第八节二次曲面
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7-8二次曲面M-PPT精选文档
（熟知这几个常见曲面的特性）
2 2 2 思考题 方程 x 4y z 25 表示怎样的曲线？ 3 x
思考题解答
2 2 4 y z 16 x 4y z 25 . 3 3 x x
2
2
2
表示双曲线.
第八节 二 次 曲 面
一、基本内容 二、小结 思考题
一、基本内容
二次曲面的定义： 三元二次方程所表示的曲面称之． 相应地平面被称为一次曲面． 讨论二次曲面性状的截痕法： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截， 考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合， 从而了解曲面的全貌． 以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面．
2 2 2 2 方程可写为 x y z a .
(2)双曲面
1). 单叶双曲面 2 2 2 x y z 1 方程 2 2 2 a b c 所确定的曲面称为单叶双曲面． x
z
o
y
x2 y2 z2 2 1 特别地，当 a b 时， 曲面 2 a c
为单叶旋转双曲面．
2). 双叶双曲面
x y z 1 方程 2 2 2 a b c双曲面． x
2 2 2 x y z 特别地当 a b 时， 曲面 2 1 2 a c
o
y
为双叶旋转双曲面．
(3)抛物面
1). 椭圆抛物面 方程
z
x2 y2 z （ p与 q 同号） 2 p 2q
x
所确定的曲面称为椭圆抛物面．
x2 y2 特 别 地 当 p q 时 ， 曲 面 z 2p
o
y
为旋转抛物面．
2). 双曲抛物面 （马鞍面）
z
x2 y2 方程 z 2 p 2q
2 2 2 思考题 方程 x 4y z 25 表示怎样的曲线？ 3 x
思考题解答
2 2 4 y z 16 x 4y z 25 . 3 3 x x
2
2
2
表示双曲线.
第八节 二 次 曲 面
一、基本内容 二、小结 思考题
一、基本内容
二次曲面的定义： 三元二次方程所表示的曲面称之． 相应地平面被称为一次曲面． 讨论二次曲面性状的截痕法： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截， 考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合， 从而了解曲面的全貌． 以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面．
2 2 2 2 方程可写为 x y z a .
(2)双曲面
1). 单叶双曲面 2 2 2 x y z 1 方程 2 2 2 a b c 所确定的曲面称为单叶双曲面． x
z
o
y
x2 y2 z2 2 1 特别地，当 a b 时， 曲面 2 a c
为单叶旋转双曲面．
2). 双叶双曲面
x y z 1 方程 2 2 2 a b c双曲面． x
2 2 2 x y z 特别地当 a b 时， 曲面 2 1 2 a c
o
y
为双叶旋转双曲面．
(3)抛物面
1). 椭圆抛物面 方程
z
x2 y2 z （ p与 q 同号） 2 p 2q
x
所确定的曲面称为椭圆抛物面．
x2 y2 特 别 地 当 p q 时 ， 曲 面 z 2p
o
y
为旋转抛物面．
2). 双曲抛物面 （马鞍面）
z
x2 y2 方程 z 2 p 2q
常见的二次曲面
(1)
所确定的曲面称为椭球面.
用Oxy坐标平面(即z=0)截所给曲面，截痕为椭圆
x2 y2 2 2 1, a b z 0.
用平行于Oxy坐标平面的平面z=h截所给曲面，截
痕为椭圆
x2 y2 h2 2 2 1 2 , a b c z h.
x y 当h=±c时，截痕为 2 2 0，即截痕缩为一 a b 点.当|h|>c时，截痕为虚椭圆，说明椭球面与平面
用Oyz坐标面截所给曲面，截痕方程为
y2 z2 2 2 1, b c x 0.
无图形.
用平面x=h截所给曲面，其截痕方程为
y 2 z 2 h2 2 2 2 1, b c a x h.
b 2 当|h|>a时，其图形为椭圆，半轴分别为 h a2 a c 2 2 和 h a ； a
方程
x2 y2 z ( p, q同号) 2 p 2q
(5)
所确定的曲面为椭圆抛物面. 若p>0，q>0.利用截痕法可作出其图形.
