广西各市2012年中考数学分类解析 专题5：数量和位置变化

广西各市2012年中考数学试题分类解析汇编
专题5：数量和位置变化
一、选择题
1. （2012广西桂林3分）如图，把抛物线y ＝x 2沿直线y ＝x 个单位后， 其顶点在直线上的A 处，则平移后的抛物线解析式是【 】
A ．y ＝（x ＋1）2－1
B ．y ＝（x ＋1）2＋1
C ．y ＝（x －1）2＋1
D ．y ＝（x －1）2
－1 【答案】C 。

【考点】二次函数图象与平移变换，二次函数的性质，勾股定理。

【分析】首先根据A 点所在位置设出A 点坐标为（m ，m ）再根据，利用勾股定理求出
m 的值，然后根据抛物线平移的性质：左加右减，上加下减可得解析式：
∵A 在直线y=x 上，∴设A （m ，m ），
∵OA=
m 2
+m 2
=）2
，解得：m=±
1（m=－1舍去）。

∴A （1，1）。

∴抛物线解析式为：y ＝（x －1）2＋1。

故选C 。

2. （2012广西桂林3分）如图，在边长为4的正方形ABCD 中，动点P 从A 点出发，以每秒1
个单位长度的速度沿AB 向B 点运动，同时动点Q 从B 点出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC→CD 方向运动，当P 运动到B 点时，P 、Q 两点同时停止运动．设P 点运动的时间为
t ，△APQ 的面积为S ，则S 与t 的函数关系的图象是【 】
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D 。

【考点】动点问题的函数图象，正方形的性质。

【分析】∵动点Q 从B 点出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC→CD 方向运动， ∴点Q 运动到点C 的时间为4÷2=2秒。

由题意得，当0≤t≤2时，即点P 在AB 上，点Q 在BC 上，AP=t ，BQ=2t ，
2
11S A P B Q t 2t t 22
=
⋅⋅=
⋅⋅=，为开口向上的抛物线的一部分。

当2＜t≤4时，即点P 在AB 上，点Q 在DC 上，AP=t ，AP 上的高为4，
11S A P 4t 42t 2
2
=
⋅⋅=
⋅⋅=，为直线（一次函数）的一部分。

观察所给图象，符合条件的为选项D 。

故选D 。

3. （2012广西河池3分）下列图象中，表示y 是x 的函数的个数有【 】
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B。

【考点】函数的定义
【分析】根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可确定函数的个数：
第一个图象，对每一个x的值，都有唯一确定的y值与之对应，是函数图象；
第二个图象，对每一个x的值，都有唯一确定的y值与之对应，是函数图象；
第三个图象，对给定的x的值，有两个y值与之对应，不是函数图象；
第四个图象，对给定的x的值，有两个y值与之对应，不是函数图象。

综上所述，表示y是x的函数的有第一个、第二个，共2个。

故选B。

4. （2012广西来宾3分）在平面直角坐标系中，将点M（1，2）向左平移2个长度单位后得到点N，则点N的坐标是【】
A．（－1，2）B．（3，2）C．（1，4）D．（1，0）
【答案】A。

【考点】坐标平移。

【分析】根据坐标的平移变化的规律，左右平移只改变点的横坐标，左减右加。

上下平移只改变点的纵坐标，下减上加。

因此，将点M（1，2）向左平移2个长度单位后得到点N的坐标是（1－2，2），即（－1，2）。

故选A。

5. （2012广西柳州3分）如图，P1、P2、P3这三个点中，在第二象限内的有【】
A．P1、P2、P3B．P1、P2C．P1、P3D．P1
【答案】D。

【考点】点的坐标。

【分析】根据点的坐标的定义，确定出这三个点的位置，即可选择答案：
由图可知，P1在第二象限，点P2在y轴的正半轴上，点P3在x轴的负半轴上，
所以，在第二象限内的有P1。

