甘肃省兰州市2017年高考实战模拟考试数学试题(理)含答案

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2017年甘肃省兰州市高考数学二模试卷(理科)(解析版)

20．（12 分）已知椭圆 C 的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，左顶点为 A，左焦点为 F1（﹣ 2，0），点 B（2，）在椭圆 C 上，直线 y＝kx（k≠0）与椭圆 C 交于 P，Q 两点，直
10．（5 分）已知长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中， B1C， C1D 与底面 ABCD 所成的角分别为 60° 和 45°，则异面直线 B1C 和 C1D 所成角的余弦值为（ A． B． C．） D．
11．（5 分）已知 F1，F2 为双曲线
﹣
＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，以 F1F2 为直
径的圆与双曲线右支的一个交点为 P，PF1 与双曲线相交于点 Q，且|PQ|＝2|QF1|，则该
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双曲线的离心率为（ A．
） B．2 C． D．，函数 f（x）＝（x ﹣2）⊗ ）
2
12．（5 分）已知 a，b∈R，定义运算“⊗” ：a⊗b＝
（x﹣1）， x∈R，若方程（ f x） ﹣a＝0 只有两个不同实数根，则实数 a 的取值范围是（ A．[﹣2，﹣1]∪（1，2） C．[﹣2，﹣1]∪[1，2] B．（﹣2，﹣1]∪（1，2] D．（﹣2，﹣1]∪（1，2）
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对服务好评对商品好评对商品不满意合计
对服务不满意
合计
（2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的 5 次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量 X： ①求对商品和服务全好评的次数 X 的分布列（概率用组合数算式表示）； ②求 X 的数学期望和方差． P（K ≥ k） k （ 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

2017届甘肃省高三第四次实战模拟演练数学(理)试题word版含答案

2017届甘肃省高三第四次实战模拟演练数学（理）试题第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．1.已知集合}4,2,0{=A ，}03|{2≥-=x x x B ，则集合B A 的子集个数为 A ．8 B ．4 C ．3 D ．2 2、若iiz215-=（i 是虚数单位），则z 的共轭复数为 A. i -2 B. i +2 C. i --2 D. i +-23、如图, 在平行四边形ABCD 中,E 为BC 的中点, 且DE xAB y AD =+ ,则A ．11,2x y ==- B ．11,2x y == C ．11,2x y =-= D ．11,2x y =-=-4、已知数列{a n }、{b n }满足b n =log 2a n ，n∈N +，其中{b n }是等差数列，且a 9a 2009=4，则b 1+b 2+b 3+…+b 2017=A ．2017B ．2016C ．D ．log 220175、中国古代数学名著《九章算术》中记载：今有大夫、不更、簪袅、上造、公士凡五人，共猜得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？其意是：今有大夫、不更、簪袅、上造、公士凡五人，他们共猎获五只鹿，欲按其爵级高低依次递减相同的量来分配，问各得多少.若五只鹿的鹿肉共500斤，则不更、簪袅、上造这三人共分得鹿肉斤数为 A ．200 B ．300 C ．3500D ．400 6、设50log ,18log ,3534.0===c b a ，则c b a ,,的大小关系是 A ．c b a >> B ．b c a >> C. c a b >> D ．a c b >>7、若]6,1[∈a ，则函数xax y +=2在区间),2[+∞内单调递增的概率是A ．51 B ．52 C ．53 D ．54 8、下面左图是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号同学的成绩依次为1A 、2A 、⋅⋅⋅⋅⋅⋅、16A ，如图是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的算法流程图，那么该算法流程图输出的结果是 A ．6 B ．10 C ．91 D ．929、如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是 A. 412π+ B. 46π+ C. 812π+ D . 86π+10、椭圆()2211mx y m +=>的短轴长为22m ,则m =A.22B. 2C. 2 D . 4 11、在直角△ABC 中，∠BCA=90°，CA=CB=1，P 为AB边上的点=λ，若•≥•，则λ的最小值是 A．B ．1 C．D．12、设函数()()1232,2x f x x a g x x -=-+=-.若在区间()0,3上,()f x 的图象在()g x 的图象上方,则实数a 的取值范围为A ．()2,+∞B ．[)2,+∞C ．()3,+∞D ．[)3,+∞第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上．13.已知实数,x y 满足1218y y x x y ≥⎧⎪≤-⎨⎪+≤⎩,则z x y =+的最小值为．14、已知11eea dx x =⎰,则二项式51a x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x -的系数为。

