2020数学(理)二轮专题限时集训：15 选修4-4 坐标系与参数方程

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2020届高三数学一轮复习练习：选修4-4坐标系与参数方程

选修4－4 坐标系与参数方程第一节坐标系知识点一平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x ，(λ>0)，y ′＝ μ·y ，(μ>0)的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．1．(选修4－4P4例题改编)设平面内伸缩变换的坐标表达式为⎩⎨⎧x ′＝12x ，y ′＝3y ，则在这一坐标变换下正弦曲线y ＝sin x 的方程变为 y ＝3sin2x .解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′，y ＝13y ′，代入y ＝sin x ，得13y ′＝sin2x ′，即y ′＝3sin2x ′，所以y ＝sin x 的方程变为y ＝3sin2x . 知识点二极坐标系1．极坐标系的建立：在平面上取一个定点O ，叫做极点，从O 点引一条射线Ox ，叫做极轴，再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就确定了一个极坐标系．如图，设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离OM 叫做点M 的极径，记为ρ，以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角叫做点M 的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)．2．极坐标与直角坐标的关系：把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标为(ρ，θ)，则它们之间的关系为x ＝ ρcos θ，y ＝ ρsin θ.另一种关系为ρ2＝__x 2＋y 2，tan θ＝y x .2．(选修4－4P11例4改编)点P 的直角坐标为(1，－3)，则点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3.解析：因为点P (1，－3)在第四象限，与原点的距离为2，且OP 与x 轴所成的角为－π3，所以点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3.3．(选修4－4P15T3)若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为( A )A ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2B ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4C ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2 D ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4 解析：A ∵y ＝1－x (0≤x ≤1)，∴ρsin θ＝1－ρcos θ(0≤ρcos θ≤1,0≤ρsin θ≤1)； ∴ρ＝1sin θ＋cos θ⎝⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π2. 知识点三, 常见曲线的极坐标方程4．(选修4－4P15T4)在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( B )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π2 C ．(1,0) D ．(1，π)解析：方法1：由ρ＝－2sin θ，得ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐标方程为x 2＋y 2＝－2y ，化成标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π2.方法2：由ρ＝－2sin θ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π2，知圆心的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π2，故选B.5．在极坐标系中，已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，则过点P 且平行于极轴的直线方程是( A )A ．ρsin θ＝1B ．ρsin θ＝ 3C ．ρcos θ＝1D ．ρcos θ＝ 3解析：先将极坐标化成直角坐标表示，P 2，π6转化为直角坐标为x ＝ρcos θ＝2cos π6＝3，y ＝ρsin θ＝2sin π6＝1，即(3，1)，过点(3，1)且平行于x 轴的直线为y ＝1，再化为极坐标为ρsin θ＝1.6．在极坐标系中，圆ρ＝8sin θ上的点到直线θ＝π3(ρ∈R )距离的最大值是6.解析：圆ρ＝8sin θ化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝8y ，即x 2＋(y －4)2＝16，直线θ＝π3(ρ∈R )化为直角坐标方程为y ＝3x .圆心(0,4)到直线3x －y ＝0的距离d ＝|－4|(3)2＋(－1)2＝2.又圆的半径为4，故圆上的点到直线距离的最大值是2＋4＝6.1．明辨两个坐标伸缩变换关系式⎩⎨⎧x ′＝λx (λ>0)，y ′＝μy (μ>0)，点(x ，y )在原曲线上，点(x ′，y ′)在变换后的曲线上，因此点(x ，y )的坐标满足原来的曲线方程，点(x ′，y ′)的坐标满足变换后的曲线方程．2．极坐标方程与直角坐标方程互化(1)公式代入：直角坐标方程化为极坐标方程公式x ＝ρcos θ及y ＝ρsin θ直接代入并化简．(2)整体代换：极坐标方程化为直角坐标方程，变形构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换．考向一伸缩变换【例1】在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝13y后的图形．(1)5x ＋2y ＝0.(2)x 2＋y 2＝1.【解】伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝13y ，则⎩⎨⎧x ＝2x ′，y ＝3y ′.(1)若5x ＋2y ＝0，则5(2x ′)＋2(3y ′)＝0，所以5x ＋2y ＝0经过伸缩变换后的方程为5x ′＋3y ′＝0，为一条直线．(2)若x 2＋y 2＝1，则(2x ′)2＋(3y ′)2＝1，则x 2＋y 2＝1经过伸缩变换后的方程为4x ′2＋9y ′2＝1，为椭圆．经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝5x ，y ′＝3y后，曲线C 变为本例(2)中变换前的曲线，求曲线C 的方程．解：把⎩⎨⎧x ′＝5x ，y ′＝3y代入方程x ′2＋y ′2＝1，得25x 2＋9y 2＝1，所以曲线C 的方程为25x 2＋9y 2＝1.1.平面上的曲线y ＝f (x )在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ>0)，y ′＝μy (μ>0)的作用下的变换方程的求法是将⎩⎨⎧x ＝x ′λ，y ＝y ′μ代入y ＝f (x )，整理得y ′＝h (x ′)为所求．2．解答该类问题应明确两点：一是根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用；二是明确变换前的点P (x ，y )与变换后的点P ′(x ′，y ′)的坐标关系，用方程思想求解．在平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y .(1)求点A (13，－2)经过φ变换所得点A ′的坐标； (2)求直线l ：y ＝6x 经过φ变换后所得直线l ′的方程．解：(1)设点A ′(x ′，y ′)，由伸缩变换φ：⎩⎨⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝y 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝13×3＝1，y ′＝－22＝－1.∴点A ′的坐标为(1，－1)．(2)设P ′(x ′，y ′)是直线l ′上任意一点．由伸缩变换φ：⎩⎨⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′3，y ＝2y ′.代入y ＝6x ，得2y ′＝6·x ′3＝2x ′，即y ′＝x ′， ∴y ＝x 为所求直线l ′的方程．考向二极坐标方程与直角坐标方程的互化【例2】在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22(ρ≥0,0≤θ<2π)．(1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 的公共点的极坐标．【解】 (1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，故圆O 的直角坐标方程为x 2＋y 2－x －y ＝0，直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l 的直角坐标方程为x －y ＋1＝0. (2)由(1)知圆O 与直线l 的直角坐标方程，将两方程联立得⎩⎨⎧x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1，即圆O 与直线l 在直角坐标系下的公共点为(0,1)，将(0,1)转化为极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2即为所求．极坐标方程问题的处理思路曲线的极坐标方程问题通常可利用互换公式转化为直角坐标系中的问题求解，然后再次利用互换公式即可转化为极坐标方程．熟练掌握互换公式是解决问题的关键．已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－ 22ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2.(1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．解：(1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以圆O 1的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4. 因为ρ2－22ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，所以ρ2－22ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θcos π4＋sin θsin π4＝2，所以圆O 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －2y －2＝0.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1，化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，即ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22.考向三极坐标方程的应用方向1 转化为直角坐标方程解题【例3】 (2018·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为y ＝k |x |＋2.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0.(1)求C 2的直角坐标方程；(2)若C 1与C 2有且仅有三个公共点，求C 1的方程．【解】 (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得C 2的直角坐标方程为(x ＋1)2＋y 2＝4.(2)由(1)知C 2是圆心为A (－1,0)，半径为2的圆．由题设知，C 1是过点B (0,2)且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为l 1，y 轴左边的射线为l 2.由于B 在圆C 2的外面，故C 1与C 2有且仅有三个公共点等价于l 1与C 2只有一个公共点且l 2与C 2有两个公共点，或l 2与C 2只有一个公共点且l 1与C 2有两个公共点．当l 1与C 2只有一个公共点时，A 到l 1所在直线的距离为2，所以|－k ＋2|k 2＋1＝2，故k ＝－43或k ＝0.经检验，当k ＝0时，l 1与C 2没有公共点；当k ＝－43时，l 1与C 2只有一个公共点，l 2与C 2有两个公共点．当l 2与C 2只有一个公共点时，A 到l 2所在直线的距离为2，所以|k ＋2|k 2＋1＝2，故k ＝0或k ＝43.经检验，当k ＝0时，l 1与C 2没有公共点；当k ＝43时，l 2与C 2没有公共点．综上，所求C 1的方程为y ＝－43|x |＋2. 方向2 利用极坐标的几何意义解题【例4】 (2019·山西八校联考)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋5cos α，y ＝4＋5sin α(α为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)设l 1：θ＝π6，l 2：θ＝π3，若l 1，l 2与曲线C 分别交于异于原点的A ，B 两点，求△AOB 的面积．【解】 (1)将曲线C 的参数方程化为普通方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25，即x 2＋y 2－6x －8y ＝0.∴曲线C 的极坐标方程为ρ＝6cos θ＋8sin θ. (2)设A (ρ1，π6)，B (ρ2，π3)．把θ＝π6代入ρ＝6cos θ＋8sin θ，得ρ1＝4＋33，∴A (4＋33，π6)．把θ＝π3代入ρ＝6cos θ＋8sin θ，得ρ2＝3＋43，∴B (3＋43，π3)． ∴S △AOB ＝12ρ1ρ2sin ∠AOB ＝12(4＋33)(3＋43)sin(π3－π6) ＝12＋2534., 极坐标方程的应用主要有以下两种方法：(1)转化为直角坐标方程，利用解析几何的方法解决；(2)利用极坐标方程中ρ，θ的几何意义解决与长度、角度有关的问题.1．(方向1)(2019·沈阳市教学质量监测)设过平面直角坐标系的原点O 的直线与圆(x －4)2＋y 2＝16的一个交点为P ，M 为线段OP 的中点，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求点M 的轨迹C 的极坐标方程；(2)设点A 的极坐标为(3，π3)，点B 在曲线C 上，求△OAB 面积的最大值．解：(1)设M (ρ，θ)，则P (2ρ，θ)，则点P 的直角坐标为(2ρcos θ，2ρsin θ)，代入(x －4)2＋y 2＝16得ρ＝4cos θ，∴点M 的轨迹C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ. (2)由题意得点A 的直角坐标为(32，332)，则直线OA 的直角坐标方程为y ＝3x ，|OA |＝3，由(1)易得轨迹C 的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4，则圆心(2,0)到直线OA 的距离d ＝3， ∴点B 到直线OA 的最大距离为3＋2，∴△OAB 面积的最大值为12×(3＋2)×|OA |＝3＋22×3＝3＋332. 2．(方向2)(2019·福州四校联考)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝2＋sin α(α为参数)，直线C 2的方程为y ＝3x .以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 1和直线C 2的极坐标方程；(2)若直线C 2与曲线C 1交于A ，B 两点，求1|OA |＋1|OB |.解：(1)由曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋cos α，y ＝2＋sin α(α为参数)，得曲线C 1的普通方程为(x －2)2＋(y －2)2＝1，则C 1的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋7＝0，由于直线C 2过原点，且倾斜角为π3，故其极坐标方程为θ＝π3(ρ∈R )(tan θ＝3)．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋7＝0，θ＝π3得ρ2－(23＋2)ρ＋7＝0，设A ，B 对应的极径分别为ρ1，ρ2，则ρ1＋ρ2＝23＋2，ρ1ρ2＝7，∴1|OA |＋1|OB |＝|OA |＋|OB ||OA |·|OB |＝ρ1＋ρ2ρ1ρ2＝23＋27.第二节参数方程知识点一参数方程的概念在平面直角坐标系中，如果曲线上的任意一点的坐标x ，y 都是某个变量的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )，并且对于t 的每个允许值，由方程组所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，则该方程叫曲线的参数方程，联系变量x ，y 的变量t 是参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．1．曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ，y ＝cos2θ－1(θ为参数)，则曲线C 的普通方程为y ＝－2x 2(－1≤x ≤1)．解析：由⎩⎨⎧x ＝sin θ，y ＝cos2θ－1(θ为参数)消去参数θ得y ＝－2x 2(－1≤x ≤1)．2．椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)，过左焦点F 1的直线l 与C 相交于A ，B ，则|AB |min ＝185.解析：由⎩⎨⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)得，x 225＋y 29＝1，当AB ⊥x 轴时，|AB |有最小值．∴|AB |min ＝2×95＝185.知识点二常见曲线的参数方程的一般形式1．经过点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数) 设P 是直线上的任一点，则t 表示有向线段P 0P →的数量． 2．圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos θ，y ＝b ＋r sin θ(θ为参数) 3．圆锥曲线的参数方程椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)抛物线y 2＝2px 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)3．若直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋3t (t 为参数)与直线4x ＋ky ＝1垂直，则常数k ＝－6.解析：直线⎩⎨⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋3t(t 为参数)的斜率为－32，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k ＝－1，k ＝－6. 4．椭圆(x －1)23＋(y ＋2)25＝1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3cos θ，y ＝－2＋5sin θ(θ为参数)．解析：设x －13＝cos θ，y ＋25＝sin θ，则⎩⎨⎧x ＝1＋3cos θ，y ＝－2＋5sin θ(θ为参数)，即为所求的参数方程．5．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t(t 为参数)，椭圆C 的方程为x 2＋y24＝1，设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，则线段AB 的长为167.解析：将直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t代入x 2＋y 24＝1，得⎝⎛⎭⎪⎫1＋12t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32t 24＝1，即7t 2＋16t ＝0，解得t 1＝0，t 2＝－167，所以|AB |＝|t 1－t 2|＝167.1．参数方程化普通方程(1)常用技巧：代入消元、加减消元、平方后加减消元等． (2)等价性：保证参数方程化为普通方程的等价性，不扩大或缩小取值范围．2．直线的参数方程中，参数t 的系数的平方和为1时，t 才有几何意义且几何意义为：|t |是直线上任一点M (x ，y )到M 0(x 0，y 0)的距离．若M 1，M 2是l 的两点，其对应参数分别为t 1，t 2，则有以下结论： (1)|M 1M 2|＝|t 1－t 2|.(2)若线段M 1M 2的中点M 所对应的参数为t ，则t ＝t 1＋t 22，中点M 到定点M 0的距离|MM 0|＝|t |＝t 1＋t 22.(3)若M 0为线段M 1M 2的中点，则t 1＋t 2＝0.考向一参数方程与普通方程的互化【例1】在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3sin α－cos α，y ＝3－23sin αcos α－2cos 2α(α为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22m .(1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程； (2)若曲线C 1与曲线C 2有公共点，求实数m 的取值范围．【解】 (1)由曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3sin α－cos α，y ＝3－23sin αcos α－2cos 2α(α为参数)，可得其直角坐标方程为y ＝x 2(－2≤x ≤2)，由曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22m ，可得其直角坐标方程为x －y ＋m ＝0.(2)联立曲线C 1与曲线C 2的方程，可得x 2－x －m ＝0， ∴m ＝x 2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－14，∵－2≤x ≤2，曲线C 1与曲线C 2有公共点， ∴－14≤m ≤6.(1)消去参数的方法一般有三种：①利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消去参数； ②利用三角恒等式消去参数；,③根据参数方程本身的结构特征，灵活选用一些方法，从整体上消去参数.(2)在参数方程与普通方程的互化中，必须使两种方程中的x ，y 的取值范围保持一致.将下列参数方程化成普通方程．(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2－1，y ＝t 2＋1(t 为参数)； (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数，θ∈[π2，π])．解：(1)消去参数t ，得y ＝x ＋2，由于t 2≥0，∴普通方程为y ＝x ＋2(x ≥－1)，表示一条射线．(2)消去参数θ，得x 2＋y 2＝1，由于θ∈[π2，π]，∴x ∈[－1,0]，y ∈[0,1]，∴普通方程为x 2＋y 2＝1，(－1≤x ≤0,0≤y ≤1)，表示圆的四分之一．考向二求曲线的参数方程【例2】 (2018·全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，过点(0，－2)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点．(1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程．【解】 (1)⊙O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1. 当α＝π2时，l 与⊙O 交于两点．当α≠π2时，记tan α＝k ，则l 的方程为y ＝kx － 2. l 与⊙O 交于两点当且仅当|21＋k2|<1，解得k <－1或k >1，即α∈(π4，π2)或α∈(π2，3π4)．综上，α的取值范围是(π4，3π4)．(2)l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝－2＋t sin α(t 为参数，π4<α<3π4)．设A ，B ，P 对应的参数分别为t A ，t B ，t P ，则t P ＝t A ＋t B2，且t A ，t B 满足t 2－22t sin α＋1＝0.于是t A ＋t B ＝22sin α，t P ＝2sin α.又点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎨⎧x ＝t P cos α，y ＝－2＋t P sin α，所以点P 的轨迹的参数方程是⎩⎨⎧x ＝22sin2α，y ＝－22－22cos2α(α为参数，π4<α<3π4)．本题通过参数法建立了点P 的轨迹方程，有时求曲线的参数方程也可通过相关点法求解.已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos φ，y ＝－2＋t sin φ(t 为参数，0≤φ<π)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝1，直线l 与C 交于不同的两点P 1，P 2.(1)求φ的取值范围；(2)以φ为参数，求线段P 1P 2中点轨迹的参数方程．解：(1)曲线C 的极坐标方程为ρ＝1，根据ρ2＝x 2＋y 2可得曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1，将⎩⎨⎧x ＝t cos φ，y ＝－2＋t sin φ代入x 2＋y 2＝1，得t 2－4t sin φ＋3＝0(*)，由16sin 2φ－12>0，得|sin φ|>32，又0≤φ<π，∴φ的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫π3，2π3.(2)设P 1(t 1cos φ，－2＋t 1sin φ)，P 2(t 2cos φ，－2＋t 2sin φ)，由(1)中的(*)可知，t 1＋t 22＝2sin φ，∴可得P 1P 2中点的轨迹方程为⎩⎨⎧x ＝sin2φ，y ＝－1－cos2φ(φ为参数，π3<φ<2π3)．故线段P 1P 2中点轨迹的参数方程为⎩⎨⎧x ＝sin2φ，y ＝－1－cos2φφ为参数，π3<φ<2π3.考向三利用直线的参数方程求长度【例3】已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)．(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝14，求直线l 的倾斜角α的值．【解】 (1)由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ. ∵x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＝0，即(x －2)2＋y 2＝4.(2)将⎩⎨⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α代入曲线C 的方程得(t cos α－1)2＋(t sin α)2＝4，化简得t 2－2t cos α－3＝0.设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则⎩⎨⎧t 1＋t 2＝2cos α，t 1t 2＝－3.∴|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝4cos 2α＋12＝14，∴4cos 2α＝2，cos α＝±22，α＝π4或3π4.(1)解决直线与圆的参数方程的应用问题时一般是先化为普通方程再根据直线与圆的位置关系来解决问题.当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t 的几何意义解题.(2019·西安八校联考)以平面直角坐标系的坐标原点O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－3t ，y ＝－1＋2t(t 为参数)，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝4cos θ. (1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|AB |. 解：(1)由ρsin 2θ＝4cos θ，可得ρ2sin 2θ＝4ρcos θ，∴曲线C 的直角坐标方程为y 2＝4x .(2)将直线l 的参数方程代入y 2＝4x ，整理得4t 2＋8t －7＝0， ∴t 1＋t 2＝－2，t 1t 2＝－74， ∴|AB |＝(－3)2＋22×|t 1－t 2| ＝13×(t 1＋t 2)2－4t 1t 2 ＝13×4＋7＝143.考向四利用椭圆参数求最值【例4】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋4t ，y ＝1－t (t 为参数)．(1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标； (2)若C 上的点到l 距离的最大值为17，求a .【解】 (1)当a ＝－1时，直线l 的方程为x ＋4y －3＝0. 曲线C 的标准方程是x 29＋y 2＝1.联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －3＝0，x 29＋y 2＝1，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2125，y ＝2425.所以C 与l 交点坐标是(3,0)和－2125，2425. (2)直线l 的一般方程是x ＋4y －4－a ＝0.设曲线C 上点P (3cos θ，sin θ)，则点P 到直线l 距离d ＝|3cos θ＋4sin θ－4－a |17.当a ≥－4时，d 的最大值为a ＋917，由题设得a ＋917＝17，所以a ＝8；当a <－4时，d 的最大值为－a ＋117，由题设得－a ＋117＝17，所以a ＝－16.综上，a ＝8或a ＝－16.一般地，如果题目中涉及圆、椭圆上的动点或求最值范围问题时可考虑用参数方程，设曲线上点的坐标，将问题转化为三角恒等变换问题解决，使解题过程简单明了.(2019·福州市模拟)在直角坐标系xOy 中，曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝sin α(α为参数，t >0)．在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l ：ρcos(θ－π4)＝ 2.(1)若l 与曲线C 没有公共点，求t 的取值范围；(2)若曲线C 上存在点到l 的距离的最大值为62＋2，求t 的值．解：(1)因为直线l 的极坐标方程为ρcos(θ－π4)＝2，即ρcos θ＋ρsin θ＝2，所以直线l 的直角坐标方程为x ＋y ＝2.因为曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝sin α(α为参数，t >0)，所以曲线C 的普通方程为x 2t 2＋y 2＝1(t >0)，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，x 2t 2＋y 2＝1，消去x 得，(1＋t 2)y 2－4y ＋4－t 2＝0，所以Δ＝16－4(1＋t 2)(4－t 2)<0，又t >0，所以0<t <3，故t 的取值范围为(0，3)．(2)由(1)知直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0，故曲线C 上的点(t cos α，sin α)到l 的距离 d ＝|t cos α＋sin α－2|2，故d 的最大值为t 2＋1＋22，由题设得t 2＋1＋22＝62＋2，解得t ＝±2.又t >0，所以t ＝ 2.。