六、双曲抛物面
x2 y2 z ( p, q同号) 方程 2 p 2q
确定的曲面为双曲抛物面.
(6)
设p>0，q>0.
用Oxy坐标面截所给曲面，截痕为两条直线
由方程
x2 y2 z 2 2 2 1 2 a b c
(3)
所确定的曲面称为双叶双曲面.
用Oxy坐标面截所给曲面，得截痕为双曲线
x2 y2 2 2 1, a b z 0.
用平面z=h截所给曲面，得截痕为双曲线
x2 y2 Βιβλιοθήκη 2 2 2 1 2 , a b c z h.
常见的二次曲面
用平行于Oxy面的平面z=h截所给曲面，截痕为
x2 y2 1, 2 ph 2qh z h.
当h<0时，是实轴与y轴平行的双曲线.
用Oxz坐标面截所给曲面，截痕为抛物线
2 x 2 pz, y 0. 它是以z轴为对称轴，开口朝上的抛物线.
用Oyz坐标面截所给曲面，截痕为抛物线
因此，椭球面介于 a x a .
二、单叶双曲面
x2 y2 z 2 由方程 2 2 2 1 a b c
所确定的曲面称为单叶双曲面.
(2)
用平行于Oxy坐标面的平面截所给曲面，得截 痕为椭圆
x2 y2 h2 1 2 , 2 2 a b c z h.
当|h|=a时，截痕为一个点；
当|h|<a时为虚椭圆，即无图形. 可见所给图形介于| x | a 的范围内，因此图形为
两支. 常称(a,0,0)和(–a,0,0)为双叶双曲面的顶点.
用Oxz坐标面截所给曲面，得截痕为双曲线
x2 z 2 2 2 1, a c y 0.
用平面y=h截所给曲面，得截痕为双曲线
2 x2 z 2 h 2 2 1 2 , a c b y h.
由上述截痕的分析，可画出双叶双曲面的图形.
四、二次锥面
x2 y2 z 2 方程 2 2 0 2 a b c 所确定的曲面称为二次锥面. (4)
五、椭圆抛物面
当|h|<a时，截痕为双曲线.它的实轴平行于y轴， 虚轴平行于z轴.
当|h|>a时，截痕为双曲线，它的实轴平行于z轴，
虚轴平行于y轴.
当|h|=a时，截痕为两条直线
y z y z 0, 0. b c b c
第八节：二次曲面
（2）伸缩变形法 ） 平面图形的伸缩变形法
C : F( x, y) = 0
图形 C´ 由图形 C 沿 y 轴 ´ 倍而得到。 方向伸缩 λ 倍而得到。
N′( x, y) • y N ( x, ) •
y
λ
• M′( x0 , λ y0 ) • M( x0 , y0 )
C
C′
y
0
x
问题1：如何确定C´ 的方程？ 问题1：如何确定C´ 的方程？
得旋转椭球面： 得旋转椭球面：
2
a 2 x +y z 2 x + y + 2 z =a , 或 + 2 =1 2 c a c b a （2）再将旋转椭球面沿 y 轴方向伸缩 倍： y ↔ y, ） a b
x y z 即得椭球面： 即得椭球面： 2 + 2 + 2 = 1 a b c
所以，球面是旋转椭球面的特殊情形， 所以，球面是旋转椭球面的特殊情形，而后者又是椭 球面的特殊情形。 球面的特殊情形。
即椭圆锥面的图形是由圆锥面 C： x2 + y2 = a2z2 , ： 在 y 轴方向上伸缩 b 倍后而得到的 a
（五）柱面
x2 y2 + 2 =1 椭圆柱面 2 a b
母线平行于 z 轴
x2 y 2 双曲柱面 1 2 − 2 = a b
抛物柱面
母线平行于 z 轴 母线平行于 z 轴
x2 = a y
λ
结论3：将空间曲面 结论 ：将空间曲面C ：F ( x , y , z ) = 0 沿 y 轴方向伸 倍而得到空间曲面 空间曲面C´ 缩 λ倍而得到空间曲面 ´ ， 则 C´ 的方程为： ´ 的方程为： y F( x,殊二次曲面的形状
二次曲面【高等数学PPT课件】
（一）椭球面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1(
x
a,
y
b,
z
c)
椭球面与三个坐标面的交线：
x
2
a
2
y2 b2
1,
z 0
z
x2 a2
y
0
z2 c2
1,
z
y2 b2
z2 c2
1.