甘肃省2017-2018学年高考数学一模试卷(理科) Word版含解析

2017-2018学年甘肃省高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U=R，集合M={x|0≤x＜5}，N={x|x≥2}，则（∁U N）∩M=（）A．{x|0≤x＜2}B．{x|0＜x≤2}C．{x|0＜x＜2}D．{x|0≤x≤2}2．已知=b+i（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．33．等比数列{a n}的各项均为正数，且a1a8=9，则log3a l+log3a2+…+log3a8=（）A．10 B．9 C．8 D．74．已知定义域为R的函数f（x）不是偶函数，则下列一定为真的是（）A．∀x∈R，f（﹣x）≠f（x）B．∀x∈R，f（﹣x）≠﹣f（x）C．∃x0∈R，f（﹣x0）≠f（x0）D．∃x0∈R，f（﹣x0）≠﹣f（x0）5．若变量x，y满足约束条件，且z=x+y的最大值和最小值分别为m和n，则m﹣n=（）A．5 B．6 C．7 D．86．设非零向量，，满足||=||=||， +=，则向量与向量的夹角为（）A．150°B．120°C．60°D．30°7．如图，网格纸上小正方形的边长为l，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的各个面中最大面的面积为（）A．l B．2 C．2D．48．如图表示的是求首项为2016，公差为﹣3的等差数列{a n}前n项和的最大值的程序框图，则①和②处可填写（）A．①a＜0？，②a=a﹣3 B．①a＜0？，②a=a+3 C．①a＞0？，②a=a﹣3 D．①a ＞0？，②a=a+39．已知A（﹣1，0）、B（2，1）、C（5，﹣8），△ABC的外接圆在点A处的切线为l，则点B到直线l的距离为（）A．B．1 C．D．10．已知抛物线C：y2=16x，焦点为F，直线l：x=﹣1，点A∈l，线段AF与抛物线C的交点为B，若=5，则||=（）A．6B．35 C．4D．4011．如图，矩形ABCD中AD边的长为1，AB边的长为2，矩形ABCD位于第一象限，且顶点A，D分别在x轴y轴的正半轴上（含原点）滑动，则的最大值是（）A．B．5 C．6 D．712．已知函数f（x）的导函数为f′（x），若∀x∈（0，+∞），都有xf′（x）＜2f（x）成立，则（）A．2f（）＞3f（）B．2f（1）＜3f（）C．4f（）＜3f（2）D．4f （1）＞f（2）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若（a﹣）5展开式中的常数项为﹣40，则a______．14．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该球的表面积为12π，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，则此三棱柱的体积为______．15．若数列{a n}满足a1=2，a n+1=a n+log2（1﹣），则a32=______．16．若函数f（x）=x2﹣4e x﹣ax在R上存在单调递增区间，则实数a的取值范围为______．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，若=（cos2，1），=（cos2（B+C），1），且∥．（I）求角A；（Ⅱ）当a=6，且△ABC的面积S满足=时，求边c的值和△ABC的面积．18．某射击训练基地教练为了对某运动员的成绩做一分析，随机抽取该名运动员的t次射击（Ⅱ）在所取的样本中，从不少于9.9环的成绩中任取3次，X表示所取成绩不少于10.4的次数，求随机变量X的分布列及数学期望．19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，F、G、H分别是PC、AB、BC的中点，PA⊥平面ABC，PA=AB=AC=2，二面角B﹣PA﹣C为120°．（I）证明：FG⊥AH；（Ⅱ）求二面角A﹣CP﹣B的余弦值．20．已知椭圆C：=l（a＞b＞0），F1、F2为左右焦点，下顶点为B1，过F的直线l交椭圆于M、N两点，当直线l的倾斜角为时，F1B⊥l．（I）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）若P为椭圆上一动点，直线PM、PN的斜率记为k PM、k PN，且不为零，当直线l垂直于x轴时，是否存在最小值？若存在，试求出该最小值；若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=ln（1+x）一（a＞0）．（I）当f（x）在[0，+∞）内单调递增时，求实数a的取值范围；（Ⅱ）证明：．【选修4-1：几何证明选讲】22．如图所示，AB为圆D的直径，BC为圆O的切线，过A作OC的平行线交圆O于D，BD与OC相交于E．（I）求证：CD为圆O的切线；（Ⅱ）若OA=AD=4，求OC的长．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．已知在直角坐标系xOy中，曲线C的方程是（x﹣2）2+（y﹣l）2=4，直线l经过点P（3，），倾斜角为，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）写出曲线C的极坐标方程和直线l的参数方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|OA|•|OB|的值．【选修4-5：不等式选讲】24．设函数f（x）=|x﹣a|（a∈R）．（I）当a=3时，解不等式f（x）≥4﹣|x+l|；（Ⅱ）若不等式f（x）≤l的解集为[1，3]，且（m＞0，n＞0），求m+2n的最小值．2016年甘肃省高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U=R，集合M={x|0≤x＜5}，N={x|x≥2}，则（∁U N）∩M=（）A．{x|0≤x＜2}B．{x|0＜x≤2}C．{x|0＜x＜2}D．{x|0≤x≤2}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据补集的定义求出N在全集中的补集∁U N，再求（∁U N）∩M即可．【解答】解：∵全集U=R，集合M={x|0≤x＜5}，N={x|x≥2}，∴∁U N={x|x＜2}则（∁U N）∩M={x|0≤x＜2}．故选：A．2．已知=b+i（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．3【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】先化简复数，再利用复数相等，解出a、b，可得结果．【解答】解：由得a+2i=bi﹣1，所以由复数相等的意义知a=﹣1，b=2，所以a+b=1另解：由得﹣ai+2=b+i（a，b∈R），则﹣a=1，b=2，a+b=1．故选B．3．等比数列{a n}的各项均为正数，且a1a8=9，则log3a l+log3a2+…+log3a8=（）A．10 B．9 C．8 D．7【考点】等比数列的通项公式．【分析】利用等比数列的性质和对数运算法则求解．【解答】解：∵等比数列{a n}的各项均为正数，且a1a8=9，∴log3a l+log3a2+…+log3a8==4log39=8．故选：C．4．已知定义域为R的函数f（x）不是偶函数，则下列一定为真的是（）A．∀x∈R，f（﹣x）≠f（x）B．∀x∈R，f（﹣x）≠﹣f（x）C．∃x0∈R，f（﹣x0）≠f（x0）D．∃x0∈R，f（﹣x0）≠﹣f（x0）【考点】全称；特称．【分析】根据定义域为R的函数f（x）不是偶函数，可得：∀x∈R，f（﹣x）=f（x）为假；则其否定形式为真，可得答案．【解答】解：∵定义域为R的函数f（x）不是偶函数，∴∀x∈R，f（﹣x）=f（x）为假；∴∃x0∈R，f（﹣x0）≠f（x0）为真，故选：C．5．若变量x，y满足约束条件，且z=x+y的最大值和最小值分别为m和n，则m﹣n=（）A．5 B．6 C．7 D．8【考点】简单线性规划．【分析】作出可行域，将目标函数变形为y=﹣x+z，根据可行域找到直线截距取得最大值和最小值时的最优解．【解答】解：作出约束条件表示的可行域如图：由z=x+y得y=﹣x+z，由可行域可知当直线y=﹣x+z经过点A时，直线截距最大，即z最大，当直线y=﹣x+z经过点B时，直线截距最小，即z最小．解方程组得x=4，y=5．∴z的最大值m=4+5=9．解方程组得x=1，y=2．∴z的最小值n=1+2=3．∴m﹣n=6．故选：B．6．设非零向量，，满足||=||=||， +=，则向量与向量的夹角为（）A．150°B．120°C．60°D．30°【考点】平面向量数量积的运算．【分析】作出图形，根据向量的几何意义和几何知识求出夹角．【解答】解：设，，以，为邻边作平行四边形OACB，则=．∵||=||，∴四边形OACB是菱形．设OA=AC=1，则OC=．∴cos∠AOC==．∴∠AOC=30°．故选：D．7．如图，网格纸上小正方形的边长为l，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的各个面中最大面的面积为（）A．l B．2 C．2D．4【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图知几何体是三棱锥为棱长为2的正方体一部分，画出直观图，由正方体的性质求出最长的棱，判断出该四面体各面中最大的面，由三角形的面积公式求出即可．【解答】解：根据三视图知几何体是：三棱锥P﹣ABC为棱长为2的正方体一部分，直观图如图所示：由正方体的性质可得，最长棱为PC=PB=BC=2，其他棱长都小于2，∴△PBC是该四面体各面中最大的面，∴△PBC的面积S==2，故选：C．8．如图表示的是求首项为2016，公差为﹣3的等差数列{a n}前n项和的最大值的程序框图，则①和②处可填写（）A．①a＜0？，②a=a﹣3 B．①a＜0？，②a=a+3 C．①a＞0？，②a=a﹣3 D．①a ＞0？，②a=a+3【考点】程序框图．【分析】由程序设计意图可知，②处应求通项，有a=a﹣3，又由此数列首项为正数，公差为负数，求前n项和的最小值只需累加至最后一个正项即可，从而可求①处可填写：a＞0．【解答】解：由程序设计意图可知，S表示此等差数列{a n}前n项和，故②处应该填写a=a ﹣3，又因为此数列首项为正数，公差为负数，求前n项和的最大值只需累加至最后一个正项即可，故①处可填写：a＞0．故选：A．9．已知A（﹣1，0）、B（2，1）、C（5，﹣8），△ABC的外接圆在点A处的切线为l，则点B到直线l的距离为（）A．B．1 C．D．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】先判断出△ABC为以B为直角的直角三角形，进而求出△ABC的外接圆在点A处的切线l的方程，代入点到直线距离公式，可得答案．【解答】解：∵A（﹣1，0）、B（2，1）、C（5，﹣8），∴=（3，1），=（3，﹣9），∴•=0，故⊥，故△ABC为以B为直角的直角三角形，故AC为△ABC的外接圆的直径，∵k AC==﹣，故△ABC的外接圆在点A处的切线l的斜率为，故△ABC的外接圆在点A处的切线l的方程为y=（x+1），即3x﹣4y+3=0，故点B到直线l的距离d==1，故选：B．10．已知抛物线C：y2=16x，焦点为F，直线l：x=﹣1，点A∈l，线段AF与抛物线C的交点为B，若=5，则||=（）A．6B．35 C．4D．40【考点】抛物线的简单性质．【分析】设A（﹣1，a），B（m，n），且n2=16m，利用向量共线的坐标表示，由=5，确定A，B的坐标，即可求得||．【解答】解：由抛物线C：y2=16x，可得F（4，0），设A（﹣1，a），B（m，n），且n2=16m，∵=5，∴﹣1﹣4=5（m﹣4），∴m=3，∴n=±4，∵a=5n，∴a=±20，∴||==35．故选：B．11．如图，矩形ABCD中AD边的长为1，AB边的长为2，矩形ABCD位于第一象限，且顶点A，D分别在x轴y轴的正半轴上（含原点）滑动，则的最大值是（）A．B．5 C．6 D．7【考点】平面向量数量积的运算．【分析】设A（a，0），D（0，b），∠BAX=θ，利用AD=1得出a，b之间的关系，用a，b，θ表示出B，C的坐标，代入数量积公式运算得出关于θ的三角函数，利用三角函数的性质求出最大值．【解答】解：设A（a，0），D（0，b），∠BAX=θ，则B（a+2cosθ，2sinθ），C（2cosθ，b+2sinθ）．∵AD=1，∴a2+b2=1．=2cosθ（a+2cosθ）+2sinθ（b+2sinθ）=4+2acosθ+2bsinθ=4+sin（θ+φ）=4+2sin （θ+φ）．∴的最大值是4+2=6．故选：C．12．已知函数f（x）的导函数为f′（x），若∀x∈（0，+∞），都有xf′（x）＜2f（x）成立，则（）A．2f（）＞3f（）B．2f（1）＜3f（）C．4f（）＜3f（2）D．4f （1）＞f（2）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】通过所给关系式，构造新的函数g（x）=，对g（x）求导，得到关系．【解答】解：令g（x）=，则g′（x）=，∵xf′（x）＜2f（x），∴∀x∈（0，+∞），∴g′（x）＜0恒成立∴g（x）是在（0，+∞）单调递减，∴g（1）＞g（2），即4f（1）＞f（2）故选D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若（a﹣）5展开式中的常数项为﹣40，则a=±2．【考点】二项式系数的性质．【分析】根据二项式展开式的通项公式，写出常数项，由此列方程求出a的值．【解答】解：（a﹣）5展开式的通项为T r+1=C5r•（a）5﹣r•（﹣）r=（﹣1）r•C5r•a5﹣r•x，令=0，可得r=3，又r=3时，T4=（﹣1）3•C53•a2=﹣10a2，由题意得﹣10a2=﹣40，解得a=±2．故答案为：±2．14．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该球的表面积为12π，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，则此三棱柱的体积为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据余弦定理计算BC，可发现BC2+AC2=AB2，即AC⊥BC．故外接球球心在上下底面斜边中点的连线中点处，根据球的面积计算半径，得出棱柱的高．【解答】解：在△ABC中，BC==．∴BC2+AC2=AB2，即AC⊥BC．∴AB为△ABC所在球的截面的直径．取AB，A1B1的中点D，D1，则棱柱外接球的球心为DD1的中点O，设外接球的半径为r，则4πr2=12π，∴r=．即OB=，∴OD=．∴棱柱的高DD1=2OD=2．∴棱柱的体积V=S△ABC•DD1==．故答案为．15．若数列{a n}满足a1=2，a n+1=a n+log2（1﹣），则a32=﹣3．【考点】数列递推式．【分析】根据累加法和对数的运算性质即可求出数列的通项公式，代值计算即可．【解答】解：∵a n+1=a n+log2（1﹣）=log2（），∴a n+1﹣a n=log2（）∴a2﹣a1=log2，a3﹣a2=log2，…a n﹣a n=log2﹣1∴（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（a n﹣a n）=log2（×…×）=log2（）=﹣log2n﹣1∴a n﹣2=﹣log2n，∴a n=2﹣log2n，∴a32=2﹣log232=﹣3，故答案为：﹣3．16．若函数f（x）=x2﹣4e x﹣ax在R上存在单调递增区间，则实数a的取值范围为（﹣∞，﹣2ln2﹣2] ．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】根据题意可得a＜2x﹣4e x有解，转化为g（x）=2x﹣4e x，a＜g（x）max，利用导数求出最值即可．【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣4e x﹣ax，∴f′（x）=2x﹣4e x﹣a，∵函数f（x）=x2﹣4e x﹣ax在R上存在单调递增区间，∴f′（x）=2x﹣4e x﹣a≥0，即a≤2x﹣4e x有解，令g（x）=2x﹣4e x，g′（x）=2﹣4e x，g′（x）=2﹣4e x=0，x=﹣ln2，g′（x）=2﹣e x＞0，x＜﹣ln2，g′（x）=2﹣e x＜0，x＞﹣ln2∴当x=﹣ln2时，g（x）max=﹣2ln2﹣2，∴a≤﹣2ln2﹣2即可．故答案为：（﹣∞，﹣2ln2﹣2]．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，若=（cos2，1），=（cos2（B+C），1），且∥．（I）求角A；（Ⅱ）当a=6，且△ABC的面积S满足=时，求边c的值和△ABC的面积．【考点】余弦定理；平面向量数量积的运算；正弦定理．【分析】（I）由向量平行列出方程解出cosA；（II）根据余弦定理和面积公式解出tanC，使用正弦定理求出c，代入面积公式解出面积．【解答】解：（I）∵∥．∴cos2﹣cos2（B+C）=0，即（1+cosA）﹣cos2A=0，解得cosA=1（舍）或cosA=﹣．∴A=．（II）∵=，∴a2+b2﹣c2=4S=2absinC．又∵a2+b2﹣c2=2abcosC，∴tanC=．∴C=．由正弦定理得，∴c==2．sinB=sin（A+C）=sin=．∴S△ABC===3．18．某射击训练基地教练为了对某运动员的成绩做一分析，随机抽取该名运动员的t次射击（Ⅱ）在所取的样本中，从不少于9.9环的成绩中任取3次，X表示所取成绩不少于10.4的次数，求随机变量X的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）由频数与频率的统计表和频率分布直方图，能求出表中t，p及图中a的值．（Ⅱ）由题意X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X 的分布列及数学期望．【解答】解：（Ⅰ）由频数与频率的统计表和频率分布直方图，得：，解得t=60，∴n==0.4，a==0.8．∵0.15+0.3+n+p+0.05=1，∴p=0.1．（Ⅱ）由直方图，得不少于9.9环的成绩的次数为60×0.15=9，成绩不少于10.4环的次数为3，则X的可能取值为0，1，2，3，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，XE（X）==1．19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，F、G、H分别是PC、AB、BC的中点，PA⊥平面ABC，PA=AB=AC=2，二面角B﹣PA﹣C为120°．（I）证明：FG⊥AH；（Ⅱ）求二面角A﹣CP﹣B的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（I）根据线面垂直的性质定理即可证明FG⊥AH；（Ⅱ）建立坐标系求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可求二面角A﹣CP﹣B的余弦值．【解答】解：（I）设AC的中点是M，连接FM，GM，∵PF=FC，∴FM∥PA，∵PA⊥平面ABC，∴FM⊥平面ABC，∵AB=AC，H是BC的中点，∴AH⊥BC，∵GM∥BC，∴AH⊥GM，∴GF⊥AH（Ⅱ）建立以A 为坐标原点的空间直角坐标系如图：则P （0，0，2），H （，，0），C （0，2，0），B （，﹣1，0），F （0，1，1），则平面PAC 的法向量为=（1，0，0），设平面PBC 的法向量为=（x ，y ，z ），则，令z=1，则y=1，x=，即=（，1，1），cos ＜，＞==，即二面角A ﹣CP ﹣B 的余弦值是．20．已知椭圆C ：=l （a ＞b ＞0），F 1、F 2为左右焦点，下顶点为B 1，过F 的直线l 交椭圆于M 、N 两点，当直线l 的倾斜角为时，F 1B ⊥l ．（I ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）若P 为椭圆上一动点，直线PM 、PN 的斜率记为k PM 、k PN ，且不为零，当直线l 垂直于x 轴时，是否存在最小值？若存在，试求出该最小值；若不存在，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由已知得F 1（﹣c ，0），B 1（0，﹣b ），由题意知，从而b=，由此能求出椭圆C 的离心率．（Ⅱ）设P （x 0，y 0），（x 0≠±c ），M （c ，），N （c ，﹣），则=，由此能求出存在最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C：=l（a＞b＞0），F1、F2为左右焦点，下顶点为B1，∴F1（﹣c，0），B1（0，﹣b），∵过F的直线l交椭圆于M、N两点，当直线l的倾斜角为时，F1B⊥l，∴由题知F1B1⊥l，∴，∴，∴b=，∴e====．（Ⅱ）设P（x0，y0），（x0≠±c），M（c，），N（c，﹣），则=﹣=，又P∈C，∴=1，得，∴=====，∴||=||=，又∵﹣a≤x0≤a，且x0≠±c，∴﹣1≤，且，∴||=≥=．∴存在最小值．21．已知函数f（x）=ln（1+x）一（a＞0）．（I）当f（x）在[0，+∞）内单调递增时，求实数a的取值范围；（Ⅱ）证明：．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（I）当f（x）在[0，+∞）内单调递增时，f′（x）=≥0，结合a＞0，即可求实数a的取值范围；（Ⅱ）要证明，只要证明＞e，两边取对数可得2016ln＞1，只要证明ln﹣＞0，构造函数f（x）=ln（1+x）﹣，其中f（0）=0，即可证明．【解答】（I）解：当f（x）在[0，+∞）内单调递增时，f′（x）=≥0，即x+1﹣a≥0在[0，+∞）内恒成立，∴a≤x+1在[0，+∞）内恒成立，又x+1的最小值为1，∴a≤1，∵a＞0，∴0＜a≤1；（Ⅱ）证明：要证明，只要证明＞e，两边取对数可得2016ln＞1，只要证明ln﹣＞0，注意到2016=2015+1，所以ln﹣=ln（1+）﹣=ln（1+）﹣．构造函数f（x）=ln（1+x）﹣，其中f（0）=0，由（I）知，x≥0，f（x）=ln（1+x）﹣在[0，+∞）内是增函数，∴f（）=ln﹣＞f（0）=0，∴ln＞，∴．【选修4-1：几何证明选讲】22．如图所示，AB为圆D的直径，BC为圆O的切线，过A作OC的平行线交圆O于D，BD与OC相交于E．（I）求证：CD为圆O的切线；（Ⅱ）若OA=AD=4，求OC的长．【考点】圆的切线的性质定理的证明．【分析】（I）连接OD，证明△OBC≌△ODC，可得∠ODC=∠OBC=90°，即可证明CD为圆O的切线；（Ⅱ）Rt△OBC中，BE⊥OC，OB2=OE•OC，即可求OC的长．【解答】（I）证明：连接OD．∵AB为圆D的直径，∴AD⊥DB，∵AD∥OC，∴BD⊥OC，∴E为BD的中点，∴CB=CD，∴△OBC≌△ODC，∴∠ODC=∠OBC=90°，∴CD为圆O的切线；（Ⅱ）解：由题意，OB=OA=4，OE=AD=2，Rt△OBC中，BE⊥OC，∴OB2=OE•OC，∴OC==8．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．已知在直角坐标系xOy中，曲线C的方程是（x﹣2）2+（y﹣l）2=4，直线l经过点P（3，），倾斜角为，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）写出曲线C的极坐标方程和直线l的参数方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|OA|•|OB|的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（I）曲线C的方程是（x﹣2）2+（y﹣l）2=4，展开把ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得极坐标方程．由于直线l经过点P（3，），倾斜角为，可得参数方程：（t为参数）．（II）直线l的极坐标方程为：，代入曲线C的极坐标方程可得：+1=0，利用|OA||OB|=|ρ1ρ2|即可得出．【解答】解（I）曲线C的方程是（x﹣2）2+（y﹣l）2=4，展开可得：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0，把ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得极坐标方程ρ2﹣4ρcosθ﹣2ρsinθ+1=0．由于直线l经过点P（3，），倾斜角为，可得参数方程：（t为参数）．（II）直线l的极坐标方程为：，代入曲线C的极坐标方程可得： +1=0，∴ρ1ρ2=1．∴|OA||OB|=|ρ1ρ2|=1．【选修4-5：不等式选讲】24．设函数f（x）=|x﹣a|（a∈R）．（I）当a=3时，解不等式f（x）≥4﹣|x+l|；（Ⅱ）若不等式f（x）≤l的解集为[1，3]，且（m＞0，n＞0），求m+2n的最小值．【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．【分析】（Ⅰ）当a=3，不等式即|x﹣3|+|x﹣1|≥4，不等式恒成立，从而求得|x﹣2|+|x﹣1|≥5的解集．（Ⅱ）由f（x）≤1求得a﹣1≤x≤a+1，再根据f（x）≤1的解集为[1，3]，可得a=2，再利用基本不等式的性质求出最小值即可．【解答】解：（Ⅰ）当a=3，不等式f（x）≥4﹣|x﹣1|，即|x﹣3|+|x﹣1|≥|x﹣3﹣x+1|=4．由绝对值的意义可得；不等式恒成立，故|x﹣3|+|x﹣1|≥4的解集为R．（Ⅱ）由f（x）≤1 可得﹣1≤x﹣a≤1，求得a﹣1≤x≤a+1，再根据f（x）≤1的解集为[1，3]，可得a=2．故有+=2（m＞0，n＞0），即+=1，∴m+2n=（m+2n）（+）=1++≥2，当且仅当=时，等号成立，故m+2n的最小值是2．2016年9月17日。