故选D。

6. （2012广西钦州3分）在平面直角坐标系中，对于平面内任意一点（x，y），若规定以下两种变换：
①f（x，y）=（y，x）．如f（2，3）=（3，2）；
②g（x，y）=（﹣x，﹣y），如g（2，3）=（﹣2，﹣3）．
按照以上变换有：f（g（2，3））=f（﹣2，﹣3）=（﹣3，﹣2），那么g（f（﹣6，7））等于【】A．（7，6）B．（7，﹣6）C．（﹣7，6）D．（﹣7，﹣6）
【答案】C。

【考点】新定义，点的坐标。

【分析】由题意应先进行f方式的变换，再进行g方式的变换，注意运算顺序及坐标的符号变化：∵f（﹣6，7）=（7，﹣6），∴g（f（﹣6，7））=g（7，﹣6）=（﹣7，6）。

故选C。

二、填空题
1. （2012广西北海3分）函数y x的取值范围是▲ 。

【答案】1x 2
≥。

【考点】函数自变量的取值范围，二次根式有意义的条件。

【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必
在实数范围内有意义，必须12x 10x 2
-≥⇒≥。

2. （2012广西北海3分）如图，点A 的坐标为（－1，0），
点B 在直线y ＝2x －4上运动，当线段AB 最 短时，点B 的坐标是 ▲ 。

【答案】（7
655
-
，）。

【考点】直线上点的坐标与方程的关系，垂直线段最短的性质，
相似三角形的判定和性质。

【分析】如图，由题意，根据垂直线段最短的性质，当线段AB 最短时点B 的位置B 1，有AB 1⊥BD 。

过点B 1作B 1E 垂直x 轴于点E 。

由点C 、D 在直线y ＝2x －4可得，C （2，0），D （0，－4）
设点B 1（x ，2x －4），则E （x ，0）。

由A （－1，0），得AE= x ＋1，EB 1=∣2x －4∣=4－2x ，CO=2，DO=4。

易得△AB 1E ∽△DCO ，∴AE EB D O
C O =，即
x+142x 4
2
-=。

解得7
6x 2x 4=55
=--
，。

∴B 1（765
5- ，）。

∴当线段AB 最短时，点B 的坐标是（765
5
- ，）。

3. （2012广西河池3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OEFG 的顶点F 的坐
标为(4，2)，将矩形OEFG 绕点O 逆时针旋转，使点F 落在y 轴上，得到矩形OMNP ，OM
与GF 相交于点A ．若经过点A 的反比例函数k y (x 0)x
=>
的图象交EF 于点B ，则点B 的坐标为 ▲ .
【答案】（4，
12
）。

【考点】反比例函数综合题，矩形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，曲线上点的
坐标与方程的关系。

【分析】∵矩形OEFG 绕点O 逆时针旋转，使点F 落在y 轴的点N 处，得到矩形OMNP ，
∴∠P=∠POM=∠OGF=90°。

∴∠PON+∠PNO=90°，∠GOA+∠PON=90°。

∴∠PNO=∠GOA 。

∴△OGA ∽△NPO 。

∵E 点坐标为（4，0），G 点坐标为（0，2），∴OE=4，OG=2。

∴OP=OG=2，PN=GF=OE=4。

∵△OGA ∽△NPO ，∴OG ：NP=GA ：OP ，即2：4=GA ：2。

∴GA=1。

∴A 点坐标为（1，2）。

把A （1，2）代入k y x
=
得k=1×2=2。

∴过点A 的反比例函数解析式为2y x
=。

把x=4代入2y x
=
得1y 2
=。

∴B 点坐标为（4，
12
）。

4. （2012广西钦州3分）如图，直线3y x 32
=+﹣与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，把△AOB
绕点A 旋转90°后得到△AO′B′，则点B′的坐标是 ▲ ．
【答案】（﹣1，﹣2）或（5，2）。

【考点】坐标与图形的旋转变化。

【分析】当y=0时，3
x 302+=﹣，解得x=2；当x=0时，y=3。

∴点A （2，0），B （0，3）。

∴OA=2，OB=3， 根据旋转不变性可得△AOB ≌△AO′B′，
∴AO′=OA=2，O′B′=OB=3，
①如果△AOB 是逆时针旋转90°，则点B′（﹣1，﹣2）， ②如果△AOB 是顺时针旋转90°，则点B′（5，2）。