x 0
z
o
o
y
y
y
x
x
x
（二）双曲面
第八节 二 次 曲 面
二次曲面的定义：
a11 x2 a22 y2 a33 z2 2a12 xy 2a23 yz
2a13 xz 2a14 x 2a24 y 2a34z a44 0
三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面．
相应地平面被称为一次曲面．
用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面 相截，考察其交线的形状，然后加以综合， 从而了解曲面的全貌．
z
z
z
o
y
o
x oy x
y x
z x2 y2 y x2 z2
x y2 z2
(2)
双曲抛物面 （马鞍面）
x2 y2
z（ p 与 q 同号）
pq
z
o x
z o x
y
z x>0x<0
o y
y x
x2 y2 z
pq
y>0
y<0
x2 y2 z
高等数学 二次曲面
（3）用坐标面 yoz ( x = 0)， x = x1与曲面相截 ） 均可得抛物线. 均可得抛物线 时可类似讨论. 同理当 p < 0, q < 0 时可类似讨论
2007年8月 南京航空航天大学 理学院 数学系` 9
椭圆抛物面的图形如下： 椭圆抛物面的图形如下：
z o x y z
x
o
y
p < 0, q < 0
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系`
19
思考题
x 2 − 4 y 2 + z 2 = 25 方程 表示怎样的曲线？ 表示怎样的曲线？ x = −3
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系`
20
思考题解答
2 2 − 4 y + z = 16 x 2 − 4 y 2 + z 2 = 25 ⇒ . x = −3 x = −3
表示双曲线. 表示双曲线.
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系`
21
练 习 题
y2 + z2 − 2x = 0 一、求曲线 ，在 xoy 面上的投影曲线 z = 3 的方程， 的方程，并指出原曲线是什么曲线 . 画出方程所表示的曲面： 二、画出方程所表示的曲面： z x2 y2 1、 = + ； 3 4 9 2、16 x 2 + 4 y 2 − z 2 = 64 . 画出下列各曲面所围成的立体的图形： 三、画出下列各曲面所围成的立体的图形： y 1、 x = 0 , z = 0 , x = 1 , y = 2 , z = ； 4 2、 x = 0 , y = 0 , z = 0 , x 2 + y 2 = R 2 , y 2 + z 2 = R 2 (在第一卦限内 在第一卦限内) (在第一卦限内) .
高等数学课件D853二次曲面
(3) 截痕:与 z z1 ( z1 c)的交线为
椭圆：
a2 c2
x2 (c2
z12
)
b2 c2
y2 (c2
z12
)
1
z z1
同样 y y1 ( y1 b ) 及
也为椭圆.
的截痕
(4) 当 a＝b 时为旋转椭球面; 当a＝b＝c时为球面.
11/24/2019
高等数学课件
若p a2 0, q b2 0
x2 ay2 (bz 1 )2 2b
1 4b2
是单叶双曲面;
11/24/2019
高等数学课件
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例2 设空间曲面由双参数
x a(u )
y
b(u
)
u, R, a,b 0
z 2u
椭球面、抛物面、双曲面、锥面
适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅
就几种常见标准型的特点进行介绍 .
