2001年上海市高考数学试卷(理科)

2001年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）已知812(,1]()log ,(1,)xx f x x x则满足1()4f x 的x 值为．2．（4分）设数列{}n a 的通项为*27()na n nN ，则1215||||||a a a ．3．（4分）设P 为双曲线2214x y上一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M 的轨迹方程是．4．（4分）设集合{|2(815),},{|cos0,}2x A x lgxlg xxR Bx xR ，则AB 的元素个数为个．5．（4分）抛物线2430xy 的焦点坐标为．6．（4分）设数列{}n a 是公比为0q 的等比数列，n S 是它的前n 项和，若lim 7nnS ，则此数列的首项1a 的取值范围为．7．（4分）某餐厅供应客饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2菜2素共4种不同的品种．现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上的不同选择，则餐厅至少还需要不同的素菜品种种．（结果用数值表示）8．（4分）在2521(425)(1)x x x的展开式中，常数项为．9．（4分）设sin x，且5[,]66，则arccos x 的取值范围是．10．（4分）直线122y x 与曲线sin (cos2x y为参数）的交点坐标是．11．（4分）已知两个圆：221xy①；22(3)1x y ②，则由①式减去②式可得上述两个圆的对称轴方程．将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，即要求得到一个更一般的命题，而已知命题应成为所推广命题的一个特例，推广的命题为．12．（4分）据报道，我国目前已成为世界上受荒漠化危害最严重的国家之一，如表示我国土地沙化总面积在上个世纪五六十年代、七八十年代、九十年代的变化情况，由图中的相关信息，可将上述有关年代中，我国年平均土地沙化面积在图中图示为：．二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分．13．（4分）3a是直线230axya和直线3(1)7x a ya平行且不重合的()A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件14．（4分）如图，在平行六面体1111ABCDA B C D 中，M 为AC 与BD 的交点，若11A B a ，11A D b ，1A Ac ．则下列向量中与1B M 相等的向量是()A ．1122ab c B ．1122ab c C ．1122ab c D ．1122ab c 15．（4分）已知a ，b 为两条不同的直线，，为两个不同的平面，且a，b，则下列命题中的假命题是()A ．若//a b ，则//B ．若，则a bC ．若a ，b 相交，则，相交D ．若，相交，则a ，b 相交16．（4分）用计算器验算函数(1)lgx yxx 的若干个值，可以猜想下列命题中的真命题只能是()A ．lgx yx 在(1,)上是单调减函数B ．lgx y x ，(1,)x 有最小值C ．lgx y x ，(1,)x 的值域为3(0,]3lg D ．lim0,nlgn nNn三．解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．17．（12分）已知a 、b 、c 是ABC 中A 、B 、C 的对边，S 是ABC 的面积，若4a，5b，53S，求c 的长度．18．（12分）设1F ，2F 为椭圆22194xy的两个焦点，P 为椭圆上的一点，已知P ，1F ，2F 是一个直角三角形的三个顶点，且12||||PF PF ，求12||||PF PF 的值．19．（14分）在棱长为a 的正方体OABC O A B C 中，E 、F 分别是棱AB 、BC 上的动点，且AEBF ．（Ⅰ）求证：A FC E ；（Ⅱ）当三棱锥BBEF 的体积取得最大值时，求二面角B EFB 的大小．（结果用反三角函数表示）20．（14分）对任意一个非零复数z ，定义集合21{|,}n zMw w zn N ．（Ⅰ）设是方程12xx的一个根．试用列举法表示集合a M ，若在a M 中任取两个数，求其和为零的概率P ；（Ⅱ）设复数z M ，求证：z MM ．21．（16分）用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用1个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的12，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上．设用x 单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数()f x ．（Ⅰ）试规定(0)f 的值，并解释其实际意义；（Ⅱ）试根据假定写出函数()f x 应该满足的条件和具有的性质；（Ⅲ）设21()1f x x．