【甘肃省兰州市】2017年高考二模理科数学试卷-答案

22200(80104070)10011.11110.82815050120809K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，（4分）1322x y21．解：（Ⅰ）'()2ln f x ax b x =++，甘肃省兰州市2017年高考二模理科数学试卷解析一、选择题1．【考点】1E：交集及其运算。

【分析】容易求出集合N={x|x＜0，或x＞2}，然后进行交集的运算即可。

【解答】解：解x2﹣2x＞0得，x＜0，或x＞2；∴N={x|x＜0，或x＞2}；∴M∩N={﹣1，3}。

故选C．【点评】考查列举法、描述法表示集合的概念及形式，交集的运算。

2.【考点】A7：复数代数形式的混合运算。

【分析】z（1﹣i）=|1﹣i|+i，化为z=，再利用复数的运算法则、实部的定义即可得出。

【解答】解：∵z（1﹣i）=|1﹣i|+i，∴z===+i，∴z的实部为。

故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则、实部的定义、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题。

3．【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断。

【分析】⊥，可得•=0，解出即可得出。

【解答】解：∵⊥，∴（x﹣1）（x+2）+x（x﹣4）=0，化为：2x2﹣3x﹣2=0，解得x=﹣或2．∴“⊥”是“x=2”的必要不充分条件。

故选：B．【点评】本题考查了向量垂直与数量积的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题。

4．【考点】8F：等差数列的性质；8G：等比数列的性质。

【分析】先根据等差中项的性质可知得2×（）=a1+2a2，进而利用通项公式表示出q2=1+2q，求得q，代入中即可求得答案。

【解答】解：依题意可得2×（）=a1+2a2，即，a3=a1+2a2，整理得q2=1+2q，求得q=1±，∵各项都是正数∴q＞0，q=1+∴==3+2故选C【点评】本题主要考查了等差数列和等比数列的性质。

考查了学生综合分析的能力和对基础知识的理解。

2020届甘肃省兰州市一中2017级高三高考冲刺一模拟考试数学(理)试卷及解析

2020届甘肃省兰州市一中2017级高三高考冲刺一模拟考试数学（理）试卷★祝考试顺利★(解析版)第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1.设集合{}2A x N x =∈≤,{}21B y y x ==-,则A B 的子集个数为（） A. 2B. 4C. 8D. 16【答案】B【解析】求得集合A 、B ,可得集合A B ,并确定集合A B 的元素个数,利用集合子集个数公式可求得结果. 【详解】{}{}{}2220,1,2A x N x x N x =∈≤=∈-≤≤=,{}{}211B y y x y y ==-=≤, {}0,1A B ∴⋂=,因此,A B 的子集个数为224=.故选：B.2.已知复数z 满足(4)1i z i +=+,则z 的虚部为（）A. i -B. iC. 1-D. 1【答案】C【解析】根据复数的除法运算可得z ,再根据复数的概念可得答案.【详解】(4)1i z i +=+,141i z i i +∴+==-, 3z i ∴=--,∴复数z 的虚部为1-.故选：C.3.如图是某学校高三年级的三个班在一学期内的六次数学测试的平均成绩y 关于测试序号x的函数图象,为了容易看出一个班级的成绩变化,将离散的点用虚线连接,根据图象,给出下列结论：①一班成绩始终高于年级平均水平,整体成绩比较好；②二班成绩不够稳定,波动程度较大；③三班成绩虽然多次低于年级平均水平,但在稳步提升.其中错误的结论的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】A【解析】看图分析,①比较一班与年级平均成绩的大小；②看二班的成绩波动；③看三班的平均成绩,以及增减性,即可得到答案.【详解】由图可知,一班成绩始终高于年级平均水平,整体成绩比较好,故①正确；二班的成绩有时高于年级整体成绩,有时低于年级整体成绩,特别是第六次成绩远低于年级整体成绩,可知二班成绩不稳定,波动程度较大,故②正确；三班成绩虽然多数时间低于年级平均水平,只有第六次高于年级整体成绩,但稳步提升,故③正确.∴错误结论的个数为0.故选：A.4.我们可从这个商标中抽象出一个如图靠背而坐的两条优美的曲线,下列函数中大致可“完美”局部表达这对曲线的函数是（）。

2016-2017学年甘肃省兰州高三数学一模试卷答案

参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上．13．【答案】10 14．【答案】 413n -15．【答案】5π 16．【答案】33±三、解答题：本大题共70分，其中（17）—（21）题为必考题，（22），（23），（24）题为选考题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （本小题满分12分）【答案】(1) [,],63k k k Z ππππ-+∈ ；(2)233+．【解析】(1)∵()cos cos 2R f x x x x x =-∈，， ∴()2sin(2)6f x x π=-.由222,262k x k k Z πππππ-≤-≤+∈，解得,63k x k k Z ππππ-≤≤+∈.∴函数()f x 的单调递增区间是[,],63k k k Z ππππ-+∈. …………………6分(2)∵在ABC ∆中，()2,,24f A C c π===， ∴2sin(2)2,6A π-=解得,3A k k Z ππ=+∈.又0A π<<， ∴3A π=.依据正弦定理，有,sinsin34a c a ππ==解得.∴512B AC ππ=--=. ∴11sin 222ABC S ac B ∆==⋅=. ………………………………12分 18. （本小题满分12分）【答案】(1) 有99.5%的把握认为喜欢统计专业与性别有关；(2) 815P =. 【解析】试题分析：(1)利用公式22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ 求出2K 的观测值，结合临界值表得出结论.(2)首先利用分层抽样的原理确定样本中男生、女生的人数，然后利用古典概型的概率计算公式求解.试题解析：解：（Ⅰ）由公式2255(2020105)11.9787.87930252530K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有99.5%的把握认为喜欢统计专业与性别有关． …………………6分（Ⅱ）设所抽样本中有m 个男生，则643020mm ==，得人，所以样本中有4个男生，2个女生，分别记作123412,,,,,.B B B B G G 从中任选2人的基本事件有1213(,)(,)B B B B 、、1411122324212234(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)B B B G B G B B B B B G B G B B 、、、、、、、、 3132414212(,)(,)(,)(,)(,)B G B G B G B G G G 、、、、，共15个，其中恰有1名男生和1名女生的事件有111221(,)(,)(,)B G B G B G 、、、223132(,)(,)(,)B G B G B G 、、、41(,)B G 、42(,)B G ，共8个，所以恰有1名男生和1名女生的概率为815P =． …… ………12分19. （本小题满分12分）【答案】（1）证明详见解析；（2）3V =.【解析】试题分析：本题主要考查线线平行、线面平行、线线垂直、线面垂直、四棱锥的体积等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、空间想象能力、逻辑思维能力、计算能力.第一问，作出辅助线1BC ，根据DE 是1ABC ∆的中位线，得1AC ∥DE ，再根据线面平行的判定，得1AC ∥平面1CDB ；由111A B C ∆为正三角形，得1C M 11A B ⊥，而1A A ⊥平面ABC ，可转化为1A A ⊥平面111C A B ，则利用线面垂直的性质，得1A A ⊥1C M ，利用线面垂直的判定得1C M ⊥平面11ADB A ，则可以判断1C M 是四棱锥111C ADB A -的高，最后利用四棱锥的体积公式计算即可.试题解析：(1)连结1BC ，设1BC 与1B C 交于点E ，则点E 是1BC 的中点，连结DE ，因为D 点为AB 的中点，所以DE 是1ABC ∆的中位线，所以1AC ∥DE ，因为DE ⊂平面1CDB ，1AC ⊄面1CDB ，所以1AC ∥平面1CDB . ……………4分 (2)取线段11A B 中点M ，连结1C M ， ∵1111C A C B =，点M 为线段11A B 中点， ∴1C M 11A B ⊥. 又1A A ⊥平面ABC即1A A ⊥平面111C A B ，1C M ⊂平面111C A B ∴1A A ⊥1C M ， ∵1A A I 11A B 1A =，∴1C M ⊥平面11ADB A ，则1C M 是四棱锥111C ADB A -的高. ………………12分20. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意得3226c a c =⎧⎪⎨+=+⎪⎩，得a =.222a b c =+，解得212a =，23b =.所以，椭圆的方程为131222=+y x . …4分1113C -ADB A 1(2a +a)2aV ==32⨯⨯（2）由22221,,x y a b y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩得222222()0b a k x a b +-=.设1122(,),(,)A x y B x y .所以2212122220,a b x x x x b a k -+==+，易知，22AF BF ⊥，因为211(3,)F A x y =-u u u u r ，222(3,)F B x y =-u u u u r，所以222121212(3)(3)(1)90F A F B x x y y k x x ⋅=--+=++=u u u u r u u u u r.即 222222(9)(1)90(9)a a k a k a --++=+-，将其整理为 422424218818111818a a k a a a a-+==---+-.因为4k >，所以21218a <<，即a <<所以离心率22e <<.………………12分 21.（本小题满分12分）【答案】(1)；(2)当时，在定义域内无极值；当时，的(3).082=-+y x 0<b )(x g 0>b )(x g 2≤a……4分，定义域为，当时，恒成立，在上为增函数，在定义域内无极值；当时，令舍去)，的极大值点为综上：当时，在定义域内无极值；当时，.…12分),0(+∞∈x 0<b '()0g x ∴>)(x g ∴),0(+∞∈x )(x g ∴0>b 0)('=x g )(x g ∴0<b )(x g 0>b )(x g请考生在第（22），（23），（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明，具体涉及到圆的切线的性质，三角形相似等内容. 本小题重点考查考生对平面几何推理能力.【试题解析】解：(1) 连接CD CB OD BD ,,,Θ是圆O 的两条切线，OC BD ⊥∴，又AB 为直径，DB AD ⊥∴，//AD OC .……5分(2)由//AD OC ，DAB COB ∴∠=∠，BAD Rt ∆∴∽Rt COB ∆，AD ABOB OC =，8AD OC AB OB ⋅=⋅=. (10)23.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程【答案】（1）；（2）或15．【解析】（1）直线的参数方程化为，则由，，得直线的直角坐标方程为．由，消去参数，得，即（*），由，，，代入（*）可得曲线的极坐标方程为．……………5分 26cos 10sin 90ρρθρθ--+=52l 3cos 4sin 6=0ρθρθ++cos x ρθ=sin y ρθ=346=0x y ++35cos ,55sin .x y αα=+⎧⎨=+⎩α22(3)(5)25x y -+-=2261090x y x y +--+=222x y ρ=+cos x ρθ=sin y ρθ=C 26cos 10sin 90ρρθρθ--+=（2）设直线：与曲线相切．由（1）知曲线的圆心为，半径为5，解得或，所以的方程为或，即或．又将直线的方程化为，所以或．…………………………10分24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲解：（1）当时，由得当时，不等式可化为113---≥x x 即23-≥x ，其解集为当时，不等式化为，不可能成立，其解集为；当时，不等式化为，其解集为综上所述，的解集为 ……………5分（2），∴要成立，则，，l '34=0x y t ++C C (3,5)=4t -=54t -l '344=0x y +-3454=0x y +-314y x =-+32742y x =-+l 3342y x =--35=1()22m --=273=()1522m --=1a =-()1 1.f x x x =-++()3f x ≥11 3.x x -++≥1x ≤-3(,].2-∞-11x -<<113x x -++≥∅1x ≥113,23x x x -++≥≥即3[,).2+∞()3f x ≥33(,][,).22-∞-⋃+∞()11f x x x a a =-+-≥-Q ,()2x R f x ∀∈≥12a -≥13a a ∴≤-≥或即的取值范围是。

2016-2017学年甘肃省兰州高三数学一模试卷和答案详细解析

2016-2017学年甘肃省兰州高三数学一模试卷注意事项1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效。

3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若集合}{,,,,,U =123456，}{,,S =145，}{,,T =234，则)(T C S U I 等于( )A ．}{,,,1456B ．}{4C ．}{,15D ．}{,,,,12345 2、已知i 为虚数单位，复数12i2iz -=-，则复数z 的虚部是（）A. 3i 5- B.35- C.4i 5 D.45 3. 下列判断错误．．的是（） A ．“”是“”的充分不必要条件 B ．命题“”的否定是“”C ．若为假命题,则均为假命题D ．是的充分不必要条件4．几何体的三视图如下，则它的体积是（）A ．B.C.D.5. 设3log a π=，13log b π=，3c π-=,则（）A. a b c >>B. b a c>>C. a c b >>D. c b a >>6. 向量a,b满足1,)(2),==+⊥-a b a b a b 则向量a 与b 的夹角为（） A ．45︒ B ． 60︒ C ． 90︒ D ． 120︒ 7. 执行右边的程序框图，则输出的S 是（） A.5040B.4850C.2450D.25508. 等比数列的前成等差数列，若a 1=1，则s 4为（） A. 15 B. 8 C. 7 D. 169．如图，圆C 内切于扇形AOB ，∠AOBAOB内任取一点，则该点在圆C 内的概率为( ). A10. 将函数f (x )＝sin ωx （其中ω＞0）的图象向左平移 π 2个单位长度，所得图象关于x ＝ π 6对称，则ω的最小值是（）A. 6B. 3 4C. 9 4D. 2 311. 双曲线221x y m-=的离心率e =2y mx =的交点为顶点的三角形的面积为（）A. C.12. 已知函数()0(R)210x e a x f x a x x ⎧+≤=∈⎨->⎩，若函数()f x 在R 上有两个零点，则a 的取值范围是（）A ．(),1-∞-B ．(),0-∞C ．()1,0-D ．[)1,0-第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上．}{n a 321,2,4,a a a S n n 且项和为13. 若变量x ，y 满足约束条件280403x y x y +≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，则2z x y =+的最大值等于14．在数列{}n a 中，已知1221n n a a a ++⋅⋅⋅+=-，则22212n a a a ++⋅⋅⋅+=15．已知三棱锥P -ABC ，若PA ，PB ，PC 两两垂直，且PA = 1，PB = PC =2，则三棱锥P -ABC 的外接球的表面积为__________。

