含根式函数值域的求法
函数值域的13种求法
函数值域十三种求法1. 直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
例1. 求函数x 1y =的值域解：∵0x ≠∴0x 1≠显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞例2. 求函数x 3y -=的值域解：∵0x ≥3x 3,0x ≤-≤-∴故函数的值域是：]3,[-∞2. 配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例3. 求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域 解：将函数配方得：4)1x (y 2+-= ∵]2,1[x -∈由二次函数的性质可知：当x=1时，4y min =，当1x -=时，8y max = 故函数的值域是：[4，8]3. 判别式法(只有定义域为整个实数集R 时才可直接用)例4. 求函数22x 1x x 1y +++=的值域 解：原函数化为关于x 的一元二次方程0x )1y (x )1y (2=-+-（1）当1y ≠时，R x ∈0)1y )(1y (4)1(2≥----=∆解得：23y 21≤≤ （2）当y=1时，0x =，而⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,211 故函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21例5. 求函数)x 2(x x y -+=的值域解：两边平方整理得：0y x )1y (2x 222=++-（1） ∵R x ∈∴0y 8)1y (42≥-+=∆ 解得：21y 21+≤≤-但此时的函数的定义域由0)x 2(x ≥-，得2x 0≤≤由0≥∆，仅保证关于x 的方程：0y x )1y (2x 222=++-在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由 0≥∆求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21。
可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。
∵2x 0≤≤0)x 2(x x y ≥-+=∴21y ,0y min +==∴代入方程（1）解得：]2,0[22222x 41∈-+=即当22222x 41-+=时，原函数的值域为：]21,0[+注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。
巧用三角换元法解含根式的函数值域题
ö ø
≤
1
，
∴ f (x) = x +
1 - x2的值域 为 éêë
2 2
，1ùú û
.
解答形如 f (x) = kx + a - bx2 的函数值域问题，需首
先设 x =
a b
cos2
θ
,将原函数化为
y
=
k
a b
cos
θ
+
a sin θ
的形式，然后利用辅助角公式将三角函数式化简，再
根据三角函数的有界性来求得函数的值域.
sin
α2∙2
sin
β 2
+
2
cos
α2∙2
cos
β 2
= 2 cos （α2 - 2β） ≤ 2 ，
(x - z)(y - z) + (x + z)(y + z)
即
xy
≤2.
该函数式较为复杂，需首先将不等式进行变形，
然后令
z x
= cos α,
z y
= cos β
，通过三角换元，将问题转
化为三角函数最值问题，通过三角恒等变换将三角函
例 2.试求 f (x) = x - 4 + 15 - 3x 的值域.
解：设 x = 4 + cos2θ(0 ≤ θ ≤ π) ，
∴原函数为 y = 4 + cos2θ - 4 + 15 - 3(4 + cos2θ)
=
cos2θ +
3 sin2θ = cos θ +
3 sin
θ
=
2
sinæè
θ
+
几类根式函数的值域(或最值)求法
— 二＝ —— ＿ ＝＝＝ 的函数的值域 均可用分子 ） （ 或分母 ） 有理化化简后再 结合函数单调性求
得．
＿ ） ＝２为常数 ， 『 可考 虑用分 子有理 化
达 到 目的．
Ｙ ＝ ｘ七１ 一 ２
一
二 、 元 法 换
ｘ一 １
例 ２ 求下列函数的值域 ： （ ） ＋１一 ／ １，＝ ｘ一１ ；
到 目的 ；
、
分子 、 母 有 理 化 法 分
例 １ 求函数ｙ＝
一 ＿＿的值 战 Ｉ ＿
③ 求形如 Ｙ＝
／ ｘ＋ａ 一 ／ ｘ＋ｂ
＋ｎ一
＋ｂ 或 Ｙ＝ （
分析 直接求解 比较困难 ， 用导数法 求
解 又 比 较 麻 烦． 注 意 到 （ ＋１ 一 ）
高中数学教 与学
２１ ０１置
几类稂式函数硇值域 （ 或最值 ） 求法
王 亚
（ 湖北 省孝感 高级 中学 ， ２０ ） ４ １０ ３
函数的值域 （ 或最值 ）是高考 常考题型 ， 在最 近几年高考试题 中经常 涉及到求 根式 函 数的值域 （ 或最值 ）问题． 本文就 考试 中常 出
４Ｒ ・
一
解 为 圆 程 化 詈＋ １ 因 椭 方 可 为 等＝，
所 以可设椭 圆上任一点 Ｍ的坐标为 （ ｏ ， √ ｃｓ ｓ ） 其中 ∈ ［ ，￣） 代人直线 方程 ， ｉ ｎ妒 ， ０２ｒ ．
．
１≤ｓ （ ＋ ≤ １ ｉ ） ｎ 即可 ， 即
＋４ ｏ ｃｓ０≥
２ 从而推出 ｃｓ０≥ ｉ ． ， ｏ １ 答案为 Ｃ ．
Ｈ Ⅱ ／ ２＋４ ｏ。 ｓ （ ＋ ｃ ｓ ｉ ）＝２ Ｏｎ ，
（ ０ 寻或 ｐ ｃ ≤ ≤ ≤ ≤ ）
高中数学：求函数值域的方法十三种(二)
高中数学：求函数值域的方法十三种（二）五、判别式法：把函数转化成关于x 的二次方程(,)0F x y =；通过方程有实数根，判别式0∆≥，从而求得原函数的值域，形如21112222a xb xc y a x b x c ++=++（1a 、2a 不同时为零）的函数的值域，常用此方法求解。
（解析式中含有分式和根式。
）【例1】求函数2211x x y x ++=+的值域。
【解析】原函数化为关于x 的一元二次方程,由于x 取一切实数，故有（1）当时，解得：（2）当y=1时，，而故函数的值域为【例2】求函数y x =+的值域。
【解析】两边平方整理得：（1）∵∴解得：但此时的函数的定义域由，得由，仅保证关于x的方程：在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为。
可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。
∵代入方程（1）解得：即当时，原函数的值域为：注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。
解法二：2(2)1(x 1)y x x x x =+-=+--]2,2[sin 1ππθθ-∈=-x )4sin(21cos sin 1πθθθ++=++=y 4344ππθπ≤+≤-14sin(22≤+≤-πθ原函数的值域为：【例3】已知函数222()1x ax b f x x ++=+的值域为[1，3]，求,a b 的值。