高考数学(理)二轮专题复习知能提升演练：选修4-4坐标系与参数方程 Word版含解析[ 高考]

选修4－4 坐标系与参数方程一、选择题1．极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程⎩⎨⎧x ＝－1－t ，y ＝2＋t (t 为参数)所表示的图形分别是( )．A ．直线、直线B ．直线、圆C ．圆、圆D ．圆、直线解析由ρ＝cos θ得ρ2＝ρcos θ，∴x 2＋y 2＝x ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14.它表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0为圆心，以12为半径的圆．由x ＝－1－t 得t ＝－1－x ，代入y ＝2＋t 中，得y ＝1－x 表示直线．答案 D2．已知椭圆的参数方程⎩⎨⎧x ＝2cos t y ＝4sin t (t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝π3，点O 为原点，则直线OM 的斜率为 ( )．A. 3 B ．－33 C ．2 3D ．－2 3解析当t ＝π3时，x ＝1，y ＝23，则M (1,23)，∴直线OM 的斜率k ＝2 3.答案 C3．(2013·安徽高考)在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( )．A ．θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝2B ．θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2C ．θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝1D ．θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝1解析如图，在极坐标系中圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为θ＝π2和ρcos θ＝2.答案 B 二、填空题4．(2013·北京高考)在极坐标系中，点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6到直线ρsin θ＝2的距离等于________．解析极坐标系中点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6对应直角坐标系中坐标为(3，1)，极坐标系直线ρsin θ＝2对应直角坐标系中直线方程为y ＝2，∴点到直线y ＝2的距离d ＝1.答案 15．直线⎩⎨⎧ x ＝2＋t ，y ＝－1－t (t 为参数)与曲线C ⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α(α为参数)的交点个数为________．解析直线方程化为x ＋y －1＝0，曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝9.∴圆心(0,0)到直线距离d ＝12＝22＜3，故直线与圆相交有两个交点．答案 26．(2013·江西高考)设曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝ty ＝t 2(t 为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________．解析由⎩⎨⎧x ＝t y ＝t2得曲线C 的普通方程为y ＝x 2，①在极坐标系中，⎩⎨⎧y ＝ρsin θx ＝ρcos θ，②将②代入①得曲线C 的极坐标方程为sin θ＝ρcos 2θ.答案 sin θ＝ρcos 2θ7．(2013·广东高考)已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C 的参数方程为________．解析由ρ＝2cos θ知，ρ2＝2ρcos θ 所以x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，故其参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)．答案 ⎩⎨⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)8．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知射线θ＝π4与曲线⎩⎨⎧x ＝t ＋1，y ＝(t －1)2(t 为参数)相交于A ，B 两点，则线段AB 的中点的直角坐标为________．解析将射线与曲线的方程化为普通方程，得y ＝x 与y ＝(x －2)2.联立，得x 2－5x ＋4＝0，∴x 1＋x 2＝5.∴线段AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，52.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，52三、解答题9．(2013·课标全国Ⅰ)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ. (1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)．解 (1)∵C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4＋5cos ty ＝5＋5sin t.∴⎩⎨⎧5cos t ＝x －45sin t ＝y －5.∴(x －4)2＋(y －5)2＝25(cos 2t ＋sin 2t )＝25，即C 1的直角坐标方程为(x －4)2＋(y －5)2＝25，把x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入(x －4)2＋(y －5)2＝25，化简得：ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2y ，解方程组⎩⎨⎧(x －4)2＋(y －5)2＝25，x 2＋y 2＝2y ，得⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝1或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝2.∴C 1与C 2交点的直角坐标为(1,1)，(0,2)． ∴C 1与C 2交点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2. 10．已知曲线C 1的参数方程是⎩⎨⎧x ＝2cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2.正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3.(1)求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；(2)设P 为C 1上任意一点，求|P A |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2的取值范围．解 (1)由已知可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos π3，2sin π3， B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π2，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π2， C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π， D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋3π2，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋3π2，即A (1，3)，B (－3，1)，C (－1，，－3)，D (3，－1)．(2)设P (2cos φ，3sin φ)，令S ＝|P A |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2，则S ＝16cos 2φ＋36sin 2φ＋16＝32＋20sin 2φ.因为0≤sin 2φ≤1，所以S 的取值范围是[32,52]．11．(2013·湖北高考改编)在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a cos φy ＝b sin φ(φ为参数，a >b >0)，在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l 与圆O 的极坐标方程分别为ρsin (θ＋π4)＝22m (m 为非零数)与ρ＝b .若直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆O 相切，求椭圆C 的离心率．解椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22m ，得ρsin θ＋ρcos θ＝m ，∴直线l 的普通方程为x ＋y ＝m ，又圆ρ＝b 的普通方程为x 2＋y 2＝b 2(b ＞0)，不妨设直线l 过椭圆C 的右焦点F 2(c,0)，则c ＝m ，又直线l 与圆x 2＋y 2＝b 2相切， ∴|m |2＝b ，因此c ＝2b ，即c 2＝2(a 2－c 2)，∴c 2a 2＝23，故椭圆C 的离心率e ＝63.。

2020年高考数学选修4-4：坐标系与参数方程解答题专练(含答案)

2020年高考数学选修4-4：坐标系与参数方程解答题专练1.【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy中，直线，曲线（φ为参数）.以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点M的极坐标为.（1）求直线l1和曲线C的极坐标方程；（2）在极坐标系中，已知射线与,C的公共点分别为A,B，且，求MOB的面积．2.【选修4-4：坐标系与参数方程】已知曲线C的极坐标方程是，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，且取相等的单位长度，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是设点P(-1,2)．(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，将直线的参数方程化为普通方程；(2)设直线l与曲线C相交于M,N两点，求的值．3.【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为（t为参数），点P的坐标为(-2,0)(1)若点Q在曲线C上运动，点M在线段PQ上运动，且，求动点M的轨迹方程；(2)设直线l与曲线C交于A,B两点，求的值.4.【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy中，设倾斜角为α的直线l：（t为参数）与曲线（φ为参数）相交于不同的两点A,B．（1）若，若以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程；（2）若直线的斜率为，点，求的值．5.【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是，射线OM与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．6.【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）设点P(-1,0)，直线l和曲线C交于A,B两点，求的值．7.【选修4-4：坐标系与参数方程】以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点M的直角坐标为(1,0)，若直线l的极坐标方程为，曲线C的参数方程是，（m为参数）．（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；（2）设直线l与曲线C交于A,B两点，求．8.【选修4-4：坐标系与参数方程】已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为，直线l与圆C交于A，B两点.（1）求圆C的直角坐标方程及弦AB的长；（2）动点P在圆C上（不与A，B重合），试求ABP的面积的最大值9.【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy中，点P（0，﹣1），直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ+ρcos2θ=8sinθ．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于不同的两点A，B，M是线段AB的中点，当|PM|=时，求sinα的值．10.【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数）．以坐标原点O为极点，z轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；(2)设点M(0，1)．若直线l与曲线C相交于A，B两点，求|MA|+|MB|的值．为参数)，在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点P的极坐标为，直线l的极坐标方程为.(1)求直线l的直角坐标方程与曲线C的普通方程；(2)若Q是曲线C上的动点，M为线段PQ的中点，直线l上有两点A，B，始终满足|AB|=4，求△MAB面积的最大值与最小值。

