广州市第一中学2010届高三数学第二轮复习专题——平面向量专题
专题：利用三点共线结论解平面向量问题——高三数学二轮专题复习
专题：利用三点共线结论解平面向量知识梳理：三点共线定理 OC →＝ (1－t )OA →＋tOB →的证明： 若OA →＝a ，OB →＝b 是平面内两不共线向量，对于平面内任一向量OC →＝c ，存在一对实数λ，μ使c ＝λa ＋μb .证明A 、B 、C 三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.证明：（必要性）若A ，B ，C 三点共线，则存在实数t ，使得AC →＝tAB →， 即OC →－OA →＝t (OB →－OA →)所以OC →＝ (1－t )OA →＋tOB → 令λ＝1－t ，μ＝t ，则有c ＝λa ＋t b ，即λ＋μ＝1.（充分性）若λ＋μ＝1，则c ＝λa ＋(1－λ)b 即c －b ＝λ(a －b ) 即OC →－OB →＝λ(OA →－OB →)即BC →＝λBA →.所以A 、B 、C 三点共线．(思考：当t=21时，会发现A,B,C 是什么情况？)典型例题：例1：（全国高考）设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( )A.AD →＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝－43AB →－13AC →例2：已知平面内的三点A ，B ，O 不共线，且AP →＝λOA →＋μOB →，则A ，P ，B 三点共线的一个必要不充分条件是( )A ．λ＝μB ．|λ|＝|μ|C ．λ＝－μD ．λ＝1－μ例3：如图所示，在△ABC 中，H 为BC 上异于B ，C 的任一点，M 为AH 的中点，若AM →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ＝________.例4：如图，在△ABC 中，点O 是BC 边的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M,N ，若N nA C A M mA B A==,,则m+n 的值为_______．练习：1、已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若3OA →＝a 5OB →＋a 9OC →，且A ，B ，C 三点共线，则S 13＝________．2、［2021•江苏卷，10］设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．3、（2021华美）在△ABC 中，N 是AC 边上一点，且AN →＝12NC →，P 是BN 上一点，若AP →＝mAB →＋29AC →，则实数m 的值为4、(2021·郑州质检)如图，在△ABC 中，N 为线段AC 上靠近A 的三等分点，点P 在BN 上且A P →＝⎪⎭⎫ ⎝⎛+112m AB →＋211B C →，则实数m 的值为________.5、（2021华美）A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D (点O 与点D 不重合)，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围是__________.专题：利用三点共线结论解平面向量例1：[解析] 由BC →＝3CD →知，B 、C 、D 三点共线，从四个选项知系数和为1的仅有A ，故选A.例2：解析 A ，P ，B 三点共线，即存在一个实数m ，使得AP →＝mAB →，∵AP →＝λOA →＋μOB →，∴mAB →＝λOA →＋μOB →，即m (OB →－OA →)＝λOA →＋μOB →，∴(m －μ)OB →＝(m ＋λ)OA →，∵A ，B ，O 三点不共线，∴m －μ＝0，m ＋λ＝0，即λ＝－μ＝－m ，∴A ，B ，P 三点共线的充要条件为λ＝－μ，结合各选项知A ，B ，P 三点共线的一个必要不充分条件为|λ|＝|μ|.故选B. 例3：解析 由于B ，H ，C 三点共线，可令AH →＝xAB →＋(1－x )AC →，又M 是AH 的中点， 所以AM →＝12AH →＝12xAB →＋12(1－x )AC →.又AM →＝λAB →＋μAC →，所以λ＋μ＝12x ＋12(1－x )＝12.例4：解析 解法一：AO →＝12(AB →＋AC →)＝m 2AM →＋n 2AN →.∵M ，O ，N 三点共线，∴m 2＋n2＝1.∴m ＋n ＝2.解法二：MN 绕O 旋转，当N 与C 重合时，M 与B 重合，此时m ＝n ＝1，∴m ＋n ＝2.练习：1、[解析] 由3OA →＝a 5OB →＋a 9OC →，得OA →＝a 53OB →＋a 93OC →因为A ，B ，C 三点共线，所以a 53＋a 93＝1，即a 5＋a 9＝3，所以S 13＝13（a 1＋a 13）2＝13（a 5＋a 9）2＝392.所以S 13＝3922、解析 DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →，∵DE →＝λ1AB →＋λ2AC →，∴λ1＝－16，λ2＝23，故λ1＋λ2＝12.（提示，过A 作DE 平行线交BC 延长线于点F,利用B,C,F 共线）3、 答案1/34、 解析 设BP →＝λBN →＝λ(AN →－AB →)＝λ⎝⎛⎭⎫13 AC →－AB →＝－λAB →＋λ3 AC →(0≤λ≤1)， ∴A P →＝AB →＋B P →＝(1－λ) AB →＋λ3AC →. 又A P →＝⎝⎛⎭⎫m ＋211AB →＋211 BC →＝⎝⎛⎭⎫m ＋211AB →＋211(AC →－AB →)＝mAB →＋211AC →，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ3＝211，m ＝1－λ，解得⎩⎨⎧λ＝611，m ＝511，∴m ＝511.5、【答案】(1，＋∞) [设OC →＝mOD →，则m >1，因为OC →＝λOA →＋μOB →，所以mOD →＝λOA →＋μOB →，即OD →＝λm OA →＋μm OB →， 又知A ，B ，D 三点共线，所以λm ＋μm＝1，即λ＋μ＝m ，所以λ＋μ>1。
高三数学第二轮专题复习系列：(5)平面向量
高考数学第二轮专题复习系列(5)平面向量一、本章知识结构：二、高考要求1、理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。
2、掌握向量的加法和减法的运算法则及运算律。
3、掌握实数与向量的积的运算法则及运算律，理解两个向量共线的充要条件。
4、了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。
5、掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。
6、掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用；掌握平移公式。
7、掌握正、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形。
8、通过解三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力。
三、热点分析对本章内容的考查主要分以下三类：1.以选择、填空题型考查本章的基本概念和性质.此类题一般难度不大，用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题.2.以解答题考查圆锥曲线中的典型问题.此类题综合性比较强，难度大，以解析几何中的常规题为主.3.向量在空间中的应用（在B类教材中）.在空间坐标系下，通过向量的坐标的表示，运用计算的方法研究三维空间几何图形的性质.在复习过程中，抓住源于课本，高于课本的指导方针.本章考题大多数是课本的变式题，即源于课本.因此，掌握双基、精通课本是本章关键.分析近几年来的高考试题，有关平面向量部分突出考查了向量的基本运算。
对于和解析几何相关的线段的定比分点和平移等交叉内容，作为学习解析几何的基本工具，在相关内容中会进行考查。
本章的另一部分是解斜三角形，它是考查的重点。
总而言之，平面向量这一章的学习应立足基础，强化运算，重视应用。
考查的重点是基础知识和基本技能。
四、复习建议由于本章知识分向量与解斜三角形两部分，所以应用本章知识解决的问题也分为两类：一类是根据向量的概念、定理、法则、公式对向量进行运算，并能运用向量知识解决平面几何中的一些计算和证明问题；另一类是运用正、余弦定理正确地解斜三角形，并能应用解斜三角形知识解决测量不可到达的两点间的距离问题。
2010年广州市高三数学训练题(平面向量、立体几何)
2010年广州市高三数学训练题(三) 平面向量、立体几何（2）（时间：100分钟 满分100分）（由广州市中学数学教研会高三中心组编写，本卷命题人:杨 斗 修改：吴永中） 一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分．在每个小题给出的四个选项中，只（1）已知向量与则),2,1,1(),1,2,0(--==的夹角为 （A ）0° （B ）45°（C ）90°（D ）180°（2）在空间四边形ABCD 中，AB=BC ，AD=DC ，则对角线AC 与BD 所成角的大小是 （A ）90︒ （B ）60︒ （C ）45︒（D ）30︒（3）将函数12++=x x y 的图象按向量()1,1a =-平移后所得图象的函数解析式为（A ）252++=x x y （B ）xy 1= （C ）21+=x y （D ）x x y 12+=（4）已知(1,0,2)a λλ=+，(6,21,2)b μ=-，若//a b ，则λ与μ的值分别为 （A ）－5，－2 （B ）5，2（C ）21,51--（D ）21,51 （5）若向量、的坐标满足(2,1,2)a b +=--，(4,3,2)a b -=--，则·等于（A ）5- （B ）5 （C ）7（D ）1-（6）在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD 的中心，M 、N 分别是棱DD 1、D 1C 1的中点，则直线OM （A ）是AC 和MN 的公垂线 （B ）垂直于AC ，但不垂直于MN （C ）垂直于MN ，但不垂直于AC（D ）与AC 、MN 都不垂直（7）地球表面上从A 地（北纬45°，东经120°）到B 地（北纬45°，东经30°）的球面距离为（地球半径为R ）（A ）R （B ）42Rπ （C ）3R π（D ）2Rπ（8）如图，在一根长11cm ，外圆周长6cm 的圆柱形柱体外表面，用一根细铁丝缠绕，组成10个螺旋，如果铁丝的两端恰好落在圆柱的同一条母线上，则铁丝长度的最小值为（A ）61cm （B ）157cm （C ）1021cm（D ）3710cm（9）在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN所成角的余弦值是（ ）（A ）52-（B ）52 （C ）53 （D ）1010 （10）平面内有1230OP OP OP ++=且122331OP OP OP OP OP OP ==，则113PPP∆一定是 （A ）钝角三角形 （B ）直角三角形 （C ）等腰三角形（D ）等边三角形（11）在棱长为2的正方体AC 1中，点E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点，则点C 1到平面B 1EF 的距离是（A ）32（B ）34（C ）332 （D ）322 （12）设PA ，PB ，PC 是从点P 引出的三条射线，每两条的夹角都等于60°，则直线PC 与平面APB 所成角的余弦值是 （A ）21（B ）23 （C ）33 （D ）36 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）（13）C B AP 、、、是球O 面上的四个点，PC PB PA 、、两两垂直，且1===PC PB PA ，则球的体积为__________．（14）设{|(2,2)2(cos ,sin )}M a a θθ==+，{|(2,0)(2,2)}N a a λ==+，则M N ⋂= （15）已知：,2||,2||==与的夹角为45°，要使-λ与垂直，则λ= ． （16）向量的命题：①若非零向量),(y x a =，向量),(x y b -=，则b a ⊥；②四边形ABCD 是菱形的充要条件是==③若点G 是ABC ∆的重心，则0=++ ④ABC∆中,和CA 的夹角为A -︒180,其中正确的命题序号是 __________．三、解答题（本大题共4小题，共40分）（17）（本小题满分8分）平行四边形ABCD 中，已知：13DE DC = ,14DF DB =, 求证：A 、E 、F 三点共线。
广州市第一中学高三数学第二轮复习专题--立体几何专题复习.doc
广州市第一中学高三数学第二轮复习专题——立体几何专题复习1、如图，已知面ABC ⊥面BCD ，AB ⊥BC ，BC ⊥CD ，且AB=BC=CD ，设AD 与面AB C 所成角为α，AB与面ACD 所成角为β，则α与β的大小关系为 （A ）α＜β （B ）α=β （C ）α＞β （D ）无法确定2、下列各图是正方体或正四面体，P ，Q ，R ，S 分别是所在棱的中点，这四个点中不共面．．．的一个图是 PP PPQ Q QQRRR R SSS SPPPPQQQQ RRRRSS S SPPPPQQQQ R RRR SSS S PPPPQQQQRRRR SSS S（A ） （B ） （C ） （D ）3、在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P ，Q 是对角线A 1C 上的点，且PQ =2a，则三棱锥P －BDQ 的体积为（A ）3363a （B ）3183a （C ）3243a （D ）无法确定 4、已知球的内接三棱锥的三条侧棱两两垂直，长度分别为3cm ，2cm 和3cm ，则此球的体积为（A ）33312cm π （B ）33316cm π （C ）3316cm π （D ）3332cm π5、如图，在一根长11cm ，外圆周长6cm 的圆柱形柱体外表面，用一根细铁丝缠绕，组成10个螺旋，如果铁丝的两端恰好落在圆柱的同一条母线上，则铁丝长度的最小值为（A ） 61cm （B ）157cm （C ）1021cm （D ）1037cm6、设a 、b 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列四个命题：① 若b a ⊥，α⊥a ，α⊄b ，则α//b ；②若α//a , βα⊥，则β⊥a ； ③若β⊥a ，βα⊥，则α//a 或α⊂a ；④若b a ⊥，α⊥a ，β⊥b ，则βα⊥ 其中正确命题的个数为 ( )A ．0B ．1C ．2D ．37、正三棱锥ABC S —的侧棱长和底面边长相等，如果E 、F 分别为SC ，AB 的中点，那么异面直线EF 与SA 所成角为 （ ） A ．090 B ．060 C ．045 D ．030 8．右图是正方体的平面展开图，在这个正方体中： ①BM 与DE 平行； ②CN 与BE 是异面直线； ③CN 与BM 成60°角④DM 与BN 垂直以上四个命题中，正确的是 （ ） A ．①②③ B ．②④ C ．②③④D ．③④9．将棱长为1的正方体木块切削成一个体积最大的球，则该球的体积为（ ）A ．π23B ．π32 C ．6π D ．34π 10．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是BC 的中点，则A 1C 与DE 所成的角的余弦为（ ）A ．1515B ． 1510 C ． 630 D ． 1010 11．有3个命题（1）底面是正三角形，其余各个面都是等腰三角形的棱锥是三棱锥； （2）各个侧面都是等腰三角形的四棱锥是正四棱锥；（3）底面是正三角形，相邻两侧面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥。
高考数学二轮复习 专题二 三角函数、平面向量与复数 第3讲 平面向量与复数教案-高三全册数学教案
第3讲 平面向量与复数平面向量的概念与线性运算[核心提炼]1．在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向不能盲目转化；2．在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所在的向量；在用三角形减法法则时要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量．[典型例题](1)(2019·杭州模拟)如图所示，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝( )A ．a －12bB ．12a －bC ．a ＋12bD ．12a ＋b(2)(2019·金华市十校联考)已知A 、B 、C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，点P 满足OP →＝14(OA →＋OB →＋2OC →)，则S △PAB S △OAB为( )A ．32 B ．23C ．2D ．12(3)(2019·嘉兴七校联考)在△ABC 中，点D 满足BD →＝34BC →，当点E 在射线AD (不含点A )上移动时，若AE →＝λAB →＋μAC →，则(λ＋1)2＋μ2的取值范围为________．【解析】 (1)连接CD ，由点C ，D 是半圆弧的三等分点，得CD ∥AB 且CD →＝12AB →＝12a ，所以AD →＝AC →＋CD →＝b ＋12a .(2)如图，延长CO ，交AB 中点D ，O 是△ABC 的重心，则OP →＝14(OA →＋OB →＋2OC →)＝14(2OD →＋2OC →)＝14(－OC →＋2OC →)＝14OC →，所以OP ＝14OC ＝14×23CD ＝16CD ；所以DP ＝DO ＋OP ＝13CD ＋16CD ＝12CD ，DO ＝13CD ；所以S △PAB S △OAB ＝DP DO ＝12CD13CD ＝32.(3)因为点E 在射线AD (不含点A )上，设AE →＝kAD →(k >0)，又BD →＝34BC →，所以AE →＝k (AB →＋BD →)＝k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤AB →＋34（AC →－AB →）＝k 4AB →＋3k 4AC →， 所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k 4μ＝3k4，(λ＋1)2＋μ2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k 4＋12＋916k 2＝58⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋252＋910>1，故(λ＋1)2＋μ2的取值范围为(1，＋∞)．【答案】 (1)D (2)A (3)(1，＋∞)平面向量的线性运算技巧(1)对于平面向量的线性运算，要先选择一组基底，同时注意共线向量定理的灵活运用． (2)运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系．[对点训练]1．(2019·瑞安市四校联考)设M 是△ABC 边BC 上的点，N 为AM 的中点，若AN →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ的值为( )A.14B.13C.12D.1 解析：选C.因为M 在BC 边上，所以存在实数t ∈[0，1]使得BM →＝tBC →. AM →＝AB →＋BM →＝AB →＋tBC →＝AB →＋t (AC →－AB →)＝(1－t )AB →＋tAC →，因为N 为AM 的中点， 所以AN →＝12AM →＝1－t 2AB →＋t 2AC →，所以λ＝1－t 2，μ＝t 2，所以λ＋μ＝1－t 2＋t 2＝12，故C 正确．2．(2019·宁波诺丁汉大学附中期中考试)在△ABC 中，BC ＝7，AC ＝6，cos C ＝267.若动点P 满足AP →＝(1－λ)AB →＋2λ3AC →，(λ∈R )，则点P 的轨迹与直线BC ，AC 所围成的封闭区域的面积为( )A ．5B ．10C ．2 6D ．4 6解析：选A.设AD →＝23AC →，因为AP →＝(1－λ)AB →＋2λ3AC →＝(1－λ)AB →＋λAD →，所以B ，D ，P 三点共线． 所以P 点轨迹为直线BC .在△ABC 中，BC ＝7，AC ＝6，cos C ＝267，所以sin C ＝57，所以S △ABC ＝12×7×6×57＝15，所以S △BCD ＝13S △ABC ＝5.3．(2019·高考浙江卷)已知正方形ABCD 的边长为1.当每个λi (i ＝1，2，3，4，5，6)取遍±1时，|λ1AB →＋λ2BC →＋λ3CD →＋λ4DA →＋λ5AC →＋λ6BD →|的最小值是________，最大值是________．解析：以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图，则A (0，0)，B (1，0)，C (1，1)，D (0，1)，所以λ1AB →＋λ2BC →＋λ3CD →＋λ4DA →＋λ5AC →＋λ6BD →＝(λ1－λ3＋λ5－λ6，λ2－λ4＋λ5＋λ6)，所以当⎩⎪⎨⎪⎧λ1－λ3＋λ5－λ6＝0λ2－λ4＋λ5＋λ6＝0时，可取λ1＝λ3＝1，λ5＝λ6＝1，λ2＝－1，λ4＝1，此时|λ1AB →＋λ2BC →＋λ3CD →＋λ4DA →＋λ5AC →＋λ6BD →|取得最小值0；取λ1＝1，λ3＝－1，λ5＝λ6＝1，λ2＝1，λ4＝－1，则|λ1AB →＋λ2BC →＋λ3CD →＋λ4DA →＋λ5AC →＋λ6BD →|取得最大值22＋42＝2 5.