【解析】2221x ax by x ++=+22(2)04(y 2)(y b)0y x ax y b a ⇒--+-=⇒∆=---≥2244(2b)y 8b a 0y -++-≤。
由于222()1x ax bf x x ++=+的值域为[1，3]，故上式不等式的解集为{y|1≤y≤3}1221221328234y y b a b ab y y +=+=+⎧=±⎧⎪⇒⇒⎨⎨-===⎩⎪⎩【例4】求函数2212+++=x x x y 的值域。
破解根式函数的三大值域问题
２
ａｒ ｃ ｔ ａ ｎ—
Ｄ 、 ／ｄ 因为一 ＜ ＜ ， 所 以 可得 一 ＋
２ ２
综 上 所述 ．所 求 函数 的值 域 为
解 答 ｓ ｉ ｎ ｔ ／ 一 号 ≤ ｔ ≤ 詈 ） ，
即口 、 ／ ＝
ａ ２ ｄ — ｂ ｃ
— — — —
佩 ＝ 俘 ＿ ｃ ｏ ｓ ・
ｓ ｉ ｎ ＝
俘
一
≥ ０ ， 黼
ｂ ｃ ＋ ａ ｄ 于是ｙ ： 、 ／ ｍ ＋ 、 ／ 了 ．
，
— ａ — ＋ — — ｃ — — ） — 。 ａｃ （
由线性规划 （ 如 图 １） 可得ｙ 一：
可知 当￡ ＋ ＝ 时， 函数 有 最 大
值ｙ 一＝
ｊ ｝ ６ Ｉ ｃ ｏ ｓ ｔ Ｉ ＝ ａ ｋ ｓ ｉ ｎ ｔ ＋ ｋ ｂ ｃ ｏ ｓ ｔ ＝ ｋ Ｘ ／ ａ Ｙ ￣ ．
＝
ｓ ｉ ｎ （ ｔ ＋ ￣ ｖ ） ．
解答１ （ 三角换元法 ） 令佰
ｃ ｏ ｓ ０￣ ＞ ０， ＝ ｓ ｉ ｎ ≥ ０，
时， 函数 取得 最 小值 ，
法二 （ 三角换 元法 ） ： 由 已知 得
解 答 法一 （ 求导法 ） ： 由 已知
得 ｛ 似 ＋ ６ ≥ ０ ， 所 以 原 函 数 的 定 义 域 【 － ｃ ｘ＋ ｄ≥ ０．
为
（ 俘 ） ＋ （
＼ Ｉ ／ 一 一 ｂ ｃ ∞ ＋ ａ ｄ ’
一
∈
、 ／５］ ．
点评
．
换 元 法 是 实现 转化 问 题
解 答
一
的 重要 手段 ，常 用 的 换 元 方 法 有 代
函数求值域15种方法
函数求值域15种方法在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。
研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。
确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。
对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。
本文就函数值域求法归纳如下，供参考。
基本知识1.定义：因变量y的取值范围叫做函数的值域（或函数值的集合）。
2.函数值域常见的求解思路：⑴划归为几类常见函数，利用这些函数的图象和性质求解。
⑵反解函数，将自变量x用函数y的代数式形式表示出来，利用定义域建立函数y的不等式，解不等式即可获解。
⑶可以从方程的角度理解函数的值域，从方程的角度讲，函数的值域即为使关于x的方程y=f(x)在定义域内有解的y得取值范围。
特别地，若函数可看成关于x的一元二次方程，则可通过一元二次方程在函数定义域内有解的条件，利用判别式求出函数的值域。
⑷可以用函数的单调性求值域。
⑸其他。
1. 直接观察法对于一些比较简单的函数，通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域例1. 求函数的值域。
解：∵∴显然函数的值域是：2. 配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例2. 求函数的值域。
解：将函数配方得：∵由二次函数的性质可知：当x=1时，，当x=-1时，故函数的值域是：[4，8]3. 判别式法例3. 求函数的值域。
解：两边平方整理得：（1）∵∴解得：但此时的函数的定义域由，得由，仅保证关于x的方程：在实数集R有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为。
可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。
∵∴∴代入方程（1）解得：即当时，原函数的值域为：注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。
函数专题：函数值域的6种常用求法-【题型分类归纳】
函数专题：函数值域的6种常用求法一、函数的最大（小）值1、最大值：对于函数y＝f(x)，其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≤M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最大值，记作y max＝f(x0)．2、最小值：对于函数y＝f(x)，其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≥M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最小值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最小值，记作y min＝f(x0)．3、几何意义：函数最大值对应图象中的最高点，最小值对应图象中的最低点，它们不一定只有一个．二、求函数值域的6种常用求法1、单调性法：如果一个函数为单调函数，则由定义域结合单调性可快速求出函数的最值(值域)．（1）若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则y max＝f(b)，y min＝f(a)．（2）若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则y max＝f(a)，y min＝f(b)．（3）若函数y＝f(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大(小)值．函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值．2、图象法：作出函数的图象，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域，以下函数常会考虑进行数形结合．（1）分段函数：尽管分段函数可以通过求出每段解析式的范围再取并集的方式解得值域，但对于一些便于作图的分段函数，数形结合也可很方便的计算值域．（2）()f x的函数值为多个函数中函数值的最大值或最小值，此时需将多个函数作于同一坐标系中，然后确定靠下(或靠上)的部分为该()f x函数的图象，从而利用图象求得函数的值域．3、配方法：主要用于二次函数或可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围.4、换元法：换元法是将函数解析式中关于x 的部分表达式视为一个整体，并用新元t 代替，将解析式化归为熟悉的函数，进而解出最值(值域)．（1）在换元的过程中，因为最后是要用新元解决值域，所以一旦换元，后面紧跟新元的取值范围． （2）换元的作用有两个：①通过换元可将函数解析式简化，例如当解析式中含有根式时，通过将根式视为一个整体，换元后即可“消灭”根式，达到简化解析式的目的．②可将不熟悉的函数转化为会求值域的函数进行处理 5、分离常数法：主要用于含有一次的分式函数，形如+=+ax b y cx d或2++=+ax bx e y cx d （a ，c 至少有一个不为零）的函数，求其值域可用此法以+=+ax by cx d为例，解题步骤如下： 第一步，用分子配凑出分母的形式，将函数变形成=++a ey c cx d的形式， 第二步，求出函数=+e y cx d 在定义域范围内的值域，进而求出+=+ax by cx d的值域。
