5直线和圆的的关系2

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直线与圆的位置关系

直线与圆、圆与圆的位置关系【知识梳理】1.点与圆的位置关系: 有三种：点在圆外，点在圆上，点在圆内.设圆的半径为r ，点到圆心的距离为d ，则点在圆外⇔d ＞r ．点在圆上⇔d=r ．点在圆内⇔d ＜r ．2.直线和圆的位置关系有三种：相交、相切、相离．设圆的半径为r ，圆心到直线的距离为d ，则直线与圆相交⇔d ＜r ，直线与圆相切⇔d=r ，直线与圆相离⇔d ＞r3.圆与圆的位置关系(1)同一平面内两圆的位置关系：①相离:如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离．②若两个圆心重合，半径不同观两圆是同心圆.③相切:如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切．④相交:如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交．(2)圆心距：两圆圆心的距离叫圆心距．(3)设两圆的圆心距为d ，两圆的半径分别为R 和r ，则①两圆外离⇔d ＞R+r ；有4条公切线；②两圆外切⇔d=R ＋r ；有3条公切线；③两圆相交⇔R －r ＜d ＜R+r （R ＞r ）有2条公切线；④两圆内切⇔d=R －r （R ＞r ）有1条公切线；⑤两圆内含⇔d ＜R —r （R ＞r ）有0条公切线．（注意：两圆内含时，如果d 为0，则两圆为同心圆）4.切线的性质和判定(1)切线的定义：直线和圆有唯一公共点门直线和圆相切时，这条直线叫做圆的切线．(2)切线的性质：圆的切线垂直于过切点的直径．(3)切线的判定：经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线．【例题精讲】例1.⊙O 的半径是6，点O 到直线a 的距离为5，则直线a 与⊙O 的位置关系为（）A ．相离B ．相切C ．相交D ．内含例2. 如图1，⊙O 内切于ABC △，切点分别为D E F ，，．50B ∠=°，60C ∠=°，连结OE OF DE DF ，，，，则EDF ∠等于（）例题2图A ．40°B ．55°C ．65°D ．70°例3. 如图，已知直线L 和直线L 外两定点A 、B ，且A 、B 到直线L 的距离相等，则经过A 、B 两点且圆心在L 上的圆有（）A ．0个B ．1个C ．无数个D ．0个或1个或无数个例4．已知⊙O 1半径为3cm ，⊙O 2半径为4cm ，并且⊙O 1与⊙O 2相切，则这两个圆的圆心距为（） A.1cm B.7cm C.10cm D. 1cm 或7cm例5．两圆内切，圆心距为3，一个圆的半径为5，另一个圆的半径为例6．两圆半径R=5，r=3，则当两圆的圆心距d 满足___ ___•时，•两圆相交；• 当d•满足___ ___时，两圆不外离．例7．⊙O 半径为6.5cm ，点P 为直线L 上一点，且OP=6.5cm ，则直线与⊙O•的位置关系是____例8．如图，P A 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，⊙O 的切线EF 分别交P A 、PB 于点E 、F ，切点C 在弧AB 上，若PA 长为2，则△PEF 的周长是 _．例9. 如图，⊙M 与x 轴相交于点(20)A ，，(80)B ，，与y 轴切于点C ，则圆心M 的坐标是例10. 如图，四边形ABCD 内接于⊙A ，AC 为⊙O 的直径，弦DB ⊥AC ，垂足为M ，过点D 作⊙O 的切线交BA 的延长线于点E ，若AC=10，tan ∠DAE=43，求DB 的长．【当堂检测】1.如果两圆半径分别为3和4，圆心距为7，那么两圆位置关系是（）A ．相离B ．外切C ．内切D ．相交2.⊙A 和⊙B 相切，半径分别为8cm 和2cm ，则圆心距AB 为（）A ．10cmB ．6cmC ．10cm 或6cmD ．以上答案均不对3.如图，P 是⊙O 的直径CB 延长线上一点，PA 切⊙O 于点A ，如果PA ＝3，PB ＝1，那么∠APC 等于（）A. 15 B. 30 C. 45 D.604. 如图，⊙O 半径为5，PC 切⊙O 于点C ，PO 交⊙O 于点A ，PA ＝4，那么PC 的长等于（） A ）6 （B ）25 （C ）210 （D ）2145.如图，在10×6的网格图中(每个小正方形的边长均为1个单位长)．⊙A 半径为2，⊙B 半径为1，需使⊙A 与静止的⊙B 相切，那么⊙A 由图示的位置向左平移个单位长. OD C B Ax y M B A O C l B A 例题3图例题8图例题9图 •A B P C EF •O 例题10图第3题图第4题图第5题图第6题图OO2O16. 如图，⊙O为△ABC的内切圆，∠C＝90，AO的延长线交BC于点D，AC＝4，DC ＝1，，则⊙O的半径等于（）A.45B.54C.43D.657.⊙O的半径为6，⊙O的一条弦AB长63，以3为半径⊙O的同心圆与直线AB的位置关系是( ) A.相离 B.相交 C.相切 D.不能确定8.如图，在ABC△中，12023AB AC A BC=∠==，°，，A⊙与BC相切于点D，且交AB AC、于M N、两点，则图中阴影部分的面积是（保留π）．9.如图，B是线段AC上的一点，且AB：AC=2：5，分别以AB、AC为直径画圆，则小圆的面积与大圆的面积之比为_______．10. 如图，从一块直径为a+b的圆形纸板上挖去直径分别为a和b的两个圆，则剩下的纸板面积是___．11. 如图，两等圆外切，并且都与一个大圆内切．若此三个圆的圆心围成的三角形的周长为18cm．则大圆的半径是______cm．12.如图，直线AB切⊙O于C点，D是⊙O上一点，∠EDC=30º，弦EF∥AB，连结OC交EF于H点，连结CF，且CF=2，则HE的长为_________．13. 如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别为A、B，若直径AC=12cm，∠P=60°．求弦AB的长．中考题型一、选择题1.（2009年·宁德中考）如图，直线AB与⊙O相切于点A，⊙O的半径为2，若∠OBA = 30°，则OB的长为（）A．43 B．4 C．23 D．2（第1题图）（第2题图）2.（2009年·潍坊中考）已知圆O的半径为R，AB是圆O的直径，D是AB延长线上一点，DC是圆O的切线，C是切点，连结AC，若∠CAB=30°，则BD的长为（）A．2R B．3R C．R D．32RBPAOC第8题图第9题图第11题图第10题图第12题图第13题图3.（2009年·襄樊中考）如图，AB 是⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，DC 切⊙O 于C,若∠A=25°则∠D 等于（）A ．40°B ．50°C ．60° D．70°（第3题图）（第4题图）4．（2009年湖南省邵阳市）如图AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，，A 为切点，连结BC 交圆0于点D,连结AD,若∠ABC ＝450,则下列结论正确的是（） A.AD ＝21BC B.AD ＝21AC C.AC ＞AB D.AD ＞DC二、填空题5.（2009年·綦江县中考）如图，AB 与⊙O 相切于点B ，AO 的延长线交O ⊙于点C ，连结BC ，若34A ∠=°，则C ∠= ．（第5题图）（第6题图）6.（2009年·庆阳市中考）如图直线AB 与⊙O 相切于点B ，BC 是⊙O 的直径，AC 交⊙O 于点D ，连结BD ，则图中直角三角形有个．三、解答题7.（2009桂林百色）如图，△ABC 内接于半圆，AB 是直径，过A 点作直线MN ，若∠MAC＝∠ABC ．（1）求证：MN 是半圆的切线；（2）设D 是弧AC 的中点，连结BD 交AC 于G ，过D 作DE⊥AB 于E ，交AC 于F ．求证：FD ＝FG ．（3）若△DFG 的面积为4.5，且DG ＝3，GC ＝4，试求△BCG 的面积．课后练习题一、填空题：1、在直角坐标系中，以点（1,2）为圆心，1为半径的圆必与y轴，与x轴2、直线m上一点P与O点的距离是3，⊙O的半径是3，则直线m与⊙O的位置关系是3、R T⊿ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，则以2.4cm为半径的⊙C与直线AB的位置关系是4、如图1，AB为⊙O的直径，CD切⊙O于D，且∠A=30°，⊙O半径为2cm，则CD=5、如图2，AB切⊙O于C，点D在⊙O上，∠EDC=30°，弦EF∥AB，CF=2，则EF=6、如图3，以O为圆心的两个同心圆中，大圆半径为13cm,小圆半径为5cm，且大圆的弦AB切小圆于P，则AB=7、如图4，直线AB与CD相交于点O，∠AOC=30°，点P在射线OA上，且OP=6cm，以P为圆心，1cm为半径的⊙P以1cm/s的速度沿射线PB方向运动。