2020高考数学二轮复习专题讲练20选修4-4极坐标系与参数方程专题(最新,超经典)

2020高考数学二轮复习专题讲练20选修4－4坐标系与参数方程专题（最新，超经典）专题七选考内容第1讲选修4－4坐标系与参数方程全国卷3年考情分析考|题|细|目|表1．坐标系与参数方程是高考的选考内容之一，高考考查的重点主要有两个方面：一是简单曲线的极坐标方程；二是曲线的参数方程与极坐标方程的综合应用。

2．全国卷对此部分的考查以解答题的形式出现，难度中等，备考此部分内容时应注意转化思想的应用。

1．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位。

设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tanθ＝y x (x ≠0)。

2．直线的极坐标方程若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)。

几个特殊位置的直线的极坐标方程：(1)直线过极点：θ＝α；(2)直线过点M (a ,0)(a >0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ；(3)直线过M ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ，π2且平行于极轴：ρsin θ＝b 。

3．圆的极坐标方程几个特殊位置的圆的极坐标方程：(1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ；(2)当圆心位于M (r ,0)，半径为r ：ρ＝2r cos θ；(3)当圆心位于M ⎝ ⎛⎭⎪⎫r ，π2，半径为r ：ρ＝2r sin θ。

4．直线的参数方程经过点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x 0＋t cosα，y ＝y 0＋t sinα(t 为参数)。

设P 是直线上的任一点，则t 表示有向线段P 0P →的数量。

5．圆、椭圆的参数方程(1)圆心在点M (x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数，0≤θ<2π)。

高中数学选修4-4《坐标系与参数方程》练习题（含详解）

高中数学选修4-4《坐标系与参数方程》练习题（含详解）数学选修4-4 坐标系与参数方程[基础训练A组]一、选择题x?1?2t1．若直线的参数方程为?(t为参数)，则直线的斜率为（）y?2?3t?A．C．2332B．? D．?2332x?sin2?(?为参数)上的点是（） 2．下列在曲线?y?cos??sin??A．(, B．(?2131,) C． D． 422x?2?sin?3．将参数方程?(?为参数)化为普通方程为（） 2y?sin?A．y?x?2 B．y?x?2 C．y?x?2(2?x?3) D．y?x?2(0?y?1) 4．化极坐标方程?2cos0为直角坐标方程为（）A．x2?y2?0或y?1 B．x?1 C．x2?y2?0或x?1 D．y?1 5．点M的直角坐标是(?，则点M的极坐标为（）A．(2,3) B．(2,?3) C．(2,2?3) D．(2,2k??3),(k?Z)6．极坐标方程?cos??2sin2?表示的曲线为（）A．一条射线和一个圆B．两条直线C．一条直线和一个圆 D．一个圆二、填空题 1．直线?x?3?4t?y?4?5t(t为参数)的斜率为______________________。

t?t??x?e?e2．参数方程?(t为参数)的普通方程为__________________。

t?ty?2(e?e)3．已知直线l1:?x?1?3t?y?2?4t(t为参数)与直线l2:2x?4y?5相交于点B，又点A(1,2)，则AB?_______________。

1?x?2?t??2224．直线?(t为参数)被圆x?y?4截得的弦长为______________。

y??1?1t??25．直线xcos??ysin??0的极坐标方程为____________________。

三、解答题1．已知点P(x,y)是圆x2?y2?2y上的动点，（1）求2x?y的取值范围；（2）若x?y?a?0恒成立，求实数a的取值范围。

2020年高考文科数学专项练习题：选修4-4 坐标系与参数方程

选修4-4坐标系与参数方程考点1坐标系1.[2014江西,11(2),5分] 若以直角坐标系的原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,则线段y=1-x(0≤x≤1)的极坐标方程为()A.ρ=,0≤θ≤B.ρ=,0≤θ≤C.ρ=cos θ+sin θ,0≤θ≤D.ρ=cos θ+sin θ,0≤θ≤2.直线3x-2y+1=0经过,变换后的直线方程为.3.在平面直角坐标系xOy中,曲线C的方程为(x-2)2+y2=4,直线l的方程为x+y-12=0.以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)分别写出曲线C与直线l的极坐标方程;(2)在极坐标系中,极角为θ(θ∈(0,))的射线m与曲线C、直线l分别交于A,B两点(点A异于极点O),求的最大值.考点2参数方程4.[2014湖南,12,5分][文]在平面直角坐标系中,曲线C:,(t为参数)的普通方程为.5.已知直线l:,(t为参数),曲线C1:,(θ为参数).(1)试判断l与C1的位置关系;(2)若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的,纵坐标压缩为原来的,得到曲线C2,设点P 是曲线C2上的一个动点,求它到直线l的距离的最小值.6.已知曲线C1的参数方程是-,(θ为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是ρ=a sin θ(a>0),曲线周长为4π.(1)求曲线C1与C2的交点的平面直角坐标;(2)若A,B是曲线C1与C2的交点,点D在曲线C1上,求△ABD面积的最大值.答案1.A y=1-x(0≤x≤1)的极坐标方程为ρsin θ=1-ρcos θ,即ρ=,由0≤x≤1,得0≤y≤1,所以θ∈[0,].故选A.2.x-y+1=0由变换,得,,代入直线方程, 得3×-2×+1=0,即x'-y'+1=0, 所以变换后的直线方程为x-y+1=0.3.(1)由x=ρcos θ,y=ρsin θ,得曲线C的极坐标方程为ρ=4cos θ,直线l的极坐标方程为ρcos θ+ρsin θ-12=0.(2)由题意得|OA|=4cos θ,因为ρcos θ+ρsin θ-12=0,所以|OB|=,所以=()=+sin(2θ+),因为θ∈(0,),所以2θ+∈(,),所以sin(2θ+)∈(-,1],所以的最大值为,此时θ=.4.x-y-1=0直接化简,两式相减消去参数t,得x-y=1,整理得普通方程为x-y-1=0.5.(1)由题易知l的普通方程为x-y-2=0,C1的普通方程为x2+y2=1,所以C1的圆心到直线l的距离为d==>1,所以直线l与曲线C1相离.(2)易知曲线C2:,设点P(cos θ,sin θ),则点P到直线l的距离是d=--=(-)-,所以当-θ=+2kπ,k∈Z,即θ=--2kπ,k∈Z时,d取得最小值,最小值为.故点P到直线l的距离的最小值为.6.(1)由-,(θ为参数),得,(θ为参数),消参可得(x+2)2+y2=4①.故曲线C1是圆心为C1(-2,0),半径为r1=2的圆.由ρ=a sin θ,得ρ2=aρsin θ,则x2+y2=ay,即x2+(y-)2=,故曲线C2是圆心为C2(0,),半径为r2=的圆.易知曲线C2的周长为2π×=πa=4π,所以a=4.故曲线C2的方程为x2+y2=4y②.由①-②,得y=-x③,联立②③,解得,或-,,故曲线C1与C2的交点的平面直角坐标为(0,0),(-2,2).(2)由(1)可知,|AB|=()(-)=2,且直线AB的方程为x+y=0.则圆心C1(-2,0)到直线AB的距离d==,所以点D到直线AB的距离的最大值为d+r1=+2.所以△ABD面积的最大值为×2×(+2)=2+2.。

数学选修4-4极坐标与参数方程两套配答案

数学选修4-4 坐标系与参数方程[基础训练第一组]一、选择题1．若直线的参数方程为12()23x tty t=+⎧⎨=-⎩为参数，则直线的斜率为（）A．23B．23-C．32D．32-2．下列在曲线sin2()cos sinxyθθθθ=⎧⎨=+⎩为参数上的点是（）A．1(,2B．31(,)42-C．D．3．将参数方程222sin()sinxyθθθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数化为普通方程为（）A．2y x=-B．2y x=+C．2(23)y x x=-≤≤D．2(01)y x y=+≤≤4．化极坐标方程2cos0ρθρ-=为直角坐标方程为（）A．201y y+==2x或B．1x=C．201y+==2x或xD．1y=5．点M的直角坐标是(-，则点M的极坐标为（）A．(2,)3πB．(2,)3π-C．2(2,)3πD．(2,2),()3k k Zππ+∈6．极坐标方程cos2sin2ρθθ=表示的曲线为（）A．一条射线和一个圆B．两条直线C．一条直线和一个圆D．一个圆二、填空题1．直线34()45x tty t=+⎧⎨=-⎩为参数的斜率为______________________。

2．参数方程()2()t tt tx e ety e e--⎧=+⎪⎨=-⎪⎩为参数的普通方程为__________________。

3．已知直线113:()24x tl ty t=+⎧⎨=-⎩为参数与直线2:245l x y-=相交于点B，又点(1,2)A，则AB=_______________。

4．直线122()112x tty t⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数被圆224x y+=截得的弦长为______________。

