广西各市2012年中考数学分类解析 专题5:数量和位置变化
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广西各市2012年中考数学试题分类解析汇编
专题5:数量和位置变化
一、选择题
1. (2012广西桂林3分)如图,把抛物线y =x 2沿直线y =x 个单位后, 其顶点在直线上的A 处,则平移后的抛物线解析式是【 】
A .y =(x +1)2-1
B .y =(x +1)2+1
C .y =(x -1)2+1
D .y =(x -1)2
-1 【答案】C 。
【考点】二次函数图象与平移变换,二次函数的性质,勾股定理。
【分析】首先根据A 点所在位置设出A 点坐标为(m ,m )再根据,利用勾股定理求出
m 的值,然后根据抛物线平移的性质:左加右减,上加下减可得解析式:
∵A 在直线y=x 上,∴设A (m ,m ),
∵OA=
m 2
+m 2
=)2
,解得:m=±
1(m=-1舍去)。
∴A (1,1)。
∴抛物线解析式为:y =(x -1)2+1。
故选C 。
2. (2012广西桂林3分)如图,在边长为4的正方形ABCD 中,动点P 从A 点出发,以每秒1
个单位长度的速度沿AB 向B 点运动,同时动点Q 从B 点出发,以每秒2个单位长度的速度沿BC→CD 方向运动,当P 运动到B 点时,P 、Q 两点同时停止运动.设P 点运动的时间为
t ,△APQ 的面积为S ,则S 与t 的函数关系的图象是【 】
A .
B .
C .
D .
【答案】D 。
【考点】动点问题的函数图象,正方形的性质。
【分析】∵动点Q 从B 点出发,以每秒2个单位长度的速度沿BC→CD 方向运动, ∴点Q 运动到点C 的时间为4÷2=2秒。
由题意得,当0≤t≤2时,即点P 在AB 上,点Q 在BC 上,AP=t ,BQ=2t ,
2
11S A P B Q t 2t t 22
=
⋅⋅=
⋅⋅=,为开口向上的抛物线的一部分。
当2<t≤4时,即点P 在AB 上,点Q 在DC 上,AP=t ,AP 上的高为4,
11S A P 4t 42t 2
2
=
⋅⋅=
⋅⋅=,为直线(一次函数)的一部分。
观察所给图象,符合条件的为选项D 。
故选D 。
3. (2012广西河池3分)下列图象中,表示y 是x 的函数的个数有【 】
A.1个B.2个C.3个D.4个
【答案】B。
【考点】函数的定义
【分析】根据函数的定义可知,满足对于x的每一个取值,y都有唯一确定的值与之对应关系,据此即可确定函数的个数:
第一个图象,对每一个x的值,都有唯一确定的y值与之对应,是函数图象;
第二个图象,对每一个x的值,都有唯一确定的y值与之对应,是函数图象;
第三个图象,对给定的x的值,有两个y值与之对应,不是函数图象;
第四个图象,对给定的x的值,有两个y值与之对应,不是函数图象。
综上所述,表示y是x的函数的有第一个、第二个,共2个。
故选B。
4. (2012广西来宾3分)在平面直角坐标系中,将点M(1,2)向左平移2个长度单位后得到点N,则点N的坐标是【】
A.(-1,2)B.(3,2)C.(1,4)D.(1,0)
【答案】A。
【考点】坐标平移。
【分析】根据坐标的平移变化的规律,左右平移只改变点的横坐标,左减右加。
上下平移只改变点的纵坐标,下减上加。
因此,将点M(1,2)向左平移2个长度单位后得到点N的坐标是(1-2,2),即(-1,2)。
故选A。
5. (2012广西柳州3分)如图,P1、P2、P3这三个点中,在第二象限内的有【】
A.P1、P2、P3B.P1、P2C.P1、P3D.P1
【答案】D。
【考点】点的坐标。
【分析】根据点的坐标的定义,确定出这三个点的位置,即可选择答案:
由图可知,P1在第二象限,点P2在y轴的正半轴上,点P3在x轴的负半轴上,
所以,在第二象限内的有P1。
故选D。
6. (2012广西钦州3分)在平面直角坐标系中,对于平面内任意一点(x,y),若规定以下两种变换:
①f(x,y)=(y,x).如f(2,3)=(3,2);
②g(x,y)=(﹣x,﹣y),如g(2,3)=(﹣2,﹣3).
