89㊂令0.5x +89-x >0,得x <178,即当x <178时,儿子比父亲高㊂参考答案与提示高考数学 2023年7-8月令0.5x -89-x <0,得x >178,即当x >178时,儿子比父亲矮㊂综上可得,当父亲身高较矮时,儿子平均身高要高于父亲,当父亲身高较高时,儿子平均身高要矮于父亲,即儿子身高有一个回归,回归到全种群平均高度的趋势㊂(2)由^y =0.5x +89,可得^y 1=0.5ˑ160+89=169,^y 2=174,^y 3=176.5,^y 4=181.5,^y 5=184,所以ð5i =1^y i =885,又ð5i =1y i =885,所以ð5i =1^e i =ð5i =1y i -^y i =ð5i =1y i -ð5i =1^y i =0㊂结论:对任意两个具有线性相关关系的变量,都有ðn i =1^e i =0㊂证明如下:ðni =1^e i =ðni =1y i-^y i=ðni =1y i -^b x i -^a =ðni =1y i -^b ðni =1x i -n ^a =n y -n ^b x -n ( y-^b x )=0㊂20.(1)由双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0可得渐近线为y =ʃba x ㊂不妨取渐近线y =bax ,即b x -a y =0,依题设知焦点到渐近线的距离d =b c a 2+b2=3,即b =3㊂由题意知42a 2-32b 2=1,b =3,解得a =2㊂所以双曲线C 的方程为x 24-y23=1㊂(2)设直线B N 的斜率为k ,所以直线A M 的斜率为-2k ,则直线B N 的方程为y =k (x -2),直线A M 的方程为y =-2k (x +2)㊂联立直线B N与双曲线方程x 24-y23=1,y =k x -2 ,消去y 整理得3-4k 2x 2+16k 2x -16k 2-12=0,于是2x N =16k 2+124k 2-3,即x N =8k 2+64k 2-3,从而y N =12k4k 2-3㊂联立直线A M与双曲线方程x 24-y23=1,y =-2k x +2 ,消去y 整理得(3-16k 2)x 2-64k 2x -64k 2-12=0,于是-2x M =64k 2+1216k 2-3,即x M =-32k 2-616k 2-3,从而y M =24k16k 2-3㊂所以k M N =y M -y N x M -x N =24k 16k 2-3-12k4k 2-3-32k 2-616k 2-3-8k 2+64k 2-3=24k 3+9k 64k 4-9=3k8k 2-3㊂所以直线MN :y -12k 4k 2-3=3k8k 2-3㊃x -8k 2+64k 2-3,化简得y =3k8k 2-3x +6,所以直线MN ,即直线l 过定点-6,0㊂21.(1)当a =0时,f (x )=l n x -2x ,则f'(x )=1x-2,所以f (1)=-2,f'(1)=-1,所以曲线在点(1,f (1))处的切线方程为y +2=-(x -1),即x +y +1=0㊂(2)f (x )=l n x -(a +2)x +a x 2的定义域为(0,+ɕ),求导得f 'x =1x-(a +2)+2a x =(2x -1)a x -1x㊂若a ɤ0,则当x ɪ0,12时,f'(x )>0;当x ɪ12,+ɕ时,f'(x )<0㊂故f (x )在0,12 内单调递增,在12,+ɕ 内单调递减㊂若0<a <2,则当x ɪ0,12 ɣ1a ,+ɕ 时,f '(x )>0;当x ɪ12,1a 时,f '(x )<0㊂故f (x )在0,12 ,1a ,+ɕ 内单调递增,在12,1a内单调递减㊂若a =2,则f '(x )ȡ0,所以f (x )在(0,+ɕ)上单调递增㊂若a >2,则当x ɪ0,1aɣ参考答案与提示高考数学 2023年7-8月12,+ɕ时,f '(x )>0;当x ɪ1a ,12时,f '(x )<0㊂故f (x )在0,1a ,12,+ɕ 内单调递增,在1a ,12 内单调递减㊂(3)由(2)可知,若a ɤ0,则f (x )在0,12内单调递增,在12,+ɕ内单调递减,f (x )m a x =f 12=-l n 2-1-a 4㊂当-4l n 2-4ɤa ɤ0时,f12ɤ0,所以f (x )在(0,+ɕ)上至多有一个零点,不符合题意㊂当a <-4l n 2-4时,f12>0㊂因为f (1)=-2<0,f (x )在12,+ɕ 内单调递减,所以f (x )在12,+ɕ 内有唯一零点㊂因为a <-4l n 2-4<-e,所以-a >e ,且0<-1a <14l n 2+4<12㊂因为f -1a=-l n (-a )+1+3a<1-l n (-a )<1-l n e =0,f12>0,且f (x )在0,12内单调递增,所以f (x )在0,12内有唯一零点㊂所以当a <-4l n 2-4时,f (x )恰有两个零点㊂若0<a <2,则f (x )在0,12,1a ,+ɕ内单调递增,在12,1a内单调递减,因为当x =12时,f (x )取得极大值f12=-l n 2-1-a 4<0,所以f (x )在(0,+ɕ)上至多有一个零点,不符合题意㊂若a =2,则f (x )在(0,+ɕ)内单调递增,所以f (x )在(0,+ɕ)内至多有一个零点,不符合题意㊂若a >2,则f (x )在0,1a,12,+ɕ内单调递增,在1a ,12内单调递减㊂因为当x =1a时,f (x )取得极大值f1a=-l n a -1-1a <0,所以f (x )在(0,+ɕ)内至多有一个零点,不符合题意㊂综上可得,实数a 的取值范围为(-ɕ,-4l n 2-4)㊂22.(1)由曲线C 1:x =2c o s φ,y =2+2s i n φ,消去参数φ可得x 2+y -2 2=4,即x 2+y 2=4y ,所以ρ2=4ρs i n θ,故ρ=4s i n θ㊂设Q (x ,y ),则P (2x ,2y ),代入x 2+y -2 2=4,化简整理得x 2+y 2=2y ,所以ρ2=2ρs i n θ,故ρ=2s i n θ㊂(2)设M ρ1,θ ,则N ρ2,θʃπ2,则O M |2+4O N |2=ρ21+4ρ22=16s i n 2θ+4ˑ4s i n 2θʃπ2=16s i n 2θ+c o s 2θ=16㊂23.(1)当x ɤ2时,fx =2-x +4-x =6-2x ;当2<x <4时,fx =x -2+4-x =2;当x ȡ4时,f x =x -2+x -4=2x 图6-6㊂由此可得f x 的图像,如图6所示㊂因为f x ȡk x k >0恒成立,则由图像可知,当y =k x 过点4,2 时,k 取得最大值k 0,所以k 0=12㊂(2)由(1)知,只需证明a a +2b +b 2a +b ȡ23即可㊂令m =a +2b >0,n =2a +b >0,解得a =2n -m 3,b =2m -n3,所以a a +2b +b 2a +b =2n -m 3m +2m -n3n=132n m +2mn-2ȡ1322n m ㊃2mn-2=23,当且仅当2n m =2mn,即m =n 时,等号成立㊂所以a a +2b +b 2a +b ȡ23,即aa +2b+b 2a +b ȡ13k 0㊂(责任编辑王福华)参考答案与提示高考数学 2023年7-8月。

2024年普通高等学校招生全国统一考试数学(新高考I卷)押题密卷(含答案)