答案：0 2 5平面向量的数量积 [核心提炼]1．平面向量的数量积的两种运算形式(1)数量积的定义：a ·b ＝|a ||b |cos θ(其中θ为向量a ，b 的夹角)；(2)坐标运算：a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)时，a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2. 2．平面向量的三个性质(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a·a ＝x 2＋y 2. (2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB →|＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2.(3)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a·b |a||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22. [典型例题](1)(2018·高考浙江卷)已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a与e 的夹角为π3，向量b 满足b 2－4e·b ＋3＝0，则|a －b |的最小值是( )A ．3－1B ．3＋1C ．2D ．2－ 3(2)(2019·浙江新高考研究联盟)已知向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|b |＝k ，|c |＝2－k 且a ＋b ＋c ＝0，则b 与c 夹角的余弦值的取值范围是________．【解析】 (1)设O 为坐标原点，a ＝OA →，b ＝OB →＝(x ，y )，e ＝(1，0)，由b 2－4e ·b ＋3＝0得x 2＋y 2－4x ＋3＝0，即(x －2)2＋y 2＝1，所以点B 的轨迹是以C (2，0)为圆心，1为半径的圆．因为a 与e 的夹角为π3，所以不妨令点A 在射线y ＝3x (x >0)上，如图，数形结合可知|a －b |min ＝|CA →|－|CB →|＝3－1.故选A. (2)设b 与c 的夹角为θ，由题b ＋c ＝－a ， 所以b 2＋c 2＋2b ·c ＝1.即cos θ＝2k 2－4k ＋32k 2－4k ＝1＋32（k －1）2－2. 因为|a |＝|b ＋c |≥|b －c |，所以|2k －2|≤1. 所以12≤k ≤32.所以－1≤cos θ≤－12.【答案】 (1)A (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12(1)平面向量数量积的计算①涉及数量积和模的计算问题，通常有两种求解思路(ⅰ)直接利用数量积的定义； (ⅱ)建立坐标系，通过坐标运算求解．②在利用数量积的定义计算时，要善于将相关向量分解为图形中模、夹角和已知的向量进行计算．(2)求解向量数量积最值问题的两种思路①直接利用数量积公式得出代数式，依据代数式求最值．②建立平面直角坐标系，通过坐标运算得出函数式，转化为求函数的最值．[对点训练]1．(2019·嘉兴市高考一模)已知平面向量a 、b 满足|a |＝|b |＝1，a ·b ＝12，若向量c满足|a －b ＋c |≤1，则|c |的最大值为( )A ．1B ． 2C ． 3D ．2解析：选D.由平面向量a 、b 满足|a |＝|b |＝1，a ·b ＝12，可得|a|·|b |·cos 〈a ，b 〉＝1·1·cos 〈a ，b 〉＝12，由0≤〈a ，b 〉≤π，可得〈a ，b 〉＝π3，设a ＝(1，0)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，c ＝(x ，y )，则|a －b ＋c |≤1，即有⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ，y －32≤1，即为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322≤1，故|a －b ＋c |≤1的几何意义是在以⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32为圆心，半径等于1的圆上和圆内部分，|c |的几何意义是表示向量c 的终点与原点的距离，而原点在圆上，则最大值为圆的直径，即为2.2．如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O .记I 1＝OA →·OB →，I 2＝OB →·OC →，I 3＝OC →·OD →，则( )A ．I 1＜I 2＜I 3B ．I 1＜I 3＜I 2C ．I 3 ＜ I 1＜I 2D ．I 2＜I 1＜I 3解析：选C.如图所示，四边形ABCE 是正方形，F 为正方形的对角线的交点，易得AO <AF ，而∠AFB ＝90°，所以∠AOB 与∠COD 为钝角，∠AOD与∠BOC 为锐角．根据题意，I 1－I 2＝OA →·OB →－OB →·OC →＝OB →·(OA →－OC →)＝OB →·CA →＝|OB →|·|CA →|·cos ∠AOB <0，所以I 1<I 2，同理得，I 2>I 3，作AG ⊥BD 于G ，又AB ＝AD ，所以OB <BG ＝GD <OD ，而OA <AF ＝FC <OC ，所以|OA →|·|OB →|<|OC →|·|OD →|，而cos ∠AOB ＝cos ∠COD <0，所以OA →·OB →>OC →·OD →，即I 1>I 3.所以I 3<I 1<I 2.3．(2019·金华十校高考模拟)若非零向量a ，b 满足：a 2＝(5a －4b )·b ，则cos 〈a ，b 〉的最小值为________．解析：非零向量a ，b 满足：a 2＝(5a －4b )·b ，可得a ·b ＝15(a 2＋4b 2)＝15(|a |2＋4|b |2)≥15·2|a |2·4|b |2＝45|a |·|b |，即有cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |≥45·|a |·|b ||a |·|b |＝45，当且仅当|a |＝2|b |，取得最小值45.答案：45平面向量与其他知识的交汇[核心提炼]平面向量具有代数形式与几何形式的“双重身份”，常与三角函数、解三角形、平面解析几何、函数、数列、不等式等知识交汇命题，平面向量的“位置”为：一是作为解决问题的工具，二是通过运算作为命题条件．[典型例题](1)如图，已知点D 为△ABC 的边BC 上一点，BD →＝3DC →，E n (n ∈N *)为边AC 上的列点，满足E n A →＝14a n ＋1·E n B →－(3a n ＋2)E n D →，其中实数列{a n }中，a n ＞0，a 1＝1，则数列{a n }的通项公式为a n ＝( )A ．3·2n －1－2 B ．2n－1 C ．3n－1 D ．2·3n －1－1(2)已知在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量p ＝(cos B ＋sinB ，2sin B －2)，q ＝(sin B －cos B ，1＋sin B )，且p ⊥q .①求B 的大小；②若b ＝2，△ABC 的面积为3，求a ，c .【解】 (1)选D.因为BD →＝3DC →，所以E n C →＝E n B →＋BC →＝E n B →＋43BD →＝E n B →＋43(BE n →＋E n D →)＝－13E n B→＋43E n D →.设mE n C →＝E n A →，则由E n A →＝14a n ＋1E n B →－(3a n ＋2)E n D →，得(14a n ＋1＋13m )E n B →－(43m ＋3a n ＋2)E n D →＝0，则－13m ＝14a n ＋1，43m ＝－(3a n ＋2)，所以14a n ＋1＝14(3a n ＋2)，所以a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)．因为a 1＋1＝2，所以数列{a n ＋1}是以2为首项，3为公比的等比数列，所以a n ＋1＝2·3n －1，所以a n ＝2·3n －1－1.(2)①因为p ⊥q ，所以p ·q ＝(cos B ＋sin B )(sin B －cos B )＋(2sin B －2)·(1＋sin B )＝0，即3sin 2B －cos 2B －2＝0，即sin 2B ＝34，又角B 是锐角三角形ABC 的内角，所以sin B ＝32，所以B ＝60°. ②由①得B ＝60°，又△ABC 的面积为3， 所以S △ABC ＝12ac sin B ，即ac ＝4.①由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 又b ＝2，所以a 2＋c 2＝8，② 联立①②，解得a ＝c ＝2.平面向量与其他知识的交汇点主要体现在与三角函数、立体几何、解析几何，求最值． (1)利用平面向量的知识给出三角函数之间的一些关系，解题的关键还是三角函数的知识．在解析几何中只是利用向量知识给出一些几何量的位置关系和数量关系，在解题中要善于根据向量知识分析解析几何中几何量之间的关系，最后的解题还要落实到解析几何知识上．(2)因为向量是沟通代数、几何的工具，有着极其丰富的实际背景，对于某些代数问题，可构造向量，使其转化为向量问题求解．[对点训练]1．(2019·杭州市高三二模)△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，D 是AB 的中点，E ，F 分别是边BC 、AC 上的动点，且EF ＝1，则DE →·DF →的最小值等于( )A.54 B.154 C.174D.174解析：选B.以三角形的直角边为坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示：则A (0，4)，B (3，0)，C (0，0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2. 设E (x ，0)，则F (0，1－x 2)，0≤x ≤1. 所以DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32，－2，DF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，1－x 2－2.所以DE →·DF →＝94－32x ＋4－21－x 2＝254－3x 2－21－x 2.令f (x )＝254－3x 2－21－x 2，当x ≠1时，则f ′(x )＝－32＋2x1－x 2. 令f ′(x )＝0得x ＝35.当0≤x ＜35时，f ′(x )＜0，当35＜x ＜1时，f ′(x )＞0.所以当x ＝35时，f (x )取得最小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫35＝154.当x ＝1时，f (1)＝254－32＝194＞154，故选B.2．(2019·浙江新高考研究联盟联考)已知向量a ，b 满足|a ＋b |＝4，|a －b |＝3，则|a |＋|b |的取值范围是( )A ．[3，5]B ．[4，5]C ．[3，4]D ．[4，7]解析：选B.|a |＋|b |≥max{|a ＋b |，|a －b |}＝4， (|a |＋|b |)2≤|a ＋b |2＋|a －b |2＝25，所以|a |＋|b |≤5.3．(2019·江苏常州武进区高三上学期期中考试改编)已知数列{a n }中，a 1＝2，点列P n (n ＝1，2，…)在△ABC 内部，且△P n AB 与△P n AC 的面积比为2∶1.若对n ∈N *都存在数列{b n }满足b n P n A →＋12a n ＋1P n B →＋(3a n ＋2)P n C →＝0，求a 4.解：在线段BC 上取点D ，使得BD ＝2CD ，则P n 在线段AD 上， 因为b n P n A →＋12a n ＋1P n B →＋(3a n ＋2)P n C →＝0，所以－12a n ＋1BP n →＝b n AP n →＋(3a n ＋2)CP n →＝b n (BP n →－BA →)＋(3a n ＋2)(BP n →－BC →)，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a n ＋1－b n －3a n －2BP n →＝－b n BA →－32×(3a n ＋2)BD →.因为A ，P n ，D 三点共线，所以－12a n ＋1－b n －3a n －2＝－b n －32(3a n ＋2)，即a n ＋1＝3a n ＋2，所以a 2＝3a 1＋2＝8，a 3＝3a 2＋2＝26，a 4＝3a 3＋2＝80.复 数 [核心提炼]1．复数的除法复数的除法一般是将分母实数化，即分子、分母同乘以分母的共轭复数再进一步化简． 2．复数运算中常见的结论(1)(1±i)2＝±2i ，1＋i 1－i ＝i ，1－i 1＋i ＝－i.(2)－b ＋a i ＝i(a ＋b i)． (3)i 4n＝1，i 4n ＋1＝i ，i4n ＋2＝－1，i4n ＋3＝－i.(4)i 4n＋i4n ＋1＋i 4n ＋2＋i4n ＋3＝0.[典型例题](1)(2019·杭州学军中学高考模拟)设复数z 满足1＋z1－z ＝i ，则|z |＝( )A ．1B ． 2C ． 3D ．2(2)设有下面四个命题p 1：若复数z 满足1z∈R ，则z ∈R ；p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ； p 3：若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1＝z 2； p 4：若复数z ∈R ，则z ∈R .其中的真命题为( ) A ．p 1，p 3 B ．p 1，p 4C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4(3)(2019·浙江新高考冲刺卷)已知复数z ＝1＋i ，其中i 为虚数单位，则复数1＋z ＋z 2＋…＋z 2 017的实部为( )A ．1B ．－1C ．21 009D ．－21 009【解析】 (1)因为复数z 满足1＋z1－z＝i ，所以1＋z ＝i －z i ，所以z (1＋i)＝i －1，所以z ＝i －1i ＋1＝i ，所以|z |＝1，故选A.(2)对于命题p 1，设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由1z ＝1a ＋b i ＝a －b ia 2＋b 2∈R ，得b ＝0，则z ∈R成立，故命题p 1正确；对于命题p 2，设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由z 2＝a 2－b 2＋2ab i ∈R ，得ab ＝0，则a ＝0或b ＝0，复数z 可能为实数或纯虚数，故命题p 2错误；对于命题p 3，设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )，z 2＝c ＋d i(c ，d ∈R )，由z 1·z 2＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ∈R ，得ad ＋bc ＝0，不一定有z 1＝z 2，故命题p 3错误；对于命题p 4，设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则由z ∈R ，得b ＝0，所以z ＝a ∈R 成立，故命题p 4正确．故选B.(3)因为z ＝1＋i ， 所以1＋z ＋z 2＋…＋z2 017＝1×（1－z 2 018）1－z＝z 2 018－1z －1＝（1＋i ）2 018－11＋i －1＝（2i ）1 009－1i ＝（－1＋21 009i ）（－i ）－i2＝21 009＋i. 所以复数1＋z ＋z 2＋…＋z2 017的实部为21 009.故选C.【答案】 (1)A (2)B (3)C复数问题的解题思路(1)以复数的基本概念、几何意义、相等的条件为基础，结合四则运算，利用复数的代数形式列方程或方程组解决问题．(2)若与其他知识结合考查，则要借助其他的相关知识解决问题．[对点训练]1．(2019·福建省普通高中质量检查)若复数z 满足(1＋i)z ＝|3＋i|，则在复平面内，z 对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选A.由题意，得z ＝（3）2＋121＋i ＝2（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝1－i ，所以z ＝1＋i ，其在复平面内对应的点为(1，1)，位于第一象限，故选A.2．(2019·金丽衢十二校联考)设z 是复数，|z －i|≤2(i 是虚数单位)，则|z |的最大值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.因为|z －i|≤2，所以复数z 在复平面内对应点在以(0，1)为圆心，以2为半径的圆及其内部．所以|z |的最大值为3.故选C.3．(2019·高考浙江卷)复数z ＝11＋i (i 为虚数单位)，则|z |＝________．解析：通解：z ＝11＋i ＝1－i 2＝12－i2，所以|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝22. 优解：|z |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪11＋i ＝1|1＋i|＝112＋12＝22.答案：22专题强化训练1．(2019·绍兴诸暨高考二模)已知复数z 满足z (1＋i)＝2i ，则z 的共轭复数z 等于( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i解析：选B.由z (1＋i)＝2i ，得z ＝2i 1＋i ＝2i （1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝1＋i ，则z 的共轭复数z ＝1－i.故选B.2．在等腰梯形ABCD 中，AB →＝－2CD →，M 为BC 的中点，则AM →＝( ) A.12AB →＋12AD → B.34AB →＋12AD →C.34AB →＋14AD → D.12AB →＋34AD → 解析：选B.因为AB →＝－2CD →，所以AB →＝2DC →.又M 是BC 的中点，所以AM →＝12(AB →＋AC →)＝12(AB →＋AD →＋DC →)＝12(AB →＋AD →＋12AB →)＝34AB →＋12AD →，故选B.3．(2019·嘉兴一中高考模拟)复数z 满足z ·(2－i)＝3－4i(其中i 为虚数单位)，则复数|zi|＝( )A.253 B.2C.553D. 5解析：选D.复数z 满足z ·(2－i)＝3－4i(其中i 为虚数单位)，所以z ·(2－i)(2＋i)＝(3－4i)(2＋i)，化为：5z ＝10－5i ，可得z ＝2－i.则复数|z i |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－i i ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－i （2－i ）－i·i＝|－1－2i|＝|1＋2i|＝12＋22＝ 5.故选D.4.在边长为2的正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC 和DC 的中点，则DE →·BF →＝( )A ．－52B ．32C ．－4D ．－2解析：选C.通过建系求点的坐标，然后求解向量的数量积．在边长为2的正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC 和DC 的中点，以A 为坐标原点，AB ，AD 为坐标轴，建立平面直角坐标系，则B (2，0)，D (0，2)，E (2，1)，F (1，2)．所以DE →＝(2，－1)，BF →＝(－1，2)，所以DE →·BF →＝－4.5．(2019·台州市书生中学检测)已知点O 是△ABC 的外接圆圆心，且AB ＝3，AC ＝4.若存在非零实数x 、y ，使得AO →＝xAB →＋yAC →，且x ＋2y ＝1，则cos ∠BAC 的值为( )A.23B.33C.23D.13解析：选A.设线段AC 的中点为点D ，则直线OD ⊥AC .因为AO →＝xAB →＋yAC →，所以AO →＝xAB →＋2yAD →.又因为x ＋2y ＝1，所以点O 、B 、D 三点共线，即点B 在线段AC 的中垂线上，则AB ＝BC ＝3.在△ABC 中，由余弦定理得，cos ∠BAC ＝32＋42－322×3×4＝23.故选A.6．在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝2，∠A ＝π2，如果不等式|BA →－tBC →|≥|AC →|恒成立，则实数t 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1C ．⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12∪[1，＋∞) D ．(－∞，0]∪[1，＋∞)解析：选C.