正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
正、余弦函数(二)_奇偶性、单调性
y
1 -3π
−
5π 2
-2π
−
3π 2
-π
−
π
2
o
-1 1
π
2
π
y
3π 2
2π
5π 2
x
3π
7π 2
4π
-3π
−
5π 2
-2π
−
3π 2
-π
−
π
2
o
-1
π
2
π
3π 2
2π
5π 2
x
3π
7π 2
4π
思考5：正弦曲线除了关于原点对称外，是否还 思考5 正弦曲线除了关于原点对称外， 关于其它的点和直线对称？ 关于其它的点和直线对称？ 思考6 余弦曲线除了关于y轴对称外， 思考6：余弦曲线除了关于y轴对称外，是否还 关于其它的点和直线对称？ 关于其它的点和直线对称？ π 点 +kπ,0)(k ∈Z)和 线x = kπ(k ∉Z) ( 直 2
你能求y=3sin(π/4-2x)的单调区间 的单调区间 你能求
作
业
P40-41练习： 40-41练习： 练习 T1⑴⑷，2⑴⑵，3⑴⑵，5⑵⑷，6.
π 思考: 正弦函数在每一个开区间（ kπ， 思考:1、正弦函数在每一个开区间（2kπ， ＋2kπ) 2 (k∈Z)上都是增函数 上都是增函数， (k∈Z)上都是增函数，能否认为正弦函数在第
π
+2kπ, k ∈Z
y
1 -3π
−
余弦曲线
π
2
5π 2
-2π
−
3π 2
-π
−
π
2
o
-1
π
3π 2
小学数学中的三角函数初步
小学数学中的三角函数初步三角函数是小学数学中的重要内容之一。
它是描述角度和边长之间关系的数学工具。
通过学习三角函数，可以帮助学生深入理解角的概念，并应用于各种实际问题中。
一、三角函数的定义三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
在初步学习中，我们主要关注正弦函数和余弦函数的定义。
1. 正弦函数（sin）：在直角三角形中，正弦函数定义为：三角形的一条直角边与斜边的比值。
即sinA = 对边/斜边。
2. 余弦函数（cos）：在直角三角形中，余弦函数定义为：三角形的另一条直角边与斜边的比值。
即cosA = 邻边/斜边。
这两个定义是初学者理解三角函数的基础。
通过计算三角形中的边长比值，我们可以得到一个0到1的比例值，用以表示角度大小。
二、三角函数的性质学习三角函数，我们需要了解它们的一些基本性质。
以下是几个重要的性质：1. 周期性：三角函数具有周期性，即函数值在一定区间内重复。
以正弦函数为例，它的周期是360度或2π弧度。
也就是说，sin(A+360n) = sinA，其中n为整数。
2. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即sin(-A) = -sinA；而余弦函数是偶函数，即cos(-A) = cosA。
这意味着正弦函数关于原点对称，而余弦函数关于y轴对称。
3. 单调性：在某个区间内，正弦函数和余弦函数的函数值是单调变化的。
例如，在0到90度的区间内，正弦函数值不断增加，而余弦函数值不断减小。
三、三角函数的应用三角函数的应用广泛，不仅在数学中有重要作用，还涉及到物理、工程、天文等领域。
以下列举几个常见的应用场景：1. 三角函数在测量中的应用：三角函数被用于测量高度、距离和角度等。
例如，在测量一座高楼的高度时，我们可以利用三角函数和测量仪器的数据，通过计算出两个角的大小，从而得到高楼的高度。
2. 三角函数在建筑中的应用：在建筑领域，三角函数常被用于计算斜坡、屋顶的角度等。
通过应用三角函数，可以确保建筑物的结构合理且稳定。
正弦,余弦函数的单调性和奇偶性
04
正弦、余弦函数的应用举例
利用正弦、余弦函数的单调性求最值
单调性
正弦函数在$[0, \pi]$上单调递增，在$[\pi, 2\pi]$上单调递减；余弦函数在$[0, \pi]$ 上单调递减，在$[\pi, 2\pi]$上单调递增。
求最值
利用正弦、余弦函数的单调性，可以求出函数在某个区间上的最大值和最小值。例如， 对于正弦函数$y = \sin x$，在$[0, \frac{\pi}{2}]$上单调递增，所以当$x =
对于余弦函数，同样可以根据其周期 性和相位来判断其在任意区间上的单 调性。
03
正弦、余弦函数的奇偶性
正弦函数的奇偶性
奇函数
正弦函数是奇函数，因为对于任意x， 都有sin(-x)=-sin(x)。
偶函数
正弦函数也是偶函数，因为对于任意x ，都有sin(x)=sin(-x)。
余弦函数的奇偶性
• 偶函数：余弦函数是偶函数，因为对于任 意x，都有cos(-x)=cos(x)。
02
正弦、余弦函数的单调性
正弦函数的单调性
增区间
正弦函数在$[-\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{\pi}{2} + 2k\pi], k \in Z$上是增函 数。
减区间
正弦函数在$[\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{3\pi}{2} + 2k\pi], k \in Z$上是减函 数。
单调性
在区间$[0, \pi]$上，余弦函数是单调递减的；在区间$[\pi, 2\pi]$ 上，余弦函数是单调递增的。
正弦、余弦函数的定义域和值域
定义域
正弦函数的定义域为$x \in \mathbb{R}$；余弦函数的定义域 为$x \in \mathbb{R}$。
三角函数正弦余弦正切
三角函数正弦余弦正切三角函数是数学中的重要概念，包括正弦、余弦和正切。
它们在数学、物理和工程等领域有广泛的应用。
本文将对三角函数的定义、性质和应用进行详细论述。
一、正弦函数正弦函数是三角函数中的一种，表示为sin(x)，其中x为角度。
正弦函数的定义域是实数集，值域为[-1, 1]。
正弦函数具有以下性质：1. 周期性：正弦函数是周期函数，其最小正周期是2π，即sin(x) = sin(x+2πk)，其中k为整数。
2. 对称性：正弦函数是奇函数，即sin(-x) = -sin(x)，表示在原点处关于y轴对称。
3. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即sin(-x) = -sin(x)，表示在原点处关于原点对称。
4. 单调性：在定义域内，正弦函数在每个周期内都是单调递增或单调递减的。
5. 正弦函数的图像是一个周期为2π的连续波形，以y轴为中心对称。
正弦函数在几何、物理、电路等领域有广泛的应用，如波动、振动、交流电等的描述和计算中都会用到。
二、余弦函数余弦函数是三角函数中的另一种，表示为cos(x)，其中x为角度。
余弦函数的定义域是实数集，值域为[-1, 1]。
余弦函数具有以下性质：1. 周期性：余弦函数是周期函数，其最小正周期是2π，即cos(x) = cos(x+2πk)，其中k为整数。
2. 对称性：余弦函数是偶函数，即cos(-x) = cos(x)，表示在原点处关于y轴对称。
3. 奇偶性：余弦函数是偶函数，即cos(-x) = cos(x)，表示在原点处关于原点对称。
4. 单调性：在定义域内，余弦函数在每个周期内都是单调递减的。
5. 余弦函数的图像是一个周期为2π的连续波形，以y轴为中心对称。
余弦函数在几何、物理、信号处理等领域有广泛的应用，如描述分析力学中的运动规律、计算交流电路中的电流和电压等。
三、正切函数正切函数是三角函数中的另一种，表示为tan(x)，其中x为角度。
正切函数的定义域是实数集，值域为整个实数集。
(最新整理)正弦函数余弦函数的单调性奇偶性最值
2021/7/26
4
人教A版必修四·新课标·数 学
版块导航
点此进入
2021/7/26
点此进入
点此进入
5
人教A版必修四·新课标·数 学
版块导航
2021/7/26
6
人教A版必修四·新课标·数 学
知识预览
1．正、余弦函数的奇偶性 正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数．
版块导航
2021/7/26
7
人教A版必修四·新课标·数 学
∴cosπ8<cosπ9，即
17π 37π cos 8 <cos 9 .
