2019届北师大版(文科数学) 复数

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北师大版高一数学必修第二册(2019版)_【学案】《复数的加法与减法》

§2复数的四则运算LLL2.1复数的加法与减法课程内容标准学科素养凝练1．了解复数代数形式的加减运算的几何意义．2．能进行复数代数形式的加减运算.通过学习复数的加减运算，提升数学抽象及数学运算素养.复数的加、减法法则及几何意义与运算律任意两个复数z1＝a＋b i和z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)加法减法运算法则(a＋b i)＋(c＋d i)＝(a＋c)＋(b＋d)i(a＋b i)－(c＋d i)＝(a－c)＋(b－d)i两个复数的和仍是一个复数，两个复数的和的实部是它们的实部的和，两个复数的和的虚部是它们的虚部的和.两个复数的差仍是一个复数，两个复数差的实部是它们实部的差，两个复数的差的虚部是它们的虚部的差．几何意义复数的加法可以按照向量的加法来进行，这是复数加法的几何意义复数的差z1－z2与向量OZ1→－OZ2→＝Z2Z1→的坐标对应运算律结合律(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3) 交换律z1＋z2＝z2＋z11．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．(1)两个虚数的和或差可能是实数．(√)(2)在进行复数的加法时，实部与实部相加得实部，虚部与虚部相加得虚部．(√)(3)复数的减法不满足结合律，即(z 1－z 2)－z 3＝z 1－(z 2＋z 3)可能不成立．(×) 2．(教材P 171练习1改编)已知复数z 1＝3＋4i ，z 2＝3－4i ，则z 1＋z 2等于( B ) A ．8i B ．6 C ．6＋8iD ．6－8i3．复数i ＋i 2在复平面内表示的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限B [i ＋i 2＝－1＋i ，对应的点在第二象限．]探究一复数的加法、减法运算(1)若z 1＝2＋i ，z 2＝3＋a i(a ∈R )，复数z 1＋z 2所对应的点在实轴上，则a ＝________．－1 [z 1＋z 2＝(2＋i)＋(3＋a i)＝5＋(a ＋1)i ，由题意得a ＋1＝0，则a ＝－1．](2)已知复数z 满足|z |i ＋z ＝1＋3i ，则z ＝________． 1＋43i [设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则|z |＝x 2＋y 2， ∴|z |i ＋z ＝x 2＋y 2i ＋x ＋y i ＝x ＋(x 2＋y 2＋y )i ＝1＋3i ， ∴⎩⎨⎧x ＝1，x 2＋y 2＋y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝43，∴z ＝1＋43i.][方法总结](1)复数的加减运算就是实部与实部相加减，虚部与虚部相加减．(2)当一个等式中同时含有|z |与z 时，一般用待定系数法，设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )． [训练1] (1)若复数z 满足z ＋i －3＝3－i ，则z ＝________． 6－2i [∵z ＋i －3＝3－i ，∴z ＝6－2i.](2)(a ＋b i)－(2a －3b i)－3i ＝________(a ，b ∈R )．－a ＋(4b －3)i [(a ＋b i)－(2a －3b i)－3i ＝(a －2a )＋(b ＋3b －3)i ＝－a ＋(4b －3)i.] (3)已知复数z 满足|z |＋z ＝1＋3i ，则z ＝________．－4＋3i [设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，|z |＝x 2＋y 2， ∴|z |＋z ＝(x 2＋y 2＋x )＋y i ＝1＋3i ，∴⎩⎨⎧x 2＋y 2＋x ＝1，y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝3，∴z ＝－4＋3i.]探究二复数加、减法的几何意义[知能解读]1．根据复数的几何意义可知：复数的加减运算可以转化为点的坐标运算或向量运算． 2．复数的加减运算用向量进行时，同样满足平行四边形法则和三角形法则． 3．复数及其加减运算的几何意义为数形结合思想在复数中的应用提供了可能．对于一些较复杂的复数运算问题，特别是与模有关的问题，将复数与点及向量加以转化可有助于问题的解决．(1)如图所示，平行四边形OABC 的顶点O ，A ，C 分别对应的复数为0,3＋2i ，－2＋4i.求：①AO →表示的复数； ②CA →表示的复数； ③OB →表示的复数．解 ∵A ，C 对应的复数分别为3＋2i ，－2＋4i ，由复数的几何意义，知OA →与OC →表示的复数分别为3＋2i ，－2＋4i ． ①因为AO →＝－OA →，所以AO →表示的复数为－3－2i ． ②因为CA →＝OA →－OC →，所以CA →表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i ． ③OB →＝OA →＋OC →，所以OB →表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i ． (2)已知z 1，z 2∈C ，|z 1|＝|z 2|＝1，|z 1＋z 2|＝3，求|z 1－z 2|．解根据复数加减法的几何意义，由|z 1|＝|z 2|知，以OA →，OB →为邻边的平行四边形OACB 是菱形．如图，OA →对应的复数为z 1，OB →对应的复数为z 2，∴|OA →|＝|OB →|，OC →对应的复数为z 1＋z 2，∴|OC →|＝3．在△AOC 中，|OA →|＝|AC →|＝1，|OC →|＝3， ∴∠AOC ＝30°.同理得∠BOC ＝30°，∴△OAB 为等边三角形，则|BA →|＝1，BA →对应的复数为z 1－z 2，∴|z 1－z 2|＝1． [变式] 若将本例(2)中的条件“|z 1＋z 2|＝3”改为“|z 1－z 2|＝1”，求|z 1＋z 2|．解如例2(2)图，向量BA →表示的复数为z 1－z 2， ∴|BA →|＝1，则△AOB 为等边三角形，∴∠AOC ＝30°，则|OD →|＝32，∴|OC →|＝3，OC →表示的复数为z 1＋z 2，∴|z 1＋z 2|＝3．[方法总结] 常用技巧：①形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理；②数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中．[训练2] (1)已知复平面内的平面向量OA →，AB →表示的复数分别是－2＋i,3＋2i ，则|OB →|＝________．10 [∵OB →＝OA →＋AB →，∴OB →表示的复数为(－2＋i)＋(3＋2i)＝1＋3i ， ∴|OB →|＝12＋32＝10.](2)若z 1＝2＋i ，z 2＝3＋a i ，复数z 2－z 1所对应的点在第四象限上，则实数a 的取值范围是__________．(－∞，1) [z 2－z 1＝1＋(a －1)i ，由题意知a －1<0，即a <1．] 探究三复数加、减法的综合应用设x ∈[0,2π)，复数z 1＝cos x ＋isin x 对应的点在第一象限中直线y ＝x 的左上方，z 2＝1－i ，求|z 1＋z 2|的取值范围．解题流程：第一步泛读题目明确待求结论：求|z 1＋z 2|的取值范围．第二步精读题目挖掘已知条件：已知x ∈[0,2π)，复数z 1＝cos x ＋isin x 对应的点在第一象限中直线y ＝x 的左上方，z 2＝1－i ．第三步建立联系寻找解题思路：可利用复数运算法则及模的定义转化为求三角函数值域，由条件与结论之间的关系，确定本题解题步骤．第四步书写过程规范养成习惯．解由已知得z 1＋z 2＝(cos x ＋1)＋(sin x －1)i ，所以|z 1＋z 2|＝(cos x ＋1)2＋(sin x －1)2 ＝cos 2x ＋2cos x ＋1＋sin 2x －2sin x ＋1 ＝2(cos x －sin x )＋3＝22cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋3．因为复数z 1＝cos x ＋isin x 对应点在第一象限中直线y ＝x 的左上方，且x ∈[0,2π)，所以⎩⎪⎨⎪⎧cos x >0，sin x >0，sin x >cos x ，解得π4<x <π2，所以π2<x ＋π4<3π4，故cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4∈⎝⎛⎭⎫－22，0，所以22cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋3∈(1，3)，故|z 1＋z 2|∈(1，3)．[方法总结] 解决本题时应先求x 的取值范围，再将|z 1＋z 2|表达为x 的三角函数，然后化为一角一函形式，利用三角函数的值域求|z 1＋z 2|的取值范围．要特别注意求值域时x 的取值范围不能认定就是[0,2π)．[训练3] 已知|z 1|＝|z 2|＝1，z 1＋z 2＝12＋32i ，求复数z 1，z 2及|z 1－z 2|．解由于|z 1＋z 2|＝⎪⎪⎪⎪12＋32i ＝1，设z 1，z 2，z 1＋z 2对应的向量分别为OA →，OB →，OC →，则因|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝1，故A ，B ，C 三点均在以原点为圆心，1为半径的圆上，如图所示，由平行四边形法则和余弦定理易得cos ∠AOC ＝|OA →|2＋|OC →|2－|AC →|22|OA →||OC →|＝12，故∠AOC ＝60°，所以平行四边形OACB 为菱形，且△BOC ，△COA 都是等边三角形，即∠AOB ＝120°．又∵OC →与x 轴正半轴的夹角为60°，故点A 在x 轴上，即A (1,0)．而x B ＝|OB →|cos 120°＝－12，y B ＝|OB →|sin 120°＝32，∴点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫－12，32．∴⎩⎪⎨⎪⎧ z 1＝1，z 2＝－12＋32i ，或⎩⎪⎨⎪⎧z 1＝－12＋32i ，z 2＝1. 方法一 |z 1－z 2|＝⎪⎪⎪⎪32－32i ＝3．方法二由余弦定理可得|AB →|2＝|OA →|2＋|OB →|2－2|OA →||OB →|cos 120°＝3，又∵z 1－z 2＝OA →－OB →＝BA →， ∴|z 1－z 2|＝|BA →|＝|AB →|＝3．。

