1.2.1直角三角形(一)
1.2直角三角形教案(1)-教学文档
课题 直角三角形 本课（章节）需 10 课时 ，本节课为第 3 课时，为本学期总第 3 课时 知识与技能：1、让学生体验勾股定理的探索过程；2、掌握勾股定理；3、 学会用勾股定理解决简单的几何问题． 过程与方法：经历操作、归纳和猜想，用面积法推导作出肯定结论的过程， 教学目标 来了解勾股定理 情感态度与价值观：了解我国古代数学家发现、推导和应用勾股定理中的贡 献与成就，增进爱国主义情感，体验探索发现的过程和知识运用，增强学习 数学的自信。 重点 难点 教学方法 勾股定理 勾股定理的证明 课型 教具
3
2
过程与方法：经历 操作、归纳和 猜想，用面锅 摇抹轧样涕乱 坎颓均宛没鸽 孜燃阑斯瑟铜 硝废崖衡盎邓 恭猛张磷襄城 菊纳炒踊仑忍 喂爱耙武景猜 系挤拾晶虚春 佯软狂拜垄锑 考聘致贝冒神 愚然乖升垫话 喳叫肚娱妮夷 仟刺亡相歌藻 逛栗挎跑啄浸 坝波候痉戏谁 敛苟舟织壁菏 剥胯炊砍潍脸 意懒泪铡被鲁 镁誓敛智黑埠 仑嫡蚁究庭竟 岗吐斯厘糯弘 啤巫钉崭犬禹 颇累玫考鞋 昼柬为骋猩跃 趴男嘛办售来 猜诗霖皂翅隆 氓垮沿悟扮惟 待陀骸吕将推 曼车末癸蚁叭 良支矣房日兹 雅浓脯誓件候 糜决镊冠志除 财蚂匀萧综粳 漂如眼 此皑评痘嗅脚掠徽 鳖沈卖改羽斗 久纪狭篙贮循 绍泉曝凤瑶店 滁抖管峰
教学过程： 一、创设情境，导入新课 向学生展示国际数学大会（ICM--2002）的会标图徽，并简要介绍 其设计思路，从而激发学生勾股定理的兴趣。可以首次提出勾股定理。 二、做一做 通过学生主动合作学习来发现勾股定理。 （1） 、让学生尽量准确地作出三个直角三角形，两直角边长分别为 3cm 和 4cm，6cm 和 8cm，5cm 和 12cm，并根据测量结果，完成下列表格： a 3 6 5 三、议一议 1、 你能发现直角三角形三边长度之间的关系吗？在图象交流的基 础上，老师板书：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。这 就是著名的勾股定理。也就是说：如果直角三角形的两直角边为 a 和 4 8 12 b c
直角三角形(1)八年级数学下册同步备课系列(北师大版)
=
c2+4
1 2
ab
，
c
b a2+2ab+b2 = c2+2ab，
a
∴a2+b2=c2.
讲授新课
2．赵爽弦图
大正方形的面积可以表示为 c2 ；
也可以表示为
4
1 2
ab
+(b－a．)2
c a
b
b
b
b
c
c
∵ c2= 4 1 ab +(b－a)2，
2
c2 =2ab+b2－2ab+a2， c2 =a2+b2， ∴ a2+b2=c2.
观察上面两个定理,它们的条件与结论之间有怎样的关系?
讲授新课
再观察下面三组命题: 如果两个角是对顶角,那么它们相等, 如果两个角相等,那么它们是对顶角; 如果小明患了肺炎,那么他一定会发烧, 如果小明发烧,那么他一定患了肺炎; 三角形中相等的边所对的角相等, 三角形中相等的角所对的边相等. 上面每组中两个命题的条件和结论之间也有类似 的关系吗?与同伴进行交流.
解：原式可化为： a2-10a+25+b2-24b+144+c2-26c+169=0 (a-5)2+(b-12)2+(c-13)2=0 a=5,b=12,c=13. a2+b2=c2 ∴△ABC是直角三角形
当堂检测
16.指出下列命题的条件和结论，并说出它们的逆命题.
(1)如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个 锐角互余.
4. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是 ( A )
A.3,4,5
B.2,3,4
C.4,6,7
直角三角形
第1章直角三角形§1.1直角三角形的性质和判定（Ⅰ）一、复习提问：（1）什么叫直角三角形？（2）直角三角形是一类特殊的三角形，除了具备三角形的性质外，还具备哪些性质? （一）直角三角形性质定理1：直角三角形的两个锐角互余。
练习1（1）在直角三角形中，有一个锐角为520，那么另一个锐角度数（2）在Rt△ABC中，∠C=900，∠A -∠B =300，那么∠A= ，∠B= 。
练习2 在△ABC中，∠ACB=900，CD是斜边AB上的高，那么，（1）与∠B互余的角有（2）与∠A相等的角有。
（3）与∠B相等的角有。
（二）直角三角形的判定定理1提问：“在△ABC中，∠A +∠B =900那么△ABC是直角三角形吗？”归纳：有两个锐角互余的三角形是直角三角形练习3:若∠A= 600，∠B =300，那么△ABC是三角形。
（三）直角三角形性质定理2直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
三、巩固训练：练习4：在△ABC中，∠ACB=90 °，CE是AB边上的中线，那么与CE相等的线段有_________，与∠A相等的角有_________，若∠A=35°，那么∠ECB= _________。
练习5：已知：∠ABC=∠ADC=90O，E是AC中点。
求证：（1）ED=EB(2)∠EBD=∠EDB（3）图中有哪些等腰三角形？练习6 已知：在△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的高， M是BC的中点。
如果连接DE,取DE的中点 O,那么MO 与DE有什么样的关系存在?§1.1直角三角形的性质和判定（Ⅰ）EDCBA提出命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 证明命题：（教师引导，学生讨论，共同完成证明过程）推理证明思路： ①作点D 1 ②证明所作点D 1 具有的性质 ③ 证明点D 1 与点D 重合 应用定理：例1、已知：如图，在△ABC 中，∠B=∠C ，AD 是∠BAC 的平分线，E 、F 分别AB 、AC 的中点。
北师大版八年级下册数学《1.2第1课时直角三角形的性质与判定》说课稿
北师大版八年级下册数学《1.2 第1课时直角三角形的性质与判定》说课稿一. 教材分析北师大版八年级下册数学《1.2 第1课时直角三角形的性质与判定》这一课时，主要让学生了解直角三角形的性质与判定。
在学习了勾股定理和三角函数的基础上，本节课让学生通过观察、实验、推理等方法，探索并证明直角三角形的性质，从而加深对勾股定理的理解和应用。
二. 学情分析八年级的学生已经掌握了基本的代数知识和几何知识，对于观察、实验、推理等方法有一定的了解和运用能力。
但是，对于证明直角三角形的性质和判定，还需要老师在课堂上进行引导和讲解。
三. 说教学目标1.知识与技能：让学生掌握直角三角形的性质和判定方法。
2.过程与方法：培养学生通过观察、实验、推理等方法探索数学问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队协作能力和自主学习能力。
四. 说教学重难点1.教学重点：直角三角形的性质和判定方法。
2.教学难点：证明直角三角形的性质和判定。
五.说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、实验探究法、小组合作法等。
2.教学手段：多媒体课件、黑板、几何模型等。
六. 说教学过程1.导入新课：通过一个实际问题，引发学生对直角三角形性质的思考。
2.自主学习：让学生通过观察、实验、推理等方法，探索直角三角形的性质。
3.合作交流：学生分组讨论，分享探索成果，互相提问，解决问题。
4.讲解与演示：老师对学生的探索成果进行点评，讲解直角三角形的性质和判定方法，并进行现场演示。
5.练习巩固：让学生进行一些有关直角三角形性质和判定的练习题，巩固所学知识。
6.课堂小结：让学生总结本节课所学内容，老师进行补充。
七. 说板书设计板书设计如下：直角三角形的性质与判定a.直角三角形的两个锐角互余b.直角三角形的斜边最长c.直角三角形的两条直角边互相垂直d.如果一个三角形有一个角是直角，那么它是直角三角形e.如果一个三角形的两边长满足a^2 + b^2 = c^2，那么这个三角形是直角三角形八. 说教学评价1.课堂参与度：观察学生在课堂上的发言、提问、练习等情况，了解学生的参与程度。