5．直线cos sin0x yαα+=的极坐标方程为____________________。

三、解答题1．已知点(,)P x y是圆222x y y+=上的动点，（1）求2x y+的取值范围；（2）若x y a++≥恒成立，求实数a的取值范围。

高三数学第二轮专题训练二选修4-4《坐标系与参数方程》习题

数学选修4-4坐标系与参数方程【基础知识回顾】一、曲线的参数方程的定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数，即x =f(t)y =f(t)⎧⎨⎩并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点M(x ，y)都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程．．．．，联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数．．．二、常见曲线的参数方程如下：1.过定点(x 0，y 0)，倾角为α的直线：00x =x +tcos αy =y +tsin α⎧⎨⎩ (t 为参数)其中参数t 是以定点P(x 0，y 0)为起点，对应于t 点M(x ，y)为终点的有向线段PM 的数量，又称为点P 与点M 间的有向距离．直线的参数方程和参数的几何意义过定点P(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程是00x =x +tcos αy =y +tsin α⎧⎨⎩ (t 为参数)．根据t 的几何意义，有以下结论．①.设A 、B 是直线上任意两点，它们对应的参数分别为t A 和t B ，则 |AB|=|t B －t A |②.线段AB 的中点所对应的参数值等于A Bt +t 2． 2.中心在(x 0，y 0)，半径等于r 的圆：00x x r cos y y r sin =+θ⎧⎨=+θ⎩ (θ为参数)；中心在(x 0，y 0)，半径等于r 的圆：x r cos y rsin =θ⎧⎨=θ⎩(θ为参数)；3.中心在原点，焦点在x 轴 (或y 轴)上的椭圆：x a cos y bsin =θ⎧⎨=θ⎩ (θ为参数)(或 x bcos y a sin =θ⎧⎨=θ⎩) 中心在点(x 0，y 0)焦点在平行于x 轴的直线上的椭圆的参数方程00x =x +acos αy =y +bsin α⎧⎨⎩(α为参数)4.中心在原点，焦点在x 轴(或y 轴)上的双曲线：x a sec y btg =θ⎧⎨=θ⎩ (θ为参数) (或 x btg y a sec =θ⎧⎨=θ⎩) 5.顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上的抛物线：2x 2pt y 2pt ⎧=⎨=⎩(t 为参数，p ＞0)三、极坐标系1、定义：在平面内取一个定点O ，叫做极点，引一条射线Ox ，叫做极轴．．，再选一个长度单位和角度的正方向 (通常取逆时针方向). 对于平面内的任意一点M ，用ρ表示线段OM 的长度，θ表示从Ox 到OM 的角，ρ叫做点M 的极径．．，θ叫做点M 的极角．．，有序数对(ρ， θ)就叫做点M 的极坐标.这样建立的坐标系叫做极坐标系．．．．. 2、极坐标有四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向．极坐标与直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点，在极坐标系下，一对有序实数ρ、θ对应惟一点P (ρ， θ)，但平面内任一个点P 的极坐标不惟一．一个点可以有无数个坐标，这些坐标又有规律可循的，P (ρ， θ)(极点除外)的全部坐标为(ρ，θ＋2k π)或（－ρ，θ＋(2k+1)π)，(k ∈Z )．极点的极径为0，而极角任意取．若对ρ、θ的取值范围加以限制．则除极点外，平面上点的极坐标就惟一了，如限定ρ>0，0≤θ<2π或ρ<0，－π<θ≤π等．极坐标与直角坐标的不同是，直角坐标系中，点与坐标是一一对应的，而极坐标系中，点与坐标是一多对应的．即一个点的极坐标是不．．．．．．．．．．唯．一的．．． 3、直线相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为：))②ρ=cos θcos θ⑤a ρ=sin θ-图5)④ a ρ=sin θ⑥ ρ=cos(θ)-φ4、圆相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为(a>0)： ⑴ρ=a (2) ρ=2acos θ (3) ρ=－2acos θ (4)ρ=2asin θ (5) ρ=－2asin θ (6)ρ=2acos(θ－φ)5、极坐标与直角坐标互化公式：x =ρcos θy =ρsin θ⎧⎨⎩，222x +y =ρytan θ=(x0)x⎧⎪⎨≠⎪⎩【经典试题回放】1.(2008佛山一模文、理)在直角坐标系中圆C 的参数方程为x =2cos θy =2+2sin θ⎧⎨⎩(θ为参数)，则圆C 的普通方程为________；以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则圆C 的圆心极坐标为____________． 2.椭圆x =4cos θy =3sin θ⎧⎨⎩(θ为参数)的离心率为__________.3.在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程是y =sin θ+1x =cos θ⎧⎨⎩(θ为参数)，若以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，则曲线C 的极坐标方程可写为_____.图2 图1 图3图64.(07年广东)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x=t+3 y=3t ⎧⎨-⎩(参数t∈R)，圆C的参数方程为x=2cosθy=2sinθ+2⎧⎨⎩(参数θ∈[0，2π))，圆心到直线l的距离为．5. (2008广州二模文、理)已知圆C的参数方程为x=cosθ+1y=sinθ⎧⎨⎩(θ为参数), 则点P(4，4)与圆C上的点的最远距离是.6.曲线C1：x1cosy sin=+θ⎧⎨=θ⎩(θ为参数)上的点到曲线C2：1x=t21y=1t2⎧-⎪⎪⎨⎪-⎪⎩(t为参数)上的点的最短距离为．7.椭圆x4cosy2sin=θ⎧⎨=θ⎩，θ∈[0，2π)上的点到直线x+2y－的最大距离是________ .8.点M(x，y)在椭圆x2+12y2=12上，则x+2y的最大值为____.且求x+2y取得最大值时的M的坐标________.9.(2008惠州一模理) 已知动圆：x2+y2－2axcosθ－2bysinθ=0(a，b是正常数，a≠b，θ是参数)，则圆心的轨迹是_______.10.直线l的参数方程x=3ty=5+4t⎧⎨-⎩(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=5，则直线l与曲线C相交的弦长为_____________.11. (2008惠州调研三文)直线x=2+ty=1t-⎧⎨-⎩(t为参数) 被圆(x－3)2+(y+1)2=25所截得的弦长为______.【自我检测试题】1.直线ρcos(θ－α)=1与直线ρsin(θ－α)=1的位置关系是.2.圆ρ=23sinθ－2cosθ的圆心的极坐标为.3. (2008惠州调研二文)极坐标系中，圆ρ2+2ρcosθ－3=0上的动点到直线ρcosθ+ρsinθ－7=0的距离的最大值是．4.(2008揭阳一模文、理) 在极坐标系中，已知直线过点(1，0)，且其向上的方向与极轴的正方向所成的最小正角为3π，则直线的极坐标方程为_____. 5.点(2，－2)的极坐标为 .6.极点到直线________7.极坐标方程ρsin 2θ－2cosθ=0表示的曲线是_______ ____.8.已知点P 的极坐标是(1，π)，则过点P 且垂直极轴的直线极坐标方程是 . 9.在极坐标系中，曲线πρ=4sin(θ)3-一条对称轴的极坐标方程 . 10.在极坐标中，若过点(3，0)且与极轴垂直的直线交曲线ρ=4cosθ于A 、B 两点.则|AB|= . 11.已知某圆的极坐标方程为：ρ2 –42ρco s (θ－4π)+6=0，则 ①圆的普通方程 _______________________；②参数方程；③圆上所有点(x ，y)中xy 的最大值和最小值分为、 .12.直线：3x －4y －9=0与圆：x =2cos θy =2sin θ⎧⎨⎩，(θ为参数)的位置关系是 .13.极坐标方程2θ4ρsin =52化为直角坐标方程是 . 14.圆心为C(3，6π)，半径为3的圆的极坐标方程为 .15.已知直线的极坐标方程为πρsin(θ+)=42，则极点到直线的距离是 _ . 16.在极坐标系中，点P 11(2)6π，到直线πρsin(θ)=16-的距离等于_____. 17.与曲线ρcosθ+1=0关于πθ=4对称的曲线的极坐标方程是_______.18.极坐标方程分别为ρ=cosθ与ρ=sinθ的两个圆的圆心距为_____________. 19.(07广东理13)(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为x =t +3y =3t ⎧⎨-⎩，(参数t ∈R)，圆C 的参数方程x =2cos θy =2sin θ+2⎧⎨⎩(参数θ∈[0，2π])，则圆C 的圆心坐标为圆心到直线l 的距离为 .20.(07广东文14)(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，直线l 的方程为ρsinθ=3，则点π(2)6，到直线l 的距离为．21.(08广东文14)(坐标系与参数方程选做题)已知曲线C 1与C 2的极坐标方向分别为ρcosθ＝3 ，ρ＝4cos θ（ρ≥0，0≤θ<π2），则曲线C 1与C 2交点的极坐标为________. 22.(07海南、宁夏理) (坐标系与参数方程)⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程分别为： ρ=4cosθ，ρ=－4sinθ．(Ⅰ)把⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (Ⅱ)求经过⊙O 1，⊙O 2交点的直线的直角坐标方程． 23.(08海南、宁夏) (坐标系与参数方程)已知曲线C 1：x =cos θy =sin θ⎧⎨⎩(θ为参数)，曲线C 2：x =y =⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩为参数).指出C 1，C 2各是什么曲线，并说明C 1与C 2公共点的个数.24.直线x =tcos θy =tsin θ⎧⎨⎩与圆x =4+2cos αy =2sin α⎧⎨⎩相切，则θ=___________.25.分别在下列两种情况下，把参数方程tt t t1x =(e +e )cos θ21y =(e e )sin θ2--⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩化为普通方程：(1)θ为参数，t 为常数；26.如图，已知点P 是圆x 2+y 2=16上的一个动点，定点A(12，0)，当点P 在圆上运动时，线段PA 的中点M 的轨迹是什么？数学选修4-4坐标系与参数方程答案【经典试题回顾】 1. x 2+(y －2)2=4 (2，2π) ；2. ；3. ρ=2sinθ ；4. 5. 6；6. 1；； 8.(3，12)； 9.2222x y 1a b += 10.8；【自我检测试题】1. 垂直；2. 2(2)3π，；3. 2+4. sin()3πρ-θ=；5.)4π-或写成7)4π，； 6.d ==32627.(ρsinθ)2－2ρcosθ=0即y 2=2x 它表示是抛物线； 8.ρcosθ= －1； 9.5πθ=6；10. 11.① (x －2)2+(y －2)2=2；②；x =2+θy =2θ⎧⎪⎨⎪⎩ (θ为参数)；③ 9、1； 12.相交； 13.225y =5x +4； 14.πρ=6cos(θ)6-； 15.22；16.13+； 17.ρsinθ+1=0；，圆心分别为1(,0)2和1(0,)2； 19. (0，2)；； 20.2； 21. π)6，；22. (Ⅰ)即x 2+y 2－4x=0为⊙O 1的直角坐标方程．同理x 2+y 2+4y=0为⊙O 2的直角坐标方程； (Ⅱ)y=－x.23. 即C 1: x 2+y 2=1为以原点为圆心，1为半径的圆；C 2:x －=0表示直线. C 1与C 2公共点的个数为1个24.π6或π6直线为y=xtan θ，圆为(x －4)2+y 2=4，作出图形，相切时，易知倾斜角为π6或π6.25.解：(1)当t=0时，y=0，x=cos θ，即|x|≤1且y=0；当t ≠0时，t t t t x y cos θ=sin θ=11(e +e )(e e )22---，而cos 2θ+ sin 2θ=1，即22t t 2t t 2x y +=111(e +e )(e e )44---.(2)当θ=k π，k ∈Z 时，y=0，tt 1x =(e +e )2-±，即|x|≥1且y=0；当πθ=k π+2 k ∈Z 时，x=0，t t1x =(e e )2-±-，即x=0；当k πθ2≠，k ∈Z 时，得t t t t 2x e +e =cos θ2y e e =sin θ--⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩，即tt 2x 2y 2e =+cos θsin θ2x 2y 2e =cos θsin θ-⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩，得tt2x 2y 2x 2y2e 2e =(+)()cos θsin θcos θsin θ-⋅-，即2222x y =1cos θsin θ-. 26.解：(1) 如图，已知点P 是圆x 2+y 2=16上的一个动点，定点A(12，0)，当点P 在圆上运动时，线段PA 的中点M 的轨迹是什么？解：设点M(x ，y)，∵圆x 2+y 2=16的参数方程为x =4cos θy =4sin θ⎧⎨⎩，∴设点P(4cos θ，4sin θ)，由线段中点坐标公式得4cos θ+12x =24sin θy =2⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，即点M 轨迹的参数方程为x =2cos θ+6y =2sin θ⎧⎨⎩，即点M 的轨迹方程为 (x －6)2+y 2=4，∴点M 的轨迹是以点(6，0)为圆心、2思考：这个问题不用参数方程怎么解？(相关点法)又解：设M(x ，y)，P(x 0，y 0)，∵点M 是线段PA 的中点，∴00x +12x =2y y =2⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，∴00x =2x 12y =2y -⎧⎨⎩，∵点P(x 0，y 0)在圆上，∴x 02+y 02=16，∴(2x －12)2+(2y)2=16，即点M 的轨迹方程为(x －6)2+y 2=4，∴点M 的轨迹是以点(6，0)为圆心、2为半径的圆．变式：若Q 分PA 的比为1：2，求Q 点的轨迹方程.。

2020高考数学理二轮课标通用专题能力训练：坐标系与参数方程(选修4—4)含解析

即曲线C2的直角坐标方程为x+y-8=0.
(2)由(1)知,椭圆C1与直线C2无公共点,椭圆上的点P( cosα,sinα)到直线x+y-8=0的距离d= ,
所以当sin =1时,d的最小值为3 ,此时点P的坐标为
当cosα=0时,l的普通方程为x=1.
(2)将l的参数方程代入C的普通方程,整理得关于t的方程
(1+3cos2α)t2+4(2cosα+sinα)t-8=0,①
因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内,所以①有两个解,设为t1,t2,则t1+t2=0.
又由①得t1+t2=- ,
故2cosα+sinα=0,于是直线l的斜率k=tanα=-2.
(2)设P为曲线C1上的动点,求点P到C2上点的距离的最小值,并求此时点P的坐标.
解：(1)由曲线C1: (α为参数),得
(α为参数),
两式两边平方相加,得 +y2=1,
即曲线C1的普通方程为 +y2=1.
由曲线C2:ρsin =4 ,得
(sinθ+cosθ)=4 ,
即ρsinθ+ρcosθ=8,所以x+y-8=0,
则|PA|= |5sin(θ+α)-6|,其中α为锐角,且tanα=
当sin(θ+α)=-1时,|PA|取得最大值,最大值为
当sin(θ+α)=1时,|PA|取得最小值,最小值为
5.(20xx全国Ⅲ,理22)在平面直角坐标系xOy中,☉O的参数方程为 (θ为参数),过点(0,- )且倾斜角为α的直线l与☉O交于A,B两点.
(1)求α的取值范围;
(2)求AB中点P的轨迹的参数方程.

最新高考数学(人教版)二轮复习专题讲义：选修4-4-坐标系与参数方程-课时演练

选修4-41．已知直线l 经过点P(1,1)，倾斜角α＝π6，求直线l 的参数方程．2．已知直线l 过点P(2,0)，斜率为43，直线l 和抛物线y2＝2x 相交于A ，B 两点，设线段AB 的中点为M ，求直线l 的参数方程和M 点的坐标．3．在直角坐标系xOy 中，曲线C1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)．以O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线C2的极坐标方程为ρ(cos θ－sin θ)＋1＝0.[来源:学。

科。

网Z 。

X 。

K](1)求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；(2)求曲线C1上的点到曲线C2的最大距离．4．(2012·吉林实验中学高三模拟)已知圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ (θ为参数)，直线l ：⎩⎨⎧ x ＝2＋45t ，y ＝35t (t 为参数)．(1)求圆C 的普通方程，若以原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，写出圆C 的极坐标方程；(2)判断直线l 与圆C 的位置关系，并说明理由；若相交，请求出弦长．5．在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝1tan φ，y ＝1tan2φ(φ为参数)，曲线C2的极坐标方程为：ρ(cos θ＋si n θ)＝1，若曲线C1与C2相交于A 、B 两点．(1)求|AB|的值；(2)求点M(－1,2)到A 、B 两点的距离之积．6．(2012·东北三校第二次联考)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2－3t ，y ＝2－4t (t 为参数)，它与曲线C ：(y －2)2－x2＝1交于A 、B 两点． (1)求|AB|的长；(2)以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫22，3π4，求点P 到线段AB 中点M 的距离．7．(2012·新课标全国卷)已知曲线C1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2.正方形ABCD 的顶点都在C2上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3， (1)求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；(2)设P 为C1上任意一点，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2的取值范围．8．(2012·长春调研)在极坐标系中，O 为极点，半径为2的圆C 的圆心的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3. (1)求圆C 的极坐标方程；(2)P 是圆C 上一动点，点Q 满足3OP →＝OQ →，以极点O 为原点，以极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，求点Q 的轨迹的直角坐标方程．9．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点O 处，极轴与x 轴的正半轴重合，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tcos α，y ＝tsin α(t 为参数，α为直线l 的倾斜角)．圆C 的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ＋12＝0.(1)若直线l 与圆C 相切，求α的值；(2)若tan α＝12，直线l 与圆C 交于A ，B 两点，求|OA|＋|OB|的值．答案：1．解析：直线l 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝1＋tcos π6y ＝1＋tsin π6，即⎩⎨⎧ x ＝1＋32ty ＝1＋12t (t 为参数)．2．解析：由tan α＝43得：sin α＝45，cos α＝35(α为直线l 的倾斜角)，所以直线l 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝2＋35t y ＝45t (t 为参数)，代入y2＝2x 化简得：1625t2－65t －4＝0，由根与系数的关系得t1＋t2＝158，t1t2＝－254，因为t0＝t1＋t22＝1516，则⎩⎨⎧ x ＝2＋35×1516＝4116y ＝45×1516＝34，所以M 点的坐标为⎝⎛⎭⎫4116，34.3．解析： (1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)化为普通方程得x2＋(y －1)2＝1，将ρ(cos θ－sin θ)＋1＝0化为直角坐标方程得x －y ＋1＝0.(2)由(1)知曲线C1表示圆心为(0,1)，半径为1的圆，曲线C2表示直线x －y ＋1＝0，并且过圆心(0,1)，所以曲线C1上的点到曲线C2的最大距离等于圆的半径1. 4．解析： (1)由圆C 的参数方程消参可得，(x －2)2＋y2＝4，圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ.(2)方法一：由于直线l 过圆心(2,0)，所以直线与圆相交，且弦长为4.方法二：l ：3x －4y －6＝0，圆心到直线的距离d ＝|6－6|32＋－＝0＜r ，所以直线l 与圆相交，由于直线l 过圆心(2,0)，所以弦长为4.5．解析： (1)由曲线C1的参数方程可得曲线C1的普通方程为y ＝x 2(x≠0)，由曲线C2的极坐标方程可得曲线C2的直角坐标方程为x ＋y －1＝0，则曲线C2的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝－1－22t ，y ＝2＋2t (t 为参数)，将其代入曲线C1的普通方程得t2＋2t －2＝0，设A 、B 两点对应的参数分别为t1、t2，则t1＋t2＝－2，t1t2＝－2，所以|AB|＝|t1－t2|＝＋－4t1t2＝10.(2)由(1)可得|MA|·|MB|＝|t1t2|＝2.6．解析： (1)把直线的参数方程代入曲线方程并化简得7t2－12t －5＝0.设A ，B 对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝127，t1t2＝－57. 所以|AB|＝－＋－|t1－t2| ＝5＋－4t1t2＝10717. (2)易得点P 在平面直角坐标系下的坐标为(－2,2)，根据中点坐标的性质可得A B 中点M 对应的参数为t1＋t22＝67. 由t 的几何意义可得点P 到M 的距离为|PM|＝－＋－·⎪⎪⎪⎪67＝307. 7．解析： (1)由已知可得A ⎝⎛⎭⎫2cos π3，2sin π3， B ⎝⎛⎭⎫2cos ⎝⎛⎭⎫π3＋π2，2sin ⎝⎛⎭⎫π3＋π2， C ⎝⎛⎭⎫2cos ⎝⎛⎭⎫π3＋π，2sin ⎝⎛⎭⎫π3＋π， D ⎝⎛⎭⎫2cos ⎝⎛⎭⎫π3＋3π2，2sin ⎝⎛⎭⎫π3＋3π2，即A(1，3)，B(－3，1)，C(－1，－3)，D(3，－1)．(2)设P(2cos φ，3sin φ)，令S ＝|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2，则S ＝16cos2φ＋36sin2φ＋16＝32＋20sin2φ.因为0≤sin2φ≤1，所以S 的取值范围是[32,52]．8．解析： (1)设M(ρ，θ)是圆C 上任一点，过点C 作CH ⊥OM 于H 点，则在Rt △COH 中，OH ＝OC·cos ∠COH.∵∠COH ＝∠COM ＝⎪⎪⎪⎪θ－π3，OH ＝12OM ＝12ρ， OC ＝2，∴12ρ＝2cos ⎪⎪⎪⎪θ－π3，即ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎫θ－π3为所求的圆C 的极坐标方程． (2)设点Q 的极坐标为(ρ，θ)，∵3OP →＝OQ →，∴P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫13ρ，θ，代入圆C 的极坐标方程得13ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎫θ－π3，即ρ＝6cos θ＋63sin θ，∴ρ2＝6ρcos θ＋63ρsin θ，令x ＝ρco s θ，y ＝ρsin θ，得x2＋y2＝6x ＋63y ，∴点Q 的轨迹的直角坐标方程为x2＋y2－6x －63y ＝0.9．解析：(1)将直线l 的参数方程化为普通方程，得y ＝xta n α.将圆C 的极坐标方程ρ2－8ρcos θ＋12＝0化为直角坐标方程得(x －4)2＋y2＝4.因为直线l 与圆C 切于点M ，则sin α＝CM OC ＝24＝12，所以α＝π6或α＝5π6. (2)若tan α＝12，则sin α＝55，cos α＝255. 将直线l 的参数方程与圆C 的直角坐标方程联立可得(tcos α－4)2＋(tsin α)2＝4，化简，得t2－8tcos α＋12＝0，即t2－1655t ＋12＝0. 设A 、B 两点对应的参数分别为t1、t2，由参数t 的几何意义知：|OA|＋|OB|＝|t1|＋|t2|＝|t1＋t2|＝1655.。