试卷类型：A2024年普通高等学校招生全国统一考试押题密卷2数学新高考I 卷注意事项：1．答题前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A ＝{3,2a }，B ＝{a ,b }，若A ∩B ＝{2}，则A ∪B ＝A ．{1,2,3}B ．{2,3,4}C ．{1,2,4}D ．{2,3,5}2．设复数z 的共轭复数为 z ，则下列一定为纯虚数的是A ．z ＋zB ．z －zC ．z ·zD ．zz̅3．设α，β是两个不同平面，直线m ⊂α，直线n ⊂β，则A ．m ⊥β是m ⊥n 的充分条件B ．m //n 是α//β的必要条件C ．m ⊥β是m ⊥n 的必要条件D ．m ⊥n 是α⊥β的必要条件4．已知随机变量ξi 的分布列如表所示（i ＝1,2）．若0＜p 1＜12＜p 2＜23，则A ．E (ξ1)＜E (ξ2)，D (ξ1)＜D (ξ2)B ．E (ξ1)＜E (ξ2)，D (ξ1)＞D (ξ2)C ．E (ξ1)＞E (ξ2)，D (ξ1)＜D (ξ2)D ．E (ξ1)＞E (ξ2)，D (ξ1)＞D (ξ2)5．已知sin(θ＋π)＜0，cos(θ－π)＞0，则A ．tan θ2＜cot θ2B ．tan θ2＞cot θ2C ．sin θ2＜cos θ2D ．sin θ2＞cos θ26．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且对于任意n ∈N *，都有a n a n +1＜0，a n S n 恒为定值c（c ＞0），则A ．|a 2|＜|a 3|＜|a 4|B ．|a 3|＜|a 2|＜|a 4|C ．|a 3|＜|a 4|＜|a 2|D ．|a 4|＜|a 3|＜|a 2|7．设非负实数x ,y ，2x ＝3y ，则A ．2x ＝3yB ．2x ＞3yC ．2x ＜3yD ．无法比较2x 与3y 的大小8．已知F 1，F 2是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且|PF 1|＜|PF 2|，PF 1的垂直平分线经过点F 2，若椭圆的离心率为e 1，双曲线的离心率为e 2，则 e 12－2e 2的最小值是 A ．2 B ．－2 C ．6D ．－6二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据这5次的统计结果，下列选项中有可能出现点数1的是 A ．中位数：3，众数：2 B ．平均数：4，中位数：5 C ．极差：4，平均数：2D ．平均数：4，众数：510．已知函数f (x )＝x 4－x 2＋x －1，则A ．f(x)有两个零点B ．f(x)有唯一极值C ．过坐标原点可作曲线y ＝f (x )的一条切线D ．曲线y ＝f (x )上存在三条互相平行的切线11．如图，与圆柱底面成60°的平面α截此圆柱，其截面图形为椭圆．已知该圆柱底面半径为2，则 A ．椭圆的离心率为√32B ．椭圆的长轴长为 8√33C ．椭圆的面积为32πD ．椭圆内接三角形面积的最大值为 6√3三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．在△ABC 中，C ≠π2，若cos A ＝sin B ，则A 的取值范围是_________．13．已知a ，b ，c 成等差数列，点P （－1,0）到直线l ：ax ＋by ＋c ＝0的距离为 2√2 ，则直线l 的倾斜角是_________．14．设点P 是边长为2的正△ABC 的三边上的动点，则 P A ⃗⃗⃗⃗ ·（PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC⃗⃗⃗⃗⃗ ）的取值范围是_________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（满分13分）已知△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，a ＝6，b ＋12cos B ＝2c ．（1）求A 的大小；（2）请在下列三个条件中选择一个作为已知条件，使△ABC 存在，并解决问题： M 为△ABC 内一点，AM 的延长线交BC 于点D ，求△ABC 的面积.①M 为△ABC 的外心，AM ＝4； ②M 为△ABC 的垂心，MD ＝√3 ； ③M 为△ABC 的内心，AD ＝3√3 ．16．（满分15分）图形的被覆盖率是指，图形被覆盖部分的面积与图形的原面积之比．通常用字母C 表示．如图所示，边长为1的正三角形被n （n ∈N *）层半径相等的圆覆盖，最下面一层与正三角形底边均相切，每一层相邻两圆外切，层与层相邻的圆相外切，且每一层两侧的圆与正三角形两边相切．记覆盖的等圆层数为n 时，等圆的半径为a n ．图中已给出n 等于1，2，10时的覆盖情形．（1）写出a 1，a 2的值，并求数列{a n }的通项公式；（2）证明：此正三角形的被覆盖率低于91%．（参考数据：π≈3.14，√3≈1.73）17．（满分15分）设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1．（1）求概率P(ξ＝0)；（2）求ξ的分布列，并求其数学期望E(ξ)．18．（满分17分）如图，已知抛物线E：y2＝x与圆M：(x－4)2＋y2＝r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点．（1）求r的取值范围；（2）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标．19．（满分17分）已知函数f(x)＝(x－a)(e x－a)，a≥0．（1）当a＝0时，讨论f(x)的单调性；（2）证明：f(x)有唯一极小值点x0，并求f(x0)的最大值．2024年普通高等学校招生全国统一考试押题密卷2数学参考答案单项选择题 1．A 2．B 3．A 4．D 5．B6．C7．C8．B多项选择题 9．BCD对于A ，中位数是3，则这5个数从小到大排列后，第3个数是3，第1、2个数是2才能使众数为2，故第1个数不是1，故A 不正确，对于B ，有可能出现点数1，例如1,2,5,6,6；对于C ，有可能出现点数1，例如1,1,1,2,5；对于D ，有可能出现点数1，例如1,4,5,5,5；故选BCD.10．ACD对于A ，()32()(1)1f x x x x =−++，对于函数322()1,()32g x x x g x x x +=′=++，令gg ′(xx )<0⇒−23<xx <0，令gg ′(xx )>0⇒xx <−23或xx >0，所以函数gg (xx )在(−23,0)上单调递减，在(−∞,−23)和(0,+∞)上单调递增，则函数gg (xx )在xx =−23，xx =0处分别取极大值和极小值，由gg (0)>0，知gg (xx )只有一个零点，所以ff (xx )有两个零点，故A 正确；对于B ，假设B 成立，设切点坐标为�xx 0,ff (xx 0)�，切线方程为()()342000004211y xx x x x x x =−+−+−+−，即()34200042131y xx x x x =−+−+−，∴4200310x x −+−=，但显然4200310x x −+−<，故B 错误；对于C ，32()421,()122f x x x f x x ′=′+′=−−，令ff ″(xx )<0⇒−√66√6，令ff ″(xx )>0⇒xx <−√66或xx >√66，所以函数()f x ′在(上单调递减，在(−∞,−√66)和(√66,+∞)上单调递增，∴函数()f x ′在x =处分别取到极大值和极小值，由0f >′知()f x ′只有一个零点，ff (xx )有一个极值点，故C 正确；对于D ，若D 正确，则存在实数m 使得3()421f x x x m ′=−+=有三个不同的根，即函数yy =4xx 3−2xx +1mm 3个交点，由选项C 可知，,m f f∈ ′′，故D 正确.故选ACD. 11．AD对于A ，bb =rr =2，aa =rrcccccc 60°=2124，所以cc =√aa 2−bb 2=√16−4=2√3，所以离心率ee =ccaa =2√34=√32，所以A 正确；对于B ，长轴长2248a =×=，所以B 不正确；对于C ，椭圆的面积SS =ππaabb =2×4ππ=8ππ，所以C 不正确；对于D ，椭圆方程为xx 2aa 2+yy 2bb 2=1，椭圆内接三角形一个顶点在长轴左顶点，另两点在直线xx =mm (mm >0)上，此时另两点的距离为：2bb �1−mm 2aa2，三角形的面积为：12(aa +mm )⋅2bb �1−mm 2aa 2=bb ⋅�(aa +mm )(aa +mm )�1−mm aa ��1−mm aa�=aabb √3⋅��1+mmaa��1+mm aa ��3−3mm aa ��1+mm aa � ≤aabb √3��1+mm aa +1+mm aa +3−3mm aa +1+mm aa 4�4=aabb√3×94=3√3bbcc4 当且仅当1+mm aa=3−3mm aa，即mm =aa2时，取等号．∴SS3√3aabb 43√3×4×24√3△mmaaxx，所以D 正确，故选AD ．填空题 12．�0,ππ4�因为ssss ss BB >0，ccccss AA =ssss ss BB ，所以ccccss AA >0，所以AA <ππ2. 若BB <ππ2，由ccccss AA =ssss ss BB ，可得ssss ss (ππ2−AA )=ssss ss BB ，由正弦函数在(0,ππ2)的单调性可得，BB =ππ2−AA ，则CC =ππ2，原题设不成立；若π2B >，同理可得BB =AA +ππ2，由AA +BB <ππ，解得π(0,)4A ∈．故答案为(0,ππ4)．13．ππ4∵a ，bb ，cc 成等差数列，2b a ∴=+，即cc =2bb −aa ，点PP (−1,0)到直线ll :aaxx +bbyy +cc =0，=，两边平方化简可得(aa +bb )2=0，即bb =−aa ，则直线ll 的斜率为1ab−=，故直线的倾斜角是ππ4，故答案为ππ4．14．�−98,2�根据题意，以AABB 中点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标：正三角形AABBCC 的边长为2，则AA (−1,0),BB (1,0),CC�0,√3�，点PP 是AABBCC 三边上的动点，��⃗=(−1−tt,0),PPBB��⃗=(1−tt,0),PPCC��⃗=�−tt,√3�则PPAA��⃗⋅�PPBB��⃗+PPCC��⃗�所PPAA=(−1−tt,0)⋅�(1−tt,0)+�−tt,√3��=(−1−tt)⋅(1−2tt)=2�tt+14�2−98,(−1≤tt≤1)所以当tt=−14时取得最小值为−98；当tt=1时取得最大值为2. ②，当PP在线段CCBB上时，直线CCBB的方程为yy=−√3xx+√3，设PP�mm,−√3mm+√3�,(0≤mm≤1)，��⃗=�−1−mm,√3mm−√3�,PPBB��⃗=�1−mm,√3mm−√3�,PPCC��⃗=�−mm,√3mm�，则PPAA��⃗⋅�PPBB��⃗+PPCC��⃗�所PPAA=�−1−mm,√3mm−√3�⋅��1−mm,√3mm−√3�+�−mm,√3mm��=�−1−mm,√3mm−√3�⋅�1−2mm,2√3mm−√3�=8�mm−12�2,(0≤mm≤1)所以当mm=12时取得最小值为0；当mm=1或mm=0时取得最大值为2. ③，当PP在线段AACC上时，直线AACC的方程为yy=√3xx+√3，设PP�ss,√3ss+√3�,(−1≤ss≤0)，��⃗=�−1−ss,−√3ss−√3�,PPBB��⃗=�1−ss,−√3ss−√3�,PPCC��⃗=�−ss,−√3ss�，则PPAA��⃗⋅�PPBB��⃗+PPCC��⃗�，所PPAA=�−1−ss,−√3ss−√3�⋅��1−ss,−√3ss−√3�+�−ss,−√3ss��，=�−1−ss,−√3ss−√3�⋅�1−2ss,−2√3ss−√3�，=8�ss+58�2−98,(−1≤ss≤0)，所以当ss=−58时取得最小值为−98；当ss=0时取得最大值为2.��⃗⋅�PPBB��⃗+PPCC��⃗�的取值范围为�−98,2�，综上可知，PPAA解答题15．（1）在△AABBCC 中，由余弦定理得ccccss BB =aa 2+cc 2−bb 22aacc，又因为aa =6，12cos 2b B c +=，所以2221222a c b b c ac+−+⋅=，整理得2236b c bc +−=.在△AABBCC 中，由余弦定理得22362cos b c bc A +−=，所以bbcc =2bbcc ccccss AA ，即ccccss AA =12又因为AA ∈(0,ππ)，所以AA =ππ3.（2）选①，设△AABBCC 的外接圆半径为R ，则在△AABBCC 中，由正弦定理得62sin sin 3BCR A π===，即R =因为MM 为外心，所以AAMM =2√3，与AAMM =4盾，故不能选①. 选②，因为MM 为△AABBCC 的垂心，所以222BMDMBD ACB ACB πππ∠=−∠=−−∠=∠，又MMMM =√3，所以在△MMBBMM中，tan BD MD BMD ACB =⋅∠=∠，同理可得CDABC =∠，又因为6BD CD +=6ABC ACB ∠∠=，即tan tan ABC ACB ∠+∠又因为在△AABBCC中，tan()tan ABC ACB BAC ∠+∠=−∠=所以tan tan 1tan tan ABC ACBABC ACB∠+∠=−∠∠tan tan 3ABC ACB ∠∠=，故ttaass ∠AABBCC ，tan ACB ∠为方程xx 2−2√3xx +3=0两根，即tan tan ABC ACB ∠=∠因为∠AABBCC ，∠AACCBB ∈(0,ππ)，所以3ABC ACB π∠=∠=，所以△AABBCC 为等边三角形，所以SS △AAAAAA =12×62×√32=9√3.选③，因为MM 为△AABBCC 的内心，所以∠BBAAMM =∠CCAAMM =12∠BBAACC =ππ6，由SS △AAAAAA =SS △AAAAAA +SS △AAAAAA ，得111sin sin sin 232626bc c AD b ADπππ=⋅+⋅，因为AAMM =3√3，所以1()2b c =+，即3bc b c +=，由（1）可得2236b c bc +−=，即(bb +cc )2−3bbcc =36，所以2()33609bc bc −−=，即(9)409bc bc+−=，又因为bbcc >0，所以bbcc =36，所以SS ΔΔAAAAAA =12bbcc ssss ss ππ3=12×36×√32=9√3.16．（1）由题意得，1a =，2a =当覆盖的等圆有ss 层时，最下面一层的圆有ss 个，相邻两圆的圆心距为2aa nn ，最左边与最右边的两圆的圆心距为()21n n a −．又最左边与最右边的两圆的圆心在三角形底边上投影与底边最近顶点距离之和为n ，则()211n n n a −+=，∴n a =．（2）证明：被覆盖面积()211π2n n n S a +==2S =．被覆盖率120.9050.91S C S =<≈<， ∴对任意的层数ss ，此正三角形的被覆盖率CC 低于91%．17．（1）若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的1个，过任意1个顶点恰有3条棱，所以共有8C 32对相交棱，因此P(ξ＝0)＝232128C C ＝8×366＝411.（2）若两条棱平行，则它们的距离为1或√2，其中距离为√2的共有6对，故P(ξ＝√2)＝2126C ＝111，于是P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝√2)＝1－411－111＝611，所以随机变量ξ的分布列是 ξ1√2P(ξ)411611111因此E(ξ)＝1×611＋√2×111＝6+√211.18．（1）联立方程组与，可得，所以方程由两个不等式正根由此得到解得，所以r的范围为（2）不妨设E与M的四个交点坐标分别为设直线AC,BD的方程分别为，解得点p的坐标为设t=，由t=及（1）可知由于四边形ABCD为等腰梯形，因而其面积将代入上式，并令，得求导数，令，解得当时，，当，；当时，当且仅当时，由最大值，即四边形ABCD的面积最大，故所求的点P的坐标为（）19．（1）当aa=0时，()e x=，f x x则ff′xx，令ff ′(xx )=0，得xx =−1，则ff (xx )在(−∞,−1)上单调递减，在(−1,+∞)上单调递增.（2）由ff (xx )=(xx −aa )(ee xx −aa )，得()f x ′=e ()e (1)e x x x a x a x a a −+−=−+−，令()(1)e x G x x a a =−+−，得()G x ′=(2)e x x a −+. 令()0G x ′=，则xx =aa −2，所以()f x ′在(−∞,aa −2)上单调递减，在(aa −2,+∞)上单调递增，易知()e a f a a ′=−，设函数()e x H x x =−，令()e 10x H x ′−，可得xx =0，则()e x H x x =−在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，又HH (0)=1>0，故()e 0x H x x =−>在RR 上恒成立，故()e 0a f a a ′=−>，又2(2)e 0a f a a −′−=−−<，所以存在0(2,)x a a ∈−，使得()00f x ′=. 又当(,2)x a ∈−∞−时，易知()0f x ′<，故ff (xx )有且仅有一个极小值点xx 0.因为()00f x ′=，所以()0001e 0e 1x x x a +≥+，即xx 0≥−1，则ff (xx 0)=�xx 0−(xx 0+1)ee xx 0ee xx 0+1��ee xx 0−(xx 0+1)ee xx 0ee xx 0+1�=−ee xx 0(ee xx 0−xx 0)2(ee xx 0+1)2设()()22e e ()e 1x x x x g x −=−+，求导得()g x ′=()()23e e e (1)e 2e 1x x x x x x x x −++−− −+. 设2()e (1)e 2x x h x x x =++−−，求导得2()2e (2)e 1x x h x x ′=++−，注意到ℎ′(xx )在[−1,+∞)上单调递增，且�ℎ′(−1)=2ee −2+ee −1−1<0ℎ′(0)=3>0，所以存在cc ∈(−1,0)，使得()0h c ′=，从而()h x 在(−1,cc )上单调递减，在(,)c +∞上单调递增，又(0)0h =，2(1)e 10h −−=−<，ee xx −xx >0，所以当−1≤xx <0时，gg′(xx )>0；当xx >0时，()0g x ′<. 所以gg (xx )在(−1,0)上单调递增，在(0,+∞)上单调递减，则()01(0)4f x g ≤=−，即ff (xx 0)的最大值为−14.。