〖真题〗2017年甘肃省高考数学试卷及答案(理科)(全国新课标ⅱ)

2017年甘肃省高考数学试卷（理科）（全国新课标Ⅱ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）＝（）A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i2．（5分）设集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2﹣4x+m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝（）A．{1，﹣3}B．{1，0}C．{1，3}D．{1，5}3．（5分）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏4．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（）A．90πB．63πC．42πD．36π5．（5分）设x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最小值是（）A．﹣15B．﹣9C．1D．96．（5分）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）A．12种B．18种C．24种D．36种7．（5分）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩8．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的a＝﹣1，则输出的S＝（）A．2B．3C．4D．59．（5分）若双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2＝4所截得的弦长为2，则C的离心率为（）A．2B．C．D．10．（5分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．11．（5分）若x＝﹣2是函数f（x）＝（x2+ax﹣1）e x﹣1的极值点，则f（x）的极小值为（）A．﹣1B．﹣2e﹣3C．5e﹣3D．112．（5分）已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则•（+）的最小值是（）A．﹣2B．﹣C．﹣D．﹣1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020届甘肃省兰州市2017级高三诊断考试数学(理)试卷及解析

2020届甘肃省兰州市2017级高三诊断考试数学（理）试卷★祝考试顺利★第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有项是符合题目要求的1.已知集合{}0,1,2,3,4,5A =,{}*2,B x x n n N ==∈,则A B =I （） A. {}0,2,4 B. {}2,4 C. {}1,3,5 D. {}1,2,3,4,5【答案】B【分析】根据交集定义求解．【详解】因为集合{}0,1,2,3,4,5A =,{}*2,B x x n n N ==∈, 所以{2,4}A B ⋂=,故选：B ．2.已知复数5i 22i z =+-,则z =（）A. 5 C. 13 【答案】B【解析】【分析】首先进行除法运算化简z ,再求模即可.【详解】因为5i 5(2)2212i 2i 5i i z +=+=+=+-,所以z =. 故选：B3.已知非零向量a r ,b r 给定:p R λ∃∈,使得λa b =r r ,:q a b a b +=+r r r r ,则p 是q 的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】分析各个命题中向量a r ,b r 的关系,然后根据充分必要条件的定义确定．【详解】:p R λ∃∈,使得λa b =r r ,则a r ,b r 共线, :q a b a b +=+r r r r 等价于a r ,b r 同向, 因此p 是q 的必要不充分条件．故选：B ．4.若21tan 5722sin cos 1212tan 2αππα-=,则tan α=（） A 4B. 3C. -4D. -3【答案】C【解析】【分析】对等式两边分别化简,然后可求值．【详解】5712sincos 2sin()cos()2cos sin sin 1212212212121262πππππππππ=-+=-=-=-, 221tan 222tan tan 2tan 221tan 2ααααα-==-, ∴21tan 2α=-,tan 4α=-．故选：C ．5.已知双曲线()2222100x y a b a b -=＞，＞的一条渐近线过点（2,﹣1）,则它的离心率。