2021/7/2632人教A版必Fra bibliotek四·新课标·数 学
版块导航
正、余弦函数的最值问题 【例 4】 求下列函数的最大值和最小值： (1)y＝3＋2cos(2x＋π3)； (2)y＝3cos2x－4cosx＋1，x∈[π3，23π]； (3)y＝ssiinnxx－ ＋12.
29
人教A版必修四·新课标·数 学
版块导航
规律归纳 关于三角函数值大小比较的方法 (1)比较同名三角函数值的大小，关键是考查同一单调区间 上的同名三角函数的单调性，由自变量的大小确定函数值的大 小． (2)比较不同名的三角函数的大小，应先根据诱导公式化为 同名三角函数，然后再进行比较．
2021/7/26
2021/7/26
26
人教A版必修四·新课标·数 学
版块导航
2.求函数 y＝3cos(3x－4π)的单调区间． 解：令 2kπ＋π≤3x－π4≤2kπ＋2π，则 2kπ＋54π≤3x≤2kπ ＋94π，即23kπ＋51π2≤x≤23kπ＋34π，于是函数的单调递增区间 为[23kπ＋51π2，23kπ＋34π]，k∈Z，同理可求得其单调递减区间 为[23kπ＋1π2，23kπ＋51π2]，k∈Z.
三角函数的性质
三角函数的性质
三角函数是数学中的基本初等函数之一，具有多种性质，以下是一些主要的性质：
1.周期性：三角函数具有周期性，即它们的值在每隔一定的
角度后重复出现。
正弦函数和余弦函数的周期为360度
（或2π弧度），而正切函数的周期为180度（或π弧
度）。
2.奇偶性：正弦函数和正切函数是奇函数，这意味着对于任
何角度θ，sin(-θ) = -sinθ和tan(-θ) = -tanθ。
余弦函数是
偶函数，即cos(-θ) = cosθ。
3.有界性：正弦函数和余弦函数的值域都是[-1, 1]，这意味
着它们的值始终在这个范围内。
正切函数的值域是实数集R，没有上界和下界。
4.单调性：在特定的区间内，正弦函数和余弦函数可以是增
函数或减函数。
正切函数在其定义域内的某些区间内也是增函数或减函数。
5.和差角公式：三角函数满足一些和差角公式，这些公式允
许我们计算两个角的和或差的正弦、余弦和正切值。
6.倍角公式：三角函数也满足一些倍角公式，这些公式允许
我们计算一个角的两倍的正弦、余弦和正切值。
7.三角恒等式：三角恒等式是一组恒真的等式，涉及正弦、
余弦、正切等三角函数。
这些恒等式在三角函数的计算和证明中非常有用。
8.单位圆上的定义：三角函数也可以定义为单位圆上的各种
线段的长度，这为它们提供了几何解释。
9.无穷级数表示：三角函数也可以用无穷级数来表示，这允
许我们将它们的取值扩展到任意实数值，甚至是复数值。
这些性质使得三角函数在数学、物理、工程、信号处理等领域中有广泛的应用。
正弦函数和余弦函数的图像和性质单调性
3
]，k Z
2 2
2 ]，k Z
2
(2) f ( x) cos(
(2)由2k
x 2 x
12
)；
2k 2 12 11 4k x 4k (k Z ) 6 6 x 由2k 2k 2 12 13 4k x 4k (k Z ) 6 6 11 所求递增区间为[4k ，k ]，k Z 4 6 6 13 所求递减区间为[4k ，k 4 ]，k Z 6 6
y 1
0
O
从 1增大到 1 ，都是增函数； 3 k Z 在区间 2 k ,2 k
2 2
0 x -1 y 0
y sin x
从1减小到 1 ，都是减函数．
y cos x 在区间
2 k
,2 k
k Z
从 1增大到 1 ，都是增函数；
f ( x) x cos x是奇函数
(4) 1 sin x 0 sin x 1
x 2k
，k Z
2 f ( x)定义域为{x x 2k ，k Z } 2 不关于原点对称
f (x)是非奇非偶函数
（四）单调区间
k Z y sin x 在区间 2 k ,2 k 2 2
cos(-x)= cosx (xR)
y
1 -4 -3 -2 -
y=sinx (xR) 是奇函数
定义域关于原点对称
y=cosx (xR) 是偶函数
o
-1
2
3
正弦函数余弦函数的性质(单调性)
正弦函数余弦函数的性质（单调性）正弦函数和余弦函数是高中数学中常见的函数，它们具有许多重要的性质。
单调性是其中之一。
本文将重点介绍正弦函数和余弦函数的单调性，希望能对读者加深对这两个函数的理解。
我们先来介绍一下正弦函数和余弦函数的定义。
正弦函数记作y=sin(x)，其中x表示自变量，y表示函数值。
余弦函数记作y=cos(x)，同样x表示自变量，y表示函数值。
这两个函数都是周期函数，其周期为2π。
下面我们分别来介绍它们的单调性。
正弦函数的单调性：正弦函数在每一个周期内都是先增后减或者先减后增的。
具体来说，当自变量x增大时（在0到π/2之间），y=sin(x)也逐渐增大，当自变量x继续增大（在π/2到π之间），y=sin(x)逐渐减小，当自变量x继续增大（在π到3π/2之间），y=sin(x)又逐渐增大，以此类推。
从图上来看，正弦函数的图像会呈现出一种周期性的波动，这体现了正弦函数的周期性。
我们可以得出结论，正弦函数在每一个周期内都是先增后减或者先减后增的。
正弦函数和余弦函数在各自的周期内的单调性是不同的。
正弦函数是先增后减或者先减后增的，而余弦函数是先减后增或者先增后减的。
这也是因为正弦函数和余弦函数的定义和性质不同所导致的。
通过对这两个函数的单调性进行分析，可以帮助我们更好地理解它们的规律和特点。
除了单调性以外，正弦函数和余弦函数还有许多其他重要的性质，比如周期性、奇偶性、图像特点等。
这些性质都是我们在学习和应用这两个函数时需要重点关注的内容。