5.1.1复数的概念课件-高一下学期数学北师大版(2019)必修第二册

m
解：由题可得 m－2 0 m 0
解得m 2且m 0.
求实数m的值，使复数 1 m－2i为虚数.
m
解：由题可得 m－2 0 m 0
解得m 2且m 0.
04 探索新知
思考2：对于两个复数 a+bi 和 c+di (a,b,c,d∈R)，满足什么条件
这两个复数会相等呢？
提示：对于一元二项式，若 a bx 1 2x对任意 x 都成立，则 a 1 ，b 2 .
x 2 3y 2x y 1
解得xy
1 1.
a+bi=c+di a=c且b=d.
05 巩固练习
练习: 已知（m2 7m 10） m2 5m 14 i 0,求实数m的值.
解：由复数相等的定义，得
m2 7m 10 0 m2 5m 14 0
m 2
06 学以致用
小组命题 PK 赛
（5）0 0 0i
z=a+bi 实部a
虚部b
11i
1
1
3 1i
-3
1
虚数
0 3 i 2
7 0i 0 0i
0 纯虚数 3
2
-7
0
0
0
实数
z=a+bi (a,b∈R)
实部
虚部
纯虚数：a=0,且b≠0
04 探索新知
2. 复数的分类
根据复数中a，b 的取值不同，复数可
以有以下分类：
复数 z=a +bi
09
谢谢！祝你有所收获
纯虚数
2 2i
答案：鸭（压）舌（蛇）帽
实数
虚数
指出下列各数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？
2 7

北师大版(2019)数学必修第二册：5.1.1 复数的概念学案

复数的概念【学习过程】一、预习提问目前我们所知的最大数集是什么？是否有更大的数集存在？【提示】一元二次方程在实数范围无解，但是在复数总是有解。

二、合作探究1.复数的概念【例1】（1）给出下列三个命题：①若z C ∈，则20z ≥；②21i -的虚部是2i ；③2i 的实部是0.其中真命题的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3（2）已知复数()22z a b i =--的实部和虚部分别是2和3，则实数a ，b 的值分别是__________．（3）下列命题正确的是__________（填序号）． ①若,x y C ∈，则12x yi i +=+的充要条件是1x =，2y =； ②若实数a 与ai 对应，则实数集与纯虚数集一一对应； ③实数集的补集是虚数集．2.复数的分类【例2】（1）复数()()22,z a b a a i a b R =-++∈为纯虚数的充要条件是（） A ．a b =B ．0a ＜且a b =-C ．0a ＞且a b ≠D ．0a ＞且a b =±（2）已知m R ∈，复数()()22231m m z m m i m +=++--，当m 为何值时，①z 为实数？②z 为虚数？③z 为纯虚数？3.复数相等的充要条件 [探究问题]（1）0a =是复数z a bi =+为纯虚数的充分条件吗？（2）323i i ++＞正确吗？【例3】（1）若()()1x y yi x i ++=+，求实数x ，y 的值；（2）关于x 的方程()22311022ax x x x i --=--有实根，求实数a 的值．【学习小结】（一）复数的概念及分类1．数系的扩充及对应的集合符号表示自然数系→整数系→有理数系→实数系→复数系↓↓↓↓↓N Z Q R C2．复数的有关概念3．复数的分类（1）复数()()()()(),0ba bi ab R aba⎧=⎪+∈⎧=⎨⎪≠⎨⎪≠⎪⎩⎩实数纯虚数虚数非纯虚数（2）集合表示（二）两个复数相等的充要条件在复数集{},C a bi a b R=+∈中，任取两个复数a bi+，(),,,c di a b cd R+∈，规定a bi+与c di+相等的充要条件是a c=且b d=.【精炼反馈】1．设集合{}A=实数，{}B=纯虚数，{}C=复数，若全集S C=，则下列结论正确的是（）A ．ABC ⋃= B ．A B =C ．()SBA ⋂=∅D ．()()SASB C ⋃=2．若复数243a a i --与复数24a ai +相等，则实数a 的值为（） A ．1B ．1或4-C ．4-D ．0或4-3．复数(1i 的实部为________．4．已知213z m m mi =-+，()2454z m i =++，其中m R ∈，i 为虚数单位，若12z z =，则m 的值为________．5．已知集合()(){}231,8M a b i =++-，集合()(){}23,12N i a b i =-++满足M N ⋂≠∅，求整数a ，b .。