直线和圆的关系

直线和圆的关系证明一条直线是圆的切线的常见方法有两种：①当直线和圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连接起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称“作半径，证垂直”；②当直线和圆的公共点没有明确时，可过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径。

直线和圆的关系 11.直线和圆的关系 1① 相交：直线和圆有两个公共点，这时我们说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线。

② 相切：直线和圆只有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点。

③ 相离：直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离。

④ 直线和圆的关系 12.圆的切线① 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

如图，直线l就是⊙O的切线。

此外，经过圆心且垂直于切线的直线一定过切点；垂直于切线且过切点的直线必过圆心。

② 切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径。

如上图，若直线l是⊙O的切线，A为切点，则l丄OA.3. 切线长① 切线长：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。

② 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.如图，PA，PB是⊙O的两条切线，B切点分别为A，B，则PA=PB，∠OPA=∠OPB.4.切线的判定和性质的应用(1)辅助线的练习利用切线的性质进行计算或演示的常用辅助线是连接圆心和切点，利用垂直直角三角形解决相关问题。

(2) 证明直线与圆相切的三种途径证直线和圆有唯一公共点（即运用定义）①.证直线过半径外端且垂直于这条半径（即运用判定定理）②.证圆心到直线的距离等于圆的半径（即证d=r)③.当题目已知直线与圆的公共点时，一般用方法②，当题目未知直线与圆的公共点时，一般用方法③，方法①运用较少。

判断直线与圆位置关系的方法1、代数法:联立直线方程和圆方程，解方程组，如果方程组无解，则直线与圆分离，如果方程组有一组解，则直线与圆相切，如果方程组有两组解，则直线与圆相交。

