17.1.1勾股定理

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人教版八年级数学下册17.1.1《勾股定理》教学设计

4.教师点评：针对学生的讨论成果进行点评，强调解题过程中的关键步骤和注意事项。
（四）课堂练习
1.设计具有层次性和挑战性的练习题，让学生在课堂上巩固所学知识。
2.练习题包括：
a.直接应用勾股定理求解直角三角形边长的问题。
b.结合生活实际，运用勾股定理解决实际问题。
c.勾股定理的逆向应用，判断三角形是否为直角三角形。
5.能够运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形。
（二）过程与方法
在教学过程中，采用以下方法引导学生学习：
1.利用历史背景和数学故事激发学生的学习兴趣，如介绍毕达哥拉斯是如何发现勾股定理的。
2.采用探究式学习，鼓励学生通过小组合作、讨论和自主尝试来发现勾股定理。
3.运用多媒体和实物模型，进行直观教学，让学生在观察、操作中理解并记忆勾股定理。
4.设计具有层次性的练习题，由浅入深地引导学生掌握勾股定理的应用，提高解决问题的能力。
5.引导学生通过比较、分析、归纳等方法，掌握勾股定理及其逆定理之间的关系。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学的兴趣和好奇心，激发他们学习数学的热情。
2.培养学生的团队合作精神，使他们学会在合作中互相学习、共同进步。
（6）设计一道综合性的应用题，要求学生结合勾股定理和之前学过的几何知识进行解答，培养学生的综合分析能力。
4.创新思维：
（7）鼓励学生自编一道关于勾股定理的题目，并与同学进行交流、讨论，激发学生的创新意识。
（8）引导学生思考勾股定理在古代建筑、艺术等方面的应用，撰写一篇短文，分享自己的发现和感悟。
5.合作学习：
2.生活实际应用：
（3）请学生观察生活中存在的直角三角形，测量相关数据，并运用勾股定理解决问题。例如，测量学校旗杆的高度、篮球架的倾斜角度等。

人教版八年级数学“17.1.1勾股定理”

2 2 2 a +b =c
⒊勾股定理的主要作用是在直角三角形中,已知任意两边求第三边的长。
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么
2 a +
结论变形
2 b =
2 c
c2=a2+b2
a2=c2-b2 b2=c2-a2
c= a 2 b2 c a=
b=
b
c b
2
2
c a
2
“
图1-1
图1-2
目前世界上许多科学家正在试图寻找其它星球的“人”,为此向宇宙发出了许多信号,如地球上人类的语言,音乐,各种图形等.我国数学家华罗庚建议,发射一种反映勾股定理的图形, 如果宇宙人是“文明人”,那么他们一定会识别这种语言的.
证法 4：
毕达哥拉斯证法
a2 c2
a2
b2 a 2 + b 2 = c2
探究与猜想
B A C 图2 图3 图2 A的面积 B的面积 C的面积 (单位面 (单位面 (单位面积) 积) 积)
4
9
9
25
13
34
C A B
图3 A、B、C 面积关系直角三角形三边关系
sA+sB=sC
两直角边的平方和等于斜边的平方
猜想:两直角边a、b与斜边c 之间的关系？ A a B b
图2-1 图2-2
9
9
18
对于等腰直角三角形有这样的性质：
两直角边的平方和等于斜边的平方
思考
那么对于一般的直角三角形是否也有这样的性质呢？
做一做
2．观察右边两个图并填写下表： A
A的面积 B的面积 C的面积图1-2 图1-3