按照以上变换有:f(g(2,3))=f(﹣2,﹣3)=(﹣3,﹣2),那么g(f(﹣6,7))等于【】A.(7,6)B.(7,﹣6)C.(﹣7,6)D.(﹣7,﹣6)
【答案】C。
【考点】新定义,点的坐标。
【分析】由题意应先进行f方式的变换,再进行g方式的变换,注意运算顺序及坐标的符号变化:∵f(﹣6,7)=(7,﹣6),∴g(f(﹣6,7))=g(7,﹣6)=(﹣7,6)。
故选C。
二、填空题
1. (2012广西北海3分)函数y x的取值范围是▲ 。
【答案】1x 2
≥。
【考点】函数自变量的取值范围,二次根式有意义的条件。
【分析】求函数自变量的取值范围,就是求函数解析式有意义的条件,根据二次根式被开方数必
在实数范围内有意义,必须12x 10x 2
-≥⇒≥。
2. (2012广西北海3分)如图,点A 的坐标为(-1,0),
点B 在直线y =2x -4上运动,当线段AB 最 短时,点B 的坐标是 ▲ 。
【答案】(7
655
-
,)。
【考点】直线上点的坐标与方程的关系,垂直线段最短的性质,
相似三角形的判定和性质。
【分析】如图,由题意,根据垂直线段最短的性质,当线段AB 最短时点B 的位置B 1,有AB 1⊥BD 。
过点B 1作B 1E 垂直x 轴于点E 。
由点C 、D 在直线y =2x -4可得,C (2,0),D (0,-4)
设点B 1(x ,2x -4),则E (x ,0)。
由A (-1,0),得AE= x +1,EB 1=∣2x -4∣=4-2x ,CO=2,DO=4。
易得△AB 1E ∽△DCO ,∴AE EB D O
C O =,即
x+142x 4
2
-=。
解得7
6x 2x 4=55
=--
,。
∴B 1(765
5- ,)。
∴当线段AB 最短时,点B 的坐标是(765
5
- ,)。
3. (2012广西河池3分)如图,在平面直角坐标系中,矩形OEFG 的顶点F 的坐
标为(4,2),将矩形OEFG 绕点O 逆时针旋转,使点F 落在y 轴上,得到矩形OMNP ,OM
与GF 相交于点A .若经过点A 的反比例函数k y (x 0)x
=>
的图象交EF 于点B ,则点B 的坐标为 ▲ .
【答案】(4,
12
)。
【考点】反比例函数综合题,矩形的性质,旋转的性质,相似三角形的判定和性质,曲线上点的
坐标与方程的关系。
【分析】∵矩形OEFG 绕点O 逆时针旋转,使点F 落在y 轴的点N 处,得到矩形OMNP ,
∴∠P=∠POM=∠OGF=90°。
∴∠PON+∠PNO=90°,∠GOA+∠PON=90°。
∴∠PNO=∠GOA 。
∴△OGA ∽△NPO 。
∵E 点坐标为(4,0),G 点坐标为(0,2),∴OE=4,OG=2。
∴OP=OG=2,PN=GF=OE=4。
∵△OGA ∽△NPO ,∴OG :NP=GA :OP ,即2:4=GA :2。
∴GA=1。
∴A 点坐标为(1,2)。
把A (1,2)代入k y x
=
得k=1×2=2。
∴过点A 的反比例函数解析式为2y x
=。
把x=4代入2y x
=
得1y 2
=。
∴B 点坐标为(4,
12
)。
4. (2012广西钦州3分)如图,直线3y x 32
=+﹣与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点,把△AOB
绕点A 旋转90°后得到△AO′B′,则点B′的坐标是 ▲ .