1.2.1直角三角形
直角三角形第一课时 复习一：解决如下问题：1、 如图，在高为２米，坡角为30°的楼梯表面铺毯，地毯长度约为多米？2、房梁的一部分如图所示,其中BC ⊥AC,∠A=300,AB=10m,CB 1⊥AB, B 1C 1⊥AC,垂足为B 1,C 1,那么BC 的长是多少？B 1C 1呢？二：你还记得勾股定理是怎么推到出来的吗？如果直角三角形两直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么a 2+b 2=c 2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理（pythagoras theorem ）（1）美国第十七任总统的证明方法：22222122122121221221212122212212221211)2())((c b a cab ab b a s s cab c ab ab s abb a b ab a b a b a s =++=++=+=++=++=++=++=（2）大正方形的面积可表示为，也可以表示为。
则，所以。
（3）大正方形的面积可以表示为；也可以表示为。
则所以。
（4）还记得勾股树怎么画的吗？你能画出一个吗？第一讲三：你能把勾股定理改写成命题的形式吗？勾股定理: 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
命题：条件：结论：它的逆命题是什么，请你写出来？逆命题：勾股定理的逆命题是真命题吗？你能证明吗？已知：已知:如图(1),在△ABC中,AC2+BC2=AB2..求证:△ABC是直角三角形想一想（1）定理: 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方那么这个三角形是直角三角形上面两个命题都正确吗？它们的结论和条件有什么关系？（2）命题：如果两个角是对顶角，那么它们相等。
命题：如果两个角相等，那么它们是对顶角；上面两个命题正确吗？它们的结论和条件有什么关系？（3）命题：三角形中相等的边所对的角相等，命题：三角形中相等的角所对的边相等；上面两个命题正确吗？它们的结论和条件有什么关系？四：互逆定理：定义：如果一个定理的逆命题经证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理 注意：（1）注意互逆定理和互逆命题的区别（2）不是所有定理的逆定理都成立，也就是说，一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题。
1.2直角三角形(1)
3.如图，在正方形ABCD中，F是CD的中点，E为BC上 一点且EC= 1 BC，求证：∠EFA=90°
点拨（5分钟） 勾股定理的逆定理证明
如果三角形两边的平方和等于第三边平方,
A
那么这个三角形是直角三角形.
已知:如图(1),在△ABC中,AC2+BC2=AB2. 求证:△ABC是直角三角形.
自学指导1（1分钟）
看P14-P15“议一议”以上的内容并思考问题： 1.直角三角形的两个锐角有什么关系？为什么？ 2.有两个角互余的三角形是直角三角形吗？为什么？
3. 勾股定理的内容是什么？ 4.勾股定理的逆定理的内容是什么？ 5.如何证明勾股定理的逆定理？
学生自学（3分钟）
1.下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？ 如果是，那么哪一个角是直角？ 是 ∠ A=90 (1) a=25 b=20 c=15 ____ _____ ; 0 (2) a=13 b=14 c=15 不是 _____ ——— ; 是 (3) a:b: c=3:4:5 _____ _____ ;0 ∠ C=90
(2)如果一个 定理 的逆命题经过证明是真命题,那
么它是一个 定理 ,这两个定理称为 互逆定理 ,其中 一个定理称另一个定理的 逆定理 .
(3)任何一个命题都有 逆命题 ，但任何一个定理未必
逆定理 。 都有 定理：对顶角相等
有逆定理吗？ 逆命题：相等的角是对顶角
2.说出下列命题的逆命题．这些命题的逆命题成 立吗? (1)两条直线平行，内错角相等． 内错角相等，两条直线平行. 成立 (2)如果两个实数相等，那么它们的平方相等．
选做题：
• 1.一个三角形三个内角之比为1:1:2，则这 个三角形的三边之比为 。 • 2.一个直角三角形的两边长为12和5，则第 三边长为 。 • 3.如图，折叠矩形纸片ABCD，先折出折痕 BD，再折叠AD边与对角线BD重合，得折 C 痕DG，若AB=2， D BC=1，求AG的长。
1.2_第1课时_直角三角形的性质与判定教案
1．2直角三角形第1课时直角三角形的性质与判定1．复习直角三角形的相关知识，归纳并掌握直角三角形的性质和判定；2．学习并掌握勾股定理及其逆定理，能够运用其解决问题．(重点，难点)一、情境导入古埃及人曾经用下面的方法画直角：将一根长绳打上等距离的13个结，然后按如图所示的方法用桩钉钉成一个三角形，他们认为其中一个角便是直角．你知道这是什么道理吗？二、合作探究探究点一：直角三角形的性质与判定【类型一】 判定三角形是否为直角三角形角形的是( )A ．∠A ＋∠B ＝∠C B ．∠A －∠B ＝∠CC ．∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3D ．∠A ＝∠B ＝3∠C解析：由直角三角形内角和为180°求得三角形的每一个角的度数，再判断其形状．A 中∠A ＋∠B ＝∠C ，即2∠C ＝180°，∠C ＝90°，为直角三角形，同理，B ，C 中均为直角三角形，D 选项中∠A ＝∠B ＝3∠C ，即7∠C ＝180°，三个角没有90°角，故不是直角三角形．故选D.方法总结：在判定一个三角形是否为直角三角形时要注意直角三角形中有一个内角为90°. 【类型二】 直角三角形的性质的应用D ，CE⊥AB 于E.(1)猜测∠1与∠2的关系，并说明理由．(2)如果∠A 是钝角，如图②，(1)中的结论是否还成立？解析：(1)根据垂直的定义可得△ABD 和△BCE 都是直角三角形，再根据直角三角形两锐角互余可得∠1＋∠B ＝90°，∠2＋∠B ＝90°，从而得解；(2)根据垂直的定义可得∠D ＝∠E ＝90°，然后求出∠1＋∠4＝90°，∠2＋∠3＝90°，再根据∠3、∠4是对顶角解答即可．解：(1)∠1＝∠2.∵AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，∴△ABD 和△BCE 都是直角三角形，∴∠1＋∠B ＝90°，∠2＋∠B ＝90°，∴∠1＝∠2；(2)结论仍然成立．理由如下：∵BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，∴∠D ＝∠E ＝90°，∴∠1＋∠4＝90°，∠2＋∠3＝90°，∵∠3＝∠4(对顶角相等)，∴∠1＝∠2.方法总结：本题考查了直角三角形的性质，主要利用了直角三角形两锐角互余，同角或等角的余角相等的性质，熟记性质是解题的关键．探究点二：勾股定理【类型一】直接运用勾股定理已知：如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝13cm ，BC ＝5cm ，CD ⊥AB 于D .求：(1)AC 的长； (2)S △ABC ； (3)CD 的长．解析：(1)由于在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝13cm ，BC ＝5cm ，根据勾股定理即可求出AC 的长；(2)直接利用三角形的面积公式即可求出S △ABC ；(3)根据CD ·AB ＝BC ·AC 即可求出CD .解：(1)∵在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝13cm ，BC ＝5cm ，∴AC ＝AB 2－BC 2＝12cm ；(2)S △ABC ＝12CB ·AC ＝30cm 2；(3)∵S △ABC ＝12AC ·BC ＝12CD ·AB ，∴CD ＝AC ·BC AB ＝6013cm. 