2007《高等代数》试题A

合集下载

武汉理工大学高数A上 2007级 A卷及答案

武汉理工大学高数A 上 2007级 A 卷及答案一、单项选择题（本题共5小题，每小题3分，共15分）（1）设111,0()11,0x x e x f x e x ⎧-⎪≠⎪=⎨+⎪⎪=⎩ ，则0x =是()f x 的（）。

A ．连续点；B ．可去间断点；C ．跳跃间断点；D ．无穷间断点。

（2）设()f x 在0x =处连续，则下列命题错误的是（）。

A. 若0()limx f x x →存在，则(0)0f =； B 、若0()()lim x f x f x x →+-存在，则(0)0f =C 、若0()lim x f x x →存在，则)0(f '存在；D 、若0()()lim x f x f x x→--存在，则0)0(='f 。

（3）设当0x →时，2(1cos )ln(1)x x -+是比sin()(n x x n 是正整数）高阶的无穷小，而sin()n x x 是比21x e -高阶的无穷小，则n 等于（）。

A 、1；B 、2；C 、3；D 、4（4）设()f x 在(,)-∞+∞内可导，周期为4，且0(1)(1)lim12x f f x x→--=-，则曲线()y f x =在点(5,(5))f 处的切线的斜率为（）。

A 、1/2；B 、-2；C 、0；D 、-1（5）设32()2912f x x x x a =-+-恰有两个不同的零点，则a 为（）。

A 、8；B 、6；C 、4；D 、2。

二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）（1）设21lim()1a axt x x te dt x -∞→∞+=-⎰，则a = ；（2）设()f x 具有任意阶导数，且2)]([)(x f x f ='，n 为大于2的整数，则()()n f x = ；（3）曲线x y xe -=的拐点坐标为；（4）11sin )x x dx -⎰= ；（5）已知()f x 的一个原函数为2ln x ，则⎰'dx x f x )(= 。

华南农业大学2007高等代数(上)考试卷(A)

华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2007学年第一学期考试科目：高等代数（上）考试类型：（闭卷）考试时间： 120 分钟一、填空题（2⨯5=10分）1、设()()()()1f x u x g x v x +=，则()()()(),f x f x g x +=2、设121111,212A =--则112131A A A -+=3、若方程组 123123123000ax x x x ax x x x ax ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 只有零解，则a。

4、设()()()1231,1,2,1,1,0,0,1,1,2,,1k ααα===的一极大无关组是它本身，则k。

5、若二次型()()11212211,,22x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则二次型的秩是：二、单项选择题（2⨯5=10分）1、设非零多项式()f x 不整除()g x ，则必有（）()()()()()()()()()()()()(),1A g x f x B f x g x g x C D f x g x f x =也不整除不是多项式与没有公共根2、设,A B 均为n 阶方阵，则220002000n nA B ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（）()()()()2222nnA A BB ABC A BD A B3、设有矩阵方程：2AX E A X+=+，其中A E -可逆，则（） ()()()()A X AB X EC X A ED X A E===-=+4、设三元非齐次线性方程组AX B =的系数矩阵每一行的元素之和都为零，则（）()()1,1,1A '是0AX =的解向量 ()()1,1,1B '是A X B =的解向量()()()()13C R A D R A ==5、设二次型()12,,...n f x x x 经非退化线性变换后化为标准形：2221122...r r a y a y a y +++，当且仅当（）时，二次型是正定的。

高等代数试题及答案1

高等代数试题及答案1中国海洋大学 2007-2008学年第1学期期末考试试卷数学科学学院《高等代数》课程试题(A卷) 共 2 页第 1 页考试说明:本课程为闭卷考试～可携带文具～满分为:100 分。

题号一二三四五六七八总分得分一(填空(20分) 1.与所有n级方阵可交换的矩阵一定是 .2.有理数域是的数域.3.线性方程组有解的充要条件是。

Ax=b4.可逆对称矩阵的逆矩阵是 .1,1*5.设是3级方阵,且||=3.则 | . (,A)，A|,AA4--------------------------------6.线性无关向量组的部分组必 . 线线7.初等变换矩阵的秩.8.任一个对称矩阵都于一个对角矩阵.9.与基础解系等价的线性无关向量组是 .10.一向量组线性无关的条件是任意两个向量线性无关. 二.计算n级行列式(10分)abbb----------------1----------------订订babb2bain,,,1,2,,bbab () i3bbban432f(x),5x,4x，3x,2x，1三(10分)(将表成的方幂. x,1--------------------------------装装(，),21(1)1axaxaxa，，,,,123,(2)(1)(2)axaxaxa,，,，,,a 四(20分)取何值时,线性方程组 ,123,()21(1)(21)axaxaxa,，,，,,123,有惟一解,无解,无穷多解,有无穷多解时,求通解.授课教师命题教师或院系负责人签 --------------------------------命题负责人签字年月日字年月日优选专业年级 XXX XXXX 学号姓名授课教师座号共 2 页第 2 页,,,,,,五(10分). 向量可以经向量组线性表出。