在直角三角形ABC 中，易知AC ＝1，cos ∠ABC ＝32，由|BA →－tBC →|≥|AC →|，得BA →2－2tBA →·BC →＋t 2BC →2≥AC →2，即2t 2－3t ＋1≥0，解得t ≥1或t ≤12.7．称d (a ，b )＝|a －b |为两个向量a ，b 间的“距离”．若向量a ，b 满足：①|b |＝1；②a ≠b ；③对任意的t ∈R ，恒有d (a ，t b )≥d (a ，b )，则( )A ．a ⊥bB ．b ⊥(a －b )C ．a ⊥(a －b )D ．(a ＋b )⊥(a －b )解析：选B.由于d (a ，b )＝|a －b |，因此对任意的t ∈R ，恒有d (a ，t b )≥d (a ，b )，即|a －t b |≥|a －b |，即(a －t b )2≥(a －b )2，t 2－2t a ·b ＋(2a ·b －1)≥0对任意的t ∈R 都成立，因此有(－2a ·b )2－4(2a ·b －1)≤0，即(a ·b －1)2≤0，得a ·b －1＝0，故a ·b －b 2＝b ·(a －b )＝0，故b ⊥(a －b )．8．(2019·温州市高考模拟)记max{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥bb ，a ＜b ，已知向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|b |＝2，a ·b ＝0，c ＝λa ＋μb (λ，μ≥0，且λ＋μ＝1，则当max{c ·a ，c ·b }取最小值时，|c |＝( )A.255B.223 C.1D.52解析：选A.如图，设OA →＝a ，OB ＝b ，则a ＝(1，0)，b ＝(0，2)， 因为λ，μ≥0，λ＋μ＝1，所以0≤λ≤1. 又c ＝λa ＋μb ，所以c ·a ＝(λa ＋b －λb )·a ＝λ；c ·b ＝(λa ＋b －λb )·b ＝4－4λ.由λ＝4－4λ，得λ＝45.所以max{c ·a ，c ·b }＝⎩⎪⎨⎪⎧λ，45≤λ≤14－4λ，0≤λ＜45.令f (λ)＝⎩⎪⎨⎪⎧λ，45≤λ≤14－4λ，0≤λ＜45.则f (λ)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，1. 所以f (λ)min ＝45，此时λ＝45，μ＝15，所以c ＝45a ＋15b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫45，25. 所以|c |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝255.故选A.9．(2019·绍兴市柯桥区高三期中检测)已知平面向量a ，b ，c 满足|a |＝4，|b |＝3，|c |＝2，b ·c ＝3，则(a －b )2(a －c )2－[(a －b )·(a －c )]2的最大值为( )A ．43＋37B ．47＋3 3C ．(43＋37)2D ．(47＋33)2解析：选D.设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，a －b 与a －c 所成夹角为θ， 则(a －b )2(a －c )2－[(a －b )·(a －c )]2＝|AB |2|AC |2－|AB |2|AC |2cos 2θ＝|AB |2|AC |2sin 2θ＝|AB |2|AC |2sin 2∠CAB ＝4S 2△ABC ， 因为|b |＝3，|c |＝2，b ·c ＝3，所以b ，c 的夹角为60°， 设B (3，0)，C (1，3)，则|BC |＝7，所以S △OBC ＝12×3×2×sin 60°＝332，设O 到BC 的距离为h ，则12·BC ·h ＝S △OBC ＝332， 所以h ＝3217，因为|a |＝4，所以A 点落在以O 为圆心，以4为半径的圆上， 所以A 到BC 的距离最大值为4＋h ＝4＋3217.所以S △ABC 的最大值为 12×7×⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋3217 ＝27＋332， 所以(a －b )2(a －c )2－[(a －b )·(a －c )]2最大值为4⎝ ⎛⎭⎪⎫27＋3322＝(47＋33)2.故选D.10．(2019·金华市东阳二中高三月考)若a ，b 是两个非零向量，且|a |＝|b |＝λ|a ＋b |，λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，1，则b 与a －b 的夹角的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，23πB.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，5π6C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，πD.⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，π 解析：选B.因为|a |＝|b |＝λ|a ＋b |，λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，1， 不妨设|a ＋b |＝1，则|a |＝|b |＝λ.令OA →＝a ，OB →＝b ，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OACB ，则平行四边形OACB 为菱形．故有△OAB 为等腰三角形，故有∠OAB ＝∠OBA ＝θ，且0<θ<π2.而由题意可得，b 与a －b 的夹角，即OB →与BA →的夹角，等于π－θ，△OAC 中，由余弦定理可得|OC |2＝1＝|OA |2＋|AC |2－2|OA |·|AC |·cos 2θ＝λ2＋λ2－2·λ·λcos 2θ，解得cos 2θ＝1－12λ2.再由33≤λ≤1，可得12≤12λ2≤32，所以－12≤cos 2θ≤12，所以π3≤2θ≤2π3，所以π6≤θ≤π3，故2π3≤π－θ≤5π6，即b 与a －b 的夹角π－θ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，5π6.11．(2019·杭州市高考二模)已知复数z ＝1＋a ii (a ∈R )的实部为1，则a ＝________，|z |＝________．解析：因为z ＝1＋a i i ＝（1＋a i ）（－i ）－i 2＝a －i 的实部为1， 所以a ＝1，则z ＝1－i ，|z |＝ 2. 答案：1212．(2019·嘉兴一中高考适应性考试)设e 1，e 2为单位向量，其中a ＝2e 1＋e 2，b ＝e 2，且a 在b 上的投影为2，则a ·b ＝________，e 1与e 2的夹角为________．解析：设e 1，e 2的夹角为θ，因为a 在b 上的投影为2， 所以a ·b |b |＝（2e 1＋e 2）·e 2|e 2|＝2e 1·e 2＋|e 2|2＝2|e 1|·|e 2|cos θ＋1＝2，解得cos θ＝12，则θ＝π3.a ·b ＝(2e 1＋e 2)·e 2＝2e 1·e 2＋|e 2|2＝2|e 1|·|e 2|cos θ＋1＝2. 答案：2π313．已知向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝2.若对任意单位向量e ，均有|a ·e |＋|b ·e |≤6，则a ·b 的最大值是________．解析：由题意，令e ＝(1，0)，a ＝(cos α，sin α)，b ＝(2cos β，2sin β)，则由|a ·e |＋|b ·e |≤6，可得|cos α|＋2|cos β|≤ 6.①令sin α＋2sin β＝m ，②①2＋②2得4[|cos αcos β|＋sin αsin β]≤1＋m 2对一切实数α，β恒成立，所以4[|cos αcos β|＋sin αsin β]≤1，故a·b ＝2(cos αcos β＋sin αsin β)≤2[|cos αcos β|＋sin αsin β]≤12.答案：1214．(2019·温州市十五校联合体联考)已知坐标平面上的凸四边形ABCD 满足AC →＝(1，3)，BD →＝(－3，1)，则凸四边形ABCD 的面积为________；AB →·CD →的取值范围是________． 解析：由AC →＝(1，3)，BD →＝(－3，1)得AC →⊥BD →，且|AC →|＝2，|BD →|＝2，所以凸四边形ABCD 的面积为12×2×2＝2；因为ABCD 为凸四边形，所以AC 与BD 交于四边形内一点，记为M ，则AB →·CD →＝(MB →－MA →)(MD →－MC →)＝MB →·MD →＋MA →·MC →－MB →·MC →－MA →·MD →，设AM →＝λAC →，BM →＝μBD →，则λ，μ∈(0，1)，且MA →＝－λAC →，MC →＝(1－λ)AC →， MB →＝－μBD →，MD →＝(1－μ)BD →，所以AB →·CD →＝－4μ(1－μ)－4λ(1－λ)∈[－2，0)，所以有λ＝μ＝12时，AB →·CD →取到最小值－2.答案：2 [－2，0)15．(2019·嘉兴一中高考适应性考试)在△ABC 中，∠ACB 为钝角，AC ＝BC ＝1，CO →＝xCA →＋yCB →且x ＋y ＝1，函数f (m )＝|CA →－mCB →|的最小值为32，则|CO →|的最小值为________．解析：在△ABC 中，∠ACB 为钝角，AC ＝BC ＝1，函数f (m )的最小值为32. 所以函数f (m )＝|CA →－mCB →| ＝CA →2＋m 2CB →2－2mCA →·CB →＝1＋m 2－2m cos ∠ACB ≥32， 化为4m 2－8m cos ∠ACB ＋1≥0恒成立．当且仅当m ＝8cos ∠ACB8＝cos ∠ACB 时等号成立，代入得到cos ∠ACB ＝－12，所以∠ACB ＝2π3.所以|CO →|2＝x 2CA →2＋y 2CB →2＋2xyCA →·CB →＝x 2＋y 2＋2xy ×cos 2π3＝x 2＋(1－x )2－x (1－x )＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14， 当且仅当x ＝12＝y 时，|CO →|2取得最小值14，所以|CO →|的最小值为12.答案：1216．在△OAB 中，已知|OB →|＝2，|AB →|＝1，∠AOB ＝45°，若OP →＝λOA →＋μOB →，且λ＋2μ＝2，则OA →在OP →上的投影的取值范围是________．解析：由OP →＝λOA →＋μOB →，且λ＋2μ＝2， 则OA →·OP →＝OA →·⎣⎢⎡⎦⎥⎤λOA →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－λ2OB →＝λOA →2＋⎝⎛⎭⎪⎫1－λ2OA →·OB →，又|OB →|＝2，|AB →|＝1，∠AOB ＝45°， 所以由余弦定理求得|OA →|＝1，所以OA →·OP →＝λ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－λ2×1×2×22＝1＋λ2，|OP →|＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤λOA →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－λ2OB →2＝ λ2|OA →|2＋2λ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－λ2OA →·OB →＋⎝⎛⎭⎪⎫1－λ22|OB →|2＝λ22＋2，故OA →在OP →上的投影OA →·OP →|OP →|＝1＋λ2λ22＋2＝22·λ＋2λ2＋4(*)． 当λ＜－2时，(*)式＝－22·（λ＋2）2λ2＋4＝－221＋4λλ2＋4＝－221＋4λ＋4λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0； 当λ≥－2时，(*)式可化为22（λ＋2）2λ2＋4；①λ＝0，上式＝22；②－2≤λ＜0，上式＝221＋4λ＋4λ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，22； ③λ＞0，上式＝221＋4λ＋4λ∈⎝⎛⎦⎥⎤22，1. 综上，OA →在OP →上的投影的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－22，1.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－22，1 17．已知OA →，OB →是非零不共线的向量，设OC →＝1r ＋1·OA →＋r r ＋1OB →，定义点集P ＝⎩⎪⎨⎪⎧K ⎪⎪⎪⎪KB →·KC →|KB →|＝KA →·KC→|KA →|，⎭⎪⎬⎪⎫KC →≠0，当K 1，K 2∈P 时，若对于任意的r ≥3，不等式|K 1K 2→|≤c |AB→|恒成立，则实数c 的最小值为________．解析：由OC →＝1r ＋1·OA →＋r r ＋1OB →，可得A ，B ，C 三点共线，由KB →·KC →|KB →|＝KA →·KC→|KA →|，可得|KC →|cos ∠AKC ＝|KC →|cos ∠BKC ，即有∠AKC ＝∠BKC ，则KC 为∠AKB 的角平分线． 由角平分线的性质定理可知|KA ||KB |＝|AC ||BC |＝r ， 以AB 所在的直线为x 轴，以线段AB 上某一点为原点建立直角坐标系，设点K (x ，y )，A (－a ，0)，B (b ，0)，所以（x ＋a ）2＋y 2（x －b ）2＋y2＝r 2，化简得(1－r 2)x 2＋(1－r 2)y 2＋(2a ＋2br 2)x ＋(a 2－b 2r 2)＝0.由方程知K 的轨迹是圆心在AB 上的圆，当|K 1K 2|为直径时最大，方便计算，令K 1K 2与AB 共线，如图，由|K 1A |＝r |K 1B |，可得|K 1B |＝|AB |r ＋1，由|K 2A |＝r |K 2B |，可得|K 2B |＝|AB |r －1，可得|K 1K 2|＝|AB |r ＋1＋|AB |r －1＝2r r 2－1|AB |＝2r －1r|AB |，而易知r －1r ≥3－13＝83，即有|K 1K 2|≤34|AB |，即|K 1K 2||AB |≤34，即c ≥⎝⎛⎭⎪⎫|K 1K 2||AB |max ＝34， 故c 的最小值为34.答案：3418．在△ABC 中，已知C ＝π6，向量p ＝(sin A ，2)，q ＝(2，cos B )，且p ⊥q .(1)求角A 的值；(2)若BC →＝2BD →，AD ＝7，求△ABC 的面积．解：(1)因为p ⊥q ，所以p ·q ＝0⇒p ·q ＝2sin A ＋2cos B ＝0，又C ＝π6，所以sin A ＋cos B ＝sin A ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－A ＝0，化简得tan A ＝33，A ∈(0，π)，所以A ＝π6. (2)因为BC →＝2BD →，所以D 为BC 边的中点， 设|BD →|＝x ，|BC →|＝2x ，由(1)知A ＝C ＝π6，所以|BA →|＝2x ，B ＝2π3，在△ABD 中，由余弦定理，得|AD →|2＝|BA →|2＋|BD →|2－2|BA →|·|BD →|·cos 2π3＝(2x )2＋x 2－2·2x ·x ·cos 2π3＝7，所以x ＝1，所以AB ＝BC ＝2，所以S △ABC ＝12BA ·BC ·sin B ＝12×2×2×sin 2π3＝ 3.19．已知m ＝(2sin x ，sin x －cos x )，n ＝(3cos x ，sin x ＋cos x )，记函数f (x )＝m ·n .(1)求函数f (x )的最大值以及取得最大值时x 的取值集合；(2)设△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若f (C )＝2，c ＝3，求△ABC 面积的最大值．解：(1)由题意，得f (x )＝m ·n ＝23sin x cos x ＋sin 2x －cos 2x ＝3sin 2x －(cos 2x －sin 2x )＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，所以f (x )max ＝2；当f (x )取最大值时，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＝1，此时2x －π6＝2k π＋π2(k ∈Z )，解得x ＝k π＋π3(k ∈Z )，所以x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π＋π3，k ∈Z .(2)由f (C )＝2，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C －π6＝1，又0＜C ＜π，即－π6＜2C －π6＜11π6，所以2C －π6＝π2，解得C ＝π3，在△ABC 中，由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得3＝a 2＋b 2－ab ≥ab ，即ab ≤3，当且仅当a ＝b ＝3时，取等号，所以S △ABC ＝12ab sinC ＝34ab ≤334， 所以△ABC 面积的最大值为334.。
高三数学专题复习之平面向量与复数
平面向量与复数
高考分析及预测
从内容上看：向量的基本概念（共线、垂直）及其运算（加法、减法、数乘和数量积）是高考的必考内容；从题型上看，平面向量的考题比较灵活，多以向量的运算为主，平面几何图形作为载体，考查向量加减法的几何意义，考查学生分析问题、解决问题的能力和运算能力，填空题、解答题都有可能出现，可能是容易题，也可能是中档题。
复数题在高考中主要以小题形式呈现，难度不大，主要考查复数的运算。
高考能级要求：
知识梳理：
重点及易错点回顾：
典例精研：
目标达成反馈：
课堂小结：
学教反思：。
广东省广州市高考数学一轮复习模拟试题精选 专题 平面向量
平面向量一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在边长为3的等边三角形ABC 中，2CD DB =u u u r u u u r ，则AB CD ⋅u u u r u u u r等于( )A ．33-B ．3-C ．3D ．33【答案】C2．12、无论),,(321x x x a =，),,(321y y y b =，),,(321z z z c =,是否为非零向量，下列命题中恒成立的是( ) A ． 232221232221332211,cos y y y x x x y x y x y x b a ++⋅++++>=<B ．若b a //，b c //，则c a //C ． c b a ••)()(c b a ••=D ．【答案】D3．下列物理量：①质量 ②速度 ③位移 ④力 ⑤加速度 ⑥路程，其中是向量的有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】C4．已知,a b r r均为单位向量，它们的夹角为60︒，那么3a b +=r r ( )A ．13B ．10C ． 4D ． 13【答案】A5．在周长为16的PMN ∆中，6MN =，则PM PN ⋅u u u u r u u u r的取值范围是( )A. [7,)+∞B.（0，16）C. (7,16] D ．[7,16)【答案】D6．设e 1,e 2是夹角为450的两个单位向量,且a=e 1+2e 2,b=2e 1+e 2,,则|a+b|的值( ) A ．23 B ．9 C ．2918+ D ．223+ 【答案】D7．对于非0向时a,b,“a//b ”的正确是( )A ．充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ．充分必要条件D ． 既不充分也不必要条件 【答案】A8．已知的夹角是( )A ．B ．C ．D ．【答案】C9．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb)∥c ，则λ＝( )A ．14B ．12C ．1D ．2 【答案】B 10．在ABC ∆中，b AC c AB ==,。
数学高考二轮微专题6 平面向量的线性运算
rr ab
O
r a
B
r b
A
点使如r并得图且：arr与箭将br头向的指量起向ar点平被相移减同至向，Ou量u这Aur ,ar时向的连量向接br量平aruB与移uArbr至的Ouu终Bur ,O a b.
B
r
rr
b
ab
r a
A
2.向量共线定理
通过向量共线定理，可以实现三点共线与向量共线
的转化，它是处理有关平行及三点共线问题的一个
DF
/
/
O
E.
2 所以O点为AD的中点.
uuur AO
1
uuur AD.
2
又Q
D为BC的中点,据例2可知:
uuur AD
1
uuur ( AB
uuur AC
),
uuur AO
1
uuur ( AB
uAuCur ).又Q
uuur AB
uuur AC
uu2ur 6 AO
uuur EC,
uuur AB
uuu4r AC
uuur
OB OC OB OA OC OA ,
uuur uuur uuur CB AB AC
uuur uuur uuur uuur uuur C
D
如图,作出 AB AC AD, CB AD ,
因此以
uuur AB,
uuur AC
为邻边的平行四边形为
A
CB
矩形,所以BAC 90o,ABC 的形状为直角三角形.