函数值域的求法典例精讲
函数值域的求法典例精讲1、换元法：例1：函数()2f x x =-的值域是（）A.[)0,+∞ B.17,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C.5,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D.15,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭思路：解析式中只含一个根式，所以可将其视为一个整体换元，从而将解析式转为二次函数，求得值域即可。
解：()f x 的定义域为[)1,+∞令t =0t ∴≥，则21x t =+()2211521248y t t t ⎛⎫∴=+-=-+⎪⎝⎭[)0,t ∈+∞ ()f x ∴的值域为15,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭例2（1）函数113x y -=的值域为（）A.()0,+∞ B.()()0,11,+∞ C.{}|1x x ≠ D.()1,+∞（2）函数()[]1428,2,2xx f x x +=--∈-的值域为__________（3）函数1ln 1x x e y e +=-的值域为__________思路：（1）本题可视为()3f x y =的形式，所以可将指数进行换元，从而转化为指数函数值域问题：令11t x =-，则()(),00,t ∈-∞+∞ ，所以可得()()30,11,ty =∈+∞ （2）如前文所说，()()214282228xx x x f x +=--=-⋅-，将2x视为一个整体令2x t =，则可将其转化为二次函数求得值域解：()()214282228xx xx f x +=--=-⋅-令2xt =[]2,2x ∈- 1,44t ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦()222819y t t t =--=--()f x ∴的值域为[]9,0-（3）所求函数为()ln f x ⎡⎤⎣⎦的形式，所以求得11x x e e +-的范围，再取对数即可。
对11x x e e +-进行变形可得：12111x x xe e e +=+--，从而将1x e -视为一个整体，即可转为反比例函数，从而求得范围解：定义域：()100,xe x ->⇒∈+∞12111x x xe e e +=+-- 令1xt e =-()0,t ∴∈+∞()211,t ∴+∈+∞()1ln 0,1x x e y e +∴=∈+∞-答案：（1）B（2）[]9,0-（3）()0,+∞例3：已知函数()[]23log ,1,4f x x x =+∈，则()()()22g x f x f x =-⎡⎤⎣⎦的值域为（）A.[]18,2-- B.[]11,6-- C.[]18,6- D.[]11,2--思路：依题意可知()()()22222223log 3log log 4log 6g x x x x x =+-+=---，所以可将2log x 视为一个整体换元，从而将问题转化为求二次函数值域，但本题要注意的是()g x 的定义域，由已知()f x 的定义域为[]1,4，则()()()22g x f xf x =-⎡⎤⎣⎦的定义域为：21414x x ⎧≤≤⎨≤≤⎩，解得：[]1,2x ∈，而不是[]1,4解：()()22223log 3log g x x x =+-+()222232log log 6log 9x x x ⎡⎤=+-++⎣⎦()222log 4log 6x x =---()f x 的定义域为[]1,4，且()()()22g x f x f x =-⎡⎤⎣⎦21414x x ⎧≤≤∴⎨≤≤⎩，解得：[]1,2x ∈令2log t x =，则[]0,1t ∈()224622y t t t ∴=---=-+-[]11,6y ∴∈--，即()g x 的值域为[]11,6--答案：B 2、数形结合例4：（1）设函数()y f x =定义域为R ，对给定正数M ，定义函数()()()(),,M f x f x M f x M f x M≤⎧⎪=⎨>⎪⎩则称函数()M f x 为()f x 的“孪生函数”，若给定函数()22,20,121,0x x x f x M x ⎧--≤≤⎪==⎨->⎪⎩，则()M y f x =的值域为（）A.[]2,1- B.[]1,2- C.(],2-∞ D.(],1-∞-（2）定义{}min ,,a b c 为,,a b c 中的最小值，设(){}2min 23,1,53f x x x x =++-，则()f x 的最大值是__________思路：（1）根据“孪生函数”定义不难发现其图像特点，即以y M =为分界线，()f x 图像在y M =下方的图像不变，在M 上方的图像则变为y M =，通过作图即可得到()M f x 的值域为[]2,1-（2）本题若利用{}min ,,a b c 的定义将()f x 转为分段函数，则需要对三个式子两两比较，比较繁琐，故考虑进行数形结合，将三个解析式的图像作在同一坐标系下，则()f x为三段函数图像中靠下的部分，从而通过数形结合可得()f x 的最大值点为21y x =+与53y x =-在第一象限的交点，即211253x y x y y x=⎧=+⎧⇒⎨⎨==-⎩⎩，所以()max 2f x =答案：（1）A（2）2例5：已知函数()()()()222222,228f x x a x a g x x a x a =-++=-+--+，设()()(){}()()(){}12max ,,min ,H x f x g x H x f x g x ==，（其中{}max ,p q 表示,p q 中的较大值，{}min ,p q 表示,p q 中的较小值）记()1H x 的值域为A ，()2H x 的值域为B ，则A B = ______________思路：由()()12,H x H x 的定义可想到其图像特点，即若将()(),f x g x 的图像作在同一坐标系中，那么()1H x 为()(),f x g x 图像中位于上方的部分，而()2H x 为()(),f x g x 图像中位于下方的部分。
函数值域求法十五种
函数值域求法十五种在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。