2024年高考考前押题密卷数学试卷(新高考九省)(试卷+解析卷)

2024年高考考前押题密卷数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．测试范围：高考全部内容5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

4VC．1丙三位同学中安排四门不同学科的课代表，部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．上单调递减三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

；，求二面角P AB C --的平面角的正切值2e 2e x xa x =-（其中e 2.71828=2024年高考考前押题密卷数学·全解全析（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．测试范围：高考全部内容5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合故选：A5．生活中有很多常见的工具有独特的几何体结构特征，例如垃圾畚箕，其结构如图所示的五面体8VA．1【答案】C6．班主任从甲、乙、每位同学至多担任两门学科的课代表，则不同的安排方案共有（二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．⎝⎭A ．4ω=B ．9π182f ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．函数()f x 在ππ,32⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减设221212,,,22y y P y Q y p p ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则因为90AOB ∠=︒90AOB ∠=1⎛⎫第二部分（非选择题共92分）四、解答题：本题共小题，共分。

湖南省邵阳市第十一中学2025届高考仿真卷数学试题含解析

湖南省邵阳市第十一中学2025届高考仿真卷数学试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知()f x 为定义在R 上的奇函数，且满足f x f x (4)(),+=当(0,2)x ∈时，2()2f x x =，则(3)f =（） A ．18-B ．18C ．2-D ．22．设复数z 满足12z zz +=+，z 在复平面内对应的点的坐标为(),x y 则（） A ．221x y =+ B ．221y x =+ C ．221x y =- D ．221y x =-3．函数f x x 2()cos(2)3π=+的对称轴不可能为（） A ．65x π=-B ．3x π=-C ．6x π=D ．3x π=4．如图是二次函数2()f x x bx a =-+的部分图象，则函数()ln ()g x a x f x '=+的零点所在的区间是（）A ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭C ．(1,2)D ．(2,3)5．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为e ，抛物线22(0)y px p =>的焦点坐标为(1,0)，若e p =，则双曲线C 的渐近线方程为（） A ．3y x = B ．22y x =± C ．5y x = D ．22y x =±6．两圆()224x a y ++=和()221x y b +-=相外切，且0ab ≠，则2222a b a b+的最大值为（）A ．94B ．9C ．13D ．17．已知复数z 满足1z =，则2z i +-的最大值为（） A ．23+B ．15+C ．25+D ．68．已知平行于x 轴的直线分别交曲线2ln 21,21(0)y x y x y =+=-≥于,A B 两点，则4AB 的最小值为（） A ．5ln 2+B ．5ln 2-C ．3ln 2+D ．3ln 2-9．下列图形中，不是三棱柱展开图的是（）A ．B ．C ．D ．10．已知y ax b =+与函数()2ln 5f x x =+和2()4g x x =+都相切，则不等式组3020x ay x by -+≥⎧⎨+-≥⎩所确定的平面区域在2222220x y x y ++--=内的面积为（）A ．2πB ．3πC ．6πD ．12π11．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（）A ．23B ．1C ．43D ．8312．如图所示的“数字塔”有以下规律：每一层最左与最右的数字均为2，除此之外每个数字均为其两肩的数字之积，则该“数字塔”前10层的所有数字之积最接近()lg20.3≈（）A ．30010B ．40010C ．50010D ．60010二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2025届广东广州天河中学高考数学押题试卷含解析

2025届广东广州天河中学高考数学押题试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．曲线312ln 3y x x =+上任意一点处的切线斜率的最小值为（） A ．3B ．2C ．32D ．12．设集合{}2A x x a =-<<，{}0,2,4B =，若集合A B 中有且仅有2个元素，则实数a 的取值范围为A ．()0,2B ．(]2,4C ．[)4,+∞D ．(),0-∞3．已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，若点(2,1)P -在角α的终边上，则sin 22πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（） A ．45-B ．45C ．35D ．354．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，且2AE EO =，则ED =（）A ．1233AD AB - B ．2133AD AB + C ．2133AD AB -D ．1233AD AB +5．抛物线的焦点是双曲线的右焦点，点是曲线的交点，点在抛物线的准线上，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（） A ．B ．C ．D ．6．要得到函数1cos 2y x =的图象，只需将函数1sin 223y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上所有点的（）A ．横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向左平移3π个单位长度B ．横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向右平移6π个单位长度C ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移6π个单位长度 D ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移3π个单位长度 7．为了贯彻落实党中央精准扶贫决策，某市将其低收入家庭的基本情况经过统计绘制如图，其中各项统计不重复．若该市老年低收入家庭共有900户，则下列说法错误的是（）A ．该市总有 15000 户低收入家庭B ．在该市从业人员中，低收入家庭共有1800户C ．在该市无业人员中，低收入家庭有4350户D ．在该市大于18岁在读学生中，低收入家庭有 800 户8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A ．24π+B ．24π-C ．242π-D ．243π-9．已知双曲线22122:1x y C a b -=与双曲线222:14y C x -=没有公共点，则双曲线1C 的离心率的取值范围是( )A ．(1,3⎤⎦B ．)3,⎡+∞⎣C ．(1,5⎤⎦D ．)5,⎡+∞⎣10．五名志愿者到三个不同的单位去进行帮扶，每个单位至少一人，则甲、乙两人不在同一个单位的概率为（） A ．25B ．1325C ．35D ．192511．2019年某校迎国庆70周年歌咏比赛中，甲乙两个合唱队每场比赛得分的茎叶图如图所示（以十位数字为茎，个位数字为叶）.若甲队得分的中位数是86，乙队得分的平均数是88，则x y +=（）A ．170B ．10C ．172D ．1212．很多关于整数规律的猜想都通俗易懂，吸引了大量的数学家和数学爱好者，有些猜想已经被数学家证明，如“费马大定理”，但大多猜想还未被证明，如“哥德巴赫猜想”、“角谷猜想”.“角谷猜想”的内容是：对于每一个正整数，如果它是奇数，则将它乘以3再加1；如果它是偶数，则将它除以2；如此循环，最终都能够得到1.下图为研究“角谷猜想”的一个程序框图.若输入n 的值为10，则输出i 的值为（）A ．5B ．6C ．7D ．8二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