圆与直线的位置关系与判定

圆与直线的位置关系与判定圆与直线是几何学中最基本的图形，它们之间的位置关系和判定方法在数学问题中有着广泛的应用。

本文将从不同角度探讨圆与直线之间的位置关系，并介绍几种常用的判定方法。

一、圆与直线的位置关系1. 直线经过圆心：当一条直线穿过圆心时，我们称其为圆的直径线或直径。

直径线是圆的特殊位置关系，它将圆分成两个相等的半圆，且直径线的长度等于圆的直径。

2. 直线在圆内部：当一条直线完全位于圆的内部时，我们称之为直线在圆内部。

在这种情况下，直线与圆相交于两个不同的点。

例如，图中的直线AB位于圆O的内部。

3. 直线切圆：当一条直线与圆相切时，我们称之为直线切圆。

直线与圆相切于圆上的一点，此点既属于圆，又属于直线。

例如，图中的直线AB切圆O于点C。

4. 直线在圆外：当一条直线完全位于圆的外部时，我们称之为直线在圆外部。

在这种情况下，直线与圆没有交点。

例如，图中的直线AB位于圆O的外部。

二、圆与直线的位置判定方法1. 判断直线是否经过圆心：通过直线的方程可以判断该直线是否经过圆心。

直线的方程一般可以表示为y = kx + b的形式，其中k为斜率，b为截距。

如果圆的圆心坐标为(x0, y0)，则当直线方程中的x0和y0满足方程y = kx + b时，直线经过圆心。

2. 判断直线与圆的位置关系：通过直线与圆的方程可以判断它们的位置关系。

设圆的方程为(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2，直线的方程为y =kx + c。

将直线的方程代入圆的方程中，可得一个关于x的一元二次方程。

通过求解该方程，可以得到方程的解，从而判断直线与圆的位置关系。

3. 判断直线是否切圆：通过直线与圆的切点个数可以判断直线是否切圆。

直线与圆相切时，方程的解只有一个，此时直线切圆。

当方程有两个不相等的解或者无解时，直线与圆没有交点。

4. 判断直线是否在圆内部或外部：通过圆的半径和圆心到直线的距离可以判断直线是否在圆的内部或外部。

直线与圆的关系

直线与圆的关系
直线和圆是数学中的重要概念，它们之间的关系被应用于解决各种问题，并在
不同的研究领域中发挥着重要作用。

直线是指任意给定两点之间的最短路径，它是一个平行四边形中所有顶点的连线。

而圆即一个由一个点为中心，由某一距离为半径的闭合曲线形成的球面。

圆的方程可以表示为：x²+y²=r²，圆的方程的参数包括圆的半径r和圆心位置（h，k）。

直线和圆之间的关系是十分重要的。

通常情况下，直线可以与圆有四种关系：
穿过圆心、与圆相切、穿过圆、相交。

第一种关系是直线穿过圆心，这意味着圆心落在直线上，满足直线方程
y=mx+b，圆方程可以表示为（x-h）²+（y-k）²=r²。

第二种情况是直线与圆相切，此时直线满足直线方程y=mx+b，圆方程可以表
示为（x-h）²+（y-k）²=r²，这意味着直线的斜率等于半径的平方根。

第三种情况是直线穿过圆，这意味着直线满足直线方程y=mx+b，而圆方程可
以表示为（x-h）²+（y-k）²=r²，此时，斜率不等于半径的平方根。

第四种情况是直线与圆相交，满足直线方程y=mx+b，圆方程可以表示为（x-h）²+（y-k）²=r²，斜率可以大于，小于或等于半径的平方根。

在总结以上，我们可以看出，直线和圆之间的关系是一个复杂的问题，有四个
基本的关系，所有的情况都取决于斜率以及圆半径的大小。

因此，要求学生了解直线和圆之间的关系和方程，从而判断他们之间的不同关系，尤其是线与圆相交和线与圆相切等情况，这需要深入研究和分析。

直线与圆的位置关系(2)

O T A
求证：AT是⊙O的切线
做一做：
Ａ
O
B
如图ＡＢ是⊙Ｏ的直径，请分别过Ａ，Ｂ作⊙Ｏ的切线．
例1.已知:如图A是⊙O外一点,AO的延长线交⊙O于点C,点B 在圆上,且AB=BC,∠A=30°.求证:直线AB是⊙O的切线证明：连结OB B ∵OB=OC，AB=BC，∠A=30° ∴∠OBC=∠C=∠A=30° 一般情况下，要证明一条直线为圆 ∴∠ AOB=∠C+ ∠OBC =60°C O ∵∠ABO=180°-（∠AOB+∠A）的切线，它过半径外端（即一点已 =180°-（60°+30°）在圆上）是已知给出时，只需证明 =90° ∴AB⊥OB ∴AB为⊙O的切线
例3、如图已知直线AB过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB 求证：直线ＡＢ是⊙O的切线Ｏ B
例5、如图：点O为∠ABC平分线上一点，OD⊥AB于D，以O 为圆心，OD为半径作圆。求证：BC与作⊙O相切。 A
D
Ｏ B
A
C
连结OC
当已知条件中直线与圆已有一个公共点时辅助线：是连结圆心和这个公共点。再证明这条半径与直线垂直。
特征一：直线L经过半径OA 的外端点A 特征二：直线L垂直于半径OA
一般地,有以下直线与圆相切的判定定理: 经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线 ∵OA是⊙O 的半径,l⊥OA于A ∴l是⊙O的切线 O l A
经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
判断下图中的l 是否为⊙O的切线
补充例3、如图已知直线AB过⊙O上的点C，并且 OA＝OB，CA＝CB 求证：直线ＡＢ是⊙O的切线
Ｏ B
A

证明：连接OC

圆和直线的位置关系公式

圆和直线的位置关系公式圆和直线的位置关系公式是数学中最重要的公式之一，用于计算圆和直线之间的位置关系。

圆和直线的关系可以用几何图形来表示，它们的位置关系可以用几何学方法来表达，这就是圆和直线的位置关系公式。

一、圆和直线的位置关系圆和直线之间的位置关系可以分为三种：相交、相切和内切。

1. 相交：圆和直线的位置关系，当圆和直线的位置关系是相交时，圆和直线有两个公共点，这两个点就是它们的交点。

2. 相切：当圆和直线的位置关系是相切时，它们有一个公共点，这个点就是它们的切点。

3. 内切：当圆和直线的位置关系是内切时，它们有一个公共点，这个点就是它们的内切点。

二、圆和直线的位置关系公式既然已经了解了圆和直线之间的位置关系，那么下面就要介绍圆和直线的位置关系公式。

1. 相交的位置关系公式：(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^22. 相切的位置关系公式：(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^23. 内切的位置关系公式：(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2上面的公式中，a，b是圆心的坐标，r是圆的半径。