复数的概念及其几何意义高一下学期数学北师大版(2019)必修第二册

,z 2
x2
y2i,
由复数减法的几何意义知，复数
z 2
z1对应的向量为Z1Z
，
2
y Z1(x1, y1)
从而点Z1，Z2之间的距离为
Z2(x2, y2)
Z1Z2
=
z 2
z 1
.
O
x
课本77页
例2：根据复数及其运算的几何意义，求复平
面内的两点Z1(x1,y1)，Z2(x2,y2) 之间的距离.
解：因为复平面内的点 Z1 ( x1, y1 ), Z 2 ( x2 , y2 )
解：(3)[(1 i) (2 3i)] (4 2i) [(1 2) (1 3)i] (4 2i)
(1 4i) (4 2i) (1 4) (4 2)i 3 2i. (4)(1 i) [(2 3i) (4 2i)] [(2 4) (3 2)i] (1 i) (2 i) (1 2) (11)i 3 2i.
y Z2(c,d)
z1
z2
OZ 1
OZ 2
Z2Z1.
Z1(a,b)
x o
例题
课本77页
例2：根据复数及其运算的几何意义，求复平面内的两点Z1(x1,y1)，Z2(x2,y2) 之间的距离.
分析 :由于复平面内的点Z1 x1, y1 , Z2 x2, y2
对应的复数分别为z 1
= x1
y1i
（1） z 1；（2） z (2 i) .
z 1
解：（1） z 1对应的向量
如图所示；
（2） z (2 i) 对应的向量
如图所示.
探究2:复数的减法
思考3：复数是否有减法？
类比实数减法的意义，我们规定，复数的减法是

高中数学北师大版2019必修第二册复数的三角表示式

＝4(cos 390°＋isin 390°)＝2 3＋2i.
(3)3(cos 18°＋isin 18°)·2(cos 54°＋isin 54°)·5(cos 108°＋isin 108°) ＝30[cos(18°＋54°＋108°)＋isin(18°＋54°＋108°)] ＝30(cos 180°＋isin 180°)＝－30.
复数三角形式的乘法
【例2】计算下列各式的值
(1)2cos1π2＋isin1π2·3cosπ4＋isinπ4；
1 (2)2(cos
15°＋isin
15°)·4(cos
135°－isin
135°)；
(3)2(sin 77°＋icos 77°)·13(－cos 43°＋isin 43°)；
(4)[ 2(cos 15°＋isin 15°)]8.
(2)复数乘法的几何意义：两个复数 z1，z2 相乘时，可以先画出它们分别对应的向量O→Z1，O→Z2，然后把向量O→Z1 绕原点 O 按逆时针方向旋转角 θ2 ，再把它的模变为原来的 r2 倍，所得向量O→Z就表示复数 z1，z2 的乘积．
3. 复数三角形式的除法
设 z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，且 z2≠0，则zz12＝
(3)cos－4π＋isin－π4 －8 ＝cos－π4＋1isin－π48 ＝cos－co2s π0＋＋iissiinn－0 2π＝cos 2π＋isin 2π＝1.
课堂小结提素养
1．复数z＝a＋bi(a，b∈R)化为三角形式为z＝r(cos θ＋isin θ)，其中r＝ a2＋b2，cos θ＝ar，sin θ＝br.
B．－2(cos π＋isin π)

复数的加法与减法高一下学期数学北师大版(2019)必修第二册

则 + + + i = 0，解得 = −， = −，即 = − − i = − + i = − 2 .
引入复数的相反数后，我们规定复数的减法．
复数的减法法则
对任意的复数1 = + i和非零复数2 = + i，规定复数的减法
1 − 2 = 1 + −2 ，即减去一个复数，等于加上这个复数的相反数，
2 + 1 = ( + ) + ( + )i.
因为 + = + ， + = + ，
所以1 + 2 = 2 + 1 .
实数的加法有交换律、结合律，复数的加法满足这些运算律吗？
2.对任意的1 ，2 ，3 ∈ ，有 1 + 2 + 3 = 1 + 2 + 3
意两个复数，该如何规定复数的加法法则呢？
期望加法结合律成立，故 1 + 2 = ( + ) + (i + i)
由于期望乘法对加法满足分配律，故 1 + 2 = ( + ) + ( + )i
复数的加法法则
设1 = + i， 2 = + i（，，， ∈ ），
x
类比复数加法的几何意义，你能得出复数减法的几何意义吗？
解：如图 1 = + i，2 = + i（，，， ∈ ）
y
2 (, )
分别与向量1 = (, )，2 = (, )对应．
由平面向量的坐标运算法则，得
1 + 2 = ( − , − )，
而1 − 2 = ( − ) + ( − )i.