证明表示法惟一的充要条件是,12r,,,,,,线性无关。

12r111,,,,,,,,,11AXAAXE()8,，,111六(10分) ,,且,求矩阵. AX2,,,,111,,,AB七(10分) 设,均为n级方阵。

北京大学2007年高等代数考研真题

北京大学2007年高等代数与解析几何试题1、回答下列问题：（1）问是否存在n 阶方阵A ,B ，满足AB −BA =E （单位矩阵）？又是否存在n 维线性空间上的线性变换A ，B ，满足AB −BA =E (恒等变换)？若是，举出例子；若否，给出证明.（2）设n 阶矩阵A 的各行元素之和为常数c ，则3A 的各行元素之和是否为常数？若是，是多少？说明理由.（3）设m ×n 矩阵A 的秩为r ，任取A 的r 个线性无关的行向量，再取A 的r 个线性无关的列向量，组成的r 阶子式是否一定不为0？若是，给出证明；若否，举出反例.（4）设A ,B 都是m ×n 矩阵，线性方程组AX =0与BX =0同解，则A 与B 的列向量组是否等价？行向量组是否等价？若是，给出证明；若否，举出反例.(5)把实数域R 看成有理数域Q 上的线性空间，r q p b 23=，这里的∈r q p ,,Q 是互不相同的素数.判断向量组n n n n b b b 12,...,,,1−是否线性相关？说明理由.2、设n 阶矩阵A ,B 可交换，证明:rank (A +B )≤rank (A )+rank (B )−rank (AB ).3、设f 为双线性函数，且对任意的γβα,,都有),(),(),(),(γααβαγβαf f f f =求证：f 为对称的或反对称的.4、设V 是欧几里德空间，U 是V 的子空间，U ∈β.求证：β是V ∈α在U 上的正交投影的充分必要条件为：U ∈∀γ，都有||||γαβα−≤−.5、设n 阶复矩阵A 满足：对于任意正整数k，都有0)(=k A tr .求A 的特征值.6、设n 维线性空间V 上的线性变换A 的最小多项式与特征多项式相同.求证：V ∈∃α，使得αααα12,...,,,−n A A A 为V 的一个基.7、设P 是球内一定点，A ,B ,C 是球面上三动点.∠APB =∠BPC =∠CPA =2/π.以PA,PB,PC 为棱作平行六面体，记与P 相对的顶点为Q ，求Q 点的轨迹.8、设直线L 的方程为⎩⎨⎧=+++=+++,0,022221111D z C y B x A D z C y B x A 问系数满足什么条件时，直线L（1）过原点；（2）平行于x 轴，但不与x 轴重合；（3）与y 轴相交；（4）与z 轴重合.9、证明双曲抛物面z by a x 22222=−的相互垂直的直母线的交点在双曲线上.10、求椭球面191625222=++z y x 被点（2,1，-1）平分的弦.。

昆明理工大学考研历年真题之高等代数2007--2014年考研真题

昆明理工大学2007年硕士研究生招生入学考试试题(A卷)考试科目代码：803 考试科目名称：高等代数试题适用招生专业：计算数学、应用数学、系统理论、系统分析与集成考生答题须知1．所有题目（包括填空、选择、图表等类型题目）答题答案必须做在考点发给的答题纸上，做在本试题册上无效。

请考生务必在答题纸上写清题号。

2．评卷时不评阅本试题册，答题如有做在本试题册上而影响成绩的，后果由考生自己负责。

3．答题时一律使用蓝、黑色墨水笔或圆珠笔作答（画图可用铅笔），用其它笔答题不给分。

4．答题时不准使用涂改液等具有明显标记的涂改用品。

昆明理工大学2008年硕士研究生招生入学考试试题(A卷) 考试科目代码：837 考试科目名称：高等代数试题适用招生专业：计算数学、应用数学、系统理论、系统分析与集成考生答题须知5．所有题目（包括填空、选择、图表等类型题目）答题答案必须做在考点发给的答题纸上，做在本试题册上无效。

请考生务必在答题纸上写清题号。

6．评卷时不评阅本试题册，答题如有做在本试题册上而影响成绩的，后果由考生自己负责。

7．答题时一律使用蓝、黑色墨水笔或圆珠笔作答（画图可用铅笔），用其它笔答题不给分。

8．答题时不准使用涂改液等具有明显标记的涂改用品。

昆明理工大学2009年硕士研究生招生入学考试试题(A卷)考试科目代码：837考试科目名称：高等代数试题适用招生专业：计算数学,应用数学,系统理论,系统分析与集成考生答题须知9．所有题目（包括填空、选择、图表等类型题目）答题答案必须做在考点发给的答题纸上，做在本试题册上无效。

请考生务必在答题纸上写清题号。

10．评卷时不评阅本试题册，答题如有做在本试题册上而影响成绩的，后果由考生自己负责。

11．答题时一律使用蓝、黑色墨水笔或圆珠笔作答（画图可用铅笔），用其它笔答题不给分。

12．答题时不准使用涂改液等具有明显标记的涂改用品。

昆明理工大学2010年硕士研究生招生入学考试试题(A 卷)考试科目代码：833 考试科目名称：高等代数试题适用招生专业：070102计算数学、070104应用数学、071101系统理论、071102系统分析与集成考生答题须知13．所有题目（包括填空、选择、图表等类型题目）答题答案必须做在考点发给的答题纸上，做在本试题册上无效。