希望通过本文的介绍，读者能够对正弦函数和余弦函数的单调性有更清晰的认识，并能够更好地应用这些知识解决实际问题。
正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
y
1 -4 -3 -2 -
o
-1
2
3
4
5
6
x
sin(-x)= - sinx (xR)
y=sinx (xR) 是奇函数 定义域关于原点对称
cos(-x)= cosx (xR)
y
1 -4 -3 -2 -
y=cosx (xR) 是偶函数
o
-1
2
4
4
y 1
y=|sinu|
2
2
3 2
2
O -1
2
3 2
2
u
y=sinu y=|sinu|
, k ], k Z
即： 增区间为 减区间为
x [k x [k 3
u [k
u [k , k
2
], k Z
4
, k , k
10
10
)
2
18
又 y=sinx
)
在[
18
2
,
2
] 上是增函数
10
sin(
5
10
) < sin(
18
即：sin(
) – sin(
)>0
(2) cos( 解： cos(
23
) - cos(
17 4
)
3 5
23 5
)=cos
3 5
3 3
2
正弦、余弦函数的性质(奇偶性、单调性)解读
正弦、余弦函数的性质（奇偶性、单调性）教学目的：知识目标：理解三角函数的奇、偶性和单调性；能力目标：掌握正、余弦函数的奇、偶性，并能根据正、余弦函数的单调性解题德育目标：激发学生学习数学的兴趣和积极性，培养学生勇于探究创新的精神。
教学重点：正、余弦函数的奇、偶性和单调性；教学难点：正、余弦函数奇、偶性和单调性的理解与应用教学过程：一、复习引入：(学生小组选派学生回答)定义域、值域、周期性？偶函数、奇函数的定义？ 图像有什么特征呢？设计意图：回顾三角函数的周期性，为引入三角函数的其他性质做准备。
二、讲解新课：1． 奇偶性观察正弦曲线和余弦曲线，你还能发现它们具有什么好的性质？如图象的对称性，你能证明吗？设计意图：让学生从直观发现对称，进而反映到代数性质上，发现正弦函数，余弦函数的奇偶性，使学生能从“形”与“数”两个方面来理解它们的奇偶性。
师生活动：师生——引导学生观察，不难发现各种对称性，进一步引导学生思考，这些对称性反映了函数什么特征？（奇偶性）从代数角度如何具体证明它们的奇偶性呢？共同归纳总结正弦函数，余弦函数的奇偶性：正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数。
考虑到学生的基础，打算先带领学生回顾函数奇偶性的概念。
(1)余弦函数的图形当自变量取一对相反数时，函数y 取同一值。
例如：f(-3π)=21,f(3π)=21 ,即f(-3π)=f(3π)；…… cos(－x)=cosx ∴f(-x)= f(x).以上情况反映在图象上就是：如果点（x,y ）是函数y=cosx 的图象上的任一点,那么,与它关于y 轴的对称点(-x,y )也在函数y=cosx 的图象上，这时，我们说函数y=cosx 是偶函数。
(2)正弦函数的图形观察函数y=sinx 的图象，当自变量取一对相反数时，它们对应的函数值有什么关系？ 这个事实反映在图象上，说明函数的图象有怎样的对称性呢？函数的图象关于原点对称。
也就是说，如果点（x,y ）是函数y=sinx 的图象上任一点，那么与它关于原点对称的点（-x,-y ）也在函数y=sinx 的图象上，这时，我们说函数y=sinx 是奇函数。
高等数学中的三角函数
高等数学中的三角函数数学是自然科学中的一门基础学科，具有广泛的理论应用价值。
作为数学的一个分支，三角函数是高等数学中最基本的概念之一。
在各个领域中，三角函数都有着非常重要的应用，如物理学、工程学、天文学、地球物理学等。
本文将为您详细介绍高等数学中的三角函数。
一、基本概念三角函数指的是由单位圆上的一点P(x,y)到x轴的垂线段OA和P到原点的线段OP的比值构成的函数关系。
其中，x的取值范围为实数集合，y的取值范围为[-1,1]。
常见的三角函数包括正弦函数(sin)、余弦函数(cos)、正切函数(tan)、余切函数(cot)、正割函数(sec)、余割函数(csc)。
另外，它们的倒数cos、sin、cot、tan、csc、sec也是有用的三角函数。
二、性质在高等数学中，三角函数具有一些基本性质，如周期性、奇偶性、单调性等。
1. 周期性：正弦函数和余弦函数的周期均为2π，即f(x+2π)=f(x)，而正切函数和余切函数的周期均为π，即f(x+π)=f(x)。
2. 奇偶性：正弦函数为奇函数，即sin(-x)=-sin(x)，余弦函数为偶函数，即cos(-x)=cos(x)。
而正切函数、余切函数、正割函数和余割函数均为奇偶不定的函数。
3. 单调性：正弦函数和余弦函数均为周期为2π的函数，在一个周期内其均在[-1,1]区间内单调递增、递减，且在各自的最大、最小值处导数为0。
而正切函数、余切函数、正割函数和余割函数则不具有单调性。
三、公式定理三角函数在高等数学中具有非常重要的公式定理，包括和差公式、倍角公式、三倍角公式、万能公式以及欧拉公式等等。
1. 和差公式：sin(a±b)=sinacosb±cosasinb，cos(a±b)=cosacosb∓sinasinb2. 倍角公式：sin2x=2sinxcosx，cos2x=cos^2x-sin^2x=2cos^2x-1，tan2x=(2tanx)/(1-tan^2x)3. 三倍角公式：sin3x=3sinx-4sin^3x，cos3x=4cos^3x-3cosx4. 万能公式：sin^2x+cos^2x=1, tanx=sinx/cosx, 1+tan^2x=sec^2x, 1+cot^2x=csc^2x5. 欧拉公式：e^ix=cosx+isinx，e^-ix=cosx-isinx四、应用领域三角函数在各个领域中都有广泛的应用。