人教版八年级下册数学优质课件：17.1.1勾股定理

从而在数轴上画出表示 3 ， 4 ， 5 …… 的点．
１１１
12 13 11 10 １
9１
8
１
7
１
１2 １3
4
6１
5１
１１
5.以直角三角形三边为半径作半圆，这3个半圆的面积之间有什么关系？
C
Sb Sa
A
B Sa+Sb=Sc
Sc
10.长为 3 的线段是直角边为正整数___2___，___1___的直角三角形的斜边．
S2 S1 S5
S3
S4
S6
S7
结论:
S1+S2+S3+S4 =S5+S6 =S7
1
1
美丽的勾股树
3.小明用火柴棒摆直角三角形，已知他摆两条直角边分别用了6根和8根火柴棒，他摆完这个直角三角形共用火柴棒多少根?
4.小亮想知道学校旗杆的高度．他发现旗杆上的绳子垂到地面还多2米；当他把绳子的下端拉开4米后，下端刚好接触地面．你能帮他把学校旗杆的高求出来吗？
1.求下列图中表示边的未知数x、y、z的值.
81 144
144 169
z
625 576
x2 =81+144 x =15
①
y2 =169-144
y=5 ②
z2 =625-576 z=7 ③
2.求下列直角三角形中未知边的长:
5
x
16
20
x 12 8
17
x
方法: 可用勾股定理建立方程.
3.在Rt△ABC中, ∠C=90°
C
8
BC
13
解：（1）在Rt△ABC中,由（2）在Rt△ABC中,由

17.1.1勾股定理ppt课件

C B
A
H
D C
E
A
P
I B
c
a
b
a bc
ac b
b
c
a
cb a
GQ
F
11
如放眼图未，来以，直华角罗庚三曾角设形想各：边向为太空直发径射向一外种作图半形，圆因，为
这种图形在几千年前就已经被人类所认识，如果外星人
则是“半文圆明A人，”B，，也C必的定面认积识关这系种图为形.
根据勾股定理， a2 + b2=c2，
17.1 勾股定理
1
2
3
证明方法一
剪拼图法证明
b b
c a
b
c b
a
a
a
a
b
赵爽弦图
4
勾股定理：
如果直角三角形两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么a2+b2=c2 ．
A
bc CaB
勾股
5
证明方法二
面积恒等法证明
a bc
ac b
b S大正方形＝ (a+b)2
c
a S大正方形＝ S小正方形＋ 4 S直角三角形
C c
b B
aA
C
圆的面积公式c：
S=πr2
aA
,
b
得到半圆A，B，C的面积关系 B
为SA+SB=SC．
数形结合
12
从直角三角形的各边向外作正方形能否推广到从各边向外作等边三角形（正n边形）吗？
C c aA b
B
C c aA b
B
C caA b
B
C
ca A b
B
13
14

17.1.1勾股定理 PPT课件

最佳方状砖态地而。发起呆来．原来，朋友
家的地是用一块块直角三角形形
状的砖铺成的，黑白相间，非常
美观大方．主人看到毕达哥拉斯
看似平淡无奇
的样子非常奇怪，就想过去问他．谁知毕达哥拉斯突然恍然大
的现象有时却隐藏悟的样子，站起来，大笑着跑回
着深刻的道理。家去了。
原可来以古发希现腊，著以名等数腰学三家角毕形达两哥直拉角斯边从为朋边友长家的的小地正砖方铺形成的的面地积面的上和发，现等了于: 直以角斜三边角为形边三长边的的正数方量形关的系面积。。
C A
图1
A的面积 B的面积 C的面积
(单位长 (单位长 (单位长
度)
度)
度)
99
B
图2 4 4
C
图2-1
A B
C的面积怎么求呢？
图2-2
（图中每个小方格代表一个单位面积）
C A
C的面积怎么求呢？
S正方形c
B C
图2-1
A
4 1 33 18 2
B
（单位面积）
图2-2
（图中每个小方格代表一个单位面积）
（三）教学重点、难点：
重点：是勾股定理的发现、验证和应用。
难点：是用拼图方法、面积法证明勾股定理。
二、学情分析：
前面，学生已具备一些平面几何的知识，能够进行一般的推理和论证，但如何通过面积法（拼图法）证明勾股定理，学生对这种解决问题的途径还比较陌生，存在一定的难度，针对这个问题我将本课的教法和学法体现确定如下：
章前图中左下角的图案有什么意义？为什么选它作为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽？
本章我们将探索并证明勾股定理及其逆定理，并运用这两个定理去解决有关问题，由此可以加深对直角三角形的认识。