O
在uuur平面u内uur, O, Auu,urB是不共线的三点,设 OP xOA yOB(x, y R), 则:
A, B, P 三点共线 x y 1.
【新课标】高三数学二轮精品专题卷_平面向量
高三数学二轮精品专题卷：专题三 平面向量考试范围：平面向量一、选择题（本大题共15小题，每小题5分，共75分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知()0,1=a ,，()1,x b =，若2=⋅b a ，则x 的值为 （ ） A ．2 B ．4 C ．13-D ．22．已知M 、P 、Q 三点不共线，且点O 满足=--4380，则下列结论正确的是 （ ）A ．MQ MP OM --=B ．MQ MP OM --=3C ．MQ MP OM 4--=D ．MQ MP OM 43+=3．在三角形ABC 中，点P 在BC 上，且2=，点Q 是AC 的中点，若()3,4=，()5,1=，则= （ ） （1）()21,6- B ．()7,2- C ．()21,6-D ．()7,2-4．已知平面向量()1,2-=a ，()23,732-=+m b a ，且a ∥b ，则=-b a 62 （ ） A ．()4,2-- B ．()6,3-- C ．()1,2-D ．()5,10-5．如下图，在ABC △中，3==BC AB ，︒=∠30ABC ，AD 是边BC 上的高，则⋅的值等于 （ ）A ．0B ．49 C ．4 D ．49-6．已知向量()3,2=a ，()4,1=+b a ，则b 在a 方向上的投影等于 （ ） A ．1313- B ．1313 C ．22-D ．27．在ABC △中，1=⋅AC AB ，3-=⋅BC AB 则AB 边的长度为 （ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．58．若2=a ，1=b ，且()()b a b a +⊥-22，则a 与b 的夹角余弦是（ ）A ．23B ．32 C ．21-D ．23-9．已知平面向量()2,1-=a ，()3,4-=b ，则b a λ-的最小值是 （ ） A ．1 B ．5 C ．10D ．510．在直角坐标系xOy 中，已知点()0,1A ，()4,3B ，已知点C 在AOB ∠的平分线上，5=，则C 点坐标是（ ）A ．()2,1B ．()1,2C ．()2,1--D ．()1,2--11．设平面向量()2,1=a ，()y b ,2-=，若b a ⊥，则b a +3等于 （ ） A ．25 B ．6 C ．17D ．2612．已知平面内的向量OA ，OB 2=，()()0=-⋅+OB OA OB OA ，且OB OA ⊥，又OB OA OP 21λλ+=，101≤≤λ，212≤≤λ，则满足条件点P 所表示的图形面积是（ ） A ．8 B ．4 C ．2D ．113．已知等差数列{}n a 的前项和为n S ，若OB a OA a OC 20131+=，且满足条件CB AC 2=，则{}n a 中前2013项的中间项是 （ ） A ．21 B ．1 C ．2012D ．201314．已知向量()y x a ,=，()2,1-=b ，满足()b b a ⊥+2，()a b -3∥b ，则a = （ ） A ．)1,21(-B ．)0,1(C ．)21,23(D ．)1,0(-15．已知关于x 的方程:022=+⋅+⋅x x （x ∈R ），其中点C 为直线AB 上一点，O 是直线AB 外一点，则下列结论正确的是（ ）A ．点C 在线段AB 上B ．点C 在线段AB 的延长线上且点B 为线段AC 的中点 C ．点C 在线段AB 的反向延长线上且点A 为线段BC 的中点D ．以上情况均有可能二、填空题（本大题共15小题，每小题5分，共75分.将答案填在题中的横线上）16．已知2=a ，2=b ，|a +b |=32，则a 与b 的夹角为 ． 17．在平行四边形ABCD 中，若()4,0=，()4,2=，则⋅= ． 18．已知向量(1,3),(3,)x y =-=a b ，若a ⊥b ，则xy 的最大值为 ．19．ABC △内接于以O 为圆心，1为半径的圆，且=++OC OB OA 220，= ． 20．已知向量()θθsin ,cos =m ，()ϕϕsin ,cos =n ，4πϕθ=-，则向量m 与向量n 的夹角是 ．21．已知向量()1,sin θ=a ，()1,cos sin 22θθ-=-b a ，则||b a -的最大值为 ．22．已知1e ，2e 是夹角为π32的两个单位向量，212e e a -=，21e e k b += 若a ⋅b =0，则k 的为 ．23．已知向量()2,2=m ，⎪⎭⎫⎝⎛--=21,2n ，直线l 过点()1,3-A 且直线的方向向量与向量n m 2+垂直，则直线l 的方程为 ． 24．给出下列命题：①已知向量a ，b ，c 均为单位向量，若=++c b a 0，则21=⋅b a ； ②ABC △中，必有=++CA BC AB 0；③四边形ABCD 是平行四边形的充要条件是=；④已知P 为ABC △的外心，若=++0，则ABC △为正三角形． 其中正确的命题为 ．25．设()0,11-F ，()0,12F 是椭圆的左、右焦点，O 为坐标原点，且2=a ，点P 在椭圆上，则PO PF ⋅1的取值范围是 ．26．设锐角ABC △的三内角A ，B ，C ，向量()1,cos 3sin -+=A A m ，⎪⎭⎫ ⎝⎛=23,sin A n ，且n m ⊥则角A 的大小为 ．27．已知点P 是ABC △所在平面内的一点，且0253=++,设ABC ∆的面积为S ，则P A C ∆的面积为 ．28．已知ABC ∆的角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设向量()b a m ,=，()2,2--=a b n ，且n m ⊥， 2=c ，则ABC ∆的周长的最小值是 ．29．设函数()1121++⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x x f x，0A 为坐标原点，n A 为函数()x f y =图象上横坐标为n （n ∈N *）的点，向量∑=-=nk k k n A A a 11，向量)0,1(=i ，设n θ为向量n a 与向量i 的夹角，满足∑=n k k 1tan θ＜35的最大整数n 是 ．30．已知双曲线222=-y x 的左、右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 的动直线与双曲线相交于A ，B 两点．则满足O F B F A F M F 1111++=的动点M 的轨迹方程为 ．2012届专题卷数学专题三答案与解析1．【命题立意】考查数量积的坐标运算，属于基础题．【思路点拨】从数量积的坐标运算做为入手点，不难得到x 的取值．【答案】D 【解析】依题意，()()21,0,1==⋅=⋅x x b a,x =2，选择D ．2．【命题立意】本题考察了向量的线性运算和平面向量基本定理．【思路点拨】根据向量的线性运算，不难把向量OM 用MP 与表出．【答案】D 【解析】依题意，由=--OQ OP OM 4380得⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=43，即MQ MP OM 43+=，故选D ．3．【命题立意】考查平面向量线性运算和坐标运算．【思路点拨】首先借助向量的线性运算用已知向量表示未知相关向量，然后借助坐标运算求解．【答案】A 【解析】由题意知，()()()2,33,45,1-=-==-AQ PA PQ ,又因为点Q 是AC 的中点，所以QC AQ =,所以()()()7,22,35,1-=-+=+=QC PQ PC ,因为PC BP 2=所以()()21,67,233-=-==+=PC PC BP BC ． 4．【命题立意】考查了向量的坐标运算，向量共线的充要条件．【思路点拨】借助a ∥b的充要条件，求出m 的值，然后按照坐标运算得出2a-6b．【答案】C 【解析】由a()1,2-=，()23,732-=+m ba 得()mb ,1=又因为，a∥b，得()0112=⨯--⨯m ，于是21-=m ，所以()()()1,23,62,462-=---=-b a ，故选C ．5．【命题立意】本题考查向量数量积运算性质和向量的线性运算．【思路点拨】充分利用已知条件的3==BC AB ，︒=∠30ABC ，借助数量积的定义求出．【答案】B 【解析】因为3==AC AB ，︒=∠30ABC ，AD 是边BC 上的高,23=AD 49=∠⋅CAD AC AD . 6．【命题立意】本题考查向量数量积的投影的意义,数量积的坐标运算以及向量夹角公式．【思路点拨】首先明确a 在b ，结合数量积坐标运算与夹角公式，不难得出最后的结果．【答案】B 【解析】由条件()3,2=a ，()4,1=+b a ，不难得到()1,1-=b ,b 在a 方向上的投为1313．7．【命题立意】考查了向量的线性运算与向量数量积的运算和相关性质考查．【思路点拨】首先借助利用向量的线性运算表示AC ，而后借助数量积运算律和性质解决长度问题．【答案】A 【解析】因为132=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=⋅,2,即AB 边的长度为2．8．【命题立意】本题考查向量垂直的充要条件与向量的夹角公式的应用．【思路点拨】首先利用向量的垂直的充要条件，求出b a ⋅，再利用向量的夹角公式计算夹角的余弦值．【答案】B 【解析】由⎪⎭⎫ ⎝⎛+⊥⎪⎭⎫ ⎝⎛-b a b a 2得022=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-b a b a ，∴222322=-=⋅b a b a ，即32=⋅b a 2，1，32∴． 9．【命题立意】本题考查向量坐标运算及向量模的运算．【思路点拨】可以以向量的坐标运算作为切入点，也可以数形结合转化为点到直线的距离．【答案】A 【解析】5202522222+-=⋅-+=λλλλb a b a ，当52=λ取最小值1，的最小值为1，故选A ．也可以转化为点()2,1-A 到直线043=+y x 的距离，即152413=⨯-⨯=d ．10．【命题立意】本题考查平面向量的坐标运算，考查向量加法的平行四边形法则．【思路点拨】设OA A O λ=，OB B O μ='，若四边形B C A O ''是菱形，则点C 在AOB ∠的平分线上，由此找到解题思路．【答案】B 【解析】构造向量()0,5='O ，∴()t t OB A O t OC 4,8=⎪⎭⎫ ⎝⎛+'=，5，解得41=t ，()1,2=∴OC ．11．【命题立意】考查向量垂直的充要条件和向量模的运算．【思路点拨】首先利用向量垂直的充要条件计算y 的取值，按照向量模的坐标运算公式不难得出最后结果．【答案】A 【解析】b a ⊥，则()10221=⇒=+-⨯y y ，从而()()()71122133,,,b a =-+⋅=+，253．[来源: ]12．【命题立意】本题考查数量积运算和向量垂直的充要条件、不等式组表示平面区域．【思路点拨】先根据向量的坐标运算得到不等式组，然后根据不等式组画出平面区域，不难知道正确答案．【答案】B 【解析】如图，以O 为原点，OA 所在直线为x 轴，OB 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，因为0=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+OB OA OB OA 即22OB OA =,2则()0,2A ，()2,0B 设()y x P ,，则由21λλ+=得)2,2()2,0()0,2(,2121λλλλ=+=）（y x ，所以⎩⎨⎧==2222λλy x ，因为⎩⎨⎧≤≤≤≤∴⎩⎨⎧≤≤≤≤4220211021y x λλ，故点P 的集合为{}42,20|,≤≤≤≤y x y x ）（，表示正方形区域（如图中阴影部分所示），所以面积为224⨯=．13．【命题立意】本题考查了向量线性运算、向量共线的充要条件，等差中项性质的应用．【思路点拨】A ，B ，C 三点共线的充要条件是OC OA OB λμ=+且1λμ+=，进一步借助等差中项的性质求解．[来源: ]【答案】A 【解析】依题意，由条件2AC CB =，所以A ，B ，C三点共线，又12013OC a OA a OB =+，借助共线充要条件的120131a a +=，}{n a 中前2013项的中项为1007a ，根据等差中项公式1007120132a a a =+，故100712a =，选择A ．14．【命题立意】本题主要考查向量的坐标表示和运算，平面向量垂直和平行的判定.【思路点拨】根据垂直和平行的坐标表示不难得出向量a的坐标所满足的关系，进而得出a的坐标.【答案】A 【解析】由已知条件知，2a+b =)22,12(-+y x ，3b－a =)6,3(y x ---，由于b b a⊥+)2(，()ab -3∥b ，可得⎩⎨⎧⨯--=-⨯-=-⨯-+⨯+1)6()2()3(0)2()22(1)12(y x y x 得到⎩⎨⎧=+=+-020542y x y x ，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=121y x 因此)1,21(-=a .15．【命题立意】本题考查向量的线性运算及三点共线的条件及探究能力．[来源: ]【思路点拨】先由三点共线的条件确定x 值,代入原式利用向量的线性运算化简即可．【答案】B 【解析】据题意由于A ,B ,C 三点共线,故由22OC OA x OB x =-⋅-⋅,可得221x x --=,解之得1-=x ,即2OC OA OB =-+ ,化简整理可得:OC OB OB OA BC AB -=-⇒=,故点C 在线段AB 的延长线上且点B 为线段AC 的中点．16．【命题立意】本题考查了平面向量的数量积的性质、模的运算和向量夹角公式.【思路点拨】首先借助模的性质22||a a=，得到a b ⋅ ，进一步借助夹角公式得出夹角.【答案】3π【解析】因为2=a ，2=b 所以由122)(222=+⋅+=+b b a a b a 可得2=⋅b a ，设a与b 的夹角为θ，又因为|a |＝2，|b |＝2则1cos ,23a b a b πθθ⋅===故.17．【命题立意】考查平面向量的线性运算和平面向量的坐标运算．【思路点拨】首先借助向量的线性运算用向量AC AB 、表示向量BD AD 、,而后借助向量线性运算得出结论．【答案】4【解析】()0,2=-==AB AC BC AD ，()4,2-=-=AB AD BD ．故()()44,20,2=-=⋅BD AD ． 18．【命题立意】本题考查向量垂直的充要条件以及基本不等式的应用.【思路点拨】首先借助向量垂直的充要条件得到x 、y 之间的关系，借助基本不等式求最值.【答案】41【解析】因为a ⊥b ，所以0=⋅b a ，则有033)1(=⨯+⨯-y x ，即1=+y x .又因为4122=⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤y x xy ，当且仅当y x =时，“=”成立，即当21==y x 时，xy 的最大值为41. 19．【命题立意】本题考查平面向量的数量积、向量模的运算．，因此只要通过条件式求出OB OA ⋅，即可解答．【答案】210【解析】由022=++OC OB OA 得OC OB OA 22-=+，两边平方得4OB OA -=+⋅+1，所以41-=⋅OB OA ，2101412122=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-．20．【命题立意】本题考查向量的坐标运算与向量夹角公式、和角或差角的余弦公式．【思路点拨】借助向量的坐标运算计算出n m ⋅，在这儿充分结合差角的余弦公式，再利用向量的夹角公式θcos ,进而求出夹角．【答案】4π【解析】因为()()()ϕθϕθϕθϕϕθθ-=+=⋅=⋅cos sin sin cos cos sin ,cos sin ,cos b a ，设向量a 与向量b 的夹角为α，则()4π=-=αcos cos cos φθ,又πα≤≤0，所以4πα=．21．【命题立意】考查向量的模以及三角函数辅助角公式的应用，属于知识的综合考查，【思路点拨】首先借助向量的坐标运算求出b a -，而后借助向量的模与辅助角公式化简最大值．【答案】2【解析】因为()1,sin θ=a ，()1,cos sin 22θθ-=-b a 所以()()0,cos sin 2θθ-=-=--b a a b a 242≤π-=θ-θ=）（θsin cos sin ，的最大值为2．22．【命题立意】本题考查向量的数量积的概念、运算与向量的垂直的坐标表示．【思路点拨】利用向量的数量积运算性质和向量的数量积的定义不难得出结论．【答案】45【解析】因为()22212121212212e e e k e k e e k e e b a -⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅，1=，2121-=⋅e e ，所以02212=--k ，即45=k ．23．【命题立意】本题考查向量的坐标运算、向量垂直充要条件与求直线方程的方法，属于对数学知识综合应用．【思路点拨】首先根据向量垂直计算出直线方程斜率，再利用直线的点斜式求出直线方程．【答案】072=--y x 【解析】由()1,22-=+n m ，可知l 的方向向量为()2,1=v ．即直线的斜率为2=k ，根据直线的点斜式方程得()321-=+x y ，故得直线的方程为072=--y x ．24．【命题立意】本题考查向量的基本概念、平面向量线性运算即加法、减法运算．【思路点拨】充分利用向量的知识逐一判断．[来源: ]【答案】②③④【解析】命题①错误，21-=⋅b a ；命题②③④都是正确的． 25．【命题立意】考查向量数量积的坐标运算、椭圆的几何性质．【思路点拨】首先把向量PO PF 、1坐标化，然后按照向量数量积坐标运算计算PO PF ⋅1，注意到点P 在椭圆上利用自变量的取值范围，求得PO PF ⋅1取值范围．【答案】⎥⎦⎤⎢⎣⎡+22,21【解析】由已知条件不难得到椭圆的方程为1222=+y x ，设P (x ，y )，[来源:金太阳新课标资源网 ]则⋅1＝),(),1(y x y x --⋅---＝x 2＋x ＋y 2＝x 2＋x ＋1-21x 2＝21x 2＋x ＋1＝()211212++x ，[]2,2-∈x ,∴所求范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+22,21．26．【命题立意】本题考查向量的坐标运算与向量垂直的充要条件、三角恒等变换，属于知识交汇处考察，是考试的热点．【思路点拨】由已知条件n m ⊥，得到关于A 的关系式，借助三角恒等变换，算出A sin ，借助三角形的特征，不难得出最后的结论．【答案】3π【解析】因为n m ⊥，则()023sin cos 3sin =-+A A A ，即23cos sin 3sin 2=+A A A ,所232sin 2322cos 1=+-A A ，即12cos 212sin 23=-A A ，即162sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-πA ,又因为A 是锐角，则262ππ=-A ，所以3π=A ．27．【命题立意】本题考查向量的线性运算．【思路点拨】求解的关键是对0253=++PC PB PA 的转变，我们所根据的原理是对于有()0=+++PC n PB n m PA m 这样的关系，则可以转换为⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+PC PB n PB PA m ，借助BC AB 、的中点为N M 、，转化为求解为PM 与PN 共线，进而求得PAC S ∆．【答案】2S【解析】如图，由0253=++PC PB PA ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+PC PB PB PA 23，则2223⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅PC PB PB PA ．设BC AB 、的中点为N M 、，2⎪⎭⎫ ⎝⎛+=PB PA PM ,2⎪⎭⎫ ⎝⎛+=PC PB PN ，即PN PM 23-=则点P 在中位线MN 上,则PAC ∆的面积是ABC ∆的面积的一半．28．【命题立意】本题考查向量的坐标运算、垂直的充要条件和余弦定理及均值不等式的综合应用．【思路点拨】首先借助向量垂直得到相应的三角形边之间等量关系，借助余弦定理得到ab ，进而确定均值不等式确定b a +的最小值．