综上，点B′的坐标是（﹣1，﹣2）或（5，2）。

5. （2012广西玉林、防城港3分）在平面直角坐标系中，一青蛙从点A(－1，0)处向右跳2个单
位长度，再向上跳2个单位长度到点A′处，则点A′的坐标为 ▲ . 【答案】(1，2)。

【考点】坐标平移。

【分析】根据坐标的平移变化的规律，左右平移只改变点的横坐标，左减右加。

上下平移只改变点的纵坐标，下减上加。

因此，一青蛙从点A(－1，0)处向右跳2个单位长度，再向上跳2个单位长度到点A′处，则点A′的坐标为(－1＋2，0＋2)，即(1，2)。

三、解答题
1. （2012广西北海12分）如图，在平面直角坐标系中有 Rt △ABC ，∠A ＝90°，AB ＝AC ，A （－2，0）、 B （0，1）、C （d ，2）。

（1）求d 的值；
（2）将△ABC 沿x 轴的正方向平移，在第一象限内B 、C 两点的对应点B′、C′正好落在某反比
例函数图像上。

请求出这个反比例函数和此时的直线B′C′的解析式；
（3）在（2）的条件下，直线B′C′交y 轴于点G 。

问是否存在x 轴上的点M 和反比例函数图像上
的点P ，使得四边形PGMC′是平行四边形。

如果存在，请求出点M 和点P 的坐标；如果不存在，请说明理由。

【答案】解：（1）作CN ⊥x 轴于点N 。

在Rt △CNA 和Rt △AOB 中， ∵NC ＝OA ＝2，AC ＝AB
∴Rt △CNA ≌Rt △AOB （HL ）。

∴AN ＝BO ＝1，NO ＝NA ＋AO ＝3， 又∵点C 在第二象限，∴d ＝－3。

（2）设反比例函数为k y x
=
，点C′和B′在该比例函数图像上，
设C′（c ，2），则B′（c ＋3，1）。

把点C′和Ｂ′的坐标分别代入
k
y
x
=，得k＝2 c；k＝c＋3。

∴2 c＝c＋3，c＝3，则k＝6。

∴反比例函数解析式为
6
y
x
=。

得点C′（3，2）；B′（6，1）。

设直线C′B′的解析式为y＝ax＋b，把C′、B′两点坐标代入得
3a b2
6a b1
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，解得
1
a
3
b3
⎧
=-
⎪
⎨
⎪=
⎩。

∴直线C′B′的解析式为
1
y x3
3
=-+。

（3）设Q是G C′的中点，由G（0，3），C′（3，2），得点Q的横坐
标为3
2
，点Q的纵坐标为2＋
325
=
22
-。

∴Q（
3
2
，
5
2
）。

过点Q作直线l与x轴交于M′点，与
6
y
x
=的
图象交于P′点，若四边形P′G M′ C′是平行四边形，则有P′Q＝Q M′，
易知点M′的横坐标大于3
2
，点P′的横坐标小于
3
2。

作P′Ｈ⊥x轴于点H，QK⊥y轴于点K，P′H与QK交于点E，作QF⊥x轴于点F，则△P′EQ≌△QFM′
设EQ＝FM′＝t，则点P′的横坐标x为3
t
2
-，点P′的纵坐标y为
6612
3
x32t
t
2
==
-
-
，点M′的坐
标是（3
t
2
+，0）。

∴P′E＝
125
32t2
-
-。

由P′Q＝QM′，得P′E2＋EQ2＝QF2＋FM′2，∴
22
22 1255
t t
32t22
⎛⎫⎛⎫
-+=+
⎪ ⎪
-
⎝⎭⎝⎭
，
整理得：
12
5
32t
=
-
，解得
3
t
10
=（经检验，它是分式方程的解）。

