2015-2016学年高一数学人教B版必修4精练：2.3.2 向量数量积的运算律 Word版含解析

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高中数学人教B版必修4课时作业：2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式 Word版含解析

2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式【选题明细表】1.向量a=(2,-4),与b=(-1,2)的夹角的大小为( D )(A)零角(B)直角(C)钝角(D)平角解析:a·b=2×(-1)+(-4)×故<a,b>=180°.故选D.2.已知向量a=(1,-1),b=(2,x).若a·b=1,则x等于( D )(D)1解析:因为a·b=2-x=1,所以x=1.故选D.3.设x∈R,向量a=(x,1),b=(1,-2),且a⊥b,则|a+b|等于( B )(B) (D)10解析:因为a⊥b,所以有x-2=0,解得x=2,所以a=(2,1),所以故选B.4.设m,n是两个非零向量,且m=(x1,y1),n=(x2,y2),则以下等式中与m ⊥n等价的个数是( D )①m·n=0,②x1x2=-y1y2,③|m+n|=|m-n|,④|m+n|=(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:由两非零向量垂直的条件可知①②正确,由模的计算公式与向量垂直的条件可知,③④正确,故选D.5.已知向量a=(1,3),b=(sin α,cos α),a⊥b,则tan α的值为( B )(A)3解析:因为a⊥b,所以sin α+3cos α=0,所以sin α=-3cos α,所以tan α=-3.选B.6.已知a=(1,-1),b=(-2,1),c=λa+b,d=a-λb,且c⊥d,则实数λ= .解析:因为c=λa+b=λ(1,-1)+(-2,1)=(λ-2,-λ+1),d=a-λb=(1,-1)-λ(-2,1)=(1+2λ,-1-λ)又因为c⊥d,所以c·d=0,即(λ-2)(1+2λ)+(λ-1)(λ+1)=0,所以λ2-λ-1=0,解得λ.答案7.在四边形ABCD中则该四边形的面积为( C )(B)2 (C)5 (D)10解析:·(-4,2)=1×(-4)+2×2=0,所以且|=所以S四边形ABCD||故选C.8.(2017·长春外国语学校月考)设x,y∈R,向量a=(x,1),b=(1,y), c=(2,-4),且a⊥c,b∥c,则|a+b|等于( B )(B) (D)10解析:因为a⊥c,所以a·c=2x-4=0,所以x=2,又b∥c,所以2y=-4,所以y=-2,所以a=(2,1),b=(1,-2),所以a+b=(3,-1),所以选B.9.已知向量a=(1,0),b=(1,1),则向量b-3a与向量a夹角的余弦值为.解析:由a=(1,0),b=(1,1),得b-3a=(-2,1).设向量b-3a与向量a的夹角为θ,则cos θ答案10.(2017·诸城一中高一下期中)已知a、b、c是同一平面内的三个向量,其中a=(1,2).(1)若且c∥a,求c的坐标;(2)若且a+2b与2a-b垂直,求a与b的夹角θ.解:(1)设c=(x,y),由得,即x2+y2=20,因为c∥a,a=(1,2),所以2x-y=0,所以y=2x,由所以或所以c=(2,4)或c=(-2,-4).(2)因为(a+2b)⊥(2a-b),所以(a+2b)·(2a-b)=0,所以(a+2b)·(2a-b)=2|a|2+3a·b-2|b|2=0,(*)将|a|2=5,|b|2=(2(*)中,所以2×5+3a·b-2所以a·因为|a|=所以cos θ因为θ∈[0,π],所以θ=π.11.已知向量u=(x,y)与向量v=(y,2y-x)的对应关系可以用v=f(u) 表示.(1)证明对于任意a,b及常数m,n,恒有f(ma+nb)=mf(a)+nf(b)成立;(2)设a=(1,1),b=(1,0),求向量f(a)及f(b)的坐标;(3)求使f(c)=(p,q)(p、q为常数)的向量c的坐标.解:(1)设a=(a1,a2),b=(b1,b2),则ma+nb=(ma1+nb1,ma2+nb2),所以f(ma+nb)=(ma2+nb2,2ma2+2nb2-ma1-nb1),mf(a)+nf(b)=m(a2,2a2-a1)+n(b2,2b2-b1)=(ma2+nb2,2ma2+2nb2-ma1-nb1),所以f(ma+nb)=mf(a)+nf(b)成立.(2)f(a)=f[(1,1)]=(1,2×1-1)=(1,1), f(b)=f[(1,0)]=(0,2×0-1)=(0,-1). (3)设c=(x,y),则f(c)=(y,2y-x)=(p,q),所以y=p,2y-x=q,所以x=2p-q,故向量c=(2p-q,p).。

高中数学必修4(人教B版)第二章平面向量2.3知识点总结含同步练习题及答案

答案： A 解析：
已知平面向量 a = (2, x)， b = (2, y)， c = (3, −4)，且 a ∥ c ， b ⊥ c ，求 a 与 b 的夹角．
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→ → 8 ．因为 b ⊥ c ，所以 6 − 4y = 0，解 3 → → 3 → 8 3 → 得 y = ．因为 a = (2, − ) ， b = (2, ) ．设 a 与 b 的夹角为 θ ，则 2 3 2 8 3 → → 2×2− × → a ⋅ b 3 2 = 0 ，所以 θ = 90∘ ，即向量 → cos θ = = a 与 b 的夹角为 90∘ ． → → → → |a |⋅| b | |a |⋅| b |
方向上的投影，可正，可负，可为零．零向量与任一向量的数量积为 0 ．向量数量积的运算律
→ → →→ a ⋅ b = b ⋅ a （交换律）； → → → → → → → ( a + b ) ⋅ c = a ⋅ c + b ⋅ c （分配律）； → → → → → → (λ a ) ⋅ b = a (λ b ) = λ( a ⋅ b ) （数乘结合律）．
已知向量 a = (1, 2)， b = (3, 4)，求| a | ， a ⋅ b ，( a − b ) ⋅ (2 a + 3 b )．解：| a | = √1 2 + 2 2 = √5 ；已知 OA = (3, 4) ，OB = (7, 12)，
−→ −
−→ −
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− − − − − −
设向量 a ， b 满足 | a | = | b | = 1 及 |3 a − 2 b | = √7 ．求： ① a ， b 所成的角的大小；② |3 a + b | 的值．

高一数学人教B版必修4课件：2-3-2 向量数量积的运算律

次首尾相接向量，则其和向量是零向量，即 a＋b＋c＋d＝0，应注意这一隐含条件应用； (2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积，因为数量积的定义式中含有边、角两种关系．
已知 a＝(
1 3，－1)，b＝ 2，
3 ，且存在实数 k 和 t，使 2
2 k ＋ t 得 x＝a＋(t2－3)b，y＝－ka＋tb.且 x⊥y，试求 t 的最小值．
∴－(2e1＋e2)＝k(e1－λe1)，即－2e1－e2＝ke1－kλe2，
k＝－2 ∴ kλ＝1
1 ，解得 λ＝－2.
• (2)∵a⊥b，∴a·b＝0， • ∴－(2e1＋e2)·(e1－λe2)＝0. • ∴－2e＋2λe1·e2－e1·e2＋λe＝0， • ∴－2＋λ＝0，∴λ＝2.
[解析] |b|＝
由题意有|a|＝ 32＋－12＝2，
1 2 ＋ 2
3 2 ＝1. 2
1 3 ∵a· b＝ 3×2－1× 2 ＝0，故有 a⊥b. ∵x· y＝0，∴[a＋(t2－3)b][－ka＋tb]＝0. t3－3t 化简 k＝ 4 . k＋t2 1 2 1 7 2 ∴ t ＝4(t ＋4t－3)＝4(t＋2) －4. k＋t2 7 即 t＝－2 时，有最小值－ . t 4
已知 a、b 满足|a|＝ 3，|b|＝2，|a＋b|＝ 13，求 a＋b 与 a－b 的夹角 θ2，|a＋b|＝ 13，
∴(a＋b)2＝13.即 a2＋2a· b＋b2＝13， ∴2a· b＝6. ∴(a－b)2＝a2－2a· b＋b2＝(a＋b)2－4a· b＝1.即|a－b|＝1， a＋b· a－b 13 故 cosθ＝＝－ 13 . |a＋b||a－b|
ABCD两组对边分别相等．

2019学年高一数学(人教B版必修4)同步练习：2.3.2 向量数量积的运算律

2.3.2 向量数量积的运算律一、基础过关1．已知|a|＝1，|b|＝1，|c|＝2，a 与b 的夹角为90°，b 与c 的夹角为45°，则a·(b·c)的化简结果是( )A ．0B ．aC ．bD ．c2．若|a|＝1，|b|＝2，c ＝a ＋b ，且c⊥a，则向量a 与b 的夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150°3．已知向量a ，b 的夹角为120°，|a|＝1，|b|＝5，则|3a －b|等于( )A ．7B ．6C ．5D ．4 4．在边长为1的等边△ABC 中，设BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，则a·b＋b·c＋c·a 等于( )A ．－32B ．0 C.32 D ．35．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝1，点P 在AM 上且满足AP →＝2PM →，则PA →·(PB →＋PC →)等于( ) A ．－49 B ．－43 C.43 D.496．设|a|＝3，|b|＝5，且a ＋λb 与a －λb 垂直，则λ＝________.7．已知非零向量a ，b ，满足|a|＝1，(a －b)·(a ＋b)＝12，且a·b＝12. (1)求向量a ，b 的夹角；(2)求|a －b|.8．设n 和m 是两个单位向量，其夹角是π3，求向量a ＝2m ＋n 与b ＝2n －3m 的夹角．二、能力提升9．若向量a 与b 不共线，a·b≠0，且c ＝a －⎝⎛⎭⎪⎫a·a a·b b ，则向量a 与c 的夹角为 ( )A ．0 B.π6 C.π3 D.π210．已知向量a≠e，|e|＝1，对任意t∈R，恒有|a －te|≥|a－e|，则( )A ．a⊥eB ．a⊥(a－e)C ．e⊥(a－e)D ．(a ＋e)⊥(a－e)11．如图，在△ABC 中，O 为中线AM 上的一个动点，若AM ＝2，则OA →·(OB →＋OC →)的最小值是________．12．已知平面上三个向量a 、b 、c 的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°.(1)求证：(a －b)⊥c；(2)若|ka ＋b ＋c|>1 (k∈R)，求k 的取值范围．三、探究与拓展13．已知非零向量a ，b ，且a ＋3b 与7a －5b 垂直，a －4b 与7a －2b 垂直，求a 与b 的夹角．答案1．B 2.C 3.A 4.A 5.A 6．±35 7.(1)45° (2)228．解 ∵|n|＝|m|＝1且m 与n 夹角是π3， ∴m·n＝|m||n|cos π3＝1×1×12＝12. |a|＝|2m ＋n|＝＋2＝4×1＋1＋4m·n ＝ 4×1＋1＋4×12＝7， |b|＝|2n －3m|＝－2＝4×1＋9×1－12m·n＝ 4×1＋9×1－12×12＝7， a·b＝(2m ＋n)·(2n－3m)＝m·n－6m 2＋2n 2＝12－6×1＋2×1＝－72. 设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a·b |a||b|＝－727×7＝－12. 又θ∈[0，π]，∴θ＝2π3，故a 与b 的夹角为2π3. 9． D 10.C 11.－212．(1)证明因为|a|＝|b|＝|c|＝1，且a 、b 、c 之间的夹角均为120°，所以(a －b)·c ＝a·c－b·c＝|a||c|cos 120°－|b||c|cos 120°＝0，所以(a －b)⊥c.(2)解因为|ka ＋b ＋c|>1，所以(ka ＋b ＋c)2>1，即k 2a 2＋b 2＋c 2＋2ka·b＋2ka·c＋2b·c>1，所以k 2＋1＋1＋2kcos 120°＋2kcos 120°＋2cos 120°>1.所以k 2－2k>0，解得k<0，或k>2.所以实数k 的取值范围为k<0，或k>2.13．π3。