【答案】6【解析】由题意可知0=⋅，即0)2()2(=-+-a b b a ，ab b a =+∴，由余弦定理可()ab b a ab b a 34222-+=-+=得()0432=--+ab b a 即()0432=--ab ab ，所以4=ab （舍去1-=ab ），故三角形周长6222=+≥++=++ab b a c b a ．29．【命题立意】本题考查向量的运算及数列求和知识的综合应用.【思路点拨】确定n A 的坐标,进而确定向量n a 与向量i的夹角n θ的通项公式,然后根据通项公式求和解答即可.【答案】3【解析】据题意可得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛==+++=-1121,012110n n n A A A A A A A A a n n n n n ,故()1121tan ++⎪⎭⎫⎝⎛=n n nn θ,因此()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⨯+⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑=11321211212121tan 21n n nnk k θ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-+-+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111312121121121121n n n 111211+-+-=n n11212+--=n n ,据题意令11212+--n n ＜35，易验证知满足不等式的最大正整数值为3. （2）【命题立意】本题考查向量的线性运算、中间变量法求曲线方程.【思路点拨】首先借助向量线性运算得到中间变量和最终变量之间的关系，而后利用中间变量法得到曲线方程．【答案】()4622=--y x 【解析】由条件不难知道()0,2)0,2(21F F 、-,设()11,y x A ，()22,y x B ，()y x M ,，则()y x M F ,21+=，()111,2y x A F +=，()221,2y x B F +=，()0,21=O F ，O F B F A F M F 1111++=得⎩⎨⎧+=++=+212162y y y x x x ，即⎩⎨⎧=+-=+y y y x x x 21214，于是AB 的中点坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,24y x ，当AB 不与x 轴垂直时，82222121-=-=--x y yx x y y ，即()21218x x x y y y --=-，又因为B A 、两点在双曲线上，所以22121=-y x ，22222=-y x ，两式相减得()()()()21212121y y y y x x x x +-=+-，()()()y y y x x x 21214-=--，将()21218x x x y y y --=-代人上式，化简得()4622=--y x ．当AB 与x 轴垂直时，221==x x ，求得()0,8M ，也满足上述方程．所以点M 轨迹方程是()4622=--y x ．。
高三数学第二轮重点复习内容
高三数学第二轮重点复习内容高三数学第二轮重点复习内容专题一：函数与不等式，以函数为主线，不等式和函数综合题型是考点函数的性质：着重掌握函数的单调性，奇偶性，周期性，对称性。
这些性质通常会综合起来一起考察，并且有时会考察具体函数的这些性质，有时会考察抽象函数的这些性质。
一元二次函数：一元二次函数是贯穿中学阶段的一大函数，初中阶段主要对它的一些基础性质进行了了解，高中阶段更多的是将它与导数进行衔接，根据抛物线的开口方向，与x轴的交点位置，进而讨论与定义域在x轴上的摆放顺序，这样可以判断导数的正负，最终达到求出单调区间的目的，求出极值及最值。
不等式：这一类问题常常出现在恒成立，或存在性问题中，其实质是求函数的最值。
当然关于不等式的解法，均值不等式，这些不等式的基础知识点需掌握，还有一类较难的综合性问题为不等式与数列的结合问题，掌握几种不等式的放缩技巧是非常必要的。
专题二：数列。
以等差等比数列为载体，考察等差等比数列的通项公式，求和公式，通项公式和求和公式的关系，求通项公式的几种常用方法，求前n项和的几种常用方法，这些知识点需要掌握。
专题三：三角函数，平面向量，解三角形。
三角函数是每年必考的知识点，难度较小，选择，填空，解答题中都有涉及，有时候考察三角函数的公式之间的互相转化，进而求单调区间或值域;有时候考察三角函数与解三角形，向量的综合性问题，当然正弦，余弦定理是很好的工具。
向量可以很好得实现数与形的转化，是一个很重要的知识衔接点，它还可以和数学的一大难点解析几何整合。
专题四：立体几何。
立体几何中，三视图是每年必考点，主要出现在选择，填空题中。
大题中的立体几何主要考察建立空间直角坐标系，通过向量这一手段求空间距离，线面角，二面角等。
另外，需要掌握棱锥，棱柱的性质，在棱锥中，着重掌握三棱锥，四棱锥，棱柱中，应该掌握三棱柱，长方体。
空间直线与平面的位置关系应以证明垂直为重点，当然常考察的方法为间接证明。
专题五：解析几何。
以问题促专题,提高高三数学二轮复习效率——以《向量表示有关问题的解法》专题复习为例
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２ ０ １ ３年 １ １月
以问题 促 专题 ， 提 高高三数 学二轮 复 习效 率
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以《 向量表 示有关 问题 的解法》 专题 复 习为例
⑩江苏省 常州 市北郊高级中学 刘 敏
一
模过 后 ，大 多数 学校 的 高三 数 学教 学都 进 入 了
迷惑 、 纠结 、 等待的心理 ， 缺乏探 究的信心 ， 原因在于学生
识 上的储 备 ， 让学生从复杂 回归简单 ， 增强学生纠错 的信
心 ，激发学生纠错 的兴趣 ． 为此 笔者为这个专 题复 习了
如下的知识 ：
（ １ ） 平 面向量 基本定理 ； （ ２ ） 三点共线 的性质 ： 若０ 为平 面 内任意一点 ， Ａ、 Ｂ 、 Ｐ
习为例 ， 谈谈 具体 做法 ． 通过备课组 的集体讨论 ， 我们精心设计 了学案 《 向量 表示 有关 问题 的解法 》 ， 把错 误率 比较高 的问题 编制在学 案上 ， 事先发 给学生 ， 让 学生分析错 因 ， 进行初 步的订 正． 课上学生展示 ， 教师 点评 ， 然后 当场让学生进行 补偿性训
本性 的提 高．解题教学 中 ，教 师应该充分 发挥学生 的主
图１
１
点Ｐ， 且
， ＝ ｂ ， ￣Ａ ： － － １ ５ ＝ ｘ ａ ＋ ｙ ｂ
（ ， Ｙ ∈Ｒ） ， 贝 Ⅱ ＋ ｙ ＝ 一
补偿练 习 ： 过 ＡＡ Ｂ Ｃ 的重心Ｇ
体作 用 ， 少讲 “ 模式 ” ， 多体验 本质．为 了达 到这个 目的 ，
的思维起点和解题需要之间可能包括 了知识 、 方法 、 能力 的缺失．教师要想弥补这些缺 失就必须从学 生的认知 基
二 轮复 习．目前各 校普遍 性 的做法 是 以专题 复 习为 主 ， 结 合做 各地 的模 拟 试卷 ，但 是 我们 在 实践 中发 现直 接
平面向量复习高中数学会考复习课件及教案市公开课金奖市赛课一等奖课件
(2)|a||b|cosθ叫a与b数量积，记作a·b，即 a·b＝|a||b|cosθ (3)平面向量数量积坐标表示
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知识提纲 十、平移
将P( x, y)按a (h, k)平移到P'( x', y' )，
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典例解读
15.在△ABC中，点M为BC中点，A，B，C三点
坐标分别为(2,-2)，(5,2)，(-3,0)，点N在
AC上，且 求点P分向量 标
AN 2，NACM与BN交点为P，
所成A比Mλ值，并求点P坐
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典例解读
16.利用向量证实：△ABC中，M为BC中点， 则 AB2+AC2=2(AM2+MB2)
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知识提纲
六、向量共线/平行充要条件
七、非零向量垂直充要条件
八、线段定比分点
设 p1, p2 是 l 上两点，P是 上l _______任意一点，
则存在实数 ，使________，则 为点P分有向线
段 所成p1比p2 ，同时，称P为有向线段 定比分点p1 p2
定比分点坐标公式及向量式
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知识提纲 九、平面向量数量积
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知识提纲
一、向量概念
既有____又有____量叫做向量。用有向线段表 示向量时, 有向线段长度表示向量____, 有向 线段箭头所指方向表示向量____
__________叫零向量 __________叫做单位向量
________向量叫做平行向量, 由于任一组平行 向量都能够平移到同一条直线上, 因此平行向 量也叫做_____ 。零向量与任一向量平行
广东省广州市重点学校备战高考数学一轮复习平面向量试题精选03
平面向量03填空题29．在AB C D 中，,,3AB a AD b AN NC ===，M 为BC 的中点，则MN =_______。
（用a b 、表示）解：343A A N N C A N C a==+由得，12AM a b =+，所以3111()()4244M N a b a b a b=+-+=-+。
30.若三点(2,2),(,0),(0,)(0)A B a C b ab ≠共线，则11a b+的值等于__________.31．在ABC ∆中，若sin :sin :sin 5:7:8A B C =，则B ∠的大小是___________.解： sin :sin :sin 5:7:8A B C =⇔a :b :c ＝5:7:8设a ＝5k ，b ＝7k ，c ＝8k ，由余弦定理可解得B ∠的大小为3π.32.若三点A (2，2)，B (a ,0),C (0,4)共线，则a 的值等于 。
解：AB ＝（a －2，－2），AC ＝（－2，2），依题意，向量 AB 与AC 共线，故有2（a －2）－4＝0，得a ＝433.在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边长分别为a ,b ,c .若sin A ∶sin B ∶sin C =5∶7∶8,则a ∶b ∶c = , ∠B 的大小是 .34已知向量a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),且a ±≠b ，那么a+b 与a-b 的夹角的大小是 .35.在∆ABC 中，已知433=a ，b ＝4，A ＝30°，则sinB .解：由正弦定理易得结论sinB ＝2。
36.如图2,OM∥AB,点P 在由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动,且OP xOA yOB =+,则x 的取值范围是 ;当1x =-时,y 的取值范围是 .解析:如图, AB OM //, 点P 在由射线OM , 线段OB 及AB 的延长线围成的区域内 (不含边界)运动,且y x +=，由向量加法的平行四边形 法则，OP 为平行四边形的对角线，该四边形应是以 OB 和OA 的反向延长线为两邻边，∴ x 的取值范围 是(－∞，0)；当21-=x 时，要使P 点落在指定区域内，即P 点应落在DE 上，CD=21OB ，CE=23OB ，∴ y 的取值范围是(21，23).37.在△ABC 中，已知BC ＝12，A ＝60°，B ＝45°，则AC ＝38.已知向量(1sin )a θ=，，(1cos )b θ=，，则a b -的最大值为．解：a b -＝|sin θ－cos θ|（θ－4π）|39.已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 成等差数列，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为 ．解析: 由ABC ∆的三个内角A 、B 、C 成等差数列可得A+C=2B 而A+B+C=π可得3B π∠=AD 为边BC 上的中线可知BD=2,由余弦定理定理可得AD = 本题主要考察等差中项和余弦定理,涉及三角形的内角和定理,难度中等。
广州市第一中学高三数学第二轮复习专题平面
广州市第一中学高三数学第二轮复习专题——平面向量专题一、选择题（（本大题共10小题,每题5分,满分50分,在每小题后所给的四个选项中,只有一个选项正确）：1.已知非零向量,,a b c满足a b a c ⋅=⋅ ,则b 与c 的关系是 ( )A.相等B.共线C.垂直D.不确定2.如果向量,a b 满足||3a = ,||4b = ,()(3)81a b a b +⋅+=,则a 与b 的夹角是()A.30°B.60°C.90°D.120°3.若,a b 是不共线的两向量,且12,AB a b AC a b λλ=+=+12(,)R λλ∈,则A,B,C 三点共线的充要条件是A.121λλ==-B.121λλ==C.121λλ=-D.121λλ=( )4.△ABC 的两个顶点A(3,7),B(-2,5),若AC 的中点在x 轴上,BC 的中点在y 轴上,则顶点C 的坐标是()A. (2,-7)B.(-7,2)C.(-3,-5)D.(-5,-3)5.已知△ABC 中,,AB a CA b ==,当0a b ⋅> 时,△ABC 为()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定6.将函数y=f(x)的图象按向量a=(-3,2)平移后得到y=sin2x 的图象,则f(x)等于 ( )A.sin(2x+6)+2B.sin(2x -6)+2C. sin(2x+6)-2D.sin(2x -6)-27.设向量a 的模等于4, a 与b 的夹角为5π6,则a在方向b 上的投影为()A.2 3B.-2 3C.2D.-28. △ABC 的三个内角满足sin 2A=sin 2B+sinBsinC+sin 2C,则∠A 等于()A.30°B.60°C.120°D.150°9.已知a=(k,2),b=(-3,5),且a与b夹角为钝角,则k 的取值范围是()A.(103,+∞)B.[ 103,+∞]C.(-∞, 103)D. (-∞,103) 10.把直线x -2y+c=0按向量a=(-1,2)平移，得到的直线与圆x 2+y 2+2x -4y=0相切，则c 等于 A.± 5 B.10或0 C.±5 D.13或3()二、填空题（每小题5分，满分30分）：11.0AB BC CA ++=是“A,B,C 是三角形三个顶点”的 条件 12. 若P(cosα,sinα),Q(cosβ,sinβ),则PQ模的最大值是 .13.若a =(2,-3), b =(1,2),c =(9,4),且c =ma nb +,则m= ,n= .14.已知A(2,3),B(4,2),P 是x 轴上的动点,当P 点坐标为 时,AP BP ⋅ 最小,此时∠APB= .15.已知动点P 与定点M(1,1)为起点的向量与向量a=(4,-6)垂直,则动点P 的轨迹是 . 16.已知A(a,0),B(0,a),a>0,点P 在线段AB 上,且AP t AB =(0≤t ≤1),则OA OP ⋅的最大值是 .三、解答题（ 满分70分）17.（本大题10分）在四边形ABCD 中,2,AB a b =+ 4BC a b =--,53CD a b =-- .求证:ABCD 为梯形18. （本大题10分）已知23,2x b a y a b =-=+ ,|a |=|b |=1, a 与b 的夹角为60°,求x 与y的夹角.19. （本大题12分）已知a 与b 的模均为2,且|||ma b a mb +=- ,其中m>0⑴用m 表示a ·b ; ⑵求a ·b 的最小值及此时a与b 的夹角.20. （本大题12分）已知抛物线y=x 2+2x+8,将这条抛物线平移到顶点与(-2,3)重合时,求函数的解析式.21. （本大题12分）△ABC 中,若有一个内角不小于120°,求证:最长边与最短边之比不小于 3.22. （本大题14分）已知两点M(-1,0),N(1,0),且点P 使,,MP MN PM PN NM NP ⋅⋅⋅成公差小于零的等差数列. ⑴点P 的轨迹是什么曲线?⑵若点P 坐标为(x 0,y 0),记θ为PM与PN的夹角,求tanθ.参考答案： 一．选择题：1．D 2．B 3．D 4．A 5．C 6．D 7．B 8．C 9．A 10．C 二．填空题：11．必要不充分条件 12．2 13．2,5m n == 14．(3,0),4π15．2310,(1)x y x -+=≠ 16．2a 三．解答题：17．略 18．2272||6||2x y a b b a =+-=-，||||x y ==所以1cos 2||||x y x y α==-，所以120θ=︒ 19．（1） 1a b m m =+（2）当1m =时，a b 最小值为2，此时3πθ=。
广东省中山市第一中学新高中数学平面向量多选题专题复习附解析
广东省中山市第一中学新高中数学平面向量多选题专题复习附解析一、平面向量多选题1．已知向量(22cos m x =，()1, sin2n x =，设函数()f x m n =⋅，则下列关于函数()y f x =的性质的描述正确的是 （ ）A ．()f x 的最大值为3B ．()f x 的周期为πC ．()f x 的图象关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．()f x 在,03π⎛-⎫⎪⎝⎭上是增函数 【答案】ABD 【分析】运用数量积公式及三角恒等变换化简函数()f x ，根据性质判断. 【详解】解：()22cos 2cos221f x m n x x x x =⋅==+2sin 216x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 当6x k ππ=+，()k Z ∈时，()f x 的最大值为3，选项A 描述准确；()f x 的周期22T ππ==,选项B 描述准确； 当512x π=时，2sin 2116x π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，所以()f x 的图象关于点5,112π⎛⎫⎪⎝⎭对称，选项C 描述不准确；当,03x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，2,626x πππ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以()f x 在,03π⎛-⎫⎪⎝⎭上是增函数，选项D 描述准确. 故选：ABD. 【点睛】本题考查三角恒等变换，正弦函数的图象与性质，属于中档题.2．已知边长为4的正方形ABCD 的对角线的交点为O ，以O 为圆心，6为半径作圆；若点E 在圆O 上运动，则（ ）A ．72EA EB EB EC EC ED ED EA ⋅+⋅+⋅+⋅= B ．56EA EC EB ED ⋅+⋅= C ．144EA EB EB EC EC ED ED EA ⋅+⋅+⋅+⋅= D ．28EA EC EB ED ⋅+⋅=【答案】BC 【分析】以O 为坐标原点，线段BC ，AB 的垂直平分线分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系xOy ，再利用向量坐标的线性运算以及向量数量积的坐标运算即可求解.【详解】作出图形如图所示，以O 为坐标原点，线段BC ，AB 的垂直平分线分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系xOy ； 观察可知，()2,2A --，()2,2B -，()2,2C ，()2,2D -， 设(),E x y ，则2236x y +=，故()2,2EA x y =----，()2,2EB x y =---，()2,2EC x y =--， 故ED =()2,2x y ---，故EA EB EB EC EC ED ED EA ⋅+⋅+⋅+⋅()()24144EA EC EB ED EO =+⋅+==，56EA EC EB ED ⋅+⋅=.故选：BC3．如图，A ､B 分别是射线OM ､ON 上的点，下列以O 为起点的向量中，终点落在阴影区域内的向量是（ ）A ．2OA OB + B ．1123OA OB +C ．3143OA OB + D ．