研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法
11/24/2019
高等数学课件
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1. 椭球面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
( a,b, c为正数)
(1)范围：
x a, y b, z c
当q 0, p 0时，
若p 0 z x2 py2 是椭圆抛物面;
若p 0 z x2 py2 是双曲抛物面;
当p 0, q 0时，
若q a2 0
x2
(az
1 )2 2a
8-8二次曲面
a2 b2 c2 含两个直母线系 直纹面在建筑学上有广泛的应用 例如，冷却塔、电视塔等 建筑都有用这种结构的．
2. 双叶双曲面
z
(1) 定义
方程
x2 a2
y2 b2
z c
2 2
1
所确定的曲面称为双叶双曲面．
(2) 图形分析
oy
曲面与 yoz 面的交线是双曲线
x
z2
c
2
y2 b2
1
2. 双曲抛物面
（马鞍面）
(1) 定义
x2 a2
y2 b2
z
z
(2) 图形分析
截痕法
x
用z = a截曲面
0
用y = 0截曲面
y
用x = b截曲面
2. 双曲抛物面
（马鞍面）
(1) 定义
x2 a2
y2 b2
z
z
(2) 图形分析
截痕法
x
用z = a截曲面
0
用y = 0截曲面
y
用x = b截曲面
z2 c2
1
所确定的曲面称为单叶双曲面．
o
y
(2) 图形分析 曲面与 xoy 面的交线是椭圆
x2 a2
y2 b2
x 1
z 0 曲面与 yoz 面的交线是双曲线
y2
b2
z2 c2
1
x 0
与平面 z z1的交线是椭圆
x2
a
2
y2 b2
1
z12 c2
z z1
2. 双叶双曲面
z
(1) 定义
方程
x2 a2
y2 b2
z c
2 2
1
所确定的曲面称为双叶双曲面．
(2) 图形分析
oy
曲面与 yoz 面的交线是双曲线
x
z2
c
2
y2 b2
1
2. 双曲抛物面
（马鞍面）
(1) 定义
x2 a2
y2 b2
z
z
(2) 图形分析
截痕法
x
用z = a截曲面
0
用y = 0截曲面
y
用x = b截曲面
2. 双曲抛物面
（马鞍面）
(1) 定义
x2 a2
y2 b2
z
z
(2) 图形分析
截痕法
x
用z = a截曲面
0
用y = 0截曲面
y
用x = b截曲面
z2 c2
1
所确定的曲面称为单叶双曲面．
o
y
(2) 图形分析 曲面与 xoy 面的交线是椭圆
x2 a2
y2 b2
x 1
z 0 曲面与 yoz 面的交线是双曲线
y2
b2
z2 c2
1
x 0
与平面 z z1的交线是椭圆
x2
a
2
y2 b2
1
z12 c2
z z1
《I二次曲面介绍》课件
二次曲面的切线和法平面
1
切线
切线方程式是确定点切线方向的关键工具，可以帮助我们理解二次曲面的基本特 征。
2
法平面
法平面相切于曲面上的点，并垂直于该点的切线，是描述曲面矢量值和方向的基 本方法。
3
应用
对于计算两个表面之间的夹角和反射光线，有着应用上的力量，也是了解曲面空 间特征的重要手段。
二次曲面的焦点和准线
《二次曲面介绍》PPT课 件
欢迎来到《二次曲面介绍》课程！二次曲面是数学中一个重要的概念，也具 有广泛应用。在此课程中，我们将深入了解二次曲面的分类、性质、公式和 应用，希望你享受这次学习！
什么是二次曲面？
定义
由二元二次方程$x^2+y^2+z^2+ax+by+cz+d=0$所确定的曲面称为一般二次曲面。
工程领域
2
对于数学知识结构的完备和优化起着重 要的推进作用。
在多种物理和工程应用中，二次曲面有
着广泛的实际用途。谷歌、苹果等大型IT
公司也在开发利用二次曲面技术的产品。
3
学术研究
二次曲面仍然是数学与物理学研究领域 的重要研究对象，对未来科学教育的贡 献巨大。
二次曲面的实践应用案例分析
医学成像
二次曲面在体绘制和定义了新 的医学成像方法。它可以为医 师提供三维数据，从而进行更 高质量的检查和诊断。
二次曲面的思考与总结
1 对数学的重要性
了解二次曲面的形式，有助于人们理解和应用数学知识，可以使数学这一抽象的学科更 加形象化、通透化。
2 对科学的启示
二次曲面的理论和应用研究有助于开拓科学领域的新思路，推动科学的不断发展和进步。
3 对未来的期许
二次曲面
x y 2 pz1 z z1
2 2
当 z1 变动时，这种圆 的中心都在 z 轴上.