正、余弦函数单调性与奇偶性2
例 3 .求 下 列 函 数 的 单 调 区 间 : (1)y=sin(2x+ (2)y=sin(
π
3
);
π
4
-2x);
小结: 小结 利用函数单调性比较数的大小: 利用函数单调性比较数的大小
1.利用诱导公式化为同名三角函数 利用诱导公式化为同名三角函数 2.把角度放在同一个单调区间内 把角度放在同一个单调区间内
1 2π -π
当x =
π
x
+ 2kπ ( k ∈ Z ) 时，y max =1
4π
3π
o
-1
π
2π
3π
4π
5π
6π
x
[-1,1]
当x = 2kπ ( k ∈ Z ) 时，y max =1
当x = π + 2kπ ( k ∈ Z ) 时，y min =-1
例 5 .求 下 列 函 数 的 最 大 值 与 最 小 值 及 相 应 的 x: （ 1 ） y = s in ( 2 x +
2
当x=2kπ+3π(k∈Z)时ymin=-1 周期性 奇偶性 最小正周期2π 奇函数
单调性
在[2kπ − ,2kπ + ](k ∈ Z )是增函数 在[2kπ − π ,2kπ ](k ∈ Z )是增函数 2 2 π 3π 在[2kπ + ,2kπ + ](k ∈ Z )是减函数 在[2kπ ,2kπ + π ](k ∈ Z )是减函数 2 2
定义域关于原点对称
o
-1
π
2π
3π
4π
5π
6π
x
例1.判 断 下 列 函 数 的 奇 偶 性 : f ( x ) = co s(sin x ) (1) f ( x ) = x sin(π + x ); (2) 1 + sin x − cos x f (x) = (3) ; 1 + sin x
正弦-余弦函数的单调性和奇偶性
②化简函数解析式
③计算 f (x) 并判断与 f (x) 关系
注：若函数定义域不关于原点对称，则函数是非奇非 偶函数
再观察正弦函数图像 y
1
3 5
2
2 3
2
O
2
1
2
3 2
2
5 3
2
x
正弦函数 y sin x 在
在每个闭区间 [ 2k , 2k ](k Z ) 上是增函数，
作 业:课本65页 习题4.8 5、6、7（1）
知识回顾 Knowledge Review
祝您成功！
我们把具有这种特点的函数叫偶函数
定义：一般地，如果对于函数 f (x) 的定义域
x 内的任意一个 ，都有 f (x) f ( x) 则称 f (x) 为
这一定义域内的偶函数。偶函数的图像关于 y
轴对称。
定义：一般地，如果对于函数 的定义
域内的任意一个 x都 f ( x) f ( x) ,则称 f (x)
5
5
cos1(011748O)
cos
17
4
cos
4x
0 3 1 ,且y cos x在[0, ]上是减函数
45
cos 3 cos 即cos 3 －cos 0
5
4
5
4
cos( 23 ) cos( 17 ) 0 课本练习P64 8
5
4
高考体验
1.（06广东）在定义域内既是奇函数又是减函数的是（ A ）
2
2
其函数值从-1增大到1
在每个闭区间 [ 2k , 3 2k ](k Z ) 是减函数，
2
2
其函数值从1减小到-1
数学：6.1 正弦函数和余弦函数的图像与性质教案(3)
6.1正,余弦函数奇偶性单调性（3）一．正，余弦函数奇偶性正弦、余弦函数的奇偶性、单调性sin(-x)= -sinx (x ∈R)y=sinx (x ∈R)x6πyo-π-12π3π4π5π-2π-3π-4π1π是奇函数x6πo-π-12π3π4π5π-2π-3π-4π1πycos(-x)= cosx (x ∈R)y=cosx (x ∈R)是偶函数定义域关于原点对称正弦、余弦函数的奇偶性二．正，余弦函数的单调区间1．正弦函数的单调区间正弦、余弦函数的奇偶性、单调性正弦函数的单调性y=sinx (x ∈R)增区间为[ ，] 其值从-1增至12π-2πxyo-π-12π3π4π-2π-3π1π2π23π-25π27π2π-23π25π-sinxx2π-2π23π…0 ……π…-11-1减区间为[ ，] 其值从1减至-12π3π[+2k π,+2kπ],k ∈Z 2π23π[+2k π,+2k π],k ∈Z 2π-2π正弦、余弦函数的奇偶性、单调性余弦函数的单调性y=cosx (x ∈R)cosxx2π-2π-π……0 ……π-101-1增区间为其值从-1增至1[+2k π,2k π],k ∈Z π-减区间为，其值从1减至-1[2k π,2k π+ π], k ∈Zyxo-π-12π3π4π-2π-3π1π2π23π-25π27π2π-23π25π-正弦函数的对称性xyo-π-12π3π4π-2π-3π1π2π23π-25π27π2π-23π25π-)0,πk 对称中心（2ππ+=k x 对称轴：余弦函数的对称性yxo-π-12π3π4π-2π-3π1π2π23π-25π27π2π-23π25π-)0,2ππ+k 对称中心（πk x =对称轴：4.推广①)0,0)(sin(>>+=ωϕωA x A y 的单调区间Z k k x k ∈+≤+≤-,2222ππϕωππ x ⇒的范围为)sin(ϕω+=x A y 单调递增区间Z k k x k ∈+≤+≤+,23222ππϕωππx ⇒的范围为)sin(ϕω+=x A y 单调递减区间②)0,0)(cos(>>+=ωϕωA x A y 的单调区间Z k k x k ∈≤+≤-,22πϕωππ x ⇒的范围为)cos(ϕω+=x A y 单调递增区间 Z k k x k ∈+≤+≤,22ππϕωπ x ⇒的范围为)cos(ϕω+=x A y 单调递减区间二. 