人教版数学高一B版必修4优化练习向量数量积的坐标运算与度量公式

2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，则△ABC 为（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法判断解析：由=(1，1)，=(-4，2)，=(3，-3)，得2=2，2=20，2=18.∴2+2=2，即AB 2+AC 2=BC 2.∴△ABC 为直角三角形.(本题亦可画图，验证·=3-3=0⇒⊥)答案：B2.已知m =(3，-1)，n =(x ，-2)，且〈m ，n 〉=4π，则x 等于（） A.1 B.-1 C.-4 D.4解析：cos 4π=410232+•+x x ，解得x=1. 答案：A3.已知a =(2，5)，b =(λ，-3)，且a ⊥b ，则λ=________________.解析：∵a ⊥b ，∴a ·b =0，即2λ-15=0，λ=215. 答案：215 4.设=(3，1)，=(-1，2)，⊥，∥，则满足+=的坐标(O 为原点)为_________________.解：设=(x ，y)，则=(x+3，y+1)，=-=(x+4，y-1). ∵⊥，∴-(x+3)+2(y+1)=0，即x-2y+1=0. ① 又∵BC ∥OA ，∴3(y-1)-(x+4)=0，即x-3y+7=0. ②由①②得x=11，y=6. ∴=(11，6).答案：(11，6)10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.已知a =(m -2，m +3)，b =(2m +1，m -2)，且a 与b 的夹角大于90°，则实数m 的取值范围为（）A.m ＞2或m ＜34-B.34-＜m ＜2 C.m ≠2 D.m ≠2且m ≠34-解析：a 与b 夹角大于90°⇔a ·b ＜0， a ·b =(m-2)(2m+1)+(m+3)(m-2)=3m 2-2m-8,解不等式3m 2-2m-8＜0，得34-＜m ＜2. 答案：B2.(2006高考重庆卷，文7)已知三点A(2，3)，B(-1，-1)，C(6，k)，其中k 为常数.若||=||,则与的夹角为( ) A.arccos(2524-) B.2π或arccos 2524 C.arccos 2524 D.2π或π-arccos 2524 解析：由于|AB |=|AC |,且AB =(-3，-4)，AC =(4，k-3)，所以16+(k-3)2=25,解出k=6或0.当k=0时，AB ·AC =0，其中夹角是2π；当k=6时，cos θ=2524-=，所以θ=π-arccos 2524. 答案：D3.已知m =(a ，b )，向量n 与m 垂直，且|m |=|n |，则n 的坐标为（）A.(b ，-a )B.(-a ，b )C.(-a ，b )或(a ，-b )D.(b ，-a )或(-b ，a )解析：设n 的坐标为(x ，y)，由|m |=|n |，得a 2+b 2=x 2+y 2, ①由m ⊥n ，得a x+b y=0, ②解①②组成的方程组得⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧-==.,,a y b x a y b x 或得n 的坐标为(b ，-a )或(-b ，a ). 答案：D4.若i=(1，0)，j=(0，1)，则与3i+4j 垂直的单位向量是______________.解析：3i +4j =(3，4).设与3i +4j 垂直的单位向量为b =(x ，y)，依题意，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==⎩⎨⎧=+=+.53,5453,54.1,04322y x y x y x y x 或解得故与3i +4j 垂直的单位向量为54i 53-j 或-54i +53j . 答案：54i 53-j 或-54i +53j 5.已知向量x 与a =(2，-1)共线，且a ·x =-18，则x =_______________.解析：设x =(2λ，-λ)，又a ·x =-18.∴4λ+λ=-18.∴λ=518-. 答案：(518,536-) 6.设向量a =(1，-1),b =(3，-4)，x =a +λb ，λ为实数，试证：使模|x|最小的向量x 垂直于向量b .证明：因|x |2=x ·x =|a |2+λ2|b |2+2λa ·b ，故x 2=25λ2+14λ+2=(5λ+57)2+251. 当5λ+57=0，即λ=257-时，|x|最小. 此时x=a 257-b =(253,254). 又42533254⨯-⨯=0，∴向量x 与b 垂直. 30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.已知a =(-1，3)，b =(2，-1)，且(k a +b )⊥(a -2b )，则k 的值为（） A.34 B.34- C.43 D.43- 解析：由(k a +b )⊥(a -2b )，得(k a +b )·(a -2b )=0.而k a +b =(2-k ，3k-1)，a -2b =(-5，5).故-5(2-k)+5(3k-1)=0，解得k=43. 答案：C 2.(2006高考重庆卷，理7)与向量a =(21,27)，b =(27,21-)的夹角相等，且模为1的向量是( ) A.(53,54-) B.(53,54-)或(53,54-) C.（31,322-） D.（31,322-）或（31,322-）解析：设所求向量为e =(cosθ,sinθ)，由于该向量与a 、b 的夹角相等，故⇔•=•||||||||e b e b e a e a a ·e =b ·e ⇔27cosθ+21sinθ=21cosθ27-sinθ⇔3cosθ=-4sinθ,所以sinθ=53-且cosθ=54，或sinθ=53且cosθ=54-，所以B 选项成立. 答案：B3.已知点A(2，3)，若把向量OA 绕原点O 按逆时针方向旋转90°，得到向量OB ，则B 点坐标为( )A.(2，-3)B.(-3，2)C.(3，-2)D.(3，2)解析：设B(x ，y)，∵⊥，||=||，∴⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧=+=+2,32,3,13,03222y x y x y x y x 或解得(舍去)，故B 点坐标为(-3，2). 答案：B4.已知A(1，2)，B(4，0)，C(8，6)，D(5，8)四点，则四边形ABCD 是( )A.梯形B.矩形C.菱形D.正方形解析：=(3，-2)，CD =(-3，2)，=-CD ，∴四边形ABCD 为平行四边形. 又BC =(4，6)，AB ·BC =3×4-2×6=0，即AB ⊥CD ，且|AB |≠|BC |，∴四边形ABCD 为矩形.答案：B5.已知a =(2，-3)，b =(1，-2)，且c ⊥a ，b ·c =1，则c 的坐标为( )A.(3，-2)B.(3，2)C.(-3，-2)D.(-3，2)解析：设c =(x ，y)，c ⊥a ，∴2x-3y=0. ①又b ·c =1，∴x-2y=1, ②综合①②知x=-3，y=-2.答案：C6.已知a =(3，1)，b =(x ，-3)，且a ⊥b ，则x 等于( )A.3B.1C.-1D.-3解析：∵a ⊥b ，∴3x-3=0.∴x=1.答案：B7.以原点O 及点A(5，2)为顶点作等腰直角△OAB ，使∠A=90°，则的坐标为______________.解析：依题意，设=(x ，y)，则由||=||得222225y x +=+. ① 而又由⊥得5x+2y=0. ②由①②联立可解得x=2，y=-5或x=-2，y=5， ∴=(2，-5)或(-2，5).答案：(2，-5)或(-2，5)8.平面向量a ，b 中，已知a =(4，-3)，|b |=1，且a ·b =5，则向量b =______________.解析：设b =(x ，y)，则⎪⎩⎪⎨⎧=-=+,534,122y x y x ∴b =(54，53-). 答案：(54，53-) 9.设O 为原点，点A(a ，0)，B(0，a )(a ＞0)，点P 在线段AB 上，且=t (0≤t≤1)，则·的最大值为______________.解析：∵·=·(+)=·(+t )=2+t ·=a 2+t(a ，0)·(-a ，a )=a 2+t(-a 2+0)=(1-t)a 2，∵0≤t≤1，∴-1≤-t≤0，0≤1-t≤1，即·≤a 2. 答案：a 210.已知a =(cos α，sin α)，b =(cos β，sin β)(0＜α＜β＜π).(1)求证：a +b 与a -b 互相垂直；(2)若k a +b 与k a -b 的模相等，求β-α(其中k ∈R 且k≠0).(1)证明：依题意知a +b =(cosα+cosβ，sinα+sinβ)，a -b =(cosα-cosβ，sinα-sinβ). 又(a +b )·(a -b )=(cosα+cosβ)(cosα-cosβ)+(sinα+sinβ)(sinα-sinβ)=cos 2α-cos 2β+sin 2α-sin 2β=0，所以(a +b )⊥(a -b ).(2)解：由于k a ±b =(kcosα±cosβ，ksinα±sinβ)，所以|k a ±b |=)cos(212αβ-±+k k .又因为|k a +b |=|k a -b |，所以2kcos(β-α)=-2kcos(β-α)，且k≠0，故cos(β-α)=0. 又0＜α＜β＜π，所以β-α=2π. 11.已知a =(cos α，sin α)，b =(cos β，sin β)，且|k a +b |=3|a -k b |(k ＞0)，(1)用k 表示数量积a ·b ；(2)求a ·b 的最小值，并求此时a ，b 的夹角θ.解：(1)由|k a +b |=3|a -k b |,得(k a +b )2=3(a -k b )2，∴k 2a 2+2k a ·b +b 2=3a 2-6k a ·b +3k 2·b 2.∴(k 2-3)a 2+8k a ·b +(1-3k 2)b 2=0.∵|a |=1，|b |=1，∴k 2-3+8k a ·b +1-3k 2=0，∴a ·b =kk k k 4182222+=+. (2)a ·b =)1(41412k k k k +=+，由函数单调性定义易知f(k)=41(k+k 1)在(0，1］上单调递减，在［1，+∞)上单调递增，∴当k=1时最小值为f(1)=41(1+1)=21. 此时a ，b 夹角为θ， cosθ=21121||||==•b a b a ，∴θ=60°.。

数学：2.3.3《向量数量积的坐标运算与度量公式》课件(1)(新人教B版必修4)

AC = (−2 − 1,5 − 2) = ( −3,3)
∴ AB ⋅ AC = 1× (−3) + 1× 3 = 0
△ABC是直角三角形是直角三角形
变形：在∆ABC中，设 AB = (2,3), AC = (1, k ), 且 ∆ABC是直角三角形，求k的值。
解 : BC = AC − AB = ( − 1, k − 3) ∵ 又 ∆ ABC 是直角三角形即( − 2, − 3) i ( − 1, k − 3) = 0 ∴ 2 − 3( k − 3) = 0 11 k = 3
1 ∴n = 2
变形： .已知 a = 4, b = 3, a与b的夹角为90 , 且 c = a + 2b, d = 2 a + k b,问 k 为何值时 (1) c ⊥ d (2) c∥d (3) c与 d的夹角为锐角 ? 的夹角为锐角
°
a b . 注: a ⋅ b > 0不能保证向量与的夹角为锐角
解: ∵ c ⊥d ,∴ c⋅ d =0, ∴ 即 a+(sinα−3)b⋅−ka+(sinα)b =0 也即 −ka +a⋅b⋅sinα
2
−k(sinα−3)a⋅b+ sinα(sinα−3b =0, )
2
2 2 1 3 又∵ a = ( 3, −1) , b =( , ),∴ a⋅ b =0,且 a = a = 4, 2 2
∴ a ⋅ b = x 1 i + y1 j （ x 2 i + y 2 j （） ⋅ ）
= x1 x 2 i + x1 y2 i ⋅ j + x 2 y1 j ⋅ i + y1 y2 j
∵ i = 1， j = 1， i ⋅ j = j ⋅ i = 0

高中数学2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式学案新人教B版必修4

2。

3。

3 向量数量积的坐标运算与度量公式1.掌握向量数量积的坐标表达式，能进行平面向量数量积的坐标运算。

(重点）2.能运用数量积表示两个向量的夹角.计算向量的长度，会判断两个平面向量的垂直关系.（难点)［基础·初探]教材整理1 两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示阅读教材P112“思考与讨论"以上内容，完成下列问题.1。

向量内积的坐标运算:已知a＝（a1，a2），b＝（b1，b2)，则a·b＝a1b1＋a2b2.2。

用向量的坐标表示两个向量垂直的条件：设a＝(a1，a2），b＝(b1,b2)，则a⊥b⇔a1b1＋a2b2＝0。

已知a＝(1,－1），b＝（2，3）,则a·b＝( ）A。

5 B.4C。

－2 D.－1【解析】a·b＝(1,－1)·（2,3）＝1×2＋（－1）×3＝－1.【答案】D教材整理2 向量的长度、距离和夹角公式阅读教材P112～P113内容，完成下列问题。

1。

向量的长度：已知a＝(a1，a2），则|a｜＝错误!。

2。

两点间的距离:如果A（x1,y1）,B（x2,y2)，则｜错误!｜＝错误!。

3.两向量的夹角：设a＝（a1，a2)，b＝(b1，b2)，则cos<a，b>＝错误!。

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)（1)两个非零向量a＝（x1，y1),b＝(x2，y2)，满足x1y2－x2y1＝0，则向量a，b的夹角为0度.（）(2)两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。

（)（3）若两个向量的数量积的坐标和小于零,则两个向量的夹角一定为钝角.（）【解析】(1）×.因为当x1y2－x2y1＝0时，向量a，b的夹角也可能为180°。

(2)√。

由向量数量积定义可知正确。

（3）×。

因为两向量的夹角有可能为180°。

【答案】（1)×（2）√（3)×[质疑·手记］预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1:_________________________________________________________解惑：_________________________________________________________疑问2:_________________________________________________________解惑：_________________________________________________________疑问3：_________________________________________________________解惑:_________________________________________________________［小组合作型］平面向量数量积的坐标运算(1）(2016·安溪高一检测）已知向量a＝(1,2），b＝(2，x），且a·b＝－1，则x的值等于（)A.12B.－错误!C。

高中数学人教B版必修四讲义：第二章 2.3 2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式 Word版含答案