3145OA OB + 【答案】AC 【分析】利用向量共线的条件可得：当点P 在直线AB 上时，等价于存在唯一的一对有序实数u ，v ，使得OP uOA vOB =+成立，且u +v =1.可以证明点P 位于阴影区域内等价于：OP uOA vOB =+，且u >0，v >0，u +v >1.据此即可判断出答案. 【详解】由向量共线的条件可得：当点P 在直线AB 上时，存在唯一的一对有序实数u ，v ，使得OP uOA vOB =+成立，且u +v =1.可以证明点P 位于阴影区域内等价于： OP uOA vOB =+，且u >0，v >0，u +v >1. 证明如下：如图所示，点P 是阴影区域内的任意一点，过点P 作PE //ON ，PF //OM ，分别交OM ，ON 于点E ，F ；PE 交AB 于点P ′，过点P ′作P ′F ′//OM 交ON 于点F ′，则存在唯一一对实数(x ，y )，(u ′，v ′)，使得OP xOE yOF u OA v OB ''''=+=+，且u ′+v ′=1，u ′，v ′唯一；同理存在唯一一对实数x ′，y ′使得OP x OE y OF uOA vOB =+=+''， 而x ′=x ，y ′>y ，∴u =u ′，v >v ′，∴u +v >u ′+v ′=1，对于A ，∵1+2>1，根据以上结论，∴点P 位于阴影区域内，故A 正确； 对于B ，因为11123+<，所以点P 不位于阴影区域内，故B 不正确； 对于C ，因为311314312+=>，所以点P 位于阴影区域内，故C 正确； 对于D ，因为311914520+=<，所以点P 不位于阴影区域内，故D 不正确； 故选：AC. 【点睛】关键点点睛：利用结论：①点P 在直线AB 上等价于存在唯一的一对有序实数u ，v ，使得OP uOA vOB =+成立，且u +v =1；②点P 位于阴影区域内等价于OP uOA vOB =+，且u >0，v >0，u +v >1求解是解题的关键.4．已知直线1:310l mx y m --+=与直线2:310l x my m +--=相交于点P ，线段AB 是圆()()22:114C x y +++=的一条动弦，G 为弦AB 的中点，23AB =（ ）A ．弦AB 的中点轨迹是圆B ．直线12,l l 的交点P 在定圆()()22222x y -+-=上 C ．线段PG长的最大值为1 D ．PA PB ⋅的最小值6+ 【答案】ABC 【分析】对于选项A ：设()00,G x y ，利用已知条件先求出圆心到弦AB 的距离CG ，利用两点之间的距离公式即可得到结论；对于选项B ：联立直线的方程组求解点P 的坐标，代入选项验证即可判断；对于选项C ：利用选项A B 结论，得到圆心坐标和半径，利用1112max PG PG r r =++求解即可；对于选项D ：利用平面向量的加法法则以及数量积运算得到23PA PB PG ⋅==-，进而把问题转化为求1112min PG PG r r =--问题，即可判断.【详解】对于选项A ：设()00,G xy ，2AB =G 为弦AB 的中点， GB ∴=，而()()22:114C x y+++=， 半径为2，则圆心到弦AB 的距离为1CG ==，又圆心()1,1C --，()()2200111x y ∴+++=，即弦AB 的中点轨迹是圆. 故选项A 正确； 对于选项B ： 由310310mx y m x my m --+=⎧⎨+--=⎩，得222232113211m m x m m m y m ⎧++=⎪⎪+⎨-+⎪=⎪+⎩， 代入()()2222x y -+-整理得2， 故选项B 正确；对于选项C ：由选项A 知：点G 的轨迹方程为：()()22111x y +++=，由选项B 知：点P 的轨迹方程为：()()22222x y -+-=，()()11121,1,1,2,2,2G r P r ∴--==，所以线段()()221112max 121212421PG PG r r =++=--+--++=+，故选项C 正确； 对于选项D ：()()PA PB PG GA PG GB ⋅=+⋅+ ()2PG PG GA GB GA GB =+⋅++⋅ 22203PG PG GB PG =+⋅-=-，故()()2minmin3PA PBPG ⋅=-，由选项C 知：()()221112min 121212221PG PG r r =--=--+----=-，所以()()2min2213642PA PB⋅=--=-，故选项D 错误； 故选：A B C. 【点睛】关键点睛：本题考查了求圆的轨迹问题以及两个圆上的点的距离问题.把两个圆上的点的距离问题转化为两个圆的圆心与半径之间的关系是解决本题的关键.5．如图，BC ，DE 是半径为1的圆O 的两条不同的直径，2BF FO =，则（ ）A ．13BF FC = B ．89FD FE ⋅=-C ．41cos ,5FD FE -<<->≤D ．满足FC FD FE λμ=+的实数λ与μ的和为定值4 【答案】BCD 【分析】A. 根据2BF FO =易得12BF FC =判断；B. 由()()FD FE OD OF OE OF ⋅=-⋅-运算求解判断；，C.建立平面直角坐标系：设,0,2DOF παα⎡⎤∠=∈⎢⎥⎣⎦，则()()1cos ,sin ,cos ,sin ,,03D E F αααα⎛⎫--- ⎪⎝⎭，得到11cos ,sin ,cos ,sin 33FD FE αααα⎛⎫⎛⎫=-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由cos ,FD FE FD FE FD FE ⋅<>=⋅利用三角恒等变换和三角函数的性质判断；D. 将FC FD FE λμ=+，利用线性运算变形为()()4OF OD OF λμλμ-=--+判断；【详解】A. 因为2BF FO =，所以12BF FC =，故错误；B. ()()2FD FE OD OF OE OF OD OE OD OF OF OE OF ⋅=-⋅-=⋅-⋅-⋅+，()22181099OE OF OD OE OF =-+++=-++=-，故正确； C.建立如图所示平面直角坐标系：设,(0,]2DOF παα∠=∈，则()()1cos ,sin ,cos ,sin ,,03D E F αααα⎛⎫--- ⎪⎝⎭， 所以11cos ,sin ,cos ,sin 33FD FE αααα⎛⎫⎛⎫=-=+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以222289cos ,11cos sin cos sin 33FD FE FD FE FD FEαααα-⋅<>==⋅⎛⎫⎛⎫-+⋅++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，849(1,]5822cos2819α-=∈---⋅，故正确；D. 由FC FD FE λμ=+，得()()()()4OF OD OF OE OF OD OF λμλμλμ-=-+-=--+，所以4λμ+=，故正确； 故选：BCD 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算和数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.6．已知ABC 的面积为3，在ABC 所在的平面内有两点P ，Q ，满足20PA PC +=，2QA QB =，记APQ 的面积为S ，则下列说法正确的是（ ）A ．//PB CQ B ．2133BP BA BC =+ C ．0PA PC ⋅< D ．2S =【答案】BCD 【分析】本题先确定B 是AQ 的中点，P 是AC 的一个三等分点，判断选项A 错误，选项C 正确； 再通过向量的线性运算判断选项B 正确；最后求出2APQ S =△，故选项D 正确. 【详解】解：因为20PA PC +=，2QA QB =，所以B 是AQ 的中点，P 是AC 的一个三等分点，如图：故选项A 错误，选项C 正确；因为()121333BP BA AP BA BC BA BA BC =+=+-=+，故选项B 正确；因为112223132APQ ABCAB hS S AB h ⨯⨯==⋅△△，所以，2APQ S =△，故选项D 正确. 故选：BCD 【点睛】本题考查平面向量的线性运算、向量的数量积、三角形的面积公式，是基础题.7．设O ，A ，B 是平面内不共线的三点，若()1,2,3n OC OA nOB n =+=，则下列选项正确的是（ ）A ．点1C ，2C ，3C 在同一直线上B ．123OC OC OC ==C ．123OC OB OC OB OC OB ⋅<⋅<⋅D ．123OC OA OC OA OC OA ⋅<⋅<⋅【答案】AC 【分析】利用共线向量定理和向量的数量积运算，即可得答案； 【详解】()12212()C C OC OC OA OB OA OB OB =-=+-+=，()()233232C C OC OC OA OB OA OB OB =-=+-+=，所以1223C CC C =，A 正确.由向量加法的平行四边形法则可知B 不正确.21OC OA OC OA OA OB ⋅-⋅=⋅，无法判断与0的大小关系，而()21OC OB OA OB OB OA OB OB ⋅=+⋅=⋅+，()2222OC OB OA OB OB OA OB OB⋅=+⋅=⋅+，同理233OC OB OA OB OB ⋅=⋅+，所以C 正确，D不正确. 故选：AC . 【点睛】本题考查向量共线定理和向量的数量积，考查逻辑推理能力、运算求解能力.8．已知M 为ABC 的重心，D 为BC 的中点，则下列等式成立的是（ ） A ．1122AD AB AC =+ B ．0MA MB MC ++= C ．2133BM BA BD =+ D ．1233CM CA CD =+ 【答案】ABD 【分析】根据向量的加减法运算法则依次讨论即可的答案.【详解】解：如图，根据题意得M 为AD 三等分点靠近D 点的点. 对于A 选项，根据向量加法的平行四边形法则易得1122AD AB AC =+，故A 正确； 对于B 选项，2MB MC MD +=，由于M 为AD 三等分点靠近D 点的点，2MA MD =-，所以0MA MB MC ++=，故正确；对于C 选项，()2212=3333BM BA AD BA BD BA BA BD =+=+-+，故C 错误； 对于D 选项，()22123333CM CA AD CA CD CA CA CD =+=+-=+，故D 正确. 故选：ABD【点睛】本题考查向量加法与减法的运算法则，是基础题.9．已知ABC 的面积为3，在ABC 所在的平面内有两点P ，Q ，满足20PA PC +=，2QA QB =，记APQ 的面积为S ，则下列说法正确的是（ ）A ．//PB CQ B ．1233BP BA BC =+ C ．0PA PC ⋅> D ．4S =【答案】BD 【分析】利用向量的共线定义可判断A ；利用向量加法的三角形法则以及向量减法的几何意义即可判断B ；利用向量数量积的定义可判断C ；利用三角形的面积公式即可判断D. 【详解】由20PA PC +=，2QA QB =，可知点P 为AC 的三等分点，点Q 为AB 延长线的点， 且B 为AQ 的中点，如图所示：对于A ，点P 为AC 的三等分点，点B 为AQ 的中点， 所以PB 与CQ 不平行，故A 错误； 对于B ，()22123333BP BA AP BA AC BA BC BA BA BC =+=+=+-=+, 故B 正确；对于C ，cos 0PA PC PA PC PA PC π⋅==-<，故C 错误； 对于D ，设ABC 的高为h ，132ABCS AB h ==，即6AB h =， 则APQ 的面积1212226423233APQS AQ h AB h =⋅=⋅⋅=⨯=，故D 正确； 故选：BD 【点睛】本题考查了平面向量的共线定理、共线向量、向量的加法与减法、向量的数量积，属于基础题10．已知,a b 是单位向量，且(1,1)a b +=-，则( ) A ．||2a b += B ．a 与b 垂直C ．a 与a b -的夹角为4π D ．||1a b -=【答案】BC 【分析】(1,1)a b +=-两边平方求出||2a b +=；利用单位向量模长为1，求出0a b ⋅=；||a b -平方可求模长；用向量夹角的余弦值公式可求a 与a b -的夹角.【详解】由(1,1)a b +=-两边平方，得2222||21(12|)|a b a b ++⋅=+-=， 则||2a b +=，所以A 选项错误；因为,a b 是单位向量，所以1122a b ++⋅=，得0a b ⋅=，所以B 选项正确； 则222||22a b a b a b -=+-⋅=，所以||2a b -=，所以D 选项错误；2()2cos ,2||||122a ab a a b a a b ⋅-〈-〉====-⨯，所以，a 与a b -的夹角为4π.所以C 选项正确； 故选：BC.【点睛】 本题考查平面向量数量积的应用.求向量模的常用方法:(1)若向量a 是以坐标形式出现的，求向量a 的模可直接利用公式2+a x y ＝(2)若向量a b ， 是以非坐标形式出现的，求向量a 的模可应用公式22•a a a a ＝＝或 2222||)2?(a b a b aa b b ＝＝＋，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解． 判断两向量垂直：根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可． 解两个非零向量之间的夹角：根据公式•a b cos a b ＝＝求解出这两个向量夹角的余弦值.。
广东省中山市第一中学高考平面向量及其应用专题及答案
一、多选题1．已知非零平面向量a ，b ,c ,则（ ）A ．存在唯一的实数对,m n ，使c ma nb =+B ．若0⋅=⋅=a b a c ，则//b cC ．若////a b c ，则a b c a b c =++++D ．若0a b ⋅=，则a b a b +=- 2．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，下列说法正确的有（ ） A ．::sin :sin :sin a b c A B C = B ．若sin 2sin 2A B =，则a b = C ．若sin sin A B >，则A B >D ．sin sin sin +=+a b cA B C3．已知点()4,6A ，33,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，与向量AB 平行的向量的坐标可以是（ ） A ．14,33⎛⎫⎪⎝⎭B ．97,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．14,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．(7，9)4．已知向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，c =(m ﹣2，﹣n )，其中m ，n 均为正数，且(a b -)∥c ，下列说法正确的是（ ） A ．a 与b 的夹角为钝角 B ．向量a 在b 方向上的投影为5C ．2m +n =4D ．mn 的最大值为25．设P 是ABC 所在平面内的一点，3AB AC AP +=则（ ） A ．0PA PB += B ．0PB PC += C ．PA AB PB +=D ．0PA PB PC ++=6．在RtABC 中，BD 为斜边AC 上的高，下列结论中正确的是（ ）A ．2AB AB AC B ．2BC CB AC C ．2ACAB BDD ．2BDBA BDBC BD7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，b ＝15，c ＝16，B ＝60°，则a 边为（ ）A ．8+33B ．83161+C ．8﹣33D ．83161-8．在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝4，D 为BC 的中点，则以下结论正确的是（ ） A ．BD AD AB -= B ．1()2AD AB AC =+ C ．8BA BC ⋅=D ．AB AC AB AC +=-9．设a 、b 是两个非零向量，则下列描述正确的有（ ） A ．若a b a b +=-，则存在实数λ使得λa bB ．若a b ⊥，则a b a b +=-C ．若a b a b +=+，则a 在b 方向上的投影向量为aD ．若存在实数λ使得λab ，则a b a b +=-10．设a 、b 、c 是任意的非零向量，则下列结论不正确的是（ ） A ．00a ⋅= B ．()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ C ．0a b a b ⋅=⇒⊥D ．()()22b b a b a a +-=⋅-11．给出下面四个命题，其中是真命题的是（ ） A ．0ABBA B ．AB BC AC C ．AB AC BC += D ．00AB +=12．（多选）若1e ，2e 是平面α内两个不共线的向量，则下列说法不正确的是（ ） A ．()12,e e λμλμ+∈R 可以表示平面α内的所有向量B ．对于平面α中的任一向量a ，使12a e e λμ=+的实数λ，μ有无数多对C ．1λ，1μ，2λ，2μ均为实数，且向量1112e e λμ+与2212e e λμ+共线，则有且只有一个实数λ，使()11122122e e e e λμλλμ+=+D ．若存在实数λ，μ，使120e e λμ+=，则0λμ==13．如图所示，梯形ABCD 为等腰梯形，则下列关系正确的是（ ）A ．AB DC =B ．AB DC =C ．AB DC >D ．BC AD ∥14．已知ABC ∆的面积为32,且2,3b c ==,则A =( )A ．30°B ．60°C ．150°D ．120°15．下列命题中正确的是( )A ．对于实数m 和向量,a b ,恒有()m a b ma mb -=-B ．对于实数,m n 和向量a ,恒有()m n a ma na -=-C ．若()ma mb m =∈R ,则有a b =D ．若(,,0)ma na m n a =∈≠R ,则m n =二、平面向量及其应用选择题16．ABC ∆内有一点O ，满足3450OA OB OC ++=，则OBC ∆与ABC ∆的面积之比为（ ） A ．1:4B ．4:5C ．2:3D ．3:517．已知向量OA 与OB 的夹角为θ，2OA =，1OB =，=OP tOA ，()1OQ t OB =-，PQ 在t t =0时取得最小值，则当0105t <<时，夹角θ的取值范围为（ ）A ．0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2,23ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．20,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭ 18．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设S 为ABC ∆的面积，满足cos cos b A a B =，且角B 是角A 和角C 的等差中项，则ABC ∆的形状为（ ） A ．不确定 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．等边三角形19．ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a b c ，，.①若A B >，则sin sin A B >；②若sin 2sin 2A B =，则ABC 一定为等腰三角形；③若cos cos a B b A c -=，则ABC 一定为直角三角形；④若3B π=，2a =，且该三角形有两解，则b 的范围是)+∞.以上结论中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个20．已知非零向量AB ，AC 满足0||||AB AC BC AB AC ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，且1||||2AB AC AB AC =，则ABC ∆的形状是( ) A ．三边均不相等的三角形 B ．直角三角形 C ．等腰（非等边）三角形D ．等边三角形21．三角形ABC 所在平面内一点P 满足PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅，那么点P 是三角形ABC 的（ ） A ．重心B ．垂心C ．外心D ．内心22．设θ为两个非零向量,a b →→的夹角，已知对任意实数t ，||b t a →→-的最小值为1，则（）A．