北京大学考研真题试题-高等代数与解析几何2007[试卷+答案]

间V 上的线性变换 A ， B ，满足 AB − BA = E . 【注】若线性空间V 是无穷维的，则存在V 的线性变换 A ， B ，满足 AB − BA = E .
例如，设V = P[x] 是数域 P 上多项式全体所构成的线性空间，定义 Af (x) = f ′(x) ， Bf (x) = xf (x) ， ∀f (x) ∈V ，
北京大学 2007 年《高等代数与解析几何》试题解答
北京大学 2007 年高等代数与解析几何试题解答
1、回答下列问题：
（1）问是否存在 n 阶方阵 A, B ，满足 AB − BA = E （单位矩阵）？又，是否存在 n 维
线性空间V 上的线性变换 A ，B ，满足 AB − BA = E (恒等变换)? 若是，举出例子；若否，
的基础解系)构成 n × r 矩阵 C ，则 rank(C) = r ，且 AC = O ， BC = O .
考虑齐次线性方程组 CT X = 0 ，其解空间 S 的维数 dim(S ) = n − r = rank( A) .
因为 C T AT = O ，所以 A 的行向量都是 C T X = 0 的解，因此 A 的行空间WA 是 S 的一个子空间，即WA ⊆ S .注意到 dim(WA ) = rank( A) = dim(S ) ，故WA = S .
容易验证： AB − BA = E . （2）设 n 阶矩阵 A 的各行元素之和为常数 c ，则 A3 的各行元素之和是否为常数？若是，
是多少？说明理由.
【解】是.设 η = (1,1, ,1)T 是 n 维列向量，则由 A 的各行元素之和为常数 c ，知 Aη = cη ，从而 A3η = c3η .所以 A3 的各行元素之和为常数 c3 .

新疆大学07高代及解答

⎢⎣2 4 −2 4 −7⎥⎦
⎢⎣0 0 0
0
0
⎥ ⎦
于是 r ( A) = 3 ，基础解系中有 n − r ( A) = 5 − 3 = 2 个向量。写出阶梯形矩阵所对应的方程
组移项，得
⎧ ⎪
x1
⎨
+
x2 2 x2
−
2 x3
− −
3x4 2 x4
− −
x5 x5
= =
0 0
, ,
⎪⎩
3x4 − x5 = 0 .
Bi1 , Bi2 , , Bir ,γ1,γ 2 , ,γ n−r( A) 线性表示，于是 r (B) ≤ r + s = r ( AB) + (n − r ( A)) ，即
r ( AB) ≥ r ( A) + r (B) − n .
4、设 f (x) = X ′AX 为实二次型，且存在 X1, X 2 , 使 f ( X1) > 0, f ( X 2 ) < 0, 请证明：存在 X3 ≠ 0, 使得f ( X3 ) = 0. 证明：存在非退化的线性替换 X = TY 将 f 化成规范形，即
其中 0 < p < r .
再
令
y3 = (1, 0, ，1， , 0)′,其中第一个分量为1，第r个分量为1，其余n-2个分量为0，则
y3 ≠ 0,再令X3 =Ty3,则X3 ≠ 0 。所以 f ( X 3 ) = 12 + 02 + 02 − 02 −12 = 0
5、设 V 是数域 P 上的线性空间，σ 是 V 上线性变换，f (x), g(x) ∈ P[x], h(x) = f (x)ig(x),
= 0, 4x5 = 0,

2007年中国科学院高等代数考研试题

中国科学院研究生院2007年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题科目名称：高等代数考生须知：1．本试卷满分为150分，全部考试时间总计180分钟。

2．所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。

1． (10分) 设多项式(),(),()f x g x h x 只有非零常数公因子，证明：存在多项式，使得 (),(),()u x v x w x ()()()()()()1u x f x v x g x w x h x ++=。

2． (10分) 设,,m n p 都是非负整数，证明： 1)++整除。

2(x x 33132()m n p x x x ++++3． (10分) 设A 是n 阶实数矩阵，0A ≠，而且A 的每个元素都和它的代数余子式相等。

证明A 是可逆矩阵。

4． (25分) 计算n 阶行列式2cos 112cos 112cos 112cos 112cos n D ααααα=O OO 5. (20分) 设是齐次线性方程组12,,,n k ααα∈L R 0AX =的基础解系，，,s t ∈R 11211,,,k k k k k s t s t s t 1βααβααβαα−−=+=+=+L 。

试问：应该满足什么关系，使得,s t 11,,,k k βββ−L 是方程组0AX =的基础解系，反之，当11,,,k k βββ−L 是方程组的基础解系时，这个关系必须成立。