研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。
确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。
对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。
本文就函数值域求法归纳如下，供参考。
基本知识1.定义：因变量y的取值范围叫做函数的值域（或函数值的集合）。
2.函数值域常见的求解思路：⑴划归为几类常见函数，利用这些函数的图象和性质求解。
⑵反解函数，将自变量x用函数y的代数式形式表示出来，利用定义域建立函数y的不等式，解不等式即可获解。
⑶可以从方程的角度理解函数的值域，从方程的角度讲，函数的值域即为使关于x的方程y=f(x)在定义域内有解的y得取值范围。
解：将函数配方得：∵由二次函数的性质可知：当x=1时，，当x=-1时，故函数的值域是：[4，8]3. 判别式法例3. 求函数的值域。
解：两边平方整理得：（1）∵∴解得：但此时的函数的定义域由，得由，仅保证关于x的方程：在实数集R有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为。
可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。
∵∴∴代入方程（1）解得：即当时，原函数的值域为：注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。
4. 反函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。
例4. 求函数值域。
解：由原函数式可得：则其反函数为：，其定义域为：故所求函数的值域为：5. 函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。
根式函数值域
探究含有根式的函数值域问题含根式的函数的值域或者最值问题在高中数学的学习过程中时常遇到，因其解法灵活，又缺乏统一的规律，给我们造成了很大的困难，导致有些学生遇到根式就害怕。
为此，本文系统总结此类函数值域的求解方法，供学生参考学习。
1.平方法例1：求31++-=x x y 的值域解：由题意知函数定义域为[]1,3-，两边同时平方得：322422+--+=x x y =4+()4212+-+x 利用图像可得[]8,42∈y ，又知〉y 0[]22,2∈∴y所以函数值域为[]22,2析：平方法求值域适用于平方之后可以消去根式外面未知量的题型。
把解析式转化为()x b a y ϕ+=2 的形式，先求y 2的范围，再得出y 的范围即值域。
2.换元法例2： 求值域1)12--=x x y2)x x y 24-+=解：（1）首先定义域为[)+∞,1，令()01≥-=t x t ，将原函数转化为 [)+∞∈,0t ，⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞∈∴,815y 析：当函数解析式由未知量的整数幂与根式构成，并且根式内外的未知量的次幂保持一致。
可以考虑用代数换元的方法把原函数转化成二次函数，再进行值域求解。
（2）首先，函数定义域为[]2,2-∈x ，不妨设αsin 2=x ，令⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈2,2ππα 则原函数转化为：⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=4sin 22cos 2sin 2παααy ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈2,2ππα，∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈+43,44πππα析：形如题目中的解析式，考虑用三角换元的方法，在定义域的前提下，巧妙地规定角的取值范围，避免绝对值的出现。
不管是代数换元还是三角换元，它的目的都是为了去根式，故需要根据题目灵活选择新元，并注意新元的范围。
3.数形结合法例3：1）求()()8222+-+=x x y 的值域。
2）求1362222+-++-=x x y x x 的最小值。
解：（1）()()8222+-+=x x y 82++-=x x 其解析式的几何意义为数轴上的一动点x ，到两定点2与-8的距离之和，结合数轴不难得到[]+∞∈,10y（2）解析式可转化为()()413122+++=--x x y ， 定义域为R ，进行适当的变形 ()()=+++--413122x x ()()()()2031012222----+++x x ， 由它的形式联想两点间的距离公式，分别表示点到点的距离与点的距离之和。
求解函数值域的三种典型方法
Җ㊀山东㊀马建国㊀㊀求解函数值域是函数学习的一个关键环节,正确求解值域对函数的运用和计算都十分重要,如果值域的求解错误,运用过程可能会受到阻碍．因此,在教学中应注重函数值域求解方法的选择,化繁为简,提高解题效率．本文从求解函数值域的三种典型方法着手进行研究．１㊀换元法换元法是指将函数中某个式子看成一个整体,用一个变量去替换它,从而将问题进行简化．在运用换元法求函数值域的过程中,通常是将复杂的复合函数进行换元,然后根据新函数的定义域对函数值域进行求解．例１㊀已知函数y＝x２＋x２－１,求解该函数的值域．分析㊀观察可知函数中存在根式,因此可以采用换元法,在本题中可以将x２－１整体换为t(tȡ０),将原函数转化为用t表示的函数,再根据tȡ０的条件得出原函数的值域．解㊀令x２－１＝t,则x２＝t２＋１,所以y＝t２＋t＋１．又因为tȡ０,所以y＝t２＋t＋１＝(t＋１２)２＋３４ȡ１,则函数y＝x２＋x２－１的值域是[１,＋ɕ)．例２㊀已知函数y＝２x－x－１,求解该函数的值域．分析㊀观察可知函数中存在根式,因此可以采用换元法,在本题中可以将x－１整体换为t(tȡ０),将原函数转化为用t表示的函数,再根据tȡ０的条件,得出原函数的值域．解㊀因为x－１＝t,x＝t２＋１,所以y＝２(t２＋１)－t＝２(t－１４)２＋１５８．又因为tȡ０,所以yȡ１５８,则函数y＝２x＋x－１的值域是[１５８,＋ɕ)．２㊀判别式法判别式法是在一元二次方程中,判断方程有没有根以及有几个根的方法．当b２－４a c＜０时,方程无实根;当b２－４a c＝０时,方程有两个相等的实根;当b２－４a c＞０时,方程有两个不相等的实根．在利用判别式法求值域的过程中,首先要构造出一个一元二次方程(将y看作常数),利用判别式Δȡ０,求得函数的值域．例３㊀已知函数y＝２x１＋x２,求解该函数的值域．分析㊀通过观察可知目标函数是分母为一元二次函数的分式函数,因此先将函数变形为一元二次方程,即y x２－２x＋y＝０,然后根据y＝０和yʂ０的情况进行分析,同时利用判别式法对一元二次方程的根进行判断,从而可以得出函数的值域．解㊀因为y＝２x１＋x２,所以y(１＋x２)＝２x,即y x２－２x＋y＝０．