17.1.1《勾股定理》教学设计2022-2023学年八年级数学人教版下册

17.1.1《勾股定理》教学设计2022-2023学年八年级数学人教版下册一、教学目标1.知识目标：了解勾股定理的概念，掌握利用勾股定理求三角形的边长、角度的方法，培养学生解决实际问题的能力。

2.能力目标：培养学生分析、判断和解决实际问题的能力，提高学生的数学思维能力，培养其数学兴趣。

3.情感目标：在学习勾股定理的基础上，加强对数学知识的兴趣和理解，增强学生自信心，培养学生团队协作精神和学习的好习惯。

二、教学重点和难点1.教学重点：掌握勾股定理的概念和应用方法。

2.教学难点：初步掌握勾股定理的应用方法，灵活运用勾股定理解决问题。

三、教学方法和手段本节课的教学方法主要采用“讲授+演示+练习”的方式，并配合教具以帮助学生理解和掌握勾股定理的应用方法。

四、教学步骤第一步：导入通过一些有趣的例子，自然引入勾股定理的问题。

比如可以介绍海伦公主，以及如何利用勾股定理测量三角形的边长和角度等。

第二步：概念介绍讲解勾股定理的概念，即：在一个直角三角形中，直角边的平方等于另外两个边的平方和。

第三步：应用演示将讲解勾股定理的应用方法，并结合课本上的例题进行演示，让学生熟悉勾股定理的计算步骤和方法。

第四步：巩固练习让学生通过练习巩固所学的知识。

可以在课堂上进行一些单项选择题、填空题、计算题等，对学生当前的学习情况进行监测和检测。

并在学生需要帮助的情况下，耐心指导学生解题。

第五步：拓展应用在学生已经掌握基本应用方法的情况下，让学生尝试解决些较复杂的问题、或进行一些小组合作探讨。

让学生切身感受到数学知识在实际生活中的应用和价值。

第六步：作业布置布置相应的课后作业，让学生将所学知识进行复习和巩固。

以及通过实际情况中运用所学知识进行探究。

如：通过测量实际中的房间斜角长度等进行实际应用。

五、教学技巧1.进行分类讲解：将大量的知识点和问题材料拆开进行分类讲解，对于学生更容易掌握。

2.小组探讨：尝试将学生小组化进行探究，激发起学生思考和跨学科学习的兴趣。

《17.1.1勾股定理》课件

(2)这个三角形面积
解：(1）过点A作AD BC于点D
A
∵BD 1 BC 1 6 3
2
2
∴AD AB2 BD2 62 32 3 3
B
C
(2）S△ABC

1 2
BC
AD

1 63 2
39
3
四、学以致用，拓展提高
B
A
28
M
C
21
N
D
49
E
3.如图，所有的三
一、创设情境，引入新课
S2 S1 ca b
一、创设情境，引入新课
S2 S1
c
a
b
一、创设情境，引入新课
S2ห้องสมุดไป่ตู้S1
c
a
b
请你说出SA、SB、SC之间存在的数量关系
(a2)
4
(b2)
9
(c2)
13
9
9
18
16
9
25
猜想a、b 、c 之间的关系式
二、命题猜想，引申思考
如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为 c，那么a2+b2=c2．
2.△ABC中，∠C=90°AC=2.1，BC=2.8，
求(1)△ABC面积
A
(2)斜边AB长，
(3)高CD长
C
B
四、学以致用，拓展提高
1.如果直角三角形的两条边长分别为3和4，求第
三边的长度．
解:(1)当3、4均为直角边时，
A 4c
3b C 34
c 32 42 25 5 （2）当3为直角边，4为斜边时
B b 42 32 7 ∴第三边长度为5或 7

17.1.1勾股定理

苏桥中学导学案八年级数学备课日期：备课人：班级组别姓名17.1.1勾股定理学习目标：了解勾股定理和简单的证明方法学习过程：一、复习引入1、直角△ABC 的主要性质是：∠C=90°（用几何语言表示）（1）两锐角之间的关系：（2）若D 为斜边中点，则斜边中线（3）若∠B=30°，则∠B 的对边和斜边：二、自主学习1.勾股定理的发现观察下面两幅图：猜想命题：如果直角三角形的两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么_________________2.勾股定理的证明方法一：S 正方形＝_______________＝____________________方法二：分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等。