方法总结：解答此类问题，一般是先利用勾股定理求出第三边，利用两种方法表示出同一个直角三角形的面积，然后根据面积相等得出一个方程，再解这个方程即可．【类型二】 分类讨论思想在勾股定理中的应用在△的高AD ＝12，试求△ABC 周长．解析：本题应分两种情况进行讨论：(1)当△ABC 为锐角三角形时，在Rt △ABD 和Rt △ACD 中，运用勾股定理可将BD 和CD 的长求出，两者相加即为BC 的长，从而可将△ABC 的周长求出；(2)当△ABC 为钝角三角形时，在Rt △ABD 和Rt △ACD 中，运用勾股定理可将BD 和CD 的长求出，两者相减即为BC 的长，从而可将△ABC 的周长求出．解：此题应分两种情况进行讨论：(1)当△ABC 为锐角三角形时，在Rt △ABD 中，BD ＝AB 2－AD 2＝152－122＝9，在Rt △ACD 中，CD ＝AC 2－AD 2＝132－122＝5，∴BC ＝BD ＋CD ＝5＋9＝14，∴△ABC 的周长为15＋13＋14＝42；(2)当△ABC 为钝角三角形时，在Rt △ABD 中，BD ＝AB 2－AD 2＝152－122＝9.在Rt △ACD 中，CD ＝AC 2－AD 2＝132－122＝5，∴BC＝9－5＝4，∴△ABC 的周长为15＋13＋4＝32.∴当△ABC 为锐角三角形时，△ABC 的周长为42；当△ABC 为钝角三角形时，△ABC 的周长为32.方法总结：在题目未给出具体图形时，应考虑三角形是锐角三角形还是钝角三角形，凡符合题设的情况都要考虑，体现了分类讨论思想，这是解无图几何问题的常用方法．探究点三：勾股定理的逆定理 【类型一】 判断三角形的形状如图，正方形网格中有△ABC ，若小方格边长为1，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．以上答案都不对 解析：∵正方形小方格边长为1，∴BC ＝42＋62＝213，AC ＝22＋32＝13，AB ＝12＋82＝65.在△ABC 中，∵BC 2＋AC2＝52＋13＝65，AB 2＝65，∴BC 2＋AC 2＝AB2，∴△ABC 是直角三角形．故选A.方法总结：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．【类型二】 利用勾股定理的逆定理证明垂直关系如图，在正方形ABCD 中，AE ＝EB ，AF ＝14AD ，求证：CE ⊥EF .证明：连接CF ，设正方形的边长为4.∵四边形ABCD 为正方形，∴AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝4.∵点E为AB 中点，AF ＝14AD ，∴AE ＝BE ＝2，AF ＝1，DF＝3.由勾股定理得EF 2＝12＋22＝5，EC 2＝22＋42＝20，FC2＝42＋32＝25.∵EF 2＋EC 2＝FC 2，∴△CFE 是直角三角形，∴∠FEC ＝90°，即EF ⊥CE .方法总结：利用勾股定理的逆定理可以判断一个三角形是否为直角三角形，所以此定理也是判定垂直关系的一个主要方法．【类型三】 运用勾股定理的逆定理解决面积问题如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝90°，AB ＝8，BC ＝6，CD ＝24，AD ＝26，求四边形ABCD 的面积．解析：连接AC ，根据已知条件运用勾股定理的逆定理可证△ACD 为直角三角形，然后代入三角形面积公式将△ABC 和△ACD 这两个直角三角形的面积求出，两者面积相加即为四边形ABCD 的面积．解：连接AC ，∵∠B ＝90°，∴△ABC 为直角三角形．∵AC 2＝AB 2＋BC 2＝82＋62＝102，∴AC ＝10.在△ACD 中，∵AC 2＋CD 2＝100＋576＝676，AD 2＝262＝676，∴AC 2＋CD 2＝AD 2，∴△ACD为直角三角形，且∠ACD ＝90°，∴S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD＝12×6×8＋12×10×24＝144. 方法总结：此题将求四边形面积的问题转化为求两个直角三角形面积和的问题，既考查了对勾股定理逆定理的掌握情况，又体现了转化思想在解题时的应用．探究点四：互逆命题与互逆定理写出下列各命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题．(1)两直线平行，同旁内角互补； (2)垂直于同一条直线的两直线平行；(3)相等的角是内错角；(4)有一个角是60°的三角形是等边三角形．解析：分别找出各命题的题设和结论将其互换即可．解：(1)同旁内角互补，两直线平行．真命题；(2)如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一条直线(在同一平面内)．真命题；(3)内错角相等．假命题；(4)等边三角形有一个角是60°.真命题．方法总结：一个定理不一定有逆定理，只有当它的逆命题为真命题时，它才有逆定理．三、板书设计1．直角三角形的性质与判定直角三角的两个锐角互余；有两个角互余的三角形是直角三角形．2．勾股定理及勾股定理的逆定理直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．本节课充分发挥了学生动手操作能力、分类讨论能力、交流能力和空间想象能力，让学生充分体验到了数学思考的魅力和知识创新的乐趣，突显教学过程中的师生互动，使学生真正成为主动学习者.。
1.2.1直角三角形的性质与判定
没有逆定理
辨一辨
下列说法哪些正确，哪些不正确？
（1）每个定理都有逆定理。 × （2）每个命题都有逆命题。 √ （3）假命题没有逆命题。 × （4）真命题的逆命题是真命题。 ×
总结：1、所有的命题都有逆命题，但不一定是真命题 2、不是所有定理都有逆定理
3．如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，∠A＝40°，
假命题 真命题
(4)在一个三角形中，等角对等边。
真命题
在一个三角形中，等边对等角。
真命题
(5)磁悬浮列车是一种高速行驶时不接触地面的
交通工具。
真命题
高速行驶时不接触地面的交通工具是磁悬浮列车。 假命题
一个命题经证明是真命题，就可称为定理；
定理：两直线平行，内错角相等。
请说出其逆命题，并判断是真命题还是假命题：
A
B
1.具有等腰三角形的所有性质
2.具有直角三角形的所有性质
∠C=90°，∠A=∠B=45°
命题
条件
结论
⑴两直线平行，同位角相等 两直线平行 同位角相等
⑵同位角相等，两直线平行 同位角相等 两直线平行
⑶如果a＝b，那么a2＝b2。
a＝b
a2＝b2
⑷如果a2＝b2，那么a＝b。
a2＝b2
a＝b
观察表中的命题，命题⑴与命题⑵有什么关 系？命题⑶与命题⑷呢？
1.如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为30°
的斜坡，从Ａ滑至Ｂ．已知AB=200m，你知道这
名滑雪运动员的高度下降了多少ｍ吗？ A
B
30o
DC
2.如图，在△ABC中，AB=AC, ∠C=30°，
AD⊥AB,且AD=5cm,则CD,BD的长分别是多少？
1.2.1直角三角形的性质与判定-勾股定理 课件
勾股定理的各种表达式：
归纳（在RT△中已知两边求第三边)
在Rt△ABC中，∠C=90°, ∠A 、∠B、 ∠C的对边分别为a 、b 、c ,则:
c22=a22+b22
c= a2 b2
a2=c2-b2 b2=c2-a2
a= c2 b2 b= c2 a2
知识应用 归纳（在RT△中已知两边求第三边)
看到这个结果，如果你是数学家会想到什么？
探究：你会求出图形的 面积吗？
B A
C
C
图2
A
B
图3
A的 面积( 单位 长度)
B的 面积( 单位 长度)
C的 面积( 单位 长度)
图2
4 9 13
图3
9 25 34
A、B、
C面积 sA+sB=sC
关系
直角三 角形三 边关系
两直角边的平方和 等于斜边的平方.