北师大版2019版文数练习：第十一章第四节复数含解析

课时作业 A 组——基础对点练1．复数2＋i1－2i ＝( )A ．iB ．－iC ．2(2＋i)D ．1＋i解析：复数2＋i1－2i ＝－21－2i＝i ，故选A.答案：A 2．若z ＝i2＋i，则复数z 在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析：因为z ＝i2＋i＝－＋－＝1＋2i 5＝15＋25i ，z ＝15－25i ，所以复数z 在复平面内对应点的坐标为(15，－25)，故选D.答案：D3．若1＋7i2－i ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，i 是虚数单位，则乘积ab 的值是( )A ．－15B ．3C ．－3D ．5解析：＋＋－＋＝－5＋15i 5＝－1＋3i ，∴a ＝－1，b ＝3，ab ＝－3.答案：C4．若z ＝4＋3i ，则z|z |＝( )A ．1B ．－1 C.45＋35i D.45－35i 解析：z|z |＝4－3i 42＋32＝45－35i ，故选D.答案：D5．已知复数z 1＝2＋6i ，z 2＝－2i.若z 1，z 2在复平面内对应的点分别为A ，B ，线段AB 的中点C 对应的复数为z ，则|z |＝( )A. 5 B ．5 C ．2 5D ．27解析：复数z 1＝2＋6i ，z 2＝－2i ，z 1，z 2在复平面内对应的点分别为A (2,6)，B (0，－2)，线段AB 的中点C (1,2)对应的复数z ＝1＋2i ，则|z |＝12＋22＝ 5.故选A. 答案：A6．已知z ＝m 2－1＋m i 在复平面内对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－1,1) B ．(－1,0) C ．(－∞，1)D ．(0,1)解析：因为z ＝m 2－1＋m i 在复平面内对应的点是(m 2－1，m )，且该点在第二象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2－1＜0，m ＞0，解得0＜m ＜1，所以实数m 的取值范围是(0,1)．答案：D7．已知i 是虚数单位，复数z 满足11＋i －11－i ＝1＋z 1－z ，则|z |＝( )A ．1 B. 2 C. 3 D ．2解析：因为1－i －＋＋－＝1＋z 1－z，即－2i ＋－＝1＋z 1－z ，也即1＋z1－z＝－i ，故(1－i)z ＝－1－i ，所以z ＝－＋2＋－＝－2i2＝－i ，则|z |＝1，应选A.答案：A8.如图，在复平面内，表示复数z 的点为A ，则复数z1－2i对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析：由图可得z ＝－2＋i ，所以z 1－2i ＝－2＋i 1－2i ＝－2＋＋－＋＝－4－3i5，则对应的点在第三象限，故选C. 答案：C9．若z ＝1＋2i ，则4iz z －1＝( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i解析：4i z z －1＝4i＋－－1＝i.答案：C10．设i 是虚数单位，如果复数z ＝a －i2＋i，其实部与虚部互为相反数，那么实数a ＝( )A ．－3B ．3C ．－13D.13解析：因为z ＝a －i 2＋i ＝a －－＋－＝2a －15－a ＋25i ，所以由题意，得2a －15＝a ＋25，解得a ＝3，故选B. 答案：B11．已知i 是虚数单位，复数z ＝1a －i(a ∈R)在复平面内对应的点位于直线y ＝2x 上，则a ＝( )A ．2 B.12 C ．－2 D ．－12解析：z ＝1a －i ＝a ＋i a 2＋1＝a a 2＋1＋1a 2＋1i ，其对应的点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫aa 2＋1，1a 2＋1，又该点位于直线y ＝2x 上，所以a ＝12.答案：B12．i 是虚数单位，复数z 满足(1＋i)z ＝2，则z 的实部为________．解析：因为z ＝21＋i ＝1－i ，所以z 的实部是1.答案：113．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若(1＋i)(1－b i)＝a ，则a b的值为________．解析：(1＋i)(1－b i)＝1＋b ＋(1－b )i ＝a ，所以b ＝1，a ＝2，a b＝2. 答案：2 14．|1＋2i|＋⎝⎛⎭⎪⎫1－3i 1＋i 2＝__________.解析：原式＝12＋22＋－32＋2＝3＋－2－23i 2i ＝3＋－22i ＋－23i2i＝i.答案：i15．复数z 1，z 2满足z 1＝m ＋(4－m 2)i ，z 2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(m ，λ，θ∈R)，并且z 1＝z 2，则λ的取值范围是__________．解析：由复数相等的充要条件可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2cos θ，4－m 2＝λ＋3sin θ，消去m 得4－4cos 2θ＝λ＋3sin θ，由此可得λ＝－4cos 2θ－3sin θ＋4＝4sin 2θ－3sin θ＝4⎝⎛⎭⎪⎫sin θ－382－916.因为sin θ∈[－1,1]，所以4sin 2θ－3sin θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，7.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，7 B 组——能力提升练1．下面是关于复数z ＝2－i 的四个命题，p 1：|z |＝5；p 2：z 2＝3－4i ；p 3：z 的共轭复数为－2＋i ；p 4：z 的虚部为－1.其中真命题为( ) A ．p 2，p 3 B ．p 1，p 2 C ．p 2，p 4D ．p 3，p 4解析：因为z ＝2－i ，所以|z |＝5≠5，则命题p 1是假命题；z 2＝(2－i)2＝3－4i ，所以p 2是真命题；易知z 的共轭复数为2＋i ，所以p 3是假命题；z 的实部为2，虚部为－1，所以p 4是真命题．故选C. 答案：C 2．设z ＝11＋i＋i ，则|z |＝( ) A.12 B.22C.32D ．2解析：11＋i ＋i ＝1－i ＋－＋i ＝1－i 2＋i ＝12＋12i ，则|z |＝122＋122＝22，选B. 答案：B3．若复数z 满足i·z ＝－12(1＋i)，则z 的共轭复数的虚部是( )A ．－12iB.12i C ．－12D.12解析：由题意，得z ＝－12·1＋i i ＝－12·i1＋i i 2＝－12＋12i ，所以z 的共轭复数的虚部是－12，故选C.答案：C4．若z ＝(a 2－1)＋(a －1)i 为纯虚数，其中a ∈R ，则a 2＋i1＋a i等于( )A ．－iB ．iC ． 1D ．1或i解析：由题意⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，a －1≠0，解得a ＝－1，所以a 2＋i 1＋a i ＝1＋i1－i＝＋2－＋＝2i 2＝i.故选B. 答案：B5．已知f (x )＝x 2，i 是虚数单位，则在复平面内复数f＋3＋i对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：由题可知f＋3＋i＝＋23＋i＝1＋2i ＋i 23＋i ＝2i 3＋i＝－32－i2＝2＋6i 10＝15＋35i ，所以其在复平面内对应的点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫15，35，该点在第一象限，故选A.答案：A 6.1＋2i－2＝( ) A ．－1－12iB ．－1＋12iC ．1＋12iD ．1－12i解析：1＋2i －2＝1＋2i－2i＝＋2＝－2＋i 2＝－1＋12i.答案：B7．如图，在复平面内，复数z 1和z 2对应的点分别是A 和B ，则z 2z 1＝( )A.15＋25iB.25＋15i C ．－15－25iD ．－25－15i解析：由题图知z 1＝－2－i ，z 2＝i ，则z 2z 1＝－i2＋i＝－－＋－＝－2i －i 24－i2＝－1＋2i5.故选C. 答案：C8．(2018·长沙市模拟)若复数z 满足2z ＋z ·z ＝(2－i)2(i 为虚数单位)，则z 为( ) A ．－1－2i B ．－1－i C ．－1＋2iD ．1－2i解析：令z ＝x ＋y i ，则2z ＋z ·z＝x 2＋y 2＋2x ＋2y i ＝3－4i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋2x ＝3，2y ＝－4，解得x ＝－1，y ＝－2，则z ＝－1－2i. 答案：A9．若复数z 满足z 2＝－4，则|1＋z |＝( ) A ．3 B. 3 C ．5D. 5解析：由z 2＝－4知z 2＝(±2i)2，所以z ＝±2i，|1＋z |＝|1±2i|＝5，故选D. 答案：D10．(2018·开封模拟)已知复数z ＝1＋a i(a ∈R)(i 是虚数单位)，zz ＝－35＋45i ，则a ＝( ) A ．2B ．－2C ．±2D ．－12解析：由题意可得1－a i 1＋a i ＝－35＋45i ，即－a21＋a2＝1－a 2－2a i 1＋a 2＝－35＋45i ，∴1－a 21＋a 2＝－35，－2a 1＋a 2＝45，∴a ＝－2，故选B. 答案：B11．已知复数z ＝(cos θ－isin θ)(1＋i)，则“z 为纯虚数”的一个充分不必要条件是( ) A ．θ＝π4B ．θ＝π2C ．θ＝3π4D ．θ＝5π4解析：z ＝(cos θ－isin θ)(1＋i)＝(cos θ＋sin θ)＋(cos θ－sin θ)i.z 是纯虚数等价于⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＋sin θ＝0cos θ－sin θ≠0，等价于θ＝34π＋k π，k ∈Z.故选C.答案：C12．已知复数z ＝x ＋y i ，且|z －2|＝3，则yx的最大值为__________．解析：复数z ＝x ＋y i 且|z －2|＝3，复数z 的几何意义是复平面内以点(2,0)为圆心，3为半径的圆(x －2)2＋y 2＝3.y x 的几何意义是圆上的点与坐标原点连线的斜率，设y x＝k ，即y ＝kx ，|2k |1＋k2≤3，可得k ∈[－3，3]，则yx的最大值为 3. 答案： 313．设a ∈R ，若复数(1＋i)(a ＋i)在复平面内对应的点位于实轴上，则a ＝________. 解析：(1＋i)(a ＋i)＝(a －1)＋(a ＋1)i ，由已知得a ＋1＝0，解得a ＝－1. 答案：－114．若⎪⎪⎪⎪⎪⎪a c bd ＝ad －bc ，则满足等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪z －i 1－i 1＋i ＝0的复数z ＝________. 解析：因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪z －i 1－i 1＋i ＝0，所以z (1＋i)＝－i(1－i)，即z ＝－－1＋i ＝－1－i1＋i＝－1. 答案：－115．在复平面内，复数21－i对应的点到直线y ＝x ＋1的距离是________．解析：21－i＝＋－＋＝1＋i ，所以复数21－i对应的点为(1,1)，点(1,1)到直线y ＝x ＋1的距离为1－1＋112＋－2＝22. 答案：22。