甘肃省兰州市2017-2018学年高考实战数学试卷(理科) Word版含解析

2017-2018学年甘肃省兰州市高考实战数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U=R，集合A={x|x＜2}，B={x|lg（x﹣1）＞0}，则A∩（∁u B）=（）A．{x|1＜x＜2}B．{x|1≤x＜2}C．{x|x＜2} D．{x|x≤1}2．在复平面内，复数z满足z（1﹣i）=（1+2i）（i是虚数单位），则z对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知，为两个非零向量，设p：|•|=||||，q：与共线，则p是q成立的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若bsinA=3csinB，a=3，，则b=（）A．14 B．6 C． D．5．已知MOD函数是一个求余函数，其格式为MOD（n，m），其结果为n除以m的余数，例如MOD（8，3）=2，如图所示是一个算法的程序框图，若输出的结果为4，则输入n的值为（）A．16 B．14 C．12 D．106．某单位员工按年龄分为A，B，C三组，其人数之比为5：4：1，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本，若C组中甲、乙二人均被抽到的概率是，则该单位员工总数为（）A．110 B．100 C．90 D．807．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积为（）A ．B ．C ．3πD ．38．已知直线ax +y ﹣1=0与圆C ：（x ﹣1）2+（y +a ）2=1相交于A ，B 两点，且△ABC 为等腰直角三角形，则实数a 的值为（）A ．B ．﹣1C ．1或﹣1D ．19．，，则的值为（）A ．B ．C ．D ．10．已知：①函数y=2x （﹣1≤x ≤1）的值域是[，2]；②为了得到函数y=sin （2x ﹣）的图象，只需把函数y=sin2x 图象上的所有点向右平移个单位长度；③当n=0或n=1时，幂函数y=x n 的图象都是一条直线；④已知函数f （x ）=，若a ，b ，c 互不相等，且f （a ）=f （b ）=f （c ），则abc 的取值范围是（2，4）．其中正确的是（）A ．①③B ．①④C ．①③④D ．①②③④11．已知O 为坐标原点，双曲线上有一点P ，过点P 作双曲线C 的两条渐近线的平行线，与两渐近线的交点分别为A ，B ，若平行四边形OAPB 的面积为1，则双曲线C 的离心率为（）A ．B ．C ．2D ．12．已知函数f （x ）=aln （x +1）﹣x 2，在区间（0，1）内任取两个不相等的实数p ，q ，若不等式＞1恒成立，则实数a 的取值范围是（）A．[15，+∞）B．[6，+∞）C．（﹣∞，15]D．（﹣∞，6]二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若函数f（x）=x﹣alnx在点（1，1）处的切线方程为y=1，则实数a=．14．已知变量x，y，满足：，则z=2x+y的最大值为．15．若f（x）+f（x）dx=x，则f（x）dx=．16．α，β是两平面，AB，CD是两条线段，已知α∩β=EF，AB⊥α于B，CD⊥α于D，若增加一个条件，就能得出BD⊥EF，现有下列条件：①AC⊥β；②AC与α，β所成的角相等；③AC与CD在β内的射影在同一条直线上；④AC∥EF．其中能成为增加条件的序号是．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．等差数列{a n}中，已知a n＞0，a1+a2+a3=15，且a1+2，a2+5，a3+13构成等比数列{b n}的前三项．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）求数列{a n b n}的前n项和T n．18．为普及学生安全逃生知识与安全防护能力，某学校高一年级举办了安全知识与安全逃生能力竞赛，该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，预赛为笔试，决赛为技能比赛，现将所有参赛100（2）按规定，预赛成绩不低于90分的选手参加决赛．已知高一（2）班有甲、乙两名同学取得决赛资格，记高一（2）班在决赛中进入前三名的人数为X，求X的分布列和数学期望．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAB⊥底面ABCD，底面ABCD为矩形，PA=PB，O为AB的中点，OD⊥PC．（1）求证：OC⊥PD；（2）若PD与平面PAB所成的角为300，求二面角D﹣PC﹣B的余弦值．20．已知椭圆的离心率为，且经过点，两个焦点分别为F1，F2．（1）求椭圆C的方程；（2）过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若△AF2B的内切圆半径为，求以F2为圆心且与直线l相切的圆的方程．21．已知函数f（x）=+ax，x＞1．（Ⅰ）若f（x）在（1，+∞）上单调递减，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若a=2，求函数f（x）的极小值；（Ⅲ）若方程（2x﹣m）lnx+x=0在（1，e]上有两个不等实根，求实数m的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB切⊙O于点B，直线AO交⊙O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C．（Ⅰ）证明：∠CBD=∠DBA；（Ⅱ）若AD=3DC，BC=，求⊙O的直径．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系x Oy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标中，圆C的方程为．（Ⅰ）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P坐标为，圆C与直线l交于A，B两点，求|PA|+|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|（a∈R）（1）当a=4时，求不等式f（x）≥5的解集；（2）若f（x）≥4对x∈R恒成立，求a的取值范围．2016年甘肃省兰州市高考实战数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U=R，集合A={x|x＜2}，B={x|lg（x﹣1）＞0}，则A∩（∁u B）=（）A．{x|1＜x＜2}B．{x|1≤x＜2}C．{x|x＜2} D．{x|x≤1}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】lg（x﹣1）＞0，可得x﹣1＞1，可得B，∁R B．再利用集合的运算性质可得：A∩（∁u B）．【解答】解：∵lg（x﹣1）＞0，∴x﹣1＞1，解得x＞2．∴B={x|lg（x﹣1）＞0}=（2，+∞），∴∁R B=（﹣∞，2]．则A∩（∁u B）=（﹣∞，2）．故选：C．2．在复平面内，复数z满足z（1﹣i）=（1+2i）（i是虚数单位），则z对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．【解答】解：由足z（1﹣i）=（1+2i），得，∴z对应的点的坐标为（），位于第二象限．故选：B．3．已知，为两个非零向量，设p：|•|=||||，q：与共线，则p是q成立的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】设与的夹角为θ．若与共线，则cosθ=±1．再利用数量积运算性质即可判断出结论．【解答】解：设与的夹角为θ．若与共线，则cosθ=±1．∴|•|=|||||cosθ|=||||，反之也成立．∴p是q成立的充要条件．故选：C．4．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若bsinA=3csinB，a=3，，则b=（）A．14 B．6 C． D．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】bsinA=3csinB，利用正弦定理可得ab=3cb，化简解得c，再利用余弦定理即可得出．【解答】解：在△ABC中，∵bsinA=3csinB，∴ab=3cb，可得a=3c，∵a=3，∴c=1．∴==，解得b=．故选：D．5．已知MOD函数是一个求余函数，其格式为MOD（n，m），其结果为n除以m的余数，例如MOD（8，3）=2，如图所示是一个算法的程序框图，若输出的结果为4，则输入n的值为（）A．16 B．14 C．12 D．10【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，根据题意，依次代入各选项，计算MOD（n，i）的值，验证输出的结果是否为4，即可得解．【解答】解：模拟执行程序框图，可得：①若n=16，i=3，MOD（16，3）=1，不满足条件MOD（16，3）=0，i=4，MOD（16，4）=0，满足条件MOD（16，4）=0，退出循环，输出i的值为4，满足题意；②若n=14，i=3，MOD（14，3）=2，不满足条件MOD（14，3）=0，i=4，MOD（14，4）=2，不满足条件MOD（14，4）=0，i=5，MOD（14，5）=4，不满足条件MOD（14，5）=0，i=6，MOD（14，6）=2，不满足条件MOD（14，6）=0，i=7，MOD（14，7）=0，满足条件MOD（14，7）=0，退出循环，输出i的值为7，不满足题意；③若n=12，i=3，MOD（12，3）=0，满足条件MOD（12，3）=0，退出循环，输出i的值为3，不满足题意；④若n=10，i=3，MOD（10，3）=1，不满足条件MOD（10，3）=0，i=4，MOD（10，4）=2，不满足条件MOD（10，4）=0，i=5，MOD（10，5）=0，满足条件MOD（14，5）=0，退出循环，输出i的值为5，不满足题意；故选：A．6．某单位员工按年龄分为A，B，C三组，其人数之比为5：4：1，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本，若C组中甲、乙二人均被抽到的概率是，则该单位员工总数为（）A．110 B．100 C．90 D．80【考点】极差、方差与标准差．【分析】根据分层抽样的定义求出C抽取的人数，利用甲、乙二人均被抽到的概率是，直接进行计算即可【解答】解：∵按年龄分为A，B，C三组，其人数之比为5：4：1，∴从中抽取一个容量为20的样本，则抽取的C组数为×20=2，设C组总数为m，则甲、乙二人均被抽到的概率为==，即m（m﹣1）=90，解得m=10．设总体中员工总数为x，则由==，可得x=100，故选：B．7．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积为（）A．B．C．3πD．3【考点】由三视图求面积、体积．【分析】该几何体是一个四棱锥，底面是正方形，高等于正方形的边长．其四棱锥补成一个正方体，即可得出外接球．【解答】解：该几何体是一个四棱锥，底面是正方形，高等于正方形的边长．其四棱锥补成一个正方体，即可得出外接球．设其四棱锥的外接球的半径为r，则3×12=（2r）2，解得r=．∴该几何体外接球的体积==．故选：A．8．已知直线ax+y﹣1=0与圆C：（x﹣1）2+（y+a）2=1相交于A，B两点，且△ABC为等腰直角三角形，则实数a的值为（）A． B．﹣1 C．1或﹣1 D．1【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由题意可得△ABC是等腰直角三角形，可得圆心C（1，﹣a）到直线ax+y﹣1=0的距离等于r•sin45°，再利用点到直线的距离公式求得a的值．【解答】解：由题意可得△ABC是等腰直角三角形，∴圆心C（1，﹣a）到直线ax+y﹣1=0的距离等于r•sin45°=，再利用点到直线的距离公式可得=，∴a=±1，故选：C．9．，，则的值为（）A．B．C． D．【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】由二倍角公式化简sin2α，由同角的三角函数恒等式得到（sinα+cosα）2，结合α的范围，得到开平方的值．【解答】解：∵，，∴sinαcosα=，∵sin2α+cos2α=1∴（sinα+cosα）2=1+2sinαcosα=，=（cosα+sinα）=cosα+sinα=．故选：D10．已知：①函数y=2x（﹣1≤x≤1）的值域是[，2]；②为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=sin2x图象上的所有点向右平移个单位长度；③当n=0或n=1时，幂函数y=x n的图象都是一条直线；④已知函数f（x）=，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（2，4）．其中正确的是（）A．①③B．①④C．①③④ D．①②③④【考点】的真假判断与应用．【分析】①根据指数函数的单调性进行判断．②根据三角函数的图象关系进行判断．③根据幂函数的定义和性质进行判断．④根据函数与方程的关系，利用数形结合进行判断．【解答】解：①∵y=2x是增函数，∴当﹣1≤x≤1时，函数的值域是[，2]；故①正确，②函数y=sin2x图象上的所有点向右平移个单位长度，则y=sin2（x﹣）=sin（2x﹣，则无法得到函数y=sin（2x﹣）的图象，故②错误，③当n=0时，y=x0=1，（x≠0）是两条射线，当n=1时，幂函数y=x的图象都是一条直线；故③错误，④作出函数f（x）的图象如图，∴f（x）在（0，1]上递减，在（1，2）上递增，在（2，+∞）单调递减，又∵a，b，c互不相等，∴a，b，c在（0，2]上有两个，在（2，+∞）上有一个，不妨设a∈（0，1]，b∈（1，2），c∈（2，+∞），则log2a+log2b=0，即ab=1，则abc的取值范围是c的取值范围，∵由﹣x+2=0，得x=4，则2＜c＜4，则2＜abc＜4，即abc的取值范围是（2，4）．故④正确，故选：B．11．已知O为坐标原点，双曲线上有一点P，过点P作双曲线C的两条渐近线的平行线，与两渐近线的交点分别为A，B，若平行四边形OAPB的面积为1，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．2 D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得双曲线的渐近线方程，设P（m，n）是双曲线上任一点，设过P平行于x+ay=0的直线为l，求得l的方程，联立另一条渐近线可得交点A，|OA|，求得P到OA的距离，由平行四边形的面积公式，化简整理，解方程可得a=2，求得c，进而得到所求双曲线的离心率．【解答】解：由双曲线方程可得渐近线方程x±ay=0，设P（m，n）是双曲线上任一点，设过P平行于x+ay=0的直线为l，则l的方程为：x+ay﹣m﹣an=0，l与渐近线x﹣ay=0交点为A，则A（，），|OA|=||，P点到OA的距离是：，∵|OA|•d=1，∴||•.=1，∵，∴a=2，∴，∴．故选：D．12．已知函数f（x）=aln（x+1）﹣x2，在区间（0，1）内任取两个不相等的实数p，q，若不等式＞1恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[15，+∞）B．[6，+∞）C．（﹣∞，15]D．（﹣∞，6]【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】由不等式进行转化判断函数的单调性，求函数的导数，利用参数分离法进行求解即可．【解答】解：因为p≠q，不妨设p＞q，由于，所以f（p+1）﹣f（q+1）＞p﹣q，得[f（p+1）﹣（p+1）]﹣[f（q+1）﹣（q+1）]＞0，因为p＞q，所以p+1＞q+1，所以g（x）=f（x+1）﹣（x+1）在（0，1）内是增函数，所以g'（x）＞0在（0，1）内恒成立，即恒成立，所以a＞（2x+3）（x+2）的最大值，因为x∈（0，1）时（2x+3）（x+2）＜15，所以实数a的取值范围为[15，+∞）．故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若函数f（x）=x﹣alnx在点（1，1）处的切线方程为y=1，则实数a=1．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数的导数，求出切线的斜率，由条件可得a的方程，即可得到所求值．【解答】解：函数f（x）=x﹣alnx的导数为f′（x）=1﹣，由在点（1，1）处的切线方程为y=1，可得在点（1，1）处的切线斜率为1﹣a=0，解得a=1．故答案为：1．14．已知变量x，y，满足：，则z=2x+y的最大值为4．【考点】简单线性规划．【分析】作出可行域，根据可行域移动目标函数，根据直线的截距得出最优解．【解答】解：作出约束条件表示的可行域如图：由z=2x+y得y=﹣2x+z．由图形可知当直线y=﹣2x+z经过B点时，直线的截距最大，即z最大．解方程组，得B（1，2）．∴z的最大值为z=2×1+2=4．故答案为：4．15．若f（x）+f（x）dx=x，则f（x）dx=．【考点】定积分．【分析】对已知等式两边求导，得到f'（x）=1，所以设f（x）=x+c，利用已知等式求出c，得到所求．【解答】解：对f（x）+∫01f（x）dx=x两边求导，得到f'（x）=1，所以设f（x）=x+c，由已知x+c+（x2+cx）|=x，解得c=﹣，所以=（）|=；故答案为：．16．α，β是两平面，AB，CD是两条线段，已知α∩β=EF，AB⊥α于B，CD⊥α于D，若增加一个条件，就能得出BD⊥EF，现有下列条件：①AC⊥β；②AC与α，β所成的角相等；③AC与CD在β内的射影在同一条直线上；④AC∥EF．其中能成为增加条件的序号是①或③．【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】将每一个条件作为已知条件进行分析证明，得出结论．【解答】解：①因为AC⊥α，且EF⊂α，所以AC⊥EF．又AB⊥α且EF⊂α，所以EF⊥AB．因为AC∩AB=A，AC⊂平面ACBD，AB⊂平面ACBD，所以EF⊥平面ACBD，因为BD⊂平面ACBD，所以BD⊥EF．所以①可以成为增加的条件．②AC与α，β所成的角相等，AC与EF 不一定，可以是相交、可以是平行、也可能垂直，所以EF与平面ACDB不垂直，所以就推不出EF与BD垂直．所以②不可以成为增加的条件．③AC与CD在β内的射影在同一条直线上因为CD⊥α且EF⊂α所以EF⊥CD．所以EF与CD在β内的射影垂直，AC与CD在β内的射影在同一条直线上所以EF⊥AC，因为AC∩CD=C，AC⊂平面ACBD，CD⊂平面ACBD，所以EF⊥平面ACBD，因为BD⊂平面ACBD所以BD⊥EF．所以③可以成为增加的条件．④若AC∥EF，则AC∥平面α，所以BD∥AC，所以BD∥EF．所以④不可以成为增加的条件．故答案为：①③．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．等差数列{a n}中，已知a n＞0，a1+a2+a3=15，且a1+2，a2+5，a3+13构成等比数列{b n}的前三项．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）求数列{a n b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）利用等差数列的通项公式及其性质可得a n．再利用等比数列的通项公式即可得出b n．（2）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：（1）设设等差数列的公差为d，则由已知得：a1+a2+a3=3a2=15，即a2=5，又（5﹣d+2）（5+d+13）=100，解得d=2或d=﹣13（舍），a1=a2﹣d=3，∴a n=a1+（n﹣1）×d=2n+1，又b1=a1+2=5，b2=a2+5=10，∴q=2∴．（2）∵，，两式相减得，则．18．为普及学生安全逃生知识与安全防护能力，某学校高一年级举办了安全知识与安全逃生能力竞赛，该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，预赛为笔试，决赛为技能比赛，现将所有参赛100（2）按规定，预赛成绩不低于90分的选手参加决赛．已知高一（2）班有甲、乙两名同学取得决赛资格，记高一（2）班在决赛中进入前三名的人数为X，求X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）由题意知，参赛选手共有50人，由此能求出表中的x，y，x，s，p的值．（Ⅱ）由题意随机变量X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和随机变量X的数学期望．【解答】解：（1）由题意知，参赛选手共有p==50人，∴x==0.18，y=50×0.38=19，z=50﹣9﹣19﹣16=6．s=．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，参加决赛的选手共6人，随机变量X的可能取值为0，1，2…，，，…因为，所以随机变量X的数学期望为l．…19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAB⊥底面ABCD，底面ABCD为矩形，PA=PB，O为AB的中点，OD⊥PC．（1）求证：OC⊥PD；（2）若PD与平面PAB所成的角为300，求二面角D﹣PC﹣B的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）连结OP，推导出OP⊥AB，从而OP⊥平面ABCD，由OP⊥OD，OP⊥OC，得OD⊥OC，再由OP⊥OC，能证明OC⊥PD．（2）设AD=1，则AB=2，推导出∠DPA为直线PD与平面PAB所成的角，设PC的中点为M，连接DM，则DM⊥PC在Rt△CBP中，过M作NM⊥PC，交PB于点N，则∠DMN 为二面角D﹣PC﹣B的一个平面角，由此能求出二面角D﹣PC﹣B的余弦值．【解答】证明：（1）连结OP，∵PA=PB，O为AB的中点，∴OP⊥AB．∵侧面PAB⊥底面ABCD，∴OP⊥平面ABCD，∴OP⊥OD，OP⊥OC，∵OD⊥PC，∴OD⊥平面OPC，∴OD⊥OC，…又∵OP⊥OC，∴OC⊥平面OPD，∴OC⊥PD．…解：（2）在矩形ABCD中，由（1）得OD⊥OC，∴AB=2AD，不妨设AD=1，则AB=2．∵侧面PAB⊥底面ABCD，底面ABCD为矩形，∴DA⊥平面PAB，CB⊥平面PAB，△DPA≌△DPA，∴∠DPA为直线PD与平面PAB所成的角∴∠DPA=30°，∠CPB=30°，，∴DP=CP=2，∴△PDC为等边三角形，…设PC的中点为M，连接DM，则DM⊥PC在Rt△CBP中，过M作NM⊥PC，交PB于点N，则∠DMN为二面角D﹣PC﹣B的一个平面角．由于∠CPB=30°，PM=1，∴在Rt△PMN中，，，∵，∴，∴ND2=3+1=4，∴，即二面角D﹣PC﹣B的余弦值﹣．…20．已知椭圆的离心率为，且经过点，两个焦点分别为F1，F2．（1）求椭圆C的方程；（2）过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若△AF2B的内切圆半径为，求以F2为圆心且与直线l相切的圆的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由椭圆的离心率为，且经过点，求出a，b，c，由此能求出椭圆方程．（Ⅱ）设直线l的方程为x=ty﹣1，代入椭圆方程得（4+3t2）y2﹣6ty﹣9=0，由此利用韦达定理、根的判别式、弦长公式、直线与圆相切，结合已知条件能求出圆的方程．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆的离心率为，且经过点，两个焦点分别为F1，F2．∴，a=2c，∴a2=4c2，b2=3c2，将点的坐标代入椭圆方程得c2=1，故所求椭圆方程为．…（Ⅱ）设直线l的方程为x=ty﹣1，代入椭圆方程得（4+3t2）y2﹣6ty﹣9=0，判别式大于0恒成立，设A（x1，y1），B（x2，y2），△AF2B的内切圆半径为r0，则有，，∴=，而==，∴，解得t2=1，∵所求圆与直线l相切，∴半径=，∴所求圆的方程为（x﹣1）2+y2=2．…21．已知函数f（x）=+ax，x＞1．（Ⅰ）若f（x）在（1，+∞）上单调递减，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若a=2，求函数f（x）的极小值；（Ⅲ）若方程（2x﹣m）lnx+x=0在（1，e]上有两个不等实根，求实数m的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过f′（x）≤0在x∈（1，+∞）上恒成立，得到a的不等式，利用二次函数的求出最小值，得到a的范围．（Ⅱ）利用a=2，化简函数的解析式，求出函数的导数，然后求解函数的极值．（Ⅲ）化简方程（2x﹣m）lnx+x=0，得，利用函数f（x）与函数y=m在（1，e]上有两个不同的交点，结合由（Ⅱ）可知，f（x）的单调性，推出实数m的取值范围．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）函数f（x）=+ax，x＞1．，由题意可得f′（x）≤0在x∈（1，+∞）上恒成立；﹣﹣﹣∴，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵x∈（1，+∞），∴lnx∈（0，+∞），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴时函数t=的最小值为，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）当a=2时，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣令f′（x）=0得2ln2x+lnx﹣1=0，解得或lnx=﹣1（舍），即﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当时，f'（x）＜0，当时，f′（x）＞0∴f（x）的极小值为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅲ）将方程（2x﹣m）lnx+x=0两边同除lnx得整理得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣即函数f（x）与函数y=m在（1，e]上有两个不同的交点；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由（Ⅱ）可知，f（x）在上单调递减，在上单调递增，当x→1时，，∴，实数m的取值范围为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB切⊙O于点B，直线AO交⊙O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C．（Ⅰ）证明：∠CBD=∠DBA；（Ⅱ）若AD=3DC，BC=，求⊙O的直径．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）根据直径的性质即可证明：∠CBD=∠DBA；（Ⅱ）结合割线定理进行求解即可求⊙O的直径．【解答】证明：（Ⅰ）∵DE是⊙O的直径，则∠BED+∠EDB=90°，∵BC⊥DE，∴∠CBD+∠EDB=90°，即∠CBD=∠BED，∵AB切⊙O于点B，∴∠DBA=∠BED，即∠CBD=∠DBA；（Ⅱ）由（Ⅰ）知BD平分∠CBA，则=3，∵BC=，∴AB=3，AC=，则AD=3，由切割线定理得AB2=AD•AE，即AE=，故DE=AE﹣AD=3，即可⊙O的直径为3．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系x Oy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标中，圆C的方程为．（Ⅰ）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P坐标为，圆C与直线l交于A，B两点，求|PA|+|PB|的值．【考点】直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）先利用两方程相加，消去参数t即可得到l的普通方程，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得圆C的直角坐标方程．（Ⅱ）把直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，利用参数的几何意义，求|PA|+|PB|的值．【解答】解：（Ⅰ）由得直线l的普通方程为x+y﹣3﹣=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣2分又由得ρ2=2ρsinθ，化为直角坐标方程为x2+（y﹣）2=5；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣5分（Ⅱ）把直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得（3﹣t）2+（t）2=5，即t2﹣3t+4=0设t1，t2是上述方程的两实数根，所以t1+t2=3又直线l过点P，A、B两点对应的参数分别为t1，t2，所以|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=3．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣10分．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|（a∈R）（1）当a=4时，求不等式f（x）≥5的解集；（2）若f（x）≥4对x∈R恒成立，求a的取值范围．【考点】带绝对值的函数；绝对值不等式．【分析】（Ⅰ）不等式即|x﹣1|+|x﹣4|≥5，等价于，或，或，分别求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．（Ⅱ）因为f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|≥|a﹣1|，由题意可得|a﹣1|≥4，与偶此解得a的值．【解答】解：（Ⅰ）当a=4时，不等式f（x）≥5，即|x﹣1|+|x﹣4|≥5，等价于，，或，或．解得：x≤0或x≥5．故不等式f（x）≥5的解集为{x|x≤0，或x≥5}．…（Ⅱ）因为f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|≥|（x﹣1）﹣（x﹣a）|=|a﹣1|．（当x=1时等号成立）所以：f（x）min=|a﹣1|．…由题意得：|a﹣1|≥4，解得a≤﹣3，或a≥5．…2016年9月4日。