左边S=______________右边S=_______________ 左边和右边面积相等，即化简可得。

A Bbbb方法三：3.勾股定理的内容是：。

三、自学检测1.直角三角形的两直角边为a , b ，斜边为c ，则下列关于三边的关系不正确的是（）A.222b a c +=B.222a c b -=C.222c a b -= D.c b a <+ 2.已知，在Rt △ABC 中，a,b,c 分别是∠A,∠B,∠C 的对边，∠C=90°。

①a=3,b=4，求c②a=6，b=8，求c③a=b=5, 求c④a=1,c=2, 求b⑤c=17,b=8, 求a 3.①若一个直角三角形的两条边长分别为3和4，则第三边的长为多少？②一个直角三角形的两边长分别为5cm 和12cm,则第三边的长为？bEB。

17.1.1 勾股定理教学设计

第十七章勾股定理第1课时勾股定理一、教学目标1、知识与技能：了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。

2、过程与方法：培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。

3、情感态度与价值观：介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。

二、教学重点、教学难点1．教学重点：勾股定理的内容及证明。

2．教学难点：勾股定理的证明。

三、例题的意图分析例1 （补充）通过对定理的证明，让学生确信定理的正确性；通过拼图，发散学生的思维，锻炼学生的动手实践能力；这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。

例2 使学生明确，图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。

进一步让学生确信勾股定理的正确性。

四、课堂引入让学生画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC，用刻度尺量出AB的长。

以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广1三，股修四，弦隅五。

”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5。

再画一个两直角边为5和12的直角△ABC ，用刻度尺量AB 的长。

你是否发现32+42与52的关系，52+122和132的关系，即32+42=52，52+122=132，那么就有勾2+股2=弦2。

对于任意的直角三角形也有这个性质吗？五、例、习题分析例1（补充）已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。

求证：a 2＋b 2=c 2。

分析：⑴让学生准备多个三角形模型，最好是有颜色的吹塑纸，让学生拼摆不同的形状，利用面积相等进行证明。

⑵拼成如图所示，其等量关系为：4S △+S 小正=S 大正 4×21ab ＋（b －a ）2=c 2，化简可证。

⑶发挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行证明。

初中数学：17.1.1勾股定理(人教版八年级数学下册第十七章勾股定理)