三、应用圆和直线的位置关系公式不仅可以用来计算圆和直线之间的位置关系，还可以用来计算圆的面积和周长、求解三角形等。

1. 求圆的面积根据面积公式：面积=πr^2，可以算出圆的面积。

2. 求圆的周长根据周长公式：周长=2πr，可以算出圆的周长。

3. 求解三角形根据圆和直线的位置关系公式，可以求出三角形的三条边长，然后根据三角形的定理，可以求出三角形的其他属性。

四、总结从上面的介绍可以看出，圆和直线的位置关系公式是一个非常重要的公式，它可以用来计算圆和直线之间的位置关系，也可以用来计算圆的面积和周长，还可以用来求解三角形等。

因此，圆和直线的位置关系公式在几何学中具有重要的意义，是学习数学的重要基础。

25.5直线和圆的位置关系(第二课时)切线的性质定理

一定垂直
.
O
l
A
推理过程
切线的性质定理:
圆的切线垂直于过切点的半径 l是⊙ O 的切线,
切点是A,连接OA。这时，如在直线l上任取一点不同于A的点P，连接OP，因为点P在⊙ O 外，则 OP ＞OA。也就是说OA是点O到直线l的最短距离，根据垂线段最短，所以ＯＡ⊥ｌ
.O
l
A
例：在Rt⊿ABC中,∠ACB=90o,D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连结DE并延长,与BC的延长线交于点F．求证：BD = BF
A
O
பைடு நூலகம்B D C
6、如图，⊙O的直径AB ＝4，C为圆周上一点， AC ＝2，过点C作⊙O的切线 l，过点B作l的垂线BD，垂足为D，BD与⊙O 交于点E． ( 1) 求∠AEC的度数；（2）求证：四边形OBEC是菱形．
D C l A O B E
7、如图，⊙O的弦AD∥BC,过点D的切线交BC 的延长线于点E，AC∥DE交BD于点H，DO 及延长线分别交AC、BC于点 G、F. (1) 求证：DF垂直平分AC；（2）求证：FC＝CE；（3）若弦AD＝5㎝，AC＝8㎝，求⊙O的半径.
直线与圆的位置关系量化
r O ┐d r
●
●
O
r
●
O
l
d ┐
l
d
┐
如果⊙O的半径为r,圆心O到直线l 的距离为d,那么 (1)d＜r 直线l 与⊙O相交
l
(2) d=r
(3) d ＞ r
直线l 与⊙O相切
直线l 与⊙O相离
将前面思考中的问题反过来,如果l是⊙O 的切线,切点为A,那么半径OA与直线l是不是一定垂直呢?

2.5 直线与圆的位置关系(2)

l 归纳
A
切线的判定定理：（也是判定直线与圆相切的方法三）
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
2.5 直线与圆的位置关系（2）
典型例题
例1 如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径， ∠CAD＝∠ABC．判断直线AD与⊙O的位置关系，
并说明理由．
E
拓展：如果AB不是直径，其余条件不变，上面的结
3.切线的定义?你有哪些方法可以判定直线与圆相切？
方法一：定义（唯一公共点）方法二：数量关系（d=r）
2.5 直线与圆的位置关系（2）
探究活动一
如图，点A在⊙O上，你能经过A点画出⊙O的切线吗？
思考 O
∟
1.你画图的依据是什么？依据是“d = r” 2.根据上述画图，你认为直线l具备什么条件就是⊙O的切线了？具备：① 直线l 经过半径的外端点 ②直线l 垂直于半径
论还成立吗？
2.5 直线与圆的位置关系（2）
探究活动二
直线l与⊙O相切于点A，你能得到哪些结论？
性质一：直线与圆唯一公共点；性质二：数量关系-“d = r”
归纳切线的性质：
圆的切线垂直于经过切点的半径.
猜想：OA ⊥l 反证法：（1）假设直线l与OA不垂直．
O
（2）作OB⊥ l，垂足为点B．
初中数学九年级(上册)
2.5 直线与圆的位置关系（2）
知识改变命运、拼搏成就未来！
2.5 直线与圆的位置关系（2）
复习回顾
1.直线与圆有几种位置关系？可以用哪些方法来判定？ 2.已知⊙O半径r=5厘米，圆心O到直线l的距离是d：
d 4cm 5cm 6cm 直线与圆的公共点个数 2个 1个 0个直线与圆的位置关系相交相切相离

直线与圆知识点总结

直线与圆知识点总结1. 直线与圆的位置关系：- 直线与圆可能相交于两个点，这种情况称为相交。

- 直线与圆可能与圆外部割线相切于一点，这种情况称为相切。

- 直线可能与圆没有交点，这种情况称为相离。

2. 判断直线与圆的位置关系：- 使用勾股定理可以判断直线与圆是否相交。

设直线的方程为ax + by + c = 0，圆的方程为(x - h)² + (y - k)² = r²，其中(h, k)为圆心的坐标，r为半径。

将直线的方程代入圆的方程，计算方程的解。

若方程的解为实数，且解满足直线的方程，则直线与圆相交；若方程的解为实数，但解不满足直线的方程，则直线与圆相离；若方程的解为复数，则直线与圆相切。

- 使用两点式可以判断直线与圆的位置关系。

设直线上两点为(x₁, y₁)和(x₂, y₂)，圆的方程为(x - h)² + (y - k)² = r²，其中(h, k)为圆心的坐标，r为半径。

计算直线的斜率m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)，若直线的斜率存在且非零，则直线与圆相交或相离；若直线的斜率不存在或为0，则直线可能与圆相切或相离。