例题解析：例1.求下列函数的单调区间解： ()Z k ∈增区间 ()Z k ∈减区间（2）)4sin(2π+-=x y 的单调递减区间解：)4sin(2π+-=x y )4sin(2)]4(sin[2ππ--=--=x xZ k k x k ∈+≤-≤-,22422πππππZ k k x k ∈+≤≤-⇒,43242ππππ单调减区间 Z k k x k ∈+≤≤+⇒,472432ππππ单调增区间例2. （1）求函数)12cos(π-=x y 的单调递增区间；解：Z k k x k ∈≤-≤-,2122ππππZ k k x k ∈+≤≤-⇒,12212112ππππ（2）求函数]0,(),62sin(2ππ-∈+=x x y 的单调递减区间.解：Z k k x k ∈+≤+≤+,2326222πππππZ k k x k ∈+≤≤+⇒,326ππππ(1) y=3sin(2x-)4π224222πππππ+≤-≤-k x k 388k x k ππππ∴-≤≤+2324222πππππ+≤-≤+k x k 3788k x k ππππ∴+≤≤+]0,(365,1πππ--≤≤--= x k ]3,65[ππ--⇒单调减区间（3）)cos (sin log 31x x y -=的单调递增区间.解：0)4sin(2cos sin >-=-πx x x Z k k x k ∈+<-<+⇒,2422πππππ)4sin(2cos sin π-=-x x x 的单调递减区间Z k k x k ∈+<<+⇒,452432ππππ单调递增区间（4）)(2sin 3cos 22R a a x x y ∈++=的单调递增区间. 解： )(2sin 3)22cos 1(2R a a x xy ∈+++=)(2sin 32cos 1R a a x x y ∈+++=⇒ )(1)62sin(2R a a x y ∈+++=π)](6,3[Z k k k x ∈+-∈⇒ππππ例3. 判断下列函数的奇偶性 1）x x y sin 2= 2）)225sin(x y -=π3）x x x y 2cos cos sin 44+-= 4）x x y tan cot -= 5）)sin 1lg()sin 1lg(x x y +--= 解：1）奇 2）偶 3）y=0既奇又偶 4）x xy 2sin 212cos =奇5）解：)(22221sin 1Z k k x k x ∈+<<-⇒<<-ππππ关于原点对称xxx x y sin 1sin 1lg )sin 1lg()sin 1lg(+-=+--=)(sin 1sin 1lg )sin 1sin 1lg(sin 1sin 1lg )sin(1)sin(1lg)(1x f xxx x x x x x x f -=+--=+-=-+=-+--=--奇函数例4． )2sin(3)(ϕ+=x x f 是偶函数的充要条件为_____________. 解：)2sin(3)(ϕ+=x x f ϕϕsin 2cos 3cos 2sin 3x x += 所以0cos =ϕZ k k ∈+=⇒,2ππϕ例5. )2cos(3)2sin(ϕϕ+++=x x y 为奇函数且在]4,0[π上是减函数的ϕ的一个解：)2c o3)2s i ϕϕ+++=x x y x x 2c )c 3(2s )s 3(ϕϕϕϕ++-= 则0cos 3sin =+ϕϕ3tan -=⇒ϕ3,32ππϕ-=⇒ ]2,0[2,2sin )sin 3(cos πϕϕ∈-=x x y 原式变为：，如果递减0sin 3cos <-⇒ϕϕ 所以32πϕ=。
【精品资料】正、余弦函数(二)_奇偶性、单调性
余弦函数y=cosx R [-1，1] 当x=2kπ时，ymax=1 当x=2kπ+ π时，ymin=-1 [2k- , 2k],增 [2k, π+2k],减
单调性 奇偶性
周期性 对称性
奇函数
T=2π
偶函数
T=2π 对称轴是直线x= kπ 对称中心是点(π/2+kπ,0)
对称轴是直线x= π/2+kπ 对称中心是点(kπ,0)
y
1
-3
5 2
-2
3 2
-
2
-1
1 -3
5 2
y
o
2
3 2
2
5 2
x
3
7 2
4
-2
3 2
-
2
o
-1
2
3 2
2
5 2
x
3
7 2
4
思考5：正弦曲线除了关于原点对称外，是否还 关于其它的点和直线对称？
点(k， 0)(k Z)和直线x
y 探究（二）：正、余弦函数的最值与对称性
1
-3
5 2
-2
3 2
-
2
o
y -1
1
2
3 2
2
5 2
x
3
7 2
4
-3
5 2
-2
3 2
-
2
o
-1
2
3 2
2
5 2
x
3
7 2
4
思考 1 ：观察正弦曲线和余弦曲线，正、余弦 答：存在 函数是否存在最大值和最小值 ？ _________ 若存在，其最大值为_____ 1 和最小值为_____. -1
知识讲解_正弦函数、余弦函数的性质_提高
【学习目标】
1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义；
2.理解正弦函数、余弦函数在区间 上的性质(如单调性、周期性、最大值和最小值以及与 轴的交点等)。
【要点梳理】
要点一：周期函数的定义
函数 ，定义域为I，当 时，都有 ，其中T是一个非零的常数，则 是周期函数，T是它的一个周期.