2020版新高考理科数学专题强化训练：选修4-4坐标系与参数方程

ρsinθcosπ4＋cosθsinπ4 ＝ 22，
ρsinθ＝y，
将
代入上式得 x＋y＝1，
ρcosθ＝ x
即 C1 的直角坐标方程为 x＋ y－1＝0，
同理由 ρ2＝3－41sin2θ可得 3x2－y2＝ 1，
∴ C2 的直角坐标方程为 3x2－ y2＝1
(2)先求以 MN 为直径的圆，设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，
π2 极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C1：ρsin θ＋4 ＝ 2 ，
C2：
ρ2＝
1 3－4sin2θ.
(1)求曲线 C1，C2 的直角坐标方程；
(2)曲线 C1 和 C2 的交点为 M，N，求以 MN 为直径的圆与 y 轴的
交点坐标．
解： (1)由 ρsin θ＋π4 ＝ 22得
2 x＝－ 2＋ 2 t，
2 y＝ 2 t
(t 为
参数 )，直线 l 与曲线 C 交于 M，N 两点．
(1)若点 P 的极坐标为 (2，π，）求 |PM| ·PN｜|的值；
(2)求曲线 C 的内接矩形周长的最大值．
解： (1)由 ρ2cos2θ＋3ρ2sin2θ＝ 12 得 x2＋ 3y2＝ 12，故曲线 C 的直
π
π
由题意设 A ρ1， 6 ，B ρ2， 6 ，
将 θ＝π6代入 ρ2－2ρsinθ－2＝0，得 ρ21－ρ1－2＝0，
所以 ρ1＝2 或 ρ1＝－1(舍去 )．将 θ＝π6代入 ρsin θ＋π6 ＝2 3，得 ρ2＝4，
所以 |AB|＝|ρ1－ρ2|＝2.
解法二：因为射线 OP 的极坐标方程为 θ＝π6，
y＝ sinα
立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 ρ2＝4ρsinθ－3.

2020版高考数学二轮复习专题限时集训15坐标系与参数方程理选修4_4

专题限时集训(十五) 选修4－4 坐标系与参数方程(建议用时：20分钟)1．(2019·长春高三质量监测一)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos αy ＝t sin α(t 为参数，0≤α＜π)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ2＋1＝2ρcos θ＋4ρsin θ.(1)求圆C 的直角坐标方程；(2)若直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝23，求α的值． [解](1)圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0.(2)将直线l 的参数方程代入到圆C 的直角坐标方程中，有t 2－4t sin α＝0，设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝4sin α，t 1t 2＝0.由|AB |＝|t 1－t 2|＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝|t 1＋t 2|＝4sin α＝23，得sin α＝32，所以α＝π3或α＝2π3. 2．在平面直角坐标系中，将曲线C 1向左平移2个单位长度，再将得到的曲线上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的12，得到曲线C 2，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4cos θ.(1)求曲线C 2的参数方程；(2)已知点M 在第一象限，四边形MNPQ 是曲线C 2的内接矩形，求内接矩形MNPQ 周长的最大值，并求周长最大时点M 的坐标．[解](1)由ρ＝4cos θ得曲线C 1的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4，经过变换后的曲线对应的方程为x 24＋y 2＝1，即曲线C 2的普通方程，∴曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos αy ＝sin α(α为参数)．(2)设四边形MNPQ 的周长为l ，点M (2cos α，sin α)⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜α＜π2，则l ＝8cos α＋4sin α＝45⎝ ⎛⎭⎪⎫25cos α＋15sin α＝45sin(α＋φ)，其中cos φ＝15＝55，sin φ＝25＝255.∵0＜α＜π2，∴φ＜α＋φ＜π2＋φ，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＜sin(α＋φ)≤1，∴当α＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z 时，l 取得最大值，此时α＝π2－φ＋2k π，k ∈Z ，l max＝45，∴2cos α＝2sin φ＝455，sin α＝cos φ＝55，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫455，55.3．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝4.(1)M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM |·|OP |＝8，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，π4，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值及此时B 点的极坐标．[解](1)设P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ＞0)，M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1＞0)．由题设知|OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝4sin θ＋cos θ.由|OM |·|OP |＝8，得4ρsin θ＋cos θ＝8，所以C 2的极坐标方程为ρ＝2(sin θ＋cosθ)(ρ＞0)．所以C 2的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.(2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB ＞0)，由题设及(1)知|OA |＝4，ρB ＝2(sin α＋cos α)，于是△OAB 的面积S ＝12·|OA |·ρB ·sin∠AOB＝12·4·2(sin α＋cos α)·⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4 ＝4⎪⎪⎪⎪⎪⎪α＋cos α⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin α－22cos α＝22|cos 2α| ≤22，当α＝0时，S 取得最大值22，此时ρB ＝2(sin 0＋cos 0)＝2. 所以△OAB 面积的最大值为22，此时B 点的极坐标为(2,0)．【押题】在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)．在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C ：ρ＝4cos θ.(1)当m ＝－2，α＝π6时，判断直线l 与曲线C 的位置关系；(2)当m ＝1时，若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，设P (1,0)，当||PA |－|PB ||取得最大值时，求直线l 的倾斜角．[解](1)由ρ＝4cos θ，得ρ2＝4ρcos θ，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ代入，得曲线C 的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4，所以曲线C 是以(2,0)为圆心，2为半径的圆．由直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋32t ，y ＝12t (t 为参数)，得直线l 的普通方程为x －3y ＋2＝0.所以圆心(2,0)到直线l 的距离d ＝|2－0＋2|1＋3＝2，又圆C 的半径为2，故直线l 与曲线C 相切．(2)由题知，直线l 为经过点P (1,0)且倾斜角为α的直线，把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α代入(x －2)2＋y 2＝4，整理得t 2－2t cos α－3＝0，Δ＝(－2cos α)2＋12＞0，设点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝2cos α，t 1·t 2＝－3＜0，所以t 1，t 2异号，则||PA |－|PB ||＝|t 1＋t 2|＝|2cos α|≤2，当|cos α|＝1，即α＝0时，||PA |－|PB ||取得最大值2. 所以当||PA |－|PB ||取得最大值时，直线l 的倾斜角α＝0.。

(江苏专用)2020高考数学二轮复习专项强化练(二)坐标系与参数方程理选修4_4

专项强化练(二) 选修4－4：坐标系与参数方程(理独)题型一曲线的极坐标方程1．在极坐标系中，已知曲线C ：ρ＝2sin θ，过极点O 的直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且AB ＝3，求直线l 的极坐标方程．解：设直线l 的方程为θ＝θ0(ρ∈R )，A (0,0)，B (ρ1，θ0)．则AB ＝|ρ1－0|＝|2sin θ0|. 又AB ＝3，故sin θ0＝±32. 解得θ0＝π3＋k π或θ0＝－π3＋k π，k ∈Z .所以直线l 的方程为θ＝π3或θ＝2π3(ρ∈R )．2．求以C (4,0)为圆心，半径为4的圆的极坐标方程．解：如图所示，由题设可知，这个圆经过极点，圆心在极轴上，设圆与极轴的另一个交点是A ，在圆上任取一点P (ρ，θ)，连结OP ，PA ，在Rt △OPA 中，|OA |＝8，|OP |＝ρ，∠AOP ＝θ，∴|OA |·cos θ＝ρ，即8cos θ＝ρ，即ρ＝8cos θ就是圆C 的极坐标方程．[临门一脚]1．在极坐标系中，求直线的极坐标方程的一般方法为：设M (ρ，θ)为直线上任意一点，极点为O ，连结OM ，构造出含有OM 的三角形，再找出我们需求的ρ与θ的关系，即为直线的极坐标方程．也可以先求出直角坐标方程，再化为极坐标方程．2．求圆的极坐标方程要注意作出图形，充分利用三角函数和解三角形的知识，探究极径和极角的关系，几种特殊圆的极坐标方程需要记忆清楚．3．解极坐标方程时如果求出ρ＝0，需要进行检验，防止漏解．题型二方程互化1．已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2.(1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．解：(1)由ρ2＝x 2＋y 2，且⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得圆O 1的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4，由ρ2－22ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，得ρ2－2ρ(cos θ＋sin θ)＝2，x 2＋y 2－2(x ＋y )＝2，故圆O 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －2y －2＝0.(2)联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4＝0，x 2＋y 2－2x －2y －2＝0，两式相减，得经过两圆交点的直线方程为x ＋y －1＝0，该直线的极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ－1＝0. 2．在平面直角坐标系xOy 中，圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos α，y ＝2sin α(α为参数)，以坐标原点O 为极点、x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．求：(1)圆的普通方程； (2)圆的极坐标方程．解：(1)圆的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4.(2)把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入上述方程，得圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ.3．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝7－2t (t 为参数)与椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数，a ＞0)的一条准线的交点位于y 轴上，求实数a 的值．解：由题意，直线l 的普通方程为2x ＋y ＝9，椭圆C 的普通方程为y 29＋x 2a2＝1(0＜a ＜3)，椭圆C 的准线方程为y ＝±99－a2，故99－a2＝9，解得a ＝22(负值舍去)．[临门一脚]1．极坐标与直角坐标互化的基本公式为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，也经常需要用到ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx(x ≠0)．2．通过消去参数将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线的类型． (1)消去参数的方法一般有三种：①利用解方程的技巧求出参数的表示式，然后代入消去参数； ②利用三角恒等式消去参数；③根据参数方程本身的结构特征，选用一些灵活的方法从整体上消去参数．(2)在参数方程与普通方程的互化中，必须使两种方程中的x ，y 的取值范围保持一致，否则将导致两种方程所对应的曲线不一致．题型三位置关系及参数方程应用1．在极坐标系中，求直线θ＝π4(ρ∈R )被曲线ρ＝4sin θ所截得的弦长．解：法一：在ρ＝4sin θ中，令θ＝π4，得ρ＝4sin π4＝22，即所求弦长为2 2.法二：以极点O 为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系．直线θ＝π4(ρ∈R )的直角坐标方程为y ＝x ，①曲线ρ＝4sin θ的直角坐标方程为x 2＋y 2－4y ＝0，②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，故直线θ＝π4(ρ∈R )被曲线ρ＝4sin θ所截弦长的端点坐标分别为(0,0)，(2,2)，所以直线θ＝π4(ρ∈R )被曲线ρ＝4sin θ所截得的弦长为22＋22＝2 2.2．(2019·扬州四模)在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝1＋cos 2α(α为参数)，求直线l 与曲线C 的交点P 的直角坐标．解：直线l 的直角坐标方程为y ＝x . 由方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝1＋cos 2α可得y ＝2cos 2α＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 42＝18x 2，又因为－1≤cos α≤1，所以－4≤x ≤4.所以曲线C 的普通方程为y ＝18x 2(－4≤x ≤4)将直线l 的方程代入曲线方程中，得18x 2＝x ，解得x ＝0或x ＝8(舍去)所以直线l 与曲线C 的交点P 的直角坐标为(0,0)． 3．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝sin φ(其中φ为参数)，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2ρcos θ＋π3＝3 6.求椭圆C 上的点到直线l 距离的最大值和最小值．解：直线l 的直角坐标方程为x －3y －36＝0.设椭圆C 上的点到直线l 的距离为d .则d ＝|3cos φ－3sin φ－36|2＝6sin ⎝⎛⎭⎪⎫φ－π4＋362.所以当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ－π4＝1时，d max ＝26；当sin ⎝⎛⎭⎪⎫φ－π4＝－1时，d min ＝ 6. 所以椭圆C 上的点到直线l 距离的最大值为26，最小值为 6.4．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8＋t ，y ＝t2(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2s 2，y ＝22s(s 为参数)．设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．解：直线l 的普通方程为x －2y ＋8＝0. 因为点P 在曲线C 上，设P (2s 2,22s )，从而点P 到直线l 的距离 d ＝|2s 2－42s ＋8|12＋－22＝2s －22＋45.当s ＝2时，d min ＝455.因此当点P 的坐标为(4,4)时，曲线C 上点P 到直线l 的距离取到最小值455.[临门一脚]1．如果遇到直线与圆的位置关系问题，应优先将方程化为普通方程后再研究较为方便． 2．圆或椭圆的参数方程应用于求曲线上的点到直线距离的最值问题，需要辅助角公式的运用，等号成立的条件一定要写出．3．直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α中t 的几何意义要清楚，但如果给的方程不是标准形式，此时不要直接用t 的几何意义来处理弦的问题．。