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x y z （ p 与 q 同号） 2 p 2q
双曲抛物面（马鞍面） 用截痕法讨论：
设 p 0, q 0 图形如下：Biblioteka 22z o x
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y
（三）双曲面
z o x y z
2
2
x
o
y
p 0, q 0
p 0, q 0
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x y z （ p 与 q 同号） 椭圆抛物面 2 p 2q 特殊地：当 p q 时，方程变为 x y z 2p 2p
2 2
2
2
( p 0)
旋转抛物面
2 xoz x （由 面上的抛物线 2 pz 绕它的轴 旋转而成的） 与平面 z z1 ( z1 0) 的交线为圆.
思考题解答
2 2 4 y z 16 x 4 y z 25 . x 3 x 3
2
2
2
表示双曲线.
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练 习 题
y2 z2 2x 0 一、求曲线 ，在 xoy 面上的投影曲线 z 3 的方程，并指出原曲线是什么曲线 . 二、画出方程所表示的曲面： z x2 y2 ； 1、 3 4 9 2 2 2 16 x 4 y z 64 . 2、 三、画出下列各曲面所围成的立体的图形： y 1、 x 0 , z 0 , x 1 , y 2 , z ； 4 2、 x 0 , y 0 , z 0 , x 2 y 2 R 2 , y 2 z 2 R 2 (在第一卦限内) .
二次曲面曲率
二次曲面曲率
二次曲面曲率（Second order surface curvature）是指曲面上某一点处沿着法向量方向的曲率。
在三维空间中，一个二次曲面可以表示为：
f(x,y,z) = Ax2 + By2 + Cz2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0
其中，A、B、C、D、E、F、G、H、I、J是常数。
二次曲面曲率的公式如下：
K = 2(A + B + C)
其中，K是曲面上某一点处的二次曲面曲率。
二次曲面曲率可以用来描述曲面的几何形状，例如，当K > 0时，曲面为椭圆形曲面，当K < 0时，曲面为双曲形曲面，当K = 0时，曲面为抛物形曲面。
需要注意的是，二次曲面曲率只考虑了曲面在某一点处的曲率，而没有考虑曲面在其他点处的曲率。
在实际应用中，需要对曲面的曲率进行整体分析，并综合考虑曲面的几何形状和物理特性。
二次曲面
7.9 二次曲面与平面解析几何中规定的二次曲线相类似，我们把三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面.关于一般的三元方程0),,(=z y x F 所表示的曲面的形状，已难以用描点法得到，本节采用称之为截痕法的方式来研究二次曲面，即用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合从而了解曲面的全貌.作为例子研究椭球面的方程1222222=++cz b y a x并化出其图形.(1) 对称性: 方程的图形关于各个坐标面及原点对称(2) 在坐标轴上的截距: 方程的图形在x 轴、y 轴、z 轴上的截距分别是c b a ±±±,,（c b a ,,分别称为椭球面的半轴）.并且由1,1,1222222≤≤≤cz b y a x 得方程的图形位于平面c z b y a x ±=±=±=.,为界的长方体内.(3) 在坐标面上的截痕: 方程的图形在xoy 面、yoz 面、xoz 面上的截痕分别为椭圆⎪⎩⎪⎨⎧==+012222z b y a x ⎪⎩⎪⎨⎧==+012222x c z b y ⎪⎩⎪⎨⎧==+012222y c z ax (4) 平行截痕，研究与xoy 面平行的平面h z =（c h <）与方程图形的截痕，截痕曲线为 ⎪⎩⎪⎨⎧==++h z cz b y a x 1222222 或 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-+-hz c h b y c h a x 1)1()1(22222222这是一个在平面h z =上以221c h a -和221ch b -为半轴的椭圆.