平面向量的数量积2．3.3向量数量积的坐标运算与度量公式(1)平面向量数量积的坐标表示是什么？(2)如何用坐标表示向量的模、夹角、垂直？[新知初探]1．向量数量积及向量垂直的坐标表示设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)(1)数量积a·b＝a1b1＋a2b2.(2)若a，b为非零向量，a⊥b⇔a1b1＋a2b2＝0.[点睛]记忆口诀：数量积的坐标表示可简记为“对应相乘计算和”．2．三个重要公式(1)向量的长度公式：已知a＝(a1，a2)，则|a|＝a21＋a22.(2)两点间的距离公式：A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2.(3)向量的夹角公式：a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则cos〈a，b〉＝a1b1＋a2b2a21＋a22b21＋b22.[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) 预习课本P112～114，思考并完成以下问题(1)向量的模等于向量坐标的平方和．()(2)若a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a⊥b⇔a1b1＋a2b2＝0.()(3)若两个非零向量的夹角θ满足cos θ＜0，则两向量的夹角θ一定是钝角．()答案：(1)×(2)×(3)×2．已知a＝(－3,4)，b＝(5,2)，则a·b的值是()A．23B．7C．－23D．－7答案：D3．已知向量a＝(x－5,3)，b＝(2，x)，且a⊥b，则由x的值构成的集合是()A．{2,3}B．{－1,6} C．{2}D．{6}答案：C4．已知a＝(1，3)，b＝(－2,0)，则|a＋b|＝________.答案：2平面向量数量积的坐标运算[典例](1)向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝()A．－1B．0C．1 D．2(2)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，AB＝(1，－2)，AD ＝(2,1)，则AD·AC＝()A．5 B．4C．3 D．2[解析](1)∵a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，∴(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1.(2)由AC＝AB＋AD＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，得AD·AC＝(2,1)·(3，－1)＝5.[答案](1)C(2)A数量积坐标运算的两条途径进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．[活学活用]已知向量a 与b 同向，b ＝(1,2)，a ·b ＝10. (1)求向量a 的坐标； (2)若c ＝(2，－1)，求(b ·c )·a .解：(1)因为a 与b 同向，又b ＝(1,2)，所以a ＝λb ＝(λ，2λ)．又a ·b ＝10，所以1·λ＋2·2λ＝10，解得λ＝2>0. 因为λ＝2符合a 与b 同向的条件，所以a ＝(2,4)． (2)因为b ·c ＝1×2＋2×(－1)＝0，所以(b ·c )·a ＝0·a ＝0.向量的模的问题[典例] (1)b |等于( ) A. 5 B. 6 C.17D.26(2)已知|a |＝213，b ＝(2，－3)，若a ⊥b ，求a ＋b 的坐标及|a ＋b |. [解析] (1)∵a ∥b ，∴1×y －2×(－2)＝0，解得y ＝－4，从而3a ＋b ＝(1,2)，|3a ＋b |＝ 5. [答案] A (2)设a ＝(x ，y )，则由|a |＝213，得x 2＋y 2＝52. ① 由a ⊥b ，解得2x －3y ＝0. ②由①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝6，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6y ＝－4.∴a ＝(6,4)或a ＝(－6，－4)． ∴a ＋b ＝(8,1)或a ＋b ＝(－4，－7)，∴|a＋b|＝65.求向量的模的两种基本策略(1)字母表示下的运算：利用|a|2＝a2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题．(2)坐标表示下的运算：若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝x2＋y2.[活学活用]1．已知向量a＝(cos θ，sin θ)，向量b＝(3，0)，则|2a－b|的最大值为________．解析：2a－b＝(2cos θ－3，2sin θ)，|2a－b|＝(2cos θ－3)2＋(2sin θ)2＝4cos2θ－43cos θ＋3＋4sin2θ＝7－43cos θ，当且仅当cos θ＝－1时，|2a－b|取最大值2＋ 3.答案：2＋ 32．已知平面向量a＝(2,4)，b＝(－1,2)，若c＝a－(a·b)b，则|c|＝________.解析：∵a＝(2,4)，b＝(－1,2)，∴a·b＝2×(－1)＋4×2＝6，∴c＝a－(a·b)b＝(2,4)－6(－1,2)＝(2,4)－(－6,12)＝(8，－8)，∴|c|＝82＋(－8)2＝8 2.答案：8 2向量的夹角和垂直问题[典例](1)已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝5，若(c－b)·a＝152，则a与c的夹角为()A．30°B．60°C ．120°D ．150°(2)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，求c 的坐标． [解析] (1)∵a ·b ＝－2－8＝－10， ∴(c －b )·a ＝c ·a －b ·a ＝c ·a ＋10＝152，∴c ·a ＝－52.设a 与c 的夹角为θ，则cos θ＝a ·c |a |·|c |＝－525×5＝－12.∵0°≤θ≤180°，∴θ＝120°. [答案] C(2)设c 的坐标为(x ，y )，则a ＋c ＝(1＋x,2＋y )． ∵(a ＋c )∥b ，∴(1＋x )×3－2×(2＋y )＝0，即3x －2y ＝1. ① 又a ＋b ＝(3,5)，且(a ＋b )⊥c ，∴3x ＋5y ＝0. ②联立①②，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝1，3x ＋5y ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝521，y ＝－17.故c ＝⎝⎛⎭⎫521，－17.解决向量夹角问题的方法及注意事项(1)先利用平面向量的坐标表示求出这两个向量的数量积a ·b 以及|a ||b |，再由cos θ＝a ·b|a ||b |求出cos θ，也可由坐标表示cos θ＝a 1b 1＋a 2b 2a 21＋a 22b 21＋b 22直接求出cos θ.由三角函数值cos θ求角θ时，应注意角θ的取值范围是0≤θ≤π.(2)由于0≤θ≤π，利用cos θ＝a ·b|a ||b |来判断角θ时，要注意cos θ<0有两种情况：一是θ是钝角，二是θ＝π；cos θ>0也有两种情况：一是θ为锐角，二是θ＝0.[活学活用]已知平面向量a ＝(3,4)，b ＝(9，x )，c ＝(4，y )，且a ∥b ，a ⊥c . (1)求b 与c ；(2)若m ＝2a －b ，n ＝a ＋c ，求向量m ，n 的夹角的大小．解：(1)∵a ∥b ，∴3x ＝4×9，∴x ＝12. ∵a ⊥c ，∴3×4＋4y ＝0，∴y ＝－3， ∴b ＝(9,12)，c ＝(4，－3)．(2)m ＝2a －b ＝(6,8)－(9,12)＝(－3，－4)， n ＝a ＋c ＝(3,4)＋(4，－3)＝(7,1)．设m ，n 的夹角为θ，则cos θ＝m ·n|m ||n |＝－3×7＋(－4)×1(－3)2＋(－4)272＋12＝－25252＝－22. ∵θ∈[0，π]，∴θ＝3π4，即m ，n 的夹角为3π4.[典例] 已知点A ，B ，C 满足|AB |＝3，|BC |＝4，|CA |＝5，求AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB 的值．[解] [法一定义法]如图，根据题意可得△ABC 为直角三角形，且B ＝π2，cos A ＝35，cos C ＝45，∴AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB ＝BC ·CA ＋CA ·AB ＝4×5cos(π－C )＋5×3cos(π－A )＝－20cos C －15cos A ＝－20×45－15×35＝－25.[法二坐标法]如图，建立平面直角坐标系，则A (3,0)，B (0,0)，C (0,4)．∴AB ＝(－3,0)，BC ＝(0,4)，CA ＝(3，－4)．∴AB ·BC ＝－3×0＋0×4＝0， BC ·CA ＝0×3＋4×(－4)＝－16， CA ·AB ＝3×(－3)＋(－4)×0＝－9.∴AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB ＝0－16－9＝－25. [法三转化法]∵|AB |＝3，|BC |＝4，|AC |＝5，∴AB ⊥BC ，∴AB ·BC ＝0， ∴AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB ＝CA ·(AB ＋BC ) ＝CA ·AC ＝－|AC |2＝－25.[活学活用]如果正方形OABC 的边长为1，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，那么cos ∠DOE的值为________．解析：法一：以O 为坐标原点，OA ，OC 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则由已知条件，可得OD ＝⎝⎛⎭⎫1，12，OE ＝⎝⎛⎭⎫12，1.故cos ∠DOE ＝OD ·OE | OD |·|OE |＝1×12＋12×152×52＝45.法二：∵OD ＝OA ＋AD ＝OA ＋12OC ，OE ＝OC ＋CE ＝OC ＋12OA ，∴|OD |＝52，|OE |＝52， OD ·OE ＝12OA 2＋12OC 2＝1， ∴cos ∠DOE ＝OD ·OE | OD ||OE |＝45.答案：45层级一学业水平达标1．已知向量a ＝(0，－23)，b ＝(1，3)，则向量a 在b 方向上的投影为( ) A.3 B ．3 C ．－ 3D ．－3解析：选D 向量a 在b 方向上的投影为a·b |b |＝－62＝－3.选D.2．设x ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，－2)，且a ⊥b ，则|a ＋b |＝( ) A. 5 B.10 C ．2 5D ．10解析：选B 由a ⊥b 得a·b ＝0， ∴x ×1＋1×(－2)＝0，即x ＝2，∴a ＋b ＝(3，－1)， ∴|a ＋b |＝32＋(－1)2＝10.3．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1，k )，a ·(2a －b )＝0，则k ＝( ) A ．－12 B ．－6 C ．6D ．12解析：选D 2a －b ＝(4,2)－(－1，k )＝(5,2－k )，由a ·(2a －b )＝0，得(2,1)·(5,2－k )＝0，∴10＋2－k ＝0，解得k ＝12.4．a ，b 为平面向量，已知a ＝(4,3)，2a ＋b ＝(3,18)，则a ，b 夹角的余弦值等于( ) A.865 B ．－865C.1665D ．－1665解析：选C 设b ＝(x ，y )，则2a ＋b ＝(8＋x,6＋y )＝(3,18)，所以⎩⎪⎨⎪⎧8＋x ＝3，6＋y ＝18，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝12，故b ＝(－5,12)，所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝1665.5．已知A (－2,1)，B (6，－3)，C (0,5)，则△ABC 的形状是( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形D ．等边三角形解析：选A 由题设知AB ＝(8，－4)， AC ＝(2,4)，BC ＝(－6,8)，∴AB ·AC ＝2×8＋(－4)×4＝0，即AB ⊥AC .∴∠BAC ＝90°，故△ABC 是直角三角形．6．设向量a ＝(1,2m )，b ＝(m ＋1,1)，c ＝(2，m )．若(a ＋c )⊥b ，则|a|＝________. 解析：a ＋c ＝(3,3m )，由(a ＋c )⊥b ，可得(a ＋c )·b ＝0，即3(m ＋1)＋3m ＝0，解得m ＝－12，则a ＝(1，－1)，故|a |＝ 2. 答案： 27．已知向量a ＝(1，3)，2a ＋b ＝(－1，3)，a 与2a ＋b 的夹角为θ，则θ＝________. 解析：∵a ＝(1，3)，2a ＋b ＝(－1，3)，∴|a |＝2，|2a ＋b |＝2，a ·(2a ＋b )＝2， ∴cos θ＝a ·(2a ＋b )|a ||2a ＋b |＝12，∴θ＝π3.答案：π38．已知向量a ＝(3，1)，b 是不平行于x 轴的单位向量，且a·b ＝3，则向量b 的坐标为________．解析：设b ＝(x ，y )(y ≠0)，则依题意有⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，3x ＋y ＝3，解得⎩⎨⎧x ＝12，y ＝32，故b ＝⎝⎛⎭⎫12，32. 答案：⎝⎛⎭⎫12，329．已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )，x ∈R. (1)若a ⊥b ，求x 的值； (2)若a ∥b ，求|a －b |. 解：(1)若a ⊥b ，则a ·b ＝(1，x )·(2x ＋3，－x ) ＝1×(2x ＋3)＋x (－x )＝0，即x 2－2x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝3. (2)若a ∥b ，则1×(－x )－x (2x ＋3)＝0，即x (2x ＋4)＝0，解得x ＝0或x ＝－2. 当x ＝0时，a ＝(1,0)，b ＝(3,0)， a －b ＝(－2,0)，|a －b |＝2.当x ＝－2时，a ＝(1，－2)，b ＝(－1,2)， a －b ＝(2，－4)，|a －b |＝4＋16＝2 5.综上，|a －b |＝2或2 5.10．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (1,4)，B (－2,3)，C (2，－1)．(1)求AB ·AC 及|AB ＋AC |；(2)设实数t 满足(AB －t OC )⊥OC ，求t 的值．解：(1)∵AB ＝(－3，－1)，AC ＝(1，－5)， ∴AB ·AC ＝－3×1＋(－1)×(－5)＝2. ∵AB ＋AC ＝(－2，－6)，∴|AB ＋AC |＝4＋36＝210.(2)∵AB －t OC ＝(－3－2t ，－1＋t )，OC ＝(2，－1)，且(AB －t OC )⊥OC ，∴(AB －t OC )·OC ＝0， ∴(－3－2t )×2＋(－1＋t )·(－1)＝0，∴t ＝－1.层级二应试能力达标1．设向量a ＝(1,0)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，12，则下列结论中正确的是( )A ．|a |＝|b |B ．a ·b ＝22C ．a －b 与b 垂直D ．a ∥b 解析：选C 由题意知|a |＝12＋02＝1，|b |＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫122＝22，a ·b ＝1×12＋0×12＝12，(a －b )·b ＝a ·b －|b |2＝12－12＝0，故a －b 与b 垂直． 2．已知向量OA ＝(2,2)，OB ＝(4,1)，在x 轴上有一点P ，使AP ·BP 有最小值，则点P 的坐标是( )A ．(－3,0)B ．(2,0)C ．(3,0)D ．(4,0) 解析：选C 设P (x,0)，则AP ＝(x －2，－2)，BP ＝(x －4，－1)，∴AP ·BP ＝(x －2)(x －4)＋2＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1，故当x ＝3时，AP ·BP 最小，此时点P 的坐标为(3,0)． 3．已知点A (3,0)，B (0,3)，C (cos α，sin α)，O (0,0)，若|OA ―→＋OC ―→|＝13，α∈(0，π)，则OB ―→，OC ―→的夹角为( )A.π2B.π4C.π3D.π6解析：选D 因为|OA ―→＋OC ―→|2＝(OA ―→＋OC ―→)2＝OA ―→2＋2OA ―→·OC ―→＋OC ―→2＝9＋6cos α＋1＝13，所以cos α＝12，因为α∈(0，π)，所以α＝π3，所以C ⎝⎛⎭⎫12，32，所以cos 〈OB ―→，OC ―→〉＝OB ―→·OC ―→|OB ―→||OC ―→|＝3×323×1＝32，因为0≤〈OB ―→，OC ―→〉≤π，所以〈OB ―→，OC ―→〉＝π6，所以OB ―→，OC ―→的夹角为π6. 4．已知OA ＝(－3,1)，OB ＝(0,5)，且AC ∥OB ，BC ⊥AB (O 为坐标原点)，则点C 的坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫－3，－294 B.⎝⎛⎭⎫－3，294 C.⎝⎛⎭⎫3，294 D.⎝⎛⎭⎫3，－294 解析：选B 设C (x ，y )，则OC ＝(x ，y )．又OA ＝(－3,1)，∴AC ＝OC －OA ＝(x ＋3，y －1)．∵AC ∥OB ，∴5(x ＋3)－0·(y －1)＝0，∴x ＝－3. ∵OB ＝(0,5)，∴BC ＝OC －OB ＝(x ，y －5)，AB ＝OB －OA ＝(3,4)．∵BC ⊥AB ，∴3x ＋4(y －5)＝0，∴y ＝294， ∴C 点的坐标是⎝⎛⎭⎫－3，294. 5．平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝ma ＋b (m ∈R)，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝________.解析：因为向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，所以c ＝ma ＋b ＝(m ＋4,2m ＋2)，所以a ·c ＝m ＋4＋2(2m ＋2)＝5m ＋8，b·c ＝4(m ＋4)＋2(2m ＋2)＝8m ＋20.因为c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，所以c·a |c|·|a|＝c·b |c|·|b|，即a·c |a |＝b·c |b |，所以5m ＋85＝8m ＋2025，解得m ＝2.答案：26．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE ·CB 的值为______；DE ·DC 的最大值为______．解析：以D 为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示．则D (0,0)，A (1,0)，B (1,1)，C (0,1)，设E (1，a )(0≤a ≤1)．所以DE ·CB ＝(1，a )·(1,0)＝1，DE ·DC ＝(1，a )·(0,1)＝a ≤1，故DE ·DC 的最大值为1.答案：1 17．已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1,2)．(1)若|c |＝25，且c ∥a ，求c 的坐标；(2)若|b |＝52，且a ＋2b 与2a －b 垂直，求a 与b 的夹角θ.解：(1)设c ＝(x ，y )，∵|c |＝25，∴x 2＋y 2＝25，∴x 2＋y 2＝20.由c ∥a 和|c |＝25，可得⎩⎪⎨⎪⎧ 1·y －2·x ＝0，x 2＋y 2＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－4.故c ＝(2,4)或c ＝(－2，－4)．(2)∵(a ＋2b )⊥(2a －b )，∴(a ＋2b )·(2a －b )＝0，即2a 2＋3a ·b －2b 2＝0，∴2×5＋3a ·b －2×54＝0，整理得a ·b ＝－52， ∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－1. 又θ∈[0，π]，∴θ＝π.8．已知三个点A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)．(1)求证：AB ⊥AD ；(2)要使四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标以及矩形ABCD 的两对角线所成的锐角的余弦值．解：(1)证明：∵A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)，∴AB ―→＝(1,1)，AD ―→＝(－3,3)．又AB ―→·AD ―→＝1×(－3)＋1×3＝0，∴AB ―→⊥AD ―→，即AB ⊥AD .(2)∵AB ―→⊥AD ―→，四边形ABCD 为矩形，∴AB ―→＝DC ―→.设C 点坐标为(x ，y )，则AB ―→＝(1,1)，DC ―→＝(x ＋1，y －4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝1，y －4＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝5，∴点C 的坐标为(0,5)．由于AC ―→＝(－2,4)，BD ―→＝(－4,2)，∴AC ―→·BD ―→＝8＋8＝16，|AC ―→|＝25，|BD ―→|＝2 5.设AC ―→与BD ―→的夹角为θ，则cos θ＝AC ―→·BD ―→|AC ―→|·|BD ―→|＝1620＝45， ∴矩形ABCD 的两条对角线所成的锐角的余弦值为45.。