吉林省长春市第十一高中2025届高考冲刺押题(最后一卷)数学试卷含解析

吉林省长春市第十一高中2025届高考冲刺押题（最后一卷）数学试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．以下两个图表是2019年初的4个月我国四大城市的居民消费价格指数（上一年同月100=）变化图表，则以下说法错误的是（）（注：图表一每个城市的条形图从左到右依次是1、2、3、4月份；图表二每个月份的条形图从左到右四个城市依次是北京、天津、上海、重庆）A ．3月份四个城市之间的居民消费价格指数与其它月份相比增长幅度较为平均B ．4月份仅有三个城市居民消费价格指数超过102C ．四个月的数据显示北京市的居民消费价格指数增长幅度波动较小D ．仅有天津市从年初开始居民消费价格指数的增长呈上升趋势 2．定义在R 上的偶函数()f x ，对1x ∀，()2,0x ∈-∞，且12x x ≠，有()()21210f x f x x x ->-成立，已知()ln a f π=，12b f e -⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 6c f ⎛⎫=⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．b a c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．c a b >>3．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(),0F c ，若F 到直线20bx ay -=的2，则E 的离心率为( )A ．32B ．12C ．22D ．234．函数()sin()f x A x ωϕ=+的部分图象如图中实线所示，图中圆C 与()f x 的图象交于,M N 两点，且M 在y 轴上，则下列说法中正确的是A ．函数()f x 的最小正周期是2πB ．函数()f x 的图象关于点,034⎛⎫π ⎪⎝⎭成中心对称 C ．函数()f x 在2(,)36ππ--单调递增 D ．函数()f x 的图象向右平移512π后关于原点成中心对称5．已知定义在R 上的偶函数()f x ，当0x ≥时，22()2xx x f x e +=-，设2(ln 2),(2),(ln )2a fb fc f ===，则（） A ．b a c >> B ．b a c >= C ．a c b =>D ．c a b >>6．已知数列满足：.若正整数使得成立，则( ) A ．16B ．17C ．18D ．197．执行如图所示的程序框图，当输出的2S =时，则输入的S 的值为( )A ．-2B ．-1C ．12-D ．128．若集合{|2020}A x N x =∈=，22a = ） A ．{}a A ⊆B ．a A ⊆C ．{}a A ∈D ．a A ∉9．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点与圆M ：22(2)5x y -+=的圆心重合，且圆M 被双曲线的一条渐近线截得的弦长为22 ） A ．2B 2C 3D ．310．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，O 为坐标原点，1F 、2F 为其左、右焦点，点G 在C 的渐近线上，2F G OG ⊥，16|||OG GF =，则该双曲线的渐近线方程为（） A ．2y x = B ．3y x = C ．y x =±D ．2y x =±11．已知a ，b ，c 分别为ABC ∆内角A ，B ，C 的对边，1a =，4sin 3cos c A C =，ABC ∆的面积为32，则c =（）A ．22B ．4C ．5D ．3212．设过定点(0,2)M 的直线l 与椭圆C ：2212x y +=交于不同的两点P ，Q ，若原点O 在以PQ 为直径的圆的外部，则直线l 的斜率k 的取值范围为（）A ．65,⎛- ⎝⎭B ．665,,53⎛⎛ ⎝⎭⎝C ．6,52⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D ．665,,522⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2025届福建省莆田市高考数学押题试卷含解析

2025届福建省莆田市高考数学押题试卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()2ln 2,03,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩的图像上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在 1y kx =-的图像上，则实数k 的取值范围是（） A ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭B ．13,24⎛⎫⎪⎝⎭C ．1,13⎛⎫⎪⎝⎭D ．1,22⎛⎫⎪⎝⎭2．函数()()ln 1f x x =+的定义域为（） A ．()2,+∞B ．()()1,22,-⋃+∞C ．()1,2-D ．1,23．已知直线x y t +=与圆()2222x y t tt R +=-∈有公共点，则()4t t -的最大值为（）A ．4B ．289 C ．329D ．3274．已知集合{}{}2340,13A x x x B x x =-->=-≤≤，则R ()A B =( )A ．()1,3-B ．[]1,3-C ．[]1,4-D ．()1,4-5．记等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S .若1040S =，65a =，则（） A ．3d =B ．1012a =C ．20280S =D ．14a =-6．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，函数()f x 满足()()4f x f x =+，且(]0,1x ∈时，()2()log 1f x x =+，则()()20182019f f +=（） A ．2B ．2-C ．1D ．1-7．已知命题P ：x R ∀∈，sin 1x ≤，则p ⌝为( ) A ．0x R ∃∈，0sin 1x ≥B ．x R ∀∈，sin 1x ≥C ．0x R ∃∈，0sin 1x >D ．x R ∀∈，sin 1x >8．已知抛物线2:4(0)C y px p =>的焦点为F ，过焦点的直线与抛物线分别交于A 、B 两点，与y 轴的正半轴交于点S ，与准线l 交于点T ，且||2||FA AS =，则||||FB TS =（） A ．25B ．2C ．72D ．39．双曲线()221x y m c m-=>的一条渐近线方程为20x y +=，那么它的离心率为（）A ．3B ．5C ．62D ．5210．如图，在ABC ∆中，点Q 为线段AC 上靠近点A 的三等分点，点P 为线段BQ 上靠近点B 的三等分点，则PA PC +=（）A ．1233BA BC + B ．5799BA BC + C ．11099BA BC + D ．2799BA BC + 11．将函数()cos2f x x =图象上所有点向左平移4π个单位长度后得到函数()g x 的图象，如果()g x 在区间[]0,a 上单调递减，那么实数a 的最大值为（） A ．8π B ．4π C ．2π D ．34π 12．甲、乙、丙、丁四位同学利用暑假游玩某风景名胜大峡谷，四人各自去景区的百里绝壁、千丈瀑布、原始森林、远古村寨四大景点中的一个，每个景点去一人．已知：①甲不在远古村寨，也不在百里绝壁；②乙不在原始森林，也不在远古村寨；③“丙在远古村寨”是“甲在原始森林”的充分条件；④丁不在百里绝壁，也不在远古村寨．若以上语句都正确，则游玩千丈瀑布景点的同学是（） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

高考数学仿真押题试卷(十一)(Word版,含答案解析)