现有(0)a a单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较省？说明理由．22．（18分）对任意函数()f x ，xD ，可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下：①输入数据0x D ，经按列发生器，其工作原理如图：②若1x D ，则数列发生器结束工作；若1x D ，则将1x 反馈回输入端，再输出21()x f x ，并依此规律继续下去，现定义42()1xf x x ．（Ⅰ）若输入4965x ，则由数列发生器产生数列{}n x ．请写出数列{}n x 的所有项：（Ⅱ）若要数列发生器产生一个无穷的常数数列，试求输入的初始数据0x 的值；（Ⅲ）若输入0x 时，产生的无穷数列{}n x 满足；对任意正整数n ，均有1nn x x ，求0x 的取值范围．2001年上海市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）已知812(,1]()log ,(1,)xx f x x x则满足1()4f x 的x 值为3．【解答】解：1x,时，1()24xf x ，2x ，不合题意，舍去；1x时，811log 4x，14813x综上所示，3x 故答案为：32．（4分）设数列{}n a 的通项为*27()n a n n N ，则1215||||||a a a 153．【解答】解：由270n a n…，解得72n …，所以数列的前3项为负数，则1215||||||a a a 531135231211912122153．故答案为：1533．（4分）设P 为双曲线2214xy上一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M 的轨迹方程是2241xy．【解答】解：设(,)M x y ，则(2,2)P x y ，代入双曲线方程得2241xy，即为所求．点M 的轨迹方程2241x y．答案：2241xy4．（4分）设集合{|2(815),},{|cos0,}2x A x lgxlg xxR Bx xR ，则AB 的元素个数为1个．【解答】解：由2(815)lgx lg x，可得28150xx ，3x或5x ，检验知符合题意，{3A ，5}，3x 时，3cos02；5x时，5cos 02，AB 的元素个数为1个故答案为：15．（4分）抛物线2430x y 的焦点坐标为1(0,)4．【解答】解：由2430x y得，234()4xy ，表示顶点在3(0,)4，开口向上的抛物线，2p，故焦点坐标是1(0,)4，故答案为：1(0,)4．6．（4分）设数列{}n a 是公比为0q 的等比数列，n S 是它的前n 项和，若lim 7nnS ，则此数列的首项1a 的取值范围为(0,7)．【解答】解：若该等比数列是一个递增的等比数列，则Sn 不会有极限．因此这是一个无穷递缩等比数列，设公比为q ，则0||1q 亦即，10q 且01q ．而等比数列前n 项和1(1)1na q Snq，由于其中01q ，因此lim 0nnq，而根据极限的四项运算法则有，1lim 71nna S q，因此17(1)77a q q 解得1(0,7)a ．故答案为：(0,7)．7．（4分）某餐厅供应客饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2菜2素共4种不同的品种．现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上的不同选择，则餐厅至少还需要不同的素菜品种7种．（结果用数值表示）【解答】解：设素菜n 种，则225200(1)40n C n n e 厖，所以n 的最小值为7．故答案为：78．（4分）在2521(425)(1)x x x的展开式中，常数项为15．【解答】解：由于2521555521(425)(1)(x x xx CxCx，故展开式中，常数项为1554(5)15C C ，故答案为15．9．（4分）设sinx，且5[,]66，则arccos x 的取值范围是2[0,]3．【解答】解：由题意可得112x 剟，而a r c c o s x 表示在区间[0，]上余弦值等于x 的一个角，20arccos 3x 剟，故答案为2[0,]3．10．（4分）直线122y x 与曲线sin (cos2x y 为参数）的交点坐标是11(,)22．【解答】解：2cos212sin，曲线方程化为212y x ，与直线122yx联立，解得：1212xy或3272x y，由1sin 1剟，故3272xy不合题意，舍去，则直线与曲线的交点坐标为11(,)22．故答案为：11(,)22．11．（4分）已知两个圆：221xy①；22(3)1xy ②，则由①式减去②式可得上述两个圆的对称轴方程．将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，即要求得到一个更一般的命题，而已知命题应成为所推广命题的一个特例，推广的命题为设圆方程222x c y d r②(a c或)b d，()()x a y b r①222()()由①②，得两圆的对称轴方程．【解答】解：已知两个圆：221x y②，则由①式减去②式可得上述(3)1x y①；22两个圆的对称轴方程．