若θ确定，则||a→唯一确定B．若θ确定，则||b→唯一确定C．若||a→确定，则θ唯一确定D．若||b→确定，则θ唯一确定23．在ABC∆中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若22sin cos sina b cA B B===，则ABC∆的面积为（）A．2B．4C．2D．2224．已知非零向量AB与AC满足0AB ACBCAB AC⎛⎫⎪+⋅=⎪⎝⎭且12AB ACAB AC⋅=，则ABC的形状是（）A．三边均不相等的三角形B．等腰直角三角形C．等边三角形D．以上均有可能25．a，b为单位向量，且27a b+=，则向量a，b夹角为（）A．30B．45︒C．60︒D．90︒26．如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进50m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50m，山坡对于地平面的坡度为θ，则cosθ等于（）A．32B．22C．312-D．212-27．在ABC中，CB a=，CA b=，且sin sina bOP OC ma Bb A⎛⎫⎪=++⎪⎝⎭，m R∈，则点P的轨迹一定通过ABC的（）A．重心B．内心C．外心D．垂心28．已知ABC的面积为30，且12cos13A=，则AB AC⋅等于（）A．72 B．144 C．150 D．30029．在ABC中，内角,,A B C的对边分别是,,a b c，若222sin sin sin0A B C+-=，2220a cb ac+--=，2c=，则a=（）A3B．1C．12D330．如图，四边形ABCD是平行四边形，E是BC的中点，点F在线段CD上，且2CF DF =，AE 与BF 交于点P ，若AP AE λ=，则λ=（ ）A ．34B ．58C ．38D ．2331．如图，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10m 到位置D ，测得45BDC ∠=︒，则塔AB 的高是（单位：m ）（ ）A ．102B ．106C ．103D ．1032．在矩形ABCD 中，3,3,2AB BC BE EC ===，点F 在边CD 上，若AB AF 3→→=，则AE BF→→的值为（ ） A ．0B ．833C ．-4D ．433．若两个非零向量a ，b 满足2a b a b b +=-=，则向量a b +与a 的夹角为( ) A ．3π B ．23π C ．56π D ．6π 34．如图所示，在ABC 中，点D 是边BC 上任意一点，M 是线段AD 的中点，若存在实数λ和μ，使得BM AB AC λμ=+，则λμ+=（ ）A ．1-B ．12-C ．2-D ．32-35．已知在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若ABC 的面积为S ，且222()S a b c =+-，则tan C =（ ）A ．43-B ．34-C ．34D ．43【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、多选题 1．BD 【分析】假设与共线，与，都不共线，即可判断A 错；根据向量垂直的数量积表示，可判断B 正确；向量共线可以是反向共线，故C 错；根据向量数量积法则，可判断D 正确. 【详解】A 选项，若与共线，与，都 解析：BD 【分析】假设a 与b 共线，c 与a ，b 都不共线，即可判断A 错；根据向量垂直的数量积表示，可判断B 正确；向量共线可以是反向共线，故C 错；根据向量数量积法则，可判断D 正确. 【详解】A 选项，若a 与b 共线，c 与a ，b 都不共线，则ma nb +与c 不可能共线，故A 错；B 选项，因为a ，b ,c 是非零平面向量,若0⋅=⋅=a b a c ，则a b ⊥，a c ⊥，所以//b c ，即B 正确；C 选项，因为向量共线可以是反向共线，所以由////a b c 不能推出a b c a b c =++++；如a 与b 同向，c 与a 反向，且a b c +>，则a b c a b c =+-++，故C 错；D 选项，若0a b ⋅=，则()222222a b a b a b a b a b+=+=++⋅=+，()222222a b a ba b a b a b -=-=+-⋅=+，所以a b a b +=-，即D 正确.故选：BD. 【点睛】本题主要考查共线向量的有关判定，以及向量数量积的相关计算，属于基础题型.2．ACD 【分析】根据正弦定理的性质即可判断. 【详解】对于A ，在，由正弦定理得，则，故A 正确；对于B ，若，则或，所以和不一定相等，故B 错误； 对于C ，若，由正弦定理知，由于三角形中，大边对大角解析：ACD 【分析】根据正弦定理的性质即可判断. 【详解】对于A ，在ABC ，由正弦定理得2sin sin sin a b cR A B C===，则::2sin :2sin :2sin sin :sin :sin a b c R A R B R C A B C ==，故A 正确；对于B ，若sin 2sin 2A B =，则A B =或2A B π+=，所以a 和b 不一定相等，故B 错误；对于C ，若sin sin A B >，由正弦定理知a b >，由于三角形中，大边对大角，所以A B >，故C 正确；对于D ，由正弦定理得2sin sin sin a b cR A B C===，则2sin 2sin 2sin sin sin sin b c R B R CR B C B C ++==++，故D 正确.故选：ACD. 【点睛】本题考查正弦定理的应用，属于基础题. 3．ABC【分析】先求出向量的坐标，然后由向量平行的条件对选项进行逐一判断即可. 【详解】 由点，，则选项A . ,所以A 选项正确. 选项B. ,所以B 选项正确. 选项C . ,所以C 选解析：ABC 【分析】先求出向量AB 的坐标，然后由向量平行的条件对选项进行逐一判断即可. 【详解】由点()4,6A ，33,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则972，AB ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭选项A . 91473023⎛⎫-⨯--⨯= ⎪⎝⎭,所以A 选项正确.选项B. 9977022⎛⎫-⨯--⨯= ⎪⎝⎭,所以B 选项正确. 选项C . ()91473023⎛⎫⎛⎫-⨯---⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以C 选项正确. 选项D. 979702⎛⎫-⨯--⨯≠ ⎪⎝⎭,所以选项D 不正确故选：ABC 【点睛】本题考查根据点的坐标求向量的坐标，根据向量的坐标判断向量是否平行，属于基础题.4．CD 【分析】对于A ，利用平面向量的数量积运算判断；对于B ，利用平面向量的投影定义判断；对于C ，利用()∥判断；对于D ，利用C 的结论，2m+n=4，结合基本不等式判断. 【详解】 对于A ，向量(解析：CD 【分析】对于A ，利用平面向量的数量积运算判断； 对于B ，利用平面向量的投影定义判断；对于C ，利用(a b -)∥c 判断；对于D ，利用C 的结论，2m +n =4，结合基本不等式判断. 【详解】对于A ，向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，则2110a b ⋅=-=>，则,a b 的夹角为锐角，错误；对于B ，向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，则向量a 在b 方向上的投影为22a b b⋅=，错误；对于C ，向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，则a b -= (1，2)，若(a b -)∥c ，则(﹣n )=2(m ﹣2)，变形可得2m +n =4，正确；对于D ，由C 的结论，2m +n =4，而m ，n 均为正数，则有mn 12=(2m •n )12≤ (22m n +)2=2，即mn 的最大值为2，正确； 故选：CD. 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算以及基本不等式的应用，属于基础题.5．CD 【分析】转化为，移项运算即得解 【详解】 由题意： 故 即 , 故选：CD 【点睛】本题考查了向量的线性运算，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算能力，属于基础题.解析：CD 【分析】转化3AB AC AP +=为())(AB AP AC AP AP +=--，移项运算即得解 【详解】由题意：3AB AC AP += 故())(AB AP AC AP AP +=-- 即PB PC AP +=0C PA PB P ++=∴,PA AB PB +=故选：CD 【点睛】本题考查了向量的线性运算，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算能力，属于基础题.6．AD 【分析】根据向量的数量积关系判断各个选项的正误. 【详解】对于A ，，故A 正确； 对于B ，，故B 错误； 对于C ，,故C 错误； 对于D ，, ,故D 正确. 故选：AD. 【点睛】 本题考查三角形解析：AD 【分析】根据向量的数量积关系判断各个选项的正误. 【详解】 对于A ，2cos AB AB AC AB AC A AB ACAB AC，故A 正确；对于B ，2cos cos CB CB AC CB AC C CB AC C CB ACCB AC，故B 错误； 对于C ，2cos cos BD AB BD AB BD ABD AB BD ABD AB BDBDAB,故C 错误； 对于D ，2cos BD BA BDBA BD ABD BA BD BD BA,2cos BD BC BDBC BD CBD BC BDBD BC,故D 正确.故选：AD. 【点睛】本题考查三角形中的向量的数量积问题，属于基础题.7．AC 【分析】利用余弦定理：即可求解. 【详解】在△ABC 中，b ＝15，c ＝16，B ＝60°， 由余弦定理：， 即，解得. 故选：AC 【点睛】本题考查了余弦定理解三角形，需熟记定理，考查了基解析：AC 【分析】利用余弦定理：2222cos b a c ac B =+-即可求解. 【详解】在△ABC 中，b ＝15，c ＝16，B ＝60°，由余弦定理：2222cos b a c ac B =+-，即216310a a -+=，解得8a =故选：AC【点睛】本题考查了余弦定理解三角形，需熟记定理，考查了基本运算，属于基础题.8．BC【分析】根据向量的加法和减法运算，以及向量的数量积运算可选项.【详解】对于A 选项：，故A 错；对于 B 选项：因为D 为BC 的中点，，故B 正确；对于C 选项：，故正确；对于D 选项：，而，故解析：BC【分析】根据向量的加法和减法运算，以及向量的数量积运算可选项.【详解】对于A 选项：BD AD BD DA BA -=+=，故A 错；对于 B 选项：因为D 为BC 的中点，()111++++()222AD AB BD AB BC AB BA AC AB AC ====+，故B 正确； 对于C 选项：cos 248BD BA BC BA BC B BA BC BA ⋅=⋅⋅∠=⋅⋅=⨯=，故正确；对于D 选项：2,AB AC AD AB AC CB +=-=，而2AD CB ≠，故D 不正确. 故选：BC.【点睛】本题考查向量的线性运算和向量的数量积运算，属于基础题.9．AB 【分析】 根据向量模的三角不等式找出和的等价条件，可判断A 、C 、D 选项的正误，利用平面向量加法的平行四边形法则可判断B 选项的正误.综合可得出结论.【详解】当时，则、方向相反且，则存在负实数解析：AB【分析】根据向量模的三角不等式找出a b a b +=-和a b a b +=+的等价条件，可判断A 、C 、D 选项的正误，利用平面向量加法的平行四边形法则可判断B 选项的正误.综合可得出结论.【详解】 当a b a b +=-时，则a 、b 方向相反且a b ≥，则存在负实数λ，使得λa b ，A选项正确，D 选项错误； 若a b a b +=+，则a 、b 方向相同，a 在b 方向上的投影向量为a ，C 选项错误； 若a b ⊥，则以a 、b 为邻边的平行四边形为矩形，且a b +和a b -是这个矩形的两条对角线长，则a b a b +=-，B 选项正确.故选：AB.【点睛】本题考查平面向量线性运算相关的命题的判断，涉及平面向量模的三角不等式的应用，考查推理能力，属于中等题. 10．AB【分析】利用平面向量数量积的定义和运算律可判断各选项的正误.【详解】对于A 选项，，A 选项错误；对于B 选项，表示与共线的向量，表示与共线的向量，但与不一定共线，B 选项错误；对于C 选项，解析：AB【分析】 利用平面向量数量积的定义和运算律可判断各选项的正误. 【详解】对于A 选项，00a ⋅=，A 选项错误；对于B 选项，()a b c ⋅⋅表示与c 共线的向量，()a b c ⋅⋅表示与a 共线的向量，但a 与c 不一定共线，B 选项错误；对于C 选项，0a b a b ⋅=⇒⊥，C 选项正确；对于D 选项，()()2222a b a b a b a b +⋅-=-=-，D 选项正确.故选：AB.【点睛】本题考查平面向量数量积的应用，考查平面向量数量积的定义与运算律，考查计算能力与推理能力，属于基础题. 11．AB【解析】根据向量加法化简即可判断真假.【详解】因为，正确；，由向量加法知正确；，不满足加法运算法则，错误；，所以错误.故选：A B.【点睛】本题主要考查了向量加法的解析：AB【解析】【分析】根据向量加法化简即可判断真假.【详解】因为0AB BA AB AB ，正确；AB BC AC ，由向量加法知正确；AB AC BC +=，不满足加法运算法则，错误；0,AB AB +=，所以00AB +=错误.故选：A B .【点睛】本题主要考查了向量加法的运算，属于容易题.12．BC【分析】由平面向量基本定理可判断出A 、B 、D 正确与否，由向量共线定理可判断出C 正确与否.【详解】由平面向量基本定理，可知A ，D 说法正确，B 说法不正确，对于C ，当时，这样的有无数个，故C解析：BC【分析】由平面向量基本定理可判断出A 、B 、D 正确与否，由向量共线定理可判断出C 正确与否.【详解】由平面向量基本定理，可知A ，D 说法正确，B 说法不正确，对于C ，当12120λλμμ====时，这样的λ有无数个，故C 说法不正确.故选：BC若1e ，2e 是平面α内两个不共线的向量，则对于平面α中的任一向量a ，使12a e e λμ=+的实数λ，μ存在且唯一.13．BD【分析】根据向量的模及共线向量的定义解答即可；【详解】解：与显然方向不相同，故不是相等向量，故错误；与表示等腰梯形两腰的长度，所以，故正确；向量无法比较大小，只能比较向量模的大小，故解析：BD【分析】根据向量的模及共线向量的定义解答即可；【详解】解：AB 与DC 显然方向不相同，故不是相等向量，故A 错误； AB 与DC 表示等腰梯形两腰的长度，所以AB DC =，故B 正确；向量无法比较大小，只能比较向量模的大小，故C 错误；等腰梯形的上底BC 与下底AD 平行，所以//BC AD ，故D 正确；故选：BD .【点睛】本题考查共线向量、相等向量、向量的模的理解，属于基础题.14．BD【分析】由三角形的面积公式求出即得解.【详解】因为,所以,所以,因为,所以或120°.故选：BD【点睛】本题主要考查三角形面积的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 解析：BD【分析】由三角形的面积公式求出sin 2A =即得解. 【详解】 因为13sin 22S bc A ==,所以13222A ⨯=,所以sin A =,因为0180A ︒︒<<, 所以60A =或120°.故选：BD【点睛】本题主要考查三角形面积的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15．ABD【详解】解：对于：对于实数和向量、，根据向量的数乘满足分配律，故恒有：，故正确．对于：对于实数，和向量，根据向量的数乘运算律，恒有，故 正确． 对于：若，当 时，无法得到，故不正确．对解析：ABD【详解】解：对于A ：对于实数m 和向量a 、b ，根据向量的数乘满足分配律，故恒有：()m a b ma mb -=-，故A 正确．对于B ：对于实数m ，n 和向量a ，根据向量的数乘运算律，恒有()m n a ma na -=-，故 B 正确．对于C ：若()ma mb m =∈R ，当 0m =时，无法得到a b =，故C 不正确． 对于D ：若(,,0)ma na m n a =∈≠R ，则m n =成立，故D 正确．故选：ABD ．【点睛】本题考查相等的向量，相反的向量的定义，向量的数乘法则以及其几何意义，注意考虑零向量的情况．二、平面向量及其应用选择题16．A【解析】分析：由题意，在ABC ∆内有一点O ，满足3450++=OA OB OC ，利用三角形的奔驰定理，即可求解结论．详解：由题意，在ABC ∆内有一点O ，满足3450++=OA OB OC ，由奔驰定理可得::3:4:5BOC AOC BOA S S S ∆∆∆=，所以:3:121:4BOC ABC S S ∆∆==， 故选A ．点睛：本题考查了向量的应用，对于向量的应用问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用，利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．17．C【解析】【分析】 根据向量的数量积运算和向量的线性表示可得，()()22254cos 24cos 1PQ PQ t t θθ==+-++，根据二次函数的最值可得出012cos 54cos t θθ+=+，再由0105t <<，可求得夹角θ的取值范围. 【详解】 因为2cos OA OB θ⋅=，()1PQ OQ OP t OB tOA =-=--，()()22254cos 24cos 1PQ PQ t t θθ==+-++，∵PQ 在t t =0时取得最小值，所以012cos 54cos t θθ+=+，又0105t <<，则12cos 1054cos 5θθ+<<+，得1cos 02θ-<<，∵0θπ≤≤， 所以223ππθ<<， 故选：C.【点睛】 本题考查向量的数量积运算和向量的线性表示，以及二次函数的最值和分式不等式的求解，关键在于由向量的模的平方等于向量的平方，得到关于角度的三角函数的不等式，属于中档题.18．D【分析】先根据cos cos b A a B =得到,A B 之间的关系，再根据B 是,A C 的等差中项计算出B 的大小，由此再判断ABC 的形状.【详解】因为cos cos b A a B =，所以sin cos sin cos =B A A B ，所以()sin 0B A -=，所以A B =，又因为2B A C B π=+=-，所以3B π=， 所以3A B π==，所以ABC 是等边三角形. 故选：D.【点睛】本题考查等差中项以及利用正弦定理判断三角形形状，难度一般.（1）已知b 是,a c 的等差中项，则有2b a c =+；（2）利用正弦定理进行边角互化时，注意对于“齐次”的要求. 19．B【分析】由大边对大角可判断①的正误，用三角函数的知识将式子进行化简变形可判断②③的正误，用正弦定理结合三角形有两解可判断④的正误.【详解】①由正弦定理及大边对大角可知①正确；②可得A B =或2A B π+=，ABC 是等腰三角形或直角三角形，所以②错误；③由正弦定理可得sin cos sin cos sin A B B A C -=，结合()sin sin sin cos sin cos C A B A B B A =+=+可知cos sin 0=A B ，因为sin 0B ≠，所以cos 0A =，因为0A π<<，所以2A π=，因此③正确；④由正弦定理sin sin a b A B =得sin sin sin a B b A A==， 因为三角形有两解，所以2,332A B A πππ>>=≠所以sin A ⎫∈⎪⎪⎝⎭，即)b ∈，故④错误. 故选：B【点睛】 本题考查的是正余弦定理的简单应用，要求我们要熟悉三角函数的和差公式及常见的变形技巧,属于中档题.20．D【分析】 先根据0||||AB AC BC AB AC ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，判断出A ∠的角平分线与BC 垂直，进而推断三角形为等腰三角形进而根据向量的数量积公式求得C ，判断出三角形的形状．