当y＝０时,－２x＝０,则x＝０．当yʂ０时,根据Δ＝４－４y２ȡ０,得－１ɤyɤ１．综上所述,函数y＝２x１＋x２的值域是[－１,１]．例４㊀已知函数y＝３x２＋３x＋１x２＋x＋１,求解该函数的值域．分析㊀已知函数是分子㊁分母均为一元二次函数的分式函数,可以利用判别式法进行值域求解,先将函数变形为一元二次方程,即(y－３)x２＋(y－３)x＋y－１,再根据y－３＝０和y－３ʂ０的情况分析,从而得出函数的值域．解㊀因为y＝３x２＋３x＋１x２＋x＋１,所以(y－３)x２＋(y－３)x＋y－１＝０．当y－３＝０时,y＝３,３－１＝０不存在．当y－３ʂ０时,则Δ＝(y－３)２－４(y－３)(y－１)ȡ０,１３ɤy＜３．综上所述,y＝３x２＋３x＋１x２＋x＋１的值域是[１３,３)．３㊀分类讨论法分类讨论法指的是在求解一类问题时,有时会遇到多种情况,无法用同一种方法去解决,需要分类进行讨论,最后再归纳总结得出最终结论．求解函数值域４的分类讨论法通常是用在分段函数求值域或者是含绝对值函数求值域,其主要思路是分别根据定义域分类进行值域求解,最终再汇总结果．例５㊀已知函数y ＝|x ＋１|＋|x －２|,求解该函数的值域．分析㊀通过观察可知函数带有绝对值符号,首先考虑去绝对值符号,从而发现分段区间函数的表达式不同,因此考虑分类讨论法,将函数的定义域求出后,分别代入函数式,就可以得出原函数的值域．解㊀该函数的定义域可分为x ɤ－１,－１＜x ɤ２,x ＞２．在定义域内的函数表达式为y ＝－２x ＋１,x ɤ－１,３,－１＜x ɤ２,２x －１,x ＞２．ìîíïïïï当x ɤ－１时,y ＝－２x ＋１ȡ３;当－１＜x ɤ２时,y ＝３;当x ＞２时,y ＝２x －１＞３．综上所述,函数y ＝|x ＋１|＋|x －２|的值域是[３,＋ɕ)．例６㊀已知函数y ＝x ２－４x ＋３,０＜x ＜５,x ２＋４x ＋３,－３ɤx ɤ０,{求解该函数的值域．分析㊀观察已知函数,分段区间内函数的表达式不同,因此考虑分类讨论法,求得x 的取值范围,再代入函数式,就可以得出函数值域．解㊀令x １＝２,则y １＝－１,令x ２＝－２,则y ２＝－１．当０＜x ＜５时,x ２－４x ＋３的值域为[－１,８);当－３ɤx ɤ０时,x ２＋４x ＋３的值域为[－１,３]．综上所述,y＝x ２－４x ＋３,０＜x ＜５,x ２＋４x ＋３,－３ɤx ɤ０{的值域为[－１,８)．换元法㊁判别式法㊁分类讨论法是函数求值域中典型的三种方法,使用这三种方法时,应注意换元后表达式的等价变形㊁判别式的正确使用㊁分段函数的定义域划分等．这三种方法是值域求解的重要方法,应该要求学生要对方法熟练掌握㊁融会贯通．(作者单位:山东临沂高新区高级中学)Җ㊀湖南㊀蒋迎芳㊀㊀高考对集合问题的考查多与函数㊁不等式进行交会,问题难度不大,只要准确理解集合的关系及运算即可． 集合 是高中生学习的第一个数学知识,为什么把它放在第一章?因为集合是学习其他模块的基础,与其他知识具有紧密的联系．下面谈一谈笔者的几点感悟,供读者参考．１㊀集合的关系和运算丰富了其他问题的求解视角１)集合之间的关系包括子集㊁真子集㊁相等．２)集合之间的运算包括交㊁并㊁补．集合的关系和运算可应用到其他知识的学习或问题的求解中．例如,集合的关系和运算与充分㊁必要条件之间的关系:若A 是B 的子集,即A ⊆B ,则A 是B 的充分条件;若A ＝B ,则A 与B 互为充要条件;若A ɘB ＝∅,则A ,B 之间既不是充分条件,也不是必要条件．再如,集合的关系和运算与概率之间的关系:若A ,B 为互斥事件,则A ɘB ＝∅;若A ,B 为对立事件,则A ɘB ＝∅,且B ＝∁U A ;事件A ,B 至少有一个发生,记为A ɣB ,称为A,B 的和事件;事件A ,B同时发生,记为A ɘB ,称为A ,B 的积事件．例１㊀某高校数学学院举行２０２０届毕业典礼,主席台上有并排的六个座位,出席典礼的甲㊁乙㊁丙等六位院系的教师可随意就座,则甲㊁乙两位教师的座位均不与丙相邻的概率为．设U ＝{六位教师任意就座的所有情况},A ＝{甲㊁丙两位教师的座位相邻的情况},B ＝{乙㊁丙两位教师的座位相邻的情况},则A ɘB ＝{全集U 中甲㊁乙两位教师的座位与丙相邻的情况},A ɣB ＝{全集U 中甲或乙两位教师的座位与丙相邻的情况},A ɣB ＝{全集U 中甲㊁乙两位教师的座位均不与丙相邻的情况}．本题即求P (A ɣB ),而P (A ɣB )＝１－P (A ɣB ),故只需求P (A ɣB )．因为P (A ɣB )＝P (A )＋P (B )－P (A ɘB ),而５。
高中数学必修一函数 解题方法
函数习题课(I) 函数定义域和值域的求法一、求函数定义域的方法(一) 直接法求定义域关注一些特殊函数的定义域或关注一些特殊的取值，从而使得函数有意义，直接限制自变量的取值范围。
一般需要关注的解题要点：（1）分母不为零 （2）偶次根式的被开方数非负。
（3）对数中的真数部分大于0。
（4）指数、对数的底数大于0，且不等于1（5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。
( 6 )0x 中x 0≠例1 求下列函数定义域①21)(-=x x f ②xx x f -++=211)( ③0)32(2)3lg()(-++-=x x x x f ④2143)(2-+--=x x x x f ⑤373132+++-=x x y(二)解题时要关注定义域函数的三要素是定义域，值域和对应关系。
其中定义域是规定函数自变量取值范围的关键，是题目限制条件的体现。
由于常常被忽略，因此是命题人常将隐含条件设计于其中。
若想正确地解决函数相关问题，必须在解题时关注定义域，把它明确地写出来。
例2 已知函数)91(log 2)(3≤≤+=x x x f ，求函数[])()(22x f x f +的最大值。
例3 求函数x x x f a 2log )(2-= )10(≠>a a 且的单调增区间。
(三)有关抽象函数的定义域问题抽象函数的自变量始终是x(或其他字母)，但是由于对应法则所作用的x 形式不同(如x+2,x 2 等)，于是就有了有关抽象函数的定义域问题。
解决抽象函数的定义域问题需要紧紧抓住一点：括号里面的所有代数式的取值范围是相同的。
例4 已知函数)(x f 的定义域为[0,2]，求)12(+x f 的定义域。
例5 已知函数)12(+x f 的定义域为(-1,5]，求)(x f 的定义域。
例6 已知函数)1(+x f 的定义域为[0,2]，求)3(2x x f +的定义域。
二、求函数值域的方法(一)层层分析法(直接法)这种方法适合值域明显的复合函数或多个值域明显的函数相加减得到的函数求值域。
如何用换元法求三类函数的值域