将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广：设圆方程222x c y d r②(a c或)()()()()x a y b r①222b d，由①②，得两圆的对称轴方程．故答案为：设圆方程222()()x c y d r②(a c或)x a y b r①222()()b d，由①②，得两圆的对称轴方程．12．（4分）据报道，我国目前已成为世界上受荒漠化危害最严重的国家之一，如表示我国土地沙化总面积在上个世纪五六十年代、七八十年代、九十年代的变化情况，由图中的相关信息，可将上述有关年代中，我国年平均土地沙化面积在图中图示为：．【解答】解：由图1可知：19501960：土地沙化面积增加了 1.6（万平方公里），平均沙化面积为：0.16（万平方千米）16（百平方公里）19601970：平均沙化面积为：0.16（万平方千米）16（百平方公里）19701990：平均沙化面积为：0.21（万平方千米）21（百平方公里）19902000：平均沙化面积为：0.25（万平方千米）25（百平方公里）如图：二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分．13．（4分）3a是直线230axya和直线3(1)7x a ya平行且不重合的()A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件【解答】解：当3a时，两直线分别为：3290xy，3240xy，两直线斜率相等，则平行且不重合．若两直线平行且不重合，则23317a a a a3a综上所述，3a 是两直线平行且不重合的充要条件．故选：C ．14．（4分）如图，在平行六面体1111ABCDA B C D 中，M 为AC 与BD 的交点，若11A B a ，11A D b ，1A Ac ．则下列向量中与1B M 相等的向量是()A ．1122ab cB ．1122ab c C ．1122ab c D ．1122ab c【解答】解：由题意可得1111111111111()222B M B BBMA ABDA AB D cA D AB 111()222cba abc ，故选：A ．15．（4分）已知a ，b 为两条不同的直线，，为两个不同的平面，且a，b，则下列命题中的假命题是()A ．若//a b ，则//B ．若，则abC ．若a ，b 相交，则，相交D ．若，相交，则a ，b 相交【解答】解：视a ，b 为正方体中线，，为正方体中面，观察正方体解决．对于A ，根据面面平行的判定定理可知其正确；对于B ，根据线面垂直的性质定理可知“ab ”，故正确；对于C ，根据反证法思想可知该命题正确；对于D ，若，相交，则a ，b 可能相交，也可能异面，故D 为假命题．故选：D ．16．（4分）用计算器验算函数(1)lgx yx x的若干个值，可以猜想下列命题中的真命题只能是()A ．lgx yx 在(1,)上是单调减函数B ．lgx y x ，(1,)x 有最小值C ．lgx y x ，(1,)x 的值域为3(0,]3lg D ．lim0,nlgn nNn【解答】解：lgx yx的导数22110xlgxlge lgxxln yxx ，当(1,)xe 时，0y；当(,)x e 时，0y可得函数在(1,)e 上为增函数，在(,)e 为减函数，最大值f （e ）lge e，值域为(0，]lge e 由此可得A 、B 、C 三项都不正确由极限的运算法则，可得1110limlim lim110nnnlgn nln nnln 故D 项正确故选：D ．三．解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．17．（12分）已知a 、b 、c 是ABC 中A 、B 、C 的对边，S 是ABC 的面积，若4a，5b，53S，求c 的长度．【解答】解：1sin 2Sab C ，3sin 2C，（4分）于是60C ，或120C，（6分）又2222cos c abab C （8分）当60C 时，222cabab ，21c（10分）当120C时，222ca bab ，61c．（12分）18．（12分）设1F ，2F 为椭圆22194xy的两个焦点，P 为椭圆上的一点，已知P ，1F ，2F 是一个直角三角形的三个顶点，且12||||PF PF ，求12||||PF PF 的值．【解答】解：由题意得3a，2b，5c ，1(5F ，0)，2F (5，0)．当2PF x 轴时，P 的横坐标为5，其纵坐标为43，124426||73344||233a PF PF ．当12PF PF 时，设2||PF m ，则1||26PF am m ，30m ，由勾股定理可得2224(6)c m m ，即202212m36m ，解得2m 或4m（舍去），故12||622||2PF PF ．综上，12||||PF PF 的值等于72或2．19．（14分）在棱长为a 的正方体OABC O A B C 中，E 、F 分别是棱AB 、BC 上的动点，且AEBF ．（Ⅰ）求证：A FC E ；（Ⅱ）当三棱锥B BEF 的体积取得最大值时，求二面角B EF B 的大小．（结果用反三角函数表示）【解答】()I 证明：如图，以O 为原点建立空间直角坐标系．