【详解】 解：0||||AB AC BC AB AC ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，||AB AB ，||AC AC 分别为单位向量， A ∴∠的角平分线与BC 垂直，AB AC ∴=， 1cos ||||2AB AC A AB AC ==， 3A π∴∠=，3B C A π∴∠=∠=∠=，∴三角形为等边三角形．故选：D ．【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的运算，三角形形状的判断．考查了学生综合分析能力，属于中档题．21．B【分析】先化简得0,0,0PA CB PB CA PC AB ⋅=⋅=⋅=，即得点P 为三角形ABC 的垂心.【详解】由于三角形ABC 所在平面内一点P 满足PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅，则()()()0,0,0PA PB PC PB PA PC PC PB PA ⋅-=⋅-=⋅-=即有0,0,0PA CB PB CA PC AB ⋅=⋅=⋅=，即有,,PA CB PB CA PC AB ⊥⊥⊥，则点P 为三角形ABC 的垂心.故选：B.【点睛】本题主要考查向量的运算和向量垂直的数量积，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 22．B 【分析】 2222||2b ta b a bt a t -=-⋅+，令222()2f t b a bt a t =-⋅+，易得2cos b a b t a a θ⋅==时，222min 244()()14a b a b f t a-⋅==，即222||cos 1b b θ-=，结合选项即可得到答案. 【详解】 2222||2b ta b a bt a t -=-⋅+，令222()2f t b a bt a t =-⋅+，因为t R ∈，所以当2cos b a b t a aθ⋅==时，222min 244()()4a b a b f t a -⋅=，又||b t a →→-的最小值为1， 所以2||b ta -的最小值也为1，即222min 244()()14a b a b f t a-⋅==，222||cos 1b b θ-=， 所以22||sin 1(0)b b θ=≠，所以1sin b θ=，故若θ确定，则||b →唯一确定. 故选：B【点睛】本题考查向量的数量积、向量的模的计算，涉及到二次函数的最值，考查学生的数学运算求解能力，是一道容易题. 23．A【分析】首先由条件和正弦定理判断ABC 是等腰直角三角形，由三角形的性质可知直角三角形的外接圆的圆心在斜边的中点，所以由ABC 外接圆的半径可求得三角形的边长，再求面积.【详解】 由正弦定理可知2sinsin sin a b c r A B C === 已知sin cos sin a b c A B B ===sin cos B B =和sin sin C B =， 所以45B =，45C=，所以ABC 是等腰直角三角形， 由条件可知ABC，即等腰直角三角形的斜边长为 所以122ABC S =⨯=. 故选：A【点睛】本题考查正弦定理判断三角形形状，重点考查直角三角形和外接圆的性质，属于基础题型. 24．C 【分析】AB AB 和ACAC 分别表示向量AB 和向量AC 方向上的单位向量，0AB AC BC AB AC ⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪⎝⎭表示A ∠平分线所在的直线与BC 垂直，可知ABC 为等腰三角形，再由12AB AC AB AC ⋅=可求出A ∠，即得三角形形状。
广东省广州市重点学校高考高三数学一轮复习试题精选：平面向量05
平面向量0551.在45,ABC B AC C ∆∠=︒==中，求 （1）?BC =(2)若点D AB 是的中点，求中线CD 的长度。
解：（1）由cos sin C C =,sin sin(18045)sin )2A C C C =--=+=由正弦定理知sin sin AC BC A B =⋅==（2）sin 2sin AC AB C B =⋅==112BD AB ==由余弦定理知CD =52. 已知,,A B C 是三角形ABC ∆三内角，向量()()1,3,cos ,sin m n A A =-=，且1m n ⋅=（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若221sin 23cos sin B B B+=--，求tanC.（Ⅱ）由题知2212sin cos 3cos sin B B B B+=--，整理得22sin sin cos 2cos 0B B B B --= ∴cos 0B ≠ ∴2tan tan 20B B --=∴tan 2B =或tan 1B =-而tan 1B =-使22cos sin 0B B -=，舍去 ∴tan 2B =∴()tan tan C A B π=-+⎡⎤⎣⎦()tan A B =-+tan tan 1tan tan A BA B +=--3123=-85311+=53已知A 、B 、C 是ABC ∆三内角，向量(1,3),m =-(cos ,sin ),n A A =且 1.m n •=（Ⅰ）求角A（Ⅱ）若,3sin cos 2sin 122-=-+BB B 求tanB. 本小题主要考察三角函数概念、同角三角函数的关系、两角和与差的三角函数的公式以及倍角公式，考察应用、分析和计算能力。
满分12分。
（Ⅱ）由题知2212sin cos 3cos sin B B B B+=--，整理得 22sin sin cos 2cos 0B B B B --=∴cos 0B ≠ ∴2tan tan 20B B --=∴tan 2B =或tan 1B =-,而tan 1B =-使22cos sin 0B B -=，舍去∴tan 2B =54.如图，在ABC ∆中，2AC =，1BC =，43cos =C ． （1）求AB 的值；（2）求()C A +2sin 的值. 本小题考查同角三角函数关系、两角和公式、倍角公式、正弦定理、余弦定理等基础知识，考察基本运算能力及分析解决问题的能力.满分12分.（Ⅰ）解： 由余弦定理， 2222..cos AB AC BC AC BC C =+-341221 2.4=+-⨯⨯⨯=那么， 2.AB =55如图，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救。
广东省广州市重点学校备战高考数学一轮复习 平面向量
平面向量01一、选择题1．如果111A B C ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，则A ．111ABC ∆和222A B C ∆都是锐角三角形 B ．111A B C ∆和222A B C ∆都是钝角三角形C ．111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆是锐角三角形D ．111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆是钝角三角形2．若a r 与b c -r r 都是非零向量，则“a b a c ⋅=⋅r r r r ”是“()a b c ⊥-r r r”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件3．已知︱︱=1，︱︱=3,•=0,点C 在∠AOB 内，且∠AOC =30°，设OC =m OA +n OB (m 、n ∈R)，则nm等于A.31B.3C.33D.34．已知向量ar与br的夹角为120o，3,13,a a b=+=r r r则br等于（A）5 （B）4 （C）3 （D）1解析：向量ar与br的夹角为120o，3,13,a a b=+=r r r3||||cos120||2a b a b b⋅=⋅⋅︒=-r r r r r，222||||2||a b a a b b+=+⋅+r r r r r r，∴ 21393||||b b=-+r r，则br=－1(舍去)或br=4，选B.5．如图所示，D是ABC∆的边AB上的中点，则向量CD=u u u rA.12BC BA-+u u u r u u u rB.12BC BA--u u u r u u u rC.12BC BA-u u u r u u u rD.12BC BA+u u u r u u u r解析：BABCBDCBCD21+-=+=，故选A.6．已知向量(3,1)a=r，br是不平行于x轴的单位向量，且3a b=r rg，则b=rA．（31,2） B．（13,2） C．（133,4） D．（1,0）7．已知非零向量a、b，若a＋2b与a－2b互相垂直，则=baADCB图A.41 B. 4 C.21D. 2 解：由a ＋2b 与a －2b 互相垂直⇒（a ＋2b ）•（a －2b ）＝0⇒a 2－4b 2＝0 即|a |2＝4|b |2⇒|a |＝2|b |，故选D8．已知||2||0a b =≠r r ,且关于x 的方程2||0x a x a b ++⋅=r r r 有实根,则ar 与b r 的夹角的取值范围是 ( )A.0,6π] B.[,]3ππ C.2[,]33ππ D.[,]6ππ9．已知向量),2,1(),,2(==b t a ρρ若1t t =时，a ρ∥b ρ；2t t =时，b a ρρ⊥，则A ．1,421-=-=t t B. 1,421=-=t t C. 1,421-==t t D. 1,421==t t10．如图1：OM ∥AB ，点P 由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的阴影区域内（不含边界）.且OB y OA x OP +=，则实数对（x ,y ）可以是A ．)43,41( B. )32,32(- C. )43,41(- D. )57,51(-ABOM图1解析：如图，OM ∥AB ，点P 由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的阴影区域内（不含边界）.且OB y OA x OP +=，由图知，x<0，当x=－41时，即OC uuu r =－41OA u u ur ，P 点在线段DE 上，CD uuu r =41OB uuu r ，CE u u u r =45OB uuu r ，而41<43<45，∴ 选C.11． ABC V 的三内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c 设向量(,)p a c b =+u r ,(,)q b a c a =--r ,若//p q u r r,则角C 的大小为(A)6π (B)3π (C) 2π (D) 23π12．设(0,0)O ,(1,0)A ,(0,1)B ,点P 是线段AB 上的一个动点,AP AB λ=u u u r u u u r,若OP AB PA PB ⋅≥⋅u u u r u u u r u u u r u u u r,则实数λ的取值范围是(A)112λ≤≤ (B) 2112λ-≤≤ (C) 12122λ≤≤+ (D) 221122λ-≤≤+【点评】本题考查向量的表示方法,向量的基本运算,定比分点中定比的范围等等.13．已知等腰ABC△的腰为底的2倍，则顶角A的正切值是（）331515解：依题意，结合图形可得15tan215A=，故221522tan15152tan7151tan1()2AAA===--，选D14． ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且2c a =，则cos B =A ．14 B ．34C ．24D ．2315．设平面向量1a 、2a 、3a 的和1230a a a ++=。
广东省广州市重点学校备战高考数学一轮复习 平面向量
平面向量04解答题44.设函数()()f x a b c =+r r r g ，其中向量(sin ,cos )a x x =-r ，(sin ,3cos )b x x =-r，(cos ,sin )c x x =-r，x R ∈。
（Ⅰ）、求函数()f x 的最大值和最小正周期；（Ⅱ）、将函数()f x 的图像按向量d u r 平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的d u r 。
点评：本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力。
45.设向量a ＝(sinx ，cosx )，b ＝(cosx ，cosx )，x ∈R，函数f(x)＝a·(a ＋b).（Ⅰ）求函数f(x)的最大值与最小正周期；（Ⅱ）求使不等式f(x)≥23成立的x 的取值集。
解：（Ⅰ）∵()()222sin cos sin cos cos 1131sin 2cos 21)22224f x a a b a a a b x x x x xx x x π=+=+=+++=+++++g g g （）＝∴()f x的最大值为32+，最小正周期是22ππ=。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知()333)sin(2)022********,488f x x x k x k k x k k Zππππππππππ≥⇔++≥⇔+≥⇔≤+≤+⇔-≤≤+∈即()32f x ≥成立的x 的取值集合是3|,88x k x k k Z ππππ⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭.46 如图3,D 是直角△ABC 斜边BC 上一点,AB=AD,记∠CAD=α,∠ABC=β.证明 sin cos 20αβ+=;若求β的值.解：(1)．如图3，(2)2,sin sin(2)cos 2222πππαπββαββ=--=-∴=-=-Q ， 即sin cos 20αβ+=．BDCαβA图347．在锐角ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，已知2sin 3A =， （1）求22tan sin 22B C A++的值；（2）若2a =，2ABC S =△b 的值．解：（1）因为锐角△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，22sin 3A =，所以cosA ＝13，则 22222B Csin B C A A 2tan sin sin B C 222cos 21cos B C 11cos A 171cos A 1cos B C 21cosA 33＋＋＋＝＋＋－（＋）＋＝＋（－）＝＋＝＋（＋）－（2）ABC ABC 1122S 2S bcsin A bc 223•V V 因为＝，又＝＝，则bc ＝3。
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广州市第一中学高三数学第二轮复习专题——平面
向量专题
一、选择题（（本大题共10小题,每题5分,满分50分,在每小题后所给的四个选项中,只有
一个选项正确）：
1.已知非零向量,,a b c
满足a b a c ⋅=⋅ ,则b
与c
的关系是
( )
A.相等
B.共线
C.垂直
D.不确定
2.如果向量,a b
满足||3a = ,||4b = ,()(3)81a b a b +⋅+=
,则a 与b
的夹角是 ( )
A.30°
B.60°
C.90°
D.120°
3.若,a b
是不共线的两向量,且12,AB a b AC a b λλ=+=+
12(,)R λλ∈,则A,B,C 三点共线的充要条件是
A.121λλ==-
B.121λλ==
C.121λλ=-
D.121λλ=
(
)
4.△ABC 的两个顶点A(3,7),B(-2,5),若AC 的中点在x 轴上,BC 的中点在y 轴上,则顶点C 的坐标是 ( )
A. (2,-7)
B.(-7,2)
C.(-3,-5)
D.(-5,-3)
5.已知△ABC 中,
,AB a CA b
==
,当0a b ⋅>
时,△ABC 为
(
)
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.不确定
6.将函数y=f(x)的图象按向量a
=(-3,2)平移后得到y=sin2x 的图象,则f(x)等于 ( )
A.sin(2x+6)+2
B.sin(2x -6)+2
C. sin(2x+6)-2
D.sin(2x -6)-2
7.设向量a
的模等于4,
a 与b
的夹角为5π6
,则a
在方向b 上的投影为
(
)
A.2 3
B.-2 3
C.2
D.-2
8. △ABC 的三个内角满足sin 2A=sin 2B+sinBsinC+sin 2C,则∠A 等于
(
)
A.30°
B.60°
C.120°
D.150°
9.已知a
=(k,2),b
=(-3,5),且a
与b
夹角为钝角,则k 的取值范围是
(
)
A.(103,+∞)
B.[ 103∞]
C.(-∞, 103
)
D. (-∞,
10
3
) 10.把直线x -2y+c=0按向量a
=(-1,2)平移，得到的直线与圆x 2
+y 2
+2x -4y=0相切，则c 等于 A.± 5 B.10或0 C.±5 D.13或3
(
)
二、填空题（每小题5分，满分30分）：
11.0AB BC CA ++=
是“A,B,C 是三角形三个顶点”的 条件 12. 若P(cosα,sinα),Q(cosβ,sinβ),则PQ
模的最大值是 . 13.若a =(2,-3), b =(1,2),c =(9,4),且c =m a nb +
,则m= ,n= .
14.已知A(2,3),B(4,2),P 是x 轴上的动点,当P 点坐标为 时,AP BP ⋅
最小,此时∠APB= .
15.已知动点P 与定点M(1,1)为起点的向量与向量a
=(4,-6)垂直,则动点P 的轨迹是 .
16.已知A(a,0),B(0,a),a>0,点P 在线段AB 上,且AP t AB =
(0≤t ≤1),则OA OP ⋅
的最大值是 .
三、解答题（ 满分70分）
17.（本大题10分）在四边形ABCD 中,2,AB a b =+ 4BC a b =-- ,53CD a b
=--
.
求证:ABCD 为梯形
18. （本大题10分）已知23,2x b a y a b =-=+
,|a |=|b |=1, a 与b 的夹角为60°,求x 与y
的夹角.
19. （本大题12分）已知a
与b
的模均为2,且|||m a b a mb +=
-
,其中
m>0
⑴用m 表示a ·b ; ⑵求a ·b 的最小值及此时a 与b
的夹角.
20. （本大题12分）已知抛物线y=x 2+2x+8,将这条抛物线平移到顶点与(-2,3)重合时,求函数的解析式.
21. （本大题12分）△ABC 中,若有一个内角不小于120°,求证:最长边与最短边之比不小于 3.
22. （本大题14分）已知两点M(-1,0),N(1,0),且点P 使,,MP MN PM PN NM NP
⋅⋅⋅
成公差小
于零的等差数列.
⑴点P 的轨迹是什么曲线? ⑵若点P 坐标为(x 0,y 0),记θ为P M
与PN
的夹角,求tanθ.
参考答案：
一．选择题：
1．D 2．B 3．D 4．A 5．C 6．D 7．B 8．C 9．A 10．C 二．填空题：
11．必要不充分条件 12．2 13．2,5m n == 14．(3,0),4
π
15．2310,(1)x y x -+=≠ 16．2a 三．解答题：
17．略 18．22
72||6||2
x y a b b a =+-=-
，||||x y ==
所以1
cos 2||||
x y x y α==-
，所以120θ=︒ 19．（1） 1a b m m =+ （2）当1m =时，a b 最小值为2，此时3
π
θ=。
20．247y x x =++
21．设最大角为A ∠，最小角为C ∠，最大边为a ，最小边为c
因为120A ≥︒，所以60,B C +≤︒且C B ≤，所以260C B C ≤+≤︒，
所以
sin sin()sin 22cos sin sin sin a A B C C
C c C
C
C
+==
≥=≥
22．解：设P 点的坐标为(,)x y ，则(1,),(2,0)M P x y M N =+=
(1,),(1,)PM x y PN x y ---=-- ， (2,0),(1,)N M N P x y =-=-
所以2222,1,22M P M N x PM PN x y N M N P x =+=+-=-+
所以由已知得223x y +=，又由已知有：22230x y x +-->，
所以轨迹方程为：223(0x y x +=<≤
(2)0000(1,),(1,)PM x y PN x y =---=--
,
所以22
11cos x y θ+-=
=
，所以sin θ=
所以0tan ||y θ=
=。