J02--2005年普通高等学校招生全国统一考试数学及详细解析(浙江卷.理)
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浙江省2005年高考试题
数学(理工类)
第Ⅰ卷 (选择题 共60分)
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.lim
n →∞
2
123n
n
++++ =( )
(A) 2 (B) 4 (C)
2
1 (D)0
解:2
2
21
(1)11212lim
lim
lim
2
2
n n n n n n
n n
n →∞
→∞
→∞
++++⋅⋅⋅+===
,选(C)
2.点(1,-1)到直线x -y +1=0的距离是( ) (A)
2
1 (B)
32
(C)
2
(D)
2
解:点(1,-1)到直线x-y+1=0的距离
d=
2
=
,选(D)
3.设
f (x )=2
|1|2,||1,1, ||11x x x x
--≤⎧⎪
⎨>⎪+⎩,则
f [f (2
1
)]=( )
(A) 2
1 (B)
413
(C)-95 (D)
2541
解:f[f(12
)]=f[|
12
-1|-2]=f[-32
]=
2
11431313
1()
24
=
=
+-
,选(B)
4.在复平面内,复数
1i i
++(1+3i )2对应的点位于( )
(A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D)第四象限 解:
1i i ++(1+3i )2=
12
i --
-2+2i=32
-
+2i,故在复平面内,复数
1i i
++(1+3i )2对
应的点为(32
-
,2i),故选(B)
5.在(1-x )5+(1-x )6+(1-x )7+(1-x )8的展开式中,含x 3的项的系数是( ) (A) 74 (B) 121 (C) -74 (D) -121 解:(1-x )5
+(1-x )6
+(1-x )7
+(1-x )8
=
54
59
(1)[1(1)]
(1)(1)
1(1)
x x x x x x
------=
--,(1-x)5中x 4的系
数为4
55
C=,-(1-x)9中x4的系数为-4
9126
C=-,-126+5=-121,故选(D)
6.设α、β为两个不同的平面,l、m为两条不同的直线,且l⊂α,m⊂β,有如下的两个命题:
①若α∥β,则l∥m;②若l⊥m,则α⊥β.
那么
(A) ①是真命题,②是假命题(B) ①是假命题,②是真命题
(C) ①②都是真命题(D) ①②都是假命题
解:命题②有反例,如
图中平面α∩平面β=直线n,l,m
αβ
⊂⊂
且l∥n,m⊥n,则m⊥l,显然平面α不垂直平面β
故②是假命题;命题①显然也是假命题,
因此本题选(D)
7.设集合A={(x,y)|x,y,1-x-y是三角形的三边长},则A所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是(
)
解:由题意可知
10
.1
1
1
x
y
x y
x y x y
x y x y
x y y x
>
⎧
⎪
>
⎪
⎪-->
⎨
+>--
⎪
⎪--+>
⎪
--+>
⎩
得
1
2
1
2
1
1
2
x
y
x y
⎧
<<
⎪
⎪
⎪
<<
⎨
⎪
⎪
<+<
⎪
⎩
由此可知A所表示的平面区域(不含边界
的阴影部分)是(A )
8.已知k<-4,则函数y=cos2x+k(cos x-1)的最小值是( )
(A) 1 (B) -1 (C) 2k+1 (D) -2k+1
解:y=cos2x+k(cos x-1)=2cos2x+k(cos x-1)-1,当cosx=1时,y=1,当cosx≠1时,cosx-1<0,则y>2cos2x-4(cos x-1)-1=2(cosx-1)2+1≥1,故y的最小值为1,选(A)
9.设f(n)=2n+1(n∈N),P={1,2,3,4,5},Q={3,4,5,6,7},记P∧={n∈N|f(n )
∈P },Q ∧={n ∈N |f (n )∈Q },则(P ∧∩N ðQ ∧)∪(Q ∧∩N ðP ∧
)=( ) (A) {0,3} (B){1,2} (C) (3,4,5) (D){1,2,6,7}
解:^P ={0,1,2},N ð^P ={n ∈N|n ≥2},Q ∧={1,2,3},N ðQ ∧
={n ∈N|n=0或n ≥4}, 故P ∧∩N ðQ ∧={0},Q ∧∩N ðP ∧={3},得(P ∧∩N ðQ ∧)∪(Q ∧∩N ðP ∧
)={0,3},选(A)
10.已知向量a ≠e ,|e |=1,对任意t ∈R ,恒有|a -t e |≥|a -e
|,则 (A) a ⊥e (B) a ⊥(a -e ) (C) e ⊥(a -e ) (D) (a +e )⊥(a -e )
解:由|a -t e |≥|a -e |得|a -t e |2
≥|a -e
|2展开并整理得
2
2
2210,,(2)480
t a et a e t R a e a e -+-≥∈=-+-≤
由得,得()0e a e -=
,即()
a a e ⊥- ,选(C)
第Ⅱ卷 (非选择题 共100分)
二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分。把答案填在答题卡的相应位置。 11.函数y =2x x +(x ∈R ,且x ≠-2)的反函数是_________.
解:由y =
2
x x +(x ∈R ,且x ≠-2),得x=
21y y
-(y ∈R,y ≠1),所以函数y =
2
x x +(x ∈R ,且x
≠-2)的反函数是f -1=
21x x
-(x ∈R,x ≠1).
12.设M 、N 是直角梯形ABCD 两腰的中点,DE ⊥AB 于E (如图).现将△ADE 沿DE 折起,使二面角A -DE -B 为45°,此时点A 在平面BCDE 内的射影恰为点B ,则M 、N 的连线
与AE 所成角的大小等于_________.
解:如左图,在平面AED 内作MQ ∥AE 交ED 于Q,则MQ ⊥ED,且Q 为ED 的中点,连结QN,则NQ ⊥ED 且QN ∥EB,QN=EB,∠MQN 为二面角A -DE -B 的平面角,
∴∠MQN=45°∵AB ⊥平面BCDE,又∠AEB=∠MQN=45°,MQ=12
AE=
EB,在平面
MQN 内作MP ⊥BQ,得QP=MP=1
2EB,故PB=QP=
12
EB,故QMN 是以∠QMN 为直角的等腰三
角形,即MN ⊥QM,也即MN 子AE 所成角大小等于90°
A B
E