0AX =科目名称：高等代数第1页共2页5． (15分) 设A 是实对称矩阵，如果A 是半正定的，则存在实的半正定矩阵B ，使得2A B =。

6． (20分) 已知⎟⎟，试证明对于3n ≥有I 100101010A ⎛⎞⎜=⎜⎜⎟⎝⎠−22n n A A A =+−，并计算100A ，其中I 表示单位矩阵。

7． (20分) 设二次型2342221231213f 22x x x ax x x x =++++bx x +通过正交变换化为标准形22232f y y ，求参数,a b 及所用的正交变换。

北京大学2007年高等代数与解析几何试题及解答

5. 设 n 阶复矩阵 A 满足: 对任意 k ∈ N+, 都有 Tr(Ak) = 0. 求 A 的特征值.
6. 设 n 维线性空间 V 上的线性变换 A 的最小多项式与特征多项式相同. 求证: 存在 α ∈ V, 使得 α, A α, · · · , A n−1α 为 V 的一组基.
7. P 是球内一定点, A, B, C 是球面上三动点, ∠AP B = ∠BP C = ∠CP A = π/2. 以 P A, P B, P C 为棱作平
(3) 按题中方法选出的 r 阶子式一定不为 0. 可以参考丘维声的《高等代数》创新教材第 162 页例 6.
(4) 列向量组不一定等价, 例如考虑
[]
[]
10
00
A=
, B=
.
10
10
行向量组一定等价. 由题意可得
[]
A
AX = 0,
X =0
B
是同解的, 从而 B 的行向量组一定可以由 A 的行向量组线性表示, 否则将导致 []
7.
(法一) 设球的中心为 O, 半径为 r,
−−→ OP
=
d,
则由
−→ OA
=
−−→ OP
+
−→ PA
得
r2 = d2 + 2−O−→P · −P→A +
−→ 2 PA .
同理由
−−→ −−→ −−→ OB = OP + P B,
−−→ −−→ −−→ OC = OP + P C
可得
r2
=
d2
+
−−→ 2OP
(2) 设 n 阶矩阵 A 的各行元素之和均为常数 c, 问 A3 的各行元素之和是否均为常数?

浙江大学2007年硕士研究生入学考试试题(高等代数)

浙江大学2007年硕士研究生入学考试试题（高等代数）一：证明；充分性；若该方程组的系数矩阵行列式为1±，故可由克拉默法则可知[]()11Tn n b b b b b ∀= 为整数，方程Ax b =的解均为整数解。