∴3336
t
22105
-=-=，
1212
5
3
32t
32
10
==
-
-⨯
，
3339
t
22105
+=+=。

∴P′（6
5
，5），M′（
9
5
，0），则点P′为所求的点P，点M′为所求的点M。

【考点】反比例函数综合题，全等三角形的判定和性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，平移的性质，平行四边形的和性质，勾股定理，解分式方程和二元一次方程组。

【分析】（1）作CN⊥x轴于点N，由Rt△CNA≌Rt△AOB即可求得d的值。

（2）根据平移的性质，用待定系数法求出反比例函数和直线B′C′的解析式。

（3）根据平行四边形对角线互相平分的性质，取G C′的中点Q，过点Q作直线l与x轴
交于M′点，与
6
y
x
=的图象交于P′点，求出P′Q＝Q M′的点M′和P′的坐标即可。

2. （2012广西河池12分）如图，在等腰三角形ABC 中，AB=AC ，以底边BC 的垂直平分线和
BC 所在 的直线建立平面直角坐标系，抛物线2
17y x x 42
2
=-+
+经过A 、B 两点.
（1）写出点A 、点B 的坐标；
（2）若一条与y 轴重合的直线l 以每秒2个单位长度的速度向右平移，分别交线段OA 、CA
和抛物 线于点E 、M 和点P ，连结PA 、PB.设直线l 移动的时间为t （0＜t ＜4）秒，求四边形PBCA 的面积S （面积单位）与t （秒）的函数关系式，并求出四边形PBCA 的最大面积；
（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点P ，使得△PAM 是直角三角形？若存在，请求出点P
的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】解：（1）A （8，0），B （0，4）。

（2）∵AB=AC ，∴OB=OC 。

∴C （0，－4）。

设直线AC ：y=kx+b ，由A （8，0），C （0，－4）得
8k +b =0b =4⎧⎨-⎩，解得1k=2b=4
⎧
⎪
⎨⎪-⎩。

∴直线AC ：1y=x 42-。

∵ 直线l 移动的速度为2，时间为t ，∴OE=2t 。

设P ()2
2t 2t 7t 4-++ ，
， 在1y=
x 42
-中，令x=2t ，得y=t 4-，∴M （2t ，t 4-）。

∵BC=8，PM=()222t 7t 4t 4=2t 6t 8-++---++，OE=2t ，EA=42t -， ∴(
)
()(
)
2
2
PM A BC M P 11S S S 2t 6t 882t 42t 2t 6t 82
2
∆=+=
⋅-+++⋅+
⋅-⋅-++梯形2
=4t 20t 16-++。

∴四边形PBCA 的面积S 与t 的函数关系式为2S=4t 20t 16-++（0＜t ＜4）。

∵2
2
5S=4t 20t 16=4t 412⎛
⎫-++--+ ⎪⎝
⎭，∴四边形PBCA 的最大面积为41个平方单位。

3. （2012广西柳州12分）如图，在△ABC 中，AB=2，AC=BC=
（1）以AB 所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系如图，请你分别写出
A 、
B 、C
三点的坐标；
（2）求过A 、B 、C 三点且以C 为顶点的抛物线的解析式； （3）若D 为抛物线上的一动点，当D 点坐标为何值时，S △ABD =
12
S △ABC ；
（4）如果将（2）中的抛物线向右平移，且与x 轴交于点A′B′，与y 轴交于点C′，当平移多少个单位时，
点C′同时在以A′B′为直径的圆上（解答过程如果有需要时，请参看阅读材料）． 附：阅读材料
一元二次方程常用的解法有配方法、公式法和因式分解法，对于一些特殊方程可以通过换元法转
化为一元
二次方程求解．如解方程：y 4－4y 2＋3=0． 解：令y 2=x （x≥0），则原方程变为x 2－4x ＋3=0，解得x 1=1，x 2=3． 当x 1=1时，即y 2=1，∴y 1=1，y 2=-1．
当x 2=3，即y 2
=3，∴y 3= 3 ，y 4=- 3 ．
所以，原方程的解是y 1=1，y 2=-1，y 3= 3 ，y 4=- 3 ．
再如2
x 2-=
，可设y =
，用同样的方法也可求解．
【答案】解：（1）∵AB 的垂直平分线为y 轴，∴OA=OB=
12
AB=
12
×2=1。