复数的几何意义高一下学期数学北师大版(2019)必修第二册

2．复数 1－2i 在复平面内对应的点位于( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
解析：复数 1－2i 在复平面内对应的点的坐标为(1，－2)，位于第四象限．
答案：D
3．在复平面内，若O→Z＝(0，－5)，则O→Z对应的复数为( ) A．0 B．－5 C．－5i D．5
解析：O→Z对应的复数 z＝0－5i＝－5i. 答案：C
要点四共轭复数的概念当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，称这两个复数互为
_共__轭__复__数_，即复数 z＝a＋bi(a，b∈R)的共轭复数 z ＝__a_－__b_i__，虚部不等于 0 的两个共轭复数也叫共轭虚数．
[基础自测]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)原点是实轴和虚轴的交点．( √ ) (2)实轴和虚轴的单位都是 1.( × ) (3)实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示纯虚数．( × ) (4)复数与复平面内的无数多个向量对应．( √ ) (5)复数的模一定是正实数．( × ) (6)若两个复数互为共轭复数，则这两个复数的模相等．( √ )
复数的几何意义
新知初探-课前预习
[教材要点]
要点一复平面的定义建立直角坐标系来表示复数的平面称为复平面．x 轴称为 ___实__轴___，y 轴称为__虚__轴____，实轴上的点都表示__实__数____；除__原__点___笔复平面上的点的坐标与复数的关系
跟踪训练 1 (1)已知 a 为实数，若复数 z＝a2－3a－4＋(a－4)i 为纯虚数，则复数 a－ai 在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
解析：(1)∵复数 z＝a2－3a－4＋(a－4)i 为纯虚数， ∴aa2－－43≠a－0，4＝0， ∴aa＝ ≠44或，a＝－1， ∴a＝－1， ∴z＝a－ai＝－1＋i，在复平面内对应的点的坐标为(－1,1)，位于第二象限．答案：(1)B

