2018-2019学年最新浙教版九年级数学上册《垂径定理》同步练习题及答案-精编试题

3.3 垂径定理（一）
1.如图，AB 是半圆的直径，点O 是圆心，C 是半圆上的一点，连结AC ，过点O 作
OE ⊥AC 交AC ︵于点E ，交弦AC 于点D.若AC ＝8 cm ，DE ＝2 cm ，则OD 的长为 3 cm.
(第1题) (第2题) 2.如图，该桥可近似地看成是圆弧形，若桥跨度AB 约为40 m ，主拱高CD 约为10 m ，则桥弧AB 所在圆的半径约为 25 m.
3.如图，⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的动点，则线段OM 长的最小值为(C) A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
(第3题) (第4题) 4.如图，在半径为5 cm 的⊙O 中，弦AB ＝6 cm ，OC ⊥AB 于点C ，则OC ＝(B)
A. 3 cm
B. 4 cm
C. 5 cm
D. 6 cm
5.在⊙O 中，弦AB 垂直平分一条半径，则该弦的长是半径的(B) A. 2倍 B. 3倍 C. 2倍 D. 5倍
(第6题)
6.如图，⊙O 的直径AB 和弦CD 交于点E ，已知AE ＝6 cm ，EB ＝2 cm ，∠CEA ＝30°，求CD 的长.
【解】 过点O 作OF ⊥CD 于点F ，连结OC.
∵AE ＝6 cm ，EB ＝2 cm ，
∴AB ＝8 cm ，
∴OA ＝12
AB ＝4 cm ，OE ＝AE －OA ＝2 cm. 在Rt △OEF 中，∵∠CEA ＝30°，
∴OF ＝12
OE ＝1 cm. 在Rt △CFO 中，∵OF ＝1 cm ，OC ＝OA ＝4 cm ，
∴CF ＝OC 2－OF 2＝15 cm.
∵OF ⊥CD ，∴DF ＝CF ，∴CD ＝2CF ＝215 cm.
(第7题)
7.如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是弦，OD ⊥BC 于点E ，交BC ︵于点D.
(1)请写出三个不同类型的正确结论.
(2)若BC ＝8，ED ＝2，求⊙O 的半径r.
【解】 (1)如BE ＝CE ，BD ︵＝CD ︵，∠BED ＝90°，△BOD 是等腰三角形等.
(2)∵OD ⊥BC ，BC ＝8，∴BE ＝4.
在Rt △OBE 中，由勾股定理，得
OB 2＝BE 2＋OE 2，
∴r 2＝42＋(r －2)2，解得r ＝5.
8.如图，在平面直角坐标系中，以点O 为圆心，5个单位长为半径画圆，AB 是⊙O 的弦，点A 刚好在x 轴的正半轴上，点B 在第一象限，过点O 作OM ⊥AB 于点M.若AB ＝6，则点M 的坐标为(D)
(第8题)
A. (3.2，2)
B. (4.8，2)
C. (4.8，2.4)
D. (3.2，2.4)
【解】 ∵OM ⊥AB ，AB ＝6，∴AM ＝12
AB ＝3. ∵OA ＝5，∴OM ＝OA 2－AM 2＝4.
过点M 作MC ⊥x 轴于点C.
由三角形面积公式，得
MC ＝AM ·OM OA
＝2.4，
∴OC ＝OM 2－MC 2＝3.2，
∴点M(3.2，2.4).
(第9题)
9.如图，半径为5的⊙P 与y 轴交于点M(0，－4)，N(0，－10)，函数y ＝k x
(x<0)的图象过点P ，则k 的值为28 .
【解】 过点P 作PA ⊥MN 于点A ，连结PM ，PN.
∵点M(0，－4)，N(0，－10)，∴MN ＝6.
∵PA ⊥MN ，
∴MA ＝12
MN ＝3，∴OA ＝|－4|＋3＝7. 在Rt △MPA 中，PA ＝PM 2－MA 2＝4，
∴点P(－4，－7).
将点P(－4，－7)的坐标代入y ＝k x
，得k ＝28. 10.如图，⊙O 的半径是5，△ABC 是⊙O 的内接三角形，过圆心O 分别作AB ，BC ，AC 的垂线，垂足分别为E ，F ，G ，连结EF.若OG ＝1，求EF 的长.
(第10题) (第10题解)
【解】 如解图，连结OA.
∵OG ⊥AC ，OA ＝5， OG ＝1，
∴AG ＝OA 2－OG 2＝2，
∴AC ＝2AG ＝4.
∵OE ⊥AB ，OF ⊥BC ，
∴AE ＝EB ，BF ＝FC ，
∴EF 是△ABC 的中位线，
∴EF ＝12
AC ＝2. 11.如图，在△ABC 中，已知∠ACB ＝130°，∠BAC ＝20°，BC ＝2，以点C 为圆心，CB 长为半径的圆交AB 于点D ，求BD 的长.
(第11题) (第11题解)
【解】 如解图，过点C 作CE ⊥AB 于点E.
∵∠ACB ＝130°，∠BAC ＝20°，
∴∠B ＝180°－∠A －∠ACB ＝30°.
在Rt △BCE 中，∵∠CEB ＝90°，∠B ＝30°，BC ＝2，
∴CE ＝12
BC ＝1，∴BE ＝3CE ＝ 3. ∵CE ⊥BD ，∴BD ＝2BE ＝2 3.
12.某施工工地安放了一个圆柱形饮水桶的木制支架，示意图如图①所示，若不计木条的厚度，则该木制支架从上往下看到的图形如图②所示，已知AD 垂直平分BC ，AD ＝BC ＝48 cm ，则圆柱形饮水桶的底面半径的最大值是多少？
(第12题)
【解】 过A ，B ，C 三点作△ABC 的外接圆⊙O ，连结OB ，如解图所示.
(第12题解)
当⊙O 为△ABC 的外接圆时，圆柱形饮水桶的底面半径最大.
∵AD 垂直平分BC ，AD ＝BC ＝48 cm ，
∴点O 在AD 上，BD ＝12
BC ＝24 cm. 在Rt △OBD 中，设⊙O 的半径为r ，则OB ＝r ，OD ＝48－r.
由勾股定理，得OB 2＝OD 2＋BD 2，
∴r 2＝(48－r)2＋242，解得r ＝30，
即圆柱形饮水桶的底面半径的最大值是30 cm.。