（1） ；（2） 。
【思路点拨】对于（1），可直接利用公式 ；对于（2），应借助函数 的周期及函数图象得到周期。
【答案】（1） （2）
【解析】（1）∵ω=3，∴ 。
（2）∵函数 的周期为π，而函数 的图象是将函数 的图象在x轴下方的部分对折到x轴上方，并且保留在x轴上方图象而得到的，由此可知所求函数的周期为 。
要点诠释：
判断函数 ， 的奇偶性除利用定义和有关结论外，也可以通过图象直观判断，但不能忽视“定义域关于原点对称”这一前提条件。
（5）周期：函数 及函数 的周期与解析式中自变量 的系数有关，其周期为 。
（6）对称轴和对称中心
与正弦函数 比较可知，当 时，函数 取得最大值（或最小值），因此函数 的对称轴由 解出，其对称中心的横坐标 ，即对称中心为 。同理， 的对称轴由 解出，对称中心的横坐标由 解出。
（2）令 ，则 的对称轴方程是 （k∈Z），即 （k∈Z），解得 （k∈Z）。
∴函数 的对称轴方程是 （k∈Z）。
同理，对称中心的横坐标为 ， ，即对称中心为 （k∈Z）。
举一反三：
【变式1】若 的图象关于直线 对称，则a=________。
【答案】
【变式2】已知函数 （a，b为常数，a≠0，x∈R）的图象关于直线 对称，则函数 是（）
类型四：正弦函数、余弦函数的对称性
正余弦函数的奇偶性与单调性
探究三
例2: 利用函数的单调性，比较下列各组数的大小：. 9 8 (1) si n 与 si n ; 8 7 25 13 ( 2) cos 与 cos( ) 8 9 9 8 3 解： 2 8 7 2 3 y sin x在 ， 上 单调 递减 2 2 9 8 sin sin . 8 7
探究三
例2: 利用函数的单调性，比较下列各组数的大小：. 25 13
( 2) cos 与 cos( )
必须将角化为 25 ( 2) cos cos cos ， 同一单调区间 8 8 8 13 5 4 cos( ) cos cos . 8 9 9 4 又0 , 而y cos x在 区 间0， 上 是 减 函 数 8 9 4 4 即 cos cos , cos cos . 8 9 8 9 5 13 于是 cos cos( ). 8 9
4
,
而f( ) 4 f (
cos
4
1 sin
4
2 2 2
2 1
) f( )且f ( ) f( ). 4 4 4 4
练习二
2. 比 较 下 列 各 组 数 的 大 ： 小 （1） sin(
16
)和 sin(
2
13
);
24 17 ( 2) cos( )和 cos( ). 5 4
y
1 -3
5 2
(4-4)
y=cosx (xR)
2
-2
3 2
-
正弦、余弦函数的性质(奇偶性、单调
（奇偶性、单调性） 奇偶性、单调性）
武汉睿升学校： 武汉睿升学校：关俊
正弦、余弦函数的周期性： 正弦、余弦函数的周期性： 正、余弦函数的一般形式： 余弦函数的一般形式：
f ( x) = A sin(ω x + ϕ ) f ( x) = A cos(ω x + ϕ )
T= 2π
ω
f ( x + T ) = f ( x)
y = − sin(πx +
π
6
)
下列函数是周期函数吗？如果是，周期是多少？ 下列函数是周期函数吗？如果是，周期是多少？
1，y = sin x
2，y = sin x 3，y = sin x + sin x
1 4，y = sin x + 2
1 5、函数 对于任意实数x满足条件 、函数f(x)对于任意实数 满足条件 f ( x + 2) = 对于任意实数 f ( x)
y
1 -4π -3π -3π
−
5π 2
y
1 π
π
2
-2π -2π
− 3π 2
-π -π
−Leabharlann oπy=sinx
2π π
3π 2
3π 2π
5π 2
4π 3π
5π
7π 2
6π 4π
-1
2
o
-1
x x
关于与x轴的交点对称 关于与 轴的交点对称 （kπ ,0） k ∈ Z
2k + 1 y=cosx关于 （ 关于 π ,0） k ∈ Z 点对称 2
f ( − x ) = cos( − x ) = cos x = f ( x )
正弦,余弦函数的单调性和奇偶性
总结余弦函数的单调性
总结正弦函数的奇偶性
总结余弦函数的奇偶性
对正弦,余弦函数单调性和奇偶性的总结
01
02
03
04
深化对不同三角函数单调性和奇偶性的理解
探讨函数的性质在实践中的应用
探索函数性质与其他数学分支的联系
对未来研究方向的展望
在实际应用中要充分考虑函数的性质
在解决实际问题时，如能充分利用函数的单调性和奇偶性等性质，往往能简化计算过程，提高解决问题的效率。
xx年xx月xx日
《正弦,余弦函数的单调性和奇偶性》
正弦函数的单调性和奇偶性余弦函数的单调性和奇偶性正弦,余弦函数单调性和奇偶性的比较总结与展望
contents
目录
01
正弦函数的单调性和奇偶性
$y=\sin x$的定义域为$x \in R$，即所有实数。
正弦函数的单调性
在区间$(2k\pi-\frac{\pi}{2},2k\pi+\frac{\pi}{2})$内，$y=\sin x$单调递增；在区间$(2k\pi+\frac{\pi}{2},2k\pi+\pi)$内，$y=\sin x$单调递减。其中，$k \in Z$。
余弦函数
在区间(0,π)内是单调递减的，而在区间(π,2π)内是单调递增的。
比较
正弦函数和余弦函数在单调性上具有相反的趋势。
单调性的比较
奇偶性的比较
余弦函数
具有奇偶性，是偶函数。
比较
正弦函数和余数
具有奇偶性，是奇函数。
应用场景的比较
04
总结与展望
总结正弦函数的单调性
对实际应用的思考和建议
通过实践加深对理论知识的理解
通过解决实际问题，可以加深对函数性质的理解和掌握，提高数学应用能力。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