专题11 高考数学仿真押题试卷（十一）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知i 为虚数单位，复数z 满足(1)2i z i -=，则下列关于复数z 说法正确的是( ) A ．1z i =--B ．||2z =C ．2z z =D ．22z =【解析】解：由(1)2i z i -=，得，故A 错； ||2z =，故B 错；2||2z z z ==，故C 正确；，故D 错误．【答案】C ．2．命题“x R ∀∈，210x x -+”的否定是( ) A ．x R ∀∈，210x x -+<B ．0x R ∃∈，C ．0x R ∃∈，2010x x -+ D ．0x R ∃∈，2010x x -+ 【解析】解：根据全称命题的否定是特称命题，则命题的否定是：0x R ∃∈，【答案】B ．3．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是( )A ．171B ．342C ．683D ．341【解析】解：根据程序框图可知：1i =1S =；2i =2S =；3i =3S =；4i =6S =； 5i =，11S =；6i =22S =；7i =，43S =；8i =，86S =；9i =171S =； 10i =，342S =；11i =683S =，1110i =>满足条件．输出683S =，【答案】C ．4．设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且，则( )A ．4παβ-=B ．2παβ+=C ．22παβ-=D ．22παβ+=【解析】解：由，可得，，即，又(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，则，．故，即22παβ+=．【答案】D ．5．已知实数x，y满足约束条件，则目标函数的最小值为()A．322B．355C．2 D．4【解析】解：作出可行域，的几何意义表示可行域中点(,)x y与定点(1,0)D-的距离的平方，可知当1x=，0y=时，目标函数取到最小值，最小值为，【答案】D．6．某一简单几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是()A．27 B．24 C．18 D．12【解析】解：由三视图可知，该几何体是一个长方体，其长、宽、高分别为22，22，3，其体积为．【答案】B ．7．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，若1x ，2x R ∈，则“120x x +=”是“”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】解：函数()f x 是奇函数，∴若120x x +=，则12x x =-，则，即成立，即充分性成立，若()0f x =，满足()f x 是奇函数，当122x x ==时，满足，此时满足，但，即必要性不成立，故“120x x +=”是“”的充分不必要条件，【答案】A ． 8．已知函数，0ω>，||)2πϕ<的部分图象如图所示，点3(0,)2-，(3π，0)，7(,0)3π在图象上，若1x ，27(,)33x ππ∈，12x x ≠，且，则12()(f x x += )A ．3B ．32C ．0D ．32-【解析】解：由条件知函数的周期满足，即24ππω=，则12ω=，由五点对应法得03πωϕ+=，即1032πϕ⨯+=，得6πϕ=-，则，则，得3A =，即，在7(,)33ππ内的对称轴为，若1x ，27(,)33x ππ∈，12x x ≠，且，则1x ，2x 关于43x π=对称，则，则，【答案】D ．9．若直线与圆相交，且两个交点位于坐标平面上不同的象限，则m 的取值范围是( ) A ．(0,1)B ．(0,2)C ．(1,0)-D ．(2,0)-【解析】解：根据题意，圆的圆心为(1,0)，半径1r =，与x 轴的交点为(0,0)，(2,0)，设B 为(2,0)；直线即，恒过经过点(0,1)，设(0,1)A ；当直线经过点A 、B 时，即2m =-，若直线与圆相交，且两个交点位于坐标平面上不同的象限，必有20m -<<，即m 的取值范围为(2,0)-；10．在空间直角坐标系O xyz -中，四面体ABCD 各顶点坐标分别为(2A ，2，1)，(2B ，2，1)-，(0C ，2，1)，(0D ，0，1)，则该四面体外接球的表面积是( )A ．16πB ．12πC ．43πD ．6π【解析】解：通过各点的坐标可知，A ，B ，C ，D 四点恰为棱长为2的正方体的四个顶点，故此四面体与对应正方体由共同的外接球，其半径为体对角线的一半：3，故其表面积为：12π，【答案】B ．11．设P 是抛物线2:4C y x =上的动点，Q 是C 的准线上的动点，直线l 过Q 且与(OQ O 为坐标原点）垂直，则P 到l 的距离的最小值的取值范围是( ) A ．(0,1)B ．(0，1]C ．[0，1]D ．(0，2]【解析】解：抛物线24y x =上的准线方程是1x =-设点Q 的坐标为(1,)t -，(0)t ≠．则直线l 的方程为．设与直线l 平行的直线方程为0x ty m -+=．代入抛物线方程可得，由△，可得2m t =．故与直线l 平行且与抛物线相切的直线方程为20x ty t -+=．∴则P 到l 的距离的最小值．12．已知函数．若不等式()0f x >的解集中整数的个数为3，则a 的取值范围是( ) A ．(13ln -，0]B ．(13ln -，22]lnC ．(13ln -，12]ln -D ．[0，12]ln -【解析】解：，当10a -时，()0f x '>，此时函数()f x 单调递增，不满足条件，舍去．当10a -<时，，可得11x a=-时取得极大值即最大值．．而f （1）10a =->，f （2）20ln =>，∴必须f （3），f （4）．解得：．a ∴的取值范围是(13ln -，12]ln -．【答案】C ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．已知向量a 与b 的夹角为3π，||||1a b ==，且()a a b λ⊥-，则实数λ= 2 ．【解析】解：向量a 与b 的夹角为3π，||||1a b ==，且()a a b λ⊥-； ∴；2λ∴=．【答案】2．14．若21(2)n x x -展开式的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项是 60 ．【解析】解：若21(2)n x x-展开式的二项式系数之和为64，则264n =，6n ∴=．则展开式中的通项公式为，令1230r -=，求得4r =，可得常数项为426260C =，【答案】60．15．在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边交单位圆O 于点(,)P a b ，且75a b +=，则cos(2)2πα+的值是 2425- ．【解析】解：在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边交单位圆O 于点(,)P a b ，∴由任意角的三角函数的定义得，sin b α=，cos a α=．75a b +=，可得：，∴两边平方可得：，可得：，解得：，∴．【答案】2425-． 16．图（1）为陕西博物馆收藏的国宝--唐金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作．该杯型几何体的主体部分可近似看作是双曲线的右支与直线0x =，4y =，2y =-围成的曲边四边形MABQ 绕y 轴旋转一周得到的几何体，如图（2）．N ，P 分别为C 的渐近线与4y =，2y =-的交点，曲边五边形MNOPQ 绕y 轴旋转一周得到的几何体的体积可由祖恒原理（祖恒原理：幂势既同，则积不容异）．意思是：两登高的几何体在同高处被截得的两截面面积均相等，那么这两个几何体的体积相等．那么这两个几何体的体积相等）据此求得该金杯的容积是 18π ．（杯壁厚度忽略不计）【解析】解：由双曲线，得3a =，3b =，则渐近线方程为3y x =±．设y h =在y 轴右侧与渐近线的交点N 的横坐标3x h =，与双曲线第一象限的交点M 的横坐标233h x =+．，∴金杯的容积是．【答案】18π．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若点D 为BC 中点，且27AD =，4a =，求ABC ∆的面积．【解析】解：（1），，，1cos 2C ∴=-，0C π<<，23C π∴=；（2）ADC ∆中，27AD =，4a =，由余弦定理可得，，，，解可得4AC =，6AC =-（舍)，．18．如图，在三棱柱中，四边形11AA C C 是边长为2的菱形，平面ABC ⊥平面11AA C C ，160A AC ∠=︒，90BCA ∠=︒．（Ⅰ）求证：11A B AC ⊥；（Ⅱ）已知点E 是AB 的中点，BC AC =，求直线1EC 与平面11ABB A 所成的角的正弦值．【解析】（Ⅰ）证明：取AC 的中点O ，连接1A O ，由于平面ABC ⊥平面11AA C C ，1AO AC ⊥，所以：1A O ⊥平面ABC ，所以：1AO BC ⊥，又BC AC ⊥，所以：BC ⊥平面1A AC ，又11AC AC ⊥，1A C 为1A B 的射影，所以：11A B AC ⊥．（Ⅱ）以O 为坐标原点建立空间直角坐标系O xyz -，(0A ，1-，0)，(2B ，1，0)，(0C ，1，0)，1(0C ，2，3)，则：(2,2,0)AB =，，设(m x =，y ，)z 是平面11ABB A 的法向量，所以：100m AB m BB ⎧=⎪⎨=⎪⎩，22030x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩求得：，由(1E ，0，0) 求得：，直线1EC 与平面11ABB A 所成的角的正弦值．19．一家大型超市委托某机构调查该超市的顾客使用移动支付的情况．调查人员从年龄在20至60的顾客中，随机抽取了200人，调查结果如图：（Ⅰ）为推广移动支付，超市准备对使用移动支付的每位顾客赠送1个环保购物袋．若某日该超市预计有10000人购物，试根据上述数据估计，该超市当天应准备多少个环保购物袋？（Ⅱ）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99.9%的把握认为使用移动支付与年龄有关？年龄40<年龄40小计使用移动支付不使用移动支付小计200（Ⅲ）现从该超市这200位顾客年龄在[55，60]的人中，随机抽取2人，记这两人中使用移支付的顾客为X人，求X的分布列．附：2P K k0.100 0.050 0.010 0.001()k 2.706 3.841 6.635 10.828【解析】解：（Ⅰ）根据图中数据，由频率估计概率，根据已知可预计该超市顾客使用移动支付的概率为：，所以超市当天应准备的环保购物袋个数为：．（Ⅱ）由（1）知列联表为：年龄40<年龄40小计使用移动支付 85 40 125不使用移动支付10 65 75 小计 95 105 200假设移动支付与年龄无关，则，，所以有99.9%的把握认为使用移动支付与年龄有关．（Ⅲ）X可能取值为0，1，2，，，，所以X的分布列为：X0 1 2P3358112935820．已知两点(2,0)A -、(2,0)B ，动点P 与A 、B 两点连线的斜率PA k ，PB k 满足14PA PB k k =-．（Ⅰ）求动点P 的轨迹E 的方程；（Ⅱ）若H 是曲线E 与y 轴正半轴的交点，则曲线E 上是否存在两点M ，N ，使得HMN ∆是以H 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请说明满足条件的点M 、N 有几对；若不存在，请说明理由．【解析】解：（1）设动点P 的坐标为(,)x y ，因为斜率PA k ，PB k 存在，故2x ≠±，则2PA y k x =+，2PB yk x =-，又动点P 与A 、B 两点连线的斜率PA k ，PB k 满足14PA PB k k =-，所以，化简得，动点P 的轨迹E 的方程为：2214x y +=，(2)x ≠±（2）设能构成等腰直角三角形HMN ，其中H 为(0,1)，由题意可知，直角边HM ，HN 不可能垂直或平行于x 轴，故可设HM 所在直线的方程为1y kx =+，（不妨设0)k >则HN 所在直线的方程为11y x k=-+，由求得交点28(14kM k -+，2281)14k k -++，（另一交点(0,1))H ，，用1k-代替上式中的k ，得，由||||HM HN =，得，，解得：1k =或35k ±=．当HM 斜率1k =时，HN 斜率1-；当HM 斜率35k -=时，HN 斜率35--；当HM 斜率35k +=时，HN 斜率35-+．21．设函数，实数[0a ∈，)+∞，是自然对数的底数，．（Ⅰ）若()0f x 在x R ∈上恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若x e lnx m +对任意0x >恒成立，求证：实数m 的最大值大于2.3．【解析】解：（Ⅰ），()0f x 在x R ∈上恒成立，12x e ax ∴+，设()12x e h x x =+，，令()0h x '=，解得12x =，当12x >，即()0h x '>，函数单调递增，当12x <，即()0h x '<，函数单调递减，，0a e ∴<，故a 的取值范围为[0,]e ；（Ⅱ）设，∴，()0g x '>，可得x e>；()0g x '<，可得0x e<<．()g x ∴在(e，)+∞上单调递增；在(0,)e上单调递减．，，∴ 1.6e >，() 2.3g x ∴>．由（Ⅰ）可得，x e lnx ∴-的最小值大于2.3，故若x e lnx m +对任意0x >恒成立，则m 的最大值一定大于2.3．请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．[极坐标与参数方程]22．已知直线l 的参数方程为，点(1,2)P 在直线1上．（1）求m 的值；（2）以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线1:4C ρ=与直线l 交于两点A 、B ，求||||PA PB 的值．【解析】解：（1）由于点(1,2)P 在直线1上．直线l 的参数方程为，故代入直线的参数方程得到：23m =+．（2）曲线1:4C ρ=，转换为直角坐标方程为：2216x y +=，由于圆与直线l 交于两点A 、B ，把直线的参数方程代入圆的方程得到：，故：12111(t t t =-和2t 为A 、B 对应的参数）．故：．[选修4-5：不等式选讲] 23．设函数．（Ⅰ）若对(0,)a ∀∈+∞，()f x m 恒成立，求实数m 的取值范围；（Ⅱ）若f （2）1a <+，求a 的取值范围．【解析】解：（Ⅰ）0a>，a>时，，当且仅当1a=时取等号，，()f x m恒成立，2m∴，（Ⅱ）f（2），，等价于或，解得2a或，故a的取值范围为317(+，)+∞．。

2021届河北衡水密卷新高考仿真考试(十一)数学试题

2021届河北衡水密卷新高考仿真考试（十一）数学试题★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。