将直线的方程代入圆的方程，计算方程的解。

3. 求直线与圆的交点：- 设直线的方程为ax + by + c = 0，圆的方程为(x - h)² + (y - k)²= r²，其中(h, k)为圆心的坐标，r为半径。

将直线的方程代入圆的方程，得到一个关于x的二次方程。

解这个方程即可得到直线与圆的交点的x坐标。

将得到的x坐标代入直线的方程，可以求得对应的y坐标。

4. 求直线与圆的切点：- 设直线的方程为ax + by + c = 0，圆的方程为(x - h)² + (y - k)²= r²，其中(h, k)为圆心的坐标，r为半径。

直线与圆的位置关系(2)

O
C
B
例3、如图⊙O的半径为8，弦AB=8 3，以O为圆心，4为半径作小圆，求证：AB与小圆O相切. 证明：过O作OC⊥AB于C，连结OA
证明直线和圆相切的类型二：
无交点，作垂直，证等于半径. A C B O
练习1. 如图，点D是∠AOB的平分线OC上任意一点，过D作DE⊥OB于E，以DE为半径作⊙D，判断⊙D与OA的位置关系，并证明你的结论。
段AB只有一个公共点.
想一想?
d=2.4cm
B 5
4
C 3
D
A
学生练习选择:
1、设⊙O的半径为r，点O到直线a的距离为d，若⊙O与直线a至多只有一个公共点，则d与r的关系是……………………（ C ） A、d≤r B、d＜r C、d≥r D、d＝r 2、设⊙O的半径为r，直线a上一点到圆心的距离为d，若d=r，则直线a与⊙O的位置关系是……………………………………………（D ） A、相交 B、相切 C、相离 D、相切或相交
画⊙O及半径OA，画一条直线L过半径OA的外端点，且垂直于OA，这条直线与圆有几个交点？直线L一定是圆O的切线吗？
直线与圆相切。
①直线与圆有唯一公共点； ②直线到圆心的距离等于该圆的半径；由此，你知道如何画圆的切线吗？
.O
经过半径的外端且垂直于这条半径的
直线是圆的切线。
L
A
下列语句对吗？
2 2 2
B
2.4cm
5
4
2
D
C
3
A
=2.4（cm）。
讨论
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm， BC=4cm，以C为圆心，r为半径作圆。
d=2.4cm

直线与圆的位置关系与性质知识点总结

直线与圆的位置关系与性质知识点总结直线与圆是几何中常见的两种基本图形，它们的位置关系与性质对于解决几何问题非常重要。

在这篇文章中，我们将总结直线与圆的常见位置关系，并讨论它们的性质。

一、直线与圆的位置关系1. 直线与圆的相交关系当直线与圆有交点时，我们可以得出以下几种情况：- 直线与圆相交于两点：直线穿过圆的中心，此时直径是直线的特例。

- 直线与圆相交于一个点：直线与圆相切，切点称为切点。

- 直线位于圆的内部，没有交点。

- 直线位于圆的外部，也没有交点。

2. 直线与圆的位置关系特例- 切线：直线与圆相切的情况，称为切线。

与圆相切的直线垂直于半径，切点在直线上的法线与从切点到圆心的半径垂直。

- 弦：直线穿过圆，但不过圆心的情况，称为弦。

通过圆心的弦称为直径，且直径是弦中最长的一条线段。

二、直线与圆的性质1. 切线定理定理一：若一条直线与圆相切于切点A，则以切点A为顶点的两条锐角与此直线所夹的圆弧相等。

定理二：若从圆外一点作直线与圆相切于切点A，则此直线与以此点为端点的弦相交处的两个锐角是一对互补角。

2. 弦长定理定理三：若两条弦相交于切点A，则两条弦分割的圆周上的弧长乘积相等。

3. 直径定理定理四：直径是穿过圆心的弦，正好是弦分割的两条弧的半径之和。

4. 割线定理定理五：若两条割线相交于切点A，则此割线与此切点所在的直线上的弦分割的互补角是一对互补角。

三、直线与圆的应用1. 问题一：判断直线是否与圆相交或相切当我们需要解决直线与圆的位置关系问题时，可以利用以下方法：- 使用坐标系和方程：设定坐标系，写出直线和圆的方程并求解交点。

- 使用定理：利用判断圆内点的方法，或使用切线定理判断直线与圆是否相切。

2. 问题二：求解直线与圆的交点坐标当直线与圆相交于两点时，我们可以利用以下方法求解交点坐标：- 使用坐标系和方程：设定坐标系，写出直线和圆的方程，联立方程并求解交点坐标。

3. 问题三：判断两条直线是否为切线或相交于切点当我们需要判断两条直线是否为切线或相交于切点时，可以利用以下方法：- 使用切线定理：若两条直线与圆相切于同一切点，则可判断它们为切线或相交于切点。

直线与圆的位置关系(2)