2019年高考数学北师大版文科第4章平面向量数系的扩充与复数的引入第3节平面向量的数量积及其应用学案文

第三节平面向量的数量积及其应用[考纲传真] 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．(对应学生用书第61页)[基础知识填充]1．向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a 和b ，如图431，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫作a 与b 的夹角．图431(2)当θ＝0°时，a 与b 共线同向．当θ＝180°时，a 与b 共线反向．当θ＝90°时，a 与b 互相垂直． 2．平面向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |·cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)．规定：零向量与任一向量的数量积为0.(2)几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积或b 的长度|b |与a 在b 方向上射影|a |cos θ的乘积． 3．平面向量数量积的运算律 (1)交换律：a ·b ＝b ·a ；(2)数乘结合律：(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )； (3)分配律：a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·C ．4．平面向量数量积的性质及其坐标表示设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ＝〈a ，b 〉．[1．两个向量a ，b 的夹角为锐角⇔a·b ＞0且a ，b 不共线；两个向量a ，b 的夹角为钝角⇔a·b ＜0且a ，b 不共线． 2．平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2. (2)(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2. (3)(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2. 3．当a 与b 同向时，a·b ＝|a||b |；当a 与b 反向时，a·b ＝－|a||b |.[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个向量的数量积是一个实数，向量的数乘运算的运算结果是向量．( ) (2)由a ·b ＝0，可得a ＝0或b ＝0.( ) (3)由a ·b ＝a ·c 及a ≠0不能推出b ＝C ．( )(4)在四边形ABCD 中，AB →＝DC →且AC →·BD →＝0，则四边形ABCD 为矩形. ( ) [答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)×2．(2016·全国卷Ⅲ)已知向量BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则∠ABC ＝( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°A [因为BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，所以BA →·BC →＝34＋34＝32.又因为BA →·BC →＝|BA→||BC →|cos ∠ABC ＝1×1×cos∠ABC ，所以cos ∠ABC ＝32.又0°≤∠ABC ≤180°，所以∠ABC ＝30°.故选A ．]3．(2015·全国卷Ⅱ)向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，则(2a ＋b )·a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2C [法一：∵a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，∴a 2＝2，a ·b ＝－3，从而(2a ＋b )·a ＝2a 2＋a ·b ＝4－3＝1. 法二：∵a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)， ∴2a ＋b ＝(2，－2)＋(－1,2)＝(1,0)，从而(2a ＋b )·a ＝(1,0)·(1，－1)＝1，故选C ．]4．(教材改编)已知|a |＝5，|b |＝4，a 与b 的夹角θ＝120°，则向量b 在向量a 方向上的投影为________．－2 [由数量积的定义知，b 在a 方向上的投影为|b |cos θ＝4×cos 120°＝－2.] 5．(2017·全国卷Ⅰ)已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)．若向量a ＋b 与a 垂直，则m ＝________.7 [∵a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)， ∴a ＋b ＝(－1＋m,2＋1)＝(m －1,3)．又a ＋b 与a 垂直，∴(a ＋b )·a ＝0，即(m －1)×(－1)＋3×2＝0，解得m ＝7.](对应学生用书第62页)E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC →的值为( )A ．－58B ．18 C ．14D ．118(2)已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·CB →的值为________；DE →·DC →的最大值为________. 【导学号：00090135】 (1)B (2)1 1 [(1)如图所示，AF →＝AD →＋DF →.又D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且DE ＝2EF ，所以AD →＝12AB →，DF →＝12AC →＋14AC →＝34AC →，所以AF →＝12AB →＋34AC →.又BC →＝AC →－AB →，则AF →·BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →＋34AC →·(AC →－AB →)＝12AB →·AC →－12AB →2＋34AC →2－34AC →·AB →＝34AC →2－12AB →2－14AC →·AB →.又|AB →|＝|AC →|＝1，∠BAC ＝60°，故AF →·BC →＝34－12－14×1×1×12＝18.故选B ．(2)法一：以射线AB ，AD 为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (1,0)，C (1,1)，D (0,1)，设E (t,0)，t ∈[0,1]，则DE →＝(t ，－1)，CB →＝(0，－1)，所以DE →·CB →＝(t ，－1)·(0，－1)＝1.因为DC →＝(1,0)，所以DE →·DC →＝(t ，－1)·(1,0)＝t ≤1，故DE →·DC →的最大值为1.法二：由图知，无论E 点在哪个位置，DE →在CB →方向上的投影都是CB ＝1，所以DE →·CB →＝|CB →|·1＝1，当E 运动到B 点时，DE →在DC →方向上的投影最大，即为DC ＝1，所以(DE →·DC →)max ＝|DC →|·1＝1.][规律方法] 1.求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．2．(1)要有“基底”意识，关键用基向量表示题目中所求相关向量．(2)注意向量夹角的大小，以及夹角θ＝0°，90°，180°三种特殊情形．[变式训练1] (1)已知AB →＝(2,1)，点C (－1,0)，D (4,5)，则向量AB →在CD →方向上的投影为 ( ) A ．－322B ．－3 5C ．322D ．3 5(2)(2018·榆林模拟)已知在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝3，BE →＝2EC →，点F 在边CD 上．若AB →·AF →＝3，则AE →·BF →的值为( ) 【导学号：00090136】A ．0B ．833C ．－4D ．4(1)C (2)C [(1)因为点C (－1,0)，D (4,5)，所以CD ＝(5,5)，又AB →＝(2,1)，所以向量AB →在CD →方向上的投影为|AB →|cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|CD →|＝1552＝322.(2)由AB →·AF →＝3得AB →·(AD →＋DF →)＝AB →·DF →＝3，所以|DF →|＝1，|CF →|＝2，所以AE →·BF →＝(AB →＋BE →)·(BC →＋CF →)＝AB →·BC →＋AB →·CF →＋BE →·BC →＋BE →·CF →＝AB →·CF →＋BE →·BC →＝－6＋2＝－4.]角度1 (1)(2017·合肥二次质检)已知不共线的两个向量a ，b 满足|a －b |＝2且a ⊥(a－2b )，则|b |＝( ) A ． 2 B ．2 C ．2 2D ．4(2)(2018·西安模拟)已知平面向量a ，b 的夹角为π6，且|a |＝3，|b |＝2，在△ABC 中，AB →＝2a ＋2b ，AC →＝2a －6b ，D 为BC 的中点，则|AD →|＝________.(1)B (2)2 [(1)由a ⊥(a －2b )得a ·(a －2b )＝|a |2－2a ·b ＝0.又∵|a －b |＝2，∴|a －b |2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2＝4，则|b |2＝4，|b |＝2，故选B ．(2)因为AD →＝12(AB →＋AC →)＝12(2a ＋2b ＋2a －6b )＝2a －2b ，所以|AD →|2＝4(a －b )2＝4(a 2－2b·a ＋b 2) ＝4×(3－2×2×3×cos π6＋4)＝4，所以|AD →|＝2.]角度2 平面向量的夹角(1)已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的夹角为β，则cos β＝________.(2)若向量a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，已知2a －3b 与c 的夹角为钝角，则k 的取值范围是________．(1)223 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－92∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，3 [(1)因为a 2＝(3e 1－2e 2)2＝9－2×3×2×12×cos α＋4＝9，所以|a |＝3，因为b 2＝(3e 1－e 2)2＝9－2×3×1×12×cos α＋1＝8，所以|b |＝22，a·b ＝(3e 1－2e 2)·(3e 1－e 2)＝9e 21－9e 1·e 2＋2e 22＝9－9×1×1×13＋2＝8，所以cos β＝a·b |a||b |＝83×22＝223.(2)∵2a －3b 与c 的夹角为钝角， ∴(2a －3b )·c ＜0，即(2k －3，－6)·(2,1)＜0， ∴4k －6－6＜0， ∴k ＜3.又若(2a －3b )∥c ，则2k －3＝－12，即k ＝－92.当k ＝－92时，2a －3b ＝(－12，－6)＝－6c ，即2a －3b 与c 反向．综上，k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－92∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，3.] 角度3 平面向量的垂直(2016·山东高考)已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(6，－4)．若a ⊥(t a ＋b )，则实数t 的值为________．－5 [∵a ＝(1，－1)，b ＝(6，－4)，∴t a ＋b ＝(t ＋6，－t －4)．又a ⊥(t a ＋b )，则a ·(t a ＋b )＝0，即t ＋6＋t ＋4＝0，解得t ＝－5.][规律方法] 1.求两向量的夹角：cos θ＝a ·b|a |·|b |，要注意θ∈[0，π]．2．两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔|a －b |＝|a ＋b |. 3．求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有： (1)a 2＝a ·a ＝|a |2或|a |＝a ·a . (2)|a ±b |＝a ±b2＝a 2±2a ·b ＋b 2.(3)若a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2＋y 2.，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)若m⊥n ，求tan x 的值； (2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．【导学号：00090137】[解] (1)因为m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，m⊥n .所以m·n ＝0，即22sin x －22cos x ＝0，所以sin x ＝cos x ，所以tan x ＝1.(2)因为|m |＝|n |＝1，所以m·n ＝cos π3＝12，即22sin x －22cos x ＝12，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝12，因为0＜x ＜π2，所以－π4＜x －π4＜π4，所以x －π4＝π6，即x ＝5π12.[规律方法] 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数的定义域内的有界性，求得值域等． [变式训练2] (2018·郴州模拟)已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ，32，b ＝(cos x ，－1)．(1)当a∥b 时，求tan 2x 的值；(2)求函数f (x )＝(a ＋b )·b 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上的值域．[解] (1)∵a∥b ，a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ，32，b ＝(cos x ，－1) ∴sin x ·(－1)－32·cos x ＝0，即sin x ＋32cos x ＝0，得sin x ＝－32cos x ，∴tan x ＝sin x cos x ＝－32，∴tan 2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝125. (2)∵a ＝⎝⎛⎭⎪⎫sin x ，32，b ＝(cos x ，－1)， ∴a·b ＝sin x cos x －32，b 2＝cos 2x ＋(－1)2＝cos 2x ＋1，∴f (x )＝(a ＋b )·b ＝a·b ＋b 2＝sin x cos x －32＋cos 2x ＋1＝12sin 2x ＋12(1＋cos 2x )－12＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，∴2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π4，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22，∴f (x )＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，12.故函数f (x )＝(a ＋b )·b 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，12.。