第17章勾股定理17．1勾股定理第1课时勾股定理1．经历探索及验证勾股定理的过程，体会数形结合的思想；(重点)2．掌握勾股定理，并运用它解决简单的计算题；(重点)3．了解利用拼图验证勾股定理的方法．(难点)一、情境导入如图所示的图形像一棵枝叶茂盛、姿态优美的树，这就是著名的毕达哥拉斯树，它由若干个图形组成，而每个图形的基本元素是三个正方形和一个直角三角形．各组图形大小不一，但形状一致，结构奇巧．你能说说其中的奥秘吗？二、合作探究探究点一：勾股定理【类型一】直接运用勾股定理如图，在△ABC中，△ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，CD△AB于D，求：(1)AC的长；(2)S△ABC；(3)CD的长．解析：(1)由于在△ABC中，△ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，根据勾股定理即可求出AC的长；(2)直接利用三角形的面积公式即可求出S△ABC；(3)根据面积公式得到CD·AB＝BC·AC即可求出CD.解：(1)△在△ABC中，△ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，△AC＝AB2－BC2＝12cm；(2)S△ABC＝12CB·AC＝12×5×12＝30(cm2)；(3)△S△ABC＝12AC·BC＝12CD·AB，△CD＝AC·BCAB＝6013cm.方法总结：解答此类问题，一般是先利用勾股定理求出第三边，然后利用两种方法表示出同一个直角三角形的面积，然后根据面积相等得出一个方程，再解这个方程即可．➢练习如图，有一块直角三角形纸板ABC，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm.现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且点C落到点E处，则CD等于()A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm解析：由题意可知，△ACD和△AED关于直线AD对称，因而△ACD△△AED.∴AE＝AC＝6cm，BE＝AB－AE＝AB－AC＝4，CD＝ED，ED△AB.设CD＝ED＝x cm，在Rt△ABC中，AB2＝AC2＋BC2＝62＋82＝100，得AB＝10cm；在Rt△BDE中，有x2＋42＝(8－x)2，解得x＝3. 故选B.【归纳整合】运用勾股定理解决折叠问题，往往融方程与几何图形于一体，具有较强的综合性.解决与折叠有关的问题时，要寻找出折叠前后的不变量(即相等的线段、相等的角)，同时要注意方程思想的应用.➢练习如图，等腰△ABC中，AB＝AC，AD是底边上的高，若AB＝5cm，BC＝6cm，则AD＝cm.【解析】根据等腰三角形的三线合一可得，BD ＝BC ＝21×6＝3(cm)；在Rt△ABD 中，由勾股定理得，AB 2＝BD 2＋AD 2，所以AD 43522=-=(cm) .➢ 练习如图，在△ABC 中，△C ＝90°，△1＝△2，CD ＝15，BD ＝25，求AC 的长.【解析】过D 作DE ⊥AB ，垂足为E ，∵∠1＝∠2，∴CD ＝DE ＝15，在Rt △BDE 中，2015252222=-=-=DE BD BE ，∵CD ＝DE ，AD ＝AD ，∴Rt △ACD ≌Rt △AED ，∴AC ＝AE.设AC ＝x ，在Rt △ABC 中，由勾股定理得AB 2＝AC 2＋BC 2，即(x ＋20)2＝x 2＋(15＋25)2，解得x ＝30. 即AC ＝30【类型二】分类讨论思想在勾股定理中的应用在△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，BC 边上的高AD ＝12，试求△ABC 的周长．解析：由全等三角形的知识，可知△ABC 的形状无法确定，但△ABD 的形状可以确定. 如图所示，△ABC 存在两种不同的情况，因此需要分两种情况进行讨论：高AD 在三角形内部和在三角形外部.△ABC 的周长＝28＋BC ，其中BC ＝BD ＋CD 或 BC ＝BD －CD .解：此题应分两种情况说明：(1) 当AD 在△ABC 的内部时，如图△所示．在Rt△ABD 中，BD ＝AB 2－AD 2＝152－122＝9.在Rt△ACD 中，CD ＝AC 2－AD 2＝132－122＝5，△BC ＝5＋9＝14，△△ABC 的周长为15＋13＋14＝42.(2) 当AD 在△ABC 的外部时，如图△所示．同理，BD ＝9，CD ＝5，△BC ＝9－5＝4，△△ABC 的周长为15＋13＋4＝32.