2020高考理科数学冲刺复习之知识点题型归纳—选修4-4 坐标系与参数方程

选修4－4 坐标系与参数方程第一节坐标系一、基础知识1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P (x ,y )是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x (λ＞0)，y ′＝μ·y (μ＞0)的作用下,点P (x ,y )对应到点P ′(x ′,y ′),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换．2．极坐标系的概念 (1)极坐标系如图所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标①极径：设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径,记为ρ. ②极角：以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角,记为θ. ③极坐标：有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记为M (ρ，θ).一般不作特殊说明时，我们认为ρ ≥0，θ可取任意实数.3．极坐标与直角坐标的互化设M 是平面内任意一点,它的直角坐标是(x ,y ), 极坐标是(ρ,θ),则它们之间的关系为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ；⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x (x ≠0). 4．简单曲线的极坐标方程曲线极坐标方程圆心为极点,半径为r 的圆 ρ＝r (0≤θ<2π) 圆心为(r,0),半径为r 的圆 ρ＝2r cos θ⎝⎛⎭⎫－π2≤θ≤π2 圆心为⎝⎛⎭⎫r ，π2,半径为r 的圆 ρ＝2r sin θ(0≤θ<π) 过极点,倾斜角为α的直线θ＝α(ρ∈R )或θ＝π＋α(ρ∈R )考点一平面直角坐标系下图形的伸缩变换[典例] 求双曲线C ：x 2－y 264＝1经过φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y 变换后所得曲线C ′的焦点坐标． [解] 设曲线C ′上任意一点P (x ′,y ′), 由上述可知,将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝2y ′代入x 2－y 264＝1,得x ′29－4y ′264＝1,化简得x ′29－y ′216＝1,即x 29－y 216＝1为曲线C ′的方程,可见仍是双曲线,则焦点(－5,0),(5,0)为所求．[解题技法] 伸缩变换后方程的求法平面上的曲线y ＝f (x )在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ>0)，y ′＝μy (μ>0)的作用下的变换方程的求法是将⎩⎨⎧x ＝x ′λ，y ＝y ′μ代入y ＝f (x ),得y ′μ＝f ⎝⎛⎭⎫x ′λ,整理之后得到y ′＝h (x ′),即为所求变换之后的方程．[提醒] 应用伸缩变换时,要分清变换前的点的坐标(x ,y )与变换后的坐标(x ′,y ′)．[题组训练]1．若函数y ＝f (x )的图象在伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 的作用下得到曲线的方程为y ′＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ′＋π6,求函数y ＝f (x )的最小正周期．解：由题意,把变换公式代入曲线y ′＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ′＋π6得 3y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6,整理得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6,故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 所以函数f (x )的最小正周期为π.2．将圆x 2＋y 2＝1变换为椭圆x 225＋y 216＝1的一个伸缩变换公式φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，y ′＝μy (λ,μ>0),求λ,μ的值．解：将变换后的椭圆x 225＋y 216＝1改写为x ′225＋y ′216＝1,把伸缩变换公式φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，y ′＝μy (λ,μ>0)代入上式得：λ2x 225＋μ2y 216＝1即⎝⎛⎭⎫λ52x 2＋⎝⎛⎭⎫μ42y 2＝1,与x 2＋y 2＝1, 比较系数得⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫λ52＝1，⎝⎛⎭⎫μ42＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝5，μ＝4.考点二极坐标与直角坐标的互化[典例] (2018·江苏高考)在极坐标系中,直线l 的方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝2,曲线C 的方程为ρ＝4cos θ,求直线l 被曲线C 截得的弦长．[解] 因为曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ,化成直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4, 所以曲线C 是圆心为(2,0),直径为4的圆．因为直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫π6－ θ＝2, 化成直角坐标方程为y ＝33(x －4), 则直线l 过A (4,0),倾斜角为π6,所以A 为直线l 与圆C 的一个交点．设另一个交点为B ,则∠OAB ＝π6.如图,连接OB .因为OA 为直径,从而∠OBA ＝π2,所以AB ＝4cos π6＝2 3.所以直线l 被曲线C 截得的弦长为2 3.[解题技法]1．极坐标方程与直角坐标方程的互化方法(1)直角坐标方程化为极坐标方程：将公式x ＝ρcos θ及y ＝ρsin θ直接代入直角坐标方程并化简即可．(2)极坐标方程化为直角坐标方程：通过变形,构造出形如ρcos θ,ρsin θ,ρ2的形式,再应用公式进行代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形技巧．2．极角的确定由tan θ确定角θ时,应根据点P 所在象限取最小正角． (1)当x ≠0时,θ角才能由tan θ＝yx 按上述方法确定．(2)当x ＝0时,tan θ没有意义,这时可分三种情况处理：当x ＝0,y ＝0时,θ可取任何值；当x ＝0,y >0时,可取θ＝π2；当x ＝0,y <0时,可取θ＝3π2.[题组训练]1．(2019·郑州质检)在极坐标系下,已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22(ρ≥0,0≤θ＜2π)．(1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0,π)时,求直线l 与圆O 的公共点的极坐标．解：(1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ,即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ, 故圆O 的直角坐标方程为x 2＋y 2－x －y ＝0, 直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22,即ρsin θ－ρcos θ＝1, 则直线l 的直角坐标方程为x －y ＋1＝0.(2)将两直角坐标方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，即圆O 与直线l 在直角坐标系下的公共点为(0,1), 将(0,1)转化为极坐标为⎝⎛⎭⎫1，π2即为所求． 2．已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2,ρ2－22ρ·cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2. (1)求圆O 1和圆O 2的直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．解：(1)由ρ＝2知ρ2＝4,所以圆O 1的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4. 因为ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2,所以ρ2－22ρ⎝⎛⎭⎫cos θcos π4＋sin θsin π4＝2, 所以圆O 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －2y －2＝0. (2)将两圆的直角坐标方程相减, 得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1. 化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1, 即ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22. 考点三曲线的极坐标方程的应用[典例] (2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.(1)M 为曲线C 1上的动点,点P 在线段OM 上,且满足|OM |·|OP |＝16,求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3,点B 在曲线C 2上,求△OAB 面积的最大值． [解] (1)设P 的极坐标为(ρ,θ)(ρ＞0),M 的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1＞0)．由题设知|OP |＝ρ,|OM |＝ρ1＝4cos θ. 由|OM |·|OP |＝16,得C 2的极坐标方程ρ＝4cos θ(ρ＞0)．因此C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0)． (2)设点B 的极坐标为(ρB ,α)(ρB ＞0),由题设知|OA |＝2,ρB ＝4cos α,于是△OAB 的面积S ＝12|OA |·ρB ·sin ∠AOB ＝4cos α·⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫2α－π3－32. 即当α＝－π12时,S 取得最大值2＋ 3.所以△OAB 面积的最大值为2＋ 3. [解题技法]1．求简单曲线的极坐标方程的方法(1)设点M (ρ,θ)为曲线上任意一点,由已知条件,构造出三角形,利用三角函数及正、余弦定理求解|OM |与θ的关系．(2)先求出曲线的直角坐标方程,再利用极坐标与直角坐标的变换公式,把直角坐标方程化为极坐标方程．2．利用极坐标系解决问题的技巧(1)用极坐标系解决问题时要注意题目中的几何关系,如果几何关系不容易通过极坐标表示时,可以先化为直角坐标方程,将不熟悉的问题转化为熟悉的问题加以解决．(2)已知极坐标方程解答最值问题时,通常可转化为三角函数模型求最值问题,其比直角坐标系中求最值的运算量小．[提醒] 在曲线的方程进行互化时,一定要注意变量的范围,注意转化的等价性．[题组训练]1．(2019·青岛质检)在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ，y ＝1＋sin φ(其中φ为参数)．以O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求圆C 的极坐标方程；(2)设直线l 的极坐标方程是ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝2,射线OM ：θ＝π6与圆C 的交点为P ,与直线l 的交点为Q ,求线段P Q 的长．解：(1)圆C 的普通方程为x 2＋(y －1)2＝1,又x ＝ρcos θ,y ＝ρsin θ, 所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ. (2)把θ＝π6代入圆的极坐标方程可得ρP ＝1,把θ＝π6代入直线l 的极坐标方程可得ρQ ＝2,所以|P Q |＝|ρP －ρQ |＝1.2．(2018·湖北八校联考)已知曲线C 的极坐标方程为ρ2＝9cos 2 θ＋9sin 2 θ,以极点为平面直角坐标系的原点O ,极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系．(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)A ,B 为曲线C 上两点,若OA ⊥OB ,求1|OA |2＋1|OB |2的值．解：(1)由ρ2＝9cos 2θ＋9sin 2θ得ρ2cos 2θ＋9ρ2sin 2θ＝9, 将x ＝ρcos θ,y ＝ρsin θ代入得到曲线C 的直角坐标方程是x 29＋y 2＝1.(2)因为ρ2＝9cos 2θ＋9sin 2θ,所以1ρ2＝cos 2θ9＋sin 2θ, 由OA ⊥OB ,设A (ρ1,α),则点B 的坐标可设为⎝⎛⎭⎫ρ2，α±π2, 所以1|OA |2＋1|OB |2＝1ρ21＋1ρ22＝cos 2α9＋sin 2α＋sin 2α9＋cos 2α＝19＋1＝109.[课时跟踪检测]1．在极坐标系中,求直线ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝1与圆ρ＝4sin θ的交点的极坐标．解：ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝1化为直角坐标方程为3x －y ＝2, 即y ＝3x －2.ρ＝4sin θ可化为x 2＋y 2＝4y , 把y ＝3x －2代入x 2＋y 2＝4y , 得4x 2－83x ＋12＝0, 即(x －3)2＝0, 所以x ＝3,y ＝1.所以直线与圆的交点坐标为(3,1),化为极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π6. 2．在极坐标系中,已知圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫2，π4,圆心为直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－32与极轴的交点,求圆C 的极坐标方程．解：在ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－32中,令θ＝0,得ρ＝1, 所以圆C 的圆心坐标为(1,0)．因为圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫2，π4, 所以圆C 的半径|PC |＝(2)2＋12－2×1×2cos π4＝1,于是圆C 过极点,所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.3．在直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为(x －3)2＋(y ＋1)2＝9,以O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求圆C 的极坐标方程；(2)直线OP ：θ＝π6(ρ∈R )与圆C 交于点M ,N ,求线段MN 的长．解：(1)(x －3)2＋(y ＋1)2＝9可化为x 2＋y 2－23x ＋2y －5＝0, 故其极坐标方程为ρ2－23ρcos θ＋2ρsin θ－5＝0. (2)将θ＝π6代入ρ2－23ρcos θ＋2ρsin θ－5＝0,得ρ2－2ρ－5＝0, 所以ρ1＋ρ2＝2,ρ1ρ2＝－5,所以|MN |＝|ρ1－ρ2|＝4＋20＝2 6.4．在直角坐标系xOy 中,以O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1,M ,N 分别为C 与x 轴,y 轴的交点． (1)求C 的直角坐标方程,并求M ,N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ,求直线OP 的极坐标方程．解：(1)由ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1得ρ⎝⎛⎭⎫12cos θ＋32sin θ＝1. 从而C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1,即x ＋3y ＝2.当θ＝0时,ρ＝2,所以M (2,0)．当θ＝π2时,ρ＝233,所以N ⎝⎛⎭⎫233，π2.(2)由(1)知M 点的直角坐标为(2,0),N 点的直角坐标为⎝⎛⎭⎫0，233.所以点P 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫1，33,则点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫233，π6, 所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )．5．(2018·南昌摸底调研)在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 1的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝4,直线C 2的方程为y ＝33x ,以O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． (1)求曲线C 1和直线C 2的极坐标方程；(2)若直线C 2与曲线C 1交于P ,Q 两点,求|OP |·|O Q |的值．解：(1)∵曲线C 1的普通方程为(x －3)2＋(y －2)2＝4, 即x 2＋y 2－23x －4y ＋3＝0,∴曲线C 1的极坐标方程为ρ2－23ρcos θ－4ρsin θ＋3＝0. ∵直线C 2的方程为y ＝33x , ∴直线C 2的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )．(2)设P (ρ1,θ1),Q (ρ2,θ2),将θ＝π6(ρ∈R )代入ρ2－23ρcos θ－4ρsin θ＋3＝0,得ρ2－5ρ＋3＝0,∴ρ1ρ2＝3,∴|OP |·|O Q |＝ρ1ρ2＝3.6．(2019·山西八校联考)在直角坐标系xOy 中,曲线C 的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25.以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)设l 1：θ＝π6,l 2：θ＝π3,若l 1,l 2与曲线C 分别交于异于原点的A ,B 两点,求△AOB 的面积．解：(1)∵曲线C 的普通方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25, 即x 2＋y 2－6x －8y ＝0.∴曲线C 的极坐标方程为ρ＝6cos θ＋8sin θ. (2)设A ⎝⎛⎭⎫ρ1，π6,B ⎝⎛⎭⎫ρ2，π3. 把θ＝π6代入ρ＝6cos θ＋8sin θ,得ρ1＝4＋33,∴A ⎝⎛⎭⎫4＋33，π6. 把θ＝π3代入ρ＝6cos θ＋8sin θ,得ρ2＝3＋43,∴B ⎝⎛⎭⎫3＋43，π3. ∴S △AOB ＝12ρ1ρ2sin ∠AOB＝12(4＋33)(3＋43)sin ⎝⎛⎭⎫π3－π6 ＝12＋2534.7．