甘肃省兰州市2017年高考实战模拟考试数学试题(理)有答案

兰州市2017年高考实战模拟考试理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{1,0,1,2,3}M =-，2{|20}N x x x =->，则MN =（）A ．{3}B ． {2,3}C ． {1,3}-D ．{0,1,2} 2.若复数z 满足(1)|1|z i i i -=-+，则z 的实部为（） A．12 B1 C ．1 D．123.设向量(1,)a x x =-，(2,4)b x x =+-，则“a b ⊥”是“2x =”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4.若等比数列{}n a 的各项都是正数，且1321,,22a a a 成等差数列，则91078a a a a +=+（）A ．12B ．322- C. 12+ D ．322+ 5.某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（）A ． 2014B ．2015 C. 2016 D ．20176.已知(4,0)M -，(0,3)N -，(,)P x y 的坐标,x y 满足003412x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则PMN ∆面积的取值范围是（）A ．[12,24]B ．[12,25] C. [6,12] D ．25[6,]27.某国际会议结束后，中、美、俄等21国领导人合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，中国领导人站在前排正中间位置，美俄两国领导人也站前排并与中国领导人相邻，如果对其他国家领导人所站位置不做要求，那么不同的站法共有（）A ．1818A种 B ．2020A 种 C. 231031810A A A 种 D ．218218A A 种 8.某几何体的三视图如图所示，则下列说法正确的是（） ①该几何体的体积为16； ②该几何体为正三棱锥；③该几何体的表面积为32+ ④该几何体外接球的表面积为3π.A ．①②③B ．①②④ C. ①③④ D ．②③④9.若直线:10(0,0)l ax by a b ++=>>把圆22:(4)(1)16C x y +++=分成面积相等的两部分，则当ab 取得最大值时，坐标原点到直线l 的距离是（） A ． 4 B ．1781710.已知长方体1111ABCD A B C D -中，1B C ，1C D 与底面ABCD 所成的角分别为60和45，则异面直线1B C 和1C D 所成角的余弦值为（）A ．4 B ．14C. 6 D ．6 11.已知12,F F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，以12F F 为直径的圆与双曲线右支的一个交点为P ，1PF 与双曲线相交于点Q ，且1||2||PQ QF =，则该双曲线的离心率为（）A ．12.已知,a b R ∈，定义运算“⊗”： ,1,1a ab a b b a b -≤⎧⊗=⎨->⎩，函数2()(2)(1)f x x x =-⊗-，x R ∈，若方程()0f x a -=只有两个不同实数根，则实数a 的取值范围是（）A ．[2,1](1,2)-- B ．(2,1](1,2]-- C. [2,1][1,2]-- D ．(2,1](1,2)--第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若sin sin 12αβ-=-，1cos cos 2αβ-=，则cos()αβ-= ． 14.观察下列式子：1，121++，12321++++，1234321++++++，…，由以上可推测出一个一般性结论：对于*n N ∈，则1221n ++++++= ．15.已知函数：①()2sin(2)3f x x π=+；②()2sin(2)6f x x π=-；③1()2sin()23f x x π=+；④1()2sin()23f x x π=-.其中，最小正周期为π且图象关于直线3x π=对称的函数序号是．16.已知定义域为[0,)+∞的函数()f x 满足()2(2)f x f x =+，当[0,2)x ∈时，2()24f x x x =-+，设()f x 在[22,2)n n -上的最大值为*()n a n N ∈，且数列{}n a 的前n 项和为n S ，则n S = ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在ABC ∆中，,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若tan tan tan 1)A C A C +=-. （1）求角B ；（2）如果2b =，求ABC ∆面积的最大值.18. 现如今，“网购”一词不再新鲜，越来越多的人已经接受并喜欢了这种购物方式，但随之也出现了商品质量不能保证与信誉不好等问题，因此，相关管理部门制定了针对商品质量与服务的评价体系，现从评价系统中选出成功交易200例，并对其评价进行统计：对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次.（1）依据题中的数据完成下表，并通过计算说明，能否有99.9%的把握认为“商品好评与服务好评”有关；（2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行了5次购物，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X ，求X 的分布列（概率用算式表示）、数学期望和方差.19. 如图所示的空间几何体ABCDEFG 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，AE ⊥平面ABCD ，//EF AB ，//EG AD ，1EF EG ==，3AE =.（1）求证：平面CFG ⊥平面ACE ；（2）求平面CEG 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值.20. 已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，左顶点为A ，左焦点为1(2,0)F -，点(2,B 在椭圆C 上，直线(0)y kx k =≠与椭圆C 交于,P Q 两点，直线,AP AQ 分别与y 轴交于点,M N . （1）求椭圆C 的方程；（2）以MN 为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由. 21. 已知函数2()ln f x ax bx x x =++在(1,(1))f 处的切线方程为320x y --=. （1）求实数,a b 的值；（2）设2()g x x x =-，若k Z ∈，且(2)()()k x f x g x -<-对任意的2x >恒成立，求k 的最大值.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，已知点(1,1)B ，曲线C的参数方程为2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，点A的极坐标为)4π，直线l 的极坐标方程为cos()4a πρθ-=，且l 过点A ；过点B 与直线l 平行的直线为1l ，1l 与曲线C 相交于两点,M N . （1）求曲线C 上的点到直线l 距离的最小值；（2）求||MN 的值. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|1|||f x x x a =-++.（1）当3a =时，解关于x 的不等式|1|||6x x a -++>；（2）若函数()()|3|g x f x a =-+存在零点，求实数a 的取值范围.试卷答案一、选择题14. 2n 15. ② 16. 2142n -- 三、解答题17. 解：（Ⅰ）∵tan tan tan 1)A C A C +=-，即tan tan 1tan tan A CA C+=-∴tan()A C += 又∵A B C π++= ∴tan B =由于B 为三角形内角，故3B π=（Ⅱ）在ABC ∆中，由余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==，所以224a c ac +=+ ∵222a c ac +≥ ∴4ac ≤，当且仅当2a c ==时等号成立∴ABC ∆的面积11sin 422S ac B =≤⨯=∴ABC ∆18. 解：（Ⅰ）根据题中条件可得关于商品和服务的22⨯列联表：22200(80104070)100=11.11110.82815050120809K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯因此，有99.9%的把握认为“商品好评与服务好评”有关. （Ⅱ）由题可得，每次购物时，对商品和服务都好评的概率为8022005= X 的所有可能的取值为0,1,2,3,4,5，则X ～2(5,)5B ，所以53(0)()5P X ==，114523(1)()()55P X C ==，223523(2)()()55P X C ==，332523(3)()()55P X C ==，44523(4)()()55P X C ==，52(5)()5P X ==分布列为：由于X ～(5,)5B ，所以2()525E x =⨯=，226()5(1)555D X =⨯⨯-= 19. 解：（Ⅰ）证明：连接BD 交AC 于点O ，则BD ⊥AC 设AB ，AD 的中点分别为M ，N ，连接MN ，则MN ∥BD ，连接FM ，GN ，则FM ∥GN 且FM GN =，所以MN ∥FG ，所以BD ∥FG 由于AE ⊥平面ABCD ，所以 AE ⊥BD所以FG AC ⊥，FG AE ⊥，所以FG ⊥平面ACE 所以平面CFG ⊥平面ACE （Ⅱ）解法一：∵EG ∥AD ，∴EG ∥BC∴平面CEG 与平面ABCD 所成的锐二面角即为平面EBCG 与平面ABCD 所成的锐二面角连接BE ，∵AE ⊥平面ABCD ，AB BC ⊥ ∴BE BC ⊥ ∴EBA ∠为平面EBCG 与平面ABCD 所成二面角的一个平面角 ∵3AE =，2AB = ∴BE =∴cos AB EBA EB ∠==即平面CEG 与平面ABCD 解法二：建立如图所示空间直角坐标系A xyz -，则(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0)(0,0,3)A B C E ，，(0,1,3)G 依题意(0,0,3)AE =为平面ABCD 的一个法向量，设(,,)n x y z =为平面CEG 的一个法向量，则00n CE n CG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即2302230x y z x y z --+=⎧⎨--+=⎩令3x =，则0,2y z ==，所以(3,0,2)n =设平面CEG 与平面ABCD 所成的锐二面角为α，则cos ||13||||313AE n AE n α⋅===⋅ 即平面CEG 与平面ABCD 21320. 解：（Ⅰ）设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>∵椭圆的左焦点为1(20)F -，， ∴224a b -=． ∵点(B 在椭圆C 上， ∴22421a b+=．解得，28a=，24b =．所以椭圆C 的方程为22184x y +=．（Ⅱ）依题意点A 的坐标为(-，设00(,)P x y （不妨设00x >），则00(,)Q xy --由22184y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得00x y == 所以直线AP的方程为y x =+直线AQ的方程为y x =+所以M ，N所以，|||MN=-=设MN的中点为E，则点E的坐标为(0,，则以MN为直径的圆的方程为22222(12)(kx yk k+++=，即224x y yk++=令0y=得2x=或2x=-，即以MN为直径的圆经过两定点1(2,0)P-，2(2,0)P21. 解：（Ⅰ）()21lnf x ax b x'=+++，所以213a b++=且=1a b+，解得=1a，0b=（Ⅱ）由（Ⅰ）与题意知()()ln22f xg x x x xkx x-+<=--对任意的2>x恒成立，设ln()(2)2x x xh x xx+=>-，则242ln()(2)x xh xx--'=-，令()42ln(2)m x x x x=-->，则22()10xm xx x-'=-=>，所以函数()m x为(2,)+∞上的增函数.因为2(8)42ln842ln440m e=-<-=-=，3(10)62ln1062ln660m e=->-=-=所以函数()m x在(8,10)上有唯一零点x，即有0042ln0x x--=成立，所以0042ln0x x--=故当2x x<<时，()0m x<，即()0h x'<；当x x<时，()0m x>，即()0h x'>所以函数()h x在(1,)x上单调递减，在(,)x+∞上单调递增所以0000min0004(1)ln2()()212xxx x x xh x h xx x-++====--所以02xk<，因为(8,10)x∈，所以0(4,5)2x∈，又因Zk∈所以k最大值为422. 解：（Ⅰ）因为)4Aπ，且A l∈，所以)44aππ-=，即a=所以直线l的极坐标方程为cos()4πρθ-=所以cos cos sin sin44ππρθρθ+=即直线l 的直角坐标方程为8x y += 设曲线C 上的点到直线l 距离为d，则d ==所以曲线C 上的点到直线l 距离的最小值为2==（Ⅱ）设1l 的方程为0x y m ++=，由于1l 过点B ，所以2m =-，所以1l 的方程为20x y +-=故1l的参数方程为1212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t为参数），曲线C 的普通方程为22143x y +=所以223(1)4(1)1222-++=，即有27100t +-=所以121210+7t t t t =⋅=-所以12||||MN t t =-=7== 23.解：（Ⅰ）当3a =时，不等式为|1||3|6x x -++> 即3136x x x ≤-⎧⎨--->⎩或31136x x x -<≤⎧⎨-++>⎩或1136x x x >⎧⎨-++>⎩解得：4x <-或2x >所以所求不等式的解集为(,4)(2,)-∞-+∞ ……………5分（Ⅱ）函数()()|3|g x f x a =-+存在零点等价为关于x 的方程|1|||=|3|x x a a -+++ 有解因为|1||||1()||1|x x a x x a a -++≥-++=+ 所以|3||1|a a +≥+，即22|3||1|a a +≥+ 解得2a ≥-所以实数a 的取值范围是[2,)-+∞。