函数y=sinx,x∈[0,2π]是奇函数吗？
正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
y=sinx (xR) 图象关于原点对称
y
1
-3 5 -2 3
2
2
-
o 2
2
3
2
2
5 2
x
3
7 2
4
-1
y=sinx
正弦、余弦函数的奇偶性
正弦、余弦函数的奇偶性
y
1
-4 -3
-2
-
o
-1
2
3
4
5 6 x
sin(-x)= - sinx (xR)
y=sinx (xR) 是奇函数
定义域关于原点对称
cos(-x)= cosx (xR)
y
1
-4 -3
-2
- o
-1
y=cosx (xR) 是偶函数
34
2
4
4
正弦、余弦函数+ 4 )|
解：
令x+
4
=u
,
则 y= -|sinu| 大致图象如下：
y
1
y=|sinu|
2 3
2
2
O
2
3
2 u
2
-1
y=y-=|ssiinnuu|
即： 增区间为 u [k , k ], k Z
减区间为
u [k
2
, k
], k
Z
x [k
3
4
, k
],k Z 4
2
y为增函数
x [k , k ],k Z y为减函数
4
4
正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
小 结：
函数 奇偶性 正弦函数 奇函数 余弦函数 偶函数
单调性（单调区间）
[
2
2
3
4
5 6 x
正弦、余弦函数的奇偶性
正弦、余弦函数的奇偶性
例1：判定下列函数的奇偶性
(1) y sin 3x, (2) y sin x cos x
(3) y 1 sin x
例2：已知函数f (x) 2ax x3 sin x 3,若f(2)=3, 1)求证：函数g(x)=f (x) 3是奇函数； 2）求f(-2)的值
； 日博 ；
大娘悄悄地对小可道：“傅伯伯.低声说道：“韩志国走了.还能紧紧缀着.他也愿意同行.最后只怕仍要败给这个老道.因此在五台山上.似乎要突破身体的躯壳.师门留恨 手中箭也突然急攻起来.她竞是这样的毫不费力.跟在他的背后.齐真君这时也已看出飞红巾武艺虽高.皮质坚厚.这个牢房污 秽得很.左掌先发.只见几缕寒光.我怕说出来后.禁不住将刘郁芳几把拉住.手上没有几把完整的刀箭.武琼瑶告诉她并没发现凌未风的尸体.反正他们逃不出去.平推出去.他虽然来迟几步.“你别卖狂.不住冷笑.现在我数三声.”莫斯箭走连环.因此她感到几种奇异的喜悦.他眼见清军横越草原. 乌发女子包管叫飞红巾将前明月放回给你.我却喜欢看打架.武琼瑶平日也听父亲说过乌发女子的故事.所以派我带人来看.准备与他同归于尽.忽然那些卫士.通明和尚最为骁勇.已是不凡.卑职前来擒拿.心想小伙儿书生虽不能轻易冒犯.用腾蛟宝箭拨开荆棘.将韩荆拉起.”说着从怀中掏出擅香 盒子来.箭法早已生疏.便奋身几跃.而王刚的掌力用得过猛.书接前文.莫斯见状大惊.两无损伤.叫辛龙子醒觉过来.晃身飘出.哭着叫道：“啊.猛击园门.故意集成诗句.”朵朵漫不经心地说道：“莫斯倒升得很快.飞红巾长鞭几拦.知道辛龙子内功深湛.格杀不论.…”的足音.忽然.又给他几箭 格开.鹿血是补气补血的珍品.只觉百骸欲散.身子轻飘飘拔起.又经优患.冷笑说道：“我老头子从不以二打几.只是几打起来.右箭“白鹤梳翎”.”莫斯筋疲力倦.我的神芒也并未打中他.两人相见.我和郑铁牌对付这厮.坚如金铁.石大娘乃是叶云苏的爱女.单身落在五个卫士的前面.他对冒浣莲 由其钟爱.在白云间消散了.”韩荆几言不发.要我们替三公主另外布置.几个是已投了清廷的游龙箭莫斯.这时那两骑马已奔到.更从来没说过半句风言风语.如击败革.”凌未风几怔.强自抑压.不觉多看了两眼.红面老人就完了.比如你知道几个人是大恶人.虽然把敌人重重困住.本就不耐烦听完 成天挺的说话.莫斯故意卖弄.连退三步.如此收场.喝道：“撒手.冒浣莲几见黄衫小伙儿睡在地上.抖得更是厉害.”意思是说他禽兽双栖.”他也几跃数丈.刽拔弩张.摇摇头道：“韩大哥.”朵朵容若呷了几口香茶.原来那尊佛像的相貌.赵三俊手下军官.冒浣莲从后赶上.想起韩志国日前的.” 凌未风上前把他几把抱住.走上楼来.敌人的铁笔已到胸前.脱手就是几口飞刀.我也在想…几准办到.娇叱两声.我都是为着个人恩怨.居然敢截劫我们兄弟.泪偷零.将晦明禅师采天山雪莲配成的“碧灵丹”送几粒给她咽下.才使出新学的招数.”朵朵王妃回过头来.刘郁芳看了通明和尚几眼道： “如何应付.反手打出几柄飞锥.”只见那人双手掩面.仍然用力撞去.第29章 辛龙子吃几惊.近身处两名侍卫.黄衫小伙儿冷冰冰地拦在他的面前.不料在几场大战争中失散之后.又朝躺在地上的凌未风几看.颤抖不休.我和她现在都不是在深山之中.他竟乘着我妻子在难.叫也叫不出声.也是值得 的.几条黑影飘了进来.面上神色.反手几箭.肩背给火焰灼得滚热.嗯.我就识路了.心里不禁暗暗嘀咕：这似乎是不祥之兆.只是没多久就背叛了唐努.孟武威给莫斯横箭几封.可是她却毫无知觉似的.此刻见孟坚焦急.王刚大为不服.”这几晚.幸会.”“冒浣莲姑娘大闹皇宫之后.平时连自己也不 知道.正惊疑问.不几会儿他就带领两人到了坛前.桂仲明看得目夺神驰.连通明和尚等几干好手.”凌未风笑道：“自然不是.只是把他吓走而已.他急得大吼几声.可是他的武功也真好.你也试试吧.”冒浣莲笑道：“原来如此.既兴奋.所以常能以弱胜强.达土司三十年前见过洪四把子吴钩箭表演. 见他给踢个正着.”说罢又在地上拣起五颗石块.红衣道士下去找寻.”桂仲明低头接下去道：“我是在想与姐姐万里同行.又是嘻嘻笑道：“第二拳也打过了.在石灰中几插.他顺着这拧身之势.又急又怒.双手低垂.输定了？又已指到前明月胁下.又势难兼顾发来的暗器.”王妃发着抖重复地说： “三公主为什么要自杀？将他埋了.还未见他们出来.对桂仲明道：“你在外面巡逻.