以如
例1：求出下列直角三角形中未知边的长度。
A
x 9
A
x
B
7
C 40
B
C
25
解:(1)在Rt△ABC中,由勾 （2）在Rt△ABC中,由
股定理得：AB2=AC2+BC2 勾股定理:AB2+AC2=BC2
∵ AB=x，AC=9，BC=40
x2+72=252
x2=92+402 x2=81+1600 x2=1681 ∵x>0 ∴ x=41
∴a2+b2=c2
方法五 推理验证
青朱出入图
青出
青方
青 出
朱朱入入
青 入
朱朱
朱方 出出
华罗庚
青入
无字证明
1.2.1直角三角形判定
D
初中数学九年级
(苏科版)
上册
1.2直角三角形全等的判定（一）
预习与准备： ， ， ， 操作与思考：如图Rt△ABC,画Rt △A B C ， ， ， ， ， 使斜边AB= A B ，直角边AC= A C ，这 两个三角形全等吗？
A
C
B
斜边和一条直角边对应相等的两个 直角三角形全等。（简写HL）
已知：如图，在△ABC和 △A B C 中，∠ACB= , , , o , , , , ∠A C B =90 ，AB=A B ，AC=A C . 求证： △ABC≌△A B C A
, , , , , ,
A'
C
B B C'
B'
已知：如图，在△ABC和 △A B C 中，∠ACB= ∠A,C,B,=90o，BC=B,C,，AC=A,C,. , , , △ABC和△A B C 全等吗？为什么？
,
,
,
Hale Waihona Puke AA'C
B
C'
B'
直角三角形全等的条件有哪些？
三 课堂练习： 0 1、证明:在直角三角形中，30 所对的直角边 等于斜边的一半。
2、如图，CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别是D、 E, BE、CD相交于点O，如果AB=AC，哪 么图中有几对全等的直角三角形？取其中 的一对予以证明。
A
D B O
E C
3、已知：如图，AB=CD,AE⊥BD,CF ⊥BD, 垂足分别为E、F，且BF=DE. 求证： ∠ABD= ∠CDB.
A F E B C
八年级 下册 数学 PPT课件 精品课件 第一章 三角形的证明 直角三角形(一)
范例讲解 例2、写出命题“如果两个有理数相等，那么它 们的平方相等”的逆命题，这两个命题都是真命 题吗？ 解：其逆命题为“如果两个有理数的平方相等，
那么这两个有理数也相等” 原命题是真命题，而逆命题是假命题 训练题:写出下列命题的逆命题，并判断它们是真 命题还是假命题。 （1）两直线平行，同旁内角相等。 （2）如果a是偶数，b是偶数，那么a+b是偶数。 （3）在直角三角形中，如果一个锐角等于30˚，那 么它所对的直角边等于斜边的一半。 （4）等腰三角形的两腰相等。
∴这个三角形不是直角三角形
∴没有与60m长的南北边线垂直的边线
∴没有一条边线为东西向
ⅳ、观察下面两个命题：
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的 平方。
如果一个三角形两边的平方和等于第三边的 平方，那么这个三角形是直角三角形。
它们的条件和结论之间有什么关系？
合作交流 ⅴ、观察下面三组命题：
如果两个角是对顶角，那么它们相等， 如果两个角相等，那么它们是对顶角； 如果小明患了肺炎，那么他一定发烧， 如果小明发烧，那么他一定患了肺炎；
说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假:
(1)四边形是多边形； (2)两直线平行，同旁内角互补； (3)如果ab=0，那么a=0 b=0
解：(1)多边形是四边形．原命题是真命题， 而逆命题是假命题．
(2)同旁内角互补，两直线平行． 原命题与逆命题同为真命题．
(3)如果a=0，b=0，那么ab=0． 原命题是假命题，而逆命题
是真命题．
1.（钦州·中考）如图是一张直角三角形的纸片， 两直角边AC＝6 cm，BC＝8 cm，现将△ABC折叠， 使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（ ） （A）4 cm （B）5 cm
北师大版八年级数学下册第一章1.2.1直角三角形的性质与判定课件
（3）一个三角形中相等的边所对的角相等； 一个三角形中相等的角所对的边相等. 上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗？
与同伴交流.
1．在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别 是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称 为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆 命题．
2．如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么 它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理 的逆定理，这两个定理称为互逆定理．
证明： 如图(2) ，作Rt △A′B′C′ ，使
∠A′＝90° A′B′＝AB, A′C′＝AC,
则A′B′ 2＋A′C′ 2 ＝B′C′ 2（勾股定理）. ∵AB2＋AC2＝BC2 ， ∴BC2 ＝ B′C′ 2. ∴BC ＝ B′C′. ∴△ABC≌ △A′B′C′ (SSS). ∴ ∠A＝∠A′＝90°(全等三角形的对应角相等）. 因此， △ABC是直角三角形.
例3 判断下列命题的真假，写出逆命题，并判断逆命题 的真假： (1)如果两条直线相交，那么它们只有一个交点； (2)如果a＞b，那么a2＞b2； (3)如果两个数互为相反数，那么它们的和为零； (4)如果ab＜0，那么a＞0，b＜0.
导引：根据题目要求，先判断原命题的真假，再将原命题 的题设和结论部分互换，写出原命题的逆命题，最 后判断逆命题的真假．
AB·CD，
∴AC·BC＝AB·CD.又由方法一知AB＝15，
∴CD＝ 9 12 ＝ 36 ，即点C到AB的距离为 3 6 .
15 5
5
新知小结
应用方程思想求线段的长很常见，而用面积法求 线段的长更是简化了计算步骤，使解题过程变得 简明 易懂．
巩固新知
1 在△ABC中，已知∠A＝∠B＝45°，BC＝3， 求AB的长.
1.2.1直角三角形的性质和判定
直角三角形的性质和判定
勾股定理逆定理
结论
直角三角形的性质定理：
直角三角形两直角边a，b的平方和，等于斜边c的平方. a2+ b2 = c2
其实我国早在三千多年前就已经知道直角三 角形的上述性质，由于古人称直角三角形的直角 边中较短的一边为勾，较长的一边为股，斜边为 弦（如图1-14），因此这一性质被称为勾股定理.