【答案】(﹣1,﹣2)或(5,2)。
【考点】坐标与图形的旋转变化。
【分析】当y=0时,3
x 302+=﹣,解得x=2;当x=0时,y=3。
∴点A (2,0),B (0,3)。
∴OA=2,OB=3, 根据旋转不变性可得△AOB ≌△AO′B′,
∴AO′=OA=2,O′B′=OB=3,
①如果△AOB 是逆时针旋转90°,则点B′(﹣1,﹣2), ②如果△AOB 是顺时针旋转90°,则点B′(5,2)。
综上,点B′的坐标是(﹣1,﹣2)或(5,2)。
5. (2012广西玉林、防城港3分)在平面直角坐标系中,一青蛙从点A(-1,0)处向右跳2个单
位长度,再向上跳2个单位长度到点A′处,则点A′的坐标为 ▲ . 【答案】(1,2)。
【考点】坐标平移。
【分析】根据坐标的平移变化的规律,左右平移只改变点的横坐标,左减右加。
上下平移只改变点的纵坐标,下减上加。
因此,一青蛙从点A(-1,0)处向右跳2个单位长度,再向上跳2个单位长度到点A′处,则点A′的坐标为(-1+2,0+2),即(1,2)。
三、解答题
1. (2012广西北海12分)如图,在平面直角坐标系中有 Rt △ABC ,∠A =90°,AB =AC ,A (-2,0)、 B (0,1)、C (d ,2)。
(1)求d 的值;
(2)将△ABC 沿x 轴的正方向平移,在第一象限内B 、C 两点的对应点B′、C′正好落在某反比
例函数图像上。
请求出这个反比例函数和此时的直线B′C′的解析式;
(3)在(2)的条件下,直线B′C′交y 轴于点G 。
问是否存在x 轴上的点M 和反比例函数图像上
的点P ,使得四边形PGMC′是平行四边形。
如果存在,请求出点M 和点P 的坐标;如果不存在,请说明理由。
【答案】解:(1)作CN ⊥x 轴于点N 。
在Rt △CNA 和Rt △AOB 中, ∵NC =OA =2,AC =AB
∴Rt △CNA ≌Rt △AOB (HL )。
∴AN =BO =1,NO =NA +AO =3, 又∵点C 在第二象限,∴d =-3。
(2)设反比例函数为k y x
=
,点C′和B′在该比例函数图像上,
设C′(c ,2),则B′(c +3,1)。
把点C′和B′的坐标分别代入
k
y
x
=,得k=2 c;k=c+3。
∴2 c=c+3,c=3,则k=6。
∴反比例函数解析式为
6
y
x
=。
得点C′(3,2);B′(6,1)。
设直线C′B′的解析式为y=ax+b,把C′、B′两点坐标代入得
3a b2
6a b1
+=
⎧
⎨
+=
⎩
,解得
1
a
3
b3
⎧
=-
⎪
⎨
⎪=
⎩。
∴直线C′B′的解析式为
1
y x3
3
=-+。
(3)设Q是G C′的中点,由G(0,3),C′(3,2),得点Q的横坐
标为3
2
,点Q的纵坐标为2+
325
=
22
-。
∴Q(
3
2
,
5
2
)。
过点Q作直线l与x轴交于M′点,与
6
y
x
=的
图象交于P′点,若四边形P′G M′ C′是平行四边形,则有P′Q=Q M′,
易知点M′的横坐标大于3
2
,点P′的横坐标小于
3
2。
作P′H⊥x轴于点H,QK⊥y轴于点K,P′H与QK交于点E,作QF⊥x轴于点F,则△P′EQ≌△QFM′
设EQ=FM′=t,则点P′的横坐标x为3
t
2
-,点P′的纵坐标y为
6612
3
x32t
t
2
==
-
-
,点M′的坐
标是(3
t
2
+,0)。
∴P′E=
125
32t2
-
-。
由P′Q=QM′,得P′E2+EQ2=QF2+FM′2,∴
22
22 1255
t t
32t22
⎛⎫⎛⎫
-+=+
⎪ ⎪
-
⎝⎭⎝⎭
,
整理得:
12
5
32t
=
-
,解得
3
t
10
=(经检验,它是分式方程的解)。
∴3336
t
22105
-=-=,
1212
5
3
32t
32
10
==
-
-⨯
,
3339
t
22105
+=+=。
∴P′(6
5
,5),M′(
9
5
,0),则点P′为所求的点P,点M′为所求的点M。
【考点】反比例函数综合题,全等三角形的判定和性质,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,平移的性质,平行四边形的和性质,勾股定理,解分式方程和二元一次方程组。
【分析】(1)作CN⊥x轴于点N,由Rt△CNA≌Rt△AOB即可求得d的值。
(2)根据平移的性质,用待定系数法求出反比例函数和直线B′C′的解析式。
(3)根据平行四边形对角线互相平分的性质,取G C′的中点Q,过点Q作直线l与x轴
交于M′点,与
6
y
x
=的图象交于P′点,求出P′Q=Q M′的点M′和P′的坐标即可。
2. (2012广西河池12分)如图,在等腰三角形ABC 中,AB=AC ,以底边BC 的垂直平分线和
BC 所在 的直线建立平面直角坐标系,抛物线2
17y x x 42
2
=-+
+经过A 、B 两点.