当h 由0逐渐增大时,两个半轴逐渐减少，当c h =时,截痕缩为一点.同样,分别讨论与yoz 面及xoz 面平行的平面与方程图形的截痕,它们也是椭圆.综合以上讨论可知，方程的图形如图7.40示,今后称这个曲面为椭球面. 当c b a ==时,椭球面变为球面.当b a =时椭球方程为122222=++cz a y x 它是椭圆⎪⎩⎪⎨⎧==+012222x c z b y 或 ⎪⎩⎪⎨⎧==+012222y c z ax 绕z 轴旋转而成的旋转椭球面，它在平行于xoy 面的平面上的截痕都是圆（图7.40）除椭球面外，常见的二次曲面有以下几种.下面我们列出它们的标准方程与图. 1 椭圆抛物面（图7.41）pz by a x22222=+ )0,0,0(≠>>p b a2 单叶双曲面（图7.42）1222222=-+cz b y a x )0,0,0(>>>c b a3双叶双曲面（图7.43）1222222-=-+cz b y a x )0,0,0(>>>c b a4双曲抛物面（图7.44）pz by a x 22222=- )0,0,0(≠>>p b a5锥面（图7.45）0222222=-+cz b y a x )0,0,0(>>>c b a图7.40 图7.41图7。
二次曲面一般式
二次曲面的一般式可以表示为：
其中，( A, B, C, D, E, F, G, H, I, J ) 是常数。
这个方程描述了一个三维空间中的二次曲面，包括椭球、双曲面和抛物面等。
对于不同的二次曲面，我们可以根据一般式的系数来判断其类型：
1. 椭球：
- 如果( A > 0, B > 0, C > 0 )，且( (AD)^2 < ABC )，则方程表示一个椭球。
- 其中( A, B, C ) 分别代表椭球在三个坐标轴上的主半径的平方。
2. 双曲面：
- 如果( A > 0, B > 0, C > 0 )，但不满足椭球的条件，则方程表示一个双曲面。
- 双曲面可以进一步分为两个分支：单叶双曲面和双叶双曲面。
3. 抛物面：
- 如果( A, B, C ) 中有且仅有一个等于零，则方程表示一个抛物面。
- 抛物面有两种类型：平面抛物面和平行抛物面。
4. 圆锥曲线：
- 如果将二次曲面方程投影到某个平面上，可能会得到一个圆、椭圆、双曲线或抛物线，这些都是圆锥曲线。
5. 退化情况：
- 如果( A = B = C = 0 )，那么方程表示一个平面。
注意，二次曲面的类型取决于( A, B, C, D, E, F, G, H, I, J ) 的值以及它们之间的关系。
二次曲面
(4)
y1 b,
截痕为一对相交于点 (0, b,0) 的直线.
x z x z 0 0 , . a c a c y b y b （3）用坐标面 yoz ( x 0)， x x1与曲面相截
均可得双曲线.
平面 x a 的截痕是两对相交直线.
椭球面与 三个坐标面 的交线：
2 z2 x2 2 1 , a c y 0
2 y2 x2 2 1 , a b z 0
2 y2 2 z2 1 . b c x 0
z
o x
y
椭球面与平面 z z1 的交线为椭圆
x2 y2 2 1 2 a 2 b 2 2 2 2 (c z1 ) 2 ( c z1 ) c c | z1 | c z z1
2
与平面 y y1 的交线为抛物线.
2 2 y1 x 2 p z 2q y y 1
它的轴平行于 z 轴
2 y1 顶点 0, y1 , 2q
（3）用坐标面 yoz ( x 0)， x x1与曲面相截 均可得抛物线. 同理当 p 0, q 0 时可类似讨论.
二次曲面
一、基本内容
二次曲面的定义： 三元二次方程所表示的曲面称之． 相应地平面被称为一次曲面． 讨论二次曲面性状的截痕法：
用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面 相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后 加以综合，从而了解曲面的全貌． 以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面．
（一）椭球面
x2 y2 z2 2 2 1 2 a b c
2
2
2
表示双曲线.
