高一数学(人教A版)必修1课件：1-2-1函数的概念

(1)当两个函数的定义域不同或对应法则不同，它们就不 是同一个函数．只有当定义域和对应法则都相同时它们才是 相等函数．
(2)对应法则f是函数关系的本质特征，要深刻理解，准 确把握，它的核心是“法则”．通俗地说，就是给出了一个 自变量后的一种“算法”，至于这个自变量是用x还是用t或 者别的符号表示，那不是“法则”的本质，因此，对应法则 与自变量所用的符号无关．
[分析] 解答本题要充分利用函数的定义：对于集合A中 的元素通过对应关系在集合B中有唯一元素与之对应．
[解析] (1)A中的元素0在B中没有对应元素，故不是A到 B的函数；
(2)对于集合A中的任意一个整数x，按照对应关系f：x→y ＝x2，在集合B中都有唯一一个确定的整数x2与之对应，故是 集合A到集合B的函数；
(1)只要两个函数的定义域相同，对应法则相同，其值域 就 一定相同．故判断两个函数是否相等时，一看定义域，二 看对应法则．
如 y＝1 与 y＝xx不是相等函数，因为 定义域不同．y＝3t ＋4 与 y＝3x＋4 是相等函数．
(2)求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组 的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间 来表示．
[研析] 检验一个图象是否为一个以x为自变量的函数的 图象的方法是：作垂直于x轴的直线，若此直线与图象有唯 一一个交点，图象即为函数的图象．
图(1)不是以x为自变量的函数的图象．在(－1,1)内，任 意作一条垂直于x轴的直线，此直线与图象的交点不唯 一．或者说，因为当x＝0时，由图(1)知，有两个y值(±1)与它 对应．
通过以上所学，完成下列练习． (1)一次函数 y＝kx＋b(k≠0)的定义域为________；值域为 ________． (2)反比例函数 y＝kx(k≠0)的定义域为________；值域为 ________． (3)二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定义域为________； 值域为__________________．
[答案] 如果西瓜不超过 9 斤，则价钱不会超过 0.5×9＝ 4.5(元)；如果西瓜超过 9 斤，则价钱不会低于 0.6×9＝5.4(元)， 不会出现 5 元 1 角的情况．故该顾客认定店主骗人．
自主预习 1．设在一个变化过程中有两个变量 x，y，如果对于 x 的 每一个值，y 都有 唯一 确定的值与它对应，那么就说 y 是 x 的函数，x 叫做自变量． 2．我们已经学习了正比例函数、反比例函数、一次函数 和二次函数等具体的函数．
(3)A中元素负整数没有平方根，故在B中没有对应的元 素，故此对应不是A到B的函数；
(4)对于集合A中一个实数x，按照对应关系f：x→y＝0， 在集合B中都有唯一一个确定的数0与之对应故是集合A到集 合B的函数．
在下列从集合A到集合B的对应关系中不可以确定y是x的 函数的是( )
①A＝{x|x∈Z}，B＝{y|y∈Z}，对应法则f：x→y＝3x； ②A＝{x|x>0，x∈R}，B＝{y|y∈R}，对应法则f：x→y2 ＝3x； ③A＝{x|x∈R}，B＝{y|y∈R}，对应法则f：x→y：x2＋ y2＝25；
(3)从本题我们也得到这样的启示：在对函数关系变形或 化简时，一定要注意使函数的定义域保持不变，否则，就变 成了不同的函数．这也正说明了函数的定义域是函数不可忽 视的一个重要组成部分．例如f(x)＝x2－x (x≥1)，f(3)＝32 －3＝6，但f(－1)是无意义的，不能得出f(－1)＝(－1)2－(－1) ＝2，因为只有当x取定义域[1，＋∞)内的值时，才能按这个 法则x2－x进行计算．
下列各组式子是否表示相等函数？为什么？ (1)f(x)＝|x|，φ(t)＝ t2； (2)y＝ x2，y＝( x)2； (3)y＝ x＋1· x－1，y＝ x2－1； (4)y＝ 1＋x· 1－x，y＝ 1－x2.