解：∵圆的圆心在直线 y＝2x 上，设圆的圆心为(m,2m)，则因圆过点(3,2)，则半径 r＝ m－32＋2m－22. m－32＋2m－22.
|2m－2m＋5| ∵圆与直线 y＝2x＋5 相切．∴ ＝ 2 2 2 ＋－1 4 解得 m＝2 或5.
当 m＝2 时，圆心为(2,4)，半径 r＝ 4 4 8 当 m＝时，圆心为( ， )，半径 r＝ 5 5 5 故所求的圆的方程为：
2 2
直线 l: y=x+b, 求b的
取值范围,使
(1)圆上没有一个点到直线l的距离等于1； (2)圆上恰有一个点到直线l的距离等于1； (3)圆上恰有两个点到直线l的距离等于1； (4)圆上恰有三个点到直线l的距离等于1； (5)圆上恰有四个点到直线l的距离等于1。
数形结合问题
例8.若直线y=x+k与曲线 x 1 y 2 恰有一个公共点,则k的取值范围是__________________.
当直线与圆相离时，d>r，∴b< 2 2 或b>2 2 .
【规律方法】
本题判定直线与圆的位置关系时，采
用了几何法，几何法判定直线与圆的位置关系的主要步骤
是：
①把圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径r.
②利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离d.
③判断：当d>r时，直线与圆相离；
当d＝r时，直线与圆相切；
求弦长|AB|的值
解法一：（求出交点利用两点间距离公式） y B
y x 1 由 2 消去y 2 x y 4 得2 x 2 2 x 3 0 1 7 1 7 A , x2 2 2 1 7 1 7 y1 , y2 2 2 1 7 1 7 1 7 1 7 A( , ), B( , ) 2 2 2 2 | AB | 14 x1

第2章 2.5 2.5.1 直线与圆的位置关系

直线与圆位置关系的综合
【例 4】一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台预报，台风中心位于轮船正西 70 km 处，受影响的范围是半径为 30 km 的圆形区域，已知港口位于台风中心正北 40 km 处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？
[思路探究] 先以台风中心为原点建立适当的直角坐标系，把有关的几何元素用坐标和方程表示出来，然后把此实际问题转化为代数问题来解决．
(2)[解] 因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17>1，所以点 A 在圆外，故切线有两条． ①若所求直线的斜率存在，设切线斜率为 k，则切线方程为 y＋3＝k(x－4)，即 kx－y－4k－3＝0. 设圆心为 C，因为圆心 C(3,1)到切线的距离等于半径 1，
所以|3k－1k－2＋3－1 4k|＝1，即|k＋4|＝ k2＋1，所以 k2＋8k＋16＝k2＋1，解得 k＝－185. 所以切线方程为－185x－y＋125－3＝0，即 15x＋8y－36＝0.
[跟进训练] 2．若圆 C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0，关于直线 2ax＋by＋6＝0 对
称，则由点(a，b)向圆 C 所作的切线长的最小值为________．
4 [因为圆 C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0 关于直线 2ax＋by＋6＝0 对称，所以圆心 C(－1,2)在直线 2ax＋by＋6＝0 上，所以－2a＋2b＋ 6＝0，即 a－b＝3.又圆的半径为 2，
4．若点 P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点 P 处的
切线方程为________．
x＋2y－5＝0 [由题意，得 kOP＝21－－00＝2，则该圆在点 P 处的切线的斜率为－12，所以所求切线方程为 y－2＝－12(x－1)，即 x＋2y－5 ＝0.]

5.直线与圆的位置关系(2)

5.直线与圆的位置关系(2)编写者王怀起审定者穆绪川班级______.姓名______.【温故互查】 2人小组对讲,互查.1.如图,在Rt△ABC中以点为圆心，∠C=900, ∠A=600,BC=4cm,以点C为圆心，以3cm长为半径作圆，则⊙C与AB人位置关系是________.2.如图,AB与⊙O相切于点B,AO的延长线交⊙O于点C,连接BC,若∠A=400,则∠C=_________【学习目标】1. 了解切线的概念,探索切线与过切点的半径之间的关系2. 能判定一条直线是否为圆的切线（重、难点）3. 会过圆上一点画圆的切线【导学过程】自主探究阅读教材123 页～127 页，完成下列问题（不理解的地方在书上做标记）：1.切线的判定方法(1)定义法:_______________________的直线是圆的切线;(2)数量关系:到圆心的距离等于_______的直线是圆的切线;(3)判定定理:经过_____的一端,并且________这条_____的直线是圆的切线.2.三角形的内切圆(1)和三角形各边都______的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心是三角形三条_______的交战,叫做三角形的_________.(2)三角形的内心到三角形__________的距离相等.3.如图,已知⊙O及⊙O上一点A,过点A作出⊙O的切线.第3题第4题4.如图,已知锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，分别作出它们的内切圆，并说出它们的内心是否都在三角形的内部.ABC5.如图，线段AB 经过圆心O ，交⊙O 于点A C ，，点D 在⊙O 上，连接AD BD ，，30A B ∠=∠= ．BD 是⊙O 的切线吗？请说明理由．6.如图,AB 是⊙O 的直径,P 在AB 的延长线上,PD 与⊙O 相切于D,点C 在⊙O 上,PD=PC 求证：PC 是⊙O 的切线.合作交流 (由前后4人组成的大组内合作:把你的答案说出来与同学交流，不同意见进行讨论，小组内达成共识，并将你的困惑提出来让同学帮助解决或求助老师．成果展示（教师组织提问，４人小组派代表发言，向全班同学展示交流的成果，小组间进行互评、纠错、补充，回答问题时要求尽量合上课本）互讲巩固（２人小组分别将上述部分重点问题复述一遍，同位之间进行互讲）【归纳提升】（总结本节所学的重点知识，体现知识之间的联系，师生共同完成）【精讲点拨】【中考链接】1.[2012四川雅安]如图，AB 是⊙O 的直径，O 是圆心，BC 与⊙O 相切于B 点，CO 交⊙O 于点D ，且BC=8，CD=4，那么⊙O 的半径是________.2.[2012温州]如图, 在△ABC 中, ∠ACB=900,D 是边AB 上一点,且∠A=2∠DCB,E 是BC 边上一点,以EC 为直径的⊙O 以过点D.求证:AB 是⊙O 的切线.O【达标测评】1. ⊙O 的半径r=5cm ，点P 在直线l 上，若OP=6cm ，则直线l 与⊙O 的位置关系是--（）A ．相离 B.相切 C.相交 D.不能确定.2.下列直线能判定是圆的切线的是----------------------------------------- --( )A.和半径垂直的直线B.和圆有公共点的直线C.到圆心的距离等于半径的直线D.经过半径的外端的直线3．如图，在A 、B 是⊙O 上两点，AC 是过A 点的一条直线，若∠AOB=1200，那么当∠CAB 等于_______时,AC 才能成为⊙O 的切线.4.如图3,PA 、PB 是⊙O 的切线,切点分别为A 、B,且∠APB=50°,点C 是优弧AB 上的一点,则∠ACB 的度数为________.5.直角三角形的斜边长为10cm ，其内切圆半径为2cm,则它的周长为------------（）A.24cm B 22cm C.14cm D.12cm6.如图，AB 是⊙O 的直径，∠ABT=45°，AT ＝AB ．求证：AT 是⊙O 的切线．【拓展延伸】1.已知AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，切点为B ，OC 平行于弦AD ．求证：DC 是⊙O 的切线．参考答案【中考链接】1.6 2.提示:连接OD,【达标测评】1.D 2.C 3.600 4.650 5.A 6.略【拓展延伸】证明：连接OD ∵OC ∥AD ∴∠1=∠3，∠2=∠4. ∵OA=OD ∴∠1=∠2∴∠3=∠4 ∵OB=OD 、OC=OC ∴△ODC ≌△OBC ∴∠ODC=∠OBC ∵AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，∴AB ⊥BC ∴∠OBC ∴∠ODC=900 ∴CD ⊥OD ∴DC 是⊙O 的切线第3题 PC 第4。