7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}220M x x x =-<，{}2,1,0,1,2N =--，则MN =（）．A. ∅B. {}1C. {}0,1D. {}1,0,1-【答案】B 【解析】【分析】首先求出集合M ，然后再利用集合的交运算即可求解.【详解】由集合{}{}22002M x x x x x =-<=<<，{}2,1,0,1,2N =--，所以M N ={}1.故选：B【点睛】本题考查了集合的交运算、一元二次不等式的解法，属于基础题. 2.已知复数13aiz i+=+为纯虚数（其中i 为虚数单位），则实数a =（） A. 3-B. 3C. 13- D.13【答案】A 【解析】【分析】化简复数z 的代数形式，根据复数为纯虚数，列出方程组，即可求解. 【详解】由题意，复数()()()()1313313331010ai i ai a a z i i i i +-++-===+++-，因为复数z 为纯虚数，可得30310a a +=⎧⎨-≠⎩，解得3a =-.故选：A.【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，以及复数的分类及其应用，着重考查计算能力，属于基础题. 3.己知0a b >>，1c >，则下列各式成立的是（） A. ln ln a b < B. c c a b < C. a b c c >D.11c c b a--< 【答案】C 【解析】【分析】根据指数函数和对数函数的单调性和特殊值法，逐一对选项进行判断即可. 【详解】解：对于A 选项：因为函数ln y x =在0,上单调递增，所以0a b >>时，ln ln a b >，故A选项错误；对于C 选项：因为()1xy cc =>在R 单调递增函数，所以0a b >>，a b c c >，故C 选项正确；对于B 选项：因为0a b >>，1c >，可取2a =，1b =，2c =，此时，2224,11cca b ====，所以c c a b >，故B 选项错误；对于D 选项：因为0a b >>，1c >，可取2a =，1b =，2c =，此时，12112111,122c c b a ----====，所以11c c b a，故D 选项错误.故选：C.【点睛】本题主要考查利用对数函数与指数函数的单调性比较大小，属于基础题.4.《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案，蕴含了深奥的宇宙星象之理，被誉为“宇宙魔方”，是中华文化阴阳术数之源.河图的排列结构如图所示，一与六共宗居下，二与七为朋居上，三与八同道居左，四与九为友居右，五与十相守居中，其中白圈为阳数，黑点为阴数，若从阳数和阴数中各取一数，则其差的绝对值为5的概率为（）A.15B.625C.825D.25【答案】A 【解析】【分析】根据阳数为1，3，5，7，9；阴数为2，4，6，8，10，利用古典概型的概率求法求解. 【详解】∵阳数为1，3，5，7，9；阴数为2，4，6，8，10， ∴从阳数和阴数中各取一数的所有组合共有5525⨯=个，满足差的绝对值为5的有()1,6，()3,8，()5,10，()7,2，()9,4共5个，则其差的绝对值为5的概率为51255p ==. 故选：A .【点睛】本题主要考查古典概型的概率求法，还考查了分析求解问题的能力，属于基础题. 5.函数||1()e sin 28x f x x =的部分图象大致是（） A. B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】判断函数的性质，和特殊值的正负，以及值域，逐一排除选项. 【详解】()()f x f x -=-，∴函数是奇函数，排除D ，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >，,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x <，排除B ，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()sin 20,1x ∈，2111,888x e e π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0,1⊂ 0,2x π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭时，()()0,1f x ∈，排除A ，C 符合条件，故选C.【点睛】本题考查了根据函数解析式判断函数图象，属于基础题型，一般根据选项判断函数的奇偶性，零点，特殊值的正负，以及单调性，极值点等排除选项.6.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，()22xf x x a =+-，则()1f -=（）A. 3B. -3C. -2D. -1【答案】B 【解析】【分析】由(0)10f a =-=，可求a ，代入可求(1)f ，然后结合奇函数的定义得(1)(1)f f -=-，进而求得()1f -的值. 【详解】()f x 是定义在R 上的奇函数，且0x 时，()22x f x x a =+-，(0)10f a ∴=-=，1a ，(1)43f a =-=，则(1)(1)f f -=-3=-. 故选：B.【点睛】本题考查奇函数性质，即若函数()f x 为奇函数且在0x =有定义，则(0)0f =，理解这一知识点是求解本题的关键．7.如图，已知双曲线22221(0)x y b a a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过右焦点作平行于一条渐近线的直线交双曲线于点A ，若12AF F △的内切圆半径为4b，则双曲线的离心率为（）A.33B.54C.53D.322【答案】C 【解析】【分析】设双曲线的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，设双曲线的一条渐近线方程为by x a=，可得直线2AF 的方程为()by x c a=-，联立双曲线的方程可得A 的坐标，设1||AF m =，2||AF n =，运用三角形的等积法，以及双曲线的定义，结合锐角三角函数的定义，化简变形可得a ，c 的方程，结合离心率公式可得所求值．【详解】设双曲线的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，设双曲线的一条渐近线方程为by x a=，可得直线2AF 的方程为()b y x c a =-，与双曲线22221(0)x y b a a b-=>>联立，可得22(2c aAc+，22())2b a cac-，设1||AF m=，2||AF n=，由三角形的面积的等积法可得2211()(2)22422b b c a m n c c ac-⋅++=⋅⋅，化简可得2442cm n a ca+=--①由双曲线的定义可得2m n a-=②在三角形12AF F中22()sin2b c anacθ-=，(θ为直线2AF的倾斜角），由tanbaθ=，22sin cos1θθ+=，可得22sinbca bθ==+，可得222c ana-=，③由①②③化简可得223250c ac a--=，即为(35)()0c a c a-+=，可得35c a=，则53cea==．故选：C.【点睛】本题考查直线与双曲线的位置关系、双曲线的定义、坐标求解、离心率求解，考查方程思想的运用及三角形等积法，考查运算求解能力，属于难题．8.如图，体积为V的大球内有4个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个交点，4个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4个顶点，1V为小球相交部分（图中阴影部分）的体积，2V为大球内、小球外的图中黑色部分的体积，则下列关系中正确的是A.12VV= B.22VV=C. 12V V >D. 12V V <【答案】D 【解析】【分析】先设大球半径为R ，小球半径为2R，根据题中条件，分别表示出21,,V V V ，进而可作差比较大小．【详解】设大球半径为R ，小球半径为2R，根据题意3312444()332R V R V V ππ==⋅-+，所以333214424()033232R VV V R R πππ-=-⋅==>．故选：D ．【点睛】本题主要考查球的体积的相关计算，熟记公式即可，属于常考题型．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.9.2019年10月31日，工信部宣布全国5G 商用正式启动，三大运营商公布5G 套餐方案，中国正式跨入5G 时代.某通信行业咨询机构对我国三大5G 设备商进行了全面评估和比较，其结果如雷达图所示(每项指标值满分为5分，分值高者为优)，则（）A. P 设备商的研发投入超过Q 设备商与R 设备商B. 三家设备商的产品组合指标得分相同C. 在参与评估的各项指标中，Q 设备商均优于R 设备商D. 除产品组合外，P 设备商其他4项指标均超过Q 设备商与R 设备商【答案】ABD 【解析】【分析】根据雷达图中是越外面其指标值越优，由图可知ABD 均正确. 【详解】雷达图中是越外面其指标值越优，P 设备商的研发投入在最外边，即P 设备商的研发投入超过Q 设备商与R 设备商，故A 正确；三家设备商的产品组合指标在同一个位置，即三家设备商的产品组合指标得分相同，故B 正确； R 设备商的研发投入优于Q 设备商，故C 错误；除产品组合外，P 设备商其他4项指标均在最外边，故D 正确；故选：ABD.【点睛】本题主要考查对数表的综合观察能力，属于基础题.10.已知F 是椭圆2212516x y +=的右焦点，椭圆上至少有21个不同的点()1,2,3,i P i =⋅⋅⋅，12,,FP FP 3,FP ⋅⋅⋅组成公差为()0d d >的等差数列，则（） A. 该椭圆的焦距为6 B. 1FP 的最小值为2 C. d 的值可以为310 D. d 的值可以为25【答案】ABC 【解析】【分析】先由椭圆2212516x y +=，得到焦距，判断A 是否正确，椭圆上的动点P ，分析1||PF 的取值范围，判断BCD 是否正确，得到答案.【详解】由椭圆2212516x y +=，得5a =，4b =，3c =，故A 正确；椭圆上的动点P ，1a c PF a c -≤≤+，即有12||8PF ≤≤，故1FP 的最小值为2，B 正确；设1FP ，2FP ，3FP ，…组成的等差数列为{}n a ，公差0d >，则12,8n a a ≥≤，又11n a a d n -=-，所以663121110d n ≤≤=--，所以3010d <≤，所以d 的最大值是310，故C 正确，D 错误. 故选：ABC.【点睛】本题以椭圆知识为载体，考查了椭圆的几何性质，等差数列的相关知识，属于中档题. 11.对于四面体ABCD ，下列命题正确的是（）A. 由顶点A 作四面体的高，其垂足是BCD 的垂心B. 分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点C. 若分别作ABC 和ABD △的边AB 上的高，则这两条高所在直线异面D. 最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱【答案】BD 【解析】【分析】依题意画出图形，数形结合一一分析可得；【详解】解：如图取AB 、AC 、AD 、BC 、BD 、DC 的中点,,,,,F E I J H G对于A .三角形的垂心是三条高线的交点，而A 点的位置可以任意变化，故A 错误；对于B.////EI CD JH ，////JE AB IH ，JEIH 为平行四边形，同理EFGH 也是平行四边形，FG ，EH 的交点为平行四边形EFGH 对角线EH 的中点，EH ，JI 的交点为平行四边形JEIH 对角线EH 的中点，故三条线段交于一点，故B 正确；若四面体为正四面体，则两条高线刚好相交于AB 的中点，故C 为错误；对于D.假设D 错误，设AB 最长，则AC AD AB +≤，BC BD AB +≤，相加得2AC AD BC BD AB +++≤，在ABC ，ABD △中，AC BC AB +>，AD BD AB +>，所以2AC AD BC BD AB +++>矛盾，故D 正确. 故选：BD.【点睛】本题考查异面直线，棱锥的结构特征，考查空间想象能力逻辑思维能力，属于中档题． 12.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：[]3.54-=-，[]2.12=.己知函数()421xxe f x e =-+，则（）A. x R ∀∈，[][]1x x x ≤<+B. ()()g x f x =⎡⎤⎣⎦是偶函数C. ,x y R ∀∈，[][][]x y x y +≤+D. 若()f x 的值域为集合M ，t M ∃∈，使得31t ⎡⎤=⎣⎦，42t ⎡⎤=⎣⎦，53t ⎡⎤=⎣⎦，…，2n t n ⎡⎤=-⎣⎦同时成立，则正整数n 的最大值是5 【答案】ACD 【解析】【分析】由取整函数的定义判断.【详解】由定义得[][]1x x x ≤<+，故 A 正确；因为()442211x x xe f x e e =-=-++.