(1)写出点A 、点B 的坐标;
(2)若一条与y 轴重合的直线l 以每秒2个单位长度的速度向右平移,分别交线段OA 、CA
和抛物 线于点E 、M 和点P ,连结PA 、PB.设直线l 移动的时间为t (0<t <4)秒,求四边形PBCA 的面积S (面积单位)与t (秒)的函数关系式,并求出四边形PBCA 的最大面积;
(3)在(2)的条件下,抛物线上是否存在一点P ,使得△PAM 是直角三角形?若存在,请求出点P
的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】解:(1)A (8,0),B (0,4)。
(2)∵AB=AC ,∴OB=OC 。
∴C (0,-4)。
设直线AC :y=kx+b ,由A (8,0),C (0,-4)得
8k +b =0b =4⎧⎨-⎩,解得1k=2b=4
⎧
⎪
⎨⎪-⎩。
∴直线AC :1y=x 42-。
∵ 直线l 移动的速度为2,时间为t ,∴OE=2t 。
设P ()2
2t 2t 7t 4-++ ,
, 在1y=
x 42
-中,令x=2t ,得y=t 4-,∴M (2t ,t 4-)。
∵BC=8,PM=()222t 7t 4t 4=2t 6t 8-++---++,OE=2t ,EA=42t -, ∴(
)
()(
)
2
2
PM A BC M P 11S S S 2t 6t 882t 42t 2t 6t 82
2
∆=+=
⋅-+++⋅+
⋅-⋅-++梯形2
=4t 20t 16-++。
∴四边形PBCA 的面积S 与t 的函数关系式为2S=4t 20t 16-++(0<t <4)。
∵2
2
5S=4t 20t 16=4t 412⎛
⎫-++--+ ⎪⎝
⎭,∴四边形PBCA 的最大面积为41个平方单位。
3. (2012广西柳州12分)如图,在△ABC 中,AB=2,AC=BC=
(1)以AB 所在的直线为x 轴,AB 的垂直平分线为y 轴,建立直角坐标系如图,请你分别写出
A 、
B 、C
三点的坐标;
(2)求过A 、B 、C 三点且以C 为顶点的抛物线的解析式; (3)若D 为抛物线上的一动点,当D 点坐标为何值时,S △ABD =
12
S △ABC ;
(4)如果将(2)中的抛物线向右平移,且与x 轴交于点A′B′,与y 轴交于点C′,当平移多少个单位时,
点C′同时在以A′B′为直径的圆上(解答过程如果有需要时,请参看阅读材料). 附:阅读材料
一元二次方程常用的解法有配方法、公式法和因式分解法,对于一些特殊方程可以通过换元法转
化为一元
二次方程求解.如解方程:y 4-4y 2+3=0. 解:令y 2=x (x≥0),则原方程变为x 2-4x +3=0,解得x 1=1,x 2=3. 当x 1=1时,即y 2=1,∴y 1=1,y 2=-1.