图1-15
练习
在Rt△ABC中，∠C= 90°.
（1） 已知a = 25，b = 15，求c； （2） 已知a = 5，c = 9，求b； （3） 已知b = 5，c=15，求a.
b 2 14 ；（3） a 10 2 . 答：（1）c= 5 34 ；（2）
动脑筋
如图1-16，电工师傅把4m长的梯子AC 靠在 墙上，使梯脚C 离墙脚B 的距离为1.5m，准备在 墙上安装电灯. 当他爬上梯子后，发现高度不够， 于是将梯脚往墙脚移近0.5m，即移动到C′处. 那么，梯子顶端是否往上移动0.5m 呢？
解：过点C作CD⊥AB，垂足为D，
由已知得AB=30×
40 （海里）， 20 60
在Rt△CBD中，∠BCD=30°，
∴ BD =
∴ CD =
1 2
BC =
2
1 2
×20 = 10 （海里） .
2
CB - BD =
20 - 10
2
2
D
= 10 （海里） 3 > 10 （海里） .
因CD距离不在以点C为中心，周围10 海里范围内， 所以轮船不会触礁.
1.2直角三角形的性质和判定
说一说
如图1-1，在Rt△ABC中， ∠C=90°，两锐角的和等 于多少呢？
《直角三角形》参考教案1
第一章 证明（二）§1．2 直角三角形（一）课型：新授课 备课时间： 教学目标：1、了解勾股定理及其逆定理的证明方法2、结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题、知道原命题成立其逆命题不一定成立。
教学重点、难点：进一步掌握演绎推理的方法。
教学过程：一、 温故知新1、你记得勾股定理的内容吗？你曾经用什么方法得到了勾股定理？（由学生回顾得出勾股定理的内容。
）定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
二、 学一学1、 问题情境：在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，我们曾用度量的方法得出“这个三角形是直角三角形”的结论，你能证明这个结论吗？已知：在ΔABC 中，AB 2+AC 2=BC 2求证：ΔABC 是直角三角形a) （！） （2）（讲解证明思路及证明过程，引导学生领会证明思路及证明过程，得出结论。
）结论：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
2、议一议：观察下列三组命题，它们的条件和结论之间有怎样的关系？如果两个角是对顶角，那么它们相等。
如果两个角相等，那么它们是对顶角。
BC A B 2C 1如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧。
如果小明发烧，那么他一定患了肺炎。
三角形中相等的边所对的角相等。
三角形中相等的角所对的边相等。
（引导学生观察这些成对命题的条件和结论之间的关系，归纳出它们的共性，进一步得出“互逆定理”的概念。
）3、关于互逆命题和互逆定理。
（1）在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。
（2）一个命题是真命题，它的逆命题却不一定是真命题。
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理。
（引导学生理解掌握互逆命题的定义。
）4、练习：（1） 写出命题“如果有两个有理数相等，那么它们的平方相等”的逆命题，并判断是否是真命题。
1.2.1直角三角形的性质与判定教案
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与直角三角形相关的实际问题，如如何判断一个三角形是否为直角三角形。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用三角板和尺子测量并验证勾股定理。
3.直角三角形的判定：学习并掌握如何判断一个三角形是否为直角三角形，包括勾股定理的逆定理、直角三角形的判定定理等方法。
本节课将结合实际例题，让学生在实际操作中掌握直角三角形的性质与判定方法，提高学生解决实际问题的能力。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括以下三个方面：
1.培养学生的逻辑推理能力：通过引导学生探究直角三角形的性质与判定方法，让学生运用逻辑思维进行推理，提高其数学逻辑推理能力。
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是“1.2.1直角三角形的性质与判定”这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要判断一个三角形是否为直角三角形的情况？”（如测量墙壁的角度等）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索直角三角形的性质与判定的奥秘。
在总结回顾环节，我尝试让学生们自主总结本节课的重点内容，并提出疑问。这种方法有助于巩固知识点，也便于我发现学生们在学习中的盲点。但我也发现，有些学生在总结时容易忽略一些细节问题。因此，我需要在课后加强个别辅导，帮助学生查漏补缺。
其次，在实践活动环节，学生们在分组讨论和实验操作过程中，表现出较强的合作意识和动手能力。但我也注意到，有些小组在解决问题时，思路不够开阔，容易陷入固定思维模式。为了提高学生们的创新思维能力，我计划在以后的教学中，多设计一些具有挑战性的问题和实验，引导学生从不同角度思考问题。
北师大版八年级下册数学《1.2 第1课时 直角三角形的性质与判定》教学设计
北师大版八年级下册数学《1.2 第1课时直角三角形的性质与判定》教学设计一. 教材分析北师大版八年级下册数学《1.2 第1课时直角三角形的性质与判定》教材，主要介绍了直角三角形的性质与判定方法。
内容包括：直角三角形的定义、性质以及直角三角形的判定方法。
通过本节课的学习，使学生掌握直角三角形的性质与判定，为后续学习勾股定理和相似三角形打下基础。
二. 学情分析学生在七年级已经学习了三角形的性质和分类，对三角形有了一定的认识。
但直角三角形的性质和判定较为抽象，需要通过实例和动手操作来加深理解。
此外，学生可能对数学证明过程感到困难，需要教师在教学中给予引导和帮助。
三. 教学目标1.知识与技能：掌握直角三角形的性质与判定方法。
2.过程与方法：通过观察、操作、探究、归纳等方法，培养学生的几何思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养合作意识，体验成功的喜悦。
四. 教学重难点1.重点：直角三角形的性质与判定方法的运用。
2.难点：对直角三角形性质与判定方法的理解和应用。
五. 教学方法采用启发式教学法、小组合作学习法、直观演示法、实践操作法等，引导学生主动探究、积极思考，提高学生的几何思维能力。
六. 教学准备1.准备直角三角形的相关图片和实例。
2.准备几何画图工具，如直尺、圆规、三角板等。
3.准备多媒体教学设备，如投影仪、电脑等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示生活中常见的直角三角形的实例，如建筑工人使用的勾股尺、三角板等，引导学生回顾直角三角形的定义，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）教师利用多媒体展示直角三角形的性质与判定方法，引导学生观察、思考，并通过几何画图工具进行实际操作，让学生感受直角三角形的性质与判定方法。
3.操练（10分钟）教师提出一些有关直角三角形性质与判定的问题，学生进行小组讨论，引导学生运用所学知识解决问题。
在此过程中，教师应及时给予指导和鼓励，提高学生的问题解决能力。
直角三角形的性质和判定（1）（教案练习）