易知()421x f x e =-+在R 上是增函数； ∵0x e >，∴11x e +>，∴()22f x -<<，∴()()g x f x =⎡⎤⎣⎦的值域为{}2,1,0,1--，故B 错误.,x y R ∀∈，[]x x a =+，[]y y b =+，[),0,1a b ∈，∴[][]x y x a y b +=+++，[][][]x y x y +=++[]a b +， ∴[][][]x y x y +≤+，故C 正确；若t M ∃∈，()2,2M =-，使得31t ⎡⎤=⎣⎦，42t ⎡⎤=⎣⎦，53t ⎡⎤=⎣⎦，…，2n t n ⎡⎤=-⎣⎦同时成立，则1t ≤<，t ≤<t ≤<t ≤<，…t ≤<=若6n ≥，则不存在t 同时满足1t ≤<t ≤<.只有5n ≤时，存在t ∈故D 正确；故答案为：ACD .【点睛】本题主要考查函数的新定义，还考查了分析求解问题的能力，属于中档题.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知tan 1α=，则2cos sin cos 3sin αααα+=+______.【答案】34【解析】【分析】利用商数关系，由tan 1α=得到sin cos αα=代入2cos sin cos 3sin αααα++求解.【详解】方法一：sin tan 1sin cos cos ααααα==⇒=，则2cos sin 2cos cos 3cos 3sin cos 3cos 4αααααααα++==++. 方法二：分子分母同除cos α，得2cos sin 2tan 213cos 3sin 13tan 134αααααα+++===+++. 故答案为：34【点睛】本题主要考查同角三角函数基本关系式的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 14.已知单位向量a ，b 满足3a b -=，则向量a 与b 的夹角为______. 【答案】23π 【解析】【分析】首先根据平面向量的运算律求出a b ⋅，再根据夹角公式计算可得；【详解】解：由单位向量a ，b 满足3a b -=，得23a b -=，所以2223a a b b -⋅+=，12a b ⋅=-，所以1cos ,2a ba b a b⋅==-⋅，又[],0,πa b ∈,所以2,3a b π=. 故答案为：23π 【点睛】本题考查平面向量的数量积的运算律以及夹角的计算，属于基础题.15.设函数()()142302x x xf x x +-+=≤的最小值为m ，且()()()1101112mx x a a x +++=+++()()()2101121011222a x a x a x ++⋅⋅⋅++++，则m =______，1a =______.【答案】 (1). 2 (2). 9 【解析】【分析】化简函数()f x ，换元后利用32y t t=+-的单调性求出最小值即可得出2m =，将()()21111x x +++转化为()()2112121x x +-++-，再利用展开式的通项即可得到答案.【详解】由()142332222x x xx xf x +-+==+-，令(]20,1xt =∈，因为函数32y t t=+-，(]0,1t ∈为减函数，所以当1t =时，min 2y =，即2m =，所以()()()()11211112121mx x x x +++=+-++-，因为()1121x +-的展开式通项为：()()111121rrrC x -+⨯-，所以当111r -=，即10r =时，展开式的项为()112x +，又()()()22212221x x x +-=+-++，所以11129a =-=. 故答案为：2；9【点睛】本题主要考查了函数的单调性，二项展开式，项的系数，换元法，转化思想，属于中档题. 16.已知函数()cos2f x x =，将函数()y f x =的图象向右平移4π个单位，所得的图象上每一点的纵坐标不变，再将横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图象对应的函数记作yg x ，己知常数R λ∈，*n N ∈，且函数()()()F x f x g x λ=+在()0,n π内恰有2021个零点，则n =______. 【答案】1347 【解析】【分析】先求出()sin g x x =，()22sin sin 1F x x x λ=-++，令[]sin 1,1t x =∈-，得2210t t λ--=，则关于t的二次方程2210t t λ--=必有两不等实根1t ，2t ，又1212t t =-，则1t 、2t 异号，再对1t 、2t 分四种情况讨论得解.【详解】将函数()cos2y f x x ==的图象向右平移4π个单位，得到函数 cos 2cos 2sin 242y x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图象对应的函数为()sin g x x =，令()()()2cos2sin 2sin sin 1F x f x g x x x x x λλλ=+=+=-++，令()0F x =，可得22sin sin 10x x λ--=，令[]sin 1,1t x =∈-，得2210t t λ--=，280λ∆=+>，则关于t 的二次方程2210t t λ--=必有两不等实根1t ，2t ，又1212t t =-，则1t 、2t 异号，（ⅰ）当101t <<且201t <<时，则方程1sin x t =和2sin x t =在区间()()*0,n n π∈N 均有偶数个根，从而方程22sin sin 10x x λ--=在()()*0,n n π∈N 有偶数个根，不合题意；（ⅱ）当101t <<且21t >时，则方程1sin x t =在区间()()*0,n n π∈N 有偶数个根，2sin x t =无解，从而方程22sin sin 10x x λ--=在()()*0,n n π∈N 有偶数个根，不合题意；（ⅲ）当11t =，则2102t =-<，当()0,2x π∈时，1sin x t =只有一根，2sin x t =有两根，所以，关于x 的方程22sin sin 10x x λ--=在0,2上有三个根，由于202136732=⨯+，则方程22sin sin 10x x λ--=在()0,1346π上有36732019⨯=个根，由于方程1sin x t =在区间()1346,1347ππ上只有一个根，在区间()1347,1348ππ上无实解，方程2sin x t =在区间()1346,1347ππ上无实数解，在区间()1347,1348ππ上有两个根，因此，关于x 的方程22sin sin 10x x λ--=在区间()0,1347π上有2020个根，在区间()0,1348π上有2022个根，不合题意；（ⅳ）当11t =-时，则212t =，当()0,2x π∈时，1sin x t =只有一根，2sin x t =有两根，所以，关于x 的方程22sin sin 10x x λ--=在0,2上有三个根，由于202136732=⨯+，则方程22sin sin 10x x λ--=在()0,1346π上有36732019⨯=个根，由于方程1sin x t =在区间()1346,1347ππ上无实数根，在区间()1347,1348ππ上只有一个实数根，方程2sin x t =在区间()1346,1347ππ上有两个实数解，在区间()1347,1348ππ上无实数解，因此关于x 的方程22sin sin 10x x λ--=在区间()0,1347π上有2021个根，在区间()0,1348π上有2022个根，此时，()()2211110λλ⨯--⨯--=+=，得1λ=-. 所以1347n =. 故答案为：1347.【点睛】本题主要考查三角函数的图象的变换，考查正弦函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知等差数列{}n a 满足36a =，前7项和为749.S = （Ⅰ）求{}n a 的通项公式（Ⅱ）设数列{}n b 满足(3)3nn n b a =-⋅，求{}n b 的前n 项和n T .【答案】(1) 3.n a n =+(2) 1(21)334n n n T +-⨯+=.【解析】试题分析：（1）根据等差数列的求和公式可得()17747=7=492a a S a ⨯+=，得4=7a ，然后由已知36a =可得公差，进而求出通项；（2）先明确()33nn n b a =-⋅= 3n n ⋅，为等差乘等比型通项故只需用错位相减法即可求得结论. 解析：（Ⅰ）由()17747=7=492a a S a ⨯+=，得4=7a因为36a =所以1d =14,3n a a n ==+所以（Ⅱ）()33=3nnn n b a n =-⋅⋅()12313233331n n T n =⨯+⨯+⨯+⋯+⨯所以 ()234+1313233332n n T n =⨯+⨯+⨯+⋯+⨯()()123+1+13312233333=313n nn n n T n n +---=++++-⨯-⨯-由得： ()+121334n nn T -⨯+=所以18.在①2a =，②4B π=，③=c 这三个条件中任选两个，补充在下面的问题中，并解决该问题.在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且满足()())sin sin sin b a B A c B C -+=-.（1）求A 的大小；（2）已知______，______，若ABC 存在，求ABC 的面积；若ABC 不存在，说明理由. 【答案】（1）6A π=；（2）答案不唯一，具体见解析.【解析】【分析】（1）由题中的条件，根据正弦定理，得到222b c a +-=，再由余弦定理，即可求出结果；（2）方案一：选条件①和②，先由正弦定理求出b =712C π=，进而求出7sin124π=，进而可求出三角形面积；方案二：选条件①和③，先由余弦定理求出2b =，进而得到c =，进而可求出三角形的面积；方案三：选条件②和③，由条件得sin 1C >，不成立，所以三角形不存在.【详解】（1）因为()())sin sin sin b a B A c B C -+=-，又由正弦定理sin sin sin a b cA B C==，得()())b a b ac c -+=-，即222b c a +-=，所以222cos 222b c A bc bc a +===-，因为0A π<<，所以6A π=.（2）方案一：选条件①和②.由正弦定理sin sin a b A B=，得2sin sin 22sin 4sin 6a b B A ππ===. 76412C A B πππππ=--=--=. 7212326sinsin 124322224πππ+⎛⎫=+=⨯+⨯= ⎪⎝⎭ 所以ABC 的面积1126sin 22231224S ab C +==⨯⨯⨯=+. 方案二：选条件①和③.由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得222433b b b =+-，则24b =，所以2b =. 所以323c b ==，所以ABC 的面积111sin 2233222S bc A ==⨯⨯⨯=. 方案三：选条件②和③，这样的三角形不存在，理由如下：在三角形中，因为3=c b 由正弦定理得26sin 3sin 3sin 31422C B π===⨯=>，不成立，所以这样的三角形不存在.【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理、面积公式，考查学生的计算能力及对公式的掌握程度，属于中档题.19.如图所示，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为1的菱形，60BCD ∠=︒，E 是CD 的中点，PA ⊥底面ABCD ，2PA =.（1）证明：平面PBE ⊥平面PAB ；（2）求平面PAD 和平面PBE 所成二面角（锐角）的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）155. 【解析】【分析】（1）连接BD ，根据ABCD 是菱形且60BCD ∠=︒，得到BCD 是等边三角形，由E 是CD 的中点，得到AB BE ⊥，再由PA ⊥平面ABCD ，得到PA BE ⊥，利用线面垂直的判定定理证明得到BE ⊥平面PAB ，然后利用面面垂直的判定定理证明即可.（2）在平面ABCD 内，过点A 作AB 的垂线，以A 为原点建立空间直角坐标系.分别求得平面PBE 的一个法向量()1111,,n x y z =和平面PAD 的一个法向量()2222,,n x y z =，由公式121212cos ,n n n n n n ⋅=求解.【详解】（1）如图所示，连接BD ，因为ABCD 是菱形且60BCD ∠=︒，所以BCD 是等边三角形. 因为E 是CD 的中点，所以BE CD ⊥，又//AB CD ，所以AB BE ⊥.又因为PA ⊥平面ABCD ，BE ⊂平面ABCD ，所以PA BE ⊥.而PA AB A =，所以BE ⊥平面PAB . 又BE ⊂平面PBE ，所以平面PBE ⊥平面PAB .（2）在平面ABCD 内，过点A 作AB 的垂线，如图所示，以A 为原点，建立空间直角坐标系.