J02--2005年普通高等学校招生全国统一考试数学及详细解析(浙江卷.理)

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浙江省2005年高考试题

数学(理工类)

第Ⅰ卷 (选择题 共60分)

一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.lim

n →∞

2

123n

n

++++ =( )

(A) 2 (B) 4 (C)

2

1 (D)0

解:2

2

21

(1)11212lim

lim

lim

2

2

n n n n n n

n n

n →∞

→∞

→∞

++++⋅⋅⋅+===

,选(C)

2.点(1,-1)到直线x -y +1=0的距离是( ) (A)

2

1 (B)

32

(C)

2

(D)

2

解:点(1,-1)到直线x-y+1=0的距离

d=

2

=

,选(D)

3.设

f (x )=2

|1|2,||1,1, ||11x x x x

--≤⎧⎪

⎨>⎪+⎩,则

f [f (2

1

)]=( )

(A) 2

1 (B)

413

(C)-95 (D)

2541

解:f[f(12

)]=f[|

12

-1|-2]=f[-32

]=

2

11431313

1()

24

=

=

+-

,选(B)

4.在复平面内,复数

1i i

++(1+3i )2对应的点位于( )

(A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D)第四象限 解:

1i i ++(1+3i )2=

12

i --

-2+2i=32

-

+2i,故在复平面内,复数

1i i

++(1+3i )2对

应的点为(32

-

,2i),故选(B)

5.在(1-x )5+(1-x )6+(1-x )7+(1-x )8的展开式中,含x 3的项的系数是( ) (A) 74 (B) 121 (C) -74 (D) -121 解:(1-x )5

+(1-x )6

+(1-x )7

+(1-x )8

=

54

59

(1)[1(1)]

(1)(1)

1(1)

x x x x x x

------=

--,(1-x)5中x 4的系

数为4

55

C=,-(1-x)9中x4的系数为-4

9126

C=-,-126+5=-121,故选(D)

6.设α、β为两个不同的平面,l、m为两条不同的直线,且l⊂α,m⊂β,有如下的两个命题:

①若α∥β,则l∥m;②若l⊥m,则α⊥β.

那么

(A) ①是真命题,②是假命题(B) ①是假命题,②是真命题

(C) ①②都是真命题(D) ①②都是假命题

解:命题②有反例,如

图中平面α∩平面β=直线n,l,m

αβ

⊂⊂

且l∥n,m⊥n,则m⊥l,显然平面α不垂直平面β

故②是假命题;命题①显然也是假命题,

因此本题选(D)

7.设集合A={(x,y)|x,y,1-x-y是三角形的三边长},则A所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是(

)

解:由题意可知

10

.1

1

1

x

y

x y

x y x y

x y x y

x y y x

>

>

⎪-->

+>--

⎪--+>

--+>

1

2

1

2

1

1

2

x

y

x y

<<

<<

<+<

由此可知A所表示的平面区域(不含边界

的阴影部分)是(A )

8.已知k<-4,则函数y=cos2x+k(cos x-1)的最小值是( )

(A) 1 (B) -1 (C) 2k+1 (D) -2k+1

解:y=cos2x+k(cos x-1)=2cos2x+k(cos x-1)-1,当cosx=1时,y=1,当cosx≠1时,cosx-1<0,则y>2cos2x-4(cos x-1)-1=2(cosx-1)2+1≥1,故y的最小值为1,选(A)

9.设f(n)=2n+1(n∈N),P={1,2,3,4,5},Q={3,4,5,6,7},记P∧={n∈N|f(n )

∈P },Q ∧={n ∈N |f (n )∈Q },则(P ∧∩N ðQ ∧)∪(Q ∧∩N ðP ∧

)=( ) (A) {0,3} (B){1,2} (C) (3,4,5) (D){1,2,6,7}

解:^P ={0,1,2},N ð^P ={n ∈N|n ≥2},Q ∧={1,2,3},N ðQ ∧

={n ∈N|n=0或n ≥4}, 故P ∧∩N ðQ ∧={0},Q ∧∩N ðP ∧={3},得(P ∧∩N ðQ ∧)∪(Q ∧∩N ðP ∧

)={0,3},选(A)

10.已知向量a ≠e ,|e |=1,对任意t ∈R ,恒有|a -t e |≥|a -e

|,则 (A) a ⊥e (B) a ⊥(a -e ) (C) e ⊥(a -e ) (D) (a +e )⊥(a -e )

解:由|a -t e |≥|a -e |得|a -t e |2

≥|a -e

|2展开并整理得

2

2

2210,,(2)480

t a et a e t R a e a e -+-≥∈=-+-≤

由得,得()0e a e -=

,即()

a a e ⊥- ,选(C)

第Ⅱ卷 (非选择题 共100分)

二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分。把答案填在答题卡的相应位置。 11.函数y =2x x +(x ∈R ,且x ≠-2)的反函数是_________.

解:由y =

2

x x +(x ∈R ,且x ≠-2),得x=

21y y

-(y ∈R,y ≠1),所以函数y =

2

x x +(x ∈R ,且x

≠-2)的反函数是f -1=

21x x

-(x ∈R,x ≠1).

12.设M 、N 是直角梯形ABCD 两腰的中点,DE ⊥AB 于E (如图).现将△ADE 沿DE 折起,使二面角A -DE -B 为45°,此时点A 在平面BCDE 内的射影恰为点B ,则M 、N 的连线

与AE 所成角的大小等于_________.

解:如左图,在平面AED 内作MQ ∥AE 交ED 于Q,则MQ ⊥ED,且Q 为ED 的中点,连结QN,则NQ ⊥ED 且QN ∥EB,QN=EB,∠MQN 为二面角A -DE -B 的平面角,

∴∠MQN=45°∵AB ⊥平面BCDE,又∠AEB=∠MQN=45°,MQ=12

AE=

EB,在平面

MQN 内作MP ⊥BQ,得QP=MP=1

2EB,故PB=QP=

12

EB,故QMN 是以∠QMN 为直角的等腰三

角形,即MN ⊥QM,也即MN 子AE 所成角大小等于90°

A B

E

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