当x 2=3,即y 2
=3,∴y 3= 3 ,y 4=- 3 .
所以,原方程的解是y 1=1,y 2=-1,y 3= 3 ,y 4=- 3 .
再如2
x 2-=
,可设y =
,用同样的方法也可求解.
【答案】解:(1)∵AB 的垂直平分线为y 轴,∴OA=OB=
12
AB=
12
×2=1。
∴A 的坐标是(-1,0),B 的坐标是(1,0)。
在Rt △OBC 中,O C 2=
=
=,∴C 的坐标为(0,2)。
(2)设抛物线的解析式是:y=ax 2+b ,
根据题意得:a b 0b 2
+=⎧⎨
=⎩ ,解得:a 2b 2
=-⎧⎨
=⎩ 。
∴抛物线的解析式是:2
y 2x 2=-+。
(3)∵S △ABC =
12
AB•OC=
12
×2×2=2,S △ABD =
12
S △ABC ,∴S △ABD =
12
S △ABC =1。
设D 的纵坐标是m ,则
12
AB•|m|=1,∴m=±1。
当m=1时,-2x 2+2=1,解得:x=±2。
当m=-1时,-2x 2+2=-1,解得:x=±
2。
∴D 的坐标是:(
2
,12
,12
,-1)2
1)。
(4)设抛物线向右平移c 个单位长度,则0<c≤1,OA′=1-c ,OB′=1+c 。
平移以后的抛物线的解析式是:()2
y 2x c 2=--+。
令x=0,解得y=-2c 2
+2,即OC′= +2c 2
+2。
当点C′同时在以A′B′为直径的圆上时有:OC′2=OA′•OB′,
则(-2c 2+2)2=(1-c )(1+c ),即(4c 2-3)(c 2-1)=0。
解得:c=
2
,2
-
(舍去),1,-1(舍去)。
故平移
2
或1个单位长度。
【考点】二次函数综合题,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,线段垂直平分线的性质,勾股定理,平移的性质,相似三角形的判定和性质,解多元方程。
【分析】(1)根据y 轴是AB 的垂直平分线,则可以求得OA ,OB 的长度,在直角△OAC 中,利用勾股
定理求得OC 的长度,则A 、B 、C 的坐标即可求解。
(2)利用待定系数法即可求得二次函数的解析式。
(3)首先求得△ABC 的面积,根据S △ABD =
12
S △ABC ,以及三角形的面积公式,即可求
得D 的
纵坐标,把D 的纵坐标代入二次函数的解析式,即可求得横坐标。
(4)设抛物线向右平移c 个单位长度,则0<c≤1,可以写出平移以后的函数解析式,
当点C′同
时在以A′B′为直径的圆上时由相似三角形的性质有:OC′2=OA•OB ,据此即可得到一个关于c 的方程求得c 的值。
4. (2012广西南宁10分)如图,已知矩形纸片ABCD ,AD=2,AB=4.将纸片折叠,使顶点A 与边CD 上的点E 重合,折痕FG 分别与AB ,CD 交于点G ,F ,AE 与FG 交于点O . (1)如图1,求证:A ,G ,E ,F 四点围成的四边形是菱形;
(2)如图2,当△AED 的外接圆与BC 相切于点N 时,求证:点N 是线段BC 的中点; (3)如图2,在(2)的条件下,求折痕FG 的长.