必要性；令Ax b =，由已知可知对于1,e 存在整数解1β,n e 存在整数解n β所以[][]11n n n A e e E ββ==，若取[]1n B ββ= ，所以1A B =，而,A B 为整数组成的矩阵，从而有1A =±，即该方程组的系数矩阵行列式为1± 二：解：由于21121111211231232222222212341123333111121112212311111111n n n n n n n nn n n n n n n n n n n n n n s s s x x x ss s s x x x x x x x A s s s s x x x x x x x s s s s x x x x x x x ----+------+-⎡⎡⎤⎡⎤⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥==⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦可知()21j i i j nA x x ≤<≤=-∏三：证明：由于00000E A AB E C ABC E B BC E B ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦从而()()()()0AB rank ABC rank B rank rank AB rank BC B BC ⎛⎫⎡⎤+=≥+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭四：证明：由于k s <，则必能从12,,,s ξξξ 中必可取()0m >个向量，使它们和12,,,k ηηη 一起构成齐次方程0Ax =的一组基础解系，若m s k <-，则()dim ker A k s k s <+-<这和已知()dim ker A s =矛盾若m s k >-，则()dim ker A k s k s >+->这和已知()dim ker A s =矛盾从而m s k =-，从而必能从12,,,s ξξξ 中必可取s k -个向量，使它们和12,,,k ηηη 一起构成齐次方程0Ax =的一组基础解系五：证明：由已知可知，A 的最小多项式()()()23m λλλ--，从而()m λ无重根，即A 可以对角化，由于A 的特征值仅为2和3，而23m n m A -=，从而特征值2的重数为m ，特征值3的重数为n m -，故与A 相似的一个对角矩阵为22020333m n m E E -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦六；证明：()1 22,,C D k ⨯∀∈∈ ，由()()()()()()()C D A C D B ACB ADB C D kC A kC B kACB k C ϕϕϕϕϕ+=+=+=+===从而ϕ是V 上的线性变换()2若1λ≠，则,A B 均为可逆矩阵，令()0x ϕ=，则0AxB =，所以0x =，即ϕ是可逆线性变换()3若1λ=，ker ,a b x x c d ϕ⎡⎤∀∈=⎢⎥⎣⎦，根据0x ϕ=可知,a c b d ==，从而12121001ker :,1001k k k k ϕ⎧⎫⎡⎤⎡⎤=+∈⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎩⎭ 又对任何a b x c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，有 ()()()12111211x a c b d ϕ--⎡⎤⎡⎤=-+-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦，从而12121211Im :,1211k k k k ϕ⎧--⎫⎡⎤⎡⎤=+∈⎨⎬⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎩⎭()4当1λ≠时，值域的基即为V 的基，而11122122,,,E E E E 可做为值域的一组基，即可为V 的一组基而()()()()11111221221211122122211112212211111221222222E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E ϕλλϕλλϕϕ=+++=----=--++=+--可知，ϕ在这组基下的矩阵为1111212111221λλλλ--⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎢⎥--⎣⎦当1λ=时，令123412111010,,,12111010εεεε--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，而12,εε为值域的一组基，34,εε为核的一组基，从而12,εε扩充34,εε后可成为V 的一组基，显然可知ϕ在这组基下的矩阵为220042000000000-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦七：解：由于2222222110001000000110010000λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ⎡⎤⎡⎤⎡⎤-+-++⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-→-→-→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦从而可知222211λλλλλλλλλλ⎡⎤-+⎢⎥-⎢⎥⎢⎥+⎣⎦的不变因子为21,,λλλ+，初等因子为,,1λλλ+ 八：解()1显然那可知()1234,,,f x x x x222212341213142324348888222222x x x x x x x x x x x x x x x x =+++++--++()2由于A 的特征多项式为()()()395f λλλ=--，从而A 的特征值为9（3重）和5由于()90n E A x -=的基础解系的一组基为：[]11001T ε=-，[]21010Tε=，[]31100Tε=，由于()50n E A x -=的基础解系的一组基为：[]41111Tε=--单位正交化可得100Tα=⎣⎦20Tα=⎣⎦3Tα=⎣⎦411112222T α⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦令121002210212662P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，可知做正交变换TY P X =，就可使()222212341234,,,9995f x x x x y y y y =+++ ()3显然可知A 为正定矩阵，则存在可逆矩阵C ，有T A C C =从而可知(),0T A αααα=≥，且当且仅当0α=时，等号成立(),αβ=()()(),,TTTT T T T A C C C C C C C C A αβαβαββαβαβαβαΩ======k ∀∈()()(),,TT k k A k A k αβαβαβαβ===()()()(),,,TT T A A A αβγαβγαγβγαγβγ+=+=+=+从而(),T A αβαβ=定义了4 上的内积从而该内积下4的一组标准正交基为1100322Tω=-⎢⎣⎦2103636Tω=⎢⎣⎦313Tω=⎣⎦411112222Tω⎤=--⎢⎥⎣⎦()4可取10022000100000021*******1111122222B ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎥⎤⎢⎥⎥⎥-⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎥=⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥-⎢⎥⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎣⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦九：证明：假若()f x 为有理数域上的可约多项式，则不妨设存在整系数多项式()(),g x h x 使()()()()()()(),0,0f x g x h x g x h x =∂>∂>，由于()0f x >，从而()f x 无实数根，则()(),g x h x 也无实根，不妨设()()0,0g x h x >>，从而在这n 个不同点1,,n a a ，()(),g x h x 的值均为1，从而()()()(),g x n h x n ∂≥∂≥，否则，()(),g x h x 有个为常数，即()()()()f xg x n ∂=∂=，则()()()11ni i h x g x x a ===+-∏，从而()()()21112n ni i i i f x x a x a ===+-+-∏∏这和已知矛盾，从而假设不成立，从而()f x 在有理数域上不可约。

厦门大学2007至2008第二学期高等代数期末考试试题A

厦门大学2007至2008学年第二学期高等代数期末考试试题 AA.（2向二坷為+曲勾B.C.（30 二 +方也D.设％勺是欧氏空间V 的子空间， *用分别是（2沟二竝+业+1叙述中错误的是___亠厦门大学《高等代数》课程试卷数学科学学院所有系2007年级距专业主孝教师：社規，林鹫试卷类型:（A 春）2BD8.7J2注意：所有答案请写在答题纸上选择题（8题X 4 分）1.设/是n 阶对称正定阵，贝U 虫+川一弘是___ _A. /的所有k 阶子式非负（）B.存在n 阶非零矩阵5，使得C.对元素全不为零的向量X ,总有仏丸D.存在非零向量X ,使得3.设& =（知对后傀对）是二维行空间W 中的任意两个向量，则W 对以为规定的内积构成欧氏空间。

B.半正定阵C.负定阵 A.正定阵负定阵2.设卫是n 阶非零实对称阵，则/是半正定阵的充要条件是D.半4. %勺的正交补空间，则下列C.若“耳矶，则哄叶5 .设儿5是n 阶矩阵，贝U 下列叙述中错误的是 _____ 。

A.若AS 是正交阵，则45也是正交阵B.若AS 是正定阵，则A+B 也是正定阵C.若虫』是正交阵，则B'^AB 也是正交阵D.若扎5是正定阵，则沪療也是正定阵6.设儿5■是 n 阶实对称阵，则下列说法正确的有___ _个。