2019年高考数学北师大版文科第4章平面向量数系的扩充与复数的引入第2节平面向量基本定理及坐标表示学案文

第二节平面向量基本定理及坐标表示[考纲传真] 1.了解平面向量的基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．(对应学生用书第59页)[基础知识填充]1．平面向量基本定理(1)定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.(2)基底：不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，该平面内的任一向量a 可表示成a ＝x i ＋y j ，由于a 与数对(x ，y )是一一对应的，把有序数对(x ，y )叫做向量a 的坐标，记作a ＝(x ，y )． 3．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)， |AB →|＝ x 2－x 1 2＋ y 2－y 1 2. 4．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.a ，b 共线⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．( ) (2)同一向量在不同基底下的表示是相同的．( )(3)若a ，b 不共线，且λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( )(4)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件可以表示成x 1x 2＝y 1y 2.( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×2．已知平面向量a ＝(2，－1)，b ＝(1,3)，那么|a ＋b |等于 ( ) A ．5 B ．13 C ．17D ．13B [因为a ＋b ＝(2，－1)＋(1,3)＝(3,2)，所以|a ＋b |＝32＋22＝13.]3．(2018·洛阳模拟)已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝( ) A ．(－7，－4) B ．(7,4) C ．(－1,4)D ．(1,4)A [AB →＝(3,2)－(0,1)＝(3,1)，BC →＝AC →－AB →＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．故选A ．]4．(2016·全国卷Ⅱ)已知向量a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝________. －6 [∵a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，a ∥b ， ∴－2m －4×3＝0，∴m ＝－6.]5．(教材改编)已知▱ABCD 的顶点A (－1，－2)，B (3，－1)，C (5,6)，则顶点D 的坐标为________． (1,5) [设D (x ，y )，则由AB →＝DC →，得(4,1)＝(5－x,6－y )，即⎩⎪⎨⎪⎧4＝5－x ，1＝6－y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝5.](对应学生用书第60页)(1)12面内所有向量的一组基底的是 ( ) A ．e 1与e 1＋e 2 B ．e 1－2e 2与e 1＋2e 2 C ．e 1＋e 2与e 1－e 2 D ．e 1＋3e 2与6e 2＋2e 1(2)(2018·太原模拟)在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝________. 【导学号：00090130】(1)D (2)43 [(1)选项A 中，设e 1＋e 2＝λe 1，则⎩⎪⎨⎪⎧1＝λ，1＝0无解；选项B 中，设e 1－2e 2＝λ(e 1＋2e 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，－2＝2λ无解；选项C 中，设e 1＋e 2＝λ(e 1－e 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，1＝－λ无解；选项D 中，e 1＋3e 2＝12(6e 2＋2e 1)，所以两向量是共线向量．(2)选择AB →，AD →作为平面向量的一组基底，则AC →＝AB →＋AD →，AE →＝12AB →＋AD →，AF →＝AB →＋12AD →，又AC →＝λAE →＋μAF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12λ＋μAB →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋12μAD →，于是得⎩⎪⎨⎪⎧12λ＋μ＝1，λ＋12μ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝23，μ＝23，所以λ＋μ＝43.][规律方法] 1.利用平面向量基本定理表示向量时，要选择一组恰当的基底来表示其他向量，即用特殊向量表示一般向量．2．利用已知向量表示未知向量，实质就是利用三角形法则进行向量的加减运算，在解题时，注意方程思想的运用．如解答本题(2)的关键是根据平面向量基本定理列出关于λ，μ的方程组．[变式训练1] 如图421，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ＝13BC ，E ，F 分别为线段AD与BC 的中点．设BA →＝a ，BC →＝b ，则EF →＝________，DF →＝________，CD →＝________(用向量a ，b 表示)．图42113b －a 16b －a a －23b [EF →＝EA →＋AB →＋BF →＝－16b －a ＋12b ＝13b －a ，DF →＝DE →＋EF →＝－16b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13b －a ＝16b －a ，CD →＝CF →＋FD →＝－12b －⎝ ⎛⎭⎪⎫16b －a ＝a －23B ．]已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB ＝a ，BC ＝b ，CA ＝c ，且CM →＝3c ，CN →＝－2b ，(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (3)求M ，N 的坐标及向量MN →的坐标．[解] 由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)． (1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.(3)设O 为坐标原点．∵CM →＝OM →－OC →＝3c ， ∴OM →＝3c ＋OC →＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)． ∴M (0,20)．又∵CN →＝ON →－OC →＝－2b ，∴ON →＝－2b ＋OC →＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，∴N (9,2)，∴MN →＝(9，－18)．[规律方法] 1. 向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．常利用向量相等则其坐标相同列方程(组)求解．2．平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言——“坐标语言”，实质是“形”化为“数”．向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来．[变式训练2] (2017·合肥三次质检)已知a ＝(1，t )，b ＝(t ，－6)，则|2a ＋b |的最小值为________．25 [由条件得2a ＋b ＝(2＋t,2t －6)，所以|2a ＋b |＝ 2＋t 2＋ 2t －6 2＝5 t －2 2＋20，当t ＝2时，|2a ＋b |的最小值为2 5.]已知a(1)当k 为何值时，k a －b 与a ＋2b 共线？(2)若AB →＝2a ＋3b ，BC →＝a ＋m b 且A 、B 、C 三点共线，求m 的值.【导学号：00090131】[解] (1)k a －b ＝k (1,0)－(2,1)＝(k －2，－1)，a ＋2b ＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．∵k a －b 与a ＋2b 共线，∴2(k －2)－(－1)×5＝0，即2k －4＋5＝0，得k ＝－12.(2)法一：∵A 、B 、C 三点共线，∴AB →＝λBC →，即2a ＋3b ＝λ(a ＋m b )，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ3＝m λ，解得m ＝32.法二：AB →＝2a ＋3b ＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)， BC →＝a ＋m b ＝(1,0)＋m (2,1)＝(2m ＋1，m )． ∵A 、B 、C 三点共线，∴AB →∥BC →. ∴8m －3(2m ＋1)＝0，即2m －3＝0， ∴m ＝32.[规律方法] 1.两平面向量共线的充要条件有两种形式：(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0；(2)若a ∥b (a ≠0)，则b ＝λA ．2．向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例求解．[变式训练3] (1)(2017·郑州模拟)已知向量a ＝(1－sin θ，1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1＋sin θ，若a ∥b ，则锐角θ＝________.(2)已知向量OA →＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点能构成三角形，则实数k 应满足的条件是________．(1)π4 (2)k ≠1 [(1)由a ∥b ，得(1－sin θ)(1＋sin θ)＝12，所以cos 2θ＝12，所以cos θ＝22或－22，又θ为锐角，所以θ＝π4. (2)若点A ，B ，C 能构成三角形，则向量AB →，AC →不共线．因为AB →＝OB →－OA →＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)， AC →＝OC →－OA →＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1)，所以1×(k ＋1)－2k ≠0，解得k ≠1.]。