【答案】解:(1)由折叠的性质可得,GA=GE ,∠AGF=∠EGF ,
∵DC ∥AB ,∴∠EFG=∠AGF 。
∴∠EFG=∠EGF 。
∴EF=EG=AG 。
∴四边形AGEF 是平行四边形(EF ∥AG ,EF=AG )。
又∵AG=GE ,∴四边形AGEF 是菱形。
(2)连接ON ,
∵△AED 是直角三角形,AE 是斜边,点O 是AE 的中点,
△AED 的外接圆与BC 相切于点N ,
∴ON ⊥BC 。
∵点O 是AE 的中点,∴ON 是梯形ABCE 的中位线。
∴点N 是线段BC 的中点。
(3)∵OE 、ON 均是△AED 的外接圆的半径,∴OE=OA=ON=2。
∴AE=AB=4。
在Rt △ADE 中,AD=2,AE=4,∴∠AED=30°。
在Rt △OEF 中,OE=2,∠AED=30°,∴O F 3
=。
∴FG=2O F 3
=。
【考点】翻折变换(折叠问题),折叠对称的性质,菱形的判定,梯形中位线性质,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值。
【分析】(1)根据折叠的性质判断出AG=GE ,∠AGF=∠EGF ,再由CD ∥AB 得出∠EFG=∠AGF ,
从而
判断出EF=AG ,得出四边形AGEF 是平行四边形,从而结合AG=GE ,可得出结论。
(2)连接ON ,则ON ⊥BC ,从而判断出ON 是梯形ABCE 的中位线,从而可得出结论。
(3)根据(1)可得出AE=AB ,从而在Rt △ADE 中,可判断出∠AED 为30°,在Rt △EFO 中求
出FO ,从而可得出FG 的长度。
5. (2012广西钦州12分)如图甲,在平面直角坐标系中,A 、B 的坐标分别为(4,0)、(0,3),抛物线y=
34
x 2
+bx+c 经过点B ,且对称轴是直线x=﹣
52
.
(1)求抛物线对应的函数解析式;
(2)将图甲中△ABO 沿x 轴向左平移到△DCE (如图乙),当四边形ABCD 是菱形时,请说明点C 和点D 都在该抛物线上.
(3)在(2)中,若点M 是抛物线上的一个动点(点M 不与点C 、D 重合),经过点M 作MN ∥y 轴交直线CD 于N ,设点M 的横坐标为t ,MN 的长度为l ,求l 与t 之间的函数解析式,并求当t
为何值时,以M 、N 、C 、E 为顶点的四边形是平行四边形.(参考公式:抛物线y=ax 2
+bx+c (a≠0)的顶点坐标为(b 2a
-
,
2
4ac b 4a
-),对称轴是直线x=b 2a
-
.)
【答案】解:(1)由于抛物线y=34
x 2+bx+c 与y 轴交于点B (0,3),则 c=3。
∵抛物线的对称轴 x=b 52a
2-
=-
,∴b=5a=154。
∴抛物线的解析式:y=
34
x 2+
154
x+3。
(2)∵A (4,0)、B B (0,3),∴OA=4,OB=3
,AB 5==。
若四边形ABCD 是菱形,则 BC=AD=AB=5,∴C (﹣5,3)、D (﹣1,0).将C (﹣5,3)代入y=
34
x 2+
154
x+3中,得:
34
×(﹣5)2+
154
×(﹣5)+3=3,
∴点C 在抛物线上;同理可证:点D 也在抛物线上。
(3)设直线CD 的解析式为:y=kx+b ,依题意,有:
5k+b=3k+b=0-⎧⎨
-⎩,解得3k=4
3b=4⎧
-⎪⎪⎨⎪-
⎪⎩。
∴直线CD :y=34-x 34-。
由于MN ∥y 轴,设 M (t ,
34
t 2+
154
t+3),则 N (t ,34
-
t 34
-
)。
①t <﹣5或t >﹣1时,l=MN=(34
t 2+
154
t+3)﹣(34
-
t 34
-)=
34
t 2+
92
t+
154; ②﹣5<t <﹣1时,l=MN=(34-
t 34
-)﹣(
34
t 2+
154
t+3)=﹣
34
t 2﹣
9
2
t ﹣
154。
若以M 、N 、C 、E 为顶点的四边形是平行四边形,由于MN ∥CE ,则MN=CE=3,则有:
34
t 2+
92
t+
154
=3,解得:t=﹣3±
2;或﹣
34
t 2﹣
92
t ﹣
154
=3,解得:t=﹣3。
综上所述,l 与t 之间的函数解析式为l=()()223915
t +t+t<5t>1424
3915t t 5<t<14
24⎧--⎪⎪⎨⎪-----⎪⎩或。
且当t=﹣3±
或﹣3时,以M、N、C、E为顶点的四边形是平行四边形。
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