∴A 的坐标是（－1，0），B 的坐标是（1，0）。

在Rt △OBC 中，O C 2=
=
=，∴C 的坐标为（0，2）。

（2）设抛物线的解析式是：y=ax 2+b ，
根据题意得：a b 0b 2
+=⎧⎨
=⎩ ，解得：a 2b 2
=-⎧⎨
=⎩ 。

∴抛物线的解析式是：2
y 2x 2=-+。

（3）∵S △ABC =
12
AB•OC=
12
×2×2=2，S △ABD =
12
S △ABC ，∴S △ABD =
12
S △ABC =1。

设D 的纵坐标是m ，则
12
AB•|m|=1，∴m=±1。

当m=1时，－2x 2+2=1，解得：x=±2。

当m=－1时，－2x 2+2=－1，解得：x=±
2。

∴D 的坐标是：（
2
，12
，12
，－1）2
1）。

（4）设抛物线向右平移c 个单位长度，则0＜c≤1，OA′=1－c ，OB′=1＋c 。

平移以后的抛物线的解析式是：()2
y 2x c 2=--+。

令x=0，解得y=－2c 2
+2，即OC′= ＋2c 2
+2。

当点C′同时在以A′B′为直径的圆上时有：OC′2=OA′•OB′，
则（－2c 2＋2）2=（1－c ）（1＋c ），即（4c 2－3）（c 2－1）=0。

解得：c=
2
，2
-
（舍去），1，－1（舍去）。

故平移
2
或1个单位长度。

【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，线段垂直平分线的性质，勾股定理，平移的性质，相似三角形的判定和性质，解多元方程。

【分析】（1）根据y 轴是AB 的垂直平分线，则可以求得OA ，OB 的长度，在直角△OAC 中，利用勾股
定理求得OC 的长度，则A 、B 、C 的坐标即可求解。

（2）利用待定系数法即可求得二次函数的解析式。

（3）首先求得△ABC 的面积，根据S △ABD =
12
S △ABC ，以及三角形的面积公式，即可求
得D 的
纵坐标，把D 的纵坐标代入二次函数的解析式，即可求得横坐标。

（4）设抛物线向右平移c 个单位长度，则0＜c≤1，可以写出平移以后的函数解析式，
当点C′同
时在以A′B′为直径的圆上时由相似三角形的性质有：OC′2=OA•OB ，据此即可得到一个关于c 的方程求得c 的值。

4. （2012广西南宁10分）如图，已知矩形纸片ABCD ，AD=2，AB=4．将纸片折叠，使顶点A 与边CD 上的点E 重合，折痕FG 分别与AB ，CD 交于点G ，F ，AE 与FG 交于点O ． （1）如图1，求证：A ，G ，E ，F 四点围成的四边形是菱形；
（2）如图2，当△AED 的外接圆与BC 相切于点N 时，求证：点N 是线段BC 的中点； （3）如图2，在（2）的条件下，求折痕FG 的长．
【答案】解：（1）由折叠的性质可得，GA=GE ，∠AGF=∠EGF ，
∵DC ∥AB ，∴∠EFG=∠AGF 。

∴∠EFG=∠EGF 。

∴EF=EG=AG 。

∴四边形AGEF 是平行四边形（EF ∥AG ，EF=AG ）。

又∵AG=GE ，∴四边形AGEF 是菱形。

（2）连接ON ，
∵△AED 是直角三角形，AE 是斜边，点O 是AE 的中点，
△AED 的外接圆与BC 相切于点N ，
∴ON ⊥BC 。

∵点O 是AE 的中点，∴ON 是梯形ABCE 的中位线。

∴点N 是线段BC 的中点。

（3）∵OE 、ON 均是△AED 的外接圆的半径，∴OE=OA=ON=2。

∴AE=AB=4。

在Rt △ADE 中，AD=2，AE=4，∴∠AED=30°。

在Rt △OEF 中，OE=2，∠AED=30°，∴O F 3
=。

∴FG=2O F 3
=。

【考点】翻折变换（折叠问题），折叠对称的性质，菱形的判定，梯形中位线性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