数学人教B版必修4优化训练：2.3.2向量数量积的运算律

2.3.2 向量数量积的运算律5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.有下面四个关系式：①0·0=0；②(a ·b )c =a (b ·c )；③a ·b =b ·a ；④0a =0.其中正确的个数是 …（）A.4B.3C.2D.1解析：只有③是正确的.①错，因为数量积的结果是数量而不是向量；②错，因为数量积不满足结合律；④错，因为实数与向量的积结果应是向量.答案：D2.已知e 1和e 2是两个单位向量，夹角为3π，则下面的向量中与2e 2-e 1垂直的是（） A.e 1+e 2 B.e 1-e 2 C.e 1 D.e 2解析：依题意，|e 1|2=|e 2|2=1，θ=3π， ∴e 1·e 2=|e 1||e 2|cosθ=21.对于A ，(e 1+e 2)·(2e 2-e 1)=2e 22-e 12+e 1·e 2=23；对于B ，(e 1-e 2)·(2e 2-e 1)=-2e 22-e 12+3e 1·e 2=23-；对于C ，e 1·(2e 2-e 1)= 2e 1·e 2-e 12=0；对于D ，e 2·(2e 2-e 1)=2e 22-e 1·e 2=23. ∴e 1⊥(2e 2-e 1).答案：C3.已知|a |=|b |=5，向量a 与b 的夹角为3π，则|a +b |、|a -b |的值分别为___________、___________. 解析：依题意得a 2=|a |2=25，b 2=|b |2=25.a ·b =|a ||b |cosθ=5×5×cos3π=225. ∴|a +b |=352525252)(222=++=∙++=+b a b a b a .同理,|a -b |=2525252)(222-+=∙-+=-b a b a b a =5. 答案：35 54.已知|a |=6，|b |=4，a 与b 的夹角为60°，则(a +2b )·(a -3b )= ___________.解：(a +2b )·(a -3b )=a ·a -a ·b -6b ·b =|a |2-a ·b -6|b |2=|a |2-|a ||b |cosθ-6|b |2=62-6×4×cos60°-6×42=-72.答案：-7210分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.关于向量a 、b ，下列命题中正确的是（）A.a -b =a +(-b )B.a -a =0C.|a -b |＞|a |-|b |D.a ∥b ⇔存在唯一的λ∈R ，使b =λa解析：向量的和与差仍是向量，因此B 是错误的，应改为a -a =0.根据向量减法的三角形法则，当非零向量a 与b 不共线时，|a -b |＞|a |-|b |；当a 与b 同向或a ，b 中有一个为0时，|a -b |=||a |-|b ||，因此C 不正确；D 是在判断两向量平行时最常见的错误，它成立的前提是a ≠0.答案：A2.向量m 和n 满足|m |=1，|n |=2，且m ⊥(m -n )，则m 与n 夹角的大小为（）A.30°B.45°C.75°D.135°解析：设m 与n 夹角为θ，则由m ⊥(m -n )，知m ·(m -n )=0，m 2-m ·n =0，∴m ·n =m 2=|m |2=1.∴cosθ=22211||||=⨯=∙n m n m .∴θ=45°. 答案：B3.已知非零向量a 、b 、c 两两夹角相等，且|a |=|b |=|c |=1，则|a +b +c |等于（）A.0B.1C.3D.0或3解析：a 、b 、c 两两夹角相等有两种情形：夹角为0°(即三个向量同向)和夹角为120°. 答案：D4.若向量a 、b 、c 满足a +b +c =0，且|a |=3，|b |=1，|c |=4，则a ·b +b ·c +c ·a =___________.解析：解法一：根据已知条件，知|c |=|a |+|b |，c =-a -b ，从而可知a 与b 同向，c 与a 、b 反向. 所以有a ·b +b ·c +c ·a =3×1×cos0°+1×4×cosπ+4×3×cosπ=3-4-12=-13.解法二：因为(a +b +c )2=a 2+b 2+c 2+2(a ·b +b ·c +c ·a )，所以a ·b +b ·c +c ·a =2)()(2222c b a c b a ++-++=2)|||||(|)(2222c b a c b a ++-++2)413(0222++-==-13. 答案：-135.已知|a |=4，|b |=5，且a ，b 夹角为60°.求值：(1)a 2-b 2；(2)(2a +3b )·(3a -2b ).解：(1)a 2-b 2=|a |2-|b |2=42-52=-9;(2)(2a +3b )·(3a -2b )=6a 2+5a ·b -6b 2=6×16+5×4×5cos60°-6×25=-4.6.在△ABC 中，若·=·=·，那么点O 是△ABC 的什么特殊点？解：如图，由·=·,得·(-)=0，·=0.∴OB ⊥CA 即OB ⊥CA.同理,OC ⊥AB. OA ⊥BC.∴O 为△ABC 的垂心.30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.以下等式中恒成立的有（）①|a ·b |=|a ||b | ②(a ·b )2=a 2·b 2 ③|a |=2a ④a 2-2b 2=(a -2b )·(a +2b )A.1个B.2个C.3个D.4个解析：对于①，|a ·b |=|a ||b ||cosθ|≤|a ||b |，仅当θ=0°或180°时或b =0或a =0时等号成立；对于②，实质上是依据乘法结合律进行的变形，对于向量的内积运算不适用；③和④均符合运算法则，故只有③④正确.答案：B2.若a +b =c ，a -b =d ，且c ⊥d ，则一定有( )A.a =bB.|a |=|b |C.a ⊥bD.|a |=|b |且a ⊥b 解析：∵c ⊥d ，∴(a +b )·(a -b )=0.∴a 2-b 2=0,即|a |=|b |，故应选B.答案：B3.(2006高考浙江卷，文2)设向量a ，b ，c 满足a +b +c =0，a ⊥b ，|a |=1，|b |=2，则|c |2等于( )A.1B.2C.4D.5解析：|c |2=|a +b |2=a 2+b 2+2a ·b =|a |2+|b |2=5.答案：D4.已知a ，b 是非零向量，满足(a -2b )⊥a ，(b -2a )⊥b ，则a 与b 的夹角是( ) A.6π B.3π C.32π D.65π 解析：由(a -2b )⊥a ，(b -2a )⊥b ，∴a ·(a -2b )=0，b ·(b -2a )=0.∴a 2=2a ·b ，b 2=2a ·b .∴2|a ||b |cosθ=|a |2=|b |2. cosθ=21||2||22=a a ，∴θ=3π. 答案：B5.在菱形ABCD(如图2-3-1)中，下列关系式不正确的是（）图2-3-1 A.AB ∥CD B.(AB +BC )⊥(BC +CD ) C.(-)·(-)=0 D.·=·解析：A 显然正确； B ：AB +BC =AC ，BC +CD =BD ，∵菱形对角线垂直，∴AC ⊥BD .∴B 正确; C ：-=，-=，同B 一样，正确. D ：·=||||cos ∠BAD ，=||||cos(π-∠BAD)=-||||cos ∠BAD=-||||.∴D 错误.答案：D6.A 、B 、C 、D 为平面上四个互异点，且满足(DB +DC -2DA )·(AB -AC )=0，则△ABC 的形状是( )A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形解析：由(+-2)·(-)=0，知［(DB -DA )+( DC -DA )］·(AB -AC )=0，(AB +AC )·(AB -AC )=0，即AB 2=AC 2. ∴||=||.答案：B7.已知：a ·b =212-，|a |=4，则b 在a 方向上的射影数量为_____________.解析：|a ||b |cos 〈a ，b 〉=212-，又|a |=4，∴|b |cos 〈a ，b 〉=23-. 答案：23-8.设O 、A 、B 、C 为平面上的四个点，OA =a ，OB =b ，OC =c ，且a +b +c =0，a ·b =b ·c =c ·a =-1，则|a |+|b |+|c |=_____________.解析：∵a ·(a +b +c )=a ·0=0，a ·a +a ·b +a ·c =0，a ·a -1-1=0，∴|a |=2.同理|b |=|c |=2，即|a |+|b |+|c |=23. 答案：239.已知|a |=4，|b |=3，a 与b 的夹角为120°，且c =a +2b ，d =2a +k b ，问当k 取何实数时，(1)c ⊥d ；(2)c ∥d ?解：设c 与d 的夹角为θ，则由已知得c ·d =(a +2b )·(2a +k b )=2a 2+(4+k)a ·b +2k b 2=2×42+(4+k)×4×3×cos120°+2k·32=8+12k ，|c |=|a +2b |=2834120cos 3444442222=⨯+︒⨯⨯⨯+=+∙+b b a a ，|d |=|2a +k b |=2222223120cos 3444444⨯+︒⨯⨯⨯+⨯=+∙+k k b k b ka a 642492+-=k k . ∴cosθ=)64249(746||||2+-+=∙k k k d c d c . (1)要使c ⊥d ，只要cosθ=0，即6k+4=0. ∴k=32-. (2)要使c ∥d ，只要cosθ=±1，即)64249(72+-k k =±(6k+4)，解得k=4.综上，当k=32-时，c ⊥d ；当k=4时，c ∥d . 10.已知a ，b 为非零向量，当a +t b (t ∈R )的模取到最小值时,(1)求t 的值；(2)已知a 与b 共线同向，求证：b ⊥(a +t b ).(1)解：令m=|a +t b |，θ为a ，b 的夹角，则m 2=|a |2+2t a ·b +t 2|b |2 =t 2|b |2+2t|a ||b |cosθ+|a |2=|b |2(t+||||b a cosθ)2+|a |2sin 2θ， ∴当t=||||b a -co sθ时，|a +t b |有最小值|a |sinθ. (2)证明：∵a 与b 共线且同向，故cosθ=1，∴t=||||b a -. ∴b ·(a +t b )=a ·b +t|b |2=|a ||b |-|a ||b |=0.∴b ⊥(a +t b ).11.设a ⊥b ，且|a |=2，|b |=1，又k ，t 是两个不同时为零的实数，(1)若x =a +(t-3)b 与y =-k a +t b 垂直，求k 关于t 的函数关系式k=f(t)；(2)求出函数k=f(t)的最小值.解：(1)∵a ⊥b ，∴a ·b =0.又x ⊥y ，∴x ·y =0，即［a +(t-3)b ］·(-k a +t b )=0.-k a 2-k(t-3)a ·b +t a ·b +t(t-3)b 2=0，∵|a |=2，|b |=1，∴-4k+t 2-3t=0，即k=41(t 2-3t). (2)由(1)知k=41(t 2-3t)=41(t-23)2-169，即函数最小值为-169.。

