含根式函数值域的求法

含根式函数值域的几何求法

函数值域和最大值、最小值问题是高中数学中重要的问题，其求解的方法很多，常见的解法有：观察法、配方法、均值不等式法、反函数法、换元法、判别式法、单调函数法、图解法等。其中，利用数形结合来求函数的值域，尤其是含根式函数的值域，具有其独特的效果，它能够把满足题意的几何图形画出来，生动形象的直观图，提示和启发我们的解题思路，有时，图形式直接提供了我们寻求的答案，因此，几何法既可以使题意更加明确，又可以使运算得到简化。

例1 求函数312+-+=x x y 的最小值.

解：由03≥+x 得：3-≥x .

令⎩⎨⎧≥+=-≥+=)

0(3)5(12v x v u x u ，消去x 得：)0,5()5(212≥-≥+=v u u v 则点()v u ,在)5(2

12+=

u v 的抛物线段上，又在直线y u v -=上，如图1，易知，当直线与抛物线相切时，－y 取最大值，取y 最小值。

联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+=y

u v u v )5(212， 消去u 整理得： 0522=---y v v ，由△=0，

即：0)5(24)1(2=--⨯⨯--y

解得：=y 841-. ∴ 原函数的最小值为8

41-

. 评注：本题可以利用代数换元法，将含根式函数的值域问题转化为二次型函数在某区间上的值域问题，其解题过程中运算量并不大，而且不难接受理解。因此，本题利用构造直线与抛物线进行求解，并没有真正体现出几何解法的优越性。 例2 求函数131-++-=x x y 的值域.

分析：本题不能用换元法进行求解，因此，我们也来尝试利用几何解法。

解：由⎩

⎨⎧≥+≥-0301x x 解得：13≤≤-x . 令⎩⎨⎧≤≤+=≤≤-=)20(3)20(1v x v u x u ，消去x 得：)20,20(422≤≤≤≤=+v u v u

则点()v u ,在422=+v u 的园弧上，又在直线1++-=y u v 上，

图2

图1

图4 u 如图2，显然OB y OA ≤+≤1 又 ∵ 22,2==OB OA ∴ 1221-≤≤y 即为原函数所求的值域。

例3 求函数106422+-++=x x x y 的最小值.

分析：当我们把106422+-++=x x x y 化为：

y 2222)10()3()20()0(-+-+-+-=x x 时，容易联想到两点间距离。

解：

106422+-++=x x x y 2222)10()3()20()0(-+-+-+-=x x

设P （x , 0），A （0, 2），B （3, 1），则问题转化

为在x 轴上找一点P ，使得P 到A 、B 两点的

距离之和最小。如图3，易求得点A 关于x 轴

的对称点A / 的坐标为（0, －2），则：

B A BP P A BP AP //=+=+即为最小.

∴ 32)12()30(22/min =--+-==B A y .

评注：本题可用判别式法以及构造复数由模的重 要不等式进行求解，但是判别式法计算量很大，不易

求解，而复数法实质上就是上述解法的另一种形式，可见，利用数形结合求解含根式函数的值域，不但简化了解题过程，而且在思维上提高了认识，对培养学生的创造力具有重要的意义。

例4 求函数2214401016x x x x y -+--+=的值域.

解：由2214401016x x x x y -+--+=得：

)

2(]5)2[(9)5(9222--------=x x x x y . 我们可以看到上式的右边表示过函数2)5(9--=x u 上自变量x 相差2的任意两点的直线的斜率，如图4，

∴ AB CD k y k ≤≤2

∵ B ，C 两点的坐标分别为()()

22,6,22,4

∴ 2,2=-=AB CD k k

图3

∴ 222≤≤-y 即：2222≤≤-y . ∴ 原函数的值域为[]22,22-. 例5 求函数113632424+--+--=x x x x x y 的最大值.

解：由已知函数得：222222)0()1()3()2(-+---+-=x x x x y

上式可看作抛物线2v u =上的点P 到点A （3，2），B （0，1）距离之差的最大值，如图5.

由AB PB PA ≤-可知：当点P 在AB

的延长线上的P / 处时，y 取最大值AB .

∴ 10)12()03(22max =-+-=y .

例6 求函数7)2(4222+---=x x y 的值域. 解：令⎩⎨⎧≤≤--=≤≤=)20()2(4)40(2v x v u x u ，

消去x 整理得：4)2(22=+-v u ，

则2222)2(2722)2(2722-++-⋅

-+=+-=v u v u y ， 其中22)2(27

22-++-v u 是半园A ：4)2(22=+-v u （20≤≤v ）上点到直线l ：0722=+-v u 的

距离，如图6，从圆心A 作AC ⊥l 于C 交半园A 于E ，BD ⊥l 于D ，则BD v u CE ≤-++-≤22)2(27

22

∵ 22211

2-=

-=AC CE ， 2215

=BD ∴ BD y CE ⋅-+≤≤⋅-+2222)2(2)2(2

∴ 152411≤≤-y 即为所求函数的值域.

图5

图6

例7 求函数2212+-=x x y 的最大值. 分析：把原函数化为)2(0212----=x x y 时，我们就容易联想到两点的斜率公式。 解：由⎩⎨⎧≠+≥-0

20212x x 解得：2222≤≤-x . .

令⎪⎩

⎪⎨⎧≤≤-=≤≤-=)10(21)2222(2v x v u x u ，

消去x 整理得：1222=+v u ，

则2212+-=x x y )

2(0212----=x x . 其中)

2(0212----x x 可看作是椭圆弧1222=+v u )2222(≤≤-u 上点P 与点Q （－2，0）连线的斜率k ，如图7易知：当直线过点Q 且与椭圆弧相切时，其斜率取最大值。

联立方程组⎩

⎨⎧+==+)2(1222u k v v u ，消去v 化简整理得： 0144)2(2222=-+++k u k u k ，

由△=0，即：

0)14()2(4)4(2222=-⨯+⨯-k k k

解得：=k 714或=k －7

14（舍去）. ∴ 原函数的最大值为

714.

图7