2019年高考数学北师大版文科第4章平面向量数系的扩充与复数的引入第4节数系的扩充与复数的引入学案文

第四节数系的扩充与复数的引入[考纲传真] 1.理解复数的概念，理解复数相等的充要条件.2.了解复数的代数表示法及其几何意义.3.能进行复数代数形式的四则运算．(对应学生用书第63页)[基础知识填充]1．复数的有关概念(1)复数的概念：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫复数，其中a 叫做复数z 的实数，b 叫做复数z 的虚部(i 为虚数单位)． (2)分类：(3)⇔a ＝c ，b ＝d ( (4)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )．(5)复数的模：设复数z ＝a ＋b i 在复平面内对应的点是Z (a ，b )，点Z 到原点的距离|OZ |叫作复数z 的模式绝对值．即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2. 2．复数的几何意义复数z ＝a ＋b i 复平面内的点Z (a ，b )平面向量OZ →＝(a ，b )． 3．复数的四则运算设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R .则z 1±z 2＝(a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i. z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(bc ＋ad )i.z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i(c ＋d i≠0)．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中，虚部为b i.( )(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．( )(3)实轴上的点表示实数，虚轴上的点都表示纯虚数．( )(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模. ( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．(教材改编)如图441，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是( )图441A ．AB ．BC ．CD ．DB [共轭复数对应的点关于实轴对称．]3．(2017·全国卷Ⅲ)复平面内表示复数z ＝i(－2＋i)的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限 C [∵z ＝i(－2＋i)＝－1－2i ，∴复数z ＝－1－2i 所对应的复平面内的点为Z (－1，－2)，位于第三象限．故选C ．]4．(2016·北京高考)复数1＋2i 2－i ＝( )A ．iB ．1＋iC ．－iD ．1－i A [法一：1＋2i2－i ＝＋＋－＋＝5i5＝i. 法二：1＋2i2－i＝＋－＝＋2i ＋1＝i.]5．复数i(1＋i)的实部为________．－1 [i(1＋i)＝－1＋i ，所以实部为－1.](对应学生用书第64页)(1)(2016·全国卷Ⅲ)若z ＝4＋3i ，则z|z |＝( ) A ．1B ．－1C ．45＋35iD ．45－35i (2)i 是虚数单位，若复数(1－2i)(a ＋i)是纯虚数，则实数a 的值为________． (1)D (2)－2 [(1)∵z ＝4＋3i ，∴z ＝4－3i ，|z |＝42＋32＝5，∴z|z |＝4－3i 5＝45－35i. (2)由(1－2i)(a ＋i)＝(a ＋2)＋(1－2a )i 是纯虚数可得a ＋2＝0,1－2a ≠0，解得a ＝－2.][规律方法] 1.复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，再根据题意列出实部、虚部满足的方程(组)即可．2．求复数模的常规思路是利用复数的有关运算先求出复数z ，然后利用复数模的定义求解．[变式训练1] (1)(2017·合肥二次质检)已知i 为虚数单位，复数z ＝i2＋i的虚部为 ( ) 【导学号：00090142】A ．－15B ．－25C ．15D ．25(2)设z ＝11＋i ＋i ，则|z |＝( )A ．12B ．22C ．32D ．2 (1)D (2)B [(1)复数z ＝i 2＋i＝－＋－＝1＋2i 5＝15＋25i ，则其虚部为25，故选D ．(2)z ＝11＋i ＋i ＝1－i 2＋i ＝12＋12i ，|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝22.]A ．－2－iB ．－2＋iC ．2－iD ．2＋i(2)(2016·天津高考)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若(1＋i)(1－b i)＝a ，则a b的值为________．(1)C (2)2 [(1)∵(z －1)i ＝i ＋1，∴z －1＝i ＋1i ＝1－i ，∴z ＝2－i ，故选C ．(2)∵(1＋i)(1－b i)＝1＋b ＋(1－b )i ＝a ，又a ，b ∈R ，∴1＋b ＝a 且1－b ＝0，得a ＝2，b ＝1，∴ab＝2.][规律方法] 1.复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i 的幂写成最简形式． 2．记住以下结论，可提高运算速度(1)(1±i)2＝±2i；(2)1＋i 1－i ＝i ；(3)1－i 1＋i ＝－i ；(4)－b ＋a i ＝i(a ＋b i)；(5)i 4n＝1；i4n ＋1＝i ；i4n ＋2＝－1；i4n ＋3＝－i(n ∈N )．[变式训练2] (1)已知－2z＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝( )【导学号：00090143】A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i(2)已知i 是虚数单位，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 8＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 018＝________.(1)D (2)1＋i [(1)由－2z＝1＋i ，得z ＝－21＋i＝－2i 1＋i ＝－－＋－i＝－1－i ，故选D ． (2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 8＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 1 009＝i 8＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2i 1 009＝i 8＋i 1 009＝1＋i4×252＋1＝1＋i.]则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(－1，＋∞)(2)设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1z 2＝( )A ．－5B ．5C ．－4＋iD ．－4－i(1)B (2)A [(1)∵(1－i)(a ＋i)＝a ＋i －a i －i 2＝a ＋1＋(1－a )i ，又∵复数(1－i)(a ＋i)在复平面内对应的点在第二象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1<0，1－a >0，解得a <－1.故选B ．(2)∵z 1＝2＋i 在复平面内的对应点的坐标为(2,1)，又z 1与z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，则z 2的对应点的坐标为(－2,1)即z 2＝－2＋i ， ∴z 1z 2＝(2＋i)(－2＋i)＝i 2－4＝－5.][规律方法] 1.复数z 、复平面上的点Z 及向量OZ →相互联系，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )⇔Z (a ，b )⇔OZ →.2．由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．[变式训练3] (2017·郑州二次质检)定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc ，则符合条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1＋i 2 1＝0的复数z 对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限A [由题意得z ×1－2(1＋i)＝0，则z ＝2＋2i 在复平面内对应的点为(2,2)，位于第一象限，故选A ．]。

北师大版(2019)高中数学《复数的三角表示》教学课件1

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第七章
复数
数学（必修·第二册RJA）
3．复数乘法运算三角表示的几何意义复数 z1，z2 对应的向量为O→Z1，O→Z2，把向量O→Z1绕点 O 按逆时针方向旋转 θ2(如果 θ2<0，就要把O→Z1绕点 O 按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的 r2 倍，得到向量O→Z，O→Z表示的复数就是积 z1z2．
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第七章
复数
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[知识解读] 1．复数三角式的特征有三个特征：(1)r≥0；(2)相同角 θ，θ 为辐角但不一定是辐角主值； (3)cos θ 与 isin θ 之间用“＋”号连接. 2．辐角和辐角主值的区别与联系区别：辐角 θ 是指以 x 轴的非负半轴为始边，以复数 z 所对应的向量O→Z所在射线(射线 OZ)为终边的角，显然辐角有无数个.而辐角主值是指在 0≤θ<2π 范围内的辐角，因而一个复数的辐角主值只有一个. 联系：θ＝2kπ＋arg z，k∈Z.
两个复数相乘，积的模等于各复数模的__积___，积的辐角等于各复数的辐角的__和___.
r1(cos θ1＋isin θ1)·r2(cos θ2＋isin θ2) ＝_r1_r_2[_c_o_s_(θ_1_＋__θ_2_)＋__i_s_in_(_θ_1_＋__θ_2)_]_.
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