探索探索与与研研究究函数问题的考查形式多种多样，其命题方式也各不相同.其中,函数值域问题具有较强的综合性，侧重于考查函数的解析式、定义域、值域、图象、性质等.有些函数的值域问题较为复杂，其中含有根式、三角函数式、对数式，需采用换元法来求解.下面结合实例，重点探究一下如何运用换元法来求这三类函数的值域.一、求含有根式的函数的值域若函数的解析式中含有根式，我们通常无法直接根据基本初等函数的性质和复合函数的性质来求得函数的值域，需利用换元法，将根号下的式子用一个新变量替换，把函数式转化为关于新变量的函数式，根据函数的定义域求得新变量的取值范围，再根据基本初等函数的性质和复合函数的性质来求函数的值域.例1.求函数f ()x =2x -5+13-2x 的值域.解：令t =13-2x ()t ≥0，可得x =13-t 22，由f ()x =2x -5+13-2x 可得f ()t =-t 2+t +8=-æèöøt -122+334，∵当t ∈éëöø12,+∞时，函数f ()t 单调递减；当t ∈éëùû0，12时，函数f ()t 单调递增，∴当t =12时，f ()t 取最大值334，∴函数f ()x 的值域为æèùû-∞,334.令t =13-2x ，可通过换元，去掉根号，将函数式转化为关于t 的二次函数式，利用二次函数的性质即可求得函数的最值，从而得到函数的值域.一般地，若函数的最大值为M 、最小值为m ，则函数的值域为[m ,M ]，因此，只要求得函数的最值，即可得到函数的值域.例2.求函数f ()x =x +1-x 2的值域.解：令sin t =x ，可得1-x 2=1-sin 2t =cos t ，由f ()x =x +1-x 2可得f ()t =sin t +cos t =2sin æèöøt +π4，∵1-x 2≥0，-1≤x ≤1，∴t ∈[]0,2k π，∴t +π4∈éëùûπ4,π4+2k π，∴f ()t ∈[]-2,2，∴函数f ()x 的值域为[]-2,2.由y =1-x 2可得x 2+y 2=1，于是联想到sin 2x +cos 2x =1，便令sin t =x ，使得1-x 2=cos t ，以便去掉根号.这样函数式就可转化为三角函数式，根据正弦函数的有界性即可求得函数的值域.例3.求函数f ()x =1-x +3+x 的值域.解：令2sin α=1-x ，2cos α=3+x ，可得f ()α=2sin α+2cos α=22sin æèöøα+π4，∵α∈éëùû0，π2，∴α+π4∈éëùûπ4，3π4，此时函数单调递增，∴当α+π4=π4时，函数f ()α取最小值2；当α+π4=3π4时，函数f ()α取最大值22，∴函数f ()x 的值域为[]2,22.解答本题，需通过三角换元去掉根号，将问题转化为三角函数最值问题来求解.可见，求含有根式的函数的值域，关键在于将根号下的式子合理换元，去掉根号，将问题转化为常规的函数最值问题来求解，这样才能化难为易.二、求三角函数的值域求三角函数的值域，常需用利用正弦、余弦、正切函数的单调性和有界性.而对于含有高次幂、同时含有不同函数名称的复杂三角函数值域问题，往往需要运用换元法来求解.通常需首先利用三角函数的诱导公式、两角的和差公式、辅助角公式、二倍角公式等将函数式化简；然后选取合适的部分进行换元，将问题转化为简单的正弦、余弦、正切函数的最值问题来求解.例4.已知函数f ()x =sin x +cos x +3sin x cos x ，则陈铤53探索探索与与研研究究函数f()x的值域为解：令t=sin x+可得t2=1+2由f()x=sin x可得f()t=32t2则当t∈éë-2,当t∈éëùû-13,2所以当t=-13当t=2时，故函数f()x式化简，例5.求函数f(解：令t=sin x∴由f()x=cos2f()t=-t2-2t∵t=sin x∈[∴当t∈[]-1,1∴当t=-1取最小值1，∴函数f()x引入变量t，性质来解题.换元，三、关，较为复杂，用新变量替换，.在求含有对数式的函数值（0，+∞），底数求函数f()x=ln2x-2ln x+3的x+3可得)t-12+2，∈[]0,3，f()t单调递减；f()t单调递增，)取最大值6；2，[]2,6.需令t=ln x，将函数式转利用二次函数的性质来解f()x=log2()x2-2x+9，则函数9=()x-12+8≥8，)2x+9可得f()t=log2t，28=3，)+∞，[)3,+∞.为了便于求解，需将对数函通过换元，将问题转化为简单这样便能快速求得问题的需重点研究新旧运用换元法求解函数的选取合适再快速求得（作者单位：江苏省启东中学）54。
求含有根式的函数值域的几种方法
解题宝典由于函数的解析式中含有根式，所以含有根式的函数值域问题一般比较复杂.如何处理根式，将问题转化为常规的函数值域问题是解题的关键.其实处理根式的方法有很多，如平方、三角代换、求导、借助向量等.下面介绍求含有根式的函数值域的几种方法.一、平方法当遇到根式时，很多同学的第一个想法是对其平方以去掉根号.在求含有根式的函数值域时，我们可以采用平方法，先对函数式进行平方，通过恒等变形将其转化为常规的函数式，再根据函数的图象和性质求得函数的值域.例1.求函数y =1-x +x +3的值域.解：由y =1-x +x +3可知函数的定义域为[]-3,1，则y 2=4+2-x 2-2x +3，而f ()x =-x 2-2x +3为二次函数，又f ()x =-()x +12+4，当x ∈[]-3,1时，f ()x ∈[]0,4，则y max =M =22，y min =m =2，所以y ∈[]2,22.这里通过平方，将函数式转化为只含有一个根式的式子，而根号下的式子为二次函数，借助二次函数的性质，便可求得根号下式子的值域，进而求得原函数的值域.二、三角代换法三角代换法是将函数式中的变量用三角函数替换，借助三角函数的有界性求得函数值域的方法.运用三角代换法，可将含根式函数的值域问题转化为三角函数的值域问题.例2.求函数f ()x =x +4-x 2的值域.解：由题意可知函数的定义域为x ∈[]-2,2，设x =2sin t ，t ∈éëùû-π2，π2，则y =2sin t +2cos t =22sin æèöøt +π4.而t +π4∈éëùû-π4，3π4,所以sin æèöøt +π4∈éëêùûú,故y ∈[]-2,22，即函数f ()x =x +4-x 2的值域为y ∈[]-2,22.我们由4-x 2联想到4sin 2x +4cos 2x =4，于是令x =2sin t ，通过三角代换，将问题转化为三角函数的值域问题.运用三角代换法求含有根式的函数的值域，需重点关注三角函数的定义域.三、导数法若含有根式的函数在某个区间上可导，便可利用导数法求出函数在该区间上的极值，再将极值与函数的端点值比较，便可确定函数的值域.利用导数法求含有根式的函数的值域，需熟记求导法则：(x α)′=αx α-1以及y x ′=y u ′·u x ′，在求出导函数后根据导函数与0之间的关系判断函数的单调性.例3.求函数y =2x +4-x +3的值域.解：由题意可得{2x +4≥0，x +3≥0，∴x ≥-2，∴函数y =2x +4-x +3]+∞，y ′=12x +4-12x +3=x +3-2x +42x +4∙x +3，又∵2x +3-2x +4=2x +82x +3+2x +4，∴当x ≥-2时，y ′>0，函数y =2x +4-x +3在()-2，+∞上是增函数；又∵f ()-2=-1，∴y =2x +4-x +3的值域为()-1,+∞.函数解析中含有两个根式，较为复杂，需先求出函数的定义域，再对函数进行求导，确定函数的单调性，进而得到函数的极值和最值.含有根式的函数值域问题具有较强的灵活性和特殊性，侧重于考查同学们生的应变能力.因此，在求此类函数的值域时，同学们要熟记初等函数的性质以及求导法则，对根式进行合理的变形，灵活利用初等函数、三角函数、导函数的性质来解题.（作者单位：江苏省泰州实验中学）39Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。