数学人教B版必修4同步训练：2.3.2向量数量积的运算律

2.3 平面向量的数量积2．3.1 向量数量积的物理背景与定义2．3.2 向量数量积的运算律知识点一：向量的数量积1．已知向量a 与b 满足|a |＝3，|b |＝6，〈a ，b 〉＝2π3，则a ·b 等于A ．－9B ．9C ．93D ．－9 3 2．已知非零向量m ，n 满足m·n ≥0，则m 与n 夹角θ的取值范围是 A ．[0，π2) B ．[0，π2]C ．[π2，π)D ．[π2，π]3．一物体在力F 的作用下沿水平方向由A 运动至B ，已知AB ＝103米，F 与水平方向成30°角，|F |＝5牛顿，则物体从A 运动到B 力F 所做的功W ＝__________________________________________________________________________________________. 4．给出下列命题中，①若a ＝0，则对任一向量b ，有a ·b ＝0； ②若a ≠0，则对任意一个非零向量b ，有a ·b ≠0； ③若a ≠0，a ·b ＝0，则b ＝0； ④若a ·b ＝0，则a 、b 至少有一个为0； ⑤若a ≠0，a ·b ＝a ·c ，则b ＝c ； ⑥若a ·b ＝a ·c ，且b ≠c ，当且仅当a ＝0时成立．其中真命题为________．5．(2010江西高考，文13)已知向量a ，b 满足|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则b 在a 上的投影是__________．知识点二：向量数量积的性质及运算律6．向量a ，b 、c 满足a ＋b ＋c ＝0且a ⊥b ，|a |＝1，|b |＝2，则|c |2等于 A ．1 B ．2 C ．4 D ．5 7．已知|a|＝1，|b|＝6，a·(b －a )＝2，则向量a 与b 的夹角是A.π6B.π4C.π3D.π28．设平面上有四个互异的点A 、B 、C 、D ，已知(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 是A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形9．(2010湖南高考，文6)若非零向量a ，b 满足|a |＝|b |，(2a ＋b )·b ＝0，则a 与b 的夹角为A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°10．设a ，b ，c 为任意向量，m ∈R ，下列各式中 ①(a －b )＋c ＝a －(b －c ) ②m(a ＋b )＝m a ＋m b ③(a －b )·c ＝a ·c －b ·c ④(a ·b )c ＝a (b ·c ) ⑤|a ·b |＝|a ||b |不成立的有________．11．已知|a |＝1，|b |＝2，设a 与b 的夹角为θ. (1)若θ＝π3，求|a ＋b |；(2)若a 与a －b 垂直，求θ.能力点一：有关数量积的计算问题12．已知非零向量a ，b ，若(a ＋2b )⊥(a －2b )，则|a ||b |等于A.14 B ．4 C.12D ．2 13．已知|a |＝3，|b |＝5，且a ·b ＝12，则向量a 在向量b 上的正射影的数量为 A.125 B ．3 C ．4 D ．5 14．对于任意向量x 和y ，|x ||y |与x ·y 的大小关系是 A ．|x||y|≤x·y B ．|x||y|＞x·y C ．|x||y|≥x·y D ．|x||y|＜x·y15．已知|a|＝2，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则|a－λb|的最小值为A．4 B．2 3C．2 D. 316．若|a|＝3，|b|＝5，且a＋λb与a－λb垂直，则λ＝________.17．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，求a与b夹角的取值范围．18.设平面内两个向量a与b互相垂直且|a|＝2，|b|＝1，又k与t是两个不同时为零的实数．(1)若x＝a＋(t－4)b与y＝－k a＋t b互相垂直，求k关于t的函数解析式k＝f(t)；(2)求函数k＝f(t)取最小值时的向量x、y.能力点二：数量积的应用19．一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F 1，F 2成60°角，且F 1，F 2的大小分别为2和4，则F 3的大小为A ．6B ．2C ．2 5D ．2720．(2010四川高考，理5)设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，BC →2＝16，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，则|AM →|等于A ．8B ．4C ．2D ．121．(2010天津高考，文9)如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC →＝3BD →，|AD →|＝1，则A C →·A D →等于A ．2 3 B.32 C.33D. 3 22．在边长为2的等边三角形ABC 中，设AB →＝c ，BC →＝a ，CA →＝b ，则a·b ＋b·c ＋c·a ＝________.23．在△ABC 中，设AB →＝c ，BC →＝a ，CA →＝b ，且a·b ＝b·c ＝c·a ，试判断△ABC 的形状．24．在等腰直角三角形ABC 中，∠C 是直角，CA ＝CB ，D 是CB 的中点，E 是AB 上的一点，且AE ＝2EB.求证：AD ⊥CE.答案与解析基础巩固1．A 2.B3．75 W ＝|F |·|AB →|·cos30°＝5×103×32＝75.4．①5．1 b 在a 上的投影是|b |cos60°＝2×12＝1.6．D |c |2＝c 2＝[－(a ＋b )]2＝(a ＋b )2＝|a |2＋|b |2＋2a ·b ，∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0.∴|c |2＝1＋22＝5.7．C8．B (DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝[(DB →－DA →)＋(DC →－DA →)]·(AB →－AC →)＝(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝|AB →|2－|AC →|2＝0，∴|AB →|＝|AC →|.9．C 0＝(2a ＋b )·b ＝2a ·b ＋b 2＝2|a ||b |cos 〈a ，b 〉＋|b |2，∵|a |＝|b |≠0，∴2cos 〈a ·b 〉＋1＝0，cos 〈a ，b 〉＝－12，〈a ，b 〉＝120°.10．④⑤11．解：(1)∵|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a ·b＝1＋(2)2＋2×1×2×cos π3＝3＋2，∴|a ＋b |＝3＋ 2.(2)由条件得a ·(a －b )＝0，∴a 2＝a ·b ＝|a |·|b |·cosθ. ∴cosθ＝a 2|a ||b |＝11×2＝22.∴θ＝π4.能力提升12．D 因为(a ＋2b )⊥(a －2b )，所以(a ＋2b )·(a －2b )＝0.所以a 2＝4b 2.所以|a |＝2|b |.故|a ||b |＝2.13．A 由于cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝123×5＝45， ∴|a |·cos 〈a ，b 〉＝3×45＝125.14．C15．D ∵a·(b －a )＝a·b －|a|2＝a·b －4，∴a·b ＝6.|a －λb |2＝|a |2＋λ2|b |2－2λa ·b ＝4＋36λ2－12λ＝36(λ－16)2＋3，∴当λ＝16时，|a －λb |2取最小值3.∴|a －λb |的最小值为 3.16．±35 由于(a ＋λb )·(a －λb )＝0，∴|a |2－λ2|b |2＝0. ∴λ2＝|a |2|b |2＝925.∴λ＝±35.17．解：设a 与b 的夹角为θ，根据题意得Δ≥0，即|a |2－4a ·b ≥0，即|a |2－4|a ||b |·cosθ≥0， ∴|a |2－4|a |×12|a |·cosθ≥0.∴cosθ≤12.∴θ∈[π3，π]．18．解：(1)∵a ⊥b ，∴a·b ＝0.又x ⊥y ，∴x·y ＝0，即[a ＋(t －3)b ]·(－k a ＋t b )＝0. －k a 2－k(t －3)a·b ＋t a ·b ＋t(t －3)b 2＝0. ∵|a |＝2，|b |＝1， ∴－4k ＋t 2－3t ＝0，即k ＝14(t 2－3t)．(2)由(1)知，k ＝14(t 2－3t)＝14(t －32)2－916，即函数最小值为－916，此时t ＝32，∴x ＝a －52b ，y ＝916a ＋32b .19．D 由已知得F 1＋F 2＋F 3＝0，∴F 3＝－(F 1＋F 2)．F 23＝(F 1＋F 2)2＝F 21＋F 22＋2|F 1||F 2|cos60°＝28.∴|F 3|＝27.20．C 因为|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，平方得AB →·AC →＝0，即AB →⊥AC →，又BC →2＝16，所以|BC →|＝4. 所以|AM →|＝12|BC →|＝2.21．D 设|BD →|＝x ，则|BC →|＝3x ，AC →·AD →＝(AB →＋BC →)·AD →＝BC →·AD →＝|BC →|·|AD →|·cos ∠ADB ＝3x ×1×1x ＝ 3.22．－323．解：∵a·b ＝b·c ， ∴b·(a －c )＝0.又b ＝－(a ＋c )，则有－(a ＋c )·(a －c )＝0，即c 2－a 2＝0，也即|c|＝|a|. 同理|b|＝|a|，故|a|＝|b|＝|c|. 所以△ABC 为正三角形．拓展探究24．证明：方法一：AD →·CE →＝(AC →＋CD →)·(CA →＋AE →) ＝AC →·CA →＋AC →·AE →＋CD →·CA →＋CD →·AE → ＝－AC 2→＋AC →·(23AB →)＋0＋12CB →·23AB →＝－|AC →|2＋23|AC →||AB →|cos45°＋13|CB →||AB →|cos45°＝－|AC →|2＋23·|AC →|·2|AC →|·22＋13·|AC →|·2|AC →|·22＝－|AC →|2＋23|AC →|2＋13|AC →|2＝0.∴AD →⊥CE →，即AD ⊥CE. 方法二：设CA →＝a ，CB →＝b . 由题设得|a |＝|b |，a ·b ＝0. ∵D 为CB 的中点， ∴AD →＝12b －a .∵AE ＝2EB ，∴AE →＝23AB →＝23(b －a )＝23b －23a .∴CE →＝CA →＋AE →＝a ＋23b －23a ＝13a ＋23b .∴AD →·CE →＝(12b －a )(13a ＋23b )＝16a ·b －23a ·b ＋13b 2－13a 2 ＝13(|b |2－|a |2)＝0. ∴AD →⊥CE →，即AD ⊥CE.。

高一数学人教b版必修4精练：2.3.2_向量数量积的运算律_含解析

第二章 2.3 2.3.2一、选择题1．若|a|＝3，|b|＝3，且a 与b 的夹角为π6，则|a ＋b|＝( )A ．3B ． 3C ．21D ．21[答案] D[解析] ∵|a|＝3，|b|＝3，a 与b 的夹角为π6，∴|a ＋b|2＝a 2＋2a·b ＋b 2 ＝9＋2×3×3×cos π6＋3＝9＋2×3×3×32＋3＝21， ∴|a ＋b|＝21.2．(2015·山东临沂高一期末测试)若向量a 、b 满足|a |＝|b |＝1，且a ·(a －b )＝12，则向量a 与b 的夹角为( )A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6[答案] B[解析] 设向量a 与b 的夹角为θ， ∵a ·(a －b )＝a 2－a ·b ＝12，∴1－1×1×cos θ＝12，∴cos θ＝12，∵0≤θ≤π，∴θ＝π3.3．设a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝0，且a ⊥b ，|a|＝1，|b|＝2，则|c |2等于( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．5[答案] D[解析] ∵a ＋b ＋c ＝0，∴c ＝－a －b ，∴c 2＝|c |2＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝1＋4＝5，故选D ．4．已知两个非零向量a 、b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则下面结论正确的是( ) A ．a ∥b B ．a ⊥b C ．|a |＝|b | D ．a ＋b ＝a －b[答案] B[解析] 本题考查向量的运算．由题意知|a ＋b |＝|a －b |，∴|a ＋b |2＝|a －b |2，即a 2＋2a ·b ＋b 2＝a 2－2a ·b －b 2， ∴a ·b ＝0，∴a ⊥b .注意：|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2. 5．下列各式中正确命题的个数为( ) ①(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )，(λ∈R )； ②|a ·b |＝|a |·|b |； ③(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ； ④(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[答案] B[解析] ①、③正确，②、④错误．6．(2015·重庆理，6)若非零向量a 、b 满足|a|＝223|b|，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( )A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π[答案] A[解析] 设a 与b 的夹角为θ，根据题意可知，(a －b )⊥(3a ＋2b )，得(a －b )·(3a ＋2b )＝0，所以3|a|2－a·b －2|b|2＝0,3|a|2－|a|·|b|cos θ－2|b|2＝0，再由|a|＝223|b|得83|b|2－223|b|2cos θ－2|b|2＝0，∴cos θ＝22，又∵0≤θ≤π，∴θ＝π4.二、填空题7．设a 、b 、c 是单位向量，且a －b ＝c ，则向量a 与b 的夹角等于________． [答案] π3[解析] ∵a 、b 、c 是单位向量， ∴|a |＝|b |＝|c |＝1.∵a －b ＝c ，∴|a －b |＝|c |＝1， ∴|a －b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1.∴1－2×1×1×cos 〈a ，b 〉＋1＝1， ∴cos 〈a ，b 〉＝12.又∵0≤〈a ，b 〉≤π， ∴〈a ，b 〉＝π38．已知两个单位向量e 1、e 2的夹角为120°，且向量a ＝e 1＋2e 2，b ＝4e 1，则a·b ＝________. [答案] 0[解析] ∵|e 1|＝|e 2|＝1，向量e 1与e 2的夹角为120°，∴a·b ＝(e 1＋2e 2)·(4e 1)＝4e 21＋8e 1·e 2 ＝4＋8×1×1×cos120°＝4＋8×1×1×(－12)＝0.三、解答题9．已知|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，c ＝2a －3b ，d ＝m a ＋b ，若c ⊥d ，求实数m 的值． [解析] a ·b ＝|a ||b |cos60°＝1.因为c ⊥d ，所以c ·d ＝0，即(2a －3b )·(m a ＋b )＝2m a 2＋(2－3m )a ·b －3b 2＝2m －12＋2－3m ＝0，解得m ＝－10.10．已知a 、b 满足|a |＝3，|b |＝2，|a ＋b |＝13，求a ＋b 与a －b 的夹角θ的余弦值． [解析] 由已知|a |＝3，|b |＝2，|a ＋b |＝13， ∴(a ＋b )2＝13.即a 2＋2a ·b ＋b 2＝13， ∴2a ·b ＝6.∴(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝(a ＋b )2－4a ·b ＝1. 即|a －b |＝1，故cos θ＝(a ＋b )·(a －b )|a ＋b ||a －b |＝－1313.一、选择题1．若O 为△ABC 所在平面内一点，且满足(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，则△ABC 的形状为( ) A ．正三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．以上都不对[答案] C[解析] 由(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0 得CB →·(AB →＋AC →)＝0又∵CB →＝AB →－AC →，∴(AB →－AC →)·(AB →＋AC →)＝0 即|AB →|2－|AC →|2＝0∴|AB →|＝|AC →|，∴△ABC 为等腰三角形．2．(2014·全国大纲理，4)若向量a 、b 满足：|a |＝1，(a ＋b )⊥a ，(2a ＋b )⊥b ，则|b |＝( ) A ．2 B ． 2 C ．1 D ．22[答案] B[解析] 本题考查了平面向量的数量积的运算，由已知(2a ＋b )·b ＝0，即2a ·b ＋b ·b ＝0，(a ＋b )·a ＝0，所以|a |2＋a ·b ＝0,2a ·b ＋|b |2＝0，又|a |＝1所以|b |＝ 2.3．(2015·陕西理，7)对任意向量a 、b ，下列关系式中不恒成立．．．．的是( ) A ．|a·b|≤|a||b | B ．|a －b|≤||a|－|b|| C ．(a ＋b )2＝|a ＋b |2 D ．(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2[答案] B[解析] A 项，|a·b|＝|||a||b|cos α(α为a 、b 夹角)，因为cos α≤1，所以|a·b|＝|||a||b|cos α≤|a||b|，故A 项不符合题意；B 项，两边平方得a 2＋b 2－2a·b ≤a 2＋b 2－2|a||b|，即|a||b|≤a·b ＝|a||b|cos α(α为a 、b 夹角)，当α不为0时，此式不成立，应该为|a||b|≥a·b ，故B 项符合题意；C 项，由向量的运算性质可知，(a ＋b )2＝|a ＋b |2恒成立，故C 项不符合题意；D 项，由向量的数量积运算可知，(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2恒成立，故D 项不符合题意．故选B ．4．已知|a |＝|b |＝1，a ⊥b ，(2a ＋3b )⊥(k a －4b )，则k 等于( ) A ．－6 B ．6 C ．3 D ．－3[答案] B[解析] (2a ＋3b )·(k a －4b )＝0，2k |a |2－8a ·b ＋3k a ·b －12|b |2＝0.∵|a |＝|b |＝1，a ·b ＝0，∴2k －12＝0，k ＝6. 二、填空题5．已知向量a 、b 的夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________. [答案] 3 2 [解析] ∵|2a －b |＝4a 2＋b 2－4a ·b ＝10，|a |＝1，∴4＋b 2－4×1×|b |·cos45°＝10. 即|b |2－22|b |－6＝0.∴|b |＝32，或|b |＝－2(舍去)．6．关于平面向量a 、b 、c ，有下列三个命题： ①若a·b ＝a·c ，则b ＝c .②若a ＝(1，k )，b ＝(－2,6)，a ∥b ，则k ＝－3.③非零向量a 和b 满足|a |＝|b |＝|a －b |，则a 与a ＋b 的夹角为60°. 其中真命题的序号为________．(写出所有真命题的序号) [答案] ②[解析] ①a ·b ＝a ·c 时，a ·(b －c )＝0， ∴a ⊥(b －c )不一定有b ＝c ，∴①错．②a ＝(1，k )，b ＝(－2,6)，由a ∥b 知，1×6－(－2k )＝0，∴k ＝－3，故②对．也可以由a ∥b ，∴存在实数λ，使a ＝λb ，即(1，k )＝λ(－2,6)＝(－2λ，6λ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2λ＝16λ＝k，∴k ＝－3. ③非零向量a 、b 满足|a |＝|b |＝|a －b |，则三向量a 、b 、a －b 构成正三角形如图．由向量加法的平行四边形法则知，a ＋b 平分∠BAC ， ∴a ＋b 与a 夹角为30°，③错．三、解答题7．已知|a|＝3，|b|＝2，a 与b 的夹角为60°，c ＝a ＋2b ，d ＝m a －6b (m ∈R )．若c ∥d ，求|c ＋d|. [解析] ∵c ∥d ，∴存在惟一实数λ使得c ＝λd ，即a ＋2b ＝λ(m a －6b )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧λm ＝1－6λ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－13m ＝－3. ∴d ＝－3a －6b ，∴c ＋d ＝－2a －4b ，∴|c ＋d|2＝|－2a －4b|2＝|2a ＋4b|2＝4a 2＋16a·b ＋16b 2＝4×9＋16×3×2×cos60°＋16×4＝148， ∴|c ＋d |＝237. 8．已知|a |＝1，|b |＝ 2. (1)若a ∥b ，求a ·b ；(2)若a 、b 的夹角为60°，求|a ＋b |； (3)若a －b 与a 垂直，求a 与b 的夹角．[解析] (1)当<a ，b >＝0°时，a ·b ＝2，当<a ，b >＝180°时，a ·b ＝－ 2. (2)|a ＋b |2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝3＋2，|a ＋b |＝3＋ 2.(3)由(a －b )·a ＝0得a 2＝a ·b ， cos<a ，b >＝a ·b |a ||b |＝22，<a ，b >＝45°.9．(2015·山东潍坊高一期末测试)已知向量|a |＝1，|b |＝2. (1)若a 与b 的夹角为π3，求|a ＋2b |；(2)若(2a －b )·(3a ＋b )＝3，求a 与b 的夹角． [解析] (1)|a ＋2b |2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2 ＝1＋4×1×2×cos π3＋4×4＝1＋4＋16＝21， ∴|a ＋2b |＝21.(2)∵(2a －b )·(3a ＋b )＝3， ∴6a 2－3a ·b ＋2a ·b －b 2＝3， ∴6a 2－a ·b －b 2＝3，∴6－1×2×cos 〈a ，b 〉－4＝3， ∴cos 〈a ，b 〉＝－12.∵0≤〈a ，b 〉≤π， ∴〈a ，b 〉＝2π3.。