（1）用坐标面 xoy ( z 0) 与曲面相截
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z
(c z1 )
2
1
z z1
同样 y y1 ( y1 b ) 及 也为椭圆. (4) 当 a＝b 时为旋转椭球面; 当a＝b＝c 时为球面. 的截痕
x2 y2 z2 椭球面的伸缩法： 2 2 2 1 a b c
x 2 y2 （1）将xoy面上的椭圆 2 1 2 a b
可以证明, 椭圆①上任一点与原点的连线均在曲面上.
(椭圆锥面也可由圆锥面经 x 或 y 方向的伸缩变换 得到)
5 柱面
x 2 y2 2 1 椭圆柱面 2 a b
双曲柱面
抛物柱面 母线平行于 z 轴
x2 y2 2 1 2 a b
x2 a y
母线平行于 z 轴
母线平行于 z 轴
内容小结
( p, q 同号)
思考与练习
1. 指出下列方程的图形:
方 程
x5
x y 9
2 2
平面解析几何中
空间解析几何中
平行于 y 轴的直线 平行于 yoz 面的平面 圆心在(0,0) 半径为 3 的圆 斜率为1的直线 以 z 轴为中心轴的 圆柱面 平行于 z 轴的平面
y x 1
高数A
c
a
x
O
b y
2. 抛物面
x2 y2 (1) 椭圆抛物面 2 2 z a b
x2 由xoz面上的抛物线： 2 z a 2 2 x y z 绕z轴旋转，得一旋转抛物面： 2 a b a 再将其沿y轴方向伸缩 倍： y y, b a
即得椭圆抛物面：
x2 y2 z 2 p 2q ( p , q 同号)
结论1：将平面曲线 C ：F ( x , y ) = 0 沿 y 轴方向伸缩 倍而得到平面曲线C´的平面方程为： y F ( x, ) 0
结论2：将平面曲线C ：F ( x , y ) = 0 沿 x 轴方向伸缩 倍而得到平面曲线C´的平面方程为： x F ( , y) 0
结论3：将空间曲面C ：F ( x , y , z ) = 0 沿 y 轴方向伸 缩 倍而得到空间曲面C´的方程为： y F ( x, , z ) 0
2 2
• 柱面 如,曲面F ( x , y ) 0 表示母线平行 z 轴的柱面. 又如,椭圆柱面, 双曲柱面, 抛物柱面等 .
2. 二次曲面 • 椭球面 • 抛物面:
三元二次方程
椭圆抛物面
双曲抛物面
x2 y2 z 2 p 2q • 双曲面: 单叶双曲面 双叶双曲面 2 2 x2 y2 x y 2 2 1 1 2 2 a b a b x2 y2 • 椭圆锥面: 2 z2 a2 b
(2)与坐标面的交线：椭圆
x2 y2 1, 2 2 a b z0
x y z 2 2 1 ( a, b, c 为正数) 2 a b c
(3) 截痕:与 z z1 ( z1 c)的交线为椭圆：
2
2
2
x
a c2
2
2 2
(c z1 )
2
y
b c2
2
2 2
2 2 2 2 （1）将球面 x y z a c a 沿 z 轴方向伸缩 倍：z z , 得旋转椭球面： a c a2 2 2 2 2 x2 y2 z2 x y 2z a , 或 2 1 2 c a c
b a （2）再将旋转椭球面沿 y 轴方向伸缩 倍： y y, a b
x2 y 2 z 2 (1)单叶双曲面 2 2 2 1 a b c x2 z 2 把xOz面上的双曲线 1 绕z轴旋转，得旋 a2 c2 x2 y 2 z 2 转单叶双曲面 2 1.把此旋转曲面沿y轴方向 2 a c b 伸缩 倍，即得单叶双曲面. a
3. 双曲面
x2 y 2 z 2 (2)双叶双曲面 2 2 2 1 a b c x 2 z 2 绕x轴旋转，得旋 把xOz面上的双曲线 2 1 2 a c 2 2 2 转双叶双曲面 x y z 1 .把此旋转曲面沿y轴方 a2 c2 z
第八节 二次曲面
一、椭球面
二、抛物面
三、双曲面
第八章
二次曲面
空间直角坐标系中的空间曲面用方程F(x,y,z)=0表示.