2017年甘肃省兰州市高三理科一模数学试卷

2017年甘肃省兰州市高三理科一模数学试卷一、选择题（共12小题；共60分）1. 设是坐标原点，点，若点为平面区域上的一个动点，则的取值范围为______A. B. C. D.2. 已知复数满足，则A. B. C. D.3. 已知等差数列的前项和为，若，则A. B. C. D.4. 已知某种商品的广告费支出（单位：万元）与销售额（单位：万元）之间有如下对应数据：根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出与的线性回归方程为，则表中的值为A. B. C. D.5. 下列命题中，真命题为A. ，B. ，C. 已知，为实数，则的充要条件是D. 已知，为实数，则，是的充分不必要条件6. 某几何体三视图如图所示，则该几何体的表面积为A. B. C. D.7. 设变量，满足不等式组则的最小值是A. B. C. D.8. 如图中的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入，，的值分别为，，时，则输出的A. B. C. D.9. 已知圆和两点，，若圆上存在点，使得，则当取得最大值时，点的坐标是A. B. C. D.10. 函数的部分图象如图所示，如果，则A. B. C. D.11. 已知，为双曲线的左、右焦点，点为双曲线右支上一点，直线与圆相切，且，则双曲线的离心率为A. B. C. D.12. 已知二次函数，且函数在上恰有一个零点，则不等式的解集为______A. B.C. D.二、填空题（共4小题；共20分）13. ______．14. 的展开式中，项的系数为______．（用数字作答）15. 已知在三棱锥中，，，，，，且平面平面，那么三棱锥外接球的体积为______．16. 已知数列中，，为数列的前项和，且当时，有成立，则 ______．三、解答题（共7小题；共91分）17. 已知在中，角，，的对边分别为，，，且．（1）求角的大小；（2）若，，求的面积．18. 随着人口老龄化的到来，我国的劳动力人口在不断减少，“延迟退休”已经成为人们越来越关注的话题，为了解公众对“延迟退休”的态度，某校课外研究性学习小组在某社区随机抽取了人进行调查，将调查情况进行整理后制成下表：年龄人数经调查年龄在，的被调查者年龄人数中赞成人数分别是人和人，现从这两组的被调查者中各随机选取人，进行跟踪调查．（1）求年龄在的被调查者中选取的人都赞成“延迟退休”的概率；（2）若选中的人中，不赞成“延迟退休”的人数为，求随机变量的分布列和数学期望．19. 在正三棱柱中，，，点为的中点；Array（1）求证：平面；（2）若点为上的点，且满足，若二面角的余弦值为，求实数的值．20. 已知椭圆经过点，且离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）设，是椭圆上的点，直线与（为坐标原点）的斜率之积为，若动点满足，试探究，是否存在两个定点，，使得为定值?若存在，求，的坐标，若不存在，请说明理由．21. 已知函数在上是增函数，且．（1）求的取值范围；（2）若，试说明．22. 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，的极坐标方程为．（1）求圆的直角坐标系方程与直线的普通方程；（2）设直线截圆的弦长等于圆的半径长的倍，求的值．23. 已知函数的定义域为．（1）求的取值范围；（2）若的最大值为，解关于的不等式：．答案第一部分1. C2. D3. B4. D5. D6. A7. B8. B9. D 10. C11. C 12. C第二部分13.14.15.16.第三部分17. （1）在中，由正弦定理得，即，又角为三角形内角，，所以，即，又因为，所以．（2）在中，由余弦定理得：，则，即，解得（舍）或，又，所以．18. （1）设“年龄在的被调查者中选取的人都赞成“延迟退休””为事件，则．（2）的可能取值为，，，．，，，．的分布列如下：所以．19. （1）连接于，则为的中点，连接，则，平面，所以平面．（2）过作于，则平面，过作，垂足为，连接，则，所以为二面角的一个平面角，设，则，所以，所以，因为，所以，所以，因为，故，解得，此时，点为的中点，所以．20. （1）因为椭圆经过点，且离心率为，所以解得，，所以椭圆的方程为．（2）设，，，则由，得，，因为，都在椭圆上，所以，，所以设，所以，所以，所以点是椭圆上的点，所以由椭圆的定义知存在点，，满足为定值，又因为，所以，的坐标分别为，．21. （1），由，且，得，即，因为，所以，即；（2）因为，由（1）知，．所以，又在上是增函数，所以，即．化简得：；．令，则．所以函数在上为减函数．所以．综上，．22. （1）直线的参数方程为（为参数），消去参数，可得：；由圆的极坐标方程为，可得，根据，，可得圆的直角坐标系方程为：，即．（2）由（1）可知圆的圆心为，半径，直线方程为；那么：圆心到直线的距离，直线截圆的弦长为，解得：或，故得直线截圆的弦长等于圆的半径长的倍时的值为或．23. （1）由题意，恒成立．因为，所以；（2）的最大值为，关于的不等式：．所以或所以或，所以不等式的解集为．。

甘肃省兰州市高三数学冲刺模拟考试试题理(含解析)

甘肃省兰州市2017届高三冲刺模拟试题数学（理科）注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22－23题为选考题，其它题为必考题．考生作答时，将答案答在答题卡上．在本试卷上答题无效．2．选择题答案使用2B铅笔填涂；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．4．保持卡面清洁，不折叠，不破损．5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，集合，则A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：，所以，选C.考点：集合运算【方法点睛】1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．2. 设复数满足，则A. B. C. D.【答案】B【解析】由，得，即，则，故选B.3. 等差数列的前项和为，且满足，则A. B. C. D.【答案】A【解析】，故选A.4. 已知向量满足，，则A. B. C. D.【答案】B【解析】由即，得，而，故，故选B.5. 已知实数满足，则的最小值是A. B. C. D.【答案】C【解析】作出不等式对应的平面区域，由，得，平移直线，由图可知当直线经过点B时，直线的截距最小，此时最小，由解得，即，此时的最小值为，故选C.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.6. 在平面直角坐标系中，已知过点（1，1）的直线与圆相切，且与直线垂直，则实数A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意，直线的斜率，∴，故选A.7. 宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.右图是源于其思想的一个程序框图，若输入的、分别为、，则输出的A. B. C. D.【答案】C【解析】，，，判断否，所以，进入循环，，判断是，输出，故选A.8. 任取实数，则满足的概率为A. B. C. D.【答案】D【解析】如图示：，，∴满足条件的概率为：，故选D.9. 已知一正方体截去两个三棱锥后，所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. B. 7 C. D.【答案】B【解析】试题分析：截去的两个三棱锥的高为2，底分别为腰为1的等腰直角三角形以及直角边为1和2的直角三角形，所以几何体的体积为，选B.考点：三视图【思想点睛】空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解.(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解.(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.10. 已知函数（）的图象向右平移个单位后关于轴对称，则在区间上的最小值为A. B. C. D.【答案】D【解析】函数，（）的图象向右平移个单位后，可得的图象，再根据所得图象关于轴对称，可得，故，，在区间上，，，故f（x）的最小值为，故选D.11. 为双曲线右支上一点，、分别为双曲线的左顶点和右焦点，且为等边三角形，则双曲线的离心率为A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意，，，由双曲线的定义可得，∴，∴，∴，故选A.12. 定义在上的奇函数满足，且当时，不等式恒成立，则函数的零点的个数为A. B. C. D.【答案】C【解析】定义在的奇函数满足：，且，又时，，即，∴，函数在时是增函数，又，∴是偶函数；∴时，是减函数，结合函数的定义域为，且，可得函数与的大致图象如图所示，∴由图象知，函数的零点的个数为3个，故选C.点睛：本题考查了函数的单调性与导数之间的应用问题，也考查了函数零点个数的判断问题，是中档题目；由题意可得到函数在时是增函数，再由函数是定义在R上的奇函数得到为偶函数，结合，作出两个函数与的大致图象，即可得出答案.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 二项式的展开式中的常数项为________.【答案】－84【解析】展开式的通项为，令得，故的展开式中的常数项为，故答案为.14. 在一次连环交通事故中，只有一个人需要负主要责任，但在警察询问时，甲说：“主要责任在乙”；乙说：“丙应负主要责任”；丙说“甲说的对”；丁说：“反正我没有责任”．四人中只有一个人说的是真话，则该事故中需要负主要责任的人是________．【答案】甲【解析】试题分析：若负主要责任的是甲，则甲乙丙都在说假话，只有丁说真话，符合题意．若负主要责任的是乙，则甲丙丁都在说真话，不合题意．若负主要责任的是丙，则乙丁都在说真话，不合题意．若负主要责任的是丁，则甲乙丙丁都在说假话，不合题意．考点：逻辑推理．15. 已知三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都相等，若该三棱柱的顶点都在球的表面上，且三棱柱的体积为，则球的表面积为________.【答案】【解析】试题分析：由题意知三棱柱是底面边长等于侧棱长的正三棱柱，设正三棱柱的侧棱长为，则有，得，连接上下底面中心为，则中点既是球心，则，球的表面积为，由故答案为.考点：1、棱柱的体积公式；2、多面体外接球的性质及球的表面积公式.【方法点睛】本题主要考查棱柱的体积公式、多面体外接球的性质及球的表面积公式，关键是求出求的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用（为三棱的长）；②若面（），则（为外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径.16. 已知数列、满足，其中是等差数列，且，则________.【答案】2017【解析】由于，所以，因为是等差数列，故，故答案为.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. （本小题满分12分）已知的内角，，的对边分别为，，，且满足．（Ⅰ）求角；（Ⅱ）若,的中线，求面积的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】试题分析：（Ⅰ）利用余弦定理表示出，把已知等式利用正弦定理化简，整理后代入计算求出的值，即可确定出的大小；（Ⅱ）结合的模长公式以及余弦定理可得的值，进而可求出面积.试题解析：（I）由正弦定理得：，由余弦定理可得，∴（II ）由可得：，即，又由余弦定理得，∴，∴．18. （本小题满分12分）某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表（假设该区域空气质量指数不会超过）：空气质量指数空气质量等级级优级良级轻度污染级中度污染级重度污染级严重污染该社团将该校区在年天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制的频率分布直方图如下图，把该直方图所得频率估计为概率．（Ⅰ）请估算年（以天计算）全年空气质量优良的天数(未满一天按一天计算)；（Ⅱ）该校年月、日将作为高考考场，若这两天中某天出现级重度污染，需要净化空气费用元，出现级严重污染，需要净化空气费用元，记这两天净化空气总费用为元，求的分布列及数学期望．【答案】（Ⅰ）110；（Ⅱ）分布列见解析，期望为6000．【解析】试题分析: （Ⅰ）根据频率分布直方图知小长方形面积为对应区间概率，先计算空气质量优良区间对应的概率，再根据频数等于总数乘以概率得空气质量优良的天数，（Ⅱ）先确定随机变量取法，再分别求对应概率，列表得分布列，最后根据期望公式求数学期望.试题解析: （Ⅰ）由直方图可估算年（以天计算）全年空气质量优良的天数为（天）．（Ⅱ）由题可知，的所有可能取值为：，，，，，，，则：，．的分布列为（元）．19. （本小题满分12分）在四棱锥中，底面为平行四边形，，，，点在底面内的射影在线段上，且，，为的中点，在线段上，且．（Ⅰ）当时，证明：平面平面；（Ⅱ）当平面与平面所成二面角的正弦值为时，求四棱锥的体积．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．【解析】试题分析：（Ⅰ）接，作交于点，则四边形为平行四边形，在中由余弦定理得，由勾股定理可得，在中，，分别是，的中点，结合中位线及平行的传递性可得，故可得平面，由线面平行判定定理可得结论；（Ⅱ）以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量与二面角平面角之间关系可得：，由棱锥的体积公式可得结果.试题解析：（Ⅰ）证明：连接，作交于点，则四边形为平行四边形，，在中，，，，由余弦定理得．所以，从而有.在中，，分别是，的中点，则，，因为，所以.由平面，平面，得，又，，得平面，又平面，所以平面平面.（Ⅱ）以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，.平面的一个法向量为.设平面的法向量为，由，，得令，得.由题意可得，，解得，所以四棱锥的体积.20.已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若直线交椭圆于两点，线段的中点为，为坐标原点，且，求面积的最大值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）1．【解析】试题分析：（Ⅰ）由椭圆的离心率为，且点在椭圆上，列出方程组求出，由此能求出椭圆的方程；（2）设与轴的交点为，直线，联立方程组，得，由此利用韦达定理、弦长公式、均值定理，结合已知条件能求出面积的最大值.试题解析：（Ⅰ）由已知得，，解得，,椭圆的方程是.（Ⅱ）设l与x轴的交点为，直线，与椭圆交点为，，联立，，得，∴ ，，∴ ，即，由，得，则S△POQ，令，设，则，当且仅当，即，S△POQ，所以△面积的最大值为1.点睛：本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、弦长公式、均值定理、椭圆性质的合理运用；当直线与椭圆相交时，设出直线方程，联立方程组运用韦达定理得中点的坐标，进而可将用表示，结合三角形面积公式，运用基本不等式求其最值.21. 设函数（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）若有两个不相等的实数根，求证【答案】（Ⅰ）当时，在上单调递增.当时，在上单调递减，在上单调递增.（Ⅱ）见解析．【解析】试题分析：（I）求出函数的导数通过当时，当时，判断导函数的符号，推出函数的单调区间；（II）通过是方程的两个不等实根，且，设，将根代入方程相减化简可得，求出，令，利用导数判断单调性，求出，可得结果.试题解析：（I），当时，恒成立，所以在上单调递增，当时，解得解得所以在上单调递减，在上单调递增，综上，当时，在上单调递增.当时，在上单调递减，在上单调递增.（II）有两个不相等的实数根，不妨设，，，而令所以在单调递增.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所作的第一题记分．作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．22. 选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求圆的普通方程；（Ⅱ）直线的极坐标方程是，射线与圆的交点为、，与直线的交点为，求线段的长.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）3．【解析】试题分析：（Ⅰ）利用，即可把圆的参数方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）首先得到圆的极坐标方程，设，由，联立即可解得，设，同理可解得，利用即可得出.试题解析：(I)由圆的参数方程（为参数）知，圆的圆心为，半径为，圆的普通方程为，（Ⅱ）将代入得圆的极坐标方程为，设，则由解得设，则由解得，所以.点睛：本题考查了利用极坐标方程求曲线的交点弦长，考查了推理能力与计算能力，属于中档题；将参数方程化为普通方程主要通过消参法，将直角坐标方程化为极坐标方程主要通过来实现；联立极坐标方程求出的解即为交点的极坐标，通过极坐标中的意义即可求出两点间的距离.23. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数，不等式的解集为.（Ⅰ）求；（Ⅱ）证明：当，时，.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析．【解析】试题分析：（Ⅰ）利用绝对值的代数意义和零点分段讨论法去掉绝对值符号，得到分段函数，再利用函数的单调性得到不等式的解集；（Ⅱ）通过平方、作差、分解因式进行证明即可．试题解析：（Ⅰ）由的单调性及得，或．所以不等式的解集为.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，所以，，，所以，从而有．。