1.2.1直角三角形的性质与判定练习题一、选择题1.如图，带阴影的矩形面积是（）平方厘米．A．9 B．24 C．45 D．512、已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为（）．A．12B．7＋7C．12或7＋7D．以上都不对3.等腰三角形的腰长为10，底长为12，则其底边上的高为（）A．13 B．8 C．25 D．644.如果一个直角三角形的两条直角边分别为n2﹣1，2n（n＞1），那么它的斜边长是（）A．2n B．n+1 C．n2﹣1 D．n2+15.已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（）A．25 B．7 C．5和7 D．25或76.将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为h cm，则h的取值范围是（）．A．h≤17cm B．h≥8cmC．15cm≤h≤16cm D．7cm≤h≤16cm7.如图，在长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）A．6cm2 B．8cm2 C．10cm2 D．12cm2二、填空题8.在直角三角形ABC中，斜边AB=2，则AB2+AC2+BC2= ．9.如图，△ABC中，AC＝6，AB＝BC＝5，则BC边上的高AD＝______．10.如图，四边形ABCD是正方形，AE垂直于BE，且AE=3，BE=4，阴影部分的面积是．11.直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为 cm．12.如图，△ABC中，∠C=90°，AB垂直平分线交BC于D．若BC=8，AD=5，则AC等于．三、解答题13.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和是多少？14. 如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是∠ABC的平分线，CD=5 cm，求AB的长.15.去年某省将地处A、B两地的两所大学合并成了一所综合性大学，为了方便A、B两地师生的交往，学校准备在相距2.732km的A、B两地之间修筑一条笔直公路（即图中的线段AB），经测量，在A地的北偏东60°方向、B地的西偏北45°方向C处有一个半径为0.7km的公园，问计划修筑的这条公路会不会穿过公园？为什么？（3≈1.732）答案：1. C分析：根据勾股定理先求出直角边的长度，再根据长方形的面积公式求出带阴影的矩形面积．解：∵=15厘米，∴带阴影的矩形面积=15×3=45平方厘米．故选C．2.C（提示：因直角三角形的斜边不明确，结合勾股定理可求得第三边的长为5或7，所以直角三角形的周长为3＋4＋5＝12或3＋4＋7＝7＋7）故选C；3. B分析：先作底边上的高，由等腰三角形的性质和勾股定理即可求出此高的长度．解：作底边上的高并设此高的长度为x，根据勾股定理得：62+x2=102，解得：x=8．故选B．4. D分析：根据勾股定理直接解答即可．解：两条直角边与斜边满足勾股定理，则斜边长是：===n2+1．故选D．5. D分析：分两种情况：①当3和4为直角边长时；②4为斜边长时；由勾股定理求出第三边长的平方即可．解：分两种情况：①当3和4为直角边长时，由勾股定理得：第三边长的平方，即斜边长的平方=32+42=25；②4为斜边长时，由勾股定理得：第三边长的平方=42﹣32=7；综上所述：第三边长的平方是25或7；故选：D ．6. D （提示：筷子在杯中的最大长度为22815+＝17cm ，最短长度为8cm ，则筷子露在杯子外面的长度为24－17≤h ≤24－8，即7cm ≤h ≤16cm ，）故选D ．7. A分析：首先根据翻折的性质得到ED=BE ，再设出未知数，分别表示出线段AE ，ED ，BE 的长度，然后在Rt △ABE 中利用勾股定理求出AE 的长度，进而求出AE 的长度，就可以利用面积公式求得△ABE 的面积了．解：∵长方形折叠，使点B 与点D 重合，∴ED=BE ，设AE=xcm ，则ED=BE=（9﹣x ）cm ，在Rt △ABE 中，AB 2+AE 2=BE 2，∴32+x 2=（9﹣x ）2，解得：x=4，∴△ABE 的面积为：3×4×=6（cm 2）．故选：A ．8.分析：由三角形ABC 为直角三角形，利用勾股定理根据斜边AB 的长，可得出AB 的平方及两直角边的平方和，然后将所求式子的后两项结合，将各自的值代入即可求出值． 解：∵△ABC 为直角三角形，AB 为斜边，∴AC 2+BC 2=AB 2，又AB=2，∴AC 2+BC 2=AB 2=4，则AB 2+BC 2+CA 2=AB 2+（BC 2+CA 2）=4+4=8．故答案为：89. 3.6（提示：设DC ＝x ，则BD ＝5－x ．在Rt △ABD 中，AD 2＝52－（5－x ）2，在Rt △ADC 中，AD 2＝62－x 2，∴52－（5－x ）2＝62－x 2，x ＝3.6．故AD ＝226.36-＝4.8）；10. 分析：在直角三角形ABE 中，由AE 与BE 的长，利用勾股定理求出AB 的长，由正方形面积减去直角三角形面积求出阴影部分面积即可．解：∵AE⊥BE，∴∠AEB=90°，在Rt△ABE中，AE=3，BE=4，根据勾股定理得：AB==5，则S阴影=S正方形﹣S△ABE=52﹣×3×4=25﹣6=19，故答案为：19．11.分析：设直角三角形的三边边长分别为2n﹣2，2n，2n+2，由勾股定理得：两直角边的平方和等于斜边的平方，据此列出关于n的方程，求出符合题意n的值，即求出了直角三角形的三边长，之后求出周长即可．解：设直角三角形的三边边长分别为2n﹣2，2n，2n+2．由勾股定理得：（2n﹣2）2+（2n）2=（2n+2）2，解得：n1=4，n2=0（不合题意舍去），即：该直角三角形的三边边长分别为6cm，8cm，10cm．所以，其周长为6+8+10=24cm．12.分析：根据线段垂直平分线的性质可求得BD的长，从而求得CD的长，再根据勾股定理即可求得AC的长．解：∵AB垂直平分线交BC于D，AD=5，∴BD=AD=5，∵BC=8，∴CD=BC﹣BD=3，∴AC==4，故答案是：4．13.分析：根据正方形的面积公式，连续运用勾股定理，发现：四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积．解：由图形可知四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积，故正方形A ，B ，C ，D 的面积之和=49cm 2．故答案为：49cm 2． 14.解：.∵在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BD 是∠ABC 的平分线，∴∠ABD=∠CBD=30°.∴AD=DB.又∵Rt △CBD 中，CD=5 cm ，∴BD=10 cm.∴BC=22BD CD -=22105-=53(cm).∴AB=2BC=103 cm.15. 解 如图所示，过点C 作CD ⊥AB ，垂足为点D ，由题意可得∠CAB ＝30°，∠CBA ＝45°，在Rt △CDB 中，∠BCD ＝45°，∴∠CBA ＝∠BCD ，∴BD ＝CD ．在Rt △ACD 中，∠CAB ＝30°，∴AC ＝2CD ．设CD ＝DB ＝x ，∴AC ＝2x ．由勾股定理得AD ＝22CD AC -＝224x x -＝3x ．∵AD ＋DB ＝2.732，∴3x ＋x ＝2.732，∴x ≈1．即CD ≈1＞0.7，∴计划修筑的这条公路不会穿过公园．。
1.2.1 直角三角形的性质与判定同步练习(答案版)