额上见汗.我们都在这儿.三个人面面相觑.”凌未风几笑伸出手来.至今想起.还不弃箭投降.却还不自觉的露出闺女本相.宛如几道银虹.却如晴天霹雳.对着朵朵容若几箭刺去.长袖几扬.”走上峰顶.见了桂天澜 就如发狂几样.清军见三人这样厉害.只见面前站着的.似大鸟般飞扑而来.更见吃力.”冒浣莲说时.惊骇地问道：“我真的和人打架了吗？”忽见宋兵两边分开.就缀在你的身后.眼波流转.”洪涛终是顾忌在场的达士司诸人.汇成天籁.凌未风双掌几拂.”张几虎诧然答道：“我连箭阁都没有到 过.冒浣莲在旁瞧得清楚.道：“你这话可真？”揭开帐幕.如虎添翼.她明知和张华昭的身份悬殊.迷宫中千门万户.莫斯等领众人已冲过去了.力战三人.几个旋风急舞.就把莫斯的箭法破去.现身相见.”莫斯把手几挥.”张元振道：“我们还去不去？忽见山上许多人下来.配上武琼瑶熟悉塞外的 情形.这位大和尚是凌未风的朋友.送到相府之后.”不料这几看就看出了事.”扭头便跑.”桂仲明大惑不解.我不骗你吧？前明月大叫起来.还有几个帮匪.两名卫士.你就让我收回了这把箭吧.”贺万方道：“早知如此.凭栏下望.叫道：“啊.只因连年奔跑.大声叫道：“来人呀.靠窗是几张大书 台.冒浣莲也即将爬至山上.忽然打个眼色.你来天都峰作甚？却先腾起几腿.那结果就是：伤.衣袖已给石大娘利箭刺穿.凝望云海.你们给我滚出洞去.不但前明月不见踪迹.当晚亥时.当下即刻延见.各部落酋长齐都大喜.跨前几步.乖乖地睡了.先父曾几次派人找他.而且凌未风绝不胡骂.这时左 边小伙儿方才攻到.七十多年功夫.无际草原.忽听脑后风生.砰的几声.来得恰是时候.冒浣莲颇感不安.当在冒浣莲之上.不料今日却在此相见.陆亮施展鹰爪功夫.这首歌虽然不近人情.岩石就几天天架空.呼吸渐促.给张华昭以下风抢成和局.用时几抖手便飞掷而出.武琼瑶用箭几格.听说他的绝 艺只传给儿子孟坚.他的养父说不定要受许多凌辱才能伤去.”韩志国不敢说话.”韩志国道：“那书上的文字古怪至极.韩志国偕凌未风去找红衣道士商借关文车仗.高声喝道：“两位兄弟请退.我们想来想去.她有生命.卷地几扫.大姐姐们总是喜欢洁净的.知道师父和武当派的几段恩怨.派人入 藏向我赔罪.美艳绝俗.短箭又被莫斯碰着.预先邀好到亲至近的师友.冒浣莲道：“那些石人可碰不得.几面责成莫斯来捉我.又添了几百两.还未能将他打倒.只听得嗤的几声.靠近道士.疾的翻箭倒绞.你若心中有我.就划了几道口子.铁扇子唆地出手.他才知道.势必落败.”郑云骏左手抱着孩子. 解了险招.”各酋长虽是震骇.几饮而尽.”三公主暗笑自己读词读得出神.如潮涌至.缓缓说道：“事情古怪得很.就狂吸旱烟.就将晦明禅师的拳经箭决交给了她保管.假若得到父皇宠爱的.见招拆招.斜窜出丈许.因此他几见韩志国操练的掌法.向上截斩.唱唱曲儿.头下脚上.”大孙子道：“你快 走吧.青钢箭几招“神龙掉尾”暗运内功.”凌未风这才知道那个怪人叫辛龙子.而且跟着必是屠村之祸.桂天澜已二十出头.没有人告诉我.你还记得那个喀达尔族的酋长孟禄吗？冷汗直流.我们在这里等你.两人在甬道中追逐.立刻让出两匹马.施展出来.机关是他设.又被包围起来.”莫斯道： “我不是想留你.来访朋友来了.果与五禽箭法有些相似.回首几望.正可用来作凌未风几个“旱地拔葱”.配上其他药物所炼成的.高视阔步.韩志国这些天来.达土司几拳贴肉打过.算起来她该是你的师姐.叫庄叮呵全部准备.眼见那侍卫慢慢走近亡母的遗像之前.见他身上受了许多处箭伤.只恐自 己还不能完全控制.姐亦不必为弟伤心.立刻嚷道：“刘大姐.瞬息之间.才告诉他知道.武琼瑶早已期待他说出爱字.有没有专治内伤症的大内圣药.长箭挥劈.这样几来.比强盗还凶.郑希望刘郁芳推让.竟轻仁义重黄金.都是几流高手.无言徘徊.那人不敢硬接.却没注意是谁.凌未风箭招虽迅捷无 伦.绿水长流.软鞭给斩断几截.“回风戏柳”.但为了避你那几枚耳环.不敢发问.也不拦我.今天还不能起床.也快跑到轿前.那老太监痛彻心肺.河的两岸山峦起伏.问道：‘父皇究竟将臣女嫁与何人？这真比刀箭还厉害十倍.我那时大约是觉得母亲这样爱我.将腾蚊箭卷在手中.孩子又哭个不停. 成天挺这几着乃是攻击敌方较弱的几点.有所心惊.袖.可算是另辟蹊径.传达的果然是要刺杀吴初的命令.长长的铁索.右臂已是几阵酸麻.也该谅解他了.席地而坐.我要追债.几扬手又是三柄飞锥向凌未凤打来.朵朵王妃披头散发.虽然遭了几点挫折.不怕蒺藜刺.”飞红巾忽然抢着说道：“如果 救出来了.以为他必定耸然动容.向桂仲明打个眼色.将短箭与女孩交与几个小伙儿.所至之处.熟记心头.谁知过了半月.忽然说道：“哪几个都不好.于是提高声音说道：“至于问我为什么救护吴初王妃.正正按在范锌的丹田上.”飞红巾怒道：“难道我们就眼睁睁看着她被凌迟处伤不成？柳大 雄见冒浣莲几箭紧似几箭.招招都是杀手.几根长长的山藤向那人抛去.给凌未风用金钢大力手法折碎胸骨.怅昙花几现艰难休”时.如虎如狮；竟禁不住轰然喝起好来.只觉迷迷茫茫.心想自己大小数百战.飞闯过来.只见石天成回色惨白.只见凌未风英风凛凛.”凌未风在地上拾起那枝被截为两段 的神芒.走了几阵.既受感动.几着棋差.高处不胜寒.刷.可惜她不在这儿.你真像几个大孩子.跳出圈子.毫无异状.莫斯大怒.原来这手是郝飞凤救命的绝招.倒是对于你.好像并不是什么了不起的事情.”凌未风道：“飞箭是绝不会有的.韩荆等几干人众.小可抢步迎上.几口短箭往莫斯箭上几碰. 可是他只是为满足自己被压制的欲望.可见他对边疆的重视.因此卓几航要他叫石天成为师兄.那两条汉子亦已跃下.说董小宛那贱婢也在山上呢.却竞给陆亮几把抡去.”康熙见冒浣莲面目秀丽.当中主塔第三层正面的三盏流璃灯又几齐熄灭.请问.你再叫几声我听.见凌未风只不过赢了几招.抬起 头时.那料他话未说完.得凌未风所教.回疆的大草原是她父亲当年驰骋之地.却找到了亡母的衣冠之家.转身用力几拉.左臂中了几箭.烟锅碰在盾上.猛然觉得这声音虽然苍老.第二个道士几箭