•
若方程F(x,y,z)=0中的x、y、z是一次(或某些项为零)
的，则表示的曲面为平面，也称平面为一次曲面.
即：三元一次方程 A x +B y + C z +D = 0 所表示的平面
x y z 即得椭球面： 2 2 2 1 a b c
所以，球面是旋转椭球面的特殊情形，而后者又是椭 球面的特殊情形。
2
2
2
椭球面的画法：
1．选择坐标系；
z 2．画坐标面与曲面的交线；
3．画出轮廓线．
c
a
x
O
b y
椭球面的画法：
1．选择坐标系；
z 2．画坐标面与曲面的交线；
3．画出轮廓线．
综合，从而了解曲面的全貌． （2）伸缩变形法： 将空间曲面C ：F ( x , y , z ) = 0 沿 y 轴方向 伸缩 倍而得到空间曲面C´ ， 则 C´ 的方程为： y F ( x, , z ) 0
平面图形的伸缩变形法 N ( x2 , y2 ) y2 C : F ( x, y) 0 N ( x2 , )
y
M ( x , y)
M ( x, y)
图形 C´ 由图形 C 沿 y 轴 方向伸缩 倍而得到。
0
C
C
x
问题1：如何确定C´的方程？ y2 y2 y N ( x2 , ) C , F ( x2 , ) 0 C : F ( x , ) 0
结论1：将平面曲线 C ：F ( x , y ) = 0 沿 y 轴方向伸缩 倍而得到平面曲线 C´的平面方程为： y F ( x, ) 0
1. 空间曲面 • 旋转曲面 三元方程 F ( x , y , z ) 0
2 2 2 2 • 球面 ( x x0 ) ( y y0 ) ( z z0 ) R
f ( y, z ) 0 绕 z 轴的旋转曲面: 如, 曲线 x0
f ( x y , z ) 0
被称为一次曲面． • 若方程F(x,y,z)=0中的x、y、z是二次(或某些项为一次、
零次)的，即方程F(x,y,z)=0为三元二次方程，则表示 的曲面称为二次曲面.
其基本类型有: 椭球面、抛物面、双曲面、锥面
了解空间曲面形状的两种常用方法：
（1）截痕法
用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相
截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以
向伸缩 b 倍，即得双叶双曲面. c
o x
y
4. 椭圆锥面
z
z
x2 y2 2 z 2 ( a, b 为正数 ) 2 a b 在平面 z t 上的截痕为 椭圆 x2 y2 1, z t ① 2 2 (at ) (bt )
o
xx
y y
在平面 x＝0 或 y＝0 上的截痕为过原点的两直线 .
下面用上述两种方法研究一些特殊二次曲面的形状
1. 椭球面ຫໍສະໝຸດ x y z 2 2 1 ( a, b, c 为正数 ) 2 a b c
(1)范围：
2
2
2
x a,
y b,
z c
y2 z2 1 , b2 c2 x0 x2 z 2 1 a 2 c 2 y0
绕x轴旋转，所得旋转曲面称为旋转椭球面，其方程为
x 2 y2 z 2 x 2 y2 z 2 1, 2 2 2 1, 2 2 a b a b b c b （2）再将其沿 z 轴方向伸缩 倍：z z , b c 2 2 2 x y z 即得 1
a2
b2
c2
椭球面也可由下面方法伸缩变形而来
z
x 2 y2 2 z 2 a b
x
y
(2) 双曲抛物面（鞍形曲面）
x2 y2 z ( p , q 同号) 2p 2q
当z=h>0时，截线是双曲线
当z=h=0时，截线是xoy平面上的两条相交于原点的直线;
当z=h<0时，截线是双曲线，但实轴平行于x轴，虚轴 平行于y轴. 当x=h=0时，截线是yOz平面上的顶点为原点的抛物线 当y=h=0时，截线是xOz平面上的顶点为原点的抛物线， 且开口向下.