数学人教b版高一必修4：2.3平面向量的数量积(1-2课时)作业含解析

双基达标 (限时20分钟) 1．若a ·b <0，则a 与b 的夹角θ的取值范围是 ( )．A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π2，π C.⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π 解析 ∵a ·b ＝|a ||b |cos θ<0，∴cos θ<0，又θ∈[0，π]，∴θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π. 答案 C2．已知|a |＝|b |＝2，a ·b ＝2，则|a －b |＝( )． A ．1 B. 3 C ．2 D.3或2 解析 |a －b |＝|a －b |2＝(a －b )2 ＝a 2－2a ·b ＋b 2＝22－2×2＋22＝4＝2.答案 C3．已知|a |＝3，|b |＝2，〈a ，b 〉＝60°，如果(3a ＋5b )⊥(m a －b )，则m 的值为( )． A.3223B.2342C.2942D.4223解析 (3a ＋5b )·(m a －b )＝0，即3m a 2＋(5m －3)a ·b －5b 2＝0⇒3m ·32＋(5m －3)·3×2cos 60°－5×22＝0，解之得m ＝2942. 答案 C4．已知|a |＝3，|b |＝4，则(a ＋b )·(a －b )＝________.解析 (a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝|a |2－|b |2＝32－42＝－7.答案－75．已知|a |＝4，a 与b 的夹角为30 °，则a 在b 方向上的投影为________．解析a在b方向上的投影为|a|cos 30°＝4×32＝2 3.答案2 36．已知|a|＝4，|b|＝3，当(1)a∥b；(2)a⊥b时，求a·b.解(1)当a∥b时，若a与b同向，则θ＝0°，∴a·b＝|a||b|cos 0°＝4×3×1＝12；若a与b反向，则θ＝180°，∴a·b＝|a||b|cos 180°＝4×3×(－1)＝－12.(2)当a⊥b时，θ＝90°，∴a·b＝|a||b|cos 90°＝4×3×0＝0.综合提高(限时25分钟)7．若|a|＝4，|b|＝3，a·b＝－6，则a与b夹角为()．A．150°B．120°C．60°D．30°解析∵a·b＝|a||b|cos θ，∴cos θ＝a·b|a||b|＝－64×3＝－12，又θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°. 答案 B8．若向量a与b的夹角为π3，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则向量a的模为()．A．2 B．4C．6 D．12解析由题意知a·b＝|a||b|cos π3＝12|a||b|＝2|a|，(a＋2b)·(a－3b)＝a2－a·b－6b2＝|a|2－2|a|－6×42＝－72，∴|a|＝6.答案 C9．已知a＋b＝2i－8j，a－b＝－8i＋16j，i，j为相互垂直的单位向量，那么a·b＝________.解析将两已知等式相加得，2a＝－6i＋8j，所以a＝－3i＋4j.同理将两已知等式相减得，b＝5i－12j，而i，j是两个互相垂直的单位向量，所以a·b＝(－3i＋4j)·(5i－12j)＝－3×5＋4×(－12)＝－63.答案－6310．若向量|a |＝1，|b |＝2，|a －b |＝2，则|a ＋b |＝________.解析 ∵|a |＝1，|b |＝2，|a －b |＝2，∴a 2－2a ·b ＋b 2＝4，即|a |2－2a ·b ＋|b |2＝4，得1－2a ·b ＋4＝4，∴2a ·b ＝1.于是|a ＋b |＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋1＋4＝ 6.答案 6 11．在△ABC 中，AB ＝8，BC ＝7，∠ABC ＝150°，求AC 的长．解由题意知，AB →与BC →的夹角为30°.又AC →＝AB →＋BC →，∴|AC →|＝|AB →＋BC →|＝ AB →2＋2AB →·BC →＋BC →2 ＝82＋72＋2×8×7×cos 30° ＝113＋563，即AC 的长为 113＋56 3.12．(创新拓展)设向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝1，且a 与b 具有关系|k a ＋b |＝3|a －k b |(k >0)．(1)a 与b 能垂直吗？(2)若a 与b 夹角为60°，求k 的值．解 (1)∵|k a ＋b |＝3|a －k b |，∴(k a ＋b )2＝3(a －k b )2，且|a |＝|b |＝1.即k 2＋1＋2k a ·b ＝3(1＋k 2－2k a ·b )，∴a ·b ＝k 2＋14k .∵k 2＋1≠0，∴a ·b ≠0，即a 与b 不垂直．(2)∵a 与b 夹角为60°，且|a |＝|b |＝1，∴a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝12.∴k 2＋14k ＝12.∴k ＝1.。

2015-2016学年高一数学人教B版必修4精练：2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式 Word版含解析

第二章 2.3 2.3.3一、选择题1．已知a ＝(－2，－3)、b ＝(32，－1)，则向量a 与b 的夹角为( )A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2[答案] D[解析] 由a ·b ＝－2×32＋(－3)×(－1)＝0，∴a ⊥b .2．(2015·河南南阳高一期末测试)设向量a ＝(2,0)、b ＝(1,1)，则下列结论中正确的是( )A ．|a |＝|b |B ．a ·b ＝12C ．(a －b )⊥bD ．a ∥b[答案] C[解析] |a |＝2，b ＝2，∴|a |≠|b |； a ·b ＝2×1＋0×1＝2；a －b ＝(1，－1)，(a －b )·b ＝1×1＋(－1)×1＝0， ∴(a －b )⊥b ，故选C ．3．已知A 、B 、C 是坐标平面上的三点，其坐标分别为A (1,2)、B (4,1)、C (0，－1)，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．以上均不正确[答案] C[解析] AB →＝(3，－1)，AC →＝(－1，－3)， AB →·AC →＝3×(－1)＋(－1)×(－3)＝0，且|AB →|＝|AC →|＝10.∴△ABC 为等腰直角三角形．4．已知a ＝(－3,2)、b ＝(－1,0)，向量λa ＋b 与a －2b 垂直，则实数λ的值为( ) A ．－17B ．17C ．－16D ．16[答案] A[解析] ∵a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)， ∴λa ＋b ＝(－3λ－1,2λ)a －2b ＝(－3,2)－2(－1,0)＝(－1,2)，由(λa ＋b )⊥(a －2b )，得4λ＋3λ＋1＝0，∴λ＝－17.5．(2015·新课标Ⅱ，4)向量a ＝(1，－1)、b ＝(－1,2)，则(2a ＋b )·a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2[答案] C[解析] 由题意可得a 2＝2，a ·b ＝－3，所以(2a ＋b )·a ＝2a 2＋a·b ＝4－3＝1.故选C ． 6．(2014·重庆理，4)已知向量a ＝(k,3)、b ＝(1,4)、c ＝(2,1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k ＝( )A ．－92B ．0C ．3D ．152[答案] C[解析] 本题考查了平面向量的坐标运算与向量的垂直，因为2a －3b ＝(2k －3，－6)，又因为(2a －3b )⊥c ，所以，(2a －3b )·c ＝0，即(2k －3，－6)·(2,1)＝0，∴4k －6－6＝0，解得k ＝3，本题根据条件也可以转化为2a ·c －3b ·c ＝0化简求解．二、填空题7．(2015·广州高一期末测试)已知向量a ＝(1,2)、b ＝(x,2)，且a ⊥b ，则实数x 的值为________．[答案] －4[解析] ∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0， ∴x ＋4＝0，∴x ＝－4.8．已知向量a ＝(－4,3)、b ＝(－3,4)，b 在a 方向上的投影是________． [答案]245[解析] b 在a 方向上的投影为|b |cos 〈b ，a 〉＝a ·b |a |＝(－4)×(－3)＋3×45＝245.三、解答题9．(2015·河南新乡高一期末测试)已知向量a ＝(1,0)、b ＝(1,2)、c ＝(0,1)． (1)求实数λ和μ，使c ＝λa ＋μb ；(2)若AB →＝－a ＋3c ，AC →＝4a －2c ，求向量AB →与AC →的夹角θ. [解析] (1)c ＝λa ＋μb ＝(λ＋μ，2μ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ＝02μ＝1，∴⎩⎨⎧λ＝－12μ＝12.(2)AB →＝(－1,3)，AC →＝(4，－2)， ∴cos θ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝－4－610×20＝－22.又∵0≤θ≤π，∴θ＝3π4.10. (2015·广东理，16)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫22，－22、n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. (1)若m ⊥n ，求tan x 的值； (2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．[解析] (1)解法一：∵m ⊥n ，∴m ·n ＝0，即22sin x －22cos x ＝0，∴tan x ＝1. 解法二：∵m ＝⎝⎛⎭⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，且m ⊥n ， m ·n ＝⎝⎛⎭⎫22，－22·(sin x ，cos x ) ＝22sin x －22cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4，又x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴x －π4∈⎝⎛⎭⎫－π4，π4， ∴x －π4＝0，即x ＝π4，∴tan x ＝tan π4＝1.(2)由题意知cos π3＝m ·n |m |·|n |＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4⎝⎛⎭⎫222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－222·sin 2x ＋cos 2x＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4， ∴sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝12，又x －π4∈⎝⎛⎭⎫－π4，π4， ∴x －π4＝π6，即x ＝5π12.一、选择题1．(2014·山东文，7)已知向量a ＝(1，3)、b ＝(3，m )，若向量a 、b 的夹角为π6，则实数m ＝( )A ．2 3B ． 3C ．0D ．－ 3[答案] B[解析] 本题考查向量的坐标运算及数量积． a ·b ＝3＋3m ＝|a |·|b |·cos π6＝2×9＋m 2×32.解得，m ＝ 3. 2．(2015·福建文，7)设a ＝(1,2)、b ＝(1,1)，c ＝a ＋k b ，若b ⊥c ，则实数k 的值等于( ) A ．－32B ．－53C ．53D ．32[答案] A[解析] 由已知得c ＝(1,2)＋k (1,1)＝(k ＋1，k ＋2)，因为b ⊥c ，则b·c ＝0，因此k ＋1＋k ＋2＝0，解得k ＝－32，故选A ．3．若向量a ＝(1,2)、b ＝(1，－1)，则2a ＋b 与a －b 的夹角等于( ) A ．－π4B ．π6C ．π4D ．3π4[答案] C[解析] 本题考查了向量的坐标运算．∵a ＝(1,2)，b ＝(1，－1)，则2a ＋b ＝(3,3)，a －b ＝(0,3)，则cos<2a ＋b ，a －b >＝3×0＋932·3＝22，∴2a ＋b ，a －b ＝π4. 4．已知a ＝(2,4)，则与a 垂直的单位向量的坐标是( ) A ．⎝⎛⎭⎫55，－255或⎝⎛⎭⎫－55，－255B ．⎝⎛⎭⎫55，－255或⎝⎛⎭⎫－55，255 C ．⎝⎛⎭⎫255，－55或⎝⎛⎭⎫－255，－55 D ．⎝⎛⎭⎫－255，55或⎝⎛⎭⎫255，－55 [答案] D[解析] 设与a 垂直的单位向量的坐标是(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝12x ＋4y ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－255y ＝55，或⎩⎨⎧x ＝255y ＝－55.二、填空题5．(2014·湖北理，11)设向量a ＝(3,3)、b ＝(1，－1)，若(a ＋λb )⊥(a －λb )，则实数λ＝________.[答案] ±3[解析] 因为a ＋λb ＝(3＋λ，3－λ)，a －λb ＝(3－λ，3＋λ)，又(a ＋λb )⊥(a －λb )，所以(a ＋λb )·(a －λb )＝(3＋λ)(3－λ)＋(3－λ)(3＋λ)＝0，解得λ＝±3.6．(2014·四川文，14)平面向量a ＝(1,2)、b ＝(4,2)、c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝________.[答案] 2[解析] 本题考查了平面向量的坐标运算、数量积等基础知识c ＝m a ＋b ＝(m ＋4,2m ＋2)，由题意有：a·c |a||c |＝b·c|b||c|即：a·c |a|＝b·c|b|，代入得：m ＋4＋4m ＋45＝4m ＋16＋4m ＋420，解得m ＝2. 三、解答题7．(2015·山东临沂高一期末测试)在平面直角坐标系xOy 中，点A (－1，－2)、B (2,3)、C (－2，－1)．(1)求AB →·AC →；(2)若实数t 满足(AB →－tOC →)·OB →＝0，求t 的值． [解析] (1)AB →＝(3,5)，AC →＝(－1,1)， ∴AB →·AC →＝3×(－1)＋5×1＝2.(2)∵OB →＝(2,3)，OC →＝(－2，－1)， ∴AB →－tOC →＝(3＋2t,5＋t )．又∵(AB →－tOC →)·OB →＝0， ∴2×(3＋2t )＋3×(5＋t )＝0， ∴t ＝－3.8．已知a ＝(3,4)、b ＝(4,3)，求x 、y 的值使(x a ＋y b )⊥a ，且|x a ＋y b |＝1. [解析] ∵a ＝(3,4)，b ＝(4,3)，∴x a ＋y b ＝(3x ＋4y,4x ＋3y )．又(x a ＋y b )⊥a ，∴(x a ＋y b )·a ＝0， ∴3(3x ＋4y )＋4(4x ＋3y )＝0，即25x ＋24y ＝0，①又|x a ＋y b |＝1，∴|x a ＋y b |2＝1， ∴(3x ＋4y )2＋(4x ＋3y )2＝1. 整理得25x 2＋48xy ＋25y 2＝1，即x (25x ＋24y )＋24xy ＋25y 2＝1.② 由①②有24xy ＋25y 2＝1，③ 将①变形代入③可得y ＝±57.当y ＝57时，x ＝－2435，当y ＝－57时，x ＝2435.所以⎩⎨⎧x ＝2435y ＝－57或⎩⎨⎧x ＝－2435y ＝57.9. 设a ＝(4，－3)、b ＝(2,1)，若a ＋t b 与b 的夹角为45°，求实数t 的值． [解析] a ＋t b ＝(4，－3)＋t (2,1)＝(4＋2t ，t －3)， (a ＋t b )·b ＝(4＋2t ，t －3)·(2,1)＝5t ＋5， |a ＋t b |＝(4＋2t )2＋(t －3)2＝5(t ＋1)2＋20，由(a ＋t b )·b ＝|a ＋t b ||b |cos45°，得5t ＋5＝522(t ＋1)2＋4，即t 2＋2t －3＝0，解得t ＝－3或t ＝1.经检验知t ＝－3不符合题意，舍去．所以t ＝1.。