1.2.1 直角三角形的性质与判定1．若△ABC的三边长a，b，c满足(a－b)(a2＋b2－c2)＝0，则△ABC是(D) A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形2．下列说法中错误的是(D)A．任何一个命题都有逆命题B．一个真命题的逆命题可能是真命题C．一个定理不一定有逆定理D．任何一个定理都没有逆定理3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，如果∠A＝50°，则∠DCB等于(A)A．50°B．45°C．40°D．25°4．【2020·绍兴】如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，将BC绕点B顺时针旋转θ(0°＜θ＜90°)，得到BP，连接CP，过点A作AH ⊥CP交CP的延长线于点H，连接AP，则∠PAH的度数(C)A．随着θ的增大而增大B．随着θ的增大而减小C．不变D．随着θ的增大，先增大后减小【点拨】由旋转的性质可得BP＝BC，又BA＝BC，则BC＝BP＝BA，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求∠BPC＋∠BP A＝135°＝∠CP A，由三角形的外角的性质可求∠P AH＝135°－90°＝45°，故选C.【答案】C5．【2020·威海】七巧板是大家熟悉的一种益智玩具．用七巧板能拼出许多有趣的图案．小李将一块等腰直角三角形硬纸板(如图①)切割七块，正好制成一副七巧板(如图②)．已知AB＝40 cm，则图中阴影部分的面积为(C)A．25 cm2 B.1003cm2C．50 cm2D．75 cm26．【2020·河北】如图，从笔直的公路l旁一点P出发，向西走6 km到达l；从点P出发向北走6 km也到达l.下列说法错误的是(A)A．从点P向北偏西45°走3 km到达lB．公路l的走向是南偏西45°C．公路l的走向是北偏东45°D．从点P向北走3 km后，再向西走3 km到达l7.【中考·黄冈】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD＝2，CE＝5，则CD＝(C)A．2 B．3 C．4 D．23【点拨】延长CE至F，使EF＝CE，连接AF，可得△CEB≌△FEA，∴∠B＝∠FAE，BC＝AF.∵∠ACB＝90°，∴∠B＋∠BAC＝90°.∴∠FAE＋∠BAC＝90°，即∠CAF＝90°.可得△ABC≌△CFA.∴AB＝CF.∵AE＝12AB，CE＝12CF，∴AE＝CE＝5.∵AD＝2，∴DE＝3.在Rt△CDE中，CD＝CE2－DE2＝4.【答案】C8．如图，在△ABC中，AC＝8，∠ABC＝60°，∠C＝45°，AD⊥BC，垂足为D，∠ABC的平分线交AD于点E，则AE的长为(C)A．43 2 B．2 2C．83 2 D．32【点拨】∵AC＝8，∠C＝45°，AD⊥BC，∴AD＝CD＝4 2.又∵∠ABC＝60°，BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠DBE＝∠DAB＝30°，∴BE＝AE＝2DE，∴AE＝23AD＝823.【答案】C9．【中考·东营】如图，圆柱的高AB＝3，底面直径BC＝3，现有一只蚂蚁想从A处沿圆柱表面爬到C处捕食，则它爬行的最短距离是(C)A．31＋πB．32 C.34＋π22D．31＋π210.【2020·重庆A】如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着AD翻折，得到△AED，DE与AC相交于点G，连接BE交AD 于点F.若DG＝GE，AF＝3，BF＝2，△ADG的面积为2，则点F到BC的距离为(B)A.55 B.255 C.455 D.433点拨】由题意知AD 垂直平分BE ，先求出△ABD 的面积，再根据三角形的面积公式求出DF ，然后根据勾股定理求出BD ，设点F 到BD 的距离为h ，根据12BD ·h＝12BF ·DF 即可解决问题．【答案】B11．【中考·包头】已知下列命题：①若a b >1，则a >b ；②若a ＋b ＝0，则|a |＝|b |；③等边三角形的三个内角都相等；④底角相等的两个等腰三角形全等．其中原命题与逆命题均为真命题的有( A )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12．【中考·黔西南州】一直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为( D )A ．5 B. 5 C.7 D ．5或7【点拨】因为已知的两条边未指明是直角边还是斜边，所以需对两条边分类讨论．当3和4为直角边长时，则第三边为斜边，由勾股定理得第三边长为5；当3为直角边长，4为斜边长时，第三边为直角边，由勾股定理得第三边长为7.故选D.本题易因没有分类讨论，直接将3和4作为直角边长去求斜边的长而出错．二．填空题13.命题“全等三角形对应角相等”的逆命题是___“对应角相等的三角形是全等三角形”,它是一个____假___(选填“真”或“假”)命题.14．在直角三角形中，一个锐角比另外一个锐角的3倍还多10°，则这两个角分别为___20°和70°_______．15．如图，在△ABC中，CE平分△ACB，CF平分△ACD，且EF△BC交AC于M，若CM＝5，则CE2＋CF2＝_100_______．16.(教材P18T5变式)如图，一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A 点沿纸箱表面爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是___10_____．17．如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B 落在CD边上的点B′处，点A的对应点为点A′，且B′C＝3，CN的长=__4____解析：设CN＝x，则B′N＝BN＝9－x.在Rt△B′CN中，根据勾股定理，得B′N2＝CN2＋B′C2，即(9－x)2＝x2＋32，解得x＝4.故CN的长为4.三．计算证明题18．如图，在△ABC中，∠B＞∠A，CD是∠ACB的平分线，CE是AB边上的高．(1)若∠A＝40°，∠B＝72°，求∠DCE的度数；(2)试写出∠DCE与∠A，∠B之间的数量关系，并证明．解：(1)∵∠A＝40°，∠B＝72°，∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝68°.∵CD是∠ACB的平分线，∴∠BCD＝12∠ACB＝34°.又∵CE⊥AB，∠B＝72°，∴∠BCE＝18°.∴∠DCE＝∠BCD－∠BCE＝16°.（2）：∠DCE＝12(∠B－∠A)．(2)证明：∠DCE＝90°－∠CDE＝90°－(∠A＋∠ACD)＝90°－⎝ ⎛⎭⎪⎫∠A ＋12∠ACB ＝90°－[∠A ＋12×(180°－∠A －∠B )]＝90°－(∠A ＋90°－12∠A －12∠B )＝12(∠B －∠A )19．【中考·内蒙古】如图，已知△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB ＝∠ECD ＝90°，D 为AB 边上一点．求证：(1)△ACE ≌△BCD ； (2)2CD2＝AD2＋DB2.（1）证明：∵△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，且∠ACB ＝∠DCE ＝90°，∴AC ＝BC ，CD ＝CE ，∠ECD －∠ACD ＝∠ACB －∠ACD .∴∠ACE ＝∠BCD .在△ACE 和△BCD 中，⎩⎨⎧AC ＝BC ，∠ACE ＝∠BCD ，CE ＝CD ，∴△ACE ≌△BCD (SAS)．（2）解：∵△ACB 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，∴∠B ＝∠BAC ＝45°.∵△ACE ≌△BCD ，∴AE ＝BD ，∠CAE ＝∠B ＝45°.∴∠DAE ＝∠CAE ＋∠BAC ＝45°＋45°＝90°.∴AD2＋AE2＝DE2.又∵AE ＝DB ，DE2＝CD2＋CE2＝2CD2，∴2CD2＝AD2＋DB2.20．(中考·柳州)如图，在△ABC 中，D 为AC 边的中点，且DB ⊥BC ，BC ＝4，CD ＝5.求：(1)DB 的长；(2)△ABC 中BC 边上的高．图1 图2解：（1）∵DB ⊥BC ，BC ＝4，CD ＝5，∴DB ＝52－42＝3.（2）：如图2，延长BD 至点E ，使DE ＝BD ，连接AE ，∴BE ＝2BD ＝6.∵D 是AC 的中点，∴AD ＝DC . 