△当AD 在△ABC 的内部时，△ABC 的周长为42；当AD 在△ABC 的外部时，△ABC 的周长为32.方法总结：解题时要考虑全面，对于存在的可能情况，可作出相应的图形，判断是否符合题意．注意事项：解题过程中需要注意的是，切记不要把两种情况分为△ABC 为锐角三角形和△ABC 为钝角三角形，因为这在逻辑上是错误的. 虽然题中的所给的已知条件，正好使得△ABC 的两种情况为锐角三角形和钝角三角形；但如果把题目中的高改为1，那么两种情况下，△ABC 均为钝角三角形，如下图. 其实，两种情况也可以描述为：∠ACB 是锐角或钝角.AB DC C➢练习在△ABC中，AB＝15，AC＝20，BC边上的高AD＝12，试求BC边的长.【解析】如例2分析的一样，此题应分两种情况来考虑.(1) 当BC边上的高AD在△ABC的内部时，如图1，在Rt△ABD中，BD2＝AB2－AD2＝152－122＝81，得BD＝9，在Rt△ACD中，CD2＝AC2－AD2＝202－122＝256，得CD＝16.所以BC＝BD＋CD＝25.(2)当BC边上的高AD在△ABC的外部时，如图2，由勾股定理可求得CD＝16，BD＝9. 这时BC＝CD－BD＝7.综上所述BC边的长为25或7.【类型三】勾股定理的证明探索与研究：方法1：如图，对任意的符合条件的直角三角形ABC绕其顶点A旋转90°得直角三角形AED，所以△BAE＝90°，且四边形ACFD是一个正方形，它的面积和四边形ABFE的面积相等，而四边形ABFE的面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和．根据图示写出证明勾股定理的过程；方法2：如图，该图形是由任意的符合条件的两个全等的Rt△BEA和Rt△ACD拼成的，你能根据图示再写出一种证明勾股定理的方法吗？解析：方法1：根据四边形ABFE 面积等于Rt△BAE 和Rt△BFE 的面积之和进行解答；方法2：根据△ABC 和Rt△ACD 的面积之和等于Rt△ABD 和△BCD 的面积之和解答．解：方法1：S 正方形ACFD ＝S 四边形ABFE ＝S △BAE ＋S △BFE ，即b 2＝12c 2＋12(b ＋a )(b －a )，整理得2b 2＝c 2＋b 2－a 2，△a 2＋b 2＝c 2；方法2：此图也可以看成Rt△BEA 绕其直角顶点E 顺时针旋转90°，再向下平移得到． △ S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD ，S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ，△ S △ABC ＋S △ACD ＝S △ABD ＋S △BCD ，即12b 2＋12ab ＝12c 2＋12a (b －a )，整理得b 2＋ab ＝c 2＋a (b －a )，b 2＋ab ＝c 2＋ab －a 2，△ a 2＋b 2＝c 2.方法总结：证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理证明勾股定理．➢ 练习如图，长方形ABCD 倒下到AB′C′D′的位置，连接CC ′，设AB=a ，BC=b ，AC=c ，请利用四边形BCC′D′的面积验证勾股定理.证明：由图形可知，S 四边形BCC′D′＝S △AC′D′＋S △ACB ＋S △ACC′，即ab c ab b a 212121)(2122++=+，化简得222c b a =+.探究点二：勾股定理与图形的面积如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别为2，5，1，2.则最大的正方形E的面积是________．解析：根据勾股定理的几何意义，可得正方形A、B的面积和为S1，正方形C、D的面积和为S2，S1＋S2＝S3，即S3＝2＋5＋1＋2＝10.故答案为10.方法总结：能够发现正方形A、B、C、D的边长正好是两个直角三角形的四条直角边，根据勾股定理最终能够证明正方形A、B、C、D的面积和即是最大正方形的面积．三、板书设计1．勾股定理如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2.2．勾股定理的证明“赵爽弦图”、“刘徽青朱出入图”、“詹姆斯·加菲尔德拼图”、“毕达哥拉斯图”．3．勾股定理与图形的面积课堂教学中，要注意调动学生的积极性．让学生满怀激情地投入到学习中，提高课堂效率．勾股定理的验证既是本节课的重点，也是本节课的难点，为了突破这一难点，设计一些拼图活动，并自制精巧的课件让学生从形上感知，再层层设问，从面积(数)入手，师生共同探究突破本节课的难点．。