高一数学人教版必修4精练232 向量数量积的运算律含解析

2.3.2第二章2.3一、选择题π)＝(＝3，且a与b的夹角为，则|a＋b|1．若|a|＝3，|b|63 ．3 BA．21C．21 ．DD][答案π∵b的夹角为，＝3，a[解析]|a|＝3，|b|与6222 b＋2a·b∴|a＋b|＋＝aπ3cos3＋×3×＝9＋2×63 ＝＋×3219＝＋2×3，×3221.∴|a＋＝b|1的夹角为ba)＝，则向量与(＝1，且a·a－b|a2．(2015·山东临沂高一期末测试)若向量、b满足|a|＝b|2)(ππB．A．365π2πD．C．63B答案[]的夹角为θ，设向量[解析]a与b12－a·b＝，)∵a·(a－b＝a21 θ＝，×－∴11×1cos21 ≤＝∴cosθ，∵0θ≤π，2π.＝∴θ32⊥) 10bca3．设、b、满足a＋＋c＝，且ab，|a|＝，|b|＝|c|等于(2，则2 B．1 A．5 C．．D4D][答案＝－ba－，c0cba解析[]∵＋＋＝，∴22222．D，故选5＝4＋1＝|b|＋b·a2＋|a|＝)b＋a(＝|c|＝c∴．) ，则下面结论正确的是(＋b|＝|a－b|4．已知两个非零向量a、b满足|a B．a⊥b A．a∥bb－a＝b＋C．|a|＝|b| a．DB[答案]本题考查向量的运算．][解析222222 2a·ba－b|，∴|a＋b|b＝|a－|－，即ab＋2a·b＋b，＝a－|由题意知|a＋b|＝.0·b＝，∴a⊥b∴a2222. ba·注意：|a＋b|＋＝(ab)b＝a＋＋2) 5．下列各式中正确命题的个数为(；∈R)·①(λa)·b＝λ(ab)＝a·(λb)，(λb|；②|a·b|＝|a|·| c；③(a＋b)·c＝a·c＋b·)④(a·b)·c＝a·(b·c．2 A．1 ．B4 ．DC．3B[答案]]①、③正确，②、④错误．[解析22⊥)2b＋)，则a与b的夹角为(b6．(2015·重庆理，6)若非零向量a、满足|a|a＝|b|，且(－b)(3a3ππB．A．243ππ．C．D4A[答案]2⊥b所以3|a|－a·0＋(2b＋)，得a－b)·(3a2b)＝，aθa解析[]设与b的夹角为，根据题意可知，(－b)(3a222228222222，又∵cos θ＝θcos －2|b|＝02|b|－2|b|0,3|a|＝|b|－|a|·cos θ－，再由＝0|a||b|＝得|b|，∴－|b|2333π.θ≤≤θπ，∴＝0 4 二、填空题abca7．设、b、是单位向量，且a－＝c，则向量与b的夹角等于．________π[答案] 3 cba解析[]∵、、是单位向量，1.c|＝||||∴a＝b|＝||＝c＝，1|－|cba∵－＝，∴ab2221.∴b＋·2a|－|ab＝－ab＝，1＝1〉＋b，a〈cos×1×1×2－1∴．1.〉＝，b∴cos〈a 2 ，≤π又∵0≤〈a，b〉π〉＝，b∴〈a3________. ＝a·be＋2e，b ＝4e，则8．已知两个单位向量e、e的夹角为120°，且向量a＝111220答案][ 120°，|＝1，向量e与e的夹角为[解析]∵|e|＝|e21122∴·＋4e)＝4e8ee＋a·b＝(e2e)·(11112210.＝1×1×(－)＝＝4＋8×1×1×cos120°4＋8× 2 三、解答题的值．，若c⊥d，求实数m＝2a－3b，d＝m a＋b与9．已知|a|＝1，|b|＝2，ab的夹角为60°，c1.|a||b|cos60°＝·[解析]ab＝22m3m＝0b，解得＝2m－12＋2－)b)·(m a＋b＝2m a3＋(2－3m)a·b －3·因为c⊥d，所以cd＝0，即(2a－10.＝－的余弦值．－b的夹角θ|＋＝13，求ab与aa、b满足|a||＝3，b|＝2，|a＋b10．已知13|＋b，＝|b|＝2，|a[解析]由已知||a＝3，222 13＋b，即a＝＋2a·∴(a＋b)b＝13.6.b＝∴2a·22221. ＝a4·a＋b)b＝a2－a·b＋b－＝(－∴(ab) ，|＝1即|a－b?b?a－?a＋b?·13. ＝－cosθ＝故13|－ba＋b||a|一、选择题→→→→→1．若O为△ABC所在平面内一点，且满足(OB－OC)·(OB＋OC－2OA)＝0，则△ABC的形状为()A．正三角形B．直角三角形．以上都不对DC．等腰三角形C[答案]→→→→→0 OA)＝＋由(OB－OC)·(OBOC－2[解析]→→→0＝＋得CB·(ABAC)→→→→→→→0 AC)＝(AB－又∵CB＝ABAC，∴(－AC)·AB＋→→220 ＝AC－||||即AB→→为等腰三角形．ABC，∴△|AC|＝|AB|∴．) ＝(b，则|b|)b满足：|a|＝1，(a＋b)⊥a，(2a＋b⊥2．(2014·全国大纲理，4)若向量a、2 B2 ．A．2 ．1 D．C2B[答案]，2a·b＋b·b＝0，(a＋b)·a＝0＋[解析]本题考查了平面向量的数量积的运算，由已知(2ab)·b＝0，即222.|b＝＝1所以||b|，又＝0|a|所以|a|＋a·b＝0,2a·b＋) 3．(2015·(、b，下列关系式中不恒成立的是陕西理，7)对任意向量a．．．．≤≤| |b|－|．a|a·b|b||a||b| －||a|BA．2222 C．(a＋b)b＝|a＋|b －a＝)b－a(·)b＋a(．DB答案][||||αcos |a||b||a||b|cos α项Aa||b|≤b|[解析]A项，|a·＝|，故＝cos α(为a、b夹角)，因为α≤1，所以|a·b|2222≤≤，当)a、不符合题意；B项，两边平方得a＋bb－2a·ba夹角＋b|a||b|－2|a||b|，即(a·b＝|a||b|cos αα为2≥)baα不为0时，此式不成立，应该为|a||b|a·b，故B项符合题意；C项，由向量的运算性质可知，(＋|a＝222D－ba－(ab)＝恒成立，故b＋|(恒成立，故C 项不符合题意；D项，由向量的数量积运算可知，a＋b)·项不符合题意．故选B．) (等于a)3b ⊥(k－4b)，则ka＝＝．已知4|a||b|1，a⊥b，(2＋6 ．BA．－63．－3 DC．B[答案] 0，b3[解析](2a＋b)·(ka－4)＝220.12|b－b|＝a|b－8a·＋3k·|2ka6. 0k，∴2－12＝，k＝＝，ba∵||＝||＝1a·b0 二、填空题________. ＝|b，a的夹角为．已知向量5a、b45°，且||＝1|2a－10|＝，则|b2答案[]322 |a|1，＝，ab|＝4a＋b－4·b＝10a∵][解析|2－210. |·1＋∴4b－4××|bcos45°＝20.6|2|－2b－b即||＝．＝－|||∴b＝32，或b|2(舍去) cba．关于平面向量、、，有下列三个命题：6. bca·①若b＝a·，则＝c3.(b)，＝②若a(1k，＝－＝－kba2,6)，∥，则. aa，则|－a||b||a|b和a③非零向量满足＝＝b与60°的夹角为b＋) (．其中真命题的序号为________写出所有真命题的序号②]答案[，a·(b－c)＝0[解析]①a·b＝a·c时，，∴①错．b－c)不一定有b＝c∴a⊥( )＝0，∴k＝－3，故②对．2,6)＝(－，由a∥b知，1×6－(－2k②a＝(1，k)，b，∴存在实数λ，使a＝λb，也可以由a∥b 2λ，6λ)，即(1，k)＝λ(－2,6)＝(－1λ＝－2??3. ＝－∴，∴k?k＝6λ??b构成正三角形如图．、a－a＝|b|＝|a－b|，则三向量、bb③非零向量a、满足|a|BAC，＋b平分∠由向量加法的平行四边形法则知，a 30°，③错．与a夹角为∴a＋b三、解答题∥. |c＋．若－6b(m∈R)cd|d，求＝．已知7|a|＝3，|b|＝2，a与b的夹角为60°，ca＋2b，d＝m a∥λd]∵c，d，∴存在惟一实数λ使得c＝[解析)，(a＋2b＝λm a－6b即1??1＝λm＝－λ??3?.，解得∴?2＝－6λ????3＝－m∴，，c＋d＝－2a－4b∴d＝－3a－6b22222∴＋b4a16b|c＋d|－＝|2a－4b|＋＝|2a＋4b|16a·＝148，16×4＝＋＝4×9＋16×3×2×cos60°37. ＝2c＋d|∴|2. 1，|b|＝8．已知|a|＝b，求a·b；(1)若a∥a＋b|；的夹角为(2)若a、b60°，求| 的夹角．a与ba(3)若a－b与垂直，求2. ＝－·b><a，b＝180°时，ab解析[](1)当<a，>＝0°时，a·b＝2，当2222. ＋＝3，|a＋b·＋2ab＋|b|3＝|＋2＋(2)|ab|＝|a|2，·ab＝a0由(3)(a－b)·a＝得2·ba. 45°b>＝，b>＝＝，<a，cos<a2|||b|a9．(2015·山东潍坊高一期末测试)已知向量|a|＝1，|b|＝2.π(1)若a与b的夹角为，求|a＋2b|；3．的夹角．a与bb)＝3，求a(2)若(2a－b)·(3＋222 4b4a·a＋2b|b＝a＋＋(1)|[解析]π44×＋×2×cos＝1＋4×1 3 21，4＋16＝＝1＋＝|21.＋2b|∴a(2)∵(2a－b)·(3a＋b)＝3，22＝3，a·b－b∴6a·－3ab＋222＝3，b－ba∴6 －a·∴6－1×2×cos〈a，b〉－4＝3，1∴cos〈a，b〉＝－.2∵0≤〈a，b〉≤π，2π∴〈a，b〉＝.3。

高中人教B版数学必修四同步过关提升特训：2.3.2向量数量积的运算律含解析

向量数目积的运算律课时过关 ·能力提高1.已知两个非零向量a,b 知足 |a+b|=| a-b|,则下边结论正确的选项是()A. a∥ bB. a⊥bC.|a|=| b|D. a+ b= a-b分析 :|a+ b|2=| a|2+ 2a·b+| b|2,|a-b| 2=| a|2-2a·b+| b|2 .因为 |a+ b|=| a- b| ,所以 |a|2+ 2a·b+| b|2=| a|2-2a·b+| b| 2,即 2a·b=- 2a·b,所以 a·b= 0,所以 a⊥ b .应选 B .答案 :B2.设向量 a,b,c 知足 a+b+ c= 0,a⊥ b,|a|= 1,| b|= 2,则 |c| 2等于 ()A.1B.2C.4D.5分析 :由 a+b+c=0得 c=- (a+b ),于是 |c|2=|- (a+b)|2=|a|2+2a·b+|b| 2=1+4=5.答案 :D3.已知 |a|= 3,|b|= 4,且 (a+k b)⊥ (a-kb),则实数 k 的值为 ()A.±B.±C.±D. ±分析 :由 (a+kb)⊥ (a-kb)知 (a+k b) ·(a-kb)= 0,即 |a|2-k2|b|2= 0,所以 9-16k2= 0,所以 k= ±.答案 :A4.已知 a,b 是非零向量 ,知足 (a-2b)⊥ a,(b -2a)⊥ b,则 a 与 b 的夹角是 ()A. B. C. D.分析 :由已知得 (a-2b) ·a=0,所以 |a|2-2a·b= 0.同理 (b- 2a) ·b= 0,即|b| 2-2a·b=0,于是有 |a|=|b| ,且 a·b= |a|2,进而 cos<a,b>=,又 <a,b> ∈[0, π], 所以 a 与 b 的夹角为.答案 :B5.如图 ,在菱形 ABCD 中 ,以下关系式不正确的选项是()A.B.()⊥()C.() ·()=0D.分析 :因为,所以,故 D 项不正确 .答案 :D6.如图 ,在△ ABC 中 ,AD ⊥ AB,,||= 1,则等于() A.2 B. C. D.分析 :由图可得=()·.∵AD⊥ AB,∴= 0.又∵,∴)· =0+|2∴=.= 0+.答案 :D7.已知平面向量 a,b 知足 |a|= 1,|b|= 2,a 与 b 的夹角为 ,以 a,b 为邻边作平行四边形,则此平行四边形的两条对角线中较短的一条对角线的长度为.答案 :8.已知 a+b=2i- 8j,a-b=- 8i+ 16j,此中 i ·j= 0,|i|=|j|= 1,则 a·b=.答案 :-639. 设 O,A,B,C为平面上的四个点,= a,= b,= c, 且a+b+c=0 ,a·b=b ·c=c·a=-1, 则|a|+|b|+|c|=.答案 :310.在边长为 1 的等边三角形ABC 中 ,设= 2= 3,则=.分析 :由已知得),,所以)·-||2-=- .答案 :-★11.设 a⊥ b,且|a|= 2,|b|= 1,k,t 是两个不一样时为零的实数.(1) 若 x=a+ (t- 3)b 与 y=-k a+t b 垂直 ,求 k 对于 t 的函数关系式k=f (t);(2)求出函数 k=f (t)的最小值 .解 :(1)∵a⊥ b,∴a·b= 0.又 x⊥y,∴x·y= 0,即 [a+ (t-3)b] ·(-ka+t b)= 0,∴-ka2-k( t-3)a·b+t a·b+t (t- 3)b 2= 0.∵|a|= 2,|b|= 1,∴-4k+t 2-3t= 0,∴k= (t2-3t)( t≠ 0),即 k=f (t) = (t 2-3t)( t≠ 0).(2)由 (1) 知 k=f ( t)= (t2-3t)=,故函数 k=f (t)的最小值为 -.★12.已知 |a|=,|b|= 1,向量 a 与 b 的夹角为45°,求使向量 (2a+ λb)与 (λa-3b)的夹角为锐角的λ的取值范围 .解 : 设向量 (2a+ λb)与 (λa-3b)的夹角为θ.∵两向量的夹角为锐角 ,∴> 0,∴(2a+ λb) ·(λa-3b)> 0,222>0.即 2λa + (λ-6)a·b-3λb∵a2=| a|2= 2,b2=| b|2= 1,a·b=| a|| b|cos 45 =°×1×= 1,∴4λ+ λ2- 6- 3λ> 0,即λ2+ λ-6> 0,∴λ<- 3 或λ> 2.设 2a+ λb=k( λa-3b) =k λa-3kb,∴2∴λ=- 6,则λ不存在 ,即向量 (2a+ λb)与 (λa-3b)不共线 .∴使向量 (2a+ λb)与( λa-3b)的夹角为锐角的λ的取值范围为λ<- 3 或λ> 2.。