直线与圆知识归纳

直线与圆知识归纳直线和圆是几何中常见的基本元素，它们之间的关系和性质对于几何问题的解决至关重要。

在本文中，我们将对直线与圆的基本概念、关系以及一些重要的定理进行归纳总结。

一、直线的基本知识直线是几何中最简单的图形，它没有起点和终点，可以无限延伸。

直线由无数个点组成，我们可以通过两个点确定一条直线，这两个点称为直线上的两个端点。

直线不同于线段，线段是直线的一部分，它有起点和终点，长度是有限的。

二、圆的基本知识圆是一个平面图形，由一条曲线组成，这条曲线上的任意两点到圆心的距离都相等。

圆心是圆的中心点，半径是从圆心到任意一点的距离。

一个圆由圆心和半径唯一确定。

圆内的所有点到圆心的距离都小于半径，而到圆心的距离等于半径的点在圆上。

三、直线与圆的位置关系1. 直线与圆的位置关系分为三种情况：相离、相切和相交。

2. 当直线与圆没有交点时，称直线和圆相离。

当直线与圆有且仅有一个交点时，称直线与圆相切。

当直线与圆有两个交点时，称直线与圆相交。

四、直线与圆的性质1. 切线的性质：- 直线与圆只有一个交点时，这条直线称为圆的切线。

- 切线和半径垂直。

2. 弦的性质：- 直线与圆有两个交点时，这条直线称为圆的弦。

- 弦的中点与圆心连线垂直于弦。

3. 弧的性质：- 弦所对的弧是两个相交圆内部的部分，它们所对的弧长相等。

五、直线与圆的重要定理1. 切线定理：切线与半径的关系- 切线与半径的夹角等于该切线所对的弧所对圆心角的一半。

2. 切割定理：一条直线同时切割两个相交圆的两个切点，这两个切点的线段乘积等于这条直线与两个相交圆的切点之间的线段乘积。

3. 集中定理：多条切线共点- 若两个相离的圆内切于某一点P，那么连接圆心的线段与这个点P以及切点的两条切线共点。

4. 同位角定理：切线与弦的夹角- 同位角相等：若一条切线与一条弦相交，那么切线与弦的夹角等于这两个弧所对的圆心角的一半。

总结：直线与圆的知识是几何学的基础，掌握它们的基本概念、位置关系、性质和定理，可以帮助我们解决各类几何问题，提升几何思维能力。

直线与圆的位置关系 (2)

思考：一条直线和一个圆，如果有公共点能不能多于两个呢？
快速判断下列各图中直线与圆的位置关系
l l
.O
l
.O
1
.O2
.O
L
.
2、用圆心到直线的距离和圆半径的数量关系，来揭示圆和直线的位置关系。
r o d l r o d l
r o d
l
（1）直线l 和⊙O相离（2）直线l 和⊙O相切（3）直线l 和⊙O相交
d = 5cm ; 3)若AB和⊙O相交,则 0cm≤ d < 5cm . 相交 3.直线和圆有2个交点,则直线和圆_________; 相切直线和圆有1个交点,则直线和圆_________; 相离直线和圆有没有交点,则直线和圆_________;
例1:在Rt△ABC中∠C= 90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心, r为半径的圆与AB有怎样的关系？为什么？ (1) r=2cm (2) r=2.4cm (3) r=3cm
d>r d=r d<r
总结：
判定直线与圆的位置关系的方法有____ 两种：
直线与圆的公共点（1）根据定义，由________________
的个数来判断；圆心到直线的距离d与半径r （2）根据性质，由_________________ 的关系来判断。
在实际应用中，常采用第二种方法判定。
O
你发现这个自然现象反映出直线和圆的位置关系有哪几种?
a(地平线)
(1) (2) (3)
观察三幅太阳落山的照片,地平线与太阳的位置关系是怎样的?
l l l l O
l l
l l l l l l l
直线和圆的位置关系
O
O