人教版数学八年级下册17.1.1《勾股定理》教案

（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解勾股定理的基本概念。勾股定理是指在直角三角形中，斜边的平方等于两个直角边平方和的数学定理。它是解决直角三角形相关问题的关键，有着广泛的应用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过计算一个实际直角三角形的斜边长度，展示勾股定理在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调勾股定理的表达式及证明方法这两个重点。对于难点部分，如证明过程的理解，我会通过举例和几何图形的直观演示来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与勾股定理相关的实际问题，如测量校园内某个物体的斜边长度。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用纸板制作直角三角形，并测量边长来验证勾股定理。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了勾股定理的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对勾股定理的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
最后，通过今天的教学，我认识到在教授勾股定理这类几何定理时，要注重培养学生的空间观念和逻辑推理能力。在今后的教学中，我会更加关注学生这方面的能力培养，努力提高他们的数学核心素养。
具体内容包括：
（1）回顾直角三角形的定义及性质。
（2）介绍勾股定理，引导学生通过观察、猜想、证明来探究定理的正确性。
（3）勾股定理的应用：解决实际问题，如计算斜边长度。

人教版初中数学第十七章勾股定理知识点.doc

第十七章勾股定理17. 1勾股定理1、勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为4、b,斜边长为C,那么a2+b2=c2勾股定理的证明：方法一：+ S正方形EFGH = S正方形ABCD， ^^-ab + (b-a)2 =c~»化间可证•方法二四个直角三角形的而积与小止方形而积的和等于大止方形的面积.四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S = 4x丄"+圧=2" +圧2大正方形面积为S = (a + b)2 =a2 + 2ab + b2a2 + b2 = c2方法三：S梯形=*(a + Z?).(a + Z?) ‘ S m=2S MDE+S MBE=2-^ab+^c2,化简得证17. 2勾股定理的逆定理2、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.3、互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.4、勾股数：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即+ b2 = c2中，a, b, c为正整数吋，称a , b, c为一组勾股数常见的勾股数有：3、4、5； 6、8、10； 5、12、13； 7、24、25 等例、在RtAABC 中，a=3, b=4,求c・错解由勾股定理，得C=V^2+/?2=A/42+32 =5诊断这里默认了ZC为直角.其实，题目中没有明确哪个角为直角，当b>a时，ZB可以为直角，故本题解答遗漏了这一种情况.当ZB 为直角时，c=y/h2—a2 = V42—32 =>/7例、己知RtAABC 中，ZB=RTZ, H=A/2, C=2A/2 ,求 b.错解由勾股定理，得B = \{c2— a2 - \l(2y/2)2—(>/2)2 = y/6诊断这里错在盲目地套用勾股定理“a2 + b2=c2n .殊不知，只有当ZC=RtZ时，a2+b2=c2才能成立，而当ZB=RtZ时，则勾股定理的表达式应为a2+c2=b2.正确解答VZB=RtZ,由勾股定理知a2+c2=b2.b= Jc2 +O1 = J(2>/^)2 +(血)2 = V10例、若直角三角形的两条边长为6cm、8cm,则第三边长为 ________ .错解设第三边长为xcm.由勾股定理，得X2=62+82.x= A/62+82 =736 + 64=10即第三边长为10cm.诊断这里在利用勾股定理计算吋，误认为第三边为斜边，其实题设中并没有说明已知的两边为直角边，・・・第三边可能是斜边，也可能是直角边.正确解法设第三边长为xcm.若第三边长为斜边，由勾股定理，得X=A/624-82^ = \/36 + 64 = 10(cm)若第三边长为直角边，则8cm 长的边必为斜边，由勾股定理，得x= Vs 2 — 62 = \/28 = 2护(cm)因此，第三边的长度是10cm 或者2^7 cm.12^/3 例、如图，已知RtAABC 屮，ZBAC=90° , AD 是高，AM 是屮线，月.AM 二一BC=」一AD •又RTAABC2 3 的周长是(6+2>/3 )cm.求AD.错解 V A ABC 是直角三角形,•••AC:AB:BC 二 3:4:5「•AC : AB : BC=3 ： 4 ： 5.・・・AC 看6+2外呼，AB 令6+2於呻L BC 培（6+2济匕护又・・・"gE3 + >/3 6 + 2>/3 -------------- X ------------------- 2 315 + 5 巧=（3 +孙•爷+舲）二（3+的）（沏5（3 + 73） 5诊断我们知道，“勾三股四弦五”是直角三角形中三边关系的一种特殊情形，并不能代表一般的直角三角形的三边关系.上述解法犯了以特殊代替一般的错误.正确解法••皿琴血・・・MD 二 J(| 屈 D)2 — AZ)2又VMC=MA, 「.CD 二MD.AD= AC •AB BC•••点C 与点M 关于AD 成轴对称.AAC=AM, A ZAMD=60° =ZC.0 1 73 AZB=30° , AC=-BC, AB= —BC 2 2A BCM.例、在ZSABC 中，a ： b ： c=9 ： 15 ： 12,试判定AABC 是不是直角三角形.错解依题意，设 a=9k, b=15k, c=12k(k>0).•・• a 2+b 2=(9k)2+(15k)2=306k 2, c2=(l 2k)2= 144k 2,Aa 2+b 2^c 2. AAABC 不是直角三角形.诊断我们知道“如果一个三角形最长边的平方等于另外两边的平方和，那么这个三角形是直角三角形” •而上面解答错在没有分辨清楚最长边的情况下，就盲目套用勾股定理的逆定理.正确解法由题意知b 是最长边.设a=9k, b=15k, c=12k(k>0).•・・ a 2+c 2=(9k)2 + (12k)2=8 lk 2+l 44k 2=225k 2.b2=(15k)2=225k 2, Aa 2+c 2=b 2.•••△ABC 是直角三角形.例、已知在AABC 中，AB>AC, AD 是中线，AE 是高.求证：AB 2-AC 2=2BC -DE错证如图.VAE 丄BC 于 E,.\AB 2=BE 2+AE 2, 1BC =^AD , 2 3 ••• AD= =V3 (cm)AC2=EC2+AE2. AAB2-AC2=BE2-EC2 =(BE+EC)・(BE—EC)=BC ・（BE —EC ）.・.・ BD=DC,・•・ BE=BC 一 EC=2DC 一 EC.・*.AB 2-AC 2=BC ・（2DC-EC-EC ）=2BC ・ DE.诊断题设中既没明确指出AABC 的形状，又没给出图形，因此，这个三角形有可能是锐角三角形，也可能是直角三角形或钝角三角形.・••高AE 既可以在形内，也可以与一边重合，还可以在形外，这三种情况都符合题意.而这里仅只证明了其中的一种情况，这就犯了以偏概全的错误.剩下的两种情况如图所示.正确证明由读者自己完成.例、已知在AABC 中，三条边长分别为a, b, c, a=n,n 2 n 2 +4b= —-1, c=-——（n 是大于2的偶数）.求证:Z\ABC 是直角三角形. 4 4错证1 Tn 是大于2的偶数，•：収n=4,这时a=4, b=3, c=5.V a 2+b 2=42+32=25=52=c 2,•••△ABC 是直角三角形（勾股定理的逆定理）.由勾股定理知AABC 是直角三角形.由勾股定理的逆定理知，AABC 是直角三角形. 诊断证明1错在以特殊取代一般. c 2=( n 2 + 4 4 n 2 ? IT ■ ?兀 )=(T + 1)=^+2 4 9 4 少 n / n + — - — + 1 = — + — +1 16 2 16 2。