人教新课标版数学高一-人教B版必修4精练向量数量积的物理背景与定义

第二章 2.3 2.3.1一、选择题1．若a ·c ＝b ·c (c ≠0)，则( ) A ．a ＝b B ．a ≠b C ．|a |＝|b |D ．a 在c 方向上的正射影的数量与b 在c 方向上的正射影的数量必相等 D∵a ·c ＝b ·c ，∴|a |·|c |cos<a ，c >＝|b |·|c |cos，即|a |cos<a ，c >＝|b |cos，故选D ．2．已知a 、b 为两个单位向量，则下列说法正确的是( ) A ．a ＝b B ．如果a ∥b ，那么a ＝b C ．a ·b ＝1 D ．a 2＝b 2D∵a 、b 为两个单位向量， ∴|a |＝|b |＝1.∴a 2＝|a |2＝1，b 2＝|b |2＝1， ∴a 2＝b 2，故选D ．3．在△ABC 中，AB →·CB →<0，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不能确定C∵AB →与CB →的夹角与角B 相等，又AB →·CB →<0， ∴cos B <0，又∵0≤B ≤π， ∴B 为钝角，故选C ．4．若|a|＝4，|b|＝2，a 和b 的夹角为30°，则a 在b 方向上的投影为( ) A ．2B ． 3C ．2 3D ．4Ca 在b 方向上的投影为|a |cos<a ，b >＝4×cos30°＝2 3. 5．|m |＝2，m·n ＝8，<m ，n >＝60°，则|n |＝( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8D∵m·n |m|·|n|＝cos<m ，n >，∴82|n |＝12，∴|n |＝8. 6．向量a 的模为10，它与x 轴的夹角为150°，则它在x 轴上的投影为( ) A ．－5 3 B ．5 C ．－5 D ．5 3 Aa 在x 轴上的投影为|a |·cos150°＝－5 3. 二、填空题7．已知a ·b ＝16，若a 与b 方向上的射影数量为4，则|b |＝________. 4设a 与b 的夹角为θ， ∵a ·b ＝16，∴|a ||b |cos θ＝16.又∵a 在b 方向上的射影的数量为4， ∴|a |cos θ＝4，∴|b |＝4.8．若等腰△ABC 的底边BC 长为4，则BA →·BC →＝________. 8 如图，取BC 的中点D ，连接AD ，∵AB ＝AC ， ∵AD ⊥BC ．∴AB cos B ＝BD ＝2.∴BA →·BC →＝|BA →|·|BC →|cos B ＝2×4＝8. 三、解答题9.已知正六边形P 1P 2P 3P 4P 5P 6的边长为2，求下列向量的数量积．(1)P 1P 2→·P 1P 3→； (2)P 1P 2→·P 1P 4→； (3)P 1P 2→·P 1P 5→； (4)P 1P 2→·P 1P 6→.(1)∵＝π6，|P 1P 3→|＝2 3.∴P 1P 2→·P 1P 3→＝|P 1P 2→|·|P 1P 3→|cos π6＝2×23×32＝6. (2)∵＝π3，|P 1P 4→|＝4，∴P 1P 2→·P 1P 4→＝2×4×cos π3＝4.(3)∵＝π2，∴P 1P 2→·P 1P 5→＝0.(4)∵＝2π3，∴P 1P 2→·P 1P 6→＝2×2×cos 2π3＝－2.一、选择题1．对于向量a 、b 、c 和实数λ，下列命题中真命题是( ) A ．若a·b ＝0，则a ＝0或b ＝0 B ．若λa ＝0，则λ＝0或a ＝0C ．若a 2＝b 2，则a ＝b 或a ＝－bD ．若a·b ＝a·c ，则b ＝c BA 中，若a·b ＝0，则a ＝0或b ＝0或a ⊥b ，故A 错；C 中，若a 2＝b 2，则|a|＝|b |，C 错；D 中，若a·b ＝a·c ，则可能有a ⊥b ，a ⊥c ，但b ≠c ，故只有选项B 正确．2．已知向量a 、b 满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b ＝2，则a 与b 的夹角为( ) A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2Ccos<a ，b >＝a·b |a|·|b|＝24＝12，又∵<a ，b >∈，∴<a ，b >＝π3.3．有下列四个式子： ①0·a ＝0； ②0·a ＝0； ③0－MN →＝NM →； ④|a ·b |＝|a ||b |，其中正确的个数为( ) A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个 D0·a ＝0，故①错；0·a ＝0，故②错；0－MN →＝NM →，故③正确；|a ·b |＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉，故④错，∴选D ．4．已知平面上三点A 、B 、C ，满足|AB →|＝3，|BC →|＝4，|CA →|＝5，则AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →的值等于( )A ．－7B ．7C ．28D ．－28 D由题意可知，A 、B 、C 三点不共线，∴|CA →|2＝|AB |2＋|BC |2， ∴∠B 为直角，∴cos B ＝0， cos A ＝35，cos C ＝45.∴AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝|AB →|·|BC →|cos B ＋|BC →||CA →|cos(π－C )＋ |CA →||AB →|cos(π－A )＝0＋4×5×(－45)＋5×4×(－35)＝－28.二、填空题5．已知|a |＝4，|b |＝5，则a 在b 上的射影的数量与b 在a 上的射影的数量的比值λ＝________.45a 在b 上的射影的数量等于|a |cos 〈a ，b 〉，b 在a 上的射影的数量等于|b |cos 〈b ，a 〉， ∴λ＝|a |cos 〈a ，b 〉|b |cos 〈b ，a 〉＝45.6．对于任意向量a 、b ，定义新运算“⊗”：a ⊗b ＝|a |·|b |·sin θ(其中θ为a 与b 的夹角)．利用这个新知识解决：若|a |＝1，|b |＝5，且a ·b ＝4，则a ⊗b ＝________.3设向量a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝45，∴sin θ＝35.∴a ⊗b ＝|a |·|b |·sin θ＝1×5×35＝3.三、解答题7.如图所示，在▱ABCD 中，|AB →|＝4，|AD →|＝3，∠DAB ＝60°.求：(1)AD →·BC →； (2)AB →·CD →； (3)AB →·DA →.(1)因为AD →∥BC →，且方向相同，所以AD →与BC →夹角是0°.所以AD →·BC →＝|AD →|·|BC →|·cos0°＝3×3×1＝9.(2)因为AB →∥CD →，且方向相反，所以AB →与CD →的夹角是180°，所以AB →·CD →＝|AB →|·|CD →|·cos180°＝4×4×(－1)＝－16.(3)AB →与AD →的夹角为60°，所以AB →与DA →的夹角为120°，(←此处易错为60°.) 所以AB →·DA →＝|AB →|·|DA →|·cos120°＝4×3×⎝⎛⎭⎫－12＝－6. 8.已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a·b ＝0有实根，求a 与b 的夹角的取值范围．∵方程x 2＋|a |x ＋a·b ＝0有实根， ∴Δ＝|a |2－4a·b ≥0， ∴a·b ≤14|a |2.cos<a ，b >＝a·b |a|·|b|＝a·b |a |·|a |2＝a·b 12|a |2≤14|a |212|a |2＝12，又∵0≤<a ，b >≤π，∴π3≤<a ，b >≤π.即a 与b 的夹角的取值范围为⎣⎡⎦⎤π3，π.。

人教B版高中数学必修四高中2.3平面向量的数量积同步练测.docx

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作2.3 平面向量的数量积（数学人教B版必修4）建议用时实际用时满分实际得分45分钟100分一、选择题（每小题5分，共20分）1. 已知a=（1，2），b=（-3，2），若k a+b与a-3b垂直，则k的值为（）A.18B.19C.20D.212. 已知向量a=（2cos ϕ，2sin ϕ），ϕ∈(π2，π)，b=（0，-1），则a与b的夹角为（）A. 3π2-ϕ B.π2+ϕC.ϕ-π2D.ϕ3. 设a、b是非零向量，若函数f(x)=(x a+b)·(a-x b)的图象是一条直线，则必有（）A.a⊥bB.a∥bC.|a|=|b|D.|a|≠|b|4. 如果向量a与b的夹角为θ，那么我们称a×b 为向量a与b的“向量积”，a×b是一个向量，它的长度为|a×b|=|a||b|sinθ.如果|a|=5,|b|=1,a·b=-3,则|a×b|=（）A.3B.-4C.4D.5二、填空题（每小题5分，共15分）5.若平面向量a,b满足|a+b|=1,a+b平行于x轴，b=(2,-1)，则a= .6. 设a=（4，-3），b=（2，1），若a+t b与b的夹角为45°，则t的值为.7.若向量a，b，c满足a∥b且a⊥c，则c·(a＋2b)＝.三、解答题(共65分) 8.（15分）已知a=（-2，2），b=（5，m），若|a+b|不超过5，求m的取值范围.9.（15分）已知a=（2，3），b=（-3，5），求a在b方向上的投影.10.（15分）设在平面上有两个向量a＝(cos α，sin α)(0°≤α<360°)，b＝(－,).(1)求证：向量a＋b与a－b垂直；(2)当向量a＋b与a－b的模相等时，求α的大小.11.（20分）四边形ABCD中，AB=a，BC=b，CD=c，DA=d，且a·b=b·c=c·d=d·a，试问四边形ABCD 是什么图形？2.3 平面向量的数量积（数学人教B版必修4）答题纸得分：一、选择题题号 1 2 3 4答案二、填空题5． 6． 7．三、解答题8.9.10.11.2.3 平面向量的数量积（数学人教B 版必修4）答案一、选择题1.B 解析：k a +b =k （1，2）+（-3，2）=（k-3，2k+2）， a -3b =（1，2）-3×（-3，2）=（10，-4）. 又k a +b 与a -3b 垂直，故（k a +b ）·（a -3b ）=0，即（k-3）·10+（2k+2）·（-4）=0，得k =19.2.A 解析：设a 与b 的夹角为θ，则 cos θ=∙a b a b=-2sin φ2=-sin ϕ=cos(π2+ϕ).∵ϕ∈（π2，π），θ∈［0，π］， ∴ cos θ=cos(π2+ϕ)=cos(3π2-ϕ).∴ θ=3π2-ϕ. 3. A 解析：f (x )=(x a+b )·(a-x b )=-a ·b x 2+(a 2-b 2)x+a ·b ,若函数f (x )的图象是一条直线，则其二次项系数为0，∴ a ·b =0,∴ a ⊥b .故选A.4. C 解析：由于|a |=5，|b |=1，a ·b =|a ||b |cos θ=-3,所以cos θ=-35. 又因为θ为向量a 与b 的夹角，所以sin θ=45, 所以|a ×b |=|a ||b |sin θ=4.故选C. 二、填空题5. (-1,1)或（-3，1）解析：设a =(x ,y ), 则a +b =(x+2,y-1),由题意得221,(2)(1)1,1310y x y x y =⎧++-=⎧⇒⎨⎨=---=⎩⎩或，∴ a =(-1,1)或（-3，1）.6.1 解析：∵ a =（4，-3），b =（2，1）， ∴ a +t b =（4+2t ，-3+t ）. ∵ a +t b 与b 的夹角为45°, ∴ （a +t b ）·b =|a +t b |·|b |·cos 45°，∴ （4+2t ）×2+（-3+t ）=222212t t ⨯+⨯22（4+2）+(-3+)， ∴ 5t+5=252252t t ++. ∴225t t ++=（t+1）.①将①式两边平方得t 2+2t-3=0，解得t =1或t =-3. 而t =-3时①式无意义，∴ t =-3舍去，取t =1.7.0 解析：由a ∥b 及a ⊥c ，得b ⊥c ，则c ·(a ＋2b )＝c ·a ＋2c ·b ＝0. 三、解答题8.解：由a +b =（3，2+m ），|a +b |≤5，得9+（2+m ）2≤25.解得-6≤m ≤2. 9.解：∵ a ·b =2×（-3）+3×5=9， |b |=22(3)5-+=， ∴ |a |cos θ=⋅a b b=93434. 10.(1)证明：因为(a ＋b )·(a －b )＝－＝(co α＋si α)－1＝0，故a ＋b 与a －b 垂直. (2)解：将|a ＋b |＝|a －b |两边平方，得 3＋2a ·b ＋＝－2a ·b ＋3，所以2(－)＋4a ·b ＝0. 而|a |＝|b |，所以a ·b ＝0，则×cos α＋×sin α＝0，即cos (α＋60°)＝0，所以α＋60°＝k ·180°＋90°，即α＝k ·180°＋30°，k ∈Z .又0°≤α＜360°，则α＝30°或α＝210°. 11.解：因为a +b +c +d =0，所以a +b =-（c +d ）.所以（a +b ）2=（c +d ）2.即|a |2+2a ·b +|b |2=|c |2+2c ·d +|d |2. 由于a ·b =c ·d ，所以|a |2+|b |2=|c |2+|d |2.① 同理，有|a |2+|d |2=|c |2+|b |2.② 由①②可得|a |=|c |，且|b |=|d |，即四边形ABCD 两组对边分别相等. 所以四边形ABCD 是平行四边形. 又由a ·b =b ·c 得b ·（a -c ）=0.而由平行四边形ABCD 的性质得a =-c ，代入上式得b ·（2a ）=0，即a ·b =0. 所以a ⊥b .亦即AB ⊥BC .综上所述，四边形ABCD 是矩形.。