设AE BFx ，则(A a ，0，)a 、(F ax ，a ，0)、(0C ，a ，)a 、(E a ，x ，0){,,},{,,}A Fx a a C Ea x a a ．（4分）2()0A F C E xaa xa a，A FC E ．()II 解：记BF x ，BEy ，则x ya ，三棱锥B BEF 的体积2311()66224a x y Vxya a ,，当且仅当2a xy时，等号成立．因此，三棱锥B BEF 的体积取得最大值时，2a BE BF．（10分）过B 作BDEF 交EF 于D ，连B D ，可知B D EF ．B DB 是二面角B EF B 的平面角．在直角三角形BEF 中，直角边,2a BE BF BD 是斜边上的高，24BDa ，tan22B B B DBBD，故二面角B EF B 的大小为arctan22．（14分）20．（14分）对任意一个非零复数z ，定义集合21{|,}n zMw w zn N ．（Ⅰ）设是方程12xx的一个根．试用列举法表示集合a M ，若在a M 中任取两个数，求其和为零的概率P ；（Ⅱ）设复数z M ，求证：z MM ．【解答】解：（Ⅰ）是方程2210xx 的根，12221122i i 或．（2分）当12(1)2i 时，222111111(),n nn ii ，11111112222,,,(1),(1),(1),(1)2222iiMi i i i ．当22(1)2i 时，22i ，212222112222,,,(1),(1),(1),(1)2222iiMMi i i i ．当22(1)2i 时，22i ，21222211{,,,}iiMM．因此，不论取哪一个值，集合M是不变的，即2222{(1),(1),(1),(1)}2222M i i i i ．（8分）于是，在a M 中任取两个数，求其和为零的概率24213P C．（10分）（Ⅱ）证明：z M ，存在m N ，使得21m z．（12分）于是对任意nN ，21(21)(21)n m n z，由于(21)(21)mn 是正奇数，21n z M ，所以z MM ．（14分）21．（16分）用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用1个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的12，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上．设用x 单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数()f x ．（Ⅰ）试规定(0)f 的值，并解释其实际意义；（Ⅱ）试根据假定写出函数()f x 应该满足的条件和具有的性质；（Ⅲ）设21()1f x x．现有(0)a a单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较省？说明理由．【解答】解：（1）(0)1f ，表示没有用水洗时，蔬菜上残留的农药量将保持原样．（2）函数()f x 应该满足的条件和具有的性质是：1(0)1,(1)2f f 在[0，)上()f x 单调递减，且0()1f x ,．（3）设仅清洗一次，残留在农药量为1211f a，清洗两次后，残留的农药量为22222116[](4)1()2f a a，则2212222(8)(1)(4)a a f f aa；于是，当22a 时，清洗两次后残留在农药量较少；当22a 时，两种清洗方法具有相同的效果；当022a时，一次清洗残留的农药量较少．22．（18分）对任意函数()f x ，xD ，可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下：①输入数据0x D ，经按列发生器，其工作原理如图：②若1x D ，则数列发生器结束工作；若1x D ，则将1x 反馈回输入端，再输出21()x f x ，并依此规律继续下去，现定义42()1xf x x ．（Ⅰ）若输入4965x ，则由数列发生器产生数列{}n x ．请写出数列{}n x 的所有项：（Ⅱ）若要数列发生器产生一个无穷的常数数列，试求输入的初始数据0x 的值；（Ⅲ）若输入0x 时，产生的无穷数列{}n x 满足；对任意正整数n ，均有1nn x x ，求0x 的取值范围．【解答】解：（1）()f x 的定义域(D，1)(1，)，数列{}n x 只有三项：123111,,1195x x x ．（3分）（2）42()1xf x x x ，即2320xx，1x，或2x．即当01x 或2时，1421nn n nx x x x ．故当01x 时，1nx ；当02x 时，2()nx n N ．（9分）（3）解不等式421x x x，得1x或12x．要使，12x x ，则11x 或112x ．（12分）对于函数426()411x f x x x，若11x ，则21()4x f x ，322()x f x x ．（15分）当112x 时，2()x f x ，且212x ，依此类推，可得数列{}n x 的所有项均满足1()nn x x nN ．综上所述，1(1,2)x ．由10()x f x ，得0(1,2)x ．（18分）。