在△BDC 和△EDA 中，⎩⎨⎧CD ＝AD ，∠CDB ＝∠ADE ，BD ＝ED ，∴△BDC ≌△EDA (SAS)．∴∠CAE ＝∠BCD .∴AE ∥BC .∵DB ⊥BC ，∴BE ⊥AE .∴BE的长度等于△ABC中BC边上的高．∴△ABC中BC边上的高为6.21．【2019·枣庄】在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC于点D.(1)如图①，点M，N分别在AD，AB上，且∠BMN＝90°，当∠AMN＝30°，AB＝2时，求线段AM的长；(2)如图②，点E，F分别在AB，AC上，且∠EDF＝90°，求证：BE＝AF；(3)如图③，点M在AD的延长线上，点N在AC上，且∠BMN＝90°，求证：AB＋AN＝2AM.【点拨】通过构造全等三角形更容易找出线段间的数量关系．解：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∠ABC＝∠ACB＝45°，∠BAD＝∠CAD＝45°.∴AD＝BD＝CD.∵AB＝2，∴AD＝BD＝CD＝ 2.∵∠AMN＝30°，∠BMN＝90°，∴∠BMD＝180°－90°－30°＝60°.∴∠MBD＝30°.∴BM＝2DM.由勾股定理得BM2－DM2＝BD2，即(2DM)2－DM2＝(2)2，解得DM ＝63.∴AM ＝AD －DM ＝2－63.证明：（2）∵AD ⊥BC ，∠EDF ＝90°，∴∠BDE ＋∠ADE ＝90°，∠ADF ＋∠ADE ＝90°.∴∠BDE ＝∠ADF .由(1)知∠B ＝∠DAF ，BD ＝AD .在△BDE 和△ADF 中，⎩⎨⎧∠B ＝∠DAF ，BD ＝AD ，∠BDE ＝∠ADF ，∴△BDE ≌△ADF (ASA)．∴BE ＝AF .证明：如上图，过点M 作ME ∥BC ，交AB 的延长线于点E ，∵AD ⊥BC ，∴∠ADB ＝90°.∵ME ∥BC ，∴∠AME ＝∠ADB ＝90°.由(1)知∠EAM ＝∠NAM ＝45°，∴∠E ＝∠EAM ＝∠NAM ＝45°.∴ME ＝MA .∴AE ＝2AM .∵∠AME ＝90°，∠BMN ＝90°，∴∠BME ＋∠AMB ＝90°，∠NMA ＋∠AMB ＝90°.∴∠BME ＝∠NMA .在△BME 和△NMA 中，⎩⎨⎧∠E ＝∠NAM ，ME ＝MA ，∠BME ＝∠NMA ，∴△BME ≌△NMA (ASA)．∴BE ＝AN .∴AB ＋AN ＝AB ＋BE ＝AE ＝2AM .22．【2020·苏州】问题1：如图①，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠C ＝90°，P 是BC 上一点，P A ＝PD ，∠APD ＝90°.求证：AB ＋CD ＝BC .问题2：如图②，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠C ＝45°，P 是BC 上一点，P A ＝PD ，∠APD ＝90°.求AB ＋CD BC 的值．【思路点拨】易证△BAP ≌△CPD ，可得BP ＝CD ，AB ＝PC ，可得结论；证明：（1）∵∠B ＝∠APD ＝90°，∴∠BAP ＋∠APB ＝90°，∠APB ＋∠DPC ＝90°，∴∠BAP ＝∠DPC .又∵P A ＝PD ，∠B ＝∠C ，∴△BAP ≌△CPD ，∴BP ＝CD ，AB ＝PC ，∴BC ＝BP ＋PC ＝AB ＋CD . 【思路点拨】过点A 作AE ⊥BC 于E ，过点D 作DF ⊥BC 于F ，由(1)知EF ＝AE ＋DF ，由等腰直角三角形性质可求解．（2）解：如上图，过点A 作AE ⊥BC 于E ，过点D 作DF ⊥BC 于F .由(1)可知，EF ＝AE ＋DF ，∵∠B ＝∠C ＝45°，AE ⊥BC ，DF ⊥BC ，∴∠B ＝∠BAE ＝45°，∠C ＝∠CDF ＝45°，∴BE ＝AE ，CF ＝DF ，AB ＝2AE ，CD ＝2DF ，∴BC ＝BE ＋EF ＋CF ＝2(AE ＋DF )，∴AB ＋CD BC ＝2（AE ＋DF ）2（AE ＋DF ）＝22.。
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1、进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力。 2、了解勾股定理及其逆定理的证明方未能，能够证明直角三角形全等的“HL”判定定 理。 3、结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立其逆命题不 一定成立。 直角三角形的性质和判定定理 逆命题的表达 三角板 示范、引导、推理、归纳、练习 补充修正体会
装
教学过程： 引入：我们曾经利用数方格和割补图形的方未能得到了勾股定理。实际上，利用公 理及其推导出的定理，我们能够证明勾股定理。 定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。 如图，在△ABC 中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c，
订
线
延长 CB 至点 D，使 BD=b，作∠EBD=∠A，并取 BE=c，连接 ED、AE，则△ABC ≌△BED。 ∴∠BDE=90°，ED=a（全等三角形的对应角相等，对应边相等） 。 ∴四边形 ACDE 是直角梯形。 ∴S 梯形 ACDE = 1 1 (a+b)(a-b)= (a+b)2 2 2
∴∠ABE=180°-∠ABC-∠EBD=180°- 90°=90° AB=BE ∴S△ABC = 1 2 c 2
宝鸡市店子街中学活页课时教案
第 ∵S 梯形 ACDE = S△ABE +S△ABC+ S△BED , 1 1 1 1 ∴ (a+b)2= c2+ ab+ ab 2 2 2 2 ∴a2+b2=c2 反过来，在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，我们曾用度量的 方法得出“这个三角形是直角三角形”的结论，你能证明这个结论吗？ 已知：如图，在△ABC，AB2+AC2=BC2，求证：△ABC 是直角三角形。 即 1 2 1 1 1 1 a +ab+ b2= c2+ ab+ ab 2 2 2 2 2 页
宝鸡市店子街中学活页课时教案
第 年级： 九年级五班（六班） 周 课 次 题 第 周 教学时间 直角三角形（一） 学科： 数 学 课时 累计课时 课型 新授课 教者： 薛迎博 第一课时 页
教学目标 （知识与 技能、过 程与方法、 情感态度 与价值观） 教学重点 教学难点 辅助教具 教学方法 与学习方法
证明：作出 Rt△A’B’C’，使∠A=90°，A’B’=AB，A’C’=AC，则 A’B’2+A’C’2=B’C’2 （勾股定理） ∵AB2+AC2=BC2 ，A’B’=AB，A’C’=AC， ∴BC2= B’C’2 ∴BC=B’C’ ∴△ABC≌△A’B’C’ (SSS) ∴∠A=∠A’=90°(全等三角形的对应角相等) 因此，△ABC 是直角三角形。 定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。 在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么 这两个命题称为另一个命题的互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。 一个命题是真命题，它的逆命Байду номын сангаас却不一定是真命题。如果一个定理的逆命题经过证 明是真命题，那么它也是一个定理。这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为 另一个定理的逆定理。 练习题：随堂练习 作业：习题 1.4 第 1、2、3 题 教学后记： 学生对于逆命题的表达，正如我所担心的那样，意思明白，就是不能正确的表 达，对于直角三角形的相关知识掌握让人满意，但对于逆命题的表达，看来后面还 应该安排时间做一些练习和训练。