甘肃省天水市兰州市2017届高三数学下学期一模考试试题_1

甘肃省天水市、兰州市2017届高三数学下学期一模考试试题理第Ⅰ卷一、选择题1．已知集合()(){}310M x x x =-+≥，{}22N x x =-≤≤，则M N =I （） A ．[]2,1- B ．[]1,2- C ．[]1,1- D ．[]1,2 2．已知复数z 满足()3425i z -=，则z =（）A ．34i --B ．34i -+C ．34i +D ．34i - 3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n s ，若35724a a a ++=，则9s =（） A ．36 B ．72 C ．144 D ．2884．已知某种商品的广告费支出x （单位：万元）与销售额y （单位：万元）之间有如下对应数据：x2 4 5 6 8 y304050m70根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y 与x 的线性回归方程为 6.517.5y x =+，则表中m 的值为（）A ．45B ．50C ．55D ．60 5．下列命题中，真命题为（） A ．0x R ∃∈，00x e ≤ B ．x R ∀∈，22x x >C ．已知,a b 为实数，则0a b +=的充要条件是1ab=- D ．已知,a b 为实数，则1a >，1b >是1ab >的充分不必要条件 6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A ．()95π+ B ．()925π+ C ． ()105π+ D ．()1025π+7．设变量,x y 满足不等式组3123x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，则22x y +的最小值是（）A ．322B ．92C ．5D ．58．如图中的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算法》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入,,a b i 的值分别为6,8,0，则输入的i =（）A ．3B ．4C ．5D ．6 9．已知圆(()22:311C x y +-=和两点(),0A t -，(),0B t ，()0t >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ︒∠=，则当t 取得最大值时，点P 的坐标是（）A ．332,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B ．323,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C ． 333,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D ．333,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭10．函数()()sin ,0,2f x x x R πωϕωϕ⎛⎫=+∈>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示：如果1223x x π+=，则()()12f x f x +=（）A ．3 B ．22C ．0D ．12-11．已知12,F F 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右焦点，点P 为双曲线C 右支上一点，直线1PF 与圆222x y a +=相切，且212PF F F =，则双曲线C 的离心率为（）A ．10B ．43C ．53D ．212．设函数()f x 在R 上的导函数为()'f x ，对x R ∀∈有()()2f x f x x +-=，在()0,+∞上，()'0f x x -<，若()()484f m f m m --≥-，则实数m 的取值范围是（）A ．[)2,+∞B ．(],2-∞C ．(][),22,-∞+∞UD ．[]2,2-第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题13．22cos 165sin 15-= ．14．()61x x-的展开式中，2x 项的系数为．（用数字作答）15．已知在三棱锥P ABC -中，433P ABC V -=，4APC π∠=，3BPC π∠=，PA AC ⊥，PB BC ⊥，且平面PAC ⊥平面PBC ，那么三棱锥P ABC -外接球的体积为． 16．已知数列{}n a 中，11,n a S =为数列{}n a 的前n 项和，且当2n ≥时，有221nn n na a S S =-成立，则2017S = ．三、解答题17．已知在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin cos 0a B b A +=．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若25a =，2b =，求ABC ∆的面积S ．18．随着人口老龄化的到来，我国的劳动力人口在不断减少，“延迟退休”已经成为人们越来越关心的话题，为了解公众对“延迟退休”的态度，某校课外研究性学习小组在某社区随机抽取了50人进行调查，将调查情况进行整理后制成下表：年龄 [)20,25[)25,30[)30,35[)35,40[)40,45人数 45853年龄 [)45,50[)50,55[)55,60[)60,65[)65,70人数67354经调查年龄在[)25,30，[)55,60的被调查者中赞成“延迟退休”的人数分别是3人和2人，现从这两组的被调查者中各随机选取2人，进行跟踪调查．（Ⅰ）求年龄在[)25,30的被调查者中选取的2人都赞成“延迟退休”的概率；（Ⅱ）若选中的4人中，不赞成“延迟退休”的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望． 19．在正三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，13AA =，点D 为BC 的中点（Ⅰ）求证：1//A B 平面11AC D ；（Ⅱ）若点E 为1A C 上的点，且满足()1A E mEC m R =∈，若二面角E AD C --的余弦值为1010，求实数m 的值．20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>经过点()2,1，且离心率为22．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设,M N 是椭圆上的点，直线OM 与ON （O 为坐标原点）的斜率之积为12-．若动点P 满足2OP OM ON =+，试探究是否存在两个定点12,F F ，使得12PF PF +为定值？若存在，求12,F F 的坐标；若不存在，请说明理由． 21．已知函数()11n xf x x ax-=+在()1,+∞上是增函数，且0a >．（Ⅰ）求a 的取值范围；（Ⅱ）若0b >，试证明11n a b a a b b b+<<+．请考生在22、23两题中任选一题作答．注意：只能做选定的题目，如果多做，则按所做的第一题计分．22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为32545x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数，t R ∈），以原点O 为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为()sin 0a a ρθ=≠．⑴求圆C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程； ⑵设直线l 截圆C 的弦长的半径长的3倍，求a 的值． 23．选修4-5：不等式选讲已知函数()13f x x x m =++--R ．（Ⅰ）求m 的取值范围；（Ⅱ）若m 的最大值为n ，解关于x 的不等式：3224x x n --≤-．试卷答案一、选择题1-5：ACBDD 6-10：ABBDC 11、12：CA 8．B 解析：6a =，8b =，i a =1i =，68<→否68→≠→否862b →=-= 2i =，62>→是624a →=-= 3i =，42>→是422a →=-=4i =，22x >→否a b →=，2a =，4i =9．D 解析：设(a,b)P 为圆上一点，由题意知，0AP BP ⋅= 即()()20a t a t b +-+=2220a t b -+=22222t a t b OP =-+=max 213OP =+=3OP K =所以OP 所在直线倾斜角为30 所以P 的纵坐标为32，P 的横坐标为333322⨯= 所以333(,)22P 10．C 解析：由图知：T π=，2ω=，∴()()sin 2f x x ϕ=+，将,03π⎛⎫⎪⎝⎭代入函数，根据ϕ的范围，则3πϕ=，∴()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭1223x x π+=Q ，∴12,x x 的中点为3π，则()()120f x f x +=，故选C ．11．C 解析：设1PF 与圆相切于点M ，则因为212PF F F =，所以12PFF ∆为等腰三角形，所以1114F M PF =，又因为在直角1F MO ∆中，2222211F M FO a c a =-=-，所以1114F M b PF ==①又12222PF PF a c a =+=+②，222c a b =+③ 故由①②③得，53c e C a ==，故本题选C ． 12．A 解析：令()()212g x f x x =-，()()()()2211022g x g x f x x f x x -+=--+-=．∴函数()g x 为奇函数．()0,x ∈∞时，()()''0g x f x x =-<．故函数()g x 在()0,+∞上是减函数，故函数()g x 在(),0-∞上也是减函数．由()00f =，可得()g x 在R 上是减函数， ∴()()4f m f m --=()()()22114422g m m g m m -+--- ()()48484g m g m m m =--+-≥-∴()()4g m g m -≥ ∴4m m -≤ 解得：2m ≥ 故本题选A ．二、填空题13．解析：22223cos 165sin 15cos 15sin 15cos302-=-==14．解析：在()61x x-的展开式中，它的通项公式为：()5161rrr r T C x -+=⋅⋅-．令52r -=，求得3r =，可得2x 项的系数为3620C -=-15．解析：取PC 的中点O ，连接,AO BO ，设球半径为R ，则2PC R =，PB R =，3BC R =，又AO R =，且由已知条件AO ⊥平面PBC ，所以由体积可得1143332P ABC V R R R -=⨯⨯⨯=，解得2R =，所以三棱锥P ABC -外接球的体积为343233V R ππ==． 16．解析：当2n ≥时，由221nn n na a S S =-，得()2112n n n n n n n S S a S S S S ---=-=-，所以21221n S S --=，又122S =，所以2n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以2为首项，1为公差的等差数列，所以 221n S =+，故221S n =+，则201711009S = 三、解答题17．解析：（Ⅰ）∵sin cos 0a B b A +=∴sin sin sin cos 0A B B A += 即sin (sin cos )0B A A += 由于B 为三角形内角，所以sin cos 0A A += 2)04A π+=而A 为三角形内角∴34A π=(Ⅱ)在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos a c b cb A =+- 即222044(c c =+-，解得42c =-(舍)或22c =∴112sin 2222222S bc A ==⨯⨯= 18．解：（Ⅰ）设“年龄在[)25,30的被调查者中选取的2人都是赞成”为事件A ，所以()2325310C P A C ==（Ⅱ）X 的可能取值为0,1,2,3所以()223222531010C C P X C C ===，()1122112323212253215C C C C C C P X C C +=== ()221111223221225313230C C C C C C P X C C +==，()21122122531315C C C P X C C === X 0 1 2 3P110 251330 115所以()0123105301515E X =⨯+⨯+⨯+⨯=19．解：（Ⅰ）证明，连接1A C 交1AC 于F ，则F 为1AC 的中点连接DF ，则1//A B DF ，而DF ⊂平面1AC D 所以1//A B 平面1AC D ；（Ⅱ）方法一：过E 作EM AC ⊥于M ，则EM ⊥平面ABC ，过M 作MN AD ⊥，垂足为N ，连EN ，则EN AD ⊥，所以ENM ∠为二面角E AD C --的一个平面角．设EM h =，则32h CM =，所以23h CM =，所以223hAM =- 因为MN AM CD AC =，所以13AM hMN AC ==- 故22222(1)3h EN EM MN h =+=+-因cos ENM ∠=222(1)1310(1)3h h h -=+-，解得32h = 此时，点E 为1A C 的中点，所以1m =方法二：建立如图所示空间直角坐标系，过E 作EM AC ⊥于M ，则EM ⊥平面ABC ，设EM h =，则()2,0,0A，1(2D ，2(,0,)3h E h ，所以2(2,0,)3h EA h =--，3(2AD =-依题意()10,0,3CC =为平面ADC 的一个法向量，设(),,n x y z =为平面ADE 一个法向量，则由00n EA n AD ⋅=⎧⎨⋅=⎩可得22)3n h =-所以6210-=32h =，所以1m =20.解：(Ⅰ)∵2e = ∴2212b a = 又∵椭圆C经过点 ∴22211a b += 解得：24a =，22b = 所以椭圆C 的方程为22142x y +=．（Ⅱ）设(,)P x y ，11(,)M x y ，22(,)N x y ，则由2OP OM ON =+得即122x x x =+，12+2y y y =，因为点,M N 在椭圆22142x y +=上，所以221124x y +=，222224x y +=故222211222(44)x y x x x x +=++2211222(4+4)y y y y ++22221122(2)4(2)x y x y =+++12124(2)x x y y ++1212204(2)x x y y =++设OM k ，ON k 分别为直线OM 与ON 的斜率，由题意知，121212OM ON y y k k x x ==-g ，因此121220x x y y +=所以22220x y +=，故点P 是椭圆22+12010x y =上的点，所以由椭圆的定义知存在点2,F F，满足12PF PF +==又因为12F F ==，所以2,F F坐标分别为（、．21．解：（Ⅰ）()22111'ax f x ax x ax -=-+=，由于()'0f x ≥，且0a >，所以10ax -≥，即1x a ≥由于()1,x ∈+∞ 所以11a≤，即1a ≥ （Ⅱ）因为0b >，由（Ⅰ）知1a ≥，所以1a b b +>，()11n x f x x ax-=+在()1,+∞上是增函数，所以()1a b f f b +>（），即11n 0a b a b b a b b a b+-++>+⋅，化简得11n a b a b b+<+， 1n a b a b b+<等价为1n 1n(1)0a b a a a b b b b +-=+-<，令()()[)()1n 10,g x x x x =+-∈+∞，则()1'1011x g x x x -=-=<++，所以函数()g x 在[)0,+∞上为减函数．所以()()1n(1)1n00a a a b a g g b b b b+=+=-<=，综上11n a b a a b b b +<<+得证．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程解析：（1）解：(Ⅰ)圆C 的直角坐标方程为222()24a a x y +-=；直线l 的普通方程为4380x y +-=．（Ⅱ）圆2221:()24a C x y a +-=，直线:4380l x y +-=， ∵直线l 截圆C 的弦长等于圆C 的半径长的3倍，∴圆心C 到直线的距离3|8|12522a a d -==⨯，解得32a =或3211a =． 23.选修4-5：不等式选讲【解析】（Ⅰ）因为函数的定义域为R ，所以130x x m ++--≥恒成立，设函数()13g x x x =++-，则m 不大于函数()g x 的最小值，又13(1)(3)4x x x x ++-≥+--=，即()g x 的最小值为4所以4m ≤．（Ⅱ）当m 取最大值4时，原不等式等价于324x x --≤所以有3324x x x ≥⎧⎨--≤⎩，或3324x x x <⎧⎨--≤⎩，解得3x ≥或133x -≤<．所以，原不等式的解集为13x x ⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭．。