例谈含根式函数值域的求解方法
例谈含根式函数值域的求解方法作者：葛云云来源：《中学生数理化·自主招生》2020年第01期求函数值域是高考的重点及热点，很多问题最后都转化为求函數的值域得以解决。
其中求含根式的函数值域是特殊的一个类型，平常大家碰到的频率也较高，其求解思路多样，方法多变，下面对这一类问题的几种求解策略进行举例分析。
一、函数单调法例1 求函数的值域。
解：函数的定义域为，由复合函数的单调性可知，在定义域内是单调递减的，所以函数在定义域内是单调递增的，故其值域为。
启示：利用函数单调性求解函数问题是最常用的方法，解题时可预先判断函数的单调性，充分抓住函数的相关性质。
二、换元法例2 求函数的值域。
解：该题与例1相差一个符号，若利用单调性求其值域，会发现在定义域内，为单调递减，故函数整体的单调性不显著。
此时，可采取换元法，令t=则，所以该函数为开门向上的抛物线一部分，最小值取在对称轴t=l处，故其值域为[-1，+∞）。
启示：换元法可将含根式函数变为初等函数，而初等函数值域的求解一般较为简单，需要注意的是换元后的新函数定义域发生了变化。
三、平方法例3 求函数y=的值域。
解：先找到函数的定义域为[-1，1]，将函数两边进行平方，可得万，发现∈[O，1]，因此y2∈[2，3]，最后得到函数的值域为。
启示：该种方法适用于两个根式内x项的系数恰好互为相反数的情况，因其平方后，平方项的和可变为常数。
此外，变量x便集中在一个根式内，可有效降低分析难度，利于值域的顺利求解。
四、导数法例4 求函数y=的值域。
解：该题和例3也相差不大，为两个根式相加，若采用平方法，变量x还是没能全部集中于根号内，不利于求解值域。
此外，其单调性也不直观，可采用导数法。
函数的定义域为，对函数求导得得x∈（1/4，1]，此时函数在该区域内递减，同理可得函数在上递增。
故其值域为启示：利用导数寻找函数的单调性·通过单调性得到值域。
这种方法应该是求函数值域时万能的方法，一般川在函数较为复杂或者其单调性不显著时。
例谈含二次根式的函数值域的常用求法
例谈含二次根式的函数值域的常用求法含二次根式的函数值域的求法可以通过以下几种常用方法来进行。
首先，我们需要明确值域的定义：对于函数$y=f(x)$，值域是指$y$的所有可能值的集合。
1.图像法：对于二次根式函数，可以先绘制函数的图像，通过观察图像来判断值域。
例如，对于函数$y=\sqrt{x}$，当$x$取非负的实数时，$y$有意义，所以值域为非负的实数集合，即$[0,+\infty)$。
类似地，对于函数$y=\sqrt{a-x}$，可以通过绘制图像，观察$x$的取值范围，以及函数图像的上下界来确定值域的范围。
2.代数法：通过代数方法来求解函数的值域，主要利用一些基本的代数性质和不等式。
a) 对于含有单个二次根式的函数，可以利用平方的性质，将根号去掉，然后再进行值域的判断。
例如，对于函数$y=\sqrt{ax+b}$，可以通过平方等式$x=ky^2+m$来求解。
首先令$y=kx+m$，然后进行平方运算得到$x=k(y-m)^2$。
通过观察得到，当$k>0$时，函数的值域为$(m,+\infty)$；当$k<0$时，函数的值域为$(-\infty,m)$。
b) 对于含有多个二次根式的复合函数，可以通过合并根号，并运用不等式来求解值域。
例如，对于函数$y=\sqrt{x^2-4}+\sqrt{9-x}$，可以合并根号并利用不等式$x^2-4\geq 0$以及$9-x\geq 0$。
然后再利用不等式来求解函数的值域。
3.求解不等式：对于含有二次根式的函数，可以通过求解不等式来确定函数的值域。
例如，对于函数$y=\sqrt{x^2-4}$，可令$y\geq 0$，然后通过求解$x^2-4\geq 0$来确定$x$的范围。
根据不等式的求解，可以得到$x\leq -2$或$x\geq 2$。
所以该函数的值域为$(-\infty,-2]\cup[2,+\infty)$。
综上所述，含二次根式的函数值域的常用求法有图像法、代数法和求解不等式。
根式函数值域分析
根式函数值域分析根式函数是指函数中含有根号形式的式子，形如f(x) = √(ax+b)，其中a和b为任意实数。
根式函数在数学中是一个重要的函数类型，它在各个领域的应用广泛，并且在高中数学课程中也有相应的学习内容。
本文将对根式函数的值域进行分析，包括值域的定义、求值域的方法和一些典型的例子，以帮助读者更好地理解和掌握根式函数的性质。
一、值域的定义值域是函数在定义域上所有可能的函数值所组成的集合。
对于根式函数来说，值域就是函数的输出值的集合。
根式函数的值域通常是由函数的定义域和函数的性质决定的。
二、求值域的方法对于根式函数f(x) = √(ax+b)，我们可以采用以下方法来求解其值域：1.确定定义域首先要确定函数的定义域，也就是使得根式内的表达式非负的变量的取值范围。
对于f(x) = √(ax+b)来说，当ax+b≥0时，函数有意义，所以要求ax+b≥0，解得x≥-b/a。
因此，函数的定义域为D = (-b/a,+∞)。
2.确定值域的上界我们需要找到函数的最大值或者一个上界，这样就确定了值域的上界。
对于根式函数f(x) = √(ax+b)，我们可以看出，函数的值随着x的增大而增大，而且函数不会无限增大。
当x→+∞时，ax+b也会趋近于正无穷大，此时根式函数的函数值也趋近于正无穷大。
因此，可以确定根式函数的值域的上界为正无穷大。
3.确定值域的下界确定值域的下界需要考虑到函数的性质以及定义域的限制。
对于根式函数f(x) = √(ax+b)，我们可以观察到，当x→-b/a时，ax+b趋近于0，此时根式函数的函数值也趋近于0。
因此，我们可以确定根式函数的值域的下界为0。
综上所述，根式函数f(x) = √(ax+b)的值域为[0, +∞)。
三、典型例子1.例子1：考虑函数f(x)=√x，其中x为非负实数。
我们可以观察到，当x增大时，函数的值也增大，且函数可以取到任意非负实数。
因此，根式函数f(x)=√x的值域为[0,+∞)。
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含根式函数值域的几何求法
函数值域和最大值、最小值问题是高中数学中重要的问题，其求解的方法很多，常见的解法有：观察法、配方法、均值不等式法、反函数法、换元法、判别式法、单调函数法、图解法等。
其中，利用数形结合来求函数的值域，尤其是含根式函数的值域，具有其独特的效果，它能够把满足题意的几何图形画出来，生动形象的直观图，提示和启发我们的解题思路，有时，图形式直接提供了我们寻求的答案，因此，几何法既可以使题意更加明确，又可以使运算得到简化。
例1 求函数312+-+=x x y 的最小值.