扎5相似 ②虫』的特征值相同的充要条件是AB 正交相似件是4,5相抵7.设是n 阶实对称阵，则』/满足 ____________ 寸，必相似。

A. 蚀U ）二旳⑷，其中讪分别为虫』B. 加）=加），其中加）=加）分别为几』的特征多项式C. F （虫）二他，且乂的正惯性指数等于刃的正惯性指数D. |/冃引，且丄的正惯性指数等于5的正惯性指数8 .设卩是n 维欧氏空间V 上的自伴随算子，贝U 下列说法正确的有 ___ _个。

①卩在V 的任意一组基下的表示矩阵是实对称阵 ②卩在V 的任意一组标准正交基下的表示矩阵是实对称阵 ③卩在V 的某组基下的表示矩阵是对角阵④卩在V 的某组标准正交基下的表示矩阵是对角阵D.若EuV],则Wc 盼①虫』的特征值相同的充要条件是 ③的特征值相同的充要条件是虫』合同 ④的特征值相同的充要条A. 1B. 2C. 3D.的极小多项式二填空题（8题X 4分）设/是实对称阵，且川机，则/= __________ 0 写出实对称阵丄是正定的三个充要条件充要条件是用Gram-Schmit 正交化方法求由厶=（1丄1，1）占=（-144广1）占二（4,-2厂2』）所张成的子空间的一组标准正交基（取标准内积）设坷吗角是三维欧氏空间V 的一组基，其度量矩阵为量，则 ||0||二设Y1用是n 维欧氏空间V 的子空间，且V&E ，则dimVi+dimVf （选择 <,<>,>）0设虫』是n 阶正交阵，若MI + I 月4° 设乂是2阶正交阵，则乂必形如（8分）于1的两个特征向量。

《高等代数》上A卷答案

仰恩大学2006—2007学年第二学期期末试卷《高等代数》上A 卷答案适用班级：06数学时间：90分钟形式：闭卷评分说明：1，评分方式为累计计分；2，不再计中间分．一，（每题6分，共30分）简答题：以下各题，应写出简单的解答过程及依据。

1，解：将所有列加到第1列上， 2分则第1列与第4列成比例， 4分故原式0=． 6分2，证明：由题设，T A A =-，T B B =， 1分()()()T T T T T T T AB BA AB BA B A A B +=+=+ 3分()()()B A A B AB BA =-+-=-+， 5分即AB BA +为反对称矩阵． 6分 3，解：由20A λ=-＞， 2分得到2λ＞， 3分即当2λ＞时正定． 6分4，证明： 11A AA --=* ， 1分11*()()A A A --∴=***， 3分∴*1()()A A A -=*** 4分1211()n n AA A AA ----==． 6分5，解：方程组的系数行列式1210121001a a -=--， 3分当10a -≠即1a ≠时方程组有唯一解． 6分二，（12分）解：当n ＝2时，11212221212x x D x x x x ++==-++；1分当n ＞2时，将第一列乘以－1后加到其余各列，则得到1211....111. (1).............. (1)1 (1)n n x n x n D x n +-+-=+- 3分其中有两列成比例，故0n D =． 5分于是当n=2时，12n D x x =-；当n ＞2时，0n D =． 6分三，（13分）证明：由AB A B =+，得()()E A E B E --=； 2分()()E B E A E ⇒--=， 3分即得BA A B =+； 5分∴AB BA =． 6分四，（15分）解：对A B ⎛⎫⎪⎝⎭进行初等列变换得到021213334123231A B ⎛⎫ ⎪-⎪⎛⎫ ⎪=-- ⎪⎪⎝⎭ ⎪ ⎪-⎝⎭ 2分120312433321132⎛⎫ ⎪- ⎪⎪→-- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ 6分 100010.001211474⎛⎫ ⎪ ⎪⎪→ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭11分 211474X --⎛⎫∴= ⎪-⎝⎭． 15分五，（15分）解：对增广矩阵进行初等行变换化为最简形矩阵，得到1111011131112312A ---⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪---⎝⎭1分12131111000241001212r r r r ----⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪--⎝⎭4分 223210.511011200121200000r r r r r ⋅++--⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪⎝⎭7分可见()()R A R A -=，方程组有解，并有1243412212x x x x x =++⎧⎨=+⎩ 9分取240x x ==，则1312x x ==，即得原方程组的一个特解0(12,0,12,0)γ=． 10分下面求导出组的基础解系：导出组与 124342x x x x x =+⎧⎨=⎩ 同解．取241,x x ==0，得1(1,1,0,0)η=；取240,x x ==1，得2(1,0,2,1)η=．此即为导出组的基础解系， 13分于是原方程组的通解为 0112212,()k k kk R γγηη=++∈、． 15分六，（15分）解（1）二次型可化为222123121323(1)(1)(1)222x x x x x x x x x λλλ-+-+----， 1分它对应的矩阵是111111111λλλ---⎛⎫ ⎪--- ⎪ ⎪---⎝⎭； 2分由二次型是正定的⇔它的矩阵的所有顺序主子式全大于零， 5分可得到10λ->，(2)0λλ->，2(3)0λλ->， 9分它等价于3λ>，即二次型是正定的3λ⇔>． 10分（2）当3λ=时，二次型可化为222121323()()()0x x x x x x -+-+-≥， 13分故二次型是半正定的． 15分。