初中数学人教版八年级下册《17.1.1勾股定理》课件

= 5²-2²
=21
∴ AB= 21（米）
C
AB= － 21 （不合题意，舍去） B
答：梯子上端A到墙的底端B的距离为 21 米。
1.成立条件：在直角三角形中；
2.公式变形:
a2 c2 b2, b2 c2 a2;
b
c
3.作用：已知直角三角形任意两边长， a
求第三边长.
课堂检测
1、直角 ABC的两直角边a=5,b=12,c=__1_3__
（4）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？
命题
直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方.
定理
请先用手中的全等直角三角形按图示进行摆放，然后根据图示的边长，选择其中一个图形，分析其面积关系后证明.
图1
图2
图3
自主证明
图1
解：大正方形的面积 (a b) 2 , 小正方形的面积 c 2 , 所以 (a b) 2 4 1 ab c 2 , 2 即： a 2 b 2 c 2 .
2
2、直角 ABC的一条直角边a=10,斜边 c=26，则b= ( 4 ).
３、已知：∠C＝90°，a=6， a：b＝3：4，求b和c.
b=8 c=10
ac
b
A组:
1、在 ABC中， C90，
AB=7, AC=3,求BC的长.
B组: 2、如图，在矩形ABCD中， DE⊥AC于E，设AE=8，且AD=10, EC = 4.5, 求DE
数学人教版八年级下
17.1.3
勾股定理
第1课时
温故知新
一般三角形
两个锐角互余.
三个内角和是180°，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.