[解析] (1)f(x)＝|x|，φ(t)＝|t|，定义域和对应法则都相 同，故是相等函数．
[解析] ①中f(x)＝x＋1，x∈R，而y＝x＋x0中x≠0，它 们的定义域不相同，所以不是相等函数．
②中两个函数的定义域都是R，并且f(x)＝ 2x＋12＝|2x ＋1|，所以它们是相等函数．
③中f(n)＝2n＋1(n∈Z)与g(n)＝2n－1(n∈Z)的定义域都 是Z，值域也相同(都是奇数集)，但对应法则不同，所以不是 相等函数．
[例2] 下列各对函数中，是相等函数的序号是 ________．
①f(x)＝x＋1与g(x)＝x＋x0 ②f(x)＝ 2x＋12与g(x)＝|2x＋1| ③f(n)＝2n＋1(n∈Z)与g(n)＝2n－1(n∈Z) ④f(x)＝3x＋2与g(t)＝3t＋2
[分析] 解决此类问题，要充分理解相等函数的概念， 准确求出函数的定义域，认准对应关系，按判断相等函数的 步骤求解．
(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间 表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连 接．
思考：(1)y＝1(x∈R)是函数吗？ (2)y＝x 与 y＝xx2是同一个函数吗？
[答案] (1)是 (2)不是
3．下面我们用集合与对应的观点来研究函数，先阅读教 材 P15～P16，再回答问题．
设 A、B 是 非空数集 ，如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的 任意一个数 x ，在集合 B 中都有唯一 确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f：A→B 为集合 A 到集合 B 的一个函数．记作 y＝f(x)，x∈A ，其中 x 叫做 自变量 ，A 叫 做函数的定义域，与 x 的值相对应的 y 值叫做 函数值 ，函数 值的集合{y|y＝f(x)，x∈A} 叫做函数的值域．
④A＝R，B＝R，对应法则f：x→y＝x2；
⑤A＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，B＝R，对应法则f：(x，
y)→S＝x＋y；
⑥A＝{x|－1≤x≤1，x∈R}，B＝{0}，对应法则f：x→y
＝0.
A．①⑤⑥
B．②④⑤⑥
Cቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ②③④
D．①②③⑤
[答案] D
如图中，哪些是以x为自变量的函数的图象，为什么？
[答案] (1)R R (2){x∈R|x≠0} {y∈R|y≠0} (3)R a>0 时，{y|y≥4ac4－a b2} a<0 时，{y|y≤4ac4－a b2} (4)2x－1≥0 {x|x≥12} (5)y＝0.6x x∈N*
5．如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致， 那么就称这两个函数相等．
3 求函数的定义域
学法指导：求函数的定义域： (1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数 有意义的准则一般有：①公式的分母不为0；②偶次根式的 被开方数非负；③y＝x0要求x≠0. (2)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、 积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共 部分的集合．
图(2)与图(3)都是以x为自变量的函数的图象． 图(2)表示的函数的定义域为{－3，－2，－1,0,1,3,4}， 在此定义域内，任取一个x值，由图(2)知，可确定唯一的y值 与它对应； 图(3)表示的函数的定义域为R，任取x∈R，由图(3)知， 可确定唯一的y值与它对应.
2 相等函数的判断
学法指导：确定两个函数是否相等，要紧紧抓住函数 的定义域和对应法则．根据函数的定义可知，定义域中的每 一个x都有唯一的y与它对应，所以值域实际上是由定义域和 对应法则确定，因此，两个函数只要定义域和对应法则分别 相同，它们就是相等函数．
(2)y＝ x2 定义域为R；y＝( x )2定义域为[0，＋∞)，故 不是相等函数．
(3)y＝ x＋1· x－1 定义域为[1，＋∞)，y＝ x2－1 定义 域为(－∞，－1]∪[1，＋∞)，故不是相等函数．
(4)y＝ 1＋x· 1－x＝ 1－x2，故两函数对应法则相同， 又定义域都是[－1,1]，故是相等函数.
思路方法技巧
1 函数概念的理解
学法指导：判断一个对应关系是否是函数，要从以下 三个方面去判断：(1)A、B必须是非空数集；(2)A中任一个 元素在B中必须有元素与其对应；(3)A中任一元素在B中必须 有唯一元素与其对应．
[例1] 下列对应是否为A到B的函数： (1)A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|； (2)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2； (3)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝ x； (4)A＝[－1,1]，B＝{0}，f：x→y＝0.
6．阅读教材 P17 填表.
区间
不等式
[a，b]
a≤x≤b
(a，b)
a<x<b
数轴表示
[a，b)
a≤x＜b
(a，b]
(－∞，b) (a，＋∞) (－∞，＋∞)
a＜x≤b x＜b x＞a
－∞＜x＜＋∞ 数轴上的所有点
区间实质上是数轴上某一线段或射线上的所有点所对应 的实数的取值集合，如{x|a＜x≤b}＝(a，b]，{x|x≤b}＝(－∞， b]．
4．对函数 y＝f(x)涵义的理解，应明确以下几点： ①“A，B 是非空数集”，若求得自变量取值范围为∅， 则此函数不存在． ②定义域、对应法则和值域是函数的三要素，实际上， 值域是由定义域和对应法则决定的，所以看两个函数是否相 等，只要看这两个函数的定义域与对应法则是否相同．
③y＝f(x)中 f 为对应法则，当情况比较简单时，对应法则 f 可用一个解析式来表示．但在有些问题中，对应法则 f 也可 能不便用或不能用一个解析式来表示，这时就必须采用其他 方式，如数表或图象等．
(4)要使函数 y＝ 2x－1有意义，应有__________，∴此 函数的定义域为________．
(5)当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使 其解析式有意义，还要有实际意义；
一种练习本的单价为 0.6 元，买本子的个数 x 与应付钱数 y 之间的函数关系为________，其中 x 的允许取值范围是 ________．