高等代数与解析几何(三)期末考试试卷(A卷)(2007年1月)

（1）求 A 的特征矩阵；（2）求 A 的子式因子组；（3）求 A 的不变因子组；（4）求 A 的初等因子组；（5）求 A 的若当标准形.
2
------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------
.
3 1 0 2、矩阵 0 3 1 的初等因子组为 0 0 3
年级：
.
3、设 A 为向量空间 V 到 U 的线性映射，则 dim( Ker (A )) + dim(Im( A )) =
.
4、设 λE A 的初等因子组为 λ2 , λ , λ 1, (λ 1) 2 ，则 λE A 的不变因子组是 ____ ____________________________________ . 5、设 A 是复矩阵，如果 A 满足 , 则称 A 是正规矩阵 .

专业：
得分
评阅人
二、判断题：（共 5 题，每题 3 分，共 15 分，对的请打 “ √ ” ，错的请打 ” × ”）
院（系）：
1、设 A(λ ) 是 n 阶 λ —矩阵，则 A(λ ) 可逆当且仅当 A(λ ) 是有限个初等 λ —矩阵的乘积.（
）
1
2、正交变换的积还是正交变换. 3、对称变换的积还是对称变换.
5
6
期末考试试卷（期末考试试卷（A 卷）
课程名称高等代数与解析几何(三) 编号 83410005 任课教师樊、朱、刘题型分值得分填空题 15 判断题 15 计算题 50 证明题 20 总分 100

2007陕西师范大学高等代数答案解析

2 ∑ 2 ∑ i=1 j =1
aij bij , ∀A = (aij )2×2 , B = (bij )2×2 ∈ R2×2 .
( ) ( ) 1 1 0 1 设A1 = , A2 = ,求由A1 , A2 生成的子空间W = L(A1 , A2 )的正交补子空 0 0 1 1 间W ⊥ 的一组标准正交基. 休息一下,来张美图欣赏一下吧.

必要性.不妨设m ≥ n.由条件,存在m × m阶与n × n阶矩阵P1 , Q1 使得 ( ) ( ) ( ) ( −1 )( ) ( ) En Q1 Q1 0 Q1 0 Q1 En A = P1 Q1 = P1 = P1 =P , 0 Em−n 0 Em−n 0 0 0 0 其中 ( ) Q1 0 P = P1 0 Em−n 1 2 (A|E ) = 1 4 5 1 0 → 0 0 0 1 0 → 0 0 0 1 0 → 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0
1 −2 −1 −4 −5
−1 1 −2 2 −3 3 −3 −2 0 −1
0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
0 0 1/3 1/3 0 0 1/3 −2/3 1 −1 2/3 −1/3 0 −5 −1 −1 0 −1 −2 0 1/3 1/3 1/3 −2/3 2/3 −1/3 −1 −1 −2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1
2 试题
一.(10分)计算行列式 2 −5 1 −3 7 −1 5 −9 2 4 −6 1 2 4 . 7 2
二.(15分)证明:如果(x2 + x + 1)|f1 (x3 ) + xf2 (x3 ),则(x − 1)|f1 (x), (x − 1)|f2 (x). 三.(15分)已知三阶方阵B 的每一个列向量都是以下三元线性方程组的解 x1 + 2x2 − 2x3 = 1 2x1 − x2 + λx3 = 2 3x1 + x2 − x3 = −1 且r(B ) = 2. 1

南京大学2007年攻读硕士学位研究生入学考试试题-高等代数

南京大学2007年攻读硕士学位研究生入学考试试题高等代数author ：blackbeautyEmail:blankbeauty1984@一、判断题（本题共10题，每小题4分，共40分）{Q i P }∈+=βαβα,|1−=i 1. 设Q 是有理数域，则也是数域，其中P a ∈2. 设f(x)是数域P 上的多项式，。

如果a 是f(x)的三阶导数的k 重根（）并且f(a)=0,则a 是f(x)的k+3重根。

)('''x f 1≥k 3. 设，则f(x)在有理数域上不可约。

34)(4−=x x x f ＋4. 设都是整系数多项式，h(x)是有理系数多项式并且它们满足，则h(x)也是整系数多项式。

)(),(x g x f )()()(x h x g x f =5. 级方阵可逆当且仅当A 的伴随矩阵可逆。

*A )2(≥n n 6. 设s 2121,βββααα…………，与r 为两个n 维向量组。

若r ααα……21,可由s 21βββ……，线性表出且s r ≤，则r ααα……21,线性无关。

7. 任意一个可逆对称矩阵的逆矩阵也是可逆对称矩阵。

8. 设为正定矩阵，则在A 的所有元素中，绝对值最大者必在A 的主对角线上。

)(ij a A =9. 设是数域P 上有限维线性空间V 的子空间，并且，则21,V V )()()(21V V V 维维维=+21V V V ⊕=10. 设A 是n 维线性空间V 上的线性变换，n 21εεε……，是V 的一组基，如果A 是单射，则)()(),(21n A A A εεε……也是V 的一组基。