在直角坐标系xOy 中,曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数,t ≠0),其中0≤α＜π.在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2：ρ＝2sin θ,C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ,C 1与C 3相交于点B ,求|AB |的最大值．解：(1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0, 曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0.联立⎩⎨⎧x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝32，y ＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和⎝⎛⎭⎫32，32.(2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ,ρ≠0),其中0≤α＜π. 因此A 的极坐标为(2sin α,α),B 的极坐标为(23cos α,α)．所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α－π3. 当α＝5π6时,|AB |取得最大值,最大值为4.8．(2019·郑州一中模拟)在平面直角坐标系中,曲线C 1的普通方程为x 2＋y 2＋2x －4＝0,曲线C 2的方程为y 2＝x ,以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 1,C 2的极坐标方程；(2)求曲线C 1与C 2交点的极坐标,其中ρ≥0,0≤θ<2π.解：(1)依题意,将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2＋2x －4＝0可得ρ2＋2ρcos θ－4＝0.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入y 2＝x ,得ρsin 2θ＝cos θ. 故曲线C 1的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－4＝0,曲线C 2的极坐标方程为ρsin 2θ＝cos θ. (2)将y 2＝x 代入x 2＋y 2＋2x －4＝0,得x 2＋3x －4＝0,解得x ＝1,x ＝－4(舍去),当x ＝1时,y ＝±1,所以曲线C 1与C 2交点的直角坐标分别为(1,1),(1,－1),记A (1,1),B (1,－1),所以ρA ＝1＋1＝2,ρB ＝1＋1＝2,tan θA ＝1,tan θB ＝－1, 因为ρ≥0,0≤θ<2π,点A 在第一象限,点B 在第四象限,所以θA ＝π4,θB ＝7π4,故曲线C 1与C 2交点的极坐标分别为⎝⎛⎭⎫2，π4,⎝⎛⎭⎫2，7π4.第二节参数方程一、基础知识1．曲线的参数方程在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x ,y 都是某个变数t 的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )，并且对于t 的每一个允许值,由这个方程组所确定的点M (x ,y )都在这条曲线上,那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程,联系变数x ,y 的变数t 叫做参变数,简称参数．相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程F (x ,y )＝0叫做普通方程． 2．参数方程和普通方程的互化(1)参数方程化普通方程：利用两个方程相加、减、乘、除或者代入法消去参数． (2)普通方程化参数方程：如果x ＝f (t ),把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t ),则得曲线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t ).3．直线、圆、椭圆的参数方程(1)过点M (x 0,y 0),倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．直线参数方程的标准形式的应用过点M 0(x 0,y 0),倾斜角为α的直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α.若M 1,M 2是l 上的两点,其对应参数分别为t 1,t 2,则①|M 1M 2|＝|t 1－t 2|.②若线段M 1M 2的中点M 所对应的参数为t ,则t ＝t 1＋t 22,中点M 到定点M 0的距离|MM 0|＝|t |＝⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22.③若M 0为线段M 1M 2的中点,则t 1＋t 2＝0. ④|M 0M 1||M 0M 2|＝|t 1t 2|.(2)圆心在点M 0(x 0,y 0),半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数)．(3)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ (φ为参数)．考点一参数方程与普通方程的互化[典例] 已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a －2t ，y ＝－4t (t 为参数),圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)． (1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点,求实数a 的取值范围． [解] (1)直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0, 圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16. (2)因为直线l 与圆C 有公共点,故圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝|－2a |5≤4,解得－25≤a ≤2 5.即实数a 的取值范围为[－25,2 5 ]． [解题技法] 将参数方程化为普通方程的方法将参数方程化为普通方程,需要根据参数方程的结构特征,选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等,对于含三角函数的参数方程,常利用同角三角函数关系式消参(如sin 2θ＋cos 2θ＝1等)．[提醒] 将参数方程化为普通方程时,要注意两种方程的等价性,防止增解． [题组训练]1．将下列参数方程化为普通方程．(1)⎩⎨⎧x ＝12(e t ＋e －t )，y ＝12(e t－e－t)(t 为参数)．(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2tan 2θ，y ＝2tan θ(θ为参数)．解：(1)由参数方程得e t ＝x ＋y ,e －t ＝x －y , 所以(x ＋y )(x －y )＝1,即x 2－y 2＝1.(2)因为曲线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2tan 2θ，y ＝2tan θ(θ为参数),①②由y ＝2tan θ,得tan θ＝y2,代入①得y 2＝2x .2.如图,以过原点的直线的倾斜角θ为参数,求圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程．解：圆的半径为12,记圆心为C ⎝⎛⎭⎫12，0,连接CP , 则∠PCx ＝2θ,故x P ＝12＋12cos 2θ＝cos 2θ,y P ＝12sin 2θ＝sin θcos θ.所以圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)．考点二参数方程的应用[典例] (2019·广州高中综合测试)已知过点P (m,0)的直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝m ＋32t ，y ＝12t(t 为参数),以平面直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 和曲线C 交于A ,B 两点,且|P A |·|PB |＝2,求实数m 的值． [解] (1)消去参数t ,可得直线l 的普通方程为x ＝3y ＋m ,即x －3y －m ＝0. 因为ρ＝2cos θ,所以ρ2＝2ρcos θ.可得曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2x ,即x 2－2x ＋y 2＝0.(2)把⎩⎨⎧x ＝m ＋32t ，y ＝12t代入x 2－2x ＋y 2＝0,得t 2＋(3m －3)t ＋m 2－2m ＝0.由Δ>0,得－1<m <3.设点A ,B 对应的参数分别为t 1,t 2,则t 1·t 2＝m 2－2m . 因为|P A |·|PB |＝|t 1·t 2|＝2,所以m 2－2m ＝±2, 解得m ＝1±3.因为－1<m <3,所以m ＝1±3. [解题技法]1．应用直线参数方程的注意点在使用直线参数方程的几何意义时,要注意参数前面的系数应该是该直线倾斜角的正、余弦值,否则参数不具备该几何含义．2．圆和圆锥曲线参数方程的应用有关圆或圆锥曲线上的动点距离的最大值、最小值以及取值范围的问题,通常利用它们的参数方程转化为三角函数的最大值、最小值求解,掌握参数方程与普通方程互化的规律是解此类题的关键．[题组训练]1．(2019·湖北八校联考)在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数),以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝ 2. (1)求曲线C 1的普通方程与曲线C 2的直角坐标方程；(2)设P 为曲线C 1上的动点,求点P 到C 2的距离的最大值,并求此时点P 的坐标．解：(1)曲线C 1的普通方程为x 23＋y 2＝1,由ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2,得ρsin θ＋ρcos θ＝2,得曲线C 2的直角坐标方程为x ＋y －2＝0. (2)设点P 的坐标为(3cos α,sin α),则点P 到C 2的距离为|3cos α＋sin α－2|2＝⎪⎪⎪⎪2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3－22,当sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝－1,即α＋π3＝－π2＋2k π(k ∈Z),α＝－5π6＋2k π(k ∈Z)时,所求距离最大,最大值为22,此时点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－32，－12. 2．(2018·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数),直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)．(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2),求l 的斜率．解：(1)曲线C 的直角坐标方程为x 24＋y 216＝1.当cos α≠0时,直线l 的直角坐标方程为y ＝tan α·x ＋2－tan α, 当cos α＝0时,直线l 的直角坐标方程为x ＝1.(2)将直线l 的参数方程代入C 的直角坐标方程,整理得关于t 的方程(1＋3cos 2α)t 2＋4(2cos α＋sin α)t －8＝0.①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内, 所以①有两个解,设为t 1,t 2,则t 1＋t 2＝0. 又由①得t 1＋t 2＝－4(2cos α＋sin α)1＋3cos 2α,故2cos α＋sin α＝0,于是直线l 的斜率k ＝tan α＝－2.考点三极坐标、参数方程的综合应用[典例] (2018·河北保定一中摸底)在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－5＋2cos t ，y ＝3＋2sin t(t 为参数),在以原点O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中,直线l 的极坐标方程为22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－1. (1)求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)设直线l 与x 轴,y 轴分别交于A ,B 两点,点P 是圆C 上任一点,求A ,B 两点的极坐标和△P AB 面积的最小值．[解] (1)由⎩⎨⎧x ＝－5＋2cos t ，y ＝3＋2sin t消去参数t ,得(x ＋5)2＋(y －3)2＝2,所以圆C 的普通方程为(x ＋5)2＋(y －3)2＝2.由22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－1,得ρcos θ－ρsin θ＝－2, 所以直线l 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0. (2)直线l 与x 轴,y 轴的交点分别为A (－2,0),B (0,2),则点A ,B 的极坐标分别为(2,π＋2k π)(k ∈Z),⎝⎛⎭⎫2，π2＋2k π(k ∈Z)．设点P 的坐标为(－5＋2cos α,3＋2sin α),则点P 到直线l 的距离d ＝|－5＋2cos α－3－2sin α＋2|2＝⎪⎪⎪⎪－6＋2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π42,当cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1,即α＋π4＝2k π(k ∈Z),α＝－π4＋2k π(k ∈Z)时,点P 到直线l 的距离取得最小值,所以d min ＝42＝22,又|AB |＝22, 所以△P AB 面积的最小值S ＝12×d min ×|AB |＝12×22×22＝4.[解题技法] 极坐标、参数方程综合问题的解题策略(1)求交点坐标、距离、线段长．可先求出直角坐标系方程,然后求解． (2)判断位置关系．先转化为平面直角坐标方程,然后再作出判断．(3)求参数方程与极坐标方程综合问题．一般是先将方程化为直角坐标方程,利用直角坐标方程来研究问题．[题组训练]1．在直角坐标系xOy 中,以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线C 1：ρ2－4ρcos θ＋3＝0,θ∈[0,2π],曲线C 2：ρ＝34sin ⎝⎛⎭⎫π6－θ,θ∈[0,2π]．(1)求曲线C 1的一个参数方程；(2)若曲线C 1和曲线C 2相交于A ,B 两点,求|AB |的值．解：(1)由ρ2－4ρcos θ＋3＝0,得x 2＋y 2－4x ＋3＝0, 所以(x －2)2＋y 2＝1. 令x －2＝cos α,y ＝sin α,所以C 1的一个参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝sin α(α为参数)．(2)因为C 2：4ρ⎝⎛⎭⎫sin π6cos θ－cos π6sin θ＝3, 所以4⎝⎛⎭⎫12x －32y ＝3,即2x －23y －3＝0,因为直线2x －23y －3＝0与圆(x －2)2＋y 2＝1相交于A ,B 两点, 所以圆心到直线的距离为d ＝|4－0－3|22＋(－23)2＝14,所以|AB |＝21－⎝⎛⎭⎫142＝2×154＝152.2．在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋t cos φ，y ＝3＋t sin φ⎝⎛⎭⎫t 为参数，φ∈⎣⎡⎦⎤0，π3,以坐标原点O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知圆C 的圆心C 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3,半径为2,直线l 与圆C 交于M ,N 两点． (1)求圆C 的极坐标方程；(2)当φ变化时,求弦长|MN |的取值范围．解：(1)由已知,得圆心C 的直角坐标为(1,3),圆的半径为2, ∴圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4, 即x 2＋y 2－2x －23y ＝0,∵x ＝ρcos θ,y ＝ρsin θ,∴ρ2－2ρcos θ－23ρsin θ＝0, 故圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎫π3－θ.(2)由(1)知,圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －23y ＝0, 将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程得,(2＋t cos φ)2＋(3＋t sin φ)2－2(2＋t cos φ)－23(3＋t sin φ)＝0, 整理得,t 2＋2t cos φ－3＝0,设M ,N 两点对应的参数分别为t 1,t 2, 则t 1＋t 2＝－2cos φ,t 1·t 2＝－3,∴|MN |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1·t 2＝4cos 2φ＋12. ∵φ∈⎣⎡⎦⎤0，π3,∴cos φ∈⎣⎡⎦⎤12，1,∴|MN |∈[13,4]．故弦长|MN |的取值范围为[13,4]．[课时跟踪检测]1．若直线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)相切,求直线的倾斜角α.解：直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)的普通方程为y ＝x tan α.圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)的普通方程为(x －4)2＋y 2＝4. 由于直线与圆相切,则|4tan α|1＋tan 2α＝2,即tan 2α＝13,解得tan α＝±33,由于α∈[0,π),故α＝π6或5π6.2．在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8＋t ，y ＝t2(t 为参数),曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2s 2，y ＝22s(s 为参数),设P 为曲线C 上的动点,求点P 到直线l 的距离的最小值．解：直线l 的普通方程为x －2y ＋8＝0. 因为点P 在曲线C 上,设P (2s 2,22s ),从而点P 到直线l 的距离d ＝|2s 2－42s ＋8|12＋(－2)2＝2(s －2)2＋45,当s ＝2时,d min ＝455. 因此当点P 的坐标为(4,4)时,曲线C 上的点P 到直线l 的距离取到最小值455.3．已知P 为半圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数,0≤θ≤π)上的点,点A 的坐标为(1,0),O 为坐标原点,点M 在射线OP 上,线段OM 与C 的弧AP 的长度均为π3.