【分析】（1）根据折叠的性质判断出AG=GE ，∠AGF=∠EGF ，再由CD ∥AB 得出∠EFG=∠AGF ，
从而
判断出EF=AG ，得出四边形AGEF 是平行四边形，从而结合AG=GE ，可得出结论。

（2）连接ON ，则ON ⊥BC ，从而判断出ON 是梯形ABCE 的中位线，从而可得出结论。

（3）根据（1）可得出AE=AB ，从而在Rt △ADE 中，可判断出∠AED 为30°，在Rt △EFO 中求
出FO ，从而可得出FG 的长度。

5. （2012广西钦州12分）如图甲，在平面直角坐标系中，A 、B 的坐标分别为（4，0）、（0，3），抛物线y=
34
x 2
+bx+c 经过点B ，且对称轴是直线x=﹣
52
．
（1）求抛物线对应的函数解析式；
（2）将图甲中△ABO 沿x 轴向左平移到△DCE （如图乙），当四边形ABCD 是菱形时，请说明点C 和点D 都在该抛物线上．
（3）在（2）中，若点M 是抛物线上的一个动点（点M 不与点C 、D 重合），经过点M 作MN ∥y 轴交直线CD 于N ，设点M 的横坐标为t ，MN 的长度为l ，求l 与t 之间的函数解析式，并求当t
为何值时，以M 、N 、C 、E 为顶点的四边形是平行四边形．（参考公式：抛物线y=ax 2
+bx+c （a≠0）的顶点坐标为（b 2a
-
，
2
4ac b 4a
-），对称轴是直线x=b 2a
-
．）
【答案】解：（1）由于抛物线y=34
x 2+bx+c 与y 轴交于点B （0，3），则 c=3。

∵抛物线的对称轴 x=b 52a
2-
=-
，∴b=5a=154。

∴抛物线的解析式：y=
34
x 2+
154
x+3。

（2）∵A （4，0）、B B （0，3），∴OA=4，OB=3
，AB 5==。

若四边形ABCD 是菱形，则 BC=AD=AB=5，∴C （﹣5，3）、D （﹣1，0）.将C （﹣5，3）代入y=
34
x 2+
154
x+3中，得：
34
×（﹣5）2+
154
×（﹣5）+3=3，
∴点C 在抛物线上；同理可证：点D 也在抛物线上。

（3）设直线CD 的解析式为：y=kx+b ，依题意，有：
5k+b=3k+b=0-⎧⎨
-⎩，解得3k=4
3b=4⎧
-⎪⎪⎨⎪-
⎪⎩。

∴直线CD ：y=34-x 34-。

由于MN ∥y 轴，设 M （t ，
34
t 2+
154
t+3），则 N （t ，34
-
t 34
-
）。

①t ＜﹣5或t ＞﹣1时，l=MN=（34
t 2+
154
t+3）﹣（34
-
t 34
-）=
34
t 2+
92
t+
154； ②﹣5＜t ＜﹣1时，l=MN=（34-
t 34
-）﹣（
34
t 2+
154
t+3）=﹣
34
t 2﹣
9
2
t ﹣
154。

若以M 、N 、C 、E 为顶点的四边形是平行四边形，由于MN ∥CE ，则MN=CE=3，则有：
34
t 2+
92
t+
154
=3，解得：t=﹣3±
2；或﹣
34
t 2﹣
92
t ﹣
154
=3，解得：t=﹣3。

综上所述，l 与t 之间的函数解析式为l=()()223915
t +t+t<5t>1424
3915t t 5<t<14
24⎧--⎪⎪⎨⎪-----⎪⎩或。

且当t=﹣3±
或﹣3时，以M、N、C、E为顶点的四边形是平行四边形。

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