二、填空题（每小题3分，共30分）1．设，则f(x)中的系数为 |4598043720002010854321|)(++−+=x x x x x f 3x ，常数项等于 2．设实二次型，则的矩阵))(323000121)(,,(),,(321321321x x x x x x x x x f =),,(321x x x f为，符号差为3．实二次型是正定二次型当且仅当λ满足条件 32312123222132122425),,(x x x x x x x x x x x x f −−+++=λλ4．设4级数字矩阵A 的最小多项式为，则A 的全部不变因子为 3)5(−λ，A 的特征多项式为5．设5级数字矩阵A 的特征多项式为，最小多项式为，则A 的全部行列式因子为 32)2()1(−−λλ2)2)(1(−−λλ，A 的全部初等因子为321,εεε，6．设三维欧几里德空间V 中一组基的度量矩阵为，且⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−1010401023212εεεα+−=，则α＝的长度为||α 三、（15分）设向量)7,1,3,1(),9,5,4,2(),2,4,1,3(),1,3,0,5(),4,0,2,1(54321−=−−=−−==−=ααααα1．求向量组的秩；54321ααααα，，，，2．求向量组的一个极大线性无关组；54321ααααα，，，，3．将向量组中其余向量表为极大线性无关组的线性组合54321ααααα，，，，四、（15分）设，把A 分解为一个正交矩阵和一个上三角矩阵的乘积。

福州大学2007年高等代数考研试题及解答 (1)

1
所以
a1

2a2
3a3

4a4

a1, a2 , a3, a4

2 3

b

4

所以 Ax b 的通解为 x 1, 2,3, 4 k 1, 3, 2, 0 ， k R
8、设
A

2 0
1 3
，
B

10 26
4、在线性空间 R3 中，已知向量1 (4, 6, 0),2 (6, 9, 3),3 (6, 3, a) 共面，求 a 。
【考察重点】：考查向量共面和矩阵的关系，这类题型在历年真题中并不常见，但是考生还是不可忽视其重要性。，【答案解析】：
解：已知向量1 (4, 6, 0),2 (6, 9, 3),3 (6, 3, a) 共面，则1,2 ,3 线性相关，

3

0
,矩阵
B
的两个解为
1

2，
2

3
且 r(B) 2 ，所以矩阵 A 与 B 相似。
1 2 6
9、求矩阵
A

1
0
3

的最小多项式和若当标准型。
1 1 4
【考察重点】：考查矩阵的最小多项式和若当标准型【答案解析】：
1 2 6 解：因为 E A 1 3 ( 1)3
个极大线性无关组。【考察重点】：求向量组的极大无关组，考生掌握其基本方法即可解此题，涉及知识点在第
三章。【答案解析】：
1 0 3 1
解：
(
f1,
f2,

2007年北京师范大学数学分析高等代数试题参考解答

2
dx
a+b
∫
2 | f ′(t)|dt +
b
∫ dx
x
| f ′(t)|dt
a
x
a+b
a+b
2
2
∫ =
a+b
∫
2 | f ′(t)|dt
t
∫
dx +
b
∫ | f ′(t)|dt
b
dx
a
a
a+b 2
t
3
∫ ≤ b−a
a+b 2
| f ′(t)|dt
+
b
−
a
∫
b
∫ | f ′(t)|dt = b − a
∂2 u ∂x2
+
∂2 u ∂y2
=
0化为平面极坐标下的
方程.
解，x = r cos θ, y = r sin θ.
∂u ∂r
=
∂u ∂x
∂x ∂r
+
∂u ∂y
∂y ∂r
=
∂u ∂x
cos θ +
∂u ∂y
sin θ
∂u ∂θ
=
∂u ∂x ∂x ∂θ
+
∂u ∂y ∂y ∂θ
=−r
∂u ∂x
sin
θ
+
∫ | f ( a + b ) ≤ | f (x)| + |
x
| f ′(x)|dx|
2
a+b
2
两边在[a,
b]上积分.∫ab
|
f
(
a+b 2
)|dx

2007《高等代数》试题A

武汉理工大学 高数A上 2007级 A卷及答案

华南农业大学2007高等代数(上)考试卷(A)

高等代数试题及答案1

北京大学2007年高等代数考研真题

昆明理工大学考研历年真题之高等代数2007--2014年考研真题

北京大学考研真题试题-高等代数与解析几何2007[试卷+答案]

新疆大学07高代及解答

2007年中国科学院高等代数考研试题

北京大学2007年高等代数与解析几何试题及解答

浙江大学2007年硕士研究生入学考试试题(高等代数)

厦门大学2007至2008第二学期高等代数期末考试试题A

《高等代数》上A卷答案

高等代数与解析几何(三)期末考试试卷(A卷)(2007年1月)

2007陕西师范大学高等代数答案解析

南京大学2007年攻读硕士学位研究生入学考试试题-高等代数

福州大学2007年高等代数考研试题及解答 (1)

2007年北京师范大学数学分析高等代数试题参考解答

武汉理工大学高数A上 2007级 A卷及答案