(1)以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求点M 的极坐标； (2)求直线AM 的参数方程．解：(1)由已知,点M 的极角为π3,且点M 的极径等于π3,故点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎫π3，π3.(2)由(1)知点M 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫π6，3π6,A (1,0)．故直线AM 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋⎝⎛⎭⎫π6－1t ，y ＝3π6t (t 为参数)．4．(2019·长春质检)以直角坐标系的原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知点P 的直角坐标为(1,2),点C 的极坐标为⎝⎛⎭⎫3，π2,若直线l 过点P ,且倾斜角为π6,圆C 以点C 为圆心,3为半径．(1)求直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程； (2)设直线l 与圆C 相交于A ,B 两点,求|P A |·|PB |.解：(1)由题意得直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋32t ，y ＝2＋12t (t 为参数),圆C 的极坐标方程为ρ＝6sin θ.(2)由(1)易知圆C 的直角坐标方程为x 2＋(y －3)2＝9,把⎩⎨⎧x ＝1＋32t ，y ＝2＋12t 代入x 2＋(y －3)2＝9,得t 2＋(3－1)t －7＝0,设点A ,B 对应的参数分别为t 1,t 2,∴t 1t 2＝－7, 又|P A |＝|t 1|,|PB |＝|t 2|,∴|P A |·|PB |＝7.5．(2018·南昌一模)在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t ＋2(t 为参数),以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)若直线l 1,l 2的极坐标方程分别为θ1＝π6(ρ1∈R ),θ2＝2π3(ρ2∈R ),设直线l 1,l 2与曲线C 的交点分别为O ,M 和O ,N ,求△OMN 的面积．解：(1)由参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t ＋2得普通方程为x 2＋(y －2)2＝4,把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋(y －2)2＝4,得ρ2－4ρsin θ＝0. 所以曲线C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ.(2)由直线l 1：θ1＝π6(ρ1∈R )与曲线C 的交点为O ,M ,得|OM |＝4sin π6＝2.由直线l 2：θ2＝2π3(ρ2∈R )与曲线C 的交点为O ,N ,得|ON |＝4sin 2π3＝2 3.易知∠MON ＝π2,所以S △OMN ＝12|OM |×|ON |＝12×2×23＝2 3.6．(2018·全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy 中,⊙O 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数),过点(0,－2)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ,B 两点．(1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程．解：(1)⊙O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1. 当α＝π2时,l 与⊙O 交于两点．当α≠π2时,记tan α＝k ,则l 的方程为y ＝kx － 2.l 与⊙O 交于两点需满足21＋k 2<1, 解得k <－1或k >1,即α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4或α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2. 综上,α的取值范围是⎝⎛⎭⎫π4，3π4.(2)l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝－2＋t sin α⎝⎛⎭⎫t 为参数，π4<α<3π4. 设A ,B ,P 对应的参数分别为t A ,t B ,t P , 则t P ＝t A ＋t B2,且t A ,t B 满足t 2－22t sin α＋1＝0. 于是t A ＋t B ＝22sin α,t P ＝2sin α.又点P 的坐标(x ,y )满足⎩⎨⎧x ＝t P cos α，y ＝－2＋t P sin α，所以点P 的轨迹的参数方程是⎩⎨⎧x ＝22sin 2α，y ＝－22－22cos 2α⎝⎛⎭⎫α为参数，π4<α<3π4.7．(2019·洛阳第一次统考)在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝m ＋t (t 为参数,m ∈R ),以原点O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为ρ2＝33－2cos 2θ(0≤θ≤π)．(1)写出曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)已知点P 是曲线C 2上一点,若点P 到曲线C 1的最小距离为22,求m 的值．解：(1)由曲线C 1的参数方程消去参数t ,可得C 1的普通方程为x －y ＋m ＝0. 由曲线C 2的极坐标方程得3ρ2－2ρ2cos 2θ＝3,θ∈[0,π], ∴曲线C 2的直角坐标方程为x 23＋y 2＝1(0≤y ≤1)．(2)设曲线C 2上任意一点P 的坐标为(3cos α,sin α),α∈[0,π],则点P 到曲线C 1的距离d ＝|3cos α－sin α＋m |2＝⎪⎪⎪⎪2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＋m 2.∵α∈[0,π],∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6∈⎣⎡⎦⎤－1，32,2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6∈[－2, 3 ], 当m ＋3＜0时,m ＋3＝－4,即m ＝－4－ 3. 当m －2＞0时,m －2＝4,即m ＝6.当m ＋3≥0,m －2≤0,即－3≤m ≤2时,d min ＝0,不合题意,舍去．综上,m ＝－4－3或m ＝6.8．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos θ，y ＝t sin θ(t 为参数),曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数),且直线l 交曲线C 于A ,B 两点． (1)将曲线C 的参数方程化为普通方程,并求θ＝π3时,|AB |的值；(2)已知点P (1,0),求当直线l 的倾斜角θ变化时,|P A |·|PB |的取值范围．解：(1)曲线C 的普通方程为x 23＋y 2＝1.当θ＝π3时,直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋12t y ＝32t(t 为参数),将l 的参数方程代入x 23＋y 2＝1,得5t 2＋2t －4＝0,设A ,B 对应的参数分别为t 1,t 2, 则t 1＋t 2＝－25,t 1t 2＝－45,所以|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝2215.(2)将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos θ，y ＝t sin θ代入x 23＋y 2＝1,得(1＋2sin 2θ)t 2＋2t cos θ－2＝0,设A ,B 对应的参数分别为t 3,t 4,则t 3t 4＝－21＋2sin 2θ,则|P A |·|PB |＝－t 3t 4＝21＋2sin 2θ.又0≤sin 2θ≤1,所以23≤|P A |·|PB |≤2,所以|P A |·|PB |的取值范围是⎣⎡⎦⎤23，2.[70分] 解答题标准练(一)1.(2019·广州模拟)已知{a n }是等差数列,且lg a 1＝0,lg a 4＝1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若a 1,a k ,a 6是等比数列{b n }的前3项,求k 的值及数列{a n ＋b n }的前n 项和. 解 (1)数列{a n }是等差数列,设公差为d , 且lg a 1＝0,lg a 4＝1.则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 1＋3d ＝10，解得d ＝3,所以a n ＝1＋3(n －1)＝3n －2.(2)若a 1,a k ,a 6是等比数列{b n }的前3项, 则a 2k ＝a 1·a 6, 根据等差数列的通项公式得到a k ＝3k －2,代入上式解得k ＝2；a 1,a 2,a 6是等比数列{b n }的前3项,a 1＝1,a 2＝4, 所以等比数列{b n }的公比为q ＝4. 由等比数列的通项公式得到b n ＝4n －1. 则a n ＋b n ＝3n －2＋4n －1,故S n ＝(1＋1)＋(4＋41)＋…＋(3n －2＋4n －1) ＝n (3n －1)2＋4n －14－1＝32n2－12n＋13(4n－1).2.(2019·马鞍山质检)如图,半圆柱O′O中,平面ABB′A′过上、下底面的圆心O′,O,点C,D分别在半圆弧AB,A′B′上,且»¼. AC B'D(1)求证：CD∥平面ABB′A′；(2)若2AC＝AB＝AA′,求二面角C－AD－B的余弦值.(1)证明如图,取»AB的中点M,∵OO′⊥平面ABC,∴OA,OM,OO′两两垂直,以O为坐标原点,OA,OM,OO′所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系O－xyz,连接OC,设OA ＝1,AA ′＝t ,∠AOC ＝θ(0<θ<π),则A (1,0,0),B (－1,0,0),C (cos θ,sin θ,0),D (－cos θ,sin θ,t ),于是CD →＝(－2cos θ,0,t ),而平面ABB ′A ′的一个法向量为OM →＝(0,1,0), 由于CD →·OM →＝0,CD ⊄平面ABB ′A ′, 所以CD ∥平面ABB ′A ′.(2)解设OA ＝1,∵2AC ＝AB ＝AA ′,则C ⎝⎛⎭⎫12，32，0,D ⎝⎛⎭⎫－12，32，2,CD →＝(－1,0,2),AC →＝⎝⎛⎭⎫－12，32，0,BD →＝⎝⎛⎭⎫12，32，2,设平面CAD 的法向量n 1＝(x 1,y 1,z 1), 则⎩⎨⎧CD→·n 1＝－x 1＋2z 1＝0，AC →·n 1＝－12x 1＋32y 1＝0，不妨设x 1＝23,得n 1＝(23,2,3), 设平面BAD 的法向量n 2＝(x 2,y 2,z 2), 则⎩⎨⎧BD →·n 2＝12x 2＋32y 2＋2z 2＝0，BA→·n 2＝2x 2＝0，不妨设y 2＝4,得n 2＝(0,4,－3), 所以cos 〈n 1,n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝519·19＝519, 又由图可知,二面角C －AD －B 为锐角, 故二面角C －AD －B 的余弦值为519.3.(2019·武邑调研)已知定点N (5,0),动点P 是圆M ：(x ＋5)2＋y 2＝36上的任意一点,线段NP 的垂直平分线与半径MP 相交于点Q .(1)求|QM |＋|QN |的值,并求动点Q 的轨迹C 的方程；(2)若圆x 2＋y 2＝4的切线l 与曲线C 相交于A ,B 两点,求△AOB 面积的最大值. 解 (1)由已知条件得|QN |＝|QP |,又|QM |＋|QP |＝6,∴|QM |＋|QN |＝6>25,为定值.根据椭圆定义得,动点Q 的轨迹是以点M ,N 为焦点的椭圆. 且2a ＝6,即a ＝3,c ＝5,则b ＝2, ∴动点Q 的轨迹C 的方程为x 29＋y 24＝1.(2)由题可知直线l 不可能与x 轴平行, 则可设切线方程为x ＝ty ＋m , 由直线与圆相切,得|m |1＋t2＝2,∴m 2＝4(1＋t 2).由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋m ，x 29＋y 24＝1，消去x 得(4t 2＋9)y 2＋8tmy ＋4m 2－36＝0, Δ＝(8tm )2－4(4t 2＋9)(4m 2－36) ＝144(4t 2－m 2＋9)＝144×5>0, 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),∴y 1＋y 2＝－8tm4t 2＋9,y 1y 2＝4m 2－364t 2＋9.∴|AB |＝1＋t 2|y 1－y 2| ＝1＋t 2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝1＋t 2·1254t 2＋9＝12541＋t 2＋51＋t 2≤12545＝3, 当且仅当41＋t 2＝51＋t 2,即t 2＝14时等号成立.此时|m |＝5,|AB |max ＝3,又∵S △AOB ＝12×2×|AB |＝|AB |≤3,∴当|m|＝5,|t|＝12时,△AOB的面积最大,最大值为3.4.(2019·山东师范大学附属中学模拟)某读书协会共有1 200人,现收集了该协会20名成员每周的课外阅读时间(分钟),其中某一周的数据记录如下：75,60,35,100,90,50,85,170,65,70,125,75,70,85,155,110,75,130,80,100.对这20个数据按组距30进行分组,并统计整理,绘制了如下尚不完整的统计图表：阅读时间分组统计表(设阅读时间为x分钟).(1)写出m,n的值,请估计该读书协会中人均每周的课外阅读时长,以及该读书协会中一周阅读时长不少于90分钟的人数；(2)该读书协会拟发展新成员5人,记新成员中每周阅读时长在[60,90)之间的人数为X,以上述统计数据为参考,求X的分布列和期望；(3)以这20人为样本完成下面的2×2列联表,并回答能否有90%的把握认为“每周至少阅读120分钟与性别有关”？附：K2＝n(ad－bc)2(a＋c)(b＋d)(a＋b)(c＋d).解(1)m＝4,n＝2,该读书协会中人均每周的课外阅读时长为45×220＋75×1020＋105×420＋135×220＋165×220＝93(分钟),由样本估计总体,一周阅读时长不少于90分钟的人数为 1 200×4＋2＋220＝480.(2)X ～B ⎝⎛⎭⎫5，12, 由题意知,X 的可能取值为0,1,2,3,4,5.且P (X ＝0)＝C 05⎝⎛⎭⎫125＝132,P (X ＝1)＝C 15⎝⎛⎭⎫125＝532, P (X ＝2)＝C 25⎝⎛⎭⎫125＝1032＝516, P (X ＝3)＝C 35⎝⎛⎭⎫125＝1032＝516, P (X ＝4)＝C 45⎝⎛⎭⎫125＝532,P (X ＝5)＝C 55⎝⎛⎭⎫125＝132, 所以X 的分布列如下：E (X )＝5×12＝2.5.(3)2×2列联表如下：k ＝20(3×8－1×8)24×16×11×9≈0.808<2.706,所以没有90%的把握认为“每周至少阅读120分钟与性别有关”.5.设函数f (x )＝(x ＋1)ln x －a (x －1)(a ∈R ). (1)当a ＝1时,求f (x )的单调区间；(2)若f (x )≥0对任意x ∈[1,＋∞)恒成立,求实数a 的取值范围；(3)当θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时,试比较12ln(tan θ)与tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4的大小,并说明理由. 解 (1)当a ＝1时,f (x )＝(x ＋1)ln x －(x －1), f ′(x )＝ln x ＋1x,设g (x )＝ln x ＋1x (x >0),则g ′(x )＝x －1x 2,当x ∈(0,1)时,g ′(x )<0,g (x )单调递减, 当x ∈(1,＋∞)时,g ′(x )>0,g (x )单调递增, g (x )min ＝g (1)＝1>0,∴f ′(x )>0.故f (x )在区间(0,＋∞)上单调递增, 无单调递减区间.(2)f ′(x )＝ln x ＋1x ＋1－a ＝g (x )＋1－a ,由(1)可知g (x )在区间[1,＋∞)上单调递增, 则g (x )≥g (1)＝1,即f ′(x )在区间[1,＋∞)上单调递增,且f ′(1)＝2－a , ①当a ≤2时,f ′(x )≥0, f (x )在区间[1,＋∞)上单调递增, ∴f (x )≥f (1)＝0满足条件；②当a >2时,设h (x )＝ln x ＋1x ＋1－a (x ≥1),则h ′(x )＝1x －1x 2＝x －1x 2≥0(x ≥1),∴h (x )在区间[1,＋∞)上单调递增, 且h (1)＝2－a <0,h (e a )＝1＋e －a >0, ∴∃x 0∈[1,e a ],使得h (x 0)＝0, ∴当x ∈[1,x 0)时,h (x )<0,f (x )单调递减, 即当x ∈[1,x 0)时,f (x )≤f (1)＝0,不满足题意. 综上所述,实数a 的取值范围为(－∞,2].(3)由(2)可知,取a ＝2,当x >1时,f (x )＝(x ＋1)ln x －2(x －1)>0, 即12ln x >x －1x ＋1, 当0<x <1时,1x >1,∴12ln 1x >1x －11x ＋1⇔ln x 2<x －1x ＋1, 又∵tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝tan θ－1tan θ＋1,∴当0<θ<π4时,0<tan θ<1,12ln(tan θ)<tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4；当θ＝π4时,tan θ＝1,12ln(tan θ)＝tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4；当π4<θ<π2时,tan θ>1, 12ln(tan θ)>tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4. 综上,当θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4时,12ln(tan θ)<tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4；当θ＝π4时,12ln(tan θ)＝tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4；当θ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2时,12ln(tan θ)>tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4. 6.在极坐标系中,曲线C 的极坐标方程为ρ＝6sin θ,点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4,以极点为坐标原点,极轴为x 轴正半轴,建立平面直角坐标系. (1)求曲线C 的直角坐标方程和点P 的直角坐标；(2)过点P 的直线l 与曲线C 相交于A ,B 两点,若|P A |＝2|PB |,求|AB |的值. 解 (1)由ρ＝6sin θ,得ρ2＝6ρsin θ, 又x ＝ρcos θ,y ＝ρsin θ, ∴x 2＋y 2＝6y ,。