则()0,0,0A ，()1,0,0B ，332C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，132D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()002P ,,，3E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.所以()1,0,2PB =-，3BE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()0,0,2PA =-，132AD ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭设()1111,,n x y z =是平面PBE 的一个法向量，则由1100n PB n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得111111020,3000.2x y z x y z +⨯-=⎧⎪⎨⨯++⨯=⎪⎩令11z =，得()12,0,1n =.设()2222,,n x y z =是平面PAD 的一个法向量，则由2200n PA n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得2222220020,1300.2x y z x y z ⨯+⨯-=⎧⎪⎨+⨯=⎪⎩，所以20z =，223x =-. 故可取()23,1,0n =-.于是1212122315cos ,55n n n n n n ⋅===⨯所以平面PAD 和平面PBE 所成二面角（锐角）的余弦值为155. 【点睛】本题主要考查线面垂直，面面垂直的判定定理以及向量法求二面角问题，还考查了转化化归的思想和逻辑推理，运算求解的能力，属于中档题.20.如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，A 为抛物线上异于原点的任意一点，以AO 为直径作圆Ω，当直线OA 的斜率为1时，||42OA =.（1）求抛物线C 的标准方程；（2）过焦点F 作OA 的垂线l 与圆Ω的一个交点为M ，l 交抛物线于P ，Q （点M 在点P ，Q 之间），记OAM △的面积为S ，求23||2S PQ +的最小值. 【答案】（1）24y x =（2）23 【解析】【分析】（1）求得直线OA 的方程y x =，联立抛物线方程，解得A 的坐标，由两点的距离公式可得p ，进而得到所求抛物线方程；（2）求得(1,0)F ，设1(A x ，1)y ，0(M x ，0)y ，2(P x ，2)y ，3(Q x ，3)y ，且2114y x =，由向量垂直的坐标表示可得22001x y x +=，由三角形的勾股定理和三角形的面积公式可得221111(3)4S x x x =+，设:1PQ x ky =+，联立抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式可得||PQ ，再由两直线垂直的条件，以及构造函数法，求得导数和单调性，计算可得所求最小值．【详解】（1）当直线OA 的斜率为1时，可得直线OA 的方程为y x =，联立抛物线方程22y px =，解得2x p =，即(2,2)A p p ，||22OA ==2p =，抛物线的方程为24y x =；（2）由（1）可得(1,0)F ，设11(,)A x y ，00(,)M x y ，22(,)P x y ，33(,)Q x y ，且2114y x =，由题意可得0OA FM ⋅=，即101010x x y y x +-=，又0OM AM ⋅=，即220100100x x x y y y -+-=，整理可得22001x y x +=，又22222222110011||||||()3AM OA OM x y x y x x =-=+-+=+，则222110011||||322SAMOM x x x y =⋅=+⋅+，即221111(3)4S x x x =+，又PQ 的斜率存在且不为0，:1PQ x ky =+，联立抛物线方程可得2440y ky --=，可得234y y k +=，234y y =-，则222222323||1()4116164(1)PQ k y y y y k k k =++-=+⋅+=+，由PQ OA ⊥，可得11PQx k y =-，即11y k x =-，可得212114||4(1)4(1)y PQ x x =+=+，则221111314||(3)6(1)24S PQ x x x x +=+++，可令214()(3)6(1)4f x x x x x =+++，4323232()4x x f x x+-'=⋅，显然43()232g x x x =+-在0x >递增，且(2)0=g ，当02x <<时，()0<g x ，2x >时，()0>g x ，可得()f x 在(0,2)递减，在(2,)+∞递增，可得2x =时，()f x 取得最小值23．即求23||2S PQ +的最小值为23．【点睛】本题考查抛物线的方程和运用，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理，以及向量垂直的坐标表示，考查函数方程思想和化简运算能力，属于难题．21.为了提高某生产线的运行效率，工厂对生产线的设备进行了技术改造.为了对比技术改造前后的效果，采集了该生产线的技术改造前后各20次连续正常运行的时间长度（单位：天）数据，并绘制了如下茎叶图：（1）设所采集的40个连续正常运行时间的中位数为m ，并将连续正常运行时间超过m 和不超过m 的次数填入上面的列联表，试写出a ，b ，c ，d 的值；根据列联表，能否有95％的把握认为生产线技术改造与连续正常运行时间的中位数有关；（2）工厂的一个生产周期为60天，生产线的运行需要进行维护.一个生产周期需设置几个维护周期，每个维护周期相互独立.工厂对生产线的生产维护费用包括正常维护费和保障维护费两种，对生产线设定维护周期为20天，即从开工运行到第20天()*k N∈进行正常维护，正常维护费为2千元/周期；在每个维护周期内，若生产线能连续运行，则不收取保障维护费；若生产线不能连续运行，则收取保障维护费，保障维护费在一个维护周期内只收费一次，第一个需保障维护的周期收费为1千元，在后面的维护周期中，如出现保障维护，收取的保障维护费在上次收取的保障维护费的基础上增加1千元.以生产线在技术改造后一个维护周期内能连续正常运行的频率作为概率，求一个生产周期内生产维护费X 的分布列及其期望.附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++【答案】（1）填表见解析；6a =，14b =，14c =，6d =；有95%的把握认为生产线技术改造与连续正常运行时间的中位数有关；（2）分布列见解析；期望为11116. 【解析】【分析】（1）根据中位数的定义直接计算中位数，再填写列联表，并计算2χ，并且和3.841比较大小后解答；（2）由茎叶图可知生产线需保障维护的概率为14p =，设一个生产周期内需保障维护的次数为ξ次，则13,4B ξ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，生产维护费为()2162X ξξ=++千元，然后然后列出离散型随机变量的分布列，并求期望.【详解】（1）由茎叶图知212221.52m +==，根据茎叶图可得：6a =，14b =，14c =，6d =. 由于()2240661414 6.4 3.84120202020χ⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以有95%的把握认为生产线技术改造与连续正常运行时间的中位数有关.（2）当一个维护周期为20天时，生产周期内有3个维护周期，一个维护周期内，生产线需保障维护的概率为14p =.设一个生产周期内需保障维护的次数为ξ次，则正常维护费为236⨯=千元，保障维护费为()()2111222ξξξξξ⨯+++⋅⋅⋅+==+千元. 故一个生产周期内需保障维护ξ次时的生产维护费为()2162X ξξ=++千元. 由于13,4B ξ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，设一个生产周期内的生产维护费为X 千元，则X 的可能取值为6，7，9，12 ()3033276464P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()2131********P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()22313994464P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， ()3331112464P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭则分布列为故()272791111679126464646416E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查独立性检验的实际应用，以及离散型随机变量的分布和期望，本题的关键是读懂题意，并能抽象出数学问题，属于中档题型.22.已知函数()()210ax f x b bx+=>.（1）求()f x 的单调区间；（2）设()()()()()21ln ln 11x x x x g x f x x --+=⋅+，()0,x ∀∈+∞都有()()12f x f ≥=成立，证明：()0,x ∀∈+∞，都有()21g x e -<+.【答案】（1）当0a >时，函数()f x 的单调递增区间为,⎛-∞ ⎝⎦，⎫+∞⎪⎪⎣⎭，单调递减区间为⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭，⎛ ⎝⎦；当0a ≤时，函数()f x 的单调递减区间为(),0-∞，()0,∞+，无单调递增区间；（2）证明见解析. 【解析】【分析】（1）求导数，对a 分类讨论即可求解.（2）先由()0,x ∀∈+∞都有()()12f x f ≥=成立，确定1a=，1b =，则可求出()()()1ln ln 1x x xx g x x--+=，则()21g x e -<+转化为证明()()211ln ln 1x e x x xx -+--<+，再证明21ln 1x x x e---≤+和()1ln 1xx >+即可. 【详解】解：（1）函数()f x 的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，()221ax f x bx -'=当0a ≤时，()2210ax f x bx-'=<，()f x 在(),0-∞，()0,∞+上分别递减. 当0a >时，()221ax f x bx -'== 令()0f x '>，得x <或x >，令()0f x '<，得0x <<或0x <<，所以函数()f x 在,a ⎛-∞- ⎝⎦，a ⎫+∞⎪⎪⎣⎭上单调递增，在a ⎡⎫-⎪⎢⎪⎣⎭，0,a ⎛ ⎝⎦上单调递减.综上所述：当0a >时，函数()f x 的单调递增区间为,⎛-∞ ⎝⎦，⎫+∞⎪⎪⎣⎭，单调递减区间为⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭，⎛ ⎝⎦；当0a ≤时，函数()f x 的单调递减区间为(),0-∞，()0,∞+，无单调递增区间. （2）证明：对任意的0x >，都有()()12f x f ≥=成立，即有12a b +=，由（1）知，若0a ≤，则()f x 对()0,x ∀∈+∞不存在最小值2，必有0a >，由()11f x ax b x b ⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭，即2b≥，所以1a +≤，即)210≤解得1a =，1b =.所以()1f x x x=+()()()()()()()21ln ln 11ln ln 11x x x x x x x x g x f x xx--+--+=⋅=+，0x >.对任意0x >，()21g x e -<+等价于()()211ln ln 1x e x x x x -+--<+，令()()1ln 0F x x x x x =-->，则()ln 2F x x '=--，令()ln 20F x x '=--=得2x e -=，所以当()20,x e-∈时，()0F x '>，()F x 单调递增；当()2,x e -∈+∞时，()0F x '<，()F x 单调递减，所以()F x 的最大值为()221F ee--=+，即21ln 1x x x e ---≤+.设()()ln 1G x x x =-+，则()01xG x x '=>+，所以当()0,x ∈+∞时，()G x 单调递增，()()00G x G >=，故当()0,x ∈+∞时，()()ln 10G x x x =-+>，即()1ln 1xx >+，∴()()2211ln 1ln 1x e x x x e x --+--≤+<+，所以对任意0x >，都有()21g x e -<+.【点睛】考查求含参数的函数的单调性和证明不等式恒成立，求含参数的函数的单调性通常需要分类讨论；证明不等式通常转化为求函数的最值，这时需要构造新函数，研究新函数的值域；本题是难题.。

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