5.5直线与圆的位置关系(2)

3.在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A的平分线交BC于D,以D为圆心,DB长为半径作⊙D.试说明:AC是⊙D的切线.
F
E
1、定义法：和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线。 2、数量法（d=r）：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线。 3、判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
学习目标
1、了解切线的概念. 2、探索切线与过切点的半径之间的关系. 3、能判断一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线。
自学指导
看课本P.129到P.133练习前面的内容，思考： 1、切线有哪些判别方法？ 2、切线有哪些性质？ 5分钟后，比谁能正确完成自学检测题。
圆和直线的位置关系。
答:①直线与圆有唯一公共点； ②直线到圆心的距离等于该圆的半径；
O
判定一条直线是不是圆的切线除了这两种方法外还有其它方法吗?
观察与思考
问题1：下雨天，转动的雨伞上的水滴是顺着伞的什么方向飞出去的?
问题2：砂轮转动时，火花是沿着砂轮的什么方向飞出去的?
问题1 如图,已知⊙O上一点A ,怎样根据圆的切线的定义过A作⊙O的切线? 作法: 1)连结OA.
C
O
方法小结: 证明过圆上一点的直线是圆的切
线.只要证明这条直线垂直于经过切点的半径.
练习1 如图,AB是⊙O的直径,点D在AB的延长线上,BD=OB,点C在圆上,∠CAB=300. 求证:DC是⊙O的切线.
A
.
O
C B D
方法引导
当已知直线与圆有公共点,要证明直线与圆相切时,可先连结圆心与公共点,再证明连线垂直于直线 ,这是证明切线的一种方法.
这条半径的直线是圆的切线．

5.5_直线和圆的位置关系(2)

Ｏ
●
m A Ｂ
故直线AB经过半径OA的外端点A,并垂直于半径OA 所以直线AB是⊙O的切线。
练一练2
1、如图AB是⊙O的直径，∠B=45 °，
AC=AB。AC是⊙O的切线吗？为什么？ B
分析：直线AC是圆⊙O的切线。
直线AC经过 AC⊥AB ⊙O的点A ∠ CAB=90° (已知)
∠B=45° ∠C=45°
A
=180°－(60°+30°) =90° ∴ AB⊥OB
故直线AB经过半径OB的外端点B,并垂直于半径OB
所以 AB是⊙O的切线
2．已知：如图，AB是⊙O的直径，D在AB的延长线上，BD＝OB，C在圆上，∠CAB＝ 30°，求证：DC是⊙O的切线。 C 证明：连OC、BC，
∵AO＝OC， ∴∠OCA＝∠A＝30° ∴∠BOC＝60°， ∴△BOC是等边三角形
(已知) (已知)
小结：如何判定一条直线是已知圆的切线？
(1)和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；
(2)和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线； (d=r) (3)过半径外端且和该条半径垂直的直线是圆的切线；
A、经过半径的外端点； B、垂直于该条半径。
练习
1.直线BC与半径为r的⊙O相交,且点O到直线BC的距离为5,求r的取值范围.
2．已知：如图⊙O的半径为4cm，OA⊥OB，
OB＝4 cm，OA＝2 cm，
求证：AB与⊙O相切。证明：∵OA⊥OB，OC⊥AB ∴△AOB是直角三角形又∵OA＝2 cm，OB＝4 cm
∴AB＝10 根据三角形面积公式有：AB· OC＝OA· OB ∴OC＝ 4(cm)，OC是⊙O的半径。直线AB经过半径OC的外端C，并且垂直于半径OC所以AB与⊙O相切。题目中“垂直”已有，只需证“距离等于半径”，即可得直线与圆相切。

2.5.2 直线与圆的位置关系

直线与圆的位置关系(2)
温故知新
1、直线与圆有哪些位置关系？
相离 O
相切
O
相交
O
2、你有哪些方法判定直线与圆的位置关系？（1）公共点的个数
（2）圆心到直线的距离d与r的比较
3、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5cm，BC=12cm，以C为圆心，r为半径作圆。 ①当r满足时，直线AB与圆C相离。 ②当r满足时，直线AB与圆C相切。 ③当r满足时，直线AB与圆C相交。 ④当r满足时,线段AB与圆C只有一个公共点。
C D A O B
E
见切点，连半径，得垂直。
1、如图，已知直线CD与⊙O相切于点C，AB为直径，
若∠BCD=20°，则∠ABC的度数
A O B C D
。
2、如图，已知AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，且AC平分∠DAB,过C作CD⊥AD, 垂足为D，（1）CD是⊙O的切线吗？说说你的理由。（2）延长DC与AB的延长线相交于E，若AC=CE，则 ∠E= 。
O r A
l
判定直线与圆相切有哪些方法？ ①定义：直线与圆有唯一公共点； ②数量关系：圆心到直线的距离(d)等于该圆的半径(r)； ③切线的判定定理．经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线
巩固练习
1、下列说法正确的是（ D ）
A
B
与圆有一个交点的直线是圆的切线
过半径的外端的直线是圆的切线
已知直线L是⊙O的切线，切点为A，连接OA，你发现了什么？
.
反证法
O
L A B
切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。
几何语言：
∵ 直线L切⊙O于点A
.
O
∴ OA⊥L