解：由03≥+x 得：3-≥x .
令⎩⎨⎧≥+=-≥+=)
0(3)5(12v x v u x u ，消去x 得：)0,5()5(212≥-≥+=v u u v 则点()v u ,在)5(2
12+=
u v 的抛物线段上，又在直线y u v -=上，如图1，易知，当直线与抛物线相切时，－y 取最大值，取y 最小值。
联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+=y
u v u v )5(212， 消去u 整理得： 0522=---y v v ，由△=0，
即：0)5(24)1(2=--⨯⨯--y
解得：=y 841-. ∴ 原函数的最小值为8
41-
. 评注：本题可以利用代数换元法，将含根式函数的值域问题转化为二次型函数在某区间上的值域问题，其解题过程中运算量并不大，而且不难接受理解。
因此，本题利用构造直线与抛物线进行求解，并没有真正体现出几何解法的优越性。
例2 求函数131-++-=x x y 的值域.
分析：本题不能用换元法进行求解，因此，我们也来尝试利用几何解法。
解：由⎩
⎨⎧≥+≥-0301x x 解得：13≤≤-x . 令⎩⎨⎧≤≤+=≤≤-=)20(3)20(1v x v u x u ，消去x 得：)20,20(422≤≤≤≤=+v u v u
则点()v u ,在422=+v u 的园弧上，又在直线1++-=y u v 上，
图2
图1
图4 u 如图2，显然OB y OA ≤+≤1 又 ∵ 22,2==OB OA ∴ 1221-≤≤y 即为原函数所求的值域。
例3 求函数106422+-++=x x x y 的最小值.
分析：当我们把106422+-++=x x x y 化为：
y 2222)10()3()20()0(-+-+-+-=x x 时，容易联想到两点间距离。
解：
106422+-++=x x x y 2222)10()3()20()0(-+-+-+-=x x
设P （x , 0），A （0, 2），B （3, 1），则问题转化
为在x 轴上找一点P ，使得P 到A 、B 两点的
距离之和最小。
如图3，易求得点A 关于x 轴
的对称点A / 的坐标为（0, －2），则：
B A BP P A BP AP //=+=+即为最小.
∴ 32)12()30(22/min =--+-==B A y .
评注：本题可用判别式法以及构造复数由模的重 要不等式进行求解，但是判别式法计算量很大，不易
求解，而复数法实质上就是上述解法的另一种形式，可见，利用数形结合求解含根式函数的值域，不但简化了解题过程，而且在思维上提高了认识，对培养学生的创造力具有重要的意义。
例4 求函数2214401016x x x x y -+--+=的值域.
解：由2214401016x x x x y -+--+=得：
)
2(]5)2[(9)5(9222--------=x x x x y . 我们可以看到上式的右边表示过函数2)5(9--=x u 上自变量x 相差2的任意两点的直线的斜率，如图4，
∴ AB CD k y k ≤≤2
∵ B ，C 两点的坐标分别为()()
22,6,22,4
∴ 2,2=-=AB CD k k
图3
∴ 222≤≤-y 即：2222≤≤-y . ∴ 原函数的值域为[]22,22-. 例5 求函数113632424+--+--=x x x x x y 的最大值.
解：由已知函数得：222222)0()1()3()2(-+---+-=x x x x y
上式可看作抛物线2v u =上的点P 到点A （3，2），B （0，1）距离之差的最大值，如图5.
由AB PB PA ≤-可知：当点P 在AB
的延长线上的P / 处时，y 取最大值AB .
∴ 10)12()03(22max =-+-=y .
例6 求函数7)2(4222+---=x x y 的值域. 解：令⎩⎨⎧≤≤--=≤≤=)20()2(4)40(2v x v u x u ，
消去x 整理得：4)2(22=+-v u ，
则2222)2(2722)2(2722-++-⋅
-+=+-=v u v u y ， 其中22)2(27
22-++-v u 是半园A ：4)2(22=+-v u （20≤≤v ）上点到直线l ：0722=+-v u 的
距离，如图6，从圆心A 作AC ⊥l 于C 交半园A 于E ，BD ⊥l 于D ，则BD v u CE ≤-++-≤22)2(27
22
∵ 22211
2-=
-=AC CE ， 2215
=BD ∴ BD y CE ⋅-+≤≤⋅-+2222)2(2)2(2
∴ 152411≤≤-y 即为所求函数的值域.
图5
图6
例7 求函数2212+-=x x y 的最大值. 分析：把原函数化为)2(0212----=x x y 时，我们就容易联想到两点的斜率公式。
解：由⎩⎨⎧≠+≥-0
20212x x 解得：2222≤≤-x . .
令⎪⎩
⎪⎨⎧≤≤-=≤≤-=)10(21)2222(2v x v u x u ，
消去x 整理得：1222=+v u ，
则2212+-=x x y )
2(0212----=x x . 其中)
2(0212----x x 可看作是椭圆弧1222=+v u )2222(≤≤-u 上点P 与点Q （－2，0）连线的斜率k ，如图7易知：当直线过点Q 且与椭圆弧相切时，其斜率取最大值。
联立方程组⎩
⎨⎧+==+)2(1222u k v v u ，消去v 化简整理得： 0144)2(2222=-+++k u k u k ，
由△=0，即：
0)14()2(4)4(2222=-⨯+⨯-k k k
解得：=